Katedra stavební mechanikyFakulta stavební, VŠB - Technická univerzita Ostrava

Stavební statika, 1.ročník bakalářského studia

Výpočet vnit řních sil přímého nosníku II

�Výpočet vnit řních sil nosník ů zatížených spojitým zatížením: příčné konstantní a trojúhelníkové spojité zatížení, spojité zatížení v osové úloze, momentové zatížení

�Výpočet nosníku v prostorové úloze�Výpočet nosníku v krutové úloze

2

Závěry ze Schwedlerových vztah ů

0d

d =−= qx

V

0d

d == Vx

M

Extrém posouvajících sil Vje v průřezu, kde q=0

Extrém ohybových momentů M je v průřezu, kde V=0 nebo mění znaménko

→

→

inte

grac

e

deriv

ace

M

V

-q

Derivačně – integra ční schéma

qx

V −=d

d

Vx

M =d

d

Rax

b

Rbz

aRaz l

n -

+

+

q

M

V

0 0

maxM

vodorovná tečna

Q

3º

2º

1º

1. řád funkce V(x) a M(x)→ typ čáry v diagramech

2. místa extrému u V(x) a M(x)

Souvislost mezi spojitým příčným zatížením a průběhy vnitřních sil

3

( ) xqVxqRV aazLx ⋅−=−= .

q

VxxqVV a

nnan =⇒=⋅−⇒= 00

q = konst.→

Nebezpečný průřez

b

Rbz

a

Razl

Q = q.l

n+

-

x

2

.lq−V

2

.lq

Posouvající síla na hranici spojitého zatížení

( ) 2

.0

lqRVV azxa === =

( ) 2

lqQRVV azlxb

⋅−=−== =

( )↑===2

.

2

lqQRR bzaz

Posouvající síla pod spojitým zatížením

Reakce 0=axR

Rax

Úloha řešena zleva

xn

x

1º

0º

inte

grac

e

deriv

ace

M

V

-q

b

Rbz

a

Razl

x

q

Posouvající sílapod spojitým zatížením

0xqkonstq ⋅→=q polynom 0°→V polynom 1°

Vx

Mx

+

Náhr. břemeno Q používat jen pro výpočet reakcí, u vnitřních sil pracovat pouze s „q.x“

[kN]

4

( ) xqVxqRV bbzPx ⋅+=+−= .

q

VxxqVV b

nnbn =⇒=⋅+⇒= 00

q = konst.→

Nebezpečný průřez

b

Rbz

a

Razl

Q = q.l

n+

-

x

2

.lq−

V

2

.lq

Posouvající síla na hranici spojitého zatížení

( ) 2

.lqQRVV bzlxa =+−== =

( ) 20

lqRVV bzxb

⋅−=−==

( )↑===2

.

2

lqQRR bzaz

Posouvající síla pod spojitým zatížením

Reakce 0=axR

Rax

xn

x

1º

0º

inte

grac

e

deriv

ace

M

V

-q

b

Rbz

a

Razl

x

q

Posouvající sílapod spojitým zatížením

0xqkonstq ⋅→=q polynom 0°→V polynom 1°

Vx

Mx

Úloha řešena zprava

Náhr. břemeno Q používat jen pro výpočet reakcí, u vnitřních sil pracovat pouze s „q.x“

[kN]

5

( ) 22

2xqxR

xxqxRM azaz

Lx

⋅−⋅=⋅⋅−⋅=

( ) ( ) 8

. 2

2max

lqMM lxx ==

=

Extrémní moment je v nebezpečném průřezu (V=0)2º

+0

M0

Ohybový momentpod spojitým zatížením

( ) 00 == =xa MM ( ) 0== =lxb MM

Ohybový moment pod spojitým zatíženímÚloha řešena zleva

8

. 2

max

lqM =

vodorovná tečna

n+

-

2

.lq−

V

2

.lq

xn

x

1º

b

Rbz

a

Razl

x

q

Vx

Mx

( ) xqVxqRV aazLx ⋅−=−= .

Posouvající síla v poli

(kloubové podpory→M=0)

V polynom 1°(lineární pr ůběh)→M polynom 2°(parabola)

inte

grac

e

deriv

ace

M

V

-q

( ) 22

2n

nazn

nnazLx

xqxR

xxqxRM

⋅−⋅=⋅⋅−⋅=

Po dosazení:pouze prostý nosník zatížený q=konstpo celé délce:

[kNm]

[kN]

6

q

VxxqVV b

nnbn −=⇒=⋅+⇒= 00

( ) ( ) 8

. 2

2max

lqMM lxx ==

=

Nebezpečný průřez

( ) xqVxqRV bbzPx ⋅+=+−= .

q = konst.

b

Rbz

a

Raz

l

Q = q.l

n

2º

+

+

-

x

2

.lq−

0

8

. 2

max

lqM =

M

V

0

2

.lq

Posouvající síla

( ) 0== =lxa MM

( ) 00 == =xb MM

Ohybový moment pod spojitým zatížením

Rax

Úloha řešena zpravax

xn

vodorovná tečna

Náhr. břemeno Q používat jen pro výpočet reakcí, u vnitřních sil pracovat pouze s „q.x“

Ohybový moment

( ) 2

..

2.

2xqxR

xxqxRM bzbz

Px −=⋅⋅−=

Dosazením

1º

[kNm]

[kN]

7

Příklad 1 – posouvající síly - výpo čet zleva

3

a bRax= 0

Raz=7,35kN Rbz=13,65kN

q = 3kN/m

c 1) Výpočet V síly v důležitých bodech:

Va =Vc= Raz=7,35kN(↑)Vb = Raz – Q= -13,6k(↓)

+

2) Výpočet V síly pod spojitým zatížením:(zavedeme lokálně x=0 v místě, kde začíná q)

V(x) = Vc – q . xL

např. pro x=1:V(x1) = Raz – q . 1 = Vc – q . 1 V(x1) = 7,35 – 3 . 1=4,35kN (↑)

např. pro x=5:V(x5) = Raz – q . 5 = Vc – q . 5 V(x5) = 7,35 – 3 . 5= -7,65kN (↓)

1 6

Vx1

x5x1

5 2

xL

Vx5

Rbz

Rbz

Raz

Raz

xL =1

xL =5

Q

Va = 7,35 = Vc

n

-13,651°

V

V(x5)

V(x1)

Mx1

Mx5

[kN]

8

Příklad 1 – posouvající síly, nebezpe čný pr ůřez n - výpo čet zleva

73

a bRax= 0

Raz=7,35kN

Rbz=13,65kN

q = 3kN/m

c+

Výpočet polohy nebezpečného průřezu:

Vn = 0Vc – q . xnL = 0

xnL =Vc / q = 7,35/3 = 2,45 mVa = 7,35 = Vc

xnL

n

-13,651°

V

V(x5)

V(x1)

Vn=0

xL

xn

RbzRaz

V(x) = Vc – q . xL

Obecně:

Mn

[kN]

9

Příklad 1 –posouvající síly - výpo čet zprava

3

a bRax= 0

Raz=7,35kN Rbz=13,65kN

q = 3kN/m

c

1) Výpočet V síly v důležitých bodech:

Va =Vc= -Rbz+Q=7,35kN(↓)Vb = -Rbz = -13,6kN(↑)

+

2) Výpočet V síly pod spojitým zatížením:(zavedeme lokálně x=0 v místě, kde začíná q)

V(x) = Vb + q . xP

např. bod x1,kde x=6:V(x1) = -Rbz + q . 6 = Vb + q . 6V(x1) = -13,65 – 3 . 6=4,35kN (↓)

např. bod x5, kde x=2:V(x5) = -Rbz + q . 2= Vb + q . 2V(x5) = -13,65 + 3 . 2= -7,65kN (↑)

1 6

Vx1

x5x1

5 2

xP

Vx5

Rbz

Rbz

Raz

Raz

xP =6

xP =2

Q

Va = 7,35 = Vc

n

Vb= -13,651°

V

V(x5)

V(x1)

Mx1

Mx5

[kN]

10

Va = 7,35 = Vc

Příklad 1 – posouvající síly, nebezpe čný pr ůřez n - výpo čet zprava

73

a bRax= 0

Raz=7,35kN

Rbz=13,65kN

q = 3kN/m

c

n

Výpočet polohy nebezpečného průřezu:

Vn = 0Vb + q . xn

P = 0

xnP = -Vb / q = 13,65/3 = 2,45 m

-13,65

xnP

1°

V

V(x5)

V(x1)

Vn=0

xP

xn

RbzRaz

V(x) = Vb + q . xP

Obecně:

+

Mx

[kN]

11

Příklad 1 –ohybové momenty- výpo čet zleva

3

a bRax= 0

Raz=7,35kN Rbz

q = 3kN/m

c x5

5 2

xL

Vx5 RbzRaz

xL =5

Q

Va = 7,35 = Vc

n

-13,651°

V

V(x5)

V(x1)

1° 2°

McMx5

M

Mx5

+

Ohybový moment v bodě x5:

Mx5L = Raz . (3+5) - q .52 / 2 = 21,3kNm ( )

na úseku c-b obecn ě zleva:posouvající síla:V(x) = Vc – q . xL

Ohybový moment :Mx

L = Raz . (3+xL) - q . (xL)2 /2

polynom 2°, neboť v rovnici x2 a zároveň

V síly na úseku c-b lineární (polynom 1°)

na úseku a-c obecn ě:Mx = Raz . x

Mc = Raz . 3=22,05kNm ( )

polynom 1°, neboť v rovnici x1 a zároveň

V síly na úseku a-c konstantní (polynom 0°)

Ma = Mb = 0 (kloubové podpory→M=0)

inte

grac

e

deriv

ace

M

V

-q

Všimněte si tečen v průběhu – zakreslovat do obrázků a dodržovat tvary

[kN]

[kNm]

12

Příklad 1 –ohybové momenty- výpo čet zprava

3

a bRax= 0

Raz=7,35kN Rbz

q = 3kN/m

c x5

5 2

xPQ

Va = 7,35 = Vc

n

-13,651°

V

V(x5)

V(x1)

1° 2°

McMx5

M

Mx5

Ohybový moment v bodě x5:

Mx5P = Rbz . 2 - q .22 / 2 = 21,3kNm

na úseku b-c obecn ě zprava:posouvající síla:V(x) = Vb + q . xP

Ohybový moment :Mx

P = Rbz . xP - q . (xP)2 /2

na úseku c-a :

již za spojitým zatížením,výhodnější počítat zleva.Mc = Raz . 7 - Q . 3,5=22,05kNm ( )

Ma = Mb = 0 (kloubové podpory→M=0)

inte

grac

e

deriv

ace

M

V

-q

Vx5RbzRaz

xP =2

Všimněte si tečen v průběhu – zakreslovat do obrázků a dodržovat tvary

[kNm]

[kN]

13

7,35

Raz=7,35kN

Příklad 1- Mn , výsledky

73

a bRax

Rbz=13,65kN

q = 3 kN/m

c

1° 2°

xnL

-13,65

Mc=22,05

Extrémní moment v nebezpečném průřezu:

MnL = Raz . (3+xn

L) - q . (xnL)2 /2

MnP = Rbz . xn

P - q . (xnP )2 /2

xnP

na úseku c-b obecn ě zleva:

MxL = Raz . (3+xL) - q . (xL)2 /2

na úseku b-c obecn ě zprava:

MxP = Rbz . xP - q . (xP)2 /2

d4 3

n

n

Md

Me

e

na úseku a-c obecn ě:Mx = Raz . x

Mc = Raz . 3

Podobně dopočítejte moment v d

(v místě náhradního břemene):

MdL= Md

P = 29,4 kNm

Ma = Mb = 0

1°

= 0N

V

M

Mn = 31,05 kNm

Ohybový moment v bodě e:

MeL = Raz . (3+5) - q .52 / 2 = 21,3kNm

MeP = Rbz . 2 - q . 22 / 2 = 21,3kNm

[kN]

[kN]

[kN]

14

29,4

7,35

Raz

Pravidla, která je nutno dodržet p ři řešení vnit řních sil

a b

Rax

Rbz

q = 3 kN/m

c

1° 2°

xnL

-13,65

22,05

xnP

Mn = 31,05 kNm

Výpočet reakcídodržet všechna pravidla:3 podmínky rovnováhy + 1 kontrolní, zřetelné značení skutečného směru

d

n

n

1°

= 0N

V

M

- vykreslit schéma pro všechny 3 vnitřní síly (i nulové)- N,V kladné nad osu, M na stranu tažených vláken- vlevo od každého schématu označit, o kterou vnitřní

sílu se jedná. Značení v kroužku, např. N- v každém obrazci zřetelné znaménko vnitřní síly- obrazce buď šrafovat kolmo na osu nosníku nebo

ponechat prázdné- značení stupňů polynomů- značení bodu, kde se mění stupeň polynomů (bod c) - přechod z 1° do 2° (bod c)plynulý

(pokračování lineárního průběhu tvoří tečnu paraboly)- všechny potřebné hodnoty vnitřních sil do obrázku:

zejména: v místě změny zatížení (bod c), minimálně 1hodnota M v poli pod spojitým zatížením (bod d),extrémní moment

- hodnota V síly v zadaném místě např. bod d, včetně rovnice výpočtu (viz předešlé i následující snímky)

- označit a okótovat místo nebezpečného průřezu- výpočet polohy nebezpečného průřezu - nutná rovnice- výpočet momentů – pro všechny hodnoty nutné rovnice- v místě Mmax (Mn)je tečna vodorovná (extrém funkce)

-7,65

[kN]

[kN]

[kN]

15

Příklad ze skript

Zadání a řešení příkladu 4.13Obr. 7.28. / str. 107

(a) (b)Zadání: pro oba zatěžovací stavy (liší se pouze velikostí osamělé síly) stejného prostého nosníku určit reakce, sestrojit průběhy posouvajících sil a ohybových momentů a určit extrémní hodnoty vnitřních sil.

16

( )kNm202

.2

.

2

==

⇒=

lqM

lQM

b

b

( ) xqV Lx .−=

Konstantní spojité zatížení – konzola – V síly

Rbz

a

l= 2mb

Mbq =10kN/m= konst.

Q = q.l=20kN

-

xlx ,0∈

Reakce: nutno řešit z podmínek rovnováhy

Posouvající síla

( )↑===

=

kN20.

,0

lqQR

R

bz

bx

( ) 00 == =xa VV

( ) kN20. −=−=−== = bzlxb RlqVVx.qVx −=

20−V

Rbx

kN102

. =− lq1º

0º

0

Náhr. břemeno Q používat jen pro výpočet reakcí, u vnitřních sil pracovat pouze s „q.x“.V síla nepřechází přes 0, na celé délce prutu nebude extrém momentu.

Úloha řešena zleva

Posouvající síla v polovině délky prutu

( ) ( ) kN101212

=⋅=⋅−== ==qlqVV xlx

17

( ) 2

.

2..

2xqxxqM L

x −=−=

( ) xqV Lx .−=

Konstantní spojité zatížení – konzola - momenty

Rbz

a

l= 2mb

Mb

q =10kN/m= konst.Q = q.l

-

2º

-

xlx ,0∈

Posouvající síla

Ohybový moment

( )↑==== kNlqQRR bzbx 20.,0

( ) 00 == =xa MM

( ) 2

. 2

)(

lqMM lxsilavnitrnib −== =

( )kNmlql

QM b 202

.

2.

2

===

x.qVx −=

( ) ( )( )22.

2

.2

2

12

lqxqMM xlx

−=−== ==

20−

20−

0

5−M

V

Rbx

2

2x.qM x −=

10−1º

0º

0

vodorovná tečna

Náhr. břemeno Q používat jen pro výpočet reakcí, u vnitřních sil pracovat pouze s „q.x“

Úloha řešena zleva

( ) kNm52

1. 2

1 −=−==q

M x

[kNm]

[kN]

18

( ) 2

.

2..

2xqxxqM x −=−=

( ) xqV x .−=

Důkaz Schwedlerových vztah ů pro p říčnou úlohu

a

l= 2mb

q =10kN/m= konst.Q = q.l

-

2º

-

x

x.qVx −=

20−

20−

0

5−

V

2

2x.qM x −=

10−1º

0º

0

Úloha řešena zleva

M

Posouvající síla:

qx

V −=d

d

Vx

M =d

d

Spojité zatížení:

konstqqx

==)(

Ohybový moment:

inte

grac

e

deriv

ace

M

V

-q

viz snímek č.2 ↓:

viz snímek č.2 ↓:

Poznámka:Integrační konstanty jsou zde nulové, protože V(x=0)=0 i M(x=0)=0

19

( ) 2

. 2xqxRMM bzb

Px −⋅+−=

( ) xqRxqVV bzbPx .. +−=+=

Základní zat ěžovací stavy spojitého zatížení

Rbz

a

lb

Mb

q = konst.Q = q.l

-

2º

-

x Posouvající síla

Ohybový moment

( )↑=== lqQRR bzbx .,0

( ) 0. =+−== = lqRVV bzlxa

( ) qlRVV bzxb −=−== =0

( ) 02

2

=−⋅+−== =ql

lRMMM bzblxa

( ) ( ) 2

2

0

qlMMM reakcebxb −=−== =

( )2

.

2.

2lqlQM b ==

x.qRx.qV bzb +−=+

( ) 8

. 2

2

lqM

dosazenípolx

−==

2

. 2lq−

lq.−

0

8

. 2lq−M

V

Rbx

Úloha řešena zprava

2

2x.qxRM bzb −⋅+−

1º2

.lq−

0º

Reakce: nutno řešit z podmínek rovnováhy

[kNm]

[kN]

20q

LVx

L

xqVV a

nn

an

20

20

2 ⋅=⇒=⋅−⇒=

vodor. tečna

L

a b

Rax=0

RazRbz

V2°Va

qx

x

L= délka TROJÚHELNÍKU – ne nosníku!!!

L

xqV

x

L

xqV

xqVV aaxax ⋅

⋅−=⋅⋅−=⋅−=222

2

)(

L

xqq

x⋅=

)(

Trojúhelníkové zatížení - posouvající síly

Va = Raz

Vb = Raz – Q= -Rbz

Vnitřní síly pod trojúhelníkovým zatížením nutno počítat ze strany od „špičky“ trojúhelníku, tj. ze strany, kde q=0.

Tady zleva !!!

q

Raz Rbz

qx

x

q

Mx

vx

Posouvající síla na hranici spojitého zatížení

Posouvající síla pod spojitým zatížením

( )L

xqqlineárníxq x

1

⋅=→=

q je lineární funkce x -polynom 1°→V polynom 2°(parabola)

+

1°

1°

Vb

Nebezpečný průřez – není v těžišti trojúhelníku!

Q

n

inte

grac

e

deriv

ace

M

V

-q

[kN]

21

L= délka TROJÚHELNÍKU – ne nosníku!!!

L

xqV

x

L

xqV

xqRV aaxazx ⋅

⋅−=⋅⋅−=⋅−=222

2

)(

L

xqq

x⋅=

)(

Trojúhelníkové zatížení – ohybový moment

Vnitřní síly pod trojúhelníkovým zatížením nutno počítat ze strany od „špičky“ trojúhelníku, tj. ze strany, kde q=0.

Tady zleva !!!

Raz Rbz

qx

x

q

Mx

vx

Posouvající síla pod spojitým zatížením

Ohybový moment pod spojitým zatížením

V je funkce x2 -polynom 2°(parabola)→M polynom 3°(parabola 3°)

+

1°

Q

inte

grac

e

deriv

ace

M

V

-q

( ) 00 == =xa MM ( ) 0== =lxb MM

(kloubové podpory→M=0)

Mx = Raz . x -1/2 . qx . x . x /3

= Raz . x -1/2 . (q.x/L). x .x /3

= Raz . x - q . x3/6.L

L

xqxRM azx ⋅

⋅−⋅=6

3

)(

M

vodor. tečna

nV

2°

3°

Va=Raz

Vb

vodor. tečna

Nebezpečný průřez – není v těžišti trojúhelníku!

Všimněte si tečen v průběhu – zakreslovat do obrázků a dodržovat tvary

[kNm]

[kN]

22

N

vodor. tečna

36

L=9

a b

Rax=0

Raz=6kN

Rbz=12kN

Q =0,5 .4.9 =18kN

V

2°6

-12

qx

x

5,78 5,11

= 0

L= délka TROJÚHELNÍKU – ne nosníku!!!L

xqV

x

L

xqV

xqVV aaxax ⋅

⋅−=⋅⋅−=⋅−=222

2

)(L

xqq

x⋅=

)(

Příklad 2 – normálové a posouvající sílyVýpo čet V síly v krajních bodech:

Va = Raz=6kNVb = Raz – Q= -12kN

+Výpo čet V síly pod spojitým zatížením:

např. pro x=1:

Vnitřní síly pod trojúhelníkovým zatížením počítat ze strany od „špičky“ trojúhelníku, tj. ze strany, kde q=0 – tady zleva !!!

( ) 2

1

9

461 ⋅−=V

1kNm9

4

9

14 −=⋅=⋅=L

xqqx

( ) L

xqVV a ⋅

⋅−=2

2

1

např. pro x=2: 1kNm9

8

9

24 −=⋅=⋅=L

xqqx

( ) 21

xqVV xa ⋅−= nebo

( ) kN78,592

146

2

1 =⋅⋅−=Vnebo

q = 4kN/m

( ) 2

2

9

862 ⋅−=V

( ) L

xqVV a ⋅

⋅−=2

2

2( ) 22

xqVV xa ⋅−= nebo

( ) kN11,592

246

2

2 =⋅⋅−=Vnebo

[kN]

[kN]

23

N

vodor. tečna

36

L=9

a b

Rax=0

Raz=6kNRbz=12kN

Q =0,5 .4.9 =18 kN

n

n

Vxn=5,196

2°6

-12

5,785,11

= 0

L= délka trojúhelníku – ne nosníku!!!

L

xqV

x

L

xqV

xqVV aaxax ⋅

⋅−=⋅⋅−=⋅−=222

2

)(

L

xqq

x⋅=

)(

Příklad 2 – posouvající síly – nebezpečný pr ůřez

+

Výpo čet polohy nebezpe čného pr ůřezu:Není v těžišti trojúhelníku

Výpočet V síly pod spojitým zatížením:

Vnitřní síly u trojúhelníkového zatížení nutno počítat ze strany od „špičky“ trojúhelníku, tj. ze strany, kde q=0 – tady zleva !!!

q = 4kN/m

qn

xn

m196,52 =⋅⋅=⇒

q

LVx a

n

0=nV

02

=⋅−= nxan

xqVV

n

02

2

=⋅⋅−=

L

xqVV n

an

[kN]

[kN]

24

Vnitřní síly pod trojúhelníkovým zatížením nutno počítat ze strany od „špičky“ trojúhelníku, tj. ze strany, kde q=0 – tady zleva !!!

M

vodor. tečna

36

9

a bRax=0

Raz=6kN Rbz=12kN

n

n

Vxn=5,196

2°

3°

Mn=20,785

6

-12

vodor. tečna

Mx = Raz . x -1/2 . qx . x . x /3

= Raz . x -1/2 . (q.x/L). x .x /3

= Raz . x - q . x3/6.L

Mn = 20,785 kNm,

Ma = Mb = 0

L

xqxRMobecně az

L

x ⋅⋅−⋅=

6:

3

)(

x

M(x=1) = 5,93kNm, M(x=2) = 11,4kNm

5,78

5,9311,4

5,11

L

xqq

x⋅=

)(

Příklad 2 – ohybové momenty

L= délka trojúhelníku – ne nosníku!!!L

xqV

xqVV axax ⋅

⋅−=⋅−=22

2

)(

Výpočet V síly pod spojitým zatížením:

Výpo čet momentu pod spojitým zatížením:

Mn = Raz . xn -1/2 . qxn . xn . xn /3

= Raz . xn -1/2 . (q.xn/L). xn .xn /3

= Raz . xn - q . xn3/6.L

q = 4kN/m

Výpo čet momentu v nebezpe čném pr ůřezu:

+

[kNm]

[kN]

25

( ) l

xqV

x

l

xqV

xqRV bb

xbz

Px 2

.

2

.

2

. 2

+=⋅+=+−=

q

lVx

l

xqVV b

nn

bn

⋅=⇒=+⇒=

20

.2

.0

2

Rax b

Rbz

a

Raz l

n

2

.lqQ =

-

+

+

q

M

V

x

Posouvající síla

Ohybový moment

( )↑==3

..

3

2 lqQRaz

( ) azlxa Rlq

VV === = 3

.

( ) 6

.lqRVV bzoxb −=−== =

0

l

xqqx

.=

0

( )↑==6

.

3

lqQRbz

6

.lq−

3

.lq

Základní zat ěžovací stavy spojitého zatíženíReakce 0=axRvýpočet nutný zprava x

qx

l3

2

maxM

vodorovná tečna

Nebezpečný průřez xn

( ) l

xqxR

xxqxRM bz

xbz

Px 6

..

3.

2

..

3

−=−=

( )nxxMM ==max[kNm]

[kN]

3º

2º

1º

26

x/3

M

a

l

b

Mb

q2

.lqQ =

3º-

-

x

V

Reakce

Posouvající síla

Ohybový moment

( )↑===2

.,0

lqQRR bzbx

( ) 00 == =xa VV

( ) bzlxb RQl.q

VV −−=−== = 2

( ) 00 == =xa MM

( ) blxb Mlq

MM −=−== = 6

. 2

( )6

.

3.

2lqlQM b ==

( ) l

xqx

l

xqxqV xL

x .2

.

2

.

2

2

−=⋅−=⋅−=

( ) l

xqx

l

xqM L

x .6

.

3.

.2

. 32

−=−=

( ) 8

.2

lqVV lxc −==

=

2

.lq−

0

8

.lq−2º

( )2

2..

48

1lqMM lxc −==

=

2.48

1lq−

6

. 2lq−

l

xqqx

.=→

Základní zat ěžovací stavy spojitého zatížení

Rax

výpočet nutný zlevax

vodorovná tečna

vodorovná tečna

c

qx

podobnost trojúhelníků 2

x.qQ x

x =

l

xqVx .2

. 2

−=→

l

xqM x .6

. 3

−=→

1º

l/3

[kNm]

[kN]

27

( )

l.x.q

xRM

x.

l.x.q

xRMM

bzb

bzbPx

6

323

2

−⋅+−=

−⋅+−=

Porovnejte průběhy V,M včetně hodnot u obou typů zatížení

Rbz

a

l

b

Mb

q

3º

2º

-

-

M

V

x

Posouvající síla

Ohybový moment

( ) 0== =lxa VV

( ) bzxb RVV −== =0

( ) 0== =lxa MM

( ) bxb MMM −== =0

( )3

..

3

2.

2lqlQM b ==

( )2

2..

48

5lqM lx

−==

( ) ( ) lqV lx..8/3

2−=

=

2

lq ⋅−

0

lq.8

3−

2..48

5lq− 3

. 2lq−

( )↑===2

.,0

lqQRR bzbx

Reakce

Základní zat ěžovací stavy spojitého zatížení

Rax

výpočet nutný zpravax

c ( ) l

xqV

x

l

xqV

xqRV bb

xbz

Px .2

.

2

.

2

2

+=⋅+=⋅+−=

l

xqqx

.=

qx

l.x.q

xRM bzb 6

3

−⋅+−

l.

x.qVV bx 2

2

+=

1º

28

Porovnání pr ůběhů vnit řních sil

a

l

bMb

q2

q

3º-

-

x

2

.lq−8

.lq−2º

2.48

1lq− 6

. 2lq−

l

xqqx

.=

Rax

x

c

qx

l

xqVx .2

. 2

−=

l

xqM x .6

. 3

−=

Rbz

a

l

bMb

q

3º

2º

-

-

x

2

lq ⋅−

0

lq.8

3−

2..48

5lq− 3

. 2lq−

Rax

x

c

l

xqqx

.=

qx

Mx

Vx

1º

1º

l.x.q

VV bx 2

2

+=

l.

x.qx.RMM bzbx 6

3

−+−=M

V

[kNm]

[kN]

M

V

[kNm]

[kN]

29

Spojité zatížení v osové úloze

ba

Rax

l

Výpočet reakcí

Normálová síla

( )→==⇒=−

=∑lnNRNR

F

axax

ix

.0

:0

( ) ( )lxnxnlnxnRN axLx −=+−=+−= ....

n = konst.

N = n.l

( ) lnRN axa .−=−=-

Při působení spojitého osového zatížení se vodorovná reakce určí pomocí výslednice celého spojitého zatížení – plocha zatěžovacího obrazce (obecně integrace, u jednoduchých obrazců elementární vzorce geometrie). Obdobně se při výpočtu normálové síly určí dílčí výslednice spojitého zatížení vlevo nebo vpravo od uvažovaného průřezu.

x

N

( )lxn −.ln.−[kN]

30

( ) mRV azLx −=−== konst.

b

Rbz

a

l

Posouvající síla

Ohybový moment

( )↓== ml

MRaz

( )↑== ml

MRbz

( ) 0.... =+−=+−= xmxmxmxRM azLx

m = konst.M = m.l

Raz

-

Prostý nosník zatížený momentovým zatížením

M

V

( ) mVV xa −== =0

( ) mVV lxb −== =

m−

x

Reakce 0=axR

Rax

[kNm]

[kN]

31

Výpočet nosníku v prostorové úloze

Staticky určitý nosník v prostoru musí být podepřen nv=6 jednoduchými vnějšími vazbami, které musí být správně uspořádány, aby nevznikl výjimkový případ podepření. Při řešení prostorového nosníku vycházíme z 6-ti podmínek rovnováhy:

a) Konzolasložky reakcí: Rax, Ray, Raz, Mx, My, Mz

b) Nosník na dvou podporáchsložky reakcí: Rax, Ray, Raz, Rbx, Rby, Rbz

0, =∑ sixM 0, =∑ siyM

0=∑ ixF 0=∑ izF0=∑ iyF

0, =∑ sizM

Složky reakcí:

3 silové podmínky rovnováhy:

3 momentové podmínky rovnováhy:

z

Pz

x

y

Pyqz

Px

32

Výpočet nosníku v krutové úloze

Jedna vnější vazba – jediná složka reakce (nv = 1) z podmínky rovnováhy:

xaxaxxx

ix

MMMMM

M

⇒=+−−

=∑0

:0

321

Jediná složka vnitřních sil – kroutící moment T (torze).

Kladný směr při pohledu proti kladnému smyslu osy x se snaží prut otáčet protisměru hodinových ručiček – pravidlo pravé ruky (proti-proti, levotočivé kroucení).

Mxa Mx3 Mx2 Mx1

3213 xxx MMMT −−−=

212 xx MMT −−=

11 xMT −=

a b b

Zatížení nosníku kroutícím momentem Mx (momentem kolem osy x)

Podrobněji v předmětu Pružnost a plasticita

33

Okruhy problém ů k ústní části zkoušky

1. Výpočet vnitřních sil nosníků zatížených spojitým zatížením

2. Řešení trojúhelníkového zatížení nosníku

3. Výpočet nosníku v krutové úloze

4. Výpočet nosníku v prostorové úloze