Zbirka-oktobar-2011

Matematika za ekonomiste Časlav Pejdić, (064) 123 09 10

SADRŽAJSADRŽAJ.................................................................................................................................................................................................................... 1UVOD.......................................................................................................................................................................................................21. DEO RELACIJE I FUNKCIJE............................................................................................................................................................................... 32. DEO ALGEBRA.................................................................................................................................................................................................... 63. DEO NIZOVI I REDOVI.................................................................................................................................................................................... 164. DEO NEPREKIDNOST I DIFERENCIJABILNOST FUNKCIJE.................................................................................................................. 195. DEO LIMESI I IZVODI...................................................................................................................................................................................... 216. DEO OSNOVNE TEOREME DIFERENCIJALNOG RAČUNA..................................................................................................................... 277. DEO GRAFIK FUNKCIJE................................................................................................................................................................................. 298. DEO FUNKCIJE SA DVE PROMENLJIVE..................................................................................................................................................... 339. DEO INTEGRALI............................................................................................................................................................................................... 3810. DEO DIFERENCIJALNE JEDNAČINE......................................................................................................................................................... 4911. DEO VEROVATNOĆA.................................................................................................................................................................................... 5312. DEO FINANSIJSKA MATEMATIKA............................................................................................................................................................ 55REŠENJA.................................................................................................................................................................................................................. 57DODATAK A PODSETNIK................................................................................................................................................................................ 112DODATAK B TABLICA IZVODA...................................................................................................................................................................... 126DODATAK C TABLICA INTEGRALA............................................................................................................................................................... 127

1

UVODZbirka sadrži 575 ispitna zadatka koji su bili na ispitu prethodnih godina i to sa proverenim rešenjima. Rešenja nekih zadataka su detaljna, dok su kod drugih dati samo rezultati.

Zadaci su podeljeni po oblastima i u okviru svake oblasti grupisani po tipu i po težini od lakših ka težim.

Na kraju zbirke nalazi se podsetnik (dodatak A) koji Vam preporučujem da prvo pročitate.

Ova zbirka je nastala kao pomoćno sredstvo studentima koji pohađaju kurs kod autora zbirke, mada može da posluži i ostalima za lakše spremanje ispita.

Prednost ove zbirke je što prvi put na jednom mestu imate teoriju i zadatke i što su ispitni zadaci razvrstani po oblastima, tako da paralelno predavanjima možete postepeno da testirate svoje znanje radeći ispitne zadatke iz oblasti koje ste prešli.

Nadam se da će vam ova zbirka biti od velike pomoći.

Želim Vam puno uspeha na ispitu.

Autor: dipl. ing. Časlav Pejdić

2


1. DEORELACIJE I FUNKCIJEU prvom delu dati su zadaci iz relacija i funkcija.

Zadaci su grupisani tako da najpre dolaze zadaci vezani za ispitivanje osobina relacija, zatim sa operacijama sa relacijama i na kraju zadaci sa funkcijama.

Teorijska pitanja na usmenom:

1. Binarne relacije (1-6)2. Relacija ekvivalencije (1-7)3. Relacija ekvivalencije i relacija poretka (1-8)4. Funkcije (definicija i osnovne osobine) (15-26)5. Osnovne osobine realnih funkcija (15-26)6. Relacije i funkcije (1-6,15-17)

Definicija 1: (Dekartov proizvod)

Neka su data dva neprazna skupa A i B. Dekartov proizvod skupova A i B se definiše kao:

A B = {(x,y) | x A y B}.

Definicija 2: (definicija relacije)

Neka su data dva neprazna skupa A i B. Svaki podskup skupa A B naziva se binarnom relacijom u skupu A B. Skup uređenih parova koji pripadaju relaciji je graf relacije.

Definicija 3: (refleksivnost)

Relacija A2 je refleksivna ako važi: ( x A) x x

Definicija 4: (simetričnost)

Relacija A2 je simetrična ako važi: ( x,y A) (x y y x)

Definicija 5: (antisimetričnost)

Relacija A2 je antisimetrična ako važi: (x,yA)(x y y x x = y)

Definicija 6: (tranzitivnost)

Relacija A2 je tranzitivna ako važi: ( x,y,z A) (x y y z x z)

Definicija 7: (relacija ekvivalencije)

Relacija A2 naziva se relacijom ekvivalencije ako je istovremeno refleksivna, simetrična i tranzitivna. Klasa ekvivalencije za

realan broj a je: { x|x ρ a x∈ A }.Definicija 8: (relacija poretka)

Relacija A2 naziva se relacijom poretka ako je istovremeno refleksivna, antisimetrična i tranzitivna.

Definicija 9: (komplement relacije)

Svakoj binarnoj relaciji ρ⊆A ×B može se pridružiti njen komplement ρ⊆A ×B, tako da važi:

( x,y) (x y x non ρ y).

Definicija 10: (inverzna relacija)

Svakoj binarnoj relaciji A B može se pridružiti njoj inverzna relacija -1 B A, tako da važi: ( x,y) (x -1 y y x)

Definicija 11: (podskup relacija)

Relacija je podskup relacije ( ) ako važi: ( x,y) (x y x y).

3

Definicija 12: (unija relacija)

Unija relacija i ( ) se definiše kao: x y x y x y.

Definicija 13: (presek relacija)

Presek relacija i ( ) se definiše kao: x y x y x y.

Definicija 14: (proizvod relacija)

Proizvod relacija i ( ∘ ) se definiše kao: x ∘ y ( z) x z z y.

Definicija 15: (definicija funkcije)

Binarna relacija f definisana u skupu A B naziva se preslikavanje (funkcija) skupa A u skup B i piše se f : A B, ako su ispunjena dva uslova:1. skup svih prvih komponenata skupa f jednak je skupu A,2. važi implikacija ( x A) (x,y1) f (x,y2) f y1 = y2, tj. jednakost prvih komponenata implicira jednakost drugih komponenata.

Definicija 16: (domen definisanosti funkcije)

Domen definisanosti funkcije (D) su sve vrednosti nezavisne promenljive (x) za koje funkcija postoji.

Definicija 17: (skup vrednosti funkcije)

Skup vrednosti funkcije (V) je skup svih vrednosti koje funkcija može da ima na domenu D.

Definicija 18: (sirjektivnost)

Ako je preslikavanje f : A B takvo da je skup svih vrednosti funkcije V jednak skupu B, tada se kaže da je f sirjektivno preslikavanje, ili se još kaže da f preslikava skup A na skup B.

Definicija 19: (injektivnost)

Preslikavanje f : A B je injektivno ako i samo ako se različiti elementi skupa A preslikavaju u različite elemente skupa B, tj. važi implikacija: ( x1,x2 A) x1 x2 f(x1) f(x2), odnosno (x1,x2 A) f(x1) = f(x2) x1 = x2.

Definicija 20: (bijektivnost)

Preslikavanje f : A B je bijektivno ako i samo ako je sirjektivno i injektivno, tj. važi implikacija:

( x1,x2 A) f(x1) = f(x2) x1 = x2.

Definicija 21: (inverzna funkcija)

Ako je preslikavanje f : A B bijektivno, tada se inverzno preslikavanje f -1 preslikavanja f definiše na sledeći način: f -1 : B A, f -1(f(x)) = x, tj. slika svakog elementa f(x) iz skupa B je elemenat x iz skupa A.

Definicija 22: (proizvod funkcija)

Pod proizvodom preslikavanja f : AB i g : BC podrazumeva se preslikavanje h : AC određeno sa:

( x A) h(x) = g(f(x)). Ovo preslikavanje označavamo sa h = g f.

Definicija 23: (ograničenost funkcije)

Funkcija y = f(x) je ograničena u oblasti definisanosti D ako postoji pozitivan broj K takav da je:

( x D) |f(x)| < K.

Definicija 24: (monotonost funkcije)

Funkcija y = f(x) je monotono rastuća u oblasti definisanosti D, ako važi implikacija: (x1,x2 D) (x2 > x1 f(x2) > f(x1)), a monotono opadajuća u oblasti definisanosti D, ako važi implikacija: (x1,x2 D) (x2 > x1 f(x2) < f(x1)).

Definicija 25: (parnost funkcije)

Funkcija y = f(x), definisana na segmentu [-a,a], je parna ako je: (x [-a,a]) f(-x) = f(x), a neparna je ako je: (x [-a,a]) f(-x) = -f(x).

Definicija 26: (periodičnost funkcije)

Funkcija y = f(x), definisana u oblasti D, je periodična ako postoji realan broj a 0, takav da je: ( x D) f(x + a) = f(x).

1. Koje od osobina (R,S,AS,T) ima relacija ρ={(1,1 ) , (1,2 ) , (2,2 ) , (3,1 ) , (3,2 ) ,(3,3) } na skupu {1,2,3 } .

4


2. Ispitati da li je relacija definisana kao x y xn - yn ≥ 0 relacija poretka na skupu R realnih brojeva:a) za n = 3b) za n = 4

3. Ispitati da li je relacija definisana kao x y akko(def) (k) y = kx jedna relacija poretka:a) na skupu prirodnih brojevab) na skupu celih brojeva.

4. Ispitati da li je relacija definisana kao x y xy ≤ y2 relacija poretka na skupu:a) N prirodnih brojevab) Z celih brojeva

5. Pokazati da je binarna relacija zadata kao: x ρ y❑⇔x ( y2+1 )≤ y ( x2+1), jedno uređenje skupa (1 ,∞), ali ne i skupa

R.

6. Ispitati da li je relacija definisana uslovom: x ρ y akko (¿ ) x2+ 1x2= y2+ 1

y2 na skupu (−∞,0 )∪(0 ,∞) relacija

ekvivalencije. Ukoliko jeste, odrediti klasu ekvivalencije broja 3.

7. Ispitati da li je relacija definisana kao: x ρ y akko (¿ ) (x2− y2 ) ( xy−1 )=0, jedna relacija ekvivalencije na skupu

realnih brojeva. Ukoliko jeste, odrediti klase ekvivalencije [0], [1] i [2].

8. Ispitati da li je relacija definisana kao: x ρ y akko (¿ ) (x2− y2 ) (x2 y2−1 )=0 , jedna relacija ekvivalencije na skupu

realnih brojeva. Ukoliko jeste, odrediti klase ekvivalencije [0], [1] i [2].9. Da li je sledeća relacija, relacija ekvivalencije: x y x2y+x = xy2+y.

Ako jeste, odrediti klasu ekvivalencije broja 7 i 17

.

10. Ispitati da li je relacija ρ definisana na skupu beskonačno malih veličina u okolini neke tačke

a(∈R ), kao f ( x ) ρ g ( x )↔ lim ¿ x→a f (x)g( x)

=1, jedna relacija ekvivalencije.

11. Odrediti sve moguće relacije ekvivalencije nad četvoročlanim skupom S= {1,2,3,4 }. Koliko ih ukupno ima?

12. Da li iz tranzitivnosti relacija i sledi tranzitivnost relacije ? (Pokazati)13. Ispitati da li je -1 A2, relacija ekvivalencije na skupu A, ako je relacija A2 refleksivna i tranzitivna na skupu A.

14. Ispitati da li su funkcije f ( x )=x2 i g ( x )=x3 bijekcije.

15. Ispitati da li su funkcije f ( x )=x2+x+1 i g ( x )=x3+1 bijekcije.

16. Ispitati da li je funkcija f ( x )=2x+1+|x−1| bijekcija.

17. Ispitati monotonost i konveksnost funkcije f ( x )=x2+1, koristeći definiciju.

5

2. DEO ALGEBRAU drugom delu dati su zadaci iz algebre.

Zadaci su grupisani tako da najpre dolaze zadaci iz matrica: komutativne matrice, inverzna matrica, matrične jednačine i rang matrice, dok su na kraju dati sistemi koji se rešavaju primenom Gausovog metoda, Kramerovih pravila, Kroneker-Kapelijevom teoremom ili matričnim metodom.


1. Inverzna matrica (def. 5,6,7)2. Rang matrice (def. 7,8,9,10 i teoreme 3 i 4)3. Linearna zavisnost vrsta(kolona) matrice i rang matrice (def. 7,8,9,10 i teoreme 3 i 4)4. Kroneker-Kapelijeva teorema (Teoreme 5 i 6 i definicija 11)5. Teorema o bazisnom minoru (def. 10 i teorema 3)6. Matrični metod (pogledati u knjizi)7. Matrice (definicija i osnovne osobine) (def. 1)

Definicija 1: (matrice)

Matrica tipa m n je šema oblika

A=( a11 ⋯ a1n

⋮ ⋱ ⋮am1 ⋯ amn

) (a ij∈R ;i=1,2 ,…m; j=1,2 ,…,n ).

Matrica A označava se kraće i na ovaj način A = ||aij|| mn

Ako je m = n matrica se naziva kvadratna, u suprotnom matrica se naziva pravougaonom. Elementi ak1, ak2,…, akn, čine k-tu vrstu matrice A. Elementi a1l, a2l,…, aml čine l-tu kolonu matrice A. Niz elemenata a11,a22,…,ann kvadratne matrice n n nazivamo glavnom dijagonalom te matrice.Dve matrice su jednake akko su istog tipa i ako su im odgovarajući elementi međusobno jednaki, tj. A = B aij = bij (i = 1,2,…,m;j = 1,2,…,n)1) Zbir matrica A i B istog tipa je matrica C za koju je: cij = aij + bij (i = 1,2,…,m;j = 1,2,…,n)2) Proizvod skalara i matrice A je matrica C za koju je: cij = aij (i = 1,2,…,m;j = 1,2,…,n)3) Proizvod AB matrice A = ||aij||mn i matrice B = ||bij||np je matrica

C = ||cij||mp za koju je: c ij=∑

k=1

n

aik bkj ( i=1,2 ,. . .,m ; j=1,2 , .. . , p )

Proizvod matrica definisan je samo ako je broj kolona matrice A jednak broju vrsta matrice B.Komutativni zakon za množenje matrica u opštem slučaju ne važi, tj. AB BA.Množenje matrica je asocijativna operacija, tj. (AB) C = A (BC).Množenje matrica je distributivna operacija u odnosu na sabiranje matrica, tj. (A + B) C = AC + BC.

4) Transponovana matrica matrice A=‖a ij‖mx n je matrica A'=‖aij '‖n x mza koju je:

a ij'=a ji(i=1,2 ,…,n ; j=1,2 ,…,m)

Matrica A’ se dobije kada se vrste matrice A uzmu za kolone matrice A’.Neke specijalne matrice:1) Matrica O, čiji su svi elementi jednaki nuli, zove se nula matrica.2) Kvadratna matrica I, čiji su svi elementi van glavne dijagonale jednaki nuli, a elementi glavne dijagonale jednaki 1, zove se jedinična matrica. 3) Matrica A kod koje je A’ = A, zove se simetrična.4) Matrica A kod koje je A’ = -A , zove se antisimetrična.5) Matrica A kod koje je AA’ = I, zove se ortogonalna.6) Matrice A i B su komutativne ukoliko važi AB = BA.

6


Definicija 2: (determinante)

Neka je A kvadratna matrica (a11 ⋯ a1n

⋮ ⋱ ⋮an1 ⋯ ann

),tada broj det A=∑ (−1)P (k1 , k2 ,… kn)a1k1

a2k2...an kn

¿) ∈n! ,

gde smo sa n! označili skup svih permutacija niza (1,2,…,n), a sa p(k1,k2,…,kn) parnost permutacije (k1,k2,…,kn) niza (1,2,…,n), nazivamo determinantom matrice A.

Determinantu matrice A označavaćemo sa detA ili |a11 a12 ⋯ a1n

a21 a22 ⋯ a2n

⋮an1

⋮an2

⋱⋯

⋮ann|.

Neposrednom primenom definicije dobijamo formule za izračunavanje determinanata prvog, drugog i trećeg reda:

det (a11 )=a11

det (a11 a12

a21 a22)=a11 a22−a12a21

det (a11 a12 a13

a21 a22 a23

a31 a32 a33)=a11a22 a33+a12a23a31+a13a21a32−a11a23 a32−a12 a21 a33−a13 a22 a31.

Determinante trećeg (i samo trećeg reda) se praktično najčešće računaju po Sarusovom pravilu, koje se može lako zapamtiti u sledećem obliku:determinanti dopišemo prvu i drugu kolonu ¿ i pravimo proizvode po dijagonalama, ne menjajući znak proizvodu sa glavne dijagonale i njemu paralelnim trojkama, a menjajući znak proizvodu sa sporedne dijagonale i njemu paralelnim trojkama. Na kraju napravimo zbir svih ovih proizvoda što će biti tražena vrednost determinante.

Neke osobine determinanata:1) Ako su elementi jedne vrste (kolone) proporcionalni elementima druge vrste (kolone), determinanta je jednaka nuli.2) Zajednički činilac jedne vrste (kolone) može da se izdvoji ispred determinante.3) Vrednost determinante se neće promeniti ako se elementima jedne vrste (kolone) dodaju odgovarajući elementi druge vrste (kolone), pomnoženi istim brojem. 4) det (AB) = det (A) det (B)

Definicija 3: (algebarski komplement)

Ako izostavimo i-tu vrstu i j-tu kolonu (i,j = 1,…,n) jedne kvadratne matrice tipa n n, dobijamo jednu novu matricu tipa (n-1) (n-1). Determinantu na ovaj način dobijene matrice označavamo sa Mij i nazivamo minorom elementa aij. Algebarski komplement elementa aij, u oznaci Aij, biće Aij = (-1)i+j Mij.

Teorema 1: (teorema o razvijanju determinante)

Za svaki i (i=1,2,…,n)

|a11 a12 ⋯ a1n

a21 a22 ⋯ a2n

⋮an1

⋮an2

⋱⋯

⋮ann|=ai1 A i1+ai2 Ai2+…+a¿ A¿=a1 i A1 i+a2 i A2i+…+a¿ A¿.

Definicija 4: (regularna matrica)

7

Za kvadratnu matricu A kažemo da je regularna akko je det A 0, a kada je det A = 0, onda matricu nazivamo singularnom.

Definicija 5: (inverzna matrica)

Kvadratnu matricu X tipa n n nazivamo inverznom matricom matrice A tipa n n akko je AX = XA = I. Inverznu matricu matrice A označavamo sa A-1.

Definicija 6: (adjungovana matrica)

Matrica adj A koja se dobija kada se elementi matrice zamene njihovim algebarskim komplementima, pa se zatim takva matrica transponuje, zove se adjungovana matrica matrice A.

Teorema 2: (teorema o inverznoj matrici)

Kvadratna matrica A ima inverznu matricu akko je matrica A regularna. Ako je A regularna matrica, onda je

A−1= 1detA

∙adjA .

Definicija 7: (rang matrice)

Neka je data matrica A tipa m n. Ako postoji regularna podmatrica tipa k k matrice A i svaka podmatrica tipa i i, za i > k, ako takvih ima, je singularna, onda kažemo da je rang matrice A jednak broju k, što označavamo sa rang A = k (ili r(A) = k).

Definicija 8: (elementarne transformacije matrica)

Elementarne transformacije matrica su:a) Razmena dve vrste (kolone)b) Množenje elemenata jedne vrste (kolone) nekim brojem koji je različit od nulec) Dodavanje elementima jedne vrste (kolone) odgovarajućih elemenata druge vrste (kolone) pomnoženih proizvoljnim brojem.

Definicija 9: (ekvivalentne matrice)

Matrica A je ekvivalentna matrici B, u oznaci A B, ako se od matrice A može preći na matricu B primenom konačno mnogo elementarnih transformacija.

Definicija 10: (bazisni minor)

Ako je r rang neke matrice A, onda determinantu svake njene regularne podmatrice tipa r r nazivamo bazisnim minorom matrice A.

Teorema 3: (teorema o bazisnom minoru)

Ako je r rang neke matrice, onda postoji r linearno nezavisnih vrsta, odnosno kolona te matrice, takvih da se svaka druga vrsta, odnosno kolona te matrice može izraziti kao njihova linearna kombinacija.

Teorema 4:

Ako je A ~ B, onda je rang A = rang B.

Teorema 5: (Kroneker-Kapelijeva teorema)

Neka je dat sistem S od ukupno m linearnih jednačina sa n nepoznatih.

a11 x1+a12 x2+⋯+a1 n xn=b1

a21 x1+a22 x2+⋯+a2 n xn=b2

⋮am1 x1+am2 x2+⋯amn xn=bm

} S

Matrica sistema S je matrica

A=(a11 a12 ⋯ a1 n

a21 a22 ⋯ a2 n

⋮ ⋮ ⋮am1 am2 ⋯ amn

) .

8


Proširena matrica sistema je matrica

Ap=(a11

a21

⋮am1

a12

a22

⋮am2

⋯⋯

⋯

a1n

a2n

⋮amn

b1

b2

⋮bm)

1) Sistem S je saglasan i ima jedinstveno rešenje akko r(A) = r(Ap) = n.2) Sistem S je saglasan i ima beskonačno mnogo rešenja akko r(A) = r(Ap) < n.3) Sistem S je protivrečan (nema rešenja) akko r(A) r(Ap)

Ukoliko je slučaj 1) a matrica A je kvadratna rešenje tražimo primenom Kramerovih formula na sledeći način: ako je = det A i ako sa i = det Ai označimo determinantu matrice Ai, koja se od matrice A razlikuje po tome što su elementi i-te kolone

zamenjeni elementima b1,b2,…,bn, rešenja nalazimo iz kramerovih formula: x1=

Δ1

Δ,x2=

Δ2

Δ,⋯, xn=

Δn

ΔDefinicija 11: (homogen sistem)

Sistem S je homogen ukoliko je b1 = b2 = … = bm = 0

Teorema 6:

Ukoliko je sistem S homogen, tada važi:1) Sistem S je saglasan i ima jedinstveno rešenje (x,y,z) = (0,0,0) ako je rang A = n.

2) Sistem S je saglasan i ima beskonačno mnogo rešenja ako je rang A < n.

18. Naći sve matrice koje su komutativne sa matricom A=(1 03 1) .

19. Naći sve matrice koje su komutativne sa matricom A=(1 20 2) .

20. Izračunati vrednost determinante: |2 13 0

2 −11 0

0 15 2

1 44 3

| .

21. Odrediti inverznu matricu matrice A=(1 2 10 1 20 2 3) .

22. Naći inverznu matricu matrice: A=(1 2 30 1 20 0 1) .

23. Odrediti A−1, ako je A=(3 −4 52 −3 13 −5 −1).

24. Pokazati da za bilo koje regularne matrice A i B važi: ( AB )−1=B−1 A−1 .

25. Rešiti matričnu jednačinu: AX = X + A, gde je A=( 2 1 00 2 1−1 −1 2) .

9

26. Rešiti matričnu jednačinu: XA = X + A , gde je A=(−2 1 00 −2 1−1 −1 −2) .

27. Rešiti matričnu jednačinu: XA=AB, ako je A=(1 3 00 2 11 0 −1) i B=( 28 40 −7

−9 −11 327 22 −15) .

28. Rešiti matričnu jednačinu AX=B ako je: A=(2 1 −13 0 −10 −2 1 ) i B=(−1 0 −1

−3 −1 −2−1 0 1 ) .

29. Rešiti diferencijalnu jednačinu XA=B, ako je: A=( 4 3 51 1 2−1 0 −1) i B=(−1 1 0

11 13 18) .

30. Odrediti rang matrice A u zavisnosti od parametra a, ako je: A=( 1 −1 22 −2 3−1 1 a) .

31. Odrediti rang matrice: (1 12 1

1 12 1

3 22 2

3 22 a

) u zavisnosti od parametra a.


1 12 1

3 22 2

3 2−2 a


33. Odrediti rang matrice: (1 a2 −1

1 1−a 3

1 −8−2 16

0 00 0


34. Naći rang matrice: (1 22 3

0 32 a

4 73 5

2 72 4

), gde je a parametar.


3 43 1

3 35 4

6 59 a


36. Naći rang matrice:( 1 a 7 12 −1 −3 35 −1 a 7 )

u zavisnosti od parametra a.

10


37. Odrediti rang matrice A=(1 33 −1

−2 04 2

4 27 1

2 a6 4


38. Odrediti broj linearno nezavisnih vrsta matrice A=( 3 2 1 2−1 2 2 14 8 6 6 ) .

39. Odrediti bar 2 bazisna minora sistema jednačina:x + 2y – z = 8-2x – 4y + 2z = -16-x + 2y – z = -8 .

40. Koristeći matrični metod rešiti sistem jednačina:x + 2y – z = 8-2x – 4y + 2z = -16-x + 2y – z = -8 .

41. Gausovim metodom rešiti sistem jednačina: x + 2y - z = 8-2x - 4y + 3z = 6 x + 2y - 2z = 0 .

42. Rešiti sistem jednačina:x + 2y + 3z + 4u = 52x + 2y - z + 2u = 63x + 2y - 5z = 7.

43. Rešiti sistem linearnih jednačina:x + y = 33x - y + 2z = 15x + y + 4z = 1.

44. Diskutovati rešenja sistema linearnih jednačina:x + y - z = 0x - 2y -2z = 02x - y + az = 0u zavisnosti od parametra a.

45. Rešiti i diskutovati sistem jednačina:x + 3y - 4z = 04x - 3y + 4z = 0x + 6y + az = 0gde je a parametar.

46. Diskutovati rešenja homogenog sistema linearnih jednačina:x - 2y + z = 02x + y - 2z = 03x - y + kz = 0u zavisnosti od parametra k.

47. Diskutovati rešenja sistema linearnih jednačina:x + y - z = 02x - 2y - 2z = 03x - y + az = 0u zavisnosti od parametra a.

48. Rešiti i diskutovati sistem jednačina:x - y + z = 02x + y + 2z = 0

11

4x - y + az = 0gde je a parametar.

49. Diskutovati rešenja sistema linearnih jednačina:x + 2y + 3z = 0-2x - 3y - 2z = 0kx - y + z = 0u zavisnosti od parametra k.

50. Rešiti i diskutovati sistem jednačina:x + y - z = 03x + y + z = 05x + 3y +az = 0gde je a parametar.

51. Rešiti i diskutovati sistem jednačina:x - y + z = 03x - y + z = 05x - 3y + az = 0gde je a parametar.

52. Diskutovati rešenja sistema linearnih jednačina:x + 2y + z = 05x + 9y + 4z = 03x + 5y + 2az = 0u zavisnosti od parametra a.

53. Rešiti i diskutovati sistem jednačina:x + 2y - 3z = 03x + 5y + 2z = 05x + 9y + az = 0gde je a parametar.

54. Rešiti i diskutovati sistem jednačina:x + y + z = 04x - 3y + 2z = 06x - y + az = 0gde je a parametar.

55. Rešiti i diskutovati sistem jednačina:x + 2y + 3z = 04x + 5y + 6z = 07x + 8y + az = 0gde je a parametar.

56. Rešiti sitem jednačina:2x - y + z = 03x + 2y + z = 08x + 3y + az = 0gde je a parametar.

57. Rešiti i diskutovati sistem jednačina:x - y + z = 0x - ay + z = 0x + y - az = 0gde je a parametar.

58. Diskutovati rešenja sistema linearnih jednačina:2x + y + z = 0x + 2y + kz = 0kx + 3y + 4z = 0u zavisnosti od parametra k.

59. Diskutovati rešenja sistema linearnih jednačina:x + ay + 2z = 0

12


x + (2a - 1)y + 3z = 0x + ay + (a + 3)z = 0u zavisnosti od parametra a.

60. Diskutovati rešenja sistema linearnih jednačina:-x + ay +z = 0ax -y - z = 03x - 3y -az = 0u zavisnosti od parametra a.

61. Diskutovati rešenja sistema linearnih jednačina:kx + 5y + 13z = 0-x + 7y + 5z = 02x + 6y + (k+6)z = 0u zavisnosti od realnog parametra k.

62. Diskutovati rešenja sistema linearnih jednačina: x - y - 2z = 03x + 2y - z = 04x + y - 3z = 02x + 3y + az = 0

63. Koristeći Kroneker-Kapelijevu teoremu diskutovati rešenja sistema linearnih jednačina: x + y + (4-a)z = 0(a-1)x + y + 2z = 0 x + y + z = 0u zavisnosti od vrednosti realnog parametra a.

64. Diskutovati rešenja sistema linearnih jedačina:ax + (a-3)y + z = 0-x + ay – z = 0ax – 4y + az = 0u zavisnosti od realnog parametra a.

65. Rešiti i diskutovati sistem jednačina:x - 3y - z = 02x - y + z = 03x + 2y + az = 1gde je a parametar.

66. Rešiti i diskutovati sistem jednačina:x - y + z = 02x + y + z = 04x - y + az = 1gde je a parametar.

67. Rešiti i diskutovati sistem jednačina:x - y + z = 02x + 3y +2z = 04x + y + az = 1gde je a parametar.

68. Rešiti i diskutovati sistem jednačina:2x - 4y + z = 04x + y + 2z = 06x + 5y + az = 2gde je a parametar.

69. Diskutovati rešenja sistema linearnih jednačina:kx + 5y + 13z = 0-x + 7y + 5z = 02x + 6y + (k+6 )z = 2u zavisnosti od realnog parametra k.

13

70. Rešiti i diskutovati sistem jednačina:x + y - z = 03x + 2y + 3z = 04x + 3y + az = 4gde je a parametar.

71. Diskutovati i rešiti sistem linearnih jednačina:x + 2y + 2z = 12x + 3y + z = 0ax + y - z = 1u zavisnosti od parametra a.

72. Zavisno od vrednosti realnog parametra a diskutovati i rešiti sistem linearnih algebarskih jednačina:2x + y = 0-x + y + 2z = 1ax + 2ay + 2z = 1.

73. Gausovim metodom rešiti sistem jednačina:x + 2y - z = 8-2x - 4y + 3z = 6x + 2y - 2z = 0.

74. Rešiti i diskutovati sistem jednačina:x - y + z = 02x + 2y + z = 103x + y + az = 10gde je a parametar.

75. Diskutovati i rešiti sistem jednačina:x + y + z = 1x + ay + z = 1x + y + az = 1gde je a parametar.

76. Diskutovati rešenja sistema linearnih jednačina:-x +y + z = -12x - y - z = 23x - 2y + az = 3u zavisnosti od parametra a.

77. Diskutovati rešenja sistema linearnih jednačina: x + 2y - az = 1ax + 2y – z = 2 x + z = 3

78. Zavisno od vrednosti realnog parametra a diskutovati i rešiti sistem linearnih algebarskih jednačina:3x - 2y + 3z = 2ax + (a-7)y + z = 82x + y - z = 3.

79. Zavisno od vrednosti realnog parametra a diskutovati i rešiti sistem linearnih algebarskih jednačina:2x – 2y + 3z = 2ax + (a-4)y + z = 43x + 2y – z = 1.

80. Zavisno od vrednosti realnog parametra a diskutovati i rešiti sistem jednačina:3x + 2y - 2z = 28x + ay -3z = 2a 2x + y + z = 1.

81. Diskutovati rešenja sistema linearnih jednačina:x + y - z = 1

14


2x - 2y + 3z = 33x - y + kz = 4u zavisnosti od parametra k.

82. Diskutovati rešenja sistema linearnih jednačina:x - 2y - 4z = 12x + y + 2z = 33x + ay - 2z = 4u zavisnosti od parametra a.

83. Rešiti sistem jednačina i diskutovati:3x - y + 2z = 1x + y + z = 35x + y + az = 7gde je a parametar.

84. Diskutovati rešenja sistema linearnih jednačina:x + 4y + 5z = 12x + 3y + 4z = 4x + ky - 2z = 5u zavisnosti od parametra k.

85. Rešiti i diskutovati sistem jednačina:x - 2y + 3z = -42x + 5y + az = 7x + y + z = 1gde je a parametar.

86. Zavisno od vrednosti realnog parametra a diskutovati i rešiti sistem linearnih algebarskih jednačina:ax + y + z = 3x + ay + 2z = 4x + y + z = 3 .

87. Zavisno od vrednosti realnog parametra a diskutovati i rešiti sistem linearnih algebarskih jednačina:2ax - y + 3z = 43ax - 2y + 2z = 3a7ax - 4y + 8z = 11.

88. Zavisno od vrednosti realnog parametra a diskutovati i rešiti sistem linearnih algebarskih jednačina:x - y + z = 7x + y - z = 72x + (a-1)y + (a-1)z = 14a.

89. Zavisno od vrednosti realnog parametra a diskutovati i rešiti sistem linearnih algebarskih jednačina:ax + y + z = 1x + ay + z = ax + y + az = a2 .

90. Rešiti i diskutovati sistem jednačina:x + y - z = 02x + ay + z = 05x + 3y + az = 1gde je a parametar.

91. Koristeći Kramerovu teoremu diskutovati rešenja sistema linearnih jednačina:3x - 5y + 3z = 12x + y + 6z = 4 x - 6y - 3z = a.

92. Odrediti parametar a tako da sistem ima rešenje:2x - y + z + u = 1x + 2y - z + 4u = 2x + 7y - 4z + 11u = a.

15

93. Diskutovati i rešiti sistem linearnih jednačina:3x - 2y + 5z + 4t = 26x - 4y + 4z + 3t = 39x - 6y + 3z + at = 3u zavisnosti od parametra a.

94. Rešiti sistem linearnih jednačina: x + 2y + 3z + 4t = 12x + 2y – z + 2t = a-43x + ay – 5z = 5 .

95. Zavisno od vrednosti realnog parametra a rešiti i diskutovati sistem:2x - y + 3z = 1-x + 4y + z = 0ax + 3y + 4z = a 7y + 5z = 1.

96. Zavisno od vrednosti realnog parametra a rešiti i diskutovati sistem jednačina:4x - 2y + 3z = 1ax - 4y + 6z = 22x + y - z = 16x - y + 2z = 2.

97. Zavisno od vrednosti realnog parametra a diskutovati i rešiti sistem linearnih jednačina:3x - 2y + 2z = 42x - y - z = 2x + ay + 3z = -2a2x - 2y + 6z = 4.

98. Ako je abc 0, zavisno od ostalih vrednosti parametara a,b i c diskutovati i rešiti sistem linearnih algebarskih jednačina:ay + bx = ccx + az = bbz + cy = a.

99. Rešiti i diskutovati sistem jednačina:x + 2y - z = 12x + 4y + az = 0gde je a parametar.

16


3. DEO NIZOVI I REDOVIU trećem delu upoznaćete se sa nizovima i redovima.

Najpre su dati zadaci vezani za nizove, a zatim zadaci u kojima se ispituje konvergencija redova i to grupisani po kriterijumima tako da najpre dolaze zadaci u kojima se primenjuje Opšti Košijev kriterijum konvergencije, zatim kriterijum za redove sa pozitivnim članovima, pa Košijev kriterijum konvergencije i na kraju Dalamberov kriterijum konvergencije


1. Osobine nizova: monotonost, ograničenost, Bolcano-Vajerštrasova teorema2. Lema o dva policajca u teoriji nizova i u teoriji realnih funkcija jednog argumenta3. Uređeno polje realnih brojeva4. Konvergencija redova sa pozitivnim članovima5. Košijev i Dalamberov kriterijum konvergencije redova6. Dalamberov kriterijum konvergencije redova7. Opšti Košijev kriterijum konvergencije redova

Definicija 1: (monotonost niza)

Niz {an } je monotono rastući ako važi: (∀n∈N ) an+1−an>0, a monotono opadajući ako važi: (∀ n∈N )an+1−an<0.

Definicija 2: (ograni čenost niza)

Niz {an } je ograničen ako važi: (∀ n∈N ) (∃a∈R )|an|≤a.

Teorema 1: (konvergencija niza)

Ograničen i monoton niz je konvergentan.

Teorema 2: Ukoliko je niz konvergentan ima tačno jednu tačku nagomilavanja.

Definicija 3: (definicija reda)

Neka je dat beskonačan niz {un} realnih brojeva, tada se izraz

u1+u2+⋯+un+⋯=∑n=1

∞

un,

naziva beskonačnim brojnim redom, gde su u1,u2,u3,… članovi toga reda, a un njegov opšti član. Svi članovi reda mogu se dobiti iz njegovog opšteg člana un tako što indeksu n dajemo redom vrednosti 1,2,… Indeks n ne mora teći od n = 1 već od bilo kog broja n = n0.

Definicija 4: (konvergentni redovi)

Ako od članova reda u1 + u2 + u3 + … formiramo niz s1,s2,s3,…gde jes1 = u1

s2 = u1 + u2

...sn = u1 + u2 + … + un

…

tada se niz {sn} naziva nizom delimičnih suma reda

∑n=1

∞

un. Za brojni red

∑n=1

∞

unkaže se da je konvergentan, ako njegov niz

delimičnih suma {sn} teži konačnoj graničnoj vrednosti S, tj. ako postoji limn→∞

sn=S i S se naziva zbirom (sumom) tog reda.

Ako pak ne postoji limn→∞

sn tada se kaže da red divergira.

17

Ako niz delimičnih suma {sn} reda

∑n=1

∞

un, monotono raste i ako je ograničen tada red konvergira.

Da bi red

∑n=1

∞

unkonvergirao potrebno je da opšti član un 0, kada

n . Međutim, ovo nije i dovoljan uslov.

Ako opšti član reda

∑n=1

∞

unne teži nuli kada n , tada red divergira.

Teorema 3: (opšti Košijev kriterijum konvergencije)

Da bi red

∑n=1

∞

unbio konvergentan potrebno je i dovoljno da svakom

> 0 (te prema tome i proizvoljno malom > 0 ) odgovara ceo pozitivan broj N(), takav da je |sn+p-sn| = |un+1 + un+2 + … + un+p| < za svako n > N() i svaki prirodan broj p.

Teorema 4: (redovi sa pozitivnim članovima)

Redovi sa pozitivnim članovima su redovi čiji su svi članovi pozitivni, tj. un > 0, za svako n.1) Red sa pozitivnim članovima biće konvergentan, ako je njegov niz delimičnih suma {sn} ograničen za svako n, odnosno ako je sn M za svako n (M je pozitivan konačan broj).

2) Ako članovi redova

∑n=1

∞

uni

∑n=1

∞

vnpočev od izvesnog ranga n zadovoljavaju uslov, un vn. Tada iz:

a) konvergencije reda

∑n=1

∞

vnsledi konvergencija reda

∑n=1

∞

un.

b) divregencije rede

∑n=1

∞

unsledi divergencija reda

∑n=1

∞

vn.

3) Ako članovi reda

∑n=1

∞

uni

∑n=1

∞

vnzadovoLJavaju relaciju:

limn→∞

un

vn=k (k≠0 , k≠±∞)

, tada su oba reda konvergentna ili oba reda divergentna.

Teorema 5: (Košijev kriterijum konvergencije)

Ako je dat red sa pozitivnim članovima

∑n=1

∞

uni ako za n postoji

limn→∞

n√un=k , tada za k < 1 dati red je konvergentan, a

za k > 1 je divergentan. Za k = 1 pitanje konvergencije pomoću ovog kriterijuma se ne može utvrditi.

Teorema 6: (Dalamberov kriterijum konvergencije)

Ako je dat red sa pozitivnim članovima

∑n=1

∞

uni ako za n postoji

limn→∞

un+1

un=k ,

tada za k < 1 dati red je konvergentan, a za k > 1 je divergentan. Za k = 1 pitanje konvergencije pomoću ovog kriterijuma se ne može utvrditi.

100.Odrediti

inf {1n|n∈N }.

101.Izračunati:.

limn→∞ (12 + 1

22+123+⋯+

12n )

.

18


102.Koristeći Lemu o 2 policajca odrediti graničnu vrednost niza:

an=n

n2+1+ nn2+2

+. ..+ nn2+n .

103.Dokazati da niz {en}, definisan sa

e1=2, en+1=en+1

(n+1 )!(n∈N )

ima tačno jednu tačku nagomilavanja.104. Ispitati konvergenciju harmonijskog i hiperharmonijskog reda.105. Ispitati konvergenciju redova:

a) ∑n=1

∞ 1n2

b) ∑n=1

∞ 1n3

106.Ispitati konvergenciju redova:

a) ∑n=1

∞ 1n

b) ∑n=1

∞ 1√n

107. Ispitati konvergenciju reda ∑n=1

∞ n+1n

.

108. Ispitati konvergenciju reda:

∑n=1

∞ 1√n(n+1) .

109. Ispitati konvergenciju reda: ∑n=1

∞ nn2+1 .

110. Ispitati konvergenciju reda:

∑n=1

∞n (e

1n−1)

2

.


∞

n(e1n2−1) .


∞ln( n+1

n ) .


+∞ ln(1+ 1n )

n√n .

114. Ispitati konvergenciju reda: .


∞ 3n−15n

.


∞ n!nn

.


∞ 5nn !nn

.

19

4. DEO NEPREKIDNOST I DIFERENCIJABILNOST FUNKCIJEU četvrtom delu upoznaćete se sa zadacima u kojima se ispituje neprekidnost i diferencijabilnost funkcije.

Ispitni zadaci su grupisani po težini od lakših ka težim.


1. Beskonačno male i beskonačno velike veličine2. Neprekidnost funkcije3. Neprekidne funkcije (definicija i osnovne osobine)4. Diferencijabilnost funkcije realne promenljive5. Neprekidnost i diferencijabilnost realnih funkcija

Definicija 1: (neprekidnost funkcije)

Za funkciju y = f(x) kaže se da je neprekidna u tački x0 ako je ispunjen uslov: limx→x 0

f ( x )=f ( x0).

Iz ove definicije sledi:a) da funkcija y = f(x) postoji u tački x = x0, tj. da je ta funkcija definisana u tački x = x0,

b) da postoji granična vrednost funkcije y = f(x), kada x x0, tj postoji limx→x 0

f ( x ) .

c) da je ta granična vrednost jednaka vrednosti funkcije u tački

x = x0, tj. da je limx→x 0

f ( x )=f ( x0).

Ovoj definiciji ekvivalentni su iskazi:1’) Za proizvoLJan broj > 0 postoji broj > 0, takav da važi implikacija: ( x) (|x – x0| < |f(x) – f(x0)| < ), ili1’’) Važi implikacija: h 0 y0 = f(x0 + h) – f(x0) 0, tj. priraštaj funkcije y = f(x) u tački x0, teži nuli ( y0 0) kada priraštaj argumenta teži nuli (h 0).

Za funkciju y = f(x) kaže se da je u tački x = x0 neprekidna sa leva ako je

limx→x 0

−f ( x )=f ( x0) ,

a neprekidna sa desna, ako je limx→x 0

+f ( x )= f ( x0) .

Potreban i dovoljan uslov da funkcija y = f(x) u tački x = x0 bude neprekidna je da je u toj tački neprekidna sa leva i desna.

Za funkciju y = f(x) kaže se da je neprekidna u intervalu (a,b) ako je neprekidna u svakoj tački tog intervala.

Za funkciju y = f(x) kaže se da je neprekidna na segmentu [a,b] ako je neprekidna u intervalu (a,b) a na krajevima intervala u tački a neprekidna je sa desna, a u tački b sa leva.

Definicija 2: (definicija izvoda. Diferencijabilnost)

Neka je funkcija f definisana u nekoj okolini tačke x i h realan broj različit od nule takav da je x + h tačka posmatrane okoline od

x. Tada granična vrednost limh→0

f ( x+h )−f ( x )h

, (1)

ako ista postoji, označavamo sa f’(x) ili

df ( x )dx i nazivamo (prvim) izvodom funkcije f u tački x. Ako je f’(x) konačna vrednost,

onda kažemo i da je funkcija f diferencijabilna u tački x. Potreban i dovoLJan uslov da granična vrednost (1) postoji je da

postoje sledeće dve granične vrednosti limh→ 0+

f ( x+h)−f ( x )h

i limh→0−

f ( x+h)−f ( x )h

,

koje redom označavamo sa f’+(x) i f’-(x) i nazivamo desnim i levim izvodom funkcije f u tački x i da je f’+(x) = f’-(x).Funkcija je diferencijabilna na nekom skupu ako je diferencijabilna u svakoj tački tog skupa. Postupak kojim funkciji pridružujemo njen izvod nazivamo diferenciranjem.

20


118. Ispitati neprekidnost i diferencijabilnost funkcije:y = x-1(x-1) + 1, u tački x = 1.

119. Ispitati neprekidnost i diferencijabilnost funkcije:

f ( x )=√( x−3 )2 ,u tački x = 3.

120. Ispitati diferencijabilnost funkcije: y = x-1+3, u tački x = 1.

121. Ispitati neprekidnost i diferencijabilnost funkcije: f(x) = sin(x), u tački x = .

122. Ispitati neprekidnost i diferencijabilnost funkije:f(x) = sin(x), u tačkama x=kπ , k∈Z .

123. Ispitati neprekidnost i diferencijabilnost funkcije: f ( x )=|x−2|x2+3, u tački x = 2.

124. Ispitati diferencijabilnost funkcije

y=x2|x−1|+2 ,u tački x=1.

125. Ispitati diferencijabilnost sledeće funkcije: f ( x )={ x2, |x|≤12 x−sgn (x ) , |x|>1

.

126. Ispitati neprekidnost funkcije:

f ( x )={|x−2|x−2

x+3 , x ≠2

5 , x=2 .

127. Ispitati neprekidnost funkcije: f ( x )={sin (3 x )2x

, x≠0

23, x=0

.

128. Ispitati diferencijabilnost funkcije: y={2arctg 1x2 , x≠0

π , x=0, u tački x=0.

129. Odrediti A tako da funkcija:

y={ ex2

−11−cosx

, x≠0

A x=0

bude neprekidna za svako x.

130. Ispitati neprekidnost funkcije

y={1−cosx2 x2 , x≠0

f (0 ) , x=0i izračunati f(0) da funkcije bude neprekidna u tački x = 0.

21

5. DEOLIMESI I IZVODIU petom delu upoznaćete se sa limesima i izvodima.

Limesi i izvodi nalaze primenu u većini oblasti ove zbirke kao što su: Redovi, Neprekidnost i Diferencijabilnost, Osnovne teoreme diferencijalnog računa, Grafik funkcije, Ekstremne vrednosti i Nesvojstveni integrali.

Najpre su dati ispitni zadaci iz limesa, a zatim ispitni zadaci iz izvoda.


1. Izvod funkcije (definicija i osnovne osobine)2. Logaritamsko diferenciranje funkcije3. Izvod funkcije date u parametarskom obliku4. Izvod funkcije zadate u implicitnom obliku5. Izvod zbira, proizvoda i količnika funkcije jedne nezavisne promenljive6. Geometrijska interpretacija prvog izvoda7. Diferencijal funkcije jedne promenljive8. Difrencijal funkcije jedne nezavisne promenljive i njegova geometrijska interpretacija9. Tejlorova i Maklorenova formula za realne funkcije jednog argumenta10. Lopitalova teorema

Definicija 1: (definicija granične vrednosti funkcije)

Neka je data funkcija y = f(x) i neka je a tačka nagomilavanja njene oblasti definisanosti D. Za broj A kaže se da je granična vrednost funkcije y=f(x) u tački x = a, ako za proizvoljan broj > 0 postoji

> 0, takav da je |f(x) – A| < kad god je |x – a| < . Ovo se simbolički piše limx→a

f ( x )=A.

Za broj A kaže se da je granična vrednost funkcije y = f(x) definisane na neograničenom intervalu, kada |x| , ako za

proizvoljan broj > 0 postoji broj M > 0, takav da je |f(x) – A| < za svako |x| > M, što pišemo lim|x|→∞

f ( x )=A.

Ako funkcije f(x) i g(x) imaju granične vrednosti kada x a (a može biti i ) tada za granične vrednosti važe sledeći zakoni:

1) limx→ a

( f ( x )±g ( x ))=limx→a

f ( x )±limx→a

g ( x )

2) limx→ a

( f ( x ) g( x ))=limx→a

f (x ) limx→ a

g( x )

3 ) limx→a

f (x )g( x )

=limx→ a

f ( x )

limx→ a

g( x )( limx→a

g( x )≠0 )

Teorema 1: (neki specijalni limesi)

U zadacima se mogu koristiti sledeći poznati rezultati:

limx→0

sin xx

=1 , limx→∞

(1+ 1x)x=e , lim

x→0(1+x )

1x=e , lim

x→0

ax−1x

= ln a .

Definicija 2: (beskonačno male i beskonačno velike veličine)

Za funkciju y = f(x) kaže se da je beskonačno mala u tački x = a

(a može biti i ), ako je limx→a

f ( x )=0 , a beskonačno velika ako je

limx→a

f ( x )=∞.

Neka su (x) i (x) kada x a (x ) beskonačno male i neka je limx→a

α ( x )β( x )

=k. Tada su:

1) za k 0 i k (x) i (x) beskonačno male istog reda,2) za k = 0 (x) je beskonačno mala višeg reda,3) za k = (x) je beskonačno mala višeg reda.

22


Neka su (x) i (x) kada x a (x ) beskonačno velike i neka je limx→a

α( x )β( x )

=k. Tada su:

1) za k 0 i k (x) i (x) beskonačno velike istog reda,2) za k = 0 (x) je beskonačno velika višeg reda,3) za k = (x) je beskonačno velika višeg reda.

Definicija 3: (priraštaj funkcije)

Neka je funkcija y = f(x) definisana u intervalu (a,b) i neka su x0 i x1 dve tačke tog intervala. Priraštaj funkcije y = f(x) u tački (x0,f(x0)) označava se sa y0 i jednak je: y0 = f(x1) – f(x0), ili y0 = f(x0 + x0) – f(x0), gde je x0 = x1 – x0 priraštaj argumenta u tački x0. Umesto oznake x0 u upotrebi je često i oznaka h, pa je priraštaj: y0 = f(x0 + h) – f(x0). Ako tačka x0 nije fiksirana, onda y = f(x + h) – f(x) predstavlja priraštaj funkcije u proizvoljnoj tački.

Tablica izvoda elementarnih funkcija

(const ) '=0 (cos x ) '=−sin x

( xn )'=nxn−1 ( tgx) '=1cos2 x

(ax )'=ax ln a (ctgx )'=−1sin2 x

(ex ) '=ex (arcsin x )'=1√1−x2

( ln x ) '=1x

(arccos x )'=−1√1−x2

(√ x ) '=12√ x

(arctgx ) '=11+x2

(sin x ) '=cos x ( arcctgx ) '=−11+x2

Neka su u i v funkcije a a,b i c konstante. Tada važi:

1) (cu ) '= cu'2) (u±v )'= u'±v'3 ) (au± bv ) '= au'± bv'4 ) (uv )'=u'v+v'u

5 ) (uv )'

=u'v−v'uv2

Definicija 4: (izvod složene funkcije)

Ako funkcija g ima izvod u tački x i funkcija f u tački g(x), onda funkcija h = g f tako|e ima izvod u tački x i h’(x) = (f g)’(x) = f’(g(x))g’(x)

Definicija 5: (izvod funkcije zadate parametarski)

23

Ako su y i x zadati u funkciji parametra t relacijama

y = (t) i x = (t), tada je y x' =

dydtdxdt

=φ' (t )ψ ' (t)

.

Definicija 6: (izvod inverzne funkcije)

Ako funkcija f ima inverznu funkciju g i u tački x konačan i različit od nule izvod, onda funkcija g ima izvod u tački y = f(x) i

g' (x )= 1f ' (g (x ))

.

Definicija 7: (izvod funkcije date u implicitnom obliku)

Ako je funkcija data u implicitnom obliku formulom F(x,y) = 0 i ako F’y(x,y) 0, onda je y x' =

−F x' (x , y)

F y' (x , y )

.

Definicija 8: (diferencijal funkcije)

Ako je priraštaj y funkcije y = f(x) za priraštaj argumenta x moguće izraziti kao y = (x)x + (x)x gde (x) 0, x 0, onda diferencijalom te funkcije nazivamo izraz dy = (x)dx. Potreban i dovoLJan uslov za postojanje diferencijala je diferencijabilnost funkcije. U tom slučaju je dy = f’(x)dx. Tako, u slučaju kada je f diferencijabilna funkcija u tački x, možemo koristiti i sledeću aproksimativnu formulu: f(x + x) – f(x) f’(x) x tj. f(x + x) f(x) + f’(x) x.

Definicija 9: (geometrijska interpretacija izvoda)

Ako je funkcija f diferencijabilna u tački x0, onda će koeficijent pravca tangente t krive y = f(x) u tački M(x0,f(x0)) (vidi sliku) biti tg = f’(x0), a jednačina same tangente glasi y – y0 = f’(x0) (x – x0), gde je y0 = f(x0). Jednačina normale n te krive u tački M(x0,f(x0)) je x – x0 = -f’(x0) (y – y0).

Definicija 10: (izvodi i diferencijali višeg reda. Lajbnicova formula)

Sledeće rekurentne veze definišu izvode i diferencijale višeg reda:y(0) = y d0y = yy(n+1) = (y(n))’ (n 0) dn+1y = d(dny) (n 0)Za funkciju f kažemo da je n-puta diferencijabilna (u tački x) ako postoji konačan k-ti izvod f(k)(x) za svaki k, 0 k n. Ako su u i v n-puta diferencijabilne funkcije i a,b i c konstante. Onda važi:

24


1) (cu )(n )=cu(n )

2) (u±v )(n)=u(n)±v(n)

3 ) ( au±bv )(n)=au(n)±bv(n)

4 ) (uv )(n)=∑i=0

n

(ni ) u(n−i)v( i ) .

Poslednja od navedenih formula je tzv. Lajbnicova formula.

Teorema 2: (Tejlorova i Maklorenova teorema)

Neka je funkcija f n-puta diferencijabilna na segmentu [a,b] i f(n) diferencijabilna na intervalu (a,b). Tada

(∀ x∈[a ,b ] ) (∃θ∈(0,1 )) ( f ( x )=∑i=0

n f ( i)( a)i !

( x−a )i+Rn+1( x ,θ )) ,gde je

Rn+1( x ,θ)=( x−a )n+1

(n+1 )!f (n+1)( a+θ( x−a) ).

Izraz Rn+1(x,) je tzv. ostatak u razvoju funkcije f po Tejlorovoj formuli i oblik u kome je dat potiče od Lagranža. Ako je Pm(x) polinom m-tog stepena, onda odgovarajuća Tejlorova formula ima oblik:

Pm( x )=Pm( a)+Pm ' (a )

1 !( x−a)+

Pm ''( a)2 !

( x−a )2+⋯

+Pm(m )(a )m!

( x−a )m , jer je Pm

(k )( x )=0 za k>m .

Pod uslovima navedene teoreme, za a = 0, dobijamo Maklorenovu formulu:

f ( x )=∑i=0

n f ( i)(0 )i!

x i+f (n+1 )(θ x )(n+1) !

xn+1

, za neki (0.1).

Teorema 3: (Lopitalova teorema)

Neka su f i g funkcije takve da:

1) f i g su diferencijabilne u nekoj okolini tačke a osim eventualno, u samoj tački a2) lim

x→af ( x )=lim

x→ag( x )=0

ili limx→a

f ( x )=limx→ a

g( x )=∞

3) postoji

limx→a

f ( x )g ( x )

4) g’(x) 0 u posmatranoj okolini tačke a za x a.

Tada postoji

limx→a

f '( x )g ' ( x ) i

limx→a

f ( x )g ( x )

=limx→a

f ' ( x )g '( x ) .

Dakle, Lopitalova teorema nam pruža mogućnost da, pod datim uslovima, izračunavanje granične vrednosti neodređenih

izraza oblika

00

i ∞∞ zamenimo izračunavanjem granične vrednosti nekog izraza drugog oblika.

131. Dokazati da je: limx→0

sin 3 x2 x

=32 .

132. Izračunati sledeću graničnu vrednost: limx→0

(1−x )1x .

25

133.Izračunati limx→0

(3+x )x−3x

x2.

134. Naći

limx→0

tg2√ x2x

.

135. Naći limx→0

lnsin (2 x )lnsin (4 x )

.

136. Naći limx→0

(e x−x )1x2

.

137. Izračunati

limx→∞ ( 2

πarctgx )

x

.

138. Izračunati

limx→∞( π2−arctgx)

1x

.

139. Izračunati limx→0

(x2+2 x+1 )1

2 x .

140. Naći limx→0

arctgx−x−x2

sin2 x .

141. Naći graničnu vrednost: limx→0

x2−ln (cos x )x2

.

142. Naći

limx→0 ( 1

sin x−1

x ) .

143. Naći limx→0

ln (1+x2)cos x−ex .

144. Naći po definiciji izvod funkcije y=x ex .

145. Naći po definiciji izvod funkcije y=xsinx .

146. Naći po definiciji izvod funkcije y=xlnx .

147. Naći y ' ,ako je y=( x2+1 )x2+1

.

148. Naći izvod funkcije y=xex

.

149. Naći izvod funkcije: y=x3 lnx .

150. Naći izvod funkcije: y= (x−1 )2( x−1)x

.

151.Naći izvod funkcije: y=x x xx

.

152. Ako je x=1t

i y=t2−3 t+2, izračunati y ' ( 12 ) .

153. Naći izvod y x' funkcije y=ln (t 4+1 )+t 3 , x=e t+t .

26


154. Naći izvod y x' funkcije y=t4+2t+1 , x=et

2+t+1 u tački t=0 .

155. Naći y x' ako je x= y4+ lny+4 .

156. Naći izvod funkcije f ( x , y )=x3+ y4+xy+1 .

157. Naći y x' ako je ex+e y+xy=2 .

158.Naći y x' ako je x2+ y2−xx+ y+1=0 .

159. Naći priraštaj i diferencijal funkcije y=x3+x+1 u tački x=1 za ∆ x=0,01 i uporediti ih.

160. Koristeći formulu o približnom izražavanju priraštaja funkcije njenim diferencijalom, odrediti približnu vrednost za tg 46 ° .

161. Koristeći formulu za približno izražavanje diferencijala funkcije preko njegovog priraštaja, izračunati približnu vrednost za sin 28° .

162. Koristeći diferencijal funkcije y= 3√x izračunati približno 3√8,02 .

163. Odrediti približnu vrednost za arctg1,05 .

164. Odrediti približnu vrednost za arcsin 0,51 .

165. Odrediti jednačine tangente i normale krive:

x= ln (t 2+1 )+t+1, y=t3+t+2za vrednost parametra t=0 .

166. Odrediti jednačinu normale i tangente na funkciju y=t4+2t+1, x=ln (t 2+1 )+t u tački t=1 .

167. Naći jednačinu tangente povučenu na krivu liniju y=xlnx u njenoj presečnoj tački sa x - osom. Pod kojim uglom ova kriva linija seče x - osu.

168. Odrediti jednačine tangente i normale funkcije f ( x )= x2

√1+x2 u tačkama sa apscisama x=0 i x=√2 .

169. Naći jednačinu tangente i normale na krivu y=x2e1x u tački čija je apscisa x=1 .

170. Odrediti jednačine tangente i normale krive y=x3+2 x2−1 u njenoj presečnoj tački sa parabolom y=2x2 .

171. Odrediti jednačine tangente krive linije y=1

x2+1 u njenim presečnim tačkama sa hiperbolom y= 1

x+1 .

172. U presečnim tačkama prave x− y+1=0 i parabole y=x2−4 x+5 povučene su tangente na parabolu. Naći njihove jednačine kao i njihovu presečnu tačku.

173. Odrediti jednačine tangente i normale funkcije f ( x )=ln (x2−10x+26 ) u njenim prevojnim tačkama.

174. Proveriti relaciju: x2√1−x ≈ x2−12x3−1

8x4

.

27

175. Proveriti relaciju: ln (1+sinx )≈ x− x2

2+ x3

6 .

176. Proveriti aproksimativnu formulu: ln 1+x1−x

≈2 x+ 23x3

.

177. Na funkciju y= 5√1− x primeniti MakLorenovu formulu i naći prva tri člana. Služeći se tim razvojem naći približnu

vrednost za 5√0,97 .

178. Na funkciju y= 3√1− x primeniti MakLorenovu formulu i naći prva tri člana. Služeći se tim razvojem naći približnu

vrednost za 3√0,99 .

179. Razviti polinom P ( x )=x4−x3+x2−1 po stepenima binoma x−2 .

180. Aproksimirati funkciju f ( x )=cos2 x polinomom četvrtog stepena u okolini tačke x=0 .

181. Koristeći Tejlorovu formulu razložiti polinom P ( x )=2x4−5 x3−3 x2+8 x+4 po stepenima binoma x−2 .

182. Funkciju y=arctg2x aproksimirati Maklorenovim polinomom trećeg stepena.

183. Funkciju f ( x )=√x aproksimirati Tejlorovim polinomom trećeg stepena u okolini tačke x=1.

184. Aproksimirati funkciju f ( x )=√1+x polinomom četvrtog stepena u okolini tačke x=0 .

28


6. DEO OSNOVNE TEOREME DIFERENCIJALNOG RAČUNAU šestom delu upoznaćete se sa osnovnim teoremama diferencijalnog računa.

Zadaci su grupisani po teoremama, tako da najpre dolaze zadaci iz Rolove teoreme, pa iz Lagranžove teoreme i Bolcano-Košijeve teoreme.


1. Rolova, Lagranžova i Košijeva teorema2. Lagranžova teorema3. Rolova teorema4. Neprekidnost realne funkcije jednog argumenta na zatvorenom intervalu: Bolcano-Košijeve i Vajerštrasove teoreme

Teorema 1: (Rolova teorema)

Ako je funkcija f neprekidna na segmentu [a,b] i diferencijabilna na intervalu (a,b) i f(a) = f(b), onda: ( (a,b)) f’() = 0.

Teorema 2: (Lagranžova teorema)

Ako je funkcija f neprekidna na segmentu [a,b] i diferencijabilna na intervalu (a,b), onda: ( (a,b)) f(b) – f(a) = f’() (b – a).

Teorema 3: (Košijeva teorema)

Ako su funkcije f i g neprekidne na segmentu [a,b] i diferencijabilne na intervalu (a,b) i

(x (a,b)) g’(x) 0, onda: (∃ ξ∈ (a ,b ) ) f (b )−f (a)g (b )−g(a)

=f ' (ξ )g ' (ξ )

.

Teorema 4: (Bolcano-Košijeva teorema)

Ako je funkcija f neprekidna na segmentu [a,b] i ako je f(a)∙f(b)<0 onda: (∃ ξ∈ (a ,b ) ) f (ξ )=0.

185. Ispitati da li se na funkciju y=x2√2−x može primeniti Rolova teorema na segmentu [0,2]. Ukoliko može, naći

odgovarajuću vrednost za ξ .

186. Pokazati da jednačina x5+10 x−12=0 ima jedno i samo jedno realno rešenje.

187. Pokazati da jednačina x3−4 x2+6 x+2=0 ima samo jedan i to jednostruki realan koren.

188. Odrediti a tako da jednačina x3+a x2+x=0 ima samo jedno realno rešenje.

189. Pokazati da ako je b>3, onda jednačina x3+3x2+bx+8=0 ima samo jedan i to jednostruki realan koren.

190. Odrediti broj realnih korena jednačine f ' ( x )=0 i interval u kojem se ti koreni nalaze,

ukoliko je f ( x )=x ( x−1 ) ( x−3 ) ( x+1 ) ( x+4 ) .

191. Ispitati da li se na funkciju y=5 x3+11 x2+2 na segmentu [-1,1] može primeniti Lagranžova teorema. Ukoliko može,

naći odgovarajuću vrednost za ξ .

29

192. Da li funkcija f ( x )=√x−1 zadovoljava uslove Lagranžove teoreme na intervalu [2,6 ] ?

Ukoliko zadovoljava, naći odgovarajuću vrednost za ξ .

193.

Dokazati da za svaki x 1 važi: 2arctgx+arcsin 2 x

x2+1=π .

194.

Dokazati nejednačinu: |sina−sinb|≤|a−b| .

195. Dokazati nejednakost: a−ba

< ln ab< a−b

b,0<b<a .

196. Koristeći Lagranžovu teoremu dokazati da za svaki x∈ ¿ važi sledeća nejednakost

ln ( x+1 )≤ x .

197. Koristeći nejednakost |sinx|≤|x|≤|tgx|, koja važi za svaki x∈(−π2

, π2 ) ,i Lemu o 2 policajca, a bez primene

Lopitalove teoreme dokazati da važi: limx→0

sin xx

=1.

198.Dokazati da jednačina x−3 lnx=0

ima bar jedno rešenje na intervalu [1 , e ] .

30


7. DEO GRAFIK FUNKCIJEU sedmom delu dati su zadaci u kojima je potrebno nacrtati grafik funkcije. Ova oblast je i svojevrstan test vašeg poznavanja izvoda i limesa, bez kojih nijedan od sledećih zadataka neće moći da se uradi.

Funkcije su grupisane po tipovima, tako da najpre dolaze funkcije sa polinomima, pa sa razlomcima, korenima, eksponencijalne i logaritamske funkcije.


1. Asimptote funkcije2. Monotonost realnih funkcija (definicija i osobine)3. Konveksnost i konkavnost funkcije

Definicija 1: (rašćenje i opadanje funkcije)

Ako je funkcija y = f(x) neprekidna na segmentu [a,b] i diferencijabilna u intervalu (a,b) tada važi sledeće:1) Ako je f’(x) > 0 za svako x (a,b) funkcija je rastuća na [a,b].2) Ako je f’(x) < 0 za svako x (a,b) funkcija je opadajuća na [a,b].3) Ako je f’(x) = 0 za svako x (a,b) funkcija je konstantna na [a,b].

Definicija 2: (ekstremne vrednosti funkcije)

Neka je funkcija y = f(x) diferencijabilna u okolini tačke x = x0 i neka je f’(x0) = 0.a) Funkcija u tački x = x0 ima lokalni maksimum ako je

(∀ x∈ (x0−ε , x0 )) f ' ( x )>0 i (∀ x∈ (x0 , x0+ε , ) ) f ' ( x )>0

Maksimum je ymax = f(x0).b) Funkcija u tački x = x0 ima lokalni minimum ako je

(∀ x∈ (x0−ε , x0 )) f ' ( x )<0 i (∀ x∈ (x0 , x0+ε , ) ) f ' ( x )>0

Minimum je ymin = f(x0).

Definicija 3: (konveksnost i konkavnost funkcije. Prevojne ta č ke funkcije)

1) Neka je funkcija y = f(x) neprekidna koja ima neprekidan izvod na [a,b] i neka postoji f’’(x) za svako x (a,b). Tada: a) Ako je f “(x) > 0 za svako x (a,b) grafik funkcije je konkavan. b) Ako je f “(x) < 0 za svako x (a,b) grafik funkcije je konveksan.

2) Neka je f “(x) neprekidna funkcija u okolini tačke x = x0. Da bi neka tačka N(x0,f(x0)) bila tačka prevoja funkcije potrebno je da f “(x0) = 0. Ako pri tom f “(x) ima jedan znak u intervalu (x0 - ,x0), a drugi u intervalu (x0,x0 + ) tada je to i dovoljan uslov za prevoj grafika funkcije.

Definicija 4: (asimptote)

Za pravu y = b kaže se da je horizontalna asimptota krive y = f(x) ako je lim|x|→∞

f ( x )=b.

Za pravu x = a kaže se da je vertikalna asimptota krive y = f(x) ako je limx→a

f ( x )=±∞.

Prava y = kx + n je kosa asimptota funkcije ako postoje sledeće granične vrednosti:

k= lim|x|→∞

f ( x )x

, n= lim|x|→∞

( f ( x )−kx ).

199. Proučiti tok i nacrtati dijagram funkcije: y=x (1−x3) .

200. Ispitati tok i skicirati grafik funkcije: f ( x )= (x−2 )2 ( x+3 )3 .

31

201. Ispitati tok i skicirati grafik funkcije: f ( x )= 4 x4+x2 .

202. Ispitati tok i skicirati grafik funkcije: f ( x )= x2+4 x+5x+2

.

203. Proučiti tok i nacrtati dijagram funkcije: y=1−x3

x .

204. Proučiti tok i nacrtati dijagraf funkcije: y=3 x2+1x2+3

.

205. Proučiti tok i nacrtati dijagram funkcije: y=2 x−1( x−1)2

.

206. Ispitati tok i skicirati grafik funkcije: f ( x )= x3

2(x+1)2 .

207. Ispitati tok i skicirati grafik funkcije: f ( x )= x3

x2−9 .

208. Ispitati tok i skicirati grafik funkcije: f ( x )=√ x−4x−2

.

209. Ispitati tok i nacrtati grafik funkcije: f ( x )= x2

√1+x2 .

210. Ispitati tok i skicirati grafik funkcije: f ( x )=(x−4)√x−1 .

211. Proučiti tok i nacrtati dijagram funkcije: y=x √1−x .

212. Proučiti tok i nacrtati dijagram funkcije: y= 3√x3−1 .

213. Ispitati i konstruisati grafik funkcije: y= 3√3 x−x3 .

214. Ispitati tok i skicirati grafik funkcije: f ( x )=2x−3 3√ x2 .

215. Ispitati tok i skicirati grafik funkcije: f ( x )= 3√x2−3√ x2−4 .

216. Ispitati tok i skicirati grafik funkcije: f ( x )= 3√x4+x2

217. Ispitati tok i skicirati grafik funkcije: f ( x )=x+2−√x2+x−2 .

218. Ispitati tok i skicirati grafik funkcije: f ( x )=2x+1−√3 x2+2 x .

219. Ispitati tok i skicirati grafik funkcije: f ( x )=x+2−√x2+x+1 .

220. Ispitati i konstruisati grafik funkcije: y=x ex2

.

221. Ispitati i konstruisati grafik funkcije: y=(x2−3)ex.

32


222. Ispitati i konstruisati grafik funkcije: y=x e−x2

.

223. Proučiti tok i nacrtati dijagram funkcije: y=(x−1)2e− x .

224. Proučiti tok i nacrtati dijagram funkcije: y=( x2−x+1 )e− x .

225. Proučiti tok i nacrtati dijagram funkcije: y=x2 e−1x .

226. Ispitati i konstruisati grafik funkcije: y= (x+6 )e1x .

227. Ispitati tok i skicirati grafik funkcije: y= (x+3 )e1

x−3 .

228. Ispitati tok i skicirati grafik funkcije: f ( x )= e− x

6−x .

229. Ispitati i konstruisati grafik funkcije: y= e− x

x−1 .

230. Ispitati tok i skicirati grafik funkcije: f ( x )= e−x

x2−2 .

231. Ispitati i konstruisati grafik funkcije: y= ex

x−2.

232. Proučiti tok i nacrtati dijagram funkcije: y= ex

1−x.

233. Ispitati tok i skicirati grafik funkcije: f ( x )= x2+1ex .

234. Ispitati tok i skicirati grafik funkcije: f ( x )= x2+2ex2 .

235. Ispitati tok i skicirati grafik funkcije: f ( x )= 1ex−1

.

236. Ispitati tok i skicirati grafik funkcije: f ( x )=e1x−x .

237. Ispitati tok i skicirati grafik funkcije: f ( x )= ex−e−x

ex+e−x .

238. Ispitati tok i skicirati grafik funkcije: f ( x )=√1−e−x .

239. Ispitati tok i skicirati grafik funkcije: f ( x )= 2 x2

2 x+1e

1x .

33

240. Ispitati tok i skicirati grafik funkcije: f ( x )=e1

1− x2 .

241. Ispitati tok i skicirati grafik funkcije: f ( x )=e−x−e−x

.

242. Ispitati tok i skicirati grafik funkcije: f ( x )= ln2( x−4)x−4

.

243. Proučiti tok i nacrtati dijagram funkcije: y=1− ln (x−1)x−1

.

244. Ispitati i konstruisati grafik funkcije: y= lnx−1x

.

245. Ispitati i konstruisati grafik funkcije: y=1−lnx

x2 .

246. Proučiti tok i nacrtati dijagram funkcije: y= ln (x−1)x−1

.

247. Proučiti tok i nacrtati dijagram funkcije: y= x+1ln (x+1)

.

248. Ispitati tok i skicirati grafik funkcije: f ( x )= (x−1)2

ln (x−1) .

249. Ispitati tok i skicirati grafik funkcije: f ( x )= x−1ln2( x−1)

.

250. Ispitati tok i skicirati grafik funkcije: f ( x )= x+3ln2( x+3)

.

251. Ispitati i konstruisati grafik funkcije: y= x2

lnx .

252. Ispitati tok i skicirati grafik funkcije: f ( x )= (x−1 ) ln2(x−1) .

253. Proučiti tok i nacrtati dijagram funkcije: y=(x−2)2 ln (x−2) .

254. Ispitati Ispitati i konstruisati grafik funkcije: y=ln (x2−2 x+2) .

255. Ispitati tok i skicirati grafik funkcije: f ( x )=ln2 x−4 lnx+3 .

256. Ispitati tok i skicirati grafik funkcije: f ( x )=3 (ln2 x−ln x2) .

257. Ispitati tok i skicirati grafik funkcije: f ( x )=x ( ln2 x−ln x2) .

258. Ispitati tok i skicirati grafik funkcije: f ( x )= lnx3 lnx−1

.

34


259. Ispitati tok i skicirati grafik funkcije: f ( x )= lnx√ x

.

260. Odrediti asimptote funkcije: y=x+ lnxx

.

261. Odrediti asimptote funkcije: f ( x )=2xarctgx .

262. Odrediti asimpote funkcije: f ( x )=x+2arctgx .

263. Odrediti asimptote funkcije: f ( x )=√ x3

x−2.

264. Odrediti asimptote funkcije: f ( x )= x2−2 x−8(x−3)2

.

265. Odrediti asimptote funkcije: f ( x )=x e1x .

266. Naći lokalne ekstreme funkcije: y=ln √1+x2+arctgx .

267. Ispitati konveksnost funkcije y=arctglnx .

268. Proveriti da li funkcija: y= x4

12−x2−lnx , menja konveksitet.

35

8. DEO FUNKCIJE SA DVE PROMENLJIVEU osmom delu upoznaćete se sa zadacima u kojima se radi sa funkcijama sa dve promenljive.

Ovde imamo više grupa zadataka. Najpre su dati zadaci u kojima se rade parcijalni izvodi, pa totalni diferencijal 1. i 2. reda, Tejlorova i Maklorenova formula za funkcije sa dve promenljive i na kraju ono što najčešće i dolazi na ispitu vezano za ovu oblast, ekstremne vrednosti funkcija bez uslova i sa uslovom


1. Realne funkcije sa dva argumenta2. Parcijalni izvodi funkcije više promenljivih3. Totalni diferencijal funkcije dve promenljive4. Lokalne ekstremne vrednosti funkcije sa dve promenljive5. Uslovne ekstremne vrednosti funkcije sa dve promenljive6. Tejlorova formula funkcije sa dve promenljive

Definicija 1: (parcijalni izvodi)

Prvi parcijalni izvod funkcije z = f(x,y) po nezavisnoj promenljivoj x se definiše kao izvod funkcije z po nezavisnoj promenljivoj

x smatrajući y kao konstantu. Označava se sa

∂ z∂x

i jednak je:

∂ z∂ x

=def dz

dx= lim

Δx→ 0

f ( x+Δx , y )−f ( x , y )Δx

=f x '( x , y )

y=const

Analogno se definiše

∂ z∂ y

, tj.

∂ z∂ y

=def dz

dy= lim

Δy→0

f ( x , y+Δy )− f ( x , y )Δy

= f y ' ( x , y )

x=const

Definicija 2: (parcijalni izvodi drugog reda)

∂2 z∂x2=

∂∂ x ( ∂ z

∂ x ), ∂2 z∂ x∂ y

= ∂∂ y (∂ z

∂ x ), ∂2 z∂ y∂ x

= ∂∂x ( ∂z∂ y ), ∂

2 z∂ y2=

∂∂ y ( ∂ z∂ y ) .Ako su parcijalni izvodi neprekidne

funkcije tada važi: ∂2 z

∂x ∂ y= ∂2 z

∂ y ∂ x .

Definicija 3: (totalni diferencijal)

Totalni diferencijal funkcije z = f(x,y) definiše se pomoću dz= ∂z∂ x

dx+ ∂ z∂ y

dy , a drugog reda sa

d2 z= ∂2 z∂x2 d x2+2 ∂2 z

∂x ∂ ydxdy+ ∂2 z

∂ y2 d y2.

Definicija 4: (Tejlorova i Maklorenova formula)

Ako funkcija z = f(x,y) ima u okolini tačke M0(x0,y0) neprekidne sve parcijalne izvode zaključno n + 1 reda, tada Tejlorova formula glasi:

36


z=f (x , y )=f ( x0 , y0 )+11! [ (x−x0 )

∂ z∂x|M 0

+( y− y0 )∂ z∂ y|M 0

]+ 12 ! [ (x−x0 )

2 ∂2 z∂ x2|

M 0

+2 (x−x0 ) ( y− y0 )∂2 z∂ xy|M 0

+( y− y0 )2 ∂2 z∂ y2 ]+…+ 1

n! [(x−x0 )n ∂n z∂xn|

M0

+(n1) (x−x0 )n−1 ( y− y0 )

∂n z∂ xn−1∂ y|M 0

+(n2)( x−x0 )n−2 ( y− y0 )

2 ∂n z∂ xn−2∂ y2|

M 0

+…+(nn) ( y− y0 )n ∂n z∂ yn|

M 0]+Rn (x , y )

gde je

Rn ( x , y )= 1(n+1 ) ! [ (x−x0 )

n+1 ∂n+1 z∂xn+ 1|

M 0

+(n+11 ) (x−x0 )

n ( y− y0 )∂n+1 z∂xn∂ y|M 0

+(n+12 ) (x−x0 )

n−1 ( y− y0 )2 ∂n+1 z∂ xn−1∂ y2|

M 0

+…+(n+1n+1) ( y− y 0)

n+1 ∂n+1 z∂ yn+1|

M 0]

pri čemu je M 0 ( x0+θ (x−x0 ) , y0+θ ( y− y0 )) ,0<θ<1, gde je ∂k z∂ xk|

M 0

, vrednost k−¿ tog parcijalnog izvoda u tački

M 0 . Kada je x0 = y0 = 0 Tejlorova formula se svodi na Maklorenovu.

Definicija 5: (ekstremne vrednosti funkcije dve promenljive)

Funkcija y = f(x) u tački M(x0,y0) ima lokalni maksimum (minimum) ako postoji okolina tačke M koja cela pripada oblasti definisanosti D takva da za svako N(x,y) iz te okoline važi:

f ( x , y )< f (x0 , y0 ) ( f ( x , y )> f ( x0 , y0 ))Tačke lokalnog maksimuma i minimuma nazivamo ekstremima funkcije.

Potrebni uslovi za ekstremne vrednosti funkcije dve promenljive:Da bi diferencijabilna funkcija z = f(x,y) u nekoj tački imala ekstremnu vrednost potrebno je da u toj tački parcijalni izvodi

prvog reda budu jednaki nuli, tj. da ∂ z∂x

=0 i ∂ z∂ y

=0 .

Tačka M(x0,y0) naziva se stacionarnom tačkom diferencijabilne funkcije z = f(x,y) ako su prvi parcijalni izvodi u toj tački jednaki

nuli, tj. ako je ∂ f (x0 , y0 )

∂ x=0i

∂ f (x0, y0 )∂ y

=0 .

Dovoljni uslovi za ekstremne vrednosti funkcije dve promenljive:Neka funkcija z = f(x,y) ima neprekidne parcijalne izvode drugog reda u okolini tačke M(x0,y0). Zatim, neka je tačka M(x0,y0)

stacionarna tačka te funkcije, tj. neka je ∂ f (x0 , y0 )

∂ x=0i

∂ f (x0, y0 )∂ y

=0 .

Označimo A=∂2 f (x0 , y0 )

∂ x2 , B=∂2 f (x0 , y0 )∂ x ∂ y

,C=∂2 f (x0 , y0 )

∂ y2 i ∆=B2−AC . Tada funkcija z = f(x,y) u tački

M(x0,y0):a) ima lokalni maksimum ako je < 0 i A < 0 (C < 0),b) ima lokalni minimum ako je < 0 i A > 0 (C > 0),c) nema ekstremne vrednosti ako je > 0.d) za = 0 problem ekstrema ostaje nerešen te ga dalje treba ispitati.

Definicija 6: (uslovni ekstremi)

To su ekstremne vrednosti funkcije z = f(x,y) uz uslov (x,y) = 0, odnosno gde su promenljive x i y vezane relacijom (x,y) = 0.Pri određivanju uslovnih ekstrema prvo formirajmo funkciju Lagranža: F ( x , y )=f ( x , y )+ λφ(x , y ) , gde je konstanta.Uslovni ekstremi su ekstremi funkcije F(x,y) koje ispitujemo na sledeći način:Prvo na|imo parcijalne izvode, tj formirajmo jednačine

∂F∂ x

=0 ,

∂F∂ y =0

∂F∂ λ =0

Iz ovih jednačina se odre|uju vrednosti x,y i , tj. tačke M(x,y) u kojima funkcija može imati ekstrem.Da li je u nekoj tački M(x,y) ekstrem kao i njegovu prirodu određujemo preko drugog diferencijala funkcije

d2F=∂2 F∂x2 d x2+2 ∂2 F

∂ x ∂ ydxdy+ ∂2F

∂ y2 , pri uslovu koji vezuje dx i dy tj. ∂φ∂ x

+ ∂φ∂ y

=0 , d x2+d y2≠0 , tako da

37

funkcija F(x,y) ima uslovni maksimum ako je d2F < 0, a uslovni minimum ako je d2F > 0.Prirodu uslovnog ekstrema možemo ispitati i kao običan ekstrem funkcije F(x,y) u stacionarnim tačkama funkcije F(x,y).

269. Odrediti i skicirati oblast definisanosti funkcije: f ( x , y )=arcsin (x2+ y2−2 x−3) .

270. Proveriti da li funkcija z=x+ex2 y2

zadovoljava relaciju x ∂ z∂ x

− y ∂ z∂ y

=x .

271. Da li funkcija z= y √ x2− y2 zadovoljava relaciju y2 ∂z∂ x

+xy ∂ z∂ y

=xz .

272. Da li funkcija z = y2 sin(x2 – y2) zadovoljava relaciju y2 ∂ z∂ x

+xy ∂ z∂ y

=2 xz .

273. Ispitati da li funkcija z= xye

xy zadovoljava uslov x ∂ z

∂ x+ y ∂ z

∂ y=0.

274. Ispitati da li funkcija z=arctg xy

, zadovoljava uslov x2 ∂ z∂ x

+xy ∂ z∂ y

=0.

275. Ispitati da li funkcija z (x , y )=xarctg (x2− y2), zadovoljava uslov 1yz (xy ∂ z

∂x+x2 ∂ z

∂ y )=1.

276. Ispitati da li funkcija z=ex2+ y2

, zadovoljava uslov z ∂2 z∂ x ∂ y

=∂ z∂ x

∙ ∂ z∂ y

.

277. Ispitati da li funkcija: z=1

x2+ y2 , zadovoljava uslov y ∂2 z∂ y2=

∂ z∂ y

+ y2

x∂2 z

∂ x ∂ y .

278. Proveriti da li funkcija z=arctg (x2+ y2 ) zadovoljava relaciju zxx} + {z} rsub {yy} rsup {=0 .

279.Ispitati da li funkcija z= yyx sin y

x zadovoljava uslov x2 ∂ z

∂ x+xy ∂ z

∂ y= yz .

280.Odrediti totalne diferencijale I i II reda funkcije z= x2

y+x y2−x−2 y u tački (0,1 ) .

281. Naći totalni diferencijal I i II reda funkcije z=ex2+ y2

u tački M(1,1).

282. Naći totalni diferencijal I i II reda funkcije z=ln (x2+ y ) x>0 , y>0 .

283. Odrediti totalne diferencijale I i II reda funkcije z (x , y )=ln (x2+ y2+1 ) u tački (1,2 ) .

284. Naći totalne diferencijale I i II reda funkcije z=ln (x2 y2 )+x2 y u tački (1,1 ) .

285. Funkciju z (x , y )=(2x−3 y )e2− x aproksimirati Tejlorovim polinomom drugog stepena u okolini tačke M (2,−1 ).

286. Odrediti Tejlorov polinom trećeg stepena funkcije z=x2+x y2+ y3 u tački (0,1 ) .

287. Aproksimirati funkciju z=e3x arctg2 y , Maklorenovim polinomom trećeg stepena.

288. Naći ekstremne vrednosti funkcije: z=x+ y+ln (x2+ y2+2 ) .

38


289. Odrediti ekstremne vrednosti funkcije: z=3 x2−6 x−2 y−2 ln (5− y )+4 .

290. Odrediti lokalne ekstremne vrednosti funkcije: z=6 xy+( 4 x+3 y ) ( 47−x− y ) .

291. Odrediti lokalne ekstremne vrednosti funkcije: z=−x2+ y2−2 xy+30 x+2 y−1 .

292. Odrediti ekstremne vrednosti funkcije: z=1x+ 1y+xy .

293. Naći lokalne ekstreme funkcije: z=xy+ 2x+ 4y

.

294. Naći lokalne ekstremne vrednosti funkcije: z=3 xy−x3− y3 .

295. Odrediti lokalne ekstremne vrednosti funkcije: z (x , y )= 316

x2+ 18xy+ y2

16+ x

2+ y

4 .

296. Odrediti lokalne ekstremne vrednosti funkcije: z=19 x+20 y−x2−xy− y2+2 .

297. Odrediti lokalne ekstremne vrednosti funkcije: z= xy2+( 47− x− y )( x3 + y

4 ) . 298. Odrediti ekstremne vrednosti funkcije: z=8

x+ xy+ y .

299. Odredite lokalne ekstremne vrednosti funkcije: z=4x+ 18

y+x+2 y+3 .

300. Odrediti lokalne ekstremne vrednosti funkcije: z (x , y )= x2

144+ y3

216− xy

72− x

12 .

301. Naći lokalne ekstreme funkcije: z=( x+ y−5 )2+ (x− y+1 )2+1 .

302. Naći lokalne ekstremne vrednosti funkcije: z=ex2 (x+ y2 ) .

303. Naći lokalne ekstremne vrednosti funkcije: z=x+2e2 y−ex−e2 y.

304. Odrediti lokalne ekstremne vrednosti funkcije: z (x , y )=12y2ex−1

3y3−x e3 x

.

305. Odrediti ekstremne vrednosti funkcije: z=1x+ 1y+x2+2xy+ y2

.

306. Naći lokalne ekstreme funkcije: z=xy+ 50x+ 20

y .

307. Naći ekstremne vrednosti funkcije: z=xy+ y2−4 lnx−8 lny .

308. Odrediti lokalne ekstremne vrednosti funkcije: z=ey− x ( y2−2 x2 ) .

39

309. Odrediti lokalne ekstremne vrednosti funkcije: z=x2+ y3−xy−x .

310. Naći lokalne ekstreme funkcije: z=ex− y (x2+ y2 ) .

311. Odrediti lokalne ekstremne vrednosti funkcije: z=ex− y (x2+ y2−2 x ) .

312. Odrediti ekstremne vrednosti funkcije: z=xy+ ln (x2+ y2 ) .

313. Naći lokalne ekstreme funkcije: z=2 x2+8 y3−6 xy .

314. Naći ekstremne vrednosti funkcije: z=x3−3 x+2lny− y2 .

315. Naći ekstremne vrednosti funkcije: z=x2+ y−ln (x2+ y2 ).

316. Naći lokalne ekstreme funkcije: z=xy (6−x− y ) .

317. Naći lokalne ekstreme funkcije: z=x3+3 x y2−15 x−12 y .

318. Naći lokalne ekstreme funkcije: z=x3+x y2+6 xy+2 .

319. Odrediti lokalne ekstreme funkcije: z=x3−6 xy+ y2+16 .

320. Odrediti ekstremne vrednosti funkcije: z=1x+ 1y+4 x+ y .

321. Odrediti lokalne ekstremne vrednosti funkcije: z= x2 y+ y−x y2−4 xxy

za x≠0∧ y ≠0 .

322. Odrediti lokalne ekstremne vrednosti funkcije: z=4 x3−18 x2+24 x+2 y3−15 y2+36 y−1 .

323. Odrediti ekstremne vrednosti funkcije: z=x2+xy pri uslovu 2 x+2 y−1=0 .

324. Odrediti lokalne ekstremne vrednosti funkcije: z=2 xy+ y2 , uz uslov y+6=x .

325. Odrediti lokalne ekstremne vrednosti funkcije: z=xy+x2, uz uslov y−x=6 .

326. Odrediti lokalne ekstremne vrednosti funkcije: z=x+2 y−3, uz uslov x y2=1 .

327. Odrediti lokalne ekstremne vrednosti funkcije: z=xy+x2+2 y , uz uslov x− y=8 .

328. Odrediti lokalne ekstremne vrednosti funkcije: z=2 xy+4 , uz uslov x− y=2 .

329. Odrediti lokalne ekstremne vrednosti funkcije: z=2 xy+4 , uz uslov y−x=2 .

330. Odrediti lokalne ekstremne vrednosti funkcije: z=2 xy+4 x+2, uz uslov x− y=4 .

331. Odrediti ekstremne vrednosti funkcije: z=2 x2+2 y2+2, pod uslovom 2 x+ y=1 .

332. Odrediti ekstremne vrednosti funkcije: z=x2+xy+ y2, pri uslovu x+ y−6=0 .

333. Naći uslovne ekstreme funkcije: z=x2+ y2, pri uslovu 2x + 4y = 1 .

334. Naći lokalne ekstreme funkcije: z=x y2+3 , pri uslovu x+2 y−2=0 .

40


335. Naći lokalne ekstreme funkcije: z=x y2− y3+1, pri uslovu x+2 y−2=0 .

336. Odrediti ekstremne vrednosti funkcije: z=x y2, uz uslov 2 x− y=−1 .

337. Odrediti lokalne ekstreme funkcije: z=x2 y, uz uslov 2 x+ y=3 .

338. Odrediti ekstreme funkcije: z=xy+x , pod uslovom x+ y−7=0 .

339. Odrediti lokalne ekstreme funkcije: z= xy4+2, uz uslov x−2 y=4 .

340. Odrediti ekstremne vrednosti funkcije: z=x2+ y2 , pri uslovu xy−8=0 .

341. Naći ekstremne vrednosti funkcije: z=x2 y2, pri uslovu 2x− 1

y−4=0 .

342.Odrediti ekstremne vrednosti funkcije: z=2 x+3 y, pri uslovu x2+ y2=4 .

343. Odrediti ekstremne vrednosti funkcije: z=3 x−2 y , pri uslovu x2+ y2−8=0 .

344. Odrediti lokalne ekstremne vrednosti funkcije: z=2 x+ y, uz uslov 4 x2+ y2=8 .

345. Odrediti lokalne ekstremne vrednosti funkcije z=4 xy+3, uz uslov x2+ y2=18 .

346.Odrediti lokalne ekstremne vrednosti funkcije: z=( x− y )3+1, uz uslov x2+ y2=18 .

347. Odrediti lokalne ekstremne vrednosti funkcije: z=( x− y )4+1 , uz uslov x2+ y2=2 .

348. Naći ekstrem funkcije: z=x2+12xy+2 y2 , pri uslovu 4 x2+ y2=25 .

349. Odrediti lokalne ekstremne vrednosti funkcije: z=1x+ 1y

, uz uslov 2 x2+2 y2=x2 y2 .

350.Odrediti lokalne ekstremne vrednosti funkcije: z= xyx+ y

, uz uslov x2+ y2=2 x2 y2 .

351. Odrediti lokalne ekstremne vrednosti funkcije: z= xyx+ y

, uz uslov 8 x2+8 y2=x2 y2 .

41

9. DEO INTEGRALIU devetom delu upoznaćete se sa zadacima iz integrala.

Najpre su dati neodređeni integrali i to grupisani po načinu rešavanja (metoda zamene, parcijalna integracija, integracija racionalnih funkcija i integracija iracionalnih funkcija).

Zatim su dati zadaci iz određenih integrala kao i njihove primene na računanje površine ravnog lika.

Treća grupa su nesvojstveni integrali grupisani tako da prvo dolaze nesvojstveni u odnosu na oblast integracije, a zatim u odnosu na funkciju.

Na kraju su dati dvojni integrali.

Ovo je sigurno najznačajnija oblast u zbirci.


1. Neodređeni integral2. Integracija nekih iracionalnih funkcija3. Definicija dvojnog integrala4. Dvojni integral5. Nesvojstveni integral6. Nesvojstveni integral u odnosu na oblast integracije

Definicija 1: (definicija integrala)

Neka je data funkcija y = f(x) definisana u intervalu (a,b). Za funkciju y = F(x) kaže se da je primitivna funkcija funkcije y = f(x) u

intervalu (a,b) ako je ispunjen uslov (∀ x∈ (a ,b ) ) F' ( x )=f (x) .

Neodređeni integral funkcije y = f(x) označava se sa ∫ f ( x )dx i predstavlja skup svih primitivnih funkcija funkcije y = f(x) u

intervalu (a,b), tj. ∫ f ( x )dx=F ( x )+C , gde je F ' ( x )=f (x), a C proizvoljna konstanta.

Izraz f(x)dx naziva se podintegralni izraz, a f(x) je podintegralna funkcija ili integrand.

Definicija 2: (osnovna svojstva neodre đ enog integrala)

a¿d (∫ f ( x )dx )= f ( x )dxb¿∫dG ( x )=G ( x )+Cc ¿∫ Af ( x )dx=A∫ f ( x )dx (A=const .i A ≠0)

d ¿∫ (f (x)±g(x ))dx=∫ f ( x ) dx+∫ g ( x ) dx

42


Tablica osnovnih integrala:

∫ dx=x+c c je proizvoljna konstanta

∫ xn dx=xn+1

n+1+c (n≠1)

∫ dxx

=ln|x|+c ∫ dx2√ x

=√ x+c

∫ exdx=e x+c ∫ sin xdx=−cos x+c

∫cos xdx=sin x+c ∫1cos2 x

dx=tgx+c

∫1sin2 x

dx=−ctgx+c ∫dx√ x2±a

= ln|x+√x2±a|+c

∫1√1−x2

dx=arcsin x+c ∫ 1√a2−x2

dx=arcsin xa+c

∫11+x2 dx=arctgx+c ∫1

a2+x2 dx=1aarctg x

a+c

∫ dxx2−a2 =

12a

ln|x−ax+a

|+c

Definicija 3: (integracija metodom zamene)

Ako je funkcija f(x) neprekidna, stavljajući x=g ( t ) , dx=g ' ( t )dt , gde je funkcija g(t) neprekidna zajedno sa svojim prvim

izvodom g’(t) i ima inverznu funkciju t = g-1(x), dobija se sledeća jednakost ∫ f ( x )dx=∫ f (g ( t ) ) g' (t )dt .

Definicija 4: (metoda parcijalne integracije)

Neka su u = u(x) i v = v(x) dve diferencijabilne funkcije. Ako postoji neodređeni integral ∫u ( x ) v ' ( x )dx tada postoji i

neodređeni integral ∫ v (x )u' ( x )dx i važi jednakost :

∫u ( x ) v ' ( x )dx=u ( x ) v ( x )−∫ v (x )u' ( x )dx .

Ova jednakost može da se napiše u sledećem kraćem obliku ∫udv=uv−∫ vdu i ona predstavlja obrazac za parcijalnu

integraciju. Primenjujući ovaj obrazac može se integral oblika ∫udv izračunati, ako je moguće izračunati integral na desnoj

starni obrasca koji je oblika ∫ vdu .

Definicija 5: (integracija racionalnih funkcija)

Funkcija f (x) je racionalno razlomljena ukoliko ima oblik f ( x )= p(x )q( x)

, gde su p ( x ) i q(x ) polinomi sa realnim

koeficijentima.

Razlomak p (x)q(x )

se zove pravi ukoliko je stepen polinoma u brojiocu p(x ) manji od stepena polinoma u imeniocu q (x) .

43

1) Ako je razlomak p (x)q(x )

neprav prethodno iz njega treba izdvojiti ceo deo.

2) Ako je razlomak p (x)q(x )

pravi, onda se njegov imenioc q (x) rastavlja na činioce oblika

( x−a )α (x2+ px+q )β, gde je p4−q<0 , tj. koreni te kvadratne jednačine su imaginarni reda β i a∈R , tj. a je realan

koren reda α . Zatim se razlomak p (x)q(x )

razlaže na zbir elementarnih razlomaka i to na sledeći način

p(x)

( x−a )α (x2+ px+q )β=

A1

x−a+

A2

( x−a )2+…+

Aα

( x−a )α+

B1 x+C1

x2+ px+q+

B2 x+C2

(x2+ px+q )2+…+

Bβ x+C β

(x2+ px+q )β .

Definicija 6: (integracija nekih iracionalnih funkcija)

Neka je dat neodređen integral oblika ∫R (x ,xm1 /n1 , xm2/n2,…, xmk/nk )dx , gde je R racionalna funkcija svih argumenata.

Ako se uvede smena x=t n, gde je n najmanji zajednički sadržalac imenilaca n1,n2,…,nk, tada se dobija integral racionalne funkcije promenljive t.

Definicija 7: (NJutn - Lajbnicova formula)

Ako je funkcija f : R R integrabilna na segmentu [a,b] i ima na tom segmentu primitivnu funkciju F(x) tj.

∀ x∈ [a ,b ] je F ' ( x )=f (x), tada je

∫a

b

f ( x )dx=F (b )−F( a) .

Poslednja formula je NJutn-Lajbnicova formula.

Definicija 8: (metod smene kod određenih integrala)

Neka je funkcija f : R R integrabilna na segmentu [a,b]. Ako su ispunjeni sledeći uslovi:1) funkcija x = g(t) je neprekidna zajedno sa svojim prvim izvodom na intervalu [, ] gde su i rešenja jednačina g(t) = a i g(t) = b, tako da je g() = a i g() = b.2) složena funkcija f(g(t)) je definisana i neprekidna na segmentu [,],

tada

∫a

b

f ( x )dx=∫α

β

f (g ( t )) g' ( t )dt.

Definicija 9: (metod parcijalne integracije kod određenih integrala)

Ako su funkcije f : R R i g : R R neprekidne na segmentu [a,b], tada

∫a

b

f ( x )g ' ( x )dx= f ( x )g( x )|ab−∫

a

b

g ( x ) f '( x )dx.

Definicija 10: (primena određenog integrala na izračunavanje površine ravnog lika)

Ako je y = f(x) 0 za x [a,b] tada je površina krivolinijskog trapeza ograničenog lukom krive, pravama

x = a i x = b i odsečkom ose Ox za x [a,b] definisana sa

P=∫a

b

f ( x )dx

Ako je y = f(x) 0 za x [a,b] tada je površina lika ograničenog takvom konturom

P=|∫a

b

f ( x )dx|, tj .P=−∫a

b

f ( x )dx .

Ako funkcija nad segmentom [a,b] menja znak, tada se segment [a,b] razbija na konačan broj segmenata u zavisnosti od toga da li je f(x) 0, odnosno f(x) 0, pa je vrednost određenog integrala funkcije y = f(x) nad segmentom [a,b] jednaka zbiru površina iznad ose Ox, uzetih sa znakom plus i zbiru površina ispod ose Ox, uzetih sa znakom minus.

44


Ako se traži površina oblasti ograničena graficima funkcija y = f(x) i y = g(x) i pravama x = a i x = b, tada je površina data obrascem

P=∫a

b

f ( x )dx−∫a

b

g( x )dx=∫a

b

[ f ( x )−g (x ) ]dx .

Ovaj obrazac se primenjuje i za slučaj kada je potrebno da se izračuna površina oblasti ograničene graficima funkcija y = f(x) i y = g(x). U ovom slučaju su granice određenog integrala apscise a i b presečnih tačaka A i B, i dobijaju se rešavanjem jednačine f(x) = g(x).

Definicija 11: (definicija nesvojstvenog integrala)

Određeni integral

∫a

b

f ( x )dx definisan je za f : R R neprekidnu na segmentu [a,b].

Ako interval integracije nije konačan, ili ako podintegralna funkcija na tom intervalu ima prekide, tada se definiše pojam uopštenog ili nesvojstvenog integrala.

Definicija 12: (nesvojstveni integral s obzirom na interval)

Ako je funkcija f(x) integrabilna na svakom konačnom segmentu [a,b], to nesvojstveni integral

∫a

∞

f ( x )dx se definiše sa

∫a

∞

f ( x )dx= limb→∞∫a

b

f ( x )dx, a nesvojstveni integral

∫a

b

f ( x )dx sa

∫−∞

b

f ( x )dx= lima→−∞

∫a

b

f ( x )dx.

Ukoliko ove granične vrednosti postoje i konačne su odgovarajući integral nazivamo konvergentnim, u suprotnom divergentnim.

Nesvojstveni integral tipa ∫−∞

∞

f ( x )dx gde je f(x) neprekidna x se definiše sa

∫−∞

∞

f ( x )dx=∫−∞

c

f (x ) dx+∫c

∞

f (x )dx,

gde je c ma koji realan broj i on je konvergentan ako su oba integrala konvergentna.

Definicija 13: (nesvojstveni integral s obzirom na funkciju)

Ako je funkcija f : R R neograničena u okolini tačke b, tj. limx→b−

f ( x )=±∞ a integrabilna na svakom segmentu [a,b - ], >

0, nesvojstveni integral

∫a

b


∫a

b

f ( x )dx= limε→0∫a

b−ε

f ( x )dx .

Ako je funkcija f : R R neograničena u okolini tačke a, tj. limx→a+

f ( x )=±∞ a integrabilna na svakom segmentu [a + ,b], >

0, nesvojstveni integral

∫a

b


∫a

b

f ( x )dx= limε→0∫a+ε

b

f ( x )dx .

45

Ako je funkcija f : R

R neograničena u okolini tačke c, tj. limx→ c

f ( x )=±∞ a integrabilna na svakom segmentu [a,c-

][c+,b], > 0, nesvojstveni integral

∫a

b


∫a

b

f ( x )dx= limε→0∫a

c−ε

f ( x )dx+limε→0∫c+ε

b

f (x )dx .

Definicija 14: (definicija dvojnog integrala)

Neka je u nekoj zatvorenoj i ograničenoj oblasti D R R data neprekidna funkcija z = f(x,y). Podelimo oblast D na n delova s1,s2,…,sn (sl. ispod) tako da ti delovi nemaju zajedničkih unutrašnjih tačaka, a čije površine su s1,s2,…,sn. U unutrašnjosti ili na periferiji svakog dela Sk, k=1,2,…,n izaberimo po jednu tačku Tk(k,k). Vrednost funkcije z = f(x,y) u svakoj tački Tk, tj. f(k,k) pomnožimo sa odgovarajućom površinom sk, odnosno formirajmo proizvod f(k,k)sk. Suma svih takvih proizvoda

S=∑k=1

n

f ( ξk , μk )Δs k zove se integralna suma funkcije f(x,y).

Ako postoji granična vrednost sume S, nezavisno od podele kao i izbora tačke Tk(k,k), kada broj delova sk teži beskonačnosti a površina maksimalnog sk teži nuli, tada kažemo da je ta granična vrednost dvojni integral funkcije z = f(x,y) u oblasti D, i funkciju z = f(x,y) nazivamo integrabilnom u toj oblasti. To simbolički označavamo

limmax ΔSK→ 0

∑k=1

n

f (ξk , μk )Δsk=∬D

f ( x , y ) ds.

U pravouglom koordinatnom sistemu ds = dxdy, pa je tako

∬D

f ( x , y ) ds=∬D

f ( x , y ) dxdy .

Definicija 15: (osobine dvojnog integrala)

Ako je f(x,y) integrabilna funkcija u oblasti D, tada je integrabilna u toj oblasti i funkcija cf(x,y), gde je c proizvoljna konstanta i

tada je ∬D

cf ( x , y ) dxdy=c∬D

f ( x , y ) dxdy.

Ako su f(x,y) i g(x,y) integrabilne funkcije u oblasti D, tada su u toj oblasti integrabilne i funkcije

f(x,y) g(x,y), pri čemu je ∬D

[ f ( x , y )±g (x , y )] dxdy=∬D

f ( x , y ) dxdy+∬D

g (x , y ) dxdy .

Neka je oblast D u kojoj je data funkcija f(x,y) nekom linijom podeljena na dve (ili više) oblasti D1 i D2. Ako postoje integrali

∬D1

f (x , y ) dxdy i ∬D2

f ( x , y ) dxdy, tada postoji i integral

∬D

f (x , y ) dxdy , pri čemu je

∬D

f (x , y ) dxdy=∬D1

f (x , y ) dxdy+∬D2

f ( x , y ) dxdy.

46


Ako su f(x,y) i g(x,y) integrabilne funkcije u oblasti D i ako je

f(x,y) g(x,y) u svim tačkama (x,y) D, tada je ∬D

f (x , y ) dxdy≥∬D

g( x , y ) dxdy .

Specijalno ako je g(x,y) = 0 tada se ova osobina svodi na ∬D

f (x , y ) dxdy≥0.

Ako je f(x,y) = 1 u svakoj tački (x,y) iz oblasti D, tada je dvojni integral te funkcije jednak površini oblasti D.

352. Naći:

∫ e2 x

√ex−1dx .

353. Izračunati integral:

∫ e2 x+ex

(e x−2 ) (e2 x+1 )dx .

354. Izračunati integral: ∫ e3 xdx

ex+2 .

355. Izračunati integral: ∫ ex+ex dx .

356. Izračunati integral: ∫ ex

1+e−x dx.

357. Izračunati integral: ∫ (1−ex )2

1+e2 x dx .

358. Naći: ∫ 1

e2 x−4dx .

359. Izračunati integral: ∫ ex+1

e2 x−ex+1dx .

360. Izračunati integral: ∫ x3e x2dx

.

361. Naći: ∫ 1

x √1+x2dx .

362. Naći: ∫ √x

1−xdx .

363. Naći: ∫ dx

x √ln x.

364. Naći: ∫ 1

x ( ln2 x+ ln x )dx .

365. Izračunati integral: ∫(ln x+1

ln x−1 )2 dxx .

366. Izračunati integral: ∫ dx

x2+6 x+10 .

367. Izračunati integral: ∫ ln x coslog x

xdx .

368. Izračunati integral: ∫ e tgx sin x

cos3 xdx .

47

369. Izračunati integral: ∫ arctg √x dx .

370. Izračunati integral: ∫ √x arctg√ xdx .

371. Izračunati integral: ∫ x arctgxdx .

372. Izračunati integral: ∫ x2arctgxdx .

373. Izračunati integral: ∫ arctgx

x2dx .

374. Izračunati integral: ∫ 2 xarctgx2

1+x4 dx.

375. Izračunati integral: ∫ arcsin xdx.

376. Izračunati integral: ∫ arcsin2 xdx.

377. Izračunati integral: ∫ x ln x+1

x−1dx

.

378. Izračunati integral: ∫ ln x+1

x−1dx

.

379. Naći: ∫ x ln2 xdx .

380. Naći: ∫ x cos√ xdx .

381. Izračunati: ∫ √x cos√x dx .

382. Izračunati integral: ∫sin √x dx .

383. Izračunati integral: ∫ √x ln xdx .

384. Izračunati integral: ∫ x2−2x+2

ex dx .

385. Izračunati integral: ∫ x

cos2 xdx .

386. Izračunati integral: ∫ x

sin2 xdx .

387. Izračunati integral: ∫ ln ( x2+2x+2 )dx .

388. Izračunati integral: ∫ ln ( x2+1)dx.

389. Izračunati integral: ∫ ln(cos x ) dx

sin2 x.

390. Naći: ∫sin ( ln x ) dx .

391. Izračunati integral: ∫ e3 x sin (4 x ) dx .

392. Izračunati integral: ∫sin (2x )e3 x dx .

393. Naći: ∫ e2 x cos 4 x dx.

48


394. Izračunati integral: ∫ 2 x2−5

x3−x2 dx .


x5− x2.

396. Izračunati integral: ∫ x−8

x3−4 x2+4 xdx .

397. Izračunati integral: ∫ x−8

x3−4 x2+3 xdx .

398. Izračunati integral: ∫21 x2−102 x+72

x3−7 x2+12 xdx .

399. Izračunati integral: ∫ 2 x2+3 x−4

x3−2x2+x−2dx

.


x4+x3+x2 .

401. Izračunati integral: ∫ 3 x2

x6−1dx .

402. Naći: ∫ dx

x (x2−2 x+2 ).

403. Naći: ∫ x−2

x3+8dx .

404. Naći: ∫ 1

x4+4 x2dx .

405. Naći: ∫ 2x

x4−1dx .

406. Izračunati integral: ∫ ( x+1)3

x2+2 x−3dx

.

407. Izračunati integral: ∫ x3+1

x3−5x2+6xdx

.


∫ x3−2(x2+1 ) x

dx .


x4−x.


∫ 1x2 (x2−1 )

dx .

411. Naći: ∫ x

x3−8dx .


x ( x−1)( x2+3 ) .

49

413. Izračunati integral: ∫ x−1√2x−1

dx.

414. Naći:

∫ √x−13√ x−1+1

dx .

415. Naći: ∫ dx

1+ 3√ x+1 .

416. Izračunati integral: ∫ 2

(2−x )23√ 2−x

2+xdx .


∫ √ 1−xx4 (1+x )

dx.

418. Naći:

∫ √ xx (1+ 3√x )

dx .


∫ x+√x+ 3√ x2

x (1+ 3√ x )dx

.

420. Izračunati integral: ∫ x 3√ x+2

x+ 3√x+2dx

.

421. Izračunati integral: ∫ 1

1+sin x+cos xdx

.

422. Izračunati po definiciji: ∫−1

4

(1+x )dx.


∫0

ln 2

√ex−1 dx .


∫0

π

cos2 x dx.

425. Izračunati:

∫2

e−1

x ln (x−1)dx .

426.Naći površinu ograničenu krivim linijama y= 1

1+x2 i y= x2

2.

427.Odrediti površinu ograničenu x-osom i lukom krive:

f ( x )= 1x2+1

.

428. Naći površinu izme|u krive linije y=x2−2 i prave y−1=2x .

429. Izračunati površinu oivičenu grafikom funkcije f ( x )=e−x−e−x

i x-osom.

430. Izračunati površinu ograničenu lukom krive:

f ( x )= ( x−3 )2

x2−10 x+16 nad intervalom (3,4).

431. Izračunati površinu oblasti oivičene x - osom i krivom: f ( x )=(x2−8 )e x u II i III kvadrantu.

50


432. Izračunati nesvojstveni integral:

∫0

∞ dx( x+1)( x+4 )

.

433. Izračunati nesvojstveni integral: ∫1

edx

x ln x.

434. Izračunati nesvojstveni integral: ∫1

edx

x⋅3√ ln x.

435. Izračunati integral: ∫1

2ln3 x+3x ln x

dx .

436. Naći

∫0

1dx

( x−1 )3.


∫1

∞ ln xx

dx .


∫e

¥

x ln xdx.


∫0

∞

x2e− xdx .


∫0

∞

xarctgx dx .


∫0

1dx

(2−x )√1−x .


∫0

1dx

√1−x2 .

443. Izračunati

∫1

∞ dxx ln x

.

444. Izračunati integral ∬D

dxdy gde je D unutrašnjost trapeza sa temenima A(−1 ,−1 ), B(6 ,−1) , C(3,2 ), D(2,2 ).

445. Izračunati integral: ∬D

dxdy gde je oblast D unutrašnjost paralelograma čije stranice pripadaju pravim linijama:

y−x=−2 , y−x=−6 , y+2 x=12 i y+2 x=4 .



y−x=3 , y−x=6 , y+2 x=−12 i y+2 x=−6 .



x= y ,2x− y=0 , x− y=4 i 2x− y=−4 .

51


dxdy , gde oblast D predstavLJa unutrašnjost četvorougla sa temenima

A(−2,0 ), B(1 ,−2 ),C (2,0) , D(1,2).


dxdy , gde je oblast integracije unutrašnjost trougla A(2,2 ), B(7,7 ) i C (4,3 ).


dxdy , gde je oblast D ograničena linijama y=x3 i y=10x2−24 x .


dxdy, gde je oblast D ograničena linijama y=√2 x , x+ y=4 , x+ y=12 i y=0 .


dxdy , gde oblast D predstavlja unutrašnjost kruga x

2+ y2≤1 .


ydxdy , gde je oblast D deo ravni izme|u krivih linija y=x2 i y=√x .


ydxdy, gde je oblast D ograničena pravama: y=x , y=x+3 , y=2 i y=6 .


xydxdy , gde je D unutrašnjost koju obrazuje funkcija x

2−4 x+ y2+3=0 , u IV kvadrantu.

456. Izračunati: ∬D

xydxdy , gde je oblast D deo ravni između krive x

2+ y2=2 x i x− ose u I kvadrantu.


∬D

xydxdy , gde je D unutrašnjost koju obrazuje krug x

2+ y2=2 y u prvom kvadrantu.


∬D

xydxdy , gde je D unutrašnjost koju obrazuje krug x

2+ y2=9+8 y u četvrtom kvadrantu.

459. Izračunati dvojni integral: ∬D

xydxdy , gde je D oblast ograničena krivom y−x2=−3 i x− osom.


xydxdy , gde je D oblast ograničena krivom 2 x2+3 y2=6 u III kvadrantu.


xydxdy , gde je D oblast ograničena krivom 2 x2+3 y2=6 u IV kvadrantu.


xydxdy , gde je oblast D ograničena lukom krive x

2+ y2+45=14 x u IV kvadrantu.


xydxdy , gde je D unutrašnjost koju obrazuje funkcija x

2−4 x+ y2+3=0 u I kvadrantu.

464. Izračunati: ∬D

x2 ydxdy , gde je oblast D deo ravni ograničen linijama x+ y=5 i xy=6 .


x2 ydxdy , gde je D unutrašnjost koju obrazuje funkcija x

2−4 x+ y2+3=0 u I kvadrantu.


x2 ydxdy , gde je D unutrašnjost koju obrazuje funkcija x

2−4 x+ y2+3=0 u IV kvadrantu.


x2 y dxdy , gde je D unutrašnjost elipse x

2+4 y2=4 u II kvadrantu.

468. Izračunati dvojni integral ∬D

( x− y )dxdy gde je oblast D ograničena linijama y+x

2=2 i y+1=2 x .

52


469. Izračunati dvojni integral ∬D

( x+ y )dxdy gde je oblast D ograničena linijama y+x

2=2 i y+1=2 x .


( x+2 y ) dxdy , gde je D unutrašnjost koju obrazuju grafici funkcija xy=4 i x+ y=5 .


( x+2 y ) dxdy , gde je D unutrašnjost koju obrazuju grafici funkcija xy=−6 i

−x+ y=−5 .


( x+2 y )dxdy, ako je oblast D ograničena krivama y=x2

i x= y2.


(2x+ y ) dxdy , gde je D unutrašnjost koju obrazuju grafici funkcija xy=4 i x+ y=5 .


∬D

(x+ y2) dxdy , gde je D unutrašnjost trougla A(0,0 ) , B (2,1 ) i C (1,3) .

475. Izračunati integral

∬D

(x2+ y )dxdy , gde je D unutrašnjost trougla A (−1 ,−1 ) , B (3,1 ) i C (1,3 ) .


2 x−1y2

dxdy , gde je D unutrašnjost koji obrazuju krive x+ y=5 i xy=6 .

477. Promeniti poredak integracije kod dvojnog integrala

∫0

1

dx∫ex

e

f ( x , y )dy.

478. Promeniti poredak integracije kod dvojnog integrala

∫0

1

dx∫x3

x

f ( x , y )dy.

479. Promeniti poredak integracije u integralu:

∫1

2

dy∫ln y

e y

dx .

53

10. DEO DIFERENCIJALNE JEDNAČINEU desetom delu upoznaćete se sa zadacima u kojima se rešavaju diferencijalne jednačine.

Najpre su dati zadaci sa diferencijalnim jednačinama prvog reda i to grupisani po tipovima (diferencijalna jednačina koja razdvaja promenljive, homogena diferencijalna jednačina, linearna diferencijalna jednačina i Bernulijeva diferencijalna jednačina).

Zatim su dati zadaci sa diferencijalnim jednačinama drugog reda takođe grupisane po tipovima (diferencijalna jednačina koja

ne sadrži x , diferencijalna jednačina koja ne sadrži y , linearna diferencijalna jednačina drugog reda sa konstantnim koeficijentima).


1. Homogena diferencijalna jednačina prvog reda2. Linearna diferencijalna jednačina prvog reda3. Linearna diferencijalna jednačina drugog reda sa konstantnim koeficijentima4. Homogena diferencijalna jednačina drugog reda sa konstantnim koeficijentima5. Nehomogena diferencijalna jednačina drugog reda sa konstantnim koeficijentima

Definicija 1: (osnovni pojmovi)

Jednačina oblika F ¿, gde je y = y(x) funkcija nezavisne promenljive x, a y’,y’’,…,y(n) prvi, drugi,…, n-ti izvod ove funkcije po promenljivoj x, je diferencijalna jednačina n-tog reda.Red diferencijalne jednačine je red najvišeg izvoda koji se u njoj pojavljuje.Svaka funkcija y = (x) koja identički zadovoljava diferencijalnu jednačinu je rešenje te diferencijalne jednačine.Funkcija y = (x,C1,C2,…,Cn) koja sadrži n proizvoljnih i nezavisnih konstanti C1,C2,…,Cn, a koja identički zadovoljava diferencijalnu jednačinu je njeno opšte rešenje ili opšti integral.Rešenje koje se dobija iz opšteg rešenja dajući proizvoljnim konstantama C1,C2,…,Cn određene vrednosti C10,C20,…,Cn0, je partikularno rešenje diferencijalne jednačine.Ako diferencijalna jednačina ima i takvo rešenje y = g(x) koje se ne može dobiti iz njenog opšteg rešenja, ni za koje vrednosti proizvoljnih konstanti C1,C2,…,Cn, onda se takvo rešenje naziva singularno rešenje diferencijalne jednačine.Opšte rešenje diferencijalne jednačine u koordinatnom sistemu predstavlja familiju krivih linija koje zavise od n parametara C1,C2,…,Cn. Te krive linije zovu se integralne krive diferencijalne jednačine.Ako je data familija krivih linija i ako iz sistema koji sadrži n + 1 jednačinu,

y=φ (x ,C 1,C2 ,…,Cn ) , y '=dφdx

,…, y (n )=dnφd xn , eliminišemo parametre C1,C2,…,Cn, dobijamo diferencijalnu

jednačinu čiji je opšti integral ta familija krivih linija.

Teorema 1: (Košijeva teorema)

Ako su funkcija f ( x , y ) i njen prvi parcijalni izvod ∂ f∂x

neprekidni u oblasti D= { ( x , y )|a≤x ≤b , c≤ y≤d } ravni xOy,

tada za svaku tačku A(x0,y0) unutar oblasti D, postoji samo jedno rešenje diferencijalne jednačine y = (x) koje zadovoljava početni uslov y = y0 za x = x0 (y0 = (x0)). Geometrijski to znači, da kroz svaku tačku A(x0,y0) i unutar oblasti D prolazi jedna i samo jedna integralna kriva y = (x) diferencijalne jednačine.

Definicija 2: (jednačina koja razdvaja promenljive)

To je diferencijalna jednačina oblika y '=P(x )∙Q( y ). Kako je y '=dydx

, imamo dy

Q( y)=P ( x )dx, a odatle se

integracijom dobija opšte rešenje ∫ dyQ( y )

=∫P ( x )dx+C, gde je C proizvoljna konstanta.

54


Definicija 3: (homogena diferencijalna jednačina)

To je jednačina oblika y '=f ( yx ). Smenom yx=z gde je z nova funkcija od x , svodi se na jednačinu koja razdvaja

promenljive dz

f ( z )−z=dx

x .

Neka je njeno opšte rešenje z = (x,C). Tada je, zbog y = zx, opšte rešenje homogene jednačine y=xφ (x ,C).

Definicija 4: (linearna diferencijalna jednačina)

To je jednačina oblika y '+P ( x ) y=Q(x ). Opšte rešenje diferencijalne jednačine dato je sa 𝑦=e−∫ P ( x ) dx [C+∫e∫ P ( x )dxQ (x )dx ] .

Definicija 5: (Bernulijeva jednačina)

To je jednačina oblika y '+P ( x ) y=Q(x ) y s. Deoba obe strane sa ys daje y 'ys +P ( x ) y1−s=Q (x ) . a odavde smenom

z= y1−s , z '=(1−s) y 'y s , dobijamo linearnu jednačinu po novoj nepoznatoj funkciji z

z '+ (1−s )P ( x ) z=(1−s)Q(x).

Definicija 6: (diferencijalna jednačina koja ne sadrži y)

To je jednačina oblika F ¿. Smenom y’ = p, y’’ = p’, svodi se na jednačinu prvog reda po funkciji p: F (x , p , p' )=0. Ako je

njeno opšte rešenje p=φ(x ,C1), tada je zbog p = y’, y’ = (x,C1), te je y=∫φ (x ,C1)dx+C2, što predstavlja opšte

rešenje diferencijalne jednačine.

Definicija 7: (diferencijalna jednačina koja ne sadrži x)

To je jednačina oblika Φ¿. Smenom y '=p, koja daje y = {dp} over {dx, odnosno

y = {dp} over {dy} {dy} over {dx ili y = {dp} over {dy} , jednačina postaje Φ ( y , p , dpdy p)=0, tj.

diferencijalna jednačina prvog reda funkcije p po nezavisnoj promenljivoj y. Ako je njeno opšte rešenje p=φ ( y ,C1 ), tada

je, zbog y’ = p, y '=φ ( y ,C 1) tj. dy

φ ( y ,C1 )=dx što, posle integracije, daje f ( y ,C1)=x+C2 i predstavlja opšte rešenje

diferencijalne jednačine.

Definicija 8: (homogena linearna diferencijalna jednačina drugog reda sa konstantnim koeficijentima)

To je jednačina oblika ay +by'+cy=. Njeno opšte rešenje je oblika yh=C1 y1+C2 y2 gde su C1 i C2 proizvoljne i međusobno nezavisne konstante a y1 = y1(x) i y2 = y2(x) dva linearno nezavisna rešenja diferencijalne jednačine.

Da bi funkcije y1 i y2 bile linearno nezavisne potrebno je da je W ( y1 , y2 )=|y1 y2

y1' y2

' |≠0. Rešenja y1 i y2 zovemo osnovna

rešenja. Osnovna rešenja tražimo u obliku y=erx, gde je r konstanta koju treba odrediti. Kako je y’ = rerx, y” = r2erx, to, zamenom

55

u diferencijalnu jednačinu, dobijamo posle skraćivanja sa erx , ar2+br+c=0. Prethodna jednačina je karakteristična jednačina diferencijalne jednačine. Neka su r1 i r2 koreni karakteristične jednačine. Mogu da nastupe tri slučaja:

1) Ako je D = b2 – 4ac > 0, tada je r1 r2 pa je opšte rešenje diferencijalne jednačine yh=C1 er 1x+C2 e

r2x .

2) Ako je D = 0, tada je r1 = r2 pa je yh=C1 er 1x+C2 xe

r2 x .

3) Ako je D < 0, tada je r1,2 = u iv, pa je yh=eux (C 1cosvx+C2sinvx ) .

Definicija 9: (nehomogena linearna diferencijalna jednačina)

To je jednačina oblika ay + by '+ cy = f ( x )≠. Opšte rešenje te jednačine se dobija kao zbir njenog homogenog dela, yh, i

njenog partikularnog rešenja, yp, tj. y= yh+ y p. Oblik u kome se traži partikularno rešenje, yp, zavisi od oblika date funkcije f(x). Mi ćemo posmatrati ovde sledeće jednačine:

1) ay +by'+cy= {A} rsub {n} {x} ^ {n} + {A} rsub {n-1} {x} ^ {n-1} +…+ {A} rsub {0} Partikularno rešenje se traži u obliku:

a) y p=an xn+an−1x

n−1+…+a0 , ako je c ≠0,

b) y p=x (an xn+an−1 x

n−1+…+a0), ako je c=0.

2) ay + by '+ cy = A {e} ^ {px.

Partikularno rešenje se traži u obliku:

a) y p=aepx , za p≠r 1 i p≠r 2.

b) y p=axepx , za p=r1 ili p=r2 (r 1≠ r2 ). c) y p=a x2 e px, za p=r1=r2.

3) ay +by'+cy=Asin left (βx right ) +Bcos left (βx right ) Partikularno rešenje traži se u obliku:

a) y p=asin ( βx )+bcos ( βx ) zar1,2≠± iβ ,b) y p=x (asin (βx )+bcos (βx ) ) zar 1,2=± iβ .

4)ay +by'+cy= left ({A} rsub {n} {x} ^ {n} + {A} rsub {n -1} {x} ^ {n -1} +…+ {A} rsub {0} right ) {e} ^ {px

.

Smenom y=z e px , gde je z nova nepoznata funkcija, svodi se na slučaj 1.

5) ay +by'+cy= left (Asin left (βx right ) +Bcos left (βx right ) right ) {e} ^ {px}

Smenom y=z e px , gde je z nova nepoznata funkcija, svodi se na slučaj 4.

6) Ako je f ( x )=f 1 ( x )+ f 2 (x )+…+ f n ( x ), gde su f 1 ( x ) , f 2 (x ) ,…, f n ( x ) funkcije iz tačaka 1 do 5, onda se

partikularno rešenje traži u obliku zbira partikularnih rešenja pojedinih funkcija, tj. yp = yp1 + yp2 + … + ypn.

480. Rešiti diferencijalnu jednačinu: y '+ y2=0.

481. Naći opšte rešenje diferencijalne jednačine: y ' (3 y2+2 y ) tgx= y3+ y2+1.

482. Naći opšte rešenje diferencijalne jednačine: (x2−6 x+10 ) y ' tgy−1=0.

483. Naći opšte rešenje diferencijalne jednačine:

xdy√1− y2

+ ydx√1−x2

=0.

484.

Naći opšte rešenje diferencijalne jednačine: x √1+ y2dx+ y√1+x2dy=0

.

485. Naći opšte rešenje diferencijalne jednačine: (x2−6 x+25 ) y ' tgy+1=0.

486. Naći opšte rešenje diferencijalne jednačine: y ' ( y5+ y2) tgx= y6+2 y3+6 .

487. Naći opšte rešenje diferencijalne jednačine: y ' (4 y3+1 )ctgx= y4+ y+1.

56


488. Naći opšte rešenje diferencijalne jednačine: x+xy+ y ' ( y+xy )=0.

489. Rešiti diferencijalnu jednačinu: (x3−2 x2+x−2 ) y'=2x2 y+3 xy−4 y .

490. Rešiti diferencijalnu jednačinu: (8 y2−12 y+2 ) y '=x y3−2x y2+xy−2x .

491.Naći opšte rešenje diferencijalne jednačine: x y '= y+x (1+e− yx ).

492.

Rešiti diferencijalnu jednačinu: x y '= yln y

x.

493. Rešiti diferencijalnu jednačinu: x2 y '=2 x2+ y2+xy .

494. Rešiti diferencijalnu jednačinu: x2 y '=x2+ y2+xy.

495. Rešiti diferencijalnu jednačinu: y ' x+ ylnx= y+ ylny .496.

Naći opšte rešenje diferencijalne jednačine: ( y+x3 sinx )dx=xdy .497. Rešiti diferencijalnu jednačinu: 2 x (x2+ y )dx=dy .

498. Naći opšte rešenje diferencijalne jednačine: y '+ ysinx=sinx .

499. Naći opšte rešenje diferencijalne jednačine: x y '= y+x2 cosx .

500. Naći opšte rešenje diferencijalne jednačine: y '−1

xy=x3 .

501.

Rešiti diferencijalnu jednačinu: y '+ 1xy=x5 .

502.

Odrediti opšte rešenje diferencijalne jednačine: y+x2 sinx=xy '

.

503. Rešiti diferencijalnu jednačinu: x y '− y=2 x5.

504. Naći opšte rešenje diferencijalne jednačine: y '− 1

xy=x2√ y .

505. Rešiti diferencijalnu jednačinu: y '− y=2x2√ y .

506. Rešiti diferencijalnu jednačinu: x y '+ y− y2lnx=0.

507. Rešiti diferencijalnu jednačinu: y '+12x y3=1

2y .

508. Rešiti diferencijalnu jednačinu: y =2x+ {y'} over {x.

509.

Rešiti diferencijalnu jednačinu: y = {1} over {x} - {y'} over {x}

510.

Rešiti diferencijalnu jednačinu: yy - {y} ^ {'2} =.

511. Rešiti diferencijalnu jednačinu: y +4y=2sin left (2x right .512.

Naći opšte rešenje diferencijalne jednačine: y +y=sinx-cosx513.

Odrediti opšte rešenje diferencijalne jednačine: y +3y'+2y=x {e} ^ {-x .

514. Rešiti diferencijalnu jednačinu: y -2y'= left (x+1 right ) {e} ^ {2x .

515. Rešiti diferencijalnu jednačinu: y +2y'+y= left (1+x right ) {e} ^ {-x.

516. Rešiti diferencijalnu jednačinu: y -4y'+4y= left (1-x right ) {e} ^ {2x .

517. Rešiti diferencijalnu jednačinu: y -2y'+y= {x} ^ {2} {e} ^ {x .

518. Rešiti diferencijalnu jednačinu: y -4y= {e} ^ {x} sin (x .

519. Rešiti diferencijalnu jednačinu: y -y=3 {e} ^ {2x} cos.

520. Rešiti diferencijalnu jednačinu: y -2y'-3y= {e} ^ {x} cos2.

521. Rešiti diferencijalnu jednačinu: y -5y'+6y= {e} ^ {2x} +cos3.

522. Naći opšte rešenje diferencijalne jednačine: y +4y=sinx+sin left (2x right .

523. Odrediti opšte rešenje diferencijalne jednačine: y -7y'+12y=3x+ {e} ^ {4x .

524. Odrediti opšte rešenje diferencijalne jednačine: y +y'-12y= {e} ^ {3x} -4.

57

525. Rešiti diferencijalnu jednačinu: y +2y'-3y= {x} ^ {2} - {e} ^ {-x.

526. Rešiti diferencijalnu jednačinu: y +y= {x} ^ {2} +sin.

527. Rešiti diferencijalnu jednačinu: y +y= {x} ^ {2} +sin2x

528. Rešiti diferencijalnu jednačinu: y +y=x {e} ^ {x} +5sinx

529. Rešiti diferencijalnu jednačinu: y -3y'+2y=x {e} ^ {x} -6sinx530.

Naći opšte rešenje diferencijalne jednačine: y -4y= {e} ^ {2x} +sin left (2x right .

531. Naći opšte rešenje diferencijalne jednačine: y +17y'+72y= {e} ^ {-9x} -8.

532. Naći opšte rešenje diferencijalne jednačine: y +17y'+72y= {e} ^ {-8x} -9.

533. Odrediti opšte rešenje diferencijalne jednačine: y -17y'+72y=8x+ {e} ^ {9x .

534. Rešiti diferencijalnu jednačinu: y +4y=x+2sin left (2x right .

535. Rešiti diferencijalnu jednačinu: y +4y=x+2cos left (2x right .

536. Rešiti diferencijalnu jednačinu: y -2y'= {e} ^ {2x} +2sin left (2x right .

537. Odrediti opšte rešenje diferencijalne jednačine: y -7y'=x+ {e} ^ {7x.

538. Naći opšte rešenje diferencijalne jednačine: y -4y'+3y=sin left (3x right ) + {e} ^ {3x .

539. Naći opšte rešenje diferencijalne jednačine: y -5y'=2x- {e} ^ {5x.

540. Rešiti diferencijalnu jednačinu: y -4y= {x} ^ {2} +x+ {e} ^ {2x .

541. Rešiti diferencijalnu jednačinu: y -4y= {x} ^ {2} +1+2 {e} ^ {2x .

542. Rešiti diferencijalnu jednačinu: y +y=2 {e} ^ {x} +sinx

543. Rešiti diferencijalnu jednačinu: y -2y'=x {e} ^ {2x} +x+.

544. Naći opšte rešenje diferencijalne jednačine: y +9y=x+sin3x

545. Naći opšte rešenje diferencijalne jednačine: y -9y=3x+ {e} ^ {3x.

546. Rešiti diferencijalnu jednačinu: y -4y'+3y= left (1-x right ) {e} ^ {2x} +.

547. Naći opšte rešenje diferencijalne jednačine: y +αy=sinx zavisno od vrednosti realnog parametra α .(α>0).

548. Naći opšte rešenje diferencijalne jednačine: y +4y=2x+sin (2x.

549. Rešiti diferencijalnu jednačinu: y +y=x+sinx

550. Postaviti diferencijalnu jednačinu čije će opšte rešenje glasiti: y=C1 sin2 x+C2 cos2 x .

551. Postaviti diferencijalnu jednačinu čije će opšte rešenje glasiti: y=ex (C1sin 2 x+C2 cos2 x) .

552. Postaviti diferencijalnu jednačinu čije će opšte rešenje glasiti: y=C1e

2 x+C2e−2 x+x2 .

58


11. DEOVEROVATNOĆAU jedanaestom delu upoznaćete se sa zadacima iz verovatnoće.

Zadaci su grupisani od lakših ka težim.


1. Uslovna verovatnoća2. Uslovna verovatnoća i nezavisni događaji

Definicija 1: (verovatnoća i događaj)

Elementarni događaji su mogući ishodi slučajnih eksperimenata. Označavaju se sa i (i I), a skup svih takvih elementarnih događaja označavamo sa i nazivamo prostorom elementarnih događaja ili prostorom mogućih ishoda.Događaj će biti svaki podskup skupa .Presek događaja A i B označavamo sa AB, ili samo sa AB, i definišemo sa: AB ={ | A B.Slično, unija se definiše sa: A B = { A B}, a specijalno, kada AB = , uniju označavamo sa A + B.

Komplement, odnosno suprotan događaj, A događaja A je A=Ω ¿ .Skup nazivamo izvesnim, a nemogućim događajem.Kada je skup konačan, a mi ćemo to ovde uvek pretpostavljati, verovatnoću nekog slučajnog događaja A , u oznaci P(A),

definišemo kao: P (A )=mn

, gde je n ukupan broj mogućih, a m ukupan broj povoljnih događaja, pod pretpostavkom da su svi

elementarni događaji jednako verovatni. Biće naime:

P( A )=∑ω∈ A

p(ω ), gde smo sa p() označili verovatnoću elementarnog

doga|aja . Ovakva funkcija P ima sledeće osobine:

0≤P (A )≤1 , zasvaki AP (∅ )=0P (Ω )=1

P (A∪B )=P (A )+P (B )−P ( AB )P (A )=1−P (A )

Specijalno, ako AB = , onda P(A+B) = P(A) + P(B).

Definicija 2: (uslovna verovatnoća i nezavisni događaji)

Uslovnu verovatnoću P(B | A) događaja B pod uslovom da se ostvari događaj A, pretpostavljajući da je

P(A) > 0, definišemo kao: P (B∨A )= P (AB )P (A )

. Ovako definisana funkcija uslovne verovatnoće ima sledeće osobine:

0≤P (B∨A )≤1P (∅∨A )=0P ( A∨A )=1

P (B∨A )=1, ako je A⊂BP (B+C∨A )=P (B∨A )+P (C∨A ) , ako je BC=∅

P (B∨A )+P (B∨A )=1

Formula potpune verovatnoće. Niz skupova A1,…,An nazivamo razbijanjem izvesnog događaja ako je AiAj = , za sve i j, i, A1 + … + An = . Još se kaže da ovakva kolekcija skupova čini potpun sistem događaja, i za njega, uz pretpostavku P(A i) > 0, za

59

svaki i važi: P(B)=∑

i=1

n

P(B|Ai )P (A i ), gde je B proizvoljan događaj.

Specijalno za 0 < P(A) < 1: P (B )=P (B∨A ) P ( A )+P (B∨A )P ( A ).Za događaje A i B kažemo da su nezavisni ako je P(AB) = P(A) P(B). Stoga se nezavisnost događaja može okarakterisati i uslovom: P(B | A) = P(B).

553.U kutiji se nalazi 30 belih i 10 crvenih kuglica. Izvlačimo četiri kuglice iz kutije, jednu za drugom, tako što svaki put ponovo vratimo izvučenu kuglicu u kutiju, da bi izvlačenje ponovili iz kutije sa početnim brojem kuglica. Naći verovatnoću da će od četiri izvučene kuglice dve biti bele i dve crvene.

554.U kutiji se nalazi 10 kuglica, od kojih je 4 belih. Izvlačimo dve kuglice, jednu za drugom bez vraćanja. Označimo sa A događaj da je prva izvučena kuglica bele boje, a sa B događaj da je druga izvučena kuglica bela. Naći verovatoće:

P (B∨A ) ,P (B∨A ) ,P (B ) ,P (A ).555. Iz kutije u kojoj se nalazi 6 crvenih i 8 plavih kuglica na slučajan način izvlačimo tri kuglice odjednom. Kolike su

verovatnoće događaja: A - da izvučemo sve tri kuglice iste boje i B - da izvučemo tri kuglice plave boje. 556.Da bi pronašao jednu knjigu, student ima nameru da obiđe tri biblioteke. Za svaku od biblioteka je jednako verovatno da

nema, odnosno da ima tu knjigu u svom knjižnom fondu, a takođe, ako biblioteka ima knjigu, verovatnoća da je ta knjiga slobodna jednaka je verovatnoći da je ista zauzeta. Kolika je verovatnoća da će student dobiti traženu knjigu?

557.U prvoj kutiji je 5 belih i 10 crvenih, a u drugoj 3 bele i 7 crvenih kuglica. Iz druge kutije smo u prvu prebacili jednu kuglicu, a zatim smo iz prve kutije izvukli jednu kuglicu. Koja je verovatnoća da smo izvukli belu kuglicu?

558.Iz kutije u kojoj se nalaze 4 bele, 6 plavih i 8 zelenih kuglica, slučajno izvlačimo 3 kuglice. Odrediti verovatnoću događaja A - da izvučemo sve tri kuglice iste boje i B - da izvučemo tri kuglice različitih boja?

559.Iz kutije u kojoj se nalazi 7 crvenih i 9 plavih kuglica na slučajan način izvlačimo 4 kuglice:a) odjednomb) jednu za drugom sa vraćanjem. Kolike su verovatnoće događaja: A - da izvučemo sve 4 kuglice iste boje i B - da izvučemo bar dve kuglice plave boje?

560.Iz kutije u kojoj se nalazi 7 belih i 9 crvenih kuglica izvlačimo odjednom 4 kuglice. Koja je verovatnoća da ćemo izvući:a) dve bele i dve crvene kugliceb) sve četiri kuglice iste boje.

561.Iz kutije u kojoj se nalazi 8 belih i 9 crvenih kuglica izvlačimo dve kuglice. Odrediti verovatnoću događaja A da, izvlačeći kuglice odjednom, izvučemo 2 bele kuglice; događaja B da, izvlačeći kuglice odjednom, izvučemo 2 kuglice različitih boja; kao i događaja C da, izvlačeći kuglice jednu za drugom, bez vraćanja, izvučemo drugu kuglicu bele boje.

562.Iz kutije u kojoj se nalazi 7 belih, 8 crvenih i 9 zelenih kuglica izvučene su odjednom 2 kuglice. Ispostavilo se da su te 2 kuglice različitih boja. Naći verovatnoću događaja A da je jedna od njih bela i jedna crvena i događaja B da je jedna od njih bela.

563.Jednu kocku smo obojili a zatim smo je isekli na manje međusobno jednake kocke tri puta kraćih ivica od polazne. Slučajno biramo jednu od dobijenih kocki i bacamo je. Odrediti verovatnoću događaja: A - da je bačena kocka pala na obojenu stranu.

564.U kutiji se nalaze dve kocke. Jednoj su tri polja označena brojem 1 i tri preostala polja brojem 2, dok su drugoj dva polja označena brojem 1, a preostala četiri polja brojem 2. Slučajno izvlačimo jednu kocku i bacamo je. Pretpostavimo da se pojavio broj 1. Koja je verovatnoća da smo izvukli prvu kocku?

565.Iz kutije u kojoj se nalazi 8 belih i 9 crvenih kuglica jedna kuglica je izgubljena. Da bismo, na osnovu eksperimenta, izveli zaključak o boji izgubljene kuglice, izvukli smo odjednom 3 kuglice i to 1 belu i 2 crvene. Naći verovatnoću događaja B da je izgubljena kuglica bele boje i događaja C da je izgubljena kuglica crvene boje.

566.U prvoj kutiji ima b – belih i c – crvenih, a u drugoj x – belih i y – crvenih kuglica.a) Iz prve kutije prebacujemo jednu kuglicu u drugu kutiju, ne obraćajući pažnju na njenu boju. Nakon toga, iz druge kutije izvlačimo jednu kuglicu. Kolika je verovatnoća događaja A da je izvučena kuglica bele boje?b) Pretpostavljajući da je b≥3 i c≥3, iz prve kutije prebacujemo 3 kuglice u drugu kutiju, ne obraćajući pažnju na njihove boje. Posle toga, iz druge kutije izvlačimo jednu kuglicu. Kolika je verovatnoća događaja B da je izvučena kuglica bele boje?

567.U prvoj kutiji ima b - belih i c - crvenih, u drugoj x - belih i y - crvenih, dok se u trećoj kutiji nalaze samo bele kuglice. Slučajnim putem biramo kutiju i iz nje slučajno izvlačimo jednu kuglicu i to bele boje. Koja je verovatnoća da smo kuglicu izvukli iz prve, druge, odnosno treće kutije.

60


12. DEOFINANSIJSKA MATEMATIKAU dvanaestom delu upoznaćete se sa zadacima iz finansijske matematike.

Ova oblast retko dolazi na ispitu i ovde su dati primeri zadataka koji se uglavnom ponavljaju na ispitu.


1. Neprekidno kapitalisanja2. Interesni račun pri neprekidnom kapitalisanju3. Složen intresni račun – neprekidno kapitalisanje4. Složen interesni račun

Definicija 1: (procentni račun)

U procentnom računu se javLJaju sledeće veličine: G – glavnica (osnovna veličina), P – prinos, p – procenat, tj. broj jedinica prinosa na svakih 100 jedinica glavnice. Veličine G, P i p stoje u proporciji G : P = 100 : p, odakle se dobijaju veličine:

G=100 ∙Pp

,P=G ∙ p100

, p=100∙ PG

. Iz početne proporcije sledi proporcija

G : 100 = P : p, iz koje se dobija produžena proporcija (G P) : (100 p) = G : 100 = P : p.

Iz nje nalazimo prinos P= (G±P ) p100± p

i glavnicu G= (G±P ) ∙100100± p

, za slučajeve kada je glavnica uvećana ili umanjena

prinosom.

Definicija 2: (interesni račun)

U interesnim računima javljaju se sledeće veličine: K – kapital, i – interes, p – interesna stopa koja kazuje koliko se novčanih jedinica interesa plaća na 100 dinara kapitala za jednu godinu, t – vreme koje može biti dato u godinama g, mesecima m i u danima d.Koriste se stalni brojevi 100 kada je vreme dato u godinama, 1200 kada je vreme dato u mesecima i 36000 ili 36500 kada je vreme dato u danima, zavisno da li godinu računamo kao 360 ili 365 dana.

Veličine K, i, p i t stoje u proporciji K : i=100 : p ∙g K : i=36000 : p∙dK : i=1200 : p ∙m K : i=36500 : p∙d

odakle se dobijaju veličine K, i, p i t.Izračunavanje ukupnog interesa i kod potrošačkog kredita od K dinara, uzetog na n jednakih otplata uz godišnju interesnu

stopu od p% je i= K ∙ p ∙ ( n+1 )2400

.

Definicija 3: (složen interesni račun)

Krajnja vrednost kapitala Kn (uvećani ulog zajedno sa interesom na interes) pri godišnjem kapitalisanju nakon n godina je

K n=K0(1+ p100 )

n

, gde je K0 početni kapital a p dekurzivna interesna stopa. Kapitalisanje pored godišnjeg u oznaci (pa)

može biti šestomesečno (ps), tromesečno (pd), mesečno (pm), dnevno i neprekidno.Računanje i odobravanje kamate na kraju određenog vremenskog intervala zove se dekurzivno računanje interesa i označava se slovom d uz interesnu stopu. Tako (pa) d znači da je interesna stopa p% godišnja.Ako se kapitalisanje vrši m puta godišnje uz interesnu stopu p% tada je krajnja vrednost kapitala K0 posle n godina

Kmn=K 0(1+ p100m )

mn

.

Ako je kapitalisanje neprekidno uz godišnju interesnu stopu p%, tada je krajnja vrednost kapitala K0 posle vremena t koje je

dato u godinama (t ne mora biti ceo broj) jednaka K t=K 0 ept

100 .

Neka je p1% interesna stopa pri kapitalisanju m puta godišnje, a p% godišnja interesna stopa pri neprekidnom kapitalisanju.

61

Da bi krajnje vrednosti kapitala, pri neprekidnom kapitalisanju i pri kapitalisanju m puta godišnje, na kraju obračunskog

perioda imale iste vrednosti, za interesne stope p i p1 važi relacija p=100 ∙m∙ ln(1+ p1

100m ) .568. Cena hleba je uvećana za 150%. Da bi koštao isto kao i pre poskupljenja, za koliko procenata treba umanjiti novu cenu?569. Na koliko naraste ulog od 25000 dinara za tri godine, ako je interesna stopa 6% (pa)d i kapitalisanje:

a) godišnje,b) tromesečno,c) neprekidno?

570. Uz koju će kamatnu stopu kapital od K0 dinara da naraste na e·K0 za dve godine uz neprekidno kapitalisanje. Zadatak rešiti u decimalnom i procentualnom zapisu.

571. Odrediti vezu između kamatnih stopa prekidnog i neprekidnog kapitalisanja.572. Naći godišnju kamatnu stopu neprekidnog kapitalisanja koja će davati iste iznose kao i kamatna stopa od 3% sa četiri

kapitalisanja u toku godine.573. Naći godišnju kamatnu stopu neprekidnog kapitalisanja koja će kapitalu davati iste iznose kao 6% polugodišnjeg

kapitalisanja.574. Odrediti interesnu stopu p pri kojoj kapital uz neprekidno kapitalisanje dostiže istu vrednost na kraju jedne godine, kao i

pri interesnoj stopi od 8% uz godišnje kapitalisanje.575. Odrediti efektivnu godišnju kamatu koja odgovara nominalnoj godišnjoj stopi od 20% uz kapitalisanje:

a) polugodišnjeb) kvartalnoc) neprekidno

62


REŠENJA1. Relacija ρ je refleksivna, antisimetrična i tranzitivna.2. Relacija je relacija poretka na skupu realnih brojeva za n = 3. Za n = 4 relacija nije relacija poretka jer npr. nije

antisimetrična (2 -2 i -2 2).3. Relacija je relacija poretka na skupu prirodnih brojeva, a na skupu celih brojeva nije jer nije antisimetrična (2 -2 i -2 2).4. Relacija je relacija poretka i na skupu prirodnih i na skupu celih brojeva.5. Relacija jeste uređenje (relacija poretka) skupa (1 ,+∞ ) , ali ne i skupa R, jer na skupu R nije antisimetrična

(7 ρ 17i 1

7ρ7).

6. Relacija jeste relacija ekvivalencije. Klasa ekvivalencije broja 3 je {−3 ,−13, 13,3}.

7. Relacija nije relacija ekvivalencije jer nije tranzitivna 2 ρ−2∧−2 ρ−12∧2non ρ−1

2.

8. Relacija jeste relacija ekvivalencije. Klasa ekvivalencije broja 0 je {0 }, klasa ekvivalencije broja 1 je {1 ,−1 } , a klasa

ekvivalencije broja 2 je {2 ,−2 , 12,−1

2 } .

9. Relacija jeste relacija ekvivalencije. Klasa ekvivalencije broja 7 je {7 ,−17 }, a klasa ekvivalencije broja

17

je {17 ,−7 }.

10. Relacija jeste relacija ekvivalencije.11. Nad skupom S= {1,2,3,4 } može se definisati 15 različitih relacija ekvivalencije.12. Ne sledi, jer npr. za ρ={(1,2 ) , (2,3 ) , (1,3 ) } i σ={(2,4 ) , ( 4,5 ) , (2,5 ) }, ρ∪σ={(1,2 ) , (2,3 ) , (1,3 ) , (2,4 ) , (4,5 ) , (2,5 ) }, pa iako su i tranzitivne relacije nije tranzitivna.

(1 ρ2∧2 ρ4∧1non ρ4 ).13. Relacija -1 jeste relacija ekvivalencije na skupu A, pod uslovom da je refleksivna i tranzitivna.14. Funkcija f(x) nije bijekcija jer nije ni “1-1” ni “NA” na skupu realnih brojeva, dok funkcija g(x) jeste bijekcija.15. Funkcija f(x) nije bijekcija jer nije ni “1-1” ni “NA” na skupu realnih brojeva, dok funkcija g(x) jeste bijekcija.16. Funkcija f(x) je bijekcija.17. Koristeći definiciju lako se dokaže da y↗ za x>0 , y↘ za x<0 , y∪ za∀ x∈R .

18. Sa matricom A su komutativne sve matrice oblika (α 0β α) , α , β∈R .

19. Sa matricom A su komutativne sve matrice oblika ( α 02 β−2α β) , α , β∈ R.

20. det = 0

21. A−1=(1 4 −30 −3 20 2 −1).

22. A−1=(1 −2 10 1 −20 0 1 ).

23. A−1=(−8 29 −11−5 18 −71 −3 1 ).

24. ( AB )−1=( AB )−1 I= (AB )−1 A A−1=( AB )−1 AI A−1=( AB )−1 ABB−1 A−1=I B−1 A−1=B−1 A−1 .

63

25. X=( 3 −1 1−1 2 −11 0 2 ).

26. X= 131 (21 −3 −1

1 22 −33 4 22 )

27. X=(1 2 00 0 90 9 1).

28. X=(0 1 12 2 23 4 5).

29. X=(0 1 23 4 5).

30. r ( A )=2 nezavisno od parametra a.31. Za a≠2⟹ r ( A )=3 , a za a=2⟹ r (A )=2. 32. r ( A )=3 nezavisno od parametra a.33. Za a≠−3⟹ r ( A )=3 , a za a=−3⟹ r ( A )=2.34. Za a≠1⟹ r ( A )=3 , a za a=1⟹ r (A )=2.35. Za a≠6⟹ r (A )=3 , a zaa=6⟹ r ( A )=2.36. Za a≠1⟹ r ( A )=3 , a za a=1⟹ r (A )=2.37. Za a≠2⟹ r ( A )=3 , a za a=2⟹ r (A )=2.38. Kako je r ( A )=2⇒ Matrica A ima dve linearno nezavisne vrste.39. Može se formirati više od dva bazisna minora, a dva od njih su na primer:

1. x+2 y=8+α

−x+2 y=−8+α

2. −2 x−4 y=−16−2α−x+2 y=−8+α

40. Sistem ima beskonačno mnogo rešenja i ona su oblika

( x , y , z )=(8 , α2, α) , α∈R .

41. Sistem nema rešenja.42. Sistem ima beskonačno mnogo rešenja i ona su oblika

( x , y , z , u )=(1+4α+2β ,2−72α−3 β , α , β) , α , β∈R .

43. Sistem ima jedinstveno rešenje: ( x , y , z )=( 52, 12,−3) .44. Za a≠−3⟹ sistem ima jedinstveno rešenje: ( x , y , z )=(0,0,0 ) ,

a za a=−3⟹ sistem ima beskonačno mnogo rešenja i ona su oblika ( x , y , z )=(−4α ,α ,−3α ) , α∈R .45. Za a≠−8⟹ sistem ima jedinstveno rešenje: ( x , y , z )=(0,0,0 ) ,

a za a=−8⟹ sistem ima beskonačno mnogo rešenja i ona su oblika ( x , y , z )=(0 , 43α ,α) , α∈R .

46. Za k ≠−1⟹ sistem ima jedinstveno rešenje: ( x , y , z )=(0,0,0 ) ,

a za k=−1⟹ sistem ima beskonačno mnogo rešenja i ona su oblika ( x , y , z )=( 35α , 4

5α ,α) , α∈ R .

64


47. Za a≠−3⟹ sistem ima jedinstveno rešenje: ( x , y , z )=(0,0,0 ) ,a za a=−3⟹ sistem ima beskonačno mnogo rešenja i ona su oblika ( x , y , z )=(α ,0 , α ) , α∈R .48. Za a≠4⟹ sistem ima jedinstveno rešenje: ( x , y , z )=(0,0,0 ) ,a za a=4⟹ sistem ima beskonačno mnogo rešenja i ona su oblika ( x , y , z )=(−α ,0 , α ) , α∈R .49. Za k ≠−1⟹ sistem ima jedinstveno rešenje: ( x , y , z )=(0,0,0 ) ,a za k=−1⟹ sistem ima beskonačno mnogo rešenja i ona su oblika ( x , y , z )=(5α ,−4 α ,α ) , α∈ R .50. Za a≠1⟹ sistem ima jedinstveno rešenje: ( x , y , z )=(0,0,0 ) ,a za a=1⟹ sistem ima beskonačno mnogo rešenja i ona su oblika ( x , y , z )=(−α ,2α ,α ) , α∈R .51. Za a≠3⟹ sistem ima jedinstveno rešenje: ( x , y , z )=(0,0,0 ) ,a za a=3⟹ sistem ima beskonačno mnogo rešenja i ona su oblika ( x , y , z )=(0 , α ,α ) , α∈R .52. Za a≠1⟹ sistem ima jedinstveno rešenje: ( x , y , z )=(0,0,0 ) ,a za a=1⟹ sistem ima beskonačno mnogo rešenja i ona su oblika ( x , y , z )=(α ,−α ,α ) , α∈R .53. Za a≠−4⟹ sistem ima jedinstveno rešenje: ( x , y , z )=(0,0,0 ) ,a za a=−4⟹ sistem ima beskonačno mnogo rešenja oblika ( x , y , z )=(−19α ,11α ,α ) , α∈R .54. Za a≠4⟹ sistem ima jedinstveno rešenje: ( x , y , z )=(0,0,0 ) ,

a za a=4⟹ sistem ima beskonačno mnogo rešenja i ona su oblika ( x , y , z )=(−57

α ,−27α ,α ), α∈ R .

55. Za a≠9⟹ sistem ima jedinstveno rešenje: ( x , y , z )=(0,0,0 ) ,a za a=9⟹ sistem ima beskonačno mnogo rešenja i ona su oblika ( x , y , z )=(α ,−2α ,α ) , α∈R .56. Za a≠3⟹ sistem ima jedinstveno rešenje: ( x , y , z )=(0,0,0 ) ,a za a=3⟹ sistem ima beskonačno mnogo rešenja i ona su oblika ( x , y , z )=(−3α ,α ,7 α ) , α∈R .57. Za a≠−1⟹ sistem ima jedinstveno rešenje: ( x , y , z )=(0,0,0 ) ,a za a=1⟹ sistem ima beskonačno mnogo rešenja i ona su oblika ( x , y , z )=(−α ,0 , α ) , α∈R .58. Za k ≠3∧k ≠5⟹ sistem ima jedinstveno rešenje: ( x , y , z )=(0,0,0 ) ,za k=3⟹ sistem ima beskonačno mnogo rešenja i ona su oblika ( x , y , z )=(α ,−5α ,3α ) , α∈R ,a za k=5⟹ sistem ima beskonačno mnogo rešenja i ona su oblika ( x , y , z )=(α ,−3α ,α ) , α∈R .59. Za a≠1∧a≠−1⟹ sistem ima jedinstveno rešenje: ( x , y , z )=(0,0,0 ) ,za a=1⟹ sistem ima beskonačno mnogo rešenja i ona su oblika ( x , y , z )=(α ,−α ,0 ) ,α ∈R ,a za a=−1⟹ sistem ima beskonačno mnogo rešenja i ona su oblika ( x , y , z )=(−3α ,α ,2α ) , α∈R .60. Za a≠1∧a≠2∧a≠−3⟹ sistem ima jedinstveno rešenje: ( x , y , z )=(0,0,0 ) ,za a=1⟹ sistem ima beskonačno mnogo rešenja i ona su oblika ( x , y , z )=(α ,α ,0 ) , α∈R ,za a=2⟹ sistem ima beskonačno mnogo rešenja i ona su oblika ( x , y , z )=(α ,−α ,3α ) , α∈R ,a za a=−3⟹ sistem ima beskonačno mnogo rešenja i ona su oblika ( x , y , z )=(−α ,α ,2α ) , α∈R .

61. Za k ≠−457∧ k≠4⟹ sistem ima jedinstveno rešenje: ( x , y , z )=(0,0,0 ) ,

za k=−457

⟹ sistem ima beskonačno mnogo rešenja: ( x , y , z )=( 3320

α ,− 67140

α ,α) , α∈R ,

a za k=4⟹ sistem ima beskonačno mnogo rešenja i ona su oblika ( x , y , z )=(−2α ,−α ,α ) , α∈R .62. Za a≠−1⟹ sistem ima jedinstveno rešenje: ( x , y , z )=(0,0,0 ) ,a za a=1⟹ sistem ima beskonačno mnogo rešenja i ona su oblika ( x , y , z )=(α ,−α ,α ) , α∈R .63. Za a≠2∧a≠3⟹ r ( A )=n⟹ sistem ima jedinstveno rešenje: ( x , y , z )=(0,0,0 ) ,za a=2⟹r ( A )<n⟹ sistem ima beskonačno mnogo rešenja: ( x , y , z )=(α ,−α ,0 ) ,α∈R ,a za a=3⟹ r ( A )<n⟹ sistem ima beskonačno mnogo rešenja: ( x , y , z )=(α ,0 ,−α ) ,α ∈R .64. Za a≠1∧a≠2∧a≠−2⟹ sistem ima jedinstveno rešenje: ( x , y , z )=(0,0,0 ) ,za a=1⟹ sistem ima beskonačno mnogo rešenja i ona su oblika ( x , y , z )=(α ,0 ,−α ) ,α ∈R ,

65

za a=2⟹ sistem ima beskonačno mnogo rešenja i ona su oblika ( x , y , z )=(α ,−α ,−3α ) , α∈R ,a za a=−2⟹ sistem ima beskonačno mnogo rešenja i ona su oblika ( x , y , z )=(−7α ,3α ,α ) , α∈R .

65. Za a≠ 185⟹ sistem ima jedinstveno rešenje: ( x , y , z )=( −4

5a−18, −3

5a−18, 55a−18 ) ,

a za a= 185⟹ sistem je protivrečan, tj. nema rešenja.

66. Za a≠3⟹ sistem ima jedinstveno rešenje: ( x , y , z )=( −23 (a−3 )

, 13 (a−3 )

, 1a−3 ) ,

a za a=3⟹ sistem je protivrečan, tj. nema rešenja.

67. Za a≠4⟹ sistem ima jedinstveno rešenje: ( x , y , z )=( 14−a

,0 , 1a−4 ) ,



,0 , 2a−3 ) ,


69. Za k ≠4∧ k ≠−457⟹ sistem ima jedinstveno rešenje:

( x , y , z )=( −132(k−4 ) (7k+45 )

, −2 (5k+13 )( k−4 ) (7k+45 )

, 2 (7k+5 )(k−4 ) (7k+45 ) ) ,

za k=4⟹ sistem je protivrečan , tj . nemarešenja ,

a za k=−457

⟹ sistem je protivrečan , tj . nemarešenja .


, 24a−2

, 4a−2 ) ,


71. Za a≠1⟹ sistem ima jedinstveno rešenje: ( x , y , z )=( 84 (a−1 )

, a+54 (1−a )

, 1−3a4 (1−a ) ) ,


72. Za a≠1⟹ sistem ima jedinstveno rešenje: ( x , y , z )=(0,0 , 12 ) ,

a za a=1⟹ sistem ima beskonačno mnogo rešenja oblika ( x , y , z )=( 2α−13

, 2 (1−2α )3

, α ), α∈ R .

73. Sistem nema rešenja.

74. Za a≠2⟹ sistem ima jedinstveno rešenje: ( x , y , z )=( 52, 52,0) ,

a za a=2⟹ sistem ima beskonačno mnogo rešenja oblika ( x , y , z )=( 10−3α4

, 10+α4

, α) , α∈ R .

75. Za a≠1⟹ sistem ima jedinstveno rešenje: ( x , y , z )=(1,0,0 ) ,a za a=1⟹ sistem ima beskonačno mnogo rešenja oblika ( x , y , z )=(1−α−β ,α , β ) , α , β∈R .76. Za a≠−2⟹ sistem ima jedinstveno rešenje: ( x , y , z )=(1,0,0 ) ,a za a=−2⟹ sistem ima beskonačno mnogo rešenja oblika ( x , y , z )=(1 ,−α ,α ) , α∈R .

77. Za a≠ 43⟹ sistem je protivrečan, tj. nema rešenja.

a za a=43⟹ sistem ima beskonačno mnogo rešenja oblika ( x , y , z )=( 1−2α

6, 7α−1

6, α) , α∈R .

66


78. Za a≠7⟹ sistem ima jedinstveno rešenje: ( x , y , z )=( 118

,−118

,−138 ) ,

a za a=7⟹ sistem ima beskonačno mnogo rešenja oblika ( x , y , z )=(α ,11−9α ,8−7α ) , α∈R .

79. Za a≠ 347⟹ sistem ima jedinstveno rešenje: ( x , y , z )=( 5 (6−a )

34−7a, 5 (a−8 )34−7a

, 2 (a−12 )34−7a ) ,


80. Za a≠5⟹ sistem ima jedinstveno rešenje: ( x , y , z )=( −4 a7 (a−5 )

, 2a−5a−5

, a7 (a−5 ) ) ,


81. Za k ≠2⟹ sistem ima jedinstveno rešenje: ( x , y , z )=( 54,−1

4,0) ,

a za k=2⟹ sistem ima beskonačno mnogo rešenja oblika ( x , y , z )=( 5−α4

, 5α−14

, α), α∈ R .

82. Za a≠−1⟹ sistem ima jedinstveno rešenje: ( x , y , z )=( 75,0 , 1

10 ) ,a za a=−1⟹ sistem ima beskonačno mnogo rešenja oblika ( x , y , z )=( 7

5, 1−10 α

5,α ), α∈ R .

83. Za a≠4⟹ sistem ima jedinstveno rešenje: ( x , y , z )=(1,2,0 ) ,


, 2−α4

, α) , α∈ R .

84. Za k ≠−116⟹ sistem ima jedinstveno rešenje: ( x , y , z )=( 16k+31

6k+11, 106k+11

,−2k−126k+11 ) ,

a za k¿−116⟹ sistem je protivrečan, tj. nema rešenja.

85. Za a≠0⟹ sistem ima jedinstveno rešenje: ( x , y , z )=(−23

, 53,0) ,

a za a=0⟹ sistem ima beskonačno mnogo rešenja oblika ( x , y , z )=(−2−5α3

, 5+2α3

, α) , α∈R .

86. Za a≠1∧a≠2⟹ sistem ima jedinstveno rešenje: ( x , y , z )=(0 , −2a−2

, 3a−4a−2 ),

za a=1⟹ sistem ima beskonačno mnogo rešenja: ( x , y , z )=(α ,2−α ,1 ) , α∈R ,a za a=2⟹ sistem je protivrečan ,tj . nema rešenja .87. Za a≠1⟹ sistem je protivrečan, tj. nema rešenja.a za a=1⟹ sistem ima beskonačno mnogo rešenja oblika ( x , y , z )=(5−4 α ,6−5α ,α ) , α∈R .88. Za a≠1⟹ sistem ima jedinstveno rešenje: ( x , y , z )=(7,7,7 ) ,a za a=1⟹ sistem ima beskonačno mnogo rešenja oblika ( x , y , z )=(7 , α ,α ) , α∈R .

89. Za a≠1∧a≠−2⟹ sistem ima jedinstveno rešenje: ( x , y , z )=(−a+1a+2

, 1a+2

, (a+1 )2

a+2 ) ,za a=1⟹ sistem ima beskonačno mnogo rešenja: ( x , y , z )=(1−α−β , α , β ) , α , β∈R ,a za a=−2⟹ sistem je protivrečan ,tj . nema rešenja .

90. Za a≠−4∧a≠1⟹ sistem ima jedinstveno rešenje: ( x , y , z )=( a+1(a+4 ) (a−1 )

, −3(a+4 ) (a−1 )

, a−2(a+4 ) (a−1 ) ) ,

za a=−4⟹ sistem je protivrečan, tj. nema rešenja,a za a=1⟹ sistem je protivrečan , tj . nemarešenja .

67

91. Za a≠−3⟹ sistem je protivrečan, tj. nema rešenja.

a za a=−3⟹ sistem ima beskonačno mnogo rešenja: ( x , y , z )=( 21−33α13

, 10−12α13

, α) , α∈R .

92. Za a≠5⟹ sistem je protivrečan, tj. nema rešenja.

a za a=5⟹ sistem ima beskonačno mnogo rešenja: ( x , y , z ,u )=( 4−α−6 β5

, 3+3α−7 β5

, α , β ) , α , β∈R .

93. Za a≠−2⟹ sistem ima beskonačno mnogo rešenja: ( x , y , z , t )=(α , 18a (a+2 )−7 a−1512 (a+2 )

, a−36 (a+2 )

, 1a+2 ) ,


94. Za a≠2⟹ sistem ima beskonačno mnogo reš.: ( x , y , z )=( 5 (a−6 )a−2

−3α−4 β , 2 (7−a )a−2

, α , β) , α , β∈R


95. Za a≠1⟹ sistem ima jedinstveno rešenje: ( x , y , z )=(1, 413

,− 313 ),


, 1−5α7

, α ) , α∈R .

96. Za a≠8⟹ sistem ima jedinstveno rešenje: ( x , y , z )=(0,4,3 ) ,

a za a=8⟹ sistem ima beskonačno mnogo rešenja oblika ( x , y , z )=( 3−α8

, 1+5α4

, α) , α∈R .

97. Za a≠−1⟹ sistem ima jedinstveno rešenje: ( x , y , z )=(0 ,−2,0 ) ,a za a=−1⟹ sistem ima beskonačno mnogo rešenja oblika ( x , y , z )=(4 α ,7α−2 , α ) , α∈R .

98. Sistem ima jedinstveno rešenje: ( x , y , z )=( b2+c2−a2

2bc, a

2+c2−b2

2ac, a

2+b2−c2

2ab )99. Za a≠−2⟹ sistem ima beskonačno mnogo rešenja oblika ( x , y , z )=( a

a+2−2α ,α , −2

a+2 ) , α∈R ,

a za a=−2⟹ sistem je protivrečan, tj. nema rešenja.

100.

inf {1n|n∈N }=0 .

101. limn→∞ (12 + 1

22+123+⋯+

12n )=1 .

102. limn→∞

an=1.103. Najpre treba dokazati da je niz ograničen i monoton => niz je konvergentan => niz ima tačno jednu tačku

nagomilavanja.104. Pomoću Opšteg Košijevog kriterijuma konvergencije dokazuje se da je harmonijski red divergentan a hiperharmonijski konvergentan.

105. a) Red ∑n=1

∞ 1n2

je hipeharmonijski red i kao u prethodnom zadatku treba dokazati pomoću opšteg Košijevog kriterijuma da red konvergira.

b) Kako je

1n3<

1n2 za

n>1iz kriterijuma za redove sa pozitivnim članovima => da je konvergentan i red

∑n=1

∞ 1n3

.

68


106. a) Red ∑n=1

∞ 1n

je harmonijski red i kao u zadatku 104. treba dokazati pomoću opšteg Košijevog kriterijuma da red divergira.

b) Kako je

1√n

> 1n za

n>1iz kriterijuma za redove sa pozitivnim članovima => da je konvergentan i red

∑n=1

∞ 1√n

.

107. Kako je n+1n

=1+ 1n> 1n, a znamo da je harmonijski red divergentan, iz teoreme o redovima sa pozitivnim

članovima => da je divergentan i red ∑n=1

∞ n+1n

.

108. Kako je

limn→∞

1√n (n+1)

1n

=1

, a znamo da je harmonijski red divergentan, iz teoreme o redovima sa pozitivnim


∞ 1√n(n+1)

.

109. Kako je

limn→∞

nn2+1

1n

=1,

a znamo da je harmonijski red divergentan, iz teoreme o redovima sa pozitivnim


+∞ nn2+1

.

110. Kako je

limn→∞

n(e1n−1)

2

1n

=1 ,


članovima => da je divergentan i red

∑n=1

+∞n (e

1n−1)

2

.

111. Kako je

limn→∞

n(e1n2−1)

1n

=1 ,



+∞

n(e1n2−1) .

69

112. Kako je

limn→∞

ln( n+1n )

1n

=1,



+∞ln ( n+1

n ).113. Kako je

1n2√n

< 1n2 , za n>1 ,a znamo da je hiperharmonijski red konvergentan, iz teoreme o redovima sa

pozitivnim članovima => da je konvergentan i red ∑n=1

∞ 1n2√n

.

Kako je

limn→∞

ln (1+ 1n )

n√n1

n2 √n

=1 ,

iz teoreme o redovima sa

pozitivnim članovima => da je konvergentan i red ∑n=1

+∞ ln(1+ 1n )

n√n.

114. Kako je

limk→∞

1k

ln (1+ 1k )

1k2

=1 ,

a znamo da je hiperharmonijski red konvergentan, zaključujemo da je red

konvergentan.

115. Kako je

limn→∞

un+1

un=1

5<1,

iz Dalamberove teoreme zaključujemo da je red ∑n=1

∞ 3n−15n

konvergentan.

116. Kako je

limn→∞

un+1

un= 1

e<1 ,

iz Dalamberove teoreme zaključujemo da je red ∑n=1

∞ n !nn

konvergentan.

117. Kako je

limn→∞

un+1

un= 5

e>1,

zakqu~ujemo da je red ∑n=1

∞ 5nn !nn

divergentan.

118. Funkcija je neprekidna u tački x=1 jer je limx→1−

f ( x )=limx→1+

f ( x )= f (1 )=1.

Funkcija je diferencijabilna u tački x=1 jer je f '−(1)=f '+ (1)=0 .


f ( x )=limx→3+

f ( x )=f (3)=0.

Funkcija nije diferencijabilna u tački x=3 jer je f '−(3)=−1≠ f '+ (3)=1.

120. Funkcija nije diferencijabilna u tački x=1 jer je f '− (1)=−1≠f '+ (1 )=1 .

121. Funkcija je neprekidna u tački x=π jer je limx→π−

f ( x )= limx→π+

f (x )=f (π )=0 .

Funkcija nije diferencijabilna u tački x=kπ jer je f '−(kπ )≠ f '+ (kπ ).

122. Funkcija je neprekidna u tački x=kπ jer je lim

x→kπ−f ( x )= lim

x→ kπ+f ( x )= f (kπ )=0.

Funkcija nije diferencijabilna u tački x=π jer je f '−( π )=−1≠ f '+( π )=1 .

70



f (x )=limx→2+

f ( x )=f (2 )=3 .

Funkcija nije diferencijabilna u tački x=2 jer je f '−(2)=−4≠f '+ (2)=4 .


f ( x )=limx→1+

f ( x )= f (1 )=2 .

Funkcija nije diferencijabilna u tački x=1 jer je f '−(1)=−1≠f '+ (1 )=1 .

125. Funkcija je diferencijabilna za x<−1 jer je f ' ( x )=2 .Funkcija je diferencijabilna za x>1 jer je f ' ( x )=2 .Funkcija je diferencijabilna za −1<x<1 jer je f ' ( x )=2 x .Funkcija nije diferencijabilna za x=−1 jer je f '− (−1)=∞ .

Funkcija je diferencijabilna za x=1 jer je f '−(1)= f '+ (1)=2.

Dakle, funkcija je diferencijabilna za svako x≠−1 .

126. Funkcija ima prekid u tački x=2 jer je limx→2−

f (x )=1≠f (2)=5 .

Dakle, funkcija je neprekidna za svako x≠2 .

127. Kako je limx→0

sin(3 x )2 x

=32≠ f (0 )=2

3⇒

funkcija ima prekid u tački x=0

.

128. Kako je f '−(0 )=f '+( 0)=0⇒ funkcija je diferncijabilna u tački x=0.

129. Kako je limx→0

f ( x )=2⇒ da je funkcija neprekidna za svako x ako je A=2.

130. Kako je

limx→0

1−cos x2 x2

= 14⇒

da je funkcija neprekidna u tački x=0 ako je f (0)=1

4.

131. limx→0

sin 3 x2 x

= limx→0

3 sin3 x2⋅3 x

=limx→0

32

sin 3 x3 x

=32

.

132. limx→0

(1−x )1x =1 .

133. limx→0

(3+x )x−3x

x2 =13

.

134. limx→0

tg2√ x2x

=12 .

135. limx→0

lnsin (2 x )lnsin (4 x )

=1 .

136. limx→0

(e x−x )1x2

=√e .

137.

limx→∞ ( 2

πarctgx )

x=e

−2π .

138.

limx→∞ ( π2−arctgx )

1x=1 .

139. limx→0

(x2+2 x+1 )1

2 x=e .

71

140. limx→0

arctgx−x−x2

sin2 x=−1.

141. limx→0

x2−ln (cos x )x2 =3

2.

142. limx→0 ( 1

sin x−1

x )=0 .

143. limx→0

ln (1+x2)cos x−ex =0 .

144. y '=limh→ 0

f ( x+h)− f ( x )h

=limh→0

( x+h ) ex+h−xe x

h=lim

h→0

xe x eh+hex eh−xex

h=

=limh→ 0

xex (eh−1)h

+ hex eh

h=xex+ex .

145. y '= limh→0

f ( x+h)− f ( x )h

= limh→0

( x+h ) sin ( x+h )−x sin xh

=

=limh→ 0

x sin ( x+h )+hsin (x+h )−x sin xh = lim

h→ 0

x [sin (x+h )−sin x ]h +

h sin( x+h )h =

= limh→ 0

x⋅2cos 2 x+h2

sin h2

h+h sin( x+h )

h=lim

h→ 0

x⋅cos 2x+h2

sin h2

h2

+hsin ( x+h)

h=

=x cos x+sin x .

146. y '= limh→ 0

f ( x+h)− f ( x )h

=limh→0

( x+h ) ln (x+h )−x ln xh

=

= limh→ 0

x ln (x+h )+h ln ( x+h)−x ln xh =lim

h→0

x [ ln( x+h )−ln x ]h +

h ln ( x+h )h =

=limh→ 0

x⋅ln x+hx

h+h ln ( x+h)

h=lim

h→0

xh

ln (1+ hx )+ h ln( x+h)

h=

=limh→ 0

ln (1+ hx )

xh+

h ln (x+h )h

=ln e+ln x=1+ln x .

147. y '=(x2+1 )x2+1

∙2x ∙ (1+ ln (x2+1 ) ).

148. y '=xe x

ex( lnx+ 1x ).

149. y '=x3 lnx 6 lnxx

.

150. y '=( x−1 )2( x−1 )x

∙2( x−1 )x ∙[ ( x−1 ) x (ln ( x−1 )+ xx−1 ) ln 2+ 1

x−1 ].151. y '=xxx x

∙ x x x

∙[ xx ( ln2 x+lnx+ 1x )lnx+ 1

x ] .152.

y x' =

y t'

x t' =

2 t−3−1t2

⟹ y x' ( 1

2 )=−4.

72


153. y x' =

y t'

x t' =

4 t 3

t 4+1+3 t 2

et+1=t 2 (3t 4+4 t+3 )(t 4+1 ) (e t+1 )

.

154. y x' =

y t'

x t' =

4 t3+2et

2+t+1 (2 t+1 )⟹ yx

' ( 0 )=2e.

155. y x' = 1

x y' =

1

4 y3+ 1y

= y4 y4+1

.

156. y x' =

− f x'

f y' =−3 x2+ y

4 y3+x.

157. y x' =

−f x'

f y' =−ex+ y

ey+x .

158. y x' =

−f x'

f y' =

−2 x−xx+ y( lnx+1− yx )

2 y−xx + y ∙ lnx .

159. ∆ y=∆ x (3x2+3 x ∆ x+(∆ x )2+1 )=0,040301 , dy=(3 x2+1 ) ∆x=0,04⇒∆ y>dy .

160. tg (x+∆x )≈ tg ( x )+ ∆ xcos2 x

⇒ tg ( 46 ° )≈1,034888.

161. sin ( x+∆ x )≈ sinx+cosx ∆x⇒sin (28 ° )≈ 0,469821.

162. 3√ x+∆ x≈ 3√ x+ ∆x

3 3√ x2⇒ 3√8,02≈2,001667.

163. arctg (x+∆x )≈arctg ( x )+ ∆x1+x2 ⇒ arctg1,05≈0,81.

164. arcsin (x+∆x )≈arc sin ( x )+ ∆x√1−x2

⇒ arcsin 0,51≈0,534894.

165. Jednačina tangente je y=x+1, a normale y=−x+3.

166. Jednačina tangente je y=3 x−3 ln2+1, a normale y=−13

x+ ln 2+133

.

167. Jednačina tangente je y=x−1. Ugao pod kojim kriva seče x osu je φ=45 ° .168. Za x=0 jednačina tangente je y=0, a normale x=0. Za x=√2 jednačina tangente je

𝑦=4 √69

x−2√39

, a normale y=−3√68

x+ 17√312

.

169. Jednačina tangente je y=ex, a normale y=−1e

x+ e2+1e

.

170. Presečne tačke su M 1 (1,2 ) iM 2 (−1,2 ) . U prvoj tački jednačina tangente je y=7 x−5, a normale

y=−17

x+ 157

.U drugoj tački jednačina tangente je y=−x+1, a normale y=x+3.

171. Presečne tačke su M 1 (0,1 ) iM 2(1 , 12 ) . U prvoj tački jednačina tangente je y=1.U drugoj tački jednačina

tangente je y=−12

x+1.

172. Presečne tačke su M 1 (1,2 ) iM 2 (4,5 ) . U prvoj tački jednačina tangente je y=−2x+4.U drugoj tački jednačina

tangente je y=4 x−11. Presečna tačka tangenti je ( 52,−1).

73

173. Prevojne tačke su M 1 ( 4 , ln 2 ) i M 2 (6 , ln 2 ) . Jednačina tangente u tački M 1 ( 4 , ln 2 ) je y=−x+4+ ln2 a

normale y=x−4+ ln 2. Jednačina tangente u tački M 2 (6 , ln2 ) je y=x−6+ln 2 a normale y=−x+6+ln 2 .174. Data relacija je Maklorenov polinom četvrtog stepena funkcije y=x2√1−x .175. Data relacija je Maklorenov polinom trećeg stepena funkcije y=ln (1+sinx ) .

176. Data relacija je Maklorenov polinom trećeg stepena funkcije y=ln 1+x1−x

. .

177. 5√1−x ≈1−1

5x− 2

25x2⟹ 5√0,97≈0,993928.

178. 3√1−x ≈1−1

3x−1

9x2⟹ 3√0,99≈0,996656.

179. P ( x )=11+24 ( x−2 )+19 ( x−2 )2+7 ( x−2 )3+( x−2 )4 .

180. cos2 x ≈1−x2+ 13x4

.

181. P ( x )=15 ( x−2 )2+11 (x−2 )3+2 ( x−2 )4 .

182. arctg (2 x )≈2 x−83x

3

.

183. √ x≈1+ 12

( x−1 )−18

(x−1 )2+ 116

(x−1 )3

.

184. √1+x≈1+ 12x−1

8x2+ 1

16x3− 5

128x4

.

185. Na funkciju y=x2√2−x može da se primeni Rolova teorema (treba dokazati). ξ=85

.

186. Kako je P ( x )=x5+10 x−12 polinom neparnog stepena, zaključujemo da taj polinom ima bar jednu realnu nulu.

Ukoliko bi imao više od jedne realne nule, npr. a i b i ako je a<b, tada bi kako funkcija f ( x )=x5+10 x−12,

zadovoljava sve uslove Rolove teoreme na [a ,b ] važilo: (∃ ξ∈ (a ,b ) ) f ' (ξ )=0. Međutim, kako je f ' ( x )=5 x4+10>0 ,

zaključujemo da je početna pretpostavka pogrešna, tj. da jednačina ne može da ima više od jednog realnog rešenja.187. Kako je P ( x )=x3−4 x2+6 x+2 polinom neparnog stepena, zaključujemo da taj polinom ima bar jednu realnu

nulu. Ukoliko bi imao više od jedne realne nule, npr. a i b i ako je a<b , tada bi kako funkcija f ( x )=x3−4 x2+6 x+2

zadovoljava sve uslove Rolove teoreme na [a ,b ] važilo: (∃ ξ∈ (a ,b ) ) f ' (ξ )=0. Međutim, kako je

f ' ( x )=3 x2−8 x+6>0, zaključujemo da je početna pretpostavka pogrešna, tj. da jednačina ne može da ima više od

jednog realnog rešenja.188. Neka je f ( x )=x3+a x2+x. Da bi jednačina f ( x )=0 imala tačno jedno realno rešenje s obzirom da je polinom

neparnog stepena potrebno je još samo da je f ' ( x )≠0 za svako realno x, što se lako dokazuje pomoću Rolove teoreme.

Kako je f ' ( x )=3 x2+2ax+1 , f ' ( x ) nema realnih nula samo ako je b2−4 ac<0 , tj. 4 a2−12<0 ,tj.

a∈ (−√3 ,√3 ).189. Neka je f ( x )=x3+3 x2+bx+8. Da bi jednačina f ( x )=0 imala tačno jedno realno rešenje s obzirom da je

polinom neparnog stepena potrebno je još samo da je f ' ( x )≠0 za svako realno x, što se lako dokazuje pomoću Rolove

teoreme. Kako je f ' ( x )=3 x2+6 x+b , f ' ( x ) nema realnih nula samo ako je b2−4 ac<0 , tj. 36−12b<0 ,tj. b>3.190. Kako funkcija f ( x )=x ( x−1 ) ( x−3 ) ( x+1 ) ( x+4 ) ima 5 realnih nula iz Rolove teoreme => da postoje četiri

rešenja jednačine f ' ( x )=0 i to x1∈ (−4 ,−1 ) , x2∈ (−1,0 ) , x3∈ (0,1 ) i x4∈ (1,3 ) .

191. Na funkciju y=5 x3+11 x2+2, može da se primeni Lagranžova teorema. (treba dokazati). ξ=15

.

192. Funkcija f ( x )=√x−1, zadovoljava uslove Lagranžove teoreme na [2,6 ] . ξ=5+√52

.

74


193. Neka je f ( x )=2arctgx+arcsin 2 xx2+1

. Kako je f ' ( x )=0, zaključujemo da je f ( x ) konstantna funkcija. Kako je

f (1 )=π=¿2arctgx+arcsin 2xx2+1

=π . 194. Neka je f ( x )=sinx . Kako f ( x ) zadovoljava sve uslove Lagranžove teoreme na [a ,b ]=¿

f ' (ξ )= f (b )−f (a )b−a

= sinb−sinab−a

= sina−sinba−b

. Kako je f ' ( x )=cosx=¿|f ' ( x )|≤1=¿

|sina−sinba−b |≤1=¿|sina−sinb|≤|a−b|.

195. Neka je f ( x )=lnx . Kako f ( x ) zadovoljava sve uslove Lagranžove teoreme na [b ,a ]=¿

f ' (ξ )= f (a )−f (b )a−b

=lna− lnba−b

=ln a

ba−b

. Kako je f ' ( x )=1x=¿ (∀ x∈ (b , a ) ) 1a < f

' ( x )< 1b=¿

1a<f ' (ξ )< 1

b=¿ 1

a<

ln ab

a−b< 1b=¿ a−b

a< ln a

b< a−b

b.

196. U prethodnom zadatku dokazali smo da za 0<b<a važi a−ba

< ln ab< a−b

b . Ako uzmemo da je a=1, a

b= 1x+1

,važiće 0<b≤a , jer je x≥0, pa => a−ba

≤ ln ab≤ a−b

b, tj.

xx+1

≤ ln ( x+1 )≤x=¿ ln ( x+1 )≤x .

197. Za x∈[0 , π2 )=¿sinx ≤x≤ tgx ,pa deljenjem sa x dobijamo

sinxx

≤1≤ tgxx

. Kako je

limx→0

tgxx=lim

x→0

sin xx cos x

=limx→0

sin xx , iz Leme o 2 policajca => da je

limx→0

sin xx

=1.

Za x∈(−π2

,0)=¿−sinx≤−x ≤−tgx=¿ tgx ≤x≤ sinx ,pa deljenjem sa x dobijamo sinxx

≤1≤ tgxx

. Kako je

limx→0

tgxx=lim

x→0

sin xx cos x

=limx→0

sin xx , iz Leme o 2 policajca => da je

limx→0

sin xx

=1.198. Neka je f ( x )=x−3lnx . Kako je f (x) neprekidna funkcija na segmentu [1 , e ] i f (1 ) ∙ f (e )<0, iz Bolcanove

teoreme => (∃ ξ∈ (1 , e ) ) f (ξ )=0. Dakle jednačina f ( x )=0 ima bar jedno rešenje i to je x=ξ .199. Analizom funkcije dobijamo:1) D= (−∞ ,∞) .

limx→−∞

x (1−x3 )=−∞

limx→∞

x (1−x3 )=−∞

2) Nule funkcije su x1=0 i x2=1. Presek sa y−¿osom je y=0.

3) y<0 za x∈ (−∞ ,0 )∪ (1 ,∞ ), a y>0 za x∈ (0,1 ).4) Funkcija nije ni parna ni neparna. Funkcija nije periodična.5) Funkcija nema asimptota.

6) y '=1−4 x3=> funkcija je rastuća za x∈(−∞, 13√4 ), a opadajuća za x∈( 1

3√4,∞ ). Funkcija ima maksimum u

tački ( 13√4

, 34 3√4 ) .

7) y} =-12 {x} ^ {2} ≤0= ¿ funkcija je konkavna na celom domenu.

75

8) Grafik funkcije ima sledeći izgled:

200. Analizom funkcije dobijamo:1) D= (−∞ ,∞) .

limx→−∞

( x−2 )2 ( x+3 )3=−∞

limx→∞

(x−2 )2 ( x+3 )3=+∞

2) Nule funkcije su x1=2 i x2=−3. Presek sa y−¿osom je y=108.

3) y<0 za x∈ (−∞ ,−3 ), a y>0 za x∈ (−3,2 )∪ (2 ,∞ ).4) Funkcija nije ni parna ni neparna. Funkcija nije periodična.5) Funkcija nema asimptota.

6) y '=5 x ( x−2 ) ( x+3 )2=> funkcija je rastuća za x∈ (−∞ ,0 )∪ (2 ,∞ ), a opadajuća za x∈ (0,2 ). Funkcija ima

maksimum u tački (0,108 ) , a minimum u tački (2,0 ) .

7) y} =10 left (x +3 right ) left (2 {x} ^ {2} -3 right ) =¿ funkcija je konkavna za x∈ (−∞ ,−3 )∪(−√62

, √62 ), a konveksna za

x∈(−3 ,−√62 )∪(√6

2,∞). Prevojne tačke su P1 (−3,0 ) ,P2(−√6

2, 414+21√6

8 )i P3(√62

, 414−21√68 ) .



limx→−∞

4 x4+x2

=0 limx→∞

4 x4+x2

=0

2) Nula funkcije je x=0. Presek sa y-osom je y=0 .3) Funkcija je negativna za x∈ (−∞ ,0 ), a pozitivna za x∈ (0 ,∞ ).4) Funkcija je neparna. Funkcija nije periodična.5) Horizontalna asimptota je prava y=0. Nema vertikalne asimptote. Nema kose asimptote.

6) y '=4 (4−x2 )(4+x2 )2

=¿ funkcija je rastuća za x∈ (−2,2 ), a opadajuća za x∈ (−∞ ,−2 )∪ (2 ,∞ ). Funkcija ima

76


maksimum u tački (2,1 ) , a minimum u tački (−2 ,−1 ) .7) y} = {8x left ({x} ^ {2} -12 right )} over {{left ({4+ x} ^ {2} right )} ^ {3}} = ¿ funkcija je konveksna za x∈ (−2√3 ,0 )∪ (2√3 ,∞),

a konkavna za x∈ (−∞ ,−2√3 )∪ (0,2√3 ). Prevojne tačke su P1(−2√3 ,−√32 ) ,P2 (0,0 ) i P3(2√3 , √3

2 ).


202. Analizom funkcije dobijamo:1) D= (−∞ ,−2 )∪ (−2 ,∞) .

limx→−∞

x2+4 x+5x+2

=−∞ limx→−2−

x2+4 x+5x+2

=−∞

limx→∞

x2+4 x+5x+2

=+∞ limx→−2+

x2+4 x+5x+2

=+∞

2) Nema nula funkcije. Presek sa y-osom je y=1.3) Funkcija je negativna za x∈ (−∞ ,−2 ) , a pozitivna za x∈ (−2 ,∞ ).4) Funkcija nije ni parna ni neparna. Funkcija nije periodična.5) Nema horizontalne asimptote. Vertikalna asimptota je prava x=−2. Prava y=x+2 je kosa asimptota.

6) y '= x2+4 x+3( x+2 )2

=¿ funkcija je rastuća za x∈ (−∞ ,−3 )∪ (−1 ,∞ ), a opadajuća za x∈ (−3 ,−2 )∪ (−2 ,−1 ) .

Funkcija ima minimum u tački (−1,2 ), a maksimum u tački (−3 ,−2 ).7) y} = {2} over {{left (x +2 right )} ^ {3}} = ¿ funkcija je konveksna za x∈ (−2 ,∞ ), a konkavna za x∈ (−∞ ,−2 ) . Nema prevojnih tačaka. 8) Grafik funkcije ima sledeći izgled:

203. Analizom funkcije dobijamo:1) D= (−∞ ,0 )∪ (0 ,∞ ).

77

limx→−∞

1−x3

x=−∞ lim

x→0−

1−x3

x=−∞

limx→∞

1−x3

x=−∞ lim

x→ 0+

1−x3

x=+∞

2) Nula funkcije je x=1. Nema preseka sa y-osom.3) Funkcija je negativna za x∈ (−∞ ,0 )∪ (1 ,∞ ), a pozitivna za x∈ (0,1 ).4) Funkcija nije ni parna ni neparna. Funkcija nije periodična.5) Nema horizontalne asimptote. Vertikalna asimptota je prava x=0. Nema kose asimptote.

6) y '=−2x3−1x2 =¿ funkcija je rastuća za x∈(−∞,− 1

3√2 ), a opadajuća za x∈(−13√2

,0)∪ (0 ,∞ ). Funkcija ima

maksimum u tački (−13√2

,−3 3√22 ).

7) y} = {2 left (1- {x} ^ {3} right )} over {{x} ^ {3}} =¿ funkcija je konveksna za x∈ (0,1 ), a konkavna za x∈ (−∞ ,0 )∪ (1 ,∞ ). Prevojna tačka je P1 (1,0 ). 8) Grafik funkcije ima sledeći izgled:


limx→−∞

3 x2+1x2+3

=3 limx→∞

3 x2+1x2+3

=3

2) Nema nula funkcije. Presek sa y-osom je y=13.

3) Funkcija je pozitivna na celom domenu.4) Funkcija je parna. Funkcija nije periodična.5) Horizontalna asimptota je prava y=3 . Nema vertikalne asimptote. Nema kose asimptote.

6) y'= 16 x

(x2+3 )2=¿ funkcija je rastuća za x∈ (0 ,∞ ), a opadajuća za x∈ (−∞ ,0 ). Funkcija ima minimum u tački

(0 , 13 ).

7) y} = {48 left (1- {x} ^ {2} right )} over {{left ({x} ^ {2} +3 right )} ^ {3}} =¿ funkcija je konveksna za x∈ (−1,1 ), a konkavna za

x∈ (−∞ ,−1 )∪ (1 ,∞) . Prevojne tačke su P1 (−1,1 ) i P2 (1,1 ) .

78



205. Analizom funkcije dobijamo:1) D= (−∞ ,1 )∪ (1 ,∞ ) .

limx→−∞

2 x−1( x−1 )2

=0 limx→1−

2 x−1( x−1 )2

=+∞

limx→∞

2x−1(x−1 )2

=0 limx→1+

2x−1( x−1 )2

=+∞

2) Nula funkcije je x=12

. Presek sa y−¿osom je y=−1.

3) Funkcija je pozitivna za x∈(12,1)∪ (1 ,∞ ), a negativna za x∈(−∞, 1

2 ).4) Funkcija nije ni parna ni neparna. Funkcija nije periodična.5) Horizontalna asimptota je prava y=0. Vertikalna asimptota je prava x=1.

6) y '= −2 x( x−1 )3

=¿ funkcija je opadajuća za x∈ (−∞ ,0 )∪ (1 ,∞ ), a rastuća za x∈ (0,1 ). Funkcija ima minimum u

tački (0 ,−1 ) .

7) y} = {2 left (2x+1 right )} over {{left (x-1 right )} ^ {4}} = ¿ funkcija je koveksna za x∈(−12

,1)∪ (1 ,∞ ), a konkavna za

x∈(−∞,−12 ). Prevojna tačka je P(−1

2,−8

9 ).


206. Analizom funkcije dobijamo:1) D= (−∞ ,−1 )∪ (−1,∞ ).

79

limx→−∞

x3

2 ( x+1 )2=−∞ lim

x→−1−

x3

2 ( x+1 )2=−∞

limx→∞

x3

2 ( x+1 )2=+∞ lim

x→−1+

x3

2 ( x+1 )2=−∞

2) Nula funkcije je x=0. Presek sa y−¿osom je y=0. 3) Funkcija je pozitivna za x∈ (0 ,∞ ), a negativna za x∈ (−∞ ,−1 )∪ (−1,0 ).4) Funkcija nije ni parna ni neparna. Funkcija nije periodična.

5) Nema horizontalne asimptote. Vertikalna asimptota je prava x=−1. Kosa asimptota je prava y=12x−1.

6) y '= x2 ( x+3 )2 ( x+1 )3

=¿ funkcija je opadajuća za x∈ (−3 ,−1 ) , a rastuća za x∈ (−∞ ,−3 )∪ (−1 ,∞ ). Funkcija ima

maksimum u tački (−3 ,−278 ) .

7) y} = {3x} over {{left (x+1 right )} ^ {4}} =¿ funkcija je koveksna za x∈ (0 ,∞ ), a konkavna za x∈ (−∞ ,−1 )∪ (−1,0 ). Prevojna tačka je P (0 ,0 ).8) Grafik funkcije ima sledeći izgled:

207. 1) D= (−∞ ,−3 )∪ (−3,3 )∪ (3 ,∞ ).

limx→−∞

x3

x2−9=−∞ lim

x→−3−

x3

x2−9=−∞ lim

x→ 3−

x3

x2−9=−∞

limx→∞

x3

x2−9=+∞ lim

x→−3+

x3

x2−9=+∞ lim

x→3+

x3

x2−9=+∞

2) Nula funkcije je x=0. Presek sa y−¿osom je y=0. 3) Funkcija je pozitivna za x∈ (−3,0 )∪ (3 ,∞ ), a negativna za x∈ (−∞ ,−3 )∪ (0,3 ) . 4) Funkcija je neparna. Funkcija nije periodična.5) Vertikalne asimptote su prave x=3 i x=−3. Kosa asimptota je prava y=x .

6) y '=x2 (x2−27 )(x2−9 )2

=¿ funkcija je opadajuća za x∈ (−3√3 ,−3 )∪ (−3,3 )∪ (3,3√3 ), a rastuća za

x∈ (−∞ ,−3√3 )∪ (3√3 ,∞ ). Funkcija ima maksimum u tački (−3√3 ,−9√32 ), a minimum u tački

(3√3 , 9√32 ).

7) y} = {18x left ({x} ^ {2} +27 right )} over {{left ({x} ^ {2} -9 right )} ^ {3}} = ¿ funkcija je konkavna za x∈ (−∞ ,−3 )∪ (0,3 ) , a

konveksna za x∈ (−3,0 )∪ (3 ,∞ ) . Prevojna tačka je P (0,0 ).

80



208. 1) D= (−∞ ,2 )∪¿.

limx→−∞√x−4

x−2=1 lim

x→2− √x−4x−2

=+∞

limx→∞√x−4

x−2=1 f ( 4 )=0

2) Nula funkcije je x=4. Presek sa y−¿osom je y=√2.

3) y ≥0na celom domenu.4) Funkcija nije ni parna ni neparna. Funkcija nije periodična.5) Horizontalna asimptota je prava y=1. Vertikalna asimptota je prava x=2.

6) y '= 1

( x−2 )2√ x−4x−2

=¿ funkcija je rastuća na celom domenu.

7) y} = {7-2 x} over {{left (x -2 right )} ^ {3} left (x -4 right ) sqrt {{x -4} over {x -2}}} = ¿ funkcija je konveksna za x∈ (−∞ ,2 ), a

konkavna za x∈ (4 ,∞ ). 8) Grafik funkcije ima sledeći izgled:

209. 1) D= (−∞ ,∞) .

limx→−∞

x2

√1+ x2=+∞ lim

x→∞

x2

√1+x2=+∞

2) Nula funkcije je x=0. Presek sa y−¿osom je y=0.

3) y ≥0na celom domenu.4) Funkcija je parna. Funkcija nije periodična.5) Kosa asimptota zdesna je prava y=x , a sa leva prava y=−x .

6) y '=x (2+x2 )

√(1+ x2 )3=¿ funkcija je rastuća za x∈ (0 ,∞ ) , a opadajuća za x∈ (−∞ ,0 ) . Funkcija ima minimum u tački

81

(0,0 ) .7) y} = {2- {x} ^ {2}} over {sqrt {{left (1+ {x} ^ {2} right )} ^ {5}}} = ¿funkcija je koveksna za x∈ (−√2 ,√2 ) , a konkavna za

x∈ (−∞ ,−√2 )∪ (√2,∞ ) . Prevojne tačke su P1(−√2 , 2√33 ) i P2(√2 , 2√3

3 ) .8) Grafik funkcije ima sledeći izgled:

210. 1) D=¿.

f (1)=0 limx→∞

( x−4 )√x−1 =+∞

2) Nule funkcije su x1=4 i x2=1. Nema preseka sa y−¿osom.

3) Funkcija je pozitivna za x∈ (4 ,∞ ), a negativna za x∈ (1,4 ) .4) Funkcija nije ni parna ni neparna. Funkcija nije periodična.5) Funkcija nema asimptota.

6) y '=3 ( x−2 )2√x−1

=¿ funkcija je rastuća za x∈ (2 ,∞ ) , a opadajuća za x∈ (1,2 ). Funkcija ima minimum u tački

(2 ,−2 ) .7) y} = {3x} over {4 sqrt {{left (x-1 right )} ^ {3}}} >0=¿funkcija je konveksna na celom domenu. 8) Grafik funkcije ima sledeći izgled:

211. 1) D= (−∞ ,1 ] . f (1)=0 lim

x→−∞x√1−x=−∞

2) Nule funkcije su x1=0 i x2=1. Presek sa y−¿osom je y=0. 3) Funkcija je pozitivna za x∈ (0,1 ) , a negativna za x∈ (−∞ ,0 ) . 4) Funkcija nije ni parna ni neparna. Funkcija nije periodična.5) Funkcija nema asimptota.

6) y '= 2−3 x2√1−x

=¿ funkcija je rastuća za x∈(−∞, 23 ), a opadajuća za x∈(2

3,1) . Funkcija ima maksimum u tački

( 23, 2√3

9 ) . 82


7) y} = {3 x -4} over {4 sqrt {{left (1- x right )} ^ {3}}} <0=¿funkcija je konkavna na celom domenu.8) Grafik funkcije ima sledeći izgled:

212. 1) D= (−∞ ,∞) . limx→−∞

3√x3−1=−∞ limx→∞

3√x3−1 =+∞

2) Nula funkcije je x=1. Presek sa y−¿osom je y=−1. 3) Funkcija je pozitivna za x∈ (1 ,∞) , a negativna za x∈ (−∞ ,1 ). 4) Funkcija nije ni parna ni neparna. Funkcija nije periodična.5) Kosa asimptota je prava y=x .

6) y'= x2

3√( x3−1 )2≥0=¿ funkcija je rastuća na celom domenu.

7) y} = {-2 x} over {nroot {3} {{left ({x} ^ {3} -1 right )} ^ {5}}} =¿ funkcija je konkavna za x∈ (−∞ ,0 )∪ (1 ,∞ ) , a konveksna za

x∈ (0,1 ) . Prevojne tačke su P1 (0 ,−1 ) i P2 (1,0 ) ..8) Grafik funkcije ima sledeći izgled:

213. 1) D= (−∞ ,∞) . limx→−∞

3√3 x−x3=+∞ limx→∞

3√3x−x3=−∞

2) Nule funkcije su x1=0 , x2=√3 i x3=−√3. Presek sa y−¿osom je y=0. 3) Funkcija je negativna za x∈ (−√3 ,0 )∪ (√3 ,∞ ) , a pozitivna za x∈ (−∞ ,−√3 )∪ (0 ,√3 ). 4) Funkcija je neparna. Funkcija nije periodična.5) Kosa asimptota je prava y=−x .

6) y'= 1−x2

3√(3x−x3 )2=¿ funkcija je opadajuća za x∈ (−∞ ,−1 )∪ (1 ,∞) , a rastuća za x∈ (−1,1 ) . Funkcija ima

minimum u tački (−1 ,−3√2 ) , a maksimum u tački (1 , 3√2 ). 7) y} = {-2 left ({x} ^ {2} +1 right )} over {nroot {3} {{left (3 x - {x} ^ {3} right )} ^ {5}}} =¿ funkcija je konveksna za

83

x∈ (−√3 ,0 )∪ (√3 ,∞ ) , a konkavna za x∈ (−∞ ,−√3 )∪ (0 ,√3 ). Prevojne tačke su P1 (−√3 ,0 ), P2 (0,0 ) i P3 (√3 ,0 ).8) Grafik funkcije ima sledeći izgled:

214. 1) D= (−∞ ,∞) . limx→−∞

(2x−3 3√x2)=−∞ limx→∞

(2 x−3 3√x2 )=+∞

2) Nule funkcije su x1=0 i x2=278

. Presek sa y−¿osom je y=0.

3) Funkcija je negativna za x∈ (−∞ ,0 )∪ (0 , 278 ) , a pozitivna za x∈( 27

8,∞).

4) Funkcija nije ni parna ni neparna. Funkcija nije periodična.5) Funkcija nema asimptota.

6) y '=2 ( 3√x−1 )

3√x=¿ funkcija je rastuća za x∈ (−∞ ,0 )∪ (1 ,∞ ) , a opadajuća za x∈ (0,1 ) . Funkcija ima minimum

u tački (1 ,−1 ) , a maksimum u tački (0,0 ) . 7) y} = {2} over {3 nroot {3} {{x} ^ {4}}} =¿ funkcija je konveksna na celom domenu i nema prevojnih tačaka.8) Grafik funkcije ima sledeći izgled:

215. 1) D= (−∞ ,∞) . limx→−∞

( 3√ x2−3√ x2−4 )=0 lim

x→∞(3√x2−

3√x2−4 )=0

2) Nema nula funkcije. Presek sa y−¿osom je y= 3√4 . 3) Funkcija je pozitivna na celom domenu. 4) Funkcija je parna. Funkcija nije periodična.5) Prava y=0 je horizontalna asimptota.

6) y '=2x ( 3√(x2−4 )2−3√x 4 )

3 3√x2 3√(x2−4 )2=¿ funkcija je rastuća za x∈ (−∞ ,−√2 )∪ (0 ,√2 ), a opadajuća za

84


x∈ (−√2 ,0 )∪ (√2 ,∞ ) . Funkcija ima minimum u tački (0 , 3√4 ) , a maksimum u tačkama (−√2 ,2 3√2 ) i (√2 ,2 3√2 ).7)

y} = {-2 nroot {3} {{left ({x} ^ {2} -4 right )} ^ {5}} +2 left ({x} ^ {2} +12 right ) nroot {3} {{x} ^ {4}}} over {3 nroot {3} {{x} ^ {4}} nroot {3} {{left ({x} ^ {2} -4 right )} ^ {5}}} = ¿

funkcija je konveksna za x∈ (−∞ ,−2 )∪ (2 ,∞ ), a konkavna za x∈ (−2,2 ). Prevojne tačke su P1 (−2 , 3√4 ) i P2 (2 , 3√4 ).8) Grafik funkcije ima sledeći izgled:

216. 1) D= (−∞ ,∞) . limx→−∞

( 3√ x4+x2) =+∞ limx→∞

( 3√ x4+x2 )=+∞

2) Nula funkcije je x=0. Presek sa y−¿osom je y=0. 3) Funkcija je nenegativna na celom domenu. 4) Funkcija je parna. Funkcija nije periodična.5) Funkcija nema asimptota.

6) y '=2 x (2 x2+1 )

33√(x4+ x2 )2

=¿ funkcija je rastuća za x∈ (0 ,∞ ) , a opadajuća za x∈ (−∞ ,0 ) . Funkcija ima minimum u

tački (0,0 ) . 7) y} = {2 {x} ^ {2} left (2 {x} ^ {4} +5 {x} ^ {2} -1 right )} over {3 nroot {3} {{left ({x} ^ {4} + {x} ^ {2} right )} ^ {5}}} =¿ funkcija je konveksna

za x∈(−∞,−√−5+√334 )∪(√−5+√33

4,+∞ ), a konkavna za

x∈(−√−5+√334

,√−5+√334 ). Prevojne tačke su P1(−√−5+√33

4, 3 (3−√33 )

8 ) i

P2(√−5+√334

, 3 (3−√33 )8 ).


85

217. 1¿D=(−∞ ,−2 ]∪ [1,∞ ) .

limx→−∞

( x+2−√ x2+x−2)=−∞ limx→∞

(x+2−√x2+x−2 )=32

f (−2)=0 , f (1)=3 .2) Nula funkcije je x=−2. Nema preseka sa y−¿osom. 3) Funkcija je pozitivna za x∈ [1,∞ ) , a negativna za x∈ (−∞ ,−2 ) .4) Funkcija nije ni parna ni neparna. Funkcija nije periodična.

5) Prava y=32

je horizontalna asimptota zdesna. Prava y=2x+52

je kosa asimptota sa leva.

6) y '=2√x2+ x−2−2 x−12√ x2+x−2

=¿ funkcija je rastuća za x∈ (−∞ ,−2 ) , a opadajuća za x∈ (1 ,∞) . Funkcija nema

ekstremnih vrednosti.7) y} = {9} over {4 sqrt {{left ({x} ^ {2} + x -2 right )} ^ {3}}} >0=¿ funkcija je konveksna na celom domenu i nema prevojnih tačaka.8) Grafik funkcije ima sledeći izgled:

218. 1¿D=(−∞ ,−23 ]∪ [0 ,∞ ) .

limx→−∞

(2 x+1−√3 x2+2 x )=−∞ limx→∞

(2 x+1−√3 x2+2x )=+∞

f (−23)=−1

3, f (0)=1.

2) Nula funkcije je x=−1. Presek sa y−¿osom je y=1.

3) Funkcija je pozitivna za x∈ [0 ,∞ ) , a negativna za x∈ (−∞ ,−1 )∪(−1,−23 ).

4) Funkcija nije ni parna ni neparna. Funkcija nije periodična.

5) Prava y= (2−√3 ) x+1−√33

je kosa asimptota zdesna. Prava y= (2+√3 ) x+1+ √33


86


6) y '=2√3 x2+2x−3 x−1√3 x2+2 x

=¿ funkcija je rastuća za x∈(13,∞) , a opadajuća za x∈(−∞,−2

3 )∪(0 , 13 ) .

Funkcija ima minimum u tački ( 13, 23 ).

7) y} = {1} over {sqrt {{left ({3 x} ^ {2} +2 x right )} ^ {3}}} >0= ¿ funkcija je konveksna na celom domenu i nema prevojnih tačaka.8) Grafik funkcije ima sledeći izgled:

219. 1¿D=(−∞ ,∞ ) .

limx→−∞

( x+2−√ x2+x+1 )=−∞ limx→∞

(x+2−√ x2+x+1)=32

2) Nula funkcije je x=−1. Presek sa y−¿osom je y=1.

3) Funkcija je pozitivna za x∈ (−1 ,∞ ) , a negativna za x∈ (−∞ ,−1 ).4) Funkcija nije ni parna ni neparna. Funkcija nije periodična.

5) Prava y=32

je horizontalna asimptota zdesna. Prava y=2x+52


6) y '=2√x2+ x+1−2x−12√ x2+x+1

=¿ funkcija je rastuća na celom domenu.

7) y} = {-3} over {4 sqrt {{left ({x} ^ {2} + x +1 right )} ^ {3}}} <0= ¿ funkcija je konkavna na celom domenu i nema prevojnih tačaka.8) Grafik funkcije ima sledeći izgled:

220. 1)

limx→−∞

( xex2)=−∞ limx→∞

(xex2 )=+∞

2) Nula funkcije je x=0. Presek sa y−¿osom je y=0.3) Funkcija je negativna za x∈ (−∞ ,0 ) , a pozitivna za x∈ (0 ,∞ ) .4) Funkcija je neparna. Funkcija nije periodična.5) Funkcija nema asimptota.

87

.,D

6) y '=e x2

(1+2x2 )>0=¿ funkcija je rastuća na celom domenu.

7) y} =2 x {e} ^ {{x} ^ {2}} left (3+2 {x} ^ {2} right ) = ¿ funkcija je konveksna za x∈ (0 ,∞ ) , a konkavna za x∈ (−∞ ,0 ). Prevojna tačka je P (0,0 ). 8) Grafik funkcije ima sledeći izgled:

221. 1) D (−∞ ,∞ ).limx→−∞

( (x2−3 )ex )=0 limx→∞

( (x2−3 )ex )=+∞

2) Nule funkcije su x1=√3 i x2=−√3. Presek sa y−¿osom je y=−3. 3) Funkcija je negativna za x∈ (−√3 ,√3 ) , a pozitivna za x∈ (−∞ ,−√3 )∪ (√3 ,∞ ). 4) Funkcija nije ni parna ni neparna. Funkcija nije periodična.5) Horizontalna asimptota sa leva je prava y=0.

6) y '=e x (x2+2x−3 )=¿ funkcija je rastuća za x∈ (−∞ ,−3 )∪ (1 ,∞ ) , a opadajuća za x∈ (−3,1 ). Funkcija ima

maksimum u tački (−3 , 6e3 ), a minimum u tački (1 ,−2e ).

7) y} = {e} ^ {x} left ({x} ^ {2} +4 x -1 right ) =¿ funkcija je konveksna za x∈ (−∞ ,−2−√5 )∪ (−2+√5 ,∞ ), a konkavna za

x∈ (−2−√5 ,−2+√5 ). Prevojne tačke su P1(−2−√5 , (6+4√5 )e−2−√5) i P1(−2+√5 , (6−4√5 )e−2+√5). 8) Grafik funkcije ima sledeći izgled:

222. 1) D= (−∞ ,∞) .limx→−∞

( xe−x 2 )=0 limx→∞

(xe− x2)=0

2) Nula funkcije je x=0. Presek sa y−¿osom je y=0. 3) Funkcija je negativna za x∈ (−∞ ,0 ) , a pozitivna za x∈ (0 ,∞ ).4) Funkcija je neparna. Funkcija nije periodična.5) Horizontalna asimptota je prava y=0.

6) y '=e− x2

(1−2 x2 )=¿ funkcija je rastuća za x∈(−√22

, √22 ), a opadajuća za x∈(−∞,−√2

2 )∪(√22

,∞ ) .

88


Funkcija ima maksimum u tački (√22

, √22√e ) , a minimum u tački (−√2

2,− √2

2√e ). 7) y} =-2 x {e} ^ {- {x} ^ {2}} left (3-2 {x} ^ {2} right ) = ¿ funkcija je konveksna za x∈(−√6

2,0)∪(√6

2,∞), a konveksna za

x∈(−∞,−√62 )∪ (0 , √6

2 ) . Prevojne tačke su P1(−√62

,− √62√e3 ) ,P2 (0,0 ) i P3(√6

2, √6

2√e3 ). 8) Grafik funkcije ima sledeći izgled:

223. 1) D= (−∞ ,∞) .limx→−∞

( ( x−1 )2e−x )=+∞ limx→∞

( ( x−1 )2e− x )=0


3) y ≥0na celom domenu.4) Funkcija nije ni parna ni neparna. Funkcija nije periodična.5) Horizontalna asimptota zdesna je prava y=0. 6) y '=e− x (3−x ) ( x−1 )=¿ funkcija je opadajuća za x∈ (−∞ ,1 )∪ (3 ,∞ ) , a rastuća za x∈ (1,3 ). Funkcija ima

minimum u tački (1,0 ) , a maksimum u tački (3 , 4e3 ) .

7) y} = left ({x} ^ {2} -6 x +7 right ) {e} ^ {- x} = ¿ funkcija je konveksna za x∈ (−∞ ,3−√2 )∪ (3+√2 ,∞ ) , a konkavna za

x∈ (3−√2 ,3+√2 ) . Prevojne tačke su P1 (3−√2 , (6−4√2 )e−3+√2 ) i P2 (3+√2 , (6+4 √2 )e−3−√2 ).8) Grafik funkcije ima sledeći izgled:

224. 1) D= (−∞ ,∞) . limx→−∞

( (x2−x+1 )e− x )=+∞ limx→∞

((x2−x+1 )e− x )=0 .

2) Nema nula funkcije. Presek sa y−¿osom je y=1.3) Funkcija je pozitivna na celom domenu.4) Funkcija nije ni parna ni neparna. Funkcija nije periodična.

89

5) Horizontalna asimptota sa desna je prava y=0. 6) y '=e− x (−x2+3 x−2 )=¿ funkcija je opadajuća za x∈ (−∞ ,1 )∪ (2 ,∞ ) , a rastuća za x∈ (1,2 ) . Funkcija ima

minimum u tački (1 , 1e ) , a maksimum u tački (2 , 3

e2 ) . 7) y} = left ({x} ^ {2} -5 x +5 right ) {e} ^ {- x} = ¿ funkcija je konveksna za x∈(−∞, 5−√5

2 )∪( 5+√52

,∞), a konveksna za

x∈(5−√52

, 5+√52 ). Prevojne tačke su P1(5−√5

2, (6−2√5 )e

−5+√52 ) i P1(5+√5

2, (6+2√5 ) e

−5+√52 ) .


225. 1) D= (−∞ ,0 )∪ (0 ,∞ ) .

limx→−∞

(x2e−1x )=+∞ lim

x→∞(x2e

−1x )=+∞

limx→0−

(x2 e−1x )=+∞ lim

x→0+(x2 e

−1x )=0

2) Nema nula funkcije. Nema preseka sa y−¿ osom.3) Funkcija je pozitivna na celom domenu.4) Funkcija nije ni parna ni neparna. Funkcija nije periodična.5) Vertikalna asimptota sa leva je prava x=0.

6) y '=e−1x (2x+1 )=¿ funkcija je rastuća za x∈(−1

2,0)∪ (0 ,∞ ) , a opadajuća za x∈(−∞,−1

2 ). Funkcija ima

minimum u tački (−12

, e2

4 ) . 7) y} = {left (2 {x} ^ {2} +2x+1 right ) {e} ^ {- {1} over {x}}} over {{x} ^ {2}} >0= ¿ funkcija je konveksn na celom domenu. 8) Grafik funkcije ima sledeći izgled:

90


226. 1) D= (−∞ ,0 )∪ (0 ,∞ ) .

limx→−∞

(( x+6 ) e1x )=−∞ lim

x→∞(( x+6 ) e

1x )=+∞

limx→0−

( (x+6 )e1x )=0 lim

x→ 0+( (x+6 )e

1x ) =+∞

2) Nula funkcije je x=−6. Nema preseka sa y−¿osom.

3) Funkcija je pozitivna za x∈ (−6,0 )∪ (0 ,∞ ), a negativna za x∈ (−∞ ,−6 ) . 4) Funkcija nije ni parna ni neparna. Funkcija nije periodična.5) Vertikalna asimptota zdesna je prava x=0. Kosa asimptota je prava y=x+7.

6) y '=e

1x (x2−x−6 )

x2 =¿ funkcija je rastuća za x∈ (−∞ ,−2 )∪ (3 ,∞ ) , a opadajuća za x∈ (−2,0 )∪ (0,3 ) .

Funkcija ima minimum u tački (3,9 3√e ) , a maksimum u tački (−2 , 4√e ) .

7) y} = {{e} ^ {{1} over {x}} left (13x+6 right )} over {{x} ^ {4}} = ¿ funkcija je konveksna za x∈(−613

,0)∪ (0 ,∞ ) , a konkavna za

x∈(−∞,− 613 ). Prevojna tačka je P(−6

13 , 7213 6√e13 ).


227. 1) D= (−∞ ,3 )∪ (3 ,∞ ) .

limx→−∞

( ( x+3 ) e1x−3 )=−∞ lim

x→∞( (x+3 )e

1x−3 )=+∞

limx→3−

(( x+3 ) e1x−3 )=0 lim

x→3+( ( x+3 ) e

1x−3 ) =+∞

2) Nula funkcije je x=−3. Presek sa y−¿osom je y=3

3√e .

3) Funkcija je pozitivna za x∈ (−3,3 )∪ (3 ,∞ ) , a negativna za x∈ (−∞ ,−3 ) . 4) Funkcija nije ni parna ni neparna. Funkcija nije periodična.5) Vertikalna asimptota zdesna je prava x=3. Kosa asimptota je prava y=x+4.

6) y '=e

1x−3 (x2−7 x+6 )

( x−3 )2=¿ funkcija je rastuća za x∈ (−∞ ,1 )∪ (6 ,∞ ) , a opadajuća za x∈ (1,3 )∪ (3,6 ).

91

Funkcija ima minimum u tački (6,9 3√e ) , a maksimum u tački (1 , 4√e ) .

7) y} = {{e} ^ {{1} over {x-3}} left (13x-33 right )} over {{left (x-3 right )} ^ {4}} = ¿ funkcija je konveksna za x∈(3313

,3)∪ (3 ,∞ ) , a

konkavna za x∈(−∞, 3313 ) . Prevojna tačka je P( 33

13 , 7213 6√e13 ) .


228. 1) D= (−∞ ,6 )∪ (6 ,∞ ) .

limx→−∞

(e− x

6−x )=+∞ limx→∞

(e−x

6−x )=0

limx→6−

(e− x

6−x )=+∞ limx→6+

(e−x

6−x )=−∞2) Nema nula funkcije. Presek sa y−¿osom je y=1

6.

3) Funkcija je pozitivna za x∈ (−∞ ,6 ) , a negativna za x∈ (6 ,∞ ) . 4) Funkcija nije ni parna ni neparna. Funkcija nije periodična.5) Horizontalna asimptota zdesna je prava y=0. Vertikalna asimptota je prava x=6.

6) y '= e−x ( x−5 )(6−x )2

=¿ funkcija je rastuća za x∈ (5,6 )∪ (6 ,∞ ) , a opadajuća za x∈ (−∞ ,5 ). Funkcija ima minimum

u tački (5 , 1e5 ) .

7) y} = {{e} ^ {-x} left ({x} ^ {2} -10x+26 right )} over {{left (6-x right )} ^ {3}} = ¿ funkcija je konveksna za x∈ (−∞ ,6 ) , a konkavna za

x∈ (6 ,∞ ). 8) Grafik funkcije ima sledeći izgled:

92


229. 1) D= (−∞ ,1 )∪ (1 ,∞ ) .

limx→−∞

(e− x

x−1 )=−∞ limx→∞

(e−x

x−1 )=0

limx→1−

(e−x

x−1 )=−∞ limx→ 1+

(e−x

x−1 )=+∞

2) Nema nula funkcije. Presek sa y−¿osom je y=−1. 3) Funkcija je negativna za x∈ (−∞ ,1 ) , a pozitivna za x∈ (1 ,∞) . 4) Funkcija nije ni parna ni neparna. Funkcija nije periodična.5) Horizontalna asimptota zdesna je prava y=0. Vertikalna asimptota je prava x=1.

6) y '=−x e−x

( x−1 )2=¿ funkcija je rastuća za x∈ (−∞ ,0 ) , a opadajuća za x∈ (0,1 )∪ (1 ,∞ ) . Funkcija ima maksimum u

tački (0 ,−1 ) . 7) y} = {{e} ^ {-x} left ({x} ^ {2} +1 right )} over {{left (x-1 right )} ^ {3}} = ¿ funkcija je konkavna za x∈ (−∞ ,1 ) , a konveksna za

x∈ (1 ,∞) . 8) Grafik funkcije ima sledeći izgled:

230. 1) D= (−∞ ,−√2 )∪ (−√2,√2 )∪ (√2 ,∞ ) .

limx→−∞(e

− x

x2−2 )=+∞ limx→∞(e

−x

x2−2 )=0 limx→√2−

(e−x

x2−2 )=−∞lim

x→−√2−(e

− x

x2−2 )=+∞ limx→−√2+

(e− x

x2−2 )=−∞ limx→−√2+

(e−x

x2−2 )=+∞

2) Nema nula funkcije. Presek sa y−¿osom je y=−12

.

3) Funkcija je negativna za x∈ (−√2 ,√2 ) , a pozitivna za x∈ (−∞ ,−√2 )∪ (√2,∞ ). 4) Funkcija nije ni parna ni neparna. Funkcija nije periodična.

5) Horizontalna asimptota zdesna je prava y=0. Vertikalne asimptote su prave x1=√2 i x2=−√2 .

6) y '=−e− x (x2+2x−2 )

(x2−2 )2=¿ funkcija je rastuća za x∈ (−1−√3 ,−√2 )∪ (−√2 ,−1+√3 ), a opadajuća za

x∈ (−∞ ,−1−√3 )∪ (−1+√3 ,√2 )∪ (√2 ,∞ ). Funkcija ima maksimum u tački (−1+√3 ,− e−1+√3 (1+√3 )4 ), a

minimum u tački (−1−√3 , e1+√3 (√3−1 )

4 ).7) y} = {{e} ^ {-x} left ({x} ^ {4} +4 {x} ^ {3} +2 {x} ^ {2} -8x+8 right )} over {{left ({x} ^ {2} -2 right )} ^ {3}} = ¿ funkcija je konkavna za

93

x∈ (−√2 ,√2 ) , a konveksna za x∈ (−∞ ,−√2 )∪ (√2,∞ ) . 8) Grafik funkcije ima sledeći izgled:

231. 1) D= (−∞ ,2 )∪ (2 ,∞ ) .

limx→−∞

(e x

x−2 )=0 limx→∞

(ex

x−2 )=+∞

limx→2−

(ex

x−2 )=−∞ limx→ 2+

(ex

x−2 )=+∞

2) Nema nula funkcije. Presek sa y−¿osom je y=−12

.

3) Funkcija je negativna za x∈ (−∞ ,2 ) , a pozitivna za x∈ (2 ,∞ ) . 4) Funkcija nije ni parna ni neparna. Funkcija nije periodična.5) Horizontalna asimptota sa leva je prava y=0. Vertikalna asimptota je prava x=2.

6) y '= ex (x−3 )( x−2 )2

=¿ funkcija je opadajuća za x∈ (−∞ ,2 )∪ (2,3 ) , a rastuća za x∈ (3 ,∞ ) . Funkcija ima minimum

u tački (3 , e3 ). 7) y} = {{e} ^ {x} left ({x} ^ {2} -6x+10 right )} over {{left (x-2 right )} ^ {3}} = ¿ funkcija je konkavna za x∈ (−∞ ,2 ), a konveksna za

x∈ (2 ,∞ ) . 8) Grafik funkcije ima sledeći izgled:

232. 1) D= (−∞ ,1 )∪ (1 ,∞ ) .

limx→−∞

(e x

1−x )=0 limx→∞

(ex

1−x )=−∞limx→1−

(ex

1−x ) =+∞ limx→1+

(ex

1−x )=−∞2) Nema nula funkcije. Presek sa y−¿osom je y=1.

94


3) Funkcija je pozitivna za x∈ (−∞ ,1 ) , a negativna za x∈ (1 ,∞) . 4) Funkcija nije ni parna ni neparna. Funkcija nije periodična.5) Horizontalna asimptota sa leva je prava y=0. Vertikalna asimptota je prava x=1.

6) y '= ex (2−x )(1−x )2

=¿ funkcija je rastuća za x∈ (−∞ ,1 )∪ (1,2 ) , a opadajuća za x∈ (2 ,∞ ) . Funkcija ima maksimum

u tački (2 ,−e2 ) . 7) y} = {{e} ^ {x} left ({x} ^ {2} -4x+5 right )} over {{left (1-x right )} ^ {3}} =¿ funkcija je konveksna za x∈ (−∞ ,1 ), a konkavna za

x∈ (1 ,∞) . 8) Grafik funkcije ima sledeći izgled:

233. 1) D= (−∞ ,∞) .

limx→−∞( x

2+1ex )=+∞ lim

x→∞( x2+1ex )=0.

2) Nema nula funkcije. Presek sa y−¿osom je y=1. 3) Funkcija je pozitivna na celom domenu.4) Funkcija nije ni parna ni neparna. Funkcija nije periodična.5) Horizontalna asimptota zdesna je prava y=0.

6) y '=−x2+2 x−1ex =¿ funkcija je opadajuća na celom domenu i nema ekstremnih vrednosti.

7) y} = {{x} ^ {2} -4 x +3} over {{e} ^ {{x} ^ {2}}} =¿ funkcija je konveksna za x∈ (−∞ ,1 )∪ (3 ,∞ ) , a konkavna za x∈ (1,3 ) .

Prevojne tačke su P1(1 , 2e ) i P2(3 , 10

e3 ). 8) Grafik funkcije ima sledeći izgled:

95

234. 1) D= (−∞ ,∞) .

limx→−∞( x

2+2ex2 )=0 lim

x→∞ ( x2+2ex2 )=0 .

2) Nema nula funkcije. Presek sa y−¿osom je y=2. 3) Funkcija je pozitivna na celom domenu.4) Funkcija je parna. Funkcija nije periodična.5) Horizontalna asimptota je prava y=0.

6) y '=−2x (x2+1 )

ex2 =¿ funkcija je rastuća za x∈ (−∞ ,0 ) , a opadajuća za x∈ (0 ,∞ ) . Funkcija ima maksimum u

tački (0,2 ) . 7) y} = {2 left (x+1 right ) left (x-1 right ) left (2 {x} ^ {2} +1 right )} over {{e} ^ {{x} ^ {2}}} = ¿ funkcija je konveksna za

x∈ (−∞ ,−1 )∪ (1 ,∞) , a konkavna za x∈ (−1,1 ) . Prevojne tačke su P1(−1 , 3e ) i P2(1 , 3

e ). 8) Grafik funkcije ima sledeći izgled:

235. 1) D= (−∞ ,0 )∪ (0 ,∞ ) .

limx→−∞(1e x−1 )=−1 lim

x→∞(1e x−1 )=0

limx→0−

(1ex−1 )=−∞ limx→0+

(1e x−1 )=+∞

2) Nema nula funkcije. Nema preseka sa y−¿osom.

3) Funkcija je pozitivna za x∈ (0 ,∞ ) , a negativna za x∈ (−∞ ,0 ) . 4) Funkcija nije ni parna ni neparna. Funkcija nije periodična.5) Horizontalna asimptota zdesna je prava y=0 , a sa leva je prava y=−1. Vertikalna asimptota je prava x=0.

6) y '= −ex

(ex−1 )2<0=¿ funkcija je opadajuća na celom domenu.

7) y} = {{e} ^ {x} left (1+ {e} ^ {x} right )} over {{left ({e} ^ {x} -1 right )} ^ {3}} =¿ funkcija je konveksna za x∈ (0 ,∞ ) , a konkavna za

x∈ (−∞ ,0 ) .

96



236. 1) D= (−∞ ,0 )∪ (0 ,∞ ) .

limx→−∞

(e1x -x )=+∞ lim

x→∞(e

1x -x)=−∞

limx→0−

(e1x -x )=0 lim

x→ 0+(e

1x -x )=+∞

2) Nema preseka sa y−¿osom.4) Funkcija nije ni parna ni neparna. Funkcija nije periodična.5) Vertikalna asimptota zdesna je prava x=0. Kosa asimptota je prava y=−x+1.

6) y '=−(e

1x +x2)x2 <0=¿ funkcija je opadajuća na celom domenu.

7) y} = {{e} ^ {{1} over {x}} left (1+2x right )} over {{x} ^ {4}} = ¿ funkcija je konveksna za x∈(−12

,0)∪ (0 ,∞ ) , a konkavna za

x∈(−∞,−12 ). Prevojna tačka je P(−1

2, e

2+22e2 ) .


237. 1) D= (−∞ ,∞) .

limx→−∞( e

x−e−x

ex+e−x )=−1 limx→∞( e

x−e−x

ex+e−x )=1 .

2) Nula funkcije je x=0. Presek sa y−¿osom je y=0. 3) Funkcija je pozitivna za x∈ (0 ,∞ ) , a negativna za x∈ (−∞ ,0 ) . 4) Funkcija je neparna. Funkcija nije periodična.5) Horizontalna asimptota zdesna je prava y=1 , a sa leva prava y=−1.

97

6) y'= 4

(ex+e− x)2>0=¿ funkcija je rastuća na celom domenu.

7) y} = {-8 left ({e} ^ {x} - {e} ^ {-x} right )} over {{left ({e} ^ {x} + {e} ^ {-x} right )} ^ {3}} =¿ funkcija je konkavna za x∈ (0 ,∞ ) , a

konveksna za x∈ (−∞ ,0 ) . Prevojna tačka je P (0,0 ) . 8) Grafik funkcije ima sledeći izgled:

238. 1) D=¿ . f (0)=0 lim

x→∞(√1−e−x )=1 .

2) Nula funkcije je x=0. Presek sa y−¿osom je y=0. 3) y ≥0 na celom domenu.4) Funkcija nije ni parna ni neparna. Funkcija nije periodična.5) Horizontalna asimptota zdesna je prava y=1.

6) y '= e− x

2√1−e−x >0=¿ funkcija je rastuća na celom domenu.

7) y} = {{e} ^ {-x} left ({e} ^ {-x} -2 right )} over {4 sqrt {{left (1- {e} ^ {-x} right )} ^ {3}}} = ¿ funkcija je konkavna na celom domenu8) Grafik funkcije ima sledeći izgled:

239. 1) D=¿ . f (0)=0 lim

x→∞(√1−e−x )=1 .


3) Funkcija je pozitivna za x∈(−12

,0)∪ (0 ,∞ ) , a negativna za x∈(−∞,−12 ).

4) Funkcija nije ni parna ni neparna. Funkcija nije periodična.

5) Prava x=−12

je vertikalna asimptota, a prava x=0 je vertikalna asimptota zdesna.

6) y '=2e

1x (2 x2−1 )

(2 x+1 )2=¿ funkcija je rastuća za x∈(−∞,−√2

2 )∪(√22

,∞ ) , a opadajuća za

98


x∈(−√22

,−12 )∪ (−1

2,0)∪(0 , √2

2 ). Funkcija ima maksimum u tački (−√22

, (−1−√2 ) e−√2) , a minimum u

tački (√22

, (√2−1 )e√2).7) y} = {2 {e} ^ {{1} over {x}} left (2 {x} ^ {2} +2x+1 right )} over {{x} ^ {2} {left (2x+1 right )} ^ {3}} =¿ funkcija je konkavna za

x∈(−∞,−12 ) , a konveksna za x∈(−1

2,0)∪ (0 ,∞ ). Nema prevojnih tačaka.


240. 1) D= (−∞ ,−1 )∪ (−1,1 )∪ (1 ,∞ ) .

limx→−∞

(e11− x2 )=1 lim

x→∞(e

1

1−x2 )=1 limx→−1−

(e1

1−x2 )=0

limx→−1+

(e11−x2 ) =+∞ lim

x→1−(e

11−x2 ) =+∞ lim

x→1+(e

11− x2 )=0

2) Nema nula funkcije. Presek sa y−¿osom je y=e . 3) Funkcija je pozitivna na celom domenu.4) Funkcija je parna. Funkcija nije periodična.5) Horizontalna asimptota je prava y=1. Vertikalna asimptota sa leva je prava x=1, a vertikalna asimptota zdesna je

prava x=−1 .

6) y '=2x e1

1−x2

(1−x2 )2=¿ funkcija je rastuća za x∈ (0,1 )∪ (1 ,∞ ), a opadajuća za x∈ (−∞ ,−1 )∪ (−1,0 ). Funkcija ima

minimum u tački (0 , e ).7) y} = {2 {e} ^ {{1} over {1- {x} ^ {2}}} left (-3 {x} ^ {4} +4 {x} ^ {2} +1 right )} over {{left ({1-x} ^ {2} right )} ^ {4}} =¿ funkcija je konkavna

za x∈(−∞,−√ 2+√73 )∪(√ 2+√7

3,∞) , a konveksna za x∈(−√ 2+√7

3,−1)∪ (−1,1 )∪(1 ,√ 2+√7

3 ) .

99


241. 1) D= (−∞ ,∞) . limx→−∞

(e−x−e−x )=0 limx→∞

(e−x−e−x )=0.

2) Nema nula funkcije. Presek sa y−¿osom je y=1e.

3) Funkcija je pozitivna na celom domenu. 4) Funkcija nije ni parna ni neparna. Funkcija nije periodična.5) Horizontalna asimptota je prava y=0. 6) y '=e− x−e−x

(e−x−1 )=¿ funkcija je rastuća za x∈ (−∞ ,0 ) ,a opadajuća za x∈ (0 ,∞ ).

7) y} = {e} ^ {-x- {e} ^ {-x}} left ({e} ^ {-2x} -3 {e} ^ {- x} +1 right ) = ¿ funkcija je konkavna za x∈(−ln 3+√52

,− ln 3−√52 ), a

konveksna za x∈(−∞,−ln 3+√52 )∪ (−ln 3−√5

2,∞) . Prevojne tačke su P1(−ln 3+√5

2, e

ln 3+√52 −3+√5

2 ) i P2(−ln 3−√5

2, e

ln 3−√52 −3−√5

2 ).


242. 1) D= (4 ,∞ ).

limx→4+

( ln2 ( x−4 )x−4 )=+∞ lim

x→∞ ( ln2 ( x−4 )x−4 )=0 .

2) Nula funkcije je x=5. Nema preseka sa y−¿osom.

3) y ≥0na celom domenu. 4) Funkcija nije ni parna ni neparna. Funkcija nije periodična.5) Horizontalna asimptota sa desna je prava y=0. Vertikalna asimptota je prava x=4.

6) y '=ln ( x−4 ) [2−ln ( x−4 ) ]

(x−4 )2=¿ funkcija je rastuća za x∈ (5 , e2+4 ) , a opadajuća za x∈ (4,5 )∪ (e2+4 ,∞).

100


Funkcija ima minimum u tački (5,0 ) , a maksimum u tački (e2+4 , 4e2 ) .

7) y} = {2 left [{ln} ^ {2} left (x-4 right ) -3lx left (x-4 right ) +1 right ]} over {{left (x-4 right )} ^ {3}} = ¿ funkcija je konkavna za

x∈(e3−√5

2 , e3+√5

2 ) , a konveksna za x∈(4 , e3−√5

2 )∪(e3+√5

2 ,∞). Prevojne tačke su P1(e3−√5

2 , f (e3−√5

2 )) i P2(e

3+√52 , f (e

3+√52 ))


243. 1) D= (1 ,∞ ) .

limx→1+

( 1− ln (x−1 )x−1 )=+∞ lim

x→∞ ( 1−ln (x−1 )x−1 )=0 .

2) Nula funkcije je x=e+1. Nema preseka sa y−¿osom.

3) Funkcija je pozitivna za x∈ (1 ,e+1 ) , a negativna za x∈ (e+1,∞ ) . 4) Funkcija nije ni parna ni neparna. Funkcija nije periodična.5) Horizontalna asimptota zdesna je prava y=0. Vertikalna asimptota je prava x=1.

6) y '=ln ( x−1 )−2

( x−1 )2=¿ funkcija je opadajuća za x∈ (1 , e2+1 ) , a rastuća za x∈ (e2+1,∞ ). Funkcija ima minimum

u tački (e2+1 ,− 1e2 ).

7) y} = {5-2ln left (x-1 right )} over {{left (x-1 right )} ^ {3}} = ¿ funkcija je konkavna za x∈ (√e5+1,∞ ) , a konveksna za

x∈ (1 ,√e5+1 ) . Prevojna tačka je P(√e5+1 ,− 32√e5 ) .


101

244. 1) D= (0 ,∞ ).

limx→0+

( ln x−1x )=−∞ lim

x→∞( ln x−1x )=0 .

2) Nula funkcije je x=e . Nema preseka sa y−¿osom.

3) Funkcija je negativna za x∈ (0 , e ) , a pozitivna za x∈ (e ,∞ ) .4) Funkcija nije ni parna ni neparna. Funkcija nije periodična.5) Horizontalna asimptota sa desna je prava y=0. Vertikalna asimptota je prava x=0.

6) y '=2−lnxx2 =¿ funkcija je rastuća za x∈ (0 , e2) , a opadajuća za x∈ (e2 ,∞ ) . Funkcija ima maksimum u tački

(e2 , 1e2 ) .

7) y} = {2lnx-5} over {{x} ^ {3}} =¿ funkcija je konkavna za x∈ (0 ,√e5 ) , a konveksna za x∈ (√e5 ,∞ ) . Prevojna tačka je

P(√e5 , 32√e5 ) .


245. 1) D= (0 ,∞ ).

limx→0+

( 1−ln xx2 )=+∞ lim

x→∞ (1−ln xx2 )=0 .

2) Nula funkcije je x=e . Nema preseka sa y−¿osom.

3) Funkcija je pozitivna za x∈ (0 , e ) , a negativna za x∈ (e ,∞ ) . 4) Funkcija nije ni parna ni neparna. Funkcija nije periodična.5) Horizontalna asimptota zdesna je prava y=0. Vertikalna asimptota je prava x=0.

6) y '=2lnx−3x3 =¿ funkcija je opadajuća za x∈ (0 ,√e3 ) , a rastuća za x∈ (√e3,∞ ) . Funkcija ima minimum u tački

(√e3 ,−12e3 ) .

7) y} = {11-6lnx} over {{x} ^ {4}} =¿ funkcija je konveksna za x∈ (0 , 6√e11) , a konkavna za x∈ ( 6√e11 ,∞ ) . Prevojna tačka je

P( 6√e11 , −56 3√e11 ).

102



246. 1) D= (1 ,∞ ) .

limx→1+

( ln (x−1 )x−1 )=−∞ lim

x→∞ ( ln (x−1 )x−1 )=0.


3) Funkcija je negativna za x∈ (1,2 ) , a pozitivna za x∈ (2 ,∞ ) . 4) Funkcija nije ni parna ni neparna. Funkcija nije periodična.5) Horizontalna asimptota sa desna je prava y=0. Vertikalna asimptota je prava x=1.

6) y '=1−ln ( x−1 )(x−1 )2

=¿ funkcija je rastuća za x∈ (1 ,e+1 ) , a opadajuća za x∈ (e+1,∞ ). Funkcija ima maksimum

u tački (e+1 , 1e ) .

7) y} = {2ln left (x-1 right ) -3} over {{left (x-1 right )} ^ {3} ¿=> funkcija je konkavna za x∈ (1 ,√e3+1 ) , a konveksna za

x∈ (√e3+1,∞ ). Prevojna tačka je P(√e3+1 , 32√e3 ).


247. 1) D= (−1,0 )∪ (0 ,∞) .

limx→−1+

(x+1ln ( x+1 ) )=0 lim

x→∞ (x+1ln ( x+1 ) ) =+∞

limx→0−

(x+1ln ( x+1 ) )=−∞ lim

x→0+(x+1ln ( x+1 ) )=+∞


3) Funkcija je negativna za x∈ (−1,0 ) , a pozitivna za x∈ (0 ,∞ ) . 4) Funkcija nije ni parna ni neparna. Funkcija nije periodična.

103

5) Vertikalna asimptota je prava x=0.

6) y '=ln ( x+1 )−1

ln 2 ( x+1 )=¿ funkcija je opadajuća za x∈ (−1,0 )∪ (0 , e−1 ) , a rastuća za x∈ (e−1 ,∞ ). Funkcija ima

minimum u tački (e−1 , e ) . 7) y} = {2-ln left (x+1 right )} over {left (x+1 right ) {ln} ^ {3} left (x+1 right )} =¿ funkcija je konkavna za x∈ (−1,0 )∪ (e2−1 ,∞), a

konveksna za x∈ (0 , e2−1 ) . Prevojna tačka je P(e2−1 , e2

2 ) . 8) Grafik funkcije ima sledeći izgled:

248. 1) D= (1,2 )∪ (2 ,∞ ) .

limx→1+

(( x−1 )2

ln (x−1 ) )=0 limx→∞ (( x−1 )2

ln ( x−1 ) )=+∞

limx→2−

( ( x−1 )2

ln ( x−1 ) )=−∞ limx→2+

(( x−1 )2

ln ( x−1 ) )=+∞

2) Nema nula funkcije. Nema preseka sa y−¿ osom.

3) Funkcija je negativna za x∈ (1,2 ) , a pozitivna za x∈ (2 ,∞ ) . 4) Funkcija nije ni parna ni neparna. Funkcija nije periodična.5) Vertikalna asimptota je prava x=2.

6) y '=( x−1 ) [2 ln ( x−1 )−1 ]

ln2 (x−1 )=¿ funkcija je opadajuća za x∈ (1,2 )∪ (2 ,√e+1 ) , a rastuća za x∈ (√e+1 ,∞ ) .

Funkcija ima minimum u tački (√e+1,2e ) . 7) y} = {2 {ln} ^ {2} left (x-1 right ) -3ln left (x-1 right ) +2} over {{ln} ^ {3} left (x-1 right )} = ¿ funkcija je konkavna za x∈ (1,2 ) , a

konveksna za x∈ (2 ,∞ ). 8) Grafik funkcije ima sledeći izgled:

104


249. 1) D= (1,2 )∪ (2 ,∞ ) .

limx→1+(

x−1ln2 ( x−1 ) )=0 lim

x→∞ (x−1ln2 ( x−1 ) )=+∞

limx→2−(

x−1ln2 ( x−1 ) ) =+∞ lim

x→2+(x−1ln2 ( x−1 ) )=+∞

2) Nema nula funkcije. Nema preseka sa y−¿osom.3) Funkcija je pozitivna na celom domenu.4) Funkcija nije ni parna ni neparna. Funkcija nije periodična.5) Vertikalna asimptota je prava x=2.

6) y '= ln ( x−1 )−2ln3 ( x−1 )

=¿ funkcija je opadajuća za x∈ (2 , e2+1 ) , a rastuća za x∈ (1,2 )∪ (e2+1 ,∞ ). Funkcija ima

minimum u tački (e2+1 , e2

4 ) . 7) y} = {6-2ln left (x-1 right )} over {left (x-1 right ) {ln} ^ {4} left (x-1 right )} = ¿ funkcija je konkavna za x∈ (e3+1,∞ ) , a konveksna za

x∈ (1,2 )∪ (2 , e3+1 ) . Prevojna tačka je P(e3+1 , e3

9 ) . 8) Grafik funkcije ima sledeći izgled:

250. 1) D= (−3 ,−2 )∪ (−2 ,∞ ) .

limx→−3+(

x+3ln2 ( x+3 ) )=0 lim

x→∞ (x+3ln2 ( x+3 ) ) =+∞

limx→−2−(

x+3ln2 (x+3 ) )=+∞ lim

x→−2+(x+3ln2 ( x+3 ) )=+∞

2) Nema nula funkcije. Presek sa y−¿ osom je y=3

ln23.

3) Funkcija je pozitivna na celom domenu.4) Funkcija nije ni parna ni neparna. Funkcija nije periodična.5) Vertikalna asimptota je prava x=−2.

6) y '=ln ( x+3 )−2ln3 ( x+3 )

=¿ funkcija je opadajuća za x∈ (−2 , e2−3 ) , a rastuća za x∈ (−3 ,−2 )∪ (e2−3 ,∞ ).

Funkcija ima minimum u tački (e2−3 , e2

4 ) . 7) y} = {2 left [3-ln left (x+3 right ) right ]} over {left (x+3 right ) {ln} ^ {4} left (x+3 right )} = ¿ funkcija je konkavna za x∈ (e3−3 ,∞ ) , a

105

konveksna za x∈ (−3 ,−2 )∪ (−2 , e3−3 ) . Prevojna tačka je P(e3−3 , e3

9 ). 8) Grafik funkcije ima sledeći izgled:

251. 1) D= (0,1 )∪ (1 ,∞ ) .

limx→0+

( x2

ln x )=0 limx→∞ (x

2

ln x )=+∞

limx→1−

( x2

ln x )=−∞ limx→1+

(x2

ln x )=+∞


3) Funkcija je negativna za x∈ (0,1 ) , a pozitivna za x∈ (1 ,∞) . 4) Funkcija nije ni parna ni neparna. Funkcija nije periodična.5) Vertikalna asimptota je prava x=1.

6) y '=x (2 lnx−1 )

ln2 x=¿ funkcija je opadajuća za x∈ (0,1 )∪ (1 ,√e ), a rastuća za x∈ (√e ,∞ ). Funkcija ima

minimum u tački (√e ,2e )..7) y} = {2 {ln} ^ {2} x-3lnx+2} over {{ln} ^ {3} x} =¿ funkcija je konkavna za x∈ (0,1 ) , a konveksna za x∈ (1 ,∞) . 8) Grafik funkcije ima sledeći izgled:

252. 1) D= (1 ,∞ ) . limx→1+

(( x−1 ) ln2 ( x−1 ) )=0 limx→∞

( ( x−1 ) ln2 ( x−1 ) ) =+∞ .


3) y ≥0na celom domenu.4) Funkcija nije ni parna ni neparna. Funkcija nije periodična.5) Funkcija nema asimptota.

6) y '= ln ( x−1 ) [ ln ( x−1 )+2 ]=¿ funkcija je opadajuća za x∈(1+ 1e2 ,2) , a rastuća za x∈(1,1+ 1

e2 )∪ (2 ,∞ ) .

106


Funkcija ima minimum u tački (2,0 ) , a maksimum u tački (1+ 1e2 ,

e2

4 ). 7) y} = {2 left [ln left (x-1 right ) +1 right ]} over {x-1} = ¿ funkcija je konkavna za x∈(1,1+ 1

e ) , a konveksna za x∈(1+ 1e,∞).

Prevojna tačka je P(1+ 1e, 1e ).


253. 1) D= (2,∞ ) . limx→2+

(( x−2 )2 ln ( x−2 ) )=0 limx→∞

(( x−2 )2 ln ( x−2 ) ) =+∞ .


3) Funkcija je pozitivna za x∈ (3 ,∞ ) , a negativna za x∈ (2,3 ) . 4) Funkcija nije ni parna ni neparna. Funkcija nije periodična.5) Funkcija nema asimptota.

6) y '=( x−2 ) [2 ln ( x−2 )+1 ]=¿ funkcija je opadajuća za x∈(2,2+ 1√e ) , a rastuća za x∈(2+ 1

√e,∞) . Funkcija

ima minimum u tački (2+ 1√e

,− 12e ).

7) y} =2ln left (x-2 right ) +3=¿ funkcija je konkavna za x∈(2,2+ 1√e3 ) , a konveksna za x∈(2+ 1

√e3 ,∞). Prevojna tačka

je P(2+ 1√e3 ,−

32e3 ) .


107

254. 1) D= (−∞ ,∞) . limx→−∞

( ln (x2−2x+2 ) )=+∞ limx→∞

( ln (x2−2 x+2) )=+∞ .

2) Nula funkcije je x=1. Presek sa y−¿osom je y=ln 2.3) y ≥0 na celom domenu.4) Funkcija nije ni parna ni neparna. Funkcija nije periodična.5) Funkcija nema asimptota.

6) y '=2 ( x−1 )x2−2x+2

=¿ funkcija je opadajuća za x∈ (−∞ ,1 ), a rastuća za x∈ (1 ,∞) . Funkcija ima minimum u tački

(1,0 ) . 7) y} = {2x left (2-x right )} over {{left ({x} ^ {2} -2x+2 right )} ^ {2}} = ¿ funkcija je konkavna za x∈ (−∞ ,0 )∪ (2 ,∞ ) , a konveksna

za x∈ (0,2 ). Prevojne tačke su P1 (0 , ln2 ) i P2 (2, ln 2 ) . 8) Grafik funkcije ima sledeći izgled:

255. 1) D= (0 ,∞ ).limx→0+

( ln2 x−4 ln x+3 )=+∞ limx→∞

( ln2 x−4 ln x+3 ) =+∞ .

2) Nule funkcije su x=e i x=e3 . Nema preseka sa y−¿osom.

3) Funkcija je pozitivna za x∈ (0 , e )∪ (e3 ,∞ ) , a negativna za x∈ (e , e3 ) . 4) Funkcija nije ni parna ni neparna. Funkcija nije periodična.5) Vertikalna asimptota zdesna je prava x=0.

6) y '=2 (lnx−2 )

x=¿ funkcija je opadajuća za x∈ (0 , e2) , a rastuća za x∈ (e2 ,∞ ) . Funkcija ima minimum u tački

(e2 ,−1 ). 7) y} = {2 left (3-lnx right )} over {{x} ^ {2}} = ¿ funkcija je konkavna za x∈ (e3 ,∞ ) , a konveksna za x∈ (0 , e3 ). Prevojna tačka

je P (e3 ,0 ) . 8) Grafik funkcije ima sledeći izgled:

108


256. 1) D= (0 ,∞ ).limx→0+

(3 ( ln2x− ln x2 )) =+∞ limx→∞

(3 ( ln2x−ln x2 )) =+∞.

2) Nule funkcije su x=1 i x=e2 . Nema preseka sa y−¿osom.

3) Funkcija je pozitivna za x∈ (0,1 )∪ (e2 ,∞ ) , a negativna za x∈ (1 , e2 ) . 4) Funkcija nije ni parna ni neparna. Funkcija nije periodična.5) Vertikalna asimptota zdesna je prava x=0.

6) y '=6 (lnx−1 )x

=¿ funkcija je opadajuća za x∈ (0 , e ) , a rastuća za x∈ (e ,∞ ) . Funkcija ima minimum u tački

(e ,−3 ) . 7) y} = {6 left (2-lnx right )} over {{x} ^ {2}} = ¿ funkcija je konkavna za x∈ (e2,∞ ) , a konveksna za x∈ (0 , e2) . Prevojna tačka


257. 1) D= (0 ,∞ ).limx→0+

(x (ln2 x−ln x2 )) =+∞ limx→∞

(x ( ln2 x−ln x2) ) =+∞.

2) Nule funkcije su x=1 i x=e2 . Nema preseka sa y−¿osom.

3) Funkcija je pozitivna za x∈ (0,1 )∪ (e2 ,∞ ) , a negativna za x∈ (1 , e2 ) . 4) Funkcija nije ni parna ni neparna. Funkcija nije periodična.5) Vertikalna asimptota zdesna je prava x=0.

6) y '=6 (lnx−1 )

x=¿ funkcija je opadajuća za x∈ (0 , e ) , a rastuća za x∈ (e ,∞ ) . Funkcija ima minimum u tački

(e ,−3 ) . 7) y} = {6 left (2-lnx right )} over {{x} ^ {2}} = ¿ funkcija je konkavna za x∈ (e2,∞ ) , a konveksna za x∈ (0 , e2) . Prevojna tačka


109

258. 1) D=(0 , 3√e )∪ ( 3√e ,∞) .

limx→0+

( ln x3 ln x−1 )=1

3limx→∞( ln x

3 ln x−1 )=13

limx→

3√e−(ln x3 ln x−1 )=−∞ lim

x→3√e+( ln x3 ln x−1 )=+∞


3) Funkcija je pozitivna za x∈ (0,1 )∪ ( 3√e ,∞ ) , a negativna za x∈ (1 , 3√e ) . 4) Funkcija nije ni parna ni neparna. Funkcija nije periodična.

5) Horizontalna asimptota zdesna je prava y=13.Vertikalna asimptota je prava x= 3√e .

6) y '= −1x (3 lnx−1 )2

<0=¿ funkcija je opadajuća na celom domenu i nema ekstremnih vrednosti.

7) y} = {3lnx+5} over {{x} ^ {2} {left (3lnx-1 right )} ^ {4}} =¿ funkcija je konkavna za x∈( 13√e5

, 3√e) , a konveksna za

x∈(0 , 13√e5 )∪ ( 3√e ,∞ ). Prevojna tačka je P( 1

3√e5, 518 ) .


259. 1) D= (0 ,∞ ).

limx→0+

ln x√ x

=−∞ limx→∞

ln x√x

=0


3) Funkcija je negativna za x∈ (0,1 ) , a pozitivna za x∈ (1 ,∞) . 4) Funkcija nije ni parna ni neparna. Funkcija nije periodična.5) Horizontalna asimptota zdesna je prava y=0.Vertikalna asimptota zdesna je prava x=0.

6) y '=2−lnx2√x3

0=¿ funkcija je opadajuća za x∈ (e2 ,∞ ), a rastuća za x∈ (0 , e2). Funkcija ima maksimum u tački

(e2 , 2e ) .

7) y} = {3lnx-8} over {4 sqrt {{x} ^ {5}}} =¿ funkcija je konkavna za x∈ (0 , 3√e8 ) , a konveksna za x∈ ( 3√e8 ,∞) . Prevojna

tačka je P( 3√e8 , 83 3√e4 ) .

110



260. Vertikalna asimptota je prava x=0. Kosa asimptota zdesna je prava y=x .261. Kosa asimptota zdesna je prava y=πx−2 , a sa leva prava y=−πx−2.262. Kosa asimptota zdesna je prava y=x+π , a sa leva y=x−π .263. Vertikalna asimptota je prava x=2. Kosa asimptota zdesna je prava y=x+1 , a sa leva prava y=−x−1.264. Horizontalna asimptota je prava y=1. Vertikalna asimptota je prava x=3.265. Vertikalna asimptota zdesna je prava x=0. Kosa asimptota je prava y=x+1.

266. Kako je y '= 1+x1+ x2=¿ funkcija je rastuća za x∈ (−1 ,∞ ), a opadajuća za x∈ (−∞ ,−1 ) . Funkcija ima

minimum u tački (−1 , ln√2−π4 ).267. Kako je y} =- {{left (lnx +1 right )} ^ {2}} over {{x} ^ {2} {left (1+ {ln} ^ {2} x right )} ^ {2}} ≤0= ¿ Funkcija je konkavna na celom

domenu.268. Kako je y} = {left ({{x} ^ {2} -1} over {x} right )} ^ {2} ≥0= ¿ funkcija je uvek konveksna i ne menja konveksitet (konveksnost).269. Uslov postojanja date funkcije je: −1≤x2+ y2−2 x−3≤1. Ovaj uslov je složenica 2 uslova:

1) x2+ y2−2 x−3≥−12) x2+ y2−2 x−3≤1Rešavanjem prvog uslova dobija se ( x−1 )2+ y2≥3, što predstavlja spoljašnjost kruga sa cenrom u tački (1,0 ) i poluprečnikom √3.

Rešavanjem drugog uslova dobija se ( x−1 )2+ y2≤5, što predstavlja unutrašnjost kruga sa cenrom u tački (1,0 ) i poluprečnikom √5.Dakle oblast integracije je kružni prsten ograničen sa ta dva kruga što je prikazano na sledećoj slici:

270. Kako je ∂ z∂x

=1+e x2 y2

2x y2 , a ∂ z∂ y

=ex2 y2

2 x2 y=¿ x ∂ z∂ x

− y ∂ z∂ y

=x .

111


= xy√ x2− y2

, a ∂ z∂ y

= x2−2 y2

√ x2− y2=¿ y2 ∂ z∂ x

+xy ∂ z∂ y

=xz .


=2 x y2 cos (x2− y2 ) , a ∂ z∂ y

=2 ysin (x2− y2 )−2 y3 cos (x2− y2 )=¿ y2 ∂ z∂x

+ xy ∂ z∂ y

=2xz .


= 1ye

xy (1+ x

y ) , a ∂ z∂ y

=−xy2 e

xy (1+ x

y )=¿ x2 ∂z∂ x

+xy ∂ z∂ y

=0.


= yx2+ y2 , a

∂ z∂ y

= −xx2+ y2=¿x

2 ∂ z∂x

+xy ∂ z∂ y

=0.


=arctg (x2− y2 )+ 2x2

1+(x2− y2)2, a

∂ z∂ y

= −2 xy1+(x2− y2 )2

=¿ 1yz (xy ∂ z

∂x+x2 ∂ z

∂ y )=1.


=2 x ex2+ y2

, ∂ z∂ y

=2 y ex2+ y2

i ∂2 z

∂x ∂ y=4 xy ex2+ y2

=¿ z ∂2 z∂ x∂ y

= ∂ z∂x

∂ z∂ y

.

277. Kako je ∂ z∂ y

= −2 y(x2+ y2 )2

, ∂2 z

∂ y2=−2 (x2−3 y2)

(x2+ y2 )3i

∂2 z∂x ∂ y

= 8 xy(x2+ y2 )3

=¿ y ∂2 z∂ y2=

∂ z∂ y

+ y2

x∂2 z

∂x ∂ y.

278. Kako je

zxx} = {2 left (1-3 {x} ^ {4} -2 {x} ^ {2} {y} ^ {2} + {y} ^ {4} right )} over {{left [1+ {left ({x} ^ {2} + {y} ^ {2} right )} ^ {2} right ]} ^ {2}} ¿ a

z yy} = {2 left (1-3 {y} ^ {4} -2 {x} ^ {2} {y} ^ {2} + {x} ^ {4} right )} over {{left [1+ {left ({x} ^ {2} + {y} ^ {2} right )} ^ {2} right ]} ^ {2}} => {z} rsub {xx} rsup {+z yy

} ≠¿

.


=− yx2 y

yx (lnysin y

x+cos y

x ) , a

∂ z∂ y

=1xy

yx (lnysin y

x+sin y

x+cos y

x )=¿ y2 ∂ z∂ x

+xy ∂ z∂ y

= yz .

280. dz=( 2xy+ y2−1)dx+(−x2

y2 +2xy−2)dy=−2dy .

d2 z= 2yd x2+2(−2 x

y2 +2 y)dxdy+(2 x2

y3 +2 x)d y2=2d x2+4 dxdy .

281. dz=2 x ex2+ y2

dx+2 y ex2+ y2

dy=2e2dx+2e2dy . d2 z=2 (1+2x2 )ex2+ y2

d x2+8 xy ex2+ y2

dxdy+2 (1+2 y2 )ex2+ y2

d y2=6e2d x2+8 e2dxdy+6 e2d y2.

282. dz= 2 xx2+ y

dx+ 1x2+ y

dy .d2 z=2 ( y−x2 )(x2+ y )2

d x2− 4 x(x2+ y )2

dxdy− 1(x2+ y )2

d y2.

283. dz=13dx+ 2

3dy .d2 z=2

9d x2−4

9dxdy−1

9d y2

.

284. dz=( 2x+2 xy)dx+( 2

y+x2)dy=4dx+3dy .

d2 z=(−2x2 +2 y )d x2+4 xdxdy− 2

y2 d y2=4 dxdy−2d y2 .

285. (2 x−3 y ) e2− x≈7−5 ( x−2 )−3 ( y+1 )+32

( x−2 )2+3 ( x−2 ) ( y+1 ) .

286. x2+ x y2+ y3=1+x+3 ( y−1 )+x2+2x ( y−1 )+3 ( y−1 )2+x ( y−1 )2+ ( y−1 )3 .

287. e3x arctg (2 y )≈2 y+6 xy+9 x2 y−83y3.


=1+ 2xx2+ y2+2

i ∂ z∂ y

=1+ 2 yx2+ y2+2

=¿ nema kandidat tačaka. Dakle, funkcija nema lokalnih

ekstremnih vrednosti.

112


289. Kako je ∂ y∂ x

+6 x−6 i ∂ z∂ y

=−2+ 25− y

=¿ kandidat tačka je M (1,4 ). Kako je A=6 ,B=0 i C=2

(5− y )2,

dobija se: M (1,4 )=¿ A=6 ,B=0 ,C=2 i ∆=−12 , pa je M (1,4 ) lokalni minimum i zmin=−7.


=188−8 x− y i ∂ z∂ y

=141−x−6 y=¿ kandidat tačka je M (21,20 ). Kako je A=−8 ,B=−1

i C=−6 , dobija se:

M (21,20 )=¿ A=−8 ,B=−1 ,C=−6 i ∆=−47 , pa je M (21,20 ) lokalni maksimum i zmax=3384.


=−2 x−2 y+30 i ∂ z∂ y

=2 y−2x+2=¿ kandidat tačka je M (8,7 ) . Kako je A=−2 ,B=−2 i

C=2 , dobija se:

M (8,7 )=¿ A=−2 ,B=−2 ,C=2 i ∆=8 , pa M (8,7 ) nije lokalna ekstremna vrednost.Dakle, funkcija nema lokalnih ekstremnih vrednosti.


=−1x2 + y i

∂ z∂ y

=−1y2 +x=¿ kandidat tačka je M (1,1 ) . Kako je A=

2x3 , B=1 i C=

2y3 , dobija

se:

M (1,1 )=¿ A=2 , B=1 ,C=2 i ∆=−3 ,pa je M (1,1 ) lokalni minimum i zmin=3.


= y− 2x2 i

∂ z∂ y

=x− 4y2=¿ kandidat tačka je M (1,2 ) . Kako je A=

4x3 , B=1 i C=

8y3 , dobija se:

M (1,2 )=¿ A=4 , B=1 ,C=1 i ∆=−3 ,pa je M (1,2 ) lokalni minimum i zmin=6.


=3 y−3x2 i ∂ z∂ y

=3x−3 y2=¿ kandidat tačke su M 1 (0,0 ) i M2 (1,1 ) . Kako je

A=−6 x , B=3 i C=−6 y , dobija se:

M 1 (0,0 )=¿ A=0 ,B=3, C=0 i ∆=9 ,pa M 1 (0,0 ) nije lokalna ekstremna vrednost,

M 2 (1,1 )=¿ A=−6 ,B=3, C=−6 i ∆=−27 ,pa je M 2 (1,1 ) lokalni maksimum i zmax=1.


=38x+ 1

8y+ 1

2 i ∂ z∂ y

=18x+ 1

8y+ 1

4=¿ kandidat tačka je M (−1,−1 ) . Kako je A=3

8,B=1

8 i

C=18

, dobija se:

M (−1,−1 )=¿ A=38,B=1

8,C=1

8 i ∆=−1

32,pa je M (−1,−1 ) lokalni minimum i zmin=

−38

.


=19−2x− y i ∂ z∂ y

=20−x−2 y=¿ kandidat tačka je M (6,7 ) . Kako je A=−2 ,B=−1 i

C=−2, dobija se:

M (6,7 )=¿ A=−2 ,B=−1 ,C=−2 i ∆=−3 ,pa je M (6,7 ) lokalni maximum i zmax=129.


=473− y

12−2 x

3i ∂ z∂ y

= 474− x

12− y

2=¿ kandidat tačka je M (21,20 ) . Kako je

A=−23

,B=−112

i c=−12

, dobija se:

M (21,20 )=¿ A=−23

,B=−112

,C=−12

i ∆=−47144

,pa je M (21,20 ) lokalni maximum i zmax=282.


=−8x2 +

1y i

∂ z∂ y

=−xy2 +1=¿ kandidat tačka je M (4,2 ) . Kako je A=

16x3 ,B=−1

y2 i C=2xy3 ,

dobija se:

M (4,2 )=¿ A=14,B=−1

4,C=1 i ∆=−3

16,pa je M (4,2 ) lokalni minimum i zmin=6.

113


=−4x2 +1i

∂ z∂ y

=−18y2 +2=¿ kandidat tačke su M 1 (2,3 ) , M 2 (2 ,−3 ) ,M 3 (−2,3 ) i

M 4 (−2 ,−3 ). Kako je A=8x3 , B=0 i C=

36y3 , dobija se:

M 1 (2,3 )=¿ A=1 , B=0 ,C=43

i ∆=−43

,pa je M 1 (2,3 ) lokalni minimum i zmin=19 ,

M 2 (2 ,−3 )=¿ A=1 ,B=0 ,C=−43

i ∆=43,pa M 2 (2 ,−3 ) nije lokalna ekstremna vrednost,

M 3 (−2,3 )=¿ A=−1 ,B=0 ,C=43

i ∆=43,pa M 1 (−2,3 ) nije lokalna ekstremna vrednost,

M 4 (−2 ,−3 )=¿ A=−1, B=0 ,C=−43

i ∆=−43

,pa je M 4 (−2 ,−3 ) lokalni maksimum i zmax=−13.


= x72− y

72− 1

12i ∂ z∂ y

= y2

72− x

72=¿ kandidat tačke su M 1 ( 4 ,−2 ) i M 2 ( 9,3 ) .Kako je

A= 172

,B=−172

i C= y36

, dobija se:

M 1 ( 4 ,−2 )=¿ A= 172

,B=−172

i C=−118

i ∆= 55184

>0 ,pa M 1 ( 4 ,−2 ) nije lokalna ekstremna vrednost.

M 2 ( 9,3 )=¿ A= 172

,B=−172

i C= 112

i ∆= −55184

,pa je M 2 ( 9,3 ) lokalni minimum i zmin=−3

4. .


=4 x−8i ∂ z∂ y

=4 y−12=¿ kandidat tačka je M (2,3 ) . Kako je A=4 ,B=0 i C=4 , dobija se:

M (2,3 )=¿ A=4 ,B=0 ,C=4 i ∆=−16 ,pa je M (2,3 ) lokalni minimum i zmin=1.


=12e

x2 (x+ y2+2 )i ∂ z

∂ y=2 y e

x2=¿ kandidat tačka je M (−2,0 ) . Kako je

A=14e

x2 (x2+ y2+4 ) ,B= y e

x2 i C=2 e

x2 , dobija se:

M (−2,0 )=¿ A= 12 e

, B=0 ,C=2e

i ∆=−1e2 ,pa je M (−2,0 ) lokalni minimum i zmin=

−2e

.


=1−exi ∂ z∂ y

=2e2−2e2 y=¿ kandidat tačka je M (0,1 ) . Kako je A=−ex ,B=0 i C=−4e2 y,

dobija se:

M (0,1 )=¿ A=−1 ,B=0 ,C=−4 e2 i ∆=−4e2 ,pa je M (0,1 ) lokalni maksimum i zmax=e2−1.


=12y2 ex−e3x−3 x e3 x

i ∂ z∂ y

= ye x− y2=¿ kandidat tačke su M 1(−13

,0) i M 2(−16 , 1

6√e ) .Kako je A=1

2y2ex−6e3 x−9 xe3x ,B= y ex

i C=ex−2 y , dobija se:

M 1(−13

,0)=¿ A=−3e

,B=0 ,C= 13√e

i ∆=3

e 3√e>0 ,pa M 1(−1

3,0) nije lokalna ekstremna vrednost.

M 2(−16 , 1

6√e )=¿ A=−4√e

, B= 13√e

,C=−16√e

i ∆=−33√e2

,pa je M 2(−16 , 1

6√e ) lokalni maksimum i zmax=1

3√e. .

114



=−1x2 +2x+2 yi

∂ z∂ y

=−1y2 +2x+2 y=¿ kandidat tačka je M ( 1

3√4, 1

3√4 ) . Kako je

A= 2x3+2, B=2 i C=

2y3+2, dobija se:

M ( 13√4

, 13√4 )=¿ A=10 ,B=2 ,C=10i ∆=−96 ,pa je M ( 1

3√4, 1

3√4 ) lokalni minimum i zmin=3 3√4.


= y−50x2 i

∂ z∂ y

=x−20y2=¿ kandidat tačka je M (5,2 ) . Kako je A=

100x3 , B=1 i C=

40y3 , dobija

se:

M (5,2 )=¿ A=45, B=1 ,C=5i ∆=−3 ,pa je M (5,2 ) lokalni minimum i zmin=30.


= y−4x

i ∂ z∂ y

=x+2 y− 8y=¿ kandidat tačka je M (2√2 ,√2 ) . Kako je A=

4x2 , B=1 i

C=2+ 8y2 , dobija se:

M (2√2 ,√2 )=¿ A=12, B=1 ,C=6i ∆=−2 ,pa je M (2√2 ,√2 ) lokalni minimum i zmin=6−10 ln2.


=−ey− x ( y2−2x2+4 x )i ∂ z∂ y

=e y−x ( y2−2x2+2 y )=¿ kandidat tačke su M 1 (0,0 ) i

M 2 (−2 ,−4 ) .Kako je A=e y−x ( y2−2x2+8 x−4 ) , B=−ey− x ( y2−2 x2+4 x+2 y ) i C=e y−x ( y2−2 x2+4 y+2 ), dobija se:

M 1 (0,0 )=¿ A=−4 ,B=0 ,C=2i ∆=8 ,pa M 1 (0,0 ) nije lokalna ekstremna vrednost.

M 2 (−2 ,−4 )=¿ A=−12e−2 ,B=8e−2 ,C=−6e−2i ∆=−8e− 4 ,pa je M 2 (−2 ,−4 ) lokalni maksimum i

zmax=8e2 .


=2 x− y−1i ∂ z∂ y

=3 y2−x=¿ kandidat tačke su M 1( 34, 12 ) i M 2( 1

3,−1

3 ).Kako je

A=2 ,B=−1 i C=6 y , dobija se:

M 1( 34, 12 )=¿A=2 , B=−1 ,C=3i ∆=−5 ,pa je M 1( 3

4, 12 ) lokalni minimum i zmin=

−716

.

M 2( 13,−1

3 )=¿ A=2, B=−1 ,C=−2i ∆=5pa M 2( 13,−1

3 ) nije lokalna ekstremna vrednost.


=ex− y (x2+ y2+2x )i ∂ z∂ y

=−ex− y ( x2+ y2−2 y )=¿ kandidat tačke su M 1 (0,0 ) i

M 2 (−1 ,−1 ) .Kako je A=ex− y ( x2+ y2+4 x+2 ) , B=−ex− y (x2+ y2+2x−2 y ) i C=ex− y (x2+ y2−4 y+2 ), dobija se:

M 1 (0,0 )=¿ A=2 ,B=0 ,C=2i ∆=−4 ,pa je M 1 (0,0 ) lokalni minimum i zmin=0.

M 2 (−1 ,−1 )=¿ A=0 ,B=−2 ,C=0i ∆=4 ,pa M 2 (−1 ,−1 ) nije lokalna ekstremna vrednost.


=ex− y (x2+ y2−2 )i ∂ z∂ y

=−ex− y ( x2+ y2−2 x−2 y )=¿ kandidat tačke su

M 1(1−√32

, 1+√32 ) i M 2(1+√3

2, 1−√3

2 ).Kako je

A=ex− y ( x2+ y2+2 x−2 ) , B=−ex− y (x2+ y2−2−2 y ) i C=ex− y (x2+ y2−4 y+2−2x ), dobija se:

M 1(1−√32

, 1+√32 )=¿ A=e−√3 (3−√3 ) , B=e−√3 (√3−1 ) ,C=e−√3 (1−√3 )i ∆=e−√3 (2√3−2 ) ,pa

115

M 1(1−√32

, 1+√32 ) nije lokalna ekstremna vrednost.

M 2(1+√32

, 1−√32 )=¿ A=e√3 (3+√3 ) ,B=e√3 (−√3−1 ) ,C=e√3 (1+√3 )i ∆=e√3 (−2√3−2 ) ,pa je

M 2(1+√32

, 1−√32 ) lokalni minimum i zmin=e√3 (3−√3 ).


= y+ 2 xx2+ y2 i

∂ z∂ y

=x+ 2 yx2+ y2=¿ kandidat tačke su M 1 (1 ,−1 ) i M 2 (−1,1 ) .Kako je

A=2 ( y2−x2 )(x2+ y2 )2

,B=1− 4 xy(x2+ y2 )2

i C=2 (x2− y2 )(x2+ y2 )2

, dobija se:

M 1 (1 ,−1 )=¿ A=0 ,B=2,C=0i ∆=4 ,pa M 1 (1 ,−1 ) nije lokalna ekstremna vrednost.

M 2 (−1,1 )=¿A=0 ,B=2,C=0i ∆=4 ,pa M 2¿ nije lokalna ekstremna vrednost.


=4 x−6 y i ∂ z∂ y

=24 y2−6 x=¿ kandidat tačke su M 1 (0,0 ) i M 2( 916

, 38 ) .Kako je

A=4 ,B=−6 i C=48 y , dobija se:

M 1 (0,0 )=¿ A=4 ,B=−6 ,C=0i ∆=36 ,pa M 1 (0,0 ) nije lokalna ekstremna vrednost.

M 2( 916

, 38 )=¿ A=4 , B=−6 ,C=18i ∆=−36 ,pa je M 2( 9

16, 38 ) lokalni minimum i zmin=

−27128

.


=3 x2−3i ∂ z∂ y

= 2y−2 y=¿ kandidat tačke su M 1 (1,1 ) i M 2 (−1,1 ) .Kako je A=6 x , B=0 i

C=−2y2 −2, dobija se:

M 1 (1,1 )=¿ A=6 , B=0 ,C=−4i ∆=24 ,pa M 1 (1,1 ) nije lokalna ekstremna vrednost.

M 2 (−1,1 )=¿A=−6 ,B=0 ,C=−4i ∆=−24 ,pa je M 2 (−1,1 ) lokalni maksimum i zmax=1.


=2x (x2+ y2−1 )

x2+ y2 i ∂ z∂ y

= x2+ y2−2 yx2+ y2 =¿ kandidat tačke su M 1 (0,2 ) , M 2(√3

2, 12 ) i

M 3(−√32

, 12 ).Kako je A=2+2 (x2− y2 )

(x2+ y2 )2,B= 4 xy

(x2+ y2 )2 i C=

2 ( y2−x2 )(x2+ y2 )2

, dobija se:

M 1 (0,2 )=¿ A=32,B=0 ,C=1

2i ∆=−3

4,pa je M 1 (0,2 ) lokalni minimum i zmin=2−ln 4.

M 2(√32

, 12 )=¿A=3 , B=√3 ,C=−1i ∆=6 ,pa M 2(√3

2, 12 ) nije lokalna ekstremna vrednost.

M 3(−√32

, 12 )=¿ A=3 ,B=−√3 ,C=−1i ∆=6 ,pa M 3(−√3

2, 12 ) nije lokalna ekstremna vrednost.


=6 y−2xy− y2i ∂ z∂ y

=6 x−x2−2xy=¿ kandidat tačke su M 1 (0,0 ) , M 2 (6,0 ) , M 3 (0,6 ) i

M 4 (2,2 ) .Kako je A=−2 y , B=6−2 x−2 y i C=−2 x, dobija se:

M 1 (0,0 )=¿ A=0 ,B=6 ,C=0i ∆=36 ,pa M 1 (0,0 ) nije lokalna ekstremna vrednost.

M 2 (6,0 )=¿ A=0 ,B=−6 ,C=−12i ∆=36 ,pa M 2 (6,0 ) nije lokalna ekstremna vrednost.

M 3 ( 0,6 )=¿ A=−12 , B=−6 ,C=0i ∆=36 ,pa M 3 ( 0,6 ) nije lokalna ekstremna vrednost.

M 4 (2,2 )=¿ A=−4 ,B=−2 ,C=−4i ∆=−12 ,pa je M 4 (2,2 ) lokalni maksimum i zmax=8.


=3 x2+3 y2−15i ∂ z∂ y

=6 xy−12=¿ kandidat tačke su M 1 (2,1 ) , M 2 (−2 ,−1 ) , M 3 (1,2 ) i

M 4 (−1 ,−2 ) .Kako je A=6 x , B=6 y i C=6 x , dobija se:

116


M 1 (2,1 )=¿ A=12 ,B=6 ,C=12i ∆=−108 ,pa je M 1 (2,1 ) lokalni minimum i zmin=−28.

M 2 (−2 ,−1 )=¿ A=−12 ,B=−6 ,C=−12i ∆=−108 ,pa je M 2 (−2 ,−1 ) lokalni maksimum i zmax=28.


M 4 (−1 ,−2 )=¿ A=−6 ,B=−12,C=−6i ∆=108 ,pa M 4 (−1 ,−2 ) nije lokalna ekstremna vrednost.


=3 x2+ y2+6 yi ∂ z∂ y

=2xy+6 x=¿ kandidat tačke su M 1 (0,0 ) , M 2 ( 0 ,−6 ) , M 3 (√3 ,−3 ) i

M 4 (−√3 ,−3 ).Kako je A=6 x , B=2 y+6 i C=2 x, dobija se:


M 2 (0 ,−6 )=¿A=0 ,B=−6 ,C=0i ∆=36 ,pa je M 2 (0 ,−6 ) nije lokalna ekstremna vrednost.

M 3 (√3 ,−3 )=¿ A=6√3 ,B=0 ,C=2√3i ∆=−36 ,pa je M 3 (√3 ,−3 ) lokalni minimum i zmin=−6√3+2.

M 4 (−√3 ,−3 )=¿ A=−6√3 , B=0 ,C=−2√3i ∆=−36 ,pa je M 4 (−√3 ,−3 ) lokalni maksimum i

zmax=6√3+2.


=3 x2−6 y i ∂ z∂ y

=−6 x+2 y=¿ kandidat tačke su M 1 (0,0 ) i M 2 (6,18 ) .Kako je

A=6 x , B=−6 i C=2, dobija se:

M 1 (0,0 )=¿ A=0 ,B=−6 ,C=2i ∆=36 ,pa M 1 (0,0 ) nije lokalna ekstremna vrednost.

M 2 (6,18 )=¿ A=36 ,B=−6 ,C=2i ∆=−36 ,pa je M 2 (6,18 ) lokalni minimum i zmin=−92.


=−1x2 +4i

∂ z∂ y

=−1y2 +1=¿ kandidat tačke su M 1(12 ,1) , M2(1

2,−1), M 3(−1

2,1) i

M 4(−12

,−1).Kako je A= 2x3 , B=0 i C= 2

y3 , dobija se:

M 1(12 ,1)=¿ A=16 , B=0 ,C=2i ∆=−32 ,pa je M 1(12 ,1) lokalni minimum i zmin=6.

M 2( 12,−1)=¿ A=16 ,B=0 ,C=−2i ∆=32 ,pa M 2( 1

2,−1) nije lokalna ekstremna vrednost.

M 3(−12

,1)=¿ A=−16 , B=0 ,C=2i ∆=32 ,pa M 3(−12

,1) nije lokalna ekstremna vrednost.

M 4(−12

,−1)=¿ A=−16 ,B=0 ,C=−2i ∆=−32 ,pa je M 4(−12

,−1) lokalni maksimum i zmax=−6.


=1− 1x2 i

∂ z∂ y

=−1+ 4y2=¿ kandidat tačke su M 1 (1,2 ) , M 2 (1 ,−2 ) , M3 (−1,2 ) i

M 4 (−1 ,−2 ) .Kako je A=2x3 , B=0 i C=

−8y3 , dobija se:

M 1 (1,2 )=¿ A=2 ,B=0 ,C=−1i ∆=2 ,pa M 1 (1,2 ) nije lokalna ekstremna vrednost.

M 2 (1 ,−2 )=¿ A=2, B=0 ,C=1i ∆=−2 ,pa je M 2 (1 ,−2 ) lokalni minimum i zmin=6.

M 3 (−1,2 )=¿ A=−2, B=0 ,C=−1i ∆=−2 ,pa je M 3 (−1,2 ) lokalni maksimum i zmax=−6.

M 4 (−1 ,−2 )=¿ A=−2 , B=0 ,C=1i ∆=2 ,pa M 4 (−1 ,−2 ) nije lokalna ekstremna vrednost.


=12 (x2+3x+2 )i ∂ z∂ y

=6 ( y2−5 y+6 )=¿ kandidat tačke su

M 1 (−1,3 ) , M 2 (−1,2 ) , M 3 (−2,3 ) i M 4 (−2,2 ) .Kako je A=12 (2 x+3 ) ,B=0 i C=6 (2 y−5 ), dobija se:

M 1 (−1,3 )=¿ A=12, B=0 ,C=6i ∆=−72 ,pa je M 1 (−1,3 ) lokalni minimum i zmin=−20.

M 2 (−1,2 )=¿A=12 ,B=0 ,C=−6i ∆=72 ,pa M 2 (−1,2 ) nije lokalna ekstremna vrednost.

M 3 (−2,3 )=¿ A=−12 ,B=0 ,C=6i ∆=72 ,pa M 3 (−2,3 ) nije lokalna ekstremna vrednost.

M 4 (−2,2 )=¿ A=12 ,B=0 ,C=−6i ∆=72 ,pa M 4 (−2,2 ) nije lokalna ekstremna vrednost.

117

323. Iz uslova ¿> y=12−x , pa ako to zamenimo u početnu funkciju, dobija se z=1

2x . Kako je z '=1

2>0=¿ funkcija

nema lokalnih ekstremnih vrednosti.324. Iz uslova ¿> y=x−6, pa ako to zamenimo u početnu funkciju, dobija se z=3 x2−24 x+36. Kako je

z '=6 ( x−4 )=¿ tačka M (4 ,−2 ) je lokalni minimum i zmin=−12.325. Iz uslova ¿> y=x+6, pa ako to zamenimo u početnu funkciju, dobija se z=2 x2+6x . Kako je z '=2 (2x+3 )=¿

tačka M (−32

, 92 ) je lokalni minimum i zmin=

−92

.

326. Iz uslova ¿>x=1y2 , pa ako to zamenimo u početnu funkciju, dobija se z=

1y2+2 y−3. Kako je z '=

−2y3 +2=¿

tačka M (1,1 ) je lokalni minimum i zmin=0.327. Iz uslova ¿> y=x−8, pa ako to zamenimo u početnu funkciju, dobija se z=2 x2−6 x−16. Kako je

z '=2 (2 x−3 )=¿ tačka M (32,−13

2 ) je lokalni minimum i zmin=−41

2.

328. Iz uslova ¿> y=x−2, pa ako to zamenimo u početnu funkciju, dobija se z=2 x2−4 x+4. Kako je

z '=4 ( x−1 )=¿ tačka M (1 ,−1 ) je lokalni minimum i zmin=2.329. Iz uslova ¿> y=x+2, pa ako to zamenimo u početnu funkciju, dobija se z=2 x2+4 x+4 . Kako je

z '=4 ( x+1 )=¿ tačka M (−1,1 ) je lokalni minimum i zmin=2.330. Iz uslova ¿> y=x−4 , pa ako to zamenimo u početnu funkciju, dobija se z=2 x2−4 x+2. Kako je

z '=4 ( x−1 )=¿ tačka M (1 ,−3 ) je lokalni minimum i zmin=0.331. Iz uslova ¿> y=1−2 x, pa ako to zamenimo u početnu funkciju, dobija se z=10 x2−8 x+4 . Kako je

z '=4 (5x−2 )=¿ tačka M ( 25, 15 ) je lokalni minimum i zmin=

125

.

332. Iz uslova ¿> y=6−x, pa ako to zamenimo u početnu funkciju, dobija se z=x2−6 x+36. Kako je

z '=2 ( x−3 )=¿ tačka M (3,3 ) je lokalni minimum i zmin=27.

333. Iz uslova ¿> y=1−2x4

, pa ako to zamenimo u početnu funkciju, dobija se z=54x

2

−14x+ 1

16. Kako je

z '=52x−1

4=¿ tačka M ( 1

10, 15 ) je lokalni minimum i zmin=

120

.

334. Iz uslova ¿> y=1− x2

, pa ako to zamenimo u početnu funkciju, dobija se z=14x

3

−x2+ x+3 . Kako je

z '=34x2−2x+1=¿ tačka M 1( 2

3, 23 ) je lokalni maksimum i zmax=

8927

, a tačka M 2 (2,0 ) je lokalni minimum i

zmin=3.335. Iz uslova ¿>x=2−2 y, pa ako to zamenimo u početnu funkciju, dobija se z=−3 y3+2 y2+1. Kako je

z '=−9 y2+4 y=¿ tačka M 1(109

, 49 ) je lokalni maksimum i zmax=

275243

, a tačka M 2 (2,0 ) je lokalni minimum i

zmin=1.336. Iz uslova ¿> y=2x+1, pa ako to zamenimo u početnu funkciju, dobija se z=4 x3+4 x2+x. Kako je

z '=12x2+8 x+1=¿ tačka M 1(−16

, 23 ) je lokalni minimum i zmin=

−227

, a tačka M 2(−12

,0) je lokalni

maksimum i zmax=0.337. Iz uslova ¿> y=3−2 x , pa ako to zamenimo u početnu funkciju, dobija se z=−2 x3+3x2. Kako je

z '=6 x (1−x )=¿ tačka M 1 (0,3 ) je lokalni minimum i zmin=0 , a tačka M 2 (1,1 ) je lokalni maksimum i zmax=1.338. Iz uslova ¿> y=7− x, pa ako to zamenimo u početnu funkciju, dobija se z=−x2+8 x. Kako je z '=2 (4−x )=¿

tačka M (4,3 ) je lokalni maksimum i zmax=16.

118


339. Iz uslova ¿>x=2 y+4, pa ako to zamenimo u početnu funkciju, dobija se z=12y2+ y+2. Kako je z '= y+1=¿

tačka M (2,−1 ) je lokalni minimum i zmin=32.

340. Iz uslova ¿> y=8x

, pa ako to zamenimo u početnu funkciju, dobija se z=x2+64x2 . Kako je

z '=2 (x2−8 ) ( x2+8 )x3 =¿ tačka M 1 (−2√2 ,−2√2 ) je lokalni minimum i zmin=16 , a tačka M 2 (2√2 ,2√2 ) je

takođe lokalni minimum i zmin=16.

341. Iz uslova ¿>x= 2 y1+4 y

, pa ako to zamenimo u početnu funkciju, dobija se z= 4 y4

(1+4 y )2. Kako je

z '=16 y3 (1+2 y )(1+4 y )3

=¿ tačka M (1 ,−12 ) je lokalni minimum i zmin=

14.

342. Kako je F ( x , y , λ )=2 x+3 y+λ (x2+ y2−4 )=¿ ∂F∂ x

=2+2 λx , ∂F∂ y

=3+2 λy , ∂F∂ λ

=x2+ y2−4=¿

kandidat tačke su M 1( 4√1313

, 6√1313 ) , λ1=

−√134

i M 2(−4 √1313

,−6√1313 ) , λ2=

√134

. Kako je

d2F=2λd x2+2 λd y2, a uslov koji vezuje dx i dy je 2 xdx+2 ydy=0 , dobijamo:

M 1( 4√1313

, 6√1313 ) , λ1=

−√134

=¿d2F=−√132

d x2−√132

d y2<0=¿M1( 4√1313

, 6 √1313 ) je lokalni

maksimum i zmax=2√13 .

M 2(−4 √1313

,−6√1313 ) , λ2=

√134

=¿d2F=√132

d x2+ √132

d y2>0=¿M 2(−4 √1313

,−6√1313 ) je

lokalni minimum i zmin=−2√13 .343. Kako je

F ( x , y , λ )=3 x−2 y+ λ (x2+ y2−8 )=¿ ∂ F∂x

=3+2 λx , ∂F∂ y

=−2+2 λy , ∂F∂ λ

=x2+ y2−8=¿

kandidat tačke su M 1(−6√2613

, 4√2613 ) , λ1=

√268

i M 2( 6√2613

,− 4√2613 ) , λ2=

−√268

. Kako je

d2F=2λd x2+2 λd y2, a uslov koji vezuje dx i dy je 2 xdx+2 ydy=0 , dobijamo:

M 1(−6√2613

, 4√2613 ) , λ1=

√268

=¿ d2 F=√264

d x2+ √264

d y2>0=¿M 1(−6√2613

, 4 √2613 ) je lokalni

minimum i zmin=−2√26 .

M 2( 6√2613

,− 4√2613 ) , λ1=

−√268

=¿d2 F=−√264

d x2−√264

d y2<0=¿M2( 6√2613

,−4 √2613 ) je

lokalni maksimum i zmax=2√26 .

344. Kako je F ( x , y , λ )=2x+ y+λ (4 x2+ y2−8 )=¿ ∂F∂ x

=2+8 λx , ∂ F∂ y

=1+2 λy , ∂ F∂ λ

=4 x2+ y2−8=¿

kandidat tačke su M 1 (1,2 ) , λ1=−14

i M 2 (−1 ,−2 ) , λ2=14

. Kako je d2F=8 λd x2+2λd y2 , a uslov koji vezuje

dx i dy je 8 xdx+2 ydy=0 , dobijamo:

M 1 (1,2 ) , λ1=−14=¿d2F=−2d x2−1

2d y2<0=¿M 1 (1,2 ) je lokalni maksimum i zmax=4 .

M 2 (−1 ,−2 ) , λ2=14=¿d2F=2d x2+ 1

2d y2>0=¿M 2 (−1 ,−2 ) je lokalni minimum i zmin=−4 .

119

345. Kako je

F ( x , y , λ )=4 xy+3+ λ (x2+ y2−18 )=¿ ∂ F∂x

=4 y+2 λx , ∂F∂ y

=4 x+2 λy , ∂ F∂ λ

=x2+ y2−18=¿ kandidat

tačke su M 1 (3,3 ) , λ1=−2 ,M 2 (3 ,−3 ) , λ2=2 , M 3 (−3,3 ) , λ3=2 i M 4 (−3 ,−3 ) , λ4=−2. Kako je

d2F=2λd x2+8 dxdy+2λd y2 , a uslov koji vezuje dx i dy je 2 xdx+2 ydy=0 , dobijamo:

M 1 (3,3 ) , λ1=−2=¿d2 F=−4 d x2+8dxdy−4d y2 i dx=−dy=¿d2 F=−16d y2<0=¿M 1 (3,3 ) je

lokalni maksimum i zmax=39 .

M 2 (3 ,−3 ) , λ2=2=¿d2F=4d x2+8dxdy+4d y2 i dx=dy=¿d2F=16d y2>0=¿M 2 (3 ,−3 ) je lokalni

minimum i zmin=−33 .

M 3 (−3,3 ) , λ3=2=¿ d2F=4 d x2+8dxdy+4 d y2 i dx=dy=¿d2F=16d y2>0=¿M 3 (−3,3 ) je lokalni

minimum i zmin=−33 .

M 4 (−3 ,−3 ) , λ4=−2=¿d2F=−4 d x2+8dxdy−4d y2 i

dx=−dy=¿d2 F=−16d y2<0=¿M 1 (−3 ,−3 ) je lokalni maksimum i zmax=39 .346. Kako je

F ( x , y , λ )=( x− y )3+1+λ (x2+ y2−18 )=¿ ∂F∂ x

=3 (x− y )2+2λx , ∂ F∂ y

=−3 (x− y )2+2 λy , ∂ F∂ λ

=x2+ y2−18=¿

kandidat tačke su M 1 (3,3 ) , λ1=0 ,M 2 (3 ,−3 ) , λ2=−18 ,M 3 (−3,3 ) , λ3=18 i M 4 (−3 ,−3 ) , λ4=0. Kako je

d2F= [6 (x− y )+2λ ] d x2−12 ( x− y )dxdy+ [6 ( x− y )+2 λ ] d y2 , a uslov koji vezuje dx i dy je

2 xdx+2 ydy=0 , dobijamo:

M 1 (3,3 ) , λ1=0=¿ d2 F=0, pa problem ekstrema ostaje nerešen.

M 2 (3 ,−3 ) , λ2=−18=¿d2F=−72dxdy i dx=dy=¿d2F=−72d y2<0=¿M2 (3 ,−3 ) je lokalni

maksimum i zmax=217 .

M 3 (−3,3 ) , λ3=18=¿d2F=72dxdy i dx=dy=¿d2F=72d y2>0=¿M 3 (−3,3 ) je lokalni minimum i

zmin=−215 .

M 4 (−3 ,−3 ) , λ4=0=¿d2 F=0, pa problem ekstrema ostaje nerešen.347. Kako je

F ( x , y , λ )=( x− y )4+1+ λ ( x2+ y2−2 )=¿ ∂F∂ x

=4 ( x− y )3+2 λx , ∂F∂ y

=−4 ( x− y )3+2 λy , ∂F∂ λ

=x2+ y2−2=¿

kandidat tačke su M 1 (1,1 ) , λ1=0 ,M 2 (1 ,−1 ) , λ2=−16 , M 3 (−1,1 ) , λ3=−16 i M 4 (−1 ,−1 ) , λ4=0. Kako

je d2F= [12 ( x− y )2+2 λ ]d x2−24 ( x− y )2dxdy+[12 (x− y )2+2 λ ]d y2 , a uslov koji vezuje dx i dy je

2 xd x+2 ydy=0 , dobijamo:

M 1 (1,1 ) , λ1=0=¿d2 F=0, pa problem ekstrema ostaje nerešen.

M 2 (1 ,−1 ) , λ2=−16=¿d2F=16d x2−96dxdy+16d y2 i

dx=dy=¿d2F=−64d y2<0=¿M 2 (1,−1 ) je lokalni maksimum i zmax=17 .

M 3 (−1,1 ) , λ3=−16=¿d2F=16d x2−96dxdy+16d y2 i dx=dy=¿d2F=−64d y2<0=¿M 3 (−1,1 ) je lokalni maksimum i zmax=17 .

M 4 (−1 ,−1 ) , λ4=0=¿d2F=0, pa problem ekstrema ostaje nerešen.348. Kako je

F ( x , y , λ )=x2+12 xy+2 y2+ λ (4 x2+ y2−25 )=¿ ∂F∂ x

=2 x+12 y+8 λx , ∂ F∂ y

=12 x+4 y+2 λy , ∂ F∂λ

=4 x2+ y2−25=¿

kandidat tačke su M 1 (2 ,−3 ) , λ1=2 ,M 2 (−2,3 ) , λ2=2 , M 3(32 ,4) , λ3=−17

4 i M 4(−3

2,−4) , λ4=

−174

.

Kako je d2F= (2+8 λ )d x2+24dxdy+ (4+2 λ )d y2 , a uslov koji vezuje dx i dy je 8 xdx+2 ydy=0 , dobijamo:

M 1 (2 ,−3 ) , λ1=2=¿ d2F=18d x2+24dxdy+8d y2 i dx=38dy=¿d2 F=625

32d y2>0=¿M 1 (2 ,−3 ) je

lokalni minimum i zmin=−50 .

120


M 2 (−2,3 ) , λ2=2=¿ d2 F=18d x2+24dxdy+8 d y2 i dx=38dy=¿d2 F=625

32d y2>0=¿M 2 (−2,3 ) je

lokalni minimum i zmin=−50 .

M 3( 32,4 ), λ3=

−174

=¿d2F=−32d x2+24 dxd y−92d y2

i dx=−23

dy=¿d2F=−62518

d y2<0

¿>M 3( 32,4)je lokalni maksimum i zmax=

4254

.

M 4(−32

,−4) , λ4=−17

4=¿d2F=−32d x2+24 dxdy−9

2d y2

i dx=−23

dy=¿d2F=−62518

d y2<0

¿>M 4 (−32

,−4)je lokalni maksimum i zmax=4254

.

349. Uvođenjem smene u=1x

i v=1y, funkcija se svodi na z=u+v , a uslov je 2u2+2v2=1. Kako je

F (u , v , λ )=u+v+ λ (2u2+2v2−1 )=¿ ∂F∂u

=1+4 λu , ∂ F∂v

=1+4 λv , ∂ F∂ λ

=2u2+2 v2−1=¿

kandidat tačke su M 1(12 , 12 ) , λ1=

−12

i M 2(−12

,−12 ) , λ2=

12

. Kako je d2F=4 λ du2+4 λd v2, a uslov koji

vezuje du i dv je 4 udu+4 vdv=0, dobijamo:

M 1(12 , 12 ) , λ1=

−12=¿d2 F=−2du2−2d v2<0=¿M 1 (2,2 ) je lokalni maksimum i zmax=1.

M 2(−12

,−12 ) , λ2=

12=¿d2F=2d u2+2d v2>0=¿M 2 (−2 ,−2 ) je lokalni minimum i zmin=−1.


i v=1y, funkcija se svodi na z= 1

u+v, a uslov jeu2+v2=2. Kako je

F (u , v , λ )= 1u+v

+ λ (u2+v2−2 )=¿ ∂F∂u

= −1(u+v )2

+2 λu , ∂ F∂v

= −1(u+v )2

+2 λv , ∂F∂ λ

=u2+v2−2=¿

kandidat tačke su M 1 (1,1 ) , λ1=18

i M 2 (−1 ,−1 ) , λ2=−18

. Kako je

d2F=[ 2(u+v )3

+2 λ ]du2+4

(u+v )3dudv+[ 2

(u+v )3+2 λ]d v2

, a uslov koji vezuje du i dv je 2udu+2vdv=0,

dobijamo:

M 1 (1,1 ) , λ1=18=¿ d2 F=1

2du2+ 1

2dudv+ 1

2d v2

i du=−dv=¿d2F=12d v2>0=¿M1 (1,1 ) je lokalni

minimum i zmin=12

.

M 2 (−1 ,−1 ) , λ2=−18=¿d2F=−1

2d u2−1

2dudv−1

2d v2

i

du=−dv=¿d2F=−12

d v2<0=¿M 2 (−1 ,−1 ) je lokalni maksimum i zmax=−12

.


i v=1y, funkcija se svodi na z= 1

u+v, a uslov je8u2+8 v2=1. Kako je

F (u , v , λ )= 1u+v

+ λ (8u2+8v2−1 )=¿ ∂F∂u

= −1(u+v )2

+16 λu , ∂ F∂v

= −1(u+v )2

+16 λv , ∂ F∂ λ

=8u2+8v2−1=¿

kandidat tačke su M 1( 14, 14 ) , λ1=1 i M 2(−1

4,− 1

4 ) , λ2=−1. Kako je

121

d2F=[ 2(u+v )3

+16 λ]d u2+4

(u+v )3dudv+[ 2

(u+v )3+16 λ ]d v2

, a uslov koji vezuje du i dv je

16udu+16 vdv=0, dobijamo:

M 1( 14, 1

4 ) , λ1=1=¿d2F=32d u2+32dudv+32d v2i du=−dv=¿d2F=32d v2>0=¿M 1 (4,4 ) je

lokalni minimum i zmin=2.

M 2(−14

,− 14 ) , λ2=−1=¿d2F=−32d u2−32dudv−32d v2

i du=−dv=¿d2F=−32d v2<0

¿>M 2 (−4 ,−4 )je lokalni maksimum i zmax=−2.

352. Uvodi se smena ex−1=t 2 . ∫ e2 x

√ex−1dx=2

3 √ (ex−1 )3+2√ex−1+c .

353. Uvodi se smena t=ex . ∫ e2x+ex

(ex−2 ) (e2 x+1 )dx=3

5ln|ex−2|− 3

10ln (e2 x+1 )−1

5arctgex+c .

354. Uvodi se smena t=ex . ∫ e3 x

ex+2dx= e2x

2−2ex+4 ln (ex+2 )+c .

355. Uvodi se smena t=ex .∫ ex+e x

dx=eex

+c .

356. Uvodi se smena t=ex+1.∫ ex

1+e− x dx=e x+1−ln (ex+1 )+c .

357. Uvodi se smena t=ex .∫ (1−ex )2

1+e2 x dx=x−2arctg ex+c .

358. Uvodi se smena t=ex .∫ 1e2x−4

dx=18

ln|e2x−4|

e2x +c .

359. Uvodi se smena t=ex .∫ e x+1e2 x−ex+1

dx=x−12

ln|e2x−ex+1|+√3arctg(2ex−1 )√3

3+c .

360. Uvodi se smena t=x2 .∫ x3ex2

dx=12x2ex2

−12ex2

+c .

361. Najpre se pomnoži gornji i donji deo razlomka sa x ,,a zatim se uvede smena 1+x2=t 2 .

∫ 1x √1+x2 dx=

12 ln|√1+ x2−1

√1+x2+1|+c . 362. Uvodi se smena x=t 2 .∫ √x

1−xdx=−2√ x−ln|√ x−1

√ x+1|+c . 363. Uvodi se smena t=lnx .∫ dx

x √lnx=2√ lnx+c .

364. Uvodi se smena t=lnx .∫ 1x (ln2 x+lnx )

dx= ln| lnxlnx+1|+c .

365. Uvodi se smena t=lnx−1.∫( lnx+1lnx−1 )

2 dxx=lnx−1+4 ln|lnx−1|− 4

lnx−1+c .

366. ∫ dxx2+6x+10

=∫ dx( x+3 )2+1

=arctg ( x+3 )+c .

367. logx= lnxln10

, pa smena t=lnx .∫ lnxcoslogxx

dx=ln2 10∙ logx ∙ sinlogx+ln2 10∙ coslogx+c .

368. Uvodi se smena t=tgx .∫ etgx sinxcos3 x

dx=tgx etgx−e tgx+c .

122


369. Uvodi se smena x=t 2 .∫arctg √x dx=xarctg√ x−√ x+arctg√x+c .

370. Uvodi se smena x=t 2 .∫√ xarctg √x dx=23 √ x

3arctg √x−13x+ 1

3ln ( x+1 )+c .

371. Radi se parcijalna integracija: u=arctgx ,dv=xdx .∫ xarctgxdx=12x2arctgx−1

2x+ 1

2arctgx+c .

372. Radi se parcijalna integracija: u=arctgx ,dv=x2dx .

∫ x2arctgxdx=13x3arctgx−1

6x2+ 1

6ln (x2+1 )+c .

373. Radi se parcijalna integracija: u=arctgx ,dv= 1x2 dx .

∫ arctgxx2 dx=−1

xarctgx+ln|x|−1

2ln (1+x2 )+c .

374. Uvodi se smena t=x2.

∫ 2 xarctg x2

1+x4 dx=arctg2 x2

2+c .

375. Radi se parcijalna integracija: u=arcsinx ,dv=dx .∫ arcsinxdx=xarcsinx+√1−x2+c .376. Radi se parcijalna integracija: u=arcsin2 x ,dv=dx .∫ arcsin2 xdx=xarcsin2 x+2√1−x2arcsinx−2 x+c .

377. Radi se parcijalna integracija: u=ln x+1x−1

, dv=xdx .

∫ xln x+1x−1

dx=12x2 ln x+1

x−1+x+ 1

2ln x−1

x+1+c .

378. Radi se parcijalna integracija: u=ln x+1x−1

, dv=dx .

∫ ln x+1x−1

dx=xln x+1x−1

+ ln (x2−1 )+c.

379. Radi se parcijalna integracija: u=ln2 x ,dv=xdx .

∫ x ln2 xdx=12x2 ln2 x−1

2x2 lnx+ 1

4x2+c .

380. Uvodi se smena x=t 2 . ∫ xcos √x dx=2√x3 sin √x+6 xcos √x−12√ x sin√ x−12 cos√x+c .381. Uvodi se smena x=t 2 . ∫√x cos√x dx=2 xsin√x+4 √x cos√ x−4 sin√x+c .382. Uvodi se smena x=t 2 . ∫sin √x dx=−2√x cos√ x+2sin√ x+c.383. Uvodi se smena x=t 2 .

∫√x lnxdx=23 √ x

3lnx−49 √x

3+c .

384. Radi se parcijalna integracija: u=x2−2x+2 , dv=dxe x .

∫ x2−2 x+2ex dx=−x2−2

ex +c .

123

385. Radi se parcijalna integracija: u=x ,dv= 1cos2 x

dx .∫ xcos2x

dx=xtgx+ln|cosx|+c .

386. Radi se parcijalna integracija: u=x ,dv= 1sin2 x

dx .∫ xsin2 x

dx=−xctgx+ ln|sinx|+c . 387. Radi se parcijalna integracija:

u=ln (x2+2 x+2 ) , dv=dx .∫ ln ( x2+2 x+2 )dx=xln (x2+2x+2 )−2 x+ ln (x2+2 x+2 )+2arctg ( x+1 )+c . 388. Radi se parcijalna integracija: u=ln (x2+1 ) , dv=dx .∫ ln (x2+1 )dx=xln (x2+1 )−2x+2arctgx+c .

389. Radi se parcijalna integracija: u=lncosx ,dv= 1sin2 x

dx .∫ lncosxsin2 x

dx=−ctgxlncosx−x+c .

390. Radi se parcijalna integracija: u=sinlnx ,dv=dx .∫ sinlnxdx= x ( sinlnx−c oslnx )2

+c .

391. Radi se parcijalna integracija:

u=e3 x , dv=sin (4 x )dx .∫e3x sin (4 x )dx=−425

e3x cos (4 x )+ 325

e3x sin (4 x )+c .

392. Radi se parcijalna integracija: u=e3 x , dv=sin (2x )dx .

∫ e3 xsin (2x )dx=−213

e3x cos (2 x )+ 313

e3 xsin (2x )+c .

393. Radi se parcijalna integracija: u=e2x , dv=cos (4 x )dx .

∫ e2 xcos ( 4 x )dx= 110

e2 xcos ( 4 x )+ 15e2xsin ( 4 x )+c.

394. ∫ 2 x2−5x3−x2 dx=5∫ dx

x2 +5∫ dxx−3∫ dx

x−1=−5

x+5 ln|x|−3 ln|x−1|+c .

395.∫ dx

x5−x2=−∫dxx2 +

13∫

dxx−1

+∫−13

x+ 13

x2+x+1dx=1

x+ 1

3ln|x−1|−1

6ln ( x2+x+1 )+ √3

3arctg (2x+1 )√3

3+c .

396. ∫ x−8x3−4 x2+4 x

dx=−2∫ dxx−3∫ dx

( x−2 )2+2∫ dx

x−2=−2 ln|x|+ 3

x−2+2 ln|x−2|+c .

397. ∫ x−8x3−4 x2+3 x

dx=−83 ∫

dxx−5

6∫dxx−3

+72∫

dxx−1

=−83

ln|x|−56

ln|x−3|+ 72

ln|x−1|+c .

398. ∫ 21x2−102 X+72x3−7 x2+12 x

dx=6∫ dxx+15∫ dx

x−3=6 ln|x|+15 ln|x−3|+c .

399. ∫ 2 x2+3 x−4x3−2 x2+x−2

dx=2∫ dxx−2

+3∫ dxx2+1

=2 ln|x−2|+3arctgx+c .

400.∫ dx

x4+x3+x2=∫ dxx2 −∫ dx

x+∫ x

x2+x+1dx=−1

x−ln|x|+ 1

2ln (x2+x+1 )−√3

3arctg

(2 x+1 )√33

+c .

401. Uvodi se smena t=x3 .∫ 3 x2

x6−1dx=1

2ln|x3−1

x3+1 |+c .402. ∫ dx

x (x2−2 x+2 )=1

2∫dxx+∫

−12

x+1

x2−2x+2dx=1

2ln|x|−1

4ln|x2−2 x+2|+ 1

2arctg ( x−1 )+c .

403. ∫ x−2x3+8

dx=−13 ∫

dxx+2

+∫13x−1

3x2−2x+4

dx=−13

ln|x+2|+ 16

ln|x2−2x+4|+c .

124


404. ∫ 1x4+4 x2 dx=

14∫

dxx2 −

14∫

dxx2+4

=−14 x

−18arctg x

2+c .

405. Uvodi se smena t=x2. ∫ 2xx4−1

dx=∫ dtt2−1

=12

ln|x2−1x2+1|+c .

406. ∫ ( x+1 )3

x2+2x−3dx=∫ xdx+∫ dx+4∫ x+1

x2+2x−3dx= 1

2x2+ x+2 ln|x2+2 x−3|+c .

407.∫ x3+1

x3−5 x2+6 xdx=∫ dx+1

6∫dxx+ 28

3 ∫dxx−3

−92∫

dxx−2

=x+ 16

ln|x|+ 283

ln|x−3|−92

ln|x−2|+c .

408. ∫ x3−2(x2+1 )x

d x=∫dx−2∫ dxx+2∫ xdx

x2+1−∫ dx

1+ x2=x−2 ln|x|+ ln (x2+1 )−arctgx+c .

409. ∫ dxx4−x

=−∫ dxx+ 1

3∫dxx−1

+∫23x+ 1

3x2+x+1

dx=13

ln|x3−1x3 |+c .

410. ∫ 1x2 (x2−1 )

dx=−∫ dxx2 +

12∫

dxx−1

−12∫

dxx+1

=1x+ 1

2ln|x−1

x+1 |+c .411.∫ x

x3−8dx=1

6∫dxx−2

+∫−16

x+ 13

x2+2 x+4dx=1

6ln|x−2|− 1

12ln (x2+2 x+4 )+ √3

6arctg ( x+1 )√3

3+c .

412.∫ dx

x ( x−1 ) (x2+3 )=−1

3 ∫dxx+ 1

4∫dxx−1

+∫112

x− 14

x2+3dx=−1

3ln|x|+ 1

4ln|x−1|+ 1

24ln ( x2+3 )−√3

12arctg x√3

3+c .

413. Uvodi se smena t 2=2 x−1.∫ x−1√2x−1

dx=√(2 x−1 )3

6−1

2 √2x−1+c .

414. Uvodi se smena x−1=t6 .

∫ √x−13√ x−1+1

dx=66√ ( x−1 )7

7−6

6√( x−1 )5

5+2√x−1−6 6√x−1+6arctg 6√ x−1+c .

415. Uvodi se smena t 3=x+1. ∫ dx1+ 3√ x+1

=32

3√( x+1 )2−3 3√x+1+3 ln|3√x+1+1|+c .

416. Uvodi se smena t 3= 2+x2−x

.∫ 2(2−x )2

3√ 2−x2+x

dx=34

3√( 2+ x2−x )

2

+c .

417. Uvodi se smena

t 2=1−x1+ x

.∫√ 1−xx4 (1+x )

dx=∫ 1x2 √ 1−x

1+xdx= 1

√ 1−x1+x

−1−ln|√ 1−x

1+x−1|+ 1

√ 1−x1+x

+1+ ln|√ 1−x

1+x+1|+c .

418. Uvodi se smena t 6=x .∫ √xx (1+ 3√ x )

dx=6 6√x−6arctg 6√ x+c .

419. Uvodi se smena t 6=x .∫ x+√x+ 3√ x2

x (1+ 3√x )dx=3 3√x2

2 +6 6√ x−6arctg 6√x+c .

125

∫∫

b

b xxdx

xxdx

00

.4ln31

41lim

41

420. Uvodi se smena

t 3=x+2.∫ x 3√ x+2x+ 3√x+2

dx=3 3√ ( x+2 )4

4−3 3√( x+2 )2

2−3

4ln|3√ x+2−1|+ 15

8ln|3√( x+2 )2+ 3√x+2+2|−27 √27

28arctg

(2 3√x+2+1)√77

+c .

421. Uvodi se smena t=tg x2.∫ 1

1+sinx+cosxdx=ln|tg x

2+1|+c .

422. S=∑k=1

n 5nk 5n=25

n2 ∑k=1

n

k=25n2

n (n+1 )2

=25n2+25n2n2 .

I=limn→∞

S= limn→∞

25n2+25n2n2 =25

2.

423. Uvodi se smena 424. Radi se parcijalna integracija: u=cosx ,dv=cosxdx .

∫

0

2 .2

cos xdx

425. Radi se parcijalna integracija: u=ln ( x−1 ) , dv=xdx .

∫2

e−1

x ln ( x−1 )dx= 12

(e−1 )2 ln (e−2 )−14

(e−1 )2−12e+ 5

2− 1

2ln (e−2 ) .

426.427. P=∫

−∞

∞ 1x2+1

dx=π .

428. P=∫−1

3

(2 x+1−x2+2 )dx=323

.

429.

P=∫−∞

+∞

e− x−e−xdx=∫

−∞

0

e− x−e−x

dx+∫0

+∞

e− x−e−x

dx=1 .

430.P=∫

3

4 ( x−3 )2

x2−10 x+16dx=−1+ 1

6ln2−25

6ln 4

5.

431.P= ∫

−∞

−2√2

(x2−8 )e xdx− ∫−2√2

0

( x2−8 )ex dx=6+4e−2√2 (2√2+1 ).

.

432.

433. Dakle, integral je divergentan.

434.

126

.23

lnlim

ln 130

13

∫∫

ee

xxdxdx

xxdx

.1 2te x ∫

2ln

0

.2

21 dxe x

∫

1

1

2

2 .31

2211 dxxx

P

∫ ∫

e e

xxdx

xxdx

1 10

.ln

limln



436.∫0

1dx

( x−1 )3= lim

ε→0∫0

1−εdx

( x−1 )3=−∞ .

Dakle, integral je divergentan.

437.∫1

∞ ln xx

dx= limb→∞∫1

bln xx

dx=+∞

. Dakle, integral je divergentan.


439.


441.∫0

1dx

(2−x )√1−x= lim

ε→0∫0

1−εdx

(2−x )√1−x=π

2.

442.∫0

1dx

√1−x2=lim

ε→0∫0

1−εdx

√1−x2= π

2.

443.∫1

∞ dxx ln x

=∫1

cdx

x ln x+∫

c

∞ dxx ln x

=+∞

. Dakle, integral je divergentan.

444.445.446.

447.∬D

dxdy=P(D )=16

448.

127

.12∫∫ DPdxdyD

∫∫ D

DPdxdy .3

32

.6∫∫ DPdxdyD

∫∫ D

DPdxdy .8

∫ ∫

2

1

2

1

3

0

3

.ln

3lnlimln

3ln

dxxx

xdxxx

x

.lnlimln ∫∫

b

eeb

xdxxxdxx

.2lim0

2

0

2 ∫∫

b

x

b

x dxexdxex

.lim0

∫∫

b

ab

xarctgxdxxarctgxdx

449.∬D

dxdy=P(D )=52

450.

∬D

dxdy=∫0

4

dx ∫10 x 2−24 x

x3

dy +∫4

6

dx ∫x3

10 x2−24 x

dy=1483

.

451.∬D

dxdy=∫2

4

dx ∫4− x

√2 x

dy+∫4

8

dx ∫0

√2 x

dy+∫8

12

dx ∫0

12− x

dy=743

.

452.∬D

dxdy=P (D )=r2π=π .

453.

454.∬D

ydxdy=∫−1

2

dx ∫2

x+3

ydy+∫2

3

dx ∫x

x+3

ydy+∫3

6

dx∫x

6

ydy=48 .

455.456.457.

458.459.460.461.462.463.

128

.203

2

1

0

∫∫∫∫x

xD

ydydxydxdy

.340

34

3

1 2

∫∫∫ ∫ xxD

ydyxdxxydxdy

.32

22

0

2

0

∫∫∫∫ xx

D

ydyxdxxydxdy

.32

2

2

11

11

1

0

∫∫∫∫

x

xD

ydyxdxxydxdy

.00

3

3

3 2

∫∫∫∫ xD

ydyxdxxydxdy

.430

32

2

0

3 2

∫∫∫∫

x

D

ydyxdxxydxdy

.430

32

2

3

0 2

∫∫∫∫ x

D

ydyxdxxydxdy

.3

1120

4514

9

5 2

∫∫∫∫ xxD

ydyxdxxydxdy

.3434

0

3

1

2

∫∫∫∫ xx

D

ydyxdxxydxdy

∫∫∫∫

x

xD

ydydxxdxdyyx5

6

3

2

22 .6061


464.465.466.

467.468.469.470.

471.

472.∬D

( x+2 y )dxdy=∫0

1

dx∫x2

√x

( x+2 y ) dy= 920

.

473.

474.475.476.

477.∫0

1

dx∫ex

e

f ( x , y )dy=∫1

e

dy∫0

ln y

f ( x , y )dx .

129

.5

1434

0

3

1

22

2

∫∫∫∫ xx

D

ydydxxydxdyx

.5

140

34

3

1

22

2

∫∫∫ ∫ xxD

ydydxxydxdyx

.1584

1

0

0

2

22

2

∫∫∫∫

x

D

ydydxxydxdyx

∫∫ ∫ ∫

D

x

x

dyyxdxdxdyyx1

3

2

12

.1564

2

.5

12822

12

1

3

∫∫∫∫

x

xD

dyyxdxdxdyyx

.22722

5

4

4

1

∫∫∫ ∫ x

xD

dyyxdxdxdyyx

.6122

6

5

3

2

∫∫∫ ∫

x

xD

dyyxdxdxdyyx

.2

27225

4

4

1

∫∫∫ ∫ x

xD

dyyxdxdxdyyx

.129525

21

22

1

3

21

21

0

2 ∫∫∫∫∫∫ x

x

x

xD

dyyxdxdyyxdxdxdyyx

.164

21

21

23

1

12

21

21

21

1

2 ∫∫∫ ∫∫∫

x

xD

x

x

dyyxdxdyyxdxdxdyyx

∫∫ ∫∫

D

x

x

dyy

dxxdxdyyx 5

62

3

22 .

32ln9

3613311212

478.∫0

1

dx∫x3

x

f ( x , y )dy=∫0

1

dy∫y

3√y

f ( x , y )dx .

479.∫1

2

dy∫ln y

e y

dx=∫0

ln 2

dx∫1

ex

dy +∫ln 2

e

dx∫1

2

dy+∫e

e2

dx∫ln x

2

dy .

480. y= 1x−C

.

481. y3+ y2+1sinx

=C .

482. ln|cosy|+arctg ( x−3 )=C .

483. (√1− y2−1) (√1−x2−1)(√1− y2+1) (√1−x2+1)

=C .

484. √1+x2+√1+ y2=C .

485. −ln|cosy|+ 14arctg x−3

4=C .

486. y6+2 y3+6

sin 6 x=C .

487. ( y4+ y+1 )cosx=C .488. x+ y−ln|(x+1 ) ( y+1 )|=C .489. lny−3arctgx−2 ln|x−2|=C .

490. 2 ln|y−2|+3 ln ( y2+1 )= x2

2+C .

491. eyx+1x =C .

492. ln y

x−1

x=C .

493. √22

arctg y√22 x

−ln|x|=C .

494. arctg yx−ln|x|=C .

495. ln y

xx

=C .

496. y=Cx−x2 cosx+xsinx .497. y=C ex2

−x2−1 .498. y=C ecosx+1.499. y=Cx+xsinx .

500. y=Cx+ x4

3.

501. y=Cx+ x6

7.

502. y=Cx−xcosx .

130


503. y=Cx+ x5

2 .

504. y=(C √x+ x3

5 )2

.

505. y=(Ce12 x−2 x2−8 x−16)

2.

506. y= 1Cx+lnx+1

.

507. y=1

√Ce− x+x−1 .

508. y=C1x2

2+ 2x3

3+C2 .

509. y=C1 ln|x|+ x+C2 .

510. y2

2−C1x−C2=0.

511. y=C1 cos (2x )+C2sin (2 x )−12xcos (2 x ) .

512. y=C1 cosx+C2 sinx−12xsinx−1

2xcosx.

513. y=C1 e−x+C2 e

−2x+( 12x2−x )e−x .

514. y=C1+C2 e2x+( 1

4x2+ 1

4x)e2 x .

515. y=C1 e−x+C2 xe

− x+( 16x3+ 1

2x2)e−x .

516. y=C1 e2 x+C2 x e

2x+(−16

x3+12x2)e2 x

517. y=C1 e2 x+C2e

−2 x−( 110

cosx+15sinx)ex

.

518. y=C1 ex+C2 xe

x+ 112

x4 ex .

519. y=C1 ex+C2 e

−x+( 310

cosx+35sinx)e2x .

520. y=C1 e−x+C2 e

3x−18

cos (2x ) ex.

521. y=C1 e2 x+C2 e

3 x−xe2x− 578

sin (3 x )− 178

cos (3 x ) .

522. y=C1 sin (2 x )+C2 cos (2 x )+ 13sinx−1

4xcos (2 x ) .

523. y=C1 e4x+C2 e

3x+ 14x+ 7

48+x e4x

.

524. y=C1 e−4x+C2e

3x+ 17x e3 x+ 1

3x+ 1

36.

525. y=C1 ex−C2e

−3x−13x2−4

9x−14

27+ 1

4e− x .

131

526. y=C1 sinx+C2cosx+x2−2−1

2xcosx .

527. y=C1 sinx+C2 cosx+x2+sin (2 x ).

528. y=C1 sinx+C2 cosx+( 12x−1

2 )ex−52xcosx .

529. y=C1 e2 x+C2 e

x+(−12

x2−x)ex−35sinx−9

5cosx .

530. y=C1 e2 x+C2 e

−2 x+ 14x e2x−1

8sin (2 x ).

531. y=C1 e−8x+C2e

−9x−x e−9x−19x+ 17

648 .

532. y=C1 e−8x+C2e

−9x+x e−8x−18x+ 17

576 .

533. y=C1e9 x+C2e

8 x+ xe9x+ 19x+ 17

648 .

534. y=C1 sin (2 x )+C2 cos (2 x )+ 14x−1

2xcos (2x ) .

535. y=C1 sin (2 x )+C2 cos (2 x )+ 14x+ 1

2xsin (2 x ) .

536. y=C1+C2 e2x+1

2xe2x− 1

4sin (2 x )+ 1

4cos (2 x ).

537. y=C1+C2 e7x− 1

14x2− 1

49x+1

7xe7 x

.

538. y=C1 e3 x+C2 e

x+ 12xe3x− 1

30sin (3 x )+ 1

15cos (3 x ).

539. y=C1+C2 e5x−1

5x2− 2

25x−1

5xe5x

.

540. y=C1 e2 x+C2 e

−2 x−14x2−1

4x−1

8+ 1

4xe2x

.

541. y=C1e2 x+C2 e

−2 x−14x2−3

8+ 1

2xe2 x

.

542. y=C1 sinx+C2 cosx+ex−1

2xcosx .

543. y=C1+C2 e2x−1

4x2−5

4x+( 1

4x2−1

4x)e2x

.

544. y=C1 sin (3 x )+C2cos (3 x )+ 19x−1

6xcos (3x ) .

545. y=C1e3 x+C2e

−3x−13x+ 1

6xe3x

.

546. y=C1 ex+C2e

3 x+ 13x+ 4

9+ (x−1 )e2 x

.

547. 1¿α≠1❑⇒y=C1 sin (√α x )+C2 cos (√α x )+ 1

α−1sinx

2¿α=1❑⇒y=C1 sin (x )+C2cos ( x )−1

2xcosx .

548. y=C1 sin (2 x )+C2 cos (2 x )+ 12x− 1

4xcos (2x ) .

132


549. y=C1 sinx+C2cosx+x−12xcosx .

550. y=C1 sin (2 x )+C2 cos (2 x ) je rešenje diferencijalne jednačine y +4 y = .551. y=ex (C1 sin (2 x )+C2 cos (2 x )) je rešenje diferencijalne jednačine y -2 y '+5 y = .552. y=C1 e2 x+C2 e

−2 x+x2 je rešenje diferencijalne jednačine y -4 y =2-4 {x} ^ {2 .

553.

p=34

n=4k=2

}=¿P (X=2 )=(42)( 34 )

2

( 14 )

2

= 27128

.

554. P (B|A )=13

, P (B|A )= 49

, P (B )=25

i P (A )=25

.

555. P (A )=(63)(80)+(60)(83)

(143 )

=1991

.

P (B )=(60)(83)(14

3 )= 2

13 .

556. P=1−34∙ 34∙ 3

4=37

64.

557. Označimo događaje: A – da smo izvukli belu kuglicu, B – da smo iz druge u prvu prebacili belu, C – da smo iz druge u prvu prebacili crvenu.

Tada važi: P (A )=P ( A|B1 ) ∙ P (B1 )+P (A|B2 ) ∙P (B2 )=6

16∙ 310+ 5

16∙ 710= 53

160 .

558. P (A )=(43)(60)(80)+(40)(63)(80)+(40)(60)( 8

03)(18

3 )= 5

51 .

P (B )=(41)(61)(81)(14

3 )= 4

17 .

559. a) P (A )=(74)(90)+(70)(94)

(164 )

= 23260

.

P (B )=(72)(92)+(71)(93)+(70)(94)

(164 )

=2126

.

133

b) P (A )=( 716 )

4

+( 916 )

4

=0,137 .

P (B )=(42)( 916 )

2

( 716 )

2

+(43)( 916 )

3

( 716 )

1

+(44)( 916 )

4

( 716 )

0

=0,775.

560. P (A )=(72)(92)(16

4 )=27

65 .

P (B )=(74)(90)+(70)(94)

(164 )

= 23260

.

561. P (A )=(82)(90)(17

2 )= 7

34

P (B )=(81)(91)(17

2 )= 9

17 .

D1−¿ prva je bela

D2−¿ prva je crvena

P (C )=P (C|D1 ) ∙P (D1 )+P (C|D 2) ∙ P (D2 )=716

∙ 817

+ 816

∙ 917

= 817

.

562. P (A )=(81)(71)

(81)(91)+(81)(71)+(71)(91)= 56

191 .

P (B )=(81)(71)+(71)(91)

(81)(91)+(81)(71)+(71)(91)=119

191 .

563. Označimo događaje:B0−¿da smo izvukli kocku koja nije ofarbana,

B1−¿ da smo izvukli kocku koja je ofarbana sa jedne strane,

B2−¿ da smo izvukli kocku koja je ofarbana sa dve strane,

B3−¿ da smo izvukli kocku koja je ofarbana sa tri strane.Tada važi:

P (A )=P ( A|B0 ) ∙ P (B0 )+P (A|B1 ) ∙ P (B1 )+P ( A|B2 ) ∙P (B2 )+P (A|B3 ) ∙P (B3 )=0∙ 127+ 1

6∙ 627

+ 26∙ 1227

+ 36∙ 8

27=1

3

.564. Označimo događaje:A−¿ da se pojavio broj 1,

B1−¿da smo izvukli prvu kocku,

134


B2−¿ da smo izvukli drugu kocku.

Tada važi: P (B1|A )=P (A|B1 )∙ P (B1 )

P (A )=

P ( A|B1 ) ∙P (B1 )P ( A|B1 ) ∙P (B1 )+P (A|B2 ) ∙P (B2 )

=

12∙ 12

12∙ 1

2+ 1

3∙ 12

=35.

565. Označimo događaje:A−¿ da je izvučena 1 bela i 2 crvene,

B−¿da smo izgubili belu kuglicu,

C−¿ da smo izgubili crvenu kuglicu.Tada važi:

P (A )=P ( A|B ) ∙P (B )+P (A|C ) ∙P (C )=(71)(92)(16

3 )∙ 817

+(81)(82)(16

3 )∙ 917=36

85.

P (B|A )= P (A|B ) ∙ P (B )P ( A )

=

18853685

=12

.

P (C|A )=12

.

566. a) Označimo događaje:A−¿ da je izvučena bela kuglica,

B1−¿da smo prebacili belu kuglicu,

B2−¿ da smo prebacili crvenu kuglicu.

P (A )=P ( A|B1 ) ∙P (B1 )+P (A|B2 ) ∙P (B2 )=x+1

x+ y+1∙ bb+c

+ xx+ y+1

∙ cb+c

b) Označimo događaje:

A−¿ da je izvučena bela kuglica,

B1−¿da smo prebacili 3 bele kuglice,

B2−¿ da smo prebacili 2 bele i 1 crvenu,

B3−¿ da smo prebacili 1 belu i 2 crvene,

B4−¿ da smo prebacili 3 crvene.

P (A )=P ( A|B1 ) ∙P (B1 )+P (A|B2 ) ∙P (B2 )+P (A|B3 ) ∙P (B3 )+P (A|B4 ) ∙P (B4 )=¿

¿ x+3x+ y+3

∙(b3)∙(c0)(b+c3 )

+ x+2x+ y+3

∙(b2)∙(c1)(b+c3 )

+ x+1x+ y+3

∙(b1) ∙(c2)(b+c3 )

+ xx+ y+3

∙(b0) ∙(c3)(b+c3 )

.

567. Označimo događaje:A−¿ da je izvučena bela kuglica,

B1−¿ da smo izvukli prvu kutiju,

B2−¿ da smo izvukli drugu kutiju,

B3−¿ da smo izvukli treću kutiju.Tada važi:

P (A )=P ( A|B1 ) ∙ P (B1 )+P (A|B2 ) ∙P (B2 )+P (A|B3 ) ∙P (B3 )=b ( x+ y )+x (b+c )+ ( x+ y ) (b+c )

3 (b+c ) ( x+ y ) .

P (B1|A )=P (A|B1 )∙ P (B1 )

P (A )=

b ( x+ y )b (x+ y )+x (b+c )+( x+ y ) (b+c )

.

135

P (B2|A )=P (A|B2 ) ∙P (B2 )

P (A )=

x (b+c )b (x+ y )+x (b+c )+( x+ y ) (b+c )

.

P (B3|A )=P (A|B3 ) ∙P (B3 )

P (A )=

(x+ y ) (b+c )b ( x+ y )+x (b+c )+( x+ y ) (b+c )

.

568. Treba pojeftiniti za 60%.

569. a¿K3=25000 ∙(1+ 6100 )

3

=29775,40dinara.

b¿K12=25000 ∙(1+ 6400 )

12

=29890,45dinara.

c ¿K3=25000 ∙ e3 ∙ 0,06=29930,43dinara.

570. K t=K0 ept

100=¿ e ∙K 0=K0 e2 p100=¿ p=50 %=0,50.

571. K t=Kmn=¿K 0ep

100=K0(1+ p2

100m)m

=¿ p=100m ∙ ln(1+ p2

100m )572. p=100m ∙ ln(1+ p2

100m )=400 ∙ ln 1,0075 .

573. p=100m ∙ ln(1+ p2

100m )=200 ∙ ln1,03 .

574. p=100m ∙ ln(1+ p2

100m )=100∙ ln1,08 .

575. pe=[(1+ pn

100m )m

−1] ∙100 .

a) pe=[(1+ 20200 )

2

−1] ∙100=21 % .

b) pe=[(1+ 20400 )

4

−1] ∙100=21,55 % .

c) pe= limm→∞ [(1+ 20

100m )m

−1] ∙100=(e0,2−1 ) ∙100=22,14 % .

136


DODATAK APODSETNIKU podsetniku je dat kratak pregled osnovnih pojmova iz srednje škole, koji su Vam neophodni, a koji se ne uče ni na predavanjima ni na vežbama, jer se podrazumeva da to znate.

Preporučujem da ovo prvo pročitate.

Sve što je dato u podsetniku morate dobro da savladate, kako bi to kasnije efikasno koristili pri izradi ispitnih zadataka.

1) Iskazi

Tablica istinitosti “i” i “ili” iskaza:

P Q P Q P Q

T T T T

T T

T T

2) Skupovi brojeva u elementarnoj matematici

Skup prirodnih brojeva

Skup celih brojeva

Skup racionalnih brojeva

Skup realnih brojeva iracionalni, gde su iracionalni brojevi oni brojevi koji ne mogu da se predstave pomoću

razlomka kao što su

Neke osnovne formule

1. a2−b2= (a−b )(a+b)2. a2+b2=¿ ne može se rastaviti.

3. a3−b3=(a−b ) (a2+ab+b2 )4. a3+b3=(a+b ) (a2−ab+b2 )5. (a−b )2=a2−2ab+b2

6. (a+b )2=a2+2ab+b2

7. (a−b )3=a3−3a2b+3ab2−b3

8. (a+b )3=a3+3a2b+3ab2+b3

137

.,3,2,1 N

.,2,1,0,1,2, Z

.,

NnZmnmQ

QR

,,,3,2 e

3) Binomni koeficijenti

To su izrazi oblika Računaju se na sledeći način:

Na primer Kao što vidite dole je uvek faktorijel donjeg broja, tj proizvod svih brojeva od njega do jedinice, a gore je proizvod gornjeg broja i brojeva unazad onoliko koliki je donji broj.Osobine binomnih koeficijenata:

1)

2)

3)

Tako na primer

4) Stepenovanje

an=a ∙a ∙…∙a⏟n−činioca

Osobine stepena:

1. a0=12. a1=a

3. a−n= 1an

4. am ∙ an=am+n

5. am: an=am−n

6. (am )n=amn

7. (ab )n=anbn

8. ( ab )n

=an

bn

5) Korenovanje

Osobine korena:

138

.

kn

.101245

25

,12612346789

49

,35123567

37

10

n

nn

1

kn

nkn

.1201238910

310

710

.abba nn


1. ( n√a )n=a2. n√ab= n√a n√b3.

n√ ab=

n√an√b

4. n√m√a=nm√a5. n√am=nk√amk

6. √a2=|a|, (√a )2=a7. n√a=a

1n⇒a

mn=n√am

6) Specijalne funkcije

a) Apsolutna vrednost .

Apsolutna vrednost je funkcija koja sve brojeve pretvara u nenegativne. Na primer

Definicija apsolutne vrednosti:

b) Signum funkcija Signum funkcija je funkcija koja određuje znak broja. Na primer sgn (5 )=1 , sgn (100 )=1, sgn (−2 )=−1 , sgn (0 )=0

Definicija signum funkcije je: sgn ( x )={ 1 , x>00 , x=0−1, x<0

Između prethodne dve funkcije postoji sledeća veza:

c) Faktorijel funkcija

Na primer

Uvek može da se napiše veza između dva faktorijela. Tako na primer važi:

7) Logaritmovanje

gde je podlogaritamski deo i osnova logaritma. Uslovi postojawa logaritma su:

Osobine logaritama:

1. log c1=02. log cc=13. log c (ab )=logc a+ logcb

4. log c( ab )= logca−logc b

5. log can=n logc a⇒ logc

n√a=1n

logc a

6. log10a=log a

139

x

.33,4

274

27,88

0,

0,xxxx

x

.sgn x

.sgn xxx

!n.4032012345678!8,6123!3

!11!1,!1! nnnnnnn

,log ax c a c .10, cca

.log xc caax

7. log ea=ln a (e≈2,72 )

8. log a= ln aln 10

8) Imaginarni i kompleksni brojevi

imaginarna jedinica

Kako je itd.

Kompleksni brojevi se najčešće označavaju sa gde je

realni deo kompleksnog broja, a imaginarni deo. Tako na primer:

itd.

9) JednačineA) Linearne jednačine sa jednom nepoznatom

To su jednačine oblika Rešenje je:

1) Za

2) Za jednačina nema rešenja.

3) Za jednačina ima beskonačno mnogo rešenja.B) Kvadratne jednačine

To su jednačine oblika

Diskriminanta kvadratne jednačine je Rešenja su:

1) Za jednačina ima dva realna različita rešenja i to su

2) Za jednačina ima dva realna i jednaka rešenja i to su

3) Za jednačina nema realnih rešenja.C) Iracionalne jednačine

To su jednačine u kojima se nepoznata nalazi ispod korena.Kako se one rešavaju najbolje će se videti iz sledećih primera:

1)

2)

140

1i

iiii 77,636,4161

,ivuz uv

3,033,232

vuizvuiz

.bax

.0abxa

00 ba 00 ba

.02 cbxax.42 acbD

0D.

242

2,1 aacbbx

0D.

221 abxx

0D

2/4x16x

22 /59 x


3)

4)

5)

D) Eksponencijalne jednačineTo su jednačine u kojima se nepoznata nalazi u eksponentu.Kako se one rešavaju najbolje će se videti iz sledećih primera:

1)

2)

3)

141

.416

259

2,1

2

2

xx

x

33 /2x8x

01532 xx

32

231532

/1532 2

x

xxx

xx

1321 xx

.3,12

1242

032

96324

/3322

3232211

/3211

212,1

2

2

2

2

xxx

xx

xxx

xx

xxx

xx

813 1 x

.541

33 41

xx

x

xxxx 211 55

.2112

21

5522

21 22

x

xxxx

xxx

135312 : xxxx aaaa

4)

5)

E) Logaritamske jednačine

To su jednačine u kojima se nepoznata nalazi u logaritmu.Kako se one rešavaju najbolje će se videti iz sledećih primera:

1)

2)

3)

4)

10) NejednačineA) Linearne nejednačine

To su nejednačine oblika gde je sa označen neki od znakova Ove nejednačine su dosta jednostavne za rešavanje, što ćete videti i iz primera.

1)

142

.003

121

121

xx

xxaa xx

01,010 4 x

.224

1010 24

xx

x

ln/32 1 x

.2ln3ln1

3ln2ln13ln2ln 1

x

x

x

5ln3ln x

.1255lnln 3

xx

21ln x

.1

12

2

ex

ex

11ln31

x

1

1

31ln

3

3

ex

ex

x

xxx 1ln21lnln

.31

1321

21lnln22

22

x

xxxxx

xxxx

, 0bax .,,,

353 xx

.482

xx


2)

3)

4)

B) Kvadratne nejednačine

To su nejednačine oblika gde je sa označen neki od znakova Ove nejednačine se rešavaju crtanjem grafika kvadratne funkcije.

Grafik kvadratne funkcije se crta na sledeći način:

1) Ako je funkcija se “smeje” pa ima sledeći izgled:

2) Ako je funkcija “plače” pa ima sledeći izgled:

3) Ako je grafik ima dve tačke preseka sa osom i to su Grafik ima sledeći izgled:

4) Ako je grafik ima jednu dodirnu tačku sa osom i to je Grafik ima sledeći izgled:

143

105 x.5x

105 x

55

xx

15/15

133

12

xx

.7667

13510

x

xxx

,02 cbxax .,,,

cbxaxy 2

0a

0a

0D x.

242

2,1 aacbbx

0D x.

2abx

5) Ako je grafik nema dodirnih tačaka sa osom. Grafik ima sledeći izgled:

Na sledećih nekoliko primera videćete primenu prethodnog.

1)

grafik dodiruje osu u tački Kako je grafik funkcije ima sledeći izgled:

Dakle, rešenje nejednačine je

2)

grafik se~e osu u ta~kama i Kako je grafik funkcije ima slede}i izgled:

Dakle, re{ewa nejedna~ine su

3)

grafik neka dodirnih tačaka sa osom. Kako je grafik funkcije ima sledeći izgled:

144

0D x

0122 xx0D x .1x 0a

.,11, x

0652 xx1D x 21 x .32 x 0a

.,32, x

0222 xx 4D x 0a


Dakle, nejednačina nema rešenja.

4)

grafik neka dodirnih tačaka sa osom. Kako je grafik funkcije ima sledeći izgled:

Dakle, rešenje nejednačine je

5)

Grafik seče osu u tačkama i Kako je grafik funkcije ima sledeći izgled:

Dakle, rešenje nejednačine je C) Logaritamske nejednačine

To su nejednačine u kojima se javlja logaritam.Kako se one rešavaju najbolje će se videti iz sledećih primera:

1)

2)

3)

4)

145

012 xx 3D x 0a

.,x

012 xx 11 x .12 x 0a

.1,1x

0ln x

.,10100

xxxxex

1ln x

.,001

exxexxex

53ln x

.3,333

03355

5

exxex

xex

02ln xx

grafik seče osu u tačkama i Kako je grafik funkcije ima sledeći izgled:

Osim toga postoji uslov da podlogaritamski deo bude pozitivan, tj.

Dakle, rešenje nejednačine je D) Kombinovane nejednačine

To su nejednačine u kojima su na razne načine iskombinovana prethodna tri tipa. To ćete videti kroz sledeći primer:

Kombinovane nejednačine se najlakše rešavaju pomoću tablice.

Dakle rešenje nejednačine je

Napomena: Funkcija nema nulu u tački jer je to donji deo razlomka.

146

012

122

2

xx

xx

8D x 211 x .212 x 0a

.,02,022 xxx

.21,02,21 x

0

1ln932

2

2

x

xxx

.33,2 x0x


11) Neodređeni i određeni izrazi

Neodre

đeni izrazi su izrazi čiju vrednost ne znamo. To su sledeći izrazi:

.Određeni izrazi su svi ostali, tj. izrazi čija se vrednost zna. U nastavku su date vrednosti nekih određenih izraza na kojima studenti često greše:

12) Trigonometrija

Osnovne trigonometrijske funkcije su i gde je ugao koji može biti izražen u stepenima ili u

radijanima. Veza između stepena i radijana je

Vrednosti trigonometrijskih funkcija za neke uglove

0 30 45 60 90 180 270 360

rad 0

sin 0 1 0 -1 0

cos 1 0 -1 0 1

tg 0 1 0 - 0

ctg 1 0 - 0

Trigonometrijski identiteti

147

00 ,0,,0,1,0

,0,,00,0,0,

10,1,0

,10,0

1,

,ln,0ln,0

,0

,

,,0,,,,

aa

aa

aa

aaa

aaaa

tg,cos,sin ,ctg .180 rad

6 4 3 2 23 2

21 22 23

23 22 21

33 3

3 33

1cossin 22

1 ctgtg

cossin

tg

Inverzne trigonometrijske funkcije

148

sincos

ctg

sinsin

coscos

tgtg

ctgctg

sincoscossinsin

sinsincoscoscos

tgtgtgtgtg

1

ctgctg

ctgctgctg

1

cossin22sin

22 sincos2cos

coscos21sinsin

coscos21coscos

sinsin21cossin

2cos

2sin2sinsin

2sin

2cos2sinsin

2cos

2cos2coscos

2sin

2sin2coscos


Inverzne trigonometrijske funkcije su i . One su definisane na sledeći način:

Tako je na primer jer je a jer je

13) Analitička geometrijaA) Prava linija

Prava se najčešće predstavlja u eksplicitnom obliku gde je koeficijent pravca, a odsečak na

osi. Za koeficijent pravca važi: gde je ugao koji prava zaklapa sa osom. Prava se najlakše crta na sledeći način:

Na primer imamo pravu Formiramo sledeću tabelu:

x 1 2

y 5 8

Crtamo tačke i a zatim nacrtamo pravu kroz te tačke i to je tražena prava.

Prava oblika je prava paralelna osi a osu seče u

Prava oblika je prava paralelna osi a osu seče u

Jednačina prave kroz dve tačke i je:

y− y1=y2− y1

x2− x1(x−x1) .

149

arctgxxx ,arccos,arcsin .arcctgx

xctgarcctgxxtgarctgx

xxxx

cosarccossinarcsin

621arcsin ,

21

6sin

2

arctg .2

tg

,nkxy k n yk ,tgk x

.23 xy

5,1 ,8,2

nx y x .nny x y .n

111 , yxM 222 , yxM

Jednačina prave koja prolazi kroz tačku i ima koeficijent pravca je:

Uslov paralelnosti dve prave je:

Uslov normalnosti dve prave je:

Ugao između dve prave nalazi se iz relacije:

B) Krug

Jednačina kruga je: gde su i , koordinate centra kruga, a poluprečnik.

Tako na primer krug čija je jednačina: ima centar u tački a poluprečnik 2, dok

krug čija je jednačina ima centar u tački a poluprečnik 1.C) Elipsa

Elipsa ima sledeći izgled:

Dužina poluose je a poluose .

Jednačina elipse je x2

a2 +y2

b2=1, gde su i dužine i poluose, a centar elipse je uvek u koordinatnom

početku.

D) Hiperbole oblika

1. Ako je hiperbola ima sledeći izgled:

150

111 , yxM k .11 yxxky

.21 kk

.1

21 kk

.

1 21

12

kkkk

tg

,222 rqypx p q r 432 22 yx ,3,2O

13 22 yx ,3,0 O

x ,a y b

a b x y

.nxy 0n


2. Ako je hiperbola ima sledeći izgled:

E) Parabola

1. Parabola oblika ima sledeći izgled:

2. Parabola oblika ima sledeći izgled:

151

0n

2axy

2ayx

DODATAK BTABLICA IZVODA

2

'

2

2

2

2

21

11)'(

21

11)'(cos)'(sin

1

1)'(arccos1)'(ln

1

1)'(arcsin)'(

sin1)'(ln)'(

cos1)'()'(

sin)'(cos0)'(

xarcctgx

xx

xarctgxxx

xx

xx

xxee

xctgxaaa

xtgxnxx

xxconst

xx

xx

nn

152


DODATAK CTABLICA INTEGRALA

153

caxax

aaxdx

caxarctg

adx

xacarctgxdx

x

caxdx

xacxdx

x

caxxax

dxcctgxdxx

ctgxdxx

cxxdx

cxxdxcedxe

cxx

dxcxxdx

ncnxdxx

ccxdx

xx

nn

∫

∫∫

∫∫

∫∫

∫ ∫

∫ ∫

∫ ∫

∫

∫

ln2

1

111

1

arcsin1arcsin1

1

lnsin

1cos

1sincos

cossin2

ln

)1(1

konstanta proizvoqna je

2

22

22

2

22

2

1

Documents

Zbirka-oktobar-2011