ZASTOSOWANIA METOD MATEMATYCZNYCH W EKONOMII I … · Analiza porównawcza efektywności metod redukcji zmiennych… 9 3. Punkty odstające – punkty odstające niestety często

ZASTOSOWANIA METOD MATEMATYCZNYCH

W EKONOMII I ZARZDZANIU

Studia Ekonomiczne

ZESZYTY NAUKOWE

WYDZIAOWE UNIWERSYTETU EKONOMICZNEGO

W KATOWICACH

ZASTOSOWANIA METOD

MATEMATYCZNYCH W EKONOMII I ZARZDZANIU

Redaktorzy naukowi Jerzy Mika

Katarzyna Zeug-ebro

Katowice 2013

Komitet Redakcyjny Krystyna Lisiecka (przewodniczca), Anna Lebda-Wyborna (sekretarz),

Florian Kunik, Maria Michaowska, Antoni Niederliski, Irena Pyka, Stanisaw Swadba, Tadeusz Trzaskalik, Janusz Wywia, Teresa abiska

Komitet Redakcyjny Wydziau Zarzdzania

Janusz Wywia (redaktor naczelny), Tomasz do (sekretarz), Alojzy Czech, Jacek Szotysek, Teresa abiska

Rada Programowa Lorenzo Fattorini, Mario Glowik, Milo Krl, Bronisaw Micherda,

Zdenk Mikol, Marian Noga, Gwo-Hsiu Tzeng

Recenzent Janusz yko

Redaktor

Karolina Koluch

Skad Krzysztof Sabo

Copyright by Wydawnictwo Uniwersytetu Ekonomicznego w Katowicach 2013

ISBN 978-83-7875-089-5 ISSN 2083-8611

Wszelkie prawa zastrzeone. Kada reprodukcja lub adaptacja caoci bd czci niniejszej publikacji, niezalenie od zastosowanej

techniki reprodukcji, wymaga pisemnej zgody Wydawcy

WYDAWNICTWO UNIWERSYTETU EKONOMICZNEGO W KATOWICACH ul. 1 Maja 50, 40-287 Katowice, tel. 32 257-76-30, fax 32 257-76-43

www.wydawnictwo.ue.katowice.pl, e-mail: [email protected]

SPIS TRECI Anna Czopek ANALIZA PORWNAWCZA EFEKTYWNOCI METOD REDUKCJI ZMIENNYCH ANALIZA SKADOWYCH GWNYCH I ANALIZA CZYNNIKOWA .................... 7 Summary .................................................................................................................... 23 Katarzyna Jakowska-Suwalska WIELOKRYTERIALNY, NIELINIOWY MODEL WIELKOCI ZAMWIENIA MATERIAW DLA KOPALNI WGLA KAMIENNEGO ........................................... 24 Summary .................................................................................................................... 34 Anna Janiga-miel WYZNACZENIE OKRESU RWNOWAGI I STABILIZACJI DUGOOKRESOWEJ .............................................................................................. 35 Summary .................................................................................................................... 44 Adrianna Mastalerz-Kodzis TEORIA FAL ELLIOTTA A TEORIA FRAKTALI PODOBIESTWA I RNICE W PODEJCIU DO MODELOWANIA SZEREGW ORAZ OPISU ZACHOWA INWESTORA ....................................................................................... 45 Summary .................................................................................................................... 55 Monika Mikiewicz-Nawrocka MODELE EKONOMICZNE Z DYNAMIK CHAOTYCZN ....................................... 56 Summary .................................................................................................................... 66 Ewa Popiech PODPISY NIEZAPRZECZALNE PODPISY Z DODATKOW FUNKCJONALNOCI ............................................................................................. 67 Summary .................................................................................................................... 79 Zygmunt Przybycin DWUMIANOWY MODEL WYCENY OPCJI W WARUNKACH ROZMYTYCH INFORMACJI ..................................................................................... 80 Summary .................................................................................................................... 90

Adam R. Szromek POMIAR FUNKCJI TURYSTYCZNEJ OBSZARW ZA POMOC WSKANIKW FUNKCJI TURYSTYCZNEJ NA PRZYKADZIE OBSZARW PASTW EUROPEJSKICH ...................................................................................... 91 Summary .................................................................................................................... 103 Joanna Trzsiok OCENA WPYWU ZMIENNYCH OBJANIAJCYCH NA ZMIENN ZALEN W METODZIE RZUTOWANIA PPR .......................................................................... 104 Summary .................................................................................................................... 114 Micha Trzsiok SYMULACYJNA OCENA JAKOCI ZAGREGOWANYCH MODELI ZBUDOWANYCH METOD WEKTORW NONYCH ............................................ 115 Summary .................................................................................................................... 126 ukasz Wachstiel PORWNANIE METOD ROZMYTEGO I PROBABILISTYCZNEGO MODELOWANIA ZJAWISKA NA PRZYKADZIE OCENY RYZYKA USUG INFORMATYCZNYCH .............................................................................................. 127 Summary .................................................................................................................... 135 Maciej Wolny ASPEKT SYTUACJI STATUS QUO WE WSPOMAGANIU WIELOKRYTERIALNEGO WYBORU BAZUJCEGO NA TEORII GIER ................. 136 Summary .................................................................................................................... 147 Maciej Wolny WSPOMAGANIE KOOPERACJI Z WYKORZYSTANIEM TEORII GIER I ANALIZY WIELOKRYTERIALNEJ .......................................................................... 148 Summary .................................................................................................................... 159 Katarzyna Zeug-ebro WPYW REDUKCJI POZIOMU SZUMU LOSOWEGO METOD NAJBLISZYCH SSIADW NA WARTO NAJWIKSZEGO WYKADNIKA LAPUNOWA .............................................................................................................. 160 Summary .................................................................................................................... 168

Anna Czopek

ANALIZA PORWNAWCZA EFEKTYWNOCI METOD REDUKCJI ZMIENNYCH ANALIZA SKADOWYCH GWNYCH I ANALIZA CZYNNIKOWA Wprowadzenie

Analiza skadowych gwnych i analiza czynnikowa to dwie najbardziej popularne metody pozwalajce na sprowadzenie duej liczby badanych zmien-nych do znacznie mniejszej liczby wzajemnie niezalenych skadowych gw-nych lub czynnikw. Nowe zmienne (skadowe gwne lub czynniki) zachowuj stosunkowo du cz informacji zawartych w zmiennych pierwotnych, a jed-noczenie kada z nich jest nonikiem innych treci merytorycznych. Obie po-wysze metody redukcji zmiennych s czsto stosowane, gdy zbyt dua ilo rozpatrywanych cech powoduje wzrost skali trudnoci interpretacji.

Zasadnicz przyczyn podjcia tematu jest prba pokazania, e wyej wy-mienionych metod, cho s bardzo podobne, nie mona utosamia. Mimo tego, i w obu przypadkach s obliczane wartoci wasne, adunki czynnikowe itp., to jednak istniej midzy nimi rnice w sposobie dziaania, o czym naley pami-ta. Zatem stosowanie tych nazw zamiennie jest niedopuszczalne.

Artyku skada si z trzech czci. Rozdziay pierwszy i drugi s powico-ne, odpowiednio, analizie skadowych gwnych i analizie czynnikowej, gdzie zostaa dokonana krtka charakterystyka tych metod. W rozdziale trzecim, na podstawie przykadu empirycznego, porwnano efektywno analizy skado-wych gwnych i analizy czynnikowej.

1. Analiza skadowych gwnych

Pocztki techniki analizy skadowych gwnych pochodz od Pearsona (1901). Jednak gwny rozwj tej metody zawdzicza si pracom ameryka-skiego statystyka Hotellinga (1933), ktry wykorzysta j do analizy testw osigni szkolnych.

Anna Czopek

8

Podstawow ide metody jest transformacja wyjciowego zbioru zmien-nych , , na nowy zbir zmiennych , , , zwanych skadowymi gwnymi. W konsekwencji liczba gwnych skadowych jest rwna liczbie zmiennych pierwotnych. W praktyce nie ma to jednak duego znaczenia, gdy liczb skadowych gwnych ogranicza si w dalszych rozwaaniach do kilku najwaniejszych. Zatem celem analizy skadowych gwnych jest redukcja liczby zmiennych przy zachowaniu tak duej zmiennoci danych, jak to tylko moliwe.

Model matematyczny w analizie skadowych gwnych jest sformuowany w postaci nastpujcego ukadu rwna liniowych:

Zmienne rzeczywiste podlegajce obserwacji dla 1, , s wy-raone jako kombinacje liniowe zmiennych nieobserwowalnych dla 1, , , zwanych skadowymi gwnymi. Wspczynniki dla ,1, , okrelaj wag danej skadowej w opisie zmiennych empirycznych.

1.1. Algorytm postpowania w analizie skadowych gwnych

Ponisze kroki opisuj schemat postpowania w analizie skadowych gw-nych [2; 5; 8]. Krok I Sprawdzenie zaoe

Przed rozpoczciem analizy skadowych gwnych naley sprawdzi pod-stawowe zaoenie, aby oceni zasadno jej zastosowania, a mianowicie skore-lowanie zmiennych im wysze korelacje midzy zmiennymi pierwotnymi, tym bardziej uzasadnione jest wykorzystanie tej analizy. Korelacj bada si analizu-jc macierz korelacji dla zmiennych wzitych do analizy lub wykorzystujc test Bartletta [8].

Naley rwnie zwrci uwag na ponisze warunki [3; 8]: 1. Normalno rozkadu zaoenie to nie jest konieczne, gdy analizuje si

duy zbir danych. 2. Liczebno i reprezentatywno prby do analizy przystpuje si, gdy

prba liczy co najmniej 50 obserwacji. Prb naley pobra w sposb loso-wy. Zbir obserwacji musi by jednorodny.

Analiza porwnawcza efektywnoci metod redukcji zmiennych

9

3. Punkty odstajce punkty odstajce niestety czsto znieksztacaj praw-dziwe zalenoci midzy zmiennymi. Dobrze jest na pocztku analizy wy-kry takie punkty i usun je z danych.

4. Braki danych w przypadku brakujcych danych w analizowanej prbie naley zastpi braki przez rednie lub usun przypadki z brakujcymi danymi.

Krok II Wybr odpowiedniej macierzy

Nastpnie naley przyjrze si pocztkowym zmiennym. Jeeli analizowa-ne zmienne s porwnywalne (wyraaj si w tych samych jednostkach i s tego samego rzdu), to w dalszej analizie wykorzystuje si macierz kowariancji. Jee-li natomiast zmienne maj rne jednostki lub s rnego rzdu, analiz skado-wych gwnych przeprowadza si wykorzystujc macierz korelacji. Jest to wa-ny krok rozpoczynajcy ca analiz, gdy skadowe gwne otrzymane dla macierzy kowariancji i korelacji nie musz by takie same.

Krok III Wyznaczenie skadowych gwnych

Niech , , bdzie wektorem zmiennych wzitych do anali-zy. Skadowe gwne s kombinacj liniow zmiennych pocztkowych:

Kolejnym krokiem jest wyznaczenie macierzy wspczynnikw dla , 1, , dla zadanego z gry wektora obserwacji . Algorytm wyzna-

czania wspczynnikw dla , 1, , bardzo dokadnie opisuje D.F. Mor-rison [5] i A. Stanisz [8]. Krok IV Redukcja wymiaru kryteria wyboru

Wan informacj jest to, e kada kolejna wyznaczona skadowa gwna wyjania coraz mniejsz cz zmiennoci pocztkowych zmiennych. W jakim momencie okae si, e ktra z kolei skadowa okrela znikom cz zmien-noci. Naley zatem dokona redukcji skadowych, stosujc w dalszych rozwa-aniach tylko najwaniejsze.

Popularne kryteria redukcji [2; 4; 8]: 1. Kryterium wystarczajcej proporcji stopie wyjanionej wariancji oryginal-

nych zmiennych musi wynosi co najmniej 75%. W praktyce najczciej ju przy 2-3 gwnych skadowych stopie wyjanienia wariancji jest wystarczajcy.

Anna Czopek

10

2. Kryterium Kaisera eliminacja skadowych gwnych, ktrych wartoci wasne s mniejsze od 1.

3. Wykres osypiska wyznaczenie na wykresie liniowym kolejnych wartoci wasnych. Interpretacja polega na znalezieniu miejsca, od ktrego na prawo wystpuje agodny spadek wartoci wasnych. Nie powinno si uwzgldnia wicej czynnikw, ni te znajdujce si po lewej stronie tego punktu.

Wybr odpowiedniego kryterium ley w gestii statystyka, dlatego te decy-

zja ta jest dosy subiektywna i wpywa na rezultaty analizy. Krok V Interpretacja

Interpretacj otrzymanych wynikw przeprowadza si za pomoc tzw. a-dunkw czynnikowych. adunki czynnikowe s wspczynnikami korelacji pomidzy dan zmienn a skadowymi.

Jeeli powysza analiza jest przeprowadzana na podstawie macierzy kowa-

riancji, to wspczynnik korelacji pomidzy i-t zmienn a -t skadow dla , 1, , oblicza si ze wzoru:

,,

gdzie: odchylenie standardowe zmiennej , wariancja skadowej gwnej , a take -ta co do wielkoci warto wa-

sna macierzy korelacji (kowariancji), na ktrej opiera si caa analiza, odchylenie standardowe skadowej .

Jeli natomiast skadowe s generowane z macierzy korelacji, to:

,

Suma wszystkich wartoci wasnych macierzy korelacji (kowariancji) jest cakowit wariancj ukadu. Dziki temu mona zdefiniowa

cz cakowitej wariancji wyznaczon przez -t skadow:

100%


11

Natomiast procentowy udzia zmiennoci cakowitej wyjanionej przez pierw-szych skadowych oblicza si nastpujco:

2. Analiza czynnikowa

Twrcami gwnej koncepcji tej metody s psychologowie CH. Spearman (1904) i L.L. Thurstone (1913). Ch. Spearman wprowadzi pojcie pojedynczego czynnika oglnego dla wyjanienia wynikw testw inteligencji. Dopiero L.L. Thur-stone stworzy podstawy teoretyczne analizy czynnikowej. Celem analizy czyn-nikowej jest denie do wyodrbnienia wszystkich czynnikw, ktre mog rze-czywicie tkwi w korelacjach danego ukadu zmiennych, jednoczenie zachowujc jak najwicej informacji zawartych w zmiennych pierwotnych, a nastpnie reduk-cja tych czynnikw.

Model analizy czynnikowej konstruuje si jako zaoenie wstpne, ktre jest sformuowane w postaci ukadu rwna:

gdzie . Standaryzowane zmienne pierwotne dla 1, , s wyraone jako

liniowe funkcje zmiennych nieobserwowalnych dla 1, , , zwanych czynnikami wsplnymi i pojedynczego czynnika losowego dla 1, , , zwanego czynnikiem swoistym. Wspczynniki oraz dla 1, , ,

1, , s zwane adunkami czynnikowymi i okrelaj wag danego czynnika w opisie zmiennych empirycznych.

W analizie czynnikowej przyjmuje si dwa zaoenia o zmiennych i czyn-nikach: 1. Zmienne i czynniki s zestandaryzowane. 2. Czynniki wsplne s ze sob nieskorelowane, czynniki swoiste s ze

sob nieskorelowane, czynniki wsplne s nieskorelowane z czynnikami swoistymi dla 1, , , 1, , .

Anna Czopek

12

2.1. Algorytm postpowania w analizie czynnikowej

Ponisze kroki opisuj schemat postpowania w analizie czynnikowej [2; 5; 8; 9].

Krok I Sprawdzenie zaoe Zaoenia w analizie czynnikowej s podobne jak w analizie skadowych

gwnych z tym wyjtkiem, e zmienne pierwotne powinny mie rozkad nor-malny lub by doprowadzone do takiej postaci drog odpowiednich transforma-cji. Punktem wyjcia oblicze jest macierz korelacji. Naley dokona wstpnej oceny istniejcych korelacji.

Krok II Metody estymacji modelu analizy czynnikowej

Rozwizanie analizy czynnikowej polega na wyznaczeniu ukadu czynni-kw wsplnych dla 1, , , co jest rwnowane z okreleniem dla kadego czynnika odpowiadajcego mu wektora , , . Dokonuje si tego wykorzystujc jedn z podstawowych metod estymacji, do ktrych m.in. nale [1; 5; 7; 8; 9]: 1. Metoda gwnych skadowych opracowana przez Hotellinga (1933). 2. Metoda gwnego czynnika opracowana przez Harmana (1960). 3. Metoda najwikszej wiarygodnoci opracowana przez Lawleya (1940). 4. Metoda centroidalna opracowana przez Thurstonea (1931).

Najwiksze uznanie matematykw zdobya metoda gwnych skadowych. Nie bez przyczyny jest ona ustawiona jako metoda domylna w programie Stati-stica w analizie czynnikowej. Wybr kadej z tych metod jest zawsze obciony mniejsz czy wiksz doz arbitralnoci. Krok III Redukcja wymiaru kryteria wyboru

Kryteria redukcji liczby czynnikw s analogiczne jak w analizie skado-wych gwnych. Natomiast opierajc analiz czynnikow na metodzie najwik-szej wiarygodnoci, mona za pomoc istniejcego testu dobroci dopasowania okreli, czy ilo wybranych czynnikw jest waciw liczb dla danego mode-lu, czy te nie [2; 5; 9].

Krok IV Rotacja czynnikw

Czsto zdarza si, e zmienna ma wysokie adunki na kilku czynnikach, co uniemoliwia jednoznaczn interpretacj. W takiej sytuacji naley przeprowa-dzi rotacj czynnikw. W wikszoci przypadkw rotacja czynnikw redukuje dwuznaczno interpretacji, jaka moe wystpi w rozwizaniu bez rotacji.


13

Dziki obrotowi mona atwiej utosami kady czynnik ze zmiennymi, z kt-rymi jest mocno skorelowany.

Ustalenie najwaciwszej pozycji ukadu odniesienia jest jednym z najtrud-niejszych krokw. Wedug L.L. Thurstonea (1935) naley dy do tzw. pro-stej struktury, ktra znacznie uatwia interpretacj wynikw. Prostota takiej struktury adunkw czynnikowych polega na tym, e kada zmienna ma stosun-kowo najprostsz zawarto czynnikow, tj. dominujcy adunek jakiego jed-nego czynnika i odwrotnie miar danego czynnika s tylko niektre spord analizowanych zmiennych. W praktyce rzadko mona doprowadzi do struktury czynnikowej speniajcej kryteria struktury prostej, naley jednak dy do uzy-skania wyniku najbardziej do niej zblionego.

Do wykonania rotacji najczciej stosuje si metod VARIMAX lub QUARTIMAX [5; 9], ktre ostatecznie decyduj o interpretacji modelu, gdy rne metody daj rne pozycje ukadw osi czynnikw. Krok V Interpretacja

Podstawowym zadaniem analizy czynnikowej jest wyznaczenie macierzy wspczynnikw zwanych adunkami czynnikowymi dla 1, , ,

1, , . adunki te mona interpretowa w ten sposb, e waga czynnika jest wspczynnikiem korelacji midzy zmienn a czynnikiem. Zatem:

dla 1, , , 1, , .

Do interpretacji otrzymanych wynikw szuka si tych zmiennych, ktre maj najwysze (w wartociach bezwzgldnych) wartoci adunkw czynniko-wych dla danych czynnikw. adunki czynnikowe opisuj wkad zmiennej do poszczeglnych czynnikw.

Cz cakowitej wariancji wyjanionej przez -ty czynnik jest obliczany ze wzoru:

100%

gdzie: -ta warto wasna macierzy korelacji dla 1, , .

Natomiast procentowy udzia zmiennoci cakowitej wyjanionej przez pierwszych czynnikw oblicza si nastpujco:

Anna Czopek

14

3. Porwnanie efektywnoci analizy skadowych gwnych

i analizy czynnikowej 3.1. Informacje wstpne

Do bada posuyy dane z Rocznika Statystycznego Pracy 2010. Analizie poddano 311 powiatw Polski ze wzgldu na osiem zmiennych: 1. Bezrobotni poprzednio pracujcy BPP. 2. Bezrobotni zwolnieni z przyczyn dotyczcych zakadw pracy BZ. 3. Bezrobotni zamieszkali na wsi BZW. 4. Bezrobotni nieposiadajcy prawa do zasiku BNPZ. 5. Zatrudnieni w warunkach zagroenia zwizanego ze rodowiskiem pracy ZP. 6. Zatrudnieni w warunkach zagroenia zwizanego z uciliwoci pracy ZUP. 7. Zatrudnieni w warunkach zagroenia zwizanego z czynnikami mechanicz-

nymi ZCM. 8. Poszkodowani w wypadku przy pracy PPP.

3.2. Wyniki analizy empirycznej

W artykule tym dokonano redukcji liczby zmiennych opisujcych zrni-cowanie powiatw Polski. Uzyskane wyniki pozwalaj na porwnanie metody analizy skadowych gwnych oraz analizy czynnikowej, wskazujc przede wszystkim stopie efektywnoci kadej z nich. Obie analizy zostay przeprowa-dzone za pomoc programu Statistica.

Przeprowadzajc badanie za pomoc analizy skadowych gwnych, wyko-rzystano macierz korelacji i otrzymano nastpujce rezultaty: 1. Korzystajc z kryterium wystarczajcej proporcji, dokonano redukcji omiu

zmiennych do trzech skadowych gwnych. Na podstawie tabeli 1 mona odczyta, i pierwsza skadowa wyjania niecae 42% cakowitej zmiennoci. Druga skadowa wyjania 26%, a trzecia 10%, co daje cznie ponad 78% cakowitej zmiennoci.


15

Tabela 1

Wartoci wasne wyznaczone dla analizowanych danych, procent cakowitej wariancji wyjanionej przez -t skadow , skumulowane wartoci wasne oraz

skumulowany procent wyjanionej wariancji

Warto wasna (%) Skumulowana

warto wasna

(%)

3,349941 41,87426 3,34994 41,87426

2,087453 26,09316 5,43739 67,96743

0,813020 10,16275 6,25041 78,13018

0,645555 8,06943 6,89597 86,19961

0,477604 5,97005 7,37357 92,16966

0,371222 4,64027 7,74479 96,80993

0,215750 2,69689 7,96055 99,50681

0,039455 0,49319 8 100

Wykres osypiska poniej potwierdza t decyzj (rysunek 1).

Wartoci wasne (korelacje)

Tylko zmienne aktywne

41,87%

26,09%

10,16%8,07%

5,97%4,64%2,70%

,49%

-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Numer wart. wasnej

-0,5

0,0

0,5

1,0

1,5

2,0

2,5

3,0

3,5

4,0

War

to

wa

sna

41,87%

26,09%

10,16%8,07%

5,97%4,64%2,70%

,49%

Rys. 1. Wykres osypiska

rdo: Opracowanie wasne z wykorzystaniem programu Statistica.

Anna Czopek

16

2. adunki czynnikowe traktuje si jako korelacje midzy zmiennymi a skadowy-mi. Dla trzech pierwszych skadowych adunki przedstawiono w tabeli 2.

Tabela 2

adunki czynnikowe dla trzech pierwszych skadowych

BPP -0,833739 0,449623 0,073746 BZ -0,511962 0,137246 -0,818869 BZW -0,564090 0,673689 0,213194 BNPZ -0,826374 0,505603 0,112882 ZP -0,549488 -0,655135 -0,003492 ZUP -0,534307 -0,460750 0,279763 ZCM -0,539138 -0,511579 -0,020974 PPP -0,716612 -0,503744 0,011093

Pierwsza skadowa ma najwysze, ujemnie adunki czynnikowe ze zmien-

nymi BPP, BNPZ, PPP. Okrela ona zatem bezrobotnych poprzednio pracuj-cych, bezrobotnych nieposiadajcych prawa do zasiku, poszkodowanych w wypadku przy pracy. Druga skadowa ma najwysze adunki ze zmiennymi BZW i ZP, lecz korelacje te nie s zbyt wysokie. Obie zmienne oddziauj w sposb przeciwny na t skadow, BZW dodatnio, a ZP ujemnie. Trzecia ska-dowa najsilniej i ujemnie jest zwizana ze zmienn BZ. Brakuje natomiast ska-dowej najmocniej skorelowanej ze zmiennymi ZUP i ZCM. Obie te zmienne maj podobne (w wartociach bezwzgldnych) wartoci adunkw dla dwch skadowych pierwszej i drugiej. Opisana struktura jest daleka od spenienia warunkw tzw. prostej struktury.

Warto sprawdzi, czy dodanie czwartej skadowej gwnej nie poprawi po-wyszej sytuacji. Jest to do ryzykowne posunicie, znacznie wpywajce na rezultaty, gdy jedynie kryterium wystarczajcej proporcji jest spenione. Wyni-ki przedstawia tabela 3.

Tabela 3

adunki czynnikowe dla czterech pierwszych skadowych

1 2 3 4 5

BPP -0,833739 0,449623 0,073746 -0,012254 BZ -0,511962 0,137246 -0,818869 0,179866 BZW -0,564090 0,673689 0,213194 -0,086882 BNPZ -0,826374 0,505603 0,112882 -0,013554


17

cd. tabeli 3

1 2 3 4 5 ZP -0,549488 -0,655135 -0,003492 -0,028257 ZUP -0,534307 -0,460750 0,279763 0,561679 ZCM -0,539138 -0,511579 -0,020974 -0,537121 PPP -0,716612 -0,503744 0,011093 -0,023245

Dodana czwarta skadowa gwna faktycznie jest w najwikszym stopniu

zwizana ze zmiennymi ZUP i ZCM, ale mimo wszystko w niezbyt wysokim. Krok ten jeszcze bardziej oddali od spenienia warunkw prostej struktury, gdy zmienne ZUP i ZCM maj teraz podobne (w wartociach bezwzgldnych) war-toci adunkw dla trzech skadowych.

Przeprowadzajc badanie za pomoc analizy czynnikowej, do wyodrbnie-nia czynnikw wykorzystano cztery metody: gwnych skadowych, gwnego czynnika, najwikszej wiarygodnoci oraz centroidaln. Za kadym razem wy-niki s poprawione za pomoc rotacji Varimax. Wnioski przedstawiono poniej: 1. Ponisze tabele zawieraj: wartoci wasne wyznaczone dla analizowanych

danych, procent cakowitej wariancji wyjanionej przez -t skadow , skumulowane wartoci wasne oraz skumulowany procent wyjanionej wa-riancji wyliczone za pomoc wymienionych wyej metod.

Tabela 4

Metoda skadowych gwnych Warto

wasna (%) Skumulowana warto wasna (%)

3,349941 41,87426 3,34994 41,87426

2,087453 26,09316 5,43739 67,96743

0,813020 10,16275 6,25041 78,13018

0,645555 8,06943 6,89597 86,19961

Tabela 5 Metoda gwnego czynnika

Warto wasna (%) Skumulowana warto wasna (%)

3,04155 38,01933 3,04155 38,01933

1,69275 21,15934 4,73429 59,17867

0,10162 1,27021 4,83591 60,44889

0,02170 0,27129 4,85761 60,72017

Anna Czopek

18

Tabela 6

Metoda najwikszej wiarygodnoci

Warto wasna (%) Skumulowana warto wasna (%)

2,89747 36,21835 2,89747 36,21835

1,97842 24,73027 4,87589 60,94862

0,27838 3,47970 5,15427 64,42832

0,09061 1,13264 5,24488 65,56097

Tabela 7

Metoda centroidalna

Warto wasna (%)

Skumulowana warto wasna (%)

3,08785 38,59812 3,08785 38,59812

1,80870 22,60878 4,89655 61,20690

0,14521 1,81512 5,04176 63,02201

0,11341 1,41763 5,15517 64,43964

2. Wykresy osypiska:

Wykres wartoci wasnych

1 2 3 4 5 6 7 8

Liczba wartoci wasnych

0,0

0,5

1,0

1,5

2,0

2,5

3,0

3,5

4,0

War

t.

Rys. 2. Wykres osypiska metoda skadowych gwnych rdo: Opracowanie wasne z wykorzystaniem programu Statistica.


19


1 2 3 4 5


0,0

0,5

1,0

1,5

2,0

2,5

3,0

3,5

War

t.

Rys. 3. Wykres osypiska metoda gwnego czynnika rdo: Opracowanie wasne z wykorzystaniem programu Statistica.

Wykres wartoci w asnych

1 2 3 4Liczba wartoci w asnych

0,0

0,5

1,0

1,5

2,0

2,5

3,0

3,5

War

t.

Rys. 4. Wykres osypiska metoda najwikszej wiarygodnoci rdo: Opracowanie wasne z wykorzystaniem programu Statistica.

Anna Czopek

20


1 2 3 4 5 6 7 8


0,0

0,5

1,0

1,5

2,0

2,5

3,0

3,5

War

t.

Rys. 5. Wykres osypiska metoda centroidalna rdo: Opracowanie wasne z wykorzystaniem programu Statistica.

Zgodnie z wybranymi dwoma kryteriami kryterium osypiska i kryterium

wystarczajcej proporcji, w ktrym dy si do jak najwikszego stopnia wyja-nionej wariancji oryginalnych zmiennych dokonano redukcji omiu zmien-nych do trzech czynnikw w kadej z wybranych metod. 3. Tablice z wyodrbnionymi adunkami czynnikowymi za pomoc wybranych

metod z zastosowan rotacj Varimax przedstawiono poniej.

Tabela 8

Metoda skadowych gwnych

BPP 0,906088 0,193881 0,210087 BZ 0,231644 0,105452 0,941652 BZW 0,894938 -0,128081 0,013673 BNPZ 0,947446 0,151940 0,174731 ZP -0,028337 0,846350 0,118490 ZUP 0,162886 0,727659 -0,141502 ZCM 0,051718 0,727890 0,142561 PPP 0,192596 0,838455 0,165270


21

Tabela 9

Metoda gwnego czynnika

BPP 0,937549 0,182561 -0,150723 BZ 0,364813 0,191573 -0,131111 BZW 0,785418 -0,133661 0,233355 BNPZ 0,971192 0,138627 0,030187 ZP 0,028123 0,783307 0,021218 ZUP 0,127301 0,571153 0,044913 ZCM 0,103189 0,618082 0,023434 PPP 0,227712 0,804953 -0,095227

Tabela 10

Metoda najwikszej wiarygodnoci

BPP 0,952829 0,172299 -0,202474 BZ 0,367004 0,190854 -0,079508 BZW 0,787298 -0,134078 0,253331 BNPZ 0,981287 0,140274 0,064358 ZP 0,021719 0,830838 0,116879 ZUP 0,130949 0,571697 0,005766 ZCM 0,089348 0,616609 -0,033913 PPP 0,234874 0,825477 -0,181597

Tabela 11

Metoda centroidalna

BPP 0,932927 0,186528 0,175063 BZ 0,361677 0,190384 0,147319 BZW 0,785637 -0,131191 -0,167420 BNPZ 0,990931 0,135145 -0,053094 ZP 0,025362 0,811870 -0,079666 ZUP 0,124214 0,573591 -0,115914 ZCM 0,106654 0,616626 0,006779 PPP 0,220190 0,837739 0,134804

Uzyskane wyniki wskazuj, e najefektywniejsz metod redukcji zmien-

nych w analizie czynnikowej jest metoda gwnych skadowych z zastosowan

Anna Czopek

22

rotacj Varimax. Wybr trzech czynnikw w tej metodzie pozwoli na wyjanie-nie 78% cakowitej zmiennoci, co spenia kryterium wystarczajcej proporcji. Metoda ta w najlepszym stopniu przybliya wyniki analizy do tzw. prostej struktury, kada zmienna jest wysoko skorelowana tylko z jednym czynnikiem.

W pozostaych trzech metodach wybr trzeciego czynnika wydaje si zbd-ny. Niewiele on wnosi do wyjanienia cakowitej zmiennoci, ktra siga mimo wszystko znacznie poniej wymaganego poziomu 75%. Wyznaczone czynniki zachowuj stosunkowo niedu cz informacji zawartych w zmiennych pier-wotnych. Co wicej, zmienna BZ nie jest powizana z adnym czynnikiem, nawet dodanie czwartego czynnika nie zmienioby tej sytuacji.

Interpretujc zatem wyniki analizy czynnikowej za pomoc metody ska-dowych gwnych, czynnik pierwszy wykazuje najwysze adunki dla zmien-nych BPP, BZW oraz BNPZ, a wic jest zwizany gwnie z bezrobociem. Czynnik drugi jest najwyej skorelowany ze zmiennymi ZP, ZUP, ZCM oraz PPP, a wic jest zwizany z zatrudnieniem w warunkach zagroenia i poszko-dowaniem w wypadkach przy pracy, oglnie dotyczy cikich warunkw pracy. Czynnik trzeci, najsilniej zwizany ze zmienn BZ, rwnie dotyczy bezrobot-nych, ale konkretnie bezrobotnych zwolnionych. Mona si zatem pokusi o nastpujce nazwy dla opisanych czynnikw: czynnik pierwszy Bezrobocie, czynnik drugi Cikie warunki pracy, czynnik trzeci Zwolnienie. Podsumowanie

Celem artykuu byo porwnanie efektywnoci analizy skadowych gw-nych i analizy czynnikowej. Obie metody su do redukcji zmiennych oraz do wyjaniania istniejcych korelacji midzy zmiennymi za pomoc kilku nieob-serwowalnych i nieskorelowanych skadowych gwnych czy czynnikw. Do bada posuyy dane z Rocznika Statystycznego Pracy 2010. Analizie poddano 311 powiatw Polski ze wzgldu na osiem zmiennych, ktre w konsekwencji w analizie skadowych gwnych oraz analizie czynnikowej zostay zredukowa-ne do trzech skadowych i trzech czynnikw.

Analiza wybranego przykadu wykazaa, i wyniki otrzymane drog analizy czynnikowej wykorzystujcej metod gwnych skadowych atwiej poddaj si interpretacji ni wyniki analizy skadowych gwnych. Wpyw na to ma niewt-pliwie moliwo wykorzystania rotacji. W tym przypadku analiza czynnikowa okazaa si efektywniejsza.


23

Literatura 1. Czy T.: Zastosowanie metody analizy czynnikowej do badania ekonomicznej struk-

tury regionalnej Polski. Wydawnictwo Polskiej Akademii Nauk, Wrocaw 1971. 2. Frtczak E.: Wielowymiarowa analiza statystyczna. Teoria przykady zastosowa

z systemem SAS. Szkoa Gwna Handlowa, Warszawa 2009. 3. Grabiski T.: Metody taksonometrii. Akademia Ekonomiczna, Krakw 1992. 4. Krzyko M.: Wielowymiarowa analiza statystyczna. Wydawnictwo Naukowe UAM,

Pozna 2000. 5. Morrison D.F.: Wielowymiarowa analiza statystyczna. Pastwowe Wydawnictwo

Naukowe, Warszawa 1990. 6. Pluta W.: Wielowymiarowa analiza porwnawcza w modelowaniu ekonometrycznym.

Pastwowe Wydawnictwo Naukowe, Warszawa 1986. 7. Pluta W.: Wielowymiarowa analiza porwnawcza w badaniach ekonomicznych.

Pastwowe Wydawnictwo Ekonomiczne, Warszawa 1977. 8. Stanisz A.: Przystpny kurs statystyki z zastosowaniem Statistica PL na przykadach

z medycyny. T. 3: Analizy wielowymiarowe. StatSoft, Krakw 2007. 9. Walesiak M., Gatnar E.: Statystyczna analiza danych z wykorzystaniem programu R.

Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa 2009.

COMPARATIVE ANALYSIS OF EFFECTIVENESS OF THE METHODS FOR REDUCTION OF VARIABLES PRINCIPAL COMPONENT ANALYSIS AND

FACTOR ANALYSIS

Summary

Principal component analysis and factor analysis are the two most popular met-hods that allow to bring a large number of studied variables to a much smaller number of mutually independent principal components or factors. New variables (principal compo-nents or factors) retain a relatively large part of the information contained in the original variables, while each of them is a carrier of other substantive content. Both of these methods of reduction of the variables are often used, because too many pending attribu-tes increases the range of the difficulty of interpretation.

The main reason of undertaking the project is an attempt to show, that the above-mentioned methods, although they are very similar, cannot be indentified. Despite the fact, that in both cases eigenvalues are calculated, factor loadings, etc., but still there are differences in the way of action, about which it must be remembered. So the usage of these names the variables are unacceptable.

The article consists of three parts. The first and second chapter are devoted, re-spectively, to the analysis of the principal components and factor analysis, where a short characterization of these methods had been made. In the third chapter, on the basis of an empirical example, we compared the effectiveness of the principal components analysis and factor analysis.

Katarzyna Jakowska-Suwalska

WIELOKRYTERIALNY, NIELINIOWY MODEL WIELKOCI ZAMWIENIA MATERIAW DLA KOPALNI WGLA KAMIENNEGO* Wprowadzenie

W teorii sterowania zapasami wystpuje wiele modeli, ktre pozwalaj ustali polityk ustalania zapasw i wyznaczania wielkoci zamwienia. W wikszoci modeli jako kryterium oceny rozwiza uywa si funkcji kosz-tw (zamawiania i utrzymania zapasw) [11; 8].

W pracach [3; 4] przedstawiono wielokryterialne modele, na podstawie kt-rych mona wyznaczy wielkoci: zamwienia, terminu zamwienia, zapasw magazynowych, gdzie jako funkcji skalaryzujcej uyto funkcji kosztw zwizanych z wielko-ci zamwienia, zapasw magazynowych oraz brakiem materiau do produkcji. W kopalniach wgla kamiennego wchodzcych w skad Kompanii Wglowej S.A. wielko zamwienia podlegajcego ustawie o zamwieniach publicznych planuje si okoo roku wczeniej. Jest to zwizane z czasem ustalenia planw zakupw dla wszystkich kopalni oraz z czasem postpowania przetargowego. Zatem wielko zamwienia materiau dla kopalni naley wyznaczy jednora-zowo na podstawie planw finansowych oraz planw wydobycia na nastpny rok. Do rozwizania tego problemu zaproponowano wielokryterialny model wielkoci zamwienia dla materiaw, ktrych zuycie, a wic take zapotrze-bowanie jest zmienn losow o znanym rozkadzie prawdopodobiestwa. * Praca powstaa w ramach realizacji projektu badawczego nr N N524 552038 Wielokryterialne

wspomaganie planowania i kontrolowania potrzeb materiaowych w przedsibiorstwie grni-czym finansowanego przez Ministerstwo Nauki i Szkolnictwa Wyszego.

Wielokryterialny, nieliniowy model wielkoci zamwienia materiaw

25

1. Konstrukcja wielokryterialnego modelu wielkoci zamwienia Niech Xi bdzie zmienn losow o znanej dystrybuancie Fi, oznaczajc

wielko zuycia materiau Mi na ton wydobycia, natomiast zi poszukiwan wielkoci zamwienia materiau Mi na ton wydobycia (i = 1, 2,, s). Zgodnie z teori zapasw naley zamwi tak ilo zi materiau Mi, aby z jak najwik-szym prawdopodobiestwem pokrya ona popyt na ten materia. Wiadomo, e zamroony w magazynie materia zwiksza koszty przedsibiorstwa. Naley wic zamawia tak ilo materiau, aby wielko zakupu bya jak najmniejsza, lecz nie odchylaa si zbytnio od przeszych wielkoci zapotrzebowania na mate-ria, natomiast koszty zakupu wszystkich materiaw nie przekraczay pewnej zadanej kwoty K. Zaoono, e wielko zuycia na materia Mi (i = 1, 2,, s) nie wykazuje trendu ani waha okresowych. Przyjto take, e wszystkie wia-domoci o warunkach panujcych w kopalni, majcych wpyw na wielkoci zuycia materiaw, znajduj si w danych z przeszych okresw.

Za funkcje kryteria przyjto dla kadego materiau Mi: wielko zamwienia zi, wielkoci odchyle wielkoci zamwienia zi od rzeczywistych wielkoci

zuycia materiau xi1, xi2, ,xin w ostatnich n okresach, prawdopodobiestwo braku materiau Mi do wykonania robt.

Model ten mona zapisa w postaci:

==

=

,,...,2,1,,...,2,1

,0

,

min,max,)(

min,

1

ntsi

z

Kzc

zxzF

z

i

s

iii

iit

ii

i

(1)

gdzie: ci cena jednostki materiau Mi, K kwota przeznaczona na zakup materiaw M1, M2,, Ms.

Przyjto oznaczenie: fcelu(z1,z2,, zs) = (F1(z1),F2(z2),, Fs(zs), z1, z2,, zs,, 11 zx t ,, sst zx , t = 1, 2,., n).


26

W celu wyznaczenia rozwiza efektywnych wielokryterialnego problemu naj-czciej wprowadza si skalaryzacj zagadnienia [1; 5; 6; 7]. W przypadku roz-waanego modelu bdzie ona miaa posta:

UuQzzzzzzfus sscelu ),...,:),...,(,(max( 2,12,1 ,

gdzie: u wektor parametrw sterujcych,

RYUs x: funkcja skalaryzujca,

Q zbir ogranicze. Jeli oznaczy si przez ui wag nadan przez decydenta materiaowi Mi

( si ,...,2,1= ) na podstawie wanoci materiau w procesie produkcyjnym, tak aby 0,..., 21 >suuu oraz 1...21 =+++ suuu , to mona przeprowadzi skala-ryzacj za pomoc rednich waonych. Model wtedy przyjmie posta:

.,...,21,0

...,1,2,

)(min

)(max)(

)(min

siz

Kzc

nt

czxu

bzFu

azu

i

s

iii

iit

s

ii

ii

s

ii

i

s

ii

=

=

=

=

=

=

1

1

1

1

Poniewa w grupie kryteriw (c) wystpuj rnice iit zx pomidzy wielko-ciami zamwienia materiau zi a jego zuyciem xit w minionych okresach

nt ...,1,2,= , wic warto przeprowadzi proces postarzania obserwacji poprzez wprowadzenie dla poszczeglnych okresw odpowiednich wag. Mona zasto-sowa jeden z nastpujcych sposobw wyznaczania wag:

)1(

2+

=nn

twt dla t = 1, 2,..., n (wagi liniowe),

)1(

11 tnnt

wtw ++= dla t = 1, 2,..., n przy w0 = 0 (wagi harmoniczne),


27

=

+

= n

t

t

t

tn

a

aw

1

1

)1(

)1( dla t = 1, 2,..., n oraz ]1,0[a (wagi wykadnicze).

Dla grupy kryteriw (c) mona wic wprowadzi skalaryzacj nastpujco:

.iits

iti

n

tzxwu

== 11

Jeli decydent wyznaczy wagi 0,, )()()( cba ustalajce wano po-szczeglnych grup kryteriw (a), (b), (c), mona wprowadzi skalaryzacj w posta-ci:

)zx(wuzu

)z(Fu))z,...,zz(f,u(s

iuu

it

s

1iti

n

1t)c(i

us

1ii)a(

iu

i

s

1ii)b(

s2,1celu

+

=

===

= , (2)

gdzie: i

uz zunitaryzowane wielkoci zamwienia iz , u

itx zunitaryzowane wartoci wielkoci zuycia. Do unitaryzacji zostanie wykorzystana regua [7]:

.),...,21,:min(),...,21,:max(

),...,21,:min(ntynty

ntyyytt

tut ==

== (3)

Wartoci iuz , itux dla si ,...,2,1= wyznaczono ze wzorw:

,,...2,1,),...,2,1:min(),...,2,1:max(

sintxntx

zz

titi

ii

u ===

=

sintxntx

xx

itit

ituit ,...2,1,),...,2,1:min(),...,2,1:max(

===

=

gdzie xit to obserwacje wielkoci zuycia materiau Mi w okresach t = 1, 2,n. Model (1) przyjmie wic posta:


28

=++>=+++>

==

+

=

===

=

1,0,,1...,0,...,

,...,21,0),...,21,:max(

max)(

)(

)()()()()()(

2121

1

11)(

1)(

1)(

cbacba

ss

s

iii

iit

iu

itu

s

iti

n

tci

us

iia

iu

i

s

iib

uuuuuu

Kzc

sizntx

zxwuzu

zFu

(4)

2. Wskaniki oceny rozwiza

W artykule przyjto, e wszystkie informacje o procesie produkcyjnym, warunkach panujcych w kopalni majcych wpyw na zuycie materiaw s zawarte w danych historycznych dotyczcych wielkoci wydobycia oraz wielko-ci zuycia materiaw. Zaoono, e w planowanym okresie warunki te si nie zmieni. Do oceny wielkoci zamwienia zi materiau Mi zaproponowano wskaniki oparte na danych historycznych: wskanik nadmiaru i braku materiau Mi (Wnbi), wskanik sumy nadmiaru i braku materiau Mi (Wsbi).

Zostay one zdefiniowane na podstawie prostych wskanikw zyskw i strat [2] stosowanych na rynkach finansowych:

,i

inbi Lcount

GcountW =

(5)

,

1

1

=

== n

tit

n

tit

sbi

L

GW

(6)

gdzie:

>

=,00

0

iti

itiitiit zxgdy

zxgdyzxG (7)


29

>

=,00

0

iti

itiititi zxgdy

zxgdyzxL (8)

xit obserwacje wielkoci zuycia materiau Mi w okresach t = 1, 2,n, count Gi liczba rnych od zera wartoci Git, count Li liczba rnych od zera wartoci Lit.

Jeli wskanik 1inbW , to oznacza, e przy wielkoci zamwienia zi w minionych okresach czciej wystpowaby nadmiar materiau Mi ni jego brak. Zakadajc niezmienno warunkw, mona wtedy stwierdzi, e w pla-nowanym okresie ta tendencja si utrzyma.

Jeli wskanik 1sbiW , to oznacza, e przy wielkoci zamwienia zi w minionych okresach sumaryczny nadmiar materiau Mi (zapasy) byby wik-szy ni jego sumaryczny brak. Wynika std, e jeli wskanik sbiW ma wysok warto (wiksz ni 1), to przy zamwieniu zi narastayby zapasy materiau Mi.

3. Przykad zastosowania wielokryterialnego modelu dla ustalenia wielkoci zamwie na drewno kopalniane i klej poliuretanowy

Drewno kopalniane jest zuywane w trakcie robt eksploatacyjnych do tworzenia obudw wyrobisk kopalnianych, natomiast klej poliuretanowy do uszczelniania wyrobisk [10]. Na podstawie medianowego testu serii na poziomie istotnoci 0,05 stwierdzono, e nie ma podstaw do odrzucenia hipotezy o braku trendu miesicznych wielkoci zuycia drewna kopalnianego w m3 na ton wy-dobycia oraz kleju poliretanowego w kg na ton wydobycia. Wykazano take, e wielkoci zuycia obu tych materiaw nie wykazuj waha okresowych. Mona wic przyj, e miesiczne zuycie drewna oraz kleju poliuretanowego wyka-zuj stay redni poziom z wahaniami przypadkowymi. W tabelach 1 i 2 podano podstawowe parametry rozkadu zuycia drewna i kleju poliuretanowego wy-znaczone na podstawie miesicznych danych z lat 2008-2010.

Tabela 1

Podstawowe parametry rozkadu miesicznego zuycia drewna

Parametry Zuycie drewna w m3/t 1 2

Warto maksymalna 0,006892 Warto minimalna 0,002427 Warto rednia m 0,003580


30

cd. tabeli 1

1 2 Odchylenie standardowe 0,00086 Wspczynnik zmiennoci 0,238 Mediana 0,003506 Kurtoza 4,796 Skono 1,687

rdo: Opracowanie wasne na postawie danych z kopalni zrzeszonej w Kompanii Wglowej S.A.

Wielkoci zuycia drewna wykazuj siln koncentracj wok redniej oraz

lewostronn asymetri. Na podstawie wielkoci zuycia drewna (w m3/t) w ostat-nich trzech latach stwierdzono (testem Komogorowa-Smirnowa na poziomie istot-noci 0,05), e jest ono zmienn losow o rozkadzie normalnym N(0,00358;0,0086).

Tabela 2

Podstawowe parametry rozkadu miesicznego zuycia kleju poliuretanowego

Parametry Zuycie kleju poliuretanowego w kg/t Warto maksymalna 0,201134 Warto minimalna 0,016772 Warto rednia m 0,122 Odchylenie standardowe 0,045472 Wspczynnik zmiennoci 0,371583 Mediana 0,120728 Kurtoza -0,140458099 Skono -0,368422971

rdo: Jak w tabeli 1.

Wielkoci zuycia kleju poliuretanowego wykazuj sab koncentracj wo-

k redniej oraz prawostronn asymetri. Na podstawie wielkoci zuycia kleju (w kg/t) w ostatnich trzech latach stwierdzono, e wielko zuycia jest zmienn losow o rozkadzie normalnym N(0,122; 0,045472) (badanie wykonano testem Komogorowa-Smirnowa na poziomie istotnoci 0,05). Mona take zauway, e oba materiay wykazuj du zmienno zuycia.

Dodatkowo stwierdzono na poziomie istotnoci 0,05, e nie wystpuje ko-relacja liniowa pomidzy wielkociami zuycia drewna i kleju poliuretanowego.

W tabeli 3 przedstawiono rednie ceny jednostkowe drewna, kleju, plano-wane roczne wydobycie oraz planowan roczn kwot wydatkw na zakup drewna i kleju poliuretanowego.


31

Tabela 3

Ceny jednostkowe drewna, kleju, planowane roczne wydobycie oraz planowana roczna kwota wydatkw na drewno i klej poliuretanowy

Cena za kg kleju c1 13,75 z Cena za m3 drewna c2 296 z Planowane wydobycie W 4 000 000 t Maksymalny koszt zakupu materiaw K 10 970 000,00 z

rdo: Jak w tabeli 1.

W modelu (4) zastosowano liniowe wagi wt (t = 1, 2,,36) i rozwizano

zagadnienie dla rnych wartoci parametrw sterujcych. W tabeli 4 zamieszczono wartoci rozwiza optymalnych zagadnienia nie-

liniowego (4) przy rnych wartociach parametrw sterujcych (wag). Dodat-kowo w tabeli zamieszczono wielkoci wskanikw nadmiaru i braku materiau dla kleju poliuretanowego i drewna kopalnianego.

Tabe

la 4

War

toc

i roz

wi

za

zaga

dnie

nia

(4) d

la rn

ych

war

toc

i par

amet

rw

ster

ujc

ych

Wag

i

kry

teri

w

Wag

i mat

eria

w

z 1

z 2

Wsb

1 W

sb2

F(z 1

) F(

z 1)

Wie

lko

zam

wie

nia

Wie

lko

zam

wie

nia

Kos

zt c

ako

wity

klej

(kg)

drew

no (m

3 ) za

mw

ieni

a a

0

u 1(k

lej)

0,5

0,12

202

0,00

360

1,00

0 1,

250

0,49

7 0,

508

4880

82,6

14

388,

1 10

970

000

c

1

u 2(d

rew

no)

0,5

a

1 u 1

(kle

j) 0,

5 0,

1220

2 0,

0036

0 1,

000

1,25

0 0,

497

0,50

8 48

8082

,6

1438

8,1

10 9

70 0

00

c

0 u 2

(dre

wno

) 0,

5 a

0,

5 u 1

(kle

j) 0,

5 0,

1246

6 0,

0034

7 1,

161

1,00

0 0,

520

0,45

1 49

8634

,6

1389

7,9

10 9

70 0

00

c

0,5

u 2(d

rew

no)

0,5

a

0,5

u 1(k

lej)

0,6

0,12

466

0,00

347

1,16

1 1,

000

0,52

0 0,

451

4986

34,6

13

897,

9 10

970

000

c

0,

5 u 2

(dre

wno

) 0,

4 a

0,

5 u 1

(kle

j) 0,

9 0,

1246

6 0,

0034

7 1,

161

1,00

0 0,

520

0,45

1 49

8633

,6

1389

7,9

10 9

70 0

00

c

0,5

u 2(d

rew

no)

0,1

a

0,5

u 1(k

lej)

0,1

0,12

202

0,00

360

1,00

0 1,

250

0,49

7 0,

508

4880

82,5

14

388,

1 10

970

000

c

0,

5 u 2

(dre

wno

) 0,

9 a

0,

7 u 1

(kle

j) 0,

6 0,

1246

6 0,

0034

7 1,

161

1,00

0 0,

520

0,45

1 49

8634

,6

1389

7,9

10 9

70 0

00

c

0,3

u 2(d

rew

no)

0,4

a

0,5

u 1(k

lej)

0,4

0,12

202

0,00

360

1,00

0 1,

250

0,49

7 0,

508

4880

82,6

14

388,

1 10

970

000

c

0,

5 u 2

(dre

wno

) 0,

6 a

0,

7 u 1

(kle

j) 0,

4 0,

1220

2 0,

0036

0 1,

000

1,25

0 0,

497

0,50

8 48

8082

,5

1438

8,1

10 9

70 0

00

c

0,3

u 2(d

rew

no)

0,6

a

0,7

u 1(k

lej)

0,6

0,12

466

0,00

347

1,16

1 1,

000

0,52

0 0,

451

4986

34,6

13

897,

9 10

970

000

c

0,

3 u 2

(dre

wno

) 0,

4 a

0,

8 u 1

(kle

j) 0,

6 0,

1246

6 0,

0034

7 1,

161

1,00

0 0,

520

0,45

1 49

8634

,1

1389

7,9

10 9

70 0

00

c

0,2

u 2(d

rew

no)

0,4

a

0,2

u 1(k

lej)

0,4

0,12

202

0,00

360

1,00

0 1,

250

0,49

7 0,

508

4880

82,6

14

388,

1 10

970

000

c

0,

8 u 2

(dre

wno

) 0,

6

rdo

: Jak

w ta

beli

1.


32


33

Jak wida, dla rnych parametrw sterujcych otrzymano rozwizania niewiele si od siebie rnice. Jeli przyjmie si zamwienie drewna kopalnia-nego z2 = 0,0036 m3/t, to przy zaoeniu, e warunki w kopalni si nie zmieni, bd si tworzy zapasy drewna (Wsb2 = 1,25). Jeli przyjmie si zamwienie kleju poliuretanowego z1 = 0,12466 kg/t, to przy zaoeniu, e warunki w kopal-ni si nie zmieni, bd si tworzy zapasy kleju (Wsb1 = 1,16). Opierajc si na powyszych rozwaaniach, decydent musi wybra rozwizanie, ktre moe by podstaw ustalania planw asortymentowych w poszczeglnych grupach prze-targowych drewna kopalnianego oraz kleju poliuretanowego. Podsumowanie

Na podstawie analizy przykadu mona stwierdzi, e wielko rocznego zamwienia zaley od wartoci parametrw sterujcych. Std zaproponowana metoda powinna by stosowana w postaci interaktywnej, w ktrej decydent b-dzie okrela wielkoci parametrw sterujcych, porwnujc koszty zamwie oraz wielkoci wskanikw Wsb. Zaproponowany model moe suy jako po-moc przy planowaniu rocznych zamwie na materiay do produkcji. Literatura 1. Ameljaczyk A.: Optymalizacja wielokryterialna w problemach sterowania i zarz-

dzania. Ossolineum, Wrocaw 1984.

2. Domaski Cz. (red): Nieklasyczne metody oceny efektywnoci i ryzyka. PWE, War-szawa 2011.

3. Jakowska-Suwalska K., Wolny M., Sojda A.: Wielokryterialny model sterowania zapasami. ZN Politechniki lskiej, seria Organizacja i Zarzdzanie 2011, 57, s. 169-182.

4. Jakowska-Suwalska K., Wolny M., Sojda A.: Wielokryterialne sterowanie zapasami jako element wspomagania potrzeb materiaowych. Zarzdzanie i Edukacja 2011, 96, s. 271-280.

5. Konarzewska-Gubaa E.: Programowanie przy wielorakoci celw. PWN, Warszawa 1980.

6. Nowak M.: Interaktywne wielokryterialne wspomaganie decyzji w warunkach ryzy-ka. Metody i zastosowania. Akademia Ekonomiczna, Katowice 2008.

7. Kukua K.: Metoda unitaryzacji zerowej. Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa 2000.

8. Krzyaniak S., Cyplik P.: Zapasy i magazynowanie. Biblioteka Logistyka, Pozna 2007.

9. Ogryczak W.: Wielokryterialna optymalizacja liniowa i dyskretna. Wydawnictwa Uniwersytetu Warszawskiego, Warszawa 1997.


34

10. Prusek S., Staga S., Stochel D.: Metody i rodki przeznaczone do uszczelniania i wzmacniania grotworu oraz obudowy wyrobisk. Prace Naukowe Gwnego Insty-tutu Grnictwa nr 863, 2005.

11. Sarjusz-Wolski Z.: Sterowanie zapasami w przedsibiorstwie. PWE, Warszawa 2000.

THE MULTI-CRITERIA, NONLINEAR MODEL OF ORDER SIZE OF MATERIALS FOR HARD-COAL MINE

Summary

In the work there is a multi-criteria model of order size of materials used in produc-

tion presented. It was assumed that the consumption size of each material is a random varia-ble of known probability distribution. In the model with the purchase cost of materials orde-red limited there were three criteria: order size, probability of lack of materials in the production process, deviations of order size from the consumption size in the past periods.

It was shown on an example how to use the model for determining the order sizes for polyurethane adhesive and wood in one of the hard-coal mines.

Anna Janiga-miel

WYZNACZENIE OKRESU RWNOWAGI I STABILIZACJI DUGOOKRESOWEJ Wprowadzenie

W rozwoju kadego zjawiska niezalenie od tego, jak rozwj ten jest uksztatowany przez trend i wahania, mona wyznaczy okres rwnowagi istot-ny dla krtkiego lub dugiego okresu i okres ustabilizowanej zalenoci, rwnie istotny dla krtkiego lub dugiego okresu.

W okresie rwnowagi s zachowane parametry rozkadu charakteryzujce warto oczekiwan, wariancj i asymetri, poniewa w okresie tym ma si do czynienia z niezmienniczoci rozkadu badanych zmiennych. Z kolei okres ustabilizowanej zalenoci dotyczy kolejnych lat, w ktrych nie obserwuje si istotnych zmian w charakterze, sile i kierunku zalenoci. Dugookresowa rw-nowaga dotyczy okresu, w ktrym istniej mechanizmy samoregulujce pozwa-lajce osign stan oczekiwany. Jedna z metod wyznaczania przedmiotowych podokresw opiera si na analizie przyrostw badanych zmiennych.

Zarwno w przypadku gospodarki Polski, jak i gospodarek pastw Unii Eu-ropejskiej zostanie wyznaczony najduszy moliwy okres ustabilizowanego rozwoju, czyli taki, w ktrym gwne wskaniki nie wyka istotnych zmian. Taki okres jest potrzebny w celu dokonania porwnania rozwoju gospodarki w Polsce i w krajach Unii Europejskiej.

Rozwj gospodarczy mona scharakteryzowa w dwojaki sposb. Jednym z nich jest analiza wielowymiarowa wybranego, moliwie najliczniejszego zbio-ru czynnikw. Mog by one stymulantami lub destymulantami rozwoju gospo-darczego. Podstaw drugiego ze sposobw jest zmienna charakteryzujca PKB ujmujca w pewnym sensie w sposb syntetyczny czynniki wykorzystane w pierwszym sposobie. W niniejszym artykule posuono si drug metod wy-korzystujc PKB. Ponadto analizie poddano gospodarki nastpujcych krajw: Polski, Francji, Wielkiej Brytanii, Belgii, Holandii. Analiz wykonano na podstawie danych obejmujcych lata 1949-2006 zaczerpnitych z Rocznikw Statystycznych i sprowadzonych uprzednio do postaci wzajemnie porwnywalnych.

Anna Janiga-miel 36

1. Wyznaczenie macierzy mnonikw dugookresowych Badanie podobiestwa stanu gospodarki w rnych okresach oparto na ma-

cierzy wartoci mnonikw charakteryzujcych wariancje i kowariancje stanw rozwoju gospodarek w poszczeglnych krajach. Liczba obserwacji wyjciowego szeregu powinna obejmowa dugi okres. Wymiar szeregu czasowego odpowia-da liczbie porwnywanych krajw. W dalszej analizie przez m oznaczono ilo badanych krajw Unii Europejskiej z wyczeniem Polski. Macierz danych em-pirycznych szeregu czasowego wielowymiarowego oznaczono przez W. Macierz W jest wielowymiarowym szeregiem czasowym jednostkowego PKB w rozpa-trywanych krajach. Macierz W przedstawiono w tabeli 1.

Tabela 1

Wskaniki poziomu jednostkowego PKB Polski i krajw UE

t Lata Polska Francja Wielka Brytania Holandia Belgia 1 2 3 4 5 6 7

1 1958 0,0048 0,0099 0,0420 0,0056 0,0134 2 1959 0,0049 0,0157 0,0363 0,0033 0,0135 3 1960 0,0049 0,0185 0,0405 0,0041 0,0143 4 1961 0,0050 0,0208 0,0451 0,0048 0,0180 5 1962 0,0054 0,0160 0,0501 0,0082 0,0184 6 1963 0,0054 0,0187 0,0555 0,0085 0,0190 7 1964 0,0054 0,0291 0,0614 0,0082 0,0190 8 1965 0,0055 0,0327 0,0597 0,0115 0,0190 9 1966 0,0055 0,0378 0,0598 0,0122 0,0200 10 1967 0,0053 0,0464 0,0706 0,0178 0,0222 11 1968 0,0053 0,0487 0,0734 0,0213 0,0257 12 1969 0,0054 0,0503 0,0763 0,0236 0,0284 13 1970 0,0056 0,0525 0,0809 0,0255 0,0301 14 1971 0,0063 0,0417 0,0636 0,0206 0,0325 15 1972 0,0098 0,0573 0,0938 0,0220 0,0341 16 1973 0,0100 0,0607 0,1180 0,0234 0,0363 17 1974 0,0102 0,0642 0,1273 0,0248 0,0370 18 1975 0,0103 0,0751 0,1346 0,0261 0,0374 19 1976 0,0106 0,0781 0,1386 0,0324 0,0483 20 1977 0,0106 0,0798 0,1416 0,0365 0,0532 21 1978 0,0109 0,0814 0,1443 0,0406 0,0579 22 1979 0,0111 0,0838 0,1474 0,0461 0,0681 23 1980 0,0107 0,0858 0,1535 0,0505 0,0783 24 1981 0,0107 0,0887 0,1622 0,0555 0,0866 25 1982 0,0094 0,0921 0,1644 0,0566 0,0966 26 1983 0,0135 0,0956 0,1710 0,0625 0,1068 27 1984 0,0137 0,1000 0,1833 0,0682 0,1134

Wyznaczenie okresu rwnowagi i stabilizacji dugookresowej 37

cd. tabeli 1

1 2 3 4 5 6 7 28 1985 0,0140 0,1050 0,1890 0,0732 0,1205 29 1986 0,0139 0,1098 0,1949 0,0787 0,1283 30 1987 0,0143 0,1151 0,2036 0,0842 0,1287 31 1988 0,0222 0,1221 0,2257 0,0877 0,1398 32 1989 0,0198 0,1279 0,2163 0,0915 0,1483 33 1990 0,0182 0,1324 0,2400 0,0933 0,1636 34 1991 0,0189 0,1494 0,2315 0,0975 0,1922 35 1992 0,0186 0,1436 0,2420 0,1149 0,1809 36 1993 0,0189 0,1470 0,2185 0,1052 0,1878 37 1994 0,0369 0,1655 0,2486 0,1049 0,2225 38 1995 0,0380 0,1847 0,2556 0,1217 0,2342 39 1996 0,0391 0,1870 0,2705 0,1181 0,2336 40 1997 0,0403 0,1900 0,2772 0,1369 0,2370 41 1998 0,0421 0,1929 0,2838 0,1286 0,2384 42 1999 0,0430 0,1965 0,2904 0,1296 0,2368 43 2000 0,0529 0,2008 0,2918 0,1478 0,2360 44 2001 0,0683 0,2055 0,3128 0,1504 0,2346 45 2002 0,0690 0,2101 0,2883 0,1734 0,2343 46 2003 0,0809 0,2157 0,2881 0,1691 0,2345 47 2004 0,0974 0,2217 0,3052 0,1757 0,2362 48 2005 0,1090 0,2266 0,3090 0,1983 0,2390 49 2006 0,1303 0,2372 0,3156 0,2060 0,2429

Na podstawie macierzy W wyznaczono macierz teoretyczn przyblionych

wartoci mnonikw dugookresowych [5]. Macierz mnonikw oznaczono przez , przy czym:

WWp

T1= (1)

gdzie p oznacza ilo okresw, jakich dotycz szeregi czasowe. Jest to macierz w postaci:

=

=mm

T

mmS

SSSS

SSSSS

0

000

40

30

20

10

0403020100

O

O

O

(2)

Dodatkowo przez 0 oznaczono wektor:

Anna Janiga-miel 38

=

40

30

20

10

0

SSSS

(3)

Elementami macierzy s iloczyny skalarne w postaci:

=

=p

tjt

Titij wwp

s1

1 (4)

Dla i, j = 0,,m, przy czym 0 oznacza wektor wskanika rozwoju gospodarcze-go w Polsce, a indeksy j = 1,,m dotycz wskanikw rozwoju gospodarczego w rozpatrywanych krajach. Przez B oznaczono podmacierz macierzy W doty-czc krajw innych ni Polska. Przez mm oznaczono macierz powsta z ma-cierzy przez skrelenie pierwszego wiersza i pierwszej kolumny. 2. Wyznaczenie macierzy wag

Poszczeglne wariancje i kowariancje zawarte w macierzy mona od-powiednio zrangowa przez przyporzdkowanie im macierzy wag. Kada z wag bdzie ilustrowaa relacj midzy stanem gospodarki w kraju i oraz stanem go-spodarki w kraju j. Wyznaczon macierz wag oznaczono przez K. Macierze K oraz B maj ten sam wymiar, tzn. maj po p wierszy i m kolumn.

Macierz wag [5] jest zdefiniowana nastpujco:

BBBSK Tmm1

00 )(= (5)

Jest tu rozpatrywany model jednorwnaniowy, wic w powyszej definicji S00 jest macierz jednoelementow okrelon wzorem:

t

N

t

Tt wwp

S 01

0001

=

= (6)

Warto S00 to czynnik stanowicy charakterystyk rozpatrywanego rozwoju gospodarczego w Polsce.

Uwzgldniajc przedstawione oznaczenia, otrzymano macierz struktury zrwnowaonego rozwoju, ktra ma posta:

KBS = (7)


Przedstawiony iloczyn macierzy B oraz K jest rozumiany jako macierz ilo-czynw skalarnych odpowiednich wektorw kolumn. Oznaczajc elementy ma-cierzy B przez [ ]ijw , macierzy K przez [ ]ijk , buduje si macierz S elementw w postaci:

ijijij kws = (8)

Macierze B i K s jednakowych wymiarw i takie same wymiary ma ma-cierz S, ktra jest macierz iloczynw elementw na tych samych pozycjach w macierzach B i K.

Analiza macierzy S pozwala na wykrycie kolejnych podokresw z przedzia-u p okresowego, w ktrym wspczynnik korelacji wywaonych kolumn PKB bdzie najwyszy. Maksymalnej dugoci przedzia wyznaczony w ten sposb bdzie okresem rwnowagi i staej zalenoci dugookresowej w przedziale da-nych historycznych. Przedstawiona wyej macierz S stanowi punkt wyjcia do wyznaczenia dalszych macierzy charakteryzujcych relacj midzy dynamik rozwoju gospodarczego w poszczeglnych pastwach. Macierze te przedstawia-j zasadnicz charakterystyk wielowymiarowego rozwoju i s oznaczone przez E i F. Macierz F dotyczy rozwoju gospodarczego w wybranych krajach, macierz E przedstawia wywaone rnice rozwoju gospodarczego w Polsce i w innych krajach Unii Europejskiej uwzgldnionych cznie. Macierz F jest wyznaczona zgodnie ze wzorem:

SSp

KBKBp

F TT 1)()(1 == (9)

Macierz E wyznaczono wedug wzoru:

TSFE 01

000 = (10)

Macierze E i F s macierzami kwadratowymi o wymiarze mxm, gdzie m to ilo krajw, z ktrymi porwnuje si rozwj gospodarczy w Polsce.

Dla macierzy F, E wyznacza si wartoci wasne. O zrwnowaonym roz-woju zjawiska w porwnywanych zbiorowociach mona mwi wtedy, gdy macierze E i F (zgodnie z [2]) s jednakowe lub nie wykazuj istotnej staty-stycznie rnicy. Ponadto jeli w uporzdkowanych cigach wartoci wasnych stwierdza si rnice i dla kolejnych wartoci wasnych te rnice bd coraz to nisze, to ma si do czynienia ze zjawiskiem, ktre w okrelonych zbiorowo-ciach dy do rwnowagi. Natomiast jeeli przyrosty wzgldne kolejnych war-toci wasnych s coraz to wiksze, oznacza to, e zjawisko w badanych zbioro-wociach nigdy nie osignie wzajemnej rwnowagi. Minimalny okres rwnowagi w zakresie danych historycznych mona wyznaczy jako:

Anna Janiga-miel 40

pt = 4321min (11)

gdzie mnonik jest iloczynem wartoci wasnych i macierzy E. Liczba wartoci wasnych odpowiada liczebnoci grupy krajw, z ktrymi cznie porwnuje si rozwj gospodarczy Polski. 3. Wyznaczenie macierzy struktury zrwnowaonego rozwoju

Zgodnie z rozwaaniami teoretycznymi analiz rozpoczyna si od wyzna-czenia macierzy mnonikw dugookresowych :

Tabela 2

Macierz mnonikw dugookresowych

Polska Francja Wielka Brytania Holandia Belgia

Polska 0,00146 0,00435 0,00632 0,00328 0,00482 Francja 0,00435 0,01613 0,02443 0,01153 0,01807 Wielka Brytania 0,00632 0,02443 0,03752 0,01727 0,02725 Holandia 0,00328 0,01153 0,01727 0,00844 0,01302 Belgia 0,00482 0,01807 0,02725 0,01302 0,02068

Na podstawie analizy otrzymanych mnonikw mona stwierdzi, e w Polsce

sonno do dugookresowej rwnowagi bya najnisza, natomiast w krajach Unii Europejskiej znaczco wysza.

W tabelach 3 i 4 przestawiono charakterystyk podania poszczeglnych gospodarek do stanu rwnowagi. Wida, e w okresie ostatnich pitnastu lat wskaniki te s odpowiednio nisze dla wybranych krajw Unii Europejskiej z wyjtkiem Holandii, co oznacza, e dla tych krajw istotne znaczenie ma rw-nowaga rozwoju gospodarczego w okresie caego rozpatrywanego pidziesi-ciolecia. Wskanik dla Polski dla okresu pidziesiciu lat wynosi 7,22%, a dla ostatnich pitnastu lat wzrasta do 13,43%, co oznacza istotno rwnowagi w okre-sie pitnastu ostatnich lat.

Tabela 3 Udzia mnonika dla rozpatrywanego okresu

Kraje Udzia mnonika Polska 7,22% Francja 21,48% Wielka Brytania 31,24% Holandia 16,21% Belgia 23,85%


Spord badanych krajw najwysz skonno do dugookresowej rwno-wagi wykazuje Wielka Brytania w skali 31,24% cakowitej zmiennoci w roz-woju gospodarki. Belgia i Francja charakteryzoway si podobnym poziomem, ponad 20%, Holandia 16%, Polska 7%. Wynik ten otrzymano z uwzgldnieniem czterdziestu dziewiciu lat rozwoju gospodarczego tych krajw. Powtarzajc t sam analiz dla ostatnich pitnastu lat rozpatrywanego okresu, mona stwier-dzi istotne zmiany w deniu do rwnowagi:

Tabela 4

Udzia mnonika dla ostatnich pitnastu lat

Kraje Udzia mnonika Polska 13,43% Francja 25,44% Wielka Brytania 35,33% Holandia 20,12% Belgia 25,67%

Wida, e dno do rwnowagi rozwoju gospodarczego w krtszym

okresie jest wysza, a spord badanych krajw najwyszy wzrost notuje Polska. W celu dalszego i pogbionego porwnania rozwoju gospodarczego Polski i pastw Unii Europejskiej wyznaczono macierz F zgodnie ze wzorem:

SSp

KWKWp

F TT 1)()(1 == (12)

Jest to macierz w postaci:

Tabela 5

Mnoniki zrwnowaonego rozwoju w UE

Francja Wielka Brytania Holandia Belgia Francja 2,9 -1,9 -0,7 -0,2 Wielka Brytania -1,9 1,3 0,5 0,1 Holandia -0,7 0,5 0,2 0,1 Belgia -0,2 0,1 0,1 0

Macierz ta ilustruje mnoniki zrwnowaonego rozwoju gospodarki w pastwach

Unii Europejskiej. W dalszej kolejnoci wyznaczono macierz E zgodnie ze wzorem:

TSFE 01

000 = (13)

Anna Janiga-miel 42

Macierz E przedstawia mnoniki zrwnowaonego rozwoju gospodarki z wy-czeniem wpywu Polski na rozwj gospodarki w tych krajach i odwrotnie, otrzymujc tym samym macierz w postaci:

Tabela 6

Mnoniki zrwnowaonego rozwoju gospodarczego krajw UE z wyczeniem Polski

Francja Wielka Brytania Holandia Belgia Francja 2,92 -1,93 -0,739 -0,239 Wielka Brytania -1,93 1,291 0,443 0,125 Holandia -0,739 0,443 0,2 0,045 Belgia -0,239 0,125 0,045 0,005

Jednak dla nas interesujcy jest iloczyn wartoci wasnych jednej macierzy

i drugiej; iloczyn wartoci wasnych jest rwny wartoci wyznacznika odpo-wiedniej macierzy:

== Fdet...... 41 0,00001708 (14)

Natomiast dla macierzy E otrzymano:

== Edet...... 41 0,00010795 (15)

Przedstawione iloczyny wartoci wasnych nie maj zasadniczo interpretacji ekonomicznej. Interpretacji podlega jedynie ich zmiana. Przedstawione wartoci wyznacznikw speniaj nastpujcy zwizek:

FE det3205,6det = (16)

Oznacza to, e wyznacznik macierzy, w ktrej pominito powizania roz-woju gospodarek Unii Europejskiej z rozwojem gospodarki w Polsce, zwikszy si 6,3205 razy, co oznacza brak jakiejkolwiek wspzalenoci midzy rozwo-jem gospodarki w Polsce w okresie rozpatrywanych czterdziestu dziewiciu lat. Wspzaleno rozwoju wystepowaaby w przypadku, gdyby wartoci detE i detF istotnie si nie rniy.

W dalszym toku analizy z okresu czterdziestu dziewiciu rozpatrywanych lat wyodrbniono krtszy podokres obejmujcy pitnacie lat, tzn. lata dzie-widziesite i po 2000 roku. Dla rozpatrywanych pitnastu lat powtrzono ana-liz rwnowagi rozwoju gospodarki Polski i wybranych krajw Unii Europej-skiej. Macierz F przyja posta:


Tabela 7

Mnoniki zrwnowaonego rozwoju w UE dla pitnastu lat

Francja Wielka Brytania Holandia Belgia Francja -1936,67 -983,996 1154,162 1738,798 Wielka Brytania -304,538 -92,003 167,692 233,593 Holandia 992,001 419,411 -569,027 -829,409 Belgia 1236,342 658,355 -744,711 -1136,102

Analogiczna macierz E przyja nastpujc posta:

Tabela 8

Mnoniki zrwnowaonego rozwoju gospodarek krajw UE z wyczeniem Polski dla pitnastu lat

Francja Wielka Brytania Holandia Belgia Francja -1936,704 -984,043 1154,136 1738,761 Wielka Brytania -304,585 -92,069 167,655 233,54 Holandia 991,975 419,374 -569,048 -829,438 Belgia 1236,305 658,302 -744,74 -1136,145

Okazuje si, e w rozpatrywanym przypadku iloczyny wartoci wasnych

rwnie si zmieniy, przyjmujc warto dla macierzy F odpowiednio:

== Fdet...... 41 1817338,421 (17)

Natomiast dla macierzy E otrzymano:

== Edet...... 41 1712559,000 (18)

Relacja midzy wyznaczonymi wartociami wyznacznikw jest nastpujca:

9424,0detdet

=FE

(19)

Powysza zaleno oznacza, e pomidzy wartociami wyznacznikw macie-rzy E oraz F nie wystpuj istotne statystycznie rnice. Z ekonomicznego punktu widzenia naley zaznaczy, e rozwj gospodarki polskiej i rozwj go-spodarek pastw Unii Europejskiej wraz z upywem czasu staje si coraz bar-dziej do siebie zbliony. Nie mona jeszcze mwi o penej rwnowadze rozwo-ju gospodarek w Polsce i w pastwach Unii Europejskiej.

Anna Janiga-miel 44

Podsumowanie Przedstawiona w artykule metoda Johansena wyznaczania okresu rwno-

wagi i stabilizacji dugookresowej pozwala na ocen porwnawcz dynamiki szeregw czasowych. Mona j rozpatrywa w caym okresie danych historycz-nych lub poszczeglnych podokresach. Zastosowana metoda pozwala wyzna-czy minimalny okres rwnowagi lub odpowiedzie na pytanie, w jakim okresie procentowym rozwj gospodarczy w rozpatrywanym czasie mona uzna za ustabilizowany. Dla caego pidziesiciolecia otrzymano niskie wartoci wa-sne, a dla ostatnich pitnastu lat istotnie wysze. Oznacza to, e w ostatnim pit-nastoleciu wystpuje znaczca kointegracja rozpatrywanych gospodarek. Literatura 1. Grabowski W., Welfe A.: Ekonometria. Zbir zada. PWE, Warszawa 2010.

2. Johansen S.: Likelihood Based Inference in Cointegrated Vector Autoregressive Models. Oxford University Press, Oxford 1996.

3. Rocznik Statystyczny GUS. Warszawa 1958-2006.

4. Welfe A., Karp P., Kbowski P.: Mechanizmy makroekonomiczne w gospodarce polskiej. Analiza ekonometryczna. WU, d 2006.

5. Welfe A.: Gospodarka Polski w okresie transformacji. Zasady modelowania ekono-metrycznego. PWE, Warszawa 2000.

DETERMINATION OF THE PERIOD OF LONG-TERM EQUILIBRIUM AND STABILITY

Summary

The study examines the development of the Polish economy as well as the econo-

mies of selected European Union countries in the period from 1949 to 2006. Much space is devoted to a comparative analysis of the development economies in the countries concerned. Based on statistical data appropriate synthetic variables were set. Much space is devoted to the theory of the Johansens method, to present the dependencies occurring in the dynamics of economic development in subsequent subperiods. The method allows for a comparative assessment of the dynamics of time series. The methods are adopted to examine the level of economic development, to determine the period of long-term equ-ilibrium and stability.

Adrianna Mastalerz-Kodzis

TEORIA FAL ELLIOTTA A TEORIA FRAKTALI PODOBIESTWA I RNICE W PODEJCIU DO MODELOWANIA SZEREGW ORAZ OPISU ZACHOWA INWESTORA Wprowadzenie

Opisem zachowania inwestora w procesie podejmowania decyzji zajmuje si wiele teorii ekonomicznych oraz psychologicznych. Niniejszy artyku wska-zuje na dwie z nich: teori fal Elliotta oraz teori bazujc na geometrii fraktal-nej. Obydwie teorie s interesujce z matematycznego, a w szczeglnoci geo-metrycznego punktu widzenia, i uwzgldniaj w procesie podejmowania decyzji inwestycyjnych wpyw danych historycznych na zachowania inwestora, jednak-e opieraj si na rnych przesankach, wykorzystuj inne narzdzia matema-tyczno-ekonometryczne. Zaskakujce s jednak pewne podobiestwa w mode-lowaniu np. szeregw czasowych za pomoc tych dwch podej. Niniejszy artyku jest zatem polemik na temat moliwoci konstrukcji modelu zachowa-nia inwestora z zastosowaniem wybranych metod.

Artyku skada si z trzech czci. W pierwszej krtko podano opis teorii fal, w drugiej skupiono si na wybranych elementach teorii fraktali, za cze trzecia ma charakter empiryczny.

1. Elementy teorii fal

Teoria fal zostaa stworzona w latach 30. XX wieku przez Ralpha Nelsona Elliotta, ktry prbowa uwzgldni aspekt psychologiczny w zachowaniu uczestnikw rynku [4]. Teoria fal Elliotta jest analiz zmian na rynku akcji w kontekcie psychologii tumu. Midzy innymi na bazie teorii Elliotta rozwina si analiza techniczna rynkw finansowych. Poczenie metod analizy technicz-nej, fundamentalnej oraz teorii fraktali zdaje si by ciekawym uzupenieniem dotychczas stosowanych metod w teorii inwestowania na giedzie.


46

1.1. Cykle, cigi liczb Fibonacciego

Istnieje teoria goszca, e wszystkie zjawiska na wiecie maj charakter cykliczny [6]. Niektre cykle trwaj lata, inne miesice, tygodnie, dni czy minu-ty. Rynki finansowe take zachowuj si cyklicznie.

Zgodnie z teori Elliotta istnieje dziewi stopni trendu ze wzgldu na du-go cyklu: wielki supercykl od kilku dziesicioleci do kilku wiekw, supercykl od kilku lat do kilku dziesicioleci, cykl od roku do kilku lat, fale pierwotne od kilku miesicy do kilku lat, fala porednie od kilku tygodni do kilku miesicy, fale mniejsze, fale minutowe, fale minutkowe, fale subminutkowe.

Ze wzgldu na brak danych trudno jest rozwaa wielki supercykl. Jednak efekty supercykli a do fal minutowych mona obserwowa biorc pod uwag dane makroekonomiczne oraz giedowe (przykady w rozdziale 3 niniejszego artykuu).

Teoria Elliotta opiera si na analizie trzech elementw rynku: ksztatu fali, proporcji i czasu. Uwzgldnia si w niej aspekty psychologiczne, ktre oddziau-j na rynki finansowe. Podstawowe zaoenia tej teorii to: rynek podlega cyklicznemu zachowaniu piciofalowego ruchu w gr oraz

trjfalowego spadku w d, kadej akcji odpowiada reakcja.

Wedug teorii Elliotta ceny zmieniaj si zgodnie z cyklami opartymi na cigu liczb Fibonacciego. Moe on by zdefiniowany rekurencyjnie w nastpu-jcy sposb:

F0 = 0, F1 = 1,

Fn = Fn-1 + Fn-2, dla n 2 (1)

Cig ten posiada wiele interesujcych wasnoci. Granica ilorazu stosunku wyrazu cigu do wyrazu go poprzedzajcego wynosi 1,618. Liczba ta nazywana zotym podziaem jest jednym z rozwiza rwnania:

012 = (2)

czyli:

Teoria fal Elliotta a teoria fraktali podobiestwa i rnice 47

251+

= (3)

Klasyczny wzrost skada si z piciu fal, z ktrych trzy stanowi fale wzro-stu (1,3,5), za dwie kolejne fale korygujce (2,4). Podczas spadku powstaj trzy fale: dwie s znikowe (A, C) i jedna wzrostowa (B).

Rys. 1. Pojedynczy cykl

rdo: Opracowanie na podstawie [4].

1.2. Charakterystyka fal cyklu

Fale cyklu posiadaj nastpujce cechy. Fala numer: 1. Jest pocztkiem nowego trendu, moe zaj poow dugoci trendu wzrosto-

wego. Jest najczciej najkrtsz z piciu fal. W tym czasie rynek wykazuje si du dynamik.

2. Zabiera cze fali 1, nie moe zej poniej poziomu pocztku fali 1. 3. Jest zazwyczaj najdusza, najszybciej zmieniaj si ceny podczas jej trwania,

wystpuje najwyszy wolumen obrotw, nigdy nie jest najkrtsz z fal. Co-raz wiksz rol odgrywaj elementy fundamentalne rynku.

4. Koryguje wzrosty z fali 3. Nie powinna zachodzi na fal 1. Rni si nachy-leniem od fali 2.

5. Wykazuje mniejsz dynamik ni fala 3, w trakcie jej trwania dochodzi do spadkw obrotw, osabienia siy rynku i zmiany trendu. A. Jest pocztkiem trendu spadkowego. Czsto wraz ze spadkami cen docho-

dzi do wzrostu wolumenu, nastpuje korekta rynku.


48

B. Nastpuje odbicie do gry przy niskim wolumenie obrotw. Zwyka mo-e sign szczytu fali 5, jest widoczny podwjny szczyt, stanowi on sy-gna zmiany trendu.

C. Kolejne zniki. Ceny mog spa nawet poniej doka fali A.

W praktyce fale mog przybiera rne zmodyfikowane formy. Na przy-kad fale impulsu w trendzie wzrostowym mog si wydua. Taka sytuacja zazwyczaj dotyczy jednej z fal impulsu, przy czym pozostae dwie fale s do siebie podobne. Na przykad jeeli wyduaniu ulega fala 3, to wwczas fala 1 i 2 maj podobn dugo, budow i czas trwania. Zmianie mog podlega take fale korygujce.

Kada fala dzieli si na fale niszego stopnia, ktre dziel si na fale jesz-cze niszego stopnia. Na rysunku 2 przedstawiono dwie due fale wzrostow i korekcyjn, skadajce si na jeden peny cykl. Dziel si one na osiem mniej-szych fal skadajcych si z 34 fal jeszcze niszego stopnia. Przy kolejnym po-dziale uzyskano 144 fale jeszcze niszego stopnia.

Peny cykl dzieli si na cykl hossy, w ktrym wystpuj odpowiednio na-stpujce iloci fal: 1, 5, 21, 89. W nastpujcym po nim cyklu bessy mona wyrni 1, 3, 13, 55 fal rnych stopni. Wszystkie wymienione powyej liczby nale do cigu Fibonacciego. Analizujc fale korekty A, B, C, mona dostrzec, e fale spadkowe A i C dziel si na pi fal. Wynika to z faktu, e zmierzaj one w kierunku zgodnym z fal wyszego stopnia. Fala B skada si w tym przypadku z trzech fal, poniewa jej kierunek jest przeciwny do fali wyszego stopnia.

a)


b)

Rys. 2. a) Rne poziomy fal Elliotta, b) Peny cykl rynkowy (144 fale)

rdo: [4].

1.3. Proporcje fal

Przy badaniu proporcji fal maj zastosowanie liczby z cigu Fibonacciego. Gwne zalenoci mona zapisa w nastpujcych punktach: 1. Jeeli fala 3 si wydua, to minimalny jej zasig stanowi sum wartoci po-

ziomu doka fali 2 oraz iloczynu dugoci fali 1 i liczby 1,618. 2. Zasig fali 5 stanowi sum wartoci szczytu lub dna fali 1 oraz podwjnego

iloczynu dugoci fali 1 i liczby 1,618. 3. Jeeli fale 1 i 3 s jednakowej dugoci, wwczas najprawdopodobniej fala 5

bdzie wyduona. Jej zasig oblicza si poprzez dodanie do poziomu dna fa-li 4 iloczynu liczby 1,618 oraz rnicy odlegoci szczytu fali 3 i poziomu dna fali 1.

4. W przypadku zygzaka (5-3-5) dugo fali C oblicza si mnoc liczb 0,618 i dugo fali A. Otrzymany wynik jest odejmowany od poziomu dna fali A.

5. Jeeli ma miejsce paska korekta (3-3-5), dugo fali C stanowi 1,618 fali A. Obliczone wspczynniki procentowe Fibonacciego pozwalaj okreli

wielko przyszej korekty cen. Wykorzystuje si zaokrglone wspczynniki 38%, 50%, 62%. Podczas silnego trendu korekta moe wynie 38%, natomiast w sabym trendzie 62%.


50

Problem analizy czasu w teorii Elliotta jest uwaany za najmniej istotny. W tym przypadku analitycy doszukuj si rwnie na osi czasu sekwencji liczb cigu Fibonacciego.

Teoria Elliotta wyglda efektownie, budzi due zainteresowanie wrd ma-tematykw, a take inwestorw. Stosowanie analizy rynku z wykorzystaniem teorii fal wymaga duego dowiadczenia. Dlatego te rwnolegle do analizy z wykorzystaniem teorii Elliotta powinny by stosowane inne narzdzia i meto-dy analityczne. Dopiero znalezienie w nich potwierdzenia przypuszcze wysu-nitych na podstawie teorii fal moe prowadzi do waciwych wnioskw.

Teoria fal Elliotta opiera si na reguach czysto matematycznych, graficznie fale w prostoktnym ukadzie wsprzdnych s sum odcinkw (czasem o nie-skoczenie maej dugoci). Cykle dugoletnie skadaj si z cykli krtszych, na ktre jeszcze skadaj si fale minutowe, minutkowe. Mona zatem szuka analogii pomidzy podziaem fal a elementami geometrii fraktalnej czy te multifraktalnej.

2. Wybrane elementy geometrii fraktalnej

Ceny akcji oraz indeksw giedowych w wyniku gry rynkowej zmieniaj si w czasie. Zmiany te s odnotowywane w dyskretnych momentach czasu (kadego dnia) bd co minut (notowania cige). Wykresy obrazujce zacho-dzce zmiany w czasie cen instrumentw giedowych s amanymi o wymiarze topologicznym rwnym jeden.

Fraktalem nazywa si zbir ( )1nA n , ktry: ma wymiar Hausdorffa wikszy ni wymiar topologiczny*, posiada pewn form samopodobiestwa (samoafinicznoci), moe to by

samopodobiestwo przyblione lub statystyczne, w miar powikszania fragmentw zbioru A wicej jego detali staje si wi-

docznych, jest zdefiniowany w prosty, czsto rekurencyjny sposb.

W modelach matematycznych stosowanych w finansach, modelach z cza-sem cigym stosuje si analiz stochastyczn. Wychodzi si z zaoenia, e dynamika procesu zmian cen instrumentw finansowych (akcji, indeksw gie-dowych, kursw walutowych) jest opisana za pomoc stochastycznych rwna rniczkowych It. Rozwizaniami tych rwna s procesy stochastyczne, kt-rych trajektorie aproksymuj realne, quasi-fraktalne szeregi czasowe, tj. wykresy zmian cen instrumentw finansowych w czasie. Fraktalami losowymi s wykre-sy trajektorii procesw stochastycznych z czasem cigym, takie jak proces ru-

* Wymiar Hausdorffa mona zastpi wymiarem pojemnociowym, samopodobiestwa bd te

korelacyjnym. Zob. [7; 3].


chu Browna (standardowy, arytmetyczny, geometryczny), uamkowy i multiu-amkowy proces ruchu Browna [8; 10; 1].

Obiekty fraktalne posiadaj wasno samopodobiestwa. Mona je podzie-li na czci o takiej wasnoci, e kada z nich stanowi pomniejszon kopi caoci. Wykres waha cen papierw wartociowych wyglda podobnie nieza-lenie od tego, czy si go pomniejszy, czy te powikszy, by dopasowa go do okrelonej skali czasu lub cen. O samopodobiestwie mwi si wtedy, gdy ka-dy element obrazu zostaje pomniejszony lub powikszony w takim samym sto-sunku. Jednake wykresy notowa na rynkach finansowych zachowuj si nie cakiem podobnie, biorc pod uwag wykres roczny, miesiczny bd dzienny. Czasami o czasu jest bardziej cinita od osi cen, czasami na odwrt. Opi-sem tego typu zachowa rynku s multifraktale.

Procesy multifraktalne s zalene od funkcji Hldera ( ) ( )( )1,0tH , a uamkowy ruch Browna zaley od wykadnika Hursta ( )( )1,0H .

Niech ( )xd,X i ( )Yd,Y bd przestrzeniami metrycznymi. Funkcj YX:f nazywamy funkcj Hldera o wykadniku ( )0> , jeli dla kadych

Xy,x takich, e ( ) 1y,xd X < funkcja spenia nierwno z dodatni sta c:

( ) ( )( ) yf,xfdY ( ) y,xdc X (4)

Niech bdzie dana funkcja D:f ( )D oraz parametr ( )1,0 . Funkcja Df : jest funkcj klasy C Hldera ( )Cf , jeeli istniej stae 0c > oraz 0h 0 > takie, e dla kadego x oraz wszystkich h takich, e

0hh0 < jest speniona nierwno:

( ) ( ) + hcxfhxf (5)

Niech Dx0 . Funkcja Df : jest w punkcie 0x funkcj klasy 0xC Hldera, jeeli istniej stae 0c, > takie, e dla kadego

( )+ 00 x,xx jest speniona nierwno:

( ) ( ) 00 xxcxfxf (6)

Punktowym wykadnikiem Hldera funkcji f w punkcie 0x nazywa si liczb ( )0f x dan wzorem:

( ) { }=0x0f Cf:supx (7)


52

Funkcj Hldera dla funkcji f nazywa si funkcj, ktra kademu punktowi Dx przyporzdkowuje liczb ( )xf . Niech )[ ( )1,0,0:H t bdzie funkcj Hldera o wykadniku 0> .

Multiuamkowym procesem ruchu Browna z parametrem funkcyjnym Ht jest nazywany proces stochastyczny ( )tB

tH zdefiniowany dla 0t wzorem:

( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( ) )8(1 0

021

21

21

21

++

=

t

HHH

ttH sdBstsdBsstH

tB ttt

gdzie B jest standardowym procesem ruchu Browna.

-2,5

-2

-1,5

-1

-0,5

0

0,5

1

1 101 201 301 401 501

Rys. 3. Multiuamkowy proces ruchu Browna dla funkcji Hldera w postaci H(t) = (sin 2(6t) + 0,1) / 1,3

3. Podejmowanie decyzji z uwzgldnieniem powyszych teorii

Do analizy empirycznej posu dane indeksu GPW w Warszawie WIG20 za okres 16.04.1994-21.11.2011. Wida podobiestwa rysunkw teoretycznych 1 i 2 oraz rysunku empirycznego 4. Wyranie w badanym okresie s zaznaczone fale wzrostowe 1, 3 oraz 5, a take fale znikowe A oraz C. Mona take wyod-rbni fale korygujce: 2, 4 oraz B.


0

500

1000

1500

2000

2500

3000

3500

4000

4500

1994

-04-

18

1995

-04-

18

1996

-04-

18

1997

-04-

18

1998

-04-

18

1999

-04-

18

2000

-04-

18

2001

-04-

18

2002

-04-

18

2003

-04-

18

2004

-04-

18

2005

-04-

18

2006

-04-

18

2007

-04-

18

2008

-04-

18

2009

-04-

18

2010

-04-

18

2011

-04-

18

Rys. 4. Wartoci kursu zamknicia indeksu WIG20 w okresie 16.04.1994-21.11.2011

rdo: Opracowanie wasne na podstawie danych GPW w Warszawie.

Analizujc dugo fali A oraz korzystajc z wasnoci mwicej, e du-

go fali C oblicza si mnoc liczb 0,618 i dugo fali A, otrzymuje si in-formacj, e fala znikowa C zakoczy si okoo 4474 notowania (okoo lutego 2012 roku) na poziomie okoo 1372. Jeeli natomiast ma miejsce paska korekta, wwczas dugo fali C stanowi 1,618 fali A, czyli fala C zakoczy si okoo 4818 notowania (okoo lipca 1013 roku), miaaby ona jednak poziom ujemny! Podobnie mona analizowa fale krtsze oraz liczby z cigu Fibonacciego.

Dla danych indeksu WIG20 obliczono metod przeskalowanego zakresu wykadnik Hursta. Jego warto dla caego szeregu to 0,594657, a zatem szereg jest persystentny, wystpuje w nim pami, jednake nie jest on stacjonarny, co mona zbada za pomoc testu. wiadczy to take o braku stacjonarnoci, np. nieregularny ksztat wyestymowanej funkcji Hldera. Punktowe wykadniki Hldera przedstawia rysunek 5. Wykadniki zawieraj si w przedziale (0,56;0,61). wiadczy to o pamici w szeregu, czyli na obserwacje przysze maj wspyw obserwacje historyczne. Z prawdopodobiestwem bliskim 0,6 po wzro-cie wartoci indeksu nastpi kolejny wzrost (po spadku kolejny spadek), z prawdopodobiestwem 1-0,6 trend si odwrci.


54

0,5

0,55

0,6

0,65

0,7

1994

-04-

18

1995

-04-

18

1996

-04-

18

1997

-04-

18

1998

-04-

18

1999

-04-

18

2000

-04-

18

2001

-04-

18

2002

-04-

18

2003

-04-

18

2004

-04-

18

2005

-04-

18

2006

-04-

18

2007

-04-

18

2008

-04-

18

2009

-04-

18

2010

-04-

18

2011

-04-

18

Rys. 5. Punktowe wykadniki Hldera dla danych WIG20 w okresie 16.04.1994-21.11.2011

Biorc pod uwag wielkoci wyznaczone za pomoc fal Elliotta, jeszcze przez kilka miesicy bdzie wystepowa trend spadkowy, patrzc za na wartoci funkcji Hldera mona doda, e z niewielkimi wahaniami wartoci indeksowych. Podsumowanie

Decydent podejmujcy dziaalno inwestycyjn kieruje si chci osi-gnicia maksymalnego zysku przy minimalnym ryzyku. Racjonalny inwestor moe w tym dziaaniu posikowa si rnymi metodami (w tym ilociowymi) umoliwiajcymi analizy i wspomagajcymi proces podejmowania decyzji.

Poczenie wybranych metod ilociowych jest uzasadnione, jednake czas pokae, na ile uwzgldnienie powyszych metod bdzie przydatne w trakcie podejmowania decyzji oraz zarzdzania ryzykiem inwestycyjnym. Z pewnoci jednak opisane powyej metody, biorc pod uwag ich wasnoci geometryczne, s interesujce dla matematyka i przydatne dla inwestora.

Literatura 1. Benassi A., Jaffard S., Roux D.: Gaussian Processes and Pseudodifferential Elliptic

Operators. Rev. Mat. Iberoamericana 1997, 13 (1), s. 19-89.

2. Daoudi K., Lvy Vhel J., Meyer Y.: Construction of Continuous Functions with Prescribed Local Regularity. Journal of Constructive Approximations 1998, 014(03), s. 349-385.


3. Falconer K.J.: Fractal Geometry, Mathematical Foundations and Applications. John Wiley & Sons, New York 1990.

4. Frost A.J., Prechter R.R: Teoria fal Elliotta. Wydawnictwo WIG-PRESS, Warszawa 1995.

5. Jaworski J.: Teoria i praktyka zarzdzania finansami przedsibiorstw. CeDeWu, Warszawa 2010.

6. Lewandowski A., Michalski T.: Analiza techniczna rynku kapitaowego. Szkoa Gwna Handlowa, Warszawa 2001.

7. Mandelbrot B.B.: Fractals and Scaling in Finance. Discontinuity, Concentration, Risk. Springer-Verlag, New York 1997.

8. Mandelbrot B.B., Van Ness J.W.: Fractional Brownian Motion, Fractional Noises and Applications. SIAM Review 1968, Vol. 10, No. 4, s. 422-437.

9. Nowakowski J., Borowski K.: Zastosowanie teorii Carolana i Fischera na rynku kapitaowym. DIFIN, Warszawa 2005.

10. Peltier R.F., Lvy Vhel J.: Multifractional Brownian Motion: Definition and Preli-minary Results. INRIA Recquencourt, Rapport de recherche No. 2645, 1995.

11. Surdel P.: Forex analiza techniczna. Zote Myli, Warszawa 2004.

ELLIOTT THEORY AND FRACTALS SIMILARITIES AND DIFFERENCES BETWEEN MODELLING FINANCIAL TIME SERIES

AND DESCRIPTIONS OF INVESTORS DECISION MAKING

Summary

The article presents theoretical basis and practical applications of selected quantity methods that can be used in modeling financial time series, where elements of Elliott theory and fractal geometry are included. The aim of this work is to present models to support the investor in decision making, which includes new market tendencies. The process of investing into financial markets is a dynamic process depending on frequent changes, that direction and impact is difficult to predict in the long periods of time. This work shows theoretical basis of used methods and results of carried out empirical analyses.

Monika Mikiewicz-Nawrocka

MODELE EKONOMICZNE Z DYNAMIK CHAOTYCZN Wprowadzenie

Od czasu pojawienia si w literaturze pojcia deterministycznego chaosu mona znale wiele przykadw ukadw dynamicznych (zarwno z czasem cigym, jak i z czasem dyskretnym) o chaotycznej dynamice. S wrd nich ukady z r

ZASTOSOWANIA METOD MATEMATYCZNYCH W EKONOMII I … · Analiza porównawcza efektywności metod redukcji zmiennych… 9 3. Punkty odstające – punkty odstające niestety często

Text of ZASTOSOWANIA METOD MATEMATYCZNYCH W EKONOMII I … · Analiza porównawcza efektywności metod...

Naucni metod

Geometria wykreślna 6. Punkty przebicia, przenikanie ... · PDF file1 Geometria wykreślna 6. Punkty przebicia, przenikanie wielościanów. dr inż. arch. Anna Wancław Politechnika

OECD EPR Polska 2015 Najwazniejske Punkty

łokieć tenisisty - przegląd wybranych metod fizykalnych, metod

metod kraftangan

PUNKTY PARTNERSKIE RACING - MOZN

Mięśniowo-powięziowe punkty spustowe - Edra Urban & Partner · punkty spustowe Diagnostyka –˜Terapia –˜Działanie Wydanie pierwsze Słowo wstępne Dr phil. Dr med. Beat Dejung,

MATERYAL METOD

Metod vesov

Napowietrzne Punkty Rozłącznikowe Katalog

Metod Statement

Metod uzorka i karakteristike nekih planova · Metod uzorka i karakteristike nekih planova Metod uzorka nalazi primenu u mnogim oblastima ljudske aktivnosti. Metod uzorka se sastoji

Matchday United - Po kolejne trzy punkty!

Wykorzystanie nowoczesnych metod fizjoterapeutycznych w ... · Punkty spustowe to silnie podrażniona okolica w obrębie hipertonicznego pasma mięśnia szkieletowego lub powięzi

V6000 MULTI - ivolta.pl filei dostępnych połączeń. Punkty przegubowe (zamki), oraz punkty tarcia (prowadnice) należy utrzymywać nasmarowane i czyste • Co sześć miesięcy

[57] Istotne punkty tworzenia i spelnienia 1.pdf

Punkty zaczepowe pewag profilift

Punkty / Points

Zbieraj punkty i wygrywaj cenne nagrody

Hose SSilva Metod kontrole uma.pdfilva - Silva Metod Kontrole Uma

Analiza stanów napr ęż enia metod ą elastooptyczn ą · Analiza stanów napr ężenia metod ą elastooptyczn ą-6- Izokliny Izokliny s ą to linie ł ącz ące punkty o jednakowych

Silva Metod

TECHNIKI – DZIAŁANIE – ZASTOSOWANIE KLINICZNE TAPING · ływać pozytywnie na punkty akupunkturowe względnie na punkty spustowe. Oryginalnym rozszerzeniem zasto-sowania plastrowania

Protokoły warstwy łącza danych i ich słabe punkty

Punkty zaczepowe pewag gamma

Pismak - uwm.edu.pl€¦ · „zdejmuje” swoją głowę. Oczom osób zgromadzonych wokół misia ukazuje się wyjątkowo szpetny mężczyzna: duże, odstające uszy, zdeformowana

Hob METOD-SIGN-METOD LAGAN-HGC3K ANC-892958354

Prezentacja programu PowerPoint - pliki.infodent24.pl · międzynarodowe punkty edukacyjne, w tym punkty ADA CERP. Były one naliczane w bardzo skrupulatny sposób. ... działania,

Wasilewski Filip Min 2538 02:41 Punkty z gry 2 punkty 3

INSTRUKCJE INSTALACJI V700E PL - Piloty, napędy, akcesoria · Punkty przegubowe (zamki), oraz punkty tarcia (prowadnice) należy utrzymywać nasmarowane i czyste • ... Ramię transmisyjne

Documents

ZASTOSOWANIA METOD MATEMATYCZNYCH W EKONOMII I … · Analiza porównawcza efektywności metod redukcji zmiennych… 9 3. Punkty odstające – punkty odstające niestety często

Text of ZASTOSOWANIA METOD MATEMATYCZNYCH W EKONOMII I … · Analiza porównawcza efektywności metod...