Deriviranje funkcija
1. Napiite funkciju : , gdje su , , za koju vrijedi:
a. () = 0 b. () = , c. () = () d. (0) = 0 e. (0) = 1 f. (1) =
1
2. Nacrtajte funkcije iz zadatka 1. Razmislite koliko postoji
razliitih rjeenja
za svaki od zadataka u zadatku 1.
3. Dopiite formule za derivaciju funkcije : u toki 0.
a. (0) = lim0(0+ )( )
b. (0) = lim0()( )
c. Diskutirajte formule pod a. i b. grafiki.
4. Izraunajte derivacije funkcija = 2 i = 3 iz definicije
derivacije iz
zadatka 3a.
5. Izraunajte prvu derivaciju za sljedee funkcije:
a. = + cos 34 + 3 + 3
b. = 2 + +1
+
1
2
c. =1
+1
d. =23
+1
e. = + f. = 2 + +
g. =sin
cos
h. =tg
cos
i. () = 0 + 0 +
22
j. () = 0 +
6. Derivacija sloene funkcije. Izraunajte prvu derivaciju za
sljedee
funkcije:
a. = 1 + 2
b. = 3 cos
c. = 1 + cos2 3
d. = 2
e. = ln 2
f. =2+1
g. =
h. = tg(2
6)
i. = ( )2
7. Izraunajte derivaciju funkcije u zadanoj toki za sljedee
funkcije:
a. () = 0 , > 0 u trenutku = 0. Nacrtajte funkciju () i
iz grafa zakljuite da li je derivacija u trenutku = 0 pozitivna
ili
negativna. Dodatno, veliina () (=
) pomnoena s (1) ima
vano fizikalno (i praktino) znaenje. Znate li koje? 1
b. () = + za = 0. Da li bi rezultat bio drugaiji za neku
drugu vrijednost varijable ? Pokuajte ne samo raunski ve i
intuitivno razumjeti va odgovor?
c. () = 2 za {2, 1, 0, 1, 2}. Rezultate poredajte po
veliini. Nacrtajte graf funkcije () i provjerite da li su
dobiveni
rezultati u skladu s oekivanjima dobivenim analizom grafa
funkcije.
d. () = (1
) u trenutku = 0. Funkcija () opisuje
nabijanje kondenzatora kapaciteta spojenog u seriju s
otpornikom otpora na bateriju elektromotornog napona .
i. Da li je kondenzator u trenutku = 0 nabijen?
ii. Nacrtajte kvalitativno funkciju ().
iii. emu fizikalno odgovara vremenska derivacija funkcije
()?
iv. to oekujete kolika je vremenska derivacija funkcije () u
trenutku = 0 a kolika kada ?
1 Funkcijom () dan je broj neraspadnutih radioaktivnih jezgri u
nekom uzorku kao funkcija vremena.
Derivacijom te funkcije dobije se koliko se brzo mijenja broj
neraspadnutih radioaktivnih jezgri u vremenu to odgovara aktivnosti
radioaktivnog uzoraka --- to se jezgre bre raspadaju vea je
aktivnost uzorka. Aktivnost
uzorka dana je izrazom () = ()
. S obzirom da je
()
strogo negativna funkcija u definiciji aktivnosti
javlja se faktor (-1) kako bi funkcija aktivnost bila uvijek
pozitivna.
