Z-transformacija je diskretni ekvivalent Laplasove transformacije.

MeĎutim, dok je Laplasova transformacija otkrivena još krajem

18. veka (1799. godine), Z-transformacija je uvedena sredinom 20.

veka (početkom 1950. godine), a svoju primenu u teoriji diskretnih

signala i sistema našla je krajem 50-tih i početkom 60-tih godina

prošlog veka (radovi Ragazzinija, Zadeha, Jury-ja, Franklina i

Tsypkina).

Za razliku od Laplasove transformacije koja se primenjuje na

vremenski kontinualne signale f(t), Z-transformacija se primenjuje

na vremenski diskretne signale f(kT), gde je T perioda odabiranja

(odmeravanje ili semplovanje) a tk=kT je diskretan vremenski

trenutak, pri čemu k = ,0 ± ± ,...2,1 označava ceo broj koji

predstavlja indeks diskretnog trenutka vremena.

Vremenski diskretan signal obično se dobija uniformnim

odabiranjem (odmeravanjem ili semplovanjem) kontinualnog

signala svakih T sekundi, mada postoje i slučajevi gde je signal po

svojoj prirodi vremenski diskretan i predstavljen samo preko svojih

odbiraka (odmeraka ili semplova) f[k]. Zbog jednostavnosti

označavanja, čak i kad se predstavlja vremenski-diskretan signal

f(kT) , koji je generisan semplovanjem vremenski kontinualnog

signala f(t) sa periodom semplovanja (odabiranja, odmeravanja) T ,

uobičajeno je da se T ne označava, te da se f(kT) predstavi takoĎe

sa f [k], gde je k indeks vremena koji odgovara trenutku odabiranja

(semplovanja ili diskretizacije) tk.

Z-transformacija se može uvesti polazeći od Laplasove

transformacije na sledeći jednostavan način. Pošto je Laplasova

transformacija kontinualnog signala definisana preko integrala

uvodeći smenu z=esT, dobija se sledeći izraz:

Ovako definisana suma, čije članove predstavljaju odbirci

diskretnog signala f[k] pomnoženi sa kompleksnom varijablom z

dignutim na stepen (− k), tj. pomnoženi sa z-k, predstavlja funkciju

kompleksne varijable z i naziva se unilateralna (jednostrana) Z -

transformacija diskretnog signala f[k]. Dakle, jednostrana

(unilateralna) transformacija diskretnog signala f[k] definisana je

sumom:

Z-transformacija može biti definisana kao:

Unilateralnu (jednostranu)

Bilateralnu (dvostranu)

Geofizičku

Osobine Z – transformacije

Postoje brojne analogije izmeĎu Z-transformacije i Laplasove

transformacije, iako se prve primenjuju na vremenski diskretne,a

drugi na vremenski kontinualne signale. Stoga su u analizi

linearnih vremenskih invarijantnih sistema dobijaju formalno

identični rezultati kada se primenjuje Z-transformacija na diskretne

signale i sisteme kao kada se primenjuje Laplasova transformacija

na kontinualne signale i sisteme, iako se suštinski radi o različitim

pojavama, pošto diskretan sistem prenosi i obraĎuje odbirke

diskretnih signala, koji su definisani samo u trenucima odabiranja,

tj. u diskretnim tačkama na vremenskoj osi, dok kontinualan sistem

radi sa kontinualnim signalima, koji su definisani u svakom

vremenskom trenutku. Naravno, postoje i odreĎene razlike izmeĎu

-transformacije diskretnih signala i Laplasove transformacije

kontinualnih signala, čemu će biti posvećeno ovo poglavlje. U

nastavku ćemo razmatrati samo osobine unilateralne (jednostrane)

Z-transformacije. Pošto u osnovi Z-transformacija predstavlja

beskonačnu sumu (red) kompleksnih brojeva, generalno za nju

važe sve poznate osobine beskonačnih redova, pa se na bazi te

činjenice i dokazuju mnoge od osobina Z-transformacije.

Osobine unilateralne Z-transformacije:

*Linearnost

*Pomeranje signala u vremenu udesno

*Pomeranje signala u vremenu ulevo

*Množenje signala sa vremenskim faktorom

*Množenje signala sa eksponencijalnim faktorom ili skaliranje Z

kompleksne učestanosti

*Modulacija signala

*Konvolucija

*Granične teoreme Z-transformacije

Linearnost: Neka su Z-

transformacioni parovi sa oblastima apsolutne konvergencije

,respektivno.Tada je za proizvoljne konstante

a oblast konvergencije za gore definisanu linearnu kombinaciju

datih diskretnih signala je ,gde simbol

označava „presek‟.

Dokaz: Dokay sledi direktno na osnovu definicionog izraza za Z-

transformaciju,pošto je suma linearni operator,odnosno na osnovu

dedinicopnog izrara sledi:

Pomeranje signala u vremenu udesno: Ako su

Z-tranformacioni par sa oblašću apsolutne konvergencije R,tada je

Z-tansformacija signala gde je ceo broj,koji je

dobijen pomeranjem originalnog signala za perioda

odabiranja udesno,data su

dok oblast konvergencije R ostaje nepromenjena.

Alternativna varijanta osobine pomeranjaa diskretnog signala

udesno,tzv. integralne osobine data je sa

Dokaz: Na osnovu definiciong izraza je

Ili pošto je za i

za donja granica sumiranja je ,odnosno

suma se svodi na

Uvodeći dalju smenu ,dobija se

čime je dokaz izvršen.

Pomeranje signala u vremenu ulevo: Ako su Z-

transformacioni par,tada važi

gde je signal formiiran od signala njegovim

pomeranjem ulevo za perioda odabiranja (jedinica

utrokovanja).Primetimo da ovako formiran signal prednjači

originalnom signalu ,te se otuda ova osobina zove i

prednjačenje signala.

Dokaz: Pošto je na osnovu definicionog izraza Z-transformacije

uvodjenjem smene dobija se

Ovde je iskorišćena činjenica da je

Ako se poslednjem izrazu doda nulti član ,dalje sledi

Na sličan način se može pisati

odnosno,nakon uvodjenja smene ,

Za proizvoljno celobrojno ,može se pisati

ili nakon uvodjenja smene pošto je

,

čime je dokaz izvršen.

Množenje signala sa vremenskim faktorom: Ako su

Z-transformacioni par,tada je

pri čemu se oblasti apsolutne konvergencije ovih Z-kompleksnih

likova poklapaji sa oblašću apsolutne konvergencije samog

kompleksnog lika

Dokaz: Na osnovu definicionog izraza je

odakle se diferenciranjem po promenljivoj z dobija

odnosno

Odakle sledi

Ponovnim diferenciranjem poslednjeg izraza po varijabli z , sledi

Odnosno

ili nakon zamene izraza za iz pretposlednje relacije,

konačno se dobije

čime je dokaz izvršen.

Množenje signala sa eksponencijalnim faktorom ili skaliranje

Z kompleksne učestanosti:

Ako su Z-transformacioni par,tada je

dok je nova oblast apsolutne konvergencije data sa , gde je R

oblast apsolutne konvergencije originala .

Dokaz: Na osnovu definicije unilateralne Z-transformacije može

se pisati

Pošto je

Zaključuje se da

Sa druge strane,ako postoji u oblasti ,tada će

postojati u oblasti ,

odnosno poslednja oblast konvergencioje može se izraziti kao

,čime je dokaz završen.

Modulacija signala: Ako su Z-transformacioni par,

tada je

Dokaz: Osobina modulacije je direktna posledica osobina

skaliranja z-kompleksne učestanosti I Eulerove formule. Naime,

pošto je na osnovu Eulerove formule

Dalje se može pisati,na osnov osobina linearnosti o skaliranja

kompleksne frekvencije (množenja vremenskog signala sa

eksponenicijalnim faktorom)

Pošto je na osnovu osobina skaliranja diskretne kompleksne

učestanosti (varijable z )

Usvajajući zaključuje se da je

Osobina modulacije našla je široku primenu u digitalnim

telekomunikacijama i digitalnoj obradi signala,a takodje se

primenjuje da se odredi Z-transformacija elementarnih signala, kao

što su diskretni sinusni i kosinusni signal.

Konvolucija: Ako su , kao i , Z-

transformacioni parovi,tada je Z-transformacija diskretne

konvolucije data sa

gde je oblast oblast apsolutne konvergencije poslednje Z-

transformacije , pri čemu označavaju

oblasti apsolutne konvergencije kompleksnih likova

, respektivno,dok simbol predstavlja operaciju “preseka” ovih

oblasti.

Dokaz: Konvolucija dva diskretna signala definisana je izratom

Medjutim,pošto je unilateralna Z-transformacija definisana samo

za nenegativne vrednosti parametra k , to je donja granica u

konvolucionoj sumi m=0 , odnosno za kauzalne signale

,tako da se dalje može pisati

Pa je Z-transformacija ovog signala

čime je dokaz završen.Osobina konvolucije ima veliki značaj u

analizi linearnih diskretnih vremenski-invarijantnih sistema.

Granične teoreme Z transformacije: Ako su Z-

transformacioni par,tada se početna vrednost diskretnog kauzalnog

signala može odrediti na osnovu

njegovog kompleksnog lika kao

Ovaj izraz naziva se teorema o početnoj vrednosti signala.Sa druge

strane,vrednost signala u ravnotežnom stanju,koje nastupa teorijski

posle beksonačnog vremena i odgovara indeksu vremena

može se odrediti na osnovu Z-kompleksnog lika signala kao

Dokaz: Pošto je na osnovu definicije unilateralne Z-transformacije

Na osnovu poslednjeg izraza se zaključuje

čime je dokazana prva granična teorema.

Primetimo da se vrednost može izračunati kao

A na sličan način se mogu odrediti itd.

Da bismo dokazali drugu graničnu teoremu, podjimo od izraza

i pustimo da , odakle sledi

Pošto je

Zaključuje se da je

Čime je dokaz završen.Druga granična teorema se može primeniti

samo za signale kod kojih postoji konačna vrednost u ustaljenom

(ravnoteženom) stanju.

Osobine Z-transformacije

Z-transformacija parova koji se često koriste u teoriji diskretnih

signala i sistema i njenim primenama