19.02.2008

1

Doç.Dr.Ali Argun Karacabey

Yönetim Bilimi, karar almada bilimselyaklaşımı uygulayan bir disiplindir.

YÖNETİM BİLİMİYÖNETİM BİLİMİ

Bilimsel Yaklaşım belirli bir amaççerçevesinde hipotez ve model kurmayı,modelin çözümü ve hipotezlerin testini vesonuçların yorumlanmasını kapsar.

MODEL KAVRAMININ TEMELLERİMODEL KAVRAMININ TEMELLERİ

Model “gerçek sistemlerin temsiligerçek sistemlerin temsili” olarak tanımlanabilir.

İnceleme konusu şu anda mevcut olan bir sistem ise, modelin amacı sistemin performansını geliştirmek b  il   i i  d   li  

Model Kavramı

Matematiksel Modellerçabası ile sistemin davranışını analiz etmektir.

İnceleme Konusu şu anda mevcut olmayan, ancak ileride olabilecek bir sistem ise, modelin amacı sistemin bileşenleri arasında fonksiyonel ilişkileri içeren sistemin ideal yapısını tanımlamaktır.

Doğrusal Programlama

Tam Sayılı Programlama

19.02.2008

2

Karar Alma ve elemanlarıKarar Alma ve elemanları

Alternatifler arasından birinin seçilmesi olan karar almakarar alma, ekonomik bir kuruluş olan işletme için kar 

  kl i k   b  

Durum

Karar Verici

amacını gerçekleştirmek ve bunun için de mal ve hizmetler üreterek, müşterilerine sunmaya yönelik bir süreçtir.

Amaçlar

Uygun Alternatifin Seçilmesi

Karar  SüreciKarar  Süreci

Sürecin 2‐7. aşamalar arası Bilimsel Bilimsel YöntemYöntem olarak adlandırılır.

Bir problemi model haline getirebilme  problemin çözülmesini 

Model Kurma

Problemin Formülasyonu

Problemin Belirlenmesi

getirebilme, problemin çözülmesini ve karar vermeyi büyük ölçüde kolaylaştıracaktır.

Karar Verme, Uygulama, Kontrol

Sonuçların yorumu

Geçerlilik ve duyarlılık

Modelin Çözümü

Bilgi Derleme

Model ve KararModel ve Karar‐Karardan elde edilecek sonuçlar daha iyi gösterilir

‐Değişkenlerdeki değişikliklerin sonuçları kolaylıkla belirlenebilir

‐Değişkenler arasında ilişkiler b li l bilibelirlenebilir

‐Problemin anlaşılmasını kolaylaştırır

‐Kararların daha sağlıklı olmasını sağlar

‐Matematik bir dil olarak kullanıldığından karmaşık sistemlere bile kolayca uygulanır 

19.02.2008

3

Modellerin SınıflandırılmasıModellerin Sınıflandırılması

Modeller yansıttıkları gerçek sistem, sistemi ifade dereceleri, kabul görme ve genel olma dereceleri, amaç ve tekniklerine göre çeşitli şekillerde sınıflandırılabilirler. 

Temsil Biçimine Göre

Model Sınıflandırmaları

Kullanıma Amaçlarına 

Göre

Çözüm Tekniklerine 

Göre

Sonuçlandırıcı Modeller

Kullanım Amaçlarına 

Açıklayıcı Modeller

Göre Modeller

Sayısal Modeller

Analitik Modeller

Çözüm Çözüm Tekniğine Tekniğine 

Göre Göre ModellerModeller

19.02.2008

4

Analitik ModellerAnalitik Modeller

Bilinmeyeni (hesaplanacak miktarı) bilinenler cinsinden yazarak, cebirsel ilişkiler çözümlenirse, buna analitik analitik yöntemyöntem ve bu yöntemin kullanıldığı modellere analitik model analitik model adı verilir.

Satış Hasılatı = Satışlar*Fiyat

Değ. Gid. = Satışlar * Br.Değişken giderler

Top. Gid. = Sabit giderl+ Deği. Gid.Top. Gid.   Sabit giderl+ Deği. Gid.

Kar = Satış hasılatı –Toplam Giderler

KAR = Sat. – (Fiyat –Br.Deg.Gid.)‐Sab. Gid.

Sayısal ModellerSayısal Modeller

Bazı durumlarda her duruma uygun olarak cevabı gösteren genel bir sonuç bulmak söz konusu değildir.

Bu durumlarda özel değerler denklemlerde yerine konur ve ysonuçta da özel bir cevap elde edilir.

Bu yöntem sayısal yöntem sayısal yöntem ve bu yöntemin kullanıldığı modellerde sayısal modeller sayısal modeller olarak adlandırılır.

Matematik ModellerMatematik Modeller

Bir olayın geçmişte elde edilmiş sonuçlarından yararlanarak, bu olayın gelecekte ne gibi sonuçlar doğuracağını araştırmamıza 

Zamandan tasarruf sağlar

doğuracağını araştırmamıza yardımcı olan kantitatif tekniklerdir.

Kolayca Anlaşılır

Gerekirse Hemen Düzeltilebilir

19.02.2008

5

Alınacak Kararın önemi arttıkça matematik modele olan ihtiyaç artar

Karar vermede kullanılan değişken sayısı arttıkça matematik modele sayısı arttıkça matematik modele duyulan ihtiyaç artar

Karar verme faaliyetine iştirak eden kişi sayısı arttıkça matematik modele olan ihtiyaç artar

Model Geliştirme Süreci

Matematik ModellerMatematik Modeller

1 ve 4. aşamalar arası kavramsal kavramsal modelmodel geliştirme sürecidir.

Kavramsal model sorunun çözümünü sağlayacak olan detaylı model geliştirme çabasının özünü oluşturmaktadır

1. Problemi Belirleme

2. Değişkenler ve Kısıtlar

3. Değişkenler Arası İlişkiler

oluşturmaktadır.

Kavramsal model geliştirme, yöneticinin dünyasının işleyişinin nasıl olduğunu ortaya çıkarmaktır.

4. Formülasyon

5.   Modelin Geliştirme

6. Modelin Test Edilmesi

7. Modelin Uygulanması

Problemi TanımlamaProblemi Tanımlama

Modelleme çabaları ne kadar iyi olursa olsun, problem hakkında doğru bilgi sağlanmadıkça iyi bir model geliştirmeye yönelik bütün çabalar boşa gidecektir.

Bir zamanlar bir kırmızı kürek takımı vardı

19.02.2008

6

Kırmızı Takım bir kürek yarışı yapmak için yeşiltakımla sözleşti. Takımlarda 8 adam olacaktı.

İki takım da bir yıl boyunca çok sıkı çalıştı. Yarış günü geldiğinde kazanmak için hazırdılar.

FINISHFINISH

Yeşil takım 1 mil fark yaptı !

Kırmızı takım yenilgiyi hazmedemiyordu. Gelecek yılki yarışı kazanmaya and içtiler. Durumu incelemesi ve iki takım arasındaki farkı açıklaması

için uzmanlardan oluşan bir denetim ekibi kurdular.

19.02.2008

7

Zorlu incelemelerle geçen haftaların sonunda denetçiler iki takım arasındaki farkı buldular. Yeşil takımda 1 kaptan ve 7 kürekçi vardı...

… Kırmızı takımdaysa 7 kaptan ve 1 kürekçi !!

19.02.2008

8

Eldeki bu ilk verilerden istediğini almış gözükmeyen üst yönetim beklenmedik bir basiret örneği gösterip verileri analiz etmek ve gelecek

yılki yarışı kesinlikle kazanmak için bir danışmanlık firmasıyla anlaştı

Bir kaç ay sonra danışmanlar çözümü buldular. Kırmızı Takımdaki sorunun kaynağı kaptanların

kürekçilere oranıydı.. yBu analiz üzerine bir çözüm önerildi: Kırmızı

takımın yapısı değiştirilmeliydi!

Kan kokusu alan köpekbalıkları gibi iştahı kabaran üst yönetim Kırmızı Takımı hemen yeniden yapılandırdı. Takımda artık 4 Kaptan bunların üzerinde 3 Müdür ve doğrudan rapor vermekle sorumlu bir

direktör olacaktı ve bir tane de Kürekçi... Bununla yetinmeyen yönetim kürekçinin çalışma koşullarını ve özlük haklarını iyileştirmek

için performansını geliştirmesi durumunda geçerli olacak parasal esaslara dayanmayan bir motivasyon programı da geliştirdi.

19.02.2008

9

FINISH

Ertesi yıl Yeşil Takım farkı 2 mile çıkardı !...

Kırmızı Takım üst yönetimi yetersiz performansı nedeniyle derhal kürekçinin işine son verdi.. Hazırlık aşamasında gösterdikleri üstün performanstan, sağladıkları

motivasyondan ve sahip oldukları yüksek liderlik niteliklerinden dolayı gelecek yıl daha iyi bir kürekçi bulabilmelerine yardımcı olmak

amacıyla Kaptanlara, Müdürlere ve Direktöre bonus verildi.

19.02.2008

10

Danışmanlık firması yeniden yapılanma konusunda güncel bir analiz hazırladı. Buna göre; strateji doğruydu,

motivasyon mükemmeldi ve yeniden yapılanma harika işlemişti; ama kullanılan araç (yani orijinal verilerde işlemişti; ama kullanılan araç (yani orijinal verilerde

dikkate alınmayan bot) geliştirilmeliydi.

Kırmızı Takım yönetimi yeni bir bot tasarlatıyor; ve hisse sahiplerine şirketin mali disiplinini ve İnsan Kaynakları politikasının ne kadar iyi olduğunu göstermek için gelecek yılki Kürekçi’yi Hindistan’dan getirtecek.

Değişkenler ve Kısıtların AnaliziDeğişkenler ve Kısıtların Analizi

KısıtlarKısıtlar olabilirliği ve kabul edilebilirliği tanımlayan limitlerdir. Yani kısıtlar değişkenlerin alabilecekleri değerlerin sınırlarını gösterirler. Kısıtlar sistemin içinden olabileceği gibi çevreden de olabilirler  Fiziksel olabilecekleri gibi 

Problemi Belirleme

Kısıtlar ve Değişkenlerin 

analizi

1.Kısıt 2.Kısıt 1.Değişken 2.değişken

olabilirler. Fiziksel olabilecekleri gibi davranışsal da olabilirler. Problemdeki sabitlersabitler ise çözümlenemez kısıtlardır ve zaman içinde değişmeyen ölçümlerdir.DeğişkenlerDeğişkenler ise problemin faktörlerinin etkileşimlerini yansıtırlar.

Değişken X

Bilinen eleman

Değişken Y

X‐Y ilişkisinin hipotezi

İlişkinin test edilmesi

Değişkenler ve Kısıtların AnaliziDeğişkenler ve Kısıtların Analizi

Değişkenler arası ilişkiler mate‐matiksel olarak tanımlanmalıdır.

Değişkenler, hesaplama yapıl‐

Satış geliri, satış hacmi ve birim fiyata bağlıdır

•• İlişkiİlişkiğ ş p y p

masınımümkün kılacak bilgi girişininsağlanabileceği, bilinen bir temeleulaşıncaya kadar tahlil edilip,ayrıştırılmalıdır.

Satış Geliri = Satış Hacmi * Birim Fiyat

•• Matematiksel BiçimMatematiksel Biçim

19.02.2008

11

Değişkenler Arası İlişkilerDeğişkenler Arası İlişkiler

Ayrıştırma ile ilgili değişkenler ve ilişkileri tanımlanabilir. Bu işlem, modeldeki tüm elemanları tanımlamak için tekrar tekrar izlenecek bir süreçtir.

Kapanış Nakit Dengesi = Açılış Nakit Dengesi + Nakit Değişimi

Açılış nakit Dengesi = Önceki Dönem Kapanış Nakit Dengesi 

Ayrıştırma derecesi, modelin doğruluk derecesi ve temsil yeteneğini belirler. 

Ayrıştırma derecesi arttıkça modelin karmaşıklık derecesi de artacaktır.

Nakit Değişimi = Dönem Gelirleri – Dönem Harcamaları

Kapanış Nakit dengesi = Ö.D.Nakit Dengesi + Dönem Gelirleri – Dönem Harcamaları

FormülasyonFormülasyon

Formülasyon, değişkenleri ve bazı hallerde durumları semboller ile ifade etmektir. 

Sembol seçimindeki serbestiye karşın, hangi tür sembol kullanılacağı kararı önemlidir, bu karar modelde kullanılan çözüm tekniğine  modelde kullanılan araca  

Modellemeye konu olan sistem durağan olmadığı sürece, sistemde bazı faaliyetler olacaktır ve eğer bu faaliyetler değişkenlerin değerlerini etkiliyorsa, bunlar da modele dahil edilmeli ve sembollerle temsil edilmelidirler.

tekniğine, modelde kullanılan araca, yönetici ile modelci arasındaki ilişkilere bağlıdır.

Sembollerin yanı sıra, kullanılan ölçü birimleri de açıkça belirtilmelidir.

Model GeliştirmeModel Geliştirme

Matematiksel olarak ifade edilmiş bir ilişki;

‐Tanımlanmış olabilir

‐Ampirik olarak belirlenmiş olabilir

‐Diğer ilişkilerden türetilmiş olabilir.

I  = A + C

H = 1 + B/100

J = I + H

F       D/ğ ş ş

Model geliştirme aşamasında, önceden belirlenen ilişkiler, en temel elemanlardan oluşan ilişkiler elde edilene kadar birleştirilir.

F = 1 + D/100

K = 5 * J * F

G = 1 + E/100

L = K * G• Modelin Amacı LL değişkenini hesaplayarak karar vericiye yardımcı olmak ise geliştirilecek model şu şekilde olacaktır;

L = 5 * (A+C) * (1+B/100) * (1+D/100) * (1+E/100)

Modelin gerçek dünyayı temsil ediş şeklinin uygunluğunun test edilmesi

Geliştirilen modelin kullanıcının ihtiyaçlarını gidermeye uygun olup ihtiyaçlarını gidermeye uygun olup olmadığının test edilmesi 

Modelin gerçek sorunların çözümüne yardımcı olmaya uygun olup olmadığının test edilmesi

19.02.2008

12

Modelin Uygulamaya KonmasıModelin Uygulamaya Konması

Modelin uygulamaya konmasıyla kasdedilen, modelin organizasyon içinde kullanılacağı bölüm ile birleştirilmesidir. 

Model GeliştirirkenModel Geliştirirken……

Yönetimin Desteği Sağlanmalıdır

İlk Model Basit Olmalıdır

Amaçlar Açıkça Belirlenmelidir

Modelci Faaliyetleri İyi Anlamalıdır

Model Esnek Olmalıdır

Kullanıcılar Sürece Dahil Edilmelidir

Şirketlerde Modelleme SüreciŞirketlerde Modelleme Süreci……

19.02.2008

13

Matematiksel Model Geliştirirken…Matematiksel Model Geliştirirken…

Matematik modeller geliştirilirken gözönünde tutulan belli başlı amaçlar şunlardır:a  Matematik model a. Matematik model zamandan tasarruf sağlar,b. Matematik model kolayca anlaşılır,c. Gerekirse hemen düzeltilebilir.

Alınacak kararın önemi arttıkça,

Karar verme faaliyetine k l  ki i    kkatılan kişi sayısı arttıkça,

Değişken sayısı arttıkça 

modele duyulan ihtiyaç artar

Matematiksel Model GeliştirirkenMatematiksel Model Geliştirirken……

Basitlik ile Karmaşıklık Arasında Denge Kurulmalıdır

Tatmin edici bir biçimde ölçülemeyen değişkenlerin (soft variables) önemi arttıkça matematik modelin karara katkısı azalacaktır

Değişkenler arası ilişkiler iyi tanımlanamazsa modelin faydası azalacaktır

Yönetimin modele güveni sağlanamazsa model kullanılamaz

Örgüt modeli kabul etmedikçe model verimli olmayacaktır

Matematiksel Model ÇeşitleriMatematiksel Model Çeşitleri

Optimizasyon Modelleri

T h i  M d ll i

Deterministik Modeller

Ol l k (P b bili tik) Tahmin Modelleri Olasılık (Probabilistik) Modeller

19.02.2008

14

Matematiksel Programlama ModeliMatematiksel Programlama Modeli

Matematiksel programlama yönetim bilimininoptimizasyon problemlerinin çözümüyle ilgilenendalıdır.

Eğer bir sistem matematiksel model adı verilenEğer bir sistem, matematiksel model adı verilen,matematiksel sembollerle ifade edilebilecek bir yapıyasahipse ve eğer modelin amacı sayısallaştırılabiliyorsa,alternatifler arasında en iyi faaliyet(ler)i seçebilmemizisağlayacak bir çözüm yöntemi bulunabilecektir vematematiksel modellerin bu şekilde kullanımınamatematiksel programlama denir

Matematiksel Programlama ModeliMatematiksel Programlama Modeli

• Bir matematiksel programlama modeli 3 temel parçadan oluşur:

(1)karar verici tarafından kontrol edilebilen veya belirlenebilen karar değişkenleribelirlenebilen karar değişkenleri, 

(2)maksimize yada minimize edilecek bir amaç fonksiyonu 

(3)herhangi bir çözüm tarafından sağlanması gereken kısıtlıklar seti.  

Model Geliştirme Süreci;Model Geliştirme Süreci;

Karar Değişkenlerinin Belirlenmesi

Amaç ve Kısıtlılıkların B li l i

Bir değişkenin karardeğişkeni olup olmadığınıbelirlemek için “bu değiş‐kenin değerini değiştiBelirlenmesi

Modelin Yapılandırılması

Veri Toplama –Zaman/maliyet Belirleme

kenin değerini değişti‐rebilir miyim?” sorusunayanıt aramak yeterlidir.

Eğer cevap evet ise karardeğişkenidir.

KISITLIKLARKISITLIKLAR

A) Fonksiyonel Kısıtlar B) Değişken KısıtlarıNegatif Olmama KısıtıX > 0Alt Sınır KısıtıX > LX > LÜst Sınır KısıtıX < UTam Sayı KısıtıX = Tam Sayıİkili KısıtıX = 0 veya 1

19.02.2008

15

KISITLIKLARKISITLIKLAR

1.Sınırlayıcı Durumu kelimelerle ifade edin;{Gereken kaynak miktarı} <ilişki> 

3.Kelimeleri bilinen veya tahmin edilen değerleri kullanarak matematiksel hale dönüştürün.} ş

{kullanılabilir kaynak miktarı}2.İlişkinin Sağındaki ve solundaki birimlerin eşit olduğundan emin olun.

ş4.Denklemin sol tarafında bütün karar değişkenleri ve sağ tarafında da sadece bir sabit kalacak şekilde düzenleyin.

MODELİN ÇÖZÜMÜMODELİN ÇÖZÜMÜ

1.Uygun bir çözüm yönteminin belirlenmesi

2.Çözümün gerçekleştirilmesi

3.Çözümün test edilmesi ve geçerliliğinin laraştırılması

4.Eğer sonuçlar uygun değilse modelleme aşamasına dönüş

5.”Eğer… olursa, … ne olur” (What if) analizleri

SONUÇLARIN İLETİLMESİ VE İZLENMESİ

‐Bir Şirket Raporunun Yazılması‐Uygulama Sonuçlarının İzlenmesi

Şirket Raporunun İçeriği:1 Gi i P bl i O t K1. Giriş, Problemin Ortaya Konması2. Varsayımların Açıklanması3. Çözüm yöntemi ve Bilgisayar Programı4. Sonuçlar – Sunum ve Analiz5. ”Eğer… olursa, … ne olur” (What if) analizleri6. Öneriler7. Ekler

AK ŞİRKETİ ÖRNEĞİ1.AŞAMA PROBLEMİN TANIMLANMASI1.AŞAMA PROBLEMİN TANIMLANMASIAk Şirketi Ankara, İzmir ve İstanbul şehirlerinde perakende satış 

mağazaları olan bir toptancıdır. Her ay şirket  depolarına diğer ürünlerin yanı sıra kendi markası olan boyadan da yollamaktadır. AK bu boyayı kendisine ait Kütahya’da bir fabrikada üretmektedir. Fabrikanın üretim kapasitesi bazı aylarda talebi karşılayamamasına karşılık, şirket tarafından 

l bi l f b ik d l k bi k it tyapılan bir çalışma fabrikada yapılacak bir kapasite artırımının maliyet açısından çok etkin olmadığını ortaya çıkarmıştır. Bu nedenle talebin karşılanması için şirket, Mersin’deki bir boya üretici ise kendi adına boya üretimi için anlaşmıştır.

Kapasite artırımına gidilmeyeceği kaydıyla, problem en düşük maliyetle gerçekleştirilebilecek bir dağıtım planının belirlenmesidir.

19.02.2008

16

AK ŞİRKETİ ÖRNEĞİ2. AŞAMA2. AŞAMAA. Karar Değişkenlerinin Belirlenmesi• Talep Miktarı • Üretim MiktarıX1 :Fabrikadan Ankara Mağazasına yollanan boya miktarığ y y

X2 :Fabrikadan İzmir Mağazasına yollanan boya miktarı

X3 :Fabrikadan İstanbul Mağazasına yollanan boya miktarı

X4 :Mersinden Ankara Mağazasına yollanan boya miktarı

X5 :Mersinden İzmir Mağazasına yollanan boya miktarı

X6 :Mersinden İstanbul Mağazasına yollanan boya miktarı

X1, X2…X6   ton boya olsun.

AK ŞİRKETİ ÖRNEĞİ

B.MODELİN YAPILANDIRILMASIAmacımız aylık üretim, dağıtım ve satın alma maliyetlerini minimum kılacak bir dağıtım planı oluşturmaktır. 

Bu planı oluştururken bizi sınırlayan koşullar,Bu planı oluştururken bizi sınırlayan koşullar,1.Kütahya fabrikası kapasitesinin (K1) üzerinde üretim yapamamaktadır,

2.Aracıdan satın alınabilecek boya miktarının üst sınırı (K2) bellidir.

3.Bütün mağazaların siparişleri (R1,R2,R3) karşılanacaktır.

AK ŞİRKETİ ÖRNEĞİFabrika üretilen bir ton boyanın üretim maliyetine MM, fabrikadan Ankara, İzmir ve İstanbul’a gönderilme maliyetine de T1, T2 ve T3T1, T2 ve T3 diyelim. 

Benzer şekilde Mersinden satın alınan boyanın 1 ton maliyetine C,C, Ankara ,İzmir ve İstanbul’a nakil ymaliyetine de S1,S2, ve S3S1,S2, ve S3 diyelim.

Buna göre toplam maliyetimiz;

“Ankara Mağazasına gelen boyaların maliyeti + İzmir Mağazasına Gelen Boya Maliyeti ve İstanbul Mağazasına Gelen Boya Maliyeti” olacaktır.

AK ŞİRKETİ ÖRNEĞİ

Ankara mağazasına Kütahya yada Mersin’den boya gelebilir. Kütahya’dan gelen boya maliyeti ne olacaktır?

(M+T1)X1(M+T1)X1M i d l b li i l k ?Mersinden gelen boya maliyeti ne olacaktır?

(C+S1)X4(C+S1)X4Dolayısıyla Ankara Mağazasına gelen toplam maliyet;

(M+T1)X1+(C+S1)X4(M+T1)X1+(C+S1)X4olur.

19.02.2008

17

AK ŞİRKETİ ÖRNEĞİ

Diğer iller için de maliyetleri benzer şekilde belirleyebiliriz. Buna göre toplam Maliyetimiz ise

(M+T1)X1+(M+T2)X2+ (M+T3)X3+ (C+S1)X4+(C+S2)X5+(C+S3)X6( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

Amacımız toplam maliyeti minimum yapmak olduğuna göre amacımızı şu şekilde yazabiliriz;

Min (M+T1)X1+(M+T2)X2+ (M+T3)X3+ (C+S1)X4+(C+S2)X5+(C+S3)X6

AK ŞİRKETİ ÖRNEĞİ

Amaca ulaşmamızı belirleyen kısıtlıkları da matematiksel olarak ifade edersek;

1.Kütahya fabrikası kapasitesinin (K1) üzerinde üretim yapamamaktadır,X1+X2+X3 ≤ K1

2.Aracıdan satın alınabilecek boya miktarının üst sınırı (K2) bellidir.,X4+X5+X6 ≤ K2

3.Bütün mağazaların siparişleri (R1,R2,R3) karşılanacaktır.X1 + X4 = R1X2 + X5 = R2X3 + X6 = R3

4.Negatif Olamama KısıtıX1, X2, X3,X4,X5,X6 ≥ 0

AK ŞİRKETİ ÖRNEĞİ- MODELMin (M+T1)X1+(M+T2)X2+ (M+T3)X3+ 

(C+S1)X4+(C+S2)X5+(C+S3)X6St.X1+X2+X3 ≤ K1X4+X5+X6 ≤ K2X4+X5+X6 ≤ K2X1 + X4 = R1X2 + X5 = R2X3 + X6 = R3X1, X2, X3,X4,X5,X6 ≥ 0

ÖRNEK

• Varsayalım ki bir firma depolarında bekleyen büyük ekran TV’leri en düşük maliyetle sipariş veren farklı mağazalarına yollamak istemektediristemektedir.

• Ulaşımda kullanılan kamyonlar bir seferde tek bir TV götürebilmektedir.

19.02.2008

18

Sorular

• Kaç Tane Depo Var?– Her bir deponun arz kapasitesi nedir?

• Kaç Tane Mağaza Var?H bi ğ i i ik di ?– Her bir mağazanın sipariş miktarı nedir?

• Her Bir Depodan Mağazalara Taşıma Maliyeti Nedir?– Mesafeyi, ücretleri, sigortayı vs. dikkate alın

Modelin Grafik Temsili

ARZTALEP

126 M1

20

30

15

22

5

118

10

14

D1

D2M3

M2

Karar Değişkenlerinin Tanımlanması

• X1 = D1’den M1’e gönderilen miktar

• X2 = D1’den M2’ye gönderilen miktar

• X3 = D1’den M3’e gönderilen miktar

• X4 = D2’den M1’e gönderilen miktar

• X5 = D2’den M2’ye gönderilen miktar

• X6 = D2’den M3’e gönderilen miktar

Amaç/Amaç Fonksiyonu

• Amaç – Toplam Maliyeti En Aza İndirmek– D1’den M1’e 1 TV yollamanın maliyeti 6 pb.– Kaç Tane Yollayacağız?

• Bilinmiyor• Ancak D1’den M1’e yollanan miktarı gösteren sembol X1

– Dolayısıyla D1’den M1’e yollanan malların toplam maliyeti y y y p y6X1

– Diğer Maliyetlerde Benzer Şekilde Belirlenebilir• Buna Göre Amaç Fonksiyonu:

MIN 6X1 + 8X2 + 11X3 +  10X4 + 5X5 + 14X6

19.02.2008

19

Depo Kısıtları• Her Bir Depo’dan Yollanacak TV Miktarı O depoda 

Varolan TV Miktarından Fazla Olamaz– D1’den Kaç Tane Yollayacağız?

• X1 tane M1’e, X2 tane M2’ye ve X3 tane M3’e• Dolayısıyla D1’den yollanacak toplam miktar:

X1 + X2 + X3– D1’den yollanabilecek en fazla miktar nedir?

• Deponun toplam arzı yani 20’dir• Deponun toplam arzı yani 20’dir

• Dolayısıyla D1 için şu kısıtımız vardırX1 + X2 + X3 ≤ 20

• Benzer Şekilde D2 İçin:  X4 + X5 + X6 ≤ 30

Mağaza Kısıtları

• Her Bir Mağazaya Gelen Mal Miktarı Mağazanın Siparişine Eşit Olacaktır– M1’e Kaç TV Gelecektir

• X1 tane D1’den ve X4 tane D’den

l ik i i i i l k• Gelen Miktar Siparişine Eşit Olacaktır ‐‐ 12

• Buna Göre M1 İçin Kısıtımız:

X1 + X4 = 12

• Benzer Şekilde M2 ve M3 İçin:

S2: X2 + X5 = 15

S3: X3 + X6 = 22

Negatif Olmama Kısıtları

• Bir Depodan Bir Mağazaya Yollanan Miktar Negatif Olamaz

• Dolayısıyla:Dolayısıyla:– X1 ≥ 0, X2 ≥ 0, X3 ≥ 0, X4 ≥ 0, X5 ≥ 0, X6 ≥ 0

– Basitçe Yazarsak:  Xi ≥ 0 i=1,2,3,4,5,6

Matematiksel Model

MIN 6X1 + 8X2 + 11X3 +  10X4 + 5X5 + 14X6S.T. X1 +  X2 +    X3 ≤ 20

X4 +   X5 +     X6 ≤ 304 5 6

X1 +      X4 = 12

X2 +  X5 = 15

X3 +    X6 = 22

Xi ≥ 0 i=1,…,6

19.02.2008

20

Modelin Çözümü

• Uygun Çözüm Tekniğinin Belirlenmesi

• Model Çözümünün Üretilmesi

• Model Sonuçlarını Test Et/Geçerliliğini Araştır• Model Sonuçlarını Test Et/Geçerliliğini Araştır

• Sonuçlar Kabul Edilemez İse Modelleme Aşamasına Dön

• “Eğer…Olursa, …..Ne Olur” Analizleri Yap

Modelin Çözümü

• Verdiğimiz Örnek Ulaştırma Modeline Uymaktadır 

• Bilgisayar Yardımı İle Model Çözülebilir

Analiz

• D1’den M1’e 12 ve M3’e 8 TV Yollanacak

• D2’den M2’ye 15 ve M3’e 14 TV Yollanacak

• Toplam Maliyet  431 pb.

• 1 TV D2’de Kalır

• Herhangi Bir Diğer Kombinasyonun Maliyeti Daha Yüksek Olacaktır

19.02.2008

21

Çözüm Sonrası Aşamalar

• Rapor/ Sunum Oluşturulması

• Uygulama Sonuçlarının İzlenmesi

Sunumların Hazırlanması

• Giriş

• Varsayımlar

• Çözüm Yaklaşımı/Kullanılan Yazılım

• Model Sonuçlarının Analizi

• “Eğer…Olursa,…Ne Olur” Analizleri

• Öneriler

• Ekler

Yöneylem Araştırması Süreci

Problem Tanımlama

Matematiksel Model

Modelin Çözümü

İletişim