XXe siècles

LX2U1 : Histoire des sciences XVIIIe – XXe siècles

10e séance – Les sciences mathématiques 1750-1850

Enseignant : Alexandre GUILBAUD

E-mail : [email protected] Page web : http://www.math.jussieu.fr/~guilbaud

Le mercredi 26 mars 2014 LX2U1 : 10e séance

Plan du cours

2

1.  Les écoles d'ingénieur d'Ancien Régime 2.  La science pendant la Révolution 3.  L'Ecole Polytechnique et l'Ecole normale (de l'an III) 4.  La science post-révolutionnaire

IV. Des sciences physico-mathématiques à la physique mathématique

II. 1750-1850 : la science française en mutation

I. Le triomphe de l’Analyse

1.  Panorama du développement de l’Analyse au XVIIIe siècle 2.  La Méchanique analitique de Lagrange et la Méchanique céleste de Lagrange

III. Transformations des sciences mathématiques au XIXe siècle

1.  La Théorie analytique de la chaleur de Joseph Fourier (1822) 2.  La mathématisation des phénomènes électriques


I.1. Panorama du développement de l'analyse au XVIIIe siècle

3

§  Calcul des variations (Newton, Leibniz, Jean et Jacques Bernoulli, Euler, Lagrange)

§  Intégration des « différences » rationnelles (Leibniz, Jean Bernoulli, Maclaurin) et irrationnelles (Maclaurin, D'Alembert, Fagnano, Euler, Lagrange), en lien avec la démonstration du théorème fondamental de l'algèbre. §  Intégration des équations et systèmes d'équations différentielles linéaires / intégration d'équations non linéaires (D'Alembert et Euler)

§  Notion de fonction et développements en séries (Newton, Leibniz, Euler, D'Alembert, Daniel Bernoulli, Lagrange) §  Calcul différentiel et intégral de fonction de plusieurs variables (Euler, Clairaut, Fontaine) et théorie des équations aux dérivées partielles (Clairaut, D'Alembert, Euler, Lagrange, Laplace, Condorcet, Monge) §  Prémices de la théorie des fonctions de la variable complexe (Leibniz et Jean Bernoulli, D'Alembert et Euler)

Jean Le Rond D'Alembert (1717-1783)

Leonhard Euler (1717-1783)

Joseph-Louis Lagrange(1736

-1813)


I.2. La Mécanique analytique de Lagrange et la Mécanique céleste de Laplace

§  Le développement de l'Analyse au XVIIIe siècle est étroitement lié à celui des mathématiques mixtes, à savoir la mécanique et l'astronomie :

-  l'Analyse permet d'élargir le champ d'application des mathématiques aux phénomènes physiques (exemple : naissance de la mécanique des milieux continus avec les problèmes des cordes vibrantes et de la propagation du son et l'hydrodynamique)

-  son application aux phénomènes physiques conduit à la naissance de nouvelles théories (exemple : théorie des équations aux dérivées partielles) et alimente de nouveaux questionnements mathématiques (exemple : nature de la notion de fonction).

§  Deux ouvrages, à la fin du XVIIIe siècle, marquent l'apogée de l'application de l'analyse à l'astronomie et à la mécanique :

-  la Mécanique analytique de Lagrange (1788) : réduction des sciences du mouvement des corps solides et des fluides à des procédures de calcul différentiel et intégral à partir d'un unique principe mécanique (principe des travaux virtuels) / « On ne trouvera point de figure dans cet ouvrage ».

-  la Mécanique céleste de Laplace (5 volumes publiés en 1798 et 1825) : reformulation de la théorie newtonienne en termes analytiques (grâce en particulier à la notion de potentiel) / théorie des perturbations.

4


II.1. L'Ecole royale des Ponts et Chaussées

§  Le Bureau des dessinateurs devient progressivement une école. Ses membres, tous élèves dès 1748, partagent leur temps entre activités professionnelles (cartes) et scolaires.

§  Le Bureau des dessinateurs est pour la première fois officiellement qualifiée d'Ecole des Ponts et Chaussées le 19 février 1775 dans un arrêt de Turgot établissant son règlement.

5

§  Faiblesse de la formation théorique : formation en mathématiques dispensée par les trois meilleurs élèves de chaque classe / cours de levée de plans, de nivellement et de dessin + cours facultatifs de chimie, de physique, d'hydraulique, d'astronomie en dehors de l'Ecole.

§  1744 : Trudaine, directeur du Corps des Ponts et Chaussées, établit un bureau spécial de dessinateur afin de faire établir les plans des routes de tout le royaume.

§  Arrêt du 4 février 1747 : Jean-Rodolphe Perronet est chargé de « la conduite et inspection des géographes et dessinateurs de plans et cartes », d'« instruire les dits dessinateurs des sciences et pratiques nécessaires pour parvenir à remplir avec capacité les différents emplois des dits Ponts et Chaussées ». Jean-Rodolphe Perronnet

(1708-1794)


II.1. Les écoles militaires dans la seconde moitié du XVIIIe siècle

6

§  Dans la seconde moitié du XVIIIe siècle, les académiciens deviennent auteurs de manuels, examinateurs et professeurs dans les écoles militaires :

ü  Ecoles d'artillerie :

-  Examinateurs : Camus (1755-1768), Bézout (1768-1783) puis Laplace.

-  Cours de mathématique de Camus (4 vol., 1749-1752 pour la 1ère éd.) puis Cours de mathématiques à l'usage du corps royal de l'artillerie de Bézout (4 vol., 1770-1772 pour la 1ère éd.).

ü  Ecole royale du Génie de Mézières :

-  Examinateurs : Camus (1755-1768) puis Bossut (1768-1793), qui y enseignait les « mathématiques » depuis 1753.

-  Cours de mathématique de Camus puis le cours complet de mathématiques de Bossut (4 vol., 1772-1775 pour la 1ère éd.), complété par son Traité élémentaire d'hydrodynamique (2 vol., 1771 pour la 1ère éd.).

ü  Ecoles des Gardes de la Marine :

-  Bézout, examinateur à partir de 1764, et auteur du Cours de mathématiques à l'usage des Gardes du pavillon et de la Marine (1764-1767 pour la 1ère éd.).


II.2. La science pendant la Révolution

7

§  En août 1793, la Convention décide la suppression de l'ensemble des académies, y compris l'Académie royale des sciences de Paris.

§  Une forme originale de vie scientifique se met en place. Les anciens académiciens participent

-  à des commissions gouvernementales (telles que la commission des poids et mesures), -  à des sociétés libres (la Société philomathique).

-  certains sont directement employés comme conseillers scientifiques par le comité de salut public dans le cadre de l'effort de guerre.

§  Les savants, au premier rang desquels Monge et Condorcet, s'efforcent d'instaurer un enseignement des sciences au sein de l'Instruction publique dans l'esprit des Lumières :

-  Plusieurs grands établissements d'enseignement à vocation scientifique sont ainsi créés par la Convention. Les savants y reprendront leur service d'enseignant (exercé dans les écoles d'Ancien Régime) ou le deviendront.

-  Ces grands établissements joueront un rôle essentiel dans le développement de la science.


II.3. L'Ecole Polytechnique et l'Ecole normale

8

§  Fruit du projet d'enseignement de Monge, l'Ecole Polytechnique est crée par la Convention le 21 décembre 1794 sous le nom d'Ecole centrale des travaux publics.

-  Six de ses professeurs (« instituteurs ») sont d'anciens académiciens, en particulier Lagrange en analyse, Monge en géométrie descriptive, Berthollet en chimie.

-  Les professeurs ont la direction effective de l'Ecole.

§  L'Ecole normale (de l'an III) est créée par la Convention le 9 brumaire an III (30 octobre 1794). Elle a pour but la formation des instructeurs chargés d'établir des écoles normales d'instituteurs pour l'enseignement primaire.

-  Ses professeurs sont également d'anciens et prestigieux académiciens : Lagrange et Laplace en mathématiques, Monge en géométrie descriptive, Berthollet en chimie

-  Le cours inaugural est donné le 20 janvier 1795 et le dernier le 19 mai… 1795. Cette brève expérience servira de modèle à la nouvelle école, refondée par Napoléon en 1808.

Fronton de l'ENS (45 rue d'Ulm, Paris 5e)


II.4. La science post-révolutionnaire

9

§  Après 1795, une nouvelle forme d'organisation scientifique se met en place. §  Ce système est dominé par quelques individus, reconnus par l'autorité politique, légitimés par leur œuvre scientifique et leur place institutionnelle. Nombre d'entre eux ont exercé des fonctions de pouvoir pendant la Révolution ou seront amenés à le faire :

-  Condorcet : éminence grise de Turgot entre 1774 et 1776, élu député de Paris de l'Assemblée législative en 1791, député de l'Aisne à la Convention nationale en 1792, arrêté le 27 mars 1794 (et retrouvé mort dans sa cellule deux jours plus tard).

-  Bailly : premier président de l'Assemblée constituante et élu maire de Paris en 1789, guillotiné en 1793.

-  Lavoisier : fermier général et régisseur des poudres jusqu'en 1791, guillotiné en 1794. -  Lazare Carnot : général et membre du Comité de Salut Public en 1793, ministre de la Guerre sous le Consulat.

-  Fourier : préfet de l'Isère de 1802 à 1815

-  Monge : ministre de la Marine en 1792-1793, nommé sénateur en 1799.


II.4. La science post-révolutionnaire

10

-  Lagrange et Laplace : nommés sénateur en 1799. -  François Arago : député, ministre de la Guerre et de la Marine dans le gouvernement provisoire de la IIe République, puis président de la Commission exécutive.

§  La science parisienne fonctionne autour des grandes institutions d'enseignement (le savant du XIXe siècle est professeur) et de l'Institut de France (1795-1816) / Académie des sciences (1816 – …). §  Quelques traits généraux, caractéristiques de la science du XIXe siècle :

-  nouvelles institutions (Ecole Polytechnique, Université de Berlin, etc.)

-  création de journaux spécialisés. En mathématiques : Journal de Crelle, Annales de Gergonne, Journal de Liouville.

-  la science n'est plus européenne comme au XVIIIe siècle, mais concentrée autour d'« écoles » (Paris, Berlin, Göttingen…).

-  les sociétés savantes seront créées à la fin du siècle (exemple : création de la Société mathématique de France en 1872).



11

§  Le XIXe siècle considérée comme la période d’éclosion des mathématiques modernes. §  En France, Ecole polytechnique + Académie des sciences, écoles d’application de l’Ecole polytechnique, etc.

à Suprématie des mathématiques françaises pendant la première moitié du XIXe siècle (Lagrange, Laplace, Monge, Carnot, Legendre, Cauchy, Fourier, Poisson, Prony, Navier, Coriolis, Poncelet, etc.)

§  En Allemagne, renouveau des mathématiques dans le courant de la décennie 1820 à la suite des réformes Humboldt (décennie 1810)

à les mathématiques allemandes prennent progressivement le dessus à partir des années 1830 (Gauss, Dirichlet, Jacobi, Möbius, Plücker, Ohm, puis Helmholtz, Kirchhoff, Weierstrass, Kronecker, Riemann, Klein, etc.).

§  En Grande-Bretagne, introduction des mathématiques continentales dans le courant des deux premières décennies (sous l’impulsion, notamment, de l’Analytical Society de Cambridge.

à  naissance d’un programme de travail en algèbre symbolique et physique mathématique (Babbage, Herschel, Peacock, puis De Morgan, Green, Hamilton, Boole, Stokes, Thomson-Kelvin, etc.)



12

§  Naissance de l’algèbre moderne : théorie des groupes (Galois, Hermite, Jordan, Sylvester, Klein, etc.)

§  Renouveau de la théorie des nombres (en lien avec l’algèbre notamment)

§  Renouveau de la géométrie : géométrie descriptive (Monge) / géométrie projective (Poncelet), géométries non euclidiennes (cf. cours).

§  Nouveaux canons de rigueur en analyse (mais pas seulement) : fondation du calcul différentiel et intégral sur la notion de limite par Cauchy (années 1820), critère de Dirichlet pour le développement des fonctions en séries de Fourier (1829), etc.

§  Séparation plus nette entre mathématiques pures et mathématiques appliquées + naissance de la physique mathématique :

-  Mathématisation de phénomènes physiques : optique, chaleur, électricité, magnétisme, etc.

-  Deux principales approches concurrentes sur la période 1800-1830 : approche newtonienne défendue par l’école physique laplacienne (modèle moléculaire, interactions à distance) versus approche éthérienne (propagation des phénomènes de proche en proche).


IV.1. La Théorie analytique de la chaleur de Joseph Fourier (1822). §  Dès 1805, Joseph Fourier s'intéresse au problème de la propagation de la chaleur. Il synthétise ses résultats (déjà parus dans plusieurs mémoires) dans sa Théorie analytique de la chaleur, publiée en 1822.

§  Sa démarche pour la mathématisation du problème dans un corps continu consiste à étudier les échanges de chaleur entre un nombre fini de corps disjoints, puis à passer à un nombre infini de corps.

Joseph Fourier(1768-1830

)

§  Dans le section VI du traité, il exhibe pour la première fois (sans la démontrer) la décomposition en série qui porte son nom. Il en déduit (à tort) que toute fonction d'une variable peut être représentée sous forme d'une série trigonométrique (Dirichlet, en 1829, précisera les conditions permettant de développer une fonction en série de Fourier).

§  Il établit en particulier l'équation aux dérivées partielles (E) gouvernant l'évolution de la température θ en tout point (x,y) d'une lame solide infiniment mince,

en exhibe une solution générale par superposition de solutions particulières, dont il calcule les coefficients en tenant compte des conditions aux limites.

13


IV.2. La mathématisation des phénomènes électriques §  A la différence de l'astronomie et de la mécanique, l'électricité au XVIIIe siècle est une science purement expérimentale et qualitative, à la portée de nombreux amateurs. De nombreuses expériences sont conduites à la cour royale, dans les salons, dans les foires…

§  Quelle est la « matière de l'électricité » ? Les opinions divergent :

« FEU ELECTRIQUE, FLUIDE ELECTRIQUE, ou MATIÈRE ELECTRIQUE ; on entend sous ces différentes dénominations ce fluide très subtil, très mobile, qui se trouve répandu dans tous les corps, qui pénètre avec la plus grande facilité la plupart des milieux ; enfin qui cause immédiatement tous les phénomènes de l'électricité, comme l'attraction & la répulsion des corps légers, l'explosion de l'étincelle, les émanations lumineuses, &c. Les Physiciens sont partagés sur la nature du fluide électrique » (Encyclopédie, vol. 6, 1756, p. 616a).

§  Pour l'abbé Nollet (1700-1770), académicien, les phénomènes observés se réduisent au jeu des effluences et des affluences d'une matière électrique universelle. Ses conceptions sur l'électricité resteront dominantes jusqu'à sa mort en 1770.

§  Dans une lettre à Réaumur du 20 janvier 1746, le physicien Peter van Musschenbroek (1692-1761) rapporte l'expérience effectuée sur la bouteille de Leyde : « Tout à coup, j'eus ma main droite frappée avec tant de violence, que j'eus tout le corps ébranlé comme d'un coup de foudre ; je croyais que c'était fait de moi. Je ne vous conseille point de tenter vous-même l'expérience ».

14


IV.2. La mathématisation des phénomènes électriques

15


IV.2. Benjamin Franklin et Franz Aepinus §  Le processus de mathématisation est ébauché par Benjamin Franklin peu avant 1750 et trouve son aboutissement dans les années 1810-1820 avec la théorie mathématique de Poisson et les travaux d'Ampère sur l'électrodynamique.

§  Benjamin Franklin conduit de nombreuses expériences entre 1747 et 1755 :

-  pour les expliquer, il introduit une distinction entre le corps « qui en a de plus », électrisé plus ou positivement, et le corps « qui en a de moins », électrisé négativement.

-  il met à jour expérimentalement le phénomène du pouvoir des pointes (paratonnerre).

§  Franz Aepinus (1724-1802) met au point le condensateur à air avec son étudiant Wilcke. Dans le Tentamen theoriae electricitatis et magnetismi (1759) :

-  il interprète les effets d'influence électrique en termes de répulsion entre électricités de même espèce et d'attraction entre électricités de signes contraires.

-  il introduit la notion d'action à distance en électricité en faisant l'hypothèse d'une loi de force électrique décroissant en fonction de la distance des corps électrisés.

Benjamin Franklin(1706-1790)

16


IV.2. Charles Coulomb §  Alessandro Volta (1745-1827) réalise de nombreuses expériences avec l'électroscope à feuilles d'or et son électroscope condensateur (qu'il met au point en 1782). Il nomme « tension » le degré d'électrification d'un conducteur et conjecture la loi selon laquelle, pour une charge donnée, la tension est inversement proportionnelle à la capacité du conducteur.

§  Entre 1785 et 1789, Charles Augustin Coulomb (1736-1806) présente sept Mémoires sur l'électricité et le magnétisme considérés comme fondateurs d'une science mathématique de l'électrostatique et comme une avancée importante dans l'étude du magnétisme.

§  Dans le premier (1785), Coulomb annonce avoir établi, grâce à sa balance à torsion, la loi en 1/d2 de l'interaction électrostatique dans le cas de forces de répulsion :

« la force répulsive de deux petits globes électrisés de la même nature d'électricité est en raison inverse du carré de la distance du centre des deux globes ».

17


IV.2. Charles Coulomb §  Il étend sa loi aux cas de forces électriques d'attraction dans le 2e mémoire et étudie la déperdition d'électricité avec le temps dans le 3e.

§  Dans les 4e, 5e et 6e mémoires, Coulomb s'intéresse à la distribution de l'électricité à la surface de conducteurs de formes diverses mis en contact :

Charles Coulomb(1736-1806

) -  ses résultats expérimentaux sont confrontés à des calculs dérivés de la loi en 1/d2.

-  il démontre que « dans un corps conducteur chargé d'électricité, le fluide électrique se répand sur la surface du corps, mais ne pénètre pas dans l'intérieur des corps. -  il explique le phénomène du pouvoir des pointes.

§  Dans le 7e mémoire, il s'intéresse à la répartition du magnétisme dans un aimant.

18


IV.2. Charles Coulomb : la balance à torsion

19


IV.2. Le potentiel électrique de Poisson et l'électrodynamique d'Ampère

§  En 1811, sous l'influence de Laplace (l'un de ses protecteurs, avec Lagrange), Siméon Denis Poisson reformule la loi de Coulomb en suivant la voie ouverte par son aîné en mécanique céleste : il établit ainsi la théorie du potentiel électrique.

§  En 1820, une expérience due au physicien danois Hans Christian Oersted (1777-1851) est reproduite à Genève, puis à l'Académie des sciences de Paris : un fil métallique placé au-dessus d'une aiguille de boussole fait dévier cette aiguille de son orientation Nord-Sud lorsque ce fil relie les deux pôles d'une pile.

§  Une semaine après avoir assisté à l'expérience, André-Marie Ampère présente ses premières recherches devant l'Académie :

« Je montrai que le courant qui est dans la pile agit sur l'aiguille aimantée comme celui du fil conjonctif [...]. Je décrivis les instruments que je me proposais de faire construire, et entre autres des spirales et des hélices galvaniques. J'annonçai que ces dernières produiraient, dans tous les cas, les mêmes effets que les aimants. J'entrai ensuite dans quelques détails sur la manière dont je conçois les aimants, comme devant uniquement leurs propriétés à des courants électriques […] ; en sorte que je réduisis tous les phénomènes magnétiques à des effets purement électriques » [Journal de physique, de chimie…, vol 91, 1820, p. 76-78]

Siméon Denis Poisson(1781-1840)

20


IV.2. L'électrodynamique d'Ampère

§  L'hypothèse, défendue par Ampère, de l'existence de courants électriques à l'intérieur des aimants suscite le scepticisme de ses pairs, jusqu'à ce que Faraday annonce, à l'automne 1821, avoir obtenu la rotation continue d'un aimant sous l'action d'un conducteur et réciproquement : Ampère obtient une rotation continue en remplaçant l'aimant par un solénoïde, mais l'expérience ne fonctionne plus avec deux aimants…

André-Marie Ampère(1775-1836)

§  La poursuite de ses recherches et expériences pendant plusieurs années le conduit à l'établissement de la formule dite d'Ampère exprimant la force qu'exercent l'un sur l'autre deux éléments de courants infinitésimaux ids et i'ds' placés à une distance r l'un de l'autre et d'orientations relatives définies par les trois angles α, β et γ :

En 1827, Ampère publie une synthèse de ses travaux, dans sa Théorie mathématique des phénomènes électrodynamiques, uniquement déduite de l'expérience, fondatrice de l'électrodynamique.

i i' ds ds' (sin α sin β cos γ - ½ cos α cos β) / r2

21

Documents

XXe siècles