Xác suất - Thống kê (Bài giảng tóm tắt) - Đặng Phước Huy

8/18/2019 Xác suất - Thống kê (Bài giảng tóm tắt) - Đặng Phước Huy

http://slidepdf.com/reader/full/xac-suat-thong-ke-bai-giang-tom-tat-dang-phuoc-huy 1/119

TRÖÔØNG ÑAÏI HOÏC ÑAØ LAÏTKHOA TOAÙN - TIN HOÏC

ÑAËNG PHÖÔÙC HUY

XAÙC SUAÁT - THOÁNG KEÂ (Baøi Giaûng Toùm Taét)

-- Löu haønh noäi boä --

Ña Lat 2 8



ôc lôc

PhÇn I: X¸c suÊt



PhÇn II: Thèng kª



Phần I

¸c suÊt



Ch-¬ng 1

Çc kh¸i niÖm vÒ x¸c suÊt

1.1 PhÐp thö ngÉu nhiªn- BiÕn cè ngÉu nhiªn

1.1.1 PhÐp thö ngÉu nhiªn

Bªn c¹nh çc hiÖn tîng gäi lµ tÊt ®Þnh cã çc hiÖn tîng gäi lµ “ngÉu nhiªn”. §Ó minhhäa cho çc hiÖn tîng cã tÝnh ngÉu nhiªn chóng ta xem mét sè vÝ dô:

a. Gieo con xóc x¾c, kÕt qu¶ lµ mét trong çc mÆt cã sè nót tõ 1 ®Õn 6.

b. Quan s¸t lîng kh¸ch t¹i mét kh¸ch s¹n trong mét th¸ng cè ®Þnh nµo ®ã.

c. §o thêi gian sèng cña bãng ®Ìn do mét nhµ m¸y s¶n xuÊt.Râ rµng ë vÝ dô (a), kh«ng thÓ biÕt ch¾c ®îc mÆt sè nót nµo sÏ x¶y ra tríc mçi lÇn gieo.Trong vÝ dô (b) l¹i cµng kh«ng thÓ ®o¸n tríc ®îc lîng kh¸ch ë th¸ng nµy trong n¨m lµbao nhiªu (chõng nµo ngµy cuèi cña th¸ng nµy cha qua). Trong vÝ dô (c), ta kh«ng thÓ biÕtgi¸ trÞ vÒ thêi gian sèng cña bãng ®Ìn tríc mçi lÇn ®o.

Çc hiÖn tîng trªn cã mét ®Æc ®iÓm chung lµ chØ khi kÕt thóc hµnh ®éng ( gieo con xóc x¾c xong, thèng kª lîng kh¸ch ®Õn hÕt ngµy cuèi cïng cña th¸ng ®îc quan s¸t, kÕt thócviÖc ®o thêi gian sèng cña bãng ®Ìn) míi biÕt ®îc kÕt qu¶. Ta nãi çc hiÖn tîng ®ã lµngÉu nhiªn vµ hµnh ®éng gieo con xóc x¾c, quan s¸t lîng kh¸ch... ®îc gäi lµ phÐp thö ngÉu nhiªn (hay lµ thÝ nghiÖm ngÉu nhiªn). Tãm l¹i, ta quan niÖm:

PhÐp thö ngÉu nhiªn: lµ mét phÐp thö mµ kÕt côc x¶y ra cña nã chØ cã thÓ biÕt ch¾c ch¾nkhi phÐp thö kÕt thóc. Ta sÏ thêng dïng ch÷ E ®Ó chØ cho mét phÐp thö ngÉu nhiªn (®«i khigäi ng¾n gän lµ phÐp thö).

Lý thuyÕt x¸c suÊt nghiªn cøu tÝnh quy luËt cña çc hiÖn tîng ngÉu nhiªn mang tÝnhæn ®Þnh (tÝnh chÊt ®¸m ®«ng). TÝnh chÊt nµy thÓ hiÖn, ch¼ng h¹n, qua vÝ dô sau:

Khi gieo mét ®ång xu, nÕu quan s¸t sù xuÊt hiÖn cña biÕn cè mÆt sÊp trong tõng lÇngieo th× chóng ta kh«ng thÓ dù ®o¸n ®îc kh¶ n¨ng xuÊt hiÖn cña biÕn cè nµy. Tuy nhiªn,

3



4 §Æng Phíc Huy

nÕu tiÕn hµnh sè lÇn gieo kh¸ lín trong nh÷ng ®iÒu kiÖn ®ång ®Òu nhau, th× cã thÓ x¸c ®ÞnhtÝnh æn ®Þnh cña sè lÇn mÆt sÊp x¶y ra. T¬ng tù nh vËy, nÕu gi¶ thiÕt mäi bãng ®Ìn domét nhµ m¸y s¶n xuÊt lµ cïng mét quy tr×nh c«ng nghÖ vµ ®iÒu kiÖn m«i trêng (tÝnh ®ång ®Òu). Khi ®ã nÕu lÊy yÕu tè “thêi gian sèng cña bãng ®Ìn” lµm chØ tiªu ®¸nh gi¸ chÊt lîng

s¶n phÈm s¶n xuÊt ra, ch¼ng h¹n ta tuyªn bè mét bãng ®Ìn lµ ®¹t yªu cÇu khi thêi giansèng cña nã 20000 giê , gäi biÕn cè nµy lµ A. Chóng ta kh«ng thÓ biÕt ®îc A cã x¶yra hay kh«ng tríc mçi lÇn ®o tõng bãng ®Ìn, nhng nÕu tiÕn hµnh ®o mét sè lîng lín çcbãng ®Ìn do nhµ m¸y s¶n xuÊt th× kh¶ n¨ng x¶y ra cña biÕn cè A sÏ æn ®Þnh.

Nãi tãm l¹i, lý thuyÕt x¸c suÊt ®· m« h×nh hãa to¸n häc çc hiÖn tîng ngÉu nhiªnmang tÝnh æn ®Þnh theo nghÜa ®¸m ®«ng nh trªn (mét lêi bµn kh¸ lý thó vÒ vÊn ®Ò nµy cãthÓ xem trong [1]).

1.1.2 Kh«ng gian biÕn cè cña phÐp thö ngÉu nhiªn

BiÕn cè ngÉu nhiªn: Khi thùc hiÖn mét phÐp thö E , cã thÓ x¶y ra çc kÕt côc kh¸c nhau.Ta gäi mçi kÕt côc cña mét phÐp thö ngÉu nhiªn lµ mét biÕn cè ngÉu nhiªn ( hoÆc ng¾n gänlµ biÕn cè ).

BiÕn cè c¬ b¶n: Mét biÕn cè trong phÐp thö E gäi lµ c¬ b¶n nÕu nh nã kh«ng thÓ ph©n chia®îc thµnh çc biÕn cè kh¸c (nã x¶y ra kh«ng phô thuéc vµo sù xuÊt hiÖn hoÆc kh«ng xuÊt hiÖn cña çc biÕn cè kh¸c) cña phÐp thö.

VÝ dô 1.1.1. PhÐp thö E : gieo con xóc x¾c. XÐt çc biÕn cè cña phÐp thö nµy:

E k = mÆt sè nót k; k = 1, 2, . . . 6,

A =

MÆt cã sè nót ch½n

.

Çc biÕn cè c¬ b¶n cña phÐp thö lµ E 1, E 2, E 3, E 4, E 5, E 6. BiÕn cè A kh«ng lµ biÕn cè c¬ b¶n v× nã x¶y ra phô thuéc vµo sù xuÊt hiÖn cña mét trong çc biÕn cè hoÆc E 2, hoÆc E 4,hoÆc E 6.

Kh«ng gian biÕn cè c¬ b¶n: lµ tËp hîp tÊt c¶ çc biÕn cè c¬ b¶n cña mét phÐp thö. Ký hiÖulµ Ω.

VÝ dô 1.1.2. Kh«ng gian biÕn cè c¬ b¶n cña phÐp thö trong VÝ dô(1.1.1) lµ tËp E kk=1,2,...6.

VÝ dô 1.1.3. Gieo ®ång thêi 2 con xóc x¾c, kh«ng gian biÕn cè c¬ b¶n lµ:

Ω = E ij | i, j = 1, 2, . . . , 6 = (E i, E j) | i, j = 1, 2, . . . , 6víi ký hiÖu E k nh trong VÝ dô (1.1.1). Trong trêng hîp nµy tËp Ω cã 36 biÕn cè.

VÝ dô 1.1.4. Trong vÝ dô (b) Môc 1.1.1, kh«ng gian biÕn cè c¬ b¶n lµ:

Ω = 0, 1, 2, . . . , N 0víi N 0 lµ sè nguyªn d¬ng kh¸ lín nµo ®ã.



Ch¬ng 1. Çc kh¸i niÖm vÒ x¸c suÊt 5

VÝ dô 1.1.5. Trong vÝ dô (c) Môc 1.1.1, kh«ng gian biÕn cè c¬ b¶n lµ:

Ω = [0, ∞).

VÝ dô 1.1.6. §Ó kiÓm tra chÊt lîng mét l« hµng gåm N s¶n phÈm, ngêi ta dïng ph¬ng

ph¸p lÊy mÉu ngÉu nhiªn. TiÕn hµnh lÊy ngÉu nhiªn k s¶n phÈm trong l« (k N ), sè phÕ phÈm ghi nhËn ®îc trong mÉu lÊy ra sÏ lµm c¬ së cho viÖc ®¸nh gi¸ chÊt lîng cña l«hµng. Nh vËy, trong trêng hîp nµy phÐp thö E chÝnh lµ mét lÇn lÊy ngÉu nhiªn ra tõ l«hµng k s¶n phÈm. Mét biÕn cè c¬ b¶n cña phÐp thö chÝnh lµ mét bé gåm k s¶n phÈm saumét lÇn lÊy ra. Sè lîng biÕn cè c¬ b¶n cña phÐp thö nµy b»ng chÝnh sè lÇn lÊy ra k s¶n phÈm kh«ng kÓ thø tù trong N s¶n phÈm, tøc lµ b»ng

C kN = N !

k!(N − k)!

Ghi chó. Dùa vµo kh«ng gian biÕn cè c¬ b¶n cã thÓ ®Þnh nghÜa biÕn cè cña mét phÐp thö

E nh sau: Mét biÕn cè ngÉu nhiªn cña phÐp thö E lµ mét tËp con cña Ω.Víi ®Þnh nghÜa nµy cã thÓ m« t¶ tèt h¬n çc biÕn cè cña mét phÐp thö ngÉu nhiªn. ThËt

vËy, nh»m minh häa ta xÐt phÐp thö gieo con xóc x¾c trong VÝ dô (1.1.1):

- Kh«ng gian biÕn cè c¬ b¶n lµ: Ω = E 1, E 2, E 3, E 4, E 5, E 6. V× b¶n th©n Ω còng lµ tËpcon cña chÝnh nã nªn Ω lµ mét biÕn cè ngÉu nhiªn cña phÐp thö (mÖnh ®Ò t¬ng øng chobiÕn cè ngÉu nhiªn nµy lµ: “mét trong çc mÆt cã sè nót tõ 1 ®Õn 6 x¶y ra ”. §©y lµ biÕn cè lu«n x¶y ra khi thùc hiÖn phÐp thö).

- MÖnh ®Ò “ Mäi mÆt cã sè nót tõ 1 ®Õn 6 lµ kh«ng x¶y ra”, sù kiÖn nµy lu«n lu«n kh«ng xuÊt hiÖn khi thùc hiÖn phÐp thö. Nã thÓ hiÖn cho mét biÕn cè kh«ng thÓ x¶y ra vµ nÕu xem tËptrèng (ký hiÖu

∅) còng lµ tËp con cña mét tËp hîp, th× mÖnh ®Ò trªn t¬ng øng víi mét biÕn

cè chÝnh lµ tËp ∅. BiÕn cè nµy gäi lµ biÕn cè trèng.

- MÖnh ®Ò “ MÆt cã sè nót ch½n x¶y ra” t¬ng øng víi tËp con E 2, E 4, E 6 cña Ω nªn nãcòng lµ mét biÕn cè cña phÐp thö trªn.

1.1.3 Quan hÖ trªn çc biÕn cè

XÐt phÐp thö E víi kh«ng gian biÕn cè c¬ b¶n Ω. Ta cã çc kh¸i niÖm sau:

BiÕn cè hîp: Víi E vµ F lµ hai biÕn cè bÊt kú cña Ω (tøc lµ hai tËp con cña Ω), th× tËp E ∪ F còng lµ mét biÕn cè cña phÐp thö vµ gäi lµ biÕn cè hîp cña hai biÕn cè trªn. Nh vËy, E

∪F

x¶y ra khi vµ chØ khi hoÆc E hoÆc F x¶y ra.BiÕn cè giao: Còng víi hai biÕn cè nh trªn, th× tËp E ∩ F ®îc gäi lµ biÕn cè giao cña haibiÕn cè E vµ F. Nã x¶y ra khi vµ chØ khi ®ång thêi c¶ E vµ F cïng x¶y ra.

BiÕn cè trèng: Lµ biÕn cè kh«ng thÓ x¶y ra khi thùc hiÖn phÐp thö. Ký hiÖu lµ ∅ (xem ghichó môc tríc).

BiÕn cè ch¾c ch¾n: Lµ biÕn cè lu«n x¶y ra khi thùc hiÖn phÐp thö. Ta dïng cïng ký hiÖukh«ng gian çc biÕn cè c¬ b¶n Ω ®Ó chØ cho biÕn cè nµy.



6 §Æng Phíc Huy

Hai biÕn cè xung kh¾c: Víi E vµ F lµ hai biÕn cè bÊt kú cña Ω, hai biÕn cè nµy gäi lµ xungkh¾c nhau nÕu nh E ∩ F = ∅. NghÜa lµ, E vµ F kh«ng ®ång thêi x¶y ra khi thùc hiÖn phÐpthö.

Chó ý:

+ NÕu hai biÕn cè E vµ F xung kh¾c ta dïng ký hiÖu E + F thay cho E ∪ F (gäi lµ tæng cña hai biÕn cè xung kh¾c). §«i khi, ®Ó cho tiÖn ta viÕt EF thay cho E ∩ F (vµ gäi lµ tÝchcña hai biÕn cè).

+ Çc ®Þnh nghÜa hîp vµ giao hai biÕn cè ®îc më réng tù nhiªn cho trêng hîp cã nhiÒubiÕn cè .

Hai biÕn cè ®èi lËp: Víi E lµ biÕn cè bÊt kú cña Ω, ta gäi E lµ biÕn cè ®èi lËp cña E nÕunh:

EE = ∅vµ

E + E = Ω.NghÜa lµ, khi tiÕn hµnh phÐp thö, chØ cã thÓ E x¶y ra vµ E kh«ng x¶y ra, hoÆc E x¶y ra vµE kh«ng x¶y ra.

VÝ dô 1.1.7. Trong vÝ dô (1.1.1) Môc 1.1.2, xÐt hai biÕn cè sau:

E = MÆt cã sè nót 1 hoÆc 3 = E 1, E 3 F = MÆt cã sè nót 1 hoÆc 5 = E 1, E 5.

Khi ®ã biÕn cè

a).

E ∪ F = E 1, E 3, E 5 = E 1 ∪ E 3 ∪ E 5

nh vËy E ∪ F x¶y ra khi vµ chØ khi E 1, hoÆc E 3, hoÆc E 5 x¶y ra.

b). NÕu lÊyE = E 1, E 3, E 5 vµ F = E 1, E 2, E 3

th× biÕn cè giaoE ∩ F = E 1, E 3 = E 1 ∪ E 3.

VËy E ∩ F x¶y ra khi vµ chØ khi E 1 x¶y ra hoÆc E 3 x¶y ra.

c). çc biÕn cè trèng cña phÐp thö, ch¼ng h¹n

∅ = E iE j ; i = j

∅ = AB, A = MÆt sè nót ch½n; B = MÆt sè nót lÎ .

d). BiÕn cè ®èi lËp, ch¼ng h¹n

A = MÆt sè nót ch½n, A = B = MÆt sè nót lÎ C = E 2, C = Ω − C = E 1, E 3, E 4, E 5, E 6.




1.2 X¸c suÊt

1.2.1 Çc ®Þnh nghÜa vÒ x¸c suÊt cña biÕn cè

HÖ biÕn cè ®Çy ®ñ: XÐt phÐp thö E

vµ kh«ng gian biÕn cè c¬ b¶n Ω cña nã. Víi mét hÖ çctËp con cña Ω lµ H 1, H 2, . . . , H n(H k ⊂ Ω, k = 1, 2, . . . , n), ta nãi hÖ nµy lµ ®Çy ®ñ nÕunh çc biÕn cè trong hÖ tháa m·n çc ®iÒu kiÖn:

H iH j = ∅; ∀i = j (TÝnh xung kh¾c)

vµ H 1 + H 2 + · · · + H n = Ω (TÝnh ®Çy ®ñ).

HÖ ®Çy ®ñ nµy gäi lµ ®ång kh¶ n¨ng nÕu nh: khi tiÕn hµnh phÐp thö E , mçi biÕn cè H i cãkh¶ n¨ng x¶y ra nh nhau.

§Þnh nghÜa x¸c suÊt cæ ®iÓn: Gi¶ sö H 1, H 2, . . . , H n lµ mét hÖ çc biÕn cè ®Çy ®ñ vµ®ång kh¶ n¨ng cña mét phÐp thö

E . Víi A biÕn cè bÊt kú cña phÐp thö (tøc lµ A

⊆ Ω) cã

tÝnh chÊt: A lµ biÕn cè hîp cña m biÕn cè nµo ®ã trong hÖ trªn (ta nãi cã m trêng hîpthuËn lîi ®Ó A x¶y ra) (m n). Khi ®ã, kh¶ n¨ng ®Ó A x¶y ra ®îc x¸c ®Þnh b»ng mét gi¸trÞ gäi lµ x¸c suÊt cña biÕn cè A, ký hiÖu lµ P (A) vµ cho bëi:

P (A) = m

n =

sè trêng hîp thuËn lîi ®Ó A x¶y ra

sè biÕn cè trong hÖ ®Çy ®ñ . (1.2.1)

VÝ dô 1.2.1. Gieo mét con xóc x¾c c©n ®èi trong VÝ dô (1.1.1) Môc 1.1.2.

-LÊy hÖ ®Çy ®ñ vµ ®ång kh¶ n¨ng lµ:

E 1, E 2, E 3, E 4, E 5, E 6.

XÐt biÕn cè A = MÆt sè nót ch½n. Râ rµng:

A = E 2 ∪ E 4 ∪ E 6 = E 2 + E 4 + E 6 (cã 3 trêng hîp thuËn lîi ®Ó A x¶y ra)

nªn x¸c suÊt cña A ®îc tÝnh:

P (A) = 3

6 =

1

2.

-LÊy A biÕn cè ®èi lËp cña A, tøc lµ A = MÆt sè nót lÎ . Râ rµng hai biÕn cè nµy lËpthµnh hÖ ®Çy ®ñ vµ ®ång kh¶ n¨ng A, A. Do ®ã cã thÓ tÝnh x¸c suÊt A tõ hÖ nµy:

P (A) = 1

2

.

VÝ dô 1.2.2. Trong VÝ dô (1.1.3) Môc 1.1.2, khi gieo ®ång thêi 2 con xóc x¾c (c©n ®èi) tabiÕt kh«ng gian biÕn cè c¬ b¶n cña phÐp thö lµ mét hÖ gåm 36 biÕn cè nh sau:

Ω = E ij | i, j = 1, 2, . . . , 6 = (E i, E j) | i, j = 1, 2, . . . , 6.

§Ó ý r»ng Ω còng lµ mét hÖ çc biÕn cè ®Çy ®ñ vµ ®ång kh¶ n¨ng cña phÐp thö. XÐt biÕn cè

A = Tæng sè nót mÆt xuÊt hiÖn cña hai con xóc x¾c lµ 7.



8 §Æng Phíc Huy

Khi ®ã

A = E 16 + E 25 + E 34 + E 43 + E 52 + E 61 (cã 6 trêng hîp thuËn lîi ®Ó A x¶y ra)

nªn

P (A) =

6

36 =

1

6 . B©y giê nÕu gäi Bk = Tæng sè nót mÆt xuÊt hiÖn cña hai con xóc x¾c lµ k (k = 2, 3, . . . , 12). HiÓn nhiªn khi thùc hiÖn phÐp thö kÕt qu¶ x¶y ra khi lÊy tæng sè nót 2 mÆt xuÊt hiÖn cña 2con xóc x¾c chØ cã thÓ lµ mét sè thuéc 2, 3, . . . , 12, nghÜa lµ hÖ B2, B3, . . . , B12 ®Çy ®ñ(dÔ dµng kiÓm tra

BiB j = ∅ (i = j)12

k=2

Bk = Ω (lµ biÕn cè ch¾c ch¾n)).

Khi ®ã biÕn cè A = B7 (tøc lµ trong hÖ ®Çy ®ñ nµy cã 1 trêng hîp thuËn lîi ®Ó A x¶y ra).

Tuy nhiªn x¸c suÊt cña A kh«ng thÓ lµ

P (A) = 1

11

v× çc biÕn cè trong hÖ trªn kh«ng ®ång kh¶ n¨ng x¶y ra (ch¼ng h¹n, xÐt B2 vµ B3. §Ó B2

x¶y ra chØ khi nµo E 11 x¶y ra, nhng ®Ó B3 x¶y ra th× hoÆc E 12 hoÆc E 21 x¶y ra, tøc lµ kh¶n¨ng x¶y ra cña B3 kh«ng ®ång ®Òu nh B2. §iÒu nµy ®îc thÓ hiÖn tõ x¸c suÊt t¬ng øng cña chóng, v× ta cã

P (B2) = 136

= P (B3) = 236 = 1

18).

B¹n ®äc thö t×m mét hÖ ®Çy ®ñ kh¸c cho vÝ dô nµy mµ cã tÝnh ®ång kh¶ n¨ng ®Ó cã thÓ tÝnh P (A) th«ng qua ®ã?

VÝ dô 1.2.3. Mét l« hµng cã N s¶n phÈm, trong ®ã cã r phÕ phÈm (r < N ). LÊy ngÉu nhiªntrong l« hµng n s¶n phÈm (n < N ). H·y tÝnh x¸c suÊt cña biÕn cè

A = cã k phÕ phÈm trong n s¶n phÈm ®ã.

Ta xem mçi s¶n phÈm ®Òu cã thÓ cã mÆt trong n s¶n phÈm lÊy ra víi kh¶ n¨ng nh nhau, khi ®ã mçi biÕn cè c¬ b¶n cña phÐp thö chÝnh lµ mét bé gåm n s¶n phÈm ®îc lÊy ravµ tËp hîp çc biÕn cè c¬ b¶n nµy chÝnh lµ mét hÖ çc biÕn cè ®Çy ®ñ vµ ®ång kh¶ n¨ng víisè lîng çc biÕn cè cña hÖ lµ:

C nN

(xem VÝ dô (1.1.6) Môc 1.1.2). BiÕn cè A x¶y ra chØ khi trong n s¶n phÈm lÊy ra cã k phÕ phÈm ph¶i ®îc lÊy tõ sè

r phÕ phÈm (vµ cã C kr kh¶ n¨ng lÊy ®îc nh vËy), ®ång thêi (n − k) s¶n phÈm cßn l¹i lµtèt vµ chóng ph¶i ®îc lÊy tõ (N − r) s¶n phÈm tèt cña l« hµng (cã C n−k

N −r kh¶ n¨ng lÊy nh vËy). Do ®ã sè trêng hîp thuËn lîi ®Ó A x¶y ra sÏ b»ng tÝch cña hai sè kh¶ n¨ng trªn, tøclµ x¸c suÊt cña A cho bëi:

P (A) = C kr C n−k

N −r

C nN

.




VÝ dô 1.2.4. Mét ®oµn tµu gåm 25 toa, trong ®ã cã 6 toa chë hµng. T¹i mét ga nµo ®ã ngêita muèn c¾t l¹i mét toa mét çch ngÉu nhiªn. TÝnh x¸c suÊt ®Ó toa ®ã lµ toa hµng?

Gäi A = Toa c¾t ra lµ toa hµng . DÔ dµng thÊy cã 6 trêng hîp thuËn lîi ®Ó A x¶yra (t¬ng øng víi sè toa chë hµng). Sè lîng toa cña ®oµn tµu chÝnh lµ sè biÕn cè trong hÖ

®Çy ®ñ vµ ®ång kh¶ n¨ng cña phÐp thö, vËy:

P (A) = 6

25.

Trong nhiÒu bµi to¸n thùc tÕ, çc kÕt côc x¶y ra cña phÐp thö ngÉu nhiªn kh«ng thÓ lµtËp h÷u h¹n çc biÕn cè. Ch¼ng h¹n, phÐp thö gieo c©y kim r¬i trªn mét mÆt bµn, vÞ trÝ ®iÓmg·y khi kiÓm tra søc chÞu lùc cña mét thanh d»n...§èi víi çc trêng hîp nh vËy, c«ng thøcx¸c suÊt (1.2.1) kh«ng thÓ ¸p dông ®îc. Tuy nhiªn mét më réng cña ®Þnh nghÜa x¸c suÊttrªn ®îc x©y dùng nh sau:

§Þnh nghÜa x¸c suÊt h×nh häc: Gi¶ sö phÐp thö E

®îc tiÕn hµnh vµ kÕt qu¶ cña nã lµ mét®iÓm nµo ®ã n»m trong miÒn h×nh häc S (mäi ®iÓm trong S ®Òu cã thÓ lµ kÕt qu¶ cña phÐpthö víi kh¶ n¨ng x¶y ra nh nhau, kh«ng gian biÕn cè c¬ b¶n cña phÐp thö trong trêng hîpnµy lµ miÒn S ). Gäi A lµ mét tËp con cña S (nªn A lµ mét biÕn cè). Khi ®ã x¸c suÊt cña Acho bëi:

P (A) = Mes(A)

Mes(S ) =

sè ®o A

sè ®o S (1.2.2)

ë ®©y, Mes = ®é dµi, diÖn tÝch, thÓ tÝch...nÕu nh miÒn S lµ miÒn trªn ®êng th¼ng, trongkh«ng gian 2 chiÒu, trong kh«ng gian 3 chiÒu t¬ng øng...

VÝ dô 1.2.5. Gieo ngÉu nhiªn mét c©y kim trªn mét mÆt bµn S . Trªn mÆt bµn cã ®¸nh dÊu

mét chÊm cè ®Þnh. TÝnh x¸c suÊt biÕn cè A = ®Çu mòi kim ch¹m tróng chÊm cè ®Þnh? Râ rµng trong trêng hîp nµy ph¶i dïng c«ng thøc (1.2.2):

P (A) = dt(A)

dt(S ) =

0

dt(S ) = 0.

Khi kh¶o s¸t mét thÝ nghiÖm ngÉu nhiªn, tÝnh qui luËt vÒ sù xuÊt hiÖn cña mét biÕn cè (nµo ®ã) kh«ng thÓ ®îc ph¸t hiÖn ë tõng thÝ nghiÖm riªng lÎ, mµ ngêi ta ph¶i tiÕn hµnh thÝ nghiÖm víi sè lÇn lÆp l¹i (trong cïng ®iÒu kiÖn) kh¸ lín, gäi lµ lo¹t thÝ nghiÖm (hoÆc lo¹tphÐp thö). Nãi kh¸c ®i, trong thùc nghiÖm thêng ngêi ta quan t©m ®Õn mét ®¹i lîng gäilµ tÇn suÊt cña mét biÕn cè theo nghÜa sau

TÇn suÊt: TiÕn hµnh n lÇn ®éc lËp mét thÝ nghiÖm ®Ó quan s¸t sù xuÊt hiÖn cña mét biÕn cè A (trong mçi lÇn thÝ nghiÖm, A chØ cã thÓ x¶y ra kh«ng qu¸ mét lÇn). Gäi f lµ sè lÇn A x¶yra trong n lÇn thÝ nghiÖm ®ã. TÇn suÊt cña biÕn cè A lµ tØ sè:

f

n.



10 §Æng Phíc Huy

ChÝnh tÇn suÊt nµy lµ gi¸ trÞ mµ trong thùc nghiÖm ngêi ta cã thÓ nhËn ®îc vµ khiquan s¸t víi çc lo¹t phÐp thö kh¸c nhau, mçi lo¹t phÐp thö víi sè lÇn tiÕn hµnh thÝ nghiÖmkh¸ lín, ngêi ta nhËn thÊy tØ lÖ trªn lµ æn ®Þnh (tøc lµ nã giao ®éng quanh mét sè cè ®Þnhnµo ®ã). Sè cè ®Þnh nµy biÓu thÞ cho kh¶ n¨ng xuÊt hiÖn cña biÕn cè A vµ ®îc gäi lµ x¸c

suÊt cña A. Nh vËy cã thÓ quan niÖm x¸c suÊt cña biÕn cè A nh sau:§Þnh nghÜa x¸c suÊt theo nghÜa thèng kª: X¸c suÊt cña biÕn cè A lµ gi¸ trÞ æn ®Þnh cñatÇn suÊt cña nã khi sè phÐp thö ®îc tiÕn hµnh ®ñ lín.

Theo quan niÖm nµy mét biÕn cè trèng (tøc lµ biÕn cè kh«ng thÓ x¶y ra khi tiÕn hµnh phÐpthö) sÏ cã x¸c suÊt 0 v× tÇn suÊt cña nã lu«n b»ng 0. Ch¼ng h¹n biÕn cè A = MÆt cã sè nót 7trong phÐp thö gieo con xóc x¾c th× A lµ biÕn cè trèng, tÇn suÊt cña A lu«n b»ng 0 nªn x¸csuÊt A b»ng 0. Tuy nhiªn mét biÕn cè cã x¸c suÊt 0 cha h¼n lµ kh«ng x¶y ra khi tiÕn hµnhphÐp thö. §iÒu nµy dÔ hiÓu v× tÇn suÊt cña nã cã thÓ chØ lµ xÊp xØ 0 (khi tiÕn hµnh phÐp thö víi sè lÇn kh¸ lín), do vËy vÉn cã thÓ trong mét lÇn nµo ®ã cña lo¹t thö nµy biÕn cè x¶y ra.Ch¼ng h¹n, phÐp thö gieo c©y kim trong VÝ dô (1.2.5) biÕn cè A cã x¸c suÊt 0, nhng vÉn

cã kh¶ n¨ng A x¶y ra trong mét lÇn gieo nµo ®ã (tuy ®iÒu nµy kh¸ h·n h÷u).

1.2.2 Çc tÝnh chÊt cña x¸c suÊt

§Ó ®a ra çc tÝnh chÊt tæng qu¸t cña x¸c suÊt, ta trë l¹i VÝ dô (1.1.1) Môc 1.1.2 khigieo con xóc x¾c c©n ®èi. Kh«ng gian biÕn cè c¬ b¶n lµ Ω = E k | k = 1, 2, . . . , 6. Cã çcnhËn ®Þnh sau ®©y:

+ Víi A lµ mét biÕn cè bÊt kú cña phÐp thö nµy: A lµ tËp con cña Ω nªn A lµ hîp cña métsè nµo ®ã çc biÕn cè trong Ω. Sè trêng hîp thuËn lîi ®Ó A x¶y ra chÝnh b»ng sè çc biÕncè c¬ b¶n hîp thµnh A. NÕu gäi k lµ sè nµy th× k kh«ng thÓ qu¸ 6 vµ kh«ng Ýt h¬n 0, suy ra:

0 k 6 ⇒ 0 k6

66

= 1 nªn 0 P (A) 1.

+ Râ rµng Ω lµ biÕn cè ch¾c ch¾n vµ sè trêng hîp thuËn lîi ®Ó nã x¶y ra b»ng 6 nªn

P (Ω) = 6

6 = 1

t¬ng tù P (∅) = 06

= 0 (v× kh«ng cã trêng hîp nµo ®Ó ∅ x¶y ra).

+ XÐt hai biÕn cè xung kh¾c

A = E i, E j, E k (i = j = k)

B = E m (m ∈ 1, 2, . . . , 6 − i,j,k).

DÔ thÊy

P (A + B) = P (E i, E j, E k, E m = 4

6 =

3

6 +

1

6 = P (A) + P (B).

Tõ trªn ta thÊy x¸c suÊt cña mét biÕn cè cã tÝnh chÊt nh sau

TÝnh chÊt cña x¸c suÊt: Víi Ω lµ kh«ng gian çc biÕn cè c¬ b¶n cña mét phÐp thö, E lµmét biÕn cè bÊt kú cña nã (E lµ tËp con cña Ω). Ta cã:




(a) 0 P (E ) 1

(b) P (Ω) = 1, P (∅) = 0

(c) Víi E , F lµ hai biÕn cè xung kh¾c:

P (E + F ) = P (E ) + P (F ).

Chó ý: tÝnh chÊt (c) cã thÓ ®îc më réng cho mét d·y çc biÕn cè xung kh¾c. Cô thÓ, nÕud·y çc biÕn cè E 1, E 2, . . . lµ xung kh¾c tõng ®«i (nghÜa lµ: E nE m = ∅; n = m) th×

P

k

E k

= P

k

E k

=

k

P (E k).

VÝ dô 1.2.6. Víi A lµ biÕn cè bÊt kú cña mét phÐp thö E , ta biÕt A vµ A lµ ®èi lËp nªn chóng còng xung kh¾c do ®ã:

P (A + A) = P (A) + P (A).

H¬n n÷a Ω = A + A nªnP (A) = 1 − P (A). (1.2.3)

VÝ dô 1.2.7. Víi E vµ F lµ hai biÕn cè bÊt kú cña phÐp thö, ta t×m c«ng thøc cho P (E ∪ F ). Gäi Ω lµ kh«ng gian çc biÕn cè c¬ b¶n cña phÐp thö th× E vµ F lµ hai tËp con cña Ω. NÕuquan niÖm theo tËp hîp ta cã thÓ biÓu diÔn:

E ∪ F = E + (F \ E ).

§Ó ý E vµ (F

\E ) xung kh¾c nªn

P (E ∪ F ) = P (E ) + P (F \ E ).

H¬n n÷a cã thÓ viÕt F = EF + (F \ E )

vµ ta còng cã E F xung kh¾c víi (F \ E ) nªn

P (F \ E ) = P (F ) − P (EF ).

Tõ ®ã ta cã c«ng thøc

P (E ∪ F ) = P (E ) + P (F ) − P (EF ). (1.2.4)

VÝ dô 1.2.8. Gieo ®ång thêi hai ®ång xu c©n ®èi, kh«ng gian çc biÕn cè c¬ b¶n cña phÐpthö nµy lµ: Ω = (S, S ), (S, N ), (N, S ), (N, N ). Gäi E = §ång xu thø 1 lµ mÆt S , F = §ång xu thø 2 lµ mÆt S . TÝnh P (E ∪ F )?

DÔ dµng thÊy

E = (S, S ), (S, N ) vµ F = (S, S ), (N, S ).



12 §Æng Phíc Huy

Tõ c«ng thøc (1.2.4) ta cã

P (E ∪ F ) =P (E ) + P (F ) − P (EF )

=2

4

+ 2

4 −P (

(S, S )

)

=1 − 1

4 =

3

4.

Chó ý r»ng x¸c suÊt cña biÕn cè trªn còng cã thÓ tÝnh trùc tiÕp tõ

P (E ∪ F ) = P ((S, S ), (S, N ), (N, S )) = 3

4.

1.2.3 X¸c suÊt cã ®iÒn kiÖn- c«ng thøc nh©n x¸c suÊt

VÝ dô më ®ÇuTa xÐt phÐp thö gieo ®ång thêi 2 con xóc x¾c c©n ®èi. Kh«ng gian çc biÕn cè c¬

b¶n cña phÐp thö nµy lµ tËp gåm 36 phÇn tö d¹ng E ij ( xem VÝ dô (1.1.3) Môc 1.1.2). GäiE = Con xóc x¾c 1 cã sè nót 2, F = Tæng sè nót trªn hai con xóc x¾c lµ 7. Khi ®ã

E =E 11, E 12, E 13, E 14, E 15, E 16,

E 21, E 22, E 23, E 24, E 25, E 26 (gåm 12 phÇn tö )

F =E 16, E 25, E 34, E 43, E 52, E 61 (gåm 6 phÇn tö )

EF =E 16, E 25.

Theo c«ng thøc x¸c suÊt cæ ®iÓn ta cã

P (EF ) = 2

36.

NÕu tÝnh liªn quan ®Õn x¸c suÊt cña biÕn cè E th×

P (EF ) = 12

36 × 2

12 = P (E ) × 2

12. (∗)

§Ó ý r»ng nÕu ®Æt ®iÒu kiÖn biÕn cè E lµ ®· x¶y ra, th× víi ®iÒu kiÖn nµy biÕn cè F x¶y ra

chØ khi E F x¶y ra. Nãi kh¸c ®i, nÕu biÕt E ®· x¶y ra th× sè trêng hîp thuËn lîi ®Ó F x¶yra trong ®iÒu kiÖn nµy chØ cßn b»ng sè biÕn cè c¬ b¶n trong tËp EF . Ta gäi x¸c suÊt cñabiÕn cè F (x¶y ra) biÕt r»ng biÕn cè E ®· x¶y ra lµ x¸c suÊt cã ®iÒu kiÖn cña F cho biÕt E ,ký hiÖu lµ P (F | E ) vµ x¸c suÊt nµy b»ng 2

12. Tõ (*) ta cã c«ng thøc

P (EF ) = P (E )P (F | E ).

Tõ ®ã ta cã thÓ ®Þnh nghÜa vÒ x¸c suÊt cã ®iÒu kiÖn nh sau




§Þnh nghÜa x¸c suÊt cã ®iÒu kiÖn: Cho E vµ F lµ hai biÕn cè bÊt kú trong mét phÐp thö.X¸c suÊt cã ®iÒu kiÖn cña biÕn cè F biÕt r»ng E ®· x¶y ra (®äc lµ x¸c suÊt cña F khi biÕt E ) ký hiÖu P (F | E ) ®îc cho bëi

P (F | E ) = P (EF )

P (E ) (1.2.5)

®Ó (1.2.5) cã nghÜa ph¶i cã P (E ) > 0.

VÝ dô 1.2.9. Mét tói cã chøa 10 tÊm thÎ ®îc ®¸nh sè tõ 1 ®Õn 10, lÊy ngÉu nhiªn tõ tói ramét tÊm. H·y tÝnh x¸c suÊt ®Ó lÊy ra ®îc tÊm sè 10, biÕt r»ng tÊm lÊy ra cã sè kh«ng bÐh¬n 5.

Gäi E = tÊm lÊy ra cã sè 5 vµ F = lÊy ra tÊm sè 10 . X¸c suÊt cÇn tÝnh lµ P(F/E).

V× EF x¶y ra khi vµ chØ khi tÊm lÊy ra ®ång thêi 5 vµ cã sè lµ 10, tøc lµ EF = F. Tõ ®ã theo c«ng thøc (1.2.5) ta cã

P (F/E ) =110610

= 1

6.

C«ng thøc nh©n x¸c suÊt: Tõ c«ng thøc x¸c suÊt ®iÒu kiÖn suy ra

P (EF ) = P (E )P (F | E )

vµ gäi lµ c«ng thøc nh©n x¸c suÊt.

Tæng qu¸t ta cã c«ng thøc nh©n x¸c suÊt trªn n biÕn cè nh sau:

Gi¶ sö A1, A2, . . . , An lµ n biÕn cè trong mét phÐp thö E . Khi ®ã

P (A1A2 · · · An) = P (A1)P (A2 | A1)P (A3 | A1A2) · · · P (An | A1A2 · · · An−1). (1.2.6)

VÝ dô 1.2.10. Mét hép cã 7 bi ®en vµ 5 bi tr¾ng. LÊy hó häa liªn tiÕp tõ hép ra 2 bi (kh«ng hoµn l¹i). TÝnh x¸c suÊt ®Ó 2 bi lÊy ra ®Òu ®en?

Gäi E vµ F theo thø tù lµ biÕn cè bi lÊy ra lÇn thø nhÊt vµ thø hai lµ ®en. V× lÇn thø nhÊt lÊy ra bi ®en nªn trong hép cßn 6 bi ®en vµ 5 bi tr¾ng, do ®ã P (F | E ) = 6

11, cßn x¸c

suÊt P (E ) = 712

. VËy x¸c suÊt cÇn t×m lµ P(EF)

P (EF ) =P (E ).P (F/E )

= 7

12. 6

11 =

42

132.

VÝ dô 1.2.11. Cã 3 lä gièng nhau ®ùng çc thuèc lo¹i a, b, c nhng kh«ng cã nh·n. Mét ngêi ghi hó häa nh·n thuèc cho mçi lä b»ng çc ch÷ a, b, c (nh·n trªn mçi lä ®îc ghikh¸c nhau). TÝnh x¸c suÊt sao cho kh«ng cã nh·n nµo ®óng víi lo¹i thuèc cã trong lä cñanã?



14 §Æng Phíc Huy

Gäi A, B, C t¬ng øng lµ çc biÕn cè lä ghi nh·n a, b, c ®óng víi lo¹i thuèc cã trong nã. Tríc tiªn ta tÝnh x¸c suÊt cña biÕn cè cã Ýt nhÊt mét lä ®îc ghi ®óng, x¸c suÊt nµy lµP (A ∪ B ∪ C ). Ta cã

P (A∪

B ∪

C ) = P (A) + P (B) + P (C )−

P (AB)−

P (AC )−

P (BC ) + P (ABC )

(c«ng thøc trªn xem nh bµi tËp).

TÝnh çc x¸c suÊt trong tæng trªn nh sau:

• DÔ thÊy: P (A) = P (B) = P (C ) = 13

• P (AB) = P (A)P (B | A), x¸c suÊt B biÕt r»ng A ®· x¶y ra, nghÜa lµ sau khi cãmét lä ghi ®óng th× chØ cßn 2 lä nªn kh¶ n¨ng ghi ®óng lä tiÕp theo chØ cßn 1, vËyP (B | A) = 1

2, tøc lµ P (AB) = (1/3)(1/2) = 1/6 . T¬ng tù cho çc x¸c suÊt cña

giao hai biÕn cè kh¸c còng b»ng 1/6

• §Ó tÝnh P(ABC) ta viÕt

P (ABC ) =P (AB)C = P (AB)P (C | AB)

=1

6P (C | AB)

tuy nhiªn khi AB ®· x¶y ra, tøc lµ cã 2 lä ®· ghi ®óng nh·n, nªn lä cßn l¹i lu«n ®óng nh·n,nghÜa lµ P (C | AB) = 1, v× thÕ

P (ABC ) = 1

6

do ®ã

P (A ∪ B ∪ C ) =1 − 1

2 +

1

6

=2

3.

VËy x¸c suÊt ®Ó kh«ng cã lä nµo ghi ®óng nh·n lµ 1 − P (A ∪ B ∪ C ) = 1 − 23 = 1

3.

1.2.4 Çc biÕn cè ®éc lËp

Hai biÕn cè E vµ F (cña mét phÐp thö) ®îc gäi lµ ®éc lËp nÕu nh

P (EF ) = P (E )P (F ).

Chó thÝch: tõ c«ng thøc (1.2.5), dÔ thÊy E vµ F ®éc lËp nÕu P (E | F ) = P (E ) (t¬ng tù cho P (F | E ) = P (F )). NghÜa lµ, E vµ F ®éc lËp nÕu viÖc x¶y ra cña biÕn cè E kh«ng ¶nhhëng g× ®Õn biÕn cè F cã x¶y ra hay kh«ng. Trêng hîp hai biÕn cè E vµ F kh«ng ®éc lËpta nãi chóng lµ phô thuéc.




VÝ dô 1.2.12. Trong vÝ dô (1.1.3) môc (1.1.2), khi gieo ®ång thêi hai con xóc x¾c, nÕu gäi

E 1 = Tæng sè nót trªn 2 mÆt x¶y ra lµ 6F =

sè nót con xóc x¾c mét x¶y ra lµ 4

.

Khi ®ã

P (E 1F ) = P (E 4, E 2) = 1

36trong khi

P (E 1)P (F ) = 5

36. 6

36 =

5

216.

VËy E 1 vµ F kh«ng ®éc lËp. §iÒu nµy cã thÓ lý gi¶i nÕu chóng ta ®Ó ý khi con xóc x¾cmét x¶y ra mÆt cã sè nót bÐ h¬n 6, th× c¬ héi cho biÕn cè tæng hai mÆt b»ng 6 x¶y ra lµcã hy väng. Nãi çch kh¸c, nÕu con xóc x¾c mét x¶y ra mÆt sè nót 6 th× kh«ng cßn kh¶n¨ng nµo ®Ó biÕn cè E 1 sÏ x¶y ra. Nh vËy c¬ héi x¶y ra sù kiÖn tæng hai mÆt b»ng 6 phô

thuéc vµo mÆt x¶y ra cña con xóc x¾c thø nhÊt, nªn E 1 vµ F kh«ng thÓ ®éc lËp. B©y giê gäiE 2 = tæng sè nót trªn mÆt x¶y ra cña hai con lµ 7. Ta cã

P (E 2F ) = P (E 4, E 3) = 1

36.

Trong khi

P (E 2)P (F ) = 1

6 · 1

6 =

1

36

vËy E 2 vµ F ®éc lËp. (Cã thÓ lý gi¶i t¹i sao hai biÕn cè trªn lµ ®éc lËp dùa vµo b¶n chÊt phÐp thö?)

Chó ý: §Þnh nghÜa vÒ tÝnh ®éc lËp cã thÓ më réng cho sè biÕn cè lín h¬n hai. Cô thÓ: bé çcbiÕn cè E 1, E 2, . . . , E n trong mét phÐp thö ®îc gäi lµ ®éc lËp nhau (®éc lËp trong toµn bé)nÕu nh mäi bé gåm k biÕn cè bÊt kú E 1, E 2, . . . , E k lÊy tõ n biÕn cè trªn (k n), tháa

P (E 1E 2 · · · E k) = P (E 1)P (E 2) · · · P (E k).

VÝ dô 1.2.13. Mét hép cã 4 viªn bi ®îc ®¸nh sè tõ 1 ®Õn 4. LÊy hó häa tõ hép ra mét bi. §Æt E = 1, 2, F = 1, 3, G = 1, 4. Khi ®ã dÔ thÊy

P (EF ) = P (E )P (F ) = 1

4

P (EG) = P (E )P (G) = 14

P (F G) = P (F )P (G) = 1

4tuy nhiªn

1

4 = P (EF G) = P (E )P (F )P (G).

Tõ ®ã, mÆc dï E, F, G ®éc lËp tõng ®«i nhng chóng kh«ng ®éc lËp toµn bé.



16 §Æng Phíc Huy

1.2.5 C«ng thøc x¸c suÊt ®Çy ®ñ vµ c«ng thøc Bayes

C«ng thøc x¸c suÊt ®Çy ®ñ

TÝnh x¸c suÊt qua hÖ ®Çy ®ñ: Cho hai biÕn cè E vµ F cña mét phÐp thö nµo ®ã. Chóng

ta cã thÓ biÓu diÔn E nh sau:E = EF ∪ EF .

Chó ý r»ng hai biÕn cè hîp thµnh biÕn cè E ë trªn lµ xung kh¾c nªn ta cã

P (E ) =P (EF ) + P (EF )

=P (E | F )P (F ) + P (E | F )P (F ) (do c«ng thøc(1.2.6))

tõ c«ng thøc (1.2.3) suy ra

P (E ) = P (E | F )P (F ) + P (E | F )(1 − P (F )). (1.2.7)

C«ng thøc (1.2.7) cã thÓ ph¸t biÓu lµ: x¸c suÊt cña biÕn cè E lµ trung b×nh cã träng sè gi÷a x¸c suÊt cã ®iÒu kiÖn cña E cho biÕt F vµ x¸c suÊt cã ®iÒu kiÖn cña E cho biÕt F , víi träng sè cña mçi x¸c suÊt cã ®iÒu kiÖn nµy chÝnh lµ x¸c suÊt ®Ó ®iÒu kiÖn t¬ng øng cña nã x¶yra. C«ng thøc nµy cßn gäi lµ c«ng thøc x¸c suÊt ®Çy ®ñ.

VÝ dô 1.2.14. Cã hai hép, hép I gåm 2 bi tr¾ng vµ 7 bi ®en, hép II gåm 5 bi tr¾ng vµ 6 bi®en. Ngêi ta gieo mét ®ång xu c©n ®èi, sau ®ã lÊy hó häa mét bi tõ hép I hoÆc II phô thuécvµo viÖc mÆt S hay N x¶y ra. BiÕt r»ng bi lÊy ra lµ tr¾ng. TÝnh x¸c suÊt ®Ó tríc ®ã mÆt S x¶y ra?

Gäi W lµ biÕn cè bi lÊy ra mµu tr¾ng, H lµ biÕn cè mÆt S x¶y ra. X¸c suÊt cÇn tÝnh lµP (H | W ) ®îc tÝnh nh sau:

P (H | W ) =P (HW )

P W =

P (W | H )P (H )

P (W )

= P (W | H )P (H )

P (W | H )P (H ) + P (W | H )P (H )(do (1.2.7))

=29 · 1

229 · 1

2 + 5

11 · 1

2

= 22

67.

VÝ dô 1.2.15. §Ó tr¶ lêi mét c©u hái d¹ng tr¾c nghiÖm nhiÒu ph¬ng ¸n lùa chän (MCQ- Multiple choice query) mét sinh viªn hoÆc biÕt c©u tr¶ lêi hoÆc ®o¸n hó häa. Gäi p lµ x¸csuÊt mµ anh ta biÕt c©u tr¶ lêi vµ (1-p) lµ x¸c suÊt anh ta ®o¸n hó häa. Gi¶ sö r»ng x¸csuÊt sinh viªn ®o¸n hó häa ®óng c©u tr¶ lêi lµ 1/m, víi m lµ sè kh¶ n¨ng lùa chän cña c©uhái. Mét sinh viªn tr¶ lêi mét c©u hái, biÕt r»ng anh ta tr¶ lêi ®óng. TÝnh x¸c suÊt sinh viªn®ã biÕt c©u tr¶ lêi ®èi víi c©u hái nµy?

§Æt C vµ K t¬ng øng lµ biÕn cè sinh viªn tr¶ lêi c©u hái ®óng vµ biÕn cè anh ta thËt




sù biÕt c©u tr¶ lêi. X¸c suÊt cÇn tÝnh lµ P (K | C ).

P (K | C ) =P (KC )

P (C ) =

P (C | K )P (K )

P (C | K )P (K ) + P (C | K )P (K )

= p

p + (1/m)(1 − p)

= mp

1 + (m − 1) p.

Ch¼ng h¹n, nÕu m = 5, p = 1/2 th× x¸c suÊt sinh viªn biÕt c©u tr¶ lêi ®èi víi mét c©u háivíi ®iÒu kiÖn anh ta tr¶ lêi ®óng lµ: 5/6.

VÝ dô 1.2.16. Mét ph¬ng ph¸p xÐt nghiÖm m¸u, hiÖu lùc ph¸t hiÖn ®óng ngêi m¾c bÖnhnh sau: x¸c suÊt kÕt luËn cã “d¬ng tÝnh” ®èi víi ngêi cã bÖnh lµ 95 phÇn tr¨m, x¸c suÊt kÕt luËn cã “d¬ng tÝnh” ®èi víi ngêi kháe m¹nh lµ 1 phÇn tr¨m (tøc lµ, nÕu mét ngêikháe m¹nh ®îc xÐt nghiÖm th× víi x¸c suÊt 0,01 kÕt qu¶ xÐt nghiÖm theo ph¬ng ph¸p nµysÏ suy r»ng anh ta lµ cã bÖnh). BiÕt r»ng tØ lÖ ngêi m¾c bÖnh lµ 0,5 phÇn tr¨m. Mét ngêi®îc kiÓm tra, kÕt qu¶ xÐt nghiÖm ngêi ®ã lµ “d¬ng tÝnh”. TÝnh x¸c suÊt ngêi ®ã thËt sù cã bÖnh?

Gäi E lµ biÕn cè kÕt qu¶ xÐt nghiÖm mét ngêi nµo ®ã lµ “d¬ng tÝnh”, D lµ biÕn cè gÆp ngêi cã bÖnh thËt sù. X¸c suÊt cÇn tÝnh lµ P (D | E ).

P (D | E ) =P (DE )

P (E ) =

P (E | D)P (D)

P (E | D)P (D) + P (E | D)P (D)

= (0, 95)(0, 005)

(0, 95)(0, 005) + (0, 01)(0, 995)=

95

294 ≈ 0, 323.

Chó ý: C«ng thøc (1.2.7) cã thÓ ph¸t triÓn tæng qu¸t h¬n. Gi¶ sö F 1, F 2, . . . , F n lµ mét hÖ®Çy ®ñ çc biÕn cè (xem Môc 1.2), víi E lµ biÕn cè bÊt kú (trong cïng phÐp thö víi hÖ çcbiÕn cè trªn) ta cã:

P (E ) =

ni=1

P (E | F i)P (F i). (1.2.8)

(B¹n ®äc cã thÓ dÔ dµng chøng minh c«ng thøc trªn khi ph©n tÝch biÕn cè E nh sau)

E = (EF 1) ∪ (EF 2) ∪ . . . ∪ (EF n)

lµ hîp cña n biÕn cè xung kh¾c, phÇn cßn l¹i ®îc suy ra t¬ng tù çch lµm trong chøngminh c«ng thøc (1.2.7). VÒ ý nghÜa c«ng thøc nµy hoµn toµn gièng c«ng thøc (1.2.7), P(E)lµ trung b×nh cã träng sè cña tËp n ®iÓm P (E | F i) t¬ng øng tËp träng sè P (F i)(còngcÇn ®Ó ý r»ng tæng çc träng sè nµy b»ng 1).

C«ng thøc Bayes



18 §Æng Phíc Huy

Còng tõ chó ý trªn, nÕu biÕt biÕn cè E ®· x¶y ra, ngêi ta quan t©m kh¶ n¨ng ®Ó méttrong sè çc biÕn cè trong hÖ ®Çy ®ñ lµ cã thÓ x¶y ra. Tõ c«ng thøc (1.2.8) vµ ®Þnh nghÜax¸c suÊt cã ®iÒu kiÖn ta cã

P (F k | E ) =

P (EF k)

P (E )

= P (E | F k)P (F k)n

i=1 P (E | F i)P (F i); ∀k = 1, 2, . . . , n (1.2.9)

c«ng thøc (1.2.9) ®îc gäi lµ c«ng thøc Bayes. (Çc vÝ dô trªn lµ øng dông cña c«ng thøcnµy).



Bµi tËp ch¬ng 1 19

Bµi tËp ch-¬ng 1

1. Mét hép cã 3 banh: 1 ®á, 1 xanh, 1 tr¾ng. LÊy hó häa mét banh tõ hép sau ®ã tr¶trë l¹i hép vµ lÊy tiÕp ngÉu nhiªn tõ hép ra mét banh lÇn thø hai. Kh«ng gian biÕn cè c¬ b¶n cña phÐp thö nµy lµ g×? BiÕt r»ng mäi banh trong hép ®Òu cã kh¶ n¨ng rót nh nhau. H·y tÝnh x¸c suÊt cña çc biÕn cè c¬ b¶n cña phÐp thö.

2. Nh Bµi tËp 1 nhng sau mçi lÇn lÊy banh thø nhÊt ta kh«ng tr¶ trë l¹i hép.

3. Gieo mét ®ång xu tíi khi thÊy mÆt S x¶y ra hai lÇn th× ngõng. Kh«ng gian biÕn cè c¬ b¶n cña phÐp thö nµy lµ g×? Gi¶ sö ®ång xu c©n ®èi, tÝnh x¸c suÊt ®Ó phÐp thö ngõngë lÇn thø t.

4. Cho E, F , G lµ çc biÕn cè cña mét phÐp thö. H·y t×m biÓu thøc cho çc biÕn cè sau

(a) ChØ cã F x¶y ra trong ba biÕn cè trªn.

(b) C¶ E vµ F x¶y ra nhng G kh«ng x¶y ra.

(c) Cã Ýt nhÊt mét biÕn cè x¶y ra.

(d) Cã Ýt nhÊt hai biÕn cè x¶y ra.

(e) C¶ ba biÕn cè ®iÒu x¶y ra.

(f) Kh«ng cã biÕn cè nµo x¶y ra.

(g) Cã nhiÒu nhÊt mét biÕn cè x¶y ra.

(h) Cã nhiÒu nhÊt hai biÕn cè x¶y ra.

5. NÕu P (E ) = 0, 9 vµ P (F ) = 0, 8, chøng tá r»ng P (EF ) 0, 7. Tæng qu¸t chøngminh r»ng

P (EF ) P (E ) + P (F ) − 1.

6. Ta nãi biÕn cè E lµ kÐo theo biÕn cè F nÕu nh E x¶y ra th× F còng x¶y ra vµ ký hiÖuE ⊂ F (nÕu quan niÖm nh tËp hîp th× mét ®iÓm thuéc E th× thuéc F ). Chøng tá r»ngnÕu E ⊂ F th×

P (F ) P (E ).

7. Gieo hai con xóc x¾c c©n ®èi. TÝnh x¸c suÊt tæng sè nót hai mÆt xuÊt hiÖn lµ k (k =2, 3, . . . , 12)?

8. Gieo ®ång thêi hai con xóc x¾c c©n ®èi. T×m x¸c suÊt sao cho:

(a) Tæng sè nót ë mÆt trªn hai con xóc x¾c b»ng 8.

(b) HiÖu sè nót ë mÆt trªn hai con xóc x¾c cã trÞ tuyÖt ®èi b»ng 2.

(c) Sè nót ë mÆt trªn hai con xóc x¾c b»ng nhau.



20 §Æng Phíc Huy

9. Mét l« hµng gåm N s¶n phÈm. §Ó quyÕt ®Þnh cã nhËn l« hµng hay kh«ng ngêi ta lÊyngÉu nhiªn tõ l« ra n s¶n phÈm (n N ) vµ kiÓm tra: nÕu sè s¶n phÈm xÊu trong mÉulÊy ra kiÓm tra bÐ h¬n m th× ngêi ta nhËn l« hµng. TÝnh x¸c xuÊt l« hµng ®îc nhËnbiÕt r»ng sè s¶n phÈm xÊu trong l« hµng lµ k .

10. Dïng phÐp chøng minh quy n¹p ®Ó chøng minh c«ng thøc x¸c suÊt sau

P (E 1E 2 · · · E n) = P (E 1)P (E 2 | E 1)P (E 3 | E 1E 2) · · · P (E n | E 1E 2 · · · E n−1).

11. Mét l« hµng gåm 150 s¶n phÈm, trong ®ã cã 6 phÇn tr¨m phÕ phÈm. Ngêi ta dïngph¬ng ph¸p chän mÉu ®Ó kiÓm tra l« hµng vµ quy íc: kiÓm tra lÇn lît 6 s¶n phÈm,nÕu cã Ýt nhÊt mét trong 6 s¶n phÈm ®ã lµ phÕ phÈm th× lo¹i l« hµng. T×m x¸c suÊtchÊp nhËn l« hµng.

12. Çc nh©n viªn cña mét phßng thÝ nghiÖm ®Òu cã mçi ngêi mét sè thÎ kh¸c nhau ®Ótrong mét hép. Phßng thÝ nghiÖm cã 15 nh©n viªn nam vµ 6 n÷. LÊy lÇn lît tõ hép ra

3 thÎ. T×m x¸c suÊt ®Ó çc sè thÎ lÊy ra ®Òu lµ sè thÎ øng víi nh©n viªn nam.

13. Cho ba hép mçi hép ®Òu cã 5 bi tr¾ng vµ 3 bi ®á. LÊy hó häa mét bi tõ hép mét vµ bávµo hép thø hai, sau ®ã lÊy hó häa mét bi tõ hép thø hai bá vµo hép ba, cuèi cïng lÊytõ hép ba ra mét bi. TÝnh x¸c suÊt ®ã lµ bi tr¾ng.

14. Mét nhµ m¸y s¶n xuÊt bót m¸y cã 90 phÇn tr¨m s¶n phÈm ®¹t tiªu chuÈn kü thuËt.Trong qu¸ tr×nh kiÓm nghiÖm, x¸c suÊt ®Ó chÊp nhËn mét s¶n phÈm ®¹t tiªu chuÈn küthuËt lµ 0,95 vµ x¸c suÊt ®Ó chÊp nhËn mét s¶n phÈm kh«ng ®¹t tiªu chuÈn lµ 0,08. T×mx¸c suÊt ®Ó mét s¶n phÈm ®¹t tiªu chuÈn kü thuËt qua kiÓm nghiÖm ®îc chÊp nhËn.

15. T×m x¸c suÊt sao cho khi rót hó häa 13 con bµi tõ mét cæ bµi tó l¬ kh¬ 52 con th× ®îc

2 con bµi mµu ®á. H·y so s¸nh x¸c suÊt ®ã víi x¸c suÊt t¬ng øng cña biÕn cè cã ®ónghai lÇn mÆt S xuÊt hiÖn trong 13 lÇn gieo ®éc lËp mét ®ång xu c©n ®èi.

16. Cã hai hép, hép I gåm 10 bi trong ®ã cã 8 bi tr¾ng vµ hép II gåm 20 bi trong ®ã cã4 bi tr¾ng. Tõ mçi hép rót ngÉu nhiªn mét bi, sau ®ã trong hai bi thu ®îc l¹i rót hóhäa mét bi. TÝnh x¸c suÊt ®Ó bi ®ã lµ tr¾ng.

17. Cã 5 hép kim trong ®ã cã 3 hép lo¹i I, mçi hép chøa 9 kim tèt vµ 1 kim xÊu. Hai héplo¹i II, mçi hép cã 4 kim tèt vµ 2 kim xÊu. LÊy hó häa mét hép vµ tõ ®ã rót ra métkim. T×m x¸c suÊt kim rót ra lµ kim xÊu. ThÊy kim rót ra lµ kim xÊu, kh¶ n¨ng kimnµy thuéc hép lo¹i nµo nhiÒu nhÊt?

18. B¾n ba viªn ®¹n vµo cïng mét bia. X¸c suÊt tróng ®Ých cña viªn thø nhÊt, thø hai vµthø ba t¬ng øng lµ 0,4; 0,5; 0,7.

(a) T×m x¸c suÊt sao cho trong 3 viªn ®¹n cã ®óng mét viªn tróng ®Ých.

(b) T×m x¸c suÊt ®Ó cã Ýt nhÊt mét viªn tróng ®Ých.

19. Ba cËu bÐ ch¬i trß ch¬i gieo ®ång tiÒn liªn tiÕp. Ai gieo ®îc mÆt sÊp ®Çu tiªn sÏ th¾ngcuéc. T×m x¸c suÊt th¾ng cuéc cña mçi cËu bÐ. BiÕt r»ng ®ång tiÒn lµ c©n ®èi.




20. TiÕn hµnh ba phÐp thö ®éc lËp. X¸c suÊt xuÊt hiÖn biÕn cè A trong mçi phÐp thö lµ p = 0, 1. X¸c suÊt xuÊt hiÖn biÕn cè B tïy thuéc vµo sè lÇn xuÊt hiÖn cña A. NÕu AxuÊt hiÖn k lÇn (k = 0, 1, 2, 3), th× x¸c suÊt xuÊt hiÖn biÕn cè B t¬ng øng lµ 0, k. T×msè (chØ sè lÇn xuÊt hiÖn biÕn cè A) cã kh¶ n¨ng nhÊt, nÕu gi¶ sö biÕn cè B ®· xuÊt hiÖn.



Ch-¬ng 2

BiÕn ngÉu nhiªn

2.1 BiÕn ngÉu nhiªn

Trong çc vÊn ®Ò thùc tiÔn khi thùc hiÖn mét phÐp thö ngÉu nhiªn nµo ®ã, ®iÒu chóngta thêng quan t©m kh«ng ph¶i chÝnh çc kÕt qu¶ trùc tiÕp x¶y ra tõ phÐp thö mµ lµ sù t¸c®éng trªn çc kÕt qu¶ cña phÐp thö th«ng qua mét quy luËt x¸c ®Þnh nµo ®ã. Ch¼ng h¹n khigieo hai con xóc x¾c, ta qua t©m sù kiÖn “tæng sè nót trªn hai mÆt xuÊt hiÖn cña chóng”, ®ãlµ quy luËt x¸c ®Þnh sù t¬ng øng cña mçi biÕn cè thËt sù (biÕn cè c¬ b¶n) cña phÐp thö víiduy nhÊt mét sè thùc, vÝ dô “tæng sè nót trªn hai mÆt xuÊt hiÖn b»ng 4”, nghÜa lµ çc biÕncè E 13, E 22, E 31(xem ký hiÖu Môc 1.1.2 Ch¬ng 1) cña phÐp thö t¬ng øng víi sè thùc lµ 4.Nãi çch kh¸c, víi sù kiÖn tæng sè nót trªn hai mÆt xuÊt hiÖn cña hai con xóc x¾c, tøc lµ taquan t©m ®Õn kh¶ n¨ng x¶y ra cña çc sè 2, 3, . . . , 12.

Do ®ã, cã thÓ quan niÖm mét hµm cã gi¸ trÞ thùc x¸c ®Þnh trªn kh«ng gian biÕn cè c¬ b¶n cña phÐp thö ®îc gäi lµ mét biÕn ngÉu nhiªn, vµ v× thÕ cã thÓ xÐt x¸c suÊt ®Ó biÕn ngÉunhiªn nµy nhËn gi¸ trÞ nµo ®ã. Çc vÝ dô:

VÝ dô 2.1.1. Gäi X lµ biÕn ngÉu nhiªn x¸c ®Þnh tæng sè nót trªn hai mÆt xuÊt hiÖn cña haicon xóc x¾c trong phÐp thö trªn. Khi ®ã X nhËn gi¸ trÞ nguyªn d¬ng tõ 2 ®Õn 12. Ta cã thÓ tÝnh çc x¸c suÊt:

P X = 2 =P E 11 = 136

P X = 3 =P E 12, E 21 = 2

36

P X = 4 =P E 13, E 22, E 31 = 3

36

P X = 5 =P E 14, E 23, E 32, E 41 = 4

36

22



Ch¬ng 2: BiÕn ngÉu nhiªn 23

P X = 6 =P E 15, E 24, E 33, E 42, E 51 = 5

36

P X = 7 =P E 16, E 25, E 34, E 43, E 52, E 61 = 6

36 (2.1.1)

P X = 8 =P E 26, E 35, E 44, E 53, E 62 =

5

36

P X = 9 =P E 36, E 45, E 54, E 63 = 4

36

P X = 10 =P E 46, E 55, E 64 = 3

36

P X = 11 =P E 56, E 65 = 2

36

P X = 12 =P E 66 = 1

36.

Tõ ph¬ng tr×nh (2.1.1) cã thÓ thÊy çc biÕn cè X = k(k = 2, 3, . . . , 12) lµ xung kh¾c,

biÕn ngÉu nhiªn X cã tÝnh chÊt: X nhËn gi¸ trÞ k (k=2,3, ..., 12) mçi gi¸ trÞ víi x¸c suÊtt¬ng øng x¸c ®Þnh bëi (2.1.1) vµ tæng çc x¸c suÊt nµy b»ng

1 = P 12

k=2

X = k

=

12k=2

P

X = k

.

VÝ dô 2.1.2. Gieo hai ®ång xu (c©n ®èi). Gäi Y lµ sè lÇn mÆt S x¶y ra. Khi ®ã Y lµ biÕnngÉu nhiªn nhËn çc gi¸ trÞ 0, 1, 2 víi çc x¸c suÊt t¬ng øng

P Y = 0 =P (N, N ) = 1

4

P Y = 1 =P (S, N ), (N, S ) = 2

4

P Y = 2 =P (S, S ) = 1

4

dÔ thÊy tæng çc x¸c suÊt trªn b»ng 1.

VÝ dô 2.1.3. Gi¶ sö r»ng x¸c suÊt x¶y ra mÆt S cña mét ®ång xu kh«ng c©n ®èi lµ p. TiÕnhµnh gieo ®ång xu cho tíi khi mÆt S xuÊt hiÖn. Gäi N lµ sè lÇn gieo nµy, gi¶ thiÕt çc lÇngieo lµ ®éc lËp (víi cïng ®iÒu kiÖn nh nhau trong çc lÇn gieo vµ kÕt qu¶ lÇn gieo nµy kh«ng ¶nh hëng bëi lÇn gieo tríc ®ã). Khi ®ã N lµ biÕn ngÉu nhiªn nhËn çc gi¸ trÞ nguyªnd¬ng 1, 2, 3, . . . , víi çc x¸c suÊt t¬ng øng

P N = 1 =P S = p

P N = 2 =P (N, S ) = (1 − p) p

P N = 3 =P (N,N,S ) = (1 − p)2 p

...

P N = n =P (N , N , . . . , N n−1

, S ) = (1 − p)n−1 p, (n 1).



24 §Æng Phíc Huy

§Ó ý r»ng

P

∞

n=1

N = n

=∞

n=1

P N = n

= p∞

n=1

(1 − p)n−1

= p

1 − (1 − p) = 1.

Trong nh÷ng vÝ dô trªn, çc biÕn ngÉu nhiªn lÊy gi¸ trÞ trªn mét tËp ®Õm ®îc (h÷u h¹nhoÆc v« h¹n) çc sè thùc. Nh÷ng biÕn ngÉu nhiªn nh thÕ gäi lµ biÕn ngÉu nhiªn rêi r¹c.Ngoµi ra cßn cã nh÷ng biÕn ngÉu nhiªn gäi lµ liªn tôc, ®ã lµ nh÷ng biÕn ngÉu nhiªn lÊy gi¸trÞ trªn mét tËp con (kh«ng ®Õm ®îc) cña tËp sè thùc. Ch¼ng h¹n, nÕu gäi X lµ thêi giansèng cña bãng ®Ìn th× X lµ biÕn ngÉu nhiªn nhËn gi¸ trÞ trªn kho¶ng (a, b)

⊂R.

2.1.1 Hµm ph©n phèi

Hµm ph©n phèi cña mét biÕn ngÉu nhiªn X lµ hµm x¸c ®Þnh víi x ∈ R bëi ph¬ng tr×nh

F (x) = P X < x; ∀x ∈ R. (2.1.2)

§Ó ý r»ng víi X lµ mét biÕn ngÉu nhiªn, v× X nhËn gi¸ trÞ thùc nªn tËp X < x chÝnhlµ tËp çc biÕn cè c¬ b¶n nµo ®ã cña phÐp thö mµ qua X nhËn gi¸ trÞ < x, víi mäi sè thùcx. Nãi kh¸c ®i X < x lµ mét tËp con cña kh«ng gian biÕn cè c¬ b¶n vµ do ®ã nã lµ métbiÕn cè ngÉu nhiªn cña phÐp thö.

TÝnh chÊt hµm ph©n phèi

Hµm ph©n phèi cã çc tÝnh chÊt:

1. F (x) lµ mét hµm kh«ng gi¶m.

2. limx−→+∞ F (x) = F (+∞) = 1.

3. limx−→−∞ F (x) = F (−∞) = 0.

TÝnh chÊt (1) suy ra tõ: a < b th× biÕn cè X < a chøa trong biÕn cè X < b nªn x¸c suÊtph¶i nhá h¬n. (2) vµ (3) suy ra tõ nhËn xÐt biÕn ngÉu nhiªn X chØ lÊy gi¸ trÞ h÷u h¹n.

Tõ hµm ph©n phèi ta cã thÓ tÝnh x¸c suÊt ®Ó X nhËn gi¸ trÞ trªn mét kho¶ng bÊt kú nµo®ã, ch¼ng h¹n

P a X < b = F (b) − F (a) (víi mäi a < b). (2.1.3)




2.1.2 BiÕn ngÉu nhiªn rêi r¹c

Theo môc tríc, chóng ta biÕt mét biÕn ngÉu nhiªn rêi r¹c lµ biÕn ngÉu nhiªn lÊy gi¸ trÞtrªn tËp ®Õm ®îc çc sè thùc nµo ®ã. Víi biÕn ngÉu nhiªn rêi r¹c X, ta ®Þnh nghÜa hµm khèi

l-îng x¸c suÊt p(x) cña X nh sau

p(x) = P X = x.

Chóng ta lu«n gi¶ thiÕt, nÕu biÕn ngÉu nhiªn X nhËn çc gi¸ trÞ x1, x2, . . ., th×

p(xi) >0, i = 1, 2, . . .

p(x) =0, víi mäi gi¸ trÞ x kh¸c xi

vµ çc x¸c suÊt p(xi) tháa ®iÒu kiÖn

∞

i=1 p(xi) = 1.

Tõ ph¬ng tr×nh (2.1.2) hµm ph©n phèi cña biÕn ngÉu nhiªn rêi r¹c X cã thÓ biÓu diÔn qua p(x) bëi

F (x) =

∀i: xi<x

p(xi).

Ch¼ng h¹n, nÕu biÕn ngÉu nhiªn X cã hµm khèi lîng x¸c suÊt lµ

p(1) = 1/2, p(2) = 1/3, p(3) = 1/6

th× hµm ph©n phèi cña nã sÏ lµ

F (x) =

0, x 112

, 1 < x 256

, 2 < x 31, 3 < x

( H·y vÏ ®å thÞ cña hµm ph©n phèi nµy, b¹n cã thÓ rót ra nhËn xÐt g× tõ ®å thÞ cña nã?)

Qui íc: §Ó cho tiÖn tõ nay ta dïng çc ký hiÖu pi thay cho p(xi) vµ khi nãi mét biÕn ngÉunhiªn rêi r¹c X nhËn çc gi¸ trÞ x1, x2, . . . víi çc x¸c suÊt t¬ng øng p1, p2, . . .(çc khèilîng x¸c suÊt) ta dïng ký hiÖu X

∼ (xi, pi), i = 1, 2, . . .. HoÆc còng cã thÓ biÓu diÔn X

theo d¹ng b¶ng nh sau

X x1 x2 x3 · · · pi p1 p2 p3 · · ·

D·y phÐp thö ®éc lËp- D·y phÐp thö Bernoulli

Trong Ch¬ng 1 Môc 1.2.4 chóng ta ®· biÕt vÒ tÝnh ®éc lËp cña çc biÕn cè, kh¸i niÖmnµy cã thÓ dïng ®Ó m« t¶ çc phÐp thö ®éc lËp. Cô thÓ: gi¶ sö cã mét d·y gåm n phÐp thö



26 §Æng Phíc Huy

mµ mçi phÐp thö kÕt qu¶ x¶y ra chØ gåm hai sù kiÖn lµ “thµnh c«ng” hay “thÊt b¹i”. GäiE i (i 1) lµ biÕn cè mµ phÐp thö thø i lµ “thµnh c«ng”. Ta nãi d·y n phÐp thö nµy lµ ®éclËp nÕu nh

P (E 1E 2 · · · E n) = P (E 1)P (E 2) · · · P (E n).

Tæng qu¸t h¬n, víi mçi bé ho¸n vÞ (k1, k2, . . . , kn) cña (1, 2, . . . , n) ta cã

P (E k1E k2 · · · E kn) = P (E k1)P (E k2) · · · P (E kn).

Gi¶ sö E lµ mét phÐp thö mµ kÕt côc chØ gåm mét trong hai kh¶ n¨ng x¶y ra lµ “thµnhc«ng” hay “thÊt b¹i”. NÕu thùc hiÖn d·y n phÐp thö E ®éc lËp (tøc lµ tiÕn hµnh n lÇn phÐpthö E mét çch ®éc lËp nhau), vµ mçi phÐp thö x¸c suÊt thµnh c«ng lµ p th× ta gäi d·y phÐpthö ®ã lµ d·y n phÐp thö Bernoulli.

2.1.3 Çc biÕn ngÉu nhiªn rêi r¹c th«ng dông

BiÕn ngÉu nhiªn Bernoulli

Gi¶ sö mét phÐp thö E ®îc thùc hiÖn, kÕt qu¶ cña nã chØ gåm mét trong hai kh¶ n¨ngx¶y ra lµ “thµnh c«ng” hay “thÊt b¹i”. §Æt X b»ng 0 nÕu thÊy “thÊt b¹i” vµ b»ng 1 nÕu thÊy“thµnh c«ng”. Khi ®ã X lµ biÕn ngÉu nhiªn cã hµm khèi lîng x¸c suÊt cho bëi

P (0) =P X = 0 = 1 − p

P (1) =P X = 1 = p (2.1.4)

víi 0 p 1 vµ p lµ x¸c suÊt ®Ó phÐp thö thµnh c«ng.BiÕn ngÉu nhiªn X gäi lµ biÕn ngÉu nhiªn Bernoulli nÕu hµm khèi lîng x¸c suÊt cña

nã x¸c ®Þnh theo c«ng thøc (2.1.4) víi p ∈ (0, 1).

BiÕn ngÉu nhiªn nhÞ thøc

Thùc hiÖn d·y n phÐp thö Bernoulli, mçi phÐp thö thµnh c«ng víi x¸c suÊt p (hiÓn nhiªnx¸c suÊt thÊt b¹i lµ 1 − p). Gäi X lµ sè lÇn thµnh c«ng trong n phÐp thö. Khi ®ã X ®îc gäilµ biÕn ngÉu nhiªn nhÞ thøc víi tham sè (n, p).

DÔ dµng thÊy X nhËn çc gi¸ trÞ 0, 1, 2, . . . , n. Hµm khèi lîng x¸c suÊt cña X x¸c®Þnh bëi

p(k) = P X = k = C kn pk(1 − p)n−k ; ∀k = 0, 1, 2, . . . , n . (2.1.5)

Chó ý r»ng tæng çc khèi lîng x¸c suÊt b»ng 1 lµ hiÓn nhiªn nhê c«ng thøc nhÞ thøc Newton

nk=0

p(k) =n

k=0

C kn pk(1 − p)n−k = ( p + (1 − p))n = 1.

Ta dïng ký hiÖu X ∼ b(n, p) ®Ó chØ X lµ biÕn ngÉu nhiªn nhÞ thøc víi tham sè (n, p).




VÝ dô 2.1.4. Gieo mét ®ång xu c©n ®èi bèn lÇn mét çch ®éc lËp. TÝnh x¸c suÊt mÆt S x¶yra hai lÇn?

Gäi X lµ sè lÇn mÆt S xuÊt hiÖn trong bèn lÇn gieo, khi ®ã X ∼ b(4, 12

). X¸c suÊt cÇntÝnh lµ P

X = 2

:

P X = 2 = C 24(12

)2(1 − 12

)4−2 = 38

.

VÝ dô 2.1.5. Gi¶ sö r»ng mét ®éng c¬ m¸y bay sÏ háng trong khi bay víi x¸c suÊt 1-p, viÖcçc ®éng c¬ cña m¸y bay x¶y ra háng hãc lµ ®éc lËp nhau. Gi¶ thiÕt r»ng m¸y bay hoµnthµnh mét chuyÕn bay nÕu nh cã Ýt nhÊt 50 phÇn tr¨m ®éng c¬ cña nã lµ cßn ho¹t ®éng tèt khi bay. Víi gi¸ trÞ nµo cña p th× m¸y bay cã 4 ®éng c¬ lµ an toµn h¬n 2 ®éng c¬?

Gäi X lµ sè ®éng c¬ cßn ho¹t ®éng cña m¸y bay trong mét chuyÕn bay. Theo gi¶ thiÕt m¸y bay sÏ hoµn thµnh chuyÕn bay nÕu nh X 2 (®èi víi m¸y bay 4 ®éng c¬) vµ X 1(®èi víi m¸y bay 2 ®éng c¬). V× sù cè háng hãc cña çc ®éng c¬ lµ ®éc lËp nhau vµ cã x¸csuÊt háng lµ 1-p nªn biÕn ngÉu nhiªn X

∼ b(n, p). M¸y bay cã bèn ®éng c¬ an toµn h¬n 2

®éng c¬ nÕu nh x¸c suÊt hoµn thµnh chuyÕn bay cña nã cao h¬n, çc x¸c suÊt nµy t¬ng øng lµ

C 24 p2(1 − p)2 + C 34 p

3(1 − p) + C 44 p4(1 − p)0 = 6 p2(1 − p)2 + 4 p3(1 − p) + p4,

C 12 p(1 − p) + C 22 p2 = 2 p(1 − p) + p2.

Tõ ®ã

6 p2(1 − p)2 + 4 p3(1 − p) + p4 2 p(1 − p) + p2

suy ra

3 p3 − 8 p2 + 7 p − 2 0 hay ( p − 1)2(3 p − 2) 0.

VËy

p 2

3.

M¸y bay bèn ®éng c¬ sÏ an toµn h¬n m¸y bay hai ®éng c¬ nÕu nh x¸c suÊt p 23.

BiÕn ngÉu nhiªn h×nh häc

TiÕn hµnh d·y çc phÐp thö Bernoulli ®éc lËp (víi x¸c suÊt thµnh c«ng cña mçi phÐpthö lµ p) ®Õn khi cã mét phÐp thö thµnh c«ng th× ngõng. Gäi X lµ sè çc phÐp thö ®îc tiÕn

hµnh, khi ®ã X ®îc gäi lµ biÕn ngÉu nhiªn h×nh häc víi tham sè p. Hµm khèi lîng x¸csuÊt cña nã cho bëi

p(k) = P X = k = (1 − p)k−1 p; k = 1, 2, 3, . . . (2.1.6)

(Xem VÝ dô (2.1.3) Môc 2.1). Ta ký hiÖu biÕn ngÉu nhiªn h×nh häc víi tham sè p bëiX ∼ g ( p).

BiÕn ngÉu nhiªn Poisson



28 §Æng Phíc Huy

Mét biÕn ngÉu nhiªn X nhËn çc gi¸ trÞ 0, 1, 2, . . ., ®îc gäi lµ biÕn ngÉu nhiªn Poissonvíi tham sè λ(λ > 0) nÕu hµm khèi lîng x¸c suÊt cña nã x¸c ®Þnh bëi

p(k) = P

X = k

= e−λ λk

k!; k = 0, 1, 2, . . . (2.1.7)

( Sö dông khai triÓn eλ = ∞

k=0λk

k! , dÔ dµng kiÓm tra tæng çc khèi lîng x¸c suÊt x¸c ®Þnh

bëi (2.1.7) lµ b»ng 1). Ký hiÖu biÕn ngÉu nhiªn Poisson víi tham sè λ bëi X ∼ P 0(λ).

Ghi chó. Mét tÝnh chÊt quan träng cña biÕn ngÉu nhiªn Poisson lµ nã ®îc dïng ®Ó xÊp xØ biÕn ngÉu nhiªn nhÞ thøc. Gi¶ sö X lµ biÕn ngÉu nhiªn nhÞ thøc víi tham sè (n, p), trong ®ãn kh¸ lín vµ p nhá. §Æt λ = np, khi ®ã

P X = k = C kn pk(1 − p)n−k .

Ta biÕn ®æi nh sau

P X = k = n!

(n − k)!k! pk(1 − p)n−k

= n!

(n − k)!k!(

λ

n)k(1 − λ

n)n−k

=n(n − 1) · · · (n − k + 1)

nk

λk(1 − λn )n

k!(1 − λn )k

.

V× n lín vµ p nhá nªn

(1 − λ

n)n

≈ e−λ

,

n(n

−1)

· · ·(n

−k + 1)

nk ≈ 1, (1 − λ

n)k

≈ 1

hay lµ

P X = k ≈ e−λ λk

k!.

VÝ dô 2.1.6. Gi¶ sö sè lçi in trªn mét trang riªng lÎ cña gi¸o tr×nh nµy lµ cã ph©n phèi Poisson víi tham sè λ = 1 (tøc lµ sè lçi in trªn mét trang lµ biÕn ngÉu nhiªn Poisson). TÝnh x¸c suÊt cã Ýt nhÊt mét lçi trªn trang nµy?

Gäi X lµ sè lçi in trªn mét trang. X¸c suÊt cÇn tÝnh lµ P X 1

P X 1 = 1 − P X = 0 = 1 − e−1

≈ 0, 633.

VÝ dô 2.1.7. NÕu sè tai n¹n giao th«ng trªn mét ®o¹n ®êng nµo ®ã mçi ngµy lµ mét biÕnngÉu nhiªn Poisson víi tham sè λ = 3. TÝnh x¸c suÊt kh«ng cã tai n¹n nµo x¶y ra ngµy h«mnay?

Gäi X lµ sè tai n¹n giao th«ng x¶y ra trªn ®o¹n ®êng ®ã trong mçi ngµy, ta cã

P X = 0 = e−3 ≈ 0, 05.




2.1.4 BiÕn ngÉu nhiªn liªn tôc

§Ó cã thÓ ®Þnh nghÜa biÕn ngÉu nhiªn liªn tôc mét çch cô thÓ h¬n, ta xÐt X lµ mét biÕnngÉu nhiªn nhËn gi¸ trÞ trªn mét tËp con kh«ng ®Õm ®îc cña tËp sè thùc. X ®îc gäi lµ biÕnngÉu nhiªn liªn tôc nÕu nh tån t¹i mét hµm kh«ng ©m f (x) x¸c ®Þnh víi mäi x

∈ (

−∞,

∞),

cã tÝnh chÊt

P X ∈ B =

B

f (x)dx (2.1.8)

víi mäi tËp B ⊂ R. Hµm f (x) gäi lµ hµm mËt ®é x¸c suÊt cña biÕn ngÉu nhiªn X .

Theo (2.1.8), x¸c suÊt cña biÕn ngÉu nhiªn X nhËn gi¸ trÞ trªn tËp B b»ng tÝch ph©nhµm mËt ®é x¸c suÊt trªn tËp ®ã. Hµm mËt ®é x¸c suÊt cã tÝnh chÊt

1 = P X ∈ (−∞, ∞) =

∞−∞

f (x)dx.

Cã thÓ tÝnh x¸c suÊt X nhËn gi¸ trÞ trªn mét ®o¹n tïy ý nhê ph¬ng tr×nh (2.1.8). Ch¼ngh¹n, lÊy B = [a, b], chóng ta cã c«ng thøc

P a X b =

b

a

f (x)dx. (2.1.9)

NÕu lÊy a = b, tõ (2.1.9) suy raP X = a = 0,

nh vËy ®èi víi biÕn ngÉu nhiªn liªn tôc, x¸c suÊt ®Ó nã chØ nhËn mét gi¸ trÞ lu«n b»ng 0(®©y lµ tÝnh chÊt kh¸c biÖt h¼n so víi biÕn ngÉu nhiªn rêi r¹c).

Trë l¹i hµm ph©n phèi trong môc (2.1.1) ch¬ng nµy, hÖ thøc sau cho mèi liªn hÖ víihµm mËt ®é cña nã

F (x) = P X ∈ (−∞, x) =

x

−∞f (t)dt.

NÕu lÊy ®¹o hµm hai vÕ ph¬ng tr×nh trªn theo x, th×

d

dxF (x) = F (x) = f (x).

§iÒu nµy nãi lªn r»ng ®¹o hµm cña hµm ph©n phèi lµ hµm mËt ®é.

Ghi chó. Tõ ph¬ng tr×nh (2.1.9) ta cã

P a −

2 X a +

2 =

a+ 2

a− 2

f (x)dx ≈ f (a)

khi kh¸ nhá ( > 0). NghÜa lµ x¸c suÊt X nhËn gi¸ trÞ trªn mét kho¶ng cã ®é dµi quanh®iÓm a lµ xÊp xØ f (a). Nh vËy f (a) xem nh sè ®o kh¶ n¨ng ®Ó biÕn ngÉu nhiªn X nhËngi¸ trÞ trong l©n cËn ®iÓm a (f (a) cµng lín th× mËt ®é X nhËn gi¸ trÞ quanh a cµng cao).



30 §Æng Phíc Huy

2.1.5 Çc biÕn ngÉu nhiªn liªn tôc th«ng dông

BiÕn ngÉu nhiªn ®Òu

Mét biÕn ngÉu nhiªn gäi lµ ®Òu (biÕn ngÉu nhiªn cã ph©n phèi ®Òu) trªn kho¶ng (a, b),

ký hiÖu X ∼ U (a,b), trong ®ã −∞ < a < b < ∞, nÕu nh hµm mËt ®é cña nã cã d¹ng

f (x) =

1b−a , x ∈ (a, b)

0 , x /∈ (a, b) (2.1.10)

VÝ dô 2.1.8. T×m hµm ph©n phèi cña biÕn ngÉu nhiªn X ∼ U (a,b)?

V× F (x) = x−∞ f (t)dt, nªn tõ (2.1.10) ta cã

F (x) =

0 , x ax−ab−a , a < x < b1 , x b

VÝ dô 2.1.9. NÕu X ∼ U (0,10), tÝnh x¸c suÊt: (X < 3);(X > 7);(1 < X < 6)?

P X < 3 =

30

dx

10 =

3

10

P X > 7 =

107

dx

10 =

3

10

P 1 < X < 6 =

61 dx

10 =

1

2.

BiÕn ngÉu nhiªn mòBiÕn ngÉu nhiªn liªn tôc cã hµm mËt ®é cho bëi

f (x) =

λe−λx , x 00 , x < 0

(2.1.11)

víi λ > 0, ®îc gäi lµ biÕn ngÉu nhiªn mò (biÕn ngÉu nhiªn cã ph©n phèi mò) víi tham sè λ vµ ký hiÖu X ∼ E (λ).

BiÕn ngÉu nhiªn chuÈn

Chóng ta nãi X lµ biÕn ngÉu nhiªn chuÈn (cã ph©n phèi chuÈn) víi tham sè µ vµ

σ2(µ ∈ R; σ > 0), ký hiÖu X ∼ N (µ, σ2), nÕu hµm mËt ®é cña nã cã d¹ng

f (x) = 1√

2πσe−

(x−µ)2

2σ2 , −∞ < x < ∞. (2.1.12)

Mét tÝnh chÊt quan träng cña biÕn ngÉu nhiªn chuÈn lµ nÕu X ∼ N (µ, σ2) th× biÕn ngÉunhiªn Y = aX + b ∼ N (aµ + b, a2σ2) víi a = 0. TÝnh chÊt nµy cã thÓ ph¸t biÓu: hµm tuyÕntÝnh cña mét biÕn ngÉu nhiªn chuÈn còng lµ biÕn ngÉu nhiªn chuÈn.




TÝnh chÊt trªn cã thÓ chøng minh ®¬n gi¶n nh sau, gäi F X (.), F Y (.) thø tù lµ çc hµm ph©n phèi cña çc biÕn ngÉu nhiªn X, Y . Khi ®ã

F Y (x) =P Y < x

=P aX + b < x (víi

a > 0)=P (X <

x − b

a ) = F X (

x − b

a )

=

(x−b)/a

−∞

1√ 2πσ

exp−(t − µ)2

2σ2 dt.

B»ng çch ®æi biÕn ta cã

F Y (x) =

x

−∞

1√ 2πaσ

exp−(u − (aµ + b))2

2a2σ2 du (i).

Mµ hµm ph©n phèi cña Y

lµ F Y (x) = x−∞ f Y (u)du

, do ®ã hµm díi dÊu tÝch ph©n (i)

chÝnh

lµ hµm mËt ®é f Y (u) vµ chøng tá Y ∼ N (aµ + b, a2σ2) (chøng minh t¬ng tù cho a < 0).

Trêng hîp ®Æc biÖt lµ a = 1/σ vµ b = −µ/σ tøc lµ Y = X −µσ

th× theo trªn Y cã ph©nphèi chuÈn víi tham sè (0, 1). BiÕn ngÉu nhiªn Y ∼ N (0, 1) ®îc gäi lµ biÕn ngÉu nhiªn chuÈn

hãa.

2.2 §iÓm ngÉu nhiªn (vÐc t¬ ngÉu nhiªn)

PhÇn tríc chóng ta ®· xÐt çc biÕn ngÉu nhiªn th«ng dông. Thùc tÕ çc bµi to¸n kh¶o s¸tthêng cã sù t¸c ®éng cña nhiÒn h¬n mét biÕn ngÉu nhiªn, ch¼ng h¹n cã hai biÕn ngÉu nhiªnt¸c ®éng trong hiÖn t¬ng ®îc kh¶o s¸t. VÊn ®Ò vÒ ph©n phèi cña tõng biÕn ngÉu nhiªn vµph©n phèi chung cña c¶ hai biÕn ngÉu nhiªn cã mèi liªn hÖ g×, cã sù phô thuéc nµo ®ã gi÷ahai biÕn ngÉu nhiªn nµy hay kh«ng?. . . lµ çc c©u hái cÇn ph¶i t×m hiÓu b¶n chÊt.

Gi¶ sö X vµ Y lµ hai biÕn ngÉu nhiªn, ta gäi cÆp (X, Y ) lµ mét ®iÓm ngÉu nhiªn hoÆcmét vÐc t¬ ngÉu nhiªn (hai chiÒu). Hµm ph©n phèi ®iÓm (hµm ph©n phèi ®ång thêi) cña X vµ Y x¸c ®Þnh bëi

F (x, y) = P X < x, Y < y, −∞ < x, y < ∞.

Hµm ph©n phèi cña X cã thÓ nhËn ®îc tõ hµm ph©n phèi ®ång thêi cña X vµ Y nh sau:

F X (x) =P X < x=P X < x, Y < ∞ = F (x, ∞).

T¬ng tù ph©n phèi cña Y cho bëi

F Y (y) = P Y < y = F (∞, y).

Ta xÐt çc trêng hîp



32 §Æng Phíc Huy

§iÓm ngÉu nhiªn rêi r¹c

Gi¶ sö X vµ Y lµ hai biÕn ngÉu nhiªn rêi r¹c. Khi ®ã (X, Y ) gäi lµ ®iÓm ngÉu nhiªn rêir¹c (vÐc t¬ ngÉu nhiªn rêi r¹c (hai chiÒu)). §Þnh nghÜa hµm khèi lîng x¸c suÊt ®ång thêicña X vµ Y lµ:

p(x, y) = P X = x, Y = y,chó ý r»ng nÕu x (hoÆc y) kh«ng ph¶i lµ gi¸ trÞ cña X (hoÆc Y ) cã thÓ nhËn th× biÕn cè X = x lµ biÕn cè trèng (hoÆc Y = y lµ trèng) nªn p(x, y) = 0. Do ®ã çc hµm khèilîng x¸c suÊt cña X vµ Y cã thÓ tÝnh qua hµm khèi lîng x¸c suÊt ®ång thêi cña nã nh sau

pX (x) =

y : p(x,y )>0

p(x, y)

vµ t¬ng tù hµm khèi lîng x¸c suÊt cña Y lµ

pY (y) =

x: p(x,y )>0

p(x, y).

VÝ dô 2.2.1. Cho hai biÕn ngÉu nhiªn rêi r¹c X ∼ (ak, pk0), k ∈ I ⊆ N, vµ Y ∼ (bn, p0n), n ∈J ⊆ N. Hµm khèi lîng x¸c suÊt ®ång thêi cña ®iÓm ngÉu nhiªn (X, Y ) ®îc tÝnh

p(ak, bn) = P X = ak, Y = bn = pkn

vµ p(x, y) = 0 víi mäi x kh¸c ak, y kh¸c bn(k ∈ I , n ∈ J ).

Tõ ®ã çc hµm khèi lîng x¸c suÊt cña X vµ Y cho nh sau

pX (ak) =P X = ak = pk0 =n∈J

pkn

pY (bn) =P Y = bn = p0n = k∈I

pkn.

V× tæng çc khèi lîng x¸c suÊt cña mét biÕn ngÉu nhiªn rêi r¹c b»ng 1, suy rak∈I

pk0 =n∈J

p0n =k∈I

n∈J

pkn = 1.

VÝ dô 2.2.2. Gieo hai ®ång xu c©n ®èi. §Æt X lµ biÕn ngÉu nhiªn lÊy gi¸ trÞ 1 nÕu mÆt S cña®ång xu thø nhÊt x¶y ra vµ gi¸ trÞ 0 nÕu ngîc l¹i. T¬ng tù cho Y nhËn gi¸ trÞ 1 nÕu mÆt S cña ®ång xu thø hai x¶y ra vµ 0 nÕu ngîc l¹i. Khi ®ã X vµ Y lµ hai biÕn ngÉu nhiªn rêir¹c (h¬n thÕ n÷a chóng ®Òu cã ph©n phèi Bernoulli víi p = x¸c suÊt mÆt S x¶y ra = 1/2). §iÓm ngÉu nhiªn (X, Y ) trong trêng hîp nµy cã çc khèi lîng x¸c suÊt ®ång thêi nh sau

p10 =P X = 1, Y = 0 = 14

p11 =P X = 1, Y = 1 = 1

4

p00 =P X = 0, Y = 0 = 1

4

p01 =P X = 0, Y = 1 = 1

4.




Râ rµng

P X = 1 = p10 + p11 = 2

4 =

1

2 P X = 0 = p00 + p01 =

1

2

P Y = 1 = p01 + p11 =

2

4 =

1

2 P Y = 0 = p00 + p10 =

1

2 .

NÕu ký hiÖu pk• cho P X = k vµ p•k cho P Y = k víi k = 0, 1 th×

p10 = p1• p•0, p11 = p1• p•1, p00 = p0• p•0, p01 = p0• p•1

tøc lµ çc biÕn cè X = i, Y = j (i, j = 0, 1) lµ ®éc lËp (®iÒu nµy thÓ hiÖn mét tÝnhchÊt: do hai ®ång xu lµ c©n ®èi vµ phÐp thö gieo hai ®ång xu th× viÖc xuÊt hiÖn mÆt S hay N cña ®ång xu nµy kh«ng ¶nh hëng g× ®Õn ®ång xu kia. NghÜa lµ çc kÕt côc x¶y ra cña hai®ång xu lµ hoµn toµn ®éc lËp nhau).

§iÓm ngÉu nhiªn liªn tôc (vÐc t¬ ngÉu nhiªn liªn tôc (hai chiÒu))

Víi X vµ Y lµ hai biÕn ngÉu nhiªn liªn tôc, nÕu cã tån t¹i mét hµm hai biÕn f (x, y)kh«ng ©m x¸c ®Þnh víi mäi sè thùc x vµ y , cã tÝnh chÊt

P X ∈ A, Y ∈ B =

A

B

f (x, y)dxdy,

víi mäi tËp con A, B cña tËp sè thùc R, th× ta gäi ®iÓm (X, Y ) lµ ®iÓm ngÉu nhiªn liªn tôc(vÐc t¬ ngÉu nhiªn liªn tôc (2 chiÒu)). Hµm f (x, y) gäi lµ hµm mËt ®é x¸c suÊt ®iÓm (hµmmËt ®é x¸c suÊt ®ång thêi) cña hai biÕn ngÉu nhiªn X vµ Y .

Tõ ®Þnh nghÜa trªn cã thÓ tÝnh çc hµm mËt ®é x¸c suÊt cña X vµ Y qua hµm mËt ®é®ång thêi ®· cho cña nã nh sau

P X ∈ A =P X ∈ A, Y ∈ (−∞, ∞)=

∞−∞

A

f (x, y)dxdy

=

A

f X (x)dx

trong ®ã ®Æt

f X (x) = ∞−∞

f (x, y)dy

chÝnh lµ hµm mËt ®é x¸c suÊt cña X . T¬ng tù ta cã hµm mËt ®é x¸c suÊt cña Y ®îc tÝnh

f Y (y) =

∞−∞

f (x, y)dx.

TÝnh ®éc lËp cña çc biÕn ngÉu nhiªn



34 §Æng Phíc Huy

Hai biÕn ngÉu nhiªn X vµ Y ®îc gäi lµ ®éc lËp nÕu nh: víi mäi sè thùc x vµ y ta cãhµm ph©n phèi ®ång thêi cña chóng b»ng tÝch çc hµm ph©n phèi cña tõng thµnh phÇn. Tøclµ

F (x, y) = F X (x)F Y (y), ∀x, y ∈ R, (2.2.13)

hay lµ

P X < x, Y < y = P X < xP Y < y, ∀x, y ∈ R.

Nãi çch kh¸c X vµ Y lµ ®éc lËp nÕu víi mäi sè thùc x, y ta cã hai biÕn cè E X = X <x vµ E Y = Y < y lµ hai biÕn cè ®éc lËp.

Khi X vµ Y lµ rêi r¹c, ®iÒu kiÖn (2.2.13) trë thµnh

p(x, y) = pX (x) pY (y), ∀x, y ∈ R. (2.2.14)

Trêng hîp X vµ Y liªn tôc th× ®iÒu kiÖn X vµ Y ®éc lËp cã thÓ biÓu diÔn qua hµm mËt ®é

nh sauf (x, y) = f X (x)f Y (y), ∀x, y ∈ R. (2.2.15)

VÝ dô 2.2.3. Cho X vµ Y lµ hai biÕn ngÉu nhiªn ®éc lËp cã ph©n phèi Poisson t¬ng øng lµ P o(λ1) vµ P o(λ2). H·y t×m ph©n phèi cña X + Y ?

DÔ dµng thÊy X + Y còng lµ biÕn ngÉu nhiªn rêi r¹c nhËn çc gi¸ trÞ 0, 1, 2, . . .. H¬nn÷a, biÕn cè X + Y = n cã thÓ viÕt thµnh hîp cña n+1 biÕn cè d¹ng X = k, Y =n − k(0 k n), nªn chóng ta cã

P

X + Y = n

=P n

k=0

(X = k, Y = n−

k)=

nk=0

P X = k, Y = n − k

=n

k=0

P X = kP Y = n − k do (2.2.14)

=n

k=0

e−λ1λk1

k!e−λ2

λn−k2

(n − k)!

=e−(λ1+λ2)

n

k=0

λk1λn−k

2

k!(n − k)!

=e−(λ1+λ2) 1

n!

nk=0

n!

k!(n − k)!λk1λn−k

2

=e−(λ1+λ2)

n! (λ1 + λ2)n.

VËy X + Y lµ biÕn ngÉu nhiªn P o(λ1 + λ2).




Chó thÝch: çc kÕt qu¶ trong Môc 2.2 ®Òu cã thÓ më réng cho trêng hîp ®iÓm ngÉu nhiªn víisè chiÒu n > 2. Ch¼ng h¹n, ®Þnh nghÜa tÝnh ®éc lËp cña n biÕn ngÉu nhiªn X 1, X 2, . . . , X n lµ

P X 1 < x1, X 2 < x2, . . . , X n < xn = P X 1 < x1P X 2 < x2 · · · P X n < xn.

Hµm ph©n phèi ®ång thêi cña ®iÓm ngÉu nhiªn n chiÒu hiÓn nhiªn ph¶i lµ

F (x1, x2, . . . , xn) = P X 1 < x1, X 2 < x2, . . . , X n < xn.



36 §Æng Phíc Huy

Bµi tËp ch-¬ng 2

1. Mét hép chøa 5 bi ®á, 3 bi vµng vµ 2 bi xanh. LÊy ngÉu nhiªn hai bi. Kh«ng gian biÕncè c¬ b¶n cña phÐp thö lµ g×? Gäi X lµ sè bi vµng cã trong hai bi lÊy ra. TÝnh hµm

khèi lîng x¸c suÊt cña X .

2. GäiX lµ hiÖu sè gi÷a sè lÇn x¶y ra mÆt S vµ mÆt N nhËn ®îc khi gieo mét ®ång xuc©n ®èi 4 lÇn ®éc lËp. TÝnh hµm khèi lîng x¸c suÊt cña X . Tæng qu¸t bµi to¸n cho nlÇn gieo ®éc lËp.

3. Gieo ®ång thêi 5 ®ång xu c©n ®èi. §Æt E lµ biÕn cè mµ mäi ®ång xu ®Òu x¶y ra mÆtS. X¸c ®Þnh biÕn ngÉu nhiªn X nh sau

X =1 nÕu E x¶y ra,

X =0 nÕu E kh«ng x¶y ra.

TÝnh hµm khèi lîng x¸c suÊt cña X .

4. Gi¶ sö hµm ph©n phèi cña biÕn ngÉu nhiªn X cho bëi

F (x) =

0 nÕu x 012

nÕu 0 < x 1

1 nÕu x > 1.

T×m hµm khèi lîng x¸c suÊt p(x) cña X .

5. Cho biÕn ngÉu nhiªn rêi r¹c X nh sau

X 1 2 3 4 5 p(x) 0,5 0,1 0,2 0,1 0,1

H·y t×m hµm ph©n phèi cña X . VÏ ®å thÞ hµm ph©n phèi. TÝnh x¸c suÊt P 1 X 4.

6. Gieo 3 con xóc x¾c c©n ®èi. TÝnh x¸c suÊt cã nhiÒu nhÊt mét mÆt cã sè nót 6 xuÊthiÖn.

7. T×m x¸c suÊt mÆt S xuÊt hiÖn lÇn thø nhÊt trong 15 lÇn gieo ®éc lËp mét ®ång xu c©n®èi.

8. Trong mét th viÖn chØ gåm hai lo¹i s¸ch: s¸ch kü thuËt vµ s¸ch v¨n häc. X¸c suÊt ®Ó

mét ®éc gi¶ lÊy ngÉu nhiªn mét cuèn s¸ch kü thuËt lµ 0,7; mét cuèn s¸ch v¨n häc lµ0,3. T×m x¸c suÊt sao cho 5 ®éc gi¶ liªn tiÕp vµo mîn mçi ngêi mét cuèn, th× ®îctoµn s¸ch kü thuËt hoÆc toµn s¸ch v¨n häc.

9. Cho X lµ mét biÕn ngÉu nhiªn víi hµm mËt ®é x¸c suÊt

f (x) =

c(1 − x2), nÕu − 1 < x < 1

0, nÕu kh¸c.




(a) X¸c ®Þnh gi¸ trÞ cña c.

(b) T×m hµm ph©n phèi cña X .

10. Hµm mËt ®é x¸c suÊt cña biÕn ngÉu nhiªn X cã d¹ng

f (x) =c(4x − 2x2), nÕu 0 < x < 2

0, nÕu kh¸c.

(a) X¸c ®Þnh gi¸ trÞ cña c.

(b) TÝnh P 1/2 < X < 3/2.

11. Hµm mËt ®é cña X cho bëi

f (x) =

10x2 , nÕu x > 10

0, nÕu kh¸c.

T×m hµm ph©n phèi cña X . TÝnh P X > 20.

12. Cho X 1, X 2, . . . , X n lµ çc biÕn ngÉu nhiªn ®éc lËp vµ cã chung ph©n phèi F (x).

(a) T×m hµm ph©n phèi cña maxX 1, X 2, . . . , X n.

(b) T×m hµm ph©n phèi cña minX 1, X 2, . . . , X n.

13. Cho X 1, X 2, . . . , X n lµ çc biÕn ngÉu nhiªn ®éc lËp vµ cã chung ph©n phèi U (0,1). §ÆtX = maxX 1, X 2, . . . , X n. Chøng tá r»ng hµm ph©n phèi cña X cho bëi

F X (x) = 0 nÕu x 0

xn nÕu 0 < x < 1

1 nÕu x 1.

T×m hµm mËt ®é cña X .

14. MËt ®é cña biÕn ngÉu nhiªn X cã d¹ng

f (x) =

c e−2x, 0 < x < ∞;0, nÕu kh¸c.

T×m c. TÝnh P X > 2.

15. Gäi X lµ biÕn ngÉu nhiªn b»ng sè kiÓu gen aa thÊy ®îc trong 40 ç thÓ sinh ra tõ sù

giao hai dÞ hîp tö Aa (nh¾c l¹i r»ng trong sù giao ®ã, x¸c suÊt ®Ó thu ®îc mét ç thÓcã kiÓu gen aa b»ng 1/4). T×m ph©n phèi x¸c suÊt cña biÕn ngÉu nhiªn X . TÝnh x¸csuÊt ®Ó X cã gi¸ trÞ lín nhÊt b»ng 6.

16. Gi¶ thiÕt r»ng: sè N ngêi con trong mét gia ®×nh (chän mét çch ngÉu nhiªn) lµ biÕnngÉu nhiªn cã ph©n phèi Poisson víi tham sè λ (lÊy λ = 2, 2).

H·y t×m ph©n phèi cña biÕn ngÉu nhiªn X (X lµ sè con trai trong mét gia ®×nh chänmét çch ngÉu nhiªn). TÝnh x¸c suÊt ®Ó N = n khi ta biÕt X = 3.



38 §Æng Phíc Huy

17. Cho hai biÕn ngÉu nhiªn X, Y ®éc lËp vµ cã ph©n phèi x¸c suÊt t¬ng øng lµ:

X -1 0 1 2 Y -1 0 1P X = xi 0,2 0,3 0,3 0,2 P Y = yi 0,3 0,4 0,3

T×m ph©n phèi x¸c suÊt cña X 2, X + Y .

18. Cho hµm ph©n phèi cña biÕn ngÉu nhiªn X lµ

F (x) = 1

2 +

1

π arctgx.

(a) T×m x¸c suÊt cña biÕn cè 0 < X < 1.

(b) T×m hµm mËt ®é cña X .

19. Cho hµm ph©n phèi cña biÕn ngÉu nhiªn X lµ

F (x) =

0, x 0;ax + b, 0 < x 1;1, x > 1.

(a) T×m a, b ®Ó F (x) lµ hµm liªn tôc.

(b) T×m hµm mËt ®é cña X vµ tÝnh x¸c suÊt P 0 < X < 1/2.

20. Cho hµm mËt ®é cña biÕn ngÉu nhiªn X lµ

f (x) = Axn e−x, x > 0;

0, x 0.

(a) T×m A. ViÕt hµm ph©n phèi cña X .

(b) TÝnh x¸c suÊt P 0 X < +∞.



Ch-¬ng 3

Çc sè ®Æc tr-ng cña biÕn ngÉu nhiªn

çc luËt giíi h¹n

3.1 Çc sè ®Æc trng cña biÕn ngÉu nhiªn

3.1.1 Kú väng cña biÕn ngÉu nhiªn

A. Trêng hîp biÕn ngÉu nhiªn rêi r¹c

NÕu X lµ mét biÕn ngÉu nhiªn rêi r¹c cã hµm khèi lîng x¸c suÊt p(x), th× kú väng cñaX lµ mét sè x¸c ®Þnh bëi

E [X ] =

x: p(x)>0

xp(x).

§Ó ý r»ng tæng çc khèi lîng x¸c suÊt cña biÕn ngÉu nhiªn rêi r¹c X b»ng 1, nªn kú vängcña mét biÕn ngÉu nhiªn X cã thÓ xem lµ trung b×nh cã träng sè cña çc gi¸ trÞ mµ X cãthÓ (çc gi¸ trÞ cã p(x) > 0), mçi gi¸ trÞ víi träng sè t¬ng øng lµ p(x).

VÝ dô 3.1.1. XÐt phÐp thö gieo con xóc x¾c c©n ®èi. NÕu gäi X lµ sè nót x¶y ra trªn mÆt xuÊt hiÖn cña con xóc x¾c th× X lµ biÕn ngÉu nhiªn rêi r¹c nhËn çc gi¸ trÞ lµ 1, 2, 3, 4, 5,6. Khèi lîng x¸c suÊt lµ

p(k) = P X = k = 1

6, k = 1, 2, . . . , 6.

Tõ ®ã kú väng cña X lµ

E [X ] = (1

6) + 2(

1

6) + 3(

1

6) + 4(

1

6) + 5(

1

6) + 6(

1

6) =

7

2.

39



40 §Æng Phíc Huy

VÝ dô 3.1.2. T×m kú väng cña X ∼ b(n, p)?

E [X ] =n

k=0

kp(k) =n

k=0

kP X = k

=n

k=0

kC kn pk(1 − p)n−k

=n

k=1

kn!

(n − k)!k! pk(1 − p)n−k

=n

k=1

n!

(n − k)!(k − 1)! ppk−1(1 − p)n−k

=np

nk=1

(n − 1)!

(n − k)!(k − 1)! pk−1(1 − p)n−k

=npn−1k=0

C kn−1 pk(1 − p)n−1−k

=np[ p + (1 − p)]n−1 = np.

B. Trêng hîp biÕn ngÉu nhiªn lµ liªn tôc

Víi X lµ biÕn ngÉu nhiªn liªn tôc cã hµm mËt ®é x¸c suÊt f (x). Khi ®ã kú väng cñabiÕn ngÉu nhiªn X lµ sè x¸c ®Þnh bëi

E [X ] =

∞

−∞

xf (x)dx.

VÝ dô 3.1.3. TÝnh kú väng cña biÕn ngÉu nhiªn X ∼ U (a,b) (−∞ < a < b < ∞)?

E [X ] =

b

a

x

b − adx

= b2 − a2

2(b − a)

=a + b

2

VÝ dô 3.1.4. TÝnh kú väng cña biÕn ngÉu nhiªn X ∼ E (λ)?

E [X ] = ∞0

xλe−λxdx

lÊy tÝch ph©n tõng phÇn ta ®îc

E [X ] = − xe−λx∞0

+

∞0

e−λxdx

=0 − e−λx

λ

∞0

= 1

λ.



Ch¬ng 3: Çc sè ®Æc trng cña biÕn ngÉu nhiªn vµ çc luËt giíi h¹n 41

Kú väng cña hµm biÕn ngÉu nhiªn

NÕu X lµ mét biÕn ngÉu nhiªn rêi r¹c cã hµm khèi lîng x¸c suÊt lµ pX (x); g (·) lµ hµmnhËn gi¸ trÞ thùc. Ta cã kú väng cña g (X ) x¸c ®Þnh bëi

E [g (X )] = x: pX(x)>0 g (x) pX (x).

NÕu X lµ mét biÕn ngÉu nhiªn liªn tôc cã hµm mËt ®é x¸c suÊt f X (x), khi ®ã kú vängcña g (X ) cho bëi

E [g (X )] =

∞−∞

g (x)f X (x)dx.

VÝ dô 3.1.5. Gi¶ sö X lµ biÕn ngÉu nhiªn rêi r¹c cã khèi lîng x¸c suÊt nh sau

p(0) = 0, 2 p(1) = 0, 5 p(2) = 0, 3.

TÝnh kú väng E [X 2]?

Ta cã

E [X 2] =02 p(0) + 12 p(1) + 22 p(2)

=0(0, 2) + 1(0, 5) + 4(0, 3) = 1, 7.

VÝ dô 3.1.6. BiÕn ngÉu nhiªn X ∼ U (0,1). TÝnh E [X 3]?

E [X 3] =

10

x3dx (do f X (x) = 1 khi 0 < x < 1)

=1

4.

HÖ qu¶ 3.1.1. NÕu a vµ b lµ h»ng sè th× E [aX + b] = aE [X ] + b.

Chøng minh: HÖ qu¶ nµy lµ trêng hîp riªng khi lÊy hµm g (x) = ax + b. Ta cã, víi X lµbiÕn ngÉu nhiªn rêi r¹c

E [aX + b] =

x: p(x)>0

(ax + b) p(x)

=a

x: p(x)>0

xp(x) + b

x: p(x)>0

p(x)

=aE [X ] + b.NÕu X lµ biÕn ngÉu nhiªn liªn tôc th×

E [aX + b] =

∞−∞

(ax + b)f (x)dx

=a

∞−∞

xf (x)dx + b

∞−∞

f (x)dx

=aE [X ] + b.



42 §Æng Phíc Huy

3.1.2 Ph¬ng sai vµ çc m« men cña biÕn ngÉu nhiªn

A. Ph¬ng sai cña biÕn ngÉu nhiªn

Ph¬ng sai cña biÕn ngÉu nhiªn X , ký hiÖu D(X ), lµ sè x¸c ®Þnh bëi

D(X ) = E (X − E [X ])2

tøc lµ kú väng cña b×nh ph¬ng ®é lÖch gi÷a X vµ E [X ].

Chó ý:

Theo Môc 3.1.1 ta cã thÓ tÝnh ph¬ng sai b»ng çch lÊy g (x) = (x − E [X ])2 vµ khi ®ãE [g (X )] chÝnh lµ ph¬ng sai cÇn tÝnh.

VÝ dô 3.1.7. TÝnh ph¬ng sai cña biÕn ngÉu nhiªn cho trong VÝ dô (3.1.1) Môc 3.1.1?

Ta ®· biÕt E [X ] = 72

nªn

D(X ) =

1 − 7

2

21

6

+

2 − 7

2

21

6

+

3 − 7

2

21

6

+

4 − 7

2

21

6

+

5 − 7

2

21

6

+

6 − 7

2

21

6

=

35

12.

VÝ dô 3.1.8. TÝnh ph¬ng sai cña biÕn ngÉu nhiªn X ∼ U (0,1)?

Theo VÝ dô (3.1.3) ta biÕt E [X ] = 1/2. Tõ ®ã

D(X ) = 10

(x − 12 )2dx

=

12

− 12

u2du = 1

12.

B. Çc m« men

M« men cÊp k cña biÕn ngÉu nhiªn X ký hiÖu lµ µk , lµ sè x¸c ®Þnh bëi

µk = E [X k].

NÕu lÊy g (x) = xk

th× cã thÓ tÝnh m« men cÊp k cña biÕn ngÉu nhiªn X nh sau:

E [X k] =

x: p(x)>0

xk pX (x)

khi X lµ biÕn ngÉu nhiªn rêi r¹c, vµ

E [X k] =

∞−∞

xkf X (x)dx,




khi X lµ biÕn ngÉu nhiªn liªn tôc.

C. Trêng hîp ®iÓm ngÉu nhiªn

§iÓm kú väng

Gi¶ sö X vµ Y lµ hai biÕn ngÉu nhiªn. §iÓm kú väng (kú väng cña vÐc t¬ ngÉu nhiªn)cña (X, Y ) lµ (E [X ], E [Y ]).

Kú väng cña hµm cña ®iÓm ngÉu nhiªn

Víi g lµ hµm hai biÕn nhËn gi¸ trÞ thùc. Kú väng cña g (X, Y ) ®îc cho bëi

E [g (X, Y )] =

x

y

g (x, y) p(x, y)

khi X, Y rêi r¹c cã hµm khèi lîng x¸c suÊt ®ång thêi p(x, y), vµ

E [g (X, Y )] = ∞

−∞ ∞

−∞g (x, y)f (x, y)dxdy

khi X, Y liªn tôc cã hµm mËt ®é x¸c suÊt ®ång thêi lµ f (x, y).

Tõ ®Þnh nghÜa trªn nÕu lÊy g (x, y) = ax + by ta cã tÝnh chÊt quan träng sau

TÝnh chÊt: nÕu X, Y lµ hai biÕn ngÉu nhiªn vµ a, b lµ hai sè thùc bÊt kú khi ®ã

E [aX + bY ] = aE [X ] + bE [Y ].

(Chøng minh tÝnh chÊt nµy xem nh bµi tËp).

VÝ dô 3.1.9. Gieo ba con xóc x¾c c©n ®èi, gäi X lµ tæng sè nót trªn ba mÆt xuÊt hiÖn cñaba con xóc x¾c. TÝnh E[X]?

Trong vÝ dô (3.1.1), ta ®· biÕt nÕu gäi X k lµ sè nót x¶y ra trªn con xóc x¾c thø k(k = 1, 2, 3) th× E [X k] = 7

2. H¬n n÷a

X = X 1 + X 2 + X 3

nªn

E [X ] = E [X 1] + E [X 2] + E [X 3] = 3(7

2) =

21

2 .

VÝ dô 3.1.10. Gäi X lµ sè lÇn “thµnh c«ng ” trong n phÐp thö Bernoulli ®éc lËp, víi x¸c suÊt “thµnh c«ng ” trong mçi phÐp thö lµ p. TÝnh E[X]?

§Æt X k lµ biÕn ngÉu nhiªn lÊy gi¸ trÞ 1 khi phÐp thö thø k “thµnh c«ng ” vµ gi¸ trÞ 0 khi

phÐp thö thø k “thÊt b¹i”, k = 1, 2, . . . , n. Khi ®ã X k chÝnh lµ biÕn ngÉu nhiªn Bernoulli víitham sè p vµ ta cãX = X 1 + X 2 + · · · + X n

mµ E [X k] = 1( p) + 0(1 − p) = p, nªn

E [X ] = E [X 1] + E [X 2] + · · · + E [X n] = np.

§Ó ý r»ng X lµ biÕn ngÉu nhiªn nhÞ thøc víi tham sè (n, p), vËy kú väng cña biÕn ngÉu nhiªnnhÞ thøc b(n, p) lµ E [X ] = np.



44 §Æng Phíc Huy

Còng tõ tÝnh chÊt trªn, nÕu xÐt

(X − E [X ])2 = X 2 + E 2[X ] − 2XE [X ]

th× ta cã thÓ tÝnh ph¬ng sai cña biÕn ngÉu nhiªn X theo c«ng thøc

D(X ) = E (X − E [X ])2 = E [X 2] − E 2[X ].

TÝnh chÊt

NÕu X vµ Y lµ hai biÕn ngÉu nhiªn ®éc lËp; g vµ h lµ hai hµm sè nhËn gi¸ trÞ thùc. Khi®ã

E [g (X )h(Y )] = E [g (X )]E [h(Y )].

§Æc biÖt tõ trªn suy ra, nÕu X vµ Y ®éc lËp th×

E [XY ] = E [X ]E [Y ].

3.1.3 HiÖp ph¬ng sai (Covariance) cña hai biÕn ngÉu nhiªn

Cho X vµ Y lµ hai biÕn ngÉu nhiªn, hiÖp ph¬ng sai cña X vµ Y , ký hiÖu cov(X, Y ), lµsè x¸c ®Þnh bëi

Cov(X, Y ) = E [(X − E [X ])(Y − E [Y ])].

Khi nh©n hai thõa sè trong kú väng víi nhau vµ sö dông tÝnh chÊt tuyÕn tÝnh cña kú väng tacã thÓ tÝnh Cov(X, Y) bëi

Cov(X, Y ) = E [XY ] − E [X ]E [Y ].

Râ rµng nÕu X vµ Y ®éc lËp th× C ov(X, Y ) = 0.

B©y giê ta cho c«ng thøc ®Ó tÝnh ph¬ng sai cña tæng hai biÕn ngÉu nhiªn X vµ Y . Theo®Þnh nghÜa ta cã

D(X + Y ) =E [(X + Y − E [X + Y ])2]

=E [(X − E [X ]) + (Y − E [Y ])]2

=E (X − E [X ])

2

+ E (Y − E [Y ])

2

+ 2E [(X − E [X ])(Y − E [Y ])]hay lµ D(X + Y ) =D(X ) + D(Y ) + 2Cov(X, Y ) (I )

NÕu X vµ Y lµ ®éc lËp, tõ (I) ta cã

D(X + Y ) = D(X ) + D(Y ) (II )

Chó ý r»ng c«ng thøc (II) còng ®óng cho n biÕn ngÉu nhiªn ®éc lËp.




VÝ dô 3.1.11. TÝnh ph¬ng sai cña biÕn ngÉu nhiªn cho trong VÝ dô (3.1.10)?

§Ó ý r»ng do d·y çc phÐp thö lµ ®éc lËp nªn X 1, X 2, . . . , X n lµ çc biÕn ngÉu nhiªn®éc lËp, vµ do ®ã ta cã

D(X ) = D(X 1) + D(X 2) + . . . + D(X n)

nhng

D(X k) =E [X 2k ] − E 2[X k]

=E [X k] − E 2[X k] v× X 2k = X k

= p − p2.

vËyD(X ) = n( p − p2) = np(1 − p).

3.1.4 HÖ sè t¬ng quan

Gi¶ sö X vµ Y lµ hai biÕn ngÉu nhiªn bÊt kú. HÖ sè t¬ng quan cña X vµ Y ký hiÖuρXY lµ sè x¸c ®Þnh bëi

ρXY = Cov(X, Y )

D(X )D(Y ).

HÖ sè t¬ng quan cã çc tÝnh chÊt

• −1 ρXY 1,

• ρXY = ±1 khi vµ chØ khi tån t¹i çc sè a, b sao cho víi x¸c suÊt 1 ta cã Y = aX +b,tøc lµ gi÷a X vµ Y cã sù phô thuéc tuyÕn tÝnh.

Khi X vµ Y ®éc lËp v× Cov(X, Y ) = 0 nªn ρXY = 0. NÕu ρXY = 0 ta nãi X vµ Y kh«ng t¬ng quan. Nh vËy X, Y ®éc lËp th× kh«ng t¬ng quan. Trong øng dông, gi¸ trÞ cñahÖ sè t¬ng quan ®îc dïng ®Ó ®o møc ®é liªn hÖ tuyÕn tÝnh gi÷a hai biÕn ngÉu nhiªn X, Y víi nhau.

3.2 Çc luËt giíi h¹n

3.2.1 BÊt ®¼ng thøc Chebyshev

NÕu X lµ mét biÕn ngÉu nhiªn víi kú väng µ vµ ph¬ng sai σ2 th× víi mäi k > 0 ta cã

P | X − µ | k σ2

k2.



46 §Æng Phíc Huy

VÝ dô 3.2.1. Gi¶ sö sè thµnh phÈm s¶n xuÊt ®îc cña mét ph©n xëng trong mét tuÇn lµ biÕnngÉu nhiªn cã gi¸ trÞ trung b×nh (kú väng) lµ 500 vµ ph¬ng sai lµ 100. H·y íc tÝnh x¸csuÊt ®Ó trong mét tuÇn ph©n xëng cã thÓ s¶n xuÊt ®îc sè thµnh phÈm trong kho¶ng 400®Õn 600?

Gäi X lµ sè s¶n phÈm ph©n xëng s¶n xuÊt ra trong mét tuÇn. Ta cÇn tÝnh x¸c suÊt cñabiÕn cè 400 < X < 600. V×

400 < X < 600 = | X − 500 |< 100

nªn theo bÊt d¼ng thøc Chebyshev

P | X − 500 | 100 σ2

1002 =

1

100

tõ ®ã

P | X − 500 |< 100 1 − 1

100 =

99

100.

VËy víi x¸c suÊt 0,99 ph©n xëng cã thÓ s¶n xuÊt trong mét tuÇn ®îc sè s¶n phÈm trong kho¶ng 400 ®Õn 600.

3.2.2 LuËt sè lín

Gi¶ sö X 1, X 2, . . . lµ d·y çc biÕn ngÉu nhiªn ®éc lËp cã chung ph©n phèi vµ kú vängE [X

k] = µ. Khi ®ã víi x¸c suÊt 1, ta cã

X 1 + X 2 + · · · + X nn

−→µ khi n−→∞.

VÝ dô 3.2.2. TiÕn hµnh n phÐp thö ®éc lËp ®Ó quan s¸t sù xuÊt hiÖn cña biÕn cè A. Gäi x¸csuÊt ®Ó A x¶y ra trong mçi phÐp thö lµ P (A). §Æt

X k lµ biÕn ngÉu nhiªn lÊy gi¸ trÞ 1 nÕu A x¶y ra ë lÇn thö thø k, vµ lÊy gi¸ trÞ 0 nÕungîc l¹i (k = 1, 2, . . . , n). Ta biÕt çc biÕn ngÉu nhiªn X k lµ ®éc lËp vµ cã cïng ph©n phèi Bernoulli víi tham sè P (A). NÕu gäi f lµ sè lÇn A x¶y ra trong n lÇn thö, th× f /n chÝnh lµtÇn suÊt cña biÕn cè A. Ta cã

f = X 1 + X 2 + · · · + X n.

Theo luËt sè línX 1 + X 2 + · · · + X n

n −→E [X 1] = P (A).

VËy khi n lín tÇn suÊt f/n lµ xÊp xØ x¸c suÊt P (A), víi x¸c suÊt 1.




3.2.3 §Þnh lý giíi h¹n trung t©m

Cho d·y çc biÕn ngÉu nhiªn ®éc lËp vµ chung ph©n phèi X 1, X 2, . . .víi kú väng E [X k] = µvµ ph¬ng sai D(X k) = σ2. Khi ®ã ph©n phèi cña

X 1 + X 2 + · · · + X nn

lµ xÊp xØ víi ph©n phèi chuÈn N (µ, σ2

n ), khi n ®ñ lín.

§Þnh lý giíi h¹n trung t©m cã nhiÒu øng dông trong çc bµi to¸n thùc tiÔn vµ vÒ khÝac¹nh lý thuyÕt, nã lµ c¬ së vËn dông ®Ó x©y dùng m« h×nh lý thuyÕt cho çc ph¬ng ph¸pthèng kª mÉu lín. B¹n ®äc cã thÓ t×m hiÓu ®iÒu nµy trong phÇn hai cña gi¸o tr×nh. Çct×m hiÓu s©u h¬n vÒ nh÷ng øng dông cña ®Þnh lý giíi h¹n trung t©m cã thÓ xem trong [6](Ch¬ng 6, 12).

Sau ®©y ta xÐt çc vÝ dô øng dông ®Þnh lý giíi h¹n trung t©m ®Ó tÝnh gÇn ®óng x¸c suÊtcña biÕn ngÉu nhiªn rêi r¹c.

VÝ dô 3.2.3. Trong VÝ dô (3.2.2), X thËt ra lµ biÕn ngÉu nhiªn nhÞ thøc víi tham sè (n, p)(lÊy p = P (A)) vµ ®· biÕt X lµ tæng cña n biÕn ngÉu nhiªn Bernoulli ®éc lËp. NÕu ®Ó ýbiÕn ngÉu nhiªn Bernoulli víi tham sè p chÝnh lµ biÕn ngÉu nhiªn nhÞ thøc víi tham sè (1, p)th× cã thÓ ph¸t biÓu: biÕn ngÉu nhiªn b(n, p) lµ tæng cña n biÕn ngÉu nhiªn nhÞ thøc b(1, p)®éc lËp. V× theo trªn E [X ] = np vµ D(X ) = np(1 − p) nªn theo ®Þnh lý giíi h¹n trung t©mta cã

X − E [X ] D(X )

= X − np

np(1 − p)

sÏ cã hµm ph©n phèi xÊp xØ chuÈn N (0, 1) khi n dÇn ra v« h¹n. Trong thùc hµnh ®Ó cã thÓ xÊp xØ tèt ®ßi hái np(1

− p) 10. Ch¼ng h¹n, khi gieo 40 lÇn mét ®ång xu c©n ®èi. Gäi X

lµ sè lÇn mÆt S x¶y ra. TÝnh x¸c suÊt X = 20?

V× biÕn ngÉu nhiªn nhÞ thøc lµ rêi r¹c cßn biÕn ngÉu nhiªn chuÈn lµ liªn tôc, nªn ®Ó xÊp xØ ®îc ta cã thÓ viÕt biÕn cè X = 20 theo d¹ng 19, 5 < X < 20, 5. Khi ®ã

P X = 20 =P 19, 5 < X < 20, 5=P

19, 5 − 20√ 10

< X − 20√

10<

20, 5 − 20√ 10

=P

−0, 16 < X − 20√

10< 0, 16

≈Φ(0, 16) − Φ(−0, 16)

trong ®ã Φ(x) lµ hµm ph©n phèi cña biÕn ngÉu nhiªn chuÈn ho¸ N (0, 1). §Ó ý r»ng N (0, 1)cã ph©n phèi ®èi xøng nªn

Φ(−0, 16) = P N (0, 1) > 0, 16 = 1 − Φ(0, 16)

vËyP X = 20 ≈ 2Φ(0, 16) − 1.



48 §Æng Phíc Huy

Tra b¶ng ph©n phèi chuÈn hãa N (0, 1) (xem b¶ng trong tµi liÖu [8] trang 64) ta nhËn ®îcP X = 20 ≈ 0, 1271. NÕu tÝnh chÝnh x¸c theo ph©n phèi nhÞ thøc cña X lµ

P X = 20 = C 2040(1

2)40 = 0, 1268.

VÝ dô 3.2.4. Cho X k, k = 1, 2, . . . , 10 lµ çc biÕn ngÉu nhiªn ®éc lËp cã ph©n phèi ®ÒuU (0,1). TÝnh P 10

1 X k > 7?

Theo vÝ dô môc tríc ta biÕt E [X k] = 1/2 vµ D(X k ) = 1/12. Sö dông ®Þnh lý giíi h¹ntrung t©m suy ra

P 10

1

X k > 7

= P 10

1 X k − 5 10( 112)

> 7 − 5

10( 112)

≈ 1 − Φ(2, 2) = 0, 0139.

Sè ®Æc tr-ng cña çc biÕn ngÉu nhiªn th«ng dông

Ph©n phèi rêi r¹c Hµm khèi lîng x¸c suÊt Kú väng Ph¬ng sai p(x) E [X ] D[X ]

1). X ∼ b(n, p) p(x) = C xn px(1 − p)n−x np np(1 − p)0 p 1, n ∈ N x = 0, 1, 2, . . . , n .

2). X ∼ P o(λ) p(x) = e−λ λx

x! λ λ

λ > 0 x = 0, 1, 2, . . .

3). X ∼ g ( p) p(x) = p(1 − p)x−1 1

p(1−

p) p2

0 p 1 x = 1, 2, 3, . . .Ph©n phèi liªn tôc Hµm mËt ®é x¸c suÊt Kú väng Ph¬ng sai

f (x) E [X ] D[X ]

4). X ∼ U (a,b) f (x) =

1b−a

, a < x < b;0, x /∈ (a, b).

a+b2

(b−a)2

12

−∞ < a < b < ∞

5). X

∼E (λ) f (x) =

λe−λx, x 0;0, x < 0.

1λ

1λ2

λ > 0

6). X ∼ N (µ, σ2) f (x) = 1√ 2π σ

e−(x−µ)2

2σ2 µ σ2

µ ∈ R; σ > 0




Bµi tËp ch-¬ng 3

1. BiÕn ngÉu nhiªn X cã hµm khèi lîng x¸c suÊt

p(1) = 12 , p(2) = 13 , p(24) = 16 .

TÝnh E [X ].

2. Cho X ∼ U (0,1). TÝnh E [X 2].

3. Chøng tá r»ng E [X 2] (E [X ])2. DÊu ®¼ng thøc x¶y ra khi nµo?

4. Cho c lµ h»ng sè. Chøng tá r»ng

(a) D[cX ] = c2 D[X ].

(b) D[c + X ] = D[X ].

5. TÝnh ph¬ng sai cña çc biÕn ngÉu nhiªn b(n, p); P o(λ); U (a,b); E (λ).

6. TÝnh kú väng cña çc biÕn ngÉu nhiªn trong çc bµi tËp (4), (5), (9), (10), (11), (14),(15), (18), (19), (20) Ch¬ng 2.

7. X ∼ U (0,1). TÝnh E [X n], D[X n].

8. Gi¶ sö X ∼ b(n, p) vµ Y ∼ b(m, p); X vµ Y ®éc lËp. Chøng tá r»ng X + Y ∼b(n + m, p).

9. Hµm mËt ®é cña biÕn ngÉu nhiªn X cho bëi

f (x) =

14

x e−x2 , x > 0;

0, x 0.

TÝnh E [X ] vµ D[X ].

10. Gi¶ sö biÕn ngÉu nhiªn X cã kú väng b»ng 10 vµ ph¬ng sai b»ng 15. Cã thÓ nãi g×vÒ P 5 < X < 15.

11. Mét hép chøa n thÎ chøng minh ç nh©n cña n ngêi. Ph¸t thÎ cho n ngêi ®ã b»ngçch lÊy hó häa mçi ngêi mét thÎ. Gäi X lµ sè ngêi lÊy tróng thÎ cña m×nh. T×m kúväng cña X .

12. Cho X 1, X 2, . . . , X 10 lµ çc biÕn ngÉu nhiªn Poisson ®éc lËp víi kú väng b»ng 1. Dïng®Þnh lý giíi h¹n trung t©m ®Ó tÝnh xÊp xØ P X 1 + X 2 + · · · + X 10 > 15.

13. Gäi X lµ sè banh tr¾ng cã trong k banh ®îc lÊy ngÉu nhiªn tõ mét tói chøa n banhtr¾ng vµ m banh ®en. TÝnh P X = j.

14. H·y t×m c«ng thøc tÝnh D[X 1 + X 2 + · · · + X n]. Tõ ®ã chØ ra r»ng D[X ] = 1 víi X lµbiÕn ngÉu nhiªn cho trong bµi tËp 11.



50

15. Cho hµm mËt ®é cña biÕn ngÉu nhiªn X lµ

f (x) =

1π √

a2−x2 , x ∈ (−a; a);

0, x /∈ (−a; a).

T×m kú väng vµ ph¬ng sai cña X .

16. Gi¶ sö biÕn ngÉu nhiªn X cã hµm mËt ®é lµ

f (x) = a e−|x|.

(a) T×m a.

(b) T×m hµm ph©n phèi cña biÕn ngÉu nhiªn X .

(c) TÝnh kú väng vµ ph¬ng sai cña X .

17. Gi¶ sö hai biÕn ngÉu nhiªn X, Y lµ ®éc lËp vµ cã hµm mËt ®é t¬ng øng lµ

f X (x) =

5 e−5x, x > 0;0, x 0.

vµ f Y (y) =

2 e−2y , y > 0;0, y 0.

(a) T×m hµm mËt ®é ®ång thêi cña X, Y .

(b) ViÕt hµm ph©n phèi ®ång thêi cña X, Y .

(c) TÝnh x¸c suÊt P 0 X 1, 0 Y 2.



Phần II

Thống kê



Đặng Phướ c Huy52

Ch− ¬ng 4: Giíi thiÖu vÒ Thèng kª

4.1. Çc vÝ dô

Çc sè liÖu thèng kª thÓ hiÖn tÇm quan träng cña c«ng t¸c thèng kª vÒ mÆt l− îng®èi víi nh÷ng hiÖn t− îng kinh tÕ- x· héi diÔn ra trªn çc lÜnh vùc, qua ®ã con ng− êi mongmuèn t×m hiÓu b¶n chÊt cña çc qu¸ tr×nh bªn trong ®− îc ph¶n ¸nh qua çc sè liÖu hiÖnthùc của hiện tượ ng nh»m cã thÓ ®Ò ra çc quyÕt ®Þnh, biÖn ph¸p t¸c ®éng kip thêi ®Õnchóng ®Ó phôc vô ®êi sèng con ng− êi tèt h¬n.

VÝ dô 1. Sè liÖu thèng kª l− îng kh¸ch t¹i kh¸ch s¹n ViÔn §«ng thµnh phè Nha Trang (sèliÖu thu thËp cña nhãm3, SV thùc tËp líp QTKD K93- Nha Trang, §¹i häc §µ L¹t, n¨m1994.)

VÝ dô 2. Sè liÖu thèng kª vÒ t×nh h×nh trÎ em ®Î thiÕu c©n tØnh Khµnh Hßa (sè liÖu thuthËp cña Bs. Lª V¨n §øc, çc céng t¸c viªn KTV. Huúnh V¨n Dâng vµ HSTH. NguyÔn ThÞ Mü LÖ, trong ®Ò tµi thuéc Së Y TÕ Kh¸nh Hßa,tõ 1993-1994). Gåm:

B¶ng (a): Tû lÖ trÎ ®Î thiÕu c©n ë çc huyÖn



Chươ ng 4. Giớ i thiệu về thố ng kê 53

B¶ng (b): NghÒ nghiÖp vµ tr×nh ®é học vấn cña nh÷ng bµ mÑ sinh con thiÕu c©n (155 ca),cã hai b¶ng

(b.1)

(b.2)

B¶ng (c): Hoµn c¶nh kinh tÕ vµ chÕ ®é ¨n uèng cña bµ mÑ sinh con thiÕu c©n (155 ca).- Hoµn c¶nh kinh tÕ :

- ChÕ ®é ¨n uèng:

B¶ng(d): ChiÒu cao vµ c©n nÆng cña çc bµ mÑ khi mang thai




B¶ng(e): T×nh tr¹ng sinh ®Î cña çc bµ mÑ cã con ®Î thiÕu c©n (155 ca)

B¶ng(f): T×nh h×nh bÖnh tËt cña bµ mÑ

B¶ng(g): C©n nÆng cña 155 ca trÎ ®Î thiếu c©n

VÝ dô 3. Sè liÖu thèng kª t×nh h×nh vËn chuyÓn hµnh kh¸ch néi ®Þa tuyÕn Nha Trang ®ithµnh phè Hå ChÝ Minh ë s©n bay Nha Trang trong n¨m 1994. (sè liÖu thu thËp cñanhãm9, SV thùc tËp líp QTKD K93- Nha Trang, §¹i häc §µ L¹t, n¨m 1994.)




VÝ dô 4. Sè liÖu thèng kª theo dâi vÒ s¶n l− îng s¶n xuÊt trong n¨m 1994 mét sè mÆt hµngë nhµ m¸y sîi, C«ng ty DÖt Nha Trang. (sè liÖu thu thËp cña nhãm1, SV thùc tËp lípQTKD K93- Nha Trang, §¹i häc §µ L¹t, n¨m 1994.)

VÊn ®Ò 1. Cã thÓ rót ra ®− îc çc th«ng tin g× cho mçi hiÖn t− îng vµ qu¸ tr×nh t− ¬ngøng ®− îc thÓ hiÖn qua çc b¶ng sè liÖu thèng kª trong çc vÝ dô trªn.




4.2. §èi t− îng vµ ph− ¬ng ph¸p cña thèng kª

Môc ®Ých vµ néi dung:

vËn dông çc ph©n tÝch vµ ®¸nh çc quyÕt ®ÞnhTK ph− ¬ng ph¸p cña gi¸ çc qu¸ tr×nh vµ biÖn ph¸pKH Thèng kª ho¹t ®éng trong hiÖu qu¶ nh»m

Tự nhiên vàKT-XH phôc vô ®êisèng con ng− êi

Môc ®Ých

Phôc vô çc ho¹t ®éngTK trang bÞ çc kiÕn qu¶n lý kinh tÕ vµ sö dông

Kinh tÕ- Xã hội thøc vÒ TK çc ph− ¬ng ph¸p ph©ntÝch TK trong ngµnh

Thèng kª m« t¶Lý thuyÕt

Néi dung thèng kª-Thèng kª suy diÔn- Phân tích tươ ng quan và hồi quy

§èi t− îng nghiªn cøu:

Qua çc vÝ dô môc 4.1. th×

MÆt l− îng cña çc trong mèi liªn hÖ víiThèng kª häc hiÖn t− îng vµ qu¸ tr×nh mÆt chÊt cña chóng ®ÓNghiªn cøu KT- XH bao gåm (lùc l− îng x¸c ®Þnh b¶n chÊt cña

S¶n xuÊt, quan hÖ s¶n xuÊt, çc hiÖn t− îngHiÖn t− îng x· héi vÒ kiÕn trócTh− îng tÇng...)




Quy luËt sè lín vµ quy luËt thèng kª:

VËn dông ®Ó b¶n chÊt cña hiÖn t− îng

Thèng kª quy luËt sè lín Tự nhiên và KT- XHcña LT x¸c suÊt l− îng hãa

Th«ng qua

TÝnh quy luËt thèng kª

4.3. Çc kh¸i niÖm

Tæng thÓ ®ång chÊtTæng thÓ thèng kª(Populations)

bao gåm Tæng thÓ kh«ng®ång chÊt

tËp hîp çc§¬n vÞ tæng thÓ (Units)

MÉu (Sample)Bao gåm

TËp hîp mét sè ®¬n vÊn ®Ò _ Cì mÉuvÞ cña tæng thÓ thèng kª®− îc lÊy ra vµ mçi ®¬n vÞ lÊy mÉu

cña tæng thÓ nµy ®− îc gäi lµ _ Çch chän mÉumét Quan s¸t (Observation)

Tiªu thøc thuéc tÝnh: phi l− înghãagåm -Thùc thÓ

Tiªu thøc Tiªu thøc sè l− îng: l− îng biÕnthèng kª 3 lo¹i -Thêi gian

-Kh«ng gian




ChØ tiªu thèng kª §¬n vÞ ®o Hai mÆt cña chØ tiªu TK

Kh¸i niÖm Con sè

Ph©n lo¹i chØ tiªu thèng kª

ChØ tiªu ChØ tiªuSè l− îng chÊt l− îng Ph¶n ¸nh biÓu hiÖn

Quan hÖ so s¸nh gi÷a çcQuy m« khèi l− îng chØ tiªu khèi l− îng

-gi¸ trÞ gåm-hiÖn vËt-kÕ ho¹ch sè t− ¬ng sè b×nh-thùc hiÖn... ®èi qu©n

HÖ thèng cÇn gåm çc chØ tiªu TKchØ tiªu thèng kª biÓu hiÖn ®− îc mèi liªn hÖ

thiÕt lËp gi÷a çc tÝnh chÊt c¬ b¶ncña tæng thÓ cÇn nghiªn cøunh»m ®¸p øng ®− îc yªu cÇuvÒ th«ng tin cho viÖc ph©n tÝch

vµ dù ®o¸n.

S¬ ®å cña khoa häc xö lý sè liÖu thèng kª

Quan tr¾c Sè liÖu thèng kª M« t¶ Ph©n tÝch Dù ®o¸n thèng kª

(§iÒu tra thèng kª) (Tæng hîp thèng kª) (Ph©n tÝch vµ dù b¸o TK)

VÊn ®Ò 2 . Tr×nh bµy çc kh¸i niÖm nªu trong môc 4.3. dùa vµo çc vÝ dô cô thÓ ë môc4.1.




4.4. Tæng hîp ch− ¬ng 4

4.4.1. Mục đích- nhiệm vụ- đối tượ ng của thống kê học

Thèng kª häc ra ®êi vµ ph¸t triÓn theo nhu cÇu cña ho¹t ®éng thùc tiÔn x· héi: conng− êi cè g¾ng t×m hiÓu b¶n chÊt çc hiÖn t− îng vµ qu¸ tr×nh kinh tÕ, x· héi dùa trªn çcthÓ hiÖn vÒ mÆt l− îng cña hiÖn t− îng, qua ®ã cã thÓ ®Ò ra çc quyÕt ®Þnh, biÖn ph¸p t¸c®éng kÞp thêi ®Õn chóng nh»m phôc vô cho sù ph¸t triÓn cña chÝnh x· héi loµi ng− êi.

NhiÖm vô cña thèng kª:- Ph¶n ¸nh ®óng ®¾n vÒ mÆt l− îng cña çc hiÖn t− îng kinh tÕ, chÝnh trÞ, x· héi.- Cung cÊp d÷ liÖu cã tÝnh hÖ thèng cho viÖc x©y dùng çc chiÕn l− îc, kÕ s¸ch vµ

ch− ¬ng tr×nh ph¸t triÓn kinh tÕ- x· héi.

§èi t− îng cña thèng kª häc:

-

Lµ khoa häc nghiªn cøu hÖ thèng çc ph−

¬ng ph¸p thu thËp, xö lý vµ ph©n tÝch d÷liÖu (mÆt l− îng) cña nh÷ng hiÖn t− îng nh»m t×m hiÓu b¶n chÊt vµ tÝnh quy luËt néit¹i cña chóng (mÆt chÊt) trong çc ®iÒu kiÖn vÒ kh«ng gian vµ thêi gian x¸c ®Þnh.

- Thèng kª kinh tÕ- x· héi: nghiªn cøu + çc hiÖn t− îng vÒ qu¸ tr×nh s¶n xuÊt, t¸i s¶n xuÊt më réng: s¶n suÊt, ph©n phèi,trao ®æi, sö dông.+ çc hiÖn t− îng vÒ d©n sè: t¨ng tr− ëng, cÊu thµnh d©n c− (giíi tÝnh, tuæi, giai cÊp,nghÒ nghiÖp…); t×nh h×nh ph©n bè d©n c− … + çc hiÖn t− îng vÒ ®êi sèng vËt chÊt vµ v¨n hãa cña con ng− êi (møc sèng, tr×nh

®é v¨n hãa, b¶o hiÓm x· héi…

4.4.2. Çc kh¸i niÖm

Tæng thÓ thèng kª- ®¬n vÞ tæng thÓ - Tæng thÓ thèng kª: x¸c ®Þnh ph¹m vi nghiªn cøu cña mét hiÖn t− îng cÇn kh¶o

s¸t. Mét tæng thÓ thèng kª bao gåm tÊt c¶ nh÷ng ®¬n vÞ, hoÆc phÇn tö (ç thÓ) cñahiÖn t− îng ®− îc xÐt ®Õn trong qu¸ tr×nh quan s¸t vµ ph©n tÝch b»ng ph− ¬ng ph¸pthèng kª.

Ch¼ng h¹n: Toµn bé sinh viªn ë çc ®¹i häc vµ cao ®¼ng trong çc n¨m 2002- 2005 ëViÖt Nam lµ mét tæng thÓ thèng kª…- §¬n vÞ tæng thÓ: lµ çc ç thÓ cÊu thµnh tæng thÓ. Tïy theo mçi tæng thÓ ®− îc

quan t©m nghiªn cøu mµ ®¬n vÞ tæng thÓ cã thÓ lµ ng− êi, vËt, yÕu tè, hiÖn t− îng…çc ®¬n vÞ tæng thÓ trong mét tæng thÓ thèng kª chØ gièng nhau ë ®Æc ®iÓm c¬ b¶n

cÊu thµnh tæng thÓ (vÝ dô: mçi sinh viªn ë mét tr− êng ®¹i häc hoÆc cao ®¼ng vµoçc n¨m 2002- 2005 ë ViÖt Nam lµ mét ®¬n vÞ tæng thÓ cña tæng thÓ ë trªn).

Tiªu thøc thèng kª: lµ kh¸i niÖm dïng ®Ó chØ mét ®Æc ®iÓm nµo ®ã cña çc ®¬n vÞtæng thÓ mµ chóng ta cÇn quan t©m nghiªn cøu.Ch¼ng h¹n: Trong tæng thÓ çc sinh viªn ®¹i häc vµ cao ®¼ng vµo çc n¨m 2002-2005,mçi sinh viªn cã çc ®Æc ®iÓm nh− giíi tÝnh, chiÒu cao, träng l− îng, ®iÓm çc m«n ë mçihäc kú…mçi ®Æc ®iÓm ®− îc chóng ta quan t©m kh¶o s¸t gäi lµ tiªu thøc thèng kª.




Tiªu thøc thèng kª cã çc lo¹i nh− thùc thÓ, kh«ng gian, thêi gian. Trong tiªu thøcthùc thÓ, c¬ b¶n gåm cã hai lo¹i: tiªu thøc thuéc tÝnh vµ tiªu thøc sè l− îng.

- Tiªu thøc thuéc tÝnh: lµ tiªu thøc cã biÓu hiÖn d¹ng ®Þnh tÝnh ph¶n ¸nh tÝnh chÊtcña ®¬n vÞ tæng thÓ. Nã kh«ng biÓu hiÖn trùc tiÕp b»ng con sè. Ch¼ng h¹n, tiªuthøc giíi tÝnh (Nam hoÆc n÷), tiªu thøc h×nh thøc së h÷u (Nhµ n− íc, tËp thÓ, t− nh©n…)

-

Tiªu thøc sè l− îng: biÓu hiÖn trùc tiÕp b»ng con sè. Ch¼ng h¹n, tiªu thøc chiÒucao, tiªu thøc träng l − îng, møc l − ¬ng…

ChØ tiªu thèng kªLµ kh¸i niÖm dïng biÓu hiÖn mét çch tæng hîp ®Æc ®iÓm vÒ mÆt l− îng trong mèi

quan hÖ víi mÆt chÊt cña hiÖn t− îng nghiªn cøu trong ®iÒu kiÖn thêi gian vµ kh«ng gianx¸c ®Þnh. ChØ tiªu thèng kª cã hai mÆt: Kh¸i niÖm vµ con sè. MÆt kh¸i niÖm bao gåm®Þnh nghÜa vµ giíi h¹n vÒ thùc thÓ, kh«ng gian vµ thêi gian cña hiÖn t− îng nghiªn cøu, nãquy ®Þnh râ néi dung cña chØ tiªu thèng kª. MÆt con sè cña chØ tiªu biÓu hiÖn b»ng trÞ sèvíi ®¬n vÞ tÝnh to¸n cô thÓ, nã thÓ hiÖn møc ®é cña chØ tiªu.Ch¼ng h¹n: l− îng kh¸ch b×nh qu©n mét th¸ng t¹i kh¸ch s¹n ViÔn §«ng Nha Trang n¨m1994 lµ 1210 ng − êi. Trong ®ã gi¸ trÞ 1210 ng − êi lµ mÆt con sè cña chØ tiªu cßn l− îng

kh¸ch b×nh qu©n mét th¸ng t¹i kh¸ch s¹n ViÔn §«ng Nha Trang n¨m 1994 lµ mÆt kh¸iniÖm cña chØ tiªu. C¨n cø vµo néi dung, chØ tiªu thèng kª gåm hai lo¹i: chØ tiªu khèil− îng (sè l− îng) vµ chØ tiªu chÊt l− îng.

- ChØ tiªu khèi l− îng: biÓu hiÖn quy m« cña hiÖn t− îng nghiªn cøu. Ch¼ng h¹n: sèsinh viªn ®¹i häc vµ cao ®¼ng; tæng sè nh©n khÈu; tæng thu nhËp quèc d©n…

- ChØ tiªu chÊt l− îng: biÓu hiÖn tr×nh ®é phæ biÕn, mèi quan hÖ cña tæng thÓ nh− :møc l− ¬ng mét nh©n viªn, n¨ng suÊt lao ®éng, gi¸ thµnh ®¬n vÞ s¶n phÈm, sè ng− êitrªn mét ®¬n vÞ diÖn tÝch…

- HÖ thèng chØ tiªu thèng kª: ®Ó ph¶n ¸nh toµn diÖn hiÖn t− îng nghiªn cøu cÇn x©ydùng mét hÖ thèng chØ tiªu thèng kª. HÖ thèng chØ tiªu thèng kª lµ mét tËp hîp çcchØ tiªu thèng kª cã mèi liªn hÖ víi nhau ®Ó ph¶n ¸nh ®Çy ®ñ, tæng hîp nhiÒu mÆt

cña hiÖn t− îng nghiªn cøu trong ®iÒu kiÖn vÒ thêi gian vµ kh«ng gian x¸c ®Þnh.



Ch− ¬ng 5: §iÒu tra vµ tæng hîp thèng kª

5.1. §iÒu tra thèng kª

theo tÝnh thêi gian

§iÒu tra th− êng xuyªn §iÒu tra kh«ng th− êng xuyªn(theo s¸t víi qu¸ tr×nh ph¸t (ph¶n ¸nh tr¹ng th¸i cña hiÖntriÓn cña hiÖn t− îng) t− îng t¹i çc thêi ®iÓm nhÊt ®Þnh)

theo ph¹m vi cña ®èi t− îng

§iÒu tra kh«ng toµn bé §iÒu tra toµn bé(thu thËp tµi liÖu trªn mét sè (thu thËp tµi liÖu trªn toµn®¬n vÞ cña tæng thÓ) bé tæng thÓ nghiªn cøu)

-§iÒu tra chän mÉu: lÊy mÉu thèng kª suy diÔn trªn tæng thÓ.-§iÒu tra träng ®iÓm: ®iÒu tra bé phËn chñ yÕu cña tæng thÓ, kh«ng suy réng ®Æc

®iÓm ra toµn bé tæng thÓ.-§iÒu tra chuyªn ®Ò: nghiªn cøu çc nh©n tè kh¸c nhau trªn mét bé ph©n çc ®¬n

vÞ cña tæng thÓ nh− ng kh«ng lµ c¬ b¶n cña hiÖn t− îng nghiªncøu.

5.2. Tæng hîp thèng kª

5.2.1.LËp çc b¶ng thèng kª

Tæng hîp thèng kª lµm çc ®Æc tr− ng riªng biÖt cña çc ®¬n vÞ tæng thÓ thu thËpqua ®iÒu tra b− íc ®Çu chuyÓn thµnh çc ®Æc tr− ng chung cña tæng thÓ.

tæng hîp thèng kª sö dông ph− ¬ng ph¸p

Ph©n tæ thèng kªTheo tiªu thøc thuéc tÝnh

X¸c ®Þnh tiªu thøc ph©n X¸c ®Þnh sè tætæ Theo tiªu thøc sè l− îng




A.

B¶ng ph©n bè cho ®Æc tr− ng ®Þnh tÝnh

Tr− êng hîp mét tiªu thøc kiÓu thuéc tÝnh: phi l− îng hãa (cßn gäi lµ

nghiªn cøu mét ®Æc tr− ng ®Þnh tÝnh)

NÕu tiªu thøc quan s¸t lµ mét ®Æc tr− ng ®Þnh tÝnh (tiªu thøc thuéc tÝnh) nµo ®ã mµgåm r d¹ng thøc A1, A2,... Ar ®− îc quan s¸t (nghÜa lµ mçi ®¬n vÞ cña tæng thÓ ®− îc quans¸t chØ cã thÓ nhËn mét trong r d¹ng thøc), vµ víi mÉu quan s¸t cì n ®− îc ph©n bè víi çctÇn sè lµ n1, n2, ..., nr, tøc lµ

nk = sè ®¬n vÞ tæng thÓ cã d¹ng thøc Ak trong mÉu quan s¸t nhËn ®− îc,k=1, 2, ..., r. Khi ®ã b¶ng thèng kª cho tr− êng hîp nµy nh− sau

Tªn d¹ng thøc TÇn sè ni TÇn suÊt f iA1 n1 f 1

... ... ...Ar nr f rTæng n 1.0

(B¶ng1. b¶ng thèng kª cho một ®Æc tr− ng ®Þnh tÝnh- cßn gäi lµ b¶ng ph©n bè cho mét ®Æctr− ng ®Þnh tÝnh.)

Ghi chó 1. Chó ý r»ng: ∑∑ ==i

i

i

i n

n f 1

Ch¼ng h¹n xÐt vÝ dô 2 môc 4.1. ng− êi ta quan t©m dÊu hiÖu trÎ ®− îc sinh ra ë ®Þaph− ¬ng nµo th× tµi liÖu thu thËp cã d¹ng nh− b¶ng sau:

§Þa ®iÓm sinh TÇn sè (sè trÎ sinh ra) TÇn suÊtCam Ranh 301Nha Trang 641V¹n Ninh 212Diªn Kh¸nh 216Ninh Hßa 384BVTØnh 585

Tæng 2339 1.0 B¶ng1.1 (H·y tÝnh to¸n vµ ®iÒn vµo çc « trèng trong b¶ng.)

B¶ng ph©n bè cho hai ®Æc tr− ng ®Þnh tÝnh

Khi cÇn quan s¸t çc ®¬n vÞ tæng thÓ theo hai ®Æc tr− ng ®Þnh tÝnh, ch¼ng h¹n ®Æctr− ng thø nhÊt cã k d¹ng thøc: A1, ..., Ak vµ ®Æc tr− ng thø hai cã m d¹ng thøc: B1, ..., Bm.Víi mÉu quan s¸t cì n vµ nhËn ®− îc:

nij = sè ®¬n vÞ tæng thÓ cã d¹ng thøc ®Æc tr− ng(Ai, B j); i=1, ..., k; j= 1, ..., m.Ng− êi ta dïng b¶ng tiÕp liªn nh− sau



Chươ ng 5. Điề u tra và t ổ ng hợ p thố ng kê 63

Ph©n bè theo ®Æc tr− ng 2B1 ... Bm Tæng

Ph©n bè A1 n11 ... n1m

Theo ... ...®Æc tr− ng 1 Ak nk1 ... nkm Tæng n

(B¶ng2. b¶ng thèng kª cho 2 ®Æc tr− ng ®Þnh tÝnh- cßn gäi lµ b¶ng tiÕp liªn cho 2 ®Æctr− ng ®Þnh tÝnh.)

Ghi chó 2. chóng ta cã: .nn ji

ij =∑,

Quan s¸t vÒ t×nh h×nh trÎ ®Î thiÕu c©n ë çc ®Þa ®IÓm kh¸c nhau t¹i tØnh Kh¸nh

Hßa, biÕt r»ng mét trÎ ®Î thiÕu c©n nÕu nh− träng l− îng lµ nhá h¬n 2500gr, ng− êi ta thu

thËp ®−

îc b¶ng sè liÖu thèng kª nh−

sau (b¶ng (a) cña vÝ dô 1. môc 4.1)

C/Ranh N/Trang V/Ninh D/Kh¸nh N/Hßa BVTØnh TængTrÎ ®Î≥ 2500gr

285 630 186 190 363 522 2184

TrÎ ®Î< 2500gr

16 11 26 26 21 63 155

Tæng 2339(B¶ng3.) (H·y ®iÒn tiÕp vµo çc « trèng trong b¶ng.)

Ng− êi ta th¨m dß vÒ ph©n bè cña sè ng− êi hót thuèc l¸ trong mét thµnh phè theoçc tr− êng hîp: d− íi 17 tuæi, Nam tr− ëng thµnh, N÷ tr− ëng thµnh. Ghi nhËn ®− îc b¶ngthèng kª nh− sau1

D− íi 17 tuæi Nam tr− ëngthµnh

N÷ tr− ëngthµnh

Tæng

Kh«ng hótthuèc

150 110 100

Cã hót thuèc 50 70 20Tæng

(B¶ng4.) (H·y ®iÒn tiÕp vµo çc « trèng trong b¶ng.)

B.

B¶ng ph©n bè cho ®Æc tr− ng ®Þnh l− îng

Tr− êng hîp mét tiªu thøc sè l− îng ®− îc nghiªn cøu (mét ®Æc tr− ng®Þnh l− îng)

1 TrÝch dÉn tõ: The Elements of Probability theory and Some of Applications, Harald Cramer.




Trong thùc tÕ cÇn ph©n biÖt hai tr− êng hîp cã thÓ x¶y ra cña mét ®Æc tr− ng ®Þnhl− îng phô thuéc vµo gi¸ trÞ cña tiªu thøc sè l− îng X (cßn gäi lµ biÕn X) lµ liªn tôc hay rêir¹c.

§èi víi mét biÕn rêi r¹c

Gi¶ sö biÕn X cã thÓ nhËn çc gi¸ trÞ trªn mét tËp gÝa trÞ rêi r¹c nµo ®ã, quan s¸tgÝa trÞ x¶y ra cña X trong n lÇn, nhËn ®− îc:

GÝa trÞ a1 x¶y ra n1 lÇnGi¸ trÞ a2 x¶y ra n2 lÇn...Gi¸ trÞ ak x¶y ra nk lÇn, trong ®ã n= ∑

i

in

LËp b¶ng thèng kª vÒ X nh− sau

GÝa trÞ x¶y ra cña X TÇn sè (x¶y ra) TÇn suÊt

a1 n1 f 1a2 n2 f 2... ... ...ak nk f k

Tæng n 1.0(B¶ng5. b¶ng ph©n bè cho mét ®Æc tr− ng ®Þnh l− îng )

Quan s¸t sè l− îng hµnh kh¸ch ®i mçi ngµy vµo th¸ng 1 ë b¶ng sè liÖu thèng kªban ®Çu trong vÝ dô 3. môc 4.1. chóng ta nhËn ®− îc b¶ng sau

Sèl− îngkh¸ch

20 21 28 30 34 36 38 40 41 45 49 55 57 Tæng

TÇnsè

2 3 4 2 5 1 3 1 2 1 4 1 2 31

TÇnsuÊt

1.0

(B¶ng6. b¶ng ph©n bè vÒ sè l− îng hµnh kh¸ch ®i mçi ngµy ë th¸ng 1 )

Ghi chó 3. §Ó ý r»ng b¶ng (6) ®èi víi ph©n bè cña mét biÕn rêi r¹c cã cïng vai trß nh− ®èi víi b¶ng (1) vÒ ph©n bè cña mét ®Æc tr− ng ®Þnh tÝnh, tuy nhiªn vÒ b¶n chÊt m« h×nhx¸c suÊt cña chóng cã kh¸c nhau (h·y chøng tá ®iÒu nµy?).

§èi víi mét biÕn liªn tôc

Mét ®Æc tr− ng cÇn quan s¸t cña çc ®¬n vÞ tæng thÓ mµ cã thÓ nhËn bÊt kú sè thùcnµo gäi lµ mét biÕn liªn tôc (ch¼ng h¹n, chiÒu cao cña ng− êi, s¶n l− îng lóa thu ho¹ch, sètiÒn trong mçi tê sÐc...).

Quan s¸t mét biÕn liªn tôc X trong n lÇn, gi¶ sö nhËn ®− îc çc gi¸ trÞ x¶y ra cña Xlµ: x1, x2, ..., xn. Chia miÒn gi¸ trÞ [xmin, xmax] thµnh k kho¶ng liền k ề, cã ®é dµi b»ng nhauhoÆc kh¸c nhau, trong ®ã: xmin= min x1, x2, ..., xn vµ xmax= max x1, x2, ..., xn (cã thÓ




lÊy d− ë hai ®Çu, tøc lµ chia trªn mét ®o¹n ∆ chøa [xmin, xmax]). Gäi çc ®o¹n chia nhËn®− îc lµ ∆1, ∆2, ..., ∆k vµ ni= sè çc gi¸ trÞ mÉu r¬i vµo ®o¹n chia thø i, i= 1, 2, ..., k. Khi ®ãchóng ta lËp b¶ng nh− sau

i ®o¹n chia ∆iTÇn sè ni TÇn suÊt f i

1 ∆1 n1 f 12 ∆2

n2 f 2... ... ... ...k ∆k

nk f k Tæng n 1.0

( B¶ng7. b¶ng ph©n bè cho mét ®Æc tr− ng liªn tôc)

Chia thµnh çc ®o¹n cã ®é dµi b»ng nhau: trong thùc hµnh ng− êi ta th− êng chia thµnhçc ®o¹n víi ®é dµi nh− nhau. Vµ quy − íc mót bªn tr¸i lµ thuéc vµo mçi ®o¹n chia.

B¶ng sau lµ kÕt qu¶ quan s¸t sè tiÒn trong 900 tê sÐc cã gi¸ trÞ nhá nhÊt lµ 543,15vµ cao nhÊt lµ 10327,45 (®¬n vÞ tÝnh lµ $). §é dµi mçi ®o¹n lµ 1000: (trÝch tõ tµi liÖu [2])

( B¶ng 8.)

§iÒu tra vÒ l− îng Glucoza trong m¸u trªn 100 ng− êi, ng− êi ta nhËn ®− îc sè liÖunh− sau (®¬n vÞ tÝnh b»ng mg%)2:

2 Sè liÖu gèc trÝch tõ: Ứ ng dông X¸c suÊt Thèng kª trong Y, Sinh häc; Lª Kh¸nh Trai vµ Hoµng H÷u Nh− ,Nxb Khoa häc vµ Kü thuËt, 1979.




xmin=70, xmax=126, chia thµnh çc ®o¹n b»ng nhau víi ®é dµi 6 vµ lÊy ∆=[65, 131). NhËn®− îc b¶ng thèng kª nh− sau

j ®o¹n thø j n j f j1 65≤X<71 1 0.012 71≤X<77 0 0.03 77≤X<83 2 0.024 83≤X<89 11 0.115 89≤X<95 16 0.166 95≤X<101 20 0.27 101≤X<107 27 0.278 107≤X<113 14 0.149 113≤X<119 5 0.05

10 119≤X<125 3 0.0311 125≤X<131 1 0.01Tæng 100 1

(B¶ng 9. B¶ng ph©n bè cña l− îng Glucoza trong m¸u cña 100 ng − êi trong mÉu)

VÒ ®é dµi vµ sè ®o¹n chia: vÊn ®Ò x¸c ®Þnh ®é dµi mçi ®o¹n chia vµ sè çc ®o¹n chia cã ýnghÜa quan träng trong çc tÝnh to¸n xÊp xØ çc sè ®Æc tr− ng vÒ sau, vÒ mÆt lý thuyÕt viÖc®¸nh gi¸ sai sè khi tÝnh xÊp xØ çc gi¸ trÞ ®Æc tr− ng cña biÕn ngÉu nhiªn lý thuyÕt dùa vµoçc ®Æc tr− ng mÉu còng ®· ®− îc quan t©m nghiªn cøu. Chóng ta sö dông mét quy t¾ckinh nghiÖm ®− îc nhiÒu nhµ thùc nghiÖm chÊp nhËn nh− sau: sè líp k nªn lÊy lµ sènguyªn nhá nhÊt sao cho 2k>n (còng tham kh¶o thªm tµi liÖu [1]). Theo quy t¾c nµy th×cã b¶ng nh»m x¸c ®Þnh çc líp chia phô thuéc vµo sè l− îng gi¸ trÞ ®− îc quan s¸t nh− sau:( TrÝch dÉn tõ tµi liÖu [2])




Ghi chó 4. Mét khuyÕn ço n÷a (cña H. Cramer) r»ng: nªn chän çc ®o¹n chia sao chotrong mçi ®o¹n cã Ýt nhÊt lµ 10 quan s¸t r¬i vµo. Sau cïng, cÇn l− u ý r»ng kh«ng cã g×ng¨n c¶n chóng ta x¸c ®Þnh çc líp cã ®é dµi kh¸c nhau vµ ®«i khi viÖc chia çc líp dùavµo tÇn sè xÊp xØ b»ng nhau trong mçi líp còng rÊt thuËn lîi trong mét sè tr − êng hîp.

Tr− êng hîp hai tiªu thøc sè l− îng ®− îc nghiªn cøu (hai ®Æc tr− ng ®Þnh

l− îng)

Trong tr− êng hîp quan s¸t hai ®Æc tr− ng ®Þnh l− îng chóng ta dïng b¶ng tiÕp liªnnh− víi hai ®Æc tr− ng ®Þnh tÝnh ( xem b¶ng (2)).

Ch¼ng h¹n, nh»m nghiªn cøu mèi liªn hÖ gi÷a chiÒu cao vµ träng l − îng t− ¬ng øngcña ng− êi, ng− êi ta ®o chiÒu cao vµ c©n träng l− îng t− ¬ng øng cña mét nhãm vµ lËp b¶ngthèng kª (b¶ng ph©n bè nh− sau)

ChiÒu cao(cm)< 150 150≤Y<170 ≥ 170 Tæng

Träng <40 45 26 7

L− îng (kg) 40≤X<60 31 35 12≥ 60 23 70 10Tæng

(B¶ng 10. B¶ng ph©n bè cña hai ®Æc tr− ng ®Þnh l− îng)

B¶ng ph©n bè hçn hîp

Quan s¸t mét ®Æc tr− ng ®Þnh tÝnh vµ mét ®Æc tr− ng ®Þnh l− îng trªn mçi ®¬n vÞtæng thÓ, trong tr− êng hîp nµy chóng ta còng x©y dùng b¶ng tiÕp liªn nh− trªn, ch¼ng h¹nvÝ dô 4. muc 4.1. lµ tr− êng hîp nh− vËy (t¹i sao?)

Ghi chó 5. Qua toµn bé phÇn trªn chóng ta cã thÓ thÊy mét ®Æc ®iÓm quan träng trongviÖc lËp çc b¶ng thèng kª lµ: ta lu«n cã thÓ ph©n tæ mét ®Æc tr− ng ®Þnh l− îng nh− mét®Æc tr− ng ®Þnh tÝnh, nh− ng ®iÒu ng− îc l¹i kh«ng ®óng.

VÊn ®Ò 3. H·y chØ ra (nÕu ®· cã) hoÆc tæng hîp thµnh (nÕu ch− a cã) çc b¶ng ph©n bètõ çc b¶ng sè liÖu thèng kª trong çc vÝ dô cña môc 4.1.




5.2.2.BiÓu ®å thèng kª

Chóng ta quan t©m chñ yÕu ®Õn çc ®å thÞ thèng kª cña mét ®Æc tr− ng ®− îc quans¸t.§èi víi ®Æc tr− ng ®Þnh tÝnh

Cam Ranh

Nha Trang

V¹n Ninh

Diªn Kh¸nh

Ninh Hßa

BVTØnh

(h×nh1. BiÓu ®å trßn ph©n vïng cho b¶ng 1.1.)

§èi víi ®Æc tr− ng ®Þnh l− îng BiÕn lµ rêi r¹c

(h×nh 2. biÓu ®å cét vµ biÓu ®å h×nh gËy cho b¶ng 6. )

0

10

20

30

40

50

60

Sè l− îngkh¸ch

TÇn sè

20

21

22

23

24

25

26

27

28

29

30

31

32

33

34

35

36

37

38

39

40

41

42

43

44

45

46

47

48

49

50

51

52

53

54

55

56

57

V 1

1

2

3

4

5

V

2




BiÕn lµ liªn tôc

Th«ng th− êng ng− êi ta dïng tæ chøc ®å ®− îc x©y dùng nh− sau:Gi¶ sö biÕn liªn tôc X ®− îc quan s¸t trong n lÇn vµ nhËn ®− îc b¶ng ph©n bè thèng

kª theo b¶ng (7) trang 65. LËp çc h×nh ch÷ nhËt kÒ nhau trªn hÖ trôc täa ®é:

_ §¸y cña h×nh ch÷ nhËt thø j lµ ®é dµi cña ®o¹n chia ∆ j, tøc lµ: ∆ j n»m trªntrôc Ox cña hÖ täa ®é.

_ ChiÒu cao cña h×nh ch÷ nhËt thø j lµ : j

j f

∆ trªn trôc tung Oy cña hÖ täa ®é,

trong ®ã j=1, 2, ..., k.Ghi chó 6.

(a) Nh− vËy diÖn tÝch cña h×nh ch÷ nhËt thø j lµ tÇn suÊt cña sù kiÖn X nhËn gÝa trÞtrªn ®o¹n thø j vµ do ®ã tæng diÖn tÝch trong mét tæ chøc ®å sÏ lµ

.11

=∑=

k

j

j f

(b) §«i khi nÕu kh«ng tÝnh tÇn suÊt ng

−

êi ta cã thÓ lÊy tÇn sè ®Ó biÓu diÔn tæ chøc ®å,trong tr− êng hîp nµy chiÒu cao h×nh ch÷ nhËt thø j sÏ lµ n j / ∆ j vµ tæng diÖntÝch tæ chøc ®å lµ n.

(c) NhËn xÐt (a) hoÆc (b) gióp chóng ta cã thÓ gép nhãm çc ®o¹n chia nµo mµ sè gi¸trÞ mÉu r¬i vµo qóa Ýt trong khi m« t¶ b»ng tæ chøc ®å trong thùc hµnh.

(h×nh 3. tæ chøc ®å cña b¶ng ph©n bè 8, trÝch tõ tµi liÖu [2]. )

§a gi¸c tÇn suÊt (®− êng cong tÇn suÊt tÝch lũy)

Víi biÕn X nhËn gi¸ trÞ trong n lÇn quan s¸t vµ cã ph©n bè theo b¶ng (5) trang 64.Chóng ta x©y dùng hµm: (gi¶ thiÕt r»ng çc gi¸ trÞ x¶y ra cña X trong b¶ng (5) lµ s¾p xÕptheo thø tù t¨ng, tøc lµ: a1 < a2 < ... < ak)

Fn(a j) = ∑∑ −

=

−

=

=1

1

1

1

j

i

i j

i

in

n f ; j=2,..., k; Fn(a1)=0

gäi lµ hµm ph©n phèi thùc nghiÖm cña biÕn X. §Ó tÝnh b¶ng ph©n phèi thùc nghiÖm cña Xchóng ta lËp b¶ng nh− d¹ng b¶ng (5) vµ thªm vµo cét tÝnh Fn(a j). Ch¼ng h¹n:




Sè l− îng kh¸ch(a j) TÇn sè (n j) f j Fn(a j)20 2 0.06 0.0021 3 0.1 0.0628 4 0.13 0.16

30 2 0.06 0.2934 5 0.17 0.3536 1 0.03 0.5238 3 0.1 0.5540 1 0.03 0.6541 2 0.06 0.6845 1 0.03 0.7449 4 0.13 0.7755 1 0.03 0.957 2 0.06 0.93

Tæng 31 1.00 1.00

( B¶ng 11. b¶ng hµm ph©n phèi thùc nghiÖm cña sè l− îng kh¸ch mçi ngµy trongth¸ng1cña vÝ dô 3 M ục 4.1)

®a gi¸c tÇn suÊt cho b¶ng 11 cã d¹ng nh− sau: (vÏ b»ng c«ng cô S-Plus 4.5)

20 30 40 50 60

sè l− îng kh¸ch

0.2

0.5

0.8

t Ç n

s u Ê t t Ý c h

l u ü

nh− vËy khi X rêi r¹c ®a gi¸c tÇn suÊt cã d¹ng mét ®− êng bËc thang kh«ng gi¶m vµ

liªn tôc tr¸i.

§èi víi mét biÕn liªn tôc, chóng ta lÊy çc ®Çu mót ph¶i cña mçi ®o¹n chia vµ

trong tr− êng hîp nµy hµm ph©n phèi thùc nghiÖm ®− îc tÝnh lµ:

Fn(x j) = ∑∑==

= j

i

i j

i

in

n f

11

; j=1,..., k;

Víi x j lµ ®Çu mót ph¶i cña ®o¹n chia thø j.Ch¼ng h¹n, ®a gi¸c tÇn suÊt cña b¶ng(9) trang 66 ph©n bè vÒ l− îng glucoza trong

m¸u cã d¹ng nh− sau




60 70 80 90 100 110 120 130

L− îng glucoza (mg%)

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

t Ç n

s u Ê t t

Ý c h

l u ü

(®a gi¸c tÇn suÊt cña b¶ng 9. trang 66.)

Ghi chó 7. Trong khi biÓu ®å tæ chøc cho h×nh ¶nh xÊp xØ vÒ h×nh d¹ng cña ®− êng cong mËt®é x¸c suÊt cña ®Æc tr− ng ®Þnh l− îng ®− îc kh¶o s¸t th× ®− êng cong tÇn suÊt tÝch lòy choh×nh ¶nh vÒ ph©n phèi cña hiÖn t− îng (khi t¨ng sè quan s¸t lµ ®ñ lín vµ çc ®o¹n chia phïhîp). H×nh sau cho mèi liªn hÖ gi÷a biÓu ®å vµ hµm ph©n phèi (trÝch tõ tµi liÖu [2].)

VÊn ®Ò 4. H·y dïng mét phÇn mÒm tÝnh to¸n thèng kª (ch¼ng h¹n: Excel, S-plus,Mystat...) ®Ó vÏ tæ chøc ®å cho b¶ng (9) trang66, ®a gi¸c tÇn suÊt (nÕu cã thÓ) cho çchiÖn t− îng ®− îc quan s¸t cña çc vÝ dô môc 4.1 vµ 5.2.

5.2.3. Tæng hîp b»ng çc sè ®Æc tr− ng thèng kª

A.

Sè trung b×nh




Gi¶ sö quan s¸t gi¸ trÞ x¶y ra cña mét biÕn (®Þnh l− îng) X trong n lÇn nhËn ®− îc çcgi¸ trÞ lµ: x1,..., xn. Trung b×nh cña X kÝ hiÖu lµ x cho bëi

∑=

=n

j

j xn

x1

1

(1)

§èi víi ®Æc tr−

ng ®Þnh tÝnh: gi¶ sö quan s¸t n ®¬n vÞ tæng thÓ lÊy ra tõ mét tængthÓ nghiªn cøu vÒ mét ®Æc tr− ng ®Þnh tÝnh A nµo ®ã cña chóng, ghi nhËn ®− îc Ax¶y ra k lÇn (0 ≤ k ≤ n). NÕu gäi mét biÕn X nh− sau:

⎩⎨⎧

= rayx¶kh«ngAnÕu

rayx¶AnÕu

,0

1,X

thÓ hiÖn cho sù quan s¸t A x¶y ra hay kh«ng trong mçi lÇn quan s¸t. Khi ®ã viÖc quans¸t vÒ A x¶y ra trong n ®¬n vÞ tæng thÓ lÊy ra t− ¬ng ®− ¬ng víi quan s¸t gi¸ trÞ x¶y racña X trong n lÇn, nÕu gäi x j lµ gi¸ trÞ cña X ë lÇn quan s¸t thø j (x j∈0, 1), j= 1,..., nth×

f n

k

xn x

n

j j === ∑=1

1

chÝnh lµ tÇn suÊt cña ®Æc tr− ng A. VËy tÇn suÊt cña mét ®Æc tr− ng ®Þnh tÝnh ch¼ng qualµ sè trung b×nh.

(2) TÝnh trung b×nh khi sè liÖu liÖt kª theo tÇn sè hoÆc tÇn suÊt (b¶ng(5)trang 64)

j

k

j

j j

k

j

j a f ann

x ∑∑==

==11

1

b¶ng sè liÖu tÝnh to¸n lËp nh− sau

j a j n j n ja j

1 a1 n1 n1 a1

... ... ... ...k ak nk nk ak

Σ n

(Σ)/n

T − ¬ng tù khi tÝnh theo tÇn suÊt th× thay çc cét n j vµ n ja j t− ¬ng øng bëi çc cét f j vµ f ja j.

(3) TÝnh xÊp xØ trung b×nh khi sè liÖu ghÐp theo nhãm (b¶ng (7) trang 65)Víi b¶ng ph©n bè cña mét biÕn liªn tôc cho bëi b¶ng (7) trang 65, cã thÓ tÝnh

xÊp xØ gi¸ trÞ trung b×nh theo c«ng thøc sau

j

k

j

j j

k

j

j t f t nn

x ∑∑==

==11

1

trong ®ã t j lµ ®iÓm gi÷a cña kho¶ng ∆ j.Ch¼ng h¹n b¶ng tÝnh sè trung b×nh vÒ l− îng glucoza trong m¸u cña 100 ng− êi

trong mÉu tõ b¶ng (9) trang 66 nh− sau




j ®o¹n thø j t j f j f jt j1 65≤X<71 68 0.012 71≤X<77 74 0.03 77≤X<83 80 0.02

4 83≤X<89 86 0.115 89≤X<95 92 0.166 95≤X<101 98 0.27 101≤X<107 104 0.278 107≤X<113 110 0.149 113≤X<119 116 0.0510 119≤X<125 122 0.0311 125≤X<131 128 0.01

x (h·y tÝnh to¸n vµ ®iÒn çc gi¸ trÞ trong b¶ng.)

Ghi chó 7. ViÖc tÝnh xÊp xØ gi¸ trÞ trung b×nh cÇn h¹n chÕ chØ khi kh«ng thÓ cã th«ng tin

thùc vÒ çc gi¸ trÞ cô thÓ cña biÕn r¬i trªn mçi ®o¹n, cßn nÕu biÕt çc gi¸ trÞ cña biÕntrong mÉu th× nªn dïng c«ng thøc chÝnh x¸c ®Ó tÝnh trung b×nh nhê hç trî cña çc phÇnmÒm tÝnh to¸n khi cì mÉu lín.

(4) TÝnh chÊt cña sè trung b×nhVíi mÉu sè liÖu quan s¸t cña biÕn X lµ x1,..., xn. §Æt phÐp biÕn ®æi nh− sau:

yi= axi+b; i=1,...,n, víi a, b h»ng sè cho tr− íc nµo ®ã vµ a≠0.Khi ®ã trung b×nh cña d·y sè yi lµ

a

b y x

rasuy

b xabn

xn

abaxn

y j j

−=

+=+⋅=+= ∑∑∑ 11)(

1

(c«ng thøc biÕn ®æi trªn th− êng ® − îc sö dông ®Ó rót gän sè liÖu tr− íc khi tÝnhto¸n.)

Ghi chó 8. Chó ý r»ng sè trung b×nh rÊt dÔ bÞ ¶nh h− ëng bëi çc sè liÖu l¹c bÇy (tøc lµ çc sè

liÖu n»m çch xa so víi nhãm çc gi¸ trÞ kh¸c cña sè liÖu quan s t) do ®ã cÇn cÈn thËnvíi çc sè liÖu l¹c bÇy trong sè çc sè liÖu quan s¸t nhËn ®− îc cña biÕn.

B. Sè trung vÞ ( Median)

Sè trung vÞ ký hiÖu lµ Me lµ gi¸ trÞ cña biÕn sao cho sè l− îng çc phÇn tö nhËn gi¸trÞ lín h¬n hoÆc b»ng nã b»ng sè l− îng çc phÇn tö cã gi¸ trÞ nhá h¬n hoÆc b»ng




nã. Víi d·y çc gi¸ trÞ quan s¸t ®− îc cña biÕn X lµ x1,..., xn chóng ta s¾p xÕp çcgi¸ trÞ mÉu thµnh d·y kh«ng gi¶m:

x(1)≤ x(2) ≤ ... ≤ x(n)

trung vÞ ®− îc tÝnh nh− sau:- nÕu n= 2k+1 (n lÎ) th× Me= x(k+1) vµ duy nhÊt.

- nÕu n= 2k th× ®o¹n [x(k), x(k+1)] lµ tËp hîp tÊt c¶ çc trung vÞ(x(k) ≤ Me ≤ x(k+1)).

Tr− êng hîp sè liÖu quan s¸t cña mét biÕn liªn tôc ®− îc ph©n nhãm theo b¶ng tÇnsè vµ tÇn suÊt tÝch luü nh− sau: ( xem bảng 12)

Trung vÞ ®− îc tÝnh :(a) x¸c ®Þnh nhãm cã tÇn sè tÝch lòy ≥ n/2, ch¼ng h¹n lµ nhãm ∆m.(b) khi ®ã:

m

mn

mmen

S M 12

min,

−−∆+∆=

trong ®ã ∆m,min lµ cËn d− íi cña ∆m , |∆m| lµ ®é dµi cña ∆m.

i ®o¹n chia ∆i TÇn sè ni

∑==

i

j

ji nS 1

TÇn suÊt f i ∑=

i

j

j f 1

1 ∆1n1 f 1

2 ∆2n2 f 2

... ... ... ...k ∆k

nk f k

Σ n - 1.0(B¶ng 12.)

Ghi chó 9. (a) So víi sè trung b×nh, trung vÞ cã − u ®iÓm lµ Ýt nh¹y bÐn víi çc sè liÖu l¹c bÇy h¬n.Tuy vËy dïng trung vÞ sÏ bá mÊt nhiÒu th«ng tin chøa ®ùng trong çc sè liÖu. NÕu thªmmét sè sè liÖu nh− nhau hoÆc thay ®æi chót Ýt gi¸ trÞ cña çc sè liÖu ë hai phÝa cña trungvÞ (sau khi ®· s¾p thø tù) th× kh«ng lµm thay ®æi trung vÞ. V× vËy trung vÞ th− êng ®− îcdïng trong tr− êng hîp çc d·y sè liÖu mµ ë hai ®Çu rÊt khã ®iÒu tra ®− îc ch¾c ch¾n.

(b) Trong b¶ng (12) cét tÇn suÊt tÝch lòy cã thÓ cho thÊy ®o¹n cã chøa trung vÞ, ®ã lµ ®o¹nøng víi tÇn suÊt tÝch lòy ≥ 0.5. Qua ®ã còng nãi lªn tÝnh chÊt ph©n ®Òu x¸c suÊt cña ®iÓmtrung vÞ.

Ch¼ng h¹n, trung vÞ cña b¶ng (6) trang 64 vÒ ph©n bè cña sè l− îng kh¸ch ®i mçingµy trong th¸ng 1:

Cì sè liÖu quan s¸t n= 31 = 2 × 15 + 1 nªn trung vÞ lµMe = x (15+1) = 34.

Trong b¶ng (9) trang 66 vÒ l− îng glucoza trong m¸u khi ®iÒu tra 100 ng− êi, chóngta thµnh lËp b¶ng sau




i ®o¹n thø i ni ∑=

=i

j

ji nS 1

f i ∑=

i

j

j f 1

1 65≤X<71 1 1 0.01 0.012 71≤X<77 0 1 0.0 0.013

77≤X<832 3 0.02 0.03

4 83≤X<89 11 14 0.11 0.145 89≤X<95 16 30 0.16 0.306 95≤X<101 20 50 0.2 0.57 101≤X<107 27 77 0.27 0.778 107≤X<113 14 91 0.14 0.919 113≤X<119 5 96 0.05 0.9610 119≤X<125 3 99 0.03 0.9911 125≤X<131 1 100 0.01 1.00

Tæng 100 - 1

- ®o¹n [95, 101] , ®é dµi = 6.- Trung vÞ :

10120

3050695 =

−⋅+=e M .

C.

Mèt ( Mode)

Mèt ký hiÖu lµ M0 lµ gi¸ trÞ cña mÉu quan s¸t mµ cã tÇn sè x¶y ra lín nhÊt. Cô thÓ:- Khi d·y sè liÖu quan s¸t ®− îc s¾p thø tù t¨ng nh− b¶ng (5) trang 64, th×

mèt lµ gi¸ trÞ quan s¸t t¹i ®ã cã tÇn sè lín nhÊt.

-

Khi çc sè liÖu quan s¸t ®−

îc ph©n nhãm (b¶ng (7) trang 65), kho¶ng®¸y cña h×nh ch÷ nhËt cao nhÊt cña tæ chøc ®å gäi lµ kho¶ng mèt, bÊtkú gi¸ trÞ nµo trong kho¶ng nµy ®Òu cã thÓ lÊy lµm mèt, hoÆc chän métgÝa trÞ trong kho¶ng mèt theo c«ng thøc:

• gi¶ sö ∆m lµ kho¶ng mèt.• Mèt ®− îc tÝnh:

)(2 11

1min,0

+−

−

+−−

⋅∆+∆=mmm

mm

mmnnn

nn M

Ch¼ng h¹n, mèt cña b¶ng ph©n bè vÒ sè l− îng hµnh kh¸ch trong b¶ng (6) trang 64lµ M0 = 34.

§èi víi b¶ng ph©n bè vÒ l− îng glucoza trong m¸u (b¶ng (9) trang 66), kho¶ng

mèt lµ [101, 107) vµ chóng ta tÝnh ®− îc1.103

)1420(272

202761010 =

+−⋅−

⋅+= M

Ghi chó 10. Mèt ph¶n ¸nh møc ®é tËp trung cña biÕn vµ mèt cã thÓ kh«ng duy nhÊt, kho¶ngmèt còng cã thÓ kh«ng duy nhÊt.




D. D¹ng kh¸c cña sè trung b×nh

Tõ c«ng thøc trung b×nh môc A.(2), nÕu chóng ta ®Æt:- M j= n ja j, j= 1, ..., k.- Khi ®ã cã thÓ viÕt

∑

∑

∑

∑

=

=

=

= ==k

j j

j

k

j

j

k

j

j

k

j

j

a

M

M

n

M

x

1

1

1

1

cßn gäi lµ sè trung b×nh ®iÒu hßa. §Ó ý r»ng v× a j= j

j

n

M cã thÓ xem lµ sè b×nh qu©n

cña “dÊu hiÖu a j“ vµ nh− vËy trung b×nh ®iÒu hßa cã thÓ xem lµ sè b×nh qu©n cña k dÊuhiÖu a1, ..., ak.

Ch¼ng h¹n, tÝnh n¨ng suÊt lao ®éng b×nh qu©n cña mçi c«ng nh©n trong mét

doanh nghiÖp liªn doanh gåm 3 xÝ nghiÖp theo sè liÖu cña b¶ng sau

Tªn XÝ nghiÖp N¨ng suÊt lao ®éng b×nhqu©n (kg)

Khèi l− îng s¶n phÈm (kg)

XN 1XN 2XN 3

480224250

720056007500

Nh− vËy a j = n¨ng suÊt lao ®éng b×nh qu©n cña xÝ nghiÖp j vµ M j = khèi l− îng s¶n phÈmcña xÝ nghiÖp j ( víi j=1, 2, 3). Tõ ®ã n¨ng suÊt lao ®éng b×nh qu©n cña mçi c«ng nh©ntrong doanh nghiÖp lµ:

.290

250

7500

224

5600

480

7200

750056007200kg x =

++

++=

Ghi chó 11. Khi çc M j= M (j=1,..., k) th× trung b×nh ®iÒu hßa kh«ng phô thuéc vµo M, tøc lµchØ cÇn biÕt çc gi¸ trÞ a j. ( H·y viÕt c«ng thøc trung b×nh ®iÒu hßa?).

§o møc ®é ph©n t¸n

Trong toµn bé phÇn nµy nÕu kh«ng gi¶i thÝch g× thªm chóng ta hiÓu çc x i lµ gi¸ trÞcña çc biÕn ®− îc quan s¸t t− ¬ng øng.

E. Ph− ¬ng sai mẫu Chóng ta ph©n biÖt hai tr− êng hîp_Ph− ¬ng sai cña tæng thÓ:

∑=

− N

i

i x N 1

2)(1

µ σ2 =




trong ®ã N= sè ®¬n vÞ trong tæng thÓ chung, µ lµ sè trung b×nh cña tæng thÓ._ Ph− ¬ng sai mÉu:

• tr− êng hîp kh«ng hiÖu chØnh

2

1

2

1

22 1)(

1

.

x x

n

x x

n

S n

i

i

n

i

i −=−= ∑∑==

khi sè liÖu mÉu cã d¹ng b¶ng (5) trang 64:

2

1

2

1

22 1)(

1

.

x xnn

x xnn

S k

i

ii

k

i

ii −=−= ∑∑==

sè liÖu mÉu d¹ng b¶ng (7) trang 65, ph− ¬ng sai ®− îc tÝnh xÊp xØ theo c«ng thøc:

2

1

2

1

22 1)(

1

.

xt nn

xt nn

S k

i

ii

k

i

ii −=−= ∑∑==

trong ®ã ti lµ ®iÓm gi÷a cña ®o¹n ∆i vµ trung b×nh tÝnh theo c«ng thøc môc A.(3).• tr− êng hîp hiÖu chØnh: thay trong çc c«ng thøc trªn 1/n bëi 1/(n-1):

2

1

2

1

22

11

1)(

1

1

.

xn

n x

n x x

nS

n

i

i

n

i

i −−

−=−

−= ∑∑

==

víi sè liÖu mÉu cã d¹ng b¶ng (5) trang 64:

2

1

2

1

22

11

1)(

1

1

.

xn

n xn

n x xn

nS

k

i

ii

k

i

ii −−

−=−

−= ∑∑

==

sè liÖu mÉu d¹ng b¶ng (7) trang 65, tÝnh xÊp xØ theo c«ng thøc

2

1

2

1

22

11

1)(

1

1

.

xn

nt n

n xt n

nS

k

i

ii

k

i

ii −−

−=−

−= ∑∑

==

Ghi chó 12.(a) Nh»m tÝnh to¸n rót gän h¬n, cã thÓ sö dông phÐp biÕn ®æi nh− ®· lµm cho

trung b×nh mÉu (môc A.(4)). Khi ®ã cã c«ng thøc liªn hÖ gi÷a ph− ¬ng sai theobiÕn y (cã gi¸ trÞ y1,..., yn) vµ biÕn x (cã gi¸ trÞ x1,..., xn) nh− sau

222

y aS xS = (b) ViÕt çc c«ng thøc t− ¬ng øng cho viÖc tÝnh ph− ¬ng sai qua phÐp biÕn ®æi

yi= axi+b; i=1,...,n, víi a, b h»ng sè cho tr− íc nµo ®ã vµ a≠0 cho çcc«ng thøc cßn l¹i.

Ch¼ng h¹n, víi b¶ng ph©n bè vÒ l− îng glucoza trong m¸u cña 100 ng− êi (trang 66b¶ng 9), ®Ó tÝnh to¸n çc trung b×nh vµ ph− ¬ng sai chóng ta thùc hiÖn:




- dïng phÐp biÕn ®æi cho çc ®iÓm gi÷a: hi =6

6t t i − , i= 1,..., 11.

- lËp b¶ng tÝnh to¸n nh− sau

i ®o¹n thø i ni

hi= 66

t t i

− nihi hi2 ni hi

2

1 65≤X<71 12 71≤X<77 03 77≤X<83 24 83≤X<89 115 89≤X<95 166 95≤X<101 207 101≤X<107 278 107≤X<113 149

113≤X<1195

10 119≤X<125 311 125≤X<131 1

Σ 100

vµ chóng ta cã:- trung b×nh mÉu tÝnh xÊp xØ bëi

6

11

1100

6t nh x

i

ii +≈ ∑=

- ph− ¬ng sai cho bëi

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛ −≈ ∑ ∑

=

=11

1

211

1222

100100

16S

i

i

ii

ii

hn

hn

( H·y ®iÒn vµo çc gi¸ trÞ trong b¶ng vµ tÝnh to¸n.)

Ghi chó 13. ViÖc tÝnh xÊp xØ ph− ¬ng sai khi sè liÖu mÉu ®− îc ph©n nhãm sÏ chªnh lÖch so víitrÞ sè chÝnh x¸c cña nã. Sheppard ®− a ra c«ng thøc hiÖu chØnh khi mçi ®o¹n chia cã ®é dµid nh− sau

.12

22 d

S −= 2SchØnhhiÖu

F. §é lÖch tiªu chuÈn vµ hÖ sè biÕn thiªn

§é lÖch tiªu chuÈn§− îc ®Þnh nghÜa lµ c¨n bËc hai cña ph− ¬ng sai




2S =σ (hoÆc 2S =σ )tïy theo chän ph− ¬ng sai hiÖu chØnh hoÆc kh«ng.

HÖ sè biÕn thiªn

Lµ tû sè so s¸nh gi÷a ®é lÖch tiªu chuÈn vµ trung b×nh: V= x

σ

. HÖ sè biÕn thiªn chophÐp so s¸nh tÝnh chÊt ®ång ®Òu cña çc d·y sè cã møc ®é kh¸c biÖt nhau.

Ch¼ng h¹n, sau khi quan s¸t vµ tÝnh to¸n ng− êi ta nhËn ®− îc:- H»ng sè Glucoza %10100

11mg x ±=±σ

- H»ng sè Urª %52522

mg x ±=±σ .

NÕu chØ xem σ2 < σ1 ta cã thÓ nãi ®é ph©n t¸n trong sè liÖu ®iÒu tra Glucoza lín h¬ntrong sè liÖu vÒ Urª. Nh− ng nÕu xÐt ®Õn V th×:

%2025

5

%10100

10

2

22

1

11

===

===

xV

xV

σ

σ

nh− vËy chóng ta ph¶i kÕt luËn ng− îc l¹i, trong ®iÒu tra Urª sè liÖu ®iÒu tra ph©n t¸n h¬nso vớ i số liệu ®iÒu tra Glucoza.

Ghi chó 14. Liªn hÖ gi÷a ®é lÖch tiªu chuÈn vµ trung b×nh ®− îc ph¶n ¸nh qua bÊt ®¼ng thøcsau ®©y gäi lµ bÊt ®¼ng thøc Tchebichev:

2

11)(

k

k x X k xP −>+<<− σ σ

ý nghÜa lµ tèi thiÓu còng sÏ cã 1- 2

1

k (%) çc quan s¸t n»m çch trung b×nh kh«ng qu¸ k

lÇn ®é lÖch tiªu chuÈn. Ch¼ng h¹n, víi k=2 ¸p dông bÊt ®¼ng thøc trªn cho chóng ta:víi x¸c suÊt 75% çc gi¸ trÞ quan s¸t ®− îc cña biÕn X sÏ n»m trong kho¶ng

)2,2( σ σ +− x x , ®«i khi cßn viÕt lµ:

(75%)2xX σ ±=

G. HÖ sè bÊt ®èi xøng

§èi víi biÕn (liªn tôc hay rêi r¹c) mµ sè liÖu thu thËp ®− îc cã d¹ng nh− b¶ng (5)trang 64. HÖ sè bÊt ®èi xøng (mÉu) lµ ®¹i l− îng

3

1

31

1

)(

σ

∑=

−=

k

i

iin x xn

g

hÖ sè bÊt ®èi xøng nh»m kh¶o s¸t tÝnh ®èi xøng vµ bÊt ®èi xøng cña ph©n phèi cñatæng thÓ.




H. HÖ sè nhän

Víi sè liÖu thu thËp ®− îc cã d¹ng nh− b¶ng (5) trang 64. HÖ sè nhän (mÉu) lµ ®¹il− îng

3

)(

4

1

41

2 −−

= ∑=

σ

k

i

iin x xn

g

®− îc dïng ®Ó kh¶o s¸t tÝnh ®Òu ®Æn cña ®Ønh hµm mËt ®é ph©n phèi cña tæng thÓ.

I. TÝnh to¸n çc sè ®Æc tr− ng ®èi víi b¶ng tiÕp liªn

Ch¼ng h¹n xÐt b¶ng ph©n bè l− ¬ng th¸ng theo th©m niªn vµ sè tiÒn cña mét C«ng ty(trÝch tõ tµi liÖu [2])

§Ó tÝnh trung b×nh vµ ph− ¬ng sai cña tiÒn l− ¬ng vµ th©m niªn chóng ta lËp b¶ngnh− sau

X: th©m niªn cña ng− êi ¨n l− ¬ng Y:TiÒn l− ¬ng cña ng− êi ¨n l− ¬ngi xi ni ni xi ni xi

2 j y j n j n j y j n j y j2

1 1 158 1 5000 1492 3 117 2 7000 1523 5 123 3 9000 964 8 55 4 12000 56

Σ /n = x Σ /n = y

=−= ∑=

22

1

2 1 x xnn

i

k

i

i x =−= ∑=

22

1

2 1 y ynn

S i

k

i

i yS ... ...

(h·y tÝnh vµ ®iÒn tiÕp çc gi¸ trÞ trong b¶ng.)

VÊn ®Ò 5. H·y tÝnh to¸n çc sè ®Æc tr− ng mÉu cña çc vÝ dô môc 4.1 vµ 5.2 b»ngçch lËp çc b¶ng thuËn tiÖn ®Ó tÝnh còng nh− sö dông çc phÐp biÕn ®æi rót gän trongtÝnh to¸n nÕu cã thÓ.




5.3. Tæng hîp ch− ¬ng 5

5.3.1. §iÒu tra thèng kª

A. Môc ®Ých vµ nhiÖm vô cña ®iÒu tra thèng kªKh¸i niÖm§iÒu tra thèng kª lµ qu¸ tr×nh thu thËp tµi liÖu mét çch cã tæ chøc, kÕ ho¹ch vµ khoa

häc vÒ çc hiÖn t− îng vµ qu¸ tr×nh kinh tÕ- x· héi.Môc ®Ých- §iÒu tra thèng kª nh»m thu thËp sè liÖu lµm c¬ së ®Ó tiÕn hµnh tæng hîp vµ ph©n

tÝch thèng kª.- Dùa vµo qu¸ tr×nh tæng hîp vµ ph©n tÝch thèng kª trªn tµi liÖu ®iÒu tra thèng kª

®óng ®¾n vµ chÝnh x¸c vÒ hiÖn t− îng cÇn quan t©m nghiªn cøu lµm c¨n cø tin cËy ®Ó ®¸nhgi¸, ®Ò ra çc biÖn ph¸p kiÓm so¸t vµ ph¸t triÓn xu thÕ cña hiÖn t− îng.

NhiÖm vô cña ®iÒu tra thèng kªNh− vËy ®iÒu tra thèng kª cã nhiÖm vô thu thËp çc tµi liÖu vÒ çc ®¬n vÞ tæng thÓ(trong thêi gian vµ kh«ng gian x¸c ®Þnh), lµm c¬ së cho qu¸ tr×nh nghiªn cøu thèng kª(tæng hîp, ph©n tÝch vµ dù ®o¸n thèng kª). Cung cÊp d÷ liÖu cã tÝnh hÖ thèng cho viÖcx©y dùng çc chiÕn l− îc, kÕ s¸ch vµ ch− ¬ng tr×nh ph¸t triÓn kinh tÕ- x· héi.

B. Çc h×nh thøc ®iÒu tra thèng kªC¨n cø theo yªu cÇu ph¶n ¸nh t×nh h×nh çc ®¬n vÞ tæng thÓ mét çch liªn tôc hay

kh«ng liªn tôc, ®iÒu tra thèng kª ph©n thµnh hai lo¹i: th− êng xuyªn vµ kh«ng th− êngxuyªn.

§iÒu tra th− êng xuyªnViÖc thu thËp tµi liÖu vÒ hiÖn t− îng (çc ®¬n vÞ tæng thÓ) diÔn ra mét çch liªn tôc

theo qu¸ tr×nh ph¸t sinh vµ ph¸t triÓn cña hiÖn t− îng.

H×nh thøc nµy ®− îc ¸p dông ®èi víi çc hiÖn t− îng cÇn theo dâi liªn tôc xu thÕ biÕn®éng cña chóng do yªu cÇu cña c«ng t¸c qu¶n lý. Tµi liÖu vÒ hiÖn t − îng ®− îc thu thËp ®Óthèng kª ®Þnh kú.

§iÒu tra kh«ng th− êng xuyªnViÖc thu thËp tµi liÖu cña hiÖn t− îng diÔn ra kh«ng liªn tôc, kh«ng theo s¸t víi qu¸

tr×nh ph¸t sinh vµ ph¸t triÓn cña hiÖn t− îng. Tµi liÖu thèng kª trong tr− êng hîp nµy ph¶n¸nh tr¹ng th¸i cña hiÖn t− îng ë mét thêi ®iÓm nhÊt ®Þnh. §iÒu tra kh«ng th− êng xuyªn ¸pdông ®èi víi çc hiÖn t− îng mµ qu¸ tr×nh thu thËp th«ng tin cña hiÖn t− îng kh«ng thÓ tiÕnhµnh mét çch liªn tôc, hoÆc do tèn kÐm vÒ chi phÝ ®iÒu tra, kh«ng gian vµ thêi gian tiÕnhµnh…

C¨n cø vµo ph¹m vi tiÕn hµnh ®iÒu tra, ph©n thµnh hai lo¹i: ®iÒu tra toµn bé vµ

kh«ng toµn bé.§iÒu tra toµn béLµ tiÕn hµnh thu thËp tµi liÖu cña tÊt c¶ çc ®¬n vÞ tæng thÓ trong tæng thÓ thèng kª.

Tµi liÖu ®iÒu tra toµn bé lµ c¨n cø ®Çy ®ñ ®Ó tiÕn hµnh çc ph− ¬ng ph¸p tæng hîp vµ ph©ntÝch thèng kª.

§iÒu tra kh«ng toµn bé TiÕn hµnh ®iÒu tra trªn mét bé phËn çc ®¬n vÞ tæng thÓ cña tæng thÓ thèng kª. Bao

gåm: ®iÒu tra chän mÉu, ®iÒu tra träng ®iÓm, ®iÒu tra chuyªn ®Ò…




- §iÒu tra chän mÉu: chän ra mét bé phËn çc ®¬n vÞ tæng thÓ tõ tæng thÓ chung(gäi lµ mÉu) tháa m·n çc yªu cÇu nhÊt ®Þnh vÒ: tÝnh ngÉu nhiªn, tÝnh ®¹idiÖn…sao cho çc ®Æc tr− ng thèng kª dùa vµo mÉu cã thÓ ®− îc suy diÔn cho toµnbé tæng thÓ.

- §iÒu tra träng ®iÓm: nh»m vµo mét sè bé phËn chñ yÕu cña tæng thÓ nghiªn cøu

(ch¼ng h¹n, bé phËn chiÕm tû träng lín nhÊt trong toµn bé tæng thÓ). KÕt qu¶ ®iÒutra kh«ng thÓ dïng ®Ó suy diÔn chung cho toµn bé çc ®¬n vÞ tæng thÓ.- §iÒu tra chuyªn ®Ò: tiÕn hµnh trªn mét sè Ýt ®¬n vÞ tæng thÓ cña tæng thÓ chung

(çc ®¬n vÞ tæng thÓ ç biÖt). Quan t©m nghiªn cøu çc khÝa c¹nh cô thÓ cña chóngnh»m môc ®Ých ph¸t hiÖn çc nh©n tè míi, nh©n tè dÞ biÖt… trong xu thÕ cña hiÖnt− îng.

C. Çc ph− ¬ng ph¸p ®iÒu tra thèng kªChia thµnh çc lo¹i: ph− ¬ng ph¸p quan s¸t, ®¨ng ký, pháng vÊn (trùc tiÕp hoÆc

gi¸n tiÕp); ph− ¬ng ph¸p chän läc t− liÖu s½n cã; ph− ¬ng ph¸p ®iÒu tra chän mÉu (lÊy mÉuhoµn l¹i vµ kh«ng hoµn l¹i…);…

5.3.2. Tæng hîp thèng kª

A. Môc ®Ých vµ nhiÖm vô cña tæng hîp thèng kªKh¸i niÖmTæng hîp thèng kª lµ qu¸ tr×nh tËp trung vµ hÖ thèng hãa mét çch khoa häc çc tµi

liÖu thèng kª thu thËp ®− îc cña çc hiÖn t− îng vµ qu¸ tr×nh kinh tÕ- x· héi cÇn nghiªncøu.

Môc ®ÝchTæng hîp thèng kª chÝnh x¸c vµ khoa häc çc tµi liÖu thu thËp vÒ hiÖn t − îng lµ c¬ së

cho çc b− íc ph©n tÝch vµ dù ®o¸n thèng kª tiÕp theo, trong qu¸ tr×nh t×m hiÓu, nhËn thøc

vµ n¾m b¾t xu thÕ cña hiÖn t− îng.NhiÖm vôNhiÖm vô c¬ b¶n cña tæng hîp thèng kª lµ lµm çc ®Æc tr− ng cña ®¬n vÞ tæng thÓ

chuyÓn thµnh çc ®Æc tr− ng chung cña tæng thÓ.

B. Ph©n tæ thèng kªPh©n tæ thèng kª lµ viÖc tiÕn hµnh ghÐp nhãm çc ®¬n vÞ tæng thÓ cña hiÖn t− îng

cÇn nghiªn cøu thµnh çc tæ cã tÝnh chÊt kh¸c nhau (dùa trªn mét hoÆc mét sè tiªu thøcthèng kª nµo ®ã). Ch¼ng h¹n: dùa vµo giíi tÝnh ®Ó ph©n thµnh hai tæ nam vµ n÷ trong ®iÒutra d©n sè, hoÆc ph©n thµnh çc tæ theo ngµnh nghÒ…

Ph©n tæ thèng kª lµ b−

íc quan träng trong tæng hîp thèng kª còng nh−

trong toµnbé qu¸ tr×nh nghiªn cøu hiÖn t− îng b»ng khoa häc thèng kª. Nã thÓ hiÖn tÝnh hÖ thènghãa mét çch khoa häc çc tµi liÖu ®iÒu tra thèng kª, lµm c¬ së cho viÖc ph©n tÝch thèngkª.

Tiªu thøc ph©n tæLµ tiªu thøc ®− îc chän lµm c¨n cø ®Ó tiÕn hµnh ph©n tæ. ViÖc lùa chän vµ quyÕt ®Þnh

tiªu thøc nµo dïng ®Ó ph©n tæ lµ quan träng, qua ®ã nã ph¶i nãi lªn ® − îc b¶n chÊt cñahiÖn t− îng cÇn quan t©m.




X¸c ®Þnh sè tæ cÇn thiÕtKhi ph©n tæ cÇn x¸c ®Þnh sè l− îng tæ ph¶i chia. ViÖc x¸c ®Þnh sè tæ ph¶i chia lµ bao

nhiªu phô thuéc vµo môc ®Ých nghiªn cøu vµ tÝnh chÊt cña tiªu thøc ph©n tæ:- Ph©n tæ theo tiªu thøc thuéc tÝnh:

+ Tr− êng hîp ®¬n gi¶n: sè tæ ®− îc h×nh thµnh s½n do ®Æc tr− ng thÓ hiÖn cña tiªu

thøc thuéc tÝnh nµy (vÝ dô: tiªu thøc giíi tÝnh gåm nam, n÷ ).+ Tr− êng hîp phøc t¹p: viÖc x¸c ®Þnh sè tæ vµ tÝnh chÊt tõng tæ ph¶i qua ph©n tÝch®èi t− îng cô thÓ míi cã thÓ ph©n ®Þnh çc ®¬n vÞ tæng thÓ vµo çc tæ. (Ch¼ng h¹n,®iÒu tra thùc tr¹ng mua b¶o hiÓm d©n sù ë ViÖt Nam cÇn ph©n ®Þnh tr − íc theodanh môc ngµnh nghÒ cña ng− êi mua b¶o hiÓm, thµnh phÇn x· héi cña hä…)

- Ph©n tæ theo tiªu thøc sè l− îng:+ Tr− êng hîp ®¬n gi¶n: lµ khi tiªu thøc l− îng biÕn chØ cã Ýt l− îng biÕn vµ rêi r¹c.Khi ®ã mçi l− îng biÕn sÏ x¸c ®Þnh mét tæ. VÝ dô: Ph©n tæ d©n c− theo sè nh©nkhÈu; ph©n tæ häc sinh theo ®iÓm…+ Tr− êng hîp phøc t¹p: lµ khi tiªu thøc cã nhiÒu l− îng biÕn hoÆc khi l− îng biÕn lµliªn tôc, tr− êng hîp nµy ng− êi ta th− êng ghÐp nhiÒu l− îng biÕn vµo mét tæ gäi lµph©n tæ cã kho¶ng çch tæ. Trong ph©n tæ kiÓu nµy mçi tæ sÏ cã mét ph¹m vi

l− îng biÕn nhÊt ®Þnh vµ t− ¬ng øng víi hai cËn trªn vµ d− íi x¸c ®Þnh ph¹m vi l− îngbiÕn cña tæ. Ph¹m vi hay kho¶ng çch tæ cã hai lo¹i:

_ Ph©n tæ víi kho¶ng çch tæ kh«ng ®Òu: ¸p dông khi tiªu thøc l− îng biÕn cã sùbiÕn thiªn kh«ng ®Òu ®Æn vµ chóng ta muèn nghiªn cøu xu thÕ cña nã víi çckho¶ng biÕn thiªn kh«ng ®ång nhÊt.

_ Ph©n tæ víi kho¶ng çch tæ ®Òu: ¸p dông ®èi víi tæng thÓ nghiªn cøu t− ¬ng ®èi®ång nhÊt vµ l− îng biÕn t− ¬ng ®èi ®Òu ®Æn.

C. Tæ chøc tæng hîp thèng kªH×nh thøc tæ chøc tæng hîp thèng kªCã thÓ tæng hîp tõng cÊp, tËp trung hoÆc kÕt hîp. Tæng hîp tõng cÊp lµ h×nh thøc

tæng hîp tµi liÖu ®iÒu tra theo tõng b− íc tõ cÊp d− íi lªn cÊp trªn theo kÕ ho¹ch v¹ch s½n.H×nh thøc nµy th− êng sö dông trong çc b¸o ço thèng kª ®Þnh kú vµ çc cuéc ®iÒu trachuyªn m«n. H×nh thøc tæng hîp tËp trung lµ çc tµi liÖu ®iÒu tra ®− îc tËp trung vÒ mét c¬quan ®Ó tiÕn hµnh tæng hîp tõ ®Çu ®Õn cuèi. §iÒu nµy th− êng ¸p dông ®èi víi çc cuéc®iÒu tra quy m« lín. Thùc tÕ th− êng ¸p dông phèi hîp c¶ hai h×nh thøc nµy.

B¶ng biÓu vµ ®å thÞ thèng kª B¶ng thèng kª: lµ h×nh thøc biÓu hiÖn çc sè liÖu thèng kª mét çch cã hÖ thèng, hîplý vµ nªu lªn çc ®Æc tr− ng vÒ mÆt l− îng cña hiÖn t− îng nghiªn cøu.

+ CÊu thµnh cña b¶ng thèng kª: Bao gåm çc hµng vµ cét, çc tiªu ®Ò vµ con sè.Çc hµng vµ cét ph¶n ¸nh quy m« cña b¶ng, cã thÓ ®− îc ®¸nh sè hµng cét ®Ó tiÖnsö dông vµ tr×nh bµy. Tiªu ®Ò cña b¶ng ph¶n ¸nh néi dung cña b¶ng vµ tõng chi

tiÕt trong b¶ng. Çc tiªu ®Ò chung lµ tªn gäi cña b¶ng, thÓ hiÖn néi dung cña b¶ng,®− îc viÕt ng¾n gän, dÔ hiÓu vµ ®Æt trªn ®Çu b¶ng. Çc tiªu ®Ò nhá (tªn môc) lµ tªngäi cña tõng hµng, tõng cét thÓ hiÖn râ néi dung, ý nghÜa cña hµng cét ®ã. Çc consè ghi trong mçi « cña b¶ng lµ kÕt qu¶ tæng hîp thèng kª ph¶n ¸nh çc ®Æc tr− ngvÒ l− îng cña hiÖn t− îng nghiªn cøu.B¶ng thèng kª gåm hai phÇn: phÇn chñ ®Ò vµ phÇn gi¶i thÝch. PhÇn chñ ®Ò: Nªu

tæng thÓ hiÖn t− îng ®− îc tr×nh bµy trong b¶ng. Tæng thÓ nµy ®− îc ph©n thµnhnh÷ng bé phËn nµo, cã thÓ biÓu hiÖn b»ng thêi gian hay tªn ®Þa danh, vïng l·nhthæ. PhÇn gi¶i thÝch: gåm çc chØ tiªu gi¶i thÝch çc ®Æc ®iÓm cña ®èi t− îng




nghiªn cøu, gi¶i thÝch phÇn chñ ®Ò cña b¶ng. Th«ng th− êng phÇn chñ ®Ò ®Æt ë bªntr¸i cña b¶ng vµ t¹o thµnh néi dung çc hµng, cßn phÇn gi¶i thÝch ë phÝa trªn cñab¶ng t¹o thµnh néi dung cña çc cét. Cã thÓ thay ®æi vÞ trÝ cña hai phÇn cho nhau.Ngoµi ra phÝa d− íi b¶ng thèng kª cã thÓ thªm chó thÝch vÒ nguån tµi liÖu, çchtÝnh mét sè chØ tiªu thèng kª…

CÊu thµnh mét b¶ng thèng kª cã d¹ng nh− sau:Tªn b¶ng thèng kª (tiªu ®Ò chung)PhÇn gi¶i thÝch

PhÇn chñ ®ÒÇc chØ tiªu gi¶i thÝch (tªn cét)

B 1 2 3 …Tªn chñ ®Ò (tªn hµng)

Tæng céng

Çc lo¹i b¶ng thèng kª th«ng dông:- B¶ng thèng kª ®¬n gi¶n: lµ lo¹i b¶ng mµ phÇn chñ ®Ò kh«ng ph©n tæ. PhÇn chñ

®Ò chØ liÖt kª çc ®¬n vÞ tæng thÓ hay tªn thÓ hiÖn cña chóng (tªn çc ®Þa danh, çcthêi gian, çc thÓ hiÖn ®Þnh tÝnh …)

§iÒu tra vÒ ng− êi cã hót thuèc l¸ t¹i khãm X n¨m 2005

( §¬n vÞ tÝnh: ng − êi)D− íi 17 tuæi Nam tr− ëng

thµnhN÷ tr− ëng

thµnhTæng

Kh«ng hótthuèc

150 110 100

Cã hót thuèc 50 70 20Tæng

- B¶ng thèng kª cho tiªu thøc l − îng hãa (ph©n tæ theo ph¹m vi): lµ b¶ng thèngkª trong ®ã ®èi t− îng nghiªn cøu ghi trong phÇn chñ ®Ò ®− îc ph©n chia thµnh çc

tæ theo ph¹m vi cña mét tiªu thøc nµo ®ã.

Ch¼ng h¹n b¶ng tÝnh sè trung b×nh vÒ l− îng glucoza trong m¸u cña 100 ng− êi trongmÉu tõ b¶ng (9) trang 66 nh− sau:

xmin=70, xmax=126, chia thµnh çc ®o¹n b»ng nhau víi ®é dµi 6 vµ lÊy ∆=[65, 131). NhËn®− îc b¶ng thèng kª nh− sau




L− îng Glucoza trong m¸u cña 100 ng− êit¹i BÖnh viÖn X- n¨m 2000

STT ®o¹n thø j(X: ®v (mg%)) n j (ng− êi) 1 65 X<71 12 71

X<77 03 77

X<83 24 83 X<89 115 89 X<95 166 95 X<101 207 101 X<107 278 107 X<113 14

9 113 X<119 510 119 X<125 311 125 X<131 1

Tæng 100

- B¶ng thèng kª phèi hîp: trong ®ã ®èi t− îng nghiªn cøu ghi trong phÇn chñ ®Ò®− îc ph©n tæ theo nhiÒu tiªu thøc kÕt hîp víi nhau.

Ch¼ng h¹n, b¶ng thèng kª vÒ gi¸o dôc cña ViÖt Nam trong 5 n¨m (giai ®o¹n 1999-2004, xem phÇn Bµi tËp thùc hµnh thèng kª).

+ Nguyªn t¾c chung cña b¶ng thèng kª: B¶ng thèng kª ph¶i tr×nh bµy ng¾n gän, rârµng:

- Quy m«: kh«ng nªn qu¸ lín (nhiÒu cét vµ hµng, kÕt hîp qu¸ nhiÒu tiªu thøc…).NÕu tr− êng hîp nghiªn cøu qu¸ nhiÒu chØ tiªu, ph©n tæ theo nhiÒu tiªu thøc kh¸cnhau th× nªn thay b»ng nhiÒu b¶ng thèng kª nhá cho mét b¶ng lín.

- Çc tiªu ®Ò cña b¶ng: cÇn ng¾n gän, chÝnh x¸c, dÔ hiÓu. Tiªu ®Ò chung (tªn b¶ng)ph¶i biÓu hiÖn ®− îc néi dung cña b¶ng, kh«ng gian vµ thêi gian kh¶o s¸t hiÖnt− îng, ®− îc viÕt b»ng ch÷ to, ®Ëm vµ ®Æt ë phÝa trªn, gi÷a cña b¶ng. Çc tiªu ®Ònhá (çc ®Ò môc cña hµng vµ cét) cÇn x¸c ®Þnh râ néi dung nghiªn cøu cña hµngcét ®ã.

-

Ghi chó ®¬n vÞ tÝnh:♦ NÕu tÊt c¶ çc gi¸ trÞ trong b¶ng ®Òu cïng mét ®¬n vÞ tÝnh ta cã thÓ ghi ®¬n vÞtÝnh ë gãc trªn bªn ph¶i cña b¶ng.♦ NÕu ®¬n vÞ tÝnh thèng nhÊt theo tõng hµng cña b¶ng ta cÇn thªm mét cét ®¬n vÞtÝnh (liÒn ngay cét ghi tiªu ®Ò hµng).♦ NÕu çc con sè trong mét cét cã cïng ®¬n vÞ tÝnh, ta ghi ®¬n vÞ tÝnh cña cét ®ãngay d− íi tiªu ®Ò cét (cã thÓ trong ngoÆc ®¬n).




- Çc hµng vµ cét cña b¶ng cã thÓ ký hiÖu b»ng çc ch÷ çi hay sè thø tù ®Ó tiÖn södông vµ gi¶i thÝch.

- Çc chØ tiªu gi¶i thÝch cña b¶ng cÇn s¾p xÕp theo tr×nh tù logic, hîp lý. Çc chØtiªu liªn quan nhau (theo môc ®Ých nghiªn cøu) cÇn ®Æt c¹nh nhau.

- Quy − íc ghi sè liÖu:

♦ NÕu « cña b¶ng kh«ng cã sè liÖu, hoÆc kh«ng cã sè liÖu phï hîp ta ghi métdÊu g¹ch ngang (-).

♦ NÕu sè liÖu cña « nµo cßn thiÕu, sau nµy cã thÓ ®− îc bæ sung ta ghi ba chÊm(…)

♦ NÕu sè liÖu cña « kh«ng cã ý nghÜa ta ghi dÊu g¹ch chÐo (X).♦ Víi cïng mét chØ tiªu (l− îng biÕn) sè ch÷ sè thËp ph©n ph¶i nh− nhau, ®¬n vÞtÝnh ph¶i thèng nhÊt. NÕu cã qu¸ nhiÒu ch÷ sè th× cã thÓ ghi sè lµm trßn.

♦ Çc sè tæng cã thÓ ghi ë ®Çu hoÆc cuèi hµng vµ cét tïy yªu cÇu kh¶o s¸t. §èivíi viÖc kh¶o s¸t çc ®Æc tr− ng cña tæ (bé phËn): çc sè tæng th− êng ghi ë cuèihµng, cét. Víi viÖc kh¶o s¸t çc ®Æc tr− ng chung cña hiÖn t− îng: çc sè tængth− êng ®− îc ghi ë ®Çu hµng, cét.

- Chó thÝch cña b¶ng thèng kª: ghi ë cuèi b¶ng, dïng gi¶i thÝch thªm néi dungtrong b¶ng, ghi chó vÒ çch tÝnh mét sè chØ tiªu trong b¶ng (nÕu cÇn lµm râ) hoÆcchó thÝch vÒ nguån tµi liÖu sö dông…

§å thÞ thèng kª: ( BiÓu ®å thèng kª) sö dông çc h×nh vÏ, ®å thÞ ®Ó miªu t¶ trùc quançc sè liÖu thèng kª. §å thÞ thèng kª cã çc ®Æc ®iÓm:- KÕt hîp sè liÖu víi h×nh vÏ ®Ó m« t¶.- Tr×nh bµy kh¸i qu¸t çc ®Æc ®iÓm chñ yÕu cña b¶n chÊt, xu thÕ cña hiÖn t− îng.

Çc lo¹i ®å thÞ thèng kª phæ biÕn:♦ BiÓu ®å v¹ch: th− êng dïng ®Ó biÓu diÔn tèc ®é ph¸t triÓn cña hiÖn t− îng.♦ BiÓu ®å h×nh cét: dïng khi cÇn thÓ hiÖn kÕt cÊu vµ quy m« cña hiÖn t − îng

nghiªn cøu theo thêi gian…♦ BiÓu ®å diÖn tÝch (thÓ tÝch…): nh»m thÓ hiÖn mÆt l− îng cña ®èi t− îng nghiªncøu. Chóng còng dïng khi muèn thÓ hiÖn kÕt cÊu (tû träng) cña ®èi t − îng kh¶os¸t.

5.3.3. Mét sè yªu cÇu vÒ ph©n tÝch vµ dù ®o¸n thèng kª

Ph©n tÝch vµ dù ®o¸n thèng kª nh»m thÓ hiÖn mét çch hÖ thèng vµ tæng hîp b¶nchÊt cô thÓ vµ quy luËt cña hiÖn t− îng trong ®iÒu kiÖn kh«ng gian vµ thêi gian nhÊt ®Þnh,th«ng qua biÓu hiÖn vÒ mÆt l− îng vµ tÝnh to¸n çc møc ®é diÔn biÕn t− ¬ng lai cña hiÖnt− îng, lµm c¬ së ®Ó ®Ò ra çc ph− ¬ng thøc, biÖn ph¸p cô thÓ trong qu¸ tr×nh qu¶n lý, ho¹t

®éng cña con ng− êi.

A. ý nghÜa vµ nhiÖm vô cña ph©n tÝch vµ dù ®o¸n thèng kªý nghÜaPh©n tÝch vµ dù ®o¸n thèng kª thÓ hiÖn kÕt qu¶ cña toµn bé qu¸ tr×nh nghiªn cøu thèng

kª. Nã kh«ng nh÷ng gióp cho qu¸ tr×nh nhËn thøc vÒ hiÖn t− îng mµ cßn gãp phÇn c¶i t¹ovµ thóc ®Èy qu¸ tr×nh ph¸t triÓn cña hiÖn t− îng theo çc quy luËt kh¸ch quan.

NhiÖm vô




Ph©n tÝch vµ dù ®o¸n thèng kª nªu râ b¶n chÊt cô thÓ, tÝnh quy luËt vµ xu thÕ t− ¬ng laicña hiÖn t− îng mµ ta cÇn nghiªn cøu.

B. Çc yªu cÇu chñ yÕu cña ph©n tÝch vµ dù ®o¸n thèng kªLùa chän, ®¸nh gi¸ tµi liÖu dïng ®Ó ph©n tÝch vµ dù ®o¸n

Khi tiÕn hµnh ph©n tÝch chóng ta th−

êng thu thËp mét sè l−

îng lín nguån tµi liÖu cñahiÖn t− îng qua çc b¸o ço thèng kª ®Þnh kú, ®iÒu tra chuyªn m«n. Çc tµi liÖu nµyth− êng dïng cho çc môc ®Ých nghiªn cøu kh¸c nhau vÒ hiÖn t− îng. Chóng cã thÓ kh¸cnhau vÒ ph− ¬ng ph¸p tÝnh to¸n, thu thËp sè liÖu, tæng hîp sè liÖu. Do vËy cÇn cã sù lùachän vµ ®¸nh gi¸ tµi liÖu.

Dùa vµo môc ®Ých cña ph©n tÝch ®Ó lùa chän tµi liÖu thÝch hîp:- Tµi liÖu thu thËp cã b¶o ®¶m çc yªu cÇu vÒ tÝnh chÝnh x¸c, kÞp thêi, ®Çy ®ñ.

Ph− ¬ng ph¸p thu thËp tµi liÖu cã khoa häc. Ch¼ng h¹n, ®èi víi tµi liÖu thu thËpb»ng ph− ¬ng ph¸p ®iÒu tra chän mÉu th× khi ®¸nh gi¸ ph¶i chó ý ®Õn tÝnh chÊt ®¹idiÖn cña mÉu…

- Khi ®¸nh gi¸ ph¶i xem xÐt çc tµi liÖu cã ®− îc ph©n tæ hîp lý, ®¸p øng ®− îc môc®Ých ph©n tÝch kh«ng.

- Çc chØ tiªu ®− îc tÝnh to¸n theo çch nµo, b¶o ®¶m tÝnh chÊt so s¸nh gi÷a çc chØtiªu víi nhau kh«ng. Liªn hÖ thùc tÕ ®Ó ph¸t hiÖn vÊn ®Ò trong tµi liÖu vµ chØnh lýl¹i tµi liÖu cho phï hîp nÕu cÇn thiÕt…

X¸c ®Þnh ph− ¬ng ph¸p vµ çc chØ tiªu ph©n tÝchThèng kª häc sö dông nhiÒu ph− ¬ng ph¸p ph©n tÝch cña to¸n häc: ph− ¬ng ph¸p

ph©n tæ thèng kª, sè tuyÖt ®èi, t− ¬ng ®èi, sè b×nh qu©n, d·y sè thêi gian, ph− ¬ng ph¸p chØsè, håi quy vµ t− ¬ng quan…Chóng ta cÇn chän lùa ph− ¬ng ph¸p phï hîp trong ph©n tÝchthèng kª. ViÖc nµy theo c¨n cø:

- Ph¶i xuÊt ph¸t tõ môc ®Ých ph©n tÝch cô thÓ cña tõng hiÖn t− îng nghiªn cøu ®ÓquyÕt ®Þnh ph− ¬ng ph¸p ph©n tÝch thÝch hîp.

- N¾m ®− îc çc − u, nh− îc ®iÓm, ®iÒu kiÖn vËn dông cña tõng ph− ¬ng ph¸p ®Ó lùa

chän linh ho¹t cho tõng tr− êng hîp cô thÓ…- Phèi hîp nhiÒu ph− ¬ng ph¸p trong ph©n tÝch ®Ó ®èi s¸nh, tæng hîp t¸c dông cho

viÖc ph©n tÝch s©u s¾c vµ toµn diÖn.

Khi x¸c ®Þnh çc chØ tiªu ph©n tÝch cÇn l− u ý:- Lùa chän nh÷ng chØ tiªu quan träng ph¶n ¸nh ®− îc b¶n chÊt ®Æc tr− ng nhÊt cña

hiÖn t− îng.- Çc chØ tiªu cÇn cã mèi liªn hÖ, bæ sung lÉn nhau gióp cho viÖc ph©n tÝch hiÖn

t− îng ®¹t sù chÝnh x¸c vµ s©u s¾c.



Ch− ¬ng 6: Phân tích thống kê

6.1. Suy diễn thống kê

Suy diễn thống kê là quá trình đúc k ết các đặc tr ưng (thống kê) từ phạm vi mẫu

nghiên cứu để tổng quát hóa lên toàn bộ tổng thể. Các phươ ng pháp của thống kê suy

diễn là cơ sở để quá trình này giảm thiểu các sai lầm và đánh giá đượ c tính tin cậy củacác k ết luận suy diễn.

Thông thườ ng chúng ta chỉ có thể thu thậ p và xử lý số liệu trong một mẫu rút ra

từ một tổng thể nghiên cứu nào đó. Mẫu lấy ra đượ c hình thành qua bướ c điều tra chọn

mẫu. Dựa vào mẫu số liệu thống kê này, chẳng hạn về giá tr ị của một biến (ngẫu nhiên)nào đó đặc tr ưng cho một chỉ tiêu cần nghiên cứu của tổng thể ta suy diễn trên cơ sở k ết

quả của các đặc tr ưng mẫu thành các k ết luận tươ ng ứng cho đặc tr ưng của tổng thể.



Chươ ng 6. Phân tích thố ng kê 89

Dựa vào số liệu mẫu này chúng ta có thể giải đáp các vấn đề:

(i) Ướ c lượ ng các giá tr ị xác suất pk = P(Ak ), k =1, 2, 3, 4.

(ii) Độ tin cậy của suy đoán tốt nhất của chúng ta về phạm vi giá tr ị ướ c lượ ng có

thể cho các giá tr ị pk .(iii) Kiểm định về tính tin cậy của việc suy diễn giá tr ị ướ c lượ ng cho các pk .

Trong phươ ng pháp thống kê suy diễn, vấn đề (i) gọi là bài toán ướ c lượ ng điểm chotham số, (ii) là bài toán khoảng tin cậy và (iii) là lớ p bài toán kiểm định giả thiết thống

kê.

6.1.1. Ướ c lượ ng điểm

Phươ ng pháp chungDùng các đặc tr ươ ng thống kê của mẫu để ướ c lượ ng giá tr ị của các đặc tr ưng

tươ ng ứng của tổng thể. Cụ thể:

• Vớ i (x1, x2, …, xn) là mẫu lấy từ biến định lượ ng X (đặc tr ưng cho tiêu thức

định lượ ng X của tổng thể):- Ướ c lượ ng cho số trung bình của tổng thể ta dùng trung bình mẫu x

( xem M ục 5.2.3.A).

- Ướ c lượ ng phươ ng sai của tổng thể ta dùng phươ ng sai mẫu (hoặc2S

2

S tươ ng ứng).

• Vớ i tiêu thức định tính A, để ướ c lượ ng cho xác suất p = P(A) của tổng thể tadùng tần suất f tươ ng ứng của mẫu n cá thể quan sát.

Ví dụ 1. Tìm hiểu xem trung bình một hành khách phải chờ bao lâu để lấy hành lý sau

khi làm xong thủ tục nhậ p cảnh tại một sân bay quốc tế IAP. Ngườ i ta thu thậ p số liệu từ thực tế bằng cách quan sát trong một thờ i gian xác định lượ ng hành khách đến sân bay

này và ghi nhận đượ c bảng số liệu thống kê như sau: ( xem bảng 1)

Tính đượ c x = 10,84167 phút.




Thờ i gian đợ iak

( phút )

5,5 6,0 7,3 7,5 8,0 10,5 11,5 13,5 17,0 Tổng

tần số nk (ngườ i)

27 25 30 21 42 22 36 15 82 300

ak nk 148.5 150 219 157.5

336 231 414 202.5 1394

3252.5

Bảng 1. Thờ i gian hành khách chờ đợ i để lấ y hành lý t ại sân bay IAP.

Khi đó có thể k ết luận thờ i gian trung bình một hành khách chờ đợ i để lấy hành lý tại sân

bay này là 10,84167 phút. K ết luận như vậy tức là ta đã suy diễn từ đặc tr ưng tính đượ ccủa một mẫu quan sát thành đặc tr ưng chung của tổng thể. Chính vì thể, để việc suy diễnđạt đượ c độ tin cậy cao ta cần tiến hành điều tra thu thậ p mẫu sao cho thật ngẫu nhiên và

đại diện đượ c.

Ví dụ 2. Điều tra về tỷ lệ ngườ i “hút thuốc lá” tại một thành phố TP. Ngườ i ta thăm dò

trên một mẫu gồm 1000 ngườ i đượ c chọn ngẫu nhiên theo các lứa tuổi khác nhau ở thành

phố này và nhận đượ c số liệu thống kê của số ngườ i có “hút thuốc lá” trong mẫu như

bảng sau

Phạm vi (tuổ i) ≤ 20 20 - 40 40 - 55 > 55

tần số (ngườ i) 75 105 95 45

Bảng 2. Thố ng kê phân bố theo lứ a tuổ i của ngườ i có hút thuố c lá trong

mẫ u đ iề u tra.

Khi đó ta tính đượ c tỷ lệ ngườ i có hút thuốc lá d ựa vào bảng số liệu trên là

f = .32,01000

320=

Nên có thể k ết luận: tỷ lệ ngườ i có hút thuốc lá của thành phố này là 32%.

Trong cả hai ví d ụ trên, chúng ta đã suy diễn các đặc tr ưng tính đượ c trên một

mẫu thành các đặc tr ưng của tổng thể. Cách làm này rõ ràng là chưa phù hợ p vì các giá tr ị đặc tr ưng mẫu có thể sẽ khác khi chúng ta thực hiện tính toán cho một mẫu số liệu mớ inhận đượ c từ tổng thể. Chính vì vậy trong thực tế ngườ i ta quan tâm đến phươ ng phápướ c lượ ng khoảng tin cậy thay vì ướ c lượ ng điểm như trên.

6.1.2. Ướ c lượ ng bằng khoảng tin cậy

Bài toán ướ c lượ ng khoảng tin cậy




(b) Trong thực tế, mức ý ngh ĩ a (còn gọi là xác suất sai lầm) do nhà thống kê

chọn tùy theo yêu cầu về tính chính xác của từng bài toán. Các mức ý ngh ĩ a thông

d ụng là

α= 10%, 5%, 1%,…

A. Khoảng tin cậy cho giá trị trung bình của tổng thể







vớ i hệ số tin cậy 95%.







Ví dụ 3. Tìm khoảng tin cậy cho thờ i gian trung bình mà hành khách chờ đợ i để lấy hành

lý của ví d ụ 1 Mục 6.1.1. Tươ ng tự như trên khoảng tin cậy đượ c cho bở i công thức

ta có

x = 10,84167; S2 = 18,5298 S = 4,30462; U0.025 = 1,96 (ứng mức ý

ngh ĩ a α = 5%). Từ đó k ết luận: thờ i gian trung bình một hành khách chờ đợ i để lấy hànhlý tại sân bay IAP là thuộc khoảng

(10,3546 phút; 11, 3288 phút)

vớ i hệ số tin cậy 95%.

Chú ý: Có thể phát biểu tươ ng đươ ng như sau: thờ i gian trung bình một hành khách chờ đợ i để lấy hành lý tại sân bay IAP là:

10,84167±

0,487114 (95%) (đv: phút)

B. Khoảng tin cậy cho tỷ lệ p (hoặc xác suất)

Điều kiện áp dụng




6.1.3. Kiểm định giả thiết thống kê
















6.2. Phân tích tươ ng quan và hồi quy




6.2.1. Hồi quy tuyến tính

và gọi là đườ ng hồi quy tuyến tính của Y theo X. Các hệ số của phươ ng trình hồi

quy này là các giá tr ị ướ c lượ ng tươ ng ứng cho các hệ số a, b của phươ ng trình (i),chúng đượ c tính từ mẫu quan sát theo công thức




6.2.2. Hệ số tươ ng quan mẫu




Ví dụ 2 Tính hệ số tươ ng quan mẫu trong Ví d ụ 1. Ta có









BμI tËp thùc hμnh thèng kª

Số liệu thố ng kê các năm: 1999 - 2000 - 2001 - 2002 - 2003 - 2004

CAO ĐẲNG VÀ ĐẠI HỌC - HIGHER EDUCATION

1999-2000 2000-2001 2001-2002 2002-2003 2003-2004

TRƯỜNG - INSTITUTION 153 178 191 202 214

Cao đẳng - College 84 104 114 121 127

Công lập - Public 79 99 108 115 119

Ngoài công lập - Non Public 5 5 6 6 8

Đại học - University 69 74 77 81 87

Công lập - Public 52 57 60 64 68

Ngoài công lập - Non Public17 17 17 17 19

SINH VIÊN - STUDENT 893754 918228 974119 1020667 1032440

Đầu trang - Top

Nữ - Female 387730 400963 431323 453359 472505

Dân tộc - Minority 2581 3242 4016 4537 6182

Cao đẳng - College 173912 186723 210863 215544 231107

Nữ - Female 85132 91457 103323 105690 115928

Dân tộc - Minority 1127 1817 2229 2613 2690

Công lập - Public 161793 171922 192466 194856 205639


Hệ dài hạn - Full time training 133236 148893 167476 166493 183551

Tại chức - In service training 11398 19819 24478 25504 285726

Hệ khác - Others training 29278 18011 18909 23547 14853

Học sinh tốt nghiệpGraduated student

30902 45757 47133 50197 55562

http://www.edu.net.vn/

http://www.edu.net.vn/data/thongke/dhcd.htm#top



http://www.edu.net.vn/





Nữ - Female 302598 309506 328000 347669 356577

Dân tộc - Minority 1454 1425 1787 1924 3492

Công lập - Public 624423 642041 680663 713955 689679

Ngoài công lập - Non Public 95419 89464 82593 91168 111654Hệ dài hạn - Full time training 376401 403568 411721 437903 470167

Hệ tại chức - In service training 205906 223837 251600 259396 285726

Hệ khác - Others training 137535 104100 99935 107824 45440

Sinh viên tốt nghiệpGraduated student

90791 117353 121804 113763 110110

GIẢNG VIÊN - TEACHER 30309 32205 35938 38608 39985

Đầu trang - Top

Nữ - Female 11493 12459 14107 15327 16315

Dân tộc - Minority 404 524 569 583 600

Chia ra - Of which:

Cao đẳng - College 7703 7843 10392 11215 11551

Nữ - Female 3796 3824 4897 5222 5635

Dân tộc - Minority 165 291 312 346 371

Phó giáo sư - Associate Prof 9 9 11 5 4

Giáo sư - Prof 4 4 3 20 23

Công lập - Public 7326 7364 9801 10652 10821

Ngoài công lập - Non Public 377 479 591 563 730Phân theo trình độ chuyên môn - Professional division

Tiến s ĩ - Doctor 93 109 158 190 182

Thạc s ĩ - Master 1325 1468 1960 2272 2509

Chuyên khoa I và IIProf. & disciplines

35 56 32 94 19

Đại học, cao đẳngUnivercity & College

5982 6083 7987 8346 8557

Trình độ khác - Others degree 268 152 255 313 284


Nữ - Female 7697 8635 9210 10105 10680

Dân tộc - Minority 239 233 257 237 229

Phó giáo sư - Associate Prof 1231 1131 1160 319 298

Giáo sư - Prof 338 310 303 1310 1385

Công lập - Public 19772 20325 21618 22695 24093






B μ i thùc tËp thèng kª 109


Phân theo trình độ chuyên môn - Professional division

Tiến s ĩ - Doctor 4378 4454 4812 5286 5179

Thạc s ĩ - Master 5477 6596 7583 8326 9210

Chuyên khoa I và IIProf. & disciplines 543 569 586 540 529

Đại học, cao đẳngUnivercity & College

11917 12422 12361 12893 13288

Trình độ khác - Others degree 291 321 204 348 228

Trung tâm Công nghệ thông tin - Bộ Giáo dục và Đào tạo ĐC: 18/30 Tạ Quang Bửu - Hà Nội; ĐT: 04 - 869.5718; Email: [email protected] © Center of Infomation Technology - Mimistry of Education and T ining, Vietnam ra

Yªu cÇu thùc hμnh:

1. Tr×nh bμy çc kh¸i niÖm: tæng thÓ thèng kª, ®¬n vÞ tæng thÓ, tiªu thøc thèng kª,çc chØ tiªu thèng kª cã mÆt trong çc ®èi t − îng ®− îc tæng hîp qua t μi liÖuthèng kª ë trªn.

2. H·y nªu vμ ph©n tÝch cô thÓ çc b¶ng ph©n bè thèng kª trong b¶ng d÷ liÖutæng hîp nμy.

3. Sö dông çc biÓu ®å thèng kª ®Ó m« t¶ t μi liÖu thèng kª ë trªn. Qua ®ã rót raçc nhËn ®Þnh cña b¹n liªn quan ®Õn vÊn ®Ò ®ang kh¶o s¸t nμy.

4. H·y nªu çc sè ®Æc tr− ng thèng kª b¹n thÊy cÇn thiÕt tæng hîp dùa vμo t μi liÖutrªn vμ thùc hiÖn tÝnh gi¸ trÞ cña chóng.

5. Qua çc b− íc tæng hîp d÷ liÖu thèng kª ë çc c©u trªn, h·y tiÕn hμnh b− ícph©n tÝch thèng kª cña riªng b¹n vÒ vÊn ®Ò nμy. Tr×nh bμy çc nhËn ®Þnh b¹n®óc kÕt ®− îc.

mailto:[email protected]






Phụ lụcBảng phân phối xác suất1

Bảng phân phối chuẩn hóa2

:

1 Trích từ tài liệu [6]

∫∞−

−− z z

dze 22

1 2

)2( π 2 G(z) = P(Z ≤ z) =



Phụ lục 111




112



Phụ lục 113




114



Phụ lục 115




116

Bảng phân phối Student3:

3 Các giá tr ị trong bảng là của t p, ở đây t là có phân phối student vớ i bậc tự do ν: p = P( t ≤ t p).



Tµi liÖu tham kh¶o

[1] Harald Cramer, Ph-¬ng ph¸p to¸n häc trong thèng kª, Nhµ xuÊt b¶n Khoa häc, 1969.

[2] Vincent Giard, Thèng kª øng dông trong qu¶n lý, (dÞch tõ b¶n tiÕng Ph¸p), Nhµ xuÊtb¶n Thanh Niªn, Hµ Néi, 1999.

[3] Ph¹m Xu©n KiÒu, Gi¸o tr×nh x¸c suÊt vµ thèng kª, Nhµ xuÊt b¶n Gi¸o dôc, 2005.

[4] §Æng Hïng Th¾ng, Më ®Çu vÒ lý thuyÕt x¸c suÊt vµ çc øng dông , Nhµ xuÊt b¶n Gi¸odôc, 1998.

[5] NguyÔn B¸c V¨n, X¸c suÊt vµ xö lý sè liÖu thèng kª, Nhµ xuÊt b¶n Gi¸o dôc, 1998.

[6] W. Feller, An introduction to Probability Theory and Its Applications, Vol. 1, WileyNewYork, 1957.

[7] Bernard Ostle, Statistics in Research, second edition, Arizona, 1972.

[8] S. Ross, Introduction to Probability Models, NewYork, 1980.

Documents

Xác suất - Thống kê (Bài giảng tóm tắt) - Đặng Phước Huy