Wybrane rozkłady zmiennych losowych

Podstawowe rozkłady zmiennej losowej skokowejPodstawowe rozkłady zmiennej losowej ciagłej

PODSTAWOWE ROZKŁADY ZMIENNYCHLOSOWYCH

Agnieszka Rossa

Agnieszka Rossa PODSTAWOWE ROZKŁADY ZMIENNYCH LOSOWYCH


Szkic wykładu

1 Podstawowe rozkłady zmiennej losowej skokowejWyszczególnienieRozkład dwupunktowyRozkład dwumianowyRozkład Poissona

2 Podstawowe rozkłady zmiennej losowej ciagłejWyszczególnienieRozkład jednostajnyRozkład normalnyRozkład chi-kwadratRozkład Studenta



WyszczególnienieRozkład dwupunktowyRozkład dwumianowyRozkład Poissona

Podstawowe rozkłady zmiennej losowej skokowej

W teorii rachunku prawdopodobienstwa najczesciejrozpatrywanymi rozkładami zmiennej losowej skokowej sa:

– rozkład dwupunktowy,

– rozkład dwumianowy,

– rozkład Poissona.




























Rozkład dwupunktowy

Mówimy, ze zmienne losowa X ma rozkład dwupunkto-wy, jesli moze przyjmowac jedynie dwie wartosci,oznaczone dalej umownie jako x1 oraz x2, z prawdopodo-bienstwami odpowiednio:

P(X = x1) = p, P(X = x2) = q,

przy czym p + q = 1.

W przypadku szczególnym, gdy x1 = 1, x2 = 0, mówimy,ze X ma rozkład zero-jedynkowy z parametrem p.

Parametr p nazywamy prawdopodobienstwem sukcesu.Gdy X ma rozkład zero-jedynkowy, wówczas:

E(X ) = p, D2(X ) = pq.






P(X = x1) = p, P(X = x2) = q,




E(X ) = p, D2(X ) = pq.






P(X = x1) = p, P(X = x2) = q,



Parametr p nazywamy prawdopodobienstwem sukcesu.

Gdy X ma rozkład zero-jedynkowy, wówczas:

E(X ) = p, D2(X ) = pq.






P(X = x1) = p, P(X = x2) = q,




E(X ) = p, D2(X ) = pq.




Przykładowy wykres funkcji prawdopodobienstwa rozkładuzero-jedynkowego

Na osi odcietych zaznaczone sa dwie realizacje zmiennejzero-jedynkowej, tj. 0 i 1, natomiast pionowe odcinki repre-zentuja prawdopodobienstwa wystapienia tych realizacji,tj. q = 1− p oraz p.

Copyright Giorgio Krenkel and Alex Sandri, GNU Free Documentation License, Low ResolutionAgnieszka Rossa PODSTAWOWE ROZKŁADY ZMIENNYCH LOSOWYCH



Rozkład dwumianowy

Mówimy, ze zmienna losowa X ma rozkład dwumianowyz parametrami n i p, jesli jej funkcja rozkładu prawdopodo-bienstwa wyraza sie wzorem:

P(X = x) =

(nx

)pxqn−x , dla x = 0,1, . . . ,n,

gdzie:n ∈ N, p ∈ (0,1), q = 1− p,p jest tzw. prawdopodobienstwem sukcesu,

(nx

)= n!

x!(n−x)! jest symbolem Newtona (wykrzyknik

oznacza silnie).

W rozkładzie dwumianowym:

E(X ) = np, D2(X ) = npq.




Rozkład dwumianowy


P(X = x) =

(nx

)pxqn−x , dla x = 0,1, . . . ,n,

gdzie:n ∈ N, p ∈ (0,1), q = 1− p,p jest tzw. prawdopodobienstwem sukcesu,(

nx

)= n!


oznacza silnie).


E(X ) = np, D2(X ) = npq.




Rozkład dwumianowy


P(X = x) =

(nx

)pxqn−x , dla x = 0,1, . . . ,n,

gdzie:n ∈ N, p ∈ (0,1), q = 1− p,p jest tzw. prawdopodobienstwem sukcesu,(

nx

)= n!


oznacza silnie).


E(X ) = np, D2(X ) = npq.Agnieszka Rossa PODSTAWOWE ROZKŁADY ZMIENNYCH LOSOWYCH



Rozkład dwumianowy – Uwagi

W przypadku zmiennej o rozkładzie dwumianowym zakła-da sie, ze mamy do czynienia z eksperymentem losowympolegajacym na wykonaniu ciagu tzw. doswiadczenBernoulliego.

Nazwa doswiadczen pochodzi od nazwiska trzeciego zeznanej rodziny matematyków – Jakuba Bernoulliego.Doswiadczenia Bernoulliego to ciag n identycznychdoswiadczen losowych, spełniajacych trzy warunki:

1. Sa dwa mozliwe wyniki kazdego doswiadczenia, nazywaneodpowiednio sukcesem i porazka.

2. Prawdopodobienstwo sukcesu, oznaczane symbolem p,jest w kazdym doswiadczeniu stałe.

3. Doswiadczenia sa niezalezne, co oznacza, ze wynik jedne-go doswiadczenia nie ma wpływu na wyniki pozostałychdoswiadczen.





W przypadku zmiennej o rozkładzie dwumianowym zakła-da sie, ze mamy do czynienia z eksperymentem losowympolegajacym na wykonaniu ciagu tzw. doswiadczenBernoulliego.Nazwa doswiadczen pochodzi od nazwiska trzeciego zeznanej rodziny matematyków – Jakuba Bernoulliego.

Doswiadczenia Bernoulliego to ciag n identycznychdoswiadczen losowych, spełniajacych trzy warunki:








W przypadku zmiennej o rozkładzie dwumianowym zakła-da sie, ze mamy do czynienia z eksperymentem losowympolegajacym na wykonaniu ciagu tzw. doswiadczenBernoulliego.Nazwa doswiadczen pochodzi od nazwiska trzeciego zeznanej rodziny matematyków – Jakuba Bernoulliego.Doswiadczenia Bernoulliego to ciag n identycznychdoswiadczen losowych, spełniajacych trzy warunki:























Przykład zastosowan rozkładu dwumianowego

Przykład.Przypuscmy, ze pewna fabryka produkuje pralki, wsródktórych 5% to pralki wadliwe.

Z partii produkcji wybrano losowo, ze zwracaniem 20pralek i poddano je szczegółowej kontroli jakosci.

Jakie jest prawdopodobienstwo, ze w wybranej próbiepralek:

1. dokładnie dwie pralki sa wybrakowane,2. co najwyzej dwie pralki maja wady,3. zadna pralka nie jest wadliwa.

Jaka jest oczekiwana liczba pralek wadliwych w losowejpróbie 20 pralek?





Przykład.Przypuscmy, ze pewna fabryka produkuje pralki, wsródktórych 5% to pralki wadliwe.Z partii produkcji wybrano losowo, ze zwracaniem 20pralek i poddano je szczegółowej kontroli jakosci.










1. dokładnie dwie pralki sa wybrakowane,

2. co najwyzej dwie pralki maja wady,3. zadna pralka nie jest wadliwa.








1. dokładnie dwie pralki sa wybrakowane,2. co najwyzej dwie pralki maja wady,

3. zadna pralka nie jest wadliwa.






















Rozwiazanie.Zauwazymy, ze wybór pralek do kontroli jakosci jest losowyi niezalezny. Ponadto, prawdopodobienstwo wylosowaniawadliwej pralki jest w kazdym losowaniu takie samo, równep = 0,05, natomiast liczba losowan wynosi n = 20.

Opisany eksperyment spełnia warunki doswiadczenBernoulliego, w których ”sukcesem” jest wylosowaniewadliwej pralki.

Liczba wybrakowanych pralek (tj. liczba sukcesów)w próbie 20 sztuk jest zatem zmienna losowa (oznaczmyja przez X ) o rozkładzie dwumianowym z parametramin=20,p=0,05.



















Rozwiazanie – c.d.Ad.1. Prawdopodobienstwo, ze dokładnie dwie pralkiw wylosowanej próbie 20 sztuk sa wadliwe wynosi:

P(X=2)=

(202

)(0,05)2(0,95)18=

20!

2!18!(0,05)2(0,95)18≈0,189.

Ad.2. Prawdopodobienstwo, ze co najwyzej dwie pralkiw próbie 20 sztuk sa wadliwe wynosi:

P(X ≤ 2) = P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2) =

=

(200

)(0,05)0(0,95)20 +

(201

)(0,05)1(0,95)19+

+

(202

)(0,05)2(0,95)18 ≈ 0,925.





Rozwiazanie – c.d.Ad.1. Prawdopodobienstwo, ze dokładnie dwie pralkiw wylosowanej próbie 20 sztuk sa wadliwe wynosi:

P(X=2)=

(202

)(0,05)2(0,95)18=

20!

2!18!(0,05)2(0,95)18≈0,189.

Ad.2. Prawdopodobienstwo, ze co najwyzej dwie pralkiw próbie 20 sztuk sa wadliwe wynosi:

P(X ≤ 2) = P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2) =

=

(200

)(0,05)0(0,95)20 +

(201

)(0,05)1(0,95)19+

+

(202

)(0,05)2(0,95)18 ≈ 0,925.





Rozwiazanie – c.d.

Ad.3. Prawdopodobienstwo, ze w próbie nie bedziewadliwych pralek, wynosi:

P(X = 0) =

(200

)(0,05)0(0,95)20 ≈ 0,358.

Oczekiwana liczba wybrakowanych pralek w 20-elemen-towej próbie jest równa:

E(X ) = np = 20 · 0,05 = 1.

Uzyskany wynik mozna interpretowac nastepujaco.Srednia liczba wadliwych pralek przypadajacych na kazda20-elementowa próbe (tj. próbe, która potencjalnie moznawylosowac) wynosi 1.







P(X = 0) =

(200

)(0,05)0(0,95)20 ≈ 0,358.


E(X ) = np = 20 · 0,05 = 1.








P(X = 0) =

(200

)(0,05)0(0,95)20 ≈ 0,358.


E(X ) = np = 20 · 0,05 = 1.





Przykładowy wykres funkcji prawdopodobienstwa rozkładudwumianowego

Objasnienia do wykresu – analogiczne, jak w przypadku wykresu rozkładu zero-jedynkowego.





Copyright Giorgio Krenkel and Alex Sandri, GNU Free Documentation License, Low Resolution














Rozkład Poissona

Mówimy, ze zmienna X ma rozkład Poissona z para-metrem λ > 0, jesli jej funkcja rozkładu prawdopodo-bienstwa wyraza sie wzorem:

P(X = x) =λx

x!e−x , dla x = 0,1,2, . . . .

Rozkład Poissona jest rozkładem granicznym rozkładudwumianowego, tzn. jesli w rozkładzie dwumianowymn→∞ i jednoczesnie p → 0 w taki sposób, ze np = const,to prawdopodobienstwo P(X = x) mozna wyznaczacz powyzszego wzoru, przyjmujac λ = np.W rozkładzie Poissona:

E(X ) = λ, D2(X ) = λ.




Rozkład Poissona


P(X = x) =λx

x!e−x , dla x = 0,1,2, . . . .

Rozkład Poissona jest rozkładem granicznym rozkładudwumianowego, tzn. jesli w rozkładzie dwumianowymn→∞ i jednoczesnie p → 0 w taki sposób, ze np = const,to prawdopodobienstwo P(X = x) mozna wyznaczacz powyzszego wzoru, przyjmujac λ = np.

W rozkładzie Poissona:

E(X ) = λ, D2(X ) = λ.




Rozkład Poissona


P(X = x) =λx

x!e−x , dla x = 0,1,2, . . . .

Rozkład Poissona jest rozkładem granicznym rozkładudwumianowego, tzn. jesli w rozkładzie dwumianowymn→∞ i jednoczesnie p → 0 w taki sposób, ze np = const,to prawdopodobienstwo P(X = x) mozna wyznaczacz powyzszego wzoru, przyjmujac λ = np.W rozkładzie Poissona:

E(X ) = λ, D2(X ) = λ.




Aproksymacja rozkładu dwumianowego rozkładem PoissonaWykresy funkcji prawdopodobienstwa rozkładu dwumianowego z parametramin = 100, p = 0, 01 i rozkładu Poissona z parametrem λ = np = 1

Uwaga: Na wykresie przedstawiono prawdopodobienstwa dla x = 0, 1, . . . , 20, z pominieciem pozostałychmozliwych realizacji x = 21, . . . , 100, ze wzgledu na prawdopodobienstwa bliskie 0. Zauwazymy, ze praw-dopodobienstwa wyznaczone z rozkładu Poissona w tym przypadku dobrze przyblizaja prawdopodobienstwa zrozkładu dwumianowego.




WyszczególnienieRozkład jednostajnyRozkład normalnyRozkład chi-kwadratRozkład Studenta

Podstawowe rozkłady zmiennej losowej ciagłej

Do podstawowych rozkładów zmiennej losowej ciagłejzaliczamy:

– rozkład jednostajny,

- rozkład normalny,

- rozkład chi-kwadrat,

- rozkład Studenta.








































Rozkład jednostajny

Mówimy, ze zmiennej losowa ciagła X ma rozkład jed-nostajny na przedziale [a,b], jesli jej funkcja gestosciwyraza sie wzorem:

f (x) =

1

b−a , dla x ∈ [a,b],

0, dla pozostałych x .

W rozkładzie jednostajnym:

E(X ) =b − a

2, D2(X ) =

112

(b − a)2.




Rozkład jednostajny

Mówimy, ze zmiennej losowa ciagła X ma rozkład jed-nostajny na przedziale [a,b], jesli jej funkcja gestosciwyraza sie wzorem:

f (x) =

1

b−a , dla x ∈ [a,b],

0, dla pozostałych x .

W rozkładzie jednostajnym:

E(X ) =b − a

2, D2(X ) =

112

(b − a)2.




Przykładowy wykres funkcji gestosci rozkładu jednostajnego




Rozkład normalny

Mówimy, ze zmienna losowa ciagła X ma rozkładnormalny z parametrami µ i σ, jesli jej funkcja gestosciwyraza sie wzorem:

f (x) =1

σ√

2πe−

(x−µ)2

2σ2 dla x ∈ R,

gdzie: µ, σ sa dowolnymi parametrami liczbowymi, takimize µ ∈ R i σ > 0.

W rozkładzie normalnym: E(X ) = µ, D2(X ) = σ2.

Jesli zmienna losowa X ma rozkład normalny, wówczasmówimy, ze jest normalna zmienna losowa.Jej rozkład oznaczamy w skrócie symbolem N(µ, σ).




Rozkład normalny


f (x) =1

σ√

2πe−

(x−µ)2

2σ2 dla x ∈ R,

gdzie: µ, σ sa dowolnymi parametrami liczbowymi, takimize µ ∈ R i σ > 0.W rozkładzie normalnym: E(X ) = µ, D2(X ) = σ2.





Rozkład normalny


f (x) =1

σ√

2πe−

(x−µ)2

2σ2 dla x ∈ R,


Jesli zmienna losowa X ma rozkład normalny, wówczasmówimy, ze jest normalna zmienna losowa.

Jej rozkład oznaczamy w skrócie symbolem N(µ, σ).




Rozkład normalny


f (x) =1

σ√

2πe−

(x−µ)2

2σ2 dla x ∈ R,






Przykładowy wykres funkcji gestosci rozkładu normalnego




Przykładowy wykres funkcji gestosci rozkładu normalnego




Przykładowe wykresy funkcji gestosci rozkładu normalnego




Przykładowe wykresy funkcji gestosci rozkładu normalnego





Własnosci funkcji gestosci rozkładu normalnego

Funkcja gestosci przyjmuje zawsze wartosci nieujemne,a całkowite pole pod krzywa gestosci jest równe 1 (sa towłasnosci funkcji gestosci dowolnej zmiennej ciagłej).

Wartosc E(X ) = µ okresla wartosc przecietna zmiennej X .Krzywa gestosci normalnej zmiennej losowej X jestsymetryczna wzgledem prostej prostopadłej przechodza-cej przez punkt x = µ. Z tego wynika, ze pola pod krzywagestosci na lewo i na prawo od punktu µ sa równe 1

2 .Interpretacje ostatniej własnosci oprzemy na przykładzie.Załózmy, ze iloraz inteligencji w populacji dorosłej czesciludzkosci ma rozkład zblizony do normalnego ze sredniaµ = 100. Z tego wynika, ze połowa ludzkosci jest madrzej-sza od osoby przecietnie madrej (czego nie moznapowiedziec o drugiej połowie).





Funkcja gestosci przyjmuje zawsze wartosci nieujemne,a całkowite pole pod krzywa gestosci jest równe 1 (sa towłasnosci funkcji gestosci dowolnej zmiennej ciagłej).Wartosc E(X ) = µ okresla wartosc przecietna zmiennej X .

Krzywa gestosci normalnej zmiennej losowej X jestsymetryczna wzgledem prostej prostopadłej przechodza-cej przez punkt x = µ. Z tego wynika, ze pola pod krzywagestosci na lewo i na prawo od punktu µ sa równe 1






Funkcja gestosci przyjmuje zawsze wartosci nieujemne,a całkowite pole pod krzywa gestosci jest równe 1 (sa towłasnosci funkcji gestosci dowolnej zmiennej ciagłej).Wartosc E(X ) = µ okresla wartosc przecietna zmiennej X .Krzywa gestosci normalnej zmiennej losowej X jestsymetryczna wzgledem prostej prostopadłej przechodza-cej przez punkt x = µ. Z tego wynika, ze pola pod krzywagestosci na lewo i na prawo od punktu µ sa równe 1

2 .

Interpretacje ostatniej własnosci oprzemy na przykładzie.Załózmy, ze iloraz inteligencji w populacji dorosłej czesciludzkosci ma rozkład zblizony do normalnego ze sredniaµ = 100. Z tego wynika, ze połowa ludzkosci jest madrzej-sza od osoby przecietnie madrej (czego nie moznapowiedziec o drugiej połowie).





Funkcja gestosci przyjmuje zawsze wartosci nieujemne,a całkowite pole pod krzywa gestosci jest równe 1 (sa towłasnosci funkcji gestosci dowolnej zmiennej ciagłej).Wartosc E(X ) = µ okresla wartosc przecietna zmiennej X .Krzywa gestosci normalnej zmiennej losowej X jestsymetryczna wzgledem prostej prostopadłej przechodza-cej przez punkt x = µ. Z tego wynika, ze pola pod krzywagestosci na lewo i na prawo od punktu µ sa równe 1





Rozkład normalny – przykładZałózmy, ze na koniec kazdego miesiaca obserwujemy stope zwrotu z akcji XYZ.Na podstawie 12 danych zebranych w ciagu roku rysujemy histogram rozkładu.




Rozkład normalny – c.d. przykładuTen sam histogram z licznosciami wzglednymi na osi rzednych. Krzywa reprezen-tuje tu funkcje gestosci rozkładu normalnego z wartosciami parametrów µ i σrównymi odpowiednio sredniej i odchyleniu standardowemu stóp zwrotu w bada-nym zbiorze. Dopasowanie krzywej rozkładu normalnego jest bardzo słabe.




Rozkład normalny – c.d. przykładuGdyby obserwacje stóp zwrotu prowadzic np. w połowie kazdego miesiaca,wówczas zebrane wyniki byłyby inne. Ponizej przykładowy histogram.




Rozkład normalny – c.d. przykładuTen sam histogram z licznosciami wzglednymi na osi rzednych. Dopasowaniekrzywej rozkładu normalnego nadal słabe.





Rozkład normalny – c.d. przykładuPrzypuscmy teraz, ze obserwacji stóp zwrotu dokonujemy z wieksza czestotli-woscia, np. w wybranym dniu kazdego tygodnia. Otrzymamy wieksza liczbedanych. Ponizej przykładowy histogram dla kilkudziesieciu obserwacji.




Rozkład normalny – c.d. przykładuTen sam histogram z licznosciami wzglednymi na osi rzednych.Dopasowanie krzywej rozkładu normalnego nieco lepsze.





Rozkład normalny – c.d. przykładuJesli obserwacje przeprowadzac bedziemy w innym dniu tygodnia, wówczasuzyskamy inny zbiór danych. Ponizej – przykładowy histogram.





Rozkład normalny – c.d. przykładuTen sam histogram z licznosciami wzglednymi na osi rzednych oraz krzywagestosci rozkładu normalnego.





Rozkład normalny – c.d. przykładuProwadzac obserwacje z bardzo duza czestotliwoscia, np. kilka razy dziennieprzez cały rok, zbierzemy kilkaset lub nawet kila tysiecy wyników obserwacji.Ponizej – ich przykładowy histogram.




Rozkład normalny – c.d. przykładuTen sam histogram z licznosciami wzglednymi na osi rzednych. W tym przy-padku dopasowanie krzywej gestosci rozkładu normalnego jest wyrazne.





Wnioski z przykładu

Jesli rozkład liczebnosci wzglednych jest dobrze repre-zentowany przez funkcje gestosci rozkładu normalnego,wówczas mówimy, ze cecha ma rozkład normalny (lubzblizony do normalnego).

Krzywa gestosci aproksymuje rozkład czestosci wzgled-nych cechy normalnej w przypadku, gdy wartosci tej cechyrejestrujemy z duza czestotliwoscia (jak w przedstawionymprzykładzie) lub w duzej zbiorowosci jednostek.

Nie kazda cecha ciagła ma rozkład normalny. Istniejatakze inne mozliwe rozkłady zmiennych ciagłych – zob.nastepny slajd.


















Przykład innego rozkładuKrzywa gestosci rozkładu z prawostronna asymetria





Rozkład normalny standaryzowany

Rozkład normalny z parametrami µ = 0, σ = 1 nazywamyrozkładem normalnym standaryzowanym (lub zamiennie– standardowym) i oznaczamy w skrócie N(0,1) .

Zmienna o takim rozkładzie oznaczac bedziemy dalej (dlaodróznienia) przez U, natomiast funkcje gestosci i dystry-buante tej zmiennej – symbolami odpowiednio φ(x) i Φ(x).

Zauwazymy, ze gestosc zmiennej U ma postac:

φ(x) =1√2π

e−x22 dla x ∈ R.

W odniesieniu do dystrybuanty rozkładu N(0,1) prawdziwajest nastepujaca równosc: Φ(−x) = 1− Φ(x).








φ(x) =1√2π










φ(x) =1√2π










φ(x) =1√2π






Wykres funkcji gestosci rozkładu normalnego standaryzowanego




Obliczanie prawdopodobienstw w rozkładzie normalnymstandaryzowanym

Prawdopodobienstwo, ze ciagła zmienna losowa przyjmiewartosc z zadanego przedziału liczbowego, reprezentowa-ne jest przez pole pod jej krzywa gestosci w badanymprzedziale, przy czym całkowite pole pod krzywa wynosi 1.

Załózmy, ze U ma rozkład N(0,1). Chcemy obliczyc dys-trybuante Φ(x) = P(U < x), gdzie x – zadana wartosc.Prawdopodobienstwo to jest równe polu pod krzywa ges-tosci rozkładu N(0,1) na przedziale (−∞, x). Obliczenietakiego pola ”na piechote” jest jednak stosunkowo trudne.W celu znalezienia Φ(x) = P(U < x) korzysta sie czestoz tablic statystycznych, zawierajacych obliczone prawdo-podobienstwa dla róznych x – zob. nastepny slajd.





Prawdopodobienstwo, ze ciagła zmienna losowa przyjmiewartosc z zadanego przedziału liczbowego, reprezentowa-ne jest przez pole pod jej krzywa gestosci w badanymprzedziale, przy czym całkowite pole pod krzywa wynosi 1.Załózmy, ze U ma rozkład N(0,1). Chcemy obliczyc dys-trybuante Φ(x) = P(U < x), gdzie x – zadana wartosc.

Prawdopodobienstwo to jest równe polu pod krzywa ges-tosci rozkładu N(0,1) na przedziale (−∞, x). Obliczenietakiego pola ”na piechote” jest jednak stosunkowo trudne.W celu znalezienia Φ(x) = P(U < x) korzysta sie czestoz tablic statystycznych, zawierajacych obliczone prawdo-podobienstwa dla róznych x – zob. nastepny slajd.





Prawdopodobienstwo, ze ciagła zmienna losowa przyjmiewartosc z zadanego przedziału liczbowego, reprezentowa-ne jest przez pole pod jej krzywa gestosci w badanymprzedziale, przy czym całkowite pole pod krzywa wynosi 1.Załózmy, ze U ma rozkład N(0,1). Chcemy obliczyc dys-trybuante Φ(x) = P(U < x), gdzie x – zadana wartosc.Prawdopodobienstwo to jest równe polu pod krzywa ges-tosci rozkładu N(0,1) na przedziale (−∞, x). Obliczenietakiego pola ”na piechote” jest jednak stosunkowo trudne.

W celu znalezienia Φ(x) = P(U < x) korzysta sie czestoz tablic statystycznych, zawierajacych obliczone prawdo-podobienstwa dla róznych x – zob. nastepny slajd.





Prawdopodobienstwo, ze ciagła zmienna losowa przyjmiewartosc z zadanego przedziału liczbowego, reprezentowa-ne jest przez pole pod jej krzywa gestosci w badanymprzedziale, przy czym całkowite pole pod krzywa wynosi 1.Załózmy, ze U ma rozkład N(0,1). Chcemy obliczyc dys-trybuante Φ(x) = P(U < x), gdzie x – zadana wartosc.Prawdopodobienstwo to jest równe polu pod krzywa ges-tosci rozkładu N(0,1) na przedziale (−∞, x). Obliczenietakiego pola ”na piechote” jest jednak stosunkowo trudne.W celu znalezienia Φ(x) = P(U < x) korzysta sie czestoz tablic statystycznych, zawierajacych obliczone prawdo-podobienstwa dla róznych x – zob. nastepny slajd.




Fragment tablicy rozkładu normalnego standaryzowanego





Prawdopodobienstwo P(U < x) w rozkładzie N(0,1)

Np. dla x = 1, 37 mamy bezposrednio z tablicy: P(U<1, 37)=0, 9147




Prawdopodobienstwo P(U ≥ x) w rozkładzie N(0,1)

Dla x = 1, 37 mamy: P(U≥1, 37)= 1− P(U < 1, 37) = 1−0, 9147 = 0, 0853




Prawdopodobienstwo P(|U| < x) w rozkładzie N(0,1)

P(|U| < 1, 37) = P(−1, 37 < U < 1, 37) =P(U<1, 37)−P(U<−1, 37)=

=Φ(1, 37)−Φ(−1, 37)=Φ(1, 37)−(1−Φ(1, 37))=0, 9147−(1−0, 9147)=0, 8294




Reguła 3 sigm w rozkładzie N(0,1)

P(|U| < 3 · σ) = P(|U| < 3) = P(−3 < U < 3) =P(U<3)−P(U<−3)=

=Φ(3)−Φ(−3)=Φ(3)−(1−Φ(3))=0, 9987−(1−0, 9987)=0, 9974




Prawdopodobienstwo P(x < U < y) w rozkładzie N(0,1)

Obliczymy prawdopodobienstwo P(x < U < y) dla zadanych wartosci x , y .Niech x = 0, y = 1, 43. Mamy wówczas:P(0 < U < 1, 43) =P(U<1, 43)−P(U<0)=Φ(1, 43)−Φ(0)=0, 9236−0, 5=0, 4236.




Obliczanie kwantyli w rozkładzie normalnym standaryzowanym

1. Na podstawie tablic rozkładu normalnego standaryzowa-nego mozemy takze łatwo odczytac, dla jakiego u zacho-dzi równosc:

p = P(U < u),

gdzie p jest zadana liczba z przedziału (0,1).

2. Punkt u spełniajacy powyzsza równosc nazywamy kwan-tylem rozkładu normalnego standaryzowanego rzedu p.

3. Przykładowo, znajdziemy kwantyl rzedu 0,9 dla rozkładunormalnego standaryzowanego.

4. Z definicji, jest to taka wartosc u, dla której P(U<u)=0,9.Na podstawie danych w tablicy wnioskujemy, iz szukanykwantyl jest równy: u ≈ 1,28.






p = P(U < u),










p = P(U < u),










p = P(U < u),








Ilustracja graficznaRównosc P(U<u)=0, 9 zachodzi dla u ≈ 1, 28.




Wyznaczanie kwantyli dla rozkładu N(0,1) – c.d.

Znajdziemy, jakiego rzedu jest kwantyl u rozkładu N(0,1),spełniajacy równosc: P(|U|<u)=1− α dla zadanegoα = 0,05. Nastepnie znajdziemy ten kwantyl.Mamy:

1− α =P(|U|<u) =P(U<u)−P(U<−u)=

=P(U<u)−(1− P(U<u)) = 2P(U<u)−1.

Oznaczajac p = P(U<u), otrzymujemy:

2p − 1 = 1− α, stad p = 1− α

2.

Wynika z tego, ze u jest kwantylem rzedu:

p = 1− α

2= 1− 0,05

2= 0,975.

Na podstawie tablicy otrzymujemy natychmiast: u ≈ 1,96.Agnieszka Rossa PODSTAWOWE ROZKŁADY ZMIENNYCH LOSOWYCH



Prawdopodobienstwa w dowolnym rozkładzie normalnym N(µ, σ)

Jesli zmienna losowa X ma rozkład normalny N(µ, σ)o wartosciach parametrów µ i σ innych niz 0 i 1, wówczasobliczanie odpowiednich prawdopodobienstw z wyko-rzystaniem dostepnych tablic statystycznych wymagazastosowania tzw. twierdzenia o standaryzacji.

Tw. o standaryzacji: Jesli zmienna losowa X ma rozkładN(µ, σ), to zmienna losowa: U = X−µ

σ ma rozkład normal-ny standaryzowany N(0,1).

W ramach ilustracji, obliczymy prawdopodobienstwoF (8) = P(X < 8), zakładajac, ze X ma rozkład N(10; 2).

F (8) = P(X <8)=P(X−102 < 8−10

2 )=P(U<−1)= Φ(−1) =1− Φ(1) = 0,8413.









F (8) = P(X <8)=P(X−102 < 8−10

2 )=P(U<−1)= Φ(−1) =1− Φ(1) = 0,8413.









F (8) = P(X <8)=P(X−102 < 8−10

2 )=P(U<−1)= Φ(−1) =1− Φ(1) = 0,8413.









F (8) = P(X <8)=P(X−102 < 8−10

2 )=P(U<−1)= Φ(−1) =1− Φ(1) = 0,8413.




Ilustracja graficznaPrawdopodobienstwo F (8) = P(X < 8) w rozkładzie N(10, 2)




Zmienna X po standaryzacji X−102 ma rozkład N(0,1)

Zaznaczone pola sa równe




Przykład zastosowania

Przykład. Wiadomo, ze zysk (w zł) z pewnego przed-siewziecia ma rozkład normalny N(80,45).

Obliczyc prawdopodobienstwo, ze inwestujac w daneprzedsiewziecie, poniesiemy strate.

Rozwiazanie. Zysk z przedsiewziecia jest zmiennalosowa. Oznaczmy ja symbolem X . Prawdopodobienstwo,ze inwestor poniesie strate oznacza prawdopodobienstwo,ze zysk bedzie ujemny.Skorzystamy z tw. o standaryzacji i tablic statystycznych:

P(X <0)=P(

X−8045

<0− 80

45

)=P(U<−1,78)=

=Φ(−1,78)=1−Φ(1,78)=1−0,9625=0,0375.








P(X <0)=P(

X−8045

<0− 80

45

)=P(U<−1,78)=

=Φ(−1,78)=1−Φ(1,78)=1−0,9625=0,0375.







Rozwiazanie. Zysk z przedsiewziecia jest zmiennalosowa. Oznaczmy ja symbolem X . Prawdopodobienstwo,ze inwestor poniesie strate oznacza prawdopodobienstwo,ze zysk bedzie ujemny.

Skorzystamy z tw. o standaryzacji i tablic statystycznych:

P(X <0)=P(

X−8045

<0− 80

45

)=P(U<−1,78)=

=Φ(−1,78)=1−Φ(1,78)=1−0,9625=0,0375.








P(X <0)=P(

X−8045

<0− 80

45

)=P(U<−1,78)=

=Φ(−1,78)=1−Φ(1,78)=1−0,9625=0,0375.




Rozkład chi-kwadrat

Mówimy, ze zmienna losowa Z ma rozkład chi-kwadrat o kstopniach swobody, jesli jest suma kwadratów k niezalez-nych zmiennych losowych o rozkładzie normalnymstandaryzowanym, czyli:

Z =k∑

i=1

U2i ,

gdzie U1,U2, . . . ,Uk sa niezaleznymi zmiennymi loso-wymi, kazda o rozkładzie N(0,1).

W rozkładzie chi-kwadrat: E(Z ) = k , D2(Z ) = 2k .Rozkłady chi-kwadrat (podobnie, jak dalej przedstawionerozkłady Studenta) sa czesto wykorzystywane w proce-durach wnioskowania statystycznego.




Rozkład chi-kwadrat

Mówimy, ze zmienna losowa Z ma rozkład chi-kwadrat o kstopniach swobody, jesli jest suma kwadratów k niezalez-nych zmiennych losowych o rozkładzie normalnymstandaryzowanym, czyli:

Z =k∑

i=1

U2i ,

gdzie U1,U2, . . . ,Uk sa niezaleznymi zmiennymi loso-wymi, kazda o rozkładzie N(0,1).W rozkładzie chi-kwadrat: E(Z ) = k , D2(Z ) = 2k .Rozkłady chi-kwadrat (podobnie, jak dalej przedstawionerozkłady Studenta) sa czesto wykorzystywane w proce-durach wnioskowania statystycznego.




Przykładowe wykresy funkcji gestosci rozkładu chi-kwadrat




Rozkład Studenta

Mówimy, ze zmienna losowa t ma rozkład Studenta o kstopniach swobody, jesli okreslona wzorem:

t =U√Z

√k ,

gdzie U i Z sa niezaleznymi zmiennymi losowymi, przyczym U ma rozkład N(0,1), natomiast Z – rozkładchi-kwadrat o k stopniach swobody.

Rozkłady tego typu po raz pierwszy wyprowadził WilliamGosset (przełom XVIII i XIX wieku) publikujacy podpseudonimem Student. Stad wywodzi sie ich nazwa.Zmienna losowa jest tu oznaczana wyjatkowo mała litera t(od ostatniej litery nazwiska autora).W rozkładzie Studenta: E(t) = 0, D2(t) = k

k−2 , o ile k > 2.




Rozkład Studenta


t =U√Z

√k ,

gdzie U i Z sa niezaleznymi zmiennymi losowymi, przyczym U ma rozkład N(0,1), natomiast Z – rozkładchi-kwadrat o k stopniach swobody.Rozkłady tego typu po raz pierwszy wyprowadził WilliamGosset (przełom XVIII i XIX wieku) publikujacy podpseudonimem Student. Stad wywodzi sie ich nazwa.Zmienna losowa jest tu oznaczana wyjatkowo mała litera t(od ostatniej litery nazwiska autora).

W rozkładzie Studenta: E(t) = 0, D2(t) = kk−2 , o ile k > 2.




Rozkład Studenta


t =U√Z

√k ,

gdzie U i Z sa niezaleznymi zmiennymi losowymi, przyczym U ma rozkład N(0,1), natomiast Z – rozkładchi-kwadrat o k stopniach swobody.Rozkłady tego typu po raz pierwszy wyprowadził WilliamGosset (przełom XVIII i XIX wieku) publikujacy podpseudonimem Student. Stad wywodzi sie ich nazwa.Zmienna losowa jest tu oznaczana wyjatkowo mała litera t(od ostatniej litery nazwiska autora).W rozkładzie Studenta: E(t) = 0, D2(t) = k

k−2 , o ile k > 2.




Przykładowe wykresy funkcji gestosci rozkładu Studenta



Documents

Wybrane rozkłady zmiennych losowych