PODSTAWOWEROZKŁADY

PRAWDOPODOBIEŃSTWA

Piotr Wiącek

ROZKŁAD PRAWDOPODOBIEŃSTWA

Jest to miara probabilistyczna określona na σ-ciele podzbiorów borelowskich pewnej przestrzeni metrycznej.

σ-ciało podzbiorów borelowskich to klasa podzbiorów pewnej przestrzeni topologicznej, które można uzyskać za pomocą przeliczalnych sum i przekrojów zbiorów domkniętych tej przestrzeni.

Rozkład prawdopodobieństwa określa prawdopodobieństwo przyjęcia każdej możliwej wartości przez zmienną losową (jeśli jest ona dyskretna), lub jej prawdopodobieństwo znalezienia się w konkretnym przedziale (jeśli jest ciągła).

DYSTRYBUANTA

Jeśli zmienna losowa przyjmuje wartości z przedziału liczb rzeczywistych, wówczas rozkład prawdopodobieństwa możemy jednoznacznie opisać przez dystrybuantę.

Niech P będzie rozkładem prawdopodobieństwa na zbiorze liczb rzeczywistych. Wówczas dystrybuantą nazywamy funkcję F:R→R daną wzorem:

F(t)=P((-∞;t])

DYSKRETNY ROZKŁAD PRAWDOPODOBIEŃSTWA

Mówimy że rozkład prawdopodobieństwa jest dyskretny, jeżeli zbiór wartości przyjmowanych przez zmienną losową z niezerowym prawdopodobieństwem jest skończony lub przeliczalny.

CIĄGŁY ROZKŁAD PRAWDOPODOBIEŃSTWA

Mówimy że rozkład prawdopodobieństwa jest ciągły, jeżeli jego dystrybuanta jest funkcją ciągłą.

W węższym sensie, rozkład prawdopodobieństwa nazywamy (bezwzględnie) ciągłym jeśli posiada on funkcję gęstości.

FUNKCJA GĘSTOŚCI PRAWDOPODOBIEŃSTWA

Niech P będzie rozkładem prawdopodobieństwa na R. Wówczas gęstością prawdopodobieństwa nazywamy taką nieujemną funkcję f(x) całkowalną w sensie Lebesgue'a, że dla każdego zbioru borelowskiego

Stąd wniosek, że:

B⊆R

P B=∫B

f x dx

F x =∫−∞

x

f udu

FUNKCJA MASY PRAWDOPODOBIEŃSTWA

Niech X będzie dyskretną zmienną losową. Wówczas funkcję masy prawdopodobieństwa definiujemy jako

fX(x)=P(X=x)

ROZKŁAD ZERO-JEDYNKOWY

Rozkład ten określa sytuację, gdy dane zdarzenie może z określonym prawdopodobieństwem zakończyć się sukcesem lub porażką.

masa prawdopodobieństwa:p dla k=1, 0<p<11-p dla k=00 w pozostałych wypadkach

dystrybuanta:0 dla k<01-p dla 0≤k<11 dla k≥1

wartość oczekiwana: pwariancja: p(1-p)

ROZKŁAD JEDNOSTAJNY DYSKRETNY

Rozkład, w którym prawdopodobieństwo każdego z n zdarzeń jest jednakowe.

masa prawdopodobieństwa:1/n dla a≤k≤b, kєZ0 w przeciwnym wypadku

dystrybuanta:0 dla k<a

dla a≤k≤b

1 dla k≥b

k−a1n

ab2

ab2wartość oczekiwana:

mediana:

ROZKŁAD JEDNOSTAJNY DYSKRETNY

masa prawdopodobieństwa dystrybuanta

ROZKŁAD DWUMIANOWY (BERNOULLIEGO)

Rozkład opisujący liczbę sukcesów dla n niezależnych prób.

masa prawdopodobieństwa:

dystrybuanta:

nk pk 1−pn− k

n−k nk ∫0

1−p

tn−k−11−t k dt

wartość oczekiwana: npmediana: [np]wariancja: np(1−p)

ROZKŁAD DWUMIANOWY (BERNOULLIEGO)

masa prawdopodobieństwa dystrybuanta

ROZKŁAD GEOMETRYCZNY

Rozkład opisujący prawdopodobieństwo, że proces Bernoulliego pierwszy sukces odniesie w k-tej próbie.

masa prawdopodobieństwa:

dystrybuanta:

1− pk−1 p

1−1− pk

wartość oczekiwana: 1/p

mediana:

wariancja:

[−log 2

log 1−p]

1−pp2

ROZKŁAD GEOMETRYCZNY

masa prawdopodobieństwa dystrybuanta

ROZKŁAD POISSONA

Rozkład wyrażający prawdopodobieństwo liczbę wystąpienia danego zdarzenia w danym czasie, o ile znana jest średnia częstotliwość tych zdarzeń i są one od siebie niezależne.

masa prawdopodobieństwa:

dystrybuanta:

λk

k !e−λ

e− λ∑i=0

k λi

i !

wartość oczekiwana: λ

mediana:

wariancja: λ

.≈[ λ13−

0,02λ

]

ROZKŁAD POISSONA

masa prawdopodobieństwa dystrybuanta

ROZKŁAD JEDNOSTAJNY CIĄGŁY

Rozkład, w którym gęstość jest stała i niezerowa na przedziale [a,b] oraz zerowa poza nim.

gęstość prawdopodobieństwa:

dla a≤x≤b

0 dla x<a lub x>b

dystrybuanta:0 dla x<a1-p dla a≤x<b1 dla x≥b

1b−a ab

2wartość oczekiwana:

mediana:

wariancja:

ab2

b−a 2

12

ROZKŁAD JEDNOSTAJNY CIĄGŁY

gęstość prawdopodobieństwa dystrybuanta

ROZKŁAD TRÓJKĄTNY

gęstość prawdopodobieństwa:

dla a≤x≤c

dla c≤x≤b

dystrybuanta:

dla a≤x≤c

dla c≤x≤b

wartość oczekiwana:

2 x−a b−a c−a

abc3

2b− xb−a b−c

x−a2

b−a c−a

1− b−x 2

b−ab−c

ROZKŁAD TRÓJKĄTNY

gęstość prawdopodobieństwa dystrybuanta

ROZKŁAD WYKŁADNICZY

Rozkład ten opisuje czas pomiędzy wydarzeniami w procesie Poissona, tj. wydarzeniami, które dzieją się w sposób ciągły, niezależnie od siebie, ze stałą średnią częstotliwością.

gęstość prawdopodobieństwa:λe−λx

dystrybuanta:1-λe−λx

wartość oczekiwana: 1/λ

mediana:

wariancja: λ-2

ln2λ

ROZKŁAD WYKŁADNICZY

gęstość prawdopodobieństwa dystrybuanta

ROZKŁAD NORMALNY (GAUSSA)

Rozkład używany do opisu wielu zmienny losowych, które dążą do skupiania się wokół pewnych wartości średnich. Jego częstość występowania wiąże się z tym, że wielkości będące sumą dużej ilości zmiennych losowych, podlegają rozkładowi normalnemu.

gęstość prawdopodobieństwa:

dystrybuanta:

12πσ2

e−x−m2

2σ 2

121erf z

2 2

π∫0

t

e−t 2

dt

wartość oczekiwana: mmediana: mwariancja: σ2

erf(x)=

ROZKŁAD NORMALNY (GAUSSA)

gęstość prawdopodobieństwa dystrybuanta

ROZKŁAD CHI KWADRAT

Rozkład o k stopniach swobody, dotyczy zmiennej losowej, która jest sumą kwadratów niezależnych zmiennych losowych o standardowym rozkładzie normalnym. Często używany we wnioskowaniu statystycznym, np. testowaniu hipotez.

gęstość prawdopodobieństwa:

dystrybuanta:

1

2k2 Γ k

2

xk2−1

e− x

2

1

Γ k2

γ k2

, x2

wartość oczekiwana: k

mediana:

wariancja: 2k

k 1− 29k

3

ROZKŁAD CHI KWADRAT

gęstość prawdopodobieństwa dystrybuanta

bibliografia:http://brain.fuw.edu.pl/edu/STAT:Rozk%C5%82adyhttp://www.math.uni.wroc.pl/~s200154/prawdopodobienstwo.pdfhttp://wazniak.mimuw.edu.pl/index.php?title=Rachunek_prawdopodobie%C5%84stwa_i_statystyka/Wyk%C5%82ad_6:_Rozk%C5%82ady_prawdopodobie%C5%84stwa_i_zmienne_losowehttp://home.agh.edu.pl/~bartus/index.php?action=statystyka&subaction=rozklady_dyskretnehttp://en.wikipedia.org/wiki/Probability_distribution