UNIVERSIDAD MARIANO GÁLVEZ DE GUATEMALAFACULTAD DE CIENCIAS DE LA ADMINISTRACIÓNDIRECCIÓN DE POSTGRADOSMAESTRÍA EN DIRECCIÓN Y GESTIÓN DEL RECURSO HUMANOSEDE: ESCUINTLA CURSO: Modelos para la toma de decisionesCATEDRÁTICA: Ing. Claudia Esmeralda Marisol Villela Cervantes

INVESTIGACIÓN DE TEMASII TEORÍA DE PROBABILIDADES

III DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD

Luis Emilio Posadas Reyes 2728-06-18185

Ismael Estuardo Ruiz Fernández 2728-08-1838

Escuintla, 14 de Marzo 2015

INTRODUCCION

El concepto de probabilidad nace con el deseo del hombre de conocer con certeza los eventos futuros.

En muchos campos de la actividad humana se trabajan fenómenos que poseen algún grado de incertidumbre y en un importante número de situaciones se llega a decisiones soportadas en el estudio de tales hechos.

El ser humano ha tratado de medir su nivel de incertidumbre, tal medida se conoce como probabilidad.

I. TEORÍA DE PROBABILIDADES

A. ESPACIOS MUESTRALES Y EVENTOS

Experimentos Aleatorios y Espacios Muéstrales.

Un experimento es una observación de un fenómeno que ocurre en la naturaleza. Tipos de experimentos:

Experimentos Determinísticos: Son aquellos en donde no hay incertidumbre acerca del resultado que ocurrirá cuando éstos son repetidos varias veces.

Experimentos Aleatorios: Son aquellos en donde no se puede anticipar el resultado que ocurrirá, pero si se tiene una completa idea acerca de todos los resultados posibles del experimento cuando éste es ejecutado.

El conjunto de los posibles resultados de un experimento aleatorio recibe el nombre de espacio muestral del experimento. Denotaremos el espacio muestral con la letra S.

Un evento es un subconjunto del espacio muestral de un experimento aleatorio

Tipos de espacios muéstrales:

Espacios muéstrales discretos: Son espacios muéstrales cuyos elementos resultan de hacer conteos, y por lo general son subconjuntos de los números enteros.

Espacios muéstrales continuos: Son espacios muéstrales cuyos elementos resultan de hacer mediciones y por lo general son intervalos en la recta Real(Hanna, 2012)

B. Regla Particular de la Adición de Probabilidades para Eventos Mutuamente Excluyentes.

Si A y B son dos eventos mutuamente excluyentes (eventos no intersecan tés), es decir, si la ocurrencia de cualquiera de ellos excluye la del otro, no pueden ocurrir

a la vez, o cuando no tienen ningún punto muestral en común entonces se aplica la siguiente regla para calcular dicha probabilidad:

EJEMPLO  Las siguientes son las características de las orquídeas de un vivero: 

Tamaño de pétaloGrande Pequeño

ColorLila 40 4Blanca

2 3

 Sea el evento A: la orquídea es de pétalo grande. Entonces: P(A)= 42/49 Y sea el evento B: la orquídea es de color lila. Entonces: P(B)= 44/49 De otro lado, P(AnB) es la probabilidad de que la orquídea sea de pétalo grande y al mismo tiempo de color lila. Entonces: P (AnB)= 40/49 El evento AUB es aquel donde la orquídea es de tamaño de pétalo grande o de color lila o ambos. La tabla indica rápidamente, al igual que su diagrama de Venn, el valor de .P (AUB) = 46/49 La otra manera de calcularlo es:P(AUB)= P(A) + P(B) - P(AnB)P(AUB)= 42/49 + 44/49 - 40/49P(AUB) = 46/49

C. EVENTOS INDEPENDIENTES En los temas anteriores relativos a la probabilidad condicional, hemos visto el caso en que el resultado de un evento está condicionado a la ocurrencia de otro. Sin embargo, hay eventos que se salen de este contexto, en cuyo caso se habla de eventos independientes. Hagamos el estudio de ellos. Se dice que un evento A es independiente de un evento B, si la probabilidad de que A suceda no está influenciada porque B haya o no sucedido.

Entonces, cuando A y B son independientes, la Regla de Multiplicación se comporta en la forma siguiente. Sabemos que P(AÇB) = P(A) P(B | A), pero en el caso de que haya independencia se cumple que P(B | A) = P (A). Sustituyendo en la ecuación de la Regla de Multiplicación obtenemos:

P(A Ç B) = P(A)  P(B) (Sweeney, 2011)

(Probabilidad 2013 blogspot, 2013)

D. PROBABILIDAD CONJUNTA

Es la probabilidad de ocurrencia de dos o más eventos.

De la expresión P(B|A)=P(A∩B)/P(A) se pude despejar P(A∩B)=P(A)P(B|A) expresión llamada Ley de multiplicación de probabilidades.

P(A∩B) recibe el nombre de probabilidad conjunta y corresponde a la probabilidad de que se presenten resultados comunes a los eventos A y B.

E. PROBABILIDAD MARGINAL

Para obtener expresiones útiles en el cálculo de este tipo de probabilidades, se realizará un ejemplo.

En un taller mecánico tienen un total de 135 desatornilladores, los técnicos atribuyen a éstos dos características cuando se los piden a sus ayudantes, su longitud (largo y cortos) y la forma de la punta que embona en los tornillos (planos o de cruz) de acuerdo a la definición de eventos que sigue, la distribución es la siguiente: (Barbuzza, 2011)

Eventos Característica

A1 Largo Evento

A1 A2 Total

A2 Corto B1 40 60 100B1 Punta plana B2 15 20 35B2 Punta de Cruz Total 55 80 135

P(A1)=55/135=0.4075 yP(A2)=80/135=0.5925Por lo tanto Ʃi=1

2P(Ai)=1P(A1)+P(A2)=0.4975+0.5925=1

P(B1)=100/135=0.74 yP(B2)=35/135=0.26Por lo tanto Ʃi=1

2P(Ai)=1P(A1)+P(A2)=0.74+0.26=1

F. DIAGRAMA DE ARBOL:

Un diagrama de árbol es una representación gráfica que muestra los resultados posibles de una serie de experimentos y sus respectivas probabilidades; consta de r pasos, donde cada uno de los pasos tiene un número finito de maneras de ser llevado a cabo.

Para la construcción de un diagrama en árbol se partirá poniendo una rama para cada una de las posibilidades, acompañada de su probabilidad. En el final de cada rama parcial se constituye a su vez, un nudo del cual parten nuevas ramas, según las posibilidades del siguiente paso, salvo si el nudo representa un posible final del experimento (nudo final). Hay que tener en cuenta: que la suma de probabilidades de las ramas de cada nudo ha de dar 1.

El diagrama de árbol va de lo general a lo especifico, es decir, parte de un problema general (el “tronco”) y continua con niveles subsecuentes o causas (las “ramas”).

Los diagramas en árbol son muy útiles para "fabricar" cualquier tipo de agrupación, ya sean variaciones, permutaciones o combinaciones.(www.vitutor.com, 2014)

Experimento: Se tienen tres pelotas en una bolsa de color blanco, azul y amarillo, si se saca una pelota pero no se regresa y se vuelve a sacar otra. ¿Cuál será el espacio muestral?

G. TEOREMA DE BAYES

Si A 1, A 2 ,... , An son:

Sucesos incompatibles 2 a 2.

Y cuya unión es el espacio muestral (A 1 unión A 2 unión... unión A n = E).

Y B es otro suceso.

Resulta que:

Las probabilidades p(A1) se denominan probabilidades a priori.Las probabilidades p(Ai/B) se denominan probabilidades a posteriori.Las probabilidades p(B/Ai) se denominan verosimilitudes.

Ejemplo:

El 20% de los empleados de una empresa son ingenieros y otro 20% son economistas. El 75% de los ingenieros ocupan un puesto directivo y el 50% de los

economistas también, mientras que los no ingenieros y los no economistas solamente el 20% ocupa un puesto directivo. ¿Cuál es la probabilidad de que un empleado directivo elegido al azar sea ingeniero?

(Vitutor, 2014)

II. DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD

A. DISTRIBUCIÓN NORMALEsta distribución es frecuentemente utilizada en las aplicaciones estadísticas. Su propio nombre indica su extendida utilización, justificada por la frecuencia o normalidad con la que ciertos fenómenos tienden a parecerse en su comportamiento a esta distribución.Muchas variables aleatorias continuas presentan una función de densidad cuya gráfica tiene forma de campana.

En otras ocasiones, al considerar distribuciones binomiales, tipo B(n,p), para un mismo valor de p y valores de n cada vez mayores, se ve que sus polígonos de frecuencias se aproximan a una curva en "forma de campana".En resumen, la importancia de la distribución normal se debe principalmente a que

hay muchas variables asociadas a fenómenos naturales que siguen el modelo de la normal.

Caracteres morfológicos de individuos (personas, animales, plantas,…) de una especie, p. ejm. Tallas, pesos, envergaduras, diámetros, perímetros…

Caracteres fisiológicos, por ejemplo; efecto de una misma dosis de un fármaco, o de una misma cantidad de abono.

Caracteres sociológicos, por ejemplo: consumo de cierto producto por un mismo grupo de individuos, puntuaciones de examen.

Caracteres psicológicos, por ejemplo: cociente intelectual, grado de adaptación a un medio……

Errores cometidos al medir ciertas magnitudes. Valores estadísticos maestrales, por ejemplo: la media. Otras distribuciones como la binomial o la de Poisson son aproximaciones

normales…

Y en general cualquier característica que se obtenga como suma de muchos factores. (Moreno, 2008)

B. DISTRIBUCION BINOMIAL

Es una de las distribuciones de probabilidad más útiles ( control de calidad, producción, investigación). Tiene que ver con el experimento aleatorio que produce en cada ensayo o prueba uno de dos resultados posibles mutuamente excluyentes: ocurrencia de un criterio o característica específico (llamado éxito) y no ocurrencia de éste (llamado fracaso). Los términos o calificativos de "éxito y fracaso" son solo etiquetas y su interpretación puede no corresponder con el resultado positivo o negativo de un experimento en la realidad.

n es el número de pruebas.k es el número de éxitos.p es la probabilidad de éxito.q es la probabilidad de fracaso.

El numero combinatorio(VadeNumeros.es, 2014)

La última novela de un autor ha tenido un gran éxito, hasta el

punto de que el 80% de los lectores ya la han leído. Un grupo de 4

amigos son aficionados a la lectura:

1. ¿Cuál es la probabilidad de que en el grupo hayan leído la

novela 2 personas?

B(4, 0.8) p = 0.8 q = 0.2

2.¿Y cómo máximo 2?

(Ditutor, 2010)

C. DISTRIBUCIÓN  DE  POISSON. 

Características:En este tipo de experimentos los éxitos buscados son expresados por unidad de área, tiempo, pieza, etc, etc,:- # de defectos de una tela por m2

- # de aviones que aterrizan en un aeropuerto por día, hora, minuto, etc, etc.- # de bacterias por cm2 de cultivo- # de llamadas telefónicas a un conmutador por hora, minuto, etc, etc.- # de llegadas de embarcaciones a  un puerto por día, mes, etc, etc.

Para determinar la probabilidad de que ocurran x éxitos por unidad de tiempo, área, o producto, la fórmula a utilizar sería:                                                               Dónde:

p(x, l) = probabilidad de que ocurran x éxitos, cuando el número promedio de ocurrencia de ellos es ll = media o promedio de éxitos por unidad de tiempo, área o productoe = 2.718x = variable que nos denota el número de éxitos que se desea que ocurra Hay que hacer notar que en esta distribución el número de éxitos que ocurren por unidad de tiempo, área o producto es totalmente al azar y que cada intervalo de tiempo es independiente de otro intervalo dado, así como cada área es independiente de otra área dada y cada producto es independiente de otro producto dado. (itch.edu)

D. DISTRIBUCIÓN T DE STUDENT

En probabilidad y estadística, la distribución t (de Student) es una distribución de probabilidad que surge del problema de estimar la media de una población normalmente distribuida cuando el tamaño de la muestra es pequeño.

Aparece de manera natural al realizar la prueba t de Student para la determinación de las diferencias entre dos medias muéstrales y para la construcción del intervalo de confianza para la diferencia entre las medias de dos poblaciones cuando se desconoce la desviación típica de una población y ésta debe ser estimada a partir de los datos de una muestra.

La distribución t de Student es la distribución de probabilidad del cociente

Donde

Z es una variable aleatoria distribuida según una normal típica (de media nula y varianza 1).V es una variable aleatoria que sigue una distribución χ² con   grados de libertad.Z y V son independientes

Si μ es una constante no nula, el cociente   es una variable aleatoria que sigue la distribución t de Student no central con parámetro de no-centralidad .(Wikipedia, 2015)

E. CHI-CUADRADA (DISTRIBUCIÓN Χ²)

En estadística, la distribución de Pearson, llamada también ji cuadrada o chi cuadrado (χ²) es una distribución de probabilidad continua con un parámetro   que representa los grados de libertad de la variable aleatoria

Donde   son variables aleatorias normales independientes de media cero y varianza uno. El que la variable aleatoria   tenga esta distribución se representa habitualmente así.

(Wikipedia, 2014)

F. LA DISTRIBUCIÓN F.

El valor F o razón F

• El valor F resulta del cociente de dos variancias. • Es decir que

• m indica que F resulta de valores de una muestra• La distribución F es una distribución teórica de probabilidad.

Las razones de variancias muéstrales son estadísticos de muestras que pueden o no ajustarse a la distribución F .(Sweeney, 2011) (Hanna, 2012)

Fm=s12 /s2

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BibliografíaBarbuzza, P. M. (2011). Recursos Salones Virtuales. Obtenido de

http://recursos.salonesvirtuales.com/

Ditutor. (2010). Obtenido de http://www.ditutor.com/distribucion_binomial/distribucion_binomial.html

Hanna, R. S. (2012). Metodos Cuantitativos para Los negocios. Pearson.

itch.edu. (s.f.). Obtenido de http://www.itch.edu.mx/academic/industrial/sabaticorita/_private/05Distr%20Poisson.htm

Moreno, A. (12 de 2 de 2008). Monografias. Obtenido de http://www.monografias.com/trabajos10/dino/dino.shtm

Probabilidad 2013 blogspot. (8 de 5 de 2013). Obtenido de http://probabilidad2013a.blogspot.com/2013/05/eventos-dependientes-e-independientes.html

Sweeney, A. (2011). Metodos Cuatitativos para loa Negocios. Thomson.

VadeNumeros.es. (2014). Obtenido de http://www.vadenumeros.es/sociales/ejemplos-distribucion-binomial.htm

Vitutor. (2014). Obtenido de http://www.vitutor.com/pro/2/a_17.html

Wikipedia. (17 de 12 de 2014). Obtenido de http://es.wikipedia.org/wiki/Distribuci%C3%B3n_%CF%87

Wikipedia. (16 de 1 de 2015). Obtenido de http://es.wikipedia.org/wiki/Distribuci%C3%B3n_t_de_Student

www.vitutor.com. (2014). Obtenido de http://www.vitutor.com/pro/2/a_15.html