Zlatni presek i primena njegove konstrukcije

Zlatni presek

Zlatni presek je iracionalan broj definisan sa . Od antičkih vremena je značajan za matematičare, fizičare, filizofe, arhitekte, umetnike pa čak i muzičare. Zvali su ga zlatna sredina, zlatni rez, božanska proporcija, Fibonačijev broj, Fidijasova srednja vrednost, a njegova vrednost približno iznosi .

Iako se zlatni presek spominje u Euklidovim “Elementima”, prvu poznatu knjigu, u kojoj je obradjena tema zlatnog preseka, “DE DIVINO PROPORTIONE” , napisao je Luka Paćoli, objavljena je 1509. godine, a ilustrovao ju je Leonardo DaVinči.

Određeni iracionalni brojevi se mogu zapisati u obliku , gde je definisano za . Drugi, kao na primer, , na izgled imaju prijatniju simetriju u odnosu na zlatni presek, ali ipak se zlatni presek izdvaja iz celog skupa iracionalnih brojeva svojim brojnim osobinama što ga čine jedinstvenim.

Zlatni pravougaonici

Jedinstvene karakteristike zlatnog preseka su prvi put bile uzete u obzir u kontekstu deljenja duži na dva dela. Duž je trebalo podeliti tako da je odnos njene dužine i dužeg dela (), jednak odnosu dužeg dela naspram kraćeg (). Takozvani zlatni pravougaonik se može konstruisati od ovih delova duži tako da je odnos širine i visine upravo broj (slika 1). Stari Grci su verovali da je pravougaonik konstuisan na ovakav način, estetski najugodniji za oko, i inkorporirali su baš ovaj oblik u mnoge svoje građevine (slika 2).

Slika 1

Slika 2

Umetnost

Estetski prikaz zlatnog preseka u umetnosti je bila tema brojnih istraživanja. Iako je činjenica da su mnoge slike pravougaonog oblika, čiji je odnos dimenzija približno jednak zlatnom preseku, ne može se sa sigurnošću reći da su ga umetnici sa namerom uzimali u obzir. Više je verovatno da su upravo takve dimenzije slika, kao i elemenata samih slika, umetniku delovale kao najprijatnije za oko (slika3).

Slika 3

Zlatni presek se u slučaju Vitruvijanskog čoveka pojavljuje u činjenici da je odnos stranice kvadrata i poluprečnika kružnice (čiji je centar pupak) približno jednak broju , tj. odnos visine čoveka i dužine od stopala do pupka.

Zlatni presek u prirodi

Može se pronaći svuda u prirodi, zajedno sa Fibonačijevim brojevima, u proporcijama lica, razmeštanju semena u glavi suncokreta, odnosu broja ženki i mužjaka pčela u pčelinjoj zajednici, pa sve do oblika morskih školjki, structure DNK, galaksije.

Konstrukcije zlatnog preseka

Zlatni presek se može geometrijski, lenjirom i šestarom, konstruisati na više načina. U nastavku će biti navedeno nekoliko načina, od kojih je jedna od najstarijih upravo Euklidova konstrukcija.

Konstrukcija 1

Najjednostavnija i najpopularnija, počinje od jediničnog kvadrata .

Dalje se konstruiše središte duži , a to je tačka . Iz se konstruiše kružni luk poluprečnika , a kao presek kružnog luka i poluprave se dobija tačka . Treba još dokazati .

Primenom Pitagorine teorema na trougao , dobija se da je , i primenom činjenice da je jednaka poluprečniku kružnice , dobija se da je , a odavde sledi da je pa je jednakost koja se dokazuje dobro postavljena.

Sada je .

Konstrukcijom tačke , kao preseka normale iz tačke na pravu i prave , dobija se pravougaonik koji jeste baš zlatni pravougaonik.

Ovom konstrukcijom se dobija spoljna tačka zlatnog preseka.

Konstrukcija 2

Euklidova konstrukcija, koja je, u suštini, varijacija prethodne, ali se, za razliku od prethodne, dobija unutrašnja tačka zlatnog preseka. Polazi se od pravouglog trougla čije su katete dimenzija 1 i , pa se primenom Pitagorine teoreme dobija da je hipotenuza dužine .

Iz tačke se konstuiše kružnica poluprečnika i ona seče polupravu u tački . Dalje, konstruiše se nova kružnica iz tačke poluprečnika i ona seče duž u tački (jer je pa je ). Tako dobijena tačka je tačka zlatnog preseka, tj. .

Pa je jednakost zadovoljena.

Konstrukcija pravilnog petougla uz pomoć zlatnog preseka

Jedna od najznačajnijih primena konstrukcije zlatnog preseka je prilikom konstrukcije pravilnog petougla proizvoljne dužine stranice, pa samim tim i pravilnog petougla čija je dužina stranice unapred poznata, jer je odnos dijagonale i stranice pravilnog petougla upravo broj .

Kreće se od kvadrata proizvoljne dužine stranice. Primenom Konstrukcije 1, dobija se tačka .

Dalje, konstruiše se kružnica iz tačke poluprečnika . Ona u preseku sa normalom iz tačke na , daje teme pravilnog petougla , a u preseku sa kružnicom iz tačke poluprečnika se dobija teme .

Da bi konstrukcija pravilnog petougla bila završena, potrebno je ovaj isti postupak primeniti osno simetrično u odnosu na već konstruisanu normalu iz tačke . Taj se postupak u suštini svodi na konstrukciju još dve kružnice, i to:

· Iz tačke poluprečnika

· Iz tačke poluprečnika

U preseku ove dve kružnice se dobija tačka koja je poslednje traženo teme.