HIMPUNAN

A. Pengertian dan Notasi Himpunan

1. Pengertian Himpunan

Istilah kelompok, kumpulan, kelas, maupun gugus dalam matematika dikenal

sebagai istilah himpunan. Konsep tentang himpunan pertama kali dikemukakan oleh

seorang matematikawan berkebangsaan Jerman, yaitu George Cantor yang hidup antara

tahun 1845–1918.

Himpunan adalah kumpulan benda–benda yang didefinisikan dengan jelas.

Yang dimaksud didefinisikan dengan jelas adalah dapat ditentukan dengan tegas benda

apa saja yang termasuk dan tidak termasuk dalam suatu himpunan yang diketahui.

Benda–benda yang termasuk dalam suatu himpunan disebut anggota, elemen, atau

unsur dari suatu himpunan. Untuk selanjutnya dipergunakan istilah anggota atau

elemen. Berdasarkan definisi himpunan di atas, maka suatu kumpulan atau kelompok

benda belum tentu merupakan suatu himpunan.

a. Kelompok atau kumpulan yang merupakan suatu himpunan

1) Kelompok siswa di kelasmu yang berkacamata.

Yang merupakan anggota adalah siswa di kelasmu yang berkacamata.

Yang bukan anggota adalah siswa di kelasmu yang tidak berkacamata.

2) Kumpulan hewan berkaki empat.

Yang merupakan anggota, misalnya: kerbau, kuda, sapi.

Yang bukan anggota, misalnya: ayam, itik.

3) Kumpulan bilangan yang merupakan faktor dari 12.

Yang merupakan anggota adalah 1, 2, 3, 4, 6, dan 12.

Yang bukan anggota, misalnya: 5, 7, 8, 9, 10, 11.

Jadi, contoh 1, 2, dan 3 merupakan himpunan, sebab dapat disebutkan

dengan tegas benda yang merupakan anggota dan yang bukan anggota kelompok

tersebut.

b. Kelompok atau kumpulan yang bukan merupakan suatu himpunan

1) Kumpulan siswa di kelasmu yang berbadan tinggi.

Pengertian tinggi tidak jelas harus berapa cm batasannya.

2) Kumpulan lukisan indah.

Pengertian indah tidak jelas batasannya harus seperti apa indahnya.

Oleh karena batasan untuk contoh di atas tidak jelas, maka contoh 1 dan 2

diatas bukan merupakan himpunan. Jadi, dalam matematika kita tidak dapat

menyebutkan dengan batasan yang tidak jelas, misalnya:

1) Himpunan siswa di kelasmu yang berbadan tinggi.

2) Himpunan lukisan yang indah.

Suatu himpunan dapat dinyatakan dengan menggunakan tanda kurung kurawal

dan biasanya diberi nama dengan menggunakan huruf kapital, misalnya A, B, C, D, dan

seterusnya sampai Z. Jika ada dua atau lebih himpunan yang berbeda, maka nama

himpunan–himpunan itu juga harus berbeda.

2. Menyatakan Suatu Himpunan

a. Dengan kata–kata atau menyebutkan syarat-syarat keanggotaan

Menyatakan himpunan dengan kata–kata sangat bermanfaat untuk himpunan

yang memiliki anggota sangat banyak dan tak beraturan, sehingga kita akan

mengalami kesulitan bila anggota–anggotanya ditulis satu demi satu. Contoh:

1) A adalah himpunan nama gunung di Pulau Jawa.

A = {nama gunung di Pulau Jawa}

2) B adalah bilangan yang kurang dari 11.

B = {bilangan ganjil kurang dari 11}

b. Dengan menyebutkan atau mendaftar anggotanya

Anggota himpunan dituliskan dalam kurung kurawal dan dipisahkan dengan

tanda koma. Pada penulisan himpunan dengan cara mendaftar anggotanya, jika

semua anggota dapat ditulis, maka urutan penulisan boleh diabaikan. Contoh:

1) Untuk himpunan yang anggotanya terbatas dan sedikit.

A = {jerapah, gajah, macan, zebra}

B = {pensil, penggaris, jangka, busur}

2) Untuk himpunan yang anggotanya terbatas dan banyak.

Anggota–anggota boleh tidak didaftar semua, hanya beberapa saja

dilanjutkan dengan titik tiga (artinya: “dan seterusnya”), kemudian dituliskan

batas akhir.

C = {Surabaya, Jawa, Madura, Bali, Lombok,…, Papua}

D = {1, 3, 5, 7, 9, 11,…, 99}

3) Untuk himpunan yang anggotanya tak terbatas.

Anggotanya didaftar beberapa saja (paling sedikit empat saja) dan

dilanjutkan dengan titik tiga (artinya: “dan seterusnya”)

E = {2, 3, 5, 7,…}

F = {1, 10, 100, 1000,…}

Himpunan E = {2, 3, 5, 7,…} dan F = {1, 10, 100, 1000,…} memiliki

banyak anggota yang tak terbatas karena tidak diketahui berapa bilangan terakhir.

Oleh karena itu, himpunan E dan F yang memiliki anggota tak berhingga disebut

himpunan tak berhingga.

Himpunan seperti D = {1, 3, 5, 7, 9, 11,…, 99} memiliki banyak anggota

yang terbatas karena bilangan awal dan bilangan terakhir diketahui, yaitu 1 dan 99.

Oleh karena itu, himpunan D yang memiliki banyak anggota terbatas disebut

himpunan berhingga.

Walaupun suatu himpunan lebih mudah atau lebih singkat bila dinyatakan

dalam salah satu cara diatas, namun hampir semua himpunan pula dinyatakan dalam

ketiga cara tersebut.

c. Dengan notasi pembentuk himpunan

Menyatakan suatu himpunan dengan notasi pembentuk himpunan adalah

menyatakan suatu himpunan hanya dengan syarat keanggotaan himpunan.

1) Benda atau objeknya dilambangkan dengan sebuah peubah.

Contoh: a, b, c,…, z

2) Menuliskan syarat keanggotaannya dibelakang tanda”|”.

Contoh: A = {x|x<5, x bilangan asli}

Dibaca: himpunan setiap x sedemikian hingga x kurang dari 5 dan x

bilangan asli.

d. Dengan diagram venn

Menyatakan himpunan dengan gambar atau diagram

Contoh:

Gambar di atas adalah diagram venn dari himpunan:

A = {1, 2, 3, 4, 5}

3. Anggota Himpunan

Di atas piring terdapat buah–buahan, yaitu pisang, jeruk, dan rambutan. Dapat

dikatakan bahwa:

Pisang termasuk dalam kelompok buah–buahan dalam piring,

Jeruk termasuk dalam kelompok buah–buahan dalam piring,

Rambutan termasuk dalam kelompok buah–buahan dalam piring.

Meskipun di atas piring itu terdapat 12 buah pisang, 3 buah jeruk, dan 5 buah

rambutan, tapi penulisan tiap–tiap anggota kelompok itu dilakukan hanya satu kali saja.

Misalkan B menyatakan himpunan buah–buahan di atas piring, maka B = {pisang,

jeruk, rambutan}

Dengan demikian, dapat diketahui sebagai berikut.

Karena pisang termasuk dalam himpunan B, maka pisang anggota himpunan B.

Karena jeruk termasuk dalam himpunan B, maka jeruk anggota himpunan B.

Karena rambutan termasuk dalam himpunan B, maka rambutan anggota himpunan

B.

Dalam suatu himpunan, masing–masing anggota berbeda dengan anggota

lainnya.

a. Menyatakan anggota suatu himpunan

Untuk menyatakan suatu benda yang merupakan anggota suatu himpunan

digunakan lambang . Sedangkan untuk menyatakan bahwa suatu benda bukan

anggota suatu himpunan digunakan lambang .

Contoh: Bila A = {s, i, w, a}, maka:

s anggota P, ditulis s P.

w anggota P, ditulis w P.

m bukan anggota P, ditulis m P.

b. Menyatakan banyak anggota suatu himpunan

Banyak anggota himpunan A dapat dinyatakan dengan notasi n(A). Jadi,

notasi n(R) artinya banyak anggota pada himpunan R.

Contoh: P = {s, i, w, a}

Banyak anggota himpunan P adalah 4 buah.

Ditulis: n(P)=4

4. Mengenal Beberapa Himpunan Bilangan

Dalam himpunan bilangan, terdapat beberapa macam himpunan diantaranya:

a. Himpunan bilangan asli

Himpunan bilangan asli dilambangkan dengan huruf “A”.

A = {1, 2, 3, 4,…}

b. Himpunan bilangan bulat

Himpunan bilangan bulat dilambangkan dengan huruf “B”.

B = {…., -2, -1, 0, 1, 2,…}

c. Himpunan bilangan cacah

Himpunan bilangan cacah dilambangkan dengan huruf “C”.

C = {0, 1, 2, 3,…}

d. Himpunan bilangan cacah genap

Himpunan bilangan cacah genap dilambangkan dengan huruf “G”.

G = {0, 2, 4, 6, 8,…}

e. Himpunan bilangan cacah kuadrat

{0, 1, 4, 9, 16,…}

f. Himpunan bilangan ganjil

Himpunan bilangan ganjil dilambangkan dengan huruf “J”.

J = {1, 3, 5, 7, 9,…}

g. Himpunan bilangan komposit (tersusun)

Himpunan bilangan komposit (tersusun) dilambangkan dengan huruf “T”.

Bilangan komposit adalah bilangan cacah yang mempunyai lebih dari 2 faktor.

T = {4, 6, 8, 9, 10,…}

h. Himpunan bilangan prima

Himpunan bilangan prima dilambangkan dengan huruf “P”. Bilangan prima

adalah bilangan yang hanya mempunyai dua faktor, atau bilangan yang hanya habis

dibagi oleh 1 dan bilangan itu sendiri, kecuali 0 dan 1.

P = {2, 3, 5, 7, …}

B. Jenis-Jenis Himpunan

Ditinjau dari jumlah anggotanya, ada tiga jenis himpunan

1. Himpunan tak berhingga

Suatu himpunan disebut himpunan tak berhingga apabila banyak anggotanya tak

berhingga/tak dapat dihitung.

Contoh: A = {1, 3, 5, 7,…}; n(A) tak berhingga, atau n(A) = .

A disebut himpunan tak berhingga.

2. Himpunan berhingga

Suatu himpunan disebut himpunan berhingga apabila jumlah anggotanya

terbatas.

Contoh: B = {1, 3, 5, 7, 9}; n(B) = 5.

B disebut himpunan berhingga.

3. Himpunan kosong

Suatu himpunan disebut himpunan kosong apabila himpunan itu tidak

mempunyai anggota. Himpunan kosong dinyatakan dengan notasi {} atau .

Contoh: C = {bilangan prima antara 7 dan 9}

Tidak ada bilangan prima antara 7 dan 9, sehingga n(C) = 0.

C disebut himpunan kosong.

Jika A merupakan himpunan kosong, maka A tidak memiliki anggota, jadi n(A)

= 0.

Nol disini menunjukkan jumlah anggota A tidak ada. Hal ini berbeda dengan B

= {0} yang menunjukkan bahwa B memiliki anggota, yaitu 0. Jadi, B bukan himpunan

kosong karena n(B) = 1.

Selanjutnya adalah jenis lain dari himpunan:

1. Himpunan bagian

Untuk memahami pengertian himpunan bagian, perhatikan himpunan–

himpunan berikut ini!

A = {a, b, c}

B = {a, b, c, d, e}

Dari kedua himpunan tersebut, ternyata setiap anggota A, yaitu a, b, c menjadi

anggota B.

Himpunan A merupakan himpunan bagian dari B, bila setiap anggota A menjadi

anggota B, ditulis dengan notasi A B.

Setiap himpunan adalah bagian dari dirinya sendiri. A A, B B, ….

{} adalah bagian dari setiap himpunan. {} {}, {} A, {} B, ….

Menentukan banyak himpunan bagian

Banyaknya himpunan bagian dari himpunan yang mempunyai n elemen adalah

2n.

Contoh:

Dari himpunan P = {1, 2, 3}, kita dapat membentuk himpunan bagian–himpunan

bagiannya, yaitu:

{}, {1}, {2}, {3}, {1, 2}, {1, 3}, {2, 3} dan {1, 2, 3}

Banyaknya himpunan bagian dari P adalah 8 = 23, dimana 3 adalah banyaknya

himpunan anggota P.

2. Himpunan Semesta

Himpunan semesta adalah himpunan yang memuat semua anggota himpunan

yang dibicarakan. Lambang himpunan semesta adalah S.

Contoh :

Bila A = {8,12,16,20} maka beberapa semesta pembicaraan yang mungkin untuk A

adalah :

1) S = {bilangan asli}

2) S = {bilangan cacah}

3) S = {bilangan kelipatan 2}

4) S = {bilangan kelipatan 4}

C. Diagram Venn

Untuk mempermudah dalam mempelajari himpunan, John Venn seorang ahli

matematika dari Inggris (1834–1923), memperkenalkan cara menyatakan himpunan

dengan diagram. Diagram tersebut dinamakan diagram venn.

1. Menyatakan Diagram Venn

a. Semesta pembicaraan dari himpunan itu digambarkan dengan persegi panjang dan

pada pojok kiri atas ditulis huruf U atau S.

b. Setiap anggota digambarkan dengan noktah (titik) didalam kurva, dan nama

anggotanya dituliskan berdekatan dengan noktahnya.

Misal: S = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}

Diagram venn dari himpunan S ditunjukkan sebagai berikut:

c. Himpunan digambarkan dengan kurva tertutup sederhana.

Misal: S = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}

A = {2, 4, 6, 8}

Karena semua anggota himpunan A termuat didalam himpunan S, maka himpunan A

terdapat didalam himpunan S.

Diagram venn dari himpunan tersebut ditunjukkan sebagai berikut:

d. Dalam menggambar himpunan–himpunan yang mempunyai anggota sangat banyak,

pada diagram venn-nya tidak menggunakan noktah.

Misal: S = {siswa di sekolahmu}

D = {siswa di kelasmu}

Diagram venn dari himpunan tersebut ditunjukkan sebagai berikut:

2. Contoh

a. Jika diketahui semesta pembicaraanya adalah S = {0, 1, 2, 3, …, 10} dan himpunan

A = {0, 1, 4, 9}, maka diagram venn yang menunjukkan himpunan–himpunan

tersebut ditunjukkan pada gambar berikut.

b. Diketahui S = {0, 1, 2, 3, …, 10}, A = {2, 3, 5, 7}, dan B = {1, 3, 5, 7, 9}. Diagram

venn yang menunjukkan himpunan–himpunan tersebut ditunjukkan pada gambar

berikut.

c. Diketahui S = {0, 1, 2, 3, …, 10}, A = {1, 2, 3}, dan B = {1, 2, 3, 4, 5}. Diagram

venn yang menunjukkan himpunan–himpunan tersebut ditunjukkan pada gambar

berikut.

d. Jika diketahui S = {1, 2, 3, …, 100}, n(S) = 100, A = {11, 12, 13,…, 30}, maka n

(A) = 20. Diagram venn yang menunjukkan himpunan–himpunan tersebut

ditunjukkan pada gambar berikut.

e. Diketahui n(A) = 18 + 13 = 31, n(B) = 25 + 13 = 38,

n(S) = 18 + 13 + 25 + 9 = 65. Diagram venn yang menunjukkan himpunan–

himpunan tersebut ditunjukkan pada gambar berikut.

D. Operasi Himpunan

Dalam himpunan dikenal beberapa operasi himpunan, antara lain irisan atau

interseksi, gabungan atau union, selisih dua himpunan (difference), dan komplemen.

1. Irisan atau Interseksi

Perhatikan gambar diagram Venn dibawah ini!

Tampak bahwa:

A= {2,3,5,7} dan B={1,5,3,7,9}

Daerah arsiran menunjukkan daerah anggota–anggota yang menjadi anggota A

juga menjadi anggota B, sehingga dibentuk sebuah himpunan baru yang beranggotakan

semua anggota yang terletak pada daerah arsiran, yaitu {3,5,7}. Himpunan baru ini

disebut irisan A dan B, ditulis “A B“. Jadi, A B = {3,5,7}.

A irisan B (A B) adalah himpunan semua anggota yang merupakan anggota

A dan juga anggota B. Dengan notasi pembentuk himpunan A ∩ B= {x|x∈ A dan x∈B }

.

Contoh:

Jika A = {0, 1, 3, 6, 10} dan B = {0, 1, 4, 9} maka (A B) = {0, 1}.

2. Gabungan atau Union

Perhatikan diagram venn di bawah ini!

Tampak bahwa A = {0, 1, 2, 3, 4, 5} dan B={2, 4, 6, 8, 10}.

Daerah yang diarsis memuat semua anggota A atau semua anggota B ataupun

semua anggota A dan B. Daerah arsiran menunjukkan gabungan A dan B, ditulis “A

B”. Jadi, A B = {0, 1, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}.

A gabungan B (A B¿ adalah himpunan semua anggota yang merupakan

anggota A atau anggota B. Dengan notasi pembentuk himpunan

A∪B= {x|x∈ A atau x∈B }.

Contoh :

Jika A = {1, 3, 5} dan B = {2, 3, 5, 7} maka A B = {1, 2, 3, 5, 7}.

3. Selisih Dua Himpunan (Difference)

Dari himpunan A dan B kita dapat membentuk himpunan baru yang terdiri dari

anggota–anggota A yang bukan anggota B. Himpunan A dikurang himpunan B ditulis

A – B.

Selisih A dan B (A – B) adalah himpunan semua anggota A tetapi bukan

Anggota B. Dengan notasi pembentuk himpunan:

A – B={x∨x A dan x B }

Contoh:

a. Jika A = {1, 2, 3, 4, 5} dan B = {1, 3, 5, 7, 9} maka, A – B = {2, 4} dan B – A = {7,

9}. Dalam diagram venn akan menjadi lebih jelas. Perhatikan gambar diagram

berikut.

A – B ditunjukkan dengan daerah yang diarsir.

b. P = {1, 2} dan Q = {1, 2, 3, 4}

P – Q = Q – P = {3, 4}

(Tidak ada daerah yang diarsir) (Ditunjukkan dengan daerah diarsir)

c. M = {1, 3, 5} dan N = {2, 4, 6}

M – N = M N – M = N

Ditunjukkan dengan daerah Ditunjukkan dengan daerah

yang diarsir yang diarsir

4. Komplemen

Perhatikan diagram venn di bawah ini!

Bagian yang diarsir pada gambar menunjukkan daerah komplemen dari

himpunan A. Komplemen dapat dituliskan dengan notasi A' atau Ac. Dalam makalah

ini disepakati notasi komplemen yang digunakan adalah A'.

Komplemen A(A`) adalah himpunan yang anggota-anggotanya merupakan

anggota semesta pembicaraan tetapi bukan merupakan anggota himpunan A. Dengan

notasi pembentuk himpunan:

A'={x∨x∈S dan x∉ A }

Contoh:

a. Jika S = {1, 2, 3, …, 10} dan A = {2, 4, 6, 8} maka:

A` = {1, 3, 5, 7, 9, 10}

b. Jika S = {1, 2, 3, …, 10}, A = {8, 9, 10, 11}, B = {10, 11, …, 15}, dan (A B)` =

{1, 2, 3, …, 7} maka:

A` = {1, 2, …, 7, 12, 13, 14, 15}, B` = {1, 2, 3, …, 9},

A B = {8, 9, 10, …, 15}, A B = {10, 11}, dan

(A B)` = {1, 2, 3, …, 9, 12, 13, 14, 15}

c. Perhatikan gambar!

Dari gambar diagram venn di atas didapat:

1) A B = {1, 2, 3, …, 7}

(A B)` = {8}

2) A B = {4, 5}

(A B)` = {1,2, 3, 6, 7, 8}

E. Sifat–Sifat Operasi Himpunan

1. Sifat Komutatif

A ∩ B=B ∩ A

A∪B=B∪A

2. Sifat Asosiatif

( A ∩ B )∩ C=A ∩ (B ∩C )

( A∪B )∪C=A∪(B∪C)

3. Sifat distributif

A ∩ ( B∪C )=(A ∩ B)∪(A ∩C )

A∪ (B ∩C )=(A∪B)∩(A∪C)

F. Penerapan Himpunan

Dalam kehidupan sehari-hari, kita dapat menemukan pengertian irisan atau

gabungan dua himpunan atau lebih. Soal-soal yang berkaitan dengan irisan atau gabungan

dua himpunan ini dapat diselesaikan dengan pertolongan diagram venn.

Contoh:

1. SMP Nusa Bangsa mengadakan ekstrakurikuler basket dan voli. Kedua kegiatan

diselenggarakan pada hari yang berbeda.

Dari murid-murid kelas VIIA yang mengikuti kegiatan tersebut, tercatat data sebagai

berikut.

25 anak mengikuti basket, 23 anak mengikuti voli, 15 anak mengikuti keduanya,

dan 7 anak tidak mengikuti kedua kegiatan tersebut.

Dari data–data di atas, dapat digambarkan diagram venn seperti pada gambar di bawah

ini, dimana B = basket dan V = Voli.

Pada gambar, tampak bahwa:

a. Yang mengikuti 2 kegiatan sebanyak 15 anak;

b. Yang mengikuti basket sebanyak,

(10 + 15) anak = 25 anak;

c. Yang mengikuti voli sebanyak,

(8 + 15) anak = 23 anak;

d. Yang tidak mengikuti kegiatan sebanyak 7 anak;

e. Jumlah siswa kelas VIIA dapat dihitung, yaitu;

(10 + 15 + 8 + 7) anak = 40 anak.

2. Dari 50 anak tercatat 35 anak gemar musik, 30 anak gemar olahraga, dan 21 anak

gemar keduanya. Jika M adalah himpunan anak yang gemar M dan O adalah himpunan

anak yang gemar olahraga, tentukan:

a. n(M), n(O), dan n(M O);

b. gambarlah diagram venn;

c. banyak anak yang gemar musik tetapi tidak gemar olahraga;

d. banyak anak yang gemar olahraga tetapi tidak gemar musik;

e. banyak anak yang gemar musik maupun olahraga!

Jawab:

a. n(M) = 35, n(O) = 30, dan n(M O) = 21

b. diagram venn:

c. n(M O`) = 14

d. n(M` O) = 9

e. n(M O)` = x = 50 – (14 + 21 + 9)

= 50 – 44

= 6