MỘT SỐ ĐỀ ÔN THI VÀO LỚP 10 – THPT

ĐỀ SỐ 1

Câu 1) Cho biểu thức

.

1) Rút gọn biểu thức .2) Tính giá trị của khi 3) Tìm sao cho nhận giá trị là một số nguyên.

Câu 2) Cho phương trình , với là tham số.

a) Chứng minh rằng phương trình đã cho có hai nghiệm trái dấu với mọi .

b) Gọi hai nghiệm của phương trình đã cho là . Tìm để biểu

thức đạt giá trị lớn nhất.

Câu 3) Một ca nô xuôi dòng 78km và ngược dòng 44 km mất 5 giờ với vận tốc dự định. nếu ca nô xuôi 13 km và ngược dòng 11 km với cùng vận tốc dự định đó thì mất 1 giờ. Tính vận tốc riêng của ca nô và vận tốc dòng nước.

Câu 4) Từ điểm nằm ngoài đường tròn ta kẻ các tiếp tuyến cát

tuyến đến sao cho tia nằm giữa hai tia . Gọi là

trung điểm .

a) Chứng minh: 5 điểm cùng nằm trên một đường tròn.b) Gọi là trung điểm của . Chứng minh: Tứ giác nội tiếp.c) Đường thẳng qua song song với cắt tại . Chứng minh

.Câu 5) Cho các số thực thỏa mãn điều kiện: . Chứng minh rằng: .

416

ĐỀ SỐ 2

Câu 1) Cho biểu thức:

.

a) Tìm điều kiện của và để biểu thức xác định. Rút gọn biểu thức .

b) Biết và . Tính giá trị của .

Câu 2) Cho phương trình , với là tham số. Gọi

là hai nghiệm của phương trình.

a) Tìm hệ thức liên hệ giữa không phụ thuộc vào .b) Tìm giá trị nhỏ nhất và lớn nhất của biểu thức

.

Câu 3) Hưởng ứng phong trào “Vì biển đảo Trường Sa” một đôi tàu dự định chở 280 tấn hàng ra đảo. Nhưng khi chuẩn bị khởi hành thì số hàng hóa đã tăng thêm 6 tấn so với dự định. vì vậy đội tàu phải bổ sung thêm 1 tàu và mỗi tàu chở ít hơn dự định 2 tấn hàng. Hỏi khi dự định đội tàu có bao nhiêu chiếc tàu, biết các tàu chở số tấn hàng bằng nhau.

Câu 4) Cho hệ phương trình: Tìm để hệ trên có

nghiệm duy nhất sao cho đạt giá trị nhỏ nhất.

Câu 5) Cho nửa đường tròn đường kính . là một điểm di

động trên nửa đường tròn. Vẽ vuông góc với tại . Đường tròn đường kính cắt và nửa đường tròn lần lượt tại .

cắt tại .

a) Chứng minh rằng tứ giác là hình chữ nhật và .

417

b) Tính theo và chứng minh rằng thẳng hàng.

c) Xác định vị trí điểm để diện tích tam giác lớn nhất.

Câu 6) Cho và . Chứng minh rằng: .

ĐỀ SỐ 3

Câu 1) Cho . Xét biểu thức:

.

a) Rút gọn .

b) Biết , hãy tính giá trị của biểu thức .

Câu 2) Cho Parabol và đường thẳng .

a) Chứng minh đường thẳng luôn cắt đồ thị tại hai điểm phân

biệt .Gọi là hoành độ của các điểm . Tìm giá trị

lớn nhất của .

b) Tìm để diện tích tam giác bằng .

Câu 3) Một ô tô và một xe máy khởi hành cùng một lúc từ hai tỉnh cách nhau 150km, đi ngược chiều và gặp nhau sau h. Hỏi sau khi gặp nhau bao lâu thì ô tô đến và xe máy đến biết rằng vận tốc của xe máy

bằng vận tốc của ô tô.

Câu 4) Cho tam giác vuông tại và . Gọi là hình chiếu của trên và là một điểm đối xứng của qua . Tia cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác tại điểm . Tia cắt

đường tròn ngoại tiếp tam giác tại điểm .

418

a) Chứng minh rằng .b) Gọi là giao điểm thứ hai của với đường tròn ngoại tiếp tam

giác . Chứng minh rằng song song với .c) Gọi là giao điểm thứ hai của với đường tròn ngoại tiếp tam

giác . Chứng minh rằng là trung điểm .

Câu 5) Cho các số không âm. Chứng minh rằng .

ĐỀ SỐ 4

Câu 1) Cho biểu thức

.

a) Rút gọn .b) Xác định nguyên sao cho nguyên.

Câu 2) Trong mặt phẳng tọa độ , cho parabol có phương trình

. Gọi là đường thẳng đi qua và có hệ số góc .

a) Viết phương trình đường thẳng . Chứng minh đường thẳng

luôn cắt parabol tại hai điểm phân biệt khi thay đổi.

b) Gọi theo thứ tự là hình chiếu vuông góc của trên trục hoành. Chứng minh rằng tam giác vuông tại .

Câu 3) Giải hệ phương trình .

Câu 4) Cho đường tròn và điểm nằm ngoài đường tròn . Từ

vẽ hai tiếp tuyến của đường tròn ( là hai tiếp điểm). Gọi

là giao điểm của và Qua vẽ cát tuyến của đường tròn

419

; và thuộc đường tròn sao cho đường thẳng cắt đoạn thẳng tại . Gọi là trung điểm dây cung .

a) Chứng minh .

b) Chứng minh năm điểm cùng thuộc một đường tròn.

c) Chứng minh tứ giác nội tiếp.

d) Trên tia đối của tia lấy điểm sao cho là trung điểm . Tia cắt đường thẳng tại . Chứng minh .

Câu 5) Cho . Chứng minh rằng: .

ĐỀ SỐ 5

Câu 1) Cho

a) Rút gọn .b) Tìm nguyên để .

c) Tìm để nhỏ nhất.

Câu 2) Cho parabol và đường thẳng với là tham số.

a) Chứng minh rằng luôn cắt tại hai điểm phân biệt.

b) Gọi là các giao điểm của và . Tìm giá trị

nhỏ nhất của biểu thức .

Câu 3) Trên quãng đường dài m , tại cùng một thời điểm một xe máy khởi hành từ đến và một ôt ô khởi hành từ đi về . Sauk hi gặp nhau xe máy đi tiếp 4 giờ nữa thì đến và ô tô đi tiếp 2 giờ 15 phút nữa thì đến . Biết rằng vận tốc ô tô và xe máy không thay đổi trong suốt chặng đường. Tính vận tốc của xe máy và ô tô.

420

Câu 4) Cho dường tròn và dây cung không là đường kính. Gọi

là điểm chính giữa của cung lớn . Các tiếp tuyến tại của cắt nhau tại . Gọi là hình chiếu vuông góc của trên và là trung điểm của . Tia cắt đường tròn tại điểm thứ hai .

a) Gọi là giao điểm của với . Chứng minh tứ giác nội tiếp.

b) Tia cắt đường tròn tại điểm thứ hai . Chứng minh rằng song song với

c) Chứng minh đường thẳng đi qua trung điểm của đoạn thẳng .

Câu 5) Giải hệ phương trình:

MỘT SỐ ĐỀ ÔN THI VÀO LỚP 10 – THPT CHUYÊN

ĐỀ SỐ 6.

Câu 1) Giải phương trình:

Câu 2) Cho là ba số thực dương thỏa mãn . Chứng minh rằng:

.

Câu 3) Chứng minh: là số chính phương

với mọi số tự nhiên lẻ.

421

Câu 4) Cho tam giác nhọn nội tiếp đường tròn có 3 đường cao đồng quy tại điểm . Đường thẳng cắt tại điểm

khác . cắt tại điểm khác .

a) Chứng minh vuông góc với .b) Chứng minh: đi qua trung điểm của .c) Gọi là trung điểm của , cắt tại điểm khác

.Chứng minh 4 điểm cùng thuộc một đường tròn.

Câu 5) Cho thỏa mãn .

Chứng minh rằng: .

Câu 6) Cho tập hợp gồm số nguyên dương đôi một khác nhau và số lớn nhất trong bằng . Chứng minh rằng trong tập có hai số, mà số này là bội của số kia.

ĐỀ SỐ 7.

Câu 1) Giải phương trình .

Câu 2) Tìm ba chữ số tận cùng của .

Câu 3)

a) Tìm các nghiệm nguyên của phương trình: .

b) Biết . Tính giá trị của biểu thức

Câu 4) Cho tam giác nhọn nội tiếp . Tiếp tuyến tại của cắt tiếp tuyến tại của lần lượt tại . cắt tại ,

cắt tại . Gọi lần lượt là trung điểm của . Đường thẳng cắt tại giao điểm thứ 2 là

.422

a) Chứng minh: .b) Chứng minh tứ giác nội tiếp.c) Chứng minh: .

Câu 5) Với là số tự nhiên, , cho số nguyên thỏa mãn:

Chứng minh rằng:

a) Các số là số nguyên dương.

b) Số không là số chính phương.

ĐỀ SỐ 8

Câu 1) Giải phương trình .

Câu 2) Cho các số thỏa mãn: .Tính giá trị

của .

Câu 3) Tìm tất cả các số tự nhiên để: là số chính phương.

Câu 4) Cho tam giác nội tiếp với . Tiếp tuyến tại của cắt tại Dựng đường kính , cắt tại điểm .Gọi

là trung điểm của .

a) Chứng minh: .

b) Chứng minh: .

423

c) Giả sử cắt tại điểm . Đường tròn ngoại tiếp tam giác cắt tại điểm khác . Chứng minh tâm đường tròn nội

tiếp tam giác nằm trên .

Câu 5) Cho tập hợp . Gọi là một tập con của tập mà số phần tử của bằng . Chứng minh rằng trong có hai phần tử

phân biệt mà tổng của chúng bằng .

ĐỀ SỐ 9.

Câu 1) Cho các số thỏa mãn

.

Tính giá trị của biểu thức .

Câu 2) Tìm phần nguyên của : .

Câu 3)

a) Giải hệ phương trình: .

b) Cho là các số nguyên dương phân biệt sao cho chia

hết cho . Chứng minh rằng:

Câu 4) Cho tam giác , trên đoạn thẳng lấy điểm , trên đoạn

thẳng lấy điểm sao cho . Đường tròn ngoại tiếp tam giác

cắt tại điểm khác . Đường tròn ngoại tiếp tam giác cắt nhau tại điểm khác , cắt tại điểm .

a) Chứng minh: là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác .

424

b) Chứng minh tam giác cân.c) Chứng minh 4 điểm cùng nằm trên một đường tròn.

Câu 5) Chứng minh rằng là các số nguyên dương và luôn có

. (quy ước )

ĐỀ SỐ 10

Câu 1) Giải phương trình: .

Câu 2) Chứng minh: là hợp số với mọi số nguyên dương .

Câu 3) Cho tập hơp có các tính chất sau:

a) Tập chứa toàn bộ các số nguyên.b)

c) Với mọi thì và . Chứng minh rằng

.

Câu 4) Cho tam giác nhọn, không cân nội tiếp . Đường tròn tâm bán kính cắt tại điểm khác và cắt tại khác .

cắt tại điểm khác . cắt lần lượt tại . Lấy các điểm lần lượt thuộc sao cho cùng vuông góc với . Gọi là giao điểm của .

a) Chứng minh: Tứ giác nội tiếp.b) Chứng minh: Tứ giác nội tiếp.c) Chứng minh: .

Câu 5) Cho các số thực thỏa mãn . Chứng minh rằng .

425

LỜI GIẢI CÁC ĐỀ TOÁN RÈN LUYỆN

ĐỀ SỐ 1.

Câu 1)

1) Với biểu thức có nghĩa ta có:

.

Vậy với thì .

2) Khi thay vào ta có:

3) Ta có nên

, kết hợp với

nhận giá trị là một số nguyên thì .

426

thỏa mãn điều kiện.

không thỏa mãn điều kiện. Vậy

với thì nhận giá trị là nguyên.

Câu 2)

a) Xét

Vậy phương trình luôn có hai nghiệm trái dấu với mọi .b) Gọi hai nghiệm của phương trình đã cho là .

Theo câu a) thì , do đó được xác định với mọi .

Do trái dấu nên với , suy ra , suy ra

Đặt , với , suy ra . Khi đó mang giá

trị âm và đạt giá trị lớn nhất khi có giá trị nhỏ nhất. Ta có

, suy ra . Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi

. Với , ta có

.

Vậy với thì biểu thức đạt giá trị lớn nhất là .

Câu 3) Gọi vận tốc riêng của ca nô là (km/h, )

Và vận tốc của dòng nước là (km/h,

Ca nô xuôi dòng đi với vận tốc (km/h). Đi đoạn đường 78 km nên

thời gian đi là (giờ).

427

Ca nô đi ngược dòng với vận tốc (km/h). Đi đoạn đường 44 km nên

thời gian đi là (giờ).

Tổng thời gian xuôi dòng là 78 km và ngược dòng là 44 km mất 5 giờ nên ta

có phương trình: (1).

Ca nô xuôi dòng 13 km và ngược dòng 11 km nên ta có phương trình:

(2). Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình:

.

Đối chiếu với điều kiện ta thấy thỏa mãn.

Vậy vận tốc riêng của ca nô là 24 km/h và vận tốc của dòng nước là 2 km/h.

Câu 4) a) Vì là các tiếp tuyến của

nên . Do là

trung điểm của dây nên

. Từ đó suy ra 5 điểm

cùng nằm trên đườngtròn đường kính .

b) Vì là trung điểm của nên .Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông

Ta có: .

Xét tam giác và tam giác có (Tính chất góc tạo

bởi tiếp tuyến và dây cung). Góc chung .

428

OI

M

H D

C

B

A

K

Nên . Suy ra . Suy ra

nội

tiếp.c) Ta có . Mặt khác cùng chắn

cung CB nên suy ra hay là tứ giác nội tiếp. Do đó

. Mặt khác ta có cùng nằm trên đường tròn đường kính nên . Từ đó suy ra

. Mà Câu 5) Áp dụng bất đẳng thức Cauchy - Schwarz ta có:

Tới đây ta cần chứng minh

.

Mặt khác theo giả thiết ta có: ta có .Nên bất đẳng thức trên luôn đúng. Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi có 2 số bằng 1 và một số bằng 0.

ĐÁP ÁN ĐỀ 2

Câu 1) Điều kiện:

a) Ta có:

b) Suy ra

429

Vậy .

c) Ta có: . Suy ra: .Do đó

.

Câu 2)

Ta có , với mọi .

Do đó phương trình luôn có nghiệm với mọi giá trị của .Theo hệ thức Viet, ta có: và

a) Thay vào , ta được

Vậy hệ thức liên hệ giữa không phụ thuộc vào là .

b) Ta có: .

Suy ra . Vì

Suy ra . Dấu “=” xảy ta khi và chỉ khi

Và . Suy ra

. Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi .

430

Vậy GTLN của bằng khi và GTNN của bằng khi

.Câu 3) Gọi (chiếc) là số tàu dự định của đội Số tàu tham gia vận chuyển là (chiếc)

Số tấn hàng trên mỗi chiếc theo dự định (tấn)

Số tấn hàng trên mỗi chiếc thực tế (tấn)

Theo bài ra ta có phương trình:

. Vậy

đội tàu lúc đầu có 10 chiếc tàu.

Câu 4) Xét hệ phương trình: . Từ phương trình (2)

của hệ ta suy ra thay vào phương trình (1) của hệ ta thu

được: . Hệ có

nghiệm duy nhất khi à chỉ khi phương trình có

nghiệm duy nhất suy ra điều kiện là: .

Khi hệ có nghiệm duy nhất ta lấy phương trình (2) trừ phương trình

(1) thì thu được: . Do đó:

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ

khi: .Vậy với

thì đạt giá trị nhỏ nhất

Câu 5) a) nội tiếp đường tròn đường kính vuông tại Chứng minh tứ giác

431

là hình chữ nhật và .Vậy

nên tứ

giác là hình chữ nhật.

b). Ta có

(c.g.c) . Áp dụng hệ

thức lượng trong các tam giác vuông ta có

(Vì )

, mà nên .

Giả sử cắt tại , cắt tại ; ( cân tại ),

( cân tại ). Do đó

. Ta có (1). Mặt khác cắt nhau tại và

là đường trung trực của . Do đó là trực tâm của (2). Từ (1) và (2) cho trùng nhau. Vậy

thẳng hàng.

c) Đặt nên

. Dấu “=”

xảy ra khi và chỉ khi là giao điểm của nửa đường tròn

với đường trung trực của .

Câu 6) Sử dụng lần lượt các bất đẳng thức Cauchy - Schwarz kết hợp với giả thiết của bài toán, ta được:

432

KI

N

M

E

D

A

H O CB

.

Theo bất đẳng thức AM- GM ta cũng có:

, và

suy ra

. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi .

ĐÁP ÁN ĐỀ 3.Câu 1)

a) Ta có:

.

b) Ta có:

Vì nên .Vậy .

Câu 2) a) Phương trình hoành độ giao điểm của và là:

.

Ta có , với mọi nên phương trình luôn có 2 nghiệm phân

biệt, suy ra đường thẳng luôn cắt tại hai điểm phân biệt. Theo định

lý Viet ta có: ta có . (dùng phương pháp miền giá

trị hàm số- Xem thêm phần ứng dụng trong bài toán GTLN, GTNN) ta dễ

433

tìm được giá trị lớn nhất của là và GTNN của là đạt được khi

và .

b)

Để ý rằng đường thẳng luôn đi qua điểm cố định nằm trên trục

tung. Ngoài ra nếu gọi thì nên hai giao

điểm nằm về hai phía trục tung. Giả sử thì ta có:

với lần lượt là hình chiếu

vuông góc của điểm trên trục . Ta có

. Suy ra

. Theo định lý Viet ta có:

. Thay vào ta có: .

Câu 3) Gọi vận tốc của xe máy là km/h . Khi đó vận tốc của ô tô

là km/h. Theo bài ra ta có phương trình: .

Do đó, vận tốc của xe máy là 40 km/h và vận tốc của ô tô là 60 km/h. Sau

khi gặp nhau, thời gian ô tô đi đến B là: (giờ). Sau khi gặp

nhau, thời gian xe máy đi đến A là: (giờ).

Câu 4)

a) Do đường tròn có đường kính là nên .

Xét hai tam giác và có ;

Và có ; Suy ra . Vậy .

434

b) Do nên là đường kính của đường tròn

. Suy ra .Ta chứng minh .Ta có:

.Do đó hay

.

c) Xét đường tròn , ta có: sđ Xét đường

tròn , ta có: . Suy ra hay tam giác cân tại .Do đó .

Câu 5)

Ta có . Tương tự ta cũng có

và . Do đó

. Vậy

(đpcm). Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi .

ĐÁP ÁN ĐỀ 4

Câu 1) Điều kiện: . Đặt , ta có:

. Thay , ta có:

. Ta có:

435

P

B CH

A

K

E

M

N

Với ta có (thỏa mãn).

Xét : Do và nên . Ta có:

. Do đó là ước

hoặc (loại). Vậy .

Câu 2)

a) Đường thẳng

Xét phương trình (1)

với mọi , suy ra (1) có hai nghiệm phân biệt.

Vậy luôn cắt tại hai điểm phân biệt.

b) Giả sử (1) có hai nghiệm phân biệt

Suy ra thì

Khi đó

Theo định lý Viet thì nên Vậy tam giác vuông tại .

Câu 3)

Đặt (với ). Hệ đã cho trở thành .

Phương trình (2) có dạng .

+ Với thay vào PT (1) tìm được . Ta có hệ phương trình

nên là nghiệm của phương trình , tức là

436

.

+ Với thay vào PT (1) tìm được . Ta có hệ phương trình

nên là nghiệm của phương trình , tức là

.Từ đó suy ra hệ đã cho có tất cả bốn nghiệm như trên.

Câu 4)

a) (g.g) .

b) (định lý đường kính,

dây cung) thuộc đường tròn

đường kính (1). Ta có

(tính chất tiếp tuyến)

thuộc đường tròn đường

kính (2). Ta có (tính chất tiếp tuyến) thuộc đường tròn đường kính (3). Từ (1),(2),(3) suy ra 5 điểm cùng thuộc một đường tròn đường kính .

c) Mà (cmt) . Chứng

minh (c.g.c) Tứ giác nội tiếp.

d) Ta có (cmt), (tứ giác nội tiếp);

( cân tại ). Suy ra .

437

F

H

C

KA

B

E

DMI

O

Ta có ( tại ); (

tại ); (cmt) là phân giác

Xét có là đường phân giác .Ta có tia là tia

phân giác ; ( tại ); là hai góc kề

bù là tia phân giác . Xét có là đường phân giác

. Ta có (cmt); (cmt); (

là trung điểm cạnh ) . Xét có (cmt)

(định lý Ta-lét đảo).

Câu 5) Do . Thiết lập hai bất đẳng

thức tương tự và cộng chúng lại theo vế, ta được:

.Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi . Tiếp theo, ta chứng minh bất

đẳng thức vế bên phải. Do nên ; Từ đó

suy ra: , với đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi

.

ĐÁP ÁN ĐỀ SỐ 5

Câu 1)

a) Điều kiện xác định :

438

Ta có:

b) Ta có

.

c) Đặt thì . Ta có:

Theo bất đẳng thức Cauchy ta có: . Dấu bằng

xảy ra khi và chỉ khi . Vậy

GTNN của là .

Câu 2) a) Phương trình hoành độ giao điểm của và là:

(1). Ta có:

Suy ra phương trình (1) có hai

nghiệm phân biệt với mọi .Vậy luôn cắt tại hai điểm phân biệt.

b) Ta có là hai nghiệm của (1). Theo định lý Viet, ta có:

439

Ta có:

.

Do nên . Dấu bằng xảy ra khi .Vậy .

Câu 3) Gọi vận tốc xe máy là (km/h) Điều kiện .

Gọi vận tốc ô tô là (k,/h). Điều kiện .

Thời gian xe máy dự định đi từ đến là: giờ. Thời gian ô tô dự

định đi từ đến là: giờ. Quãng đường xe máy đi được kể từ khi

gặp ô tô cho đến khi đến là : (km). Quãng đường ô tô đi được kể từ

khi gặp xe máy cho đến khi đến là : (km). Theo giả thiết ta có hệ

phương trình:

Từ phương trình (1) ta

suy ra . Thay vào phương

trình (2) ta thu được: , .

Vậy vận tốc xe máy là km/h. Vận tốc ô tô là 40 km/h.

Câu 4)

440

a) Ta có là đường trung bình của tam giác . Suy ra Vậy tứ giác nội tiếp.

b) Do tứ giác nội tiếp nên

Suy ra .

Do là tiếp tuyến của

nên .Suy ra

.Do đó, tứ giác

nội tiếp. suy ra,

.Vậy

song song với .

c) Gọi là giao điểm của với .Ta có: (so le) . Suy ra

.Xét tam giác vuông có là đường cao. Ta có, . Suy ra hay là trung điểm của .

Câu 5) Từ phương trình 2 của hệ ta suy ra . Xét phương trình:

. Ta có:

.

Theo bất đẳng thức Cô si ta có: . Suy ra

. Ta có

. Suy ra

. Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi .

441

F

A

E

D

N

M

H

S

O

CB

Thay vào phương trình (2) ta thu được:

Suy ra hoặc: Do nên pt này vô nghiệm. Tóm lại:

Hệ có nghiệm: .

ĐÁP ÁN ĐỀ 6Câu 1) Giải:

Điều kiện:

Ta có: (1) (2)

Đặt

Do đó (2)

Với , ta giải phương trình

Với , ta giải phương trình

442

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm .

Câu 2) Lời giải:

Đặt thì .

Suy ra

.

Do đó: ;

;

.

Vì vậy

.

Câu 3) Ta có

Xét dãy , ta chứng minh là một số nguyên.

Xét ta có suy ra là hai nghiệm

của phương trình: .

Ta có hay

.

443

Ta có . Từ đó bằng phép

quy nạp ta dễ dàng chứng minh được là số nguyên . Suy ra là

số chính phương.

Câu 4)

a) Ta có

Suy ra

b) Việc chứng minh trực tiếp đi qua trung điểm của

là tương đối khó. Để ý đến chi tiết cắt đường

tròn tại điểm ta sẽ thấy đối xứng nhau qua , hay là trung điểm . Như vậy ta cần tìm mối quan hệ giữa điểm và điểm

thông qua các tam giác đồng dạng. Xét tam giác và tam giác : Ta thấy , Ta cũng có

suy ra

hay

. Từ đó suy ra

.

c) Giả sử cắt đường tròn tại điểm khác .

Tương tự câu ta có: đối xứng với qua . Suy ra do đó suy ra , giả sử

cắt tại . Ta có:

suy ra tứ giác nội tiếp.

444

Q

N

L

P

OM

K

H

G F

E

DCB

A

Câu 5) Để ý rằng: .

Ta lại có: ;

Nên

.

Sử dụng bất đẳng thức Cauchy- Schwarz ta thu được:

.Từ đó suy ra:

. Chứng minh hoàn tất. đẳng thức

xảy ra khi và chỉ khi .

Câu 6) Vì mỗi số nguyên dương lẻ không vượt quá , ta xây dựng tập gồm các số dạng , trong đó và . Kí hiệu

. Với cách xây dựng trên, khi thì

chỉ có một phần tử là . Vì có đúng số lẻ không vượt quá

nên có đúng tập . Nhận thấy rằng với nguyên dương bất kỳ,

, ta luôn viết được với là số nguyên lẻ, điều này cho thấy mỗi số nguyên từ đến đều thuộc vào ít nhất một trong

tập . Nhưng tập có đúng phần tử, do đó chắc chắn có hai

phần tử của giả sử là cùng thuộc một tập nào đó. Khi đó

và với , suy ra hay là bội của .

ĐỀ SỐ 7

445

Câu 1) Viết lại phương trình đã cho thành:

. Đặt . Ta có

và phương trình đã cho được viết thành:

. Phương trình

có nghiệm hay . Phương trình

vô nghiệm do .Vậy phương tình có một nghiệm

.

Câu 2) Ta có với . Suy

ra . Mặt khác để ý rằng:

. Nếu

suy ra

. Dễ thấy suy ra chẵn

chia cho dư

. Hay . Vậy chữ số tận cùng của là

Câu 3)

a) Ta viết lại phương trình thành:

Đặt . Ta có

. Mặt khác ta có suy ra . Cuối cùng ta thay các trường hợp để tìm hoặc

.

446

b) Ta có .Do đó

. Đặt

thì ta có:

(vì ). Vậy

. Suy ra . Khi đó .

Câu 4) Phân tích định hướng giải:

Ta dễ chứng minh được tính chất sau: Tam giác nội tiếp , các tiếp tuyến tại và cắt nhau tại , cắt tại , cắt tại

. Khi đó và . (Xem thêm phần tính chất cát tuyến, tiếp tuyến)

Trở lại bài toán:

+ Áp dụng kết quả bài toán ta có: .

+ Từ kết quả chú ý rằng: lần lượt là trung tuyến của các tam giác nên suy ra (1) , tương tự

(2) .

447

A

B C

O

H

D

TR

O

P Q

F E

NM

LK

T

S

CB

A

+ Ta có (do nội tiếp và ). Từ đó suy

ra tứ giác nội tiếp nên ta có: (3).

Từ (1), (2), (3) ta có: .

Câu 5)

a) Ta có:

Mặt khác là tích của hai số nguyên liên tiếp nên

không âm, do đó hoặc . Do nên là số nguyên dương.

b) Vì nên

Do đó

Suy ra nằm giữa hai số chính phương liên tiếp nên không là số chính phương.

ĐỀ SỐ 8

Câu 1)

Điều kiện .

Phương trình tương đương với:

(thỏa mãn).

448

Câu 2) Ta có:

(1).

(2). Từ (1) và (2) suy ra , khi đó

. Do đó .

Câu 3) Giả sử số tự nhiên thỏa mãn đề bài. Khi đó tồn tại số nguyên dương sao cho

.

Suy ra hay .

Suy ra .

Câu 4)

a). Ta có : Tứ giác nội tiếp nên : suy ra

(cùng bù với 2 góc bằng nhau) .

449

IGF

ET M

D

O

CB

A

b). Ta thấy rằng: ( g. g) suy ra

suy ra nên , tam giác nhọn suy ra

nằm trong tam giác suy ra (cùng chắn cung ). Từ đó suy

ra suy ra và suy ra .

c). Từ chứng minh trên ta có: . Suy ra

hay tứ giác nội tiếp nên

suy ra là phân giác của góc . Gọi là giao

điểm của với . Ta có nên nội tiếp. Mặt khác nên là tâm vòng tròn nội tiếp tam giác .

Chú ý: Trong phần chứng minh ta đã sử dụng bổ đề sau: ‘’Cho tam giác nội tiếp , ngoại tiếp . Đường thẳng cắt tại thì

’’ Phần chứng minh dành cho các em học sinh.

Câu 5) Nhận xét rằng trong tập hợp có phần tử, các phần tử đều có dạng với . Trước hết, ta tìm các cặp hai phần tử phân biệt trong là sao cho

Với thì . Với thì suy ra hai phần tử bằng nhau.

Loại trừ hai phần tử trên, 32 phần tử còn lại cho ta 16 cặp hai phần tử phân biệt thỏa mãn đó là

(*) Nếu ta lấy ra 19 số bất kỳ từ tập thì có thể xảy ra một trường hợp “xấu” nhất là 16 số mà mỗi số thuộc vào 16 cặp ở (*) và thỏa mãn . Vì tập con có 19 phần tử nên nó thỏa mãn bài toán (đpcm).

ĐÁP ÁN ĐỀ SỐ 9.

Câu 1) Ta có

450

. Suy ra

. Điều này tương đương với

hệ: . Cộng theo vế ba đẳng thức trên ta

được .

Câu 2) Trước hết ta có nhận xét: Với mọi số nguyên thì

. Áp dụng vào bài toán ta có:

và

. Mặt khác ta

cũng có: từ đó suy ra

và

.

Do đó

vậy .

Câu 3)

451

a) Từ phương trình ( 2) ta có:

Hay

. Thay vào phương

trình đầu tìm được nghiệm của hệ là: .

b) Giả sử .

Theo giả thiết ta có: . Mặt khác ta dễ

dàng chứng minh được:

suy ra

hay .

Câu 4) Phân tích định hướng giải.

a). Từ giả thiết

.

Mặt khác do tứ giác nội

tiếp nên .Từ đó suy ra .

Hay là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác .452

T

D

SR

Q

P

CB

A

b). Từ chứng minh trên ta suy ra ,Ta có

nên là phân giác trong của góc . Dựng đường thẳng qua cắt

tại thì là phân giác ngoài góc . Ta có

suy ra

hay là trung điểm của . Vậy tam giác cân tại .

c). Ta có suy ra

. Hay

. Vậy tứ giác nội tiếp. Suy ra điều phải chứng minh.

Câu 6) Với , ta có

Lấy tích từ đến ta được (1)

Ta có , với mọi . Lấy tích từ đến , ta được

Mặt khác vì nên suy ra .

Do đó (2)

Từ (1) và (2) ta có đpcm.

ĐỀ SỐ 10

Câu 1) Đặt ta có .

453

Từ phương trình đã cho ta có hệ phương trình: (*)

Trừ từng vế hai phương trình của hệ ta được

Với thay vào phương trình đầu của hệ (*) ta được:

Vì nên suy ra thỏa mãn phương trình đã cho.Với , thay vào phương trình đầu của hệ (*) ta được

Vì nên suy ra . Do đó hệ (*) vô nghiệmVậy phương trình có nghiệm .

Câu 2) Để ý ta thấy: ta có nên suy ra:

do

. Mặt khác ta có:

. Suy ra là hợp số.

Câu 3)

Vì nên theo tính chất c) ta có: .

Mặt khác theo tính chất a) có nên

Khi đó

Ta có , suy ra

Do đó (đpcm).

454

Câu 4)

a). Ta có suy ra là phân giác của góc và

. Nên nên tứ giác nội tiếp

b). Vì tứ giác nội tiếp nên và và cắt

nhau theo dây cung nên suy ra đối xứng qua suy ra

suy ra tứ giác nội tiếp nên 5 điểm

cùng nằm trên một đường tròn . Ta có: suy

ra nội tiếp đường tròn .

c). Ta thấy điểm là trực tâm của tam giác và là trục đẳng phương của hai đường tròn nên cắt tại thì

455

G

H

P O

N

ML

D

F

E

CB

A

suy ra . Mặt khác nên

suy ra nên tứ giác là hình bình

hành. Từ đó suy ra .

Câu 5) Ta có

Suy ra trong ba số luôn tồn tại hai số có tích không âm.

Không mất tính tổng quát, giả sử , suy ra .

Do đó hay .Sử dụng BĐT

Cauchy và , ta có:

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi .

HẾT

456