ANALISIS KOMPLEKS

FUNGSI KOMPLEKS, ELEMENTER, DAN RASIONAL

Disusun Oleh :

Salim NIM 2014 121 082

Yulisa Aulia NIM 2014 121 090

Resti Juika NIM 2014 121 105

Siti Musarofah NIM 2014 121 111

Linda Yani NIM 2014 121 122

Kelas : 4C

Dosen Pengasuh : Eka Fitri Puspa Sari,M.Pd

UNIVERSITAS PGRI PALEMBANG

FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN

JURUSAN PENDIDIKAN MIPA

PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA

2016

FUNGSI KOMPLEKS, ELEMENTER DAN RASIONAL

A. Fungsi Kompleks

1. Pengertian

Jika z = x + yi, z dipandang sebagai variabel, maka w = f(z) adalah fungsi z,

yang merupakan fungsi komplek.

Karena w = f(x) komplek, maka dapat dinyatakan w = u(x,y) + v(x,y).i yang

mana u(x,y) dan v(x,y) adalah fungsi-fungsi real dengan variabel-variabel real x

dan y, atau dengan variabel-variabel polar w = u(r,) + v(r,).i.

Misal:

1. w = f(z) = (x + y) + (x - 2y).i

untuk z = 3 - 4i maka

w = f(z)

w = f(x + yi) = f(3 - 4i)

w =-1 + 11i

2. w = f(z) = x2 - y2 + (x2 + y2).i

w = f(1 –√3 i) = -2 + 4i

3. w=f(z)=r2-2.i

untuk z = 1 +√3 i, w = ?

jawab

z = 1 + √3 i r = 2

θ=13

π

w= f (1+√3 i )= 43

π−23

π . i

A. Daerah Definisi Fungsi Komplek

a. Daerah terbatas

b. Daerah tak terbatas

c. Daerah tertutup

1

d. Daerah terbuka

Contoh:

Gambarlah daerah komplek

D = {z||z-2| 3}

Jawab

|z - 2| 3 |x + yi - 2|3

|x – 2 + yi|3

√ ( x−2 )2+y 2≤3 (x - 2)2 + y2 9

daerah tertutup. Daerah di dalam lingkaran dan lingkarannya ikut.

B. Kontinuitas f(z)

Def. f(z) kontinu di z = z0 jika dipenuhi:

1. f(zs) ada

2. z→ z0

limit f ( z ) ada

3. f ( zο ) = z→ z 0

lim it f ( z )

Contoh

Selidiki apakah f(z) = z2 – 4 kontinu di z=1+2i

Jawab:

f(1+2i)=(1+2i)2-4=-7+4i

Sama kontinu di

z=1+2iLimit (z2-4)=-7+4i z1+2i

2

B. Fungsi Elementer

Fungsi Elementer terdiri dari

1. Fungsi Eksponensial

2. Fungsi Logaritma

3. Fungsi Pangkat

4. Fungsi Trigonometri

1. FUNGSI EKSPONENESIAL

Sebelum mengetahui lebih lanjut ( bagian 13 ), disini kita definisikn fungsi

eksponensial ez dapat ditulis

( 1 ) ex=ex e iy ( z=x+iy )

Dimana rumus sebslumnya ( lihat bagian 6 )

( 2 ) e iy=cos y+isin y

Dan gunakan y untuk mendapatkan radians. Dari sini didapat definisi bahwa ez

mengurangi ke fungsi eksponensial yang biasa dalam kalkulus dimana y=0; dan

beberapa penjelasan di kalkulus, sering ditulis exp z untuk ez.

Catatan bahwa pada saat suku ke – n positif akar n√e dari e adalah untuk

menentukan ez dimana x=1n (n=2 ,3 , … ), pernyataan ( 1 ) menceritakan bahwa fungsi

eksponensial komplek ez adalah juga. n√e dimana x=1n (n=2 ,3 ,… ). Kecuali untuk

penjelasan ( bagian 8 ) bahwa biasanya mengharuskan untuk menggantikan e1n seperti

kumpulan dari suku ke – n akar dari e.

Sesuai dengan definisi ( 1 ), ex e iy=ex+iy ; dan titik – titik keluar di bagian 13,

definisi ini mengingatkan dari penyebab sifat

ex1 ex2=ex1+x2

ex adalah merupakan perluasan dari sifat di kalkulus,

( 3 ) z1=x1+ iy1 dan z2=x2+ iy2

Maka

ez 1ez 2=(ex1 eiy 1 ) (ex2 eiy 2 )=( ex1 ex2 ) (e iy1 eiy 2 )

3

Tetapi x1 dan x2 keduanya real, dan kita mengetahuinya dari bagian 7, bahwa

e iy1 e iy2=ei ( y1+ y2)

Dari sini

ez 1ez 2=e ( x1+x2 )e i ( y1+ y2) ;

Dan didapat

( x1+x2 )+i ( y1+ y2 )=( x1+i y1 )+( x1+iy2 )=z1+z2

The right – hand terakhir karena dari pernyataan ez 1+z 2 . sifat ( 3 ) tidak dapat di

tegakkan.

Bagaimana melihat sifat ( 3 ) memungkinkan untuk menulis ez 1−z2 ez2=ez1 , atau

( 4 ) ez1

ez2=ez1−z2

Dari sini dinyatakan fakta bahwa e0=1 , ini mengikuti bahwa 1ez =e− z

.

Ada suatu bilangan dari sifat sebelumnya bahwa ez yang diharapkan. Sesuai

dengan contoh 1 bagian 21, untuk contoh,

( 5 ) ddz

ez=ez

Masing – masing dimana pada bidang z. Catatan bahwa perbedaan dari ez untuk

semua z menceritakan bahwa ez adalah seluruhnya ( bagian 23 ). Itu benar juga bahwa

( 6 ) ez ≠ 0 untuk sembarang bilangan komplek z

Ini jelas ditulis pada definisi ( 1 ) di bentuk

ez=0 e i∅ dimana 0=ex dan ∅= y

Yang mana menceritakan bahwa

( 7 ) |e z|=ex dan arg (ez )= y+2 nπ (n=0 , ±1 , ±2 , . .. )

Pernyataan ( 6 ) maka mengikuti pengamatan dari bagian |e z| adalah selalu positif.

Sementara sifat dari ez ini, bagaimanapun, tidak diharapkan. Untuk contoh,

dimisalkan

ez+2πi=ez e2 πi dan e2πi=1

Kita tentukan bahwa ez adalah berkala, dengan teory periode imajiner 2 πi :

( 8 ) ez+2πi=ez

Menurut contoh illustrasi lainnya sifat dari ez bahwa ex tidak mempunyai .

yaitu , saat ex tidak pernah negative, maka nilai dari ez ada.

4

Contoh. Nilai di z ada, dari contoh, tunjukkan bahwa

( 9 ) ez=−1

Untuk menentukan , kita tulis persamaan ( 9 ) ex e iy=1 e iπ. Maka , pandanglah dari

pernyataan dalam yang bercetak miring diawal bagian 8 mengenai persamaan dua

bilangan komplek nonzero dalam bilangan eksponensial ,

ex=1 dan y=π+2 nπ (n=0 , ±1 , ±2 , . .. )

Jadi ¿0 , dan kita tentukan bahwa

( 10 ) z=(2n+1 ) πi (n=0 , ±1 , ±2 , … ).

2. FUNGSI LOGARITMA

Alasan untuk definisi dari fungsi logaritma adalah dasar memecahkan

persamaan

ew=z (1)

Untuk w , dimana z adalah bilangan kompleks tidak nol, dengan ini dicatat dimana

z dan w dapat ditulis z=r e iθ (−π<θ ≤ π ) dan w=u+iv , persamaan (1) menjadi :

eu eiv=r e iθ

Pada pernyataan Italy di bagian 8 memiliki persamaan pada dua bilangan kompleks

yang tepat pada bentuk eksponen :

eu=r dan v=θ+2nπ

Dimana n adalah integer, dari persamaan ru=r adalah sama pada u=ln r, itu

mengikuti persamaan (1) adalah sesuai jika hanya jika w bernilai 1.

w=lnr+ (θ+2nπ ) n=(0 , ±1 , ±2 , … )

Sehingga dapat ditulis

log z= lnr+ (θ+2 nπ ) n=(0 , ±1 , ±2 , … ) (2)

Memiliki hubungan sederhana,

e log z=z z≠ 0 (3)

Dengan alasan yang sesuai pada persamaan (2) pada definisi (multiple-value) fungsi

logaritma dari bilangan kompleks tidak nol z=r e iθ.

Contoh 1.

Jika z=−1−√3 i ,makar=2 danθ=−2π3

oleh karena itu,

5

log (−1−√3 i )=ln 2+ i(−2 π3

+2nπ ) ¿ ln 2+2(n−1

3 )πi

n=(0 , ±1 , ±2 , … )

Jika diperjelas lebih lanjut hal itu adalah tidak benar pada ruas kanan dari

persamaan (3) dengan urutan dari eksponen dan fungsi logaritma mereduksi z, sangat

jelas dipersamaan (2) bisa ditulis :

log z= ln|z|+ iarg z

|e z|=ex dan arg (ez )= y+2 nπ n=(0 , ±1 , ±2 , … )

Dimana z=x+iy diketahui bahwa

log (e z ) ln|ez|+i arg (ez )=ln (e x)+i ( y+2 nπ )=( x+iy )+2nπi

[n=(0 , ±1 , ±2 , … ) ]

Lalu,

log (e z )=z+2nπi n=(0 , ±1 , ±2 , … ) (4)

Dengan nilai utama dari log z adalah nilai yang diperoleh dari persaman (2)

saat n=0 ada dan ditandai dengan log z. Sehingga

log z , lalu,log z= lnr+ iθ (5)

Dengan catatan log z terdefinisi dengan baik dan single – value (nilai tunggal) dimana

z≠ 0 dan kemudian,

log z= log z+2 nπi n=(0 , ±1 , ±2 , … ) (6)

Hal ini mengulang kembali sifat logaritma pada kalkulus dimana z adalah bilangan

real positif z=r dapat dilihat ini satu – satunya yang ditulis z=r e iθ yang mana dari

persamaan (5) menjadi

log z= lnr , kemudian log r=ln r

Contoh 2.

Dari pernyataan (2), ditemukan

log 1=ln1+i (0+2 nπ )

¿2nπi n=(0 , ±1 , ±2 , … )

Yng mana, log 1=0

6

Pada contoh terakhir ini mengingatkan kembali, walaupun tidak digunakan

untuk menemukan logaritma bilangan real negative pada kalkulus, kita dapat

menggunakannya saat ini.

Contoh 3

Diamati bahwa,

log (−1 )= ln 1+ i ( π+2nπ )

¿ (2n+1 ) πi n=(0 , ±1 , ±2 ,…)

Dan

log (−1 )=πi

3. Fungsi Trigonometri

Persamaan menjelaskan bahwa

e ix=cos x+i sin x dan e−ix=cos x−isin x

Pada setiap bilangan rill x, dan diikuti dari pertanyaan bahwa

e ix−e−ix=2 isin x dan e ix+e−ix=2cos x

Sehingga,

sin x= e ix−e−ix

2 i dancos x= e ix+e−ix

2

Oleh karena itu, secara alamiah untuk menetapkan sinus itu dan fugsi cosinus dari

suatu variabel kompleks z seperti berikut :

(1) sin z= e iz−e−iz

2i , cos z= e iz−e−iz

2

Fungsi itu adalah keseluruhan saat menggabungkan garis-garis lurus (latihan 3,

bagian.24) dari keseluruhan fungsi eiz

dan e−iz

. Diketahui turunannya dari fugsi

eksponensial itu, ditemukan dari pertanyaan (1) bahwa

(2)

ddz

sin z=cos z ,

ddz

cos z=−sin z .

Itu adalah mudah dengan melihat dari defenisi (1) bahwa

(3) −sin(−z )=−sin z dan cos (−z )=cos z

7

Dan suatu variasi identitas yang lain dari trigonometri adalah benar pada variabel

kompleks.

Contoh. Tunjukkan bahwa

(4) 2 sin z1 cos z2=sin (z1+ z2)+sin (z1+ z2) ,

Gunakan defenisi (1) dan baik dari fungsi ekspoesial, pertama ditulis

2 sin z1 cos z2=2( eiz1−e−iz1

2 i)( eiz 2−e−iz 2

2)

Kemudian dilakukan perkalian untuk menghilangkan di sebelah kanan

( ei( z 1+z 2)−e−i ( z 1+z 2)

2 i+ ei( z 1−z 2)−e−i( z1−iz2 )

2 i

Atau

sin( z1+z2 )+sin( z1+z2 );

Dan identik (4) yang tidak bisa dipungkiri

Idetik (4) dipelajari pada identitas (lihat latihan 3 dan 4)

(5) sin( z1+z2 )=sin z1 cos z2+cos z1 sin z2 ,

(6) cos ( z1+z2)=cos z1cos z2−sin z1sin z2 ,

Dan dari persamaan diatas ditujukkan bahwa

(7) sin2 z+cos2 z=1 ,

(8)sin 2 z=2 sin z cos z , cos2 z=cos2 z−sin2 z ,

(9) sin( z+ π

2)=cos z , sin( z− π

2)=−cos z .

Ketika y adalah suatu bilangan rill, pertama dapat digiakan defenisi (1) dan fungsi

hiperbola

sinh y= e y−e− y

2 dan cosh y= e y−e− y

2

Pada kalkulus dituliskan

(10) sin( iy )=i sinh y dan cos ( iy )=cosh y

Merupakan rill dan bagian imajiner dari sin z dan cos z kemudian diperlihatkan

dengan mudah degan menulis z1= x dan z2=iy pada identitas (5) dan (6):

(11) sin z=sin x cosh y+i cos x sinh y ,

8

(12) cos z=cos xcosh y−i sin x sinh y ,

Dimana z=x+iy .

Suatu bilangan dibutuhkan benar dari sin z dan cos z dengan mendekati dari ekspresi

(11) dan (12).sifat berkala dari fungsi itu, sebagai contoh, adalah jelas :

(13) sin( z+2 π )=sin z , sin( z+π )=−sin z ,

(14) cos ( z+2 π )=cos z , cos ( z+π )=−cos z .

Juga (lihat latihan 9)

(15) |sin z|2=sin2 x+sinh2 y ,(16) |cos z|2=cos2 x+sinh2 y

Karena sinh y tak terbatas, ini benar dari dua persamaan sin z dan cos z

adalah tidak berbatas pada bidang kompleks, di mana nilai mutlak dari sin x dan cos x

adalah kecil atau sama dengan semua nilai pada x.(lihat definisi dari batas pada akhir

bagian 17).

Nilai nol pada sebuah fungsi f ( z )merupakan nilai dari z0 sedemikian sehingga

f ( z0 )=0.karen a sin z merupakan fungsi sinus biasa dalam kalkulus di mana z adalah

real, diketahui bahwa nilai real z=nπ (n=0 ,± 1 ,± 2 , …) semuaqnya bernilai nol pada

sin z. Untuk menunjukkan bahwa tidak ada nilai nol yang lain, diasumsikan bahwa

sin z=0 dan caranya mengikuti dari persamaan (15) bahwa

sin2 x+sinh2 y=0

Jadi,

sin x=0 dan sinh y=0

Dengan jelas, dimana x=nπ (n=0 ,± 1 ,± 2 , …) dan y=0, sehingga

(17) sin z=0 jika dan hanya jika z=nπ (n=0 ,± 1 ,± 2 ,…)

Karena

cos z=−sin(z− π2 )

Berdasarkan identitas (9) yang ke 2

(18) cos z=0 jika dan hanya jika z=π2+nπ (n=0 ,± 1 ,± 2 , …)

Jadi, ini merupakan keadaan yang sebenarnya dengan sin z, nilai nol pada

cos z semuanya real.

9

Empat fungsi trigonometri lainnya menegaskan hubungan dari fungsi sinus

dan cosinus dengan hubungan-hubungan:

(19) tan z= sin zcos z

,cot z=¿ cos zsin z

¿

(20) sec z= 1cos z

,csc z= 1sin z

Selidiki bahwa persamaan tan z dan sec z adalah analitik di mana-mana

kecuali pada keistimewaan (bagian 23)

z= π2+nπ (n=0 ,± 1 ,± 2 , …)

Di mana nilai nol pada cos z. Demikian juga, cot z dan csc z mempunyai

keistimewaan pada nol dari sin z, yakni

z=nπ (n=0 , ±1 , ± 2, … )

Dengan menurunkan persamaan sebelah kanan (19) dan (20), didapatkan

rumus turunan

(21) ddz

tan z=sec2 z , ddz

cot z=−csc2 z

(22) ddz

sec z=sec z tan z , ddz

csc z=−csc z cot z

Kadangkala tiap fungsi trigonometri ditegaskan dengan persamaan (19) dan

(20) ikut dijelaskan dari persamaan (13) dan (14). Untuk contoh:

(23) tan ( z+π )=tan z

Pemetaan properties dari transformasi w=sin z adalah sangat penting untuk

aplikasi selanjutnya. Saat belajar memilih properties cukup dengan membaca bagian

89 (chap 8), di mana pemetaan tersebut didiskusikan.

C. Fungsi Rasional

1. SUKU BANYAK

Sebelum membicarakan fungsi rasional ada baiknya kita ketahui terlebih

dahulu mengenai apa yang disebut dengan suku banyak. Suku banyak disebut pula

polinomial. Pada paket ini hanya dibicarakan suku banyak dalam satu peubah.

Bentuk umum dari suku banyak adalah sebagai berikut:

an xn+an−1 xn−1+an−2 xn−2+. ..+a1 x+a0 denganan≠0

10

Bilangan n disebut derajat suku banyak. Bilangan-bilangan

an , an−1 , an−2 ,. . ., a1 , ao disebut koefisien suku banyak. Jika koefisien-koefisien suku

banyak merupakan bilangan-bilangan nyata, maka suku banyaknya disebut suku

banyak nyata (real polynomials). Jika koefisien-koefisien suku banyak merupakan

bilangan-bilangan rasional, maka suku banyaknya disebut suku banyak rasional

(rational polynomials). Dalam paket ini yang dibicarakan adalah suku banyak

rasional. Mirip dengan fungsi, suku banyak sering dinyatakan dengan P(x), Q(x),

dan sebagainya.

2. DEFINISI FUNGSI RASIONAL

Fungsi adalah relasi yang menghubungkan elemen himpunan pertama (domain)

secara tunggal pada elemen himpunan yang lain (kodomain). Artinya fungsi tidak

akan pernah memiliki dua pasangan yang terdiri dari elemen pertama yang sama.

Penulisan fungsi dilambangkan dengan

f : x → y

dibaca “ f adalah fungsi dari x ke y”. Anggota y yang menjadi pasangan x oleh f

disebut bayangan x dan ditulis

y=f ( x )

dibaca “ f dari x”.sedangkanekspresi rasional adalah ekspresi yang dapat

dinyatakan dalam bentuk pecahan

ab

,b≠0.

Sehingga dapat disimpulkan bahwa fungsi rasional kadang-kadang juga

disebut sebagai fungsi pecah adalah fungsi yang dirumuskan oleh

f ( x )=P( x )Q( x )

, P( x ) ,Q (x ) merupakan polinmomial dalam x dan Q( x )≠0 pada

domainnya.

Contoh-contoh fungsi pecah adalah sebagai berikut

f ( x )= 5x

, f ( x )=2 x−3x+2

, f ( x )= x2+4 x+3x−5

, f (x )= x2+4 x+3x2+3 x−5

3. MENGEVALUASI FUNGSI RASIONAL

Konsep fungsi dalam matematikan umumnya diartikan sebagai pemetaan

yang menghubungkan dua himpunan yang terpisah, yaitu daerah asal (domain) dan

11

daerah hasil (range). Persamaan atau kesamaan akan terjadi apabila jumlah anggota

himpunan yang berhubungan adalah sama, sehingga satu anggota daerah asal

berhubungan hanya dengan satu anggota daerah hasil, Edward (Dahlan,2004).

Mengevaluasi fungsi rasional dapat dilakukan dengan cara subtitusi suatu

nilai x atau suatu nilai y yang diinginkan untuk mendapatkan hubungan, dimana x

merupakan domain dan y adalah range.

Contoh 1 :

Evaluasi fungsi rasional r ( x )= x2+2 x−24

x2−7 x+12,untuk x = -5

Untuk menjawab soal seperti ini, cukup dengan mengganti atau subtitusi nilai 5

untuk setiap x pada fungsi lalu disederhanakan.

r (−5 )=(−5)2+2(−5 )−24(−5)2−7 (−5 )+12

=25−10−2425+35+12

=−972

=−18

4. OPERASI PADA FUNGSI RASIONAL

Mengoperasikan fungsi rasional tidak jauh berbeda dengan cara

mengoperasikan pecahan, yang membedakan fungsi ini menggunakan polinomial

pada pembilang dan penyebutnya, sehingga dibutuhkan banyak ketelitian.

Untuk mempermudah pengoperasiannya, akan lebih baik jika polinomialnya

di sederhanakan terlebih dahulu dengan menggunakan faktor (jika bisa), namun

ketika polinomialnya tidak bisa difaktorkan denga cara yang biasa, maka tak perlu

memaksakan untuk menggunakan metode lain karena akan terlihat lebih rumit,

cukup mengerjakan tanpa mengubahnya.

Bentuk umum beberapa pengoperasian fungsi rasional, jika diketahui

g( x )=P( x )Q( x ) dan

h( x )=R (x )S (x )

1.

(h±g )( x )=R( x )S( x )

±P (x )Q( x )

=R ( x )Q (x )±P( x )S ( x )

S( x )Q( x )

2.

(h⋅g )( x )=R( x )S( x )

⋅P( x )Q(x )

=R( x )⋅P ( x )S ( x )⋅Q( x )

3.

(h÷g )( x )=R( x )S( x )

÷P (x )Q( x )

=R ( x )S ( x )

⋅Q( x )P( x )

=R( x )⋅Q( x )S (x )⋅P( x )

12

5. NILAI NOL FUNGSI RASIONAL

Jika diketahui fungsi f ( x )=

P( x )Q( x )

,maka nilai (nilai-nilai) x yang

menyebabkan f(x) = 0 disebut nilai nol dari fungsi f(x). Nilai nol disebut juga

pembuat nol atau harga nol. Dapat dibuktikan bahwa jika f(x) = 0, maka juga P(x)

= 0. Jadi, untuk mencari nilai nol fungsi f ( x )=

P( x )Q( x )

,cukup dengan mencari nilai

(nilai-nilai) yang menyebabkan P(x) = 0.

Namun perlu diingat bahwa nilai x yang menyebabkan P(x) = 0 belum tentu

merupakan nilai nol fungsi f(x). Ini terjadi kalau nilai x tersebut ternyata juga

membuat Q(x) = 0. Untuk x yang bersama-sama membuat P(x) dan Q(x) bernilai

nol menyebabkan f(x) mempunyai nilai tak tentu. Misalnya, pada

f ( x )= x2+x−2x2+2x−3

, nilai x = 1 bukan nilai nol (pembuat nol) dari fungsi f(x)

sekalipun untukP( x )=x2+ x−2 berlaku P(1) = 0. Ini karena juga berlaku Q(1) =

0, sehingga f(1) bernilai tak tentu. Tidak setiap fungsi pecah mempunyai nilai nol.

Ini terjadi kalau P(x) tidak mungkin bernilai nol.

Seperti diketahui, nilai nol suatu fungsi berkaitan dengan koordinat titik

potong grafik dengan sumbu X. Jadi, kalau x = a adalah nilai nol dari fungsi f(x),

maka (a, 0) adalah koordinat titik potong grafik dengan sumbu X.

Contoh 2 :

Diketahui fungsi f ( x )= x2+4 x+3

3x−5,Nilai nol dari fungsi tersebut dapat

diketahui dengan cara sebagai berikut:

x2+4 x+3=0⇔( x+1 )( x+3 )=0⇔ x=−1∨x=−3Jadi, nilai nol dari fungsi tersebut adalah x = -1 dan x = -3 dan grafik fungsi

f(x) memotong sumbu X di titik (-1,0) dan (-3,0). Jika pada fungsi f ( x )=

P( x )Q( x )

,

P(x) adalah suku banyak berderajat dua dalam bentuk ax + bx + c, maka nilai nol

fungsi f(x) dicari dari persamaan kuadrat P(x) = 0 atau persamaan kuadrat ax + bx +

c = 0. Ini berarti ada atau tidaknya nilai nol fungsi f(x) tergantung kepada

13

diskriminan dari persamaan kuadrat. Jika D<0 maka f(x) tidak mempunyai nilai

nol. Jika D=0 , maka f(x) hanya mempunyai satu nilai nol. D>0 maka fungsi f(x)

mempunyai dua nilai nol. Ingat kembali bahwa yang dimaksud diskriminan dari

persamaan kuadrat ax + bx + c = 0 adalah D=b2−4 ac

6. NILAI KUTUB FUNGSI RASIONAL

Selain dikenal adanya nilai nol, dikenal pula adanya nilai kutub (pole) suatu

fungsi pecah. Jika diketahui fungsi f ( x )=

P( x )Q( x )

, maka nilai (nilai-nilai) x yang

menyebabkan Q(x) = 0 disebut nilai kutub dari fungsi f(x). Nilai kutub fungsi f(x),

misalnya x = a, menyebabkan f(x) tidak mempunyai nilai (tidak terdefinisi) pada x

= a tersebut. Andaikan mempunyai nilai, maka nilai tersebut merupakan nilai tak

tentu yang berasal dari pembagian nol dengan nol. Nilai tak tentu ini diperoleh jika

nilai kutub fungsi juga sekaligus merupakan nilai nol fungsi.

Karena alasan di atas tersebut, nilai kutub tidak menjadi anggota daerah asal

suatu fungsi. Hal ini supaya definisi fungsi yang mengharuskan setiap anggota di

daerah asal dikawankan dengan anggota di daerah kawan dapat dipenuhi. Ini berarti,

pada pembicaraan mengenai fungsi pecah ini diperjanjikan bahwa daerah asal fungsi

adalah himpunan bilangan nyata (real) dikurangi dengan titik-titik kutub fungsinya.

Contoh 3 :

Diketahui fungsi f ( x )= x2+4 x+3

x−5. Nilai kutub dari fungsi tersebut dapat

dicari sebagai berikut,

x−5=0⇔ x=5

Jadi, nilai kutub dari f ( x )= x2+4 x+3

x−5 adalah x = 5. Ini berarti bahwa f(x) tidak

mempunyai nilaiuntuk x = 5, sebab f (5)=

52+4 (5)+35−5

=430

=takterdefinisi

Perhatikan bahwa daerah asal fungsi pada Contoh 2 adalah{x|x∈ R ;x≠5}.

Oleh karena itu, penulisan yang tepat rumus fungsi tersebut adalah

f ( x )= x2+4 x+3x−5

; x≠5. Namun biasanya, keterangan bahwa x≠5 tidak ditulis.

Pembaca diharapkan dapat memahami hal ini, sebab kadang-kadang suatu soal

14

meminta untuk mencari nilai kutubnya. Kalau nilai kutubnya sudah ditulis, soal

tersebut menjadi tidak berarti lagi. Nilai nol dan nilai kutub suatu fungsi pecah

dapat dipakai untuk menentukan pada interval mana f(x) berharga positif atau

berharga negatif. Cara mencarinya menggunakan prinsip penyelesaian

pertidaksamaan.

DAFTAR PUSTAKA

 

Habilih.2011.Fungsi Rasional. (online).

https://habilih.wordpress.com/2011/01/10/fungsi-rasional/ (diakses pada 11

April 2016 pukul 14.49)

.

15

16