Warszawa, 12.01.2005

Modeling Market Mechanism with Modeling Market Mechanism with Minority GameMinority Game

Damien Challet, Matteo Marsili, Yi-Cheng ZhangDamien Challet, Matteo Marsili, Yi-Cheng Zhang

Modelowanie Mechanizmów Modelowanie Mechanizmów Rynkowych za pomocą Gry Rynkowych za pomocą Gry

MniejszościowejMniejszościowej

Patryk Bąkowski . . : Modelowanie Mechanizmów Rynkowych za pomocą Gry Mniejszościowej : . .

Warszawa, 12.01.2005


N graczy wybiera niezależnie jedną z dwóch pozycji ( 0 lub 1)

Gracze znajdujący się w mniejszości wygrywają

Gracze posługują się strategiami wynikającymi z przeszłych posunięć

„Pamięć” gracza jest ograniczona – gracz pamięta M poprzednich gier

Gra Mniejszościowa


Przykład: ilość możliwych strategii przyjęcia jednej z pozycji w zależności od M

Przykładowa strategia: M=3

Gra Mniejszościowa

Pamięć Przewidywanie

000 1

001 0

010 0

011 1

100 1

101 0

110 1

111 0

Mamy 2M = 8 możliwych posunięć w zależności od 3 bitowej pamięci

Przy M=3 strategii jest zatem 22M = 256

Odpowiednio dla M= 2,3,4,5 będzie 16, 256, 65536, 655362 strategii


Po ustaleniu wielkości „pamięci” graczy losujemy każdemu S strategii

Gracz może „próbować” strategie bądź trzymać się jednej

Strategie mogą być analizowane tj. po każdej grze gracz może analizować która strategia przyniosłaby zysk

Aby grać efektywnie gracz musi analizować cały czas strategie

Gra Mniejszościowa


1. Zróżnicowanie strategii - wiele alternatywnych strategii nie występują znaczne korelacje

2. Dwa typy agentów: producenci i spekulanci. Producenci nie maja alternatywnych strategii; spekulanci - standardowy model gracza MG. Producenci dostarczają informacji na rynek

3. Agenci nie są zobowiązane, by grać, jeśli nie widzą możliwości zysku

4. „Kupcy szumiący” – agenci posługujący się przypadkowymi strategiami

5. Są lepsi i gorsi agenci a ich rozkład jest nie Gaussowski

6. Pamięć M każdego z graczy może ulegać zmianom 7. Agentom opłaca się posiadanie wielu strategii choć wykorzystują niewiele z nich

8. Niektórzy agenci mogą dostać nielegalną informację o innych agentach

Modelowanie Rynku – Główne założenia


Modelowanie Rynku – Podstawa

N agentów mogących w danej chwili t kupować bądź sprzedawać - kupno

- sprzedaż

Wygrana agenta i-tego będzie dana wzorem:

gdzie

Wzór ten pokazuje podstawową zależność kiedy to wypłata agenta zależy od posunięć wszystkich graczy.Mniejszość graczy zyskuje w ten sposób |A(t)| ; większość traci -|A(t)|

Zawsze jest więcej przegranych niż wygranych

)()()( tAtatg ii

N

jj tatA

1

)()(

1)(

1)(

ta

ta

i

i



Agenci mają dostęp do danych historycznych – μ(t)

μ(t) – liczba całkowita przyjmująca jedną z P wartości gdzie P = 2M

M w tym przypadku to M wartości znaku A(t)

Czyli np.:

M=2 P=4

Przyjmujemy zapis:

P 1 2 3 4

M -- -+ +- ++

Jeżeli w chwili t mamy do czynienia z historią A(t) w postaci +- to P = 3 czyli μ(t)=3



W zależności od wartości μ(t) agenci mogą się różnie zachowywać

przez co A(t) zależy także od μ(t) czyli Aμ(t)(t)

Pod wpływem informacji μ(t) agenci rozważają prognozy które dla każdego μ(t) sugerują decyzje aμ

Jest 2P takich prognozowanych strategii

Agenci losują spośród nich S strategii które będą wykorzystywali

Decyzje i-tego agenta można przedstawić jako:

Gdzie si(t) to jedna spośród strategii S

Wygraną można zatem teraz przedstawić jako:

gdzie)()( )()(),( tAatg ttitsi i

N

j

tjts

t

jatA

1

)(),(

)( )(

)(),(titsi

a


A co za tym idzie:


Reakcja agenta i na historie jest zatem wyrażona:

N

iii

N

iits tsatA

i11

),( )()(

2,,

iii

aa 2

,,

iii

aa

iiiiiii

iiiis sasaaaa

sai

,

,,,,, 22

N

ii

1

Dla uproszczenia przyjmuje się S=2 (↑,↓)

Wprowadzamy nowe zmienne


Indeks ten mówi agentowi jaką wypłatę otrzymałby gdyby cały czas grał daną strategią.

U(t) – jest skumulowaną wirtualną wypłatą

Agent musi brać jednak pod uwagę że w rzeczywistości grając jedną strategią zmieniło by się A(t)

Modelowanie Rynku – Wypłata wirtualna

W celu przewidywania efektywności strategii agent posługuje się tzw. „indeksem wiarygodności” strategii :

)(,

)(,, )()()1( t

ist

isis atAtUtU

Biorąc pod uwagę wirtualną wypłatę agenci będą posługiwali się najbardziej efektywną strategią czyli tą dla której U(t) będzie największe :

)(maxarg)( ,},{

tUts sis

i


Alternatywnie w celu wyznaczenia najbardziej efektywnej strategii wprowadza się:

Modelowanie Rynku – Wypłata wirtualna

,,

)(iii UUt

Której zmienność w czasie:

)()( )()()1( ti

tii tAtt

A najefektywniejsza strategia:

)()( tsignts ii


Zapis średnich stosowany w dalszej części:

Modelowanie Rynku – Notacja Średnich

T

tT

tRT

R1

)(1

lim

),(

1

)(lim t

T

tT

tRT

PR

Pt

1),(

P

RP

R1

1

Uwzględniając historie czyli także zmienną zależną od czasu:

Uśredniając R po historii:


Modelowanie Rynku – wielkości charakteryzujące stany stacjonarne

ji

jiji

N

iiii ssssA

,1

222 2

N

P

i

ig2

Wprowadzamy parametr:

Wyprowadzamy wariancje:

Będzie to całkowita średnia strata wszystkich agentów:



0A

ji

jiji

N

iiii ssssAH

,1

222

N

iii sH

1

222 )1(

W modelu standardowym MG średnie A będzie wynosić 0, jednak dla pewnych μ zdarza się:

Aby uwzględnić tą asymetrie wprowadzamy:

Na tej podstawie możemy napisać że:

Dla H>0 gra będzie asymetryczna



Dla długich szeregów czasowych, wcześniej wprowadzony parametr opisujący efektywność strategii przybiera postać:

iii Att 2)()1(

N

iimN

Q1

21

tvii

Gdzie:

Jeżeli teraz vi≠0 to agent będzie się trzymać jednej strategii Jeżeli natomiast vi=0 będzie się posługiwał obiema strategiami na zmianę

Globalną miarą fluktuacji w wyborze strategii przez agentów jest:

ii sm gdzie


W modelu standardowym MG agenci wybierają strategie losowo i niezależnie.

Komplikując model przyjmujemy że dla S=2 agent losuje pierwszą strategie natomiast drugą obarcza kryteriami które uważa za najlepsze.

Np. agent może wybrać tylko jedną strategie uważając ją za wystarczającą.

W naszym modelu przyjmujemy że każdy agent wybiera drugą strategie stosując zasadę:

Modelowanie Rynku – Spekulanci z zróżnicowanymi strategiami

cP )(

Gdzie parametr c można określić jako średnią korelację między obiema strategiami

Przypadek gdy c=1/2 to standardowy model MG gdy obie strategie są niezależne

Gdy c=1 agent po prostu wybrał tylko jedną strategie (faza asymetryczna)

Gdy c=0 agent ma dwie przeciwne strategie (faza symetryczna)


W zależności od parametru alfa możemy wyznaczyć diagram fazowy

Modelowanie Rynku – Spekulanci z zróżnicowanymi strategiami


Agentów dzielimy na dwie grupy:

Producenci – agenci posiadający jedną strategie gry, uczestniczą w rynku w celu zabezpieczenia swych inwestycji i nie spekulują na rynku

Spekulanci – uczestniczą w rynku aby wygrać jak najwięcej

Obie grupy żyją w symbiozie: producenci sprawiają że rynek jest bardziej stabilny, dostarczają informacje na rynek, spekulanci zaś wykorzystują informacje jednak znając reguły gry nie podejmują pochopnych decyzji sprawiając że producenci czują się bezpieczniej.

Modelowanie Rynku – Spekulanci i Producenci


W modelu producenci to agenci o jednej strategii, spekulanci normalni agenci MG

Producenci mają ustalony wzór zachowania się na rynku przez co obserwując ich spekulanci mogą wykorzystywać te informacje do planowania kolejnych ruchów.

W dalszej części przyjmujemy: N spekulantów ρN producentów

Rezultat takiej gry możemy zapisać jako:


prodspec AAA


Chcemy sprawdzić zyski agentów gdy c≠0Wprowadzamy:


1

1

N

Gprod

2 prodspec GG

1

)1)(1()1(

)1(2

QcQcc

N

Gspec

Co pozwala nam wyprowadzić po kilku prostych przekształceniach średnie zyski producentów i spekulantów:


Ustalamy N=641 c=0 M=8 S=2 α=0.4 i wykreślamy zysk agentów w zależności od liczby producentów



Podobnie tworzymy wykresy w zależności od liczby spekulantów: l.prod.=64 c=0 M=8 S=2 l.prod.=256 c=0 M=6 S=2



Diagram fazowy zależności α((1+ρ)/(1-c))



Diagram fazowy zależności zysku spekulantów w zależności o liczby spekulantów i liczby producentów przy założeniu c=0



Średni zysk na agenta w zależności od liczby producentów przy założeniach N=107, M=5, α=0.3, S=2, c=1/2



Średnia ilość spekulantów zależności od liczby producentów przy założeniach N=107, M=5, alfa=0.3, S=2, c=1/2



Modelowanie Rynku – Spekulanci, Producenci i „Kupcy szumiący”

„Kupcy szumiący” to tacy spekulanci opierający swoje decyzje zamiast na obserwacjach rynku (tak jak spekulanci) na np. astrologii

Ich decyzje podejmowane są całkowici przypadkowo przez co wariancja σ2 wzrasta, czyli ogólne straty wszystkich agentów zwiększają się


Modelowanie Rynku – Agenci uprzywilejowani

Rozpatrzymy trzy typy uprzywilejowania agenta:

- gdy agent ma do dyspozycji więcej strategii

- gdy agent ma większą pamięć M

- gdy agent ma dostęp do nielegalnych informacji



Agent ma do dyspozycji więcej strategii

Zakładamy że agent ma S’ strategii S’>S

Skupiamy się na fazie asymetrycznej (w fazie symetrycznej nie ma znaczenia ile agent posiada strategii)

Wprowadzamy wirtualny zysk dla każdej strategii agenta:

SsAaP

AauP

sss ,....,11

1

Rozkład Gaussa dla tej zmiennej przy średniej 0 będzie miał wariancje:

P

HAaVar

PuVar

P

ss

2

12

)(1

)(



Średnia liczba wykorzystywanych strategii w funkcji S’

Średnie i rzeczywiste zyski w funkcji S’ dla H/P = 0.5



Średnia liczba wykorzystywanych strategii w funkcji S’

Średnie i rzeczywiste zyski w funkcji S’ dla H/P = 1



Agent z większą pamięć niż pozostali agenci M’>M





Agenci z dostępem do nielegalnych informacji

Zakładamy że agent b zna znak skumulowanych akcji agentów ze zbioru β

Niech B=| β | liczba agentów zbioru β

wtedy

i i tasignts )()(

s

W zależności od znaku agent posiada dla każdej ze swoich strategii dwie możliwości

Jeżeli agent wie ze =+1 wybiera a na tej podstawie wybiera strategie

s)()( ,, tUtU sbsb

s )(, tU sb

)(maxarg)( ,,....,1

tUts sbSs

b

Analogicznie dla =-1s



Wypłaty agentów szpiegującego i pozostałych N=1001 NB=3



Wypłaty agenta szpiegującego w zależności od liczby szpiegowanych agentówN=1001 α=0.15


Modelowanie Rynku

KONIEC

Documents

Warszawa, 12.01.2005