Vjezbe III

Tejlorova formula za funkcije vise promjenljivih

1. Razvijte f(x+ h, y + k) po cijelim pozitivnim stepenima od h i k, ako jef(x, y) = ax2 + 2bxy + cy2.

2. Funkciju f(x, y) = x2 + 2xy + 3y2 6x 2y 4 razvijte po Tejlorovojformuli u okolini tacke (2, 1).

3. Nadite prirastaj koji dobija funkcija f(x, y) = x2y pri prelazu od vri-jednosti x = 1, y = 1 na vrijednosti x1 = 1 + h, y1 = 1 + k.

4. Funkciju f(x, y, z) = x2 + y2 + z2 + 2xy yz 4x 3y z + 4 razvijtepo Tejlorovoj formuli u okolini tacke (1, 1, 1).

5. Razvijte po Tejlorovoj formuli u okolini tacke (1, 1) do ukljucivo clanovadrugog reda funkciju f(x, y) = yx.

6. Primjenom Tejlorove formule do clanova drugog reda izracunajte pri-blizno:a)1, 03 3

0, 98;

b) (0, 95)2,01.

Ekstremi funkcija vise promjenljivih

7. Ispitajte ekstreme sljedecih funkcija:a) z = (x 1)2 + 2y2;b) z = (x 1)2 2y2;c) z = x2 + xy + y2 2x y;d) z = x3y2(6 x y) (x > 0, y > 0);

1

e) z = (x2 + y2)e(x2+y2);f) z = 1+xy

1+x2+y2;

g) z = 8x +xy + y (x > 0, y > 0);

h) z = exy(x2 2y2);i) u = x2 + y2 + z2 xy + x 2z;j) u = x+ y

2

4x +z2

y +2z (x > 0, y > 0, z > 0).

2