115 8PROBLEM VIEKRITERIJSKE OPTIMIZACIJE (VKO) I VIEKRITERIJSKOG PROGRAMIRANJA 8.1Uvod Konceptoptimizacijesedonedavnoupraksizasnivaonajedenafinancijskojosnovi, zanemarujudipritomesvedrugeposljedicetakvogrjeenja.Naime,smatraloseda povedanjedobitiusvakomsluajuvodinapretkuiopdemblagostanjuudrutvu.Posve pogrenuutemeljenosttakvogamodeladobroprikazujetzv.godinjimodelpoznatog astronomaH.Siedentorpa(Opricovid,1998).Timmodelomsepovijestzemljinekugleu trajanju od oko 170 miliona godina promatra kao da je u pitanje jedna kalendarska godina. Razmjernoumanjenju,potakvommodelujeovjektopostao(uspravljajudiseuhoduna dvije noge) tek30. decembra/prosinca te godine. Trideset minuta prije isteka takve godine ovjekpoinjedaobraujezemljiteitimemijenjaizgledZemlje.Industrijskarevolucija zapoinje samo 36 sekundi prije ponodi i u zadnjih 30 sekundiovjek gotovo sagorijeva sva tekuda i plinovita goriva, dovodedi u opasnost i bilancu kisika na Zemlji. Propratniefektitakvogkoncepta,kaotosupogoranjekvalitetazrakaivodeizagaenje ovjekove okoline uopde, loi socijalni utjecaji i slino, ukazali su na pogrenu utemeljenost 116 takvog modela. Stvoren je novi koncept tzv. odrivog razvoja, to jest takvog razvoja koji je u skladu sa okoliem, odgovarajudi po suvremenim tehnikim standardima, ekonomski ivotan i drutveno prihvatljiv sa stanovita socijalnih poremedaja, koje moe proizvesti. Dakle, takav pristupomogudavaispunjenjepotrebadananjegeneracije,bezistovremenognaruavanja mogudnostinarednimgeneracijamadaionezadovoljesvojepotrebe.Stogajestvorena potrebazatraenjemoptimalnogrjeenjapoviekriterija,inicirajudinatajnainpojavu jedne nove grane u oblasti optimizacije - viekriterijske optimizacije (VKO). Viekriterijska optimizacija je samo jedan dio procesa koji se zove viekriterijsko odluivanje ikojiusebiobjedinjujeisocioloke,psiholokeilifizikeelemente.Osnovnikoraciuovoj optimizaciji su prije svega: 1.Definiranje ciljeva i odreivanje naina njihovih postizanja;2.Formaliziranje problema i odreivanje te vrednovanje kriterijskih funkcija;3.Izbor i upotreba odgovarajudeg metoda viekriterijske optimizacije odnosno optimizacija u uem smislu; 4.Usvajanje konanog rjeenja ili ponavljanje cijelog postupka poev od drugog koraka. Ovo poglavlje de se posvetiti prvenstveno uem, tehnikom aspektu procesa odluivanja, i to za diskretni sluaj viekriterijske optimizacije. 8.2Povijest razvoja viekriterijske optimizacije Problem viekriterijske optimizacije, prema miljenju vedine autora (npr. Bogardi et al 1994, Goicoecheaetal.1982,Opricovid1992),prviformuliraParetousvomraduCourse dEconomePolitique(Kurspolitikeekonomije)iz1896,gdjerazmatrasaimanjevie kriterija u jedan. Drugi svjetski rat je doveo izmeu ostalog i do znaajnih zahtjeva ka izradi vojnihscenarijairazvojuoperacionihistraivanjaialataodluivanja.VonNeumanniO. MorgensternusvomedjeluTheoryofGamesandEconomicBehavior(Teorijaigarai ekonomsko ponaanje)iz 1944 godine potvruju da takav problem ranije nije rjeavan. Tek 1951godineKuhniTucker(NonlinearProgramming/Nelinearnoprogramiranje, Proceedings of the Second Berkeley Symposium on Mathematical Statistics and Probability / ZbornikradovasadrugogBerkeleysimpozijamatematikestatistikeivjerojatnode,UCLA Press)teKoopmans(ActivityAnalysisofProductionandAllocation/Analizaaktivnosti proizvodnje i alokacije, Cowles Commision for Research in Economics 13, New York) uvode u 117 terminologijuoperacionihistraivanjaiizrazPareto-optimalnost,otvarajudivratarazvoju ove discipline, koja se u poetku svog razvoja esto vidi kao oblast unutar teorije igara.Poevodezdesetihgodinadvadesetogvijekajavljasepovedanasvijestoneophodnosti identifikacije i promatranja istovremeno vie ciljeva (kriterija) u analizi i rjeavanju pojavnih problema. Povedana svijest o znaaju okolia i ovjekovom razornom djelovanju na njega je svakakobiovaanelementpritome.USAD,npr.jeviekriterijskaanalizasvojrazvoj uglavnomdugovalaraduHarwardWaterProgramailiInenjerijivojskeSADteNacionalnoj okolinoj politici (podatak iz Goicoechea 1982) - i u Evropi esto potrebe za rezultatima ove vrsteoptimizacijedolazeizsektoraokolia.USADseviekriterijskaanalizaestonazivai Viekriterijskoodluivanje(MCDMMulticriteriaDecisionMaking),auEvropiPomodu viekriterijskomodluivanju(MCDAMulticriteriaDecisionAidpremaPardalosetal. 1995).Izmatematikoguglapromatrano,ciljviekriterijskeoptimizacijekaonaunedisciplineje odrediti maksimum vektorske funkcije zadane na odgovarajudoj oblasti u n-dimenzionalnom vektorskomprostorupromjenljive-kriterijioptimizacijeodgovarajukomponentama vektorske funkcije, a postojeda ogranienja definiraju navedenu oblast. Ukoliko jedna taka dopustive oblasti istovremeno maksimizira sve komponente vektorske funkcije, ona de biti i rjeenjenavedenogproblema.Meutim,upraksisetakavsluajizuzetnorijetkodeava. Posljedicasamodjelominogureenjaprostorakriterijskihfunkcijajepojavapojma neinferiornog (dominantnog, Pareto-optimalnog) rjeenja (kojede se definirati u nastavku), kao osnovne mjere mogudnosti rjeavanja ovakvog problema. Do danas je razvijen itav niz raznovrsnih metoda koje pokuavaju rijeiti ovaj problem. Kao razvijenemetodezarjeavanjezadatakaviekriterijskeoptimizacijenajedesenavode metodezaodreivanjeneinferiornihrjeenja,metodesaunaprijedizraenom preferencijom,interaktivnemetode,tj.metodeukojimasepreferencijapostepeno odreuje,stohastikemetode,kompromisnoprogramiranjeisl.Naravno,ovisnoodizbora metodeodnosnoodgovarajudegkonceptaoptimalnosti,dobideseirazliitarjeenja. Obzirom da n-dimenzionalni prostornije kompletno ureen relacijom manje, toznai da ovimetodiuglavnomnastojeilinanekinaintajprostorkompletnoureditiilieventualno proiriti parcijalno ureenje. Vanojenapomenutidaterminiviekriterijskaoptimizacijairjeenjeproblema viekriterijskeoptimizacijeneopisujusavrenostrukturukojojsunamijenjeni.Sampojam 118 optimizacijepodrazumijevapronalaenjeoptimuma(maksimumailiminimuma)neke funkcije,dokseusluajuviekriterijskeoptimizacijepodtimpodrazumijevaodreivanje dodatnihuvjetakojideomoguditidaseizskupaneinferiornihrjeenja(iliaknekadaiiz skupa svih rjeenja, odnosno vrijednosti) izdvoje ona ili ono koja su prihvatljiva ili koja su sa neke take gledita najbolja.Oiglednotrebadonijetiodlukuonainu(metodi)nakojidesedodidotraeneoptimalne vrijednosti, odluku o vrijednostima neophodnih parametara u primjeni te metode, odluku o potvrivanjuizborakonanopredloenogrjeenjaodabranommetodomilioizborujedne alternativeizsuenogskupaponuenih.Stogasecijeliprocesdefiniranjaproblema, odreivanjaalternativa,kriterijskihfunkcija,konturnihogranienja,optimizacijete donoenjakonanogizboranazivaiviekriterijskoodluivanje.Samizrazodluivanje vjerojatno preciznije odreuje cijeli proces, jer se jedino odlukom moe odabrati rjeenje (ili suzitiskuprjeenja)kojejeneusporedivosadrugim(ikoje,naravno,takoerzadovoljava konturne uvjete), jer je po nekim svojim komponentama bolje, a po drugim loije od onoga sa kojim se poredi. 119 9MATEMATSKE OSNOVE VIEKRITERIJSKOG PROGRAMIRANJA Optimizacija po sebi se promatra kao proces, esto interaktivni, u kome se dolazi do traene najboljevrijednosti(zadanefunkcijeilisustava/sistema).Odlikaviekriterijskeoptimizacije jestedaseunjojpojavljujenekoliko,najedemeusobnokonfliktnihineusporedivih kriterija, umjesto jedne skalarne ciljne funkcije kao to je sluaj u "obinim" optimizacijama. Dabisedostiglodovoljnodobrokompromisnorjeenjepotrebnojerazmotritimeusobne kompenzacijekonfliktnihvrijednostiidonositiodlukeuinteraktivnomprocesuukomese rjeavavieproblemaoptimizacije.Viekriterijskaoptimizacija,nazivanajoiPareto, vieciljnailivektorskaoptimizacija,predstavljajedanfleksibilanpristupproblemuprocesa odluivanja na sistematian nain. Ponekadjesamojedankriterijdovoljnodominantandasesamoonelioptimizirati(u ljudskojpraksinajedenovac,traisenajmanjitroakilinajvedazarada),dokseostali kriterijiugraujuukonturneuvjeteiliakizanemaruju.Viekriterijskaoptimizacija ukljuivanjemviefunkcijakojetrebaoptimiziratipredstavljaanalizuosjetljivostionih kriterija,kojisesmatrajunajvanijima.Osimtoga,kakojeestousmjerenanaskupPareto optimuma(tj.naskuprjeenjaukomesevrijednostnijednogkriterijanemoepoboljati 120 bezpogoranjavrijednostinekogdrugogkriterija),anenajednooptimalnorjeenje,ona omogudujekorisnikusudjelovanjeuprocesuinakonformulacijeproblemaoptimizacije. Naime,dabidonioodluku,korisnikilidonosilacodluke(DO),moradefiniratisvoje preferencijeuprocesuoptimizacije,zatodemuviekriterijskaoptimizacijadatijasnu osnovu. UglavnomsesmatradajekorijeneviekriterijskeoptimizacijeodredioPareto(1848-1923) predstavivi kvalitativnu definiciju koncepta optimalnosti u ekonomskim problemima sa vie konfliktnihkriterijausvomeraduiz1896(Lepikult,1999).iriintereszaovutemuse pojavljujeupoljuteorijeoptimizacije,operacionihistraivanjaiteorijekontrolekrajem ezdesetih godina prolog stoljeda, od kada se intenzivira. Slijede osnovni pojmovi i metodi u oblasti viekriterijske optimizacije. 9.1Pareto optimalnost Nekasepromatraproblemoptimizacijeukomesepojavljujeviemeusobnokonfliktnihi neusporedivihkriterija(npr.kojiimajurazliitemjerneveliine).Akosuzadatekriterijske funkcije oznaene saN ..., , 2 , 1 i , R x ), x ( fKi= e , onda one tvore vektorsku funkciju oblika TN 2 1)) x ( f ..., ), x ( f ), x ( f ( ) x ( f = .Istovremenonekavrijednostivektorskevarijablexmoraju zadovoljitiodreenaogranienja,tj.nekavrijedi KR X , X x _ e .Podoptimizacijomseu praksi moe smatrati traenje i minimuma i maksimuma, ali se prostom zamjenom funkcije fi koju treba minimizirati funkcijom fi koju treba maksimizirati, problem moe uvijek postaviti kao problem maksimiziranja. Problemviekriterijskeoptimizacijesedakletadamoezapisatisa(Andersson,2000; Lepikult, 1999, gdje se eventualno trai minimiziranje umjesto maksimiziranja): maksimizirati TN 2 1)) x ( f ..., ), x ( f ), x ( f ( ) x ( f = (9.1.1) tako da vrijediKR X , X x _ egdjeje TK 2 1) x ,..., x , x ( x = .RKjeprostorodluivanjaiporednjegatrebapromatratii prostor kriterija RN. Slika dopustivog skupa X je odreena sa { } X x ), x ( f f R f FNe = e = (9.1.2) SkupFsenazivadostiniskupkriterijaiupraksijeestointeresantnijidonosiocuodluke 121 nego to je to dopustivi skup X - razlog za to je to F sadri sve mogude vrijednosti kriterija. Obzirom da su kriteriji obino meusobno suprotstavljeni, nijedna take nije optimalna (ne predstavlja maksimum) za sve kriterije istovremeno, pa je potrebno uvesti drugaiji koncept optimalnosti nego to je onaj kakav se susrede u problemima skalarne optimizacije. Najprije seuvodiparcijalnoureenjeprostoraRNuzpomodnepozitivnogkonusadefiniranogsa (Lepikult, 1999): { } N ..., , 2 , 1 i , 0 z R z CiN= s e = (9.1.3) KonusC omogudava meusobnu usporedbu vektora NR z , y e . Naime definira se da jeC y z y z e s (9.1.4) toseodreujekao"yjeboljeilijednakoz".Ipak,prethodnajednainaneomogudava meusobnuusporedbusvihvektora NR z , y e -naime,zarazlikuodsluajaskalarne optimizacije, ovom jednainom je omogudeno samo parcijalno ureenje skupa NR .Zato se uvodi kljuni pojam u viekriterijskoj optimizaciji, maksimalni vektor, slijededom definicijom(Lepikult, 1999): Definicija 9.1.1: F * z e jemaksimalnivektoru NR F c akoisamoakoiz* z z > i F z e slijedi* z z = . Sada se na slian nain definira i pojam optimalnog vektora u prostoru odluivanja, koji se u literaturenajedenazivaParetooptimum(ilidominatno,neinferiorno,efikasno, funkcionalno-efikasno ili i EP-optimalno rjeenje- Lepikult, 1999): Definicija 9.1.2: VektorX * x eje Pareto optimum problema (9.1.5) ako i samo ako ne postojinijedanvektorX x e takavdavrijedi N ,..., 2 , 1 j , *) x ( f ) x ( fj j= > ,adajeistovremeno) x ( fi> *) x ( fiza barem jedno i. Iakosuprethodnedvije definicijeslinestrukture,vanoje primijetitidaseoneodnosena objekteizrazliitihprostoradokseParetooptimuminalazeuprostoruodluivanja, maksimalnivektoripripadajuprostorukriterija.Prematome,sa*) x ( f * z = jeodreen maksimalni vektor koji predstavlja sliku Pareto optimuma* xu prostoru kriterija.122 U opdem sluaju nede postojati samo jedan Pareto optimum kao rjeenje problema (9.1.6), veddepostojatiskuptakvihrjeenja.Samatematikoggleditaovajproblembisemogao smatrati rjeenim onda kada se odredi cijeli takav skup (nekada nazivan i efikasna granica Greenberg, 1996), meutim u praksi se nastoji dodi do jednog optimalnog rjeenja, to znai dadonosilacodlukemoraodreditidodatnepreferencijezaizdvajanjenajboljegizskupa Pareto optimuma.Ponekad je potrebna i definicija slabog Pareto optimuma, koja slijedi(Lepikult, 1999): Definicija 9.1.3: VektorX * x e jeslabiParetooptimumproblema(9.1.7)akoisamo nepostojinijedanvektorX x e takavdavrijedi ) x ( fj> N ,..., 2 , 1 j , *) x ( fj= . DakleslabiParetooptimumjevektorzakojisenemogusvikriterijiistovremenouvedatii oiglednojesvakislabiParetooptimumistovremenoiParetooptimum,dokobratnone vrijedi.9.2Odreivanje Pareto optimuma Sa matematikog stanovita je odreenjem skupa Pareto optimuma rijeen problem (9.2.1). U sluaju neprekidne funkcije f taj je skup najede beskonaan i nije ga jednostavno cijelog odrediti.Brojoperacijaivrijemekojezahtjevatakvapretragaupraksiznajubiti ograniavajudifaktor,pasepribjegavajednostavnijempristupuukomesetraimanjiskup Paretooptimuma,kojibieventualnobiodovoljanzageneriranjemaksimalnogskupau prostoru kriterija, prema emu se i ocjenjuje njegov kvalitet.JedanpristuptakvomodreivanjuParetooptimumajezasnovannaidejidasepolazni problemzamijeniparametriziranimskalarnimproblemom,gdjesevarijacijomvrijednosti parametaramogugeneriratisvailidioParetooptimalnihrjeenja.Problemjeitotosu vrijednostikriterijadateurazliitimineusporedivimjedinicama,pasepribjegavanjihovoj normalizaciji.Jedantakavpristupjestesvoenjevrijednostikriterijanainterval| | 1 , 0 sa(Lepikult, 1999): N ,..., 2 , 1 j ,fj ff ) x ( f) x ( fminmaxjminj jj== (9.2.2) gdjesu maxjf i minjf rjeenjaskalarnihproblemamaksimiziranjaiminimiziranjakriterijske funkcije) x ( fjnadopustivomskupu.Akosuovarjeenjatekodostupna(akonepostojei 123 maksimum i minimum ili ako su "skupa", tj . zahtijevaju previe vremena ili operacija da bi se dolo do njih), onda se mogu odabrati i odreene njihove aproksimacije da bi se primijenila normalizacija kao u prethodnoj jednadbi. Kao naini za odreivanje Pareto optimuma se najede koriste metodi linearne kombinacije sateinskimkoeficijentima,metodizasnovaninakoritenjuodgovarajudihnormi,metodi ogranienjakriterijaidrugi.Detaljanopisprimjeneovakvihmetodadesedatiunarednim poglavljima, a slijedi samo kratak pregled njihove matematske osnove. 9.2.1Metodi linearne kombinacije sa teinskim koeficijentima Jedanodnajedihuupotrebi,uvodilinearnukombinacijukriterijaopteredenihteinskim koeficijentima (koji mogu opisivati preferencije u odnosu na pojedinane kriterije). Moe se pretpostaviti, bez gubitka opdenitosti, da je

==N1 jj1 w .(9.2.3) Tada se uvodi skalarni problem optimizacije oblika(Lepikult, 1999) maksimizirati =N1 jj j) x ( f w (9.2.4) tako da vrijedi X x e . Varijacijomteinskihkoeficijenata jw serjeavaproblemopisanprethodnomjednainom zasvakiskupodabranihvrijednosti.Najvedinedostatakovogmetodajesteutomedase cijeliskupParetooptimumamoedobitinaovajnainsamoakosuikriterijskeifunkcije ogranienja konveksne. Problem 9.2.3 se moe ekvivalentno izraziti i samaksimizirati =N1 jj jz w (9.2.5) tako da vrijedi F z e . gdje jeN ,..., 2 , 1 j , ) x ( f zj j= = , tj. gdje se sada maksimiziranje vri u prostoru kriterija. 124 9.2.2Metodi zasnovani na koritenju odgovarajudih normi CijelajednaklasametodazageneriranjeskupaParetooptimalnihrjeenjajezasnovanana minimiziranju rastojanja do neke referentne take u prostoru kriterija. Uz ponovno uvoenje teinskih koeficijenata wj>0, za j=1,2,...,N, definira se | | s s)` = =p 1 * z ) x ( f w ) x ( fp1pj j jN1 jp(9.2.6) gdjeje*) z *,..., z *, z ( * zN 2 1= nekafiksnatakauprostorukriterija,anajedetzv.idealna taka(nekadasesusredeipodnazivomutopijskataka,npr.Lepikult,1999)ijesu koordinate definirane sa N ,..., 2 , 1 j ), x ( f max f * zjX xmaxj j= = =e(9.2.7) Fiksiranjemcjelobrojnevrijednostipivariranjemteinskihkoeficijenata jw (kojisemogu normalizirati kao u 9.2.8) mogu se generirati Pareto optimumi problema (9.2.9) rjeavanjem skalarnog problema maksimizirati p) x ( f (9.2.10) tako da vrijedi X x e . ZasvakiizborteinskihkoeficijenatadobidesepojedanParetooptimum.Ovimjeustvari data klasa metoda za razne vrijednosti za p, koja se u literature susrede pod nazivima metodi udaljenosti (distance), metriki ili metodi norme (Lepikult, 1999). to je veda vrijednost p, to se moe oekivati da se pronae vie Pareto optimuma u sluaju nekonveksnog problema. 9.2.3Metodi ogranienja kriterija Jojedanuobiajennainzatretiranjeproblemaviekriterijskeoptimizacijejestedase odaberesamojednakriterijskafunkcijakaociljskalarneoptimizacije,adaseostale transformiraju u ogranienja. U tom sluaju polazni problem se pretvara u (Lepikult, 1999) maksimizirati) x ( fk(9.2.11) tako da vrijedi X x e 125 ali i k j , N ,..., 2 , 1 j , ) x ( fj j= = c > . Sadaoiglednovrijednostoptimalnogrjeenjaovisioizboruparametaracj,injihovom varijacijomsemogudobitirazliitiParetooptimumi(naravno,pojedanzasvaku kombinacijuovihvrijednosti).Uporeenjusaprethodnimmetodamaovajimavie ogranienja,alijevrlopogodanzainteraktivnuprimjenuupraksi,kadaseestopojavljuje pomjeranje vrijednosti ogranienja.9.3Proces odluivanja Osnovnakarakteristikaviekriterijskeoptimizacijejestedauglavnomgeneriravie alternativatj.Paretooptimuma.AkojeupitanjusamojedanParetooptimum,uprocesu odluivanja je jo potrebno samo ispitati da li je on prihvatljiv ili ne. Meutim ako je takvih vie,aodlukamorabitidonijetaoizborusamojednealternative,slijediprocesukomese pored ranijih mogu pojaviti i dodatni kriteriji ili ogranienja.U kombinaciji viekriterijske optimizacije i procesa odluivanja postoje dva osnovna pristupa (Lepikult, 1999). U prvom se trae svi Pareto optimumi i zatim vre usporedba meu njima. Jasnoogranienjeovogmetodajesteeventualnavisokacijena(npr.zahtijevanovrijemeili novac)zadostizanjeskupasvihParetooptimuma.Drugipristuppolaziodzahtjevadase najprijepronaejedanParetooptimumizatimdasetorjeenjepoboljanaosnovu preferencijedonosiocaodluke.Dakle,akosezapronalaenjeParetooptimumakoristi (9.3.1),uvodisemogudnostrazmjenevrijednostikriterijaParetooptimumax*uzpomod Lagrange-ovih (Kuhn-Tucker-ovih) multiplikatora j sa jjk*) x ( f =c cc(9.3.2) gdje je j multiplikator pridruen ogranienju j u (9.3.3) i gdje -j oznaava veliinu promjene kriterijafkkojaodgovarajedininojpromjenikriterijafjkadasekredeuokoliniPareto optimumax*natangentnojravninamaksimalnupovrinuux*.Usporedbomsvojih vrijednosti razmjene sa onimadobivenim u 9.3.1 donosilac odluke moe nadi bolje rjeenje odonogakojejeranijedobio.Primjerovakvogmetodaopdenamjenejestemetoda razmjene surogat vrijednosti (Haimes et al., 1974, Haimes et al., 1975). 126 9.4Stabilnost rjeenja Podrujestabilnostirjeenjapredstavljaskupvrijednostiparametarasistemazakoje optimalnorjeenjeostajeoptimalno.Nekajexrjeenjegeneriranobilokojimodabranim algoritmomA.NekadopustiviprostorXovisiovrijednostiparametrap(kojimoebitii vektor),tj.nekajeX(p),tenekaciljnakriterijskafunkcijaftakoerovisiovrijednosti parametra p, tj. neka je f=f(x;p). Neka je sa X(p,A) oznaeno rjeenje (ili rjeenja) generirano algoritmom A, za vrijednost parametra p. Neka je skup svih vrijednosti parametra p oznaen sa P (koji ukljuuje i p*). Region stabilnosti za x* = X(p*,A)tada je skup definiran sa {p e P: x* = X(p,A)} (Greenberg, 1996). Analizaosjetljivosti(stabilnosti)predstavljaintereskakodesemijenjatirjeenjeakose promijeneulaznipodaciilinekekriterijskefunkcije.Razlikujesemarginalnaanaliza,koja promatra efekte malih promjena, mjerenih derivacijama i parametarska analiza, koja se bavi efektimavedih promjena u vrijednostima parametara koje utjeu na podatke matematikog programa kojim se dolazi do rjeenja (Greenberg, 1996). 127 10 STRUKTURA VKO Viekriterijskoodluivanjeseuovomvijekurazviloprvenstvenoizpotrebaupravljanja (menadmenta)uiremsmisluintegralnipristupneizostavnorazmatrasvepojavne aspektezaciljemeliminiranja,iliakotonijemogude,minimiziranjarazlikaizmeueljenih pravaca razliitih interesnih grupa koje sudjeluju u upravljanju. 10.1Prostor odluivanja U svakom sistemu kojim se upravlja postoje ulazne i izlazne komponente. Ulazne mogu biti potpunoilidjelominokontroliranepostupcimatj.odlukama,tenaravnoiposveizvan mogudnostikontrole.Izlaznekomponentemoguimatieljenoiposvesuprotnodjelovanje, ali i biti neutralnog statusa sa trenutne take gledita. Izmeu svih ovih komponenti postoji i izvjesna,jaailislabija,interakcija,kojomseuokruenjuuobliavacijelisistem,naravnou svojoj vremenskoj strukturi, koja ga ini dinamikim.Obziromdaulaznekomponentekojesusasvimilidjelominokontroliranepredstavljaju predmet odluivanja, to se one opisuju tzv.promjenljivim ili varijablama odluivanja. Skup svihodlukakojesemogudonijetinadovimskupomvarijabliodluivanjasestoganaziva 128 prostorodluivanja.Posljediceodlukesunaravnogeneriraneiparametrimasistemaili sustava,kojekarakterizirajunekontroliraneulaznekomponente,aliiodgovoresamog sistema. Sa druge strane, poseban interes postoji za eljene, ali i neeljene posljedice odluivanja. Cilj jesvakakooveprvemaksimizirati,adrugeistovremenominimizirati,tozasadanemora obavezno biti i brojano kvantificirano (zadovoljenje ovih zahtjeva moe biti i opisno dato). Odlukekojesedonosevodepromjenamausistemuiovesepromjeneopisujutzv. promjenljivim ili varijablama stanja (ija je priroda prvenstveno dinamika).Svakiskupvarijabliodluivanja,dakle,proizvodiodreeneposljedice.Stogasepostavljaju odgovarajudiciljevi.Stanjepostajejednostavnijezaispitivanjeakojeipakmogudebrojno kvantificiranjekriterijazadovoljenjapostavljenihciljeva,akiakodobivenevrijednostine pripadajuistomobuhvatuilisenemoguizrazitiistimmjernimjedinicama.Matematski uoblienomoglobiseredidajeciljmaksimiziranje(ilieventualnominimiziranje)ciljne funkcijef(x,s,p), gdje je: f=(f1,f2,,fN)vektorska funkcija postavljenih ciljeva kriterijax=( x1,x2,,xK)vektorska varijabla odluivanja s=( s1,s2,,sJ)vektorska varijablastanja p=( p1,p2,,pI)vektor parametara sistema Naravno da je izbor varijabli odluivanja podloan dodatnim ogranienjima okruenja koja se mogu zapisati u obliku Gm(x,s,p) 0,m=1M (10.1.1) Brojniautoriistiudajerazlikaizmeuciljevaiogranienjaestonejasna,tedasemoe desiti da neki cilj postane ogranienje, ali i obratno.Maksimiziranje (ili minimiziranje)ciljne vektorskefunkcijefpodrazumijevanalaenjeodgovarajudihvarijabliodluivanjax1,x2,,xK kojetoosiguravajuumatematskommodelu.Trebajojednomnaglasitidajeipakrijeo modelu koji pokuava opisati stvarno stanje i da optimalno rjeenje odgovara tom modelu, tonaalostnemoraznaitiirealnojsituaciji,jerjeprirodaestosloenijaodpostavljenih jednaina. Inae bi odabrani model optimizacije mogaosasvim zamijeniti grupe odluivanja uovakvomprocesu.Stogasecjelokupanprocesnaziva,osimviekriterijskaoptimizacija,i pomod u viekriterijskom odluivanju ili ak i samo viekriterijsko odluivanje. 129 10.2Osnovni pojmovi u viekriterijskom odluivanju Pojmovikojisunezaobilazniuprocesuviekriterijskogodluivanjasuciljevi,kriteriji, ogranienja i atributi i njihove definicije se esto razlikuju od autora do autora (Bogardi et al. 1994, Goicoechea et al. 1982, Opricovid 1986, 1998, itd.). Ipak, neke zajednike naznake za svaki od njih mogu se prezentirati. Ciljevi ili kriteriji Generalnokriterijiiliciljevipredstavljajueljenipravacpromjenastanja odstraneonogaili onihkojionjemuodluuju.Pravacpromjenamoebitivedspomenutomaksimiziranjeili minimiziranje, ali isto tako nekada i odravanje stanja na odreenom stupnju, koji se moe kvantificirati (naravno, odgovarajudim transformacijama se sva ova tri pravca mogu svesti na problem maksimiziranja, i kao takvi de se najede promatrati u nastavku). Postavka kriterija prijesvegaovisiodobromrazumijevanjuproblema,tj.njegovommodeliranju.Pristup modeliranjumoebitikrozdetaljnipregledprikazaslinihproblemaistanjausvijetu, analitikastudijaproblemailiakikoritenjeosobnihiskustavailionihizblieokoline. Procesdefiniranjakriterijapratiuglavnomnjihovakonfliktnost,tj.nemogudnost jednovremenogpotpunogzadovoljenja,doegauglavnomdolazizbogkonturnih ogranienjauuporabiresursa(daihjemogudeistovremenosvezadovoljitinebiseni govorilooviekriterijskomodluivanju).Primjericiljevauupravljanjuprostoromsu ostvarenjetovededobiti(donedavno-naalostdominantnipaestoijedinicilj), ouvanjeiunaprjeenjekvaliteteokolia,zadovoljavajudeputnekomunikacije,bitno smanjenje mogudnosti prirodnih katastrofa itd. Atributi Atributiopisujukarakteristikeikvalitetuparametarapostupakauprocesimaodluivanja. Zadatakatributajedaomogudiprocjenuzadovoljenjapostavljenihciljeva,tj.daodredi mjerukojomsemogukarakteriziratiposljedicerazliitihodluivanja.Zasvakipostavljeni atribut(npr.ouvanjeprirode,zadovoljavajudekomunikacijeikvalitetakomunalne infrastruktureisl.)seveeodreeniindikator(koncentracijazagaenja,duinacesta, pokrivenostvodoopskrbomiodvodnjomtepreidavanjemotpadnihvodaitd.)iformiraju odgovarajudi rasponi kojima pripadaju referentne vrijednosti.130 Kriteriji odluivanja (kriterijske funkcije) Kriterijiuprincipupredstavljajuskuppravilailipropisanakojimabisetrebaozasnivati proces odluivanja. Ipak, u teoriji odluivanja ovaj se pojam uglavnom vee za atribut ili cilj, pasejedanumjestodrugogkoristeizraziviekriterijskoodluivanje,vieatributno odluivanjeiliivieciljnoodluivanje.Dakleviekriterijskoodluivanjeiviekriterijska optimizacija(kaopodskupodluivanja)opisujuprocesodluivanjaukomepostojedvaili vie meusobno iskljuivih (konfliktnih) ciljeva odnosno dva ili vie atributa, tj. kriterija. Promjenljive (varijable) odluivanja Varijable odluivanja su u ovom modelunepoznate veliine x1, x2, , xK koje treba odrediti u zadatomproblemuoptimalnogodluivanja.Uglavnomsupredstavljenenenegativnim veliinama,aestosuneprekidnepaiograniene(npr.koliinavodekojutrebaispustitiiz neke akumulacije ili je usmjeriti za navodnjavanje ili je pak potrebna za vodoopskrbu ova vrijednostnije diskretna ved neprekidna, ograniena je ukupnom zapreminom akumulacije i naravnonenegativna).Nekeodvarijablinisuneprekidnevedmoguprimitiogranienbroj vrijednostipreviemogudnostibivodilooteanomprocesiranjuiodluivanju,paseu takvom sluaju esto najprije vri izvjesno filtriranje.Parametri odluivanja Izvjestan broj veliina u procesu odluivanja su konstantne vrijednosti ili ih se moe takvima smatrati(npr.akojepoznatokojavrijednostnekeveliine,kojasamanijekonstantna,sigurno vodi optimalnom rjeenju). Ovakve vrijednosti se zovu parametri procesa i skupa sa varijablama odluivanja ine srce postupka. Ogranienja Onapredstavljajurestrikcijekojepostojenadatributimailiparametrimaodluivanja poeljnoihjekvantificirati,alitonijeuvijekmogude.Mogubitiuvjetovanarazliitim iniocimakaotosuekonomskiresursi,kulturnonasljee,pravniokviridjelovanja,stanje okoliailisamihresursa.Ogranienjaizraavajumeusobnuovisnostizmeuvarijabli odluivanjaiparametara,tenaravnostanjasistema/sustava.Mogubitiizraenakako jednakostima koje opisujuzahtijevano stanja balansa, tako i nejednakostima (koje najede opisuju ogranienja resursa), pa ak i mjerama vjerojatnode. Brojni autori istiu da se moe desiti da neki cilj postane ogranienje, ali i obratno, jer linija izmeu ciljeva i ogranienja nije uvijek jasno povuena. 131 Prostor odluivanja, prostor kriterija i njihova meusobna veza U matematskom zapisu, problem viekriterijske optimizacije bi imao oblik izloen u nastavku (kakav je ved i izloen u prethodnom poglavlju): Odreditioptimum(upraksijetonajedemaksimumikaotakavseuglavnomi uzima u ovoj knjizi) vektorske funkcije kriterija (x)) f , (x), f (x), (f f(x)N 2 1. = (10.2.1) gdje je ) x , , x , (x x K 2 1. =vektorska varijabla odluivanja koja zadovoljava odgovarajude uvjete ogranienja: M 1,2,..., j 0, Gj(x) = s (10.2.2) K 1,2,..., k 0, xk= > (10.2.3) (Ovaj drugi uvjet nije neophodan, jer se moe preformulirati u K M ,..., 1 M j 0, x - (x) Gk j+ + = s = (10.2.4) ali se iz praktinih razloga esto izdvaja). Obziromdasukomponentnefunkcijekriterijafi(x),i=1,,Nobinomeusobnokonfliktne, to znai da eljeno minimiziranje ili maksimiziranje jedne od njih esto vodi ka neeljenom - suprotnomreagiranjunekedrugekriterijskefunkcije,tosepodoptimumomvektorske funkcije ovdje podrazumijeva takva vrijednost f(x) koja nije inferiorna u odnosu na bilo koju druguf(y),akojauodgovarajudemsmislu(kojitrebadodatnodefinirati)zadovoljava donosiocaodluke.Dakle,osimurijetkimsluajevima,takvorjeenjenepredstavlja jednovremeni maksimum (ili eventualno i minimum, ako je tako zahtijevano, za sve ili samo za neke komponentne funkcije) svih komponentnih kriterijskih funkcija fi(x), i=1,,N.132 Vektorskavarijablaodluivanjaxivektorskakriterijskafunkcijaf(x)pripadajuK-dimenzionalnomprostoruodluivanjaX,odnosnoN-dimenzionalnomprostoruciljaF izmeu kojih je upravo vektorskom funkcijom f(x) definirano preslikavanje. Naravno da cijeli prostorXnemorabitidopustiv,tj.nemorasvakatakaxXbitimogudavarijabla odluivanja, to je pak ogranieno dodatnim konturnim uvjetima. Dopustivi skup odluivanja jepodskupXskupaXionmoebitikonaan,prebrojivilineprebrojiv,ovisnookarakteru problema, pa tako i razlikujemo probleme diskretnog ili kontinualnog tipa. Preslikavanjem f ovajseskuppreslikavauskupFkojipredstavljatakoerkonaan,prebrojivilineprebrojiv podskup N-dimenzionalnog prostora cilja F. Dakle vrijedi { } K 1,..., k 0, x ; M , 1, j 0, ) x ( G : X x Xk j= > . = s e =(10.2.5) i { } X x : f(x) F e = (10.2.6) Ukolikosezahtijevadaseminimizirakomponentnakriterijskafunkcijafj(x),tajseproblem uvijek moe zamijeniti problemom maksimiziranja funkcije -fj(x), jednako kao to se dodatni spomenutiuvjetxk0moezapisatiuoblikuGk(x)=-xk0,tovodikanajede predstavljenom zapisu problema viekriterijske optimizacije: maksimizirati fi(x), i=1,,N(10.2.7) uz uvjete Gj(x) 0,j=1, M . (10.2.8) Idealna taka i ciljna taka Vrijednostf*=(f1*,f2*,,fN*)ijesukomponenterjeenjasistemaNzadatakaskalarne optimizacije: maksimizirati fi(x), (i=1,,N), uz uvjete Gj(x) 0,j=1, M ,(10.2.9) 133 se naziva idealnom takom polaznog problema - ako vrijedi f*eF onda de ona naravno biti i rjeenje zadatog problema. Kako se takav sluaj rijetko dogaa u praksi to se ova vrijednost izprostorakriterijauglavnomupotrebljavakaoodgovarajudareferentnatakaurazliitim metodama viekriterijske optimizacije. Treba primijetiti da su koordinate ove take iz prostora F egzaktno odreenei nedvojbene. Mogude je slinu taku f*F i zadati kaoeljenu razinu zadovoljenja postavljenihkriterijskih funkcija.Analognalogikaiovdjepostojiakovrijedif*Fondajeova,tzv.ciljnataka,i rjeenja problema, to ipak najede nije sluaj. Pareto-optimalna rjeenja i efikasna rjeenja Kako idealna taka problemaviekriterijske optimizacije uglavnom ne pripada skupuF to je najedasituacijaukojojsedrugaijimizboromvarijableodluivanjadobijepoboljanje jednekomponentnekriterijskefunkcijefi(x),aliistovremenovrijednostdrugefunkcijefj(x) opada to je posljedica nekompletnog ureenja vektorskog prostora F u kome nije mogude za bilo koje dvije take f i g redi da je zadovoljena jedna i samo jedna od tri relacije: fg, f=g ili fg (to je sluaj npr. u prostoru R1). Stoga se uvodi pojam tzv. Pareto-optimalnih (Bogardi et al1994,Goicoecheaetal.1982,Lepikult1999,Opricovid1994,Cvetkovidetal.1998) (neinferiornih, dominantnih) rjeenja na slijededi nain: Rjeenjef*=(f1*,f2*,,fN*)jeParetooptimalno(dominantno,neinferiorno)akonepostoji drugodopustivorjeenjef=(f1,f2,,fN)Ftakvodajefifi*,i=1,,Nifjfj*zabarjedno j{1,,N}.Ovakvarjeenjasejonazivajuistrogodominantnimilistrogoneinferiornimakoseu nejednakostififi*znakzamijeniznakomkaeseidajerjeenjeslabodominantnoili slabo neinferiorno.Dakle,Pareto-optimalnarjeenjasuelementiskupaFskupadopustivihkriterijskih vrijednosti.Ovakvojdefinicijiodgovaradefinicijaefikasnetakeiliefikasnogrjeenja, odnosnoefikasnevarijableodluivanjauprostoruodluivanjaX,tj.njegovompodskupu dopustivihvarijabliodluivanjaX.Takosekaedajetakax*=(x1*,x2*,,xK*)efikasna varijabla odluivanja ako ne postoji druga varijabla odluivanja x=(x1, x2, , xK)X takvo da je fi (x)fi(x*) ,i=1,,Kifi (x)>fi(x*) zabarjednoj=1,,K.Iuovomsluajuseupotrebljavai oznakastrogoefikasna,odnosnoslaboefikasnaakoseznakzamijeniznakom.134 Obziromnaprethodnudefiniciju,moeserediidajevarijablaodluivanjaefikasnaakose moedobitiinverznimpreslikavanjempreslikavanjafPareto-optimalnogrjeenja.Varijabla odluivanja koja nije efikasna se naziva neefikasnom varijablom odluivanja.Posebnakategorijaefikasnihvarijabliodluivanjasurjeenjavedspomenutogsistema zadataka10.2.9svakiodovihNzadatakapojedinanodajerazliitarjeenja xi=(xi1,xi2,,xiK)X(i=1,,N)uprostoruodluivanjaX.Njihoveslikef(xi)(i=1,N)suPareto-optimalna rjeenja polaznog problema jer je upravo njihova i-ta komponenta maksimizirana. Ovevrijednostisenazivajujoimarginalnarjeenjailimarginalnevarijableodluivanja oigledno je da su sva marginalna rjeenja istovremeno i efikasna, ali ne i obrnuto. Taka ija jei-takoordinatajednakavrijednostii-tekriterijskefunkcijenadovakodefiniranomi-tom marginalnom varijablom odluivanja je ved spomenuta idealna taka u prostoru F. VrijediprimijetitidaskupefikasnihrjeenjaE,kaopodskupskupaX,takoermoebiti konaan, prebrojiv i neprebrojiv (ali ne i prazan, ako skupX nije prazan) ako on ima samo jedanelementzadatiproblemviekriterijskeanalizejerijeenidatielementpredstavlja vektoroptimalnogodluivanja.Akotonijesluajtekpredstojiodabirpostupkaizbora jednogodelemenataskupaEkaozadovoljavajudegtj.optimalnogrjeenjapostavljenog zadatka.Postoje razliiti pristupi problemu konanog odabira samo jedne alternative iz skupa Pareto-optimalnihrjeenja,iliproblemunjihovograngiranjatj.utvrivanjameusobnogporetka. Najedese,zasnovanonanekomprincipupreferencije,kreiradodatnaskalarnafunkcija nad postojedim vektorskim varijablama ili ak i funkcijama to moe biti funkcija odstojanja uviedimenzionalnimprostorima,odreenafunkcijautiliteta,funkcijakonanogskupa predodreenihvrijednostiitd.Ovisnootomekojijeprincipodabran,razliitemetode viekriterijskeoptimizacije(odluivanja)mogusepodijelitiunekolikogrupakaotosu metodezageneriranjeneinferiornogskuparjeenja,metodesaunaprijedizraenom preferencijom, metode postupno odreene preferencije, a uokviru ovih grupacija mogu se prepoznatinpr.imetodezasnovanenakonceptuodstojanja,metodekojeuvodefunkciju utilititeta, metode meusobnog poreenja. Metode de po svojim slinostima biti grupirane i prikazaneunarednimpoglavljima,tedatkratakpregledmogudihnestabilnostinjihovih rjeenja.Naimeodluivanjeuuvijeknosisasobomiodreenistupanjneizvjesnosti-ovese neizvjesnostimogukategoriziratiudvijegrupe:neizvjesnostuzrokovanainherentnom prirodnompromjenljivodu(npr.hidroloka)ineizvjesnostuzrokovananedostatkom dostupnogznanja(Haimesetal,1975,tekodeuprimjenioptimizacijskihmetodaveuza iste spomenute uzroke, uz dodatak problema velikog broja meusobno nesamjerljivih ciljeva 135 koje treba optimizirati). Pri modeliranju sistema izvori greaka se mogu kategorizirati u est osnovnih grupa: 1.Topologijamodelaodnosisenared,stupanjiformusistemajednainakojimase predstavljarealnisistem.Tomogubitialgebarskeilidiferencijalnejednaine, parcijalne diferencijalne jednaine itd. 2.Parametrimodelaizboromtopologijemodelaseotvarapitanjeizboranjegovih parametara (nazivanih npr. i parametri identifikacije ili kalibracija modela). Parametri modela odreuju tanost njegove reprezentacije realnog sistema. 3.Obuhvat ili fokus modela odnosi se na tip i razinu rezolucije modela. Podrazumijeva vremenski opis, fiziki opis, politiko-geografski opis i opis ciljeva ili funkcija. 4.Podaci predstavljaju veoma vaan element u analizi sistema, njegovoj konstrukciji, kalibraciji,validaciji.Nedostatakodgovarajudihpodatakamoedovestidoozbiljnih greaka. 5.Tehnika optimizacije izbor i primjena odgovarajude optimizacijske tehnike uvodi jo jednumogudnostgrekeilineizvjesnosti.Izboroptimizacijsketehniketrebabitiu uskoj vezi sa konstrukcijom modela. 6.Subjektivnostljudskogfaktoraukljuujetreningiiskustvoanalitiara,sopstvenu preferenciju i interes, ili umjenost. Daklebrojnisuizvorineizvjesnostivrijednostisakojimaseulaziuproblemviekriterijske optimizacije.Obziromdasevedinaodlukadonosiusituacijamakadaciljevi,ogranienjai posljedicenisuposvepreciznoodreene,ispitivanjestabilnostirjeenjaproblema viekriterijske optimizacije predstavlja takoer vaan zadatak u oblasti. 10.3Ogledni primjer Odabraniogledniprimjerkojideseobraivatiuvedininarednihmodelaviekriterijske optimizacije(odluivanja)jejednostavan,posvojojstrukturipripadadiskretnomtipu problemausektoruprostornogplaniranjaiimasamoetirialternativeitrikriterijske funkcijenatajnaindebitilakepratitirezultatepojedinihmetodaimeusobnoih 136 usporediti.Oglednizadatakjedakledaseunovomprostornomplanuiregpodruja(ukojeulaziirijenisliv)odredipozicijazaeventualnunovubranunarijeci,kojomdeseosigurati vienamjenskaakumulacijasaciljemproizvodnjeelektrineenergije,navodnjavanja zemljitaivodoopskrbe(imemogudnostiiskoritenjaakumulacijenisuiscrpljenejer naravno,osimodabranihciljeva,taakumulacijabisemoglakoristitinpr.izaodbranuod poplava,uzgojribaitd.),tekaozasebanzahtjevizgradnjarekreacijskihzonaupodruju akumulacije,kojebidoprinijelerazvojuturizmauregiji,kaoglavnegraneekonomijeu narednom periodu. Dakle, kriterijske funkcije su: -Trokoviiskazanikaoinvesticijskitrokoviitrokovinajmanjeetrdesetogodinjeg odravanja(naalost,upraksiuBiHseovdjeposveneopravdanouzimajuuobzir samo investicijski trokovi) izraeni u KM, funkcija koju treba minimizirati; -Obuhvatuspjenostizadovoljenjatj.stupanjzadovoljenjazahtjevaproizvodnje elektrineenergije,navodnjavanjapoljoprivrednogzemljitaivodoopskrbe(iskazan upostotcima).Ovojefunkcijakojutrebamaksimizirati.Samoradijednostavnosti primjera tj. lakeg pradenja toka viekriterijske optimizacije, ovdje su razliiti kriteriji kao to su proizvodnja elektrine energije, stopa povrata investicija, navodnjavanje ili vodoopskrbaobjedinjeni,iakobibilologinijeihsvepromatratiodvojeno,kao zasebne kriterije; -Uspjenostrazvojarekreacionihzonaiturizmauregiji,datekspertskim ocjenama0 do 10 od strane relevantnih strunjaka, funkcija koju treba maksimizirati. Alternative koje de se razmatrati su: -A1 ne graditi branu uopde. Opcija koja se esto i ne razmatra, iako i ona uvijek ima svojihprednosti.Uovomsluajutrokovisuminimalni(0),stupanjzadovoljenja potrebazaelektrinomenergijomilivodomzanavodnjavanjeodnosnozapideje takoerminimalan(0%),aocjenarazvojaturizmaostajenapoetnojrazini(ocjena 1).Okoukljuivanjaovealternative(DoNothing)uskupmogudihalternativa postoje razliita miljenja upravo stoga to ona moe svojim prisustvom utjecati na konaan poredak odnosno izbor najbolje alternative, ovdje de se uzeti u obzir. -A2najskupljainajobuhvatnijaalternativa.Uovomsluajutrokovisunajvedi (100.000.000 KM), stupanj zadovoljenja potreba za elektrinom energijom ili vodom 137 zanavodnjavanjeodnosnozapidejetakoermaksimalan(100%),kaoiekspertska ocjena razvoja turizma u sluaju izbora ove alternative (najveda ocjena 10). -A3 umjerena alternativa. U ovom sluaju trokovi su neto manji (80.000.000 KM), stupanjzadovoljenjapotrebazaelektrinomenergijomilivodomzanavodnjavanje odnosnozapidejevelik(70%),kaoiocjenarazvojaturizmausluajuizboraove alternative (ocjena 8). -A4 alternativa izgradnje akumulacije sa najniom cijenom. U ovom sluaju trokovi su jo nii nego u prethodnom sluaju (30.000.000 KM), stupanj zadovoljenja potreba zaelektrinomenergijomilivodomzanavodnjavanjeodnosnozapideje50%,a ocjena razvoja turizma u sluaju izbora ove alternative je 5. Sve ove vrijednosti pojedinih kriterija za date alternative se mogu prikazati u tabeli 10.3.1: Alternative A1A2A3A4 Kriteriji f1 - trokovimin0100.000.00080.000.00030.000.000 f2 - obuhvatmax0%100%70%50% f3 - rekreacijamax11085 Tabela 10.3.1 Vanojeprimijetitidasenetraijednovremenomaksimiziranjenitiminimiziranjesvetri funkcije (ved kombinacija, radi naglaavanja naina rada sa takvim sluajem) te da su sve tri kriterijskefunkcijenamjernodatenesamourazliitimjedinicamamjere,vedirazliitim opsezimatrokovisuiskazaniuKMiiznosisenalazeuintervaluod0do100.000.000, obuhvatuspjenostiakumulacijejedatuprocentimaimoeiznositi0-100%,dokserazvoj turizmaocjenjujeocjenama0do10.akiakosezanemariinjenicadasujedinicemjere raznovrsnenovanajedinica,postotcii(bezdimenzionalna)ocjena,primjetnojedasame vrijednostiovihfunkcijapripadajuposvedrugaijimintervalima.Obziromnaraspon vrijednosti trokova, ak bi se moglo pretpostaviti da bi oni mogli imati tako znaajnu ulogu 138 uovakosastavljenojkomponentnojvektorskojfunkcijidadrugadvakriterijainedeimati utjecaja na izbor najbolje alternative.Stoga je logino promatrati i na odreeni nain normaliziran oblik spomenutih vrijednosti, tj. takav oblik u kome su iskazane apsolutne vrijednosti podijeljene sa intervalom pripadnosti i potompomnoenesa100(dakle"uoblikupostotka",radilakegpradenja).Tadabi prethodna tabela dobila oblik: Alternative A1A2A3A4 Kriteriji f1 - trokovimin01008030 f2 - obuhvatmax01007050 f3 - rekreacijamax101008050 Tabela 10.3.2 Ovakvimpostupkomsusamovrijednostikriterijskihfunkcijasvedenenaistiraspon,tone znai da su i njihove vanosti izjednaene. Naime, uvijek je mogude svakoj od njih dodijeliti i odgovarajuditeinskifaktor,kojibivrednovaonjenutjecajnaizborkonanealternative(ili eventualno alternativa). Ovaj primjer de se uzimati kao ogledni za vedinu narednih metoda, za koje ima odgovarajudu (prikladnu) formu. 139 11 METODE ZA GENERIRANJE NEINFERIORNIH RJEENJA U ovu grupu ne spadaju metode koji nastoje dodatno urediti vektorski prostor RN , ved samo onemetodeijijejediniciljodreditisva(iliakivedinu)neinferiornih(Pareto-optimalnih) rjeenjaproblemaviekriterijskeoptimizacije,tj.odreditisvaonarjeenja f*=(f1*,f2*,,fN*)F(gdjejeF_RNskupdopustivihrjeenja),zakojanepostojidrugo dopustivo rjeenje f=(f1, f2, , fN)F takvo da je fifi* , i=1,,N i fjfj* za bar jedno j,1,,N-.Dakle,ciljovihmetodajeodreditipodskupFn _Fsvihtakvihneinferiornihrjeenjaine pokuavajudiispitatipreferencijedonosiocaodluke,vedmusamopredstavitidatipodskup Fn, radi potpunijeg sagledavanja karakteristika problema i njegovog mogudeg rjeenja. Stoga meuovimmetodamainetrebaoekivatinestabilnostskuparjeenja,vedsamonjegovu eventualnunekompletnostodreenja.Ipak,radicjelovitostiistraivanjaprikazujusei metodiovegrupacije,teoznaavajunjihoveslabetake.Ovdjedeseosimpromatranog diskretnog sluaja naglasiti i kontinualni sluaj. 140 11.1Diskretni sluaj Usluajudiskretnog(prebrojivog)problemaoptimizacijekadajeupitanjusamokonaan brojalternativaikriterija,oiglednosemetodamoesastojatisamoizgrubepretrage skupa alternativa i njihove meusobne usporedbe (u parovima), tj. eliminiranja onih vektora alternativa koji bi bili inferiorni. Utabelibroj10.3.1oiglednojedanijednaodalternativanijeinferiornanaime meusobnim poreenjem se vidi da je: alternativa A1 bolja od alternative A2 po kriteriju f1, a loija po kriteriju f2 i f3

alternativa A1 bolja od alternative A3 po kriteriju f1, a loija po kriteriju f2 i f3

alternativa A1 bolja od alternative A4 po kriteriju f1, a loija po kriteriju f2 i f3

alternativa A2 bolja od alternative A3 po kriteriju f2 i f3, a loija po kriteriju f1 alternativa A2 bolja od alternative A4 po kriteriju f2 i f3, a loija po kriteriju f1 alternativa A3 bolja od alternative A4 po kriteriju f2 i f3, a loija po kriteriju f1 Dakle, nijedna alternativa nije loija od bilo koje druge po svimkriterijima istovremeno, to znai da je skup neinferiornih alternativa u ovom sluaju jednak polaznom skupu alternativa.11.1.1Analiza stabilnosti metode Oiglednojedazadiskretnisluajproblemaviekriterijskeoptimizacijeovakavpostupak moeimatijedinoogranienjeutehnikimmogudnostimaraunaranakomesevri pretraga, i to za sluaj problema u kome se pojavljuje veliki broj alternativa i kriterija, ato seupraksirijetkodogaa(izuzeveventualnousluajudiskretizacijesamalimkorakom kontinualnogproblema).Naravnodasedanas,sarazvojemraunarsketehnikeodnosno povedanjem mogudnosti novih procesora, ovo ogranienje moe posve zanemariti.Ipak, kao to se npr. vidi i u prethodnom primjeru, metoda sama po sebi za diskretni sluaj problemainedajeodgovornapitanjetajeoptimalnaalternativavedsamonapitanje tasigurnonijeoptimalnaalternativa,paseitomoesmatratinedostatkom,paaki izvoromnestabilnostimetoda.Naimekaokonanarezultatsedonosiocuodlukepredlae izbor iz (eventualno) suenog polaznog skupa alternativa, bez ikakve namjere da se konaan izbor opravda ili utie na njega. 141 11.2Kontinualni sluaj Usluajukontinualnogproblemaoptimizacije,kadasetraimaksimumfunkcije10.2.1uz uvjete10.2.2i10.2.3svakakodavedpostojiproblemodreivanjaskupaneinferiornih rjeenja.Naime,sadajetajskupFn _Fnajedebeskonaanivienijetakojednostavno (npr.pretragom,kaouprethodnomsluaju)odreditisveelementetogskupa.Stogasei pojavljujuposebnemetodezageneriranjeneinferiornihrjeenjaproblemaviekriterijske optimizacije,meukojimaposebnomjestozauzimajumetodateinskihkoeficijenatai metoda c-ogranienja u prostoru kriterijskih funkcija. 11.2.1Metoda teinskih koeficijenata Uosnovi,ovametodasezasnivanaidejijednakihosnovakaoinekedrugemetode viekriterijske optimizacije, a to je da se razliitim kriterijskim funkcijama dodijele odreeni teinski koeficijenti, te na taj nain dalje napravi (zbirna) linearna kombinacija kao funkcija, ijajevrijednostrealnapromjenljiva.Ali,dokseunekimdrugimmetodamateinski koeficijentiuvodedadirektnoopiuznaajulogepojedinihkriterijauukupnojpreferenciji donosioca odluke, ovdje to nije sluaj uloga teinskih koeficijenata u ovom sluaju je da se njihovimvariranjemdoedopodskupaneinferiornihrjeenjaovakavpostupakjeprvi predloio Zadeh 1963 (Goicoechea et al. 1982). Dakle,problemnalaenjamaksimumafunkcije10.2.1uzuvjete10.2.2i10.2.3(tj.zaxeX, gdjejeXdopustivipodskup)modificiraseuproblemjednokriterijskeoptimizacijeoblika (Opricovid 1986) maksimiziratiXx (x), f w (x) f w (x) f w (x) f wN N 3 3 2 2 1 1e + . + + +(11.2.1) zaijerjeavanjepostojeposebnimetodi(toneznaidaobaveznopostojiirjeenjeovog problema,toovisioskupuX).Naravnodajerjeenjeovogproblemaneinferiornotj.da pripadaskupuPareto-dominantnihrjeenjaproblema10.2.1uzuvjete10.2.2i10.2.3(na osnovuteoremeKuhn-Tucker,premaGoicoecheaetal.1982).Koeficijentiwisenazivaju teinamainajedesetumaekaomjernevrijednostiznaajapojedinihkriterija(ciljeva)u poreenjusaostalimatadasusveovevrijednostisvakakopozitivne(vrijednostwi=0bi implicirala da je taj kriterij nebitan pa bi se mogao izostaviti, dok bi wi (11.2.6) gdjejeproizvoljnoodabranaupravoi-takomponentnafunkcijafi(x)zamaksimiziranje. Dakle,samojedankriterijzaistaodreujeikriterijskufunkciju,doksesviostalikriteriji transformiraju u konturna ogranienja.Naravno, potrebno je varirati i vrijednosti ck,k=1,2,,i-1,i+1,,N, da bi se odredio vedi broj neinferiornih rjeenja problema 10.2.1, kao i ponavljati postupak za izbor drugih kriterijskih funkcija fi(x) , i=1,,N koje treba maksimizirati, to oigledno za vede N predstavlja znaajno opteredenje.Posebnojepitanjesistematinogmodelavarijacijevrijednostick,k=1,2,,i-1,i+1,,N.Iz sameformulacijeproblemainjegovihogranienja,rijetkoseodmahmoeprepoznati dopustivi skup vrijednosti za svaki kriterij, a izbor vrijednostick direktno ovisi o toj spoznaji. Takoer,akosuvarijacijesamalimkorakomh,svakakosemoeoekivatipotpunije dobijanjeskupaneinferiornihrjeenja,alijeistovremenoibrojoperacijaznaajnouvedan. 144 Ipak,odreenealgoritmezaodreivanjevrijednostickkojibikorisnikuolakaliposao odabira predloili su Cohon 1978 i Goicoechea 1976: Algoritam Cohona: OsnovnaidejaCohonajedajesvakoodrjeenjaproblemamaksimiziranjasamojedne kriterijskefunkcijenaistomskupuogranienjaneiferiorno(Pareto-optimalno)rjeenje polaznogproblema10.2.1,tj.pretpostavljanajprijerjeavanje(N)klasinihproblema maksimiziranja realne funkcije maksimiziratifi(x) , xeX ( i=1, 2, , N ) .(11.2.7) Ako je dakle xi jedinstveno rjeenje problema 11.2.5, tj. ako je fi(xi) = max fi(x) , xeX, (11.2.8) tada jeE={x1, x2, , xN} (11.2.9) skupsvihtakvihrjeenjazakojasuf(x1),f(x2),,f(xN)sveneinferiornetakekojesu maksimiziranepobaremjednojsvojojkomponenti.Cohonpredlaedasenajmanje komponentnevrijednostifj(x),xeEodaberuzadonjegranicevarijacijeparametarack, ada sevrijednostickravnomjernorasporedenaintervalukojiograniavajuminimalnai maksimalna komponentna vrijednost za vrijednosti xeE. Dakle, Cohon predlae da za fi(x)min=min fi(x) , xeE(11.2.10) vrijedifi(x)min s ci s fi(xi) , i=1, 2, , N .(11.2.11) Potomjepotrebnoodabratibrojvarijacijavrijednostiparametraci oznaensar,teih odrediti sa ( ) 1 - r , 2, 1, 0, p , (x) f - ) (x f *1 - rp) x ( fmin iii min i i. =|.|

\|+ = c (11.2.12) 145 tj.raspodijelitiupravilnimrazmacimavrijednostici naintervalu[fi(x)min ,fi(xi) ]tezasvaku ovakvuvrijednostrijeitiproblem(11.2.3)uzuvjete(11.2.4)(ukupnorN-1 kombinacija,tj. rjeavanja problema).Naravno,kakoje funkcijafi(x)proizvoljnoodabranakriterijskafunkcijakojasemaksimizira, postupakbibilopotrebnoiponovitizaizbordrugihkriterijskihfunkcija,todaljevodi povedanjubrojaoperacija,adajekrajnjiciljrelativnoskromnaponudapodskupa (eventualno cijelog skupa) neinferiornih rjeenja polaznog problema 10.2.1. Algoritam Goicoechea: Pristup Goicoechea i drugih koji su njim razvijali ovaj algoritam je veoma slian prethodnom pristupuCohena,osimtosesmatrapotrebnimdasevrijednostikriterijskihfunkcija normaliziraju i time ujedno svedu na bezdimenzionalne veliine koje sve pripadaju intervalu [0,1].Dakle, ponovo se odreujefi(xi) = max fi(x) , xeX, E={x1, x2, , xN} fi(x)min=min fi(x) , xeE(11.2.13) ali i

min iiimin i ii) x ( f ) x ( f) x ( f ) x ( f) x ( G= i=1, 2, , N . (11.2.14) NaovajnainjeGi(x)odreenakaociljnafunkcijakojaodreujeukojojjemjeri(ukom postotku)zadovoljeni-tikriterij,uodnosunaovakodobivenuminimalnuimaksimalnuvrijednost. Takoer se kreira i zamjenska ciljna funkcija S1(x) sa146

==N1 ii 1) x ( G ) x ( S (11.2.15) iji se maksimum trai umjesto rjeavanja problema 10.2.1. Ako je x1 rjeenje problema maksimizirati S1(x) (11.2.16) odreujusevrijednostif1(x1)=(f1(x1),f2(x1),,fN(x1))(aliiG1(x1)=(G1(x1),G2(x1),, GN(x1)), te se postavlja pitanje donosiocu odluke da li ga sve vrijednosti f1(x1), f2(x1), , fN(x1) zadovoljavaju.Akojeodgovorpotvrdan,smatrasedajerjeenjepolaznogproblema dostignuto(tojevektorf1(x1),dokvektorG1(x1)naodreennainopisujestupanj zadovoljenja svih kriterija), a ako ne onda se od donosioca odluke zahtjeva da odredi koji je to kriterij koji je postigao njegovo najvede zadovoljenje (fi(x1), odnosno Gi(x1)),te da dozvoli njegovo umanjenje, ime se konturni uvjeti dopunjavaju sa fi(x)>ci.Ovakav postupak dalje vodi ka formiranju nove zamjenske funkcije S2(x) koja se maksimizira (alikojasadrijedansabirakmanje,kojijesadapostaokonturniuvjet),aotudainovim vektorima f2(x2) i G2(x2), te se dalje postupak ponavlja na isti nain do potpunog zadovoljenja donosioca odluke. Dakle,Goicoecheajepredstaviointeraktivnialgoritam,kojiaknudiikonano,anesamo skupneinferiornihrjeenjaproblema10.2.1.Naravno,akoumjestodonosiocaodluke, analitiarsamodreujestupanjzadovoljenjaivariranjegovuvrijednostzaodabrane kriterije, i ova metoda de samo generirati neinferiorna rjeenja. 11.2.2.1Analiza metode Oigledno i ovaj postupak, za vrijednosti ck,k=1,2,,i-1,i+1,,N, ne vodi kompletnom skupu neinferiornih rjeenja polaznog problema 10.2.1, ved samo jednom rjeenju (u sluaju da je funkcija fi(x) konveksna ili konkavna), odnosno odreenoj skupini vrijednosti xeX za koje fi(x) dostiesvoj,utomsluajulokalni,maksimum.akinijesigurnodadezaistarjeenje problema11.2.3uzuvjete11.2.4bitiuopdeneinfeirornorjeenjeproblema10.2.1,jerto ovisi o vrijednostima ck (u sluaju da funkcija fi(x) za vie razliitih vrijednosti xeX prima istu maksimalnu vrijednost).Dakle,izuzevkadasealgoritamGoicoecheadoslovnoprimjeniizaistadonosilacodluke interaktivno uvede u postupak optimizacije, kada se kao rjeenje nametne jedna alternativa, ostalimetodi(paakimetodaGoicoecheaukomeanalitiarsimuliraraznaponaanja donosiocaodluke)samonudepodskupilieventualnocijeliskupneinferiornihrjeenja 147 polaznog problema10.2.1. Preferencija donosioca odluke nije ukljuena u postupak, ved se ukljuujenakontojemetodadovrena.Stogasuelementi nestabilnostioitonainizbora ogranienja ci ,i=1, 2, , N, kojiak u ekstremnom sluaju loeg izbora mogu dovesti i do toga da se ponudi ak i rjeenje koje bi bilo inferiorno. Iakoseobaovametoda(metodateinskihkoeficijenataimetodac-ogranienjauprostoru kriterijskihfunkcija)moguprimijenitiinadiskretnimproblemima,ipakbitakavprimjer ovdje biosuvian,obziromnavedspomenutemogudnostisuvremenihraunarakojisui za problemevedihdimenzijasposobnigrubompretragomispunitizadatakpronalaenja konanog podskupa neinferiornih rjeenja iz takoer konanog skupa svih datih alternativa. Zadatak za vjebu: Za zadati skupa alternativa i kriterija izvriti rangiranje prethodno navedenim metodama. Alternative A1A2A3A4 Kriteriji f1 troak u KMmin0250.000450.000300.000 f2 uspjeh u %max0%55%100%70% f3 broj ljudi max0101812 148 149 12 METODE SA UNAPRIJED IZRAENOM PREFERENCIJOM U ovu skupinu spadaju metode koje pretpostavljaju da je donosilac odluke unaprijed na neki nain odredio svoje preferencije i time omogudio kompletno ili barem djelomino ureenje prostoraalternativa.Akojeprostoralternativapostaokompletnoureen,pojam neinferiornogimaksimalnog(optimalnog)rjeenjapostajuidentini.Usuprotnom,kadaje preferencijadonosiocaodlukedoprinijelasamoparcijalnomureenjuprostoraalternativa, mogudejebaremviesuzitiskupneinferiornihrjeenja,tj.sprovestiodreenpostupak eliminacije unutar njega. Ako donosilac odluke nije u mogudnosti da unaprijed odredi svoju preferenciju, ove metode postaju neupotrebljive. I meu ovim metodama se mogu grubo prepoznati odreene grupacije (Bogardi et al. 1994) to su npr. metode zasnovane na konceptu leksikografskog ureenja, metode zasnovane na konceptu funkcije odstojanja, metode zasnovane na konceptu funkcije utiliteta ili na osnovu meusobnogporeenja,tesvakakometodekojesuprimjenjivenadiskretniilikontinualni sluaj.Udaljemsumetodeupravoprikazane po ovimgrupacijama, usmjerene nadiskretni sluaj. 150 12.1Leksikografska metoda Leksikografskametodauviekriterijskojoptimizacijijezasnovananaleksikografskom ureenju, odreenom sa (Cvetkovid i Parmee, 1998): Definicija 12.1.1: Zataku(vektor) nR x e kaesedajemanjipoleksikografskom ureenjuodtake(vektora) nR ye akojeilix=y,ilijeprva komponenta vektora x-y koja je razliita od nule negativna. Dakleuovojmetodisesmatradajeprviciljnajvanijiidasenajprijeponjemuvri optimizacija,drugislijededinajvanijiitd.pajeveomaznaajnodadonosilacodluke unaprijed dobro poznaje vanost ciljnih funkcija.Ogledni primjer U oglednom primjeru tabela vrijednosti ima oblik: Alternative A1A2A3A4 Kriteriji f1 - trokovimin0100.000.00080.000.00030.000.000 f2 - obuhvatmax0%100%70%50% f3 - rekreacijamax11085 Tabela 12.1.1 Dakle oito postoji 6 naina poretka kriterija f1, f2 i f3. To su: -( f1, f2 , f3)i ( f1, f3 , f2)kada je poredak alternativaA1, A4, A3, A2 -( f2, f3 , f1)i ( f2, f1 , f3)kada je poredak alternativaA2, A3, A4, A1 -( f3, f2 , f1)i ( f3, f1 , f2)kada je poredak alternativaA2, A3, A4, A1 Obziromdasusvevrijednostialternativaoglednogprimjerazasvakipojedinanikriterij razliite, to je poredak alternativa odreen samo prvim (najvanijim) kriterijem. 151 Analiza metodeOigledneprednostileksikografskogmetodasupotpunoureenjeskupaalternativai jednostavna,sekvencijalnaoptimizacijausluajudasetraijednanajboljaalternativa najprijesevriponajvanijemkriterijuicijelomskupualternativa,zatimpodrugom najvanijemkriterijualinaskupuonihalternativakojesuizdvojeneuprethodnomkoraku itd. Najvedi nedostatak metode je svakako to to relativni znaaj svakog kriterija mora biti dobro poznatodsamogpoetkazadonosiocaodluke,toupraksinijeuvijeksluaj.Cvetkovidi Parmeekaojednomoguderjeenjezatakvusituacijukadarelativniznaajciljevanije odreenizlauisluajnogeneriranileksikografskiporedakkriterija,kojisemijenjakroz generiranje. 12.2Koncept funkcije odstojanja u viekriterijskom odluivanju 12.2.1Minimalna odstojanja od eljene (ciljne) takeUovompristupu,kojisesusredese ipod nazivomciljno programiranje (Goicoechea1982, Opricovid 1992), donosilac odluke je taj koji odreuje jednu ciljnu taku f*=(f1*,f2*,,fN*)iz prostoraFzakojusmatradapokomponentnimvrijednostimapredstavljaeljenorjeenje zadatka. Ciljna taka f* moe, ali i ne mora, biti ranije spomenuta idealna taka ona moe bitiinadruginaingeneralizirana,paakiempirijskipostavljenaodstraneeksperata ukljuenihurjeavanjeproblema.AkoovatakapripadaskupuF,onadepredstavljatii rjeenjezadatka,alitonajedenijesluaj.Stogaseuovompristuputraidrugataka(ili drugivektor)izskupaF, kojasenalazidovoljnoblizu takif*.Termindovoljnoblizuje ovisanoizborumjerezaodstojanjauprostoruF,pasetakoizboromnpr.mjera 1, 2, 3, ,nede dodi do istog rjeenja iz skupa F.Takoer, ni razlike pojedinih komponenti senemorajupromatratikaojednakoznaajne,paseuvoenjemteinskihfaktoramoe naglasitiznaajpojedinihkriterijskih(komponentnih)funkcija.Najedesuuupotrebi slijededi modeli (Bogardi et al. 1994): 152 12.2.1.1Koncept zasnovan na normi U ovoj normi vrijedi x = max (x1, x2,, xK) , pa se problem odreivanja take x iz X za koju je f(x) najblia taki f* svodi na( ) (x) -f * f ,..., (x) -f * f , (x) -f * f maxminN N 2 2 1 1X xe(12.2.1) Ogledni primjer Ogledniprimjerje upravoikreirantakoda naznaiproblemmeusobnotekousporedivih jedinicamjere,kakvesuuovomsluajukonvertibilnemarkeKM,uoglednomprimjeruu rasponu 0-100,000,000 KM, procenti u rasponu 1-100%,i bodovi, tj. ocjena uspjenosti, u rasponu1-10.Dabiseipakomogudiloporeenjeovakoraznorodnihmjernihvrijednosti, potrebnojeizvritiodreenutransformacijuvrijednostiubezdimenzionalneveliineiliu vrijednostiistemjere.Najjednostavnijejezatrasformacijukoristitislijedederelacije transformacije (razmjene ili preferencije):1KM =1 KM ili1KM =1 (bezdimenzionalna veliina), 1% = 1 KM ili1% =1 (bezdimenzionalna veliina), 1bod = 1 KM ili1bod = 1 (bezdimenzionalna veliina). imeseidaljekoristeistebrojanevrijednostikriterija,iakojeovimoiglednodatmali znaaj procentu i bodu (ocjeni), ali to je osnova za zahtijevano usporeivanje i sabiranje. Dakle,uspomenutomoglednomprimjeruizboraizgradnjeakumulacijeslijedilobidajeza izborciljnetake(idealnealternative)kojaopisujetrokove,obuhvatuspjenosti zadovoljenjazahtjevaiuspjenostrazvojarekreacionihzona,f*=(0,100,10).Tadase dobije da je |A1|=max(|0 - 0|,|100 - 0|,|10 - 1| ) = 100 i analogno |A2|= 100.000.000, |A3|= 80.000.000 ,|A4|= 30.000.000 odakle je poredak alternativa oito A1, A4, A3, A2. Posebno je interesantno napomenuti da je uovomprimjerualternativaA1prvorangirana,tooiglednotrebazahvalitiodabranoj 153 razmjenimjernihveliinaitosamoposebipredstavljaparadoksdajepredloenaalternativazaosiguranjevodeNeraditinita.Svakako,ovajealternativaovdjeiuzetau obzir(ustvarnostisevjerojatnonebinirazmatrala,jernedajeeljenerezultate)upravo stoga da se pokae njen (esto negativan) utjecaj. Obziromdajeipaktekovjerovatidasedonosilacodlukenadaizborunajboljealternative bez ikakvih trokova, to bi vjerojatnija odabrana ciljna taka bila f*= (30.000.000 , 100 , 10) kada bi vrijediloAlternative |A1||A2||A3||A4| 30.000.00070.000.00050.000.00050 Tabela 12.2.1 odakle je poredak alternativa oito A4, A1, A3, A2, tj. ranije prve dvije alternative u poretku su sada zamijenile mjesta (uz iste transformacije). Analiza metode i mogude modifikacije Oiglednojevanospomenutidaovametodasamposebineuzimadirektnouobzir razliitostmjernihvrijednostipojedinihkriterijskihfunkcija,odakleslijedidade,nakon transformacijeodnosnorazmjenevrijednostikriterija,onaodnjihijesutransformirane vrijednostivede,svakakoznaajnijeuticatinaizborkonanogrjeenjaproblemaA.U oglednomprimjerujedrastinoprikazantajutjecaj,jersuspomenuterelacijepreferencije (tranformacije, razmjene)direktno uzrokovale konaan poredak alternativa.Ako bi se visina trokova umjesto u novanim jedinicama KM izraavala u milionima KM, te akobisezatrasformacijukoristitislijedederelacijetransformacije(razmjeneili preferencije):1milion KM =1(bezdimenzionalna veliina), 1% =1 (bezdimenzionalna veliina), 154 1bod = 1 (bezdimenzionalna veliina), vrijedilo bi (uz ciljnu taku f*= (0, 100, 10) u prostoru alternativa) Alternative |A1||A2||A3||A4| 1001008050 Tabela 12.2.2 odakle je poredak alternativa oito A4, A3, A2A1, odnosno alternativa Do nothing postaje najnepoeljnijasamopromjenomrelacijatranformacija,tojeoigledandokazvisokog stupnjailistepenaovisnostiporetkarangiranjaoodabranimrelacijamatransformacijeu ovako predloenom postupku rangiranja alternativa.Nainzaprevladavanjeovogproblemajesvakakonormalizacijamjernihvrijednostitj. njihovosvoenje naisti ilislianintervalvrijednostijednatakvametodajekompromisno programiranjekojeseudaljemizlae.Ipak,tosigurnonijejedininainiautorovdjemoe predloiti npr. i proceduru u kojoj bi se vrio ponovljeni izbor relacija za razmjenu (tradeoff) i ciljnetakeunekolikoiteracija,uzstalnouededonosiocaodluke(DO),donjegovog zadovoljenja.Svakako,osnovniproblemovogpristupajeuneophodnostiprisustva donosioca odluke u cijelom procesu, te u mogudoj nestabilnosti njegovih usmjeravanja. Kraj iterativnog procesa takoer nije odreen tehnikim uvjetima, ved samo ocjenom DO. Jojedanmogudipostupakprevazilaenjaovogproblemajepoznatouvoenjeteinskih koeficijenataikoeficijenatatransformacije(moesesusrestiusvimknjigamasaovom tematikom).Naime,akosekriterijskefunkcijesmatrajunejednakoznaajnim,moguse uvestiikoeficijentitransformacijec1,c2,,cN,(kojiusebiobjedinjujutransformaciju vrijednostiiznaajpojedinanogkriterija,tj.gdjejeci=wi*Ki,igdjejewi koeficijentkoji opisuje relativni znaaj i-tog kriterija, a Ki koeficijent transformacije vrijednosti i-tog kriterija) i kojima se prethodni postupak modificira u ( ) (x) -f * f c ,..., (x) -f * f c , (x) -f * f c maxminN N N 2 2 2 1 1 1X xe(12.2.2) Rjeenje ovog problema se osim kao minimaks rjeenje naziva i rjeenje Chebisheva (Bogardi etal.1994).Spomenutikoeficijentic1,c2,,cN semogu(aliinemoraju)inormalizirati,tj. odabrati tako da vrijedi 155 1 cN1 ii ==(12.2.3) to se lako postie transformacijama oblika . N ,..., 2 , 1 = icci=c c= c ,,i iN1 = i'(12.2.4) Uprethodnomprimjeru,kadajeizborrelacijapreferencijeimaopresudanutjecajna poredak alternativa u ovom metodu, logino je oekivati da ovi koeficijenti ne samo opisuju relativniznaajsvakogodkriterija,vedidaizvreodreenukorekciju(harmonizaciju) mjernih vrijednosti svih kriterija. Dakle, ako bi se uspomenutom oglednom primjeru izbora izgradnjeakumulacijeodabralaistaciljnavrijednostf*=(0,100,10),aliikoeficijenti(koji ovdje nisu normalizirani) c1 = 0,00000001 c2 = 0,01 c3 = 0,1 dobide se da jeAlternative |A1||A2||A3||A4| 110.80.5 Tabela 12.2.3 odakle slijedi poredak alternativa A4, A3, A2, A1.156 Akosepakzaciljnutakuodaberef*=(30.000.000,100,10)tadabi(zaistiizbor koeficijenata) vrijedilo Alternative |A1||A2||A3||A4| 11.410.5 Tabela 12.2.4 odaklejeporedakalternativaA4,A3,A1,A2.Daklenajskupljaalternativaidaljezauzima posljednje mjesto u poretku, a i alternativa A4 je zadrala vodedu poziciju, iako su alternative A1iA3sadaistevrijednosti(uzboljiporedakzaalternativuA3,jerjenjenadruganajveda vrijednost ipak manja nego za A1).Oigledno,koeficijentiimajumogudnostdaneutralizirajuuinaknadmodnogutjecajana poredakonogkriterijaijesutransformiranemjernevrijednostinajvede.Ipak,izbor koeficijenatakaoisameciljnetake(ulogadonosiocaodluke)sudaljiizvorinestabilnosti poretka alternativa ove metode u diskretnom sluaju, odnosno nalaenja rjeenja u sluaju kontinualnog problema.Koeficijente transformacije u principu treba da odredi donosilac odluke, saimajudi u njima i svojupreferencijuuodnosunapojedinanekriterije,iutomemutrebapomodoperatora metode.Vrijednostikoeficijenataoitomorajubitiodgovarajudevisinamamjernih vrijednostipojedinihkriterijanatemeljuegadeneutraliziratinjihovueventualnu disproporcionalnostineusporedivost.Ipak,toimnijejedinaulogaionitakoermoraju naglasititenjedonosiocaodluke.Znaajanproblemjeizraavanjeikvantificiranjete stabilnost takve preferencije, emu su brojni autori tome posvetili svoje radove (Solymosi et al. 1986, Vansnick 1986 etc.).12.2.1.2Koncept zasnovan na normi 1 U ovoj normi vrijedi x = x1+x2++xK , pa se problem odreivanja take x iz X za koju je f(x) najblia taki f* svodi na ( ) (x) -f * f (x) -f * f (x) -f * f minN N 2 2 1 1+ + (12.2.5) 157 Ogledni primjer Uzistepretpostavkeotranformacijama(preferenciji,razmjeni)vrijednostikaoiu prethodnompoglavlju,uoglednomprimjerubislijedilodazaizborciljnetake(idealne alternative) f*= (0, 100, 10) vrijedi|A1|= |0 - 0|+|100 - 0|+|10 - 1| ) = 109 i analogno|A2|= 100.000.000,|A3|= 80.000.032, |A4|= 30.000.055 odakle je poredak alternativa oito jo jednom A1, A4, A3, A2. Ako bi meutim odabrana ciljna taka bila f*= (30.000.000 , 100 , 10) tada bi vrijediloAlternative |A1||A2||A3||A4| 30.000.10970.000.00050.000.03255 Tabela 12.2.5 odaklejeporedakalternativaoitoA4,A1,A3,A2,tj.prethodneprvedvijealternativeu poretku su sada zamijenile mjesta. Analiza metode i mogude modifikacije Oiglednojedaniovametodasamaposebineuzimadirektnouobzirrazliitostmjernih vrijednosti pojedinih kriterijskih funkcija, odakle slijedi da de, nakon transformacije odnosno razmjenevrijednostikriterija,onodnjihijesutransformisanevrijednostivede,svakako znaajnije uticati na izbor konanog rjeenja problema A.Ako bi se visina trokova umjesto u novanim jedinicama KM izraavala u milionima KM, te akobisezatrasformacijukoristitislijedederelacijetransformacije(razmjeneili preferencije):158 1milion KM =1(bezdimenzionalna veliina), 1% =1 (bezdimenzionalna veliina), 1bod = 1 (bezdimenzionalna veliina), vrijedilo bi (uz ciljnu taku f*= (0, 100, 10) u prostoru alternativa) Alternative |A1||A2||A3||A4| 10910011285 Tabela 12.2.6 odaklejeporedakalternativaoitoA4,A2,A1,A3,tj.alternativaA3sadapostaje najnepoeljnijasamopromjenomrelacijatranformacija,tojeoigledandokazvisokog stupnjaovisnostiporetkarangiranjaoodabranimrelacijamatransformacijeuovako predloenompostupkurangiranjaalternativa.Ponovosekaojedanmogudipostupak prevazilaenja ovog problema predlae uvoenje teinskih koeficijenata. Iuovomsluajusekriterijskefunkcijemogusmatratinejednakoznaajnim,zbogegase uvode koeficijenti transformacije c1,c2, , cN , koji mogu biti i normalizirani, pa se prethodni postupak modificira u( ) (x) -f * f c (x) -f * f c (x) -f * f c min N N N 2 2 2 1 1 1+ + (12.2.6) I u ovom sluaju se pokazuje da koeficijenti onih kriterijaije su mjerne vrijednosti najvede imaju mogudnost da neutraliziraju njihov nadmodni utecaj na poredak dakle, da preuzmu ulogu razmjene vrijednosti za kriterije razliitih jedinica mjere. Ipak, izbor koeficijenata kao i same ciljne take (uloga donosioca odluke) su dalji izvori nestabilnosti izbora alternative uz pomod ove metode. 12.2.1.3Koncept zasnovan na normi 2

U ovoj normi vrijedi 2K2221x ... x x x + + + =(12.2.7) 159 pa se problem odreivanja take x iz X za koju je f(x) najblia taki f* svodi na( )22 2) x ( f*f .. ) x ( f*f ) x ( f*f minN N 2 2 1 1 + + |.|

\| + |.|

\|(12.2.8) Ogledni primjer Akobisezatrasformacijuvrijednostiponovokoristileranijihrelacijatransformacije (razmjene ili preferencije)1KM =1 (bezdimenzionalna veliina), 1% =1 (bezdimenzionalna veliina), 1bod = 1 (bezdimenzionalna veliina), u oglednom primjeru bi slijedilo da za izbor ciljne take (idealne alternative) f*= (0, 100, 10) vrijedi|A1|2 = (0 - 0)2+(100 - 0)2+(10 - 1)2 |A1|= 100,40 i analogno |A2|= 100.000.000, |A3|= 80.000.000, |A4|= 30.000.000 odakle je poredak alternativa A1, A4, A3, A2, a ak (sa dvije znaajne decimale) na vrijednost normi alternativa A2, A3 i A4 ni ne utiu kriteriji f2 i f3.Ako bi meutim, uz iste relacije transformacije, odabrana ciljna taka bila f*= (30.000.000 , 100 , 10) tada bi vrijedilo160 Alternative |A1||A2||A3||A4| 30.000.00070.000.00050.000.00050,25 Tabela 12.2.7 odaklejeporedakalternativaoitoA4,A1,A3,A2,tj.prethodneprvedvijealternativeu poretku su sada zamijenile mjesta, kao i u sluaju norme 1. Analiza metode i mogude modifikacije Ni ova metoda ne uzima direktno u obzir i razliitost mjernih vrijednosti pojedinih kriterijskih funkcija,odakle,kaoiuranijemsluaju,anakontransformacijeodnosnorazmjene vrijednostikriterija,slijedidadeonaodnjihijetransformiranevrijednostisunajvede, svakako znaajnije uticati na izbor konanog rjeenja problema.Iuovomsluajukriterijskefunkcijesemogusmatratinejednakoznaajnim,zbogegase uvode koeficijenti tranformacije c1,c2, , cN (koji mogu ali i ne moraju biti normalizirani), pa se prethodni postupak modificira u ( )2N2221) x ( f*f c .. ) x ( f*f c ) x ( f*f c minN N 2 2 1 1 + + |.|

\| + |.|

\| (12.2.9) Kaoiranije,oekujesedaovikoeficijentinesamoopisujurelativniznaajsvakogod kriterija,vedidaizvreodreenukorekciju(harmonizaciju,razmjenu)mjernihvrijednosti svih kriterija (treba primijetiti i to da ovi koeficijenti sada mnoe kvadrate nezadovoljenja pojedinih kriterija).12.2.1.4Koncept zasnovan na normi p U ovoj normi vrijedi

p PKP2P1x ... x x x + + + =(12.2.10) pa se problem odreivanja take x iz X za koju je f(x)najblia taki f* svodi na 161 ( )PPP P) x ( f*f .. ) x ( f*f ) x ( f*f minN N 2 2 1 1 + + |.|

\| + |.|

\| (12.2.11) Analiza metodeIsteprimjedbeoulozikoeficijenatatranformacijeodnosnoomjernimvrijednostima kriterijskihfunkcijaipotrebinjihovetransformacijeilirazmjeneseiuovomsluajumogu dati takoer oigledno je dade sa povedanjem stupnja p sve vedu ulogu imati oni kriteriji ijesumjernevrijednostivede.Akoptadaovanormapostajenorma ,pasu rezultatirangiranjaposljedinosveblieonimakojisepostiuupravoupotrebomnorme . 12.2.1.5Koncept parcijalnog zadovoljenja Uovomsluajuse problemodreivanja takexizX zakoju je takaf(x)najblia takif* svodi na( ) ) x ( f*f ) x ( f*f ) x ( f*f minN N 2 2 1 1 |.|

\| |.|

\| (12.2.12) Primjeduje se da ako je x iz X takva da vrijedi fi*=fi(x) , tj. ako je x takvo da maksimizira jednu kriterijskufunkcijudaovatakapredstavljaijednomoguderjeenjezadatogproblema (parcijalnozadovoljenjesamopojednojkomponentnojkriterijskojfunkciji).Teinski koeficijenti u ovom sluaju nemaju smisla jer bi se mogli izvesti pred funkciju minimiziranja, dok se primjedbe o mjernim vrijednostima kriterijskih funkcija i u ovom sluaju mogu dati. Analiza metodeUkonkretnomoglednomprimjeruoiglednoizborciljnetakef*odreujeinajbolje rangiranualternativuakobito,uzistepretpostavkeotransformacijamavrijednosti,bila f*=(0,100,10),ondabinajboljerangiranealternativebileA1iA2,doksuzasluajf*= (30,000,000,100,10),najboljerangiranealternativeA2iA4,jeroneimajubarempojedan kriterij(trokoviodnosnozadovoljenjepotreba)kojidostievrijednostciljnetake.Dakle, osnovni faktor nestabilnosti poretka postignutog ovom metodom je izbor ciljne vrijednosti.162 12.2.2Maksimalna odstojanja od neeljene take Uovompristupudonosilacodlukeodreujejednuneeljenureferentnuvrijednost(esto trenutnostanjekojeseelimijenjati),g*=(g1*,g2*,,gN*)izprostoraFzakojusmatrada traeno rjeenje po komponentnim vrijednostima treba biti to dalje od ove take. Termin to daljejeponovo ovisan o izboru mjere za odstojanja u prostoru F, pa se tako izborom npr.mjera 1, 2, 3,, nededodidoistogrjeenjaizskupaF.Takoernirazlike pojedinihkomponentisenemorajupromatratikaojednakoznaajne,paseuvoenjem teinskihfaktoramoenaglasitiznaajpojedinihkriterijskih(komponentnih)funkcija.U upotrebisumodelikojiodgovarajuprethodnoopisanimazaminimalnoodstojanjeod eljenetake,tj.konceptizasnovaninanormi , 1, 2, pilinarjeenjuNash- Harsanyi-ja u kom se sluaju se problem odreivanja take x iz Xsvodi na( ) ( ) ) x ( f*g ) x ( f * g ) x ( f*g maxN N 1 1 2 2 |.|

\| (12.2.13) RjeenjeovogproblemaseuliteraturisusredepodnazivomkooperativnorjeenjeNash-Harshanyija.Teinskikoeficijenti(kojibimogliusebiobjedinjavatiikoeficijente tranformacije mjernih vrijednosti, kao i ranije) u ovom sluaju nemaju smisla jer bi se mogli izvestipredfunkcijumaksimiziranja,dokseprimjedbeomjernimvrijednostimakriterijskih funkcija i u ovom sluaju mogu dati. 12.2.3Zajednike slabosti metoda zasnovanih na odstojanju od ciljne take Zajednikakarakteristikasvihprethodnihmetodajestedarjeenjedirektnoovisioizboru relacija transformacije i eventualnih teinskih koeficijenata. Izbor ciljne tj. referentne take u odnosunakojusetraiminimalnoodnosnomaksimalnoodstojanjeuodabranojnormije posebnoosjetljivpogrenimizboromsemoepojavitiakisituacijaukojojdobiveno rjeenjenepripadaskupuPareto-optimalnihrjeenja.Rjeenjadobivenametodom najmanjih kvadrata su najede strogo dominantna, kao i ona zasnovana na konceptu norme 1, dok su onagenerirana postupkom Nash-Harsanyija pa i primjenom norme L uglavnom slabo dominantna. Obziromdasvispomenutimetodiuzimajuuobzirapsolutnevrijednostirazlikaizmeu ostvarenih i eljenih (ciljnih) vrijednostikriterijskih funkcija, to direktno slijedi dade ona od kriterijskihfunkcijakojaimavediobuhvattransformiranihvrijednostiznaajnijeuticatina rjeenjeproblema,akosuteinskifaktori(kojitadaopisujusamorelativniznaajpojedinih kriterija)priblinojednakihvrijednosti.Kakoovakvasituacijauprincipunijeeljena, 163 pribjegava se izboru koeficijenata transformacije mjernih vrijednosti (ili razmjene trade off mjernihvrijednosti)takodaoniponitenatakavnainostvarenuprednost.Jedantakav postupak,ukomesevrinormaliziranjevrijednostikriterijskihfunkcijajestetzv. kompromisno programiranje, koje se u daljem obrazlae. 12.2.4Kompromisno programiranje Uovommetodu(Opricovid1986,1994,1998,primjenauorevidetal.1994,1995)se problem nejednakog utjecaja kriterijskih funkcija sa razliitim obuhvatom vrijednosti rjeava njihovomnormalizacijomnainterval[0,1],nakonegasetraiminimalnoodstojanjeod idealnetakeuprostoruF,atojeuovomsluajutaka(1,1,,1).Osnovniciljjesvakako uravnoteitiutjecajpojedinihkriterijskihfunkcija,kojedesadasveimatijednakobuhvat svojih vrijednosti. U tu svrhu se najprije rjeava skup problema optimizacije oblika: maksimizirati fi(x)uz uvjete Gj(x) 0, j=1, M (i=1,,N)(12.2.14) i minimiziratifi(x)uz uvjete Gj(x) 0,j=1, M. (i=1,,N) (12.2.15) Akosedostignutemaksimalneodnosnominimalnevrijednostiobiljeeredomsafi+ifi- (i=1,,N), tada se normalizacija komponentne kriterijske funkcije vri sa

+=i ii iif ff ) x ( f) x ( f (12.2.16) odakle slijedi da su vrijednostifi(x) iz intervala [0,1].Izboridealnetakesakoordinatama(f1+,f2+,f3+,,fN+)(odnosno(f1*,f2*,f3*,,fN*))u polaznom prostoru F se sada svodi na izbor take (1,1,,1) u ovako modificiranom prostoru,jer jeN ,..., 1 i , 1f ff f) x ( * fi ii ii= == + +(12.2.17) 164 Ovdjesepretpostavljadasu(f1+,f2+,,fN+)najboljarjeenja,upraktinimzadacimafi+ moe biti i minimalna vrijednost za neke kriterije, na primjer kriterij kotanja. Naravno da se ponovo mogu primijeniti razliite norme za odreivanje udaljenosti norme 1, 2, tj. p uopde, ili npr. Nash-Harshanyijevo rjeenje. Za razliku od ranije opisanih metoda,rjeenjeuovomsluajuneovisiojedinicimjeretj.obuhvatuvrijednosti komponentnihkriterijskihfunkcija,vedsamooizboruteinskihfaktoraiizborunorme. RjeenjadobivenaprimjenommetodeNash-Harsanyijasuslabodominantna,zarazlikuod rjeenja dobivenih npr. primjenom norme 2, koja su najede strogo dominantna.Dakle, u sluaju izbora norme p, problem viekriterijske optimizacije se svodi na nalaenje rjeenja problema: Minimizirati

ppi ii iiN1 i f f) x ( f fc ) p ), x ( F ( Dist=++ uz uvjete Gj(x) 0, j=1, M (12.2.18) Oiglednoderjeenjeovogproblemadirektnozavisitiiodizboravrijednostizap,tj.od izborametrike pizborommanjevrijednostizapsenaglaavapotrebazadovoljenja vedinekriterija-ukupnakorisnost(Opricovid1998);zap=1sekaonajboljavektorska vrijednostpokazujeonaijijezbirnormiranihodstojanjaodkomponentiidealnetake minimalan.Akosemeutimodaberevedavrijednostzap,tosesvevienaglaavaznaaj pojedinihkomponentnihkriterijskihfunkcijazagraninumetriku seodabireona vrijednostzakojujemaksimalnonormiranokomponentnoodstupanjeodidealnetake minimalno, tj. na rjeavanje problema: Minimizirati ||.|

\|= ++i ii iiif f) x ( f fc max ) ), x ( F ( D uz uvjete Gj(x) 0, j=1, M .(12.2.19) 165 12.2.4.1Kompromisno rangiranje Specijalno,usluajupromatranogdiskretnogproblemaviekriterijskeoptimizacije, prethodni postupak se pretvara u (Opricovid 1986, 1994, 1998) : Rangirati vrijednosti (od najmanje ka najvedoj)

ppi ij i iiN1 ijf ff fc ) A ( D=++=(12.2.20) gdje je ) N ,..., 2 , 1 i ( f max fijji= =+

) N ,..., 2 , 1 i ( f min fijji= = Opetderjeenjeovogproblemadirektnoovisitiioizboruvrijednostizap,tj.odizbora metrike pizborommanjevrijednostizapsenaglaavapotrebazadovoljenjavedine kriterija(pravilovedineOpricovidmetodaVIKOR1984)zap=1sekaonajbolja vektorskavrijednost pokazujeonaijije zbir normiranihodstojanjaodkomponentiidealne takeminimalan.Akosemeutimodaberevedavrijednostzap,tosesvevienaglaava znaajpojedinihkomponentnihkriterijskihfunkcijazagraninumetriku seodabire onavrijednostzakojumaksimalnonormiranoindividualnoodstupanjeodidealnetake minimalno. Ove dvije granine forme p metrike, za p=1 i p=respektivno, imaju oblik:

= ++=N1 ii iij ii jf ff fc S (12.2.21) i

||.|

\|=++i iij iiijf ff fc max R (12.2.22) 166 za svaku od alternativa Aj.12.2.4.2Metoda VIKOR RangiranjealternativaAjnaosnovuvrijednostiSjiRjdaklenedebitijednakoOpricovid (1984) stoga i predlae da se upravo ove dvije vrijednosti, Sj i Rj, smatraju novim kriterijskim vrijednostimaalternativaAj,tedasepotomvrirangiranjealternativaunovom dvokriterijskomprostoruprimjenomkompromisnogprogramiranjasametrikom 1. Obzirom da je pri rangiranju alternativa na osnovu vrijednosti Sj odnosno Rj najbolja ona sa najmanjom vrijednodu, to se ovaj put oznaava: jjS min S =+ jjS max S = odnosno jjR min R=+ jjR max R= Idealna taka je sada (S+, R+)i obzirom da se i u ovom sluaju moe pojaviti izvjesna razlika u rasponu mjernih vrijednosti Sj i Rj vri se njihova normalizacija sa + +=R RR RQRjj (12.2.23) i

+ +=S SS SQSjj(12.2.24) Nova mjerna vrijednost na temelju koje se vri rangiranje sada je odreena sa (metrika 1) 167

j 2 j 1 j jQR c QS c Q ) A ( Q + = = (12.2.25) odnosno ako su teinski koeficijenti c1 i c2 normalizirani (to se i predlae u Opricovid 1986 ili 1998), tj. ako je c1 + c2 = 1, onda sa ( ) ( )j j j j j jQR QS QRj QR 1 QS Q ) A ( Q v + = v + v = = (12.2.26) Teinskikoeficijentvsenazivateinomstrategije,acijelipostupakViekriterijsko KOmpromisno Rangiranje, odnosno metoda VIKOR. Ukoliko se odabere vrijednost za v veda od0,5 to znai da je vedi naglasak na zadovoljenju vedine kriterija, dok ako je vrijednost za v manjaod0,5toznaidajevedinaglasaknatomanjemindividualnomodstupanjuod idealnog rjeenja. MetodaVIKORkaonajboljualternativu(zadatiskupteinaci)predlaeonukojaje prvorangirana za v=0,5 samo ako -onaimadovoljnuprednostnadnarednomrangiranomalternativomza alternativuAiredidesedaimadovoljnuprednostnadslijededomsarangliste alternativom Aj ako za v=0,5 vrijediQ(Aj)-Q(Ai) > DQ gdje je DQ prag prednosti sa predloenom vrijednodu DQ = min (0,25, 1/(M-1)) igdjejesa0,25ogranienpragprednostizasluajisuviemalogbroja alternativa; -imadovoljnostabilnupozicijusapromjenomteinev,tovrijediakoje ispunjen barem jedan od narednih uvjeta -ista alternativa je prvorangirana i pravilom vedine -ista alternativa je prvorangirana i minimaks strategijom 168 -ista alternativa je prvorangirana i za v=0,25 i za v=0,75. Ukolikoprvorangiranaalternativaneispunjavaobaovauvjetaondaseonanesmatra dovoljnoboljomoddrugorangirane,tj.uskupkompromisnihrjeenjaulazeobje.Akone ispunjava samo prvi uvjet, u skup rjeenja ulaze sve alternative do one, koja ispunjava uvjet da prva alternativa nema dovoljnu prednost nad njom. Ako pak prvorangirana alternativa ne ispunjava samo drugi uvjet, onda je, prema prijedlogu autora metode, samo drugoplasirana u skupu kompromisnih rjeenja. Ogledni primjer U spomenutom jednostavnom sluaju, tabela alternativa i kriterija ima oblik kao u 10.3.1. Za izborjednakihteinskihkoeficijenatac1=c2=c3=1/3(=0,333333333),modificiranatabelau kojojjesvakielementfijzamijenjensaci(fi+-fij)/(fi+-fi-),gdjejefi+najboljaifi-najloija vrijednost, prikazan zaokrueno na etiri decimalna mjesta, imala bi oblik: Alternative normalizirane vrijednosti A1A2A3A4 Kriteriji f1 - trokovi0,00000,33330,26670,1000 f2 - obuhvat0,33330,00000,10000,1667 f3 - rekreacija0,33330,00000,07410,1852 Tabela 12.2.8 Vrijednosti S(Ai), R(Ai), QS(Ai), QR(Ai)su prikazane u narednoj tabeli: 169 Mjera Alternative PoredakA1A2A3A4 S0,66670,33330,44070,4519A2, A3, A4, A1 R0,33330,33330,26670,1852A4, A3, A2 A1 QS1,00000,00000,32220,3556A2, A3, A4, A1 QR1,00001,00000,55550,0000A4, A3, A2 A1 Tabela 12.2.9 OiglednojedajealternativaA1najloijapoobanovoformiranakriterijaQSiQR,odakle slijediidadeonabitiposljednjerangiranazasvakuvrijednostteinestrategijev.Poredak ostalih alternativa de ipak biti uvjetovan ovim parametrom -u narednoj tabeli je prikazan za razne vrijednosti teine strategije v: Mjera Q - vrijednost v Alternative PoredakA1A2A3A4 v=0,251,00000,75000,49310,0889A4, A3, A2, A1 v=0,501,00000,50000,43610,1778A4, A3, A2, A1 v=0,751,00000,25000,37920,2667A2, A4, A3, A1 v=0,901,00000,10000,34500,3200A2, A3, A4, A1 Tabela 12.2.10 Dakle za v=0,25 je poredak alternativa A4, A3, A2, A1, to se od minimaks strategije razlikuje samopooiglednijojprednostialternativeA4nadostalimaibitnojrazliciuvrednovanju 170 izmeu alternativa A1 i A2.Za v=0,5 je poredak alternativa ostao A4, A3, A2, A1.Za v=0,75 je poredak alternativa postao A2, A4, A3, A1. Za v=0,9 je poredak alternativa A2, A3, A4, A1, kao i za v=1, tj. za pravilo vedine.PrimjetnojedasesaporastomrastaparametravsmanjujepozicijaalternativeA4,a povedava pozicija alternative A2. Prvorangirana za v=0,5 je alternativa A4 i takoer vrijediQ(A3)-Q(A4) = 0,4361 - 0,1778> 0,25 odakle slijedi da alternativa A4 ima dovoljnu prednost nad sljededom na listi alternativom A1.Takoer je alternativa A4 prvorangirana i minimaks strategijom odakle slijedi i da je ispunjen uvjetdovoljnostabilnepozicijedaklemetodaVIKORbipredloila,zaovustrukturu teinskih koeficijenata, kao kompromisno rjeenje alternativu A4. Akobiseelionaglasitivediznaajkriterijatrokovavrijednostkoeficijenatabimoglabiti c1=0,5,c2=c3=0,25 , a modificirana tabela u kojoj je svaki element fij zamijenjen saci(fi+-fij)/(fi+-fi-),gdjejefi+najboljaifi-najloijavrijednost,zaokruenonaetiridecimalna mjesta, imala oblik: Alternative normalizirane vrijednosti A1A2A3A4 Kriteriji f1 - trokovi0,00000,50000,40000,1500 f2 - obuhvat0,25000,00000,07500,1250 f3 - rekreacija0,25000,00000,05560,1389 Tabela 12.2.11 Vrijednosti S(Ai), R(Ai), QS(Ai), QR(Ai)su prikazane u narednoj tabeli: 171 Mjera Alternative PoredakA1A2A3A4 S0,50000,50000,53060,4139A4, A2 A1, A3 R0,25000,50000,40000,1500A4, A1, A3 , A2 QS0,73810,78311,00000,0000A4, A2 A1, A3 QR0,28571,00000,71430,0000A4, A1, A3 , A2 Tabela 12.2.12 Kako je alternativa A4 u ovom sluaju najbolja i pravilom vedine i minimaks strategijom, jer je QS4=QR4=0,odakleopetslijedidadezasvakuvrijednostteinestrategijevovaalternativa biti na prvom mjestu, odnosno razne vrijednosti ovog parametra dovode samo do promjena u poretku ostale tri alternative. Poredak ostalih alternativa de ipak biti uvjetovan vrijednodu parametra v. U narednoj tabeli je prikazan poredak za razne vrijednosti teine strategije v: Mjera Q - vrijednost v Alternative PoredakA1A2A3A4 v=0,250,39980,93450,78570,0000A4, A1, A3, A2 v=0,500,51190,86900,85710,0000A4, A1, A3, A2 v=0,750,62500,80360,92860,0000A4, A1, A2, A3 Tabela 12.2.13 172 Dakle,zav=0,25poredakalternativajeA4, A1,A3, A2.Za v=0,5 poredakalternativajeostao A4, A1, A3, A2, ali se prednost prve rangirane alternative nad narednom povedala. Za v=0,75 jeporedakalternativapostaoA4,A1,A2, A3,odnosnosamosuposljednjedvijerangirane alternativezamijenilemjesta,aprednostprvealternativejejoviepovedana.Ovakav poredak se zadrava za v=0,8, v=0,9, i tek za v=1,0 poredak se mijenja i postaje A4, A2A1, A3, odnosno alternativa A2 dostie A1. U ovom sluaju se za svaku vrijednost parametra v alternativa A4 nalazi na prvom mjestu.Za v=0,5 takoer vrijediQ(A1)-Q(A4) = 0,5119 - 0,0000> 0,25 odakle slijedi da alternativa A4 ima dovoljnu prednost nad sljededom na listi alternativom A1.TakoerjealternativaA4 prvorangiranaiminimaksstrategijomipravilomvedineodakle slijedi i da je ispunjen uvjet dovoljno stabilne pozicije dakle metoda VIKOR bi predloila, za ovu strukturu teinskih koeficijenata, kao kompromisno rjeenje alternativu A4. Ako bi se dao vedi znaaj kriteriju rekreacije vrijednost koeficijenata bi mogla biti c1=c2=0,25 i c3=0,5,a modificirana tabela bi imala oblik (uz iste pretpostavke kao i ranije): Alternative normalizirane vrijednosti A1A2A3A4 Kriteriji f1 - trokovi0,00000,250000,20000,0750 f2 - obuhvat0,25000,00000,07500,1250 f3 - rekreacija0,50000,00000,11110,2778 Tabela 12.2.14 Vrijednosti S(Ai), R(Ai), QS(Ai), QR(Ai)su prikazane u narednoj tabeli: 173 Mjera Alternative PoredakA1A2A3A4 S0,75000,25000,38610,4778A2, A3, A4, A1 R0,50000,25000,20000,2778A3, A2, A4 , A1 QS1,00000,00000,27220,4556A2, A3, A4, A1 QR1,00000,16670,00000,2593A3, A2, A4 , A1 Tabela 12.2.15 KakojealternativaA1ponovonajloijaipravilomvedineiminimaksstrategijom,jerje QS1=QR1=1,slijedidadezasvakuvrijednostteinestrategijevovaalternativabitina posljednje rangirana, odnosno razne vrijednosti ovog parametra dovode samo do promjena u poretku prve tri alternative. Poredakostalihalternativadeipakbitiuvjetovanovimparametrom-unarednojtabelije prikazan za razne vrijednosti teine strategije v: Mjera Q - vrijednost v Alternative PoredakA1A2A3A4 v=0,251,00000,12500,06810,3083A3, A2, A4, A1 v=0,501,00000,08330,13610,3574A2, A3, A4, A1 v=0,751,00000,04170,20420,4065A2, A3, A4, A1 Tabela 12.2.16 174 Zav=0,25poredakalternativajeA3,A2,A4, A1,gdjesenaglaenovididajealternativaA1 loija od ostalih, a da razlika izmeu prvo i drugorangirane, pa i drugo i trede rangirane nije velika.Zav=0,5jeporedakalternativapostaoA2,A3,A4, A1,dvije prvorangiranealternative su zamijenile mjesta, ali opet sa neznatnom prednodu prvoplasirane.Za v=0,75 je poredak alternativaostaoA2,A3,A4, A1,uznetoveduprednostprvoplasirane.Ovajseporedak zadravaizav=0,8,v=0,9,uzsveveduprednostalternativeA2nadostalima,izav=1,0 prednost alternative A2 nad A3 postaje najveda (kada jeQ(Ai) = QS(Ai) ). U ovom sluaju se za vrijednost parametra v=0,5 na pravom mjestu nalazi alternativa A2, ali sasuviemalomprednodunadalternativomA3,paakiA4, dokjejedinoalternativa A1 ubjedljivoloijaodostalih.Stogabiseuovomsluajukaoskupkompromisnihrjeenja ponudio onaj koji sadri sve ove tri alternative A2, A3 i A4.Interesantnojenapomenutidauovomsluajuizborateinskihkoeficijenata(c1=c2=0,25i c3=0,5),izostavljanjealternativeA1,Donothing,izskupaalternativanedovodido promjene u poretku, izuzevto su razlike izmeu njihovih vrijednosti naravno vede. Tako je npr. za v=0,25 Q(A2) = Q2 = 0,1250 Q(A3) = Q3 = 0,1393 Q(A4) = Q4 = 1,0000 tj. poredak alternativa je A3, A2, A4, a za v=0,5 jeQ(A2) = Q2 = 0,0833 Q(A3) = Q3 = 0,2786 Q(A4) = Q4 = 1,0000 tj. poredak alternativa je opet A2, A3, A4, i ne mijenja se sa povedanjem vrijednosti za v. Usluajuizborateinskihkoeficijenatakojinaglaavajuznaajkriterijatrokova(c1=0,5, c2=c3=0,25), izostavljanje alternative A1, Do nothing, iz skupa alternativa ipak vodi manjimpromjenamauporetku,tojezaoekivatiobziromdajealternativaA1upravopotom kriterijuvodeda.Ponovojezasvakuvrijednostparametravnajboljerangiranaalternativa A4, ali tu poziciju sad dijeli sa alternativom A1 za v=1 (ranije je za istu vrijednost parametra v 175 imala znaajnu prednost) , a npr. zav=0,5 poredak je u ovom sluaju A4, A2, A3, dok je kada su bile promatrane sve etiri alternative on bio A4, (A1,) A3, A2. Ipak, prednost alternative A4 je dovoljno velika da se ona u svakom sluaju moe smatrati kompromisnim rjeenjem.12.2.4.3Analiza metode VIKOR i kompromisnog programiranja uopde KompromisnorangiranjeimetodaVIKORotklanjajuodreeneproblemekojeimajuneke ostalemetodeizovegrupe,prvenstvenozahvaljujudipostupkunormalizacijevrijednosti. Time se prevazilazi problem razliitih mjernih vrijednosti kriterija, svodedi ih za svaki kriterij na osnovni interval [0,1].Normalizacija vrijednosti i-tog kriterija se vri u odnosu na interval [fi-, fi+]. Kako vrijednosti fi- ifi+oviseoizborualternativa,tosedodatniizvornestabilnostimoeoekivatiusluaju kadase(diskretni)skupalternativaproirinovomkojajeponekomodkriterijaubjedljivo najboljailinajloijastogajeposebnovanosagledatidokojihpromjenadolaziusluaju uvoenjaalternativeDonothing.Naime,upravoonade(gotovo)uvijekbitinajpovoljnija pokriterijutrokova,itimepresudnouticatinavisinunormaliziranihvrijednostiovog kriterijazasvealternative.Usluajudasustvarne(nenormalizirane)vrijednostiovog kriterija ostalih alternativa meusobno sline i znaajno razliite od vrijednosti za alternativu Donothing,proizlazidadeupravoonadobitivelikupoetnuprednost,kojauzpovoljne teinskekoeficijente(adonosilacodlukeestovediznaajpripisujeupravokriteriju trokova) moe uvrstiti prvu poziciju alternative Do nothing.Elementstabilnostijesvakakoiizbornorme pzaraznevrijednostiparametrapdese dobitirazliiterang-listepreferencijealternativa,iupravotojemotivzaizgradnju kompozitnelistekakotoinimetodaVIKOR.Ipak,metodaVIKORkoristisamovrijednosti dobiveneupotrebomnormi 1i kaograninenorme,zanemarujudisveostale mogudnosti, pa i relativno uobiajenu normu Euklidove udaljenosti 2.Iizbor teinskih koeficijenata kriterija kao i specifine teine strategije v (ako se ne potuje dokrajastrategijaispunjenjaspomenutihuvjeta)svakakopredstavljajumogudeizvore nestabilnostiporetkapostojedihalternativa.Daljeuknjizidesepokazati kojisutointervali mogudih promjena vrijednosti teinskih koeficijenata ili vrijednosti kriterija koji nede dovesti do promjene rangiranja alternativa. 176 12.2.4.4Mogude modifikacije i metoda PVIKOR Metodakompromisnogprogramiranja,odnosnokompromisnograngiranjaudiskretnom sluaju,kaosvojuosnovukoristiidejuodstojanjaodidealnetakeprostoraalternativa. Prednostovogmetodajeutometoseuoeniproblemrazliitihintervalavrijednosti kriterija otklanja normalizacijom vrijednosti.Ipak, dodatni element neizvjesnosti je i izbor metrike, tj. mjere za odstojanja upravo stoga OpricoviduvodimetodomVIKORupotrebudvijekrajnjemetrike 1i ,izkojihna odreeninainproizvodikrajnjumjeruzarangiranje.Pritomemetrika 1oznaavatzv. grupnu korist, a metrika maksimalno dozvoljeno pojedinano odstupanje. Ipak, ni ovim nije posve otklonjen problem ovisnosti stabilnosti rang-liste od same metrike. Naime,posebnojeproblematinametrika -posvejemogudsluajukomevie alternativa ima po (barem) jednu komponentnu vrijednost koja je najloija za taj kriterij, tj. vrijednost i-tog kriterija je fi- za barem jedno i. Tada sve te alternative imaju istu vrijednost Rj, ime je njihova pozicija odreena iskljuivo vrijednodu Sj.ak tavie, u sluaju da su sve alternative upravo takve, vrijednosti QRj nisu ni definirane jer je R-=R+ . I Opricovid uoava da vrijednosti Rj mogu biti meusobno jednake za