VISA POUR LA PRÉPA

Visa pour la prépa

Maths2016-2017

MPSI | PCSI | PTSI | BCPST | ECSGuillaume Connan

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© Dunod, 2013, 20165 rue Laromiguière, 75005 Paris

www.dunod.comISBN 978-2-10-074698-9

Conception et création de couverture : Atelier 3+

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III

Table des matières

1. Savez-vous calculer ? 11.1 De l’importance de savoir calculer 1

1.2 Formulaire de trigonométrie 1

1.3 Nombres complexes 2

1.4 Dérivation : la Foire Aux Questions 11

1.5 Exercices 21

2. Savez-vous intégrer ? 752.1 Mise en place d’une définition 75

2.2 Quelles sont les fonctions intégrables ? 79

2.3 Propriétés de l’intégrale 81

2.4 Valeur moyenne 82

2.5 Primitive et intégrale 84

2.6 Exercices 86

3. Savez-vous raisonner ? 973.1 Test préliminaire 97

3.2 Contexte 97

3.3 Syntaxe 98

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Table des matières

IV

3.4 Sémantique 100

3.5 Approche formelle de la logique propositionnelle 104

3.6 Récurrence 108

3.7 Exercices 109

4. Savez-vous prévoir ? 1194.1 Rappels de théorie des ensembles 119

4.2 Une dose d’algèbre générale 120

4.3 Quelques résultats sur les cardinaux 122

4.4 Dénombrement 123

4.5 Triangle de pascal – Binôme de Newton 125

4.6 Probabilités ? 126

4.7 Avant la formalisation 126

4.8 Espace probabilisable – Espace probabilisé 128

4.9 Probabilités conditionnelles 130

4.10 Variables aléatoires finies 133

4.11 Quelques lois discrètes classiques 139

4.12 Exercices 141

5. Savez-vous programmer ? 1655.1 Scilab 165

5.2 Python : MPSI, PCSI, PTSI, BCPST 178

5.3 Exercices 192

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1CHAPITRE 1Savez-vous calculer ?

1.1 De l'importance de savoir calculer...On dispose certes d'ordinateurs pour effectuer les calculs (et nous verrons comment le faire)mais avant, méditez cette pensée d'Alain CONNES, membre de l'Académie des sciences,Professeur au Collège de France, à l'I.H.E.S. et à l'Université de Vanderbilt aux États-Unis. Ila de plus reçu la Médaille Fields en 1982, le Prix Crafoord en 2001 et la Médaille d'or duC.N.R.S. en 2004.

Quand on effectue un long calcul algébrique, la durée nécessaire est souvent très pro-pice à l'élaboration dans le cerveau de la représentation mentale des concepts utilisés.C'est pourquoi l'ordinateur, qui donne le résultat d'un tel calcul en supprimant la durée,n'est pas nécessairement un progrès. On croit gagner du temps, mais le résultat brutd'un calcul sans la représentation mentale de sa signification n'est pas un progrès.

Alain CONNES – Sciences et imaginaire

1.2 Formulaire de trigonométrieFormules

• sin2a + cos 2a = 1

• cos (a + b) = cos a cos b − sin a sin b

• cos (a − b) = cos a cos b + sin a sin b

• sin (a + b) = sin a cos b + sin b cos a

• sin (a − b) = sin a cos b − sin b cos a

• tan (a + b) = tan a + tan b

1 − tan a tan b, pour

a + b =/ π

2+ kπ , k ∈ Z

• tan (a − b) = tan a − tan b

1 + tan a tan b, pour

a − b =/ π

2+ kπ , k ′ ∈ Z

Transformation de produits en somme

• cos a · cos b = 1

2· (cos (a + b) + cos (a − b))

• sin a · sin b = 1

2· (cos (a − b) − cos (a + b))

• sin a · cos b = 1

2· (sin (a + b) + sin (a − b))

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Chapitre 1 • Savez-vous calculer ?

2

Transformation de sommes en produits

• cos p + cos q = 2 · cos (p + q

2) · cos (

p − q

2)

• cos p − cos q = −2 · sin (p + q

2) · sin (

p − q

2)

• sin p + sin q = 2 · sin (p + q

2) · cos (

p − q

2)

• sin p − sin q = 2 · sin (p − q

2) · cos (

p + q

2)

Formules de duplication• cos (2x) = cos 2x − sin 2x = 2 cos 2x − 1 = 1 − 2 sin 2x• sin (2x) = 2 cos x sin x

• tan (2x) = 2 tan x

1 − tan 2x, x =/ π

4+ k

π

2pour k ∈ Z

Avec t = tan (x

2), on a :

• sin x = 2t

1 + t2, cos x = 1 − t2

1 + t2, tan x = 2t

1 − t2

1.3 Nombres complexesVocabulaire et premières propriétés

Théorème Ensemble COn définit un ensemble C

– muni d'une addition et d'une multiplication qui prolongent celles de R

– contenant un nombre i vérifiant i2 = −1

– tel que chaque élément z de C peut s'écrire de manière unique sous la forme

z = a + ib avec a et b des nombres réels

Forme algébriqueCette écriture unique est appelée forme algébrique du réel z .

Le nombre a est appellé partie réelle de z et notée �e(z).

Le nombre b est appellé partie imaginaire de z et notée Jm(z) .

Remarque

Jm(z) est un nombre réel.

Remarque : À quoi sert l'unicité de la forme algébrique ?

Par exemple, après maints calculs savants, vous arrivez au résultat 2x + 3y − 5+ i(7x − 32y + 1) = 0 avec x et y des réels. Et bien le membre de gauche est une forme algébrique puisque de la forme réel + i· réel. Or la forme algébrique de 0 est 0 + i · 0.

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1.3 • Nombres complexes

3

Ainsi, une équation complexe revient à deux équations réelles (bienvenue dans la deuxièmedimension... ) et donc

2x + 3y − 5 + i(7x − 32y + 1) = 0 ⇐⇒{

2x + 3y − 5 = 0

7x − 32y + 1 = 0

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M(a , b )

e1

e2

a

b

O axe réel

axe imaginaire

u

→

→

→

Le plan complexeNous avons vu que chaque nombre complexe peut être associé à un point du plan qu'on munit

d'un repère (O,−→e1 ,−→e2 ).

À tout nombre complexe z = a + ib on associe le point M de coordonnées (a,b) qu'on appel-le image du complexe z = a + ib . On le note souvent M(z).

Inversement, à tout point M du plan de coordonnées (a,b), on associe son affixe z = a + ibqu'on note souvent zM.

Enfin, à tout vecteur �u = a−→e1 + b−→e2 de coordonnées (a,b) dans la base (−→e1 ,−→e2 ) est asso-cié une affixe z−→u = a + ib

Premiers calculs géométriques

– Soient �u et �v deux vecteurs de coordonnées respectives (a,b) et (a′,b′) dans la base

(−→e1 ,−→e2 ) , alors �u + �v = (a + a′)−→e1 + (b + b′)−→e2 , donc :

Théoreme : affixe d'une somme

z �u+�v = z �u + z�v

– De même, si λ est un nombre réel :

Théorème : affixe du produit par un réel

zλ�u = λz�u

– Alors, si I est le milieu du segment [A,B], on a :

Théorème : affixe du milieu

zI = 1

2(zA + zB)

– Pour tous points A et B :

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Chapitre 1 • Savez-vous calculer ?

4

Théorème : affixe d'un vecteur

z−→AB

= zB − zA

Conjugué d'un complexe

Définition : conjugué

On appelle conjugué du nombre complexe z = a + ib le nombre

z = a − ib

Géométriquement cela donne :

M(z )

M(z )

e1→

2

O axe réel

e→

axe imaginaire

À titre d’exercice, démontrez les propriétés immédiates suivantes :

Théorème

• M(z) et M′(z) sont symétriques par rapport à l'axe (O,−→e1 )

• z1 + z2 = z1 + z2

• z1z2 = z1 z2

• z = z

• z ∈ R⇐⇒ z = z

• z ∈ iR⇐⇒ z = −z

• �e(z) = 1

2(z + z)

• Jm(z) = 1

2(z − z)

• Si z = a + ib , alors zz = a2 + b2

À quoi servent les conjugués ?• À montrer qu'un complexe est un réel

En effet, si on arrive à montrer que z = z, alors on en conclut que z est réel.

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1.3 • Nombres complexes

5

• À rendre réel des dénominateurs pour obtenir des formes algébriques

En effet,

z · z = (a + ib)(a − ib) = a2 − (ib)2 = a2 + b2

Ainsi, pour obtenir la forme algébrique de l'inverse de 2 + i :

1

2 + i= 1

2 + i· 2 − i

2 − i= 2 + i

4 + 1= 2

5+ 1

5i

Conjugué de l'inverseSachant qu'un complexe non nul z admet une forme algébrique a + ib, on sait maintenanttrouver la forme algébrique de son inverse :

1

a + ib= 1

a + ib× a − ib

a − ib= a − ib

a2 + b2

donc (1

z

)= a + ib

a2 + b2= a + ib

(a + ib)(a − ib)= 1

a − ib= 1

z

Module d'un nombre complexe

Définition : module

Le module du complexe z est le réel positif noté |z| tel que

|z| =√

z z

Remarques– Cette définition en est bien une car z z = a2 + b2 d'après notre étude sur les conjugués.

– Si a est un réel, |a| = √a a = √

aa = √a2 car a = a. Donc le module de a est bien la

valeur absolue de a et notre notation est cohérente.

La notion de module dans C généralise donc celle de valeur absolue dans R .

Interprétation géométrique

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M(a + i b )

e1

e2

a

b

O axe réel

axe imaginaire

a 2 + b 2√

Nous venons de voir que, si z = a + ib , alors :

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Chapitre 1 • Savez-vous calculer ?

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Théorème

|z| =√

a2 + b2

Or, qu'est-ce que √

a2 + b2 si ce n'est la norme du vecteur −→OM ou encore la longueur OM.

Théorème

|zM| = ‖−→OM‖ = OM |z �u| = ‖−→u ‖

Propriétés des modules

À titre d’exercice, démontrez les propriétés suivantes :

Théorème • |z| = |z|• |z| = 0 ⇐⇒ z = 0

• |z1 · z2] = |z1 · |z2|

•∣∣∣∣ z1

z2

∣∣∣∣ = |z1||z2|

• �e(z) � |z|• Jm(z) � |z|La propriété suivante mérite une petite aide à la démonstration :

Théorème : inégalité triangulaire

|z1 + z2| � |z1| + |z2|

C'est-à-dire, pour aller de Nantes à Montaigu, il est plus long de passer par Bratislava que desuivre la RN 137. Pour les curieux, voici comment cela se démontre.

Comme les deux membres de l'inégalité sont positifs, il suffit donc de comparer les carrés dechaque membre.

Or |z1 + z2|2 = (z1 + z2)(z1 + z2) = (z1 + z2)(z1 + z2) = |z1|2 + (z1z2 + z1z2) + |z2|2D'autre part (|z1| + |z2|)2 = |z1|2 + 2|z1z2| + |z2|2Il s'agit donc de comparer les « doubles produits ».Or z1z2 + z1z2 = z1z2 + z1z2 = 2�e(z1z2) � 2|z1z2| = 2|z1z2| d'après une propriété ci-dessus. Donc

|z1 + z2|2 = |z1|2 + (z1z2 + z1z2) + |z2|2 � |z1|2 + 2|z1z2| + |z2|2 = (|z1| + |z2|)2

Résolution d'équations du second degréL'objet de cette section est de résoudre dans C l'équation z2 = α .

Racine carrée d'un nombre réelOn suppose ici que α est un réel.

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1.3 • Nombres complexes

7

• αα � 0 : alors z2 = α ⇐⇒ z2 − α = (z − √α)(z + √

α) = 0 . Les solutions1 sont donc±√

α.Par exemple z2 = 4 ⇐⇒ z = −2 ou z = 2.

• αα < 0 : alors z2 = α ⇔ (z − i√−α)(z + i

√−α) = 0 . Les solutions sont donc ±i√−α .

C'est la nouveauté : z2 = −4 ⇐⇒ z = −2i ou z = 2i.

Racine carrée d'un complexe non réelLes choses se compliquent ! Nous allons traiter un exemple pour ne pas vous faire (trop) peur.Cherchons les racines carrées de 4 + 3i , à savoir les nombres a + ib tels que

(a + ib)2 = a2 − b2 + 2iab = 4 + 3i .

Par unicité de la forme algébrique on obtient { a2 − b2 = 4a2 + b2 = 5

2ab = 3

Ainsi a2 = 9/2 et b2 = 1/2, donc a = ±3√

2/2 et b = ±√2/2, or 2ab = 3 , donc a et b

sont de même signe.

Les solutions sont donc

√2

2(3 + i) et −

√2

2(3 + i) .

Résolution de ax2 + bx + c = 0 avec a,b et c des réels C'est comme en 1re :

ax2 + bx + c = 0 ⇐⇒ a[(

x + b

2a

)2 − b2 − 4ac

4a2

]= 0

⇐⇒ (x + b

2a

)2 = b2 − 4ac

(2a)2

Tout dépend donc du signe de b2 − 4ac , puis on utilise les résultats de la section précédente.

Théorème : résolution de ax2 + bx + c = 0 avec a, b et c des réels

L'équation ax2 + bx + c = 0 admet toujours des solutions sur C . Notons :

� = b2 − 4ac

le discriminant de l'équation et δ un complexe vérifiant :

δ2 = �

– Si � = 0, il existe une unique solution x = − b

2a

– Si � > 0, il existe deux solutions réelles x = −b ± δ

2a

– Si � < 0, il existe deux solutions complexes conjuguées x = −b ± δ

2a

Dans tous les cas x = −b ± δδ

2a!

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LA solution si α = 0.

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Chapitre 1 • Savez-vous calculer ?

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Forme trigonométrique

Forme trigonométriqueVous vous souvenez de la correspondance entre C et le Plan. Nous avions privilégié les coor-données cartésiennes d'un point. On aurait pu utiliser tout aussi bien ses coordonnéespolaires. Le Plan a cette fois besoin d'être orienté (il le sera implicitement à partir de main-tenant).

M(z )

e1

e2

r cos θ

r sin

r

θ

→

→

θ

O

Ainsi, (r,θ) étant le couple de coordonnées polaires de l'image M du nombre complexe z , on az = r cos θ+ ir sin θ déterminé de manière unique, car c'est en fait une forme algébriquedéguisée : on l'appelle forme trigonométrique du complexe z .

Définition : forme trigonométrique

z = r( cos θ+ i sin θ)

Remarque (notation en électronique)

Les électroniciens notent souvent ce résultat sous la forme : z = [r,θ] .

CongruenceVous rencontrerez souvent la notation x ≡ y[2π] qui se lit « x est congru à y modulo 2π ».Elle veut simplement dire que x − y est un multiple de 2π, c'est-à-dire qu'il existe un entierrelatif k tel que x − y = k · 2π.

Remarque (congruence modulo 2π)

x ≡ y[2π] ⇐⇒ il existe k ∈ Z tel que x = y + 2kπ

Par exemple, vous savez que π

3≡ 7π

3[2π] : dessinez un cercle trigonométrique pour vous en

convaincre.

Mesure d'un angle de vecteursNous n'avons pas les moyens de définir « proprement » les angles de vecteurs. Nous n'enavons qu'une définition intuitive. Ce qui nous intéresse, c'est que θ est UNE mesure en radians

de l'angle de vecteurs (−→e1 ,−→OM) . UNE mesure, car elle est définie modulo 2π. Et bien cette

mesure sera UN argument du complexe z , qu'on notera arg z . On retiendra :

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