Viga de Concreto1-D,2-D e 3-D Biapoiada - Portal Saber Livre · 2.2.5 – A Equação da Linha Elástica de uma Viga Bi-apoiada Unidimensional.....12 2.2.6 – Cálculo das Constantes

UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARANÁ SETOR DE TECNOLOGIA/SETOR DE CIÊNCIAS EXATAS

DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL/ DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA

PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM MÉTODOS NUMÉRICOS EM ENGENHARIA

2º TRABALHO COMPUTACIONAL:

Viga de Concreto1-D,2-D e 3-D Biapoiada por

Lucas Máximo Alves

CURITIBA – PARANÁ

AGOSTO - 2007

ii

LUCAS MÁXIMO ALVES


Viga de Concreto1-D,2-D e 3-D Biapoiada


AGOSTO - 2007

iii

LUCAS MÁXIMO ALVES


Viga de Concreto1-D,2-D e 3-D Biapoiada

Trabalho apresentado como requisito parcial para obtenção de créditos das aulas da Disciplina de MODELAGEM COMPUTACIONAL EM CONCRETO do curso de Doutorado do Programa de Pós-Graduação em Métodos Numéricos do Setor de Tecnologia/Setor de Ciências Exatas, Departamento de Engenharia Civil/Departamento de Matemática da Universidade Federal do Paraná Orientador: Prof. Dr. Roberto Dalledone Machado


AGOSTO - 2007

iv

DEDICATÓRIA

Dedico este trabalho a

v

AGRADECIMENTOS

Agradeço a Deus pelo seu imenso amor e misericórdia revelado nas oportunidades

que a vida me trouxe. Quero também agradecer:

A minha Família pelo apoio emocional e espiritual, ao meu orientador o Prof. Dr.

Luiz Alkimin de Lacerda, ao meu Co-Orientador o Prof. Dr. José Antonio Marques Carrer, a

Maristela Bradil pela amizade e dedicação com que nos atende, aos amigos, Maiko Buzzi,

Luiz Farani, Rodrigo Dias, e toda a galera do CESEC.

vi

EPÍGRAFE

“Há quem diga que no Principio era o caos..., mas eu percebo que no Principio era a Ordem Perfeita,.... e o Homem será reestabelecido para que retorne a ordem perfeita” (Lucas M. Alves)

vii

SUMÁRIO

Capítulo – I .................................................................................................................................1 INTRODUÇÃO..........................................................................................................................1 1. 1 – Apresentação do Trabalho................................................................................................1

1. 2 – Objetivos Gerais e Específicos do Trabalho ....................................................................1

Capítulo – II................................................................................................................................2 FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA .............................................................................................2 2. 1 – Introdução ..............................................................................................................2

2. 2 – Elementos da Teoria Elástica de uma Viga Unidimensional Bi-apoiada.........................3

2.2.1 – Cálculo da Tensões e Deformações no Regime Elástico de uma Viga Bi-apoiada Unidimensional...........................................................................................................................4 2.2.2 – Cálculo da Força e do Momento Fletor no Regime Elástico de uma Viga Bi-apoiada Unidimensional...........................................................................................................................6 2.2.3 – Cálculo das Deformações em uma Secção Transversal de uma Viga Bi-apoiada Unidimensional...........................................................................................................................9 2.2.4 – Cálculo das Reações dos Apoios de uma Viga Bi-apoiada Unidimensional ...............10 2.2.5 – A Equação da Linha Elástica de uma Viga Bi-apoiada Unidimensional .....................12 2.2.6 – Cálculo das Constantes C1, C2, C3, C4, C5 e C6 ............................................................16 2.2.7 – Cálculo do Momento, das Tensões e das Deformações ...............................................21 2.2.8 – Cálculo Deflexão Máxima no Centro da Viga .............................................................25 Capítulo – III ............................................................................................................................27 O CONCRETO REFORÇADO ...............................................................................................27 3. 1 – Introdução ............................................................................................................27

3. 2 –Concreto Reforçado.........................................................................................................28

3.2.1 - Reforço do Concreto Armado Simples .........................................................................28 3. 3 – Características Mecânica do Concreto Armado .............................................................30

3.3.1 - ESTADIO - I .................................................................................................................30 3.3.2 - ESTADIO - Ia ...............................................................................................................31 3.3.3 - ESTADIO - II................................................................................................................31 3.3.4 - ESTADIO – IIa ou ESTADIO - III...............................................................................32 3.3.5 - Tipos de ruptura de uma peça de concreto reforçado....................................................34 3.3.6 - Relações Constitutivas do Aço......................................................................................35 Capítulo – IV ............................................................................................................................37 MATERIAIS E MÉTODOS E TÉCNICAS EMPREGADAS NA SOLUÇÃO DO PROBLEMA ............................................................................................................................37 4. 1 – Introdução ............................................................................................................37

4. 2 – Metodologia de Plano de Trabalho e Técnicas Utilizadas .............................................38

4. 3 – Metodologia de Preparação dos Dados ..........................................................................38

4.3.1 - Geração do Arquivo de Entrada ....................................................................................39 4. 4 – Metodologia do Processamento de Dados e de Obtenção dos Resultados.....................40

4. 5 – Metodologia dos Exemplos a Serem Testados ...............................................................41

viii

4.5.2 –Condições de Contorno Impostas ..................................................................................42 4. 6 – Metodologia da Geração Sistemática dos Resultados ....................................................43

4. 7 – Metodologia de Análise e Comparação dos Resultados.................................................43

Capítulo – V .............................................................................................................................44 RESULTADOS E DISCUSSÃO .............................................................................................44 5. 1 – Introdução ............................................................................................................44

5.1.1 - Condições de contorno..................................................................................................44 5. 2 – Malha – 1-D ............................................................................................................45

5.3.1 - Análise dos Deslocamentos, Tensões e Deformações sobre Nós e Elementos em 1D.49 5. 3 – Malha – 2-D ............................................................................................................50

5.3.1 - Análise dos Deslocamentos, Tensões e Deformações sobre Nós e Elementos em 2D para H = 10.0 ............................................................................................................................60 5.3.2 - Análise dos Deslocamentos, Tensões e Deformações sobre Nós e Elementos em 2D para H = 20.0 ............................................................................................................................62 5.3.3 - Análise dos Deslocamentos, Tensões e Deformações sobre Nós e Elementos em 2D para H = 30 ...............................................................................................................................64 5.3.4 - Análise dos Deslocamentos, Tensões e Deformações sobre Nós e Elementos em 2D para H = 40.0 ............................................................................................................................66 5.3.5 - Análise dos Deslocamentos, Tensões e Deformações sobre Nós e Elementos em 2D para H = 50.0 ............................................................................................................................68 5.3.6 - Análise Gráfica da Deflexão das Linhas em 2D ...........................................................70 5. 4 – Malha – 3-D ............................................................................................................71

5.4.1 - Análise dos Deslocamentos, Tensões e Deformações sobre Nós e Elementos em 3D para H = 10.0 ............................................................................................................................83 5.4.2 - Análise dos Deslocamentos, Tensões e Deformações sobre Nós e Elementos em 3D para H = 20.0 ............................................................................................................................88 5.4.3 - Análise dos Deslocamentos, Tensões e Deformações sobre Nós e Elementos em 3D para H = 30 ...............................................................................................................................92 5.4.4 - Análise dos Deslocamentos, Tensões e Deformações sobre Nós e Elementos em 3D para H = 40.0 ............................................................................................................................96 5.4.5 - Análise dos Deslocamentos, Tensões e Deformações sobre Nós e Elementos em 3D para H = 50.0 ..........................................................................................................................100 5.4.6 - Análise Gráfica da Deflexão das Linhas em 3D .........................................................104 Capítulo – VI ..........................................................................................................................105 DISCUSSÃO ANÁLISE DOS RESULTADOS....................................................................105 6. 1 – Introdução ..........................................................................................................105

6. 2 – Análise dos Deslocamentos e das Tensões Principais..................................................106

6.2.1 - Comparação com o Resultado Analítico Unidimensional ..........................................106 6.2.2 - Análise do Erro em Relação ao Valor Analítico 1-D..................................................108 6.2.3 - Análise de Convergência das Malhas .........................................................................110 Capítulo – VII.........................................................................................................................115 CONCLUSÃO........................................................................................................................115 7. 1 - Considerações Finais.....................................................................................................115

Referências Bibliográficas......................................................................................................116 Apêndices ...............................................................................................................................117 A. 1 – Elementos da Teoria Elástica Linear ...........................................................................117

ix

2.2.2 – A Equação de uma Viga Bi-apoiada Unidimensional ................................................117 2.2.3 - Problema Variacional de uma Viga Bi-apoiada Unidimensional ...............................118 A. 2 – Arquivo de Entrada de Dados da Viga Bi-Apoiada 1D, 2-D e 3D..............................120

Malha – 1-D............................................................................................................................121 Malha – 2-D............................................................................................................................122 Malha – 3-D............................................................................................................................124 A. 3 – Arquivo de Saída da Viga Bi-Apoiada 1D, 2-D e 3D .................................................126

Malha – 1-D............................................................................................................................126 Malha – 2-D............................................................................................................................129 Malha – 3-D............................................................................................................................132

x

LISTA DE FIGURAS

Figura - 2. 1. Viga bi-apoiada sujeita a deformação produzida por dois carreagamentos localizados. .................................................................................................................................3 Figura - 2. 2. Viga bi-apoiada sujeita a deformação pelo seu próprio peso. ..............................4 Figura - 2. 3. Secção qualquer de uma viga bi-apoiada sujeita a deformação pelo seu próprio peso para o trecho 0 ax x< < . ..................................................................................................12 Figura - 2. 4. Secção qualquer de uma viga bi-apoiada sujeita a deformação pelo seu próprio peso para o trecho ax x L< < . .................................................................................................13 Figura - 2. 5. Secção qualquer de uma viga bi-apoiada sujeita a deformação pelo seu próprio peso para o trecho ax x L< < . .................................................................................................14 Figura - 2. 6. Deflexão da linha elastica de uma viga bi-apoiada sujeita a deformação pelo seu próprio peso. .............................................................................................................................20 Figura - 2. 7. Momento Fletor de uma viga bi-apoiada sujeita a deformação pelo seu próprio peso...........................................................................................................................................21 Figura - 2. 8. Força Cortante de uma viga bi-apoiada sujeita a deformação pelo seu próprio peso...........................................................................................................................................24 Figura - 2. 9. Gráfico de w(x) versus (L/h) no centro da viga onde x = L/2. ...........................26 Figura - 3. 1. Carregamento simétrico em uma viga de concreto com reforço de aço na base...................................................................................................................................................28 Figura - 3. 2. .............................................................................................................................29 Figura - 3. 3. .............................................................................................................................29 Figura - 3. 4. .............................................................................................................................30 Figura - 3. 5. Análise na secção I-I no estádio I .......................................................................30 Figura - 3. 6. Análise na secção I-I no estádio Ia. ....................................................................31 Figura - 3. 7. Análise na secção I-I no estádio II......................................................................31 Figura - 3. 8. Análise na secção I-I no estádio III. ...................................................................32 Figura - 3. 9. .............................................................................................................................32 Figura - 3. 10. ...........................................................................................................................32 Figura - 3. 11. ...........................................................................................................................33 Figura - 3. 12. ...........................................................................................................................34 Figura - 3. 13. Estado de tensões em um elemento sólido infinitesimal .................................35 Figura - 3. 14. ...........................................................................................................................35 Figura - 3. 15. ...........................................................................................................................35 Figura - 3. 16. ...........................................................................................................................36 Figura - 4. 1. Exemplo de um arquivo de entrada de dados para o problema. .........................39 Figura - 4. 2. Fluxograma dos passos seguidos na preparação dos dados de entrada ..............40 Figura - 4. 3. Fluxograma do procedimento realizado na obtenção e análise dos dados de saída do código FEAP. ......................................................................................................................40 Figura - 4. 4. Malha 1 a ser gerada pelo FEAP ........................................................................41 Figura - 4. 5. . Malha 2 a ser gerada pelo FEAP. .....................................................................41 Figura - 4. 6. . Malha 3 a ser gerada pelo FEAP ......................................................................42 Figura - 4. 7. Fluxograma da Geração Sistemática dos Resultados .........................................43 Figura - 5. 1. Deslocamento em uma viga biapoiada sujeito a um carregamento pontual .......45 Figura - 5. 2. Deslocamento em uma viga biapoiada sujeito a um carregamento pontual .......45 Figura - 5. 3. Deslocamento em uma viga biapoiada sujeito a um carregamento pontual .......46 Figura - 5. 4. Deslocamento em uma viga biapoiada sujeito a um carregamento pontual .......46

xi

Figura - 5. 5. Tensão na direção 1 em uma viga biapoiada sujeito a um carregamento pontual..................................................................................................................................................47 Figura - 5. 6. Tensão na direção 2 em uma viga biapoiada sujeito a um carregamento pontual...................................................................................................................................................48 Figura - 5. 7. Deslocamento em uma viga biapoiada sujeito a um carregamento pontual .......50 Figura - 5. 8. Deslocamento em uma viga biapoiada sujeito a um carregamento pontual .......51 Figura - 5. 9. Deslocamento em uma viga biapoiada sujeito a um carregamento pontual .......53 Figura - 5. 10. Deslocamento em uma viga biapoiada sujeito a um carregamento pontual .....55 Figura - 5. 11. Tensão na direção 1 em uma viga biapoiada sujeito a um carregamento pontual..................................................................................................................................................57 Figura - 5. 12. Tensão na direção 2 em uma viga biapoiada sujeito a um carregamento pontual. .....................................................................................................................................59 Figura - 5. 13. Curva de deflexão dam linha elástica em função do comprimento da viga para diferentes altura h = 10.0, 20.0, 30.0, 40.0, 50.0. .....................................................................70 Figura - 5. 14. Variação da deflexão máxima no centro da viga em função do parâmetro α = l/h, comparação entre o cálculo analítico e o realizado pelo Métodos dos Elementos Finitos.70 Figura - 5. 15. Malhas de uma viga biapoiada sujeita a um carregamento pontual simétrico para as alturas de h = 10.0, 20.0, 30.0, 40.0 e 50.0. .................................................................73 Figura - 5. 16. Carregemento pontual simétrico duplo em uma malha representando um viga biapoiada...................................................................................................................................74 Figura - 5. 17. Deslocamento na direção 1 em uma viga biapoiada sujeito a um carregamento pontual ......................................................................................................................................76 Figura - 5. 18. Deslocamento na direção 2 em uma viga biapoiada sujeito a um carregamento pontual ......................................................................................................................................78 Figura - 5. 19. Tensão na direção 1 em uma viga biapoiada sujeito a um carregamento pontual..................................................................................................................................................80 Figura - 5. 20. Tensão na direção 2 em uma viga biapoiada sujeito a um carregamento pontual. .....................................................................................................................................82 Figura - 5. 21. Curva de deflexão dam linha elástica em função do comprimento da viga para diferentes altura h = 10.0, 20.0, 30.0, 40.0, 50.0. ...................................................................104 Figura - 5. 22. Variação da deflexão máxima no centro da viga em função do parâmetro α = l/h, comparação entre o cálculo analítico e o realizado pelo Métodos dos Elementos Finitos.................................................................................................................................................104 Figura - 6. 1. Suavização da distribuição da carga concentrada e do ponto de aplicação dos apoios......................................................................................................................................110 Figura - 6. 2. Uso da simetria da malha..................................................................................111 Figura - 6. 3. Gráfico da Análise da Convergência das Malhas para os Deslocamentos no ponto Inferior e Superior na metade da Viga .........................................................................112

xii

LISTA DE TABELAS

Tabela - IV. 1. Dimensões Geométricas e Massa Específica da Viga 38 Tabela - IV. 2. Propriedades Mecânica do Concreto 38 Tabela - V. 1. Deslocamentos sobre os Nós no Ponto na Metade da Viga 49 Tabela - V. 2. Tensões e Deformações sobre os Elementos no Ponto Central da Viga 49 Tabela - V. 3. Deslocamentos sobre os Nós no Ponto Inferior na Metade da Viga/h=10.0 60 Tabela - V. 4. Tensões e Deformações sobre os Elementos no Ponto Inferior na Metade da Viga/h=10.0 60 Tabela - V. 5. Deslocamentos sobre os Nós no Ponto Central na Metade da Viga//h=10.0 60 Tabela - V. 6. Tensões e Deformações sobre os Elementos no Ponto Central na Metade da Viga/h=10.0 60 Tabela - V. 7. Deslocamentos sobre os Nós no Ponto Superior na Metade da Viga/h=10.0 61 Tabela - V. 8. Tensões e Deformações sobre os Elementos no Ponto Superior na Metade da Viga/h=10.0 61 Tabela - V. 9. Deslocamentos sobre os Nós no Ponto Inferior na Metade da Viga/h=20.0 62 Tabela - V. 10. Tensões e Deformações sobre os Elementos no Ponto Inferior na Metade da Viga/h=20.0 62 Tabela - V. 11. Deslocamentos sobre os Nós no Ponto Central na Metade da Viga//h=20.0 62 Tabela - V. 12. Tensões e Deformações sobre os Elementos no Ponto Central na Metade da Viga/h=20.0 62 Tabela - V. 13. Deslocamentos sobre os Nós no Ponto Superior na Metade da Viga/h=20.0 63 Tabela - V. 14. Tensões e Deformações sobre os Elementos no Ponto Superior na Metade da Viga/h=20.0 63 Tabela - V. 15. Deslocamentos sobre os Nós no Ponto Inferior na Metade da Viga/h=30.0 64 Tabela - V. 16. Tensões e Deformações sobre os Elementos no Ponto Inferior na Metade da Viga/h=30.0 64 Tabela - V. 17. Deslocamentos sobre os Nós no Ponto Central na Metade da Viga//h=30.0 64 Tabela - V. 18. Tensões e Deformações sobre os Elementos no Ponto Central na Metade da Viga/h=30.0 64 Tabela - V. 19. Deslocamentos sobre os Nós no Ponto Superior na Metade da Viga/h=30.0 65 Tabela - V. 20. Tensões e Deformações sobre os Elementos no Ponto Superior na Metade da Viga/h=30.0 65 Tabela - V. 21. Deslocamentos sobre os Nós no Ponto Inferior na Metade da Viga/h=40.0 66 Tabela - V. 22. Tensões e Deformações sobre os Elementos no Ponto Inferior na Metade da Viga/h=40.0 66 Tabela - V. 23. Deslocamentos sobre os Nós no Ponto Central na Metade da Viga//h=40.0 66 Tabela - V. 24. Tensões e Deformações sobre os Elementos no Ponto Central na Metade da Viga/h=40.0 66 Tabela - V. 25. Deslocamentos sobre os Nós no Ponto Superior na Metade da Viga/h=40.0 67 Tabela - V. 26. Tensões e Deformações sobre os Elementos no Ponto Superior na Metade da Viga/h=40.0 67 Tabela - V. 27. Deslocamentos sobre os Nós no Ponto Inferior na Metade da Viga/h=50.0 68 Tabela - V. 28. Tensões e Deformações sobre os Elementos no Ponto Inferior na Metade da Viga/h=50.0 68 Tabela - V. 29. Deslocamentos sobre os Nós no Ponto Central na Metade da Viga//h=50.0 68

xiii

Tabela - V. 30. Tensões e Deformações sobre os Elementos no Ponto Central na Metade da Viga/h=50.0 68 Tabela - V. 31. Deslocamentos sobre os Nós no Ponto Superior na Metade da Viga/h=50.0 69 Tabela - V. 32. Tensões e Deformações sobre os Elementos no Ponto Superior na Metade da Viga/h=50.0 69 Tabela - V. 33. Deslocamentos sobre os Nós no Ponto Inferior na Metade da Viga/h=10.0 83 Tabela - V. 34. Tensões e Deformações sobre os Elementos no Ponto Inferior na Metade da Viga/h=10.0 83 Tabela - V. 35. Deslocamentos sobre os Nós no Ponto Central na Metade da Viga//h=10.0 84 Tabela - V. 36. Tensões e Deformações sobre os Elementos no Ponto Central na Metade da Viga/h=10.0 84 Tabela - V. 37. Deslocamentos sobre os Nós no Ponto Superior na Metade da Viga/h=10.0 84 Tabela - V. 38. Tensões e Deformações sobre os Elementos no Ponto Superior na Metade da Viga/h=10.0 85 Tabela - V. 39. Deslocamentos sobre os Nós no Ponto Inferior na Metade da Viga/h=20.0 88 Tabela - V. 40. Tensões e Deformações sobre os Elementos no Ponto Inferior na Metade da Viga/h=20.0 88 Tabela - V. 41. Deslocamentos sobre os Nós no Ponto Central na Metade da Viga//h=20.0 89 Tabela - V. 42. Tensões e Deformações sobre os Elementos no Ponto Central na Metade da Viga/h=20.0 89 Tabela - V. 43. Deslocamentos sobre os Nós no Ponto Superior na Metade da Viga/h=20.0 89 Tabela - V. 44. Tensões e Deformações sobre os Elementos no Ponto Superior na Metade da Viga/h=20.0 90 Tabela - V. 45. Deslocamentos sobre os Nós no Ponto Inferior na Metade da Viga/h=30.0 92 Tabela - V. 46. Tensões e Deformações sobre os Elementos no Ponto Inferior na Metade da Viga/h=30.0 92 Tabela - V. 47. Deslocamentos sobre os Nós no Ponto Central na Metade da Viga//h=30.0 93 Tabela - V. 48. Tensões e Deformações sobre os Elementos no Ponto Central na Metade da Viga/h=30.0 93 Tabela - V. 49. Deslocamentos sobre os Nós no Ponto Superior na Metade da Viga/h=30.0 93 Tabela - V. 50. Tensões e Deformações sobre os Elementos no Ponto Superior na Metade da Viga/h=30.0 94 Tabela - V. 51. Deslocamentos sobre os Nós no Ponto Inferior na Metade da Viga/h=40.0 96 Tabela - V. 52. Tensões e Deformações sobre os Elementos no Ponto Inferior na Metade da Viga/h=40.0 96 Tabela - V. 53. Deslocamentos sobre os Nós no Ponto Central na Metade da Viga//h=40.0 97 Tabela - V. 54. Tensões e Deformações sobre os Elementos no Ponto Central na Metade da Viga/h=40.0 97 Tabela - V. 55. Deslocamentos sobre os Nós no Ponto Superior na Metade da Viga/h=40.0 97 Tabela - V. 56. Tensões e Deformações sobre os Elementos no Ponto Superior na Metade da Viga/h=40.0 98 Tabela - V. 57. Deslocamentos sobre os Nós no Ponto Inferior na Metade da Viga/h=50.0 100 Tabela - V. 58. Tensões e Deformações sobre os Elementos no Ponto Inferior na Metade da Viga/h=50.0 100 Tabela - V. 59. Deslocamentos sobre os Nós no Ponto Central na Metade da Viga//h=50.0 101 Tabela - V. 60. Tensões e Deformações sobre os Elementos no Ponto Central na Metade da Viga/h=50.0 101 Tabela - V. 61. Deslocamentos sobre os Nós no Ponto Superior na Metade da Viga/h=50.0 101 Tabela - V. 62. Tensões e Deformações sobre os Elementos no Ponto Superior na Metade da Viga/h=50.0 102

xiv

Tabela - VI. 1. Deslocamento nas direções ortogonais 1 e 2 no Ponto Inferior na Metade da Viga para h = 10.0 106 Tabela - VI. 2. Deslocamento nas direções ortogonais 1 e 2 no Ponto Central na Metade da Viga para h = 10.0 106 Tabela - VI. 3. Deslocamento nas direções ortogonais 1 e 2 no Ponto Superior na Metade da Viga para h = 10.0 106 Tabela - VI. 4. Tensão nas Malhas nos Ponto Inferior e Superior na Metade da Viga 107 Tabela - VI. 5. Análise do Erro no Deslocamento no Ponto Inferior na Metade da Viga 108 Tabela - VI. 6. Análise do Erro no Deslocamento no Ponto Central na Metade da Viga 108 Tabela - VI. 7. Análise do Erro no Deslocamento no Ponto Superior na Metade da Viga 108 Tabela - VI. 8. Análise do Erro na Tensão no Ponto Inferior na Metade da Viga 109 Tabela - VI. 9. Análise do Erro na Tensão no Ponto Central na Metade da Viga 109 Tabela - VI. 10. Análise do Erro na Tensão no Ponto Superior na Metade da Viga 109 Tabela - VI. 11. Deslocamento no Ponto Inferior na Metade da Viga 111 Tabela - VI. 12. Deslocamento no Ponto Central na Metade da Viga 112 Tabela - VI. 13. Deslocamento no Ponto Superior na Metade da Viga 112 Tabela - VI. 14. Ordem de Convergênia das Malhas no Ponto Inferior na Metade da Viga 113 Tabela - VI. 15. Ordem de Convergênia das Malhas no Ponto Central na Metade da Viga 113

xv

LISTA DE SIGLAS

xvi

LISTA DE SÍMBOLOS

xvii

RESUMO

xviii

ABSTRACT

1

Capítulo – I

INTRODUÇÃO

1. 1 – Apresentação do Trabalho

Apresenta-se neste volume um trabalho computacional de aplicação dos

MÉTODOS DOS ELEMENTOS FINITOS. Requisito da avaliação parcial para obtenção de

créditos das aulas da Disciplina de Modelagem Computacional do Concreto ministradas pelo

prof. Dr. Eng. Roberto Dalledone Machado. Departamento de Engenharia Mecânica da

Universidade Federal do Paraná, do curso de Doutorado do Programa de Pós-Graduação em

Métodos Numéricos do Setor de Tecnologia/Setor de Ciências Exatas, Departamento de

Engenharia Civil/Departamento de Matemática da Universidade Federal do Paraná.

1. 2 – Objetivos Gerais e Específicos do Trabalho

O presente trabalho de simulação numérica computacional tem como objetivo

comparar os resultados obtidos por meio do cálculo numérico de uma viga bi-apoiada com

reforço em 1-D, 2-D, 3-D e comparar a relação entre a sua altura e comprimento para os

resultados obtidos por simulação numérica utilizando o Método dos Elementos Finitos pelo

código FEAP.

2

Capítulo – II

FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA

RESUMO

Neste capítulo será visto uma breve introdução teórica do problema da viga

elástica em questão. Será calculado o valor analítico da viga unidimensional para

posteriormente ser comparado com o resultado numérico obtido pelo Método dos Elementos

Finitos.

2. 1 – Introdução

O problema de vigas é muito comum em Engenharia e possui uma larga aplicação

na construção de estruturas metálicas e de concreto. Nesta parte consideraremos o problema

de uma viga elástica unidimensional de concreto com o intuito de apresentar as principais

equações diferenciais do problema e deduzir a equação de deformação da linha elástica

unidimensional com a finalidade de comparar com o problema bi-dimensional a ser relsolvido

numericamente pelo Método dos Elementos Finitos usando-se o código FEAP.

3

2. 2 – Elementos da Teoria Elástica de uma Viga Unidimensional Bi-apoiada

Considere uma viga apoiada e flexionada sob seu próprio peso conforme mostra a

Figura - 2. 1.

Figura - 2. 1. Viga bi-apoiada sujeita a deformação produzida por dois carreagamentos localizados.

Onde q(x) é a força peso, distribuída por unidade de comprimento e w(x) é a componente

vertical (altura) da deflexão, da viga em função da posição horizontal, x.

4

2.2.1 – Cálculo da Tensões e Deformações no Regime Elástico de uma Viga Bi-apoiada Unidimensional

Considere a viga deformada elasticamente conforme mostra a Figura - 2. 2.

Figura - 2. 2. Viga bi-apoiada sujeita a deformação pelo seu próprio peso.

O angulo θ de deflexão de uma viga para um arco de comprimento L igual ao da

viga é dado pela relação geoméetrica:

L ρθ= (2. 1)

Para um arco 'L afastado de uma distância y da linha central da viga é dado por:

( )'L yρ θ= − (2. 2)

Como o comprimento original do arco antes da deformação, era L. Logo a

deformação LΔ é dada por:

'L L LΔ = − (2. 3)

Substituindo as equações (2. 1) e (2. 2) em (2. 3) temos:

( )L yL y

ρ θ ρθ

θ

Δ = − −

Δ = − (2. 4)

Considerando a deformação na direção x como sendo:

5

xL y

Lθερθ

Δ= = − (2. 5)

Logo

xyερ

= − (2. 6)

A deformação correspondente ao valor máximo de y tanto para valores positivos e

negativos é dada por:

maxm

y cερ ρ

= − = (2. 7)

Onde 2hc = é a metade da altura. Logo

x myc

ε ε= − (2. 8)

Pela Lei de Hooke temos:

x xEσ ε= (2. 9)

Então

x x myE Ec

σ ε ε= = − (2. 10)

e

x myc

σ σ= − (2. 11)

6

2.2.2 – Cálculo da Força e do Momento Fletor no Regime Elástico de uma Viga Bi-apoiada Unidimensional

A partir do cláculo anterior vemos que a tensão normal varia linearmente com a

distância à superfície neutra. Logo, a força na direção x dada por:

x xF dAσ= ∫ (2. 12)

Deve ser nula quando se integra de um ponto inferior ate o ponto superior da barra.

0

x m

mx

yF dAc

F ydAc

σ

σ

⎛ ⎞= −⎜ ⎟⎝ ⎠

= − =

∫

∫ (2. 13)

Portanto,

0ydA =∫ (2. 14)

Por outro lado lembrando que o momento é dado por:

z xM y dAσ= −∫ (2. 15)

Logo substituindo (2. 11) em (2. 16) temos:

z myM y dAcσ⎛ ⎞= − −⎜ ⎟

⎝ ⎠∫ (2. 16)

Então

2mzM y dA

cσ

= ∫ (2. 17)

Como a definição do Momento de Inércia para uma viga retangular é dad por:

2 2z zI r dm I y dA= → =∫ ∫ (2. 18)

temos:

mz zM I

cσ

= (2. 19)

Logo

7

zm

z

M cI

σ = (2. 20)

Proporcionalmente temos:

zx

z

M yI

σ = (2. 21)

Para o caso de uma viga retangular temos:

2

12zbhI = (2. 22)

Sabendo que a partir da equação (2. 7) temos:

1 mcε

ρ= (2. 23)

temos:

1

1 1

m

z

z

EcM c

Ec I

σρ

ρ

=

= (2. 24)

Portanto, o momento fletor sobre uma viga é dado genericamente por:

( )1 M xEIρ

= (2. 25)

Mas o raio de curvatura ρ é dado por:

( )

( )

2

23/ 22

1

1

d w x

dx

dw xdx

ρ=⎡ ⎤⎛ ⎞⎢ ⎥+ ⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦

(2. 26)

Considerando que a declividade da linha elástica é muito pequena temos:

( )3/ 22

1 1dw x

dx

⎡ ⎤⎛ ⎞⎢ ⎥+ ≅⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦ (2. 27)

8

Temos:

( ) ( )2

2d w x M x

EIdx= (2. 28)

Esta é equação que relaciona a deflexão da linha elástica com o momento fletor.

9

2.2.3 – Cálculo das Deformações em uma Secção Transversal de uma Viga Bi-apoiada Unidimensional

Sabendo que da relação de Poisson as deformações nas direções perpendiculares

são:

;y x z xv vε ε ε ε= − = − (2. 29)

Podemos substituir (2. 6) em (2. 29) e obter:

;y zy yv vε ερ ρ

= = (2. 30)

logo

;y y z zy yE Ev E Evσ ε σ ερ ρ

= = = = (2. 31)

E substituindo ( ) em ( )

;z zy y z z

M y M yE v E vI I

σ ε σ ε= = = = (2. 32)

Ou

;z zy z

M y M yv vI I

σ σ= = (2. 33)

Observe que as tensões nas direções perpendiculares ao comprimento da viga são iguais.

10

2.2.4 – Cálculo das Reações dos Apoios de uma Viga Bi-apoiada Unidimensional

Para se equacionar o problema da viga em equilíbrio considera-se a somatória das

forças e dos momentos nulos em toda a viga, da seguinte forma:

0i

F =∑ (2. 34)

Desta forma, tem-se:

a bA B F F+ = + (2. 35)

Por outro lado, tomando a somatório do momento em relação a origem a partir

de uma das extremidades da viga temos:

0i

M =∑ (2. 36)

Onde a somatório dos momentos é dada por:

0a a b bBL F x F x− − = (2. 37)

Logo,

( )a a b bF x F xB

L+

= (2. 38)

Retornando (2. 38) em (2. 35) temos:

( )a a b ba b

F x F xA F F

L+

+ = + (2. 39)

Portanto,

1 1a ba b

x xA F FL L

⎛ ⎞ ⎛ ⎞= − + −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

(2. 40)

Sendo a bF F F= = temos:

( )2 a bx x

A FL

⎛ ⎞+= −⎜ ⎟

⎝ ⎠ (2. 41)

Como

a bx x L+ = (2. 42)

11

temos:

( )2 1A F= − (2. 43)

Portanto, por simetria,

A B F= = (2. 44)

12

2.2.5 – A Equação da Linha Elástica de uma Viga Bi-apoiada Unidimensional

Para calcular a equação da linha elástica vamos tomar uma secção qualquer da

viga, conforme mostra a Figura - 2. 3.

Figura - 2. 3. Secção qualquer de uma viga bi-apoiada sujeita a deformação pelo seu próprio peso para o trecho 0 ax x< < .

A partir da a Figura - 2. 3 vemos que o momento sobre a viga

i) Para o trecho 0 ax x< < é dado por:

AM Ax= (2. 45)

Sabendo que a reação A é dada por (2. 44) podemos escrever:

AM Fx= (2. 46)

A partir da equação (2. 28) temos:

( )2

2d w x

EI Fxdx

= (2. 47)

Integrando temos:

( )2

2d w x

EI dx F xdxdx

=∫ ∫ (2. 48)

Logo

( ) 212

dw x xEI F Cdx

= + (2. 49)

Integrando mais uma vez obtemos:

13

( ) 212

dw x xEI dx F dx C dxdx

= +∫ ∫ ∫ (2. 50)

temos:

( )3

1 26xEIw x F C x C= + + (2. 51)

Figura - 2. 4. Secção qualquer de uma viga bi-apoiada sujeita a deformação pelo seu próprio peso para o trecho ax x L< < .

ii) Para o trecho a bx x x< < é dado por:

( )A a aM Ax F x x= − − (2. 52)

Sabendo que a reação A é dada por (2. 44) e aF F= , podemos escrever:

( )A aM Fx F x x= − − (2. 53)

Ou

A aM Fx= (2. 54)


( )2

2 ad w x

EI Fxdx

= (2. 55)

Integrando temos:

14

( )2

2 ad w x

EI dx Fx dxdx

=∫ ∫ (2. 56)

Logo

( )3a

dw xEI Fx x C

dx= + (2. 57)


( )3a

dw xEI dx Fx xdx C dx

dx= +∫ ∫ ∫ (2. 58)

Temos:

( )2

3 42axEIw x Fx C x C= + + (2. 59)

Figura - 2. 5. Secção qualquer de uma viga bi-apoiada sujeita a deformação pelo seu próprio peso para o trecho ax x L< < .

iii) Para o trecho bx x L< < é dado por:

( ) ( )A a a b bM Ax F x x F x x= − − − − (2. 60)

Sabendo que a reação A é dada por (2. 44) e que a bF F= , podemos escrever:

( ) ( )A a bM Fx F x x F x x= − − − − (2. 61)

15

Ou

( )2A a bM Fx Fx F x x= − + + (2. 62)

como a bx x L+ = .

AM FL Fx= − (2. 63)


( )2

2d w x

EI FL Fxdx

= − (2. 64)

Integrando temos:

( )2

2d w x

EI dx FL dx F xdxdx

= −∫ ∫ ∫ (2. 65)

Logo

( ) 252

dw x xEI FLx F Cdx

= − + (2. 66)


( ) 252

dw x FEI dx FL xdx x dx C dxdx

= − +∫ ∫ ∫ ∫ (2. 67)

Temos:

( )2

35 62 6

x FEIw x FL x C x C= − + + (2. 68)

16

2.2.6 – Cálculo das Constantes C1, C2, C3, C4, C5 e C6

Aplicando as consições de contorno onde:

i) Condição de Contorno nula em uma das extremidades

( )0 0w x = = (2. 69)

Usando a relação (2. 51) temos:

( )3

1 200 0 06

EIw x F C C= = + + = (2. 70)

logo

2 0C = (2. 71)

ii) Condição de Continuidade funções nos pontos de aplicação das forças

( ) ( )0 a aa ax x x x L

w x x w x x< < < <

= = = (2. 72)

Então a partir das relações (2. 51) e (2. 59)

3 21 2 3 46 2

a aa a a

x xF C x C Fx C x C+ + = + + (2. 73)

Como 2 0C =

3 31 3 42 6

a aa a

x xC x F F C x C= − + + (2. 74)

Logo

31 3 4

1 12 6a a aC x Fx C x C⎛ ⎞= − + +⎜ ⎟

⎝ ⎠ (2. 75)

E

31 3 43

aa a

xC x F C x C= + + (2. 76)

Ou

24

1 3 3a

a

x CC C Fx

− = + (2. 77)

17

iii) Condição de Contorno nula na outra extremidade

( ) 0w x L= = (2. 78)

Usando a relação (2. 68) temos:

( )2

35 6 0

2 6L FEIw x L FL L C L C= = − + + = (2. 79)

ou

( ) 35 6 0

3FEIw x L L C L C= = + + = (2. 80)

Logo

35 6 3

FC L C L+ = − (2. 81)

iv) Usando a condição de derivada nula para a deflexão máxima no centro da viga.

( ) ( )0 a a

a a

x x x x L

dw x x dw x xdx dx< < < <

= == (2. 82)

Então a partir das relações (2. 49) e (2. 57):

22

1 32a

axF C Fx C+ = + (2. 83)

Logo

22

1 3 2a

axC C Fx F− = − (2. 84)

2

1 3 2axC C F− = (2. 85)

Comparando (2. 85) com (2. 77) temos que:

2 24

3 2a a

a

x xCF Fx

+ = (2. 86)

então

18

2 24

2 3a a

a

x xC F Fx

= − (2. 87)

logo

34

16 aC Fx= (2. 88)

v)

( )/ 20

a bx x x

dw x Ldx < <

== (2. 89)

logo

( )3 0

2adw x LEI Fx C

dx= + = (2. 90)

Portanto,

3 2aFx LC = − (2. 91)

Substituindo (2. 91) em (2. 85) temos:

2

1 2 2a

ax LC F Fx= − (2. 92)

Logo

( )1 2a

axC F x L= − (2. 93)

vi)

( ) ( )

a b b

b b

x x x x x L

dw x x dw x xdx dx< < < <

= == (2. 94)

Então

2

3 52b

a b bxFx x C FLx F C+ = − + (2. 95)

Usando (2. 91) temos:

19

Resolvendo essas equações obtemos:

i) Para 0 ax x< <

Substituindo a expressão (2. 71) e (2. 93) em (2. 51):

( ) ( )3

26 2 a ax FEIw x F x x L x= + − (2. 96)

ou

( ) 2 23 36 a aFxw x x x LxEI

⎡ ⎤= + −⎣ ⎦ (2. 97)

ii) Para a bx x x< <

Substituindo a expressão (2. 88) e (2. 91) em (2. 59):

( )2

312 2 6a a ax LEIw x Fx Fx x Fx= − + (2. 98)

Ou

( )2

312 2 6a a a

F x Lw x x x x xEI

⎛ ⎞= − +⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠ (2. 99)

então

( ) ( )2 23 36

aa

Fxw x x Lx xEI

= − + (2. 100)

ii) Para a deflexão máxima no centro da viga:

Substituindo 2Lx = na expressão (2. 59):

( )2 2

23 36 4 2

aa

Fx L Lw x xEI

⎛ ⎞= − +⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠ (2. 101)

Logo

( )2

236 4

aa

Fx Lw x xEI

⎛ ⎞= − +⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠ (2. 102)

Ou

20

( ) ( )2 23 424

aa

Fxw x L xEI

= − + (2. 103)

iii) Para bx x L< <

( )2

35 62 6

x FEIw x FL x C x C= − + + (2. 104)

Logo

( )2 2

3 2 2 222 6 2 6b bx F F LEIw x FL x L x x FL x

⎛ ⎞⎡ ⎤= − − − − −⎜ ⎟⎣ ⎦ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ (2. 105)

Portanto,

( ) ( )3 2 2

2 2 21 26 2 2 6b bx x LEIw x F L L x x L x

⎡ ⎤⎛ ⎞⎢ ⎥= − + − − − −⎜ ⎟⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦

(2. 106)

Ou

( ) ( ) ( )3 2 2 2 2 23 3 2 66 b bFw x x Lx L x x L x LEI

⎡ ⎤= − + − − − −⎢ ⎥⎣ ⎦ (2. 107)

Cujo gráfico da linha elastica em função do comprimento é mostrado na Figura -

2. 6

Figura - 2. 6. Deflexão da linha elastica de uma viga bi-apoiada sujeita a deformação pelo seu próprio peso.

21

2.2.7 – Cálculo do Momento, das Tensões e das Deformações

Sabendo as dimensões da viga, onde o comprimento 10l m= , a altura 2h m= e

espessura 1,0t m= temos que o volume é:

3

. .

20

V l h t

V m

=

= (2. 108)

como a massa especifica 32320 /Kg mρ = , podemos calcular a massa da viga

3 32320 / .2046400

m V

m Kg m mm Kg

ρ=

==

(2. 109)

Sendo a aceleraçào da gravidade 29,8 /g m s= , o peso da viga é

2

.

46400 .9,8 /454720N

P m g

P Kg m sP

=

==

(2. 110)

Figura - 2. 7. Momento Fletor de uma viga bi-apoiada sujeita a deformação pelo seu próprio peso.

O momento fletor é dado por:

max aM Fx= (2. 111)

Para um carregamento simétrico com 4aLx = temos:

max 4FLM = (2. 112)

Portanto,

22

max

max

max

454720N.10m4

4547200J4

1136800J

M

M

M

=

=

=

(2. 113)

O momento de inércia é dado por:

3

12zbhI = (2. 114)

Portanto,

3

4

1.2128 2

12 30,66667

z

z

z

I

I

I m

=

= =

=

(2. 115)

A tensão na direção x é:

zx

z

M yI

σ = (2. 116)

Onde y é a posição em relação a linha neutra. Portanto, considerando um ponto sobre a

superfície superior e inferior da viga temos:

4

3

3

1136800J.1m0,666671136800J

0,666671136800J

0,666671,705200MPa

x

x

x

x

m

m

m

σ

σ

σ

σ

=

=

=

=

(2. 117)

sendo

x xEσ ε= (2. 118)

Temos:

xx E

σε = (2. 119)

23

Logo substiutindo (2. 116) em (2. 119) temos:

zx

z

M yEI

ε = (2. 120)

A partir de (2. 111) temos:

ax

z

Fx yEI

ε = (2. 121)

Ou para o meio da viga temos:

4xPLy

EIε = (2. 122)

Sendo o medulo Elástico 27,5GPaE = , temos:

-5

1,705200MPa27,5GPa

6,201 10

x

x

ε

ε

=

= ×

(2. 123)

como

y-5(0.3).6,201 10

x

y

vε ε

ε

= −

= − × (2. 124)

E

z-5(0.3).6,201 10

x

z

vε ε

ε

= −

= − × (2. 125)

Temos que:

-5z 1.860 10yε ε= = × (2. 126)

A Relacão entre o Módulo Elástico Longitudinal e o Transversal ou de

Cisalhamento é dada por:

( )2 1EG

v=

+ (2. 127)

Logo o módulo elástico tranversal do concreto é:

24

10.58GPaG ≅ (2. 128)

A tensão de cisalhamento xyτ é dada por:

2

23 12

axy

F yA c

τ⎛ ⎞

= −⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

(2. 129)

O diagrama da força cortante é dado por:

Figura - 2. 8. Força Cortante de uma viga bi-apoiada sujeita a deformação pelo seu próprio peso.

Sabendo que:

xyxy

yx G

τε Δ

= = (2. 130)

Logo, a correção de Timoshenko é dada por:

2

23 12

axy

Fy yx GA c

ε⎛ ⎞Δ

= = −⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

(2. 131)

Ou seja:

2

23 12

aF x yyGA c

⎛ ⎞Δ = −⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠ (2. 132)

Para a posição / 2 e / 2x L y c h= = = temos:

32

aF LyGA

Δ = (2. 133)

25

2.2.8 – Cálculo Deflexão Máxima no Centro da Viga

E a partir da equação (2. 101) temos:

( ) ( )2 23 424

aa

Fxw x L xEI

= − + (2. 134)

Acrescentado a correção de Timoshenko 32

aF LyGA

Δ = , onde .A b h= para uma viga parede

temos:

( ) ( )2

2 2 33 424 2 12

a aa

Fx F Lhw x L xEI GI

= − + − (2. 135)

No centro da viga temos:

4aLx = (2. 136)

logo

( )2 2

2 33 496 16 2 12FL L FLhw x L

EI GI

⎛ ⎞= − + −⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠ (2. 137)

Logo

( )2 244 3

96 16 2 12FL L FLhw x

EI GI

⎛ ⎞= − −⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠ (2. 138)

Substituindo os valores em (2. 138) temos:

( )( )

( ) ( )( )

2 2

4 444 10 454720N.10m 2454720N.10m 3

16 296 27,5GPa 0,66667 12 10.6 0,66667

m mw x

m GPa m

⎛ ⎞⎜ ⎟= − − −⎜ ⎟⎝ ⎠

(2. 139)

Portanto,

( ) 0.7105105100 0.3217342404w x = − − (2. 140)

logo

( ) -1.032230688w x m= (2. 141)

26

Sendo 3

12zbhI = temos:

( )22

3 312 44 3

16 296aF LhFL Lw x

Ebh Gbh

⎛ ⎞= − −⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠ (2. 142)

Logo

( )311 3

32 2F L F Lw xEb h Gb h

⎛ ⎞ ⎛ ⎞= − −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

(2. 143)

Ou

( )311 3

32 2F L Lw xb E h G h

⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎢ ⎥= − +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎢ ⎥⎣ ⎦

(2. 144)

Cujo gráfico é mostrado na

Figura - 2. 9. Gráfico de w(x) versus (L/h) no centro da viga onde x = L/2.

27

Capítulo – III

O CONCRETO REFORÇADO

RESUMO

Neste capitulo será visto alguns dos principais conceitos matemáticos e físicos

relacionados ao estudo do concreto reforçado.


28

3. 2 –Concreto Reforçado

Figura - 3. 1. Carregamento simétrico em uma viga de concreto com reforço de aço na base.

3.2.1 - Reforço do Concreto Armado Simples

O concreto possui boa resistência a compressão e baixa resistência a tração

Resistência do concreto simples é boa a compressão, porém muito baixa a tração.

110ct cf f= (3. 1)

O reforço do concreto é usualmente feito com barras ou fios de aço (CA – XX),

onde:

CA : Aço para concreto armado

XX: resistência nominal.

Exemplo:

CA – 25 → 250ykf MPa=

CA – 50 → 500ykf MPa=

CA – 60 → 600ykf MPa=

29

A dilatação térmica do aço é próxima a do concreto.

Outros tipos de reforço do concreto são:

- fios de nylon, bambu, fibras de carbono (longas ou curtas), chapas de aço.

Desvantagens

Nylon: baixa aderência ao concreto

Fios de carbono: baixa resistência ao fogo.

Figura - 3. 2.

Figura - 3. 3.

30

3. 3 – Características Mecânica do Concreto Armado

Considere uma viga reforçada como indicada no início da aula.

Fazendo : 0 rupF F→ a resposta F δ× pode ser representada por:

Figura - 3. 4.

Podemos observar 4 regiões distintas no diagrama F δ× .

3.3.1 - ESTADIO - I

Existe linearidade entre F δ× . A secção está integra, sem fissuras. As tensões de

tração são muito baixas e, teoricamente, poderiam ser absorvidas pelo concreto simples, sem

reforço, neste estádio o regime é elástico.

O diagrama de tensões e deformações na secção transversal da viga é mostrado na

Figura - 3. 5. Análise na secção I-I no estádio I

Nesse Estádio, a peça pode ser tratada como homogênea, substituindo-se para

efeito de cálculo, a área de aço por uma área equivalente de concreto.

31

3.3.2 - ESTADIO - Ia

Nesse momento ocorre a plastificação da secção na região de traçào. Entretanto, a

peça ainda está íntegra. No diagrama de tensões e deformações na secção transversal da viga

mostrado na ... observa-se:

Figura - 3. 6. Análise na secção I-I no estádio Ia.

No limite do Estadio Ia a região tracionada está totalmente plastificada.

3.3.3 - ESTADIO - II

Inicio da fissuração do concreto na região tracionada. Esgota-se a capacidade

resistente do concreto à tração.

Todos as tensões de tração são integralmente absorvidas pelo reforço. Na região

comprimida, ainda se tem o regime elástico. No diagrama de tensões e deformações na secção

transversal da viga mostrado na ... observa-se:

Figura - 3. 7. Análise na secção I-I no estádio II.

32

3.3.4 - ESTADIO – IIa ou ESTADIO - III

As tensões de compressão crescem e produzem plastificação na região

comprimida. O comportamento da peça é nào-linear. No limite, esgota-se a capacidade

resistente da peça. No diagrama de tensões e deformações na secção transversal da viga

mostrado na ... observa-se:

Figura - 3. 8. Análise na secção I-I no estádio III.

Relembrando a relação c cσ ε× temos:

Figura - 3. 9.

Simplificadamente podemos trabalhar com o diagrama parábola-retângulo.

Figura - 3. 10.

33

Considera-se que:

2,0% - deformação de ruptura do concreto à compressão simples e 3,5% - deformação de

ruptura do concreto à flexão simples.

Figura - 3. 11.

34

3.3.5 - Tipos de ruptura de uma peça de concreto reforçado

a) Na Flexão

a.1 – Esmagamento do concreto – comprimido: a ruptura é brusca e sem aviso prévio (ruptura

frágil)

a.2 – Alongamento excessivos do aço ⇒ aço dúctil.

Há muitos sinais de ruína, como por exemplo, o quadro de fissuração.

a.3 – Ruptura simult6anea por esmagamento do concreto e por alongamento do aço.

b) Por Cisalhamento

O cisalhamento produz tensões tangenciais, xyτ , juntamente com as tensões

normais, xxσ e yyσ , ou seja, um estado multiaxial de tensões.

Nas direções principais, ocorrerão tensões de tração e de compressão. Logo, a

ruína por cisalhamento poderá ser:

b.1 – Esmagamento do concreto na direção das tensões principais de compressão

b.2 – Alongamento das armaduras de cisalhamento encarregadas de absorver as tensões de

tração

c) Falha de Ancoragem e Aderência

d) Perdas das Características dos Materiais

Por exemplo,

d.1 - R. A. A. do concreto (Reação Alkali-Agregado)

d.2 – Corrosão na armadura

d.3 – etc.

Figura - 3. 12.

35

3.3.6 - Relações Constitutivas do Aço

Figura - 3. 13. Estado de tensões em um elemento sólido infinitesimal

A obtenção do diagrama tensão X deformação é usado para caracterizar a relação

constitutiva de um material. No caso do aço usado no concreto armado temos o

comportamento mostrado na Figura - 3. 14.

Figura - 3. 14.

Em termos práticos trabalhamos com diagramas equivalentes

Figura - 3. 15.

36

i) Para 0 S Yε ε≤ ≤

Regime elástico obedece a Lei de Hooke:

tan210

ss s s

s

EE

E GPaθ

σ ε= ⎫

=⎬= ⎭ (3. 2)

ii) Para 10%Y Sε ε< ≤

Regime Plástico:

s Yfσ = (3. 3)

e

o1 110% 1%

1000 100= = = (3. 4)

É considerado um valor limite para evitar fissuração excessiva no concreto. Onde Yf é a

resistência do aço ao escoamento.

Figura - 3. 16.

37

Capítulo – IV

MATERIAIS E MÉTODOS E TÉCNICAS EMPREGADAS NA SOLUÇÃO DO PROBLEMA

RESUMO

Apresentamos neste capítulo os materiais e os métodos empregados na solução do

problema da viga elástica em bi-apoiada em uma, duas e três dimensões (1-D, 2-D, 3-D). A

forma de preparação e coleta dos dados de simulação numérica, as malhas e as condições de

contorno utilizadas.


Para a realização deste trabalho computacional tivemos que elaborar algumas

metodologias auxiliares para a utilização do código FEAP remotamente. O código FEAP

opera em ambiente LINUX e nós dispúnhamos de computadores em ambiente WINDOWS.

Desta forma, algumas metodologias de transferência e formatações de dados tiveram que ser

elaboradas e executadas com a finalidade de se apresentar os resultados obtidos na sua forma

final. Também se recorreu ao site da Universidade de Berkeley para obtenção de informações

adicionais sobre o FEAP. Neste site encontraram-se vários manuais de operação que muito

nos ajudaram a manusear a versão compilada do FEAP. Em algumas oportunidades também

se utilizou a versão for WINDOWS do FEAP denominada FEAP-pv, para nos auxiliar nas

horas difícil acesso ao FEAP for LINUX do Laboratório de Análise Térmica. Alguma

diferença fentre essas versões foram encontradas principalmente em alguns comandos

internos e na preparação dos arquivos de entrada. Comparativamente os resultados obtidos

pelos dois códigos foram muito semelhantes.

38

4. 2 – Metodologia de Plano de Trabalho e Técnicas Utilizadas

- Usaremos o Código FEAP para realização dos cálculos numéricos pelo Método de

Elementos Finitos.

4. 3 – Metodologia de Preparação dos Dados

Foram feitas cinco malhas, refinando cada uma delas a proporção de h/2 em ambas as

direções conforme os dados da Tabela - IV. 1.

Tabela - IV. 1. Dimensões Geométricas e Massa Específica da Viga

Material Comprimento - l

(m)

Altura - h

(m)

Espessura - t

(m)

Massa Específico

(Kg/m3)

Concreto 10,0 2,0 1,0 2320

Tabela - IV. 2. Propriedades Mecânica do Concreto

Módulo

Elástico

Longitudinal

(GPa)

Módulo

Elástico

Transversal

(GPa)

Módulo

de

Poisson

Tensão de

Escoamento

(MPa)

Tensão

de

Ruptura

a

Tração

(MPa)

Tensão de

Ruptura a

Compressão

(MPa)

Coeficiente

de Dilatação

27,5

10.58

0,3 10-5

39

4.3.1 - Geração do Arquivo de Entrada

O arquivo de entrada foi gerado de acordo com o exmplo mostrado na Figura - 4.

1.

Figura - 4. 1. Exemplo de um arquivo de entrada de dados para o problema.

40

Consequentemente, após executar o FEAP com o arquivo de entrada, o cálculo e a

geração dos dados de saída da viga foram obtidos.

Figura - 4. 2. Fluxograma dos passos seguidos na preparação dos dados de entrada

4. 4 – Metodologia do Processamento de Dados e de Obtenção dos Resultados

O processamento dos dados de entrada e saída foi realizada de acordo com a

metodologia exemplificada na Figura - 4. 3.

Figura - 4. 3. Fluxograma do procedimento realizado na obtenção e análise dos dados de saída do código FEAP.

41

Durante a execução do programa Feap foram geradas as malhas, contendo a

Deslocamento e os tensões nas direções principais (x,y). Os dados contidos no arquivo de

saída foram transferido para o ambiente Windows pelo SSH e renomeados para a extensão

*.doc a fim de serem utilizados no relatório final. Contudo, antes disso uma edição desse

arquivo de saída foi realizada utilizando-se o bloco de notas do Windows a fim de se extrair

apenas os dados necessários para a geração das tabelas e dos gráficos de análise no EXCEL.

4. 5 – Metodologia dos Exemplos a Serem Testados

As malhas da viga foram obtidas após a execução do programa FEAP conforme

mostra a Figura - 4. 4

4.5.1.1 – Malha – 1-D

Figura - 4. 4. Malha 1 a ser gerada pelo FEAP

Após a execução do programa FEAP com a malha 1 foi necessário fazer um

refinamento dessa malha inicial obtendo-se a malha 2, para fins de cálculo do erro relativo.

4.5.1.2 – Malha – 2-D

Figura - 4. 5. . Malha 2 a ser gerada pelo FEAP.

42

4.5.1.3 – Malha – 3-D

Figura - 4. 6. . Malha 3 a ser gerada pelo FEAP

4.5.2 –Condições de Contorno Impostas

As condições são dadas conforme o exemplo da equação

. ( 0,0) 0 ; ( , 0) 0

( / 4, ) ( 3 / 4, );x y

u x u x L ydu x L y h du x L y hP P

dn dn

= = = = == = = =

= − = − (3. 5)

43

4. 6 – Metodologia da Geração Sistemática dos Resultados

Os dados de entrada forma sistematizados por meio do refinamento das malhas

conservando as mesmas condições de contorno a serem executados no programa FEAP.

Figura - 4. 7. Fluxograma da Geração Sistemática dos Resultados

4. 7 – Metodologia de Análise e Comparação dos Resultados

Os resultados foram analisados e comparados diretamente utilizando-se tabelas,

gráficos e incluindo a analise de convergência e propagação de erros absolutos e relativos.

44

Capítulo – V

RESULTADOS E DISCUSSÃO

RESUMO

Apresentamos neste capítulo os resultados da simulação numérica do problema

simétrico da viga elástica bi-apoiada nas extremidades com um carregamento localizado no

centro. Os resultados das tensões e das deformações são obtidos, avaliados e discutidos para

diferentes refinamentos de malhas utilizadas.


O problema formulado anteriormente foram simulados utilizando o Método dos

Elementos Finitos, com e refinamento das malhas e as mesmas condições de contorno,

conforme a metodologia e a sistemática proposta no Capitulo – III.

5.1.1 - Condições de contorno

As condições de contorno impostas para esse exemplo são dadas pela equação (5.

1)

. ( 0,0) 0 ; ( , 0) 0

( / 4, ) ( 3 / 4, );x y

u x u x L ydu x L y h du x L y hP P

dn dn

= = = = == = = =

= − = − (5. 1)

45

5. 2 – Malha – 1-D

A imposição das condições sobre a malha 2 está ilustrada conforme mostra a

Figura - 5. 1.

Malha Ivigabi1db2(tang,,1/tang,,1/Plot/boun e /load)

Figura - 5. 1. Deslocamento em uma viga biapoiada sujeito a um carregamento pontual

Os deslocamentos nos pontos dos nós após a solicitação de carga é mostrada

conforme mostra a Figura - 5. 2

Malha Ivigabi1db2(tang,,1/tang,,1/Plot/disp)


A intensidade dos deslocamentos na direção 1 esta representada pela escala de

cores conforme mostra a Figura - 5. 3. Nesta figura observe os deslocamentos se afastando

nos sentidos positivo e negativo da linha vertical de simetria central da viga.

46

Malha Ivigabi1db2(tang,,1/tang,,1/Plot/cont,1)



cores conforme mostra a Figura - 5. 4



47

Observe as linhas isodeformação definidas pelas cores desde o branco até o

vermelho. Observe a intensidade máxima de deformação no centro da viga.

Utilizando-se o comando stre,1 do FEAP obteve-se as tensões na direção x1, onde

as linhas de isotensão são definidas pelas cores desde o branco até o vermelho conforme


Malha Ivigabi1db2(tang,,1/tang,,1/Plot/stre,1)

Figura - 5. 5. Tensão na direção 1 em uma viga biapoiada sujeito a um carregamento pontual

Observe a tensões de compressão na parte superior da viga e de tração na parte

inferior da viga. Novamente, utilizando-se agora o comando stre,2 do FEAP obteve-se a

tensão na direção x2, onde as linhas de isotensão são definidas pelas cores desde o branco até

o vermelho conforme mostra a Figura - 5. 6. Observe o acúmulo de tensões na direção 2 na

parte inferior das extremidade e na parte superior central da viga.

48


Figura - 5. 6. Tensão na direção 2 em uma viga biapoiada sujeito a um carregamento pontual.

49

5.3.1 - Análise dos Deslocamentos, Tensões e Deformações sobre Nós e Elementos em 1D

Foram escolhidos os nós e os elementos na metade da viga sobre as linhas

elásticas inferior, central e superior para a análise dos deslocamentos, das tensões e das

deformações, conforme mostram as tabelas abaixo.

Tabela - V. 1. Deslocamentos sobre os Nós no Ponto na Metade da Viga

Node 1 Coord 2 Coord 1 Displ 2 Displ 50 4.9000E+01 0.0000E+00 0.0000E+0 0.0000E+0 51 5.0000E+01 0.0000E+00 0.0000E+0 0.0000E+0 52 5.1000E+01 0.0000E+00 0.0000E+0 0.0000E+0

Os valores das tensões e das deformações nos elementos centrais inferiores e

superiores estão mostrados nas Tabela - V. 2.

Tabela - V. 2. Tensões e Deformações sobre os Elementos no Ponto Central da Viga

Elmt Mat Angle 11-stress 22-stress 33-stress 12-stress 1-stress

50 1 90.0 9.821E+06 9.821E+06 0.000E+00 0.000E+00 9.821E+06

1-coord 2-coord 11-strain 22-strain 33-strain 12-strain 2-stress

24.750 0.000 0.000E+00 0.000E+00 -4.643E-04 0.000E+00 9.821E+06


51 1 90.0 9.821E+06 9.821E+06 0.000E+00 0.000E+00 9.821E+06


25.250 0.000 0.000E+00 0.000E+00 -4.643E-04 0.000E+00 9.821E+06

Observe da Tabela - V. 2 que no modelo de vida 1D (unidimensional) apesar de

existir uma força aplicada aos elementos centrais de número 50 e 51, não há valor de

deformação neste elementos. Isto se deve a uma limitação do FEAP-PV.

50

5. 3 – Malha – 2-D


Figura - 5. 7

Malha Ivigabi2db1(tang,,1/tang,,1/Plot/boun e /load)


51






cores conforme é mostrado na Figura - 5. 9. Nesta figura observe os deslocamentos se

afastando nos sentidos positivo e negativo da linha vertical de simetria central da viga.

52

53





54

55







mostra a Figura - 5. 11.

56

57







parte inferior das extremidade e na parte superior central da viga

58

59



60

5.3.1 - Análise dos Deslocamentos, Tensões e Deformações sobre Nós e Elementos em 2D para H = 10.0




Tabela - V. 3. Deslocamentos sobre os Nós no Ponto Inferior na Metade da Viga/h=10.0



superiores estão mostrados nas Tabela - V. 4, Tabela - V. 6 e Tabela - V. 8.

Tabela - V. 4. Tensões e Deformações sobre os Elementos no Ponto Inferior na Metade da Viga/h=10.0


20 1 45.0 0.000E+00 0.000E+00 0.000E+00 0.000E+00 0.000E+00


48.750 0.150 0.000E+00 0.000E+00 0.000E+00 0.000E+00 0.000E+00


21 1 45.0 0.000E+00 0.000E+00 0.000E+00 0.000E+00 0.000E+00


51.250 0.150 0.000E+00 0.000E+00 0.000E+00 0.000E+00 0.000E+00

Tabela - V. 5. Deslocamentos sobre os Nós no Ponto Central na Metade da Viga//h=10.0

Node 1 Coord 2 Coord 1 Displ 2 Displ 635 4.7500E+01 4.9000E+00 -4.2193E+05 -1.3620E+07 636 5.0000E+01 4.9000E+00 -4.2193E+05 -1.3695E+07 637 5.2500E+01 4.9000E+00 -4.2193E+05 -1.3770E+07

Tabela - V. 6. Tensões e Deformações sobre os Elementos no Ponto Central na Metade da Viga/h=10.0


620 1 0.0 4.743E+04 1.933E+02 0.000E+00 3.448E+01 4.743E+04


48.750 5.013 1.723E-06 -5.104E-07 -5.195E-07 3.260E-09 1.933E+02


621 1 -0.2 4.766E+04 3.642E+02 0.000E+00 -1.478E+02 4.766E+04


51.250 5.013 1.729E-06 -5.066E-07 -5.239E-07 -1.397E-08 3.637E+02

61

Tabela - V. 7. Deslocamentos sobre os Nós no Ponto Superior na Metade da Viga/h=10.0


Tabela - V. 8. Tensões e Deformações sobre os Elementos no Ponto Superior na Metade da Viga/h=10.0


2020 1 -89.7 -5.912E+04 8.971E+01 0.000E+00 -3.398E+02 9.166E+01


48.750 12.888 -2.151E-06 6.482E-07 6.440E-07 -3.213E-08 -5.912E+04


2021 1 89.8 -5.976E+04 -3.074E+02 0.000E+00 2.364E+02 -3.065E+02


51.250 12.888 -2.170E-06 6.407E-07 6.553E-07 2.235E-08 -5.976E+04

Deflexão da Linha Elastica

-1,6E+11

-1,4E+11

-1,2E+11

-1E+11

-8E+10

-6E+10

-4E+10

-2E+10

00 10 20 30 40 50

Coordenada x (cm)

Def

lexã

o y(

x) c

m

h=10bh=10mh=10t

Figura - 5. 13. Curva de deflexão dam linha elástica em função do comprimento da viga para diferentes altura h = 10.0.

62











20 1 45.0 0.000E+00 0.000E+00 0.000E+00 0.000E+00 0.000E+00


48.750 0.250 0.000E+00 0.000E+00 0.000E+00 0.000E+00 0.000E+00


21 1 45.0 0.000E+00 0.000E+00 0.000E+00 0.000E+00 0.000E+00


51.250 0.250 0.000E+00 0.000E+00 0.000E+00 0.000E+00 0.000E+00


Node 1 Coord 2 Coord 1 Displ 2 Displ 758 4.7500E+01 1.0325E+01 -2.0331E+08 9.6280E+07 759 5.0000E+01 1.0325E+01 -2.0331E+08 9.2933E+07 760 5.2500E+01 1.0325E+01 -2.0331E+08 8.9586E+07



700 1 5.4 1.054E+04 2.342E+03 0.000E+00 7.880E+02 1.061E+04


48.750 10.088 3.576E-07 -2.980E-08 -1.405E-07 7.451E-08 2.267E+03


701 1 1.1 1.054E+04 2.342E+03 0.000E+00 1.576E+02 1.054E+04


51.250 10.088 3.576E-07 -2.980E-08 -1.405E-07 1.490E-08 2.339E+03

63


Node 1 Coord 2 Coord 1 Displ 2 Displ 2111 4.7500E+01 2.6000E+01 -1.8232E+08 9.6280E+07 2112 5.0000E+01 2.6000E+01 -1.8232E+08 9.2933E+07 2113 5.2500E+01 2.6000E+01 -1.8232E+08 8.9586E+07



2020 1 87.1 -1.459E+04 -3.557E+03 0.000E+00 5.516E+02 -3.530E+03


48.750 25.763 -4.917E-07 2.980E-08 1.980E-07 5.215E-08 -1.462E+04


2021 1 79.8 -1.405E+04 -1.756E+03 0.000E+00 2.285E+03 -1.345E+03


51.250 25.763 -4.917E-07 8.941E-08 1.724E-07 2.161E-07 -1.446E+04


0

2E+11

4E+11

6E+11

8E+11

1E+12

1,2E+12

1,4E+12

1,6E+12

1,8E+12

0 10 20 30 40 50Coordenada x (cm)

Def

lexã

o y(

x) c

m

h=10bh=10mh=10t


64

5.3.3 - Análise dos Deslocamentos, Tensões e Deformações sobre Nós e Elementos em 2D para H = 30










20 1 45.0 0.000E+00 0.000E+00 0.000E+00 0.000E+00 0.000E+00


48.750 0.350 0.000E+00 0.000E+00 0.000E+00 0.000E+00 0.000E+00


21 1 45.0 0.000E+00 0.000E+00 0.000E+00 0.000E+00 0.000E+00


51.250 0.350 0.000E+00 0.000E+00 0.000E+00 0.000E+00 0.000E+00





740 1 -36.6 -3.152E+02 -7.092E+02 0.000E+00 -6.501E+02 1.671E+02


48.750 15.063 -3.725E-09 -2.235E-08 1.118E-08 -6.147E-08 -1.192E+03


741 1 -46.0 -8.443E+01 -2.533E+01 0.000E+00 -8.274E+02 7.731E+02


51.250 15.063 -2.794E-09 0.000E+00 1.197E-09 -7.823E-08 -8.829E+02

65





2020 1 20.7 1.993E+03 1.008E+03 0.000E+00 4.334E+02 2.156E+03


48.750 36.663 6.147E-08 1.490E-08 -3.273E-08 4.098E-08 8.440E+02


2021 1 -4.9 1.385E+03 5.629E+00 0.000E+00 -1.182E+02 1.395E+03


51.250 36.663 5.029E-08 -1.490E-08 -1.517E-08 -1.118E-08 -4.430E+00


-1E+12

-9E+11

-8E+11

-7E+11

-6E+11

-5E+11

-4E+11

-3E+11

-2E+11

-1E+11

00 10 20 30 40 50

Coordenada x (cm)

Def

lexã

o y(

x) c

m

h=10bh=10mh=10t


66











20 1 45.0 0.000E+00 0.000E+00 0.000E+00 0.000E+00 0.000E+00


48.750 0.450 0.000E+00 0.000E+00 0.000E+00 0.000E+00 0.000E+00


21 1 45.0 0.000E+00 0.000E+00 0.000E+00 0.000E+00 0.000E+00


51.250 0.450 0.000E+00 0.000E+00 0.000E+00 0.000E+00 0.000E+00





740 1 29.9 4.053E+02 -6.980E+02 0.000E+00 9.457E+02 9.484E+02


48.750 19.750 2.235E-08 -2.980E-08 3.193E-09 8.941E-08 -1.241E+03


741 1 -4.7 -7.880E+01 -2.482E+03 0.000E+00 -1.970E+02 -6.276E+01


51.250 19.750 2.421E-08 -8.941E-08 2.794E-08 -1.863E-08 -2.498E+03

67





2020 1 -52.0 -2.252E+02 -6.755E+01 0.000E+00 -3.152E+02 1.786E+02


48.750 48.550 -7.451E-09 0.000E+00 3.193E-09 -2.980E-08 -4.713E+02


2021 1 -55.9 -4.503E+02 -1.351E+02 0.000E+00 -3.940E+02 1.317E+02


51.250 48.550 -1.490E-08 0.000E+00 6.386E-09 -3.725E-08 -7.171E+02


-2,5E+12

-2E+12

-1,5E+12

-1E+12

-5E+11

00 10 20 30 40 50

Coordenada x (cm)

Def

lexã

o y(

x) c

m

h=10bh=10mh=10t


68











20 1 45.0 0.000E+00 0.000E+00 0.000E+00 0.000E+00 0.000E+00


48.750 0.550 0.000E+00 0.000E+00 0.000E+00 0.000E+00 0.000E+00


21 1 45.0 0.000E+00 0.000E+00 0.000E+00 0.000E+00 0.000E+00


51.250 0.550 0.000E+00 0.000E+00 0.000E+00 0.000E+00 0.000E+00


Node 1 Coord 2 Coord 1 Displ 2 Displ 799 4.7500E+01 2.5000E+01 2.5344E+08 -2.5096E+08 800 5.0000E+01 2.5000E+01 2.5344E+08 -2.3060E+08 801 5.2500E+01 2.5000E+01 2.5344E+08 -2.1024E+08



740 1 -67.5 -1.261E+03 1.261E+03 0.000E+00 -1.261E+03 1.783E+03


48.750 24.438 -5.960E-08 5.960E-08 -1.654E-24 -1.192E-07 -1.783E+03


741 1 -73.2 -1.711E+03 1.126E+03 0.000E+00 -9.457E+02 1.412E+03


51.250 24.438 -7.451E-08 5.960E-08 6.386E-09 -8.941E-08 -1.997E+03

69





2020 1 -14.4 4.571E+03 5.516E+02 0.000E+00 -1.103E+03 4.854E+03


48.750 60.438 1.602E-07 -2.980E-08 -5.588E-08 -1.043E-07 2.687E+02


2021 1 -1.3 3.107E+03 -3.985E+03 0.000E+00 -1.576E+02 3.111E+03


51.250 60.438 1.565E-07 -1.788E-07 9.579E-09 -1.490E-08 -3.989E+03


-1,4E+13

-1,2E+13

-1E+13

-8E+12

-6E+12

-4E+12

-2E+12

0

2E+12

4E+12

6E+12

0 10 20 30 40 50

Coordenada x (cm)

Def

lexã

o y(

x) c

m

h=10bh=10mh=10t


70

5.3.6 - Análise Gráfica da Deflexão das Linhas em 2D

Observamos da análise gráfica da deflexão da linha elástica que esta é

inversamente proporcional a altura da viga, conforme mostra a Figura - 5. 18

Deslocamento da Linha Elástica no Eixo Central da Viga

-7.00E+00

-6.00E+00

-5.00E+00

-4.00E+00

-3.00E+00

-2.00E+00

-1.00E+00

0.00E+00

1.00E+00

0.00E+00 2.00E+05 4.00E+05 6.00E+05 8.00E+05 1.00E+06

Coordenada x (cm)

Def

lexã

o y(

x) (c

m)

h=10h=20h=30h=40h=50

Figura - 5. 18. Curva de deflexão dam linha elástica em função do comprimento da viga para diferentes altura h = 10.0, 20.0, 30.0, 40.0, 50.0.

Deflexao máxima no centro da viga em termos do grau de esbeltez da viga

0.00E+00

1.00E+00

2.00E+00

3.00E+00

4.00E+00

5.00E+00

6.00E+00

7.00E+00

0 2 4 6 8 10 12alfa = l/h

w(x

) (cm

)

MEFTeórico

Figura - 5. 19. Variação da deflexão máxima no centro da viga em função do parâmetro α = l/h, comparação entre o cálculo analítico e o realizado pelo Métodos dos Elementos Finitos.

71

5. 4 – Malha – 3-D


Figura - 5. 20

72

73

Malha Ivigabi3db3(tang,,1/tang,,1/Plot/boun e load)

Figura - 5. 20. Malhas de uma viga biapoiada sujeita a um carregamento pontual simétrico para as alturas de h = 10.0, 20.0, 30.0, 40.0 e 50.0.



74


Figura - 5. 21. Carregemento pontual simétrico duplo em uma malha representando um viga biapoiada.


cores conforme mostra a Figura - 5. 22. Nesta figura observe os deslocamentos se afastando

nos sentidos positivo e negativo da linha vertical de simetria central da viga.

75

76


Figura - 5. 22. Deslocamento na direção 1 em uma viga biapoiada sujeito a um carregamento pontual



77

78


Figura - 5. 23. Deslocamento na direção 2 em uma viga biapoiada sujeito a um carregamento pontual






79

80







parte inferior das extremidade e na parte superior central da viga.

81

82



83






Node 1 Coord 2 Coord 3 Coord 1 Displ 2 Displ 3 Displ 56 4.6667E+00 4.2857E+01 0.0000E+00 0.0000E+00 0.0000E+00 0.0000E+00 57 5.3333E+00 4.2857E+01 0.0000E+00 0.0000E+00 0.0000E+00 0.0000E+00 72 4.6667E+00 5.7143E+01 0.0000E+00 0.0000E+00 0.0000E+00 0.0000E+00 73 5.3333E+00 5.7143E+01 0.0000E+00 0.0000E+00 0.0000E+00 0.0000E+00




Elmt 1-coord 11-stress 22-stress 33-stress 12-stress 23-stress 31-stress 53 4.808 0.000E+00 0.000E+00 0.000E+00 0.000E+00 0.000E+00 0.000E+00matl 2-coord 11-strain 22-strain 33-strain 12-strain 23-strain 31-strain 1 45.876 0.000E+00 0.000E+00 0.000E+00 0.000E+00 0.000E+00 0.000E+00Elmt 1-coord 11-stress 22-stress 33-stress 12-stress 23-stress 31-stress 53 5.192 0.000E+00 0.000E+00 0.000E+00 0.000E+00 0.000E+00 0.000E+00

matl 2-coord 11-strain 22-strain 33-strain 12-strain 23-strain 31-strain 1 45.876 0.000E+00 0.000E+00 0.000E+00 0.000E+00 0.000E+00 0.000E+00

Elmt 1-coord 11-stress 22-stress 33-stress 12-stress 23-stress 31-stress 53 5.192 0.000E+00 0.000E+00 0.000E+00 0.000E+00 0.000E+00 0.000E+00












84


Node 1 Coord 2 Coord 3 Coord 1 Displ 2 Displ 3 Displ 568 4.6667E+00 4.2857E+01 1.0750E+01 -5.5020E+06 -6.5992E+06 -2.6744E+06 569 5.3333E+00 4.2857E+01 1.0750E+01 -5.5020E+06 -6.5856E+06 -3.1301E+06 584 4.6667E+00 5.7143E+01 1.0750E+01 -5.7932E+06 -6.5992E+06 -1.7936E+07 585 5.3333E+00 5.7143E+01 1.0750E+01 -5.7932E+06 -6.5856E+06 -1.8391E+07


Elmt 1-coord 11-stress 22-stress 33-stress 12-stress 23-stress 31-stress 368 4.808 -2.658E+02 -3.276E+03 0.000E+00 3.989E+02 -2.986E+02 -1.379E+02 matl 2-coord 11-strain 22-strain 33-strain 12-strain 23-strain 31-strain 1 45.876 2.608E-08 -1.162E-07 3.864E-08 3.772E-08 -2.823E-08 -1.304E-08 Elmt 1-coord 11-stress 22-stress 33-stress 12-stress 23-stress 31-stress 368 5.192 -2.427E+02 -3.306E+03 0.000E+00 4.213E+02 -2.685E+02 -1.478E+02 matl 2-coord 11-strain 22-strain 33-strain 12-strain 23-strain 31-strain

1 45.876 2.724E-08 -1.176E-07 3.872E-08 3.983E-08 -2.539E-08 -1.397E-08 Elmt 1-coord 11-stress 22-stress 33-stress 12-stress 23-stress 31-stress 368 5.192 5.941E+01 -3.217E+03 0.000E+00 8.096E+01 -5.205E+02 -3.940E+01 matl 2-coord 11-strain 22-strain 33-strain 12-strain 23-strain 31-strain


1 54.124 3.818E-08 -1.162E-07 3.345E-08 9.313E-09 -5.204E-08 -1.863E-09 Elmt 1-coord 11-stress 22-stress 33-stress 12-stress 23-stress 31-stress 368 4.808 -2.029E+02 -3.040E+03 0.000E+00 6.658E+02 1.362E+03 9.604E+01 matl 2-coord 11-strain 22-strain 33-strain 12-strain 23-strain 31-strain

1 45.876 2.579E-08 -1.083E-07 3.538E-08 6.295E-08 1.288E-07 9.080E-09 Elmt 1-coord 11-stress 22-stress 33-stress 12-stress 23-stress 31-stress 368 5.192 -2.185E+02 -3.087E+03 0.000E+00 6.735E+02 1.375E+03 1.059E+02 matl 2-coord 11-strain 22-strain 33-strain 12-strain 23-strain 31-strain

1 45.876 2.573E-08 -1.099E-07 3.606E-08 6.368E-08 1.300E-07 1.001E-08 Elmt 1-coord 11-stress 22-stress 33-stress 12-stress 23-stress 31-stress 368 5.192 1.296E+02 -2.983E+03 0.000E+00 3.681E+02 1.133E+03 -3.940E+01 matl 2-coord 11-strain 22-strain 33-strain 12-strain 23-strain 31-strain

1 54.124 3.725E-08 -1.099E-07 3.113E-08 3.480E-08 1.071E-07 -3.725E-09 Elmt 1-coord 11-stress 22-stress 33-stress 12-stress 23-stress 31-stress 368 4.808 1.501E+02 -2.936E+03 0.000E+00 3.668E+02 1.117E+03 -2.955E+01 matl 2-coord 11-strain 22-strain 33-strain 12-strain 23-strain 31-strain

1 54.124 3.749E-08 -1.084E-07 3.039E-08 3.468E-08 1.056E-07 -2.794E-09


Node 1 Coord 2 Coord 3 Coord 1 Displ 2 Displ 3 Displ 952 4.6667E+00 4.2857E+01 2.5000E+01 4.2375E+06 8.6239E+06 -3.3506E+08 953 5.3333E+00 4.2857E+01 2.5000E+01 4.2375E+06 8.6375E+06 -3.3552E+08 968 4.6667E+00 5.7143E+01 2.5000E+01 3.9463E+06 8.6239E+06 -3.5033E+08 969 5.3333E+00 5.7143E+01 2.5000E+01 3.9463E+06 8.6375E+06 -3.5078E+08

85


Elmt 1-coord 11-stress 22-stress 33-stress 12-stress 23-stress 31-stress 683 4.808 3.373E+03 2.584E+04 0.000E+00 3.891E+02 -7.052E+03 3.152E+02 matl 2-coord 11-strain 22-strain 33-strain 12-strain 23-strain 31-strain 1 45.876 -1.593E-07 9.029E-07 -3.187E-07 3.679E-08 -6.667E-07 2.980E-08 Elmt 1-coord 11-stress 22-stress 33-stress 12-stress 23-stress 31-stress 683 5.192 3.369E+03 2.581E+04 0.000E+00 3.437E+02 -7.051E+03 -1.261E+03 matl 2-coord 11-strain 22-strain 33-strain 12-strain 23-strain 31-strain

1 45.876 -1.590E-07 9.017E-07 -3.183E-07 3.249E-08 -6.666E-07 -1.192E-07 Elmt 1-coord 11-stress 22-stress 33-stress 12-stress 23-stress 31-stress 683 5.192 -1.573E+02 2.475E+04 0.000E+00 3.863E+01 1.959E+04 -1.261E+03 matl 2-coord 11-strain 22-strain 33-strain 12-strain 23-strain 31-strain

1 54.124 -2.757E-07 9.015E-07 -2.682E-07 3.653E-09 1.852E-06 -1.192E-07 Elmt 1-coord 11-stress 22-stress 33-stress 12-stress 23-stress 31-stress 683 4.808 -1.168E+02 2.480E+04 0.000E+00 9.851E+01 1.979E+04 0.000E+00 matl 2-coord 11-strain 22-strain 33-strain 12-strain 23-strain 31-strain

1 54.124 -2.747E-07 9.029E-07 -2.692E-07 9.313E-09 1.871E-06 0.000E+00 Elmt 1-coord 11-stress 22-stress 33-stress 12-stress 23-stress 31-stress 683 4.808 -2.048E+02 1.665E+03 0.000E+00 5.602E+01 -1.024E+04 -4.728E+02 matl 2-coord 11-strain 22-strain 33-strain 12-strain 23-strain 31-strain

1 45.876 -2.561E-08 6.278E-08 -1.593E-08 5.297E-09 -9.685E-07 -4.470E-08 Elmt 1-coord 11-stress 22-stress 33-stress 12-stress 23-stress 31-stress 683 5.192 -2.064E+02 1.649E+03 0.000E+00 2.309E+01 -1.020E+04 -8.668E+02 matl 2-coord 11-strain 22-strain 33-strain 12-strain 23-strain 31-strain

1 45.876 -2.549E-08 6.222E-08 -1.574E-08 2.183E-09 -9.646E-07 -8.196E-08 Elmt 1-coord 11-stress 22-stress 33-stress 12-stress 23-stress 31-stress 683 5.192 -1.111E+03 1.376E+03 0.000E+00 -1.295E+02 1.649E+04 3.152E+02 matl 2-coord 11-strain 22-strain 33-strain 12-strain 23-strain 31-strain

1 54.124 -5.541E-08 6.217E-08 -2.897E-09 -1.225E-08 1.559E-06 2.980E-08 Elmt 1-coord 11-stress 22-stress 33-stress 12-stress 23-stress 31-stress 683 4.808 -1.105E+03 1.395E+03 0.000E+00 -1.090E+02 1.648E+04 6.304E+02 matl 2-coord 11-strain 22-strain 33-strain 12-strain 23-strain 31-strain

1 54.124 -5.541E-08 6.278E-08 -3.156E-09 -1.030E-08 1.558E-06 5.960E-08

86


00,10,20,30,40,50,60,70,80,9

1

0 5 10 15 20Coordenada x (cm)

Def

lexã

o z(

x) c

m

h=10b+h=10b-



00,10,20,30,40,50,60,70,80,9

1


Def

lexã

o y(

x) c

m

h=10b+h=10b-


87


-6,00E+11

-5,00E+11

-4,00E+11

-3,00E+11

-2,00E+11

-1,00E+11

0,00E+00

1,00E+11

0 5 10 15 20

Coordenada x (cm)

Def

lexã

o z(

x) c

m

h=10m+h=10m-h=10t+h=10t-


88








superiores estão mostrados nas Erro! Fonte de referência não encontrada., Erro! Fonte de

referência não encontrada. e Erro! Fonte de referência não encontrada..
















89


Node 1 Coord 2 Coord 3 Coord 1 Displ 2 Displ 3 Displ 568 9.3333E+00 4.2857E+01 1.0750E+01 6.8809E+06 8.7690E+06 -1.6110E+07 569 1.0667E+01 4.2857E+01 1.0750E+01 6.8809E+06 8.7518E+06 -1.4429E+07 584 9.3333E+00 5.7143E+01 1.0750E+01 7.0649E+06 8.7690E+06 9.0029E+06 585 1.0667E+01 5.7143E+01 1.0750E+01 7.0649E+06 8.7518E+06 1.0683E+07


Elmt 1-coord 11-stress 22-stress 33-stress 12-stress 23-stress 31-stress 368 9.615 -7.898E+01 -6.688E+02 0.000E+00 5.289E+02 2.284E+02 1.305E+02 matl 2-coord 11-strain 22-strain 33-strain 12-strain 23-strain 31-strain 1 45.876 4.424E-09 -2.346E-08 8.157E-09 5.000E-08 2.160E-08 1.234E-08 Elmt 1-coord 11-stress 22-stress 33-stress 12-stress 23-stress 31-stress 368 10.385 -5.924E+01 -6.456E+02 0.000E+00 5.455E+02 2.367E+02 1.551E+02 matl 2-coord 11-strain 22-strain 33-strain 12-strain 23-strain 31-strain

1 45.876 4.889E-09 -2.283E-08 7.690E-09 5.157E-08 2.238E-08 1.467E-08 Elmt 1-coord 11-stress 22-stress 33-stress 12-stress 23-stress 31-stress 368 10.385 8.852E+01 -6.013E+02 0.000E+00 5.952E+02 -1.336E+02 1.478E+02 matl 2-coord 11-strain 22-strain 33-strain 12-strain 23-strain 31-strain

1 54.124 9.779E-09 -2.283E-08 5.594E-09 5.627E-08 -1.263E-08 1.397E-08 Elmt 1-coord 11-stress 22-stress 33-stress 12-stress 23-stress 31-stress 368 9.615 6.878E+01 -6.245E+02 0.000E+00 5.855E+02 -1.305E+02 1.478E+02 matl 2-coord 11-strain 22-strain 33-strain 12-strain 23-strain 31-strain

1 54.124 9.313E-09 -2.346E-08 6.062E-09 5.536E-08 -1.234E-08 1.397E-08 Elmt 1-coord 11-stress 22-stress 33-stress 12-stress 23-stress 31-stress 368 9.615 -7.951E+01 -3.504E+02 0.000E+00 4.348E+02 5.147E+02 1.416E+01 matl 2-coord 11-strain 22-strain 33-strain 12-strain 23-strain 31-strain

1 45.876 9.313E-10 -1.187E-08 4.690E-09 4.111E-08 4.866E-08 1.339E-09 Elmt 1-coord 11-stress 22-stress 33-stress 12-stress 23-stress 31-stress 368 10.385 -6.275E+01 -3.266E+02 0.000E+00 4.476E+02 5.247E+02 2.216E+01 matl 2-coord 11-strain 22-strain 33-strain 12-strain 23-strain 31-strain

1 45.876 1.281E-09 -1.119E-08 4.247E-09 4.232E-08 4.961E-08 2.095E-09 Elmt 1-coord 11-stress 22-stress 33-stress 12-stress 23-stress 31-stress 368 10.385 2.526E+01 -3.000E+02 0.000E+00 5.105E+02 1.564E+02 7.388E+01 matl 2-coord 11-strain 22-strain 33-strain 12-strain 23-strain 31-strain

1 54.124 4.191E-09 -1.118E-08 2.997E-09 4.827E-08 1.478E-08 6.985E-09 Elmt 1-coord 11-stress 22-stress 33-stress 12-stress 23-stress 31-stress 368 9.615 1.091E+01 -3.265E+02 0.000E+00 5.028E+02 1.527E+02 5.664E+01 matl 2-coord 11-strain 22-strain 33-strain 12-strain 23-strain 31-strain

1 54.124 3.958E-09 -1.199E-08 3.443E-09 4.754E-08 1.444E-08 5.355E-09


Node 1 Coord 2 Coord 3 Coord 1 Displ 2 Displ 3 Displ 952 9.3333E+00 4.2857E+01 2.5000E+01 -1.1079E+07 -1.6281E+07 8.4149E+08 953 1.0667E+01 4.2857E+01 2.5000E+01 -1.1079E+07 -1.6298E+07 8.4317E+08 968 9.3333E+00 5.7143E+01 2.5000E+01 -1.0895E+07 -1.6281E+07 8.6661E+08 969 1.0667E+01 5.7143E+01 2.5000E+01 -1.0895E+07 -1.6298E+07 8.6829E+08

90


Elmt 1-coord 11-stress 22-stress 33-stress 12-stress 23-stress 31-stress 683 9.615 6.952E+02 1.062E+04 0.000E+00 - 1.917E+03 -6.840E+03 4.098E+03 matl 2-coord 11-strain 22-strain 33-strain 12-strain 23-strain 31-strain 1 45.876 -9.057E-08 3.786E-07 -1.234E-07 -1.813E-07 -6.467E-07 3.874E-07 Elmt 1-coord 11-stress 22-stress 33-stress 12-stress 23-stress 31-stress 683 10.385 7.058E+02 1.074E+04 0.000E+00 -1.936E+03 -6.998E+03 3.940E+03 matl 2-coord 11-strain 22-strain 33-strain 12-strain 23-strain 31-strain

1 45.876 -9.150E-08 3.829E-07 -1.249E-07 -1.830E-07 -6.616E-07 3.725E-07 Elmt 1-coord 11-stress 22-stress 33-stress 12-stress 23-stress 31-stress 683 10.385 2.068E+02 1.059E+04 0.000E+00 -1.454E+03 5.407E+03 2.522E+03 matl 2-coord 11-strain 22-strain 33-strain 12-strain 23-strain 31-strain

1 54.124 -1.080E-07 3.829E-07 -1.178E-07 -1.374E-07 5.112E-07 2.384E-07 Elmt 1-coord 11-stress 22-stress 33-stress 12-stress 23-stress 31-stress 683 9.615 1.112E+02 1.044E+04 0.000E+00 -1.439E+03 5.255E+03 3.783E+03 matl 2-coord 11-strain 22-strain 33-strain 12-strain 23-strain 31-strain

1 54.124 -1.099E-07 3.786E-07 -1.152E-07 -1.361E-07 4.969E-07 3.576E-07 Elmt 1-coord 11-stress 22-stress 33-stress 12-stress 23-stress 31-stress 683 9.615 8.267E+01 -1.833E+02 0.000E+00 -6.712E+02 -2.328E+03 -1.970E+03 matl 2-coord 11-strain 22-strain 33-strain 12-strain 23-strain 31-strain

1 45.876 5.006E-09 -7.567E-09 1.098E-09 -6.346E-08 -2.201E-07 -1.863E-07 Elmt 1-coord 11-stress 22-stress 33-stress 12-stress 23-stress 31-stress 683 10.385 9.991E+01 -1.685E+02 0.000E+00 -6.928E+02 -2.393E+03 -2.246E+03 matl 2-coord 11-strain 22-strain 33-strain 12-strain 23-strain 31-strain

1 45.876 5.472E-09 -7.218E-09 7.484E-10 -6.550E-08 -2.263E-07 -2.123E-07 Elmt 1-coord 11-stress 22-stress 33-stress 12-stress 23-stress 31-stress 683 10.385 -4.458E+02 -3.334E+02 0.000E+00 -6.541E+02 1.003E+04 -2.522E+03 matl 2-coord 11-strain 22-strain 33-strain 12-strain 23-strain 31-strain

1 54.124 -1.257E-08 -7.261E-09 8.500E-09 -6.185E-08 9.482E-07 -2.384E-07 Elmt 1-coord 11-stress 22-stress 33-stress 12-stress 23-stress 31-stress 683 9.615 -4.486E+02 -3.427E+02 0.000E+00 -6.337E+02 9.974E+03 -2.049E+03 matl 2-coord 11-strain 22-strain 33-strain 12-strain 23-strain 31-strain

1 54.124 -1.257E-08 -7.567E-09 8.631E-09 -5.991E-08 9.430E-07 -1.937E-07


00,10,20,30,40,50,60,70,80,9

1


Def

lexã

o z(

x) c

m

h=20b+h=20b-


91


00,10,20,30,40,50,60,70,80,9

1


Def

lexã

o y(

x) c

m

h=20b+h=20b-



-1,00E+120,00E+001,00E+122,00E+123,00E+124,00E+125,00E+126,00E+127,00E+128,00E+129,00E+121,00E+13


Def

lexã

o z(

x) c

m

h=20m+h=20m-h=20t+h=20t-


92

5.4.3 - Análise dos Deslocamentos, Tensões e Deformações sobre Nós e Elementos em 3D para H = 30
























93


Node 1 Coord 2 Coord 3 Coord 1 Displ 2 Displ 3 Displ 568 1.4000E+01 4.2857E+01 1.0750E+01 -3.0530E+07 -6.6353E+07 1.9275E+09 569 1.6000E+01 4.2857E+01 1.0750E+01 -3.0530E+07 -6.1677E+07 1.9200E+09 584 1.4000E+01 5.7143E+01 1.0750E+01 -6.3932E+07 -6.6353E+07 2.0509E+09 585 1.6000E+01 5.7143E+01 1.0750E+01 -6.3932E+07 -6.1677E+07 2.0435E+09


Elmt 1-coord 11-stress 22-stress 33-stress 12-stress 23-stress 31-stress 368 14.423 9.991E+01 -8.443E+00 0.000E+00 -4.531E+02 4.251E+03 1.891E+03 matl 2-coord 11-strain 22-strain 33-strain 12-strain 23-strain 31-strain 1 45.876 3.725E-09 -1.397E-09 -9.978E-10 -4.284E-08 4.019E-07 1.788E-07 Elmt 1-coord 11-stress 22-stress 33-stress 12-stress 23-stress 31-stress 368 15.577 1.270E+02 -3.518E+00 0.000E+00 -3.805E+02 4.722E+03 1.891E+03 matl 2-coord 11-strain 22-strain 33-strain 12-strain 23-strain 31-strain

1 45.876 4.657E-09 -1.513E-09 -1.347E-09 -3.597E-08 4.465E-07 1.788E-07 Elmt 1-coord 11-stress 22-stress 33-stress 12-stress 23-stress 31-stress 368 15.577 1.113E+03 2.955E+02 0.000E+00 -4.137E+02 1.665E+03 5.043E+03 matl 2-coord 11-strain 22-strain 33-strain 12-strain 23-strain 31-strain

1 54.124 3.725E-08 -1.397E-09 -1.537E-08 -3.912E-08 1.574E-07 4.768E-07 Elmt 1-coord 11-stress 22-stress 33-stress 12-stress 23-stress 31-stress 368 14.423 1.109E+03 2.814E+02 0.000E+00 -4.285E+02 1.084E+03 6.304E+03 matl 2-coord 11-strain 22-strain 33-strain 12-strain 23-strain 31-strain

1 54.124 3.725E-08 -1.863E-09 -1.517E-08 -4.051E-08 1.024E-07 5.960E-07 Elmt 1-coord 11-stress 22-stress 33-stress 12-stress 23-stress 31-stress 368 14.423 1.540E+03 3.106E+03 0.000E+00 -6.969E+02 8.668E+02 -9.457E+02 matl 2-coord 11-strain 22-strain 33-strain 12-strain 23-strain 31-strain

1 45.876 2.212E-08 9.616E-08 -5.069E-08 -6.589E-08 8.196E-08 -8.941E-08 Elmt 1-coord 11-stress 22-stress 33-stress 12-stress 23-stress 31-stress 368 15.577 1.508E+03 3.022E+03 0.000E+00 -7.837E+02 9.801E+02 -9.457E+02 matl 2-coord 11-strain 22-strain 33-strain 12-strain 23-strain 31-strain

1 45.876 2.189E-08 9.342E-08 -4.942E-08 -7.410E-08 9.267E-08 -8.941E-08 Elmt 1-coord 11-stress 22-stress 33-stress 12-stress 23-stress 31-stress 368 15.577 -2.788E+02 2.485E+03 0.000E+00 -1.002E+03 -2.123E+03 -1.261E+03 matl 2-coord 11-strain 22-strain 33-strain 12-strain 23-strain 31-strain

1 54.124 -3.725E-08 9.342E-08 -2.407E-08 -9.470E-08 -2.007E-07 -1.192E-07 Elmt 1-coord 11-stress 22-stress 33-stress 12-stress 23-stress 31-stress 368 14.423 -1.404E+02 2.605E+03 0.000E+00 -9.223E+02 -2.167E+03 -1.576E+03 matl 2-coord 11-strain 22-strain 33-strain 12-strain 23-strain 31-strain

1 54.124 -3.353E-08 9.628E-08 -2.689E-08 -8.720E-08 -2.049E-07 -1.490E-07


Node 1 Coord 2 Coord 3 Coord 1 Displ 2 Displ 3 Displ 952 1.4000E+01 4.2857E+01 2.5000E+01 2.2712E+07 -1.8950E+08 2.0976E+09 953 1.6000E+01 4.2857E+01 2.5000E+01 2.2712E+07 -1.8482E+08 2.0902E+09 968 1.4000E+01 5.7143E+01 2.5000E+01 -1.0691E+07 -1.8950E+08 2.2211E+09 969 1.6000E+01 5.7143E+01 2.5000E+01 -1.0691E+07 -1.8482E+08 2.2136E+09

94


Elmt 1-coord 11-stress 22-stress 33-stress 12-stress 23-stress 31-stress 683 14.423 3.751E+03 1.503E+04 0.000E+00 -1.348E+02 -1.246E+04 1.576E+03 matl 2-coord 11-strain 22-strain 33-strain 12-strain 23-strain 31-strain 1 45.876 -2.759E-08 5.057E-07 -2.049E-07 -1.275E-08 -1.178E-06 1.490E-07 Elmt 1-coord 11-stress 22-stress 33-stress 12-stress 23-stress 31-stress 683 15.577 3.705E+03 1.489E+04 0.000E+00 -2.272E+02 -1.215E+04 2.837E+03 matl 2-coord 11-strain 22-strain 33-strain 12-strain 23-strain 31-strain

1 45.876 -2.771E-08 5.011E-07 -2.029E-07 -2.148E-08 -1.149E-06 2.682E-07 Elmt 1-coord 11-stress 22-stress 33-stress 12-stress 23-stress 31-stress 683 15.577 4.087E+03 1.503E+04 0.000E+00 -4.641E+02 3.783E+03 0.000E+00 matl 2-coord 11-strain 22-strain 33-strain 12-strain 23-strain 31-strain

1 54.124 -1.537E-08 5.020E-07 -2.085E-07 -4.387E-08 3.576E-07 0.000E+00 Elmt 1-coord 11-stress 22-stress 33-stress 12-stress 23-stress 31-stress 683 14.423 4.103E+03 1.509E+04 0.000E+00 -5.307E+02 3.783E+03 0.000E+00 matl 2-coord 11-strain 22-strain 33-strain 12-strain 23-strain 31-strain

1 54.124 -1.537E-08 5.038E-07 -2.093E-07 -5.018E-08 3.576E-07 0.000E+00 Elmt 1-coord 11-stress 22-stress 33-stress 12-stress 23-stress 31-stress 683 14.423 -1.852E+02 -2.092E+02 0.000E+00 1.815E+02 -1.103E+03 -4.728E+02 matl 2-coord 11-strain 22-strain 33-strain 12-strain 23-strain 31-strain

1 45.876 -4.453E-09 -5.588E-09 4.303E-09 1.716E-08 -1.043E-07 -4.470E-08 Elmt 1-coord 11-stress 22-stress 33-stress 12-stress 23-stress 31-stress 683 15.577 -1.886E+02 -1.590E+02 0.000E+00 1.398E+02 -1.076E+03 -3.940E+02 matl 2-coord 11-strain 22-strain 33-strain 12-strain 23-strain 31-strain

1 45.876 -5.122E-09 -3.725E-09 3.792E-09 1.322E-08 -1.017E-07 -3.725E-08 Elmt 1-coord 11-stress 22-stress 33-stress 12-stress 23-stress 31-stress 683 15.577 -7.363E+02 -3.201E+02 0.000E+00 3.074E+02 1.493E+04 -3.152E+02 matl 2-coord 11-strain 22-strain 33-strain 12-strain 23-strain 31-strain

1 54.124 -2.328E-08 -3.609E-09 1.153E-08 2.906E-08 1.412E-06 -2.980E-08 Elmt 1-coord 11-stress 22-stress 33-stress 12-stress 23-stress 31-stress 683 14.423 -7.585E+02 -3.940E+02 0.000E+00 1.864E+02 1.509E+04 -6.304E+02 matl 2-coord 11-strain 22-strain 33-strain 12-strain 23-strain 31-strain

1 54.124 -2.328E-08 -6.054E-09 1.257E-08 1.762E-08 1.427E-06 -5.960E-08


00,10,20,30,40,50,60,70,80,9

1


Def

lexã

o z(

x) c

m

h=30b+h=30b-


95


00,10,20,30,40,50,60,70,80,9

1


Def

lexã

o y(

x) c

m

h=30b+h=30b-



-1,00E+13

-5,00E+12

0,00E+00

5,00E+12

1,00E+13

1,50E+13

2,00E+13

2,50E+13

0 5 10 15 20

Coordenada x (cm)

Def

lexã

o z(

x) c

m h=30m+h=30m-h=30t+h=30t-


96








superiores estão mostrados nas Erro! Fonte de referência não encontrada., Tabela - V. 23 e

Erro! Fonte de referência não encontrada..
















97


Node 1 Coord 2 Coord 3 Coord 1 Displ 2 Displ 3 Displ 568 1.8667E+01 4.2857E+01 1.0750E+01 -3.1608E+07 -1.1697E+08 -3.8592E+08 569 2.1333E+01 4.2857E+01 1.0750E+01 -3.1608E+07 -1.1696E+08 -3.9352E+08 584 1.8667E+01 5.7143E+01 1.0750E+01 -3.1712E+07 -1.1697E+08 -7.4305E+08 585 2.1333E+01 5.7143E+01 1.0750E+01 -3.1712E+07 -1.1696E+08 -7.5064E+08


Elmt 1-coord 11-stress 22-stress 33-stress 12-stress 23-stress 31-stress 368 19.230 2.266E+02 -4.186E+02 0.000E+00 -4.753E+02 -2.315E+02 1.576E+02 matl 2-coord 11-strain 22-strain 33-strain 12-strain 23-strain 31-strain 1 45.876 1.281E-08 -1.770E-08 2.095E-09 -4.494E-08 -2.189E-08 1.490E-08 Elmt 1-coord 11-stress 22-stress 33-stress 12-stress 23-stress 31-stress 368 20.770 2.181E+02 -4.468E+02 0.000E+00 -4.051E+02 -6.280E+02 3.152E+02 matl 2-coord 11-strain 22-strain 33-strain 12-strain 23-strain 31-strain

1 45.876 1.281E-08 -1.863E-08 2.495E-09 -3.830E-08 -5.937E-08 2.980E-08 Elmt 1-coord 11-stress 22-stress 33-stress 12-stress 23-stress 31-stress 368 20.770 7.880E+02 -2.758E+02 0.000E+00 -4.174E+02 1.625E+02 0.000E+00 matl 2-coord 11-strain 22-strain 33-strain 12-strain 23-strain 31-strain

1 54.124 3.166E-08 -1.863E-08 -5.588E-09 -3.946E-08 1.537E-08 0.000E+00 Elmt 1-coord 11-stress 22-stress 33-stress 12-stress 23-stress 31-stress 368 19.230 7.965E+02 -2.477E+02 0.000E+00 -3.866E+02 3.940E+01 0.000E+00 matl 2-coord 11-strain 22-strain 33-strain 12-strain 23-strain 31-strain

1 54.124 3.166E-08 -1.770E-08 -5.987E-09 -3.655E-08 3.725E-09 0.000E+00 Elmt 1-coord 11-stress 22-stress 33-stress 12-stress 23-stress 31-stress 368 19.230 1.703E+02 -5.636E+02 0.000E+00 8.989E+01 -5.910E+01 -3.349E+02 matl 2-coord 11-strain 22-strain 33-strain 12-strain 23-strain 31-strain


1 45.876 1.153E-08 -3.446E-08 9.829E-09 8.149E-09 -1.979E-08 -3.539E-08 Elmt 1-coord 11-stress 22-stress 33-stress 12-stress 23-stress 31-stress 368 20.770 4.345E+02 -8.141E+02 0.000E+00 -2.121E+02 2.807E+02 0.000E+00 matl 2-coord 11-strain 22-strain 33-strain 12-strain 23-strain 31-strain

1 54.124 2.468E-08 -3.434E-08 4.141E-09 -2.005E-08 2.654E-08 0.000E+00 Elmt 1-coord 11-stress 22-stress 33-stress 12-stress 23-stress 31-stress 368 19.230 5.073E+02 -5.713E+02 0.000E+00 -2.690E+02 7.880E+01 -2.364E+02 matl 2-coord 11-strain 22-strain 33-strain 12-strain 23-strain 31-strain

1 54.124 2.468E-08 -2.631E-08 6.985E-10 -2.544E-08 7.451E-09 -2.235E-08



98


Elmt 1-coord 11-stress 22-stress 33-stress 12-stress 23-stress 31-stress 683 19.230 3.646E+03 5.858E+03 0.000E+00 1.960E+03 -4.452E+03 -6.304E+02 matl 2-coord 11-strain 22-strain 33-strain 12-strain 23-strain 31-strain 1 45.876 6.869E-08 1.732E-07 -1.037E-07 1.853E-07 -4.210E-07 -5.960E-08 Elmt 1-coord 11-stress 22-stress 33-stress 12-stress 23-stress 31-stress 683 20.770 3.729E+03 6.113E+03 0.000E+00 1.835E+03 -4.014E+03 -6.304E+02 matl 2-coord 11-strain 22-strain 33-strain 12-strain 23-strain 31-strain

1 45.876 6.892E-08 1.816E-07 -1.074E-07 1.735E-07 -3.795E-07 -5.960E-08 Elmt 1-coord 11-stress 22-stress 33-stress 12-stress 23-stress 31-stress 683 20.770 1.948E+03 5.553E+03 0.000E+00 2.269E+03 1.596E+03 -1.261E+03 matl 2-coord 11-strain 22-strain 33-strain 12-strain 23-strain 31-strain

1 54.124 1.024E-08 1.807E-07 -8.182E-08 2.145E-07 1.509E-07 -1.192E-07 Elmt 1-coord 11-stress 22-stress 33-stress 12-stress 23-stress 31-stress 683 19.230 1.880E+03 5.328E+03 0.000E+00 2.354E+03 1.024E+03 -1.261E+03 matl 2-coord 11-strain 22-strain 33-strain 12-strain 23-strain 31-strain

1 54.124 1.024E-08 1.732E-07 -7.863E-08 2.225E-07 9.686E-08 -1.192E-07 Elmt 1-coord 11-stress 22-stress 33-stress 12-stress 23-stress 31-stress 683 19.230 -1.223E+02 -1.007E+02 0.000E+00 4.174E+02 4.334E+02 -7.880E+02 matl 2-coord 11-strain 22-strain 33-strain 12-strain 23-strain 31-strain


1 45.876 -3.580E-09 -1.746E-09 2.283E-09 3.189E-08 7.171E-08 -4.470E-08 Elmt 1-coord 11-stress 22-stress 33-stress 12-stress 23-stress 31-stress 683 20.770 -8.306E+02 -3.036E+02 0.000E+00 3.423E+02 6.324E+03 1.261E+03 matl 2-coord 11-strain 22-strain 33-strain 12-strain 23-strain 31-strain

1 54.124 -2.689E-08 -1.979E-09 1.237E-08 3.236E-08 5.979E-07 1.192E-07 Elmt 1-coord 11-stress 22-stress 33-stress 12-stress 23-stress 31-stress 683 19.230 -8.338E+02 -3.142E+02 0.000E+00 3.386E+02 6.068E+03 1.261E+03 matl 2-coord 11-strain 22-strain 33-strain 12-strain 23-strain 31-strain

1 54.124 -2.689E-08 -2.328E-09 1.252E-08 3.201E-08 5.737E-07 1.192E-07


00,10,20,30,40,50,60,70,80,9

1


Def

lexã

o z(

x) c

m

h=40b+h=40b-


99


00,10,20,30,40,50,60,70,80,9

1


Def

lexã

o y(

x) c

m

h=40b+h=40b-



-5,00E+13

-4,50E+13

-4,00E+13

-3,50E+13

-3,00E+13

-2,50E+13

-2,00E+13

-1,50E+13

-1,00E+13

-5,00E+12

0,00E+000 5 10 15 20

Coordenada x (cm)

Def

lexã

o z(

x) c

m h=40m+h=40m-h=40t+h=40t-


100

























101




Elmt 1-coord 11-stress 22-stress 33-stress 12-stress 23-stress 31-stress 368 24.038 -1.003E+02 -2.702E+02 0.000E+00 2.124E+01 1.816E+02 8.619E+00 matl 2-coord 11-strain 22-strain 33-strain 12-strain 23-strain 31-strain 1 45.876 -6.985E-10 -8.731E-09 4.041E-09 2.008E-09 1.717E-08 8.149E-10 Elmt 1-coord 11-stress 22-stress 33-stress 12-stress 23-stress 31-stress 368 25.962 -1.170E+02 -2.832E+02 0.000E+00 2.424E+01 1.850E+02 -2.216E+01 matl 2-coord 11-strain 22-strain 33-strain 12-strain 23-strain 31-strain


1 54.124 9.313E-10 -9.051E-09 3.480E-09 2.212E-09 1.414E-08 -1.863E-09 Elmt 1-coord 11-stress 22-stress 33-stress 12-stress 23-stress 31-stress 368 24.038 -5.207E+01 -2.589E+02 0.000E+00 2.401E+01 1.453E+02 4.925E+00 matl 2-coord 11-strain 22-strain 33-strain 12-strain 23-strain 31-strain

1 54.124 9.313E-10 -8.848E-09 3.393E-09 2.270E-09 1.374E-08 4.657E-10 Elmt 1-coord 11-stress 22-stress 33-stress 12-stress 23-stress 31-stress 368 24.038 4.283E+01 -1.880E+02 0.000E+00 1.770E+00 -3.509E+01 2.340E+01 matl 2-coord 11-strain 22-strain 33-strain 12-strain 23-strain 31-strain

1 45.876 3.609E-09 -7.305E-09 1.584E-09 1.673E-10 -3.318E-09 2.212E-09 Elmt 1-coord 11-stress 22-stress 33-stress 12-stress 23-stress 31-stress 368 25.962 3.980E+01 -1.982E+02 0.000E+00 3.617E+00 -4.248E+01 -5.541E+00 matl 2-coord 11-strain 22-strain 33-strain 12-strain 23-strain 31-strain

1 45.876 3.609E-09 -7.640E-09 1.728E-09 3.420E-10 -4.016E-09 -5.239E-10 Elmt 1-coord 11-stress 22-stress 33-stress 12-stress 23-stress 31-stress 368 25.962 7.687E+01 -1.866E+02 0.000E+00 3.694E+00 -8.311E+01 9.851E+00 matl 2-coord 11-strain 22-strain 33-strain 12-strain 23-strain 31-strain

1 54.124 4.831E-09 -7.625E-09 1.197E-09 3.492E-10 -7.858E-09 9.313E-10 Elmt 1-coord 11-stress 22-stress 33-stress 12-stress 23-stress 31-stress 368 24.038 7.977E+01 -1.770E+02 0.000E+00 -6.234E+00 -7.142E+01 3.694E+01 matl 2-coord 11-strain 22-strain 33-strain 12-strain 23-strain 31-strain

1 54.124 4.831E-09 -7.305E-09 1.060E-09 -5.894E-10 -6.752E-09 3.492E-09


Node 1 Coord 2 Coord 3 Coord 1 Displ 2 Displ 3 Displ 952 2.3333E+01 4.2857E+01 2.5000E+01 2.0833E+07 -1.5889E+07 9.2865E+08 953 2.6667E+01 4.2857E+01 2.5000E+01 2.0833E+07 -1.5054E+07 9.2588E+08 968 2.3333E+01 5.7143E+01 2.5000E+01 1.7257E+07 -1.5889E+07 9.5866E+08 969 2.6667E+01 5.7143E+01 2.5000E+01 1.7257E+07 -1.5054E+07 9.5589E+08

102


Elmt 1-coord 11-stress 22-stress 33-stress 12-stress 23-stress 31-stress 683 24.038 1.530E+03 4.301E+03 0.000E+00 -5.787E+01 -9.752E+02 6.304E+02 matl 2-coord 11-strain 22-strain 33-strain 12-strain 23-strain 31-strain 1 45.876 8.731E-09 1.397E-07 -6.361E-08 -5.472E-09 -9.220E-08 5.960E-08 Elmt 1-coord 11-stress 22-stress 33-stress 12-stress 23-stress 31-stress 683 25.962 1.505E+03 4.258E+03 0.000E+00 -5.664E+01 -1.111E+03 6.304E+02 matl 2-coord 11-strain 22-strain 33-strain 12-strain 23-strain 31-strain

1 45.876 8.265E-09 1.384E-07 -6.286E-08 -5.355E-09 -1.051E-07 5.960E-08 Elmt 1-coord 11-stress 22-stress 33-stress 12-stress 23-stress 31-stress 683 25.962 1.522E+03 4.263E+03 0.000E+00 -1.170E+02 3.395E+03 6.304E+02 matl 2-coord 11-strain 22-strain 33-strain 12-strain 23-strain 31-strain

1 54.124 8.848E-09 1.384E-07 -6.311E-08 -1.106E-08 3.210E-07 5.960E-08 Elmt 1-coord 11-stress 22-stress 33-stress 12-stress 23-stress 31-stress 683 24.038 1.535E+03 4.305E+03 0.000E+00 -1.170E+02 3.475E+03 6.304E+02 matl 2-coord 11-strain 22-strain 33-strain 12-strain 23-strain 31-strain

1 54.124 8.848E-09 1.398E-07 -6.371E-08 -1.106E-08 3.285E-07 5.960E-08 Elmt 1-coord 11-stress 22-stress 33-stress 12-stress 23-stress 31-stress 683 24.038 -2.399E+02 -1.088E+02 0.000E+00 5.141E+01 -1.645E+03 -2.364E+02 matl 2-coord 11-strain 22-strain 33-strain 12-strain 23-strain 31-strain

1 45.876 -7.538E-09 -1.339E-09 3.804E-09 4.860E-09 -1.555E-07 -2.235E-08 Elmt 1-coord 11-stress 22-stress 33-stress 12-stress 23-stress 31-stress 683 25.962 -2.430E+02 -1.297E+02 0.000E+00 5.287E+01 -1.702E+03 -1.379E+02 matl 2-coord 11-strain 22-strain 33-strain 12-strain 23-strain 31-strain

1 45.876 -7.421E-09 -2.066E-09 4.066E-09 4.999E-09 -1.609E-07 -1.304E-08 Elmt 1-coord 11-stress 22-stress 33-stress 12-stress 23-stress 31-stress 683 25.962 -2.298E+02 -1.258E+02 0.000E+00 1.901E+01 2.770E+03 -4.728E+02 matl 2-coord 11-strain 22-strain 33-strain 12-strain 23-strain 31-strain


1 54.124 -6.869E-09 -1.339E-09 3.517E-09 1.455E-09 2.722E-07 -5.215E-08


00,10,20,30,40,50,60,70,80,9

1


Def

lexã

o z(

x) c

m

h=50b+h=50b-


103


00,10,20,30,40,50,60,70,80,9

1


Def

lexã

o y(

x) c

m

h=50b+h=50b-



-2,00E+12

0,00E+00

2,00E+12

4,00E+12

6,00E+12

8,00E+12

1,00E+13

1,20E+13

0 5 10 15 20

Coordenada x (cm)

Def

lexã

o z(

x) c

m

h=50m+h=50m-h=50t+50t-


104

5.4.6 - Análise Gráfica da Deflexão das Linhas em 3D

Observamos da análise gráfica da deflexão da linha elástica que esta é

inversamente proporcional a altura da viga, conforme mostra a Figura - 5. 18

Deslocamento da Linha Elástica na Base da Viga

-3,00E+01

-2,50E+01

-2,00E+01

-1,50E+01

-1,00E+01

-5,00E+00

0,00E+00

5,00E+00

0,00E+00

2,00E+05

4,00E+05

6,00E+05

8,00E+05

1,00E+06

1,20E+06

Coordenada y (cm)

Def

lexã

o z(

y)

h=10h=20h=30h=40h=50

Figura - 5. 41. Curva de deflexão dam linha elástica em função do comprimento da viga para diferentes altura h = 10.0, 20.0, 30.0, 40.0, 50.0.

Deflexao máxima no centro da viga em termos do grau de esbeltez da viga

-3,00E+01

-2,50E+01

-2,00E+01

-1,50E+01

-1,00E+01

-5,00E+00

0,00E+00

5,00E+00

0 2 4 6 8 10 12

alfa = l/h

w(x

) (cm

)

MEF1TeóricoMEF2

Figura - 5. 42. Variação da deflexão máxima no centro da viga em função do parâmetro α = l/h, comparação entre o cálculo analítico e o realizado pelo Métodos dos Elementos Finitos.

105

Capítulo – VI

DISCUSSÃO ANÁLISE DOS RESULTADOS

RESUMO

Neste capítulo será feita uma discussão do problema da viga de concreto com

reforço. Será comparado o valor analítico da viga unidimensional com o resultado numérico

obtido pelo Método dos Elementos Finitos de vigas elásticas, bi-apoiada, com carregamento

duplo localizado simetricamente em relação ao meio ao seu centro para os casos 1-D, 2-D, 3-

D. Será feito uma análise da convergência e do erro relativo.


Dependendo das condições de contorno temos diferentes problemas de viga em

engenharia. No problema que foi resolvido neste trabalho adotou-se uma viga bi-apoiada com

um carregamento localizado na parte superior na metade da viga. Esse problema possui

solução unidimensional que aparece nos livros textos de graduação em Engenharia. Contudo,

quando se resolve o problema da viga em duas e três dimensões (2-D e 3D) surgem efeitos

dimensionais nas demais direções. Isto porque o módulo de Poisson é a grandeza responsável

por transmitir as tensões e os deslocamentos que afetam as outras direções, que no caso

unidimensional (1-D) anteriormente não havia. Desta forma, os resultados dos cálculos

obtidos não são sempre os mesmos que no caso unidimensional. (1-D). Portanto, os resultados

da viga 1-D só encontraram-se melhor aproximação para os pontos contidos sobre a linha

neutra da viga 2-D.

106

6. 2 – Análise dos Deslocamentos e das Tensões Principais

6.2.1 - Comparação com o Resultado Analítico Unidimensional

Os resultados dos deslocamentos obtidos nas Malhas estão apresentados de forma

comparativa na Tabela - VI. 1 e Tabela - VI. 3 para um ponto na metade do comprimento na

parte inferior e superior da viga e a Tabela - VI. 2 para um ponto na metade do comprimento

na parte central da viga.

Tabela - VI. 1. Deslocamento nas direções ortogonais 1 e 2 no Ponto Inferior na Metade da Viga para h = 10.0

Malha Nó 1-coord 2-coord 1-desloc 2-desloc 1-tensao 2-tensao 50 4.9000E+01 0.0000E+00 0.0000E+0 0.0000E+0

51 5.0000E+01 0.0000E+00 0.0000E+0 0.0000E+0

1D

52 5.1000E+01 0.0000E+00 0.0000E+0 0.0000E+0

50 4.9000E+01 0.0000E+00 -1.9377E-06 -6.0759E-04

51 5.0000E+01 0.0000E+00 1.4299E-19 -6.0787E-04

2D

52 5.1000E+01 0.0000E+00 1.9377E-06 -6.0759E-04

5.0000E+00 0.0000E+00

5.0000E+00 0.0000E+00

3D

5.0000E+00 0.0000E+00

Teórico - 5.0000E+00 0.0000E+00

Tabela - VI. 2. Deslocamento nas direções ortogonais 1 e 2 no Ponto Central na Metade da Viga para h = 10.0

Malha Nó 1-coord 2-coord 1-desloc 2-desloc 1-tensao 2-tensao 5.0000E+00 0.0000E+00

5.0000E+00 0.0000E+00

1D

5.0000E+00 0.0000E+00

1060 4.9000E+01 1.0000E+01 8.7628E-07 -6.0839E-04

1061 5.0000E+01 1.0000E+01 7.6602E-20 -6.0867E-04

2D

1062 5.1000E+01 1.0000E+01 -8.7628E-07 -6.0839E-04

5.0000E+00 0.0000E+00

5.0000E+00 0.0000E+00

3D

5.0000E+00 0.0000E+00

Teórico - 5.0000E+00 0.0000E+00

Tabela - VI. 3. Deslocamento nas direções ortogonais 1 e 2 no Ponto Superior na Metade da Viga para h = 10.0

107

Malha Nó 1-coord 2-coord 1-desloc 2-desloc 1-tensao 2-tensao 5.0000E+00 0.0000E+00

5.0000E+00 0.0000E+00

1D

5.0000E+00 0.0000E+00

2070 4.9000E+01 1.0000E+01 3.6904E-06 -6.0496E-04

2071 5.0000E+01 1.0000E+01 -2.0157E-20 -6.0525E-04

2D

2072 5.1000E+01 1.0000E+01 -3.6904E-06 -6.0496E-04

5.0000E+00 0.0000E+00

5.0000E+00 0.0000E+00

3D

5.0000E+00 0.0000E+00

Teórico - 5.0000E+00 0.0000E+00

Os resultados das tensões obtidas nas Malhas estão apresentados de forma

comparativa na Tabela - VI. 4 para um ponto na metade do comprimento na parte inferior da

viga e a Tabela - VI. 11 para um ponto na metade do comprimento na parte superior da viga.

Tabela - VI. 4. Tensão nas Malhas nos Ponto Inferior e Superior na Metade da Viga

No

Malha

Nó

Equivalente

Na Parte

Inferior

Tensão de

Tração

(Pa)

Nó

Equivalente

Na Parte

Central

Tensão

(Pa)

Nó

Equivalente

Na Parte

Superior

Tensão de

Compressão

(Pa)

Malha 1 6 1.257E+06 61 -1.143E+05 116 -1.322E+06

Malha 2 11 1.388E+06 116 -1.107E+05 221 -1.537E+06

Malha 3 21 1.438E+06 226 -9.759E+04 431 -1.728E+06

Malha 4 41 1.544E+06 851 -1.882E+04 1661 -2.232E+06

Maha 5 81 1.523E+06 1691 -1.558E+04 3301 -2.343E+06

Teórico - 1.7052E+06

- - - -1.7052E+06

108

6.2.2 - Análise do Erro em Relação ao Valor Analítico 1-D

Os cálculos do erro relativo cometido na análise das deformações estão mostrados

na Tabela - VI. 5 para um ponto na metade do comprmento na parte inferior da viga e a

Tabela - VI. 6 para um ponto na metade do comprmento na parte superior da viga.

Tabela - VI. 5. Análise do Erro no Deslocamento no Ponto Inferior na Metade da Viga

Parâmetro

Da Malha

2-Deslocamento (u)

Exato (m)

2-Deslocamento (u)

Calculada pelo FEAP (m)

Erro Relativo

0.10000 -5.1673E-04

-5.2847E-04

0.022719795638

0.05000 -5.1673E-04

-5.7265E-04

0.108218992511

0.02500 -5.1673E-04

-5.9391E-04

0.149362336230

0.01250 -5.1673E-04

-6.0976E-04

0.180035995588

0.00625 -5.1673E-04

-5.7071E-04

0.104464614015

Tabela - VI. 6. Análise do Erro no Deslocamento no Ponto Central na Metade da Viga

Parâmetro

Da Malha

2-Deslocamento (u)

Exato (m)

2-Deslocamento (u)


Erro Relativo

0.10000 -8.3916E-4 -7.8942E-04 0.059273559274

0.05000 -8.3916E-4 -8.3372E-04 0.006482673149

0.02500 -8.3916E-4 -8.5524E-04 0.019162019162

0.01250 -8.3916E-4 -8.7121E-04 0.038192954860

0.00625 -8.3916E-4 -8.3204E-04 0.008484675151

Tabela - VI. 7. Análise do Erro no Deslocamento no Ponto Superior na Metade da Viga

Parâmetro

da Malha

2-Deslocamento (u)

Exato (m)

2-Deslocamento (u)


Erro Relativo

0.10000 -1.0334E-03

-1.0481E-03

0.014224888717

0.05000 -1.0334E-03

-1.0936E-03

0.058254306174

0.02500 -1.0334E-03

-1.1193E-03

0.083123669441

0.01250 -1.0334E-03

-1.1385E-03

0.101703115928

0.00625 -1.0334E-03

-1.0990E-03

0.063479775498

109

Os cálculos do erro relativo cometido na análise das tensões estão mostrados na

Tabela - VI. 8 para um ponto na metade do comprmento na parte inferior da viga e a Tabela -

VI. 10 para um ponto na metade do comprmento na parte superior da viga.

Tabela - VI. 8. Análise do Erro na Tensão no Ponto Inferior na Metade da Viga

Parâmetro

da Malha

Tensão Exata

(Pa)

Tensão Calculada

pelo FEAP (Pa)

Erro Relativo

0.10000 1.7052E+06

1.257E+06

0.262843068262

0.05000 1.7052E+06

1.388E+06

0.186019235280

0.02500 1.7052E+06

1.438E+06

0.156697161623

0.01250 1.7052E+06

1.544E+06

0.094534365470

0.00625 1.7052E+06

1.523E+06

0.106849636406

Tabela - VI. 9. Análise do Erro na Tensão no Ponto Central na Metade da Viga

Parâmetro

da Malha

Tensão Exata

(Pa)

Tensão Calculada

pelo FEAP (Pa)

Erro Relativo

0.10000 - -1.143E+05 -

0.05000 - -1.107E+05 -

0.02500 - -9.759E+04 -

0.01250 - -1.882E+04 -

0.00625 - -1.558E+04 -

Tabela - VI. 10. Análise do Erro na Tensão no Ponto Superior na Metade da Viga

Parâmetro

da Malha

Tensão Exata

(Pa)

Tensão Calculada

pelo FEAP (Pa)

Erro Relativo

0.10000 -1.7052E+06

-1.322E+06

1.775275627492

0.05000 -1.7052E+06

-1.537E+06

1.901360544218

0.02500 -1.7052E+06

-1.728E+06

2.013370865588

0.01250 -1.7052E+06

-2.232E+06

2.308937368051

0.00625 -1.7052E+06

-2.343E+06

2.374032371569

110

A partir das tabelas (Tabela - VI. 5 e Tabela - VI. 6) mostradas anteriormente,

observa-se uma ligeira diferença nos deslocamentos quando se compara os resultados obtidos

em 2-D com o modelo teórico 1-D. Já nas tabelas (Tabela - VI. 8 e Tabela - VI. 10) o efeito

dimensional na tensão se agrava ainda mais porque, além dos efeitos dimensionais, a carga

concentrada em um nó e a reação dos apoios se acentua com o refinamento da malha.

Outro efeito da nova dimensão em problemas de elementos finitos em relação a

previsão teórica unidimensional (1-D) é que a linha neutra da viga não esta localizada no meio

da barra, encontrando-se diferentes valores de tensão e deslocamento para os pontos

simétricos em relação ao centro da viga. Isto por causa da posição super-localizada dos

apoios.

6.2.3 - Análise de Convergência das Malhas

O trabalho proposto foi inicialmente feito com o carregamento super-localizado

em todas as malhas. Contudo, essa superlocalização do carregamento estava impedindo a

converg6encia dos resultados das malhas. Para se resolver o problema de convergência da

malha 2-D para que esta se iguale ao resultado 1D foi necessário tomar a seguinte

providência:

1) Fazer uma suavização da distribuição da carga concentrada e dos pontos de aplicação

dos apoios para uma região vizinha do nó em questão conforme mostra a Figura - 6. 1.

Figura - 6. 1. Suavização da distribuição da carga concentrada e do ponto de aplicação dos apoios.

Uma outra providência poderia ser tomada caso a última malha não convergisse e

precisasse de mais um reinamento.

2) Produzir uma malha equivalente usando-se a propriedade de simetria do carragamento

conforme mostra a Figura - 6. 2.

111

Figura - 6. 2. Uso da simetria da malha.

Contudo, esta última providência não foi necessária.

A análise de convergência dos resultados foi feita pelo erro relativo cometido

entre as malhas segundo a equação (6. 1).

. 0,05malha malhaanterior posterior

malhaanterior

u u

Erro

u

−

= ≤ (6. 1)

A partir desta equação construiu-se a Tabela - VI. 11 para um ponto na metade do

comprmento na parte inferior da viga e a Tabela - VI. 13 para um ponto na metade do

comprmento na parte superior da viga

Tabela - VI. 11. Deslocamento no Ponto Inferior na Metade da Viga

Malha Parâmetro

da Malha

Nó

Equivalente

2-Deslocamento (u)


Erro de

Convergência1

0.10000 6 -5.2847E-04 0.083599825913

2 0.05000 11 -5.7265E-04

0.037125643936 3

0.02500 21 -5.9391E-04 0.026687545251

4 0.01250 41 -6.0976E-04

0.064041590134 5

0.00625 81 -5.7071E-04 0.094583939304

∞

0.10000 - -5.1673E-04

0

112

Tabela - VI. 12. Deslocamento no Ponto Central na Metade da Viga

Malha Parâmetro

da Malha

Nó

Equivalente

2-Deslocamento (u)


Erro de

Convergência1 0.10000 61 -7.8942E-04

0.056117149299 2 0.05000 116 -8.3372E-04

0.025812023221 3 0.02500 226 -8.5524E-04

0.018673120995 4 0.01250 851 -8.7121E-04

0.044960457295 5 0.00625 1691 -8.3204E-04

0.008557280900 ∞ 0.10000 - -8.3916E-4

0

Tabela - VI. 13. Deslocamento no Ponto Superior na Metade da Viga

Malha Parâmetro

da Malha

Nó

Equivalente

2-Deslocamento (u)


Erro de

Convergência1 0.10000 116 -1.0481E-03

0.043411888179 2 0.05000 221 -1.0936E-03

0.023500365764 3 0.02500 431 -1.1193E-03

0.017153578129 4 0.01250 1661 -1.1385E-03

0.034694773825 5 0.00625 3301 -1.0990E-03

0.059690627843 ∞

0.10000 - -1.0334E-03

0

A partir do dados das Tabela - VI. 11 e Tabela - VI. 13 construi-se o gráfico da

Figura - 6. 3.

Análise da Convergência das Malhas

0.0000000.0100000.0200000.0300000.0400000.0500000.0600000.0700000.0800000.0900000.100000

0.00000000E+0

0

2.00000000E-02

4.00000000E-02

6.00000000E-02

8.00000000E-02

1.00000000E-01

1.20000000E-01

Parametro da Malha

Con

verg

enci

a

Ponto InferiorPonto SuperiorPonto Central

Figura - 6. 3. Gráfico da Análise da Convergência das Malhas para os Deslocamentos no ponto Inferior e Superior na metade da Viga

113

Esta figura representa a ordem p de convergência das malhas que no caso para o

ponto inferior na metade da viga é dado por:

log log

log log

malha malhaanterior posterior

malha malhaanterior posterior

P P

p

erro erro

⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟−⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠=

⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟−⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

(6. 2)

onde P é o parâmetro da malha. Logo, substiutindo os valores encontrados, temos as ordens

de convergência médias, p, das malhas para os três pontos da viga estudados:

i) Para o Ponto Inferior na Metade da Viga:

Tabela - VI. 14. Ordem de Convergênia das Malhas no Ponto Inferior na Metade da Viga

log(Pant)-log(Ppost) log(Erroant)-log(Erropost) p 0.301029995664 0.352531377937 0.853909792160 0.301029995664 0.143365366380 2.099740008797 0.301029995664 -0.380153478033 -0.791864373362 0.301029995664 -0.169355291097 -1.777505702444

ii) Para o Ponto Central na Metade da Viga:

Tabela - VI. 15. Ordem de Convergênia das Malhas no Ponto Central na Metade da Viga

log(Pant)-log(Ppost) log(Erroant)-log(Erropost) p 0.301029995664 0.337273554010 0.892539578288 0.301029995664 0.140605135845 2.140960170871 0.301029995664 -0.381613808520 -0.788834127442 0.301029995664 0.720494931508 0.417810011562

iii) Para o Ponto Superior na Metade da Viga:

Tabela - VI. 16. Ordem de Convergênia das Malhas no Ponto Superior na Metade da Viga log(Pant)-log(Ppost) log(Erroant)-log(Erropost) p

0.301029995664 0.266534053902 1.129424143959 0.301029995664 0.136719896828 2.201800927642 0.301029995664 -0.305909335732 -0.984049718337 0.301029995664 -0.235642086277 -1.277488246774

114

Observe que a ordem de convergência, p, das malhas está condicionada ao ponto

de estudo, e a certo grau de refinamento. Pois a partir de certo limite de refinemento os

valores começam a divergir do valor calculado analiticamente pelo modelo 1-D, conforme

mostra a Figura - 6. 3.

115

Capítulo – VII

CONCLUSÃO

7. 1 - Considerações Finais

O problema elástico de vigas é muito importante na engenharia. A sua solução

numérica demanda algum custo computacional em elementos finitos, quando se quer

empregar um grau de realismo maior do que aquele do modelo analítico 1-D. Pois

dependendo das condições de contorno, tais como: apoios, engastamentos, pontos de

aplicação das forças, etc. Estas condições influenciam grandemente na resposta final do

campo de tensões no problema. Observou-se que mesmo que o problema aparentemente seja

muito parecido o resultado final do campo de tensão depende muito da fixação dos apoios,

por exemplo. O modelo analítico 1-D que se encontra no livro texto difere muito do problema

2-D e 3-D, principalmente quando se tem uma viga parede, por exemplo. Embora exista a

correção de Timoshenko para este caso os efeitos das demais dimensões determina uma outra

situação no campo de tensão/deformação do corpo submetido a um carregamento. A única

forma de se comparar os resultados analíticos 1-D com os resultado numéricos 2-D e 3-D é

comparando-se com os resultados analíticos 1-D com aqueles fornecidos pelos modelos 2-D e

3-D, apenas na linha neutra e na superfície neutra respectivamente.

O Método dos Elementos Finitos 2-D e 3-D oferece uma simulação muito mais

realista do problema da viga do que aquele encontrado nos livros textos para 1-D.

Empregamos o código FEAP para resolver o problema da viga bi-apoioada em 2-D com

carregamento central e conclui-se que este código apresenta resultados muito próximos do

real.

116

Referências Bibliográficas 1 – Hughes, T. J. R., The Finite Element Method: Linear Static and Dynamic Finite Element

Analysis, Prentice-Hall, 1987.

2 – Cook, R. D., Malkus D. S. and Plesha M. E., Conceptions and Applications of Finite

Element Analysis, 3rd edition, Wiley, 1989.

3 –Bathe, K. J., Finite Element Procedures in Engineering Analysis, Prentice-Hall, 1982.

4 – Johnson, C., Numerical Solutions of Partial Differential Equations by the Finite Element

Method, Cambridge University Press (texto muito matemático), 1987.

5 – Strang, G. and Fix, G. J., An Analysis of the Finite Element Method, Prentice-Hall (muito

matemático, uma referência extraordinária para a época), 1973.

6 – Zienkiewicz, O. C., and Taylor, R. L. The Finite Elements Method, 4th.Edition, vol.1 e

vol. 2, McGraw-Hill, 1989-91.

7 – Reddy, J. N. and Gartiling, D. K., The Finite Element Method in Heat Transfer and Fluid

Dynamics, CRC Press, 1994.

Endereços da Internet para consultas sobre o código FEAP

8 – http://euler.berkeley.edu/decf/help/feap/report.txt Version 2.33

9 – http://www.ce.berkeley.edu/~rlt/readme.txt

10 – ncftp://ce.berkeley.edu/pub/pcfeap

11 – http://www.kagaku.co.jp/pcfeap.htm

117

Apêndices A. 1 – Elementos da Teoria Elástica Linear

2.2.2 – A Equação de uma Viga Bi-apoiada Unidimensional

A equação do Momento Cortante, Q, que atua sobre a viga para a condição de

equilíbrio, é dado por:

( ) ( ) 0dQ x

q xdx

+ = (2. 145)

A relação entre o Momento Cortante, Q, e o Momento Fletor, M é dada por:

( ) ( )dM xQ x

dx= (2. 146)

A equação do Momento Fletor que atua sobre a viga é dado por:

( ) ( )2

2 0d M x

q xdx

+ = (2. 147)

Como o Momento Fletor é dado por ( )2

2d w x

M EIdx

= − . Logo,

( ) ( )4

4 0d w x q x

EIdx− = (2. 148)

118

2.2.3 - Problema Variacional de uma Viga Bi-apoiada Unidimensional

Esta equação também pode ser obtida do calculo variacional da equação da

energia potencial total do sistema, dada por:

( ) ( ) ( )22

20

2

l

pd w xEII q x w x dx

dx

⎡ ⎤⎛ ⎞⎢ ⎥⎜ ⎟= −⎢ ⎥⎜ ⎟⎝ ⎠⎢ ⎥⎣ ⎦

∫ . (2. 149)

onde ( )22

22d w xEI

dx

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

: é a Energia Potencial de Deformação; q(x)w(x): é a Energia Potencial da

carga Atuante; quando aplicada sobre o funcional (2. 149) a equação de Euler Lagrange, da

seguinte forma:

Seja F dado por:

( ) ( ) ( )22

2( , , '')2

d w xEIF F x w w q x w xdx

⎛ ⎞⎜ ⎟= = −⎜ ⎟⎝ ⎠

(2. 150)

Pelo Principio da Energia Potencial mínima, a configuração de equilíbrio

corresponde à extremização do funcional.

Da equação de Euler-Lagrange:

0'''''' 2

2

3

3

=∂∂

−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛∂∂

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛∂∂

−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛∂∂

wF

wF

dxd

wF

dxd

wF

dxd (2. 151)

como

0'

0'''3

3

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛∂∂

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛∂∂

wF

dxde

wF

dxd (2. 152)

Temos:

0''2

2

=∂∂

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛∂∂

wF

wF

dxd (2. 153)

Logo

( ) '';'''' 2

2

2

2

EIwwF

dxEIwd

wF

dxd

=∂∂

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛∂∂ (2. 154)

e

119

qwFe

dxwdEI

wF

dxd

−=∂∂

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛∂∂

4

4

2

2

'' (2. 155)

Então substituindo em (2. 153) temos:

( ) ( )4

4d w x q x

EIdx= (2. 156)

A equação diferencial da linha elástica.

120

A. 2 – Arquivo de Entrada de Dados da Viga Bi-Apoiada 1D, 2-D e 3D

121

Malha – 1-D

feap ** Viga Bi-Apoiada -CONCRETO- 1D 202 200 1 2 2 2 param lx=100.0 !GEOMETRIA DA VIGA Comprimento do Bloco (cm) h1=1.0 t=1.0 !Espessura na Direçao z=3 (cm) V=lx*h*t !Volume total da Viga (cm^3) m1=1 !MATERIAL Material 1 - Concreto m2=2 !Material 2 - Aço d1=2320 !PROPRIEDADES DO MATERIAL Massa Especifica Material 1 (Kg/m^3) d2=7860 Y1=27.5e9 !Módulo Elástico Material 1 (Pa) Y2=210.e9 !Módulo Elástico Material 2 (Pa) p1=0.3 !Módulo de Poisson do Material 1 p2=0.3 !Módulo de Poisson do Material 2 m=d1*lx*h*t + d2*lx*h*t !Massa total da viga (Concreto + Aço) (Kg) g=9.8 !FORCAS DE CAMPO !Campo Gravitacional (m/s^2) P=m*g qd=0 !CARACTERISTICAS DA MALHA Tipo de Elemento - quadrático no=(nx+1)*(I+1) !Numero total de Nós el= nx*I !Numero total de elementos nx=100 I1=2 no=(nx+1)*(I1+1) !Numero total de Nós el= nx*I1 !Numero total de elementos n1=1 e1=1 F=100.e3 f1=2*nx-nx/4+1 !CARREGAMENTO DAS FORÇAS Localizaçao da Força F1 no-3*nx/4 f2=2*nx-nx*3/4+1 ! Localizaçao da Força F2 no-nx/4 bloc cart, nx I1 n1 e1 m1 qd 1 0.0 0.0 2 lx 0.0 3 lx h1 4 0.0 h1 boun 1 0 1 1 nx+1 0 1 1 forc f1 0 0.0 -F f2 0 0.0 -F mate solid plane stress elastic isotropic Y1 p1 density data d1 end batch loop,,2 tang,,1 next form disp all stre all end inter stop end

122

Malha – 2-D

feap ** Viga Bi-Apoiada -CONCRETO- esparsa 2132 2040 1 2 2 4 param lx=100.0 !GEOMETRIA DA VIGA Comprimento do Bloco (cm) h1=5 !Altura do Bloco 1 (cm) h2=1 !Altura do Bloco 2 (cm) h3=19.0 !Altura do Bloco 3 (cm) t=1.0 !Espessura na Direçao z=3 (cm) V=lx*(h1+h3+h2)*t !Volume total da Viga (cm^3) m1=1 !MATERIAL Material 1 - Concreto m2=2 !Material 2 - Aço d1=2320 !PROPRIEDADES DO MATERIAL Massa Especifica Material 1 (Kg/m^3) d2=7860 !Massa Especifica Material 2 (Kg/m^3) Y1=27.5e9 !Módulo Elástico Material 1 (Pa) Y2=210.e9 !Módulo Elástico Material 2 (Pa) p1=0.3 !Módulo de Poisson do Material 1 p2=0.3 !Módulo de Poisson do Material 2 m=d1*lx*(h1+h3)*t + d2*lx*h2*t !Massa total da viga (Concreto + Aço) (Kg) g=9.8 !FORCAS DE CAMPO !Campo Gravitacional (m/s^2) P=m*g !Peso da Viga (N) qd=0 !CARACTERISTICAS DA MALHA Tipo de Elemento - quadrático nx=40 !Numero de Elementos na Direção x ny=20 I1=10 !Numero de Elementos na Direção y para o Bloco 1 I2=1 !Numero de Elementos na Direção y para o Bloco 2 I3=40 !Numero de Elementos na Direção y para o Bloco 3 no=(nx+1)*(I1+I2+I3+1) !Numero total de Nós el= nx*(I1+I2+I3) !Numero total de elementos n1=1 n2=(nx+1)*I1+1 !Primeiro Nó do Bloco 2 e1=1 e2=(nx*I1)+1 !Primeiro Elemento do Bloco 2 n3=n2+(nx+1)*I2 !Primeiro Nó do Bloco 3 e3=e2+(nx*I2) !Primeiro Elemento do Bloco 3 F=100.e3 f1=no-3*nx/4 !CARREGAMENTO DAS FORÇAS Localizaçao da Força F1 f2=no-nx/4 ! Localizaçao da Força F2 bloc1 cart nx I1 1 1 m1 qd 1 0. 0. 2 lx 0. 3 lx h1 4 0. h1 bloc2 cart nx I2 n2 e2 m2 qd 1 0. h1 2 lx h1 3 lx h1+h2 4 0. h1+h2 bloc3 cart nx I3 n3 e3 m1 qd 1 0. h1+h2 2 lx h1+h2 3 lx h1+h2+h3 4 0. h1+h2+h3 boun 1 0 1 1 nx+1 0 1 1 forc f1 0 0. -F f2 0 0. -F

123

mate 1 solid plane stress elastic isotropic Y1 p1 density data d1 mate 2 solid plane stress elastic isotropic Y2 p2 density data d2 mate 3 solid plane stress elastic isotropic Y1 p1 density data d1 end batch loop,,2 tang,,1 next form disp all stre all end inter stop end

124

Malha – 3-D

feap ** Viga Bi-Apoiada -CONCRETO- 3D 1024 735 1 3 3 8 param lx=20.0 !GEOMETRIA DA VIGA Comprimento do Bloco (cm) ly=100.0 !Espessura na Direçao z=3 (cm) h1=2 !Altura do Bloco 1 (cm) h2=1 !Altura do Bloco 2 (cm) h3=5.0 !Altura do Bloco 3 (cm) V=lx*(h1+h3+h2)*ly !Volume total da Viga (cm^3) m1=1 !MATERIAL Material 1 - Concreto m2=2 !Material 2 - Aço d1=2320 !PROPRIEDADES DO MATERIAL Massa Especifica Material 1 (Kg/m^3) d2=7860 !Massa Especifica Material 2 (Kg/m^3) Y1=27.5e9 !Módulo Elástico Material 1 (Pa) Y2=210.e9 !Módulo Elástico Material 2 (Pa) p1=0.3 !Módulo de Poisson do Material 1 p2=0.3 !Módulo de Poisson do Material 2 m=d1*lx*(h1+h3)*ly + d2*lx*h2*ly !Massa total da viga (Concreto + Aço) (Kg) g=9.8 !FORCAS DE CAMPO !Campo Gravitacional (m/s^2) P=m*g !Peso da Viga (N) qd=10 !CARACTERISTICAS DA MALHA Tipo de Elemento - quadrático nx=15 !Numero de Elementos na Direção x ny=7 I1=2 !Numero de Elementos na Direção y para o Bloco 1 I2=1 !Numero de Elementos na Direção y para o Bloco 2 I3=4 !Numero de Elementos na Direção y para o Bloco 3 nz=7 no=(nx+1)*(ny+1)*(I1+I2+I3+1) !Numero total de Nós ns=(nx+1)*(ny+1)*(I1+I2+I3)+1 np=ns+1*(nx+1)*(ny+1)/4 nu=no-1*(nx+1)*(ny+1)/4+1 !nu=ns+3*(nx+1)*(ny+1)/4-nx el= nx*ny*(I1+I2+I3) !Numero total de elementos n1=1 n2=(nx+1)*(ny+1)*I1+1 !Primeiro Nó do Bloco 2 e1=1 e2=(nx*ny*I1)+1 !Primeiro Elemento do Bloco 2 n3= n2+(nx+1)*(ny+1)*I2 !Primeiro Nó do Bloco 3 e3= e2+(nx*ny*I2) !Primeiro Elemento do Bloco 3 F=100.e3 f1=np+nx !CARREGAMENTO DAS FORÇAS Localizaçao da Força F1 f2=nu+nx ! Localizaçao da Força F2 bloc1 cart,nx ny I1 n1 e1 m1 qd 1 0.0 0.0 0.0 2 lx 0.0 0.0 3 lx ly 0.0 4 0.0 ly 0.0 5 0.0 0.0 h1 6 lx 0.0 h1 7 lx ly h1 8 0.0 ly h1 bloc2 cart,nx ny I2 n2 e2 m2 qd 1 0.0 0.0 h1 2 lx 0.0 h1 3 lx ly h1 4 0.0 ly h1 5 0.0 0.0 h1+h2 6 lx 0.0 h1+h2 7 lx ly h1+h2 8 0.0 ly h1+h2 bloc3 cart,nx ny I3 n3 e3 m1 qd 1 0.0 0.0 h1+h2

125

2 lx 0.0 h1+h2 3 lx ly h1+h2 4 0.0 ly h1+h2 5 0.0 0.0 h1+h2+h3 6 lx 0.0 h1+h2+h3 7 lx ly h1+h2+h3 8 0.0 ly h1+h2+h3 boun 1 1 -1 -1 -1 nx+1 0 -1 -1 -1 (nx+1)*ny+1 1 -1 -1 -1 (nx+1)*(ny+1) 0 -1 -1 -1 forc np 1 0.0 0.0 -F f1 0 0.0 0.0 -F nu 1 0.0 0.0 -F f2 0 0.0 0.0 -F mate 1 solid plane stress elastic isotropic Y1 p1 density data d1 mate 2 solid plane stress elastic isotropic Y2 p2 density data d2 mate 3 solid plane stress elastic isotropic Y1 p1 density data d1 end batch loop,,2 tang,,1 next form disp all stre all end inter stop end

126

A. 3 – Arquivo de Saída da Viga Bi-Apoiada 1D, 2-D e 3D

Malha – 1-D

feap ** Viga Bi-Apoiada -CONCRETO- esparsa

Solution date: Thu Nov 1 14:19:38 2007

2.0 Revision a

07 April 2005

Input Data Filename: Ivigabi2db1

Number of Nodal Points - - - - - - : 121

Number of Elements - - - - - - - - : 100

Spatial Dimension of Mesh - - - - - : 2

Degrees-of-Freedom/Node (Maximum) - : 2

Number Element Nodes (Maximum) - : 4

Number of Material Sets - - - - - - : 1

Number Parameters/Set (Program) - : 200

Number Parameters/Set (Users ) - : 50

Material Set 1 for Element Type: solid

T w o D i m e n s i o n a l S o l i d E l e m e n t

M e c h a n i c a l P r o p e r t i e s

Plane Stress Analysis

Modulus E 2.75000E+10

Poisson ratio 0.30000

Thickness 1.00000E+00

Quadrature: Arrays 2

Quadrature: Output 1

T h e r m a l E x p a n s i o n s

Th. Alpha-1 1.00000E-05

Th. Alpha-2 1.00000E-05

Th. Alpha-3 1.00000E-05

127

T_0 2.50000E+01

Th. D.O.F. 0


Density 2.32000E+03

1-Gravity Load 0.00000E+00



Formulation : Small deformation.

Element type: Displacement.

Mass type : Lumped.

*Macro 1 * tang v: 1.00 0.00 0.00

t= 5.23 0.00

Residual norm = 4.3186086E+07 1.0000000E+00 t= 5.23 0.00

Condition check: D-max 0.1125E+12; D-min 0.2607E+10; Ratio 0.4314E+02

Maximum no. diagonal digits lost: 1

End Triangular Decomposition t= 5.25 0.00

Number of operations = 141258 plus 0 Mega-ops

Time: CPU = 5.25 , System = 0.00

--> SOLVE AT 7.06 Mflops. Time= 0.02

Energy convergence test

Maximum = 9.291625468449449E+04 Current = 9.291625468449449E+04

Relative = 1.000000000000000E+00 Tolerance = 1.000000000000000E-16

*Macro 1 * tang v: 1.00 0.00 0.00

t= 8.90 0.00

Residual norm = 1.0546801E-06 2.4421757E-14 t= 8.90 0.00





Maximum = 9.291625468449449E+04 Current = 5.055370297614026E-21

Relative = 5.440781394794690E-26 Tolerance = 1.000000000000000E-16

*Macro 1 * disp 116 v: 116. 0.00 0.00

t= 21.01 0.00


N o d a l D i s p l a c e m e n t s Time 0.00000E+00

Prop. Ld. 1.00000E+00

Node 1 Coord 2 Coord 1 Displ 2 Displ

116 5.0000E+00 2.0000E+00 -2.9350E-19 -2.8562E-03

*Macro 1 * stre 1 v: 95.0 96.0 0.00

t= 34.75 0.00


128

Element Stresses



95 1 -87.0 -3.312E+06 -2.857E+05 0.000E+00 -1.602E+05 -2.773E+05

4.500 1.900 -3.673E-04 -2.243E-04 -2.108E-04 -1.515E-05 -3.320E+06

96 1 87.0 -3.312E+06 -2.857E+05 0.000E+00 1.602E+05 -2.773E+05

5.500 1.900 -3.673E-04 -2.243E-04 -2.108E-04 1.515E-05 -3.320E+06

*Macro 1 * stre 2 v: 95.0 96.0 0.00

t= 48.67 0.00

*End of Macro Execution* t= 62.89 0.00

R e s t a r t O u t p u t D a t a

Time step number = 0

Time for restart = 0.00000E+00

Time increment = 0.00000E+00

Displacements output

Proportional load = 1.00000E+00

Arc-length load = 1.00000E+00

Force vector output

History data output

Saved Restart File: Rvigabi2db1

129

Malha – 2-D

feap ** Viga Bi-Apoiada -CONCRETO- Refinamento 1


2.0 Revision a

07 April 2005




















Th. Alpha-1 1.00000E-05

Th. Alpha-2 1.00000E-05

Th. Alpha-3 1.00000E-05

T_0 2.50000E+01

Th. D.O.F. 0

130


Density 2.32000E+03






Mass type : Lumped.

*Macro 1 * tang v: 1.00 0.00 0.00

t= 3.56 0.00








*Macro 1 * tang v: 1.00 0.00 0.00

t= 6.09 0.00





Number of operations = 855258 plus 0 Mega-ops

Time: CPU = 6.10 , System = 0.00

--> SOLVE AT 85.53 Mflops. Time= 0.01




*Macro 1 * disp 221 v: 221. 0.00 0.00

t= 39.79 0.00



Prop. Ld. 1.00000E+00


221 5.0000E+00 2.0000E+00 5.6336E-19 -2.8312E-03

*Macro 1 * stre 1 v: 190. 191. 0.00

t= 70.71 0.00


Element Stresses


131


190 1 -84.5 -3.517E+06 -5.360E+05 0.000E+00 -2.883E+05 -5.084E+05

4.750 1.900 -3.720E-04 -2.311E-04 -2.058E-04 -2.726E-05 -3.545E+06

191 1 84.5 -3.517E+06 -5.360E+05 0.000E+00 2.883E+05 -5.084E+05

5.250 1.900 -3.720E-04 -2.311E-04 -2.058E-04 2.726E-05 -3.545E+06









Force vector output

History data output


132

Malha – 3-D



2.0 Revision a

07 April 2005




















Th. Alpha-1 1.00000E-05

Th. Alpha-2 1.00000E-05

Th. Alpha-3 1.00000E-05

T_0 2.50000E+01

Th. D.O.F. 0

133


Density 2.32000E+03






Mass type : Lumped.

*Macro 1 * tang v: 1.00 0.00 0.00

t= 3.28 0.00








*Macro 1 * tang v: 1.00 0.00 0.00

t= 5.87 0.00








*Macro 1 * disp 431 v: 431. 0.00 0.00

t= 28.17 0.00



Prop. Ld. 1.00000E+00


431 5.0000E+00 2.0000E+00 1.1566E-18 -2.8000E-03

*Macro 1 * plot v: 0.00 0.00 0.00

t= 33.92 0.00

*Macro 1 * stre 1 v: 380. 381. 0.00

t= 137.50 0.00


Element Stresses



134

380 1 -79.6 -3.628E+06 -9.549E+05 0.000E+00 -5.077E+05 -8.618E+05

4.875 1.900 -3.715E-04 -2.451E-04 -2.000E-04 -4.800E-05 -3.721E+06

381 1 79.6 -3.628E+06 -9.549E+05 0.000E+00 5.077E+05 -8.618E+05

5.125 1.900 -3.715E-04 -2.451E-04 -2.000E-04 4.800E-05 -3.721E+06









Force vector output

History data output


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Viga de Concreto1-D,2-D e 3-D Biapoiada - Portal Saber Livre · 2.2.5 – A Equação da Linha Elástica de uma Viga Bi-apoiada Unidimensional.....12 2.2.6 – Cálculo das Constantes