Vibracion Libre de Sistemas de Un Grado

Tecnolgico Nacional de Mxico

Centro Nacional de Investigacin y Desarrollo Tecnolgico CENIDET

UNIDAD II.- VIBRACION LIBRE DE SISTEMAS DE UN GRADO DE LIBERTAD. Una descripcin tcnica til de la respuesta en el tiempo de los sistemas vibratorios, se consigue resolviendo un modelo matemtico de un sistema equivalente que pueda analizarse con facilidad. Por ejemplo, las vibraciones torsionales de la hlice de un buque pueden describirse con gran aproximacin despreciando la masa del eje y sustituyendo la hlice y turbina por dos discos concentrados, uno a cada extremo del eje. Uno de los principales objetivos en el anlisis de los sistemas vibratorios es el de conocer su frecuencia natural, para lo cual existen varios criterios que dependen del sistema en particular. Entre los principales mtodos tenemos: 1.- Mtodo de las fuerzas. 1.1.- Traslacin. 1.2.- Rotacin. 2.- Mtodos de energa. 2.1.- Principio de la conservacin de la energa. 2.2.- Mtodo de Rayleigh. Con excepcin del mtodo de Rayleigh, en todos los casos se determina la ecuacin diferencial del movimiento. 2.1.- Relaciones constitutivas del elemento resorte, inercia y amortiguador. Las relaciones o ecuaciones constitutivas son aquellas que representan las propiedades caractersticas de los materiales, y que los distinguen de otros. Un resorte es un elemento elstico que obedece la ley de Hooke, y se representa de acuerdo con la siguiente figura:

La ecuacin constitutiva que relaciona la fuerza F , la deflexin x y la constante elstica k se representa por

RF kx -------------------- (2.1)

en donde RF = fuerza elstica en el resorte

k = constante elstica del resorte en N/m, lb/pul, etc.



El amortiguador es un elemento disipador de energa, y tiene como funcin principal la de limitar la amplitud de una vibracin. Su representacin es como sigue:

La ecuacin constitutiva para un amortiguador establece la relacin entre la fuerza F , la constante de amortiguamiento c y la velocidad de deformacin x , de acuerdo con

AF cx -------------- (2.2)

en donde AF = fuerza en el amortiguador

c = factor de amortiguamiento en N.s/m, lb.s/pul, etc. La ecuacin constitutiva que establece la relacin entre la fuerza F , la masa m y la

aceleracin x se escribe por

IF mx -------------- (2.3)

en donde IF = fuerza debida a la inercia

m = masa en kg o slugs

x = aceleracin El caso general del sistema libre resorte, inercia y amortiguador se representa como sigue:

Las relaciones constitutivas del sistema anterior estn dadas por la ecuacin diferencial ------------- (2.4)

0mx cx kx



2.2.- Combinacin de resortes. Los resortes pueden combinarse en serie, paralelo o ambos, debiendo obtener la constante elstica equivalente para cada arreglo en particular. a).- Arreglo en serie.

La constante equivalente para un arreglo en serie se determina por

1 2 3

1 1 1 1 1 1

1e n i

n

k k k k k ki

------------------- (2.5)

b).- Arreglo en paralelo.

La constante equivalente para un arreglo en paralelo se determina por

1 2 31

n

e n ii

k k k k k k

-------------------- (2.6)

Dos formas equivalentes en arreglos en paralelo son:

2.3.- Mtodo de las fuerzas para el anlisis de sistemas vibratorios. 2.3.1.- Sistemas no amortiguados en traslacin. Para ste tipo de sistemas se utiliza la segunda ley de Newton para sistemas en traslacin:

F mx -------------- (2.7)



Consideremos el siguiente sistema resorte-masa:

Aplicando la ecuacin (2.7) tenemos:

( ) mx k x w mx k kx w mx kx , ya que del equilibrio esttico

w k . Ordenando la ecuacin resultante y dividindola entre la masa obtenemos

0km

x x ------- (a)

Si 2 kn m , entonces la ecuacin (a) se transforma en

2 0nx x --------- (2.8) Ecuacin diferencial del movimiento

Resolviendo la ecuacin diferencial (2.8) y aplicando las condiciones iniciales (0)x y (0)x

encontramos la respuesta del sistema vibratorio; esto es

(0)(0)cos

n

xn nx x t sen t

--------- (2.9)

En algunas ocasiones es conveniente usar un diagrama vectorial para representar visualmente el movimiento armnico, lo cual se indica a continuacin:



Si hacemos 2 2X A B , AX

sen , cos BX

, la ecuacin (2.9) se transforma en

( cos cos ) n nx X sen t sen t

( )nx Xsen t ------------ (2.10)

siendo = ngulo de fase

(0)

n

xB

(0)A x

2.3.2.- Clculo de la frecuencia natural a partir de la deformacin inicial . Esto se puede realizar fcilmente, sabiendo que w k y w mg , por lo que

2g gkn nm

12

gnf --------------- (2.11)

Ejemplo 2.1.- Un bloque de 25 kg est sostenido por el arreglo de resortes que se muestra en la figura. Si el bloque se mueve verticalmente hacia abajo desde su posicin de equilibrio y se suelta, determinar la velocidad mxima y la aceleracin mxima del bloque si la amplitud del

movimiento es de 25 mm. Suponer 1 5 kN/mk , 2 20 kN/mk , 3 2 kN/mk .

Solucin: Primero se determina la constante equivalente del arreglo de resortes:

Los dos resortes en serie 1k y 2k tienen una constante equivalente

1 1 1 1 515 20 201 2

201 1 15

4 kN/mk k

ek

Los resortes con 1e

k y 3k quedan en paralelo, por lo que la constante equivalente del sistema es

6 kN/mek .



La ecuacin diferencial del movimiento es 600025

0 0 0ek

e mmx k x x x x x

240 0x x

240 15.492 rad/sn

La solucin general de la ecuacin diferencial es : (0)

(0)cosn

xn nx x t sen t

Aplicando condiciones iniciales a la solucin general se obtiene: 0.025cos15.492x t

Derivando de manera sucesiva se obtiene:

0.3873 15.492x sen t 6cos15.492x t

De las relaciones anteriores se tiene que

0.3873 m/smxv

26 m/smxa

2.3.3.- Sistemas no amortiguados en rotacin. Para este tipo de sistemas se utiliza la segunda ley de Newton para sistemas en rotacin

oJ Pares --------- (2.12)

en donde 2o cgJ J md (momento de inercia con respecto al punto O)

cgJ = momento de inercia con respecto al centro de gravedad del sistema

Lo anterior se representa en la siguiente figura:

Aplicando la ecuacin (2.12) se obtiene o oJ mgx J mgdsen ------- ( i )

Para pequeas oscilaciones sen por lo que la ecuacin ( i ) se transforma en

( ) ( ) 0o oJ mgd J mgd ------------ ( ii )



Dividiendo ( ii ) por oJ llegamos a la ecuacin

0o

mgd

J ------------ (2.13)

en donde 2o

mgdn J

La ecuacin diferencial obtenida es anloga a la que se obtuvo para los sistemas en traslacin, por lo que el criterio para determinar la frecuencia natural y resolver la ecuacin diferencial es exactamente el mismo. Ejemplo 2.2.- Para la barra y el disco que se indica, determinar la constante del resorte para la cual el perodo de vibracin de la barra es 1.5 seg. Los datos son: 0.12 mr , 0.5 mL ,

var 5 kgillam , 8 kgdiscom .

Normal Deformado Solucin:

Momento de inercia del disco respecto a A: 2 2 21 12 2

(8)(0.12) 0.0576 kg.mJ mr

Momento de inercia de la varilla respecto a A:

222 2 20.51 1

12 2 12 2(5)(0.5) 5 0.41667 kg.mLJ mL m

Momento de inercia total respecto a A: 2var 0.47427 kg.mA disco illaJ J J

Fuerza en el resorte en el estado deformado: 0.12F kr k 2(0.12)

0.474270.12 (0.12) 0

ko AJ Pares J k 0.03036 0k ------ (a)

De (a) se tiene que: 2 0.03036n k ---------- (b)

22 21.5

4.188787 17.5459n n

-------- (c)

Igualando (b) y (c) se obtiene lo siguiente: 0.03036 17.54593374k

578 N/mk



2.4.- Mtodo de la energa para sistemas no amortiguados. El mtodo de la energa es un mtodo simple y directo para resolver problemas vibratorios. Se lleva a cabo mediante un balance de energa, aplicando el principio de la conservacin de la energa. Sabiendo que la energa mecnica permanece constante en cualquier punto se tiene que

constanteME EC EP --------- (2.14)

en donde ME = energa mecnica

EC = energa cintica

EP = energa potencial Si la energa total permanece constante entonces

0d

EC EPdt

-------------------------- (2.15)

Con sta ecuacin encontramos rpidamente la ecuacin diferencial del movimiento y la frecuencia natural correspondiente. 2.4.1.- Principio de Rayleigh. Este principio es una forma alterna del mtodo de la energa con el cual se obtiene una buena aproximacin de las frecuencias naturales sin necesidad de generar la ecuacin diferencial del movimiento. Este mtodo considera los pasos siguientes: a).- Se supone un movimiento armnico.

Traslacin: nx Xsen t

Rotacin: o nsen t

b).- Se determina mxEP y mxEC .

c).- Se sustituyen los movimientos armnicos en las expresiones anteriores.

d).- Igualando mxEP y mxEC , y reduciendo se encuentra el valor de n .

Problema 2.3.- Una placa delgada rectangular es flexionada hasta darle la forma cilndrica semicircular que se muestra en la figura. Hallar el perodo de oscilacin si se deja balancear en una superficie horizontal.



Solucin: De la figura se tiene:

Centro de masa: 2Ra

Momento de inercia: 2 2( )cgJ m R a

Desplazamiento del centro de masa: ( )x R a R a

Velocidad del centro de masa: ( )x R a

2 21 12 2 2 2cos cos 1 2sen sen

22

2 22sen

2 2 2coso n o o n mx mx nsen t t , o mx

2 2 2 2 2 2 2 2 21 1 12 2 2

( ) ( ) ( )mx cg mx mxEC mx J m R a R a mR R a

2

2cos (1 cos ) mxmx mx mxEP mga mga mga mga

22 2

2( ) mxmx mx n mxEC EP mR R a mga

2 222 1 22 gR R

n nR R g R

( 2)

gn R

12 ( 2)

gn Rf

( 2)2

R

g

2.5.- Masa efectiva. Es una masa equivalente de un sistema concentrada en un punto. El procedimiento para determinar la masa efectiva es mediante el clculo de la energa cintica adicional de la masa distribuida (suponiendo el movimiento de sta masa distribuida). Esta energa se determina mediante la expresin

212adic ef

EC Fdx m x --------------- (2.16)



Ejemplo 2.4.- Determine la masa efectiva en el punto n del sistema mostrado en la figura, y determine su frecuencia natural.

Figura (a) Figura (b) Solucin:

De la figura (b) se tiene que nxx b nb a ax x Energa cintica del sistema:

2 21 12 2

T mx J

1x x xnb b b a

sen x

22 2 22 2 21 1 1 1

2 2 2b b J

n n na a a aT m x J x m x

22

b Jef a a

m m



2.6.- Anlisis de sistemas con amortiguamiento. Consideremos el sistema amortiguado que se muestra en la figura siguiente:

La ecuacin diferencial del sistema es: 0mx cx kx ----------- (a)

Dividiendo (a) por m de obtiene 0c km m

x x x -------------------- (b)

Resolviendo la ecuacin diferencial (b) se obtienen las races

4 2

2 2 2

c c km m m c c k

m m mr

2 2

2 2c c

nm mr --------- (c)

Si hacemos 2c

n m y resolviendo la ecuacin (b) obtenemos la expresin

2 2 1 1( )

n nt tx t Ae Be

--------------- (2.17)

en donde

cr

cc

----- (2.18) factor de amortiguamiento crtico

2cr nc m ------ (2.19)

crc = amortiguamiento crtico

Para el sistema anterior podemos considerar tres casos: a).- Sistema crticamente amortiguado (races repetidas): ( 1 )

b).- Sistema subamortiguado (races complejas): ( 1 )

c).- Sistema sobreamortiguado (races reales) ( 1 )



a).- Sistema crticamente amortiguado.

Para ste caso la ecuacin (2.17) se reduce a ( ) ( )ntx t e A Bt , en la cual al aplicar las

condiciones iniciales (0)x y (0)x se reduce a

( ) (0) (0) (0)nt nx t e x x x t --------- (2.20)

La grfica de sta ecuacin se representa como sigue:

Movimiento crticamente amortiguado 1.0 .

b).- Movimiento subamortiguado. Este caso nos representa un sistema oscilatorio, ya que 1.0 , por lo que la solucin es

2 21 1( ) n nn

j t j ttx t e Ae Be

--------------- (2.21)

Si hacemos

21d n ------------ (2.22) Frecuencia natural amortiguada

entonces la ecuacin (2.21) puede ser representada como

1 2( ) cosn d d nt j t j t t d dx t e Ae Be e C t C sen t ------------- (2.23) La ecuacin (2.23) se puede escribir como

( ) ( )nt

dx t Xe sen t ------------ (2.24)

Introduciendo las condiciones iniciales (0)x y (0)x la solucin es

(0) (0)( ) (0)cosnnd

x xtd dx t e sen t x t

---------- (2.24)



La ecuacin anterior se representa grficamente como sigue:

Movimiento subamortiguado 1.0 .

c).- Sistema sobreamortiguado. En este caso se tiene un movimiento no oscilatorio ya que 1.0 , por lo que la solucin

general es

2 2 1 1( )

n nt tx t Ae Be

----------------- (2.25)

en donde

22

(0) 1 (0)

2 1

n

n

x x

A

22

(0) 1 (0)

2 1

n

n

x x

B

El movimiento sobreamortiguado es una funcin exponencialmente decreciente con respecto al tiempo y se le califica como aperidica. Este tipo de movimiento se representa como sigue::

Movimiento aperidico 1.0 .



2.6.1.- Decremento logartmico. Se utiliza en los sistemas subamortiguados para medir que tan rpido se reduce la vibracin, y se define por el logaritmo natural de la razn de dos amplitudes sucesivas cualesquiera; esto es

1

2

( )

( )ln ln

d

x x t

x x t

------------ (2.26)

El decremento logartmico tambin se puede representar por

1 ln on

x

n x ------------------------ (2.27)

en donde nx representa la amplitud despus de n ciclos

Considerando la ecuacin (2.22) y sustituyndola en la ecuacin (2.26) se obtiene

( )( ) 2

( )

1 ( )ln ln ln

tn tnd n dtn dtn d

n d

Xe sen t e

eXe sen te

n d ----------------- (2.28)

d es el perodo de amortiguamiento el cual se determina por

2

2

1nd

------------ (2.29)

Sustituyendo d de (2.28) en (2.29) y reduciendo, llegamos a la siguiente expresin:

2

2

1

------------------ (2.30)

Cuando es muy pequeo ( 1 ), puede suponerse que 21 1 , por lo que la

ecuacin (2.30) se transforma en

2 ---------------------- (2.31)



Problema 2.5.- El sistema que se indica en la figura est compuesto por el cuerpo A de 2 kg y un resorte de constante 50 N/mk . El amortiguamiento del sistema es crtico. El equilibrio del sistema se perturba desplazando el cuerpo A 5 cm hacia la derecha y a continuacin se libera imprimindole una velocidad inicial de 50 cm/s dirigida hacia la izquierda. Determinar: a) el valor

de crc y b) la posicin de A cuando 0.2 st .

Solucin: Para un sistema crticamente amortiguado ( 1 ) la solucin es

( ) (0) (0) (0)nt nx t e x x x t --------- (1)

502

5 rad/skn m

a).- 2 2(2)(5) 20 N.s/mcr nc m 20 N.s/mcrc

b).- Sustituyendo las condiciones iniciales en la ecuacin (1) se obtiene

5 0.2(0.2) 5 50 5(5) 0.2 0x e (0.2) 0x Derivando (1) se obtiene:

( ) (0) (0) (0) (0) (0)n nt tn n nx t e x x x x x t e

1(0.2) 50 5(5) 5 ( 50 5 5) 0.2 5 9.196986 cm/sx e

(0.2) 92 mm/sx

Problema 2.6.- El sistema mostrado en la figura est compuesto por el cuerpo de masa m de 4.5 kg, una barra de masa despreciable, un resorte y un amortiguador viscoso. La amplitud del movimiento de D disminuye desde 75 mm hasta 25 mm durante 20 ciclos de vibracin libre del sistema, con un tiempo requerido de 10 seg. Calcular: a) el decremento logartmico, b) la constante del resorte, c) el coeficiente de amortiguamiento y d) el coeficiente de amortiguamiento crtico

(a) (b)



Solucin: La ecuacin diferencial del movimiento se obtiene a partir de la expresin

(0.125) (0.250)B B R AJ Pares J F F ------- (1)

1 (0.125) 0.125RF kx k sen k

2 0.250AF cx c

2 2 24.5(0.5) 1.125 kg.mBJ mL

2010

2 cpsdf

1 12

0.5 sd

d f

2 2 (2) 12.56636 rad/sd df

Sustituyendo en (1) se tiene:

1.125 0.015625 0.0625k c 0.055555 0.0138889 0c k -------- (2) a).- Decremento logartmico.

751 120 25

ln ln 0.05493on

x

n x 0.05493

b).- Constante elstica del resorte:

2

22 22 2 2 2 22

11 1 1 13083.978

2 113084.978

0.008742

0.05493

0.008742(0.5)12.5669 rad/s

dn d n

De la ecuacin (2) se tiene que:

2(12.5669)20.0138889

0.0138889 11370 N/mn k k 11.37 kN/mk

c).- Coeficiente de amortiguamiento: De la ecuacin diferencial (2) tenemos que

2(0.008742)(12.5669)

0.055552 0.05555 3.955 N.s/mn c c 3.955 N.s/mc

d).- Amortiguamiento crtico:

3.9550.008742

452.4 N.s/mccrc 452.4 N.s/mcrc



Problema 2.7.- El cuerpo de 12 kg que se representa en la figura, est sustentado por tres resortes y tres amortiguadores viscosos en la forma indicada. Las constantes de los resortes son

1 2 150 N/mk k y 3 120 N/mk . Los coeficientes de amortiguamiento viscoso son

1 2 0.8 N.s/mc c y 3 1.4 N.s/mc . Para iniciar el movimiento se desplaza al cuerpo 0.10

m hacia abajo y a continuacin se deja libre a partir del reposo. Determinar el nmero de oscilaciones que ocurren hasta que la amplitud de las vibraciones se reduce al 20% de su valor inicial.

Solucin:

Constante elstica equivalente: 1 2 3 150 150 120 420 N/mek k k k

Constante viscosa equivalente: 1 2 3 0.8 0.8 1.4 3.0 N.s/mec c c c

Ecuacin del movimiento: 0e ec k

m mx x x

De la ecuacin del movimiento se tiene que

42012

5.916 rad/sek

n m

32 12 5.916

2 0.021129ec

n m

2

2 2 0.021129

1 0.0004464810.132787

0.11 10.132787 0.2 0.1ln ln 12.12onx

n xn

12 ciclosn

Documents

Vibracion Libre de Sistemas de Un Grado