Vibracao 2GDL rev7

SISTEMAS COM 2 GDL

Vibraes Mecnicas IFBA 2014.1

Prof. Antonio Carlos Peixoto Bitencourt

22/08/2014

1

Prof. Antnio Carlos P. Bitencourt - ENG 314 - 2013.1

INTRODUO

At agora, estudamos sistemas mecnicos com apenas 1 GDL:

x(t), para a translao ou (t), para a rotao

Sistemas reais na maioria dos casos, h necessidade de mais de

uma coordenada independente para descrever o movimento

Casos mais simples de sistemas multidimensionais: sistemas com 2

GDL

Conceitos que sero estendidos para sistemas com n GDL

22/08/2014 2 Prof. Antnio Carlos P. Bitencourt - ENG 314 - 2013.1

EX.: SISTEMA MOTOR-BOMBA


Torno Universal

22/08/2014 Prof. Antnio Carlos P. Bitencourt - ENG 314 - 2013.1 5

Automvel


Comportamento de prdio


DEFINIES

22/08/2014 8

GDL

Nmero mnimo de coordenadas independentes

necessrias para especificar o movimento do sistema

Restries Mecnicas

Reduzem a quantidade de GDL


22/08/2014 9

2 translaes + 1 rotao = 3

possibilidades de movimentos

L = constante -> 1 GDL

No equaes de restrio:

ner = 1

No coordenadas

dependentes: ncd = 2

Relao:

nGDL = ncd - ner

GDL X RESTRIES


GDL

Regra geral para o clculo do nmero de graus de liberdade:

No GDL do sistema = no de massas do sistema x no de movimentos

possveis de cada massa

n Equaes de Movimento para um sistema com n GDL.

n Equaes Diferenciais Acopladas

Desacoplar as equaes diferenciais: coordenadas naturais,

principais ou modais

22/08/2014 10


GDL - VIBRAO NATURAL (OU LIVRE)

1 GDL

sistema vibra na freqncia natural

possui 1 freqncia natural

n GDL

condies iniciais adequadas, o sistema vibrar em uma de suas freqncias naturais

condies iniciais arbitrrias, vibrar em uma superposio dos modos normal


GDL - VIBRAO FORADA

HARMONICAMENTE

1 GDL

sistema vibrar na mesma freqncia da excitao

ressonncia em 1 situao

n GDL

sistema vibrar na mesma freqncia da excitao

ressonncia em n situaes


Modelo Matemtico - Sistema Com 2 GDL


FORMA MATRICIAL DE EQUAES

ACOPLADAS


)t(F

)t(F

x

x

kkk

kkk

x

x

ccc

ccc

x

x

m0

0m

2

1

2

1

322

221

2

.1

.

322

221

2

..

1

..

2

1

matriz

massa matriz

amortecimento

matriz

rigidez

vetor

acelerao

vetor

velocidade

vetor

deslocamento

vetor

excitao

VIBRAO LIVRE DE SISTEMAS SEM

AMORTECIMENTO


Fazendo:

c1 = c2 = c3 = 0 (sistema sem amortecimento)

F1 = F2 = 0 (sistemas sem excitao)

VIBRAO LIVRE DE SISTEMAS SEM

AMORTECIMENTO


Fazendo:

c1 = c2 = c3 = 0 (sistema sem amortecimento)

F1 = F2 = 0 (sistemas sem excitao)

0)( 2212111 xkxkkxm

0)( 2321222 xkkxkxm

PROCEDIMENTO CLSSICO PARA DETERMINAR

FREQNCIAS NATURAIS E MODOS DE VIBRAO

Considerar que, assim como os sistemas com 1 GDL, as respostas

livres das duas massas sejam tambm harmnicas:


x1 = X1cos(t + )

x2 = X2cos(t + )

4 22 3 1 2 2 3 3 11 2

1 2 1 2

0k k k k k k k kk k

m m m m



Resolver a Equao das Frequncias:


4 22 3 1 2 2 3 3 11 2

1 2 1 2

0k k k k k k k kk k

m m m m

12

2 2 1 2 2 2 3 11 2

1 2

2

1 2 2 2 3 1

1 2

21 2 2 3 2

1 2

( ) ( )1,

2

( ) ( )1

2

( )( )4

k k m k k m

m m

k k m k k m

m m

k k k k k

m m



Existe resposta harmnica para o sistema de equaes

diferenciais

Razes da equao caracterstica so as freqncias naturais

Freqncias Naturais so chamadas

1 = freqncia natural fundamental (menor)

2 = 2a freqncia natural (maior)

Equao caracterstica tem grau 2n, onde n o nmero de GDL

do sistema




Obter modos naturais:


Amplitude da primeira varivel de referncia no

denominador X2/X1, X3/X1, ... , Xn/X1

Modos Naturais (ou Normais) de Vibrao

relaes entre as amplitudes

nomenclatura similar s freqncias naturais

Sistema de equaes das amplitudes

1

2

X

Xr



Obter modos naturais:


Para r1(=1), r2=(= 2)

22 1 2 2 3 2

21 1 2 1 2 2

( ) 0

( ) 0

k X m k k X

m k k X k X

21 2 12 22

1 2 2 2 3( )

k k mX kr

X k m k k

2(1) 1 2 1 12 21 (1) 2

21 2 1 2 3( )

k k mX kr

kX m k k

2(2) 1 2 1 22 22 (2) 2

21 2 2 2 3( )

k k mX kr

kX m k k

Vetores Normais

Vetores que descrevem as amplitudes para cada modo de

vibrao


)1(11

)1(1

)1(2

)1(1)1(

Xr

X

X

XX

)2(12

)2(1

)2(2

)2(1)2(

Xr

X

X

XX

Amplitude da massa m1 no 10 modo




Resposta Livre

Equaes do movimento no tempo


(1) (1)1 1(1)

1 1(1) (1)2 1 1

( )( ) cos( )

( )

x t Xt t

x t r X

x

)tcos(Xr

X

)t(x

)t(x)t( 22)2(

12

)2(1

)2(2

)2(1)2(

x

so determinadas pelas condies iniciais 21)2(

1)1(

1 e ,X ,X

10 modo

20 modo

Resposta Livre Condies Iniciais

Para condies iniciais gerais h uma superposio dos mdulos

22/08/2014 27

(1) (2)1 1 1

(1) (2)2 2 2

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

t t t

t t t

x x x

x x x

(1) (2)1 1 1 1 1 2 2

(1) (2)2 1 1 1 1 2 1 2 2

( ) cos( ) cos( )

( ) cos( ) cos( )

x t X t X t

x t r X t r X t


(1) (2)1 1 1 1 2

(1) (2)1 1 1 1 2 1 2

(1) (2)2 1 1 1 2 1 2

(1) (2)2 1 1 1 1 2 2 1 2

(0) cos cos

(0)

(0) cos cos

(0)

x X X

x X sen X sen

x r X r X

x r X sen r X sen

1 1

1 1

2 2

2 2

( 0) (0)

( 0) (0)

( 0) (0)

( 0) (0)

x t x

x t x

x t x

x t x

Resposta Livre

Sistema para

22/08/2014 28

2)2(

11)1(

12)2(

11)1(

1 oscX e oscX ,senX ,senX

(1) 2 1 21 1

2 1

(0) (0) cos

r x xX

r r

(1) 2 1 21 1

1 2 1

(0) (0) sin

r x xX

r r

(2) 1 1 21 2

2 2 1

(0) (0) sin

r x xX

r r

(2) 1 1 21 2

2 1

(0) (0) cos

r x xX

r r


Resposta Livre

Encontrando

22/08/2014 29

(1) (2)1 1 1 2, , e X X

122

2(1) 2 1 21 2 1 2 2

2 1 1

(0) (0)1 (0) (0)

r x xX r x x

r r

2 1 2

11 2 1 2

(0) (0) atan

(0) (0)

r x x

r x x

122

2(2) 1 1 21 1 1 2 2

2 1 2

(0) (0)1 (0) (0)

r x xX r x x

r r

1 1 2

22 1 1 2

(0) (0) atan

(0) (0)

r x x

r x x


(1) (2)1 1 1

(1) (2)2 2 2

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

t t t

t t t

x x x

x x x

(1) (2)1 1 1 1 1 2 2

(1) (2)2 1 1 1 1 2 1 2 2

( ) cos( ) cos( )

( ) cos( ) cos( )

x t X t X t

x t r X t r X t

Condies iniciais especiais para ativar um

dado modo de vibrao

Condies iniciais podem ser ajustadas para ativar determinados

modos de vibrao.

Para ativar ri


122

2(2) 1 1 21 1 1 2 2

2 1 2

(0) (0)1 (0) (0)

r x xX r x x

r r

122

2(1) 2 1 21 2 1 2 2

2 1 1

(0) (0)1 (0) (0)

r x xX r x x

r r

( )1 1

1

( )2 1 1

2

(0)

(0) 0

(0)

(0) 0

i

i

x X

x

x r X

x

12

=0

11

=0

Resumo

GDL e Restrio

Freqncias Naturais

22/08/2014 31

12

2 2 1 2 2 2 3 11 2

1 2

2

1 2 2 2 3 1

1 2

21 2 2 3 2

1 2

( ) ( )1,

2

( ) ( )1

2

( )( )4

k k m k k m

m m

k k m k k m

m m

k k k k k

m m


Resumo

Modos Naturais

22/08/2014 32

2(1) 1 2 1 12 21 (1) 2

21 2 1 2 3( )

k k mX kr

kX m k k

2(2) 1 2 1 22 22 (2) 2

21 2 2 2 3( )

k k mX kr

kX m k k


Resumo

Resposta Livre Completa

22/08/2014 33

122

2(1) 2 1 21 2 1 2 2

2 1 1

(0) (0)1 (0) (0)

r x xX r x x

r r

2 1 2

11 2 1 2

(0) (0) atan

(0) (0)

r x x

r x x

122

2(2) 1 1 21 1 1 2 2

2 1 2

(0) (0)1 (0) (0)

r x xX r x x

r r

1 1 2

22 1 1 2

(0) (0) atan

(0) (0)

r x x

r x x

(1) (2)1 1 1 1 1 2 2

(1) (2)2 1 1 1 1 2 1 2 2

( ) cos( ) cos( )

( ) cos( ) cos( )

x t X t X t

x t r X t r X t1 1

1 1

2 2

2 2

Condies Iniciais Gerais

( 0) (0)

( 0) (0)

( 0) (0)

( 0) (0)

x t x

x t x

x t x

x t x


Sistemas Massa Mola

Para simplificar, vamos considerar que

m1 = m2 = m

k1 = k2 = k3 = k


Sistemas Massa Mola

Para simplificar, vamos considerar que

m1 = m2 = m

k1 = k2 = k3 = k

Equao de Frequncia


4 22 3 1 2 2 3 3 11 2

1 2 1 2

0k k k k k k k kk k

m m m m

m

k3 e

m

k21

4 2

24 2

2

0

4 30

k k k k k k k k k k

m m m m

k k

m m

Sistemas Massa Mola

Modos de Vibrao

22/08/2014 36

2232

2

2

2121

1

2

mkk

k

k

mkk

X

Xr

km

k3mkk

X

Xr

)2(1

)2(2

2

1r2

km

kmkk

X

Xr

)1(1

)1(2

1

1r1


Sistemas Massa Mola

22/08/2014 37

1r1 1r2


Sistemas Massa Mola

22/08/2014 38

1r1 1r2


Sistemas Torcionais


Sistemas Torcionais

22/08/2014 40

0k)kk(J 22t12t1t1..

1

Adaptando as equaes

0xkx)kk(xm 221211..

1

0x)kk(xkxm 232122..

2

0)kk(kJ 23t2t12t2..

2


Exemplo

Achar as freqncias naturais e os modos naturais de vibrao

toro Sugesto: Considerar o volante como estacionrio, tendo

em vista que o seu momento de inrcia muito maior que os

demais

22/08/2014 41

Dados:

Jvolante = 9000 kg.m2

Jmotor = 1000 kg.m2

Jengr 1 = 250 kg.m2

Jengr 2 = 150 kg.m2

Jhlice = 2000 kg.m2

Gao = 80x109 Pa


Frequncia e Modos de Vibrao de um

Automvel

22/08/2014 43

Instabilidade Vertical

Inclinao

Determinar as frequncias e modos

de vibrao de inclinao e

vertical.

Massa 1000kg

Raio de giro 0,9m

Distncia entre o eixo traseiro e CG

1,5m

Distncia entre o eixto frontal e CG

1,0m

Rigidez molas traseiras 22 kN/m

Rigidez molas frontais 18 kN/m


Frequncia e Modos de Vibrao de um

Automvel

22/08/2014 44

Determinar as frequncias e modos

de vibrao de inclinao e

vertical.

Massa 1000kg

Raio de giro 0,9m

Distncia entre o eixo traseiro e CG

1,5m

Distncia entre o eixto frontal e CG

1,0m

Rigidez molas traseiras 22 kN/m

Rigidez molas frontais 18 kN/m


RAO 5.4


RAO 5.5


Batimento


Acoplamento de Coordenadas e

Coordenadas Principais

Sistemas com n GDL requer n variveis independentes

Grandezas geomtricas independentes em relao posio de

equilbrio

Qualquer conjunto de variveis pode ser adotado

(Coordenadas Generalizadas)

Sistema desacoplado Coordenadas Principais


22/08/2014 52

Modelo mais exato

Viga elstica

Colunas curtas elsticas

Massas concentradas nos

cabeotes

Modelo simplificado

Barra rgida com CG

Cabeotes massas

concentradas

Molas de compresso

Exemplo: Torno Mecnico


22/08/2014 53

Deflexes do CG x(t) e

rotao (t)

Deflexes x1(t) e x2(t) das

extremidades A e B

Deflexo da extremidade

x1(t) e rotao (t)

Deflexo da ponta principal

y(t) e rotao (t)

Exemplo: Torno Mecnico


Deflexes do CG x(t) e rotao (t)


2 1 2 2 1 1

2 2

2 2 1 1 2 2 1 1

0 0

0 0o

m k k k l k lx x

J k l k l k l k l

Deflexo da ponta principal y(t) e rotao

(t)


2 1 2 2 1 1

2 2

2 2 1 1 2 2 1 1

' ' 0

' ' ' ' 0P

m me k k k l k ly y

me J k l k l k l k l

Tipos de Acoplamentos

Acoplamento dinmico ou inercial

Acoplamento de amortecimento ou de velocidade

Acoplamento de rigidez ou elstico

22/08/2014 56

...

1111 12 11 12 11 12 1

...

21 22 21 22 21 22 22

2

0

0

xm m c c k k xx

m m c c k k xxx


Exemplo de Desacoplamento


Sistemas Semidefinidos

22/08/2014 58

Tambm conhecidos como sistemas sem restrio ou

sistemas degenerados

Exemplos:


Freqncias naturais

22/08/2014 59

4 2

1 2

0k k

m m

2 2

1 2

0k k

m m

021 21

2122

mm

)mm(k

No h

oscilao


Modos de vibrao:

22/08/2014 60

k

mk

X

Xr

21

1

2

10 modo normal vibrao: 021 1r1

20 modo normal vibrao:

21

2122

mm

)mm(k

2

12

m

mr


Auto-excitao e anlise de estabilidade


...

1111 12 11 12 11 12 1

...

21 22 21 22 21 22 22

2

0

0

xm m c c k k xx

m m c c k k xxx

2 1, j eX)t(x tijj

0, i= 0,1, 2, 3 e 4ia

Vibrao Forada Harmonicamente

Absorvedores de vibrao


Vibrao Forada 2 GDL

Resposta forada de um sistema linear com muitos GDL dada

pela soma das respostas livre e forada

resposta livre depende das propriedades do sistema e das condies

iniciais

resposta forada depende da forma da excitao

Excitaes peridicas, a resposta livre geralmente ignorada, por

constituir um transiente

Vamos considerar o caso de um sistema massa-mola-

amortecedor submetido a um foramento harmnico sob forma

exponencial


Modelo matemtico mais geral de um

sistema com 2 GDL:

22/08/2014 64

2

1

2

1

2221

1211

2

.1

.

2221

1211

2

..1

..

2221

1211

F

F

x

x

kk

kk

x

x

cc

cc

x

x

mm

mm

Considerando foramento harmnico

2 1, j eF)t(F ti0jj

2 1, j eX)t(x tijj

onde j = 1,2 indica o grau de liberdade considerado, obtemos a resposta

permanente, tambm harmnica:



sistema com 2 GDL:

22/08/2014 65

20

10

2

1

2222222

1212122

1212122

1111112

F

F

X

X

kcimkcim

kcimkcim

Definindo Impedncia Mecnica Zrs(i) como

2 1, s r, ,kcim)i(Z rsrsrs2

rs 0FX)i(Z

onde

)i(Z)i(Z

)i(Z)i(Z)i(Z

2212

1211

a matriz impedncia

2

1

X

XX o vetor amplitude da resposta

20

100

F

FF o vetor amplitude da excitao



sistema com 2 GDL:

22/08/2014 66

01 F)i(ZX

onde

22 12

1 12 11

2

11 22 12

( ) ( )

( ) ( )( )

( ) ( ) ( )

Z i Z i

Z i Z iZ i

Z i Z i Z i

)i(Z)i(Z)i(Z

F)i(ZF)i(Z)i(X

2122211

201210221

)i(Z)i(Z)i(Z

F)i(ZF)i(Z)i(X

2122211

201110122

2 1, j eX)t(x tijj


Resposta permanente de um sistema

massa-mola

22/08/2014 67

Obter as respostas em freqncia das amplitudes

X1() e X2()


22/08/2014

68

Equaes do movimento:

2

1

2

1

2221

1211

2

.1

.

2221

1211

2

..1

..

2221

1211

F

F

x

x

kk

kk

x

x

cc

cc

x

x

mm

mm

0

tcosF

x

x

k2k

kk2

x

x

m0

0m 10

2

1

2

..1

..


Soluo Harmnica

22/08/2014 69

Como F10cost = Real(F10eit),

consideraremos a soluo como sendo tambm harmnica:

xj(t) = Real(Xjeit) = Xjcost, j = 1, 2

k2m)(Z)(Z 22211 k)(Z12

)i(Z)i(Z)i(Z

F)i(ZF)i(Z)i(X

2122211

201210221

)i(Z)i(Z)i(Z

F)i(ZF)i(Z)i(X

2122211

201110122

2( ) , r, s 1, 2rs rs rs rs

Z i m i c k


22/08/2014

70

obtemos: )km)(k3m(

F)k2m()(X

22

102

1

)km)(k3m(

kF)(X

22

102

Usando as freqncias naturais j conhecidas:

m

k3 e

m

k21

2

10

1

1 2 2 2

2

1 1 1

10

2 2 2 2

2

1 1 1

2

( )

1

( )

1

F

X

k

FX

k


22/08/2014

71


Problema 5.49

22/08/2014 72

Uma mquina alternativa de

massa m1 est montada sobre

uma viga bi-engastada de

comprimento l, espessura t e

largura a e mdulo de Young E.

Foi acrescentado ao sistema um

conjunto massa mola (m2, k2)

com o objetivo de reduzir a

vibrao da mquina. Achar a

relao entre m2 e k2 que anula

a vibrao da mquina quando

uma fora harmnica F1(t) =

F0cost desenvolvida na

mquina durante a sua

operao


Absorvedores de vibrao

22/08/2014 73

Se um sistema mecnico for excitado por uma fora harmnica de

freqncia constante que opera nas proximidades da ressonncia, a

amplitude da vibrao aumenta, atingindo valores que podem

eventualmente provocar a falha do sistema

A fim de remediar tal situao, podemos tentar mudar a massa e/ou a rigidez

do sistema para fugir da condio de ressonncia, o que nem sempre

prtico ou mesmo possvel

Uma outra possibilidade ser apresentada a seguir, a qual consiste na

aplicao do absorvedor dinmico de vibraes, idealizado por Frahm,

em 1909

O uso de um absorvedor dinmico de vibraes indicado para mquinas

que operam em velocidades constantes, como mquinas eltricas

sncronas

Basicamente, o absorvedor dinmico de vibraes adiciona um grau de

liberdade ao sistema: ele consta de uma massa e de uma mola auxiliares,

ma e ka, que so colocadas em srie com o sistema principal M, k


Equaes do movimento


Equaes do movimento

22/08/2014 75

..

1 11 1 2 2

..2 2 2

2 2

0 sen

0 0

m k k kx x F t

m k kx x


21 1 2 2 11

22 2 2 22

0

00

X k k k X Fm

X k k Xm

211 2 1 2

222 2 2

0

X Fk k m k

Xk k m

Solues Harmnicas


Solues Harmnicas e Amplitude

22/08/2014 77

2

2 21 2 2 2

1 1 2 2 2 2

( )

( )( )

m k FX

m k k m k k

2

2 2 2 2

1 1 2 2 2 2( )( )

k FX

m k k m k k

2

2

1 2

2 2

2 2

2 2

2 1 1 1

1

1 1st

X

k k

k k

2

2 2

2 2

2 2

2 1 1 1

1

1 1st

X

k k

k k


Comportamento do Sistema com

Absorverdor

Frequncia de excitao igual a frequncia natural

Amplitude do sistema principal

Absorvedor exerce fora contrria a excitao

No tem cargas transmitida fundao


Comportamento com

Absorvedor

Ressonncia

Duas frequncia de

ressonncia

Altas amplitudes se

velocidade crescente

Separao das frequncias

de ressonncia implica em

absorvedor de massa igual

do sistema principal


22 2 2

2 2 2 2 2

21 1 1 1 1

1,2

2

22

1

1 1 1 1 4

2

m m

m m

1. Dado o sistema mecnico da figura,

determinar as freqncias naturais e os

modos naturais de vibrao e esboar os

dois modos naturais de vibrao.

Dados: M = 2 kg; m = 1 kg;

k1 = 10 N/m; k2 = 40 N/m.

Resp.: 1 = 2,6818 rad/s; 2 = 5,2733 rad/s

r1 = 3,5615; r2 = -0,5615

Exerccios


3. Determinar as freqncias naturais e os modos de vibrao para o

sistema pendular duplo da figura:

)a

(m

k2

g

g :.spRe 222

21


4. Achar as freqncias naturais e os modos naturais vibrao para o

sistema da figura:

781,0r 281,1r

m

k562,5

m

k439,1 :.spRe

21

22

21


5. A figura apresenta um modelo simplificado de um

automvel, no qual so considerados apenas 2 GDL:

translao vertical da massa m2 (chassis e carroceria)

e translao vertical da massa m1 (massas das rodas

e eixos). Determinar as duas freqncias naturais do

movimento.

Dados numricos:

m1 = 180 kg

m2 = 670 kg

2k1 = 538 N/mm

2k2 = 45,5 N/mm

Resp.: 75,5 ciclos/min; 544 ciclos/min.


6. Um guincho A de massa 254 kg est montado na extremidade livre de

uma viga de ao engastada e livre (mdulo de Young 2,07 x 1011 Pa,

comprimento 1,525 m, momento de inrcia flexo da seo reta constante

1493 x 10-8 m4). Ele suspende uma carga de massa 101,6 kg atravs de um

cabo de ao, o qual se deforma 2,9 mm quando submetido a uma fora de

9967 N.

(a) Desprezando a massa da viga, determinar as freqncias naturais e os

modos de vibrao do sistema;

(b) Se o sistema estiver vibrando no primeiro modo natural e se a amplitude

do movimento da carga B for 0,254 mm, calcular a amplitude do movimento

do guincho e a variao da trao no cabo de ao devida apenas vibrao

das duas massas.

Resp.: (a) 13,18 e 35,87 Hz; 1,254 e -1,993; (b) 0,203 mm e 175,3 N.


Documents

Vibracao 2GDL rev7