Vibracao Corda e Barra

7/25/2019 Vibracao Corda e Barra

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raesMec

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f.Dr.Newton

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VIBRAES MECNICASSIS!EMAS C"N!#N$"S

VIBRAES !RANSVERSAIS

DE C"RDA "$ CAB"


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VIBRAES !RANSVERSAISDE C"RDA "$ CAB"

A%&ican'o a se()n'a&ei 'e Newton %ara asforas *)e at)a+ sobre

o e&e+ento, te+-se

2

2..)(..)().(

t

wdxsenPdxfdsendPP

=+++ /01


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Para )+ co+%ri+ento e&e+entar '2, te+-se *)e

dxx

PdP

=x

wtgsen

= )()(

dxx

w

x

wdtgdsen

2

2)()(

+=++

Portanto, a e*)a3o /01 %o'e ser si+%&ifica'a

%ara

2

),(2)(),(

),(

t

txwxtxf

x

txwP

x

=+

/41


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Se a cor'a 5 )nifor+e e a tens3o a%&ica'a 5

constante, a e*)a3o /41 re')6-se a

2

),(2),(

2

),(2

t

txwtxf

x

txwP

=+

/71

Se f /2,t1 8 9, obt5+-se a e*)a3o 'a :ibra3o&i:re

2

),(2

2

),(2

t

txw

x

txwP

=

/;1

2

),(2

2

),(2.2

t

txw

x

txwc

=

o)

Pc=on'e

E


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As e*)aes /41, /71 e /;1 s3o e*)aes 'iferenciais %arciais'e se()n'a or'e+ e+ 2 e t. Assi+, torna-se necess>rioes%ecificar ')as con'ies 'e contorno e ')as con'iesiniciais %ara encontrar a so&)3o w/2,t1.

C"NDIES INICIAIS )()0,(

)()0,(

xowt

txw

xowtxw

=

=

==

C"NDIES DE C"N!"RN"

0),0( == txw 0),(

)( =

x

txw

xP),(.

),(

)( txwkx

txw

xP =


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VIBRA=" ?IVRE DEDE C"RDA $NI@"RME

2),(

2

2),(

2.2

t

txw

x

txwc

=

A so&)3o 5 obti'a %e&o +5to'o'a se%ara3o 'e :ari>:eis

)().(),( tTxWtxw = /1S)bstit)in'o a e*./1 na

e*)a3o 'a on'a obt5+-se

2

21

2

22

dt

Td

Tdx

Wd

W

c

=

Visto *)e o &a'o es*)er'o 'a e*)a3o 'e%en'e s 'e 2 eo &a'o 'ireito s 'e t, se)s :a&ores co+)ns 'e:e ser )+aconstante, isto 5

22

2122

22==

dt

TdTdx

WdWc

02

2

20

2

2

2

2=+=+ T

dt

TdW

cdx

Wd

Ent3o, te+-se

/1


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A so&)3o 'as e*)aes /1 s3o 'a'as %or

)(.)cos(.)(

.cos.)(

tsenDtCtT

xc

senBxc

AxW

+=

+

=

e+ *)e 5 a fre*Fncia nat)ra& e as constantes A, B, C eD s3o 'eter+ina'as a %artir 'as con'ies 'e contorno econ'ies iniciais.

VIBRA=" DA C"RDA C"M AS EG!REMIDADES @IGAS

0)0(0),0( === Wtxw 0=A0)(0),( === lWtlxw 0

.. =

c

lsenB

)().(),( tTxWtxw =

l

cn

nnc

ln

c

l

sen

..

.

.

0

.

===

n80,4,7,...


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A so&)3o wn/2,t1 corres%on'ente H n%o'e ser e2%ressaco+o

+

== t

l

ncsennDt

l

ncnCx

l

nsentnTxnWtxnw

.cos.)().(),(

sen'o Cn e Dn constantes 'e inte(ra3o *)e 'e%en'e+

'as con'ies iniciais. A so&)3o wn/2,t1 5 'eno+ina'a 'e:ibra3o 'o n-5si+o +o'o 'a cor'a. Neste +o'o ca'a%onto 'a cor'a :ibra co+ )+a a+%&it)'e %ro%orciona& ao:a&or 'e nna*)e&e %onto, co+ a fre*Fncia n 8 nc/l. Af)n3o 5 'eno+ina'a 'e n-5si+o +o'o nor+a& o) f)n3o

caracterJstica


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A so&)3o (era&, *)e satisfa6 as con'ies 'e contorno 5'a'a %e&a s)%er%osi3o 'e to'as wn/2,t1, o) seKa

=

+

=

1

.cos.),(

n

tl

ncsennDt

l

ncnCx

l

nsentxw

A :ibra3o *)e ocorre 'e +o'o es%ecJfico 5 )nica+ente

'eter+ina'a %e&as con'ies iniciais, as *)ais %er+ite+ a'eter+ina3o 'e Cne Dn. Assi+, conLeci'as as con'iesiniciais, te+-se

=

=

1

)(

n

xowx

l

nsennC

=

=

1

)(

n

xowx

l

nsennD

l

nc

Co+o :isto, as E*./s1 s3o e2%anses e+ s5rie 'e @o)rier,&o(o Cne Dns3o os coeficientes 'a s5rie 'a'os %or

=l

dxx

l

nsenxow

lnC

0

.).(2

=l

dxx

l

nsenxow

ncnD

0

.).(2


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EGERC#CI"

Deter+ine a :ibra3o &i:re 'e )+a cor'a co+ co+%ri+ento&, fi2a'a e+ a+bas as e2tre+i'a'es, a %artir 'o +o+entoe+ *)e a cor'a 5 so&ta, a%s ter si'o estica'a e+ se) %onto

+5'io co+o +ostra'o na fi()ra abai2o.


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VIBRA=" ?"NI!$DINA?DE BARRA

SeKa )+a barra e&>stica 'e co+%ri+ento & co+ a >rea 'ase3o trans:ersa& :ari>:e& A/21.

x

uAEAP

== ...

Se f /2,t1 5 a fora e2terna %or )ni'a'e 'e co+%ri+ento, aso+a 'as foras na 'ire3o 2 fornece a se()inte e*)a3o

2

2....)(t

udxAPdxfdPP

=++ /01

5 a +assa es%ecJfica 'a barra.


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$san'o a re&a3o dxxPdP .=

A E*. /01, *)e 5 a e*)a3o 'e +o:i+ento %ara :ibra3ofora'a &on(it)'ina& 'a barra, %o'e ser reescrita co+o

2),(2).().(),(),().(.

t

txuxAxtxfxtxuxAE

x =+

/41

Para )+a barra )nifor+e, a E*. /41 se re')6 H

2

),(2

..),(2

),(2

..t

txuAtxf

x

txuAE

=+

A Vibra3o ?i:re 5 'a'a %e&a E*. /71 fa6en'o f/2,t1 8 9

/71

2

),(2

2

),(2.2

t

txu

x

txuc

=

co+

Ec=/;1


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A so&)3o 'a E*. /;1, %o'e ser obti'a 'a +es+a for+a co+o

no caso 'a cor'a, o) seKa

( ))(.)cos(..cos.),(

)().(),(

tsenDtCxc

senBxc

Atxu

tTxUtxu

+

+

=

=

Co+o no caso 'a cor'a, $/21 re%resenta o +o'o nor+a& e'e%en'e so+ente 'e 2 e a f)n3o !/t1 'e%en'e a%enas 'e t.As con'ies iniciais %o'e+ ser estabe&eci'as %or

)()0,(

)()0,(

xout

txu

xoutxu

=

===

As con'ies 'e contorno s3o 'a'as a se()ir.

/1


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EGEMP?" /Vibra3o 'a Barra En(asta'a-?i:re1

Encontre as fre*Fncias nat)rais e a so&)3o %ara :ibra3o&i:re 'e )+a barra co+ )+a 'as e2tre+i'a'es fi2a e a o)tra&i:re.

0),0( =tu 0),( =

xtlu

!o+an'o a con'i3o 'e e2tre+i'a'e fi2a e a%&ican'o na E*./1, te+os *)e A 8 9. Para a con'i3o 'e e2tre+i'a'e &i:re,te+-se

0cos0cos.. =

=

l

cl

ccB

l

cnnn

c

ln

.2

.)12(

2

)12(

+=+= n 8 9,0,4,...


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A so&)3o (era&, *)e satisfa6 as con'ies 'e contorno 5

'a'a %e&a s)%er%osi3o 'e to'as )n/2,t1, o) seKa

=

++

+

+=

02

)12(.

2

)12(cos.

2

)12(),(

n

tl

cnsennDt

l

cn

nCxl

nsentxu

Co+o :isto, os :a&ores 'e Cne Dns3o os coeficientes 'as5rie 'e @o)rier 'a'os %or

+=

l

dxxl

nsenxou

lnC

0

.2

)12().(

2

+

+=

l

dxxl

nsenxou

cnnD

0

.2

)12().(

)12(

2


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EGEMP?" /Vibra3o 'a Barra En(asta'a-?i:re1

$+a barra co+ >rea 'a se3o trans:ersa& )nifor+e A,'ensi'a'e , +')&o 'e e&astici'a'e E e co+%ri+ento & est>en(asta'a e+ )+a 'as e2tre+i'a'e e &i:re na o)tra. A barraest> s)b+eti'a a )+a fora a2ia& @o e+ s)a e2tre+i'a'e&i:re, co+o +ostra'o na fi()ra.

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