Vektorski Proizvod

7/30/2019 Vektorski Proizvod

1/13

MATEMATIKA82

7. VEKTORSKI PROIZVODNA DVA VEKTORA

Neka se dadeni dva vektora a i b koi se dovedeni nazaedni~ki po~etok O, (sl. 2.31).

Vektorski proizvod na vektorite a i b e tret vektor c koj :

1) ima intenzitet ednakov na proizvodot odintenzitetite na vektorite a i b i sinusot od agolot {totie go zafa}aat ;

2) e normalen na vektorite a i b ;

3) e naso~en taka {to triedarot vektori ( a ,b ,c ) edesen .

Vektorskiot proizvod odvektorite a i b se obele`uva sosimbolot a x b ili b ,a . Taka, oddefinicijata na vektorskiot proizvodimame:

1)golemina-);,(, basinbabac


2/13

Gl.II Vektorska algebra 83

7.1. Svojstva na vektorskiot proizvod

10 Vektorskiot proizvod na dva vektora e nula, ako isamo ako eden od vektorite e nula vektor ili ako se tiekolinearni.

Toa e o~igledno od definicijata. Zna~i, vektorskiot

proizvod moè da bide nula i koga nitu eden od vektorite ne enula i ravenstvoto b ,a =0 moè da se zeme kako uslov zakolinearnost na vektorite a i b . Posebno, sekoga{

0=a ,a .

20 Intenzitetot na vektorskiot proizvod e :

[ ] baba , , bidej}i 1),( basin < . Znakot na ravenstvoto vaì samo toga{

koga vektorite a i b se zaemno normalni.

30 Za vektorskiot proizvod na dva vektora ne vaìkomutativniot zakon , t.e.

a ,bb ,a .

Neka b ,ac = i a ,bc =1 . Intenzitetot na vektorot

1c e ist so intenzitetot na vektorot c . Vektorot 1c e normalenna ramninata vo koja leàt vektorite a i b , no za da bidetriedarot ( b ,a , 1c ) desen, vektorot 1c treba da bide naso~en vosprotivna nasoka od nasokata na vektorot c . Spored toa, 1c = c ,(sl.231) t.e. vaì:

abba ,, = ( zakon za alternacija ).40 Za vektorskiot proizvod vaì asocijativniot

zakon vo odnos na mnoèwe so skalar , t.e.

bababa == ,,, .50 Za vektorskiot proizvod vaì distributivniot

zakon , t.e.cbcacba ,,, +=+ .

Dokaz. ( u~ebnik)


3/13

MATEMATIKA84

Za vektorski proizvod vaì i poop{toto ravenstvo:

d bd acbcad cba ,,,,, +++=++ .

Strogo vodej}i smetka za rasporedot na mnoìtelite.

60 Vektorski proizvod na ortovite ir , j i k Za vektorskiot proizvod na ortovite moè da se sostavi

tabelata:

Vo nizata vektori ir

, j , k , ir

, j vektorskiot proizvodna dva sosedni orta, zemaj}i gi od levo na desno, go dava sledniotort so znak plus, a ako mnoìme vo obratna nasoka , od desno nalevo, se dobiva sledniot ort so znak minus. Toa moè da sepretstavi so {emata:

j ,i ,k , j ,irrrrr

+

7.2. Vektorski proizvod vo koordinati

Neka se dadeni vektorite a i b so svoite pravoagolnikoordinati:

),,( 321 aaaa = , ),,( 321 bbbb =

ilik a jaiaa 321 ++=

r, k b jbibb 321 ++=

r.

Toga{ e:


4/13


[ ] [ ] [ ][ ] [ ] [ ][ ] [ ] [ ].k k ba jk baik ba

k jba j jbai jba

k iba jibaiiba

k b jbibk a jaiaba

,,,,,,

,,, ,,

332313

322212

312111

321321

+++

++++

+++=

=++++=

r

r

rrrr

rr

Koristej}i gi napred najdenite vektorski proizvodi naortovite i

r, j i k i grupiraj}i gi sobirocite so ist edini~en

vektor, se dobiva:

k baba jbabaibababa )()()(, 122131132332 ++=r

ili vo vid na simboli~na determinanta:

[ ] 321321

bbbaaa

k ji

ba

r

=, .

Kako {to vidovme, vektorskiot proizvod mo`e da seprimeni vo geometrijata.

Plo{tinata na paralelogram konstruiran nad

vektorite a i b e goleminata na vektorskiot proizvod od

vektorite a i b t,e, se presmetuva po formulata :

baP ,= . Plo{tinata na triagolnik konstruiran nad

vektorite a i b e edna polovina od goleminata na

vektorskiot proizvod od vektorite a i b t,e, se presmetuvapo formulata

[ ]baP ,21=


5/13


6/13


[ ] 34)8()8(821

21 222 =++== baP , .

Ako so Bh ja obele`ime dol`inata na visinata spu{tena odtemeto V, imame:

BhP AC2

1=

od kade {to nao|ame:

ACB

Ph

2= ,

a bidej}i e

624)2(2AC 222 =++= ,sleduva:

22B =h .

Zada~i za ve`bawe1. Da se opredelat plo{tinata i visinata na paralelogramot

konstruiran nad vektorite k ji ,a ++= 252r

i k ib 2+=r

.

Odg.: R =6, 554=h .

2. Vektorite a i b zafa}aat agol od 450 . Da se najdeplo{tinata na triagolnikot konstruiran nad vektorite ba 2 i

ba 23 + , ako 5== ba .

Odg.:50 2 .

3. Da se presmeta plo{tinata na paralelogramot so temiwaA(3,1,2), B(1,2,1), C(2,5,6), D(4,2,3).

Odg.: R = 286 .


7/13

MATEMATIKA88

8. ME[AN PROIZVOD NA TRI VEKTORI

Neka se dadeni tri vektori a , b i c .Vektorskiot proizvod ba , od vektorite a i b ,

skalarno pomno`en so vektorot c se vika me{an proizvod navektorite a , b i c i se ozna~uva

cba ,, .

Me{aniot proizvodna tri vektori e skalar ,bidej}i e skalaren proizvodna vektorite b ,a i c .

]e dademe geometriskainterpretacija na ovoj

proizvod.Ako vektorite a , b i

c ne se komplanarni vektori, Sl. 2.34.nad niv mo`e da se konstruira paralelopiped, (sl. 2.34).

Od definicijata na skalaren proizvod imame:

( ) ( )( ) [ ]( )

[ ] [ ] .cb ,acb ,acosb ,asincba

cb ,acoscb ,acb ,a

b ,apr

,

,,

=

==

==


8/13


kade {to V e volumenot na paralelopipedot konstruiran nadvektorite a , b i c

Zna~i, mo`eme da ka`eme: me{aniot proizvod na tri nekomplanarni vektori e ednakov,po apsolutna vrednost, so volumenot na paralelopipedot

konstruiran nad tie vektori.Ako trojkata vektori a , b , c e so desna orientacija,

toga{ me{aniot proizvod ima pozitivna vrednost, a ako e soleva orientacija, me{aniot proizvod ima negativna vrednost.

8.1. Svojstva na me{aniot proizvod

10 Me{aniot proizvod e nula, toga{ i samo toga{ akobarem eden od vektorite e ramen na nula ili ako vektorite sekomplanarni.

Navistina, od definicijata za me{an proizvod (1)sleduva: me{aniot proizvod na trite vektori a , b i c e nulaako 0=a ili 0=b ili 0=c , ili 0=),( basin < , ili

0=c ,b ,acos < .Ako barem eden od vektorite e nula vektor toga{ toj e

komplanaren so drugite dva vektora.

Ako 0=),( basin < , toga{ vektorite a i b se koli-nearni, a vektorite a , b i c se komplanarni.

Ako 0=c ,b ,acos < , toga{ vektorot c e normalen navektorot b ,a , a toa zna~i deka toj e komplanaren so vektoritea i b .

Ako pak vektorite a , b i c se komplanarni, toga{vektorot c e normalen na vektorot b ,a , pa sleduva dekanivniot me{an proizvod e cba ,, =0.

Bidej}i me{aniot proizvod e nula i toga{ koga nitu edenod vektorite ne e nula, ravenstvoto

cba ,, =0 (2)

e potreben i dovolen uslov za komplanarnost na tri vektori .


9/13

MATEMATIKA90

20 Za vektorite a , b i c vaì:

V b ,a ,ca ,c ,bc ,b ,a === ,

.V a ,b ,cc ,a ,bc ,b ,a ===

Vo prviot slu~aj vektorite a , b i c se so desnaorientacija i, so cikli~na permutacija na vektorite, orien-tacijata ne se menuva.

Vo vtoriot slu~aj, ako dva sosedni vektora si gi zamenatmestata, znakot se menuva, i so cikli~na permutacija nadobienata trojka vektori, se dobivaat levo orientirani trojkivektori.

Imaj}i go predvid ova svojstvo, me{aniot proizvod natrite vektori a , b i c se ozna~uva so:

),,( cba .

30 Me{aniot proizvod se mnoì so skalar ako eden odvektorite se pomnoì so toj skalar (asocijativen zakon name{aniot proizvod vo odnos na mnoèwe so skalar).

).,,(),,(),,(),,( cbacbacbacba ===

To~nosta na svojstvoto ( u~ebnik)40 Za me{aniot proizvod vaì distributivniot zakon :

),,(),,(),,( 2121 cbacbaccba +=+ .

Toa sleduva (u~ebnik).

8.2. Me{an proizvod vo koordinati

Neka se dadeni vektorite a , b i c so svoite Dekartovikoordinati:

),,( 321 aaaa = , ),,( 321 bbbb = , ),,( 321 cccc = .

Bidej}i


10/13


[ ] k bb

aa j

bb

aai

bb

aa

bbb

aaa

k ji

ba21

21

31

31

32

32

321

321+==

r

r

, .

imame:

),,( cba = =

+++ k c jcic ,k

bb

aa j

bb

aai

bb

aa321

21

21

31

31

32

32rr

21

213

31

312

32

321 bb

aac

bb

aac

bb

aac += .

Kone~no, me{aniot proizvod mo`e da se zapi{e vo vid nadeterminanta od tret red:

),,( cba =

321

321

321

ccc

bbbaaa

.

Potrebniot i dovolen uslov za komplanarnost na trivektori , izrazen preku koordinatite na vektorite , e:

321

321

321

ccc

bbb

aaa

=0

Volumenot na paralelopipedot konstruiran nadvektorite a , b i c e:

V = ),,( cba =mod

321

321

321

ccc

bbb

aaa

.

Volumenot na tetraedarot konstruiran nad

vektorite a , b i c e:

V = ( )c ,b ,a61 =

61

mod

321

321

321

ccc

bbb

aaa

.


11/13

MATEMATIKA92

Primer 1. Da se presmeta me{aniot proizvod na vektorite:

k jia =r

2 , k jib += 3r

i k jic 4++=r

.

Me{aniot proizvod na dadenite vektori }e bide:

),,( cba = .33411

131

112=

Primer 2. Da se najde visinata na paralelopipedot konstrui-

ran nad vektorite:

a = (2, 2,3), b = (4,0,6) i c = (7,7,7) .

Visinata na paralelopipedot konstruiran nad dadenite

vektori e BV

H = , kade {to V e volumenot na paralelopipedot, a B eplo{tinata na osnovata.

Volumenot na paralelopipedot e:

V = mod .308

777

604

312=

Bidej}i vektorskiot proizvod od vektorite a i b e:

[ ] k jik ji

ba 82412

604

322 +==r

r

, ,

plo{tinata na osnovata e:

[ ] 2882412 222 =++== )()(baP , . Visinata na paralelopipedot e: 11==

B

V H .


12/13


Primer 3. Temiwa na tetraedarot ~ij volumen e V = 5 se: A(2,1, 1), B(3,0,1) , C (2, 1,3) .

Da se najdat koordinatite na ~etvrtoto teme, ako toa le`i na u oskata.

^etvrtoto teme D e vo to~ka so koordinati (0, y,0) .Volumenot na tetraedarot e:

( ) y y

mod , ,V 4261

112

420

211

61

AD CAB61 =

== .

Bidej}i

305642 == y

t.e. 12 y = 15 za 12 y > 0

i12 y = 15 za 12 y < 0

sleduva:

y1 = 7, y2 = 8,odnosno

D1(0,7,0), D 2 (0,8,0) .

Zada~i za ve`bawe

1. Da se presmeta volumenot na paralelopipedot konstruirannad vektorite:

a = (2,3,0) , b = (2,0,6) i c = (0,3,8) i visinata spu{tena kon stranata opredelena so vektorite a i b .

Odg.: V = 84, H = 14 .

2. Vo koordinaten sistem da se odredi polo`bata napiramidata so temiwa O(0,0,0) , A(5,2,0) , B(2,5,0) i S(1,2,4). Potoada se presmeta nejziniot volumen i visinata spu{tena na stranat a

ABC .Odg.:V = 14 , H =

337 .


13/13

MATEMATIKA94

3. Da se proveri dali le`at vo ista ramnina to~kite :

a) A(3,5,1),B(2,4,7), C(1,5,3) i D(4,4,5);b) A(4,1,3) , B(3,2, 1), S(5,5,4) i D (2,1,1).

Odg.: a) da; b) ne.

4. Dadeni se vektorite:

a = (1, 2,1) , b = (2, 1,1) i c = (3,2,1). Da se doka`e deka tie se komplanarni i da se izrazi

vektorot a kako linearna kombinacija na vektorite b i c .

Odg.: a = 4 b 3 c .

Documents

Vektorski Proizvod