Upload
others
View
9
Download
1
Embed Size (px)
Citation preview
Univerzitet u Ni²u
Prirodno-matemati£ki fakultet
Departman za matematiku
Baricentri£ni sistem koordinata
master rad
Mentor: Student:
Prof. dr Milan Zlatanovi¢ Marjan Stojanovi¢
Ni², 2017.
Temu master rada predloºio je Prof. dr Milan Zlatanovi¢.
Koristim priliku da se na ovom mestu najsrda£nije zahvalim
profesoru Milanu Zlatanovi¢u na ukazanoj stru£noj pomo¢i i sa-
vetima prilikom izrade master rada.
Ovom prilikom tako�e ºelim da se zahvalim svojoj porodici,
posebno devojci na bodrenju i razumevanju tokom studija.
Student: Marjan Stojanovi¢
1
Sadrºaj
1 Uvod i osnovni pojmovi 4
1.1 Uvod . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.2 Osnovni pojmovi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2 Geometrija masa 8
2.1 Centar mase . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92.2 Lajbnicova vektorska funkcija . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142.3 Moment inercije . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192.4 Dokazi nekih bitnih teorema preko centra mase . . . . . . . . 23
3 Baricentri£ne koordinate 33
3.1 Euklidske baricentri£ne koordinate . . . . . . . . . . . . . . . 333.2 Sli£nost sa mehanikom . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 363.3 Baricentri£ne reprezentacije su kovarijantne . . . . . . . . . . 373.4 Vektor baricentri£ne reprezentacije . . . . . . . . . . . . . . . 393.5 Zna£ajne ta£ke trougla . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
3.5.1 Teºi²te trougla . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 423.5.2 Visina trougla . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 433.5.3 Ortocentar trougla . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 483.5.4 Centar upisanog kruga trougla . . . . . . . . . . . . . . 503.5.5 Polupre£nik upisanog kruga trougla . . . . . . . . . . . 543.5.6 Centar opisanog kruga trougla . . . . . . . . . . . . . . 563.5.7 Polupre£nik opisanog kruga trougla . . . . . . . . . . . 60
4 Hiperboli£ke baricentri£ne koordinate 62
4.1 Ajn²tajnovo sabiranje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 624.2 Ajn²tajnov gajrovektorski prostor . . . . . . . . . . . . . . . . 644.3 Gajrobaricentri£ne koordinate u Ajn²tajnovom gajrovektor-
skom prostoru . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 664.4 Gajrobaricentri£ne koordinate Mebijusovog gajrovektorskog pro-
stora . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
2
4.5 Ajn²tajnova gajrosredi²nja ta£ka . . . . . . . . . . . . . . . . . 724.6 Mebijusova gajrosredi²nja ta£ka . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
Literatura 77
3
Glava 1
Uvod i osnovni pojmovi
1.1 Uvod
Osnova£ metode o kojoj ¢e se govoriti u ovom radu bio je veliki starogr£kimislilac 1Arhimed. On je u 3. veku pre nove ere otkrio mogu¢nost dokazi-vanja novih matemati£kih £injenica pomo¢u osobina centra mase (teºi²ta).Delimi£no, na ovaj na£in on je utvrdio teoremu o tome da se tri teºi²ne linijetrougla seku u jednoj ta£ki. Razmi²ljanja Arhimeda su kasnije iskoristili irazvili mnogi geometri.
Nekoliko jednostavnih osobina centra mase dozvoljavaju da se re²e razli-£iti zadaci iz geometrije i algebre.
U to doba pojavila su se rasu�ivanja da se kori²¢enjem osobina cen-tra mase ne mogu dobiti matemati£ki ta£na re²enja geometrijskih zadataka.Ipak, takvo razmi²ljanje bilo je pogre²no.
Ideje Arhimeda ºive, razvijaju se i oboga¢uju novim sadrºajima. Po-znati nema£ki matemati£ar 2August Ferdinand Mebijus, poznat po svojimradovima u oblasti teorije brojeva, topologije, geometrije, primetio je da3baricentri£na re²enja geometrijskih zadataka dovode do uvo�enja veoma in-teresantnog sistema koordinata, koji ne li£i ni na Dekartov, ni na polarnikoordinatni sistem, ali je veoma bogat geometrijskim prilozima. Dolazi douvo�enja sistema baricentri£nih koordinata. August Ferdinand Mebijus je1827. postavio prve de�nicije i osmislio koordinatni sitem (baricentri£ni ko-ordinatni sistem).
1Arhimed (287. p.n.e. - 212. p.n.e.), starogr£ki matemati£ar, �zi£ar i astronom;2August Ferdinad Mebijus(1790-1868), nema£ki matemati£ar;3Naziv baricentar poti£e od gr£ke re£i βαρισ, ²to zna£i teºak, prema tome, baricentar
ozna£ava centar teºine (centar mase).
4
U ovom radu date su neke bitne teoreme koje su dokazane preko centramase, zatim baricentri£ne koordinate, zna£ajne ta£ke trougla kao i hiperbo-li£ke baricentri£ne koordinate.
1.2 Osnovni pojmovi
Geometrijski vektori
Za objekat posmatranja uze¢emo obi£an realni trodimenzionalni prostori koristi¢emo osnovna znanja o njemu.
Ako se za odse£ak prave u prostoru zna koja mu je po£etna a koja krajnjata£ka, onda se taj odse£ak naziva usmerenim. Usmereni odse£ak s po£etkomA i krajem B ozna£ava se sa AB, a njegova duºina sa ||AB|| i naziva seintenzitet odse£ka AB. Posmatra se i slu£aj A = B i tako dolazi do pojmausmerenog nula-odse£ka: AA = 0; jasno, njegov intenzitet je 0. Kaºe se dasu usmereni odse£ci AB i CD jednaki, i pi²e AB = CD, ako je A = C iB = D. Ako su AB i CD na paralelnim pravama, onda se kaºe da su oniistog pravca.
De�ni²imo sada ²ta zna£i da su dva usmerena odse£ka iste orjentacije.Neka AB i CD pripadaju razli£itim paralelnim pravama. Kroz A i C posta-vimo ravan ρ koja sadrºi B i D. Ako pri proizvoljnom izboru takve ravnita£ke B i D pripadaju istom poluprostoru odre�enim sa ρ, onda kaºemo dasu AB i CD istog smera ili da su iste orjentacije; u protivnom su razli£itihsmerova (a istog pravca). Ako pak AB i CD pripadaju istoj pravoj, ondaza njih kaºemo da su istog smera ako postoji tre¢i odse£ak EF koji je istogsmera i sa AB i sa CD. Za nula odse£ak smatramo da je i istog i suprotnogsmera sa svakim usmerenim odse£kom.
Nazovimo usmerene odse£ke AB i CD ekvivalentnim ako su iste duºinei istog smera. Lako je proveriti da je ovako de�nisana relacija jedna relacijaekvivalencije u skupu svih usmerenih odse£aka u prostoru. Na taj na£in seovaj skup razbija na disjunktne klase me�usobno ekvivalentnih usmerenihodse£aka.
De�nicija 1.2.1. Klase me�usobno ekvivalentnih usmerenih odse£aka nazi-vaju se (geometrijski) vektori.
Pod intenzitetom vektora −→a u oznaci ||−→a ||, podrazumeva se duºina pro-izvoljnog usmerenog odse£ka AB ∈ −→a . Ugao izme�u vektora −→a i
−→b je ugao
ϕ ∈ [0, π] izme�u proizvoljnih OA ∈ −→a i OB ∈−→b . Ako je taj ugao 0 ili π,
odnosno ako su vektori istog pravca, onda se kaºe da su −→a i−→b kolinearni,
5
pri £emu su −→a i−→b istog smera ako je ugao 0. Za tri geometrijska vektora
kaºemo da su komplanarni, ako su njima odgovaraju¢i odse£ci-predstavniciparalelni istoj ravni.
De�nicija 1.2.2. Neka je K dato polje. Pod vektorskim ili linearnim pro-storom nad poljem K podrazumeva se ure�ena £etvorka (V,K,+, ·) gde je Vneprazan skup, + : V × V → V i · : K × V → V preslikavanja takva da zaproizvoljne x, y, z ∈ V i proizvoljne α, β ∈ K vaºi:
(V.1) x+ y = y + x(V.2) x+ (y + z) = (x+ y) + z(V.3) postoji 0 ∈ V takav da je x+ 0 = x za svaki x ∈ V(V.4) za svaki x ∈ V postoji −x ∈ V takav da je x+ (−x) = 0(V.5) 1 · x = x (1 je jedinica polja K)(V.6) α · (β · x) = (αβ) · x(V.7) α · (x+ y) = α · x+ α · y(V.8) (α + β) · x = α · x+ β · xElementi iz V nazivaju se vektorima, + se naziva sabiranje vektora. Vek-
tor 0 iz (V.3) naziva se nula-vektor, a −x suprotan za x. Elementi polja Kse nazivaju skalarima, a · mnoºenje vektora skalarom. Zgodno je operacijesabiranja vektora i mnoºenje vektora skalarom zvati linearnim operacijama.
Umesto o vektorskom prostoru (V,K,+, ·) govori se jednostavno o vek-torskom prostoru V (nad poljem K), a £esto samo o prostoru V .
De�nicija 1.2.3. Neka je V realan vektorski prostor. Pod skalarnim proi-zvodom na V podrazumeva se proizvoljno preslikavanje S : V ×V → R takvoda je za proizvoljne x, y, z ∈ V i proizvoljan α ∈ R vaºe ova svojstva-aksiomeskalarnog proizvoda:
(S.1) S(x, y) = S(y, x)(S.2) S(αx, y) = αS(x, y)(S.3) S(x, y + z) = S(x, y) + S(x, z)(S.4) S(x, x) > 0 za svaki x 6= 0
De�nicija 1.2.4. Par (V, S) u kome je V realan vektorski prostor, a S ska-larni proizvod na V , naziva se euklidski vektorski prostor. Realan a�ni pro-stor sa pridruºenim euklidskim vektorskim prostorom naziva se a�ni euklidskiprostor ili samo euklidski prostor.
De�nicija 1.2.5. (i) Neka je (x): x1, x2, ..., xk kona£an sistem vektoravektorskog prostora V nad poljem K i (α): α1, α2, ..., αk sistem skalara iz Kiste duºine kao (x). Vektor
y = α1x1 + α2x2 + ...+ αkxk
6
naziva se linearna kombinacija vektora x1, x2, ..., xk sa skalarima α1, α2, ..., αk.Linearna kombinacija je netrivijalna ako je bar jedan skalar αi, i 6 k razli£itod 0 ∈ K, u suprotnom je trivijalna.
(ii) Ako je {xs : s ∈ S} beskona£an sistem vektora iz V i {αs : s ∈S} odgovaraju¢i sistem skalara, onda je linearna kombinacija vektora ovogsistema sa skalarima αs vektor
y =∑{αsxs : s ∈ S},
a to zna£i da postoji kona£an F ⊂ S takav da je αs = 0 za sve s ∈ S r F iy =
∑{αsxs : s ∈ F}.
De�nicija 1.2.6. (i) Kona£an sistem (x): x1, x2, ..., xk vektora vektorskogprostora V naziva se linearno zavisnim ako je bar jedan njegov vektor jed-nak linearnoj kombinaciji ostalih; u suprotnom sistem je linarno nezavisan.Prazan sistem vektora je po de�niciji linearno nezavisan.
(ii) Beskona£an sistem vektora iz V je linearno nezavisan ako je svakinjegov kona£an podsistem linearno nezavisan; u suprotnom sistem je linearnozavisan.
Teorema 1.2.1 (4Pitagorina teorema). U pravouglom trouglu je kvadrat du-ºine hipotenuze jednak zbiru kvadrata duºina kateta. �
Teorema 1.2.2 (Sinusna teorema). Stranice trougla odnose se kao sinusiuglova nasuprot tih stranica, tj.
a : b : c = sinα : sin β : sin γ.
Preciznije,a
sinα=
b
sin β=
c
sin γ= 2R
gde je R polupre£nik opisane kruºnice oko trougla. �
Teorema 1.2.3 (Kosinusna teorema). Ako su a, b, c duºine stranica trouglai α, β, γ njegovi uglovi, tada je
a2 = b2 + c2 − 2bc cosα
b2 = c2 + a2 − 2ca cos β
c2 = a2 + b2 − 2ab cos γ. �
4Pitagora (oko 570. p. n. e. - 495. p. n. e.), anti£ki �lozof i matemati£ar.
7
Glava 2
Geometrija masa
Geometrija masa je jedna od oblasti matematike koja je nastala kombina-cijom mehanike i geometrije i od kada je formalno de�nisana predstavljala jeveoma koristan alat u re²avanju geometrijskih promblema. Geometrija masakao podoblast geometrije po£ela je da napreduje od 1827. godine kada jeAugust Ferdinand Mebijus dao prve de�nicije. Kao i sve novonastale ideje upo£etku i ova de�nicija bila je prihva¢ena ali sa sumnjom. Najve¢i kriti£arove ideje bio je 1Ko²i a £ak je i 2Gaus 1843. godine priznao da su Mebijusoveideje prili£no te²ke za razumevanje.
Mebijus je dao slede¢a tri postulata:
1. Materijalna ta£ka je ure�en par (n, P ) gde je n pozitivan broj (teºina)a P ta£ka (skra¢eno nP ).
2. nP = mQ akko m = n i P ≡ Q.
3. nP +mQ = (n+m)R gde je R na PQ i PR : RQ = m : n.
Prvi postulat se odnosi na de�niciju materijalne ta£ke. Drugi postulat od-nosi se na uobi£ajenu jednakost za ure�ene parove. Tre¢i postulat predstavljaoperaciju sabiranja materijalnih ta£aka i to tako ²to se mase uobi£ajeno sa-biraju a za rezultuju¢u ta£ku uzima centar mase ove dve ta£ke, ta£nije uzimase mesto na kome treba postaviti oslonac da bi ta£ke bile u ravnoteºi.
De�nicija 2.0.1. Materijalna ta£ka je ure�en par (m,P ) gde je m realanbroj, a P ta£ka. Kaºemo jo² da ta£ka P ima masu m. Negde se materijalnata£ka obeleºava i kao mP .
1Ogisten Luj Ko²i (1789-1857), francuski matemati£ar;2Johan Karl Fridrih Gaus (1777-1855), nema£ki matemati£ar.
8
Za razliku od prvog Mebijusovog postulata, u de�niciji materijalne ta£ke,ne zahtevamo da n bude pozitivan broj. U po£etku su se razmatrale samopozitivne mase. Pojava negativnih masa nije dovela do kontradikcije sa ovomteorijom, ali sa druge strane zna£ajno je doprinela pro²irenju ove teorije.
De�nicija 2.0.2. Materijalne ta£ke (m,A) i (n,B) se poklapaju ako je A ≡B.
De�nicija 2.0.3. Sistem materijalnih ta£aka S je kona£an skup mate-rijalnih ta£aka {(m1, A1), (m2, A2), ..., (mn, An)}, n ∈ N. Masa sistema S jesuma m1 +m2 + ...+mn.
Primetimo da se ovde radi o kona£nom skupu. Me�utim, postoje i bes-kona£ni skupovi materijalnih ta£aka sa kojima se malo druga£ije radi to sunpr. zatvorene i poluotvorene povr²ine.
2.1 Centar mase
Osnovni pojam u geometriji masa je materijalna ta£ka. U ovom deludata je de�nicija centra mase (teºi²ta), i date su osobine teºista u sistemimamaterijalnih ta£aka.
De�nicija 2.1.1. Centar mase (teºi²te) sistema materijalnih ta£aka
{(m1, A1), (m2, A2), ..., (mn, An)},
ako postoji, je ta£ka T za koju vaºi
m1
−−→TA1 +m2
−−→TA2 + ...+mn
−−→TAn =
−→0 .
Iz ove de�nicije ne moºemo zaklju£iti da li teºi²te uopste postoji ili, akopostoji, da li je jedinstveno. Odgovor nam daje slede¢a teorema:
Teorema 2.1.1. Za proizvoljan sistem materijalnih ta£aka
{(m1, A1), ..., (mn, An)},
£ija je masa razli£ita od nule, postoji jedinstveno teºi²te.
Dokaz: Ozna£imo koordinatni po£etak sa O. Ako sa obe strane de�ni-cione jednakosti m1
−−→TA1 + ...+mn
−−→TAn =
−→0 dodamo m1
−−→A1O+ ...+mn
−−→AnO
dobijamo:(m1 + ...+mn)
−→TO = m1
−−→A1O + ...+mn
−−→AnO
9
odakle je−→OT =
m1−−→OA1 + ...+mn
−−→OAn
m1 + ...+mn
jer je m1 + ...+mn 6= ~0. �ime je odre�en jedinstveni vektor teºista. �Napomena: Ako je masa sistema jednaka nuli, teºi²te je ili neodre�eno
ili ne postoji.
Teorema 2.1.2. Neka je dat sistem {(m1, A), (m2, B)} £ija je masa razli£itaod nule i koje se ne poklapaju. Tada teºi²te T tog sistema pripada pravoj ABi vaºi TA : TB = |m2| : |m1|.
Dokaz: Na osnovu de�nicije teºi²ta imamo
m1
−→TA+m2
−→TB =
−→0 ,
pa na osnovu toga imamo da su vektori−→TA i
−→TB linearno zavisni odakle sledi
da su ta£ke A,B i T kolinearne. Ako jedan sabirak de�nicione jednakosti,
m1
−→TA+m2
−→TB =
−→0 ,
prebacimo na desnu stranu i zatim izjedna£imo njihove apsolutne vrednostidobijamo
|m1||−→TA| = |m2||
−→TB|
odakle direktno sledi drugi deo teoreme. �
Pri re²avanju problema kori²¢enjem geometrije masa od posebnog zna£ajaje pregrupisavanje masa u nekom sistemu i dobijanju njemu ekvivalentnogsistema.
De�nicija 2.1.2. Dva sistema materijalnih ta£aka S1 i S2 su ekvivalentna(S1 ∼ S2) ako su im jednake mase i ako im se teºi²ta poklapaju.
Ako je S sistem mase m 6= 0 £ije je teºi²te T onda je o£igledno
S v (m,T ).
Drugim re£ima, svaki sistem materijalnih ta£aka mase razli£ite od nule, mo-ºemo svesti na jednu materijalnu ta£u koja ima isti uticaj na okolinu kao ceosistem. Na ovaj na£in mnogi problemi iz �zike se upro²¢avaju. Neka nam jepoznat sistem od n+ 1 materijalnih ta£aka i odredili smo teºi²te za prvih n.Postavlja se pitanje kako odrediti teºi²te za sve materijalne ta£ke. Odgovornam daje slede¢a teorema:
10
Teorema 2.1.3. Neka je S = {(m1, A1), ..., (mn+1, An+1)}, £ija je masa ra-zli£ita od nule i neka je m = m1 + ... + mn 6= 0. Neka je T teºi²te sistema{(m1, A1), ..., (mn, An)}. Tada je S v {(m,T ), (mn+1, An+1)}.
Dokaz: Mase ova dva sistema su o£igledno jednake. Neka je T ′ te-ºi²te sistema S. Dovoljno je pokazati da je to ujedno i teºi²te sistema{(m,T ), (mn+1, An+1)}. Ozna£imo koordinatni po£etak sa O. Na osnovujednakosti
−→OT =
m1
−−→OA1 + ...+mn
−−→OAn
m1 + ...+mn
iz dokaza jedne od prethodnih teorema imamo
−−→OT ′ =
m1−−→OA1 + ...+mn+1
−−−−→OAn+1
m1 + ...+mn+1
i−→OT =
m1
−−→OA1 + ...+mn
−−→OAn
m1 + ...+mn
.
Kombinacijom ove dve jednakosti dobijamo:
−−→OT ′ =
m−→OT +mn+1
−−−−→OAn+1
m+mn+1
.
Dobijena jednakost predstavlja vektor poloºaja teºi²ta sistema
{(m,T ), (mn+1, An+1)},
a to je i trebalo pokazati. �
Primer 2.1.1. Neka je T baricentar sistema S. Ako su T1 i T2 baricentrikomplementnih skupova ta£aka A1, ..., Ap i Ap+1, ..., Am kojima su pridruºeniisti brojevi (k1, ..., km), tada se ta£ka T poklapa sa baricentrom skupa koji sesastoji iz ta£aka T1 i T2, kojima su redom pridruºeni brojevi k1 + ... + kp ikp+1 + ...+ km. Dokazati.
Re²enje: Na osnovu de�nicije baricentra je
k1−−→TA1 + ...+ km
−−−→TAm =
−→0 ,
(k1 + ...+ kp)−−→TT1 = k1
−−→TA1 + ...+ kp
−−→TAp,
(kp+1 + ...+ km)−−→TT2 = kp+1
−−−−→TAp+1 + ...+ km
−−−→TAm.
11
Iz ove tri jednakosti sledi da je
(k1 + ...+ kp)−−→TT1 + (kp+1 + ...+ km)
−−→TT2 =
−→0 ,
pa je ta£ka T baricentar skupa koji se sastoji iz ta£aka T1 i T2, kojima suredom pridruºeni brojevi k1, ..., kp i kp+1 + ...+ km. �
Primer 2.1.2. Dokazati da baricentar sistema ta£aka A1, ..., Am, kojima suredom pridruºeni pozitivni brojevi k1, ..., km, pripada svakoj konveksnoj �guriΦ koja sadrºi ta£ke A1, ..., Am.
Re²enje: Ako je m = 1 i m = 2 tvr�enje neposredno sledi. Za m > 2tvr�enje ¢e biti dokazano matemati£kom indukcijom. Neka tvr�enje vaºi zaneko m − 1, tj neka svaka konveksna �gura koja sadrºi ta£ke A1, ..., Am−1optere¢ene odgovaraju¢im masama sadrºi i njihov baricentar T ′. Prema de-�niciji baricentra je
k1−−→TA1 + ...+ km
−−−→TAm =
−→0 ,
k1−−→TA1 + ...+ km−1
−−−−→TAm−1 = (k1 + ...+ km−1)
−−→TT ′.
Iz ovih dveju jednakosti sledi da je
(k1 + ...+ km−1)−−→TT ′ + km
−−−→TAm =
−→0 .
Stoga je ta£ka T baricentar dveju ta£aka T ′ i Am kojima su redom pridruºenibrojevi k1, ..., km−1 i km. Kako su ovi brojevi pozitivni, ta£ka T se nalaziizme�u ta£aka T ′ i Am, pa pripada konveksnoj �guri Φ. �
Primer 2.1.3. Ako su (A1, A′1), (A2, A
′2),..., (Am, A
′m) parovi ta£aka prostora
En, optere¢eni masama k1, ..., km, k = k1 + ... + km 6= 0, a T i T ′ baricentrim- torki A1, ..., Am i A′1, ..., A
′m, dokazati da je
k1−−−→A1A
′1 + k2
−−−→A2A
′2 + ...+ km
−−−−→AmA
′m = k
−−→TT ′.
Re²enje: Kako je
−−→TT ′ =
−−→TAi +
−−→AiA
′i +−−→A′iT
′, 1 ≤ i ≤ m,
12
to je
k−−→TT ′ =
m∑i=1
ki−−→TT ′ =
m∑i=1
ki(−−→TAi +
−−→AiA
′i +−−→A′iT
′)
=m∑i=1
ki−−→TAi +
m∑i=1
ki−−→AiA
′i +
m∑i=1
ki−−→A′iT
′
=m∑i=1
ki−−→AiA
′i,
jer su T i T ′ baricentri odgovaraju¢ih sistema ta£aka sa odgovaraju¢im op-tere¢enjima. �
Primer 2.1.4. Ako su (A1, A′1), (A2, A
′2),..., (Am, A
′m) parovi ta£aka prostora
En, a T i T ′ baricentri m- torki A1, ..., Am i A′1, ..., A′m, dokazati da je
−−−→A1A
′1 +−−−→A2A
′2 + ...+
−−−−→AmA
′m = m
−−→TT ′.
Re²enje: Primenom prethodnog primera za k1 = ... = km = 1. �
Primer 2.1.5. Neka je T teºi²te £etvorougla ABCD (koji ne mora biti ravan)i P , Q, R i S teºi²ta trouglova ABD, BCA, CDB i DAC redom. Ako je Gteºi²te £etvorougla PQRS, proveriti da li je T ≡ G
Re²enje: Kako je
−→AP =
1
3(−→AB +
−−→AD),
−−→BQ =
1
3(−−→BC +
−→BA),
−→CR =
1
3(−−→CD +
−−→CB),
−→DS =
1
3(−−→DA+
−−→DC),
to je −→AP +
−−→BQ+
−→CR +
−→DS =
−→0 .
Na osnovu prethodnog primera je
−→AP +
−−→BQ+
−→CR +
−→DS = 4
−→TG,
pa je T ≡ G. �
13
2.2 Lajbnicova vektorska funkcija
U ovom odeljku razmatra se sistem sastavljen od kona£nog broja ta£aka
A1, A2, ..., Am
prostora En (n = 1, 2, 3) kojima su respektivno pridruºeni realni brojevik1, ..., km. Takvi sistemi razmatraju se ne samo u geometriji ve¢ i u dru-gim nau£nim oblastima. U mehanici se kaºe da su u takvom sistemu ta£keA1, ..., Am optere¢ene masama £ije se veli£ine izraºavaju respektivno broje-vima k1, ..., km. Razmatranju ovakvih sistema u geometriji pristupa se uvo-�enjem tzv. Lajbnicove vektorske funkcije.
De�nicija 2.2.1. 3Lajbnicovom vektorskom funkcijom sistema sasta-vljenog iz kona£nog broja ta£aka A1, ..., Am prostora En kojima su respektivnopridruºeni brojevi k1, ..., km nazivamo preslikavanje f : En −→ En odre�enorelacijom
f(P ) = k1−−→PA1 + ...+ km
−−−→PAm.
Teorema 2.2.1. Ako je f Lajbnicova vektorska funkcija sistema sastavlje-nog iz kona£nog broja ta£aka A1, ..., Am prostora En kojima su respektivnopridruºeni brojevi k1, ..., km tada za svake dve ta£ke P i Q prostora En vaºirelacija
f(P ) = f(Q) + (k1 + ...+ km)−→PQ.
Dokaz:
f(P ) = k1−−→PA1 + ...+ km
−−−→PAm
= k1(−→PQ+
−−→QA1) + ...+ km(
−→PQ+
−−−→QAm)
= k1−−→QA1 + ...+ km
−−−→QAm + (k1 + ...+ km)
−→PQ
= f(Q) + (k1 + ...+ km)−→PQ. �
Teorema 2.2.2. Lajbnicova vektorska funkcija f sistema sastavljenog iz ko-na£nog broja ta£aka A1, ..., Am prostora En kojima su respektivno pridruºenibrojevi k1, ..., km takvi da je k1 + ...+ km = 0 predstavlja konstantu.
Dokaz: Ako obeleºimo sa P i Q bilo koje dve ta£ke prostora En, premaprethodnoj teoremi imamo da je
f(P ) = f(Q) + (k1 + ...+ km)−→PQ.
3Gotfrid Vilhem Lajbnic (1646-1716), nema£ki matemati£ar.
14
Po pretpostavci jek1 + ...+ km = 0,
pa je f(P ) = f(Q). Stoga je pri uslovu k1+ ...+km = 0 Lajbnicova vektorskafunkcija konstanta. �
Teorema 2.2.3. Lajbnicova vektorska funkcija f sistema sastavljenog iz ko-na£nog broja ta£aka A1, ..., Am prostora En kojima su respektivno pridruºenibrojevi k1, ..., km takvi da je k1 + ...+ km 6= 0 je bijektivna.
Dokaz: Svakoj ta£ki X ∈ En jednozna£no je korespondiran vektor−→x ∈
−→En takav da je f(x) = −→x . Ako obeleºimo sa O �ksiranu ta£ku prostora
En, imamo da je
f(x) = f(O) + (k1 + ...+ km)−−→XO = −→x .
Iz poslednje jednakosti dobijamo relaciju
−−→OX =
f(O)−−→xk1 + ...+ km
iz koje neposredno zaklju£ujemo da je svaki vektor −→x ∈−→En slika samo jedne
ta£ke X ∈ En. �
De�nicija 2.2.2. Lajbnicovom skalarnom funkcijom sistema sastavlje-nog iz kona£nog broja ta£aka A1, ..., Am prostora En kojima su respektivnopridruºeni realni brojevi k1, ..., km, nazivamo preslikavanje Ψ : En −→ Rodre�eno relacijom
Ψ(P ) = k1PA12
+ ...+ kmPAm2.
Teorema 2.2.4. Ako je Ψ Lajbnicova skalarna funkcija i f Lajbnicova vek-torska funkcija sistema sastavljenog iz kona£nog broja ta£aka A1, ..., Am pro-stora En kojima su respektivno pridruºeni realni brojevi k1, ..., km, tada zasvake dve ta£ke P i Q prostora En vaºi relacija
Ψ(P ) = Ψ(Q) + 2−→PQf(Q) + (k1 + ...+ km)PQ
2.
Dokaz: Saglasno de�niciji Lajbnicove skalarne i vektorske funkcije, imamoda je
Ψ(P ) = k1PA12
+ ...+ kmPAm2
= k1(−→PQ+
−−→QA1)
2 + ...+ km(−→PQ+
−−−→QAm)2
= Ψ(Q) + 2−→PQf(Q) + (k1 + ...+ km)PQ
2. �
15
Teorema 2.2.5 (Lajbnic). Ako je Ψ Lajbnicova skalarna funkcija i T bari-centar sistema sastavljenog iz kona£nog broja ta£aka A1, ..., Am prostora En
kojima su respektivno pridruºeni realni brojevi k1, ..., km takvi da je k1 + ...+km 6= 0 tada za svaku ta£ku P ∈ En vaºi relacija
Ψ(P ) = Ψ(T ) + (k1 + ...+ km)PT2.
Dokaz: Koriste¢i de�niciju Lajbnicove skalarne funkcije Ψ i baricentra,nalazimo da je
Ψ(P ) = k1PA12
+ ...+ kmPAm2
= k1(−→PT +
−−→TA1)
2 + ...+ km(−→PT +
−−−→TAm)2
= Ψ(T ) + (k1 + ...+ km)PT2. �
Teorema 2.2.6 (4Stjuart). Ako su A,B,C tri razne ta£ke prave s ⊂ En,tada za svaku ta£ku P ∈ En vaºi relacija:
BC · PA2+ CA · PB2
+ AB · PC2+ AB ·BC · CA = 0.
Dokaz: Razmotrimo sistem sastavljen iz ta£aka A,B,C, kojima se re-spektivno pridruºuju realni brojevi BC, CA, AB. S obzirom da ta£ke A,B,Cpripadaju jednoj osi imamo da je
BC + CA+ AB = 0.
Stoga je Lajbnicova vektorska funkcija f pomenutog sistema konstantna, paje f(P ) = f(A). Nije te²ko dokazati da je f(A) nula vektor. Zaista, akoobeleºimo sa −→e jedini£ni vektor ose s, nalazimo da je
f(A) = BC ·−→AA+ CA ·
−→AB + AB ·
−→AC
= CA · AB · −→e + AB · AC · −→e= AB · (CA+ AC) · −→e =
−→0 .
Primenom teoreme 2.2.4 nalazimo da se Lajbnicova skalarna funkcija Ψ raz-matranog sistema moºe napisati u obliku:
Ψ(P ) = Ψ(A) + 2PAf(A) = Ψ(A)
= CA · AB2+ AB · AC2
= AB · CA · (AB + CA)
= −AB ·BC · CA. �
4James Stewart (1941-2014), ameri£ki matemati£ar.
16
Primer 2.2.1. Neka je dat kona£an skup ta£aka A1, ..., Am ravni E2 i kona-£an skup realnih brojeva k1, ..., km i l takvih da je k1 + ... + km 6= 0. Odrediskup Φ svih ta£aka P ∈ E2 za koje je
k1PA12
+ ...+ kmPAm2
= l
Re²enje: Ako obeleºimo sa T baricentar sistema
{(A1, k1), (A2, k2), ..., (Am, km)},
primenom Lajbnicove teoreme nalazimo da je
k1PA12
+ ...+ kmPAm2
= k1TA12
+ ...+ kmTAm2
+ kPT2
gde je k = k1 + ...+ km. Budu¢i da je ta£ka T jednozna£no odre�ena, zbir
k1TA12
+ ...+ kmTAm2
obeleºimo sa d. U tom slu£aju imamo da je l = d+ kPT2, tj
PT2
=1
k(l − d).
Prema znaku razlikujemo tri slu£aja:
1. Ako je 1k(l− d) > 0 skup Φ predstavlja krug kojem je sredi²te ta£ka T ,
a polupre£nik r =√
1k(l − d).
2. Ako je 1k(l − d) = 0 skup Φ se sastoji iz samo jedne ta£ke, to je ta£ka
T .
3. Ako je 1k(l − d) < 0 bi¢e Φ = ∅. �
Primer 2.2.2. U ravni su date ta£ke A1, ..., An. Na¢i geometrijsko mestota£aka u ravni £iji je zbir kvadrata rastojanja od datih ta£aka konstantan, uzuslov da ta£ka A1 pripada traºenom skupu ta£aka.
Re²enje: Primeniti prethodni primer za k1 = ... = kn = 1. Traºeno geome-trijsko mesto ta£aka je krug £iji je centar teºi²te sistema datih ta£aka T , apolupre£nik jednak A1T . �
Primer 2.2.3. Ako su A1, B1 i C1 sredi²ta stranica BC,CA i AB trouglaABC, dokazati da je
1. AA12
= 14(2 · AB2
+ 2 · AC2 −BC2)
17
2. AA12
+BB12
+ CC12
= 34(AB
2+BC
2+ CA
2)
1. na£in: Kako je−−→AA1 =
1
2(−→AB +
−→AC),
koriste¢i kosinusnu teoremu
|−→AB||
−→AC| cosα =
1
2(AB
2+ AC
2 −BC2),
sledi:
4AA12
= AB2
+ AC2
+ 2|−→AB||
−→AC| cosα
= AB2
+ AC2
+ AB2
+ AC2 −BC2
= 2 · AB2+ 2 · AC2 −BC2
.
2. na£in: Koriste¢i Stjuartovu teoremu za slu£aj P −→ A i A −→ A1 dobijase
BC · AA12
+ CA1 · AB2
+ A1B · AC2
+ A1B ·BC · CA1 = 0
²to je drugi oblik traºene relacije. �Napomena: Odavde se lako dobija i relacija
AA12
+BB12
+ CC12
=3
4(AB
2+BC
2+ CA
2),
pri £emu su A1, B1 i C1 redom sredi²ta stranica BC,CA i AB.
Primer 2.2.4. Ako je T teºi²te trougla ABC dokazati da je
AT2
+BT2
+ CT2
=1
3(AB
2+BC
2+ CA
2).
Re²enje: Ako su A1, B1 i C1 redom sredi²ta stranica BC,CA i AB, ondavaºi
AT =2
3AA1,
i sli£no za BT i CT , pa se na osnovu prethodnog primera dobija traºenarelacija. �
Primer 2.2.5. Ako je T teºi²te, H ortocentar i O centar kruga opisanog okotrougla ABC, dokazati da je
1. OT2
= OA2 − 1
9· (AB2
+BC2
+ CA2);
18
2. OH2
= 9 ·OA2 − (AB2
+BC2
+ CA2).
Re²enje:
1. Kako je T baricentar sistema ta£aka A,B,C sa optere¢enjima k1 =k2 = k3 = 1, na osnovu Lajbnicove teoreme vaºi relacija
Ψ(O) = Ψ(T ) + (k1 + k2 + k3)OT2
= Ψ(T ) + 3 ·OT 2
tj.OA
2+OB
2+OC
2= AT
2+BT
2+ CT
2+ 3 ·OT 2
,
pa je
OT2
=1
3· (OA2
+OB2
+OC2)− 1
3· (AT 2
+BT2
+ CT2).
Kako je O centar kruga opisanog oko trougla ABC, to je OA = OB = OC,pa se na osnovu prethodnog primera dobija
OT2
=1
3· (3 ·OA2
)− 1
3· 1
3· (AB2
+BC2
+ CA2)
= OA2 − 1
9· (AB2
+BC2
+ CA2).
2. Na osnovu rezultata dobijenog pod 1. sledi da je:
9 ·OT 2= 9 ·OA2 − (AB
2+BC
2+ CA
2),
pa je dovoljno dokazati da je
9 ·OT 2= 9 ·OH2
,
tj.OT = OH. �
2.3 Moment inercije
U �zici, moment inercije tela predstavlja meru inertnosti tela za rota-ciono kretanje, analogno masi pri pravolinijskom kretanju. �to je momentinercije nekog tela ve¢i, teºe ga je pokrenuti da rotira odnosno teºe je zau-staviti njegovu rotaciju. Me�utim, za razliku od mase, moment inercije nijenepromenljiva veli£ina ve¢ zavisi od ose oko koje rotira telo.
Moment inercije je prvi put de�nisao 5Ojler u radovima o dinamici £vr-stih tela, £ime je zna£ajno pojednostavio matemati£ki tretman te oblastimehanike.
5Leonard Ojler (1707-1783), ²vajcarski matemati£ar.
19
De�nicija 2.3.1. Moment inercije sistema materijalnih ta£aka
{(m1, A1), ..., (mn, An)}
u odnosu na proizvoljnu ta£ku M , u oznaci IM , je broj
IM = m1MA12
+ ...+mnMAn2.
Slede dve bitne teoreme o momentu inercije.
Teorema 2.3.1 (6�tajner-7Lagranºov zakon). Za moment inercije u odnosuna proizvoljnu ta£ku M vaºi
IM = IT +mMT2,
gde je m = m1 + ...+mn, dok je T teºi²te posmatranog sistema.
Dokaz: Na osnovu de�nicije momenta inercije i osobina teºi²ta dobijamo:
IM = m1MA12
+ ...+mnMAn2
= m1(−−−→MA1)
2 + ...+mn(−−−→MAn)2
= m1(−−→MT +
−−→TA1)
2 + ...+mn(−−→MT +
−−→TAn)2
= mMT2
+ 2−−→MT (m1
−−→TA1 + ...+mn
−−→TAn) + IT
= mMT2
+ IT . �
Posledica 2.3.2. Za dati sistem materijalnih ta£aka, £ija je masa ve¢a odnule, moment inercije je najmanji u odnosu na teºi²te. �
Zaista, kako je mMT2 ≥ 0, vaºi nejednakost IM ≥ IT u kojoj jednakost
vaºi ako i samo ako je M ≡ T .
Teorema 2.3.3 (8Jakobijeva teorema). Moment inercije u odnosu na teºi²tesistema dat je izrazom
IT =1
m
∑1≤i<j≤n
mimjAiAj2,
gde je m = m1 + ...+mn.
6Rudolf �tajner (1861-1925), austrijski matemati£ar;7�ozef Luj Lagranº (1736-1813), francuski matemati£ar;8Karl Gustav Jakobi (1804-1851), nema£ki matemati£ar.
20
Dokaz: Ako primenimo �tajner-Lagranºov zakon u slu£aju kada jeM = Ai, gde je Ai, jedna od ta£aka sistema, dobijamo
IAi = IT +mAiT2.
Ako obe strane dobijenog izraza pomnoºimo sa mi i tako dobijenu jednakostsumiramo po indeksu i, dobijamo
n∑i=1
IAimi =n∑i=1
ITmi +m
n∑i=1
miAiT2
n∑i=1
n∑j=1
mjAiAj2mi = mIT +mIT
2 ·∑
1≤i<j≤n
mimjAiAj2
= 2mIT
IT =1
m
∑1≤i<j≤n
mimjAiAj2,
²to je trebalo dokazati. �
Posledica 2.3.4 (Moment inercije trougla). Moment inercije trougla ABC,sa jedini£nim masama u temenima, gde su a, b i c stranice trougla, u odnosuna njegovo teºi²te je
IT =1
3(a2 + b2 + c2). �
Kombinovanjem ove dve teoreme mogu¢e je lako i elegantno re²iti £itavuklasu problema koji bi, kori²¢enjem neke druge metode, bili jako te²ko ura-divi.
Primer 2.3.1. Izra£unati rastojanje izme�u teºi²ta T i centra opisane kru-ºnice O trougla ABC u funkciji od njegovih stranica a, b i c.
Re²enje: Ako u temena trougla postavimo jedini£ne mase, centar masedobijenog sistema je upravo teºi²te trougla. �tajner-Lagranºov zakon prime-njen na ta£ku O daje
IO = IT + 3 ·OT 2.
Iz de�nicije momenta inercije i iz Jakobijeve teoreme dobijamo
IO = 3R2
IT =1
3(a2 + b2 + c2)
21
odakle je
OT2
= R2 − 1
9· (a2 + b2 + c2).
(Polupre£nik opisanog kruga R mogu¢e je lako izra£unati u funkciji od stra-nica). �
Primer 2.3.2. Izra£unati rastojanje izme�u centra upisane kruºnice I i cen-tra opisane kruºnice O trougla ABC.
Re²enje: Neka su A1, B1 i C1 redom preseci simetrala uglova ∠A,∠B i∠C sa naspramnim stranicama. Postavimo mase ka, kb i kc (k 6= o) radomu temena A,B i C. Poznato je da vaºi
BA1 : A1C = AB : AC = c : b
i analogno za ostala temena. Prema tome teºi²te sistema {(kb,B), (kc, C)}je upravo ta£ka A1 i analogno za ostale. Sledi
{(ka,A), (kb, B), (kc, C)} v {(ka,A), (k(b+ c), A1)}v {(kb,B), (k(c+ a), B1)}v {(kc, C), (k(a+ b), C1)}
odnosno teºi²te sistema pripada pravama AA1, BB1 i CC1 pa se prema tomeone seku u jednoj ta£ki (centru upisane kruºnice). Dakle sledi da je centarmase dobijenog sistema upavo centar upisane kuºnice I.
�tajner-Lagranºov zakon u odnosu na ta£ku O daje
IO = II + k(a+ b+ c)OI2,
dok iz Jakobijeve teoreme sledi
II =k2(abc2 + ab2c+ a2bc)
k(a+ b+ c)= kabc.
Iz de�nicije momenta inercije sledi
IO = k(a+ b+ c)R2,
pa je
OI2
=IO − II
k(a+ b+ c)= R2 − abc
a+ b+ c.
Iz poznatih jednakosti
R =abc
4P
22
ir =
2P
a+ b+ c
slediabc
a+ b+ c= 2Rr,
odakle je kona£noOI
2= R(R− 2r). �
Ovu formulu prvi je izveo Ojler. Iz nje neposredno sledi da je R ≥ 2r.
2.4 Dokazi nekih bitnih teorema preko centra
mase
Poznati matemati£ari kao ²to su 9Van Obel,10�eva, 11Menelaj i drugibavili su se problemima teºi²ta sistema materijalnih ta£aka i u ovom poglavljudokaza¢u njihove teoreme, kao i postojanje Simpsonove prave.
Teorema 2.4.1 (Van Obelova teorema). Neka su ta£ke A,B i C temenatrougla; AA1, BB1 i CC1 duºi: A1, B1 i C1 redom pripadaju stranicamaBC, CA, AB i sve se seku u jednoj ta£ki M . Ako vaºi AC1 : C1B = p iAB1 : B1C = q onda je i AM : MA1 = p+ q.
Dokaz:
Slika 2.1
9Van Obel, belgijski matemati£ar.10Giovanni Ceva (1879-1955), italijanski matemati£ar.11Menelaj Aleksandrijski (70-140 n.e.),gr£ki matemati£ar.
23
Dodelimo mase 1, p, q redom u ta£ke A, B, C (Slika 2.1). Tada su A1,B1, C1 redom centri masa sistema
{(p,B), (q, C)},
{(1, A), (q, C)}
i{(1, A), (p,B)},
jer vaºi:AC1 : C1B = p : 1
AB1 : B1C = q : 1
M je centar mase sistema {(1, A), (p,B), (q, C)} i iz toga sledi da je
AM : MA1 = (p+ q) : 1. �
Italijanski matemati£ar Ðovani �eva (1648− 1743) bavio se slede¢im pi-tanjem: Na stranicama BC,CA i AB trougla ABC su izabrane redom ta£keA1, B1 i C1. Moºe li se bez ikakvih docrtavanja i merenja unutar ugla, za-klju£iti da se prave AA1, BB1 i CC1 seku u jednoj ta£ki? �eva je odgovoriona ovo pitanje 1678. godine kada je dokazao slede¢u teoremu:
Teorema 2.4.2 (�evina teorema:). Neka su ta£ke D, E, i F redom iza-brane na stranicama BC, CA, AB trougla ABC ili na njihovim produºe-cima. Prave AD, BE, CF su konkurentne ako i samo ako vaºi uslov (�evinuslov):
−−→BD−−→DC·−−→CE−→EA·−→AF−−→FB
= 1
Dokaz: Pretpostavimo najpre da su prave AD, BE, CF konkurentne(Slika 2.2). Neka vaºe odnosi:
−−→BD :
−−→DC = p : 1
i −−→CE :
−→EA = q : 1.
Postavimo redom mase pq, 1, p u temena A, B, C. Tada su ta£ke D i Eredom teºi²ta sistema
{(1, B).(p, C)}
24
Slika 2.2
i{(p, C), (pq, A)}.
U preseku pravih BE i AD se nalazi teºi²te T sistema
{(pq, A), (1, B), (p, C)}.
Kako prava CF sadrºi teºi²te T , to je ta£ka F teºi²te sistema
{(pq, A), (1, B)}.
iz toga sledi da je −→AF :
−−→FB = 1 : pq.
Dakle, −−→BD−−→DC·−−→CE−→EA·−→AF−−→FB
=p
1· q
1· 1
pq= 1
Posmatrajmo sada u suprotnom, ako vaºi−−→BD−−→DC·−−→CE−→EA·−→AF−−→FB
= 1,
treba pokazati da su prave AD, BE, CF konkurentne. Pretpostavimo su-protno, da se ne seku u jednoj ta£ki. Tada postoji ta£ka F ′ na pravoj ABtakva da je ta£ka T na pravoj CF ′. Na osnovu prvog smera vaºi:
−−→BD−−→DC·−−→CE−→EA·−−→AF ′
−−→F ′B
= 1
25
Na osnovu pretpostavke vaºi:
−−→BD−−→DC·−−→CE−→EA·−→AF−−→FB
= 1
Iz poslednjih jednakosti sledi da je
−−→AF ′
−−→F ′B
=
−→AF−−→FB
.
Po²to su ta£ke A, F ′, F i B kolinearne, to se ta£ke F ′ i F poklapaju a to jekontradikcija. Postoji slu£aj kada je uslov zadovoljen, a prave su paralelne(kada je zbir masa jednak nuli). Me�utim, taj slu£aj ne¢emo razmatrati zato²to ne moºe da se dokaºe preko osobina centra masa. �
Primer 2.4.1. Neka su A1, B1 i C1 redom sredi²ta stranica BC,CA i ABtrougla ABC. Tada se AA1, BB1 i CC1 seku u jednoj ta£ki koja te duºi deliu odnosu 2 : 1 (osnovna osobina teºi²ta).
Re²enje: Po²to su BA1 = A1C, CB1 = B1A, AC1 = C1B, vaºi:
Slika 2.3
−−→BA1−−→A1C
·−−→CB1−−→B1A
·−−→AC1−−→C1B
= 1.
26
Iz �evine teoreme sledi da se duºi AA1, BB1 i CC1 seku u jednoj ta£ki i nekaje to ta£ka T (Slika 2.3). Pridruºimo svakom temenu A,B i C masu 1. Tadaje A1 teºi²te sistema
{(1, B), (1, C)},a B1 teºi²te sistema
{(1, A), (1, C)},pa je T teºi²te sistema
{(1, A), (1, B), (1, C)}.
Sledi da je T teºi²te sistema
{(2, A1), (1, A)}
pa jeAT : TA1 = 2 : 1
sli£no dobijamo da jeBT : TB1 = 2 : 1
iCT : TC1 = 2 : 1. �
Starogr£ki matemati£ar Menelaj je dokazao teoremu vrlo sli£nu prethod-noj, a koja govori o kolinearnosti ta£aka na pravama kojima pripadaju stra-nice trougla.
Teorema 2.4.3 (Menelajeva teorema). Neka su u trouglu ABC ta£ke D, Ei F izabrane redom na stranicama (ili na njihovim produºecima) BC, CA,AB. Ta£ke su kolinearne ako i samo ako vaºi jednakost:
−−→BD−−→DC·−−→CE−→EA·−→AF−−→FB
= −1.
Dokaz: Pretpostavimo da su ta£keD, E i F kolinearne. Razlikujemo dvaslu£aja: kada prava odre�ena ta£kamaD, E, F se£e dve stranice i produºetaktre¢e (Slika 2.4) i kada ta prava se£e sva tri produºetka stranica (Slika 2.5).
1.Slu£aj:
Neka je F centar mase sistema
{(mA, A), (mB, B)}
27
Slika 2.4
i neka je C centar mase sistema
{(mD, D), (mB, B)}.
Tada se u preseku pravih AC i DF nalazi teºi²te sistema
{(mA, A), (mB, B), (mD, D)}
i vaºe slede¢e jednakosti:(1) mB
−−→CB +mD
−−→CD =
−→0
(2) mA−→FA+mB
−−→FB =
−→0
(3) mA
−→EA+ (mB +mD)
−−→EC =
−→0 .
Iz jednakosti (1) sledi:
−−→BC−−→CD
=mD
mB
,
−−→BC−−→CD
+
−−→CD−−→CD
=mD
mB
+1
1,
−−→BD−−→DC
= −mB +mD
mB
.
Na sli£an na£in se i iz druge dve jednakosti moºe pokazati da vaºi:
−→AF−−→FB
=mB
mA
,
−−→CE−→EA
=mA
mB +mD
.
28
Kad poslednje tri jednakosti pomnoºimo dobijemo:
−−→BD−−→DC·−−→CE−→EA·−→AF−−→FB
= −mB +mD
mB
· mB
mA
· mA
mB +mD
= −1.
2. Slu£aj: Neka je C centar mase sistema
Slika 2.5
{(mB, B), (mD, D)},
i F centar mase sistema
{(mE, E), (mD, D)}.
Tada je A centar mase sistema
{(mE, E), (mB, B), (mD, D)}.
Analogno prvom slu£aju, dobija se da vaºi:
−−→BD−−→DC·−−→CE−→EA·−→AF−−→FB
= −mB +mD
mB
· mB
mA
· mA
mB +mD
= −1.
Posmatrajmo u drugom smeru: polaze¢i od poslednje jednakosti,treba dadokaºemo da su ta£ke D, E i F kolinearne.
Pretpostavimo da vaºi suprotno, tj. da D, E i F nisu kolinearne. Tadapostoji ta£ka F ′ na pravoj AD takva da su D, E i F ′ kolinearne. Na osnovuprvog smera vaºi
{(mE, E), (mB, B), (mD, D)}.
29
Analogno prvom slu£aju, dobija se da vaºi:
−−→BD−−→DC·−−→CE−→EA·−−→AF ′
−−→F ′B
= −1,
a na osnovu pretpostavke−−→BD−−→DC·−−→CE−→EA·−→AF−−→FB
= −1.
Iz toga sledi: −−→AF ′
−−→F ′B
=
−→AF−−→FB
.
Po²to su A, B, F , F ′ kolinearne to je F ≡ F ′. Kontradikcija.
Teorema 2.4.4 (12 Simpsonova teorema). Iz proizvoljne ta£ke M koja senalazi na kruºnici povu£ene su normale na sve tri stranice (ili na njihoveproduºetke) trougla ABC koji je upisan u tu kruºnicu. Podnoºja tih normalaA1, B1 i C1 su kolinearne ta£ke.
Dokaz: Dokaºimo da je ispunjen uslov Menelajeve teoreme za kolinear-nost ta£aka A1, B1 i C1, tj.
−−→BA1−−→A1C
·−−→CB1−−→B1A
·−−→AC1−−→C1B
= −1.
Neka su oznake ta£aka uvedene kao na slici i neka je ∠MBA = α, ∠MBC =β, ∠MCB = γ (Slika 2.6). Koriste¢i tvr�enje o jednakosti periferijskihuglova nad istim lukom sledi
∠MBA = ∠MCA = α
i∠MCB = ∠MAB = γ.
Iz pravouglog trougla MA1C sledi
A1C
A1M= ctg γ,
i iz pravouglog trougla MA1B sledi
A1B
A1M= ctg(π − β) = − ctg β,
12Thomas Simpson (1710-1761), britanski matemati£ar.
30
Slika 2.6
pa dobijamo da je −−→BA1−−→CA1
= −ctg β
ctg γ.
Stoga ako postavimo mase ctg β (< 0) i ctg γ redom u ta£ke C i B, tada jeta£ka A1 centar mase sistema
{(ctg β,B), (ctg γ, C)}.
Postavimo masu ctgα u ta£ku A. Po²to je masa u ta£ki B jednaka ctg γ toje C1 centar mase sistema
{(ctgα,A), (ctg γ,B)},
i vaºi −−→AC1−−→C1B
=ctg γ
ctgα.
31
Iz pravouglog trougla MB1C sledi
CB1
MB1
= ctgα
i iz pravouglog trougla MAB1 sledi
AB1
MA= ctg(∠MAB1) = ctg(π − β) = − ctg β.
Neka je ta£ka A′ centralno simetri£na ta£ki A u odnosu na ta£ku B1 i posta-vimo masu ctgα u A′. Kako je AB1 = B1A′ i vaºi raspored ta£aka B1−A′−Csledi da je
A′B1
CB1
= −ctg β
ctgα
tj. −−→CB1−−→B1A
′=
ctgα
ctg β.
Dakle B1 je centar mase sistema
{(ctgα,A′), (ctg γ, C)}.
Po²to je B1 sredi²te duºi AA′ to je
−−→B1A
′ = −−−→B1A,
onda je −−→CB1−−→B1A
= −ctgα
ctg β.
Tada je −−→BA1−−→A1C
·−−→CB1−−→B1A
·−−→AC1−−→C1B
=ctg β
ctg γ· − ctgα
ctg β· ctg γ
ctgα= −1.
Iz poslednje jednakosti, na osnovu Menelajeve teoreme, sledi da su ta£keA1, B1 i C1 kolinearne. �
32
Glava 3
Baricentri£ne koordinate
U cilju diskusije baricentri£nog ra£una u ovom poglavlju predstavljamobaricentri£ne koordinate, koje koristimo za odre�ivanje nekoliko ta£aka trou-gla. Trouglovi, za razliku od paralelograma i krugova imaju nekoliko ta£aka,od kojih su £etri ve¢ poznata iz drevne Gr£ke. Te £etri poznate ta£ke trouglasu: teºi²te T , ortocentar H, centar upisanog kruga I i centar opisanog krugaO. Ta£ke T,H i O su kolinearne i leºe na pravoj koja se zove Ojlerova prava.
• Teºi²te trougla, T , je ta£ka koja se dobija u preseku teºi²nih linijatrogla. Teºi²te trougla je tako�e poznato kao baricentar trougla.
• Ortocentar trougla, H, je ta£ka koja se dobija u preseku visina trougla.
• Centar upisanog kruga, I, je ta£ka koja se dobija u preseku simetralauglova, koja je podjednako udaljena od svih stranica trougla.
• Centar opisanog kruga, O, je ta£ka koja je podjednako udaljena odtemena, odnosno dobija se u preseku simetrala stranica.
Postoje jo² mnoge druge ta£ke.
3.1 Euklidske baricentri£ne koordinate
U astronomiji, pod baricentrom, podrazumeva se ta£ka izmedju dva objektakoja ih drºi u ravnoteºi. To je centar gravitacije gde dva ili vi²e nebeska telakruºe jedno oko drugog. Re£ baricentar zna£i centar gravitacije, kako je usvojoj knjizi objasnio Mebijus 1827. godine. Njegova ideja koju je ilustrovao
33
na primeru trogla, je da uzme mase m1, m2, m3 redom za tri nekolinearneta£ke A1, A2, A3 u Euklidskom prostoru R2 i izra£una centar mase ili impuls,P , tj. baricentar je dat jedna£inom
P =m1A1 +m2A2 +m3A3
m1 +m2 +m3
.
Baricentri£ne koordinate ta£ke P u prostoru trougla A1A2A3 u odnosu naovaj trougao mogu biti posmatrane kao mase m1, m2, m3 koje su dodeljeneta£kama A1, A2, A3 tako da ta£ka P postaje ta£ka ravnoteºe ovog prostora.Zaklju£ujemo, da je ta£ka P centar mase kada se ta£ke iz R2 posmatraju kaovektori poloºaja, i centar impulsa kada se ta£ke u R2 posmatraju kao vektorirelativne brzine.
De�nicija 3.1.1. Skup S od N ta£aka S = {A1, ..., AN} u Rn, n ≥ 2,je odvojeno nezavisan ako su vektori −A1 + Ak, k = 2, ..., N , linearnonezavisni.
Pojam odvojene nezavisnosti je koristan za narednu de�niciju Euklidskihbaricentri£nih koordinata.
De�nicija 3.1.2. Neka je S = {A1, ..., AN} odvojeno nezavisan skup od Nta£aka u Rn. Tada su realni brojevi m1,...,mN , za koje vaºi
N∑k=1
mk 6= 0
baricentri£ne koordinate ta£ke P ∈ Rn s obzirom na skup S ako vaºi
P =
N∑k=1
mkAk
N∑k=1
mk
.
Poslednja jedna£ina se naziva baricentri£na reprezentacija ta£ke P u od-nosu na skup S = {A1, ..., AN}. Baricentri£ne koordinate su homogeneu smislu da su baricentri£ne koordinate (m1, ...,mN) ta£ke P ekvivalentnebaricentri£nim koordinatama (λm1, ..., λmN) za svaki realan broj razli£it odnule. Kako je u baricentri£nim koordinatama samo odnos koordinata bitan,baricentri£ne koordinate (m1, ...,mN) se tako�e pi²u kao (m1 : ... : mN) pavaºi
(m1 : ... : mN) = (λm1 : ... : λmN)
za svaki realan λ 6= 0.
34
Baricentri£ne koordinate koje su normalizovane uslovom
N∑k=1
mk = 1
nazivaju se specijalne baricentri£ne koordinate.Za ta£ku P se kaºe da je baricentri£na kombinacija ta£aka skupa S,
koja ima baricentri£nu reprezentaciju
P =
N∑k=1
mkAk
N∑k=1
mk
.
Baricentri£na kombinacija je pozitivna ako su svi koe�cijentimk, k = 1, ..., N ,pozitivni. Skup svih pozitivnih baricentri£nih kombinacija ta£aka skupa S na-ziva se konveksan raspon od S.
Konstanta
m0 =N∑k=1
mk
naziva se konstanta ta£ke P u odnosu na skup S.
Odvojena nezavisnost skupa S iz De�nicije 3.1.2 potvr�uje da je baricen-tri£na reprezentacija ta£ke u odnosu na skup S jedinstvena.
De�nicija 3.1.3. Konveksan raspon odvojeno nezavisnog skupa S = {A1, ..., AN} za N ≥ 2 ta£aka iz Rn je (N−1) - dimenzionalan simpleks, tj. (N−1)simpleks i oznacava se sa A1, ..., AN . Ta£ke skupa S su temena simpleksa.Konveksan raspon od N − 1 ta£aka je lice simpleksa. Koveksan raspon bilokoja dva temena je ivica simpleksa.
Bilo koje dve razli£ite ta£ke A,B ∈ Rn su odvojeno nezavisne i njihovkonveksan raspon je unutra²njost segmenta AB i to je 1 - simpleks, sli£nobilo koje tri nekolinearne ta£ke A,B,C ∈ Rn, n ≥ 2, su odvojeno nezavisnei njihov konveksan raspon je unutra²njost trougla ABC ²to je 2 - simpeks.Konveksan raspon bilo koje £etri odvojeno nezavisne ta£ke A,B,C,D ∈ Rn,n ≥ 3, je unutrasnjost tetraedra ABCD ²to je 3 - simpleks.
35
3.2 Sli£nost sa mehanikom
Baricentri£ne reprezentacije ta£aka u Euklidskom prostoru Rn s obziromna skup S = {A1, ..., AN} temena simpleksa u Rn imaju veliku vaºnost uklasi£noj mehanici. Vo�en analogijom klasi£ne mehanike, (N − 1) - simpleksod N ta£aka odvojeno nezavisnog skupa S = {A1, ..., AN} duº baricentri£nihkoordinata (m1 : m2 : ... : mN) moºe se posmatrati kao izolovan sistemS = {Ak,mk, k = 1, ..., N} nedeluju¢ih £estica, gde je mk ∈ R masa k -te £estice i Ak brzina k - te £estice, k = 1, ..., N u odnosu na proizvoljnoizabrano O = 0 = (0, ..., 0) Njutnovog prostora brzine Rn. Svaka ta£kaNjutnovog prostora brzine predstavlja brzinu inercionog sklopa. Naravnota£ka O = 0 predstavlja ostatak sklopa.
Analogno klasi£noj mehanici, ta£ka P iz
P =
N∑k=1
mkAk
N∑k=1
mk
je brzina centra momenta (CM) sklopa sistema £estica S.Kona£no, konstanta m0 iz
m0 =N∑k=1
mk
ta£ke P skupa S se posmatra u kontekstu klasi£ne mehanike kao totalna
masa sistema £estica S.Pored svih sli£nosti izme�u Euklidske geometrije i klasi£ne mehanike po-
stoje i bitne razlike. Za razliku od klasi£ne mehanike, gde su mase uvekpozitivne, u Euklidskoj geometriji "mase" mk, k = 1, ..., N , uzete kao bari-centri£ne koordinate ta£ke, ne moraju biti pozitivne. Analogije sa klasi£nommehanikom pomo¢i¢e da se napravi veza sa hiperboli£kom geometrijom, gdesu analogije sa klasi£nom mehanikom zamenjene analogijama relativisti£kemehanike. Dakle pri prelazu iz Euklidske u hiperboli£ku geometriju
1. Euklidski prostor Njutnovih brzina zamenjuje Euklidska kugla Ajn²taj-novih brzina ²to je kugla svih relativnih brzina.
2. Dodatak Njutnovom zakonu brzine, ²to je uobi£ajan vektor u Euklid-skom prostoru, zamenjen je Ajn²tajnovim zakonom brzine u kugli re-lativnih brzina.
3. Njutnova masa zamenjena je relativnom masom koja zavisi od brzine.
36
3.3 Baricentri£ne reprezentacije su kovarijantne
Iz formule
P =
N∑k=1
mkAk
N∑k=1
mk
,
sledi da baricentri£ne koordinate ne zavise od izbora vektorskog prostora, tj.
W + P =
N∑k=1
mk(W + Ak)
N∑k=1
mk
,
za sve W ∈ Rn. Dokaz prethodne jednakosi sledi iz oblika ta£ke P koriste¢idistributivnost mnoºenja u odnosu na sabiranje vektora. Sledi da je bari-centri£na reprezentacija ta£ke P kovarijantna s obzirom na prelazak na Rn
jer ta£ka P i ta£ake Ak, k = 1, ..., N generatornog skupa S = {A1, ..., AN}variraju u prethodnoj jednakosti pri tom prelasku.
Neka je R ∈ SO(n) element specijalne ortogonalne grupe SO(n) svihkvadratnih matrica reda n sa determinantom 1, koji predstavlja rotacijuprostora Rn. Kada je R linearan vaºi
RP =
N∑k=1
mkRAk
N∑k=1
mk
za sve R ∈ SO(n).Odavde sledi da su baricentri£ne reprezentacije ta£ke P kovarijantne s
obzirom na rotaciju u Rn ta£ke P i ta£ke Ak, k = 1, ..., N generatornogskupa S koje variraju pri rotaciji.
Skup svih ta£aka skupa Rn, £ije su sve baricentri£ne koordinate pozitivneu odnosu na skup S, formiraju otvoren konveksan podskup skupa Rn, ²toje otvoren N - simpleks sa N temena. N - simpleks sa temenima A1, ..., ANse ozna£ava sa A1...AN , na primer, A1A2 je otvoren segment sa pridruºenimta£kama A1, A2 u Rn, n ≥ 1, a A1A2A3 je unutra²njost trougla s temenimaA1, A2 i A3 u Rn, n ≥ 2. Ako pozitivan broj mk posmatramo kao masu
37
objekta sa Njutnovom brzinom Ak ∈ Rn, 1 ≤ k ≤ N , ta£ke P u
P =
N∑k=1
mkAk
N∑k=1
mk
zaklju£ujemo da je to centar momenta od N masa mk, 1 ≤ k ≤ N .�tavi²e sve mase su jednake, centar mase je teºi²te N - simpleksa. Kao
primenu kovarijanse baricentri£nih reprezentacija dajemo slede¢u lemu:
Lema 3.3.1. Neka je A1A2A3 trougao u Euklidskom prostoru Rn, i neka je
P =m1A1 +m2A2 +m3A3
m1 +m2 +m3
baricentri£na reprezentacija ta£ke P ∈ Rn s obzirom na skup {A1A2A3}temena trougla. Tada,
|| − A1 + P ||2 =m2
2a212 +m2
3a213 +m2m3(a
212 + a213 − a223)
(m1 +m2 +m3)2
|| − A2 + P ||2 =m2
1a212 +m2
3a223 +m1m3(a
212 − a213 + a223)
(m1 +m2 +m3)2
|| − A3 + P ||2 =m2
1a213 +m2
2a223 +m1m2(−a212 + a213 + a223)
(m1 +m2 +m3)2.
Dokaz: Na osnovu osobine kovarijanse baricentri£ne reprezentacije imamo
−A1 + P =m1(−A1 + A1) +m2(−A1 + A2) +m3(−A1 + A3)
m1 +m2 +m3
=m2a12 +m3a13m1 +m2 +m3
tako da je
|| − A1 + P ||2 =m2
2a212 +m2
3a213 + 2m2m3a12a13 cosα1
(m1 +m2 +m3)2.
Primenom kosinusne teoreme na trougao A1A2A3 i ugla α1 imamo
2a12a13 cosα1 = a212 + a213 − a223.
Eliminacijom cosα1 izme�u dve prethodne jednacine imamo prvu jednakostna²e teoreme. Druga i tre¢a jednakost teoreme sledi iz prve cikli£nom per-mutacijom temena trougla. �
38
3.4 Vektor baricentri£ne reprezentacije
Dve ta£ke P, P ′ ∈ Rn de�ni²u vektor −→v = −P ′ + P u Rn sa repom P ′ iglavom P . U narednoj teoremi pokaza¢emo da ako svaka od ta£aka P i P ′
ima baricentri£nu reprezentaciju s obzirom na odvojeno nezavisan skup S ={A1, ..., AN} od N ta£aka u Rn onda vektor −→v = −P ′ + P ima indukovanureprezentaciju s obzirom na vektore aij = −Aj + Ai, i, j = 1, ..., N , i < j,koji zovemo vektor baricentri£ne reprezentacije.
Teorema 3.4.1. Neka su
P =
N∑i=1
miAi
N∑i=1
mi
i
P ′ =
N∑j=1
m′jAj
N∑j=1
m′j
baricentri£ne reprezentacije ta£aka P, P ′ ∈ Rn s obzirom na odvojeno nezavi-san skup S = {A1, ..., AN} od N ta£aka u Rn. Tada, vektor −→v koji predstavljarazliku vektora poloºaja, −→v = −P + P ′, ima baricentri£nu reprezentaciju
−→v = −P + P ′ =
N∑i,j=1,i<j
(mim′j −m′imj)(−Ai + Aj)
N∑k=1
mi
M∑j=1
m′j
.
Dokaz: Dokaz daje slede¢i niz jednakosti a obja²njenja su numerisana i
39
nalaze se ispod jednakosti
−P + P ′ =
N∑j=1
m′j(−P + Aj)
N∑j=1
m′j
= −
N∑j=1
m′j(−Aj + P )
N∑j=1
m′j
(3.1)
= −
N∑j=1
m′j
−Aj +
N∑i=1
miAi
N∑i=1
mi
N∑j=1
m′j
(3.2)
= −
N∑j=1
m′j
N∑i=1
mi(−Aj+Ai)
N∑i=1
mi
N∑j=1
m′j
(3.3)
= −
N∑j=1
m′jN∑i=1
mi(−Ai + Aj)
N∑i=1
mi
N∑j=1
m′j
(3.4)
=
N∑i,j=1,i<j
mim′j(−Ai + Aj) +
N∑i,j=1,i>j
mim′j(−Ai + Aj)
N∑i=1
mi
N∑j=1
m′j
(3.5)
=
N∑i,j=1,i<j
mim′j(−Ai + Aj)−
N∑i,j=1,i<j
mjm′i(−Ai + Aj)
N∑i=1
mi
N∑j=1
m′j
(3.6)
=
N∑i,j=1,i<j
(mim′j −m′imj)(−Ai + Aj)
N∑i=1
mi
N∑j=1
m′j
(3.7)
=
N∑i,j=1,i<j
(mim′j −m′imj)aij
N∑i=1
mi
N∑j=1
m′j
. (3.8)
40
slede obja²njenja:(1) Sledi iz baricentri£ne reprezentacije ta£ke P ′ sa kovarijantnim osobi-
nama baricentri£ne reprezentacije.(2) Sledi iz (1) zamenom baricentri£ne reprezentacije za ta£ku P(3) Sledi iz (2) na osnovu osobina kovarijanse.(4) Sledi iz (3) direktno.(5) Sledi iz (4) direktno i primetimo da par (i, j) se gubi za i = j(6) Sledi iz (5) zamenjuju¢i i i j u drugoj sumi.(7) Sledi direktno iz (6)(8) Korak iz (7) u (8) se razlikuje samo u oznaci. U ovoj oznaci vektor
−Ai + Aj sa repom Ai i glavom Aj je ozna£en sa aij = −Ai + Aj i njegovanorma je aij = || − Ai + Aj||. �
Primer 3.4.1. Neka su
I =a23A1 + a13A2 + a12A3
a12 + a13 + a23
iP =
a13A2 + a12A3
a12 + a13
baricentri£ne reprezentacije ta£ke I, P ∈ Rn gde su a12, a13, a23 > 0, iS = {A1, A2, A3} je odvojeno nezavisan skup u Rn, n ≥ 2.
Tada, u baricentri£nim koordinatama ozna£enim u prethodnoj teoremi
I =m1A1 +m2A2 +m3A3
m1 +m2 +m3
i
P =m′1A1 +m′2A2 +m′3A3
m′1 +m′2 +m′3
gde jem1 = a23, m2 = a13, m3 = a12
im′1 = 0, m′2 = a13, m′3 = a12.
Pa na osnovu jednakosti
v = −P + P ′ =
N∑i,j=1,i<j
(mim′j −m′imj)(−Ai + Aj)
N∑k=1
mi
M∑j=1
m′j
,
41
iz prethodne teoreme, imamo vektor baricentri£ne reprezentacije
−I + P =(m1m
′2 −m′1m2)a12 + (m1m
′3 −m′1m3)a13 + (m2m
′3 −m′2m3)a23
(m1 +m2 +m3)(m′1 +m′2 +m′3)
= a23a13a12 + a12a13
(a12 + a13)(a12 + a13 + a23). �
3.5 Zna£ajne ta£ke trougla
3.5.1 Teºi²te trougla
Teºi²te trougla nalazi se u preseku teºi²nih linija trougla, odnosno pravihkoje spajaju teme sa sredinom naspramne stranice (Slika 3.1).
Neka je A1A2A3 trougao sa temenima A1, A2 i A3 u Euklidskom n - di-menzionalnom prostoru Rn, i neka je ta£ka T teºi²te za n = 2. Tada jeta£ka T preko baricentri£nih koordinata (m1 : m2 : m3) s obzirom na skup{A1, A2, A3} data jednako²¢u
T =m1A1 +m2A2 +m3A3
m1 +m2 +m3
gde su baricentri£ne koordinate m1,m2 i m3, ta£ke T , odre�ene u daljemtekstu. Sredi²nja ta£ka stranice A1A2 data je sa
MA1A2 =A1 + A2
2
tako da je prava L123 kroz ta£ku MA1A2 i A3 data sa
L123(t1) = A3 +
(−A3 +
A1 + A2
2
)t1
sa parametrom t1 ∈ R. Prava L123(t1) sadrºi jednu od tri teºi²ne linije trouglaA1A2A3. Jedna£ine pravih L123, L231 i L312, koje sadrºe, sve tri teºi²ne linijetrougla dobijene su iz prethodne jedna£ine ciklicnim permutacijama
L123(t1) =t12A1 +
t12A2 + (1− t1)A3,
L231(t2) =t22A2 +
t22A3 + (1− t3)A2,
L321(t3) =t32A3 +
t32A1 + (1− t3)A2,
42
Slika 3.1
gde su t1, t2, t3 ∈ R.Teºi²te T se nalazi u preseku ovih pravih. Ta£ka T je odre�ena re²ava-
njem jedna£ina L123(t1) = L231(t2) = L312(t3) za nepoznate t1, t2, t3 ∈ R.Dobijamo da je t1 = t2 = t3 = 2
3. Stoga, T je dato sa
T =A1 + A2 + A3
3.
U pore�enju dobijene jednakosti sa
T =m1A1 +m2A2 +m3A3
m1 +m2 +m3
,
na²li smo specijalne baricentri£ne koordinate (m1,m2,m3) ta£ke T s obziromna skup {A1, A2, A3} koje su date sa
m1 = m2 = m3 =1
3.
Stoga, pogodne baricentri£ne koordinate (m1 : m2 : m3) ta£ke T mogu btidate sa
(m1 : m2 : m3) = (1 : 1 : 1).
3.5.2 Visina trougla
Neka je dat trougao A1A2A3 sa temenima A1, A2 i A3 u Euklidskom n- dimenzionalnom prostoru Rn i neka je ta£ka P3 ortogonalna projekcija iztemena A3 koja se nalazi na stranici A1A2 (ili na njenom produºetku) kaosto je prikazano na slici, za n = 2 (Slika 3.2). �tavi²e, neka su (m1 : m2)
43
baricentri£ne koordinate ta£ke P3 s obzirom na skup {A1, A2}. Tada, ta£kaP3 preko baricentri£nih koordinata (m1 : m2) s obzirom na skup {A1, A2}data je jedna£inom
P3 =m1A1 +m2A2
m1 +m2
,
gde su baricentri£ne koordinate m1 i m2 ta£ke P3 odre�ene u daljem tekstu.Na osnovu kovarijanse baricentri£ne reprezentacije koordinata s obzirom
na translaciju imamo, za X = A1 i X = A2
p1 = −A1 + P3 =m2(−A1 + A2)
m1 +m2
=m2a12
m1 +m2
p2 = −A2 + P3 =m1(−A2 + A1)
m1 +m2
=−m1a12
m1 +m2
.
Kao ²to se vidi na slici, uzimamo oznake
aij = −Ai + Aj, aij = ||aij||
za i, j = 1, 2, 3, i 6= 1. Naravno, uop²teno, aij 6= aji, ali aij = aji. Tako�euzimamo oznake
p1 = −A1 + P3, p1 = ||p1||p2 = −A2 + P3, p2 = ||p2||
ih = −A3 + P3, h = ||h||.
Slika 3.2
44
U ovim oznakama, vektorske jedna£ine postaju skalarne
p1 =m2a12m1 +m2
p2 =m1a12m1 +m2
.
Primenom Pitagorine teoreme na trouglove A1P3A3 i A2P3A3 sledi
h2 = a213 − p21 = a223 − p22.
Na osnovu prethodnih jednakosti imamo
a213 −m2
2a212
(m1 +m2)2= a223 −
m21a
212
(m1 +m2)2.
Normalizacijom m1 i m2
m1 +m2 = 1
dobijamo specijalne baricentri£ne koordinate {m1,m2} ta£ke P3 s obziromna skup {A1, A2}:
m1 =a212 − a213 + a223
2a212,
m2 =a212 + a213 − a223
2a212,
tako da pogodne baricentri£ne koordinate (m1 : m2) ta£ke P3 s obzirom naskup {A1, A2} mogu biti date sa
m1 = a212 − a213 + a223m2 = a212 + a213 − a223.
Stoga,
P3 =1
2
(a212 − a213 + a223
2a212
)A1 +
1
2
(a212 + a213 − a223
2a212
)A2.
Na osnovu sinusne teoreme
a23sinα1
=a13
sinα2
=a12
sinα3
45
za trougao A1A2A3 na slici, prethodna jednakost moºe biti ispisana kao
P3 =sin2 α1 − sin2 α2 + sin2 α3
2 sin2 α3
A1 +− sin2 α1 + sin2 α2 + sinα3
2 sin2 α3
A2.
Koriste¢i uslovα1 + α2 + α3 = π,
tada za uglove trougla imamo trigonometrijske identi£nosti
− sin2 α1 + sin2 α2 + sin2 α3 = 2 cosα1 sinα2 sinα3,
sin2 α1 − sin2 α2 + sin2 α3 = 2 sinα1 cosα2 sinα3,
gde jeα3 = π − α1 − α2.
Zamenom prethodne jednakosti u
P3 =sin2 α1 − sin2 α2 + sin2 α3
2 sin2 α3
A1 +− sin2 α1 + sin2 α2 + sinα3
2 sin2 α3
A2
imamoP3 =
sinα1 cosα2
sin(α1 + α2)A1 +
cosα1 sinα2
sin(α1 + α2)A2
tada, specijalne baricentri£ne koordinate (m1,m2) ta£ke P3 s obzirom na skup{A1, A2} su
(m1,m2) =
(sinα1 cosα2
sin(α1 + α2),
cosα1 sinα2
sin(α1 + α2)
)prema tome, pogodne trigonometrijske baricentri£ne koordinate (m′1 : m′2)ta£ke P3, s obzirom na skup {A1, A2} su
(m′1 : m′2) = (sinα1 cosα2 : cosα1 sinα2) = (tgα1 : tgα2).
Visina h3 trougla A1A2A3 je vektor
h3 = −A3 + P3
=1
2
(a212 − a213 + a223
a212
)(−A3 + A1) +
1
2
(a212 + a213 − a223
a212
)(−A3 + A1)
=1
2
(a212 − a213 + a223
a212
)a31 +
1
2
(a212 + a213 − a223
a212
)a31,
46
koriste¢i osobinu kovarijanse baricentri£nih reprezentacija. Primetimo da jea31 = −a13, pa je a13 = ||a31|| = ||a13|| = a13, itd.
Na osnovu kosinusne teoreme,
a212 = a213 + a223 − 2a13a23 cosα3,
i oznaka sa slike, imamo
2a31 · a32 = 2(−A3 + A1) · (−A3 + A2)
= 2a13a23 cosα3
= −a212 + a213 + a223.
Sledi da vaºi
h23 = ||h23||
=1
4·
{(a212 − a213 + a223
a212
)a213 +
(a212 + a213 − a223
a212
)a223
+a212 − a213 + a223
a212· a
212 + a213 − a223
a212(−a212 + a213 + a223)
}
=(a12 + a13 + a23)(−a12 + a13 + a23)(a12 − a13 + a23)(a12 + a13 − a23)
4a212
=F2(a12, a13, a23)
4a212.
Ovde je F2(a12, a13, a23) data sa
F2(a12, a13, a23) = (a12+a13+a23)(−a12+a13+a23)(a12−a13+a23)(a12+a13−a23)
= −
∣∣∣∣∣∣∣∣0 a212 a213 1a221 0 a223 1a231 a232 0 11 1 1 0
∣∣∣∣∣∣∣∣simetri£na funkcija duºina stranice trougla koja se moºe prikazati deter-
minatom koja se zove Cayley-Menger determinanta.
Teorema 3.5.1 (Heronova formula). Povr²ina |A1A2A3| trougla A1A2A3 uEuklidskom prostoru Rn data je Heronovom formulom
|A1A2A3| =1
2a12h3
=1
4
√a12 + a13 + a23
√−a12 + a13 + a23
√a12 − a13 + a23
√a12 + a13 − a23. �
47
3.5.3 Ortocentar trougla
Ortocentar trougla nalazi se u preseku visina trougla (Slika 3.3). Neka
Slika 3.3
su P1, P2 i P3 podnoºja visina trougla A1A2A3 u Euklidskom prostoru Rn
za n = 2. Baricentri£ne reprezentacije ta£aka P1, P2 i P3 s obzirom na skup{A1, A2, A3} su
P1 =1
2·(−a212 + a213 + a223
a223
)· A2 +
1
2
(a212 − a213 + a223
a223
)· A3
P2 =1
2·(−a212 + a213 + a223
a213
)· A1 +
1
2
(a212 + a213 − a223
a213
)· A3
P3 =1
2·(a212 − a213 + a223
a212
)· A1 +
1
2
(a212 + a213 − a223
a212
)· A2.
Jedna£ine pravih koje sadrºe visine trougla A1A2A3 su:
LA1P1 = A1 + (−A1 + P1)t1,
LA2P2 = A2 + (−A2 + P2)t2,
LA3P3 = A3 + (−A3 + P3)t3,
sa tri parametra −∞ < t1, t2, t3 <∞, gde su podnoºja visina P1, P2, P3.U cilju odre�ivanja ta£ke H, preseka visina, ako postoji, treba re²iti vek-
torske jedna£ine
A1 + (−A1 + P1)t1 = A2 + (−A2 + P2)t2 = A3 + (−A3 + P3)t3
48
tri nepoznata skalara t1, t2, t3. Re²enje se dobija u obliku
t1 =2(−a12 − a13 + a23)
D· a23,
t2 =2(−a12 + a13 − a23)
D· a13,
t3 =2(a12 − a13 − a23)
D· a12,
gde jeD = a212 + a213 + a223 − 2(a12a13 + a12a23 + a13a23).
Ukoliko dobijeni oblik za t1 (redom, za t2, t3) zamenimo u jedna£inu prave
LA1P1 = A1 + (−A1 + P1)t1
dobijamo ortocentar H trougla A1A2A3 preko baricentri£nih koordinata
H =m1A1 +m2A2 +m3A3
m1 +m2 +m3
,
gde su pogodne baricentri£ne koordinate
m1 = a423 − (a212 − a213)2,m2 = a413 − (a212 − a223)2,m3 = a412 − (a223 − a213)2.
Na osnovu sinusne teoreme, baricentri£ne koordinate za H mogu biti pred-stavljene preko uglova trougla na slede¢i na£in:
m1 =1− cos 2α1 − cos 2α2 + cos 2α3
1 + cos 2α1 − cos 2α2 − cos 2α3
,
m2 =1− cos 2α1 − cos 2α2 + cos 2α3
1− cos 2α1 + cos 2α2 − cos 2α3
,
m3 = 1.
Koriste¢i veze izme�u uglova trougla i koriste¢i trigonometrijske identi£nosti,baricentri£ne koordinate ortocentra H trougla A1A2A3 mogu se uprostiti,
m1 =tgα1
tgα3
, m2 =tgα2
tgα3
, m3 = 1
49
ili ekvivalentno, kako su baricentri£ne koordinate homogene, vaºi:
m1 = tgα1, m2 = tgα2, m3 = tgα3.
Kona£no, ortocentar H trougla A1A2A3 sa temenima A1, A2, A3 i odgo-varaju¢im uglovima α1, α2 i α3 moºe se predstaviti baricentri£nim koordina-tama jedna£inom
H =tgα1A1 + tgα2A2 + tgα3A3
tgα1 + tgα2 + tgα3
.
3.5.4 Centar upisanog kruga trougla
Upisana kruºnica je kruºnica koja leºi unutar trougla £ije su tangentestranice trougla. Centar I ove kruºnice je centar upisane kruºnice, a to jeta£ka koja se nalazi u preseku simetrala unutra²njih uglova trougla. Nekaje P3 ta£ka na stranici trougla A1A2A3 u n - dimenzionalnom Euklidskomprostoru Rn takva da je A3P3 simetrala ugla ∠A1A3A2 (Slika 3.4). Sledi,baricentri£ne koordinate ta£ke P3, (m1,m2) u odnosu na skup {A1, A2} datesu jedna£inom
P3 =m1A1 +m2A2
m1 +m2
,
gde ¢e baricentri£ne koordinate m1 i m2 ta£ke P3 biti naknadno odre�ene.Na osnovu kovarijanse baricentri£ne reprezentacije s obzirom na translacije,naro£ito za X = A1 i X = A2
p1 = −A1 + P3 =m2(−A1 + A2)
m1 +m2
=m2a12
m1 +m2
,
p2 = −A2 + P3 =m1(−A2 + A1)
m1 +m2
=−m1a12
m1 +m2
.
Koristimo oznake
a12 = −A1 + A2, a12 = ||a12||a13 = −A1 + A3, a13 = ||a13||a23 = −A2 + A3, a23 = ||a23||
i
p1 = −A1 + P3, p1 = ||p1||p2 = −A2 + P3, p2 = ||p2||
50
tako da jep1 =
m2a12m1 +m2
, p2 =m1a12m1 +m2
,
pa sledip1p2
=m2
m1
.
Na osnovu teoreme o simetrali ugla koja sledi direktno iz formule za sinus i
Slika 3.4
jedna£ine sin∠A1P3A3 = sin∠A2P3A3 simetrala ugla u trouglu deli suprotnustranicu trougla u istom odnosu kao stranice tog ugla. Dakle, vaºi
p1p2
=a13a23
.
Na osnovu sinusne teoreme
m2
m1
=a13a23
=sinα2
sinα1
,
pa su baricentri£ne koordinate za P3 date sa
m1 = a23, m2 = a13,
ili ekvivalentno sam1 = sinα2, m2 = sinα1.
Prema tome, ta£ka P3 je preko svojih baricentri£nih koordina (m1,m2) sobzirom na skup {A1, A2} data nekom od slede¢e dve jedna£ine
P3 =a23A1 + a13A2
a23 + a13
P3 =sinα1A1 + sinα2A2
sinα1 + sinα2
.
51
Slika 3.5
Tri bisektrise trougla A1A2A3 su A1P1, A2P2 i A3P3 (Slika 3.5). Analogno sedobija oblik za P1 i P2
P1 =a13A2 + a12A3
a13 + a12,
P2 =a23A1 + a12A3
a23 + a12,
P3 =a23A1 + a13A2
a23 + a13.
ili ekvivalentno
P1 =sinα2A2 + sinα3A3
sinα2 + sinα3
P2 =sinα1A1 + sinα3A3
sinα1 + sinα3
P3 =sinα1A1 + sinα2A2
sinα1 + sinα2
.
Jedna£ine pravih koje sadrºe bisektrise trougla A1A2A3 su
LA1P1 = A1 + (−A1 + P1)t1,
LA2P2 = A2 + (−A2 + P2)t1,
LA3P3 = A3 + (−A3 + P3)t1,
za tri parametra −∞ < t1, t2, t3 <∞, gde su podnoºja bisektrisa P1, P2 i P3.U cilju odre�ivanja ta£ke preseka I bisektrisa trougla ako postoje re²avamovektorske jedna£ine
A1 + (−A1 + P1)t1 = A2 + (−A2 + P2)t2 = A3 + (−A3 + P3)t3
52
za tri nepoznata skalara t1, t2 i t3. Re²enje dobijamo u obliku
t1 =a12 + a13
a12 + a13 + a23,
t2 =a12 + a23
a12 + a13 + a23,
t3 =a13 + a23
a12 + a13 + a23.
Ukoliko dobijeni oblik za t1 (redom, za t2, t3) zamenimo u jedna£inu prave
LA1P1 = A1 + (−A1 + P1)t1,
dobijamo centar upisane kruºnice trougla A1A2A3 preko baricentri£nih koor-dinata
I =m1A1 +m2A2 +m3A3
m1 +m2 +m3
gde su baricentri£ne koordinate
m1 = a23, m2 = a13, m3 = a12
ili ekvivalentno
m1 = sinα1, m2 = sinα2, m3 = sinα3.
Centar upisane kruºnice I, trougla A1A2A3 sa temenima A1, A2 i A3 iodgovaraju¢im stranicama a23, a13 i a12 preko baricentri£nih koordinata uodnosu na skup {A1, A2, A3} dat je jedna£inom
I =a23A1 + a13A2 + a12A3
a23 + a13 + a12.
Centar upisane kruºnice I, trougla A1A2A3 sa temenima A1, A2 i A3 i odgo-varaju¢im uglovima α1, α2 i α3 preko trigonometrijskih baricentri£nih koor-dinata u odnosu na skup {A1, A2, A3} dat je jedna£inom
I =sinα1A1 + sinα2A2 + sinα3A3
sinα1 + sinα2 + sinα3
.
Sinus svakog ugla trougla je pozitivan. Dakle, centar upisnog kruga leºi uunutra²njosti trougla.
53
3.5.5 Polupre£nik upisanog kruga trougla
Neka je I centar upisane kruºnice trougla A1A2A3 u Euklidskom prostoruRn (Slika 3.6). Na osnovu
I =a23A1 + a13A2 + a12A3
a23 + a13 + a12
i osobine kovarijanse baricentri£ne reprezentacije, imamo
−A1 + I = −A1 +a23A1 + a13A2 + a12A3
a23 + a13 + a12
=a13(−A1 + A2) + a12(−A1 + A3)
a23 + a13 + a12
=a13a12 + a12a13
a23 + a13 + a12.
Stoga,
a213 := || − A1 + I||2 =2a212a
213(1 + cosα1)
(a12 + a13 + a23)2,
uz napomenu da je
(−A1 + A2)(−A1 + A3) = a12a13 cosα1.
Na osnovu kosinusne teoreme za trougao A1A2A3,
2(1 + cosα1) =(a12 + a13)
2 − a223a12a13
.
Stoga, na osnovu prethodne tri jednakosti imamo,
a213 =a12a13
(a12 + a13 + a23)2{(a12 + a13)
2 − a223}.
Sli£no,
a223 := || − A2 + I||2 =2a212a
223(1 + cosα2)
(a12 + a13 + a23)2
pa stogaa223 =
a12a23(a12 + a13 + a23)2
{(a12 + a23)2 − a213}.
Vektori a13 i a23 sa njihovim intezitetima a13 i a23 prikazani su na slici.
54
Slika 3.6
Tangentna ta£ka T3 trougla A1A2A3, koja se nalazi nalazi na straniciA1A2 naspram temena A3, nalazi se u podnoºju normale povu£ene iz ta£keI koja prolazi kroz pravu LA1A2 koja je odre�ene ta£kama A1 i A2. Tada je
T3 =1
2
(a212 − a213 + a223
a212
)A1 +
1
2
(a212 + a213 − a223
a212
)A2.
Zamenoma213 =
a12a13(a12 + a13 + a23)2
{(a12 + a13)2 − a223}
ia223 =
a12a23(a12 + a13 + a23)2
{(a12 + a23)2 − a213}
u prethodnoj jednakosti dobijamo:
T3 =a12 − a13 + a23
2a12A1 +
a12 + a13 − a232a12
A2.
Ovaj zaklju£ak nam daje narednu teoremu.
Teorema 3.5.2. Neka je A1A2A3 trougao u Euklidskom prostoru Rn, i nekaje Tk tangentna ta£ka gde upisana kruºnica dodiruje trougao a koja se nalazina naspramnoj stranici temena Ak, k = 1, 2, 3. tada
T1 =−a12 + a13 + a23
2a23A2 +
a12 − a13 + a232a23
A3,
T2 =−a12 + a13 + a23
2a13A1 +
a12 + a13 − a232a13
A3,
T3 =a12 − a13 + a23
2a12A1 +
a12 + a13 − a232a12
A2.
55
Dokaz: Po²to ve¢ imamo tre¢u jednakost, prve dve jednakosti dobijamoiz prve cikli£nom permutacijom temena. �
Teorema 3.5.3. Neka je A1A2A3 trougao u Euklidskom prostoru Rn. Tadaje na osnovu oznaka sa slike polupre£nik r upisanog kruga u trouglu dat jed-nako²¢u
r =
√(p− a12)(p− a13)(p− a23)
p,
gde je p poluobim trougla
p =a12 + a13 + a23
2. �
Teorema 3.5.4 (Heronova formula). Neka je A1A2A3 trougao u Euklidskomprostoru Rn. Tada na osnovu oznaka sa slike, povr²ina |A1A2A3| trougla dataje Heronovom formulom
|A1A2A3| =√p(p− a12)(p− a13)(p− a23),
ili ²to je ekvivalentno sa
P 2 =1
16F2(a12, a13, a23)
gde je F2(a12, a13, a23) 4x4 Cayley-Menger determinata. �
3.5.6 Centar opisanog kruga trougla
Centar opisane kruºnice oko trougla nalazi se u preseku simetrala njegovihstranica. Centar opisane kruºnice trougla podjednako je udaljen od temenatrougla.
Neka je A1A2A3 trougao sa temenima A1, A2 i A3 u n - dimenzionalnomEuklidskom prostoru Rn i neka je O centar upisane kruºnice trougla (Slika3.7). Tada, ta£ka O u terminima baricentri£nih koordinata (m1 : m2 : m3) sobzirom na skup {A1, A2, A3} data je jednako²¢u
O =m1A1 +m2A2 +m3A3
m1 +m2 +m3
,
gde ¢e baricentri£ne koordinate m1,m2 i m3 ta£ke O biti de�nisane u daljemtekstu.
56
Ako u lemi 3.3.1 stavimo da je P = O imamo jednakosti
|| − A1 +O||2 =m2
2a212 +m2
3a213 +m2m3(a
212 + a213 − a223)
(m1 +m2 +m3)2
|| − A2 +O||2 =m2
1a212 +m2
3a223 +m1m3(a
212 − a213 + a223)
(m1 +m2 +m3)2
|| − A3 +O||2 =m2
1a213 +m2
2a223 +m1m2(−a212 + a213 + a223)
(m1 +m2 +m3)2
prethodne jednakosti sa uslovima koje zadovoljava centar opisane kruºnicetrougla, datih na slici
Slika 3.7
|| − A1 +O||2 = || − A2 +O||2,|| − A2 +O||2 = || − A3 +O||2,
i normalizacijom uslovam1 +m2 +m3 = 1,
daju sistem od tri jedna£ine sa tri nepoznate m1,m2 i m3:
m22a
212 +m2
3a213 +m2m3(a
212 + a213 − a223) = m2
1a212 +m2
3a223 +m1m3(a
212 − a213 + a223)
m21a
212 +m2
3a223 +m1m3(a
212 − a213 + a223) = m2
1a213 +m2
2a223 +m1m2(−a212 + a213 + a223)
m1 +m2 +m3 = 1.
Zamenom m3 = 1−m1−m2 iz poslednje jednakosti u prve dve jednakostii dobijamo dve jednakosti sa nepoznatim m1 i m2 od kojih svaki je linearan u
57
m1 i kvadratan u m2. Eliminacijom m22 izme�u dve jednakosti mi dobijamo
jednu jednakost pa su m1 i m2 linearni:
a213 − a223 −m1(a212 + a213 − a223) +m2(a
212 − a213 + a223) = 0
Cikli£na permutacija temena u prethodnoj jednakosti daje nam drugu line-arnu vezu izme�u m2 i m3. Tre¢u linearnu vezu, izme�u m1, m2 i m3 daje
m1 +m2 +m3 = 1,
pa dobijamo sistem od tri linearne jedna£ine sa tri nepoznate m1,m2 i m3:
a213 − a223 −m1(a212 + a213 − a223) +m2(a
212 − a213 + a223) = 0
a212 − a213 −m2(a212 − a213 + a223) +m3(−a212 + a213 + a223) = 0
m1 +m2 +m3 = 1.
Re²enje linearnog sistema, daje specijalne baricentri£ne koordinate{m1,m2,m3} centra opisane kruºnice O:
m1 =a223(a
212 + a213 − a223)
D,
m2 =a213(a
212 − a213 + a223)
D,
m3 =a212(−a212 + a213 + a223)
D,
u smislu duºina stranica, gde je D dato sa
D = (a212 + a213 + a223)(−a212 + a213 + a223)(a212 − a213 + a223)(a
212 + a213 − a223).
Kona£no, baricentri£ne koordinate centra opisane kruºnice date su sa:
m1 = a223(a212 + a213 − a223),
m2 = a213(a212 − a213 + a223),
m3 = a212(−a212 + a213 + a223).
Ako ºelimo da na�emo trigonometrijske baricentri£ne koordinate za centaropisane kruºnice, to su onda baricentri£ne koordinate izraºene preko uglova
58
trougla. Stoga, izra£una¢emo m1
m3i m2
m3na osnovu prethodnih jednakosti, si-
nusne teoreme i trigonometrijske identi£nosti sin2 α = 1−cos 2αα2
, pa dobijamo
m1
m2
=(1 + cos 2α1 − cos 2α2 − cos 2α3) sin2 α1
(1− cos 2α1 − cos 2α2 + cos 2α3) sin2 α3
,
m2
m3
=(1− cos 2α1 + cos 2α2 − cos 2α3) sin2 α2
(1− cos 2α1 − cos 2α2 + cos 2α3) sin2 α3
.
Stoga, trigonometrijske baricentri£ne oordinate {m1 : m2 : m3} za centaropisane kruºnice date su sa:
m1 = (1 + cos 2α1 − cos 2α2 − cos 2α3) sin2 α1,
m2 = (1− cos 2α1 + cos 2α2 − cos 2α3) sin2 α2,
m3 = (1− cos 2α1 − cos 2α2 + cos 2α3) sin2 α3.
Ako iskoristimo uslov da je zbir unutra²njih uglova u trouglu π izme�u uglovatrougla i trigonometrijskih identi£nosti, prethodne tri jednakosti mogu bitipojednostavljene, pa dobijamo elegantne trigonometrijske baricentri£ne ko-ordinate centra opisane kruºnice trougla A1A2A3 preko njegovih uglova
m1 = sinα1 cosα1,
m2 = sinα2 cosα2,
m3 = sinα3 cosα3.
Zbog uslova α1 + α2 + α3 = π koji vaºi u trouglu prethodne tri jednakostiekvivalentne su sa
m1 = sin−α1 + α2 + α3
2sinα1
m2 = sinα1 − α2 + α3
2sinα2
m3 = sinα1 + α2 − α3
2sinα1.
Postoji bitna razlika izme�u elegantnih baricentri£nih koordinata i njihovihpojednostavljenja. Za prvi uslov ne vaºi identitet π, dok za drugi vaºi.
59
3.5.7 Polupre£nik opisanog kruga trougla
Neka je R polupre£nik opisane kruºnice oko trougla A1A2A3 u Euklidskomprostoru Rn (Slika 3.8).Stoga, na osnovu oznaka sa slike je
R2 = || − A1 +O||2
= || − A2 +O||2
= || − A3 +O||2
gde je O centar kruga trougla. Polupre£nik R = || − A1 + O|| je odre�en
Slika 3.8
sukcesivno zamenjuju¢i
|| − A1 +O||2 =m2
2a212 +m2
3a213 +m2m3(a
212 + a213 − a223)
(m1 +m2 +m3)2,
i
m1 = a223(a212 + a213 − a223)
m2 = a213(a212 − a213 + a223)
m3 = a212(−a212 + a213 + a223)
60
u prethodnoj jednakosti, dobijamo
R2 =a212a
213a
223
16p(p− a12)(p− a13)(p− a23)
=a212a
213a
223
(a12 + a13 + a23)(−a12 + a13 + a23)(a12 − a13 + a23)(a12 + a13 − a23)
=a212a
213a
223
16P 2.
Stoga, polupre£nik opisanog kruga oko trougla dat je sa
R =a12a13a23
4√p(p− a12)(p− a13)(p− a23)
=a12a13a23
4P=a12a13a23
4rp
gde su p i r poluobim i polupre£nik trougla, i gde je P povr²ina trougla dataHeronovom formulom.
61
Glava 4
Hiperboli£ke baricentri£ne
koordinate
4.1 Ajn²tajnovo sabiranje
Neka je Rn Euklidski n - dimenzionalan prostor koji se sastoji od De-kartovih koordinata (x1, x2, ..., xn). To su n - torke realnih brojeva kojezadovoljavaju uslov
x21 + x22 + ...+ x2n <∞.Neka je Rn
s ,Rns = {X = (x1, x2, ..., xn) ∈ Rn : ||X|| < s}
s - kugla u Rn za svako �ksirano s > o. Sli£no, kao kod Dekartovih koordinatai u s - kugli za n - torke vaºi
x21 + x22 + ...+ x2n < s2.
Ta£ke prostora Rns su n - torke realnih brojeva kao ²to su
X = (x1, x2, ..., xn) ili Y = (y1, y2, ..., yn). Uvodi se pojam 1Ajn²tajnovogsabiranja ⊕ u kugli.
Ajn²tajnovo sabiranje je binarna operacija u kugli Rns gde se za n = 3
i s = c dobija brzina svetlosti u praznom prostoru
X ⊕ Y =1
1 + X·Ys2
{X +
1
γXY +
1
s2γX
1 + γX(X · Y )X
},
X, Y ∈ Rns , gde je γX gama faktor
γX =1√
1− ||X||2s2
,
1Albert Ajn²tajn (1879-1955), nema£ki matemati£ar.
62
u kugli Rns , i gde su · i || · || unutra²nji proizvod i norma u kugli Rn
s .Jasno,
X ⊕ 0 = 0⊕X = X.
Ajn²tajnovo oduzimanje, , je dato jednako²¢u
X Y = X ⊕ (−Y ),
pa je npr,
X X = 0
X = 0X = −X
i normalno vaºe,
(X) = X
(X ⊕ Y ) = X YX ⊕ (X ⊕ Y ) = Y
za sve X, Y u kugli, analogno sabiranju i oduzimanju vektora.Za gama faktor vaºi gama identitet
γX⊕Y = γXγY
(1 +
X · Ys2
).
Ako zamenimo X sa X gama identitet dobija oblik
γX⊕Y = γXγY
(1− X · Y
s2
),
koji je veoma koristan.Iz de�nicije gama faktora lako se dobija slede¢a jednakost
||X||2
s2=γ2X − 1
γ2X.
De�nicija 4.1.1. Za svako X, Y ∈ Rns , neka je gyr[X, Y ] : Rn
s −→ Rns
preslikavanje, koje je u terminima Ajn²tajnovog sabiranja ⊕, dato sa
gyr[X, Y ]Z = (X ⊕ Y )⊕ {X ⊕ (Y ⊕ Z)}.
63
De�nicija 4.1.2 (Gajrogrupe). Grupoid (G,⊕) je gajrogrupa ako binarnaoperacija zadovoljava slede¢e aksiome.
Ako u G postoji bar jedan element, 0, koji zovemo leva jedinica, kojizadovoljava
(G1) 0⊕ a = a za svako a ∈ G.Tada postoji element 0 ∈ G koji zadovoljava aksiomu (G1) tako da za
svaki element a ∈ G postoji element a ∈ G, koji zovemo levi inverz od Akoji zadovoljava
(G2) a⊕ a = 0�tavi²e, za sve a, b, c ∈ G postoji jedinstven element gyr[a, b]c ∈ G takav
da binarna operacija zadovoljava levu gajroasocijativnost(G3) a⊕ (b⊕ c) = (a⊕ b)⊕ gyr[a, b]cPreslikavanje gyr[a, b] : G −→ G dato sa c −→ gyr[a, b]c je automor�zam
grupoida (G,⊕) tako da je(G4) gyr[a, b] ∈ Aut(G,⊕)i automor�zam gyr[a, b] zovemo gajroautomor�zam od G generisan sa
a, b ∈ G. Operator gyr : G × G −→ Aut(G,⊕) zovemo gajrator od G.Kona£no, za gajroizomor�zam gyr[a, b] generisan sa a, b ∈ G vaºi svojstvo
(G5) gyr[a, b] = gyr[a⊕ b, b].
De�nicija 4.1.3 (Gajrokomutativne gajrogrupe). Gajrogrupa (G,⊕) je gaj-rokomutativna ako binarna operacija zadovoljava uslov
a⊕ b = gyr[a, b](b⊕ a),
za sve a, b ∈ G.
4.2 Ajn²tajnov gajrovektorski prostor
Neka je X ∈ Rns ta£ka Ajn²tajnove gajrokomutativne gajrogrupe (Rn
s ,⊕).Ajn²tajnovo sabiranje k ta£aka X, k ≥ 1, u oznaci k ⊗X, dato je sa
k ⊗X =
(1 + ||X||
s
)k−(
1− ||X||s
)k(
1 + ||X||s
)k+(
1− ||X||s
)k X
||X||.
De�nicija 4.2.1 (Ajn²tajnov gajrovektorski prostor). Ajn²tajnov gajro-vektorski prostor (Rn
s ,⊕,⊗) je Ajn²tajnova gajrogrupa (Rns ,⊕) sa skalar-
64
nom multiplikativnom operacijom ⊗ datom sa
r ⊗X =
(1 + ||X||
s
)r−(
1− ||X||s
)r(
1 + ||X||s
)r+(
1− ||X||s
)r X
||X||
= s tanh
(r tanh−1
||X||s
)X
||X||,
gde je r bilo koji realan broj, r ∈ R, X ∈ Rns , X 6= 0, i r ⊗ 0 = 0.
Ajn²tajnova skalarna multiplikativnost nije distributivna u odnosu naAjn²tajnovo sabiranje ali sadrºi druge osobine vektorskog prostora. Za svepozitivne brojeve k, i sve realne brojeve r, r1, r2 ∈ R i sve X ∈ Rn
s , imamo
k ⊗X = X ⊕ ...⊕X(r1 + r2)⊗X = r1 ⊗X ⊕ r2 ⊗X
(r1r2)⊗X = r1 ⊗ (r2 ⊗X)
u Ajn²tajnovom gajrovektorskom prostoru (Rns ,⊕,⊗).
Na primer, Ajn²tajnova polovina data je sa
1
2⊗X =
γX1 + γX
X
za svako X iz Ajn²tajnovog gajrovektorskog prostora (Rns ,⊕,⊗). Zaista
1
2⊗X ⊗ 1
2⊗X =
γX1 + γX
X ⊕ γX1 + γX
X = X
²to sledi na osnovu skalarne distributivnosti.Za razliku od vektorskog prostora u Ajn²tajnovom gajrovektorskom pro-
storu (Rns ,⊕,⊗) ne vaºi zakon distribucije
r ⊗ (X ⊕ Y ) 6= r ⊗X ⊕ r ⊗ Y
za r ∈ R i X, Y ∈ Rns .
Gama faktor r ⊗X predstavljen preko gama faktora od X dat je identi-tetom
γr⊗X =1
2γrX
{(1 +||X||s
)r+
(1− ||X||
s
)r}
65
stoga vaºi
γr⊗X =1
2sγrX
{(1 +||X||s
)r+
(1− ||X||
s
)r}X
||X||
za X 6= 0.Veoma interesantan slu£aj je za r = 2
γ2⊗X(2⊗X) = 2γ2XX.
4.3 Gajrobaricentri£ne koordinate u Ajn²taj-
novom gajrovektorskom prostoru
U ovom odeljku de�nisa¢emo gajrobaricentri£ne koordinate Ajn²tajnovoggajrovektorskog prostora.
De�nicija 4.3.1 (Hiperboli£ka odvojena nezavisnost). Skup od N ta£aka,S = {A1, ..., AN}, N ≥ 2, u gajrovektorskom prostoru (Rn
s ,⊕,⊗), n ≥ 2, jeodvojeno nezavisan ako se N − 1 gajrovektora A1 ⊕ Ak, k = 2, ..., N , uRns ⊂ Rn, smatraju kao vektori iz Rn, koji su linearno nezavisni u Rn.
De�nicija 4.3.2 (Gajrobaricentri£ne koordinate u Ajn²tajnovom gajrovek-torskom prostoru). Neka je S = {A1, ..., AN} odvojeno nezavisan skup odN ≥ 2 ta£aka u Ajn²tajnovom gajrovektorskom prostoru (Rn
s ,⊕,⊗). N real-nih brojeva m1, ...,mN su gajrobaricentri£ne koordinate ta£ke P ∈ Rn
s sobzirom na skup S ako je
N∑k=1
mkγAk 6= 0
i
P =
N∑k=1
mkγAkAk
N∑k=1
mkγAk
Gajrobaricentri£ne koordinate su homogene u smislu da gajrobaricentri£nekoordinate (m1, ...,mN) ta£ke P su ekvivalentne gajrobaricentri£nim koordi-natama (λm1, ..., λmN) za svako λ 6= 0. Kako je u gajrobaricentri£nim koordi-natama samo odnos koordinata bitan, gajrobaricentri£ne koordinate (m1, ...,mN)se tako�e pi²u kao (m1 : ... : mN) pa vaºi
(m1 : ... : mN) = (λm1 : ... : λmN)
66
za svaki realan λ 6= 0.Za ta£ku P se kaºe da je gajrobaricentri£na kombinacija ta£aka skupa
S, koja ima gajrobaricentri£nu reprezentaciju
P =
N∑k=1
mkγAkAk
N∑k=1
mkγAk
.
Gajroaricentri£na kombinacija je pozitivna ako su svi koe�cijenti mk,k = 1, ..., N , pozitivni. Skup svih pozitivnih baricentri£nih kombinacija ta£akaskupa S naziva se gajrokonveksan raspon od S.
Konstanta
m0 = ±
√√√√( N∑k=1
mk
)2
+ 2N∑
j,k=1,j<k
mjmk(γAj⊕Ak − 1)
naziva se konstanta ta£ke P u odnosu na skup S. Znak konstante je poziti-
van (negativan) , ako je sumaN∑k=1
mkγAk pozitivna (negativna) .
Kona£no, gajrobaricentri£na reprezentacija ta£ke P je specijalna ako sugajrobaricentri£ne koordinate normalizovane uslovom
N∑k=1
mk = 1.
De�nicija 4.3.3 (Ajn²tajnov gajrosimpleks). Konveksan raspon odvojenonezavisnog skupa S = {A1, ..., AN} za N ≥ 2 ta£aka iz Rn
s je (N − 1) -dimenzionalan gajrosimpleks, tj. (N − 1) gajrosimpleks i ozna£ava se saA1...AN . Ta£ke skupa S su temena gajrosimpleksa. Konveksan raspon odN − 1 ta£aka je gajrolice gajrosimpleksa. Koveksan raspon bilo koja dvatemena je ivica simpleksa.
Teorema 4.3.1. Neka je S = {A1, ..., AN} odvojeno nezavisan skup od N ≥2 ta£aka Ajn²tajnovog gajrovektorskog prostora (Rn
s ,⊕,⊗), i neka je P ,
P =
N∑k=1
mkγAkAk
N∑k=1
mkγAk
∈ Rns
67
N∑k=1
mkγAk 6= 0
ta£ka u Rns data gajrobaricentri£nim koordinatama (m1 : ... : mN) s obzirom
na skup S. Onda je,
γP =
N∑k=1
mkγAk
m0
i
γPP =
N∑k=1
mkγAk
m0
gde je m0 dato sa
m0 = ±
√√√√( N∑k=1
mk
)2
+ 2N∑
j,k=1,j<k
mjmk(γAj⊕Ak − 1).
�tavi²e, m0 je invarijanta leve gajrotranslacije, i P , γP i γPP su gajrova-rijante leve gajrotranslacije, tada, za svako X ∈ Rn
s imamo
X ⊕ P =
N∑k=1
mkγX⊕Ak(X ⊕ Ak)
N∑k=1
mkγX⊕Ak
γX⊕P =
N∑k=1
mkγX⊕Ak
m0
γX⊕P (X ⊕ P ) =
h∑k=0
mkγX⊕Ak(X ⊕ Ak)
m0
gde je
m0 = ±
√√√√( N∑k=1
mk
)2
+ 2N∑
j,k=1,j<k
mjmk(γ(X⊕Aj)⊕(X⊕Ak) − 1)
gde znak konstante m0 je pozitivan (negativan) ako je nenula sumaN∑k=1
mkγAk
pozitivna (negativna) .
68
4.4 Gajrobaricentri£ne koordinate Mebijusovog
gajrovektorskog prostora
U ovom odeljku ºelimo da transformi²emo ta£ke iz Ajn²tajnovog Gajro-vektorskog prostora (Rn
s ,⊕E,⊗) u ta£ke Mebijusovog gajrovektorskog pro-stora (Rn
s ,⊕M ,⊗). Ovde za Ajn²tajnov gajrovektorski prostor umesto znaka⊕ koristimo oznaku ⊕E dok za Mebijusov prostor koristimo oznaku ⊕M .Gajrobaricentri£na reprezentacija ta£ke P u (Rn
s ,⊕E,⊗) data je sa
Pe =
N∑k=1
mkγAk,eAk,e
N∑k=1
mkγAk,e
gde indeks e ozna£ava da se ta£ka nalazi u Ajn²tajnovom gajrovektorskomprostoru (Rn
s ,⊕E,⊗). Zahvaljuju¢i izomor�zmu izme�u Ajn²tajnovog gajro-vektorskog prostora (Rn
s ,⊕E,⊗) i odgovaraju¢eg Mebijusovog gajrovektor-skog prostora (Rn
s ,⊕M ,⊗), gajrobaricentri£na reprezentacija ta£ke
Pe ∈ (Rns ,⊕E,⊗)
s obzirom na odvojeno nezavisan skup S = {A1,e, ..., AN,e} postaje gajroba-ricentri£na reprezentacija
Pm =1
2⊗
N∑k=1
mkγ2Ak,m
Ak,m
N∑k=1
mk
(γ2Ak,m −
12
)odgovaraju¢e ta£ke
Pm ∈ (Rns ,⊕E,⊗)
s obzirom na odgovaraju¢i skup S = {A1,m, ..., AN,m}.
Teorema 4.4.1. Neka je
Pe =
N∑k=1
mkγAk,eAk,e
N∑k=1
mkγAk,e
gajrobaricentri£na reprezentacija ta£ke Pe s obzirom na odvojeno nezavisanskup ta£aka Se = {A1,e, ..., AN,e} u Ajn²tajnovom gajrovektorskom prostoru
69
(Rns ,⊕E,⊗), gde su sve gajrobaricentri£ne koordinate mk = mk(A1,e, ..., AN,e)
funkcije ta£aka Se, k = 1, ..., N .Izomorfna slika Pm od Pe u odgovaraju¢em Mebijusovom gajrovektorskom
prostoru (Rns ,⊕M ,⊗) je gajrobaricentri£na reprezentacija ta£ke Pm s obzi-
rom na odvojeno nezavisan skup ta£aka Sm = {A1,m, ..., AN,m} Mebijusovoggajrovektorskog prostora (Rn
s ,⊕M ,⊗) data je sa
Pm =1
2⊗
N∑k=1
mkγ2Ak,m
Ak,m
N∑k=1
mk
(γ2Ak,m −
12
)gde su sve gajrobaricentri£ne koordinate
mk = mk(A1,m, ..., AN,m)
funkcije ta£aka Sm, k = 1, ..., N .
Dokaz: Transformi²emo ta£ke Pe, Ak,e, k = 1, ..., N , Ajn²tajnovog gaj-rovektorskog prostora (Rn
s ,⊕E,⊗) koje su date sa
Pe =
N∑k=1
mkγAk,eAk,e
N∑k=1
mkγAk,e
,
u odgovaraju¢e ta£ke Pm, Ak,m odgovaraju¢eg Mebijusovog gajrovektorskogprostora (Rn
s ,⊕M ,⊗). Ova transformacija daje gajrobaricenti£nu reprezen-taciju
Pm =1
2⊗
N∑k=1
mkγ2Ak,m
Ak,m
N∑k=1
mk
(γ2Ak,m −
12
)
70
a ta transformacija data je u slede¢em nizu jednakosti:
2⊗ Pm =
N∑k=1
mkγ2⊗Ak,m (2⊗ (Ak,m))
N∑k=1
mkγ2⊗Ak,m
=
N∑k=1
mk
(2γ2Ak,mAk,m
)N∑k=1
mk
(2γ2Ak,m − 1
)
=
N∑k=1
mkγ2Ak,m
Ak,m
N∑k=1
mk
(γ2Ak,m −
12
) .
1. Prva jednakost je gajrobaricentri£na reprezentacija
Pe =
N∑k=1
mkγAk,eAk,e
N∑k=1
mkγAk,e
u kojoj su ta£ke Ajn²tajnovog gajrovektorskog prostora (Rns ,⊕E,⊗)
zamenjene njihovim slikama u odgovaraju¢em Mebijusovom gajrovek-torskom prostoru (Rn
s ,⊕M ,⊗)
(i) Pe = 2⊗ Pm i Ak,e = 2⊗ Ak,m
2. Sledi iz (1) na osnovu algebarskih identiteta:
(ii) γAk,e = γ2⊗Ak,m = 2γ2Ak,m − 1
(iii) γAk,e = γ2⊗Ak,m(2⊗ Ak,m) = 2γ2Ak,mAk,m
3. Sledi direktno iz (2). �
De�nicija 4.4.1 (Gajrobaricentri£ne koordinate Mebijusovog gajrovektor-skog prostora). Neka je S = {A1, ..., AN} odvojeno nezavisan skup od N ≥ 2ta£aka u Mebijusovom gajrovektorskom prostoru (Rn
s ,⊕M ,⊗). Realni brojevim1, ...,mN su gajrobaricentri£ne koordinate ta£ke P ∈ Rn
s s obzirom na skupS ako
N∑k=1
mk
(γ2Ak −
1
2
)6= 0
71
i
P =1
2⊗
N∑k=1
mkγ2AkAk
N∑k=1
mk
(γ2Ak −
12
)Gajrobaricentri£ne koordinate su homogene u smislu da gajrobaricentri£ne ko-ordinate (m1, ...,mN) ta£ke P su ekvivalentne gajrobaricentri£nim koordina-tama (λm1, ..., λmN) za svako λ 6= 0. Kako je u gajrobaricentri£nim koordina-tama samo odnos koordinata bitan, gajrobaricentri£ne koordinate (m1, ...,mN)se tako�e pi²u kao (m1 : ... : mN).
Kona£no, gajrobaricentri£na reprezentacija ta£ke P je specijalna ako sugajrobaricentri£ne koordinate normalizovane uslovom
N∑k=1
mk = 1.
4.5 Ajn²tajnova gajrosredi²nja ta£ka
De�nicija 4.5.1 (Ajn²tajnova gajrosredi²nja ta£ka). Neka su A1, A2 ∈ Rns
dve razli£ite ta£ke u Ajn²tajnovom gajrovektorskom prostoru (Rns ,⊕,⊗). Gaj-
rosredi²nja ta£ka M12 ta£aka A1 i A2 je ta£ka gajrosegmenta A1A2 jed-nako udaljena od A1 i A2, tj.
|| A1 ⊕M12|| = || A2 ⊕M12||
ili, ekvivalentno,γA1⊕M12 = γA2⊕M12 .
Neka je M12 gajrosredi²nja ta£ka gajrosegmenta A1A2 u Ajn²tajnovomgajrovektorskom prostoru (Rn
s ,⊕,⊗) sa gajrobaricentri£nom reprezentacijomkoordinata
M12 =m1γA1A1 +m2γA2A2
m1γA1 +m2γA2
s obzirom na skup {A1, A2}, gde gajrobaricentri£ne koordinate m1 i m2 ta£keM12 su de�nisane u daljem tekstu.
Na osnovu osobina gajrokovarijanse s obzirom na levu gajrotranslaciju uidentitetu
γX⊕P =
N∑k=1
mkγX⊕Ak
m0
72
zamenimo X sa X, tada je ta£ka M12 data identitetom
γX⊕M12 =m1γX⊕A1 +m2γX⊕A2
m0
za svako X ∈ Rns . Ako uzmemo oznaku γ12 = γA1⊕A2 i m0 6= 0 koje je
de�nisano kao
m0 = ±
√√√√( N∑k=1
mk
)2
+ 2N∑
j,k=1,j<k
mjmk(γAj⊕Ak − 1)
dobijamo jednakost
m20 = (m1 +m2)
2 + 2m1m2(γ12 − 1)
gde je m0 > 0 ako su m1 i m2 pozitivni.Ako u jednakosti
γX⊕M12 =m1γX⊕A1 +m2γX⊕A2
m0
zamenimo redom X = A1 i X = A2, imamo
γA1⊕M12 =m1 +m2γA1⊕A2
m0
=m1 +m2γ12
m0
γA2⊕M12 =m1γA2⊕A1 +m2
m0
=m1γ12 +m2
m0
uz napomenu da je γA1⊕A1 = γ0 = 1.Na osnovu prethodne dve jednakosti i
γA1⊕M12 = γA2⊕M12
sa normalizacijom uslova m1 +m2 = 1, imamo
m1 +m2 = 1
m1 +m2γ12 = m1γ12 +m2,
tako dobijamo sistem od dve jedna£ine sa dve nepoznate m1 i m2. Jedin-stveno re²enje sistema je m1 = m2 = 1
2. Stoga, specijalne gajrobaricentri£ne
koordinate (m1 : m2) ta£ke M12 s obzirom na skup {A1, A2} su
(m1,m2) =
(1
2,1
2
)73
tako da su pogodne gajrobaricentri£ne koordinate (m1 : m2) gajrosredi²njeta£ke M12 s obzirom na skup {A1, A2} su
(m1,m2) = (1 : 1).
Gajrosredi²nja ta£ka M12 gajrosegmenta A1A2 u Ajn²tajnovom gajrovektor-skom prostoru (Rn
s ,⊕,⊗) je data jedna£inom
M12 =γA1A1 + γA2A2
γA1 + γA2
.
Teorema 4.5.1 (Ajn²tajnova gajrosredi²nja ta£ka). Neka su A1, A2 ∈ Rns ,
n ≥ 1 dve ta£ke Ajn²tajnovog gajrovektorskog prostora (Rns ,⊕,⊗), i neka je
M12 njihova gajrosredi²nja ta£ka. Tada M12 ima gajrobaricentri£nu repre-zentaciju
M12 =γA1A1 + γA2A2
γA1 + γA2
s obzirom na skup {A1, A2}, sa gajrobaricentri£nim koordinatama
(m1 : m2) = (1 : 1). �
4.6 Mebijusova gajrosredi²nja ta£ka
Transformacija Ajn²tajnove gajrobaricentri£ne reprezentacije
Pe =
N∑k=1
mkγAk,eAk,e
N∑k=1
mkγAk,e
ta£ke iz Ajn²tajnovog gajrovektorskog prostora u Mebijusovoj gajrobaricen-tri£noj reprezentaciji
Pm =1
2⊗
N∑k=1
mkγ2Ak,m
Ak,m
N∑k=1
mk
(γ2Ak,m −
12
)ta£ke odovaraju¢eg Mebijusovog gajrovektorskog prostora je prikazana u jed-noj od prethodnih teorema.
Na osnovu iste teoreme, transformacija identiteta
M12 =γA1A1 + γA2A2
γA1 + γA2
74
gajrosredi²nje ta£ke iz Ajn²tajnovog gajrovektorskog prostora u Mebijusovgajrovektorski prostor daje identitet Mebijusove gajrosredi²nje ta£ke
M12 =1
2⊗γ2A1
A1 + γ2A2A2
γ2A1+ γ2A2
− 1.
Ta£ka M12 u prethodnoj jednakosti je gajrosredi²nja ta£ka gajrosegmentaA1A2 Mebijusovog gajrovektorskog prostora (Rn
s ,⊕M ,⊗). Pogodne gajro-baricentri£ne koordinate (m1 : m2) ta£ke M12 s obzirom na skup {A1, A2}su
(m1 : m2) = (1 : 1).
Teorema 4.6.1 (Mebijusova gajrosredi²nja ta£ka). Neka su A1, A2 ∈ Rns ,
n ≥ 1, dve ta£ke Mebijusovog gajrovektorskog prostora (Rns ,⊕,⊗), i neka je
M12 njihova sredi²nja ta£ka. Tada M12 ima gajrobaricentri£nu reprezentaciju
M12 =1
2⊗γ2A1
A1 + γ2A2A2
γ2A1+ γ2A2
− 1
s obzirom na skup {A1, A2}, sa gajrobaricentri£nim koordinatama
(m1 : m2) = (1 : 1). �
75
Biogra�ja
Marjan Stojanovi¢ ro�en je 05.09.1992. godine u Leskovcu. Osnovnu²kolu ”Kosta Stamenkovi¢” u Leskovcu upisao je 1999. godine i zavr²io kaonosilac diplome ”Vuk Karadzi¢”. Medicinsku ²kolu u Leskovcu, farmaceutskitehni£ar, upisao je 2007. godine i zavr²io 2011. godine. Tokom poha�anjaosnovne i srednje ²kole u£estvovao je na raznim takmi£enjima.
2011. godine upisao je osnovne akademske studije matematike, na De-partmanu za matematiku, Prirodno-matemati£kog fakulteta u Ni²u, koje jezavr²io 2014. godine. Iste godine upisao je master akademske studije tako�ena Departmanu za matematiku, Prirodno matemati£kog fakulteta u Ni²u,studijski program: op²ta matematika, koje je zavr²io 2017. godine.
76
Literatura
[1] A. Pustai, Teºi²te �gura i sistema materijalnih ta£aka-mogu¢nost iz-laganja nekih delova ovog sadrºaja u nastavi matematike u osnovnoj²koli, Novi Sad, 2016.
[2] A. A. Ungar, Barycentric Calculus in Euclidean and Hyperbolic Geo-metry, Singapore, 2010.
[3] D. Ili²evi¢, M. Bombardelli, Elementarna geometrija, 2007.
[4] J. Perovi¢, J. Krmar, Geometrija masa, 2008.
[5] Lj. Ko£inac, Linearna algebra i analiti£ka geometrija, Prosveta Ni²,1997.
[6] M. B. Balk, B. G. Boltjanski, Geometrija masa, Moskva, 1987.
[7] N. Milosavljevi¢, Geometrija masa, 2008
[8] O. Milenkovi¢, M. Ðori¢, Zbirka zadataka iz analiti£ke geometrije, Beo-grad, 2007.
[9] https://www.wikipedia.org
77
Прилог 5/1
ПРИРОДНO - MАТЕМАТИЧКИ ФАКУЛТЕТ
НИШ
КЉУЧНА ДОКУМЕНТАЦИЈСКА ИНФОРМАЦИЈА
Редни број, РБР:
Идентификациони број, ИБР:
Тип документације, ТД: монографска
Тип записа, ТЗ: текстуални
Врста рада, ВР: мастер рад
Аутор, АУ: Марјан Стојановић
Ментор, МН: Милан Златановић
Наслов рада, НР: БАРИЦЕНТРИЧНИ СИСТЕМ КООРДИНАТА
Језик публикације, ЈП: српски
Језик извода, ЈИ: енглески
Земља публиковања, ЗП: Р. Србија
Уже географско подручје, УГП: Р. Србија
Година, ГО: 2017.
Издавач, ИЗ: ауторски репринт
Место и адреса, МА: Ниш, Вишеградска 33.
Физички опис рада, ФО: (поглавља/страна/ цитата/табела/слика/графика/прилога)
77 стр.
Научна област, НО: математика
Научна дисциплина, НД: геометрија
Предметна одредница/Кључне речи, ПО: Геометрија маса, барицентрични систем координата
УДК 514.12
Чува се, ЧУ: библиотека
Важна напомена, ВН:
Извод, ИЗ: У овом раду проучавана је геометрија маса, барицентрични систем координата, значајне тачке троугла у барицентричном систему координата и хиперболичке барицентричне координате. Такође, рад је поткрепљен одговарајућим примерима и наглашена је сличност са механиком.
Датум прихватања теме, ДП: 23.12.2015.
Датум одбране, ДО:
Чланови комисије, КО: Председник:
Члан:
Члан, ментор:
Образац Q4.09.13 - Издање 1
Прилог 5/2
ПРИРОДНО - МАТЕМАТИЧКИ ФАКУЛТЕТ
НИШ
KEY WORDS DOCUMENTATION
Accession number, ANO:
Identification number, INO:
Document type, DT: monograph
Type of record, TR: textual
Contents code, CC: university degree thesis
Author, AU: Marjan Stojanović
Mentor, MN: Milan Zlatanović
Title, TI:
BARYCENTRIC COORDINATE SYSTEM
Language of text, LT: Serbian
Language of abstract, LA: English
Country of publication, CP: Republic of Serbia
Locality of publication, LP: Serbia
Publication year, PY: 2017.
Publisher, PB: author’s reprint
Publication place, PP: Niš, Višegradska 33.
Physical description, PD: (chapters/pages/ref./tables/pictures/graphs/appendixes)
77 page
Scientific field, SF: mathematics
Scientific discipline, SD: Geometry
Subject/Key words, S/KW: Mass point geometry, barycentric coordinate system
UC 514.12
Holding data, HD: library
Note, N:
Abstract, AB: In this work, we investigate mass point geometry as well as barycentric coordinate system. Also, we investigate classic triangle centres in barycentric coordinate system and Hyperbolic barycentric coordinate. Also, we have a lot of examples in this work and we emphasize similarity with mechanics.
Accepted by the Scientific Board on, ASB: 23.12.2015.
Defended on, DE:
Defended Board, DB: President:
Member:
Member, Mentor:
Образац Q4.09.13 - Издање 1