Variabili aleatorie discrete - old · ... Sia X la variabile aleatoria con funzione di distribuzione cumulativa: 2 0 2 2 0 2 1 0.7 0.2 ... Deviazione standard ... che X abbia una

Probabilità e Statistica I - a.a. 04/05 -Variabili aleatorie discrete

1

Variabili aleatorie discrete


2

DefinizioneUna variabile aleatoria è una funzione che associa ad ogni esitodello spazio campione di un esperimento casuale un numero. L’insieme dei possibili valori assunti da una variabile aleatoria si dice range della variabile aleatoria.

Notazione: variabile aleatoria Xil valore misurato della variabile aleatoria x

I dati numerici sono valori misurati di una variabile aleatoriaottenuti mediante repliche di un esperimento casuale.

ℜ→S:

) ( campionespazioS

ℜ1ω2ω

nω


3

Variabili aleatorie discrete

Il range è un insieme finito (o numerabile) di numeri:

es: numero di prove, difetti su una superficie, difetti trovati su un tot di campioni testati...

Esercizio: Si lanci una moneta equa 3 volte. Sia X la variabile aleatoria che conta il numero di teste ottenute. Determinare la massa di probabilità.

( ) ( ) .,...,2,1, è la ,,,, valoripossibilicon aleatoria variabileunaPer 21

nixXPxf àprobabilit di massa funzionexxxX

ii

n

===K

eDefinizion

1)(2)

,...2,1 ,0)()1

1

=

=≥

∑=

n

ii

i

xf

nixfProprietà:


4

Esercizio: In un processo di produzione di semiconduttori, vengono testati due wafersda un lotto. Ogni wafer viene classificato in base all’aver superato o meno il test. Si assuma che la probabilità che un wafer passi il test è 0.8 e che ognuno di essi superi il test indipendentemente l’uno dall’altro. Descrivere la variabile aleatoria X che conta il numero di wafer che passa il test.

. aleatoria variabilealla associata chiama si ,...,2,1per ))(,())(,( coppie delle esuccession La

XnixXPxxfx iiii

àprobabilit di onedistribuzi===

Distribuzione di probabilità

Rappresentazione tabellare

)()()( 21

21

n

n

xfxfxfPxxxX

L

L


5

∑≤

=≤=xx

ii

xfxXPxFxF

cumulativa onedistribuzi funzione

)()()( è ,)(con

denotata discreta, aleatoria variabileuna di La eDefinizion

)()( allora se (c)1)(0 (b)

)()()( (a)

:proprietà seguenti le soddisfa )( ,discreta aleatoria variabileunaPer

yFxFyxxF

xfxXPxF

xFX

xxi

i

≤≤≤≤

=≤= ∑≤

:Proprietà

Funzione di ripartizione


6

Esercizio: Sia X la variabile aleatoria con funzione di distribuzione cumulativa:

22002

2

17.02.0

0

)(

≥<≤<≤−

−<

=

xxx

x

xF

Calcolare la funzione massa di probabilità.

Esercizio: In un’azienda, in un giorno, vengono prodotti 850 parti di cui 50 non sono conformi alle richieste di un certo cliente. Due parti vengono selezionate a caso, senza rimpiazzamento dal lotto. Sia X il numero di parti non conformi. Cal-colare la funzione di distribuzione.Esercizio: Data la seguente funzione massa di probabilità, calcolare:

07 2322 08 7 6 5 4 3 2 1 0

222 ccccccccpX

k +

(a) il valore di c;

( ) ( ) ? di valoreminimo il è qual 21)( se ;5,5 KKXPXPXP >≤<≥(b)


7

Valore medio

Varianza

Deviazione standard

Momento secondo

[ ] ( )[ ] [ ][ ] [ ] [ ] 2222

222

2 2

allora lineare, operatoreun è E operatorel' Poichè:..

µµµµµµ−=+−=

+−=−=

XEXEXEXXEXEXVar

BN

][][][ :Proprietà

.)(

YbEXaEbYaXE

xxfE(X)x

+=+

== ∑µ

degenere v.a.1)(0)( Se 2) )()( 1) :Proprietà

)()() ( )(

2

222

==⇒==

−=−== ∑

aXPXVXVaaXV

xfxXEXVx

µµσ

[ ] .)( 2/1XV=σ

.)( 222 ∑==

x

xfx)E(Xµ

INDICI


8

Distribuzione di Bernoulli

ppPX

−110

0 a insuccesso1 a successo

Esperimento casuale con solo due esiti

)1(][][

ppXVarpXE

−==

Esempi: lancio di una moneta, trasmissione di un bit, nascita,teoria degli errori...


9

Distribuzione Uniforme Discreta

}{

121)1( ,

2)( allora

,per ,...,2,1, : che talediscreta uniforme aleatoria variabileuna è Se

.,...,2,1 ,/1)( :a pari è àprobabilit di massa

funzione la se discreta aleatoria variabileuna è aleatoria variabileUna

2 −+−=

+==

≤++→

==

ababXE

babaaaSXX

ninxf

X

i

σµ

uniforme

Esercizio: In un sistema di comunicazione a voce, ci sono 48 linee esterne.Sia X il numero di linee esterne occupate tra le 48 disponibili. Si assuma che X abbia una distribuzione uniforme discreta. Calcolare media e varian-za.


10

Distribuzione Binomiale

• Lancio di una moneta 10 volte. X=numero di teste ottenuto.• Una macchina logora produce 1% di parti difettose. X=numero di

parti difettose in 25 prodotte.• Ogni campione di aria ha una percentuale del 10% di contenere unamolecola di un certo gas raro. Sia X = numero di campioni di aria checontengono la molecola in 18 analizzati

• Di tutti i bits trasmessi attraverso un canale di trasmissione digitaleil 10% viene ricevuto errato. Sia X= numero di bit errati trasmessinella trasmissione dei successivi 5 bits.

• Nelle prossime 20 nascite in ospedale, X=numero di femmine nate• Un test contiene 10 domanda, ciascuna con 4 risposte a scelta, di cui una sola è esatta. Sia X=il numero di domande risposte corret-tamente. UNA SERIE DI PROVE RIPETUTE

TIPI DI ESPERIMENTI CASUALI


11

nxppxn

xf

npbinomiale aleatoria variabile

Xbinomiale. tipo di casuale oesperimentp

n

xnx ,...,1,0,)1()(

:da data è àprobabilit di massa funzione La totali).prove di (numero e successo) di tà(probabili parametricon

detta è successoun forniscono che prove di numero al uguale è che aleatoria variabileLa detto è

costante; resta prova ogniin successo di àprobabilit la (c);"insuccesso" e successo"" esiti due solo ha prova ogni (b)

ti;indipenden sono prove le (a):che taleripetute prove di consiste che casuale oesperimentUn

=−

= −

eDefinizion

Esercizio: Sia X il numero di bit errati trasmessi attraverso un canaledigitale su una sequenza di 4 bit e sia 10% la probabilità che venga trasmesso un bit errato. Determinare la funzione di distribuzione.


12

∑=

=n

iiXX

1

Teorema: Se X è una variabile aleatoria di tipo binomiale di para-metri n e p allora:

con iX variabili aleatorie di Bernoulli di parametro p.

[ ] ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )

( )( ) ( ) ( )

[ ] [ ] [ ] esercizio)(per )1( che dimostra si teAnalogamen

11!1!

!1

1!)!1(

!1 1!!

! 1

22

111

1

110

pnpXEXEXVar

npppnpppjnj

nnp

ppini

nnpppini

nippin

iXE

njnjn

oj

inin

i

inin

i

inin

i

−=−=

=−+=−+−

−=

−−−

−=−

−=−

=

−+−−

=

−−

=

−

=

−

=

∑

∑∑∑

Applicazioni:

http://www.matematicamente.it/barletta/probabilità/modelli.htm


13

50 ,10 .pn ==

10 ,10 .pn ==


0

0,05

0,1

0,15

0,2

0,25

0,3

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Massa


00,05

0,10,15

0,20,25

0,30,35

0,40,45

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Massa

Grafici relativi a B(n,p)


14

Distribuzione MultinomialeGeneralizzazione della v.a. binomiale al caso in cui ogni provafornisce m possibili esiti:

mxm

xx

mm ppp

xxxn

xxxP LK

K 2121

2121 ,,,

),,,(

=

Esercizio: Si consideri un'urna con 5 palline rosse, 5 palline nere e 5 palline bianche. Si effettuano 10 estrazioni con ripetizione. Quanto vale la probabilità che nelle 10 estrazioni siano state ottenute 3 palline rosse, 2 nere e 5 bianche?


15

,...2,1 ,)1()(

babilità-pro di massa funzione e parametrocon ha aleatoria variabileLa successo. primo il avereper necessarie prove

di numero il conta che aleatoria variabilela sia , costante successo di àprobabilitcon ti,indipenden ripetute prove di esuccession unaIn

1 =−= − xppxf

p geometrica onedistribuziX

Xp

x

eDefinizion

Distribuzione Geometrica

Esercizio: Tre impiegati vanno a prendere il caffè e decidono di scegliere a caso chi paga al seguente modo: ognuno di loro lancia una moneta contemporaneamente agli altri, a chi esce una faccia diversa dalle altre tocca pagare il conto. Se tutte e tre le monete restituiscono la stessa faccia, si lanciano di nuovo in aria. Qual è la probabi-lità che i tre impiegati riescano a bere il caffè dopo due prove?


16

0

0,020,04

0,06

0,080,1

0,12

1 3 5 7 9 11 13 15 17 19

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1 3 5 7 9 11 13 15 17 19

Distribuzione di probabilità geometrica

p=0.1

p=0.9


17

NB: in genere si dice che la v.a. geometrica “perde memoria”, nel senso che,poiché le prove sono indipendenti, il conto del numero di prove necessarie

per avere un successo può iniziare da una qualsiasi delle prove, senza va-riare la distribuzione di probabilità.

Esercizio: Nella trasmissione di un bit lungo un canale digitale vale 0.1 la probabi-lità che il bit venga modificato da 0 a 1 o viceversa. Se sono stati trasmessi 100 bits, qual è la probabilità che il primo errore, dopo 100 bits, occorra sul 106-esimo bit?

)()|( mXPnXmnXP ≥=≥+≥

22 )1(][ 1][

risulta,parametrodi geometricaaleatoria variabileuna è Se

ppXV

pXE

pX−

==== σµ


18

Si consideri un canale di trasmissione digitale. Sia X il numero di bit errati trasmessi su una successione di n. Si assuma pari a p la probabilità che un bit venga trasmesso errato: tale valore resta costante durante la trasmissione.Le trasmissioni sono indipendenti. Si supponga che n aumenti e che il valo-re p diminuisca in modo che np resti costantemente pari a un certo valore numerico. Come viene modificata la distribuzione di probabilità di X?

( )!

lim ,1)1()(x

exXPxnx

npp

xn

xXPx

n

xnxxnx λλλ λ−

∞→

−− ==

−

=−

==

Campi di ApplicazioneCampi di Applicazione

- Numero di particelle contaminate nella produzione di un semiconduttore;- numero di telefonate ad un centralino telefonico;- numero di particelle emesse durante un procedimento di decadimento radioattivo;- numero di difetti nella produzione di un tessuto

Distribuzione di Poisson


19

210 ,!

)(

:a pari àprobabilit di massa zione-funcon e parametro di una ha intervallo

nell' o verificansi che esiti di numero il conta che aleatoria variabilela 0, è intervallonell' esitoun di occorrenze di medio numero il Se

di nome il prende casuale oesperimentl' alloravallisottointer altri negli avviene to

-quan da teindipenden è vallosottointerun in esitoun di si verificaril (3)vallo;sottointer del

lunghezza alla aleproporzion è ed vallisottointer i per tutti stessa la è vallosottointerun in esitoun di occorrenza di àprobabilit la (2)

nulla; è vallosottointerun in esitoun dipiù verifichisi che àprobabilit la (1)

che talipiccola, ementesufficient lunghezza di vallisottointerin ripartito essere può intervallol' Se .intervallo talelungo ecasualment

no verifichisi esiti gli che assuma si reale, assedell' intervalloun Dato

,... ,,xx

exf

Poisson di onedistribuziX

Poisson. di processo

x

==

>

− λ

λ

λ

λ

eDefinizion


20

1,0=λ

0.2=λ

0.5=λ


0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Massa


0

0,05

0,1

0,15

0,2

0,25

0,3

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Massa


0

0,05

0,1

0,15

0,2

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Massa


21

Esercizio: Si assuma che il numero di difetti in un sottile tessuto di cotone seguauna distribuzione di Poisson con media 2.3 difetti per millimetro-quadro. (A) Si calcoli la probabilità che ci siano 2 difetti in un millimetro-quadro. (B) Si calcoli la probabilità che ci siano 10 difetti in 5 millimetri-quadro. (C) Si calcoli la probabilità che ci sia almeno un difetto in 2 millimetri-quadro di stoffa.

λσλµ ==== 22 )( e )( XVXE

Esercizio: Si supponga che il numero delle chiamate che arrivano ogni secondo ad un centralino telefonico sia una variabile casuale di Poisson con media 5. (A) Determinare la probabilità che in un determinato secondo non arrivi nessuna chiamata. (B) Supponendo che il centralino sia in grado di soddisfare non più di 10 chiamate al secondo, calcolare la probabilità di trovarlo occupato.


22

Esercizio: In un’azienda, in un giorno, vengono prodotti 850 parti di cui 50 non sono conformi alle richieste di un certo cliente. Due parti vengono selezionate a caso, senza reimissione dal lotto. Sia X il numero di parti non conformi. Cal-colare la funzione di distribuzione.

{ } { }nKNKnx

nN

xnKN

xK

xf

ricaipergeomet onedistribuziXn

XNnKN

NKN

,min,...,,0max ,)(

:àprobabilit di massa e ha aleatoria variabileLa . tagliadi campione nel successi di numero il indica

che aleatoria variabilela Sia ne.reimmissio senza caso a oselezionat viene oggetti di campione Un .insuccesso come ticlassifica oggetti

e successo come ticlassifica oggetti contiene oggetti di insiemeUn

−+=

−−

=

<−<

eDefinizion

Distribuzione Ipergeometrica


23binomiale. aleatoria variabileuna da taapprossima è metrica

-ipergeo onedistribuzicon aleatoria variabileuna allora , Se . tagliadi finita epopolazion una da

nereimmissio senza ntocampionameun effettua si poichè apportata vienecorrezione Tale binomiale. tipodi varianzauna a correzione di

fattoreun arappresent finita epopolazion della correzione di fattore Il binomiale. onedistribuzi ha infinita epopolazion

una da campionare a EQUIVALE nereimmissiocon Campionare

NnN

X

<•

•⇒

•

( ) ( )

finita. epopolazion una di correzione di fattoreN

nN

NnN

NK

NKnXV

NKnXE

X

come noto è1

fattore il eparticolarIn

.1

1

alloraricaipergeometonedistribuzicon aleatoria variabileuna è Se

2

−−

−−

−==== σµ


24

CONTROLLO STATISTICODELLA QUALITA’

In corso di produzione

Di accettazione

Lo scopo del controllo di accettazione è di fornire dei criteri per giudi-care se un certo lotto è conforme o meno mediante l’osservazione di unsottoinsieme di unità, in genere piccolo, che lo compongono.

n = numerosità del campione da estrarre

a = numero massimo di unitàdifettose ammissibili

Esempio: Sia dato un lotto costituito da 800 pezzi. Il piano di campionamento preveden=150 e a=2. Determinare qual è la probabilità che un lotto contenente il 5% di uni-tà difettose, venga accettato.

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