ESERCITAZIONE 20 : VARIABILI ALEATORIE DISCRETE · Le variabili aleatorie geometriche godono di una propriet a rilevante, detta assenza di memoria: se nei primi ntentativi non e stato

ESERCITAZIONE 20 : VARIABILIALEATORIE DISCRETE

Giacomo Tommei

e-mail: [email protected]

web: www.dm.unipi.it/∼tommei

Ricevimento: su appuntamentoDipartimento di Matematica, piano terra, studio 114

30 Aprile 2013

Esercizio 1

Sia X una variabile aleatoria discreta che assume valore 1 con probabilita

1/3 e −2 con probabilita 2/3. Calcola il suo valor medio E[X] e la sua

varianza V ar[X].

Giacomo Tommei Variabili aleatorie discrete

Esercizio 2

In un’urna ci sono 5 palline Rosse e 3 Verdi.

a) Se si estraggono a caso 2 palline senza rimessa e X rappresenta ilnumero di palline Rosse estratte determinare la distribuzione diprobabilita di X.

b) Se si estraggono a caso 2 palline con rimessa e Y rappresenta ilnumero di palline Verdi estratte determinare la distribuzione diprobabilita di Y .


Esercizio 2 - Soluzione

a) Poiche l’esperimento consiste nell’estrarre 2 palline SENZA rimessa ed X rappresenta ilnumero di palline Rosse estratte, la sua distribuzione di probabilita sara data da

p(X = 0) =3

8

2

7=

3

28

p(X = 1) = 25

8

3

7=

15

28

p(X = 2) =5

8

4

7=

5

14

b) Poiche l’esperimento consiste nell’estrarre 2 palline CON rimessa ed Y rappresenta ilnumero di palline Verdi estratte, la sua distribuzione di probabilita sara data da

p(X = 0) =

(5

8

)2

=25

64

p(X = 1) = 23

8

5

8=

15

32

p(X = 2) =

(3

8

)2

=9

64


Esercizio 3

Si lanciano 3 dadi e si considerano le seguenti variabili aleatorie discrete

a) X: somma dei punteggi dei 3 dadi;

b) Y : prodotto dei punteggi dei 3 dadi.

Calcolare il valor medio e la varianza di X e Y .



a) Consideriamo 3 dadi indistinguibili e supponiamo di lanciarli simultaneamente. Lasomma dei punteggi dei 3 dadi potra assumere valori compresi tra 3 e 18.

P (X = i) = ni

(1

6

)3

,

dove i e un valore intero compreso tra 3 e 18, e ni e il numero di modi in cui si puoottenere il valore i. Ad esempio il valore 6 puo essere ottenuto come 4+1+1, 3+2+1,2+2+2.

E(X) =18∑i=3

i P (X = i) =18∑i=3

i ni

(1

6

)3

V ar(X) =18∑i=3

(i− E(X))2P (X = i)

b) Per la variabile aleatoria Y si ragiona allo stesso modo, il valore minimo ottenibile e 1,mentre il massimo 216. Naturalmente non tutti i valori tra 1 e 216 saranno esprimibilicome prodotto di 3 interi minori o uguali a 6: pensate ad esempio al numero 7.


Esercizio 4

Ricordi tutte le cifre del PIN del tuo bancomat tranne l’ultima. Decidi di

provare lo stesso scegliendo a caso l’ultima cifra, disponi di un massimo di 3

tentativi. Quanti tentativi farai in media?



Indichiamo con X la variabile aleatoria discreta che conta il numero di tentativi; tale variabilealeatoria puo assumere i valori 1, 2 e 3. Avremo X = 1 quando indovineremo la cifra al primotentativo, X = 2 quando sbaglieremo il primo tentativo ed indovineremo al secondo, mentreX = 3 lo otterremo quando indovineremo al terzo tentativo oppure sbaglieremo tutti e tre itentativi. Quindi si ha

P (X = 1) =1

10P (X = 2) =

9

10

1

9=

1

10

P (X = 3) =9

10

8

9

1

8+

9

10

8

9

7

8=

8

10

quindi il valor medio e

E(X) =1

10+ 2

1

10+ 3

8

10=

27

10


Esercizio 5

Un arciere scocca delle frecce contro un bersaglio disponendo di unmassimo di 3 tentativi. Al primo tentativo la probabilita di colpire ilbersaglio e 1/5, ma ad ogni nuovo tentativo tale probabilita raddoppiarispetto al tentativo precedente. Calcola:

a) la probabilita di colpire il bersaglio;

b) il numero medio di frecce scoccate.



a) La probabilita di colpire il bersaglio e data dalla somma delle tre probabilita di colpirloal primo colpo, di colpirlo al secondo e di colpirlo al terzo. La probabilita di colpirlo alprimo colpo vale 1/5; la probabilita di colpirlo al secondo vale (4/5) (2/5) = 8/25 (noncolpisce al primo colpo e ha probabilita doppia di colpirlo al secondo); la probabilita dicolpirlo al terzo vale (4/5) (3/5) (4/5) = 48/125 (non colpisce al primo colpo, noncolpisce al secondo e ha probabilita doppia, rispetto al secondo tentativo, di colpirlo alterzo). La probabilita cercata e quindi

P =1

5+

8

25+

48

125=

113

125

b) Indicando con X il numero di frecce scoccate si nota che X e una variabile aleatoriadiscreta che puo assumere i valori 1, 2, 3; calcoliamo le rispettive probabilita (ricorda chesi scoccano tre frecce sia che si colpisca il bersaglio al terzo tentativo sia che non lo sicolpisca):

P (X = 1) =1

5P (X = 2) =

8

25P (X = 3) = 1−

1

5−

8

25=

12

25

Il valor medio e allora

E[X] = 11

5+ 2

8

25+ 3

12

25=

57

25


Variabili aleatorie discrete

Binomiale (o bernoulliana)Sia E un evento con probabilita p, e consideriamo la v.a. X che conta ilnumero di volte che E si e verificato in n esperimenti.

P (X = k) =

(nk

)pk (1− p)n−k

E(X) = n p

V ar(X) = n p (1− p) DS(X) =√V ar(X) =

√n p (1− p)



Distribuzione di PoissonSupponiamo di conoscere il numero medio di eventi µ che accadono in undato intervallo di tempo ed indichiamo con X la v.a. che conta il numero dieventi accaduti nel fissato intervallo di tempo per il fenomeno (di Poisson)in esame.

P (X = k) =µk

k!e−µ

E(X) = µ

V ar(X) = µ DS(X) =√V ar(X) =

√µ



Distribuzione geometricaSia E un evento con probabilita p che chiamiamo “successo” e supponiamodi ripetere delle prove. Consideriamo la v.a. X che conta il numero di provenecessarie ad ottenere il primo successo.

P (X = k) = (1− p)k−1 p

E(X) =1

p

V ar(X) =1− pp2

DS(X) =√V ar(X) =

√1− pp2

Le variabili aleatorie geometriche godono di una proprieta rilevante, detta

assenza di memoria: se nei primi n tentativi non e stato ottenuto alcun

successo, la probabilita di dover attendere altri m tentativi prima del primo

successo non dipende da n.


Esercizio 6

In una serie di 15 prove una variabile aleatoria X con distribuzione

binomiale ha valor medio E(X) = 3. Quanto vale la sua varianza V ar(X)?



Se una variabile aleatoria discreta X ha una distribuzione binomiale allora

E(X) = n p e V ar(X) = n p (1− p) ,

dove n e il numero delle prove e p il parametro della binomiale che rappresenta unaprobabilita. Dai dati dell’esercizio e dalle precedenti relazioni segue che

p =E(X)

n=

3

15=

1

5,

da cui

V ar(X) = 151

5

4

5=

12

5


Esercizio 7

In un sacchetto ci sono 8 biglie rosse, 2 gialle e 10 blu. Si estrae con rimessaper 5 volte. Calcola la probabilita di estrarre:

a) esattamente 4 rosse;

b) almeno 1 rossa.

c) Quante palline gialle saranno estratte in media?



Si hanno 20 palline in totale quindi

P (R) =8

20P (G) =

2

20P (B) =

10

20

a)

P (4R) =

(54

) (8

20

)4 ( 12

20

)

b)

P (almeno 1R) = 1− P (0R) = 1−(

12

20

)5

c) Indichiamo con X la variabile aleatoria discreta che conta il numero di palline gialleestratte: poiche l’estrazione e con rimessa, X ha una distribuzione binomiale conp = P (G) = 2/20 e n = 5, quindi

E[X] = n p =1

2


Esercizio 8

Scegliendo a caso tra tutte le parole di 6 lettere formate da un alfabetocomposto dalle sole lettere A,C,G,T calcola:

a) la probabilita di ottenere la parola AACGTA;

b) scegliendo a caso con rimessa, quante estrazioni dovrai fare in mediaper veder comparire questa parola?



a) La probabilita di ottenere la parola AACGTA e

p =1

46

dove a denominatore c’e il numero di possibili parole di 6 lettere formate con l’alfabetodi 4 lettere in questione.

b) Indicando con X la variabile aleatoria discreta che conta il numero di estrazioni pervedere estratta la parola in questione, e facile notare che X ha una distribuzionegeometrica e quindi il suo valor medio vale E[X] = 1/p = 46.


Esercizio 9

Sia data una variabile aleatoria X. Sapendo che E[X] = 4 e E[X2] = 20

calcola la deviazione standard di X ed il valor medio della variabile

aleatoria (2 + 4X)2.



La varianza di X puo essere ottenuta dalla relazione

V ar[X] = E[X2]− (E[X])

2= 20− 16 = 4

quindi la sua deviazione standard vale

σ[X] =√V ar[X] =

√4 = 2

Per calcolare il valor medio di (2 + 4X)2 si utilizzano le proprieta di linearita del valor medio ele informazioni a disposizione:

E[(2 + 4X)2] = E[4 + 16X + 16X

2] = E[4] + E[16X] + E[16X

2] =

4 + 16E[X] + 16E[X2] = 4 + 64 + 320 = 388


Esercizio 10

Sapendo che la probabilita di avere un figlio maschio in Italia vale

p ' 51.35%, quanti figli ti aspetti di dover fare in media per avere un figlio

maschio?


Esercizio 11

In un gioco a premi investi 50 euro sapendo che hai una probabilita del 8%

di vincere 500 euro, una probabilita del 12% di vincere 100 euro, una

probabilita del 20% di vincere 50 euro ed una probabilita del 60% di non

vincere niente. Ti aspetti, in media, di guadagnare o perdere giocando?


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