Vanja Alendar-prethodno Napregnuti Beton Gradjevina

GRADJEVINSKI FAKULTET U BEOGRADU INSTITUT ZA MATERIJALE I KONSTRUKCIJE

Vanja Alendar

PRETHODNO NAPREGNUTI BETON

VE@BE NA IX-OM SEMESTRU ODSEKA ZA KONSTRUKCIJE [KOLSKE 2003/2004 GODINE

Beograd Oktobar 2003.

V.Alendar - Prethodno napregnuti beton

1-2

1. UVOD U ovom delu daje se prikaz osnovne ideje prethodnog naprezanja, obja{njenje osnovnih pojmova, prikaz tehnologija izvodjenja kao i primeri primene prethodnog naprezanja. 1.1 OSNOVNA IDEJA I POJMOVI PRETHODNOG NAPREZANJA Pretpostavimo da je potrebno da se uradi projekat armiranobetonskog (AB) cilindri~nog rezervoara za vodu, unutra{njeg pre~nika R, slika 1.1 Za analizu je izabran prsten cilindra na dubini h, visine 1,0m, koji je dovoljno udaljen od krajeva rezervoara tako da se stanje naprezanja moè analizirati na bazi 'membranskog re{enja', bez efekata savijanja usled eventualno spre~enih slobodnih deformacija krajeva cilindra. Radijalni pritisak vode na dubini h iznosi p=γh.

U horizontalnoj ravni, radijalni pritisak vode p izaziva sile zatezanja u segmentu zida rezervoara visine 1,0m, ~iji je iznos, prema tzv. 'kotlovskoj formuli' Z=pR (kN/m). Nije uobi~ajeno, ali zid cilindra moè teorijski da se izradi i od nearmiranog betona. Za razliku od armiranobetonskih konstrukcija, u ovom slu-~aju karakteristi~no je da je pojava prslina ujed-no i stanje loma preseka odnosno konstrukcije. Izborom marke betona MB i debljine zida cilin-dra d , potrebno je obezbediti da je:

γZ*Fb fbzm (prora~un prema 'grani~noj nosivosti'), ili,

Z*Fbσzdop (prora~un prema 'dozvolje-nim naponima') gde su:

γ - koeficijent sigurnosti od loma (recimo 1,80); fbzm - ~vrsto}a betona na aksijalno zatezanje (red veli~ine 3,0MPa); σzdop - dozvoljeni napon zatezanja (red veli~ine 0,5MPa); Fb - povr{i-na ra~unskog preseka betona. Ukoliko se konstrukcija izvodi od armiranog betona, potrebna 'prstenasta armatura' Fa (cm2/m) u horizontalnoj ravni moè da se odredi iz uslova obezbedjenja grani~ne nosivosti preseka zida: γZ*Fa σ02 , gde je σ02 - granica velikih izduènja ~elika (400MPa u slu~aju rebraste armature RA400/500). Treba uo~iti da debljina zida d kao i kvalitet betona MB prema primenjenom konceptu ne uti~u na grani~nu nosivost aksijalno zategnutog zida cilin-dra - osiguranje od loma obezbedjuje se samo zategnutom armaturom. Osim grani~nog sta-nja nosivosti, u ovom slu~aju je neophodno proveriti i grani~no stanje upotrebljivosti odnosno, treba proveriti {irinu prslina u eksploataciji (pri 'radnim optere}enjima'). U ovom slu~aju, za odredjivanje debljine zida, marke betona, koli~ine, pre~nika i rasporeda armature u preseku naj~e{}e je merodavno upravo obezbedjenje prihvatljive {irine prsli-na. Zid rezervoara ne bi trebalo da propu{ta vodu, a prihvatljiva {irina prslina zavisi i od predvidjene obrade zidova, da li se predvidja elasti~na izolacija na primer, koja se ne}e pocepati usled pove}anih dilatacija na mestu prslina.

p

R

Armaturad

ZatezanjeZ=pR

Prslina

Slika 1.1 Naprezanje zida AB rezervoara


1-3

Za klasi~ne armiranobetonske konstrukcije karakteristi~an je koncept tzv. 'pasivne arma-ture' - naprezanja armature pojavi}e se tek sa razvojem deformacija betona: usled skup-ljanja betona pre oslobadjanja od skele, pri oslobadjanju od skele, pri daljem prirastu spolj-nih optere}enja ili usled 'te~enja betona', na primer. Pri promeni spoljnih ili unutra{njih optere}enja, deformacije konstrukcije pa i dilatacije/naponi armature se dodatno, prakti~no stalno menjaju, sve dok se u konstrukciji ne formira unutra{nje stanje napona/sila koje }e biti u ravnoteì sa trenutnim optere}enjima. O~ekivani kona~ni, ukupni ugibi greda/plo~a mogu da budu preveliki, zbog ~ega se u takvim slu~ajevima grede/plo~e izvode sa nadvi{e-njem, kako bi se obezbedio prihvatljiv rezultuju}i ugib, obi~no definisan propisima u zavis-nosti od namene objekta. Nadvi{avanje elemenata konstrukcije predstavlja izvodjenje kon-strukcije u deformisanom obliku, bez unetih po~etnih napona. Ukoliko se pojave preveliki ugibi elementa konstrukcije, ponekad je mogu}e da se zate~eni ugibi potiskivanjem presa-ma koriguju, da se potom u korigovanom poloàju pove}a krutost elementa, i da se onda otpuste prese i oslobodi konstrukcija - slu~aj naknadne 'prinudne deformacije' konstruk-cije. Osnovna ideja tzv. 'prethodnog naprezanja' elemenata/konstrukcija je da se ve} pri gradjenju, unapred izazovu prinudne deformacije elemenata/konstrukcije i time obe-zbedi njeno povoljnije pona{anje u eksploataciji. Na primer, pri izradi drvenih buradi, ver-tikalni elementi se bo~no 'uteù' navla~enjem ~eli~nih prstenova-obru~a. Time se ostvaruje bo~ni pritisak na vertikalnim spojnicama elemenata i spre~ava procurivanje usled unutra-{njih pritisaka te~nosti koji teè da razmaknu elemente - 'da otvore vertikalnu prslinu na spojnicama' (~uveni primer jednog od zaslu`nih inènjera u ovoj oblasti - T.Y.Lin-a). Na~elno je mogu}e i zid rezervoara koji se razmatra utegnuti - 'prethodno napregnuti' na sli~an na~in. U tom slu~aju potrebno je umesto cilindri~nog zida - sa vertikalnim spoljnim izvodnicama, izvesti konusnu spoljnu povr{inu, sa pove}anjem spoljnog pre~nika sa dubi-nom rezervoara. Navla~enjem ~eli~nih prstenova-obru~a na konus, nasilno se pove}ava pre~nik obru~a i time izazivaju naponi zatezanja u ~eliku, odnosno naponi pritiska u zidu rezervoara. Bilo bi poèljno da prethodno uneti naponi pritiska u betont budu ve}i od o~ekivanih napona zatezanja usled unutra{njih pritisaka vode, tako da u toku eksploatacije rezultuju}e stanje napona u zidu rezervoara bude uvek neki minimalni pritisak, recimo oko 1,0MPa. Postupak prinudnog deformisanja konstrukcije, recimo presama, je jedan od

najstarijih postupaka 'prethodnog naprezanja' i u razli~itim oblicima primenjuje se i danas. Pod 'prethodnim naprezanjem' se u ovom kur-su, a i u praksi, podrazumeva primena specijal-nih ~eli~nih proizvoda (ìca, {ipki, uàdi, kablo-va, sajli...) koji su ve} pri ugradjivanju na odgo-varaju}i na~in unapred - prethodno zategnuti. U slu~aju razmatranog rezervoara, ukoliko us-pemo da ~eli~nu ìcu ugradimo i zategnemo do sile Nk , ostvari}e se radijalni pritisci qk , odnosno sila pritiska u zidu D=Nk , slika 1.2. Izborom veli~ine sile prethodnog naprezanja Nk , mo-gu}e je u zidu rezervoara posti}i rezultuju}e stanje sila N=D-Z, odnosno napona u betonu,

PritisakD=qkRk=Nk

qk = Nk/Rk

Rk

Nk Nk

d

Utezanjekrajevakablova

Kablovi

Slika 1.2 Uticaji usled prethodnog

naprezanja zida rezervoara


1-4

koji }e i u najnepovoljnijem slu~aju u eksploataciji jo{ uvek da budu pritisci. Time se spre-~ava pojava prslina, pove}ava pouzdanost i trajnost objekta i otvara mogu}nost u{tede na izolacionim materijalima. Treba uo~iti da sila pritiska u zidu ne zavisi od polupre~nika kabla Rk , kablovi mogu da budu i sa spolja{nje strane zida. Spiralno obmotavanje kru`nih rezervoara specijalnim ìcama visokih ~vrsto}a, sa odredjenim razmakom - hodom, uz istovremeno njihovo zatezanje je '50-tih godina pro{log veka patentirala ameri~ka firma 'Preload', i izvela na hiljade objekata.

Raznolikost efekata prethodnog naprezanja prikazana je i na ~estom primeru primene - prethodnom naprezanju nosa~a sistema proste grede optere}enog jednako podelje-nim optere}enjem, slike 1.3-5. Pod dejstvom ukupnog optere}enja q , klasi~no armirana greda postigla bi ravnote`no stanje uz ugib δ , uz verovatnu pojavu prslina, slika 1.3. Kako izvesti prethodno naprezanje ovog nosa~a? Pretpostavimo da je pre betoniranja elementa, u oplatu ugradjena paraboli~na cev, sa stre-lom f u odnosu na teì{nu liniju ele-menta, slika 1.4. Cev, u ovom pri-meru, na krajevima prolazi kroz teì{te popre~nog preseka. Nakon {to beton o~vrsne, kroz cev se pro-vla~e ~eli~na uàd, tzv. 'kabl', koji se na jednom kraju fiksira tzv. 'kotvom'. Dok je element jo{ na skeli, sa drugog kraja se kabl zateè-izvla~i pomo}u 'prese', do po-stizanja èljene sile Nk u kablu. Pa-raboli~no zakrivljena 'trasa' kabla pri sili u kablu Nk izaziva vertikalni potisak, tzv. 'skretno optere}enje' qk , slika 1.4. Kada potisak qk nad-vlada sopstvenu teìnu g , element se odlepljuje i potom odiè od skele za iznos δ0 - ugib u 'fazi prethod-

nog naprezanja'. Zbog 'prinudnog deformisanja' i odizanja nosa~a u fazi prethodnog naprezanja, rezultuju}e stanje napona u preseku u sredini raspona je pritisak σdo na do-njoj ivici, i znatno manji pritisak ili zatezanje σgo na gornjoj ivici preseka. Ukoliko se pretera sa silom zatezanja kabla, mogu}a je i pojava prslina sa gornje strane nosa~a, u krajnjem slu-~aju ~ak i lom preseka. Sile kojima kablovi deluju na beton u fazi prethodnog naprezanja nazivaju se 'ekvivalentno optere}enje' i u ovom slu~aju podrazumevaju: jednako podelje-no skretno optere}enjem qk koje deluje na gore, kao i koncentrisane sile Nk na mestu kotvi koje deluju pod uglom, u pravcu ose kabla, slika 1.4. Efekti prethodno naprezanja - sile,

Prslineδ

q=g+p

Armatura

Teì{na linija

δ 0

g

L

qk=8Nkf/L2

Nk

Nk

σd0

σg0

f

KablCev

Kotva

Teì{na linija

Kotva Presa

δ t

p

σdt

σgt

Injektirana cevsa kablom

Kotva Kotva

Slika 1.3 Klasi~no armirana greda -koncept 'pasivne armature'

Slika 1.4 Prethodno naprezanje grede -koncept 'aktivne armature'

Slika 1.5 Prethodno naprezanje grede -rezultuju}e stanje u eksploataciji


1-5

naponi i ugibi mogu da se analiziraju kao slu~aj proste grede optere}ene ekvivalentnim optere}enjem. Po zavr{etku utezanja kablova, formira se anker-kotva i na kraju sa koga je vr{eno utezanje, i uklanja presa. Klasi~an na~in prethodnog naprezanja podrazumeva da se pre nano{enja ostalih optere}eja izvr{i 'injektiranje' cevi cementnom emulzijom, ~ime se ostvaruje konti-nualni spoj kabla i betona - 'prethodno naprezanje sa spojem'. Pri daljem prirastu spolj-nih optere}enja do iznosa p , kabl se pona{a kao klasi~na armatura, ali sa unetim po~etnim naponom - koncept 'aktivne armature'. Pri ukupnom optere}enju q=g+p , prethodno napregnuti element ima}e znatno manji ugib δt , napon pritiska σgt na gornjoj ivici odnosno napon pritiska ili napon zatezanja σdt na donjoj ivici preseka u sredini raspona, slika 1.5. Ukoliko se prethodnim naprezanjem elimini{u naponi zatezanja u svim fazama ìvota kon-strukcije, spre~ena je i pojava prslina u betonu. U ve}ini slu~ajeva, prethodno napregnuti elementi se dodatno armiraju i bar minimalnom klasi~nom, 'prethodno nezategnutom armaturom' zbok kontrole napona zatezanja, prslina, regulisanja grani~ne nosivosti itd. Izneti primer ilustruje kako se primenom postupka prethodnog naprezanja moè izvr{iti korekcija - 'balansiranje' deformacija, prslina i napona konstrukcije. Zavisno od prihvat-ljivih minimalnih napona σgo na gornjoj ivici u fazi prethodnog naprezanja, odnosno napona σdt na donjoj ivici u fazi eksploatacije, razlikuju se tri koncepta - 'nivoa prethodnog naprezanja': - 'potpuno prethodno naprezanje' - ne dozovoljava se pojava napona zatezanja, osim eventualnih prolaznih, privremenih napona zatezanja u fazi prethodnog naprezanja; - 'ograni~eno prethodno naprezanje' - dozvoljava se pojava limitiranih napona zatezanja u betonu, ali ne i pojava prslina; - 'parcijalno prethodno naprezanje' - dozvoljava se i pojava prslina, ali limitirane {irine.

Parcijalno prethodno napregnuti elementi mogu da se shvate i kao klasi~no armirani elementi 'potpomognuti delimi~nim prethodnim napre-zanjem'. Pojavom prslina u prethodno napreg-nutom nosa~u kod koga je ostvaren spoj kablova i betona, do}i }e do porasta-skoka dilatacija ~e-lika kablova u zoni prslina, kao {to je to slu~aj i sa dilatacijama armature klasi~no armiranih nosa~a, slika 1.6. Dilatacija ~elika koji prolazi kroz prslinu u sredini raspona }e da raste do iznosa εk , potrebnog da se obezbedi ravnoteà preseka optere}enog na savijanje, putem sprega unutra{njih sila u betonu Db i kablovima Nk na kraku z , slika 1.6. Van zone prslina, promena dilatacija kabla prati promenu krivina preseka, odnosno tok dijagrama momenata savijanja. Injektiranje cevi treba prvenstveno da obezbedi pouzdanu za{titu kablova od korozije, {to za posledicu ima opisani model zajedni~kog rada ~elika i betona. Danas se za{tita od korozije re-{ava i na druge na~ine, bez injektiranja, tako da

q

εk

Nk=FkEkεk = qL2/8z

Db=Nk

z

q

εk

Db

Nk

z

Slika 1.6 Prethodno naprezanjesa spojem kablova i betona

Slika 1.7 Prethodno naprezanjebez spoja kablova i betona


1-6

nema ni spoja kablova i betona. Kablovi mogu da klize kroz beton, i u ovom slu~aju se govori o 'prethodnom naprezanju bez spoja' kablova i betona. Budu}i da nema spoja, ni promene dilatacija kabla i betona u istom preseku pri promeni spoljnih optere}enja nisu vi{e jednake. U idealnom slu~aju bez trenja kabla i betona, dilatacije kabla bez spoja su jednake celom duìnom kabla, pa i nakon pojave prslina - dolazi do 'uprose~avanja-razmazivanja dilatacija' ~elika, slika 1.7. Kao i u prethodnom slu~aju, da bi se obezbedila ravnoteà preseka u sredini raspona, dilatacija kabla nakon pojave prslina mora da poraste do pribli`no iste vrednosti εk . Budu}i da su dilatacije kabla jednake celom duìnom, ukupno izduènje kabla bez spoja je ve}e nego u slu~aju kablova sa spojem, a to zna~i da i ugibi nosa~a nakon pojave prslina moraju biti ve}i. Nevolja je {to i {irina prslina naglo raste, i vrlo brzo nakon pojave prsline dolazi i do loma preseka - ukoliko ne postoji i dodatna klasi~na armatura! Prethodno naprezanje bez spoja (ne zaboravimo - i bez zametnog injektiranja!) danas se naj~e{}e primenjuje kod prethodnog naprezanja plo~a, ali uz obavezno dodavanje klasi~ne armature radi kontrole prslina i sigurnosti od loma. Za do sada opisane primere karakteristi~no je da je utezanje kablova izvr{eno nakon o~vr-{}avanja betona, pa se ova tehnologija obi~no naziva 'naknadno prethodno naprezanje' (engl. - post-tensioning). Za proizvodnju nekih elemenata konstrukcija razvijeni su posebni, racionalniji postupci prethodnog naprezanja, kod kojih se prvo izvr{i zatezanje ~elika, pa se tek nakon toga vr{i betoniranje elementa. Koliko je engleski naziv za ovaj postupak dosledan - 'pre-tensioning', toliko bi naziv 'prethodno-prethodno naprezanje' bio ~udan, pa se ovaj postupak kod nas naj~e{}e naziva opisno - 'prethodno naprezanje na stazi', jer je potrebno izraditi tzv. 'stazu za prethodno naprezanje', slika 1.8.

Nk0 Nk0 Nk0 Nk0

e∆

Nk

Nk

Kotve

Teì{na linija

Budu}i betonskielement

Oporac Kabl Oporac

Prese

Kotve

Pomerljiviblok

Poda)

b)

d)

Budu}i betonskielement

Nk10 Nk10

Nk20 Nk20

l0 l0c)

e Nk10

Nk20 Nk20

l0 l0

eNk10

Slika 1.8 Prethodno naprezanje na stazi -'adheziono prethodno napreazanje'


1-7

Postupak prethodnog naprezanja obuhvata slede}e operacije: - zatezanje i ukotvljenje uàdi izmedju dva oporca na krajevima staze, slika 1.8a; - betoniranje elemenata oko prethodno zategnutih uàdi. S obzirom da uàd i staza mogu da budu velikih duìna, i preko 100m, obi~no se vr{i serijsko prethodno naprezanje vi{e elemenata u nizu, slika 1.8a; - presecanje uàdi nakon {to beton dovoljno o~vrsne. Uàd imaju tendenciju da se skrate, vrate na prvobitnu duìnu, i time izazivaju sile pritiska Nk0 u betonskom elementu koji se opire skra}enju uàdi, slika 1.8b. Za ovaj postupak bitno je da postoji dobar spoj uàdi i betona da uàd nebi proklizala kroz beton, otuda i ~est naziv 'adheziono pret-hodno naprezanje'. S obzirom da je obi~no u pitanju serijska proizvodnja velikog broja elemenata, bilo bi neracionalno da se presecanje uàdi vr{i 28 dana nakon betoniranja, kada beton postiè svoje nominalne karakteristike, staza je u tom slu~aju neupotrebljiva skoro mesec dana. Zbog toga se obi~no vr{i zaparivanje betona, kako bi se ubrzalo njegovo o~vr{}avanje i {to pre oslobodila staza za izradu novih elemenata. Za ovaj na~in prethodnog naprezanja najlogi~nija je pravolinijska trasa uàdi kao i kontinu-alni spoj betona i uàdi celom duìnom elementa, sa konstantnim ekscentricitetom e u od-nosu na teì{nu liniju elementa. Kod sistema prostih greda, bilo bi pak poèljno da je eks-centricitet sile prethodnog naprezanja najve}i u sredini raspona, gde su i najve}i mo-menti, i da se smanjuje ka osloncima, gde bi rezultantu prethodnog naprezanja trebalo uvesti u jezgro preseka, ukoliko èlimo da izbegnemo napone zatezanja u zoni oslonaca. U okviru ove tehnologije, promenljiv ekscentricitet se moè posti}i na dva na~ina: - elementi obi~no imaju ve}i broj uàdi, od kojih se jedan deo u zoni oslonaca na duìni l0 moè izolovati od betona, pomo}u navu~enih plasti~nih cevi, na primer, slika 1.8c. S obzirom da je za uno{enje sile prethodnog naprezanja neophodan spoj uàdi i betona, neizolovana uàd po~e}e da unose silu Nk10 na ~elu nosa~a, dok }e izolovana uàd po~eti da unose svoj deo sile Nk20 tek u preseku pomerenom za duìnu l0 , slika 1.8c. Izolovanjem najnièg reda uàdi u zoni oslonaca, pomera se rezultanta navi{e, ka jezgru preseka; - nakon {to se izvr{i uobi~ajeno zatezanje pravolinijske trase uàdi, vr{i se potezanje uàdi na dole za èljeni iznos ∆ posebnim uredjajima, trasa se prelama preko medjuopo-raca i prilagodjava stati~ki povoljnijem obliku, slika 1.8d.

Za sve do sada navedene tehnologije pret-hodnog naprezanja karakteresti~no je da se kablovi nalaze unutar preseka betona, tzv. 'unutra{nje prethodno naprezanje'. Iako se o~ekuje da su time kablovi za{ti}eni od korozije, praksa je pokazala da to ponekada i nije pouzdana za{tita, ukoliko su radovi izvedeni nekvalitetno, na primer. Sa druge strane, o~igledno je da je efekat prethod-nog naprezanja ve}i ukoliko se postigne ve}i ekscentricitet kablova. Da bi kablovi bili dostupni kontroli, pa i eventualnoj zameni, kao i da bi se postigao ve}i ekscentricitet sile

prethodnog naprezanja, danas se za odredjene tipove konstrukcija, posebno za mostove, sve vi{e primenjuje tzv. 'spolja{nje prethodno naprezanje', slika 1.9. Kablovi se delom vode kroz beton ali bez spoja, delom slobodno-'kroz vazduh', uz prelamanje trase kablova preko tzv. 'devijatora', slika 1.9. U fazi prethodnog naprezanja, kablovi deluju na kon-

δ 0

g

L

Nk

Nk

f

Kabl

Presa

Slika 1.9 Koncept spolja{njegprethodnog naprezanja

Devijator

Vk


1-8

strukciju ekvivalentnim optere}enjem: silama Nk na mestu kotvi i skretnom silom Vk na mestu devijatora. S obzirom da je strela trase f ve}a nego kada su kablovi unutar preseka betona, to je i efekat prethodnog naprezanja ve}i, sa manjom silom mogu se posti}i ve}i vertikalni potisci. Kada se kablovi nalaze unutar preseka betona, varijacije naprezanja usled promene spoljnih optere}enja su obi~no do 5% inicijalne sile u kablu. S obzirom da kablovi imaju relativno malu povr{inu i ekscentricitet, doprinos kablova krutosti elementa na savi-janje obi~no se zanemaruje. U slu~aju spolja{njeg prethodnog naprezanja sa izraènijom strelom f , kablovi su deo konstrukcijskog sistema, kao neka vrsta donjeg pojasa u razmat-ranom primeru. êsto se ovakvi sistemi i nazivaju 'dvopojasni sistemi', za koje se stati~ki prora~un vr{i modeliranjem svih elemenata konstrukcije: greda, devijatora i kablova.

Rezime savremenih postupaka prethodnog naprezanja koji se naj~e{}e primenjuju prikazan je na slici 1.10. Podsetimo i da se, zavisno od èljenih minimalnih napona u betonu, nivoi pret-hodnog naprezanja dele na: potpuno, ograni~eno i par-cijalno prethodno naprezanje. Ve} duè vreme istaùju se i druge mogu}nosti, tzv. 'inteli-gentno prethodno napreza-nje', na primer. Ideja je da se utezanje kablova ne izvr{i odmah do neke kona~ne sile, ve} da se formira 'mehanizam'

koji ~ine: konstrukcija, kablovi, automatske prese, kompjuter i senzori. Senzori kontinualno prate promene deformacija konstrukcije, ugibe krova sportske dvorane, na primer. Ako ugibi po~nu da rastu, zna~i da verovatno pada sneg, ili se pove}ava optere}enje usled ka~e-nja neke opreme, zvu~nika za koncert, na primer. Program na kompjuteru obradjuje podat-ke i, u jednom trenutku aktivira stalno prisutne prese koje po~inju da dodatno zateù kab-love i koriguju deformacije ali i naprezanja elemenata konstrukcije. Koncept je prost i racionalan: nije potrebno da je konstrukcija sve vreme 'nabildovana' zbog toga {to }e jednoga dana mo`da da se pojavi predvidjeno merodavno ra~unsko optere}enje. Ako se pak pojavi, pa obezbedi}emo se da se 'slabija' ali racionalnija konstrukcija adaptira novo-nastaloj situaciji. 1.2 ÊLIK ZA PRETHODNO NAPREZANJE Postupak prethodnog naprezanja podrazumeva da su na raspolaganju ~elici i ~eli~ni proiz-vodi koji poseduju osobine potrebne za realizaciju racionalnog i pouzdanog prethodnog na-prezanja konstrukcija. Sa klasi~nom armaturom, GA240/360 odnosno RA400/500 ne moè ni{ta zna~ajnije da se postigne, osim eventualnog pritezanja-'{panovanja' putem dvostrukog navoja, kada je armatura postavljena van preseka kao zatega. Razvoj prethodnog napreza-nja prakti~no po~inje uvodjenjem u upotrebu ~elika visokih karakteristika, sa granicama velikih izduènja od 1000MPa i vi{e. Visokovredni ~elici za prethodno naprezanje prime-njuju se u razli~itim oblicima: kao glatke ìce, kao krute orebrene {ipke (sa granicama veli-

Prethodnonaprezanje

Klasi~no-unutra{nje

Spolja{nje

NaknadnoNa stazi

Sa spojemBez spoja

Slika 1.10 Postupci prethodnog naprezanja


1-9

kih izduènja od oko 1000MPa), kao uàd od upredenih, obi~no sedam glatkih ìca meha-ni~ki medjusobno spojenih, itd. Tipi~na uàd za prethodno naprezanje su nominalnog pre~nika φ15,2 i φ15,8(ili 16)mm. Zbog bolje veze sa betonom, pri prethodnon naprezanju na stazi ~esto se primenjuju ne{to tanja uàd, φ12 na primer.

Na slici 1.11 prikazano je standarno uè od upredenih glatkih ìca, bez, i sa za{titom od korozije. Ukoliko je u pita-nju prethodno naprezanje sa spojem ~elika i betona, primenjuju se 'gola' uàd. U slu~aju prethodnog napreza-nja bez spoja, uè se prema-zuje specijalnom ma{}u i spo-

lja {titi polietilenskom cevi, kako bi se obezbedilo proklizavanje uèta, ali i za{tita od korozije. êsto se ~elik prethodno premaè jo{ i epoxy-premazom. Naj{iru primenu danas imaju kablovi za prethodno naprezanje - snop paralelnih uàdi (stariji kablovi formirali su se kao snop paralelnih glatkih ìca, pre~nika od oko 7mm) koja se uteù i ukotvljavaju kao celina, skupno.

Na slici 1.12 prikazani su radni dijagrami klasi~ne rebraste armature RA400/500, i tipi~nog uèta za prethodno naprezanje sa granicom kidanja uèta od ~ak 1860MPa. Uàd imaju znatno vi{e ~vrsto}e od klasi~ne armature, ali su i 'krtija', do prekida uèta dolazi pri niìm dilatacijama, reda veli~ine 50 0/00. Moduo elasti~nosti uèta takodje je ne{to niì, i obi~no iznosi oko 195 GPa. Ukoliko je uè prethodno zategnuto do napona od 1000MPa i dilata-cije od oko 5 0/00, tada je za promene napona u eksploataciji do dostizanja granice velikih izduènja od oko 1670MPa ostalo jo{ oko 670MPa, slika 1.13. U slu~aju prethodnog napre-zanja sa spojem betona i ~elika, ponekada se prethodno uneti naponi uàdi interpretiraju kao 'spolja{nje optere}enje', dok se promene napona, zaklju~no sa dostizanjem loma

25 50Dilatacija x 103

Nap

on [M

Pa]

1670

1860

1000

5

∆ε

∆σ

670

Uneto prethodnimzatezanjem ~elika

Promene ueksploataciji

"êlik 670/860"

ε

σ860

σ0=

A

A0

Slika 1.13 Idealizovani radni dijagram uàdi za

prethodno naprezanje

RA 400/500

50 100 150Dilatacija x 103

Nap

on [M

Pa]

400

1670

1860 Uè fpk=1860

ε

σ

Slika 1.12 Radni dijagrami ~elika

Mast-za{tita odkorozije

UèPolietilenska

cev

Slika 1.11 Uàd za prethodno naprezanjesa/bez spoja


1-10

preseka razmatraju kao slu~aj klasi~no armiranog preseka sa 'fiktivnim ~elikom' karakte-ristika 670/860 MPa, slika 1.13. 1.3 TEHNOLO[KI DETALJI U osnosu na klasi~no armirane konstrukcije, prethodno naprezanje je sofisticirana tehno-logija. Kablovi i ostala oprema ne mogu da se nabave 'na otpadu', oprema za prethodno naprezanje nabavlja se od proverenih proizvodja~a. Na slici 1.14. prikazana je tipi~na trasa kablova jednog kontinualno nosa~a preko dva polja, naknadno prethodno napregnutog mosta uradjenog iz dve faze, na primer. U slu~aju sandu~astih preseka konstrukcije kao u ovom primeru, kablovi za naknadno prethodno naprezanje naj~e{}e se vode kroz rebra preseka, kako bi se omogo}ilo njihovo krivolinijsko vodjenje sa promenljivim ekscentrici-tetom - racionalno balansiranje spoljnih optere}enja, deformacija, napona i prslina. Jedan kabl sastoji se obi~no od vi{e uàdi (1-50 i vi{e) koja se vode kroz za{titnu cev prethodno ubetoniranu. Za{titna cev za vodjenje kablova za prethodno naprezanje postavlja se u oplatu zajedno sa klasi~nom armaturom, i podupire se s mesta na mesto posebnim drà~ima, 'stolicama' od klasi~ne armature, slika 1.15. Zavisno od broja uàdi u kablu, pre~nik za{titnih cevi je reda veli~ine 25-160mm. Cevi su obi~no ~eli~ne, a da bi se obezbedila njihova fleksibilnost, formiraju se od namotanih ~eli~nih traka, nalik metalnom crevu za tu{ - tzv. orebrene

za{titne cevi. Za{titne cevi cevi mogu da imaju cev~ice za dreniranje vode koja prodre u cev u fazi betoniranja, slika 1.14. Armaturni sklopovi kao i za{titne cevi na svojim drà~ima moraju da budu dovoljno kruti, da ne dodje do prevelikog deformi-sanja ili ~ak njihovog obru{avanja pri betoniranju. Nakon o~vr{}avanja betona, kroz za{titne cevi se provla~e kablovi, ru~no kod kra}ih duìna, ili ma-{inski kod duga~kih trasa (i do 300m u slu~aju mostova).

Slika 1.15 Drà~i cevi i kablova

Prva faza gradjenja Druga faza gradjenja

Radni nastavak

D - DreniranjeV - Ozra~ivanjeG - InjektiranjeC - Kuplovanje, nastavakS - UtezanjeP - Naknadno injektiranje

Slika 1.14 Tipi~na trasa kablova za prethodno naprezanje


1-11

Na krajevima kablova postavljaju se ankeri -'kotve', dve kotve u prvoj fazi gradjenja, i jo{ jedna kotva na kraju nosa~a i druge faze gradjenja, u primeru na slici 1.14. Tip kotve zavisi od usvojene tehnoloje prethodnog naprezanja: normalna ili aktivna kotva, ako se sa tog kraja vr{i utezanje kablova; nastavna kotva, ako se predvidja nastavljanje-'kuplovanje' kablova, fiksna ili 'mrtva ' kotva, ako se taj kraj kabla samo sidri unutar betona.

Princip ukotvljenja jednog uèta, kao i delovi konstrukcije aktivne kotve prikazani su na slici 1.16 i 1.17. Uè vu~eno silom Nk povla~i za sobom tzv. trodelni konusni klin koji kliza i delimi~no se uvla~i u ankernu plo~u za iznos δ , dok svojim 'zubima' ne zarobi uè i blokira njegovo dalje klizanje - uvla~enje klina pra}eno zaklinjavanjem uèta. Uvla-~enje klina izaziva skra}enje kabla i pad prethodno unetih napona u uètu, o ~emu se vodi ra~una pri projektovanju.

Veli~ina ankerne plo~e zavisi od broja uàdi u kablu, primer aktivne kotve sa dvanaest uà-di na slici 1.18. Sila zatezanja kabla prenosi se na beton konstrukcije preko podlo`ne plo~e, obi~no kvadratnog ili pravougaonog oblika, slika 1.16 i 1.18. Na mestu uvodjenja

Slika 1.18 Aktivna kotva za kabl sa vi{e uàdi (VSL International)

Nk

Trodelni klin

Ankerna plo~a

Podlo`na plo~a

Uè

Reakcijabetonskogelementa

δ

Slika 1.16 Princip konstrukcije aktivne kotve Slika 1.17 Uè i rasklopljeni trodelni klin


1-12

sile prethodnog naprezanja, ispod podlo`ne plo~e, dozvoljavaju se veliki lokalni naponi pritiska, koji opet izazivaju zna~ajne lokalne popre~ne napone zatezanja - 'cepanja betona'. Zbog toga je sastavni deo kotve i posebna, obi~no spiralno formirana armatura, tzv. 'spira-la', koja se navla~i na kabl, sa ciljem da utegne beton u zoni kotve, i time pove}a nosivost betona na pritisak kao i da spre~i bo~no cepanje betona ispod kotve. Na slici 1.18 ova arma-tura nije prikazana, ali treba pogledati i sliku 1.20, gde je ova armatura prikazana. U primeru sa slike 1.14, sve tri kotve su aktivne, omogu}avaju utezanje kablova. Specifi~na je nastavna kotva nad srednjim osloncem, jer dozvoljava da se putem nje izvr{i utezanje prve faze konstrukcije, da se potom kabl nastavi, i da se na kraju utegne sa desnog kraja kompletne konstrukcije, sa ili bez promene sile u delu kabla u prvom polju. Aktivne kotve postavljene na oba kraja kabla omogu}avaju razli~ite redoslede utezanja:

- utezanje samo sa jednoga kraja; - istovremeno utezanje sa oba kraja sa dve prese; - utezanje prvo sa jedne strane, pri ~emu kotva na drugom kraju trenutno ima ulogu

fiksne kotve, i potom se presa prenosi na drugi kraj kabla. S obzirom da su se, pri utezanju kabla sa jednoga kraja uàd na drugom kraju zaklinila, potrebno je prvo presom izvr{iti rasklinjavanje uàdi - njihovo izvla~enje zajedno sa klinom iz ankerne plo~e, i tek potom nastaviti utezanje do èljene sile, koje je pra}eno izduènjem, izvla~enjem kabla u okviru prese. Pri vr{enju utezanja kablova, obi~no se vr{i i merenje izduènja kabla - hoda prese, jer je to indikator ispravnosti utezanja.

Slika 1.19 Faze utezanja kablova presama (VSL International)


1-13

Postupak utezanja kablova prikazan je na slici 1.19 i obuhvata slede}e operacije: - navla~enje ankerne plo~e i klinova na uàd, koja moraju da imaju potrebnu slobod-nu duìnu, da bi ~eljust prese mogla da ih uhvati (podlo`na plo~a je ve} ubetonirana); - navla~enje prese na uàd do kontakta - oslanjanja prese na ankernu plo~u; - hvatanje uàdi ~eljustima prese i izvla~enje, zatezanje uàdi do èljene sile ili èljenog izduènja - izvla~enja kabla; - odràvanje postignutog izduènja kablova uz utiskivanje svih klinova posebnim klipom prese-zaklinjavanje; - otpu{tanje i skidanje prese sa uàdi; - se~enje, skra}enje uàdi, ako se ne planira naknadno-dodatno utezanje u nekoj od narednih faza gradjenja; Prese su hidrauli~ke, vezane za pumpe. Merenje ostvarene sile obi~no vr{i se indirektno, putem merenja ostvarenog pritiska u presi. Na osnovu poznatog pritiska i povr{ine klipa prese, moè da se izra~una trenuta sila na presi. Obi~no se pre utezanja vr{i ba`darenje prese u laboratorijskim uslovima, direktnim merenjem sile pomo}u umetnutog pouzdanog dinamometra. Za svaki spareni komplet pumpa-presa, formira se dijagram pritisak-sila, tzv. dijagram ba`darenja prese, koji je merodavan za ocenu uspe{nosti izvr{enog pret-hodnog naprezanja. Ako se pri utezanju konstatuje da je èljena sila ostvarena, ali je isto-vremeno registrovano i neo~ekivano malo izduènje kabla-hod prese, to je indikacija da su otpori izvla~enju - trenje kabla o zidove za{titne cevi preveliki, ili da je ~ak do{lo do za-glavljivanja-blokiranja kabla. Treba imati na umu da je prethodno naprezanje prinudna deformacija konstrukcije i kabla, i da ako se ne ostvare o~ekivane deformacije, to zna~i da u sistemu postoje nepredvidjeni otpori. Osim izduènja kablova, pri prethodnom na-prezanju kompleksnih konstrukcija obi~no se mere i promene deformacija konstrukcije. Ako se konstatuje zna~ajnije odstupanje u odnosu na o~ekivane deformacije, tada, ili je gre{ka u proceni sopstvene teìne konstrukcije, ili u proceni i modeliranju njene krutosti ili se konstrukcija jednostavno negde nepredvidjeno zaka~ila-zapela. Da bi se ostvarili èljeni efekti prethodnog naprezanja, neophodno je da se obezbedi neometana deformacija konstrukcije! U suprotnom, moè do}i i do havarije, do o{te}enja objekta-prepreke koja spre~ava slobodnu deformaciju, ali i do o{te}enja konstrukcije koja se 'nepriridno' defor-mi{e. Po zavr{etku prethodnog naprezanja kabla, vr{i se injektiranje za{titnih cevi, utiskiva-njem obi~no cementne emulzije pod pritiskom, kroz prethodno ostavljene cev~ice za injektiranje, slika 1.14. Injektiranje se obi~no vr{i sa najniìh ta~aka za{titnih cevi ili kroz same kotve, ~ime se potiskuje navi{e zaostala voda, vazduh i ne~isto}e nakupljene u cevi, ~ije se izbacivanje van cevi vr{i kroz cev~ice za ozra~ivanje, slika 1.14.

Slika 1.20 Tipi~na trasa kablova za prethodno naprezanjesa fiksnom kotvom na jednom kraju

Trenje

SpiralaSpirala

Fiksna ("mrtva") kotva

Cev za injektiranjeCev za ozra~ivanjeCev za injektiranje

Utezanjepresom

Normalna ("aktivna") kotva


1-14

Jo{ jedan primer trase kablova kontinualne konstrukcije preko dva polja, izvedene mono-litno, bez nastavaka, prikazan je na slici 1.20. Utezanje kablova predvidjeno je samo sa levog kraja, ne kome je ugradjena 'aktivna kotva' dok je na desnom kraju postavljena 'fiksna kotva'. Dva primera tipi~nih konstrukcija fiksnih kotvi prikazani su na slici 1.21. Zbog problema sa odràvanjem i za{titom konstrukcija, danas je trend da se koristi {to manje aktivnih kotvi, koje nakon prethodnog naprezanja treba za{tititi, plombirati. Otuda i trend primene duga~kih kablova, sa {to vi{e ubetoniranih fiksnih kotvi, kao na slici 1.20. Obe kotve prikazane su sa dodatnom spiralnom armaturom za osiguranje zone uno{enja sile prethodnog naprezanja, o ~emu je prethodno bilo re~i. Na istoj slici prikazani su i vektori skretnog optere}enja, sile kojima kablovi deluju na beton konstrukcije, ali

ovaj put uklju~uju}i i sile trenja pri utezanju kabla, o ~emu do sada nije bilo re~i. Uvek prisutno trenje pri utezanju smanjuje efekte prethodnog naprezanja, o ~emu se vodi ra~una pri projektovanju.

Pri prethodnom naprezanju plo~a, takodje mogu da se koriste prikazani sistemi kablova za prethodno naprezanje sa spojem uz injektiranje za{titnih cevi. Medjutim, u svetu se danas ~e{}e koristi postupak sa kablovima bez spoja, ~ime se isbegava injektiranje. S obzirom da su plo~e ma-lih debljina, svi vode}i proizvodja~i sistema za prethodno naprezanje nude posebno dizajnirane kotve, sa manjim brojem uàdi rasporedjenih u horizontalnoj ravni, tako da i podlo`na plo~a dobija izduèni oblik, pogodniji za ugradjivanje u tanke elemente, slika 1.22. Detalj kotve kablova plo~e prikazan je na slici 1.23.

Slika 1.21 Dva tipa fiksnih kotvi (VSL International)

Slika 1.22 Kotve kablova bez spoja za prethodno naprezanje plo~a (VSL International)

Slika 1.23 Detalj kotvi u plo~i, sa armaturom

za obezbedjenje lokalnih napona


1-15

Slika 1.24 Deo kataloga doma}eg sistema za prethodno naprezanje IMS sa podacima o normalnim-aktivnim kotvama


1-16

Deo kataloga doma}eg sistema za prethodno naprezanje- 'IMS' prikazan je na slici 1.24, sa podacima o uàdima i aktivnim-normalnim kotvama. Krivolinijsko vodjenje trase kablova ne moè da se vr{i naglim, o{trim prelomima cevi i kablova. Proizvodja~i kablova defini{u minimalne dozvoljene radijuse krivina kablova Rmin u zavisnosti od njihove krutosti, tj. broja uàdi odnosno sile kidanja-nosivosti kabla, slika 1.26. S obzirom da je neophodno da kabl izadje upravno na kotvu, defini{u se i minimalne duìne Lmin pravog dela na ulasku kabla u kotvu, slika 1.25.

Raspored kablova i kotvi u okviru preseka takodje je definisan ili propisima, ili posebnin uputstvima proizvodja~a, da bi se obezbedio sme{taj elemenata i kvalitetno betoniranje. Dozvoljeni osovinski razmak cevi je naravno manji nego u slu~aju kotvi, jer kotve imaju ve}e dimenzije, slika 1.26. Ukoliko je debljina rebra grede taman dovoljna da se za{titne cevi smeste na minimalnim medjusobnim razmacima, tada je neophodno da se nosa~ na krajevima pro{iri, kako bi mogle da se smeste kotve. To za posledicu ima i delimi~no bo~no krivolinijsko vodjenje trase pojedinih kablova, kako se kablovi pribliàvaju kotvama.

30-50

φ

max (φ, 40)

30−5

0m

ax (φ

, 50)

b

b a

a

Kablovi u sredina nosa~a Kotve na kraju nosa~a

Slika 1.26 Minimalni dozvoljeni razmaci (mm) cevi odnosno kotvi kablova (IMS)

Slika 1.25 Minimalni polupre~nici krivljenja R i minimalne duìnepravog dela kabla u zoni kotve L (VSL International)

Rm

in, L

min

(m

)

Minimalna sila kidanja kabla (MN)


1-17

Osim {to su uàd za prethodno naprezanje ista, sistemi za spolja{nje prethodno napreza-nje imaju posebno razradjene sve ostale detalje, kao i odgovaraju}a uputstva za projekto-vanje. Na slici 1.27 shematski su prikazani osnovni elementi sistema VSL International. Svi elementi su tako koncipirani da se kabl, u slu~aju potrebe moè jednoga dana zameniti. Uàd za prethodno naprezanje obi~no se na pravcima vode kroz polietilenske cevi, dok se na krivinama-devijatorima, kao i u zoni ukotvljenja koriste ~eli~ne cevi. 1.4 PRIMERI PRIMENE PRETHODNOG NAPREZANJA Prethodno naprezanje danas se primenjuje kako u proizvodnji velikih serija jednostavnih monta`nih elemenata (tavanice, krovni nosa~i, èlezni~ki pragovi, {ipovi itd.), tako i za gra-djenje nesvakida{njih konstrukcija (veliki rasponi, specijalne tehnologije gradjenja, rezervoari, vodotornjevi, posebni uslovi za{tite kao u slu~aju posuda nuklearnih reaktora, mostovi, tavanice poslovnih zgrada velikih povr{ina, konstrukcije krovova velikih raspona, aerodromske piste itd.). Za primenu u geotehnici razvijeni su posebni sistemi ankera za osiguranje i stabilizaciju kosina, ankerovanje objekata koji mogu da isplivaju zbog hidrostati~kog potiska itd.

Slika 1.28 Prethodno naprezanje rezervoara

Slika 1.29 Prethodno napregnuta konstrukcija 'mostovskih' etaà


1-18

Slika 1.30 Sistem prethodno napregnutih o{upljenih tavanica/panela - 'Morava-Kru{ce'


1-19

Slika 1.31 Prethodno naprezanje medjuspratnih i temeljnih plo~a kablovima bez spoja

Slika 1.32 Segmentno gradjenje mosta

Slika 1.33 Spolja{nje prethodno naprezanje mosta


1-20

Slika 1.34 Spolja{nje prethodno naprezanje konstrukcija (prema Dywidag)

Slika 1.35 Prethodno napregnuti cilindar i platforma vodotornja 'Progar'

Slika 1.36 Trasa kablova cilindra

Slika 1.37 Trasa kablova platforme


1-21

Slika 1.38 Sanacija ramova poduhvatanjem greda-spolja{nje prethodno naprezanje

Slika 1.39 Spolja{nje prethodno naprezanje mosta

Slika 1.40 Prethodno napregnute liftovane tavanice,sistem Trudbenik


1-22

Slika 1.41 Spolja{nje prethodno naprezanje glavnih nosa~a krova raspona 136m - hangar JAT-a u Sur~inu

Slika 1.42 Krovni nosa~ hangara JAT-a u Sur~inu

Slika 1.43 Glavni nosa~i hangara JAT-a u Sur~inu u fazi gradjenja

Slika 1.45 Spolja{nje prethodno napregnuta konstrukcija krova 'Beogradske Arene'

Slika 1.44 Dispozicija 'Beogradske Arene'

Slika 1.46 Detalj gornjeg pojasa, kablova, stolica i devijatora 'Beogradske Arene'

2- 1

2. 'IDEALNI' EFEKTI PRETHODNOG NAPREZANJA Da bi se analiziralo stanje neke konstrukcije od homogenog elasti~nog materijala - sile u presecima, deformacije, naponi u presecima itd., primenjuje se neka od metoda statike konstrukcija ili otpornosti materijala. Optere}enja konstrukcije usled prethodno napreza-nje su 'unutra{nja optere}enja' konstrukcije, analogna dejstvu temperature ili skupljanja betona. Unutra{nja optere}enja karakteri{e da izazivaju deformacije konstrukcije, ali da u slu~aju kada slobodne deformacije nisu spre~ene (spolja{nje stati~ki odredjene konstruk-cije), ne izazivaju reakcije oslonaca. U ovom delu prikazan je postupak kako da se unutra{-nja optere}enja kojima kablovi za prethodno naprezanje deluju na konstrukciju, zamene 'ekvivalentnim optere}enjem' usled prethodnog naprezanja. 'Efekti prethodnog na-prezanja' - sile u presecima, deformacije itd. odredjuju se za uticaje ekvivalentnog optere-}enja shva}enog kao spolja{nje optere}enje, nekom od metoda statike konstrukcija. Sva razmatranja odnose se na 'idealan slu~aj', u realnosti neostvarljiv - da je sila u kablu konstantna celom duìnom kabla, i jednaka sili na presi kojom je kabl utegnut. Zbog raz-li~itih neizbe`nih efekata, sila u kablu - sila prethodnog naprezanja menja se duìnom nosa~a ve} u toku utezanja kabla, a po~etne realizovane sile menjaju se i u toku vremena, o ~emu }e biti re~i u narednom poglavlju. Analiza 'idealnih' efekata prethodnog napre-zanja ima svoj zna~aj kako zbog shvatanja prirode dejstava prethodnog naprezanja, tako i pri po~etnim pribli`nim - koncepcijskim analizama, koje prethode detaljnim analizama konstrukcije. Ekvivalentna optere}enja i efekti prethodnog naprezanja odredjuju se polaze}i od usvoje-nog postupka prethodnog naprezanja, razmatranjem stanja sila i deformacija konstrukcije u fazi utezanja kablova, kada se formira po~etno stanje sila i deformacija koje je osnova za sve naknadne analize. Nezavisno od toga da li je konstrukcija stati~ki odredjena ili neodredjena, zategnuti kabl na proizvoljno betonsko telo konstrukcije deluje:

- koncentrisanim silama na mestu kotvi; - koncentrisanim skretnim silama u pravcu simetrale ugla, na mestru o{trog

preloma trase kabla; - podeljenim skretnim optere}enjem u pravcu centra krivine na delu kabla u

krivini. Efekti prethodnog naprezanja dodatno zavise i od ekscentriciteta kotvi na krajevima no-sa~a, od oblika teì{ne linije konstrukcije kao i od toga da li je konstrukcija spolja{nje stati~ki odredjena ili neodredjena. 2.1 STATI^KI ODREDJENE KONSTRUKCIJE U slu~aju stati~ki odredjenih konstrukcija, u uèm smislu - u slu~aju spolja{nje stati~ki odredjenih konstrukcija, prethodno naprezanje ne izaziva reakcije oslonaca. Svi principi ilustrovani na narednim primerima konstrukcija sistema prostih greda, slike 2.1-2, vaè za sve stati~ki odredjene konstrukcije.

2- 2

Nk Nk Nk Nk

Nk Nk

TL i Kabl

L

TL

ff

αqk

R

Nkcosα

Nksinα

Nk

Nk

L

TL

f

α2

qk

Nkcosα1

Nksinα1

Nkcosα2

Nksinα2

e 2α1

qkMk2=

Nkcosα2∗e2M

Nk

Nk

L

TL α2

e 2

α1

Qk Nksinα1

Nkcosα2

Nksinα2

Mk2=Nkcosα2∗e2M

θ=α1+α2aa

Vk

Hk

Nk Nk

L

TL

f TL

qTL

qk

Nkcosα

NksinαM

Nk

M

qTL

NkM

Nkf T

L

Nk

Nk Nk

L

TL i kabl

f TL=

f k

qTL

NkNk

qk qk=qTL

qTL

Nk1 Nk1

L

TL

f 2

f 1 Nk2Nk2

a a a a

Nk2 Nk2Nk1

Mk2Mk2 Mk1Mk1

a)

b)

c)

d)

e)

f)

g)

a)

b)

c)

d)

e1)

e2)

f)

g)

Nk1M

Slika 2.1 Nosa~ i trasa kablova Slika 2.2 Stati~ki sistem, ekvivalentno optere}enje idijagram momenata savijanja

Nkcosα1

2- 3

2.1.1 Karakteristi~ni slu~ajevi - koncept 'ekvivalentnog optere}enja' Prav kabl zategnut silom Nk unosi u konstrukciju samo koncentrisane sile na mestu kotvi, slika 2.1a Ukoliko se osa kabla - trasa kabla poklapa sa teì{nom linijom nosa~a TL, ekvivalentno optere}enje su dve sile Nk na mestima kotvi, element je aksijalno pritisnut slika 2.1b. Krivolinijska trasa kabla na betonsko telo konstrukcije deluje kocentrisanim silama Nk na mestu kotvi, kao i skretnim podeljenim optere}enjem qk du` trase kabla, slika 2.1b. Na delu kabla polupre~nika krivine R zategnutog silom Nk , intenzitet skretnog optere}enja je qk=Nk/R - 'kotlovska formula'. Za ~est slu~aj trasa kabla oblika kvadratne parabole, R=L2 / 8f , gde su: L - duìna parabole; f - strela parabole, pa je qk = 8Nk f/ L

2, slika 2.1b. Skretno optere}enje deluje ka centru krivine kabla, ali se u slu~aju 'plitkih trasa' kab-lova - pribli`no f/L<12, kao dovoljno ta~no usvaja da podeljeno optere}enje deluje upravno na osu nosa~a, slika 2.2b. Koncentrisane sile na mestu kotvi deluju pod uglom α (tgα = 4f/L) u pravcu tangente na osu kabla odnosno, upravno na kotvu, i mogu da se razloè na nor-malnu silu Nk cosα , odnosno transverzalnu silu Nk sinα na mestu kotve, slika 2.2b. U slu~a-ju plitkih trasa kablova ( cosα ≅ 1 ), za analizu se obi~no usvaja da je normalna sila usled prethodnog naprezanja dovoljno ta~no jednaka Nk . Ekvivalentno optere}enje - jednako podeljeno optere}enje du` nosa~a i sile na krajevima, izazivaju savijanje nosa~a, sa maksi-malnom vredno{}u momenta savijanja u sredini raspona M=qk L

2 / 8 = Nk f . Ukoliko kotva na kraju nosa~a nije postavljena u teì{te preseka - 'nije centrisana', normal-na sila Nk cosα koja deluje na ekscentricitetu e2 , izaziva moment savijanja na kraju nosa~a Nk cosα∗e2 ≅ Nk e2 , slika 2.2c. Na mestu o{trog prelom trase kabla, pod skretnim uglom θ =α1+α2 , kabl zategnut silom Nk deluje na konstrukciju koncentrisanom skretnom silom Qk = 2Nk sin θ/2 , koja deluje u pravci simetrale skretnog ugla θ , slika 2.1d. U slu~aju plitkih trasa kablova i malih skret-nih uglova, obi~no se za analizu usvaja da skretna sila deluje vertikalno, Vk ≅ Qk , dok se horizontalna komponenta Hk zanemaruje, slika 2.2d. U slu~aju nosa~a sa krivolinijskom ili poligonalnom teì{nom linijom TL, pravolinijski kabl izaziva momente savijanja usled ekscentriciteta kabla u odnosu na osu, slika 2.1e. Uticaji prethodnog naprezanja mogu da se odrede u stati~kom sistemu sa realnom - zakrivljenom teì{nom linijom, slika 2.2e1, ili da se usvoji 'ispravljena' - pravolinijska osa nosa~a i ekvivalentno optere}enje usled krivine ose qTL = 8Nk fTL/L , slika 2.2e2. Momenti savijanja i ugibi usled prethodnog naprezanja u slu~aju greda prema slikama 2.1b i 2.1e su identi~ni, ukoliko su iste odgovaraju}e strele, fk = fTL. Ako se trasa kabla u svim presecima nosa~a poklapa sa teì{nom linijom preseka, tada je efekat prethodnog naprezanja aksijalno optere}en element silom Nk , bez obzira na oblik ose, slika 2.1f odnosno 2.2f. S obzirom da su strele ose kabla fk i teì{ne linije fTL jednake, skretna optere}enja usled krivine kabla qk jednaka su skretnim optere}enjima usled krivine ose qTL , ali suprotnog znaka - rezultat je da nema savijanja nosa~a. Konstrukcije se obi~no prethodno napreù sa vi{e kablova, koji ne moraju svi da budu zav-r{eni - 'ukotvljeni' u istom preseku nosa~a, slika 2.1g. Svaki od kablova na mestu svoje

2- 4

kotve unosi koncentrisanu silu, bez obzira na njen poloàj unutar mase betona konstruk-cije, slika 2.1g i 2.2g. S obzirom na u~injenu aproksimaciju u vezi pravca dejstva skretnih sila i podeljenih skret-nih optere}enja, uslov ravnoteè popre~nih sila usled ekvivalentnog optere}enja nije u potpunosti zadovoljen. U primeru na slici 2.1b odnosno 2.2b, suma vertikalnih sila na mestu kotvi iznosi 2Nk sinα {to je ta~na vrednost, dok je rezultanta podeljenog optere}enja u polju jednaka qkL = 8Nk f/L , {to je pribli`na vrednost. Ako su uglovi α dovoljno mali, tada je sinα ≅ tgα = 4f/L , pa je suma sila na krajevima jednaka 2Nk sinα = 8Nk f/L , sistem je dovoljno ta~no 'uravnoteèn'. 2.1.2 Nepredvidjeni otpori prethodnom naprezanju Prethodno analizirani slu~ajevi razmatrani su na modelu proste grede sa jednim osloncem horizontalno pomerljivim. Da bi se ostvarili o~ekivani efekti prethodnog naprezanja, neop-hodno je da se obezbedi slobodna deformacija konstrukcije pod dejstvom kablova - pret-hodno naprezanje je prinudno deformisanje konstrukcije. Ukoliko se pri utezanju kab-lova pojave neo~ekivani otpori slobodnom deformisanju, kao {to je blokada pomerljivog oslonca proste grede na slici 2.3, na primer, rezultati }e da odstupe od o~ekivanih, a moè da dodje i do havarije, jer su u konstrukciji izazvana naponska stanja na koja ona nije osigu-rana.

Slika 2.3 Efekat blokade pomerljivog oslonca proste grede 2.1.3 Prethodno naprezanje kao 'sila u preseku' Do sada razmatrani koncept ekvivalentnog optere}enja moè da se primeni za potpunu analizu stanja naprezanja i deformacija proizvoljnih konstrukcijskih sistema. Ako nas, u slu~aju stati~ki odredjenih nosa~a, interesuje samo stanje sila u preseku nosa~a, rezultat moè da se dobije i direktno.

Slika 2.4 Efekat prethodno naprezanja u nekom preseku nosa~a Iz uslova ravnoteè svih sila usled dejstva kablova sa jedne strane razmatranog preseka, sledi da se efekat prethodnog naprezanja moè analizirati kao slu~aj popre~nog preseka optere}enog silom u kablu Nk , koja deluje u pravcu tangente na osu kabla, na ekscen-tricitetu e u odnosu na teì{te preseka T, slika 2.4b. Za presek u sredini raspona proste grede sa paraboli~nom trasom kablova, normalna sila u preseku iznosi N=Nk , moment savijanja u odnosu na teì{te preseka T iznosi M=Nk e = Nk f (isti rezultat dobijen je i pri-

Nk Nk

L

TL

f

α

qk

Nkcosα

NksinαM

a) b)

h

Mk

NksinαMk

Nkcosα

Nk Nk

L

TL

f

α

a)

h

Lb)

e

Nk

Nkcosα

Nksinαqk T

x=L/2

2- 5

menom koncepta ekvivalentnog optere}enja, deo 2.1.1), dok je transverzalna sila jednaka nuli, jer je tangenta ose kabla horizontalna. U presecima u kojima tangenta na osu kabla ima nagib β , pojavljuje se i transverzalna sila T = Nk sinβ , dok se za veli~inu normalne sile i momenta savijanja sa dovoljnom ta~no{}u mogu usvojiti isti izrazi kao za presek u sredini raspona, sa odgovaraju}im ekscentricitetom. Za dokaz uslova ravnoteè svih sila sa jedne strane nosa~a prema slici 2.4b, neophodno je da se skretno optere}enje du` nosa~a qk usvoji sa svojim realnim pravcem dejstva - u pravcu centra krivine ose kabla. Horizontalne i vertikalne komponenete skretnog optere}enja qk obezbedjuju ravnoteù , ina~e neuravnoteènih sila na mestu kotve i u sredini nosa~a, slika 2.4b. 2.1.4 Osnovi koncepta 'balansiranja spoljnih optere}enja' Koncept ekvivalentnog optere}enja usled prethodnog naprezanja posebno je koristan pri preliminarnim, koncepcijskim razmatranjima racionalnog oblika trase kablova, i ocene pot-rebnog iznosa sile prethodnog naprezanja. Osnovna ideja pri tome je, da se oblikom trase kabla izazovu ekvivalentna optere}enja koja }e biti istog ili sli~nog karaktera kao i spoljna optere}enja - da se kablovima suprotstavimo dejstvu spoljnih optere}enja, da se rezul-tuju}e stanje optere}enja q + qk 'izbalansira' prema nekom od èljenih kriterijuma. Slika 2.5 Spoljna optere}enja i trasa kabla Slika 2.6 Balansiranje spoljnih optere}enja U slu~aju proste grede optere}ene jednako podeljenim spoljnim optere}enjem q , logi~an je izbor paraboli~na trasa kabla, sa jednako podeljenim ekvivalentnim optere}enjem qk , slika 2.5a i 2.6a. Izborom strele parabole f i sile prethodnog naprezanja Nk , mogu}e je posti}i razli~ita stanja naprezanja i deformacija konstrukcije. Ukoliko qk = q , spolja{nja optere}e-nja i ekvivalentno optere}enje u polju nosa~a su jednaka ali suprotnog znaka, rezultat je

qk

e 2

Mk

e 2

QMk2

aa

Qk

qka)

b)

c)

a)

b)

c)

qq

q

MqMq

q

Mq Mq

Q

TL

TL

TL

2- 6

aksijalno optere}ena greda silom Nk , bez ugiba. Ako je to ono {to smo èleli, onda smo uspeli da kablovima 'izbalansiramo' dejstva spoljnih optere}enja. Ako na kraju grede deluje i spolja{nji koncentrisani moment savijanja Mq , tada je racional-no da se i trasa kabla izvede na ~elo nosa~a sa ekscentricitetom e2 , slika 2.5. U slu~aju da u polju nosa~a deluje koncentrisana sila Q , u odnosu na ~ije efekte je uticaj spoljnih podeljenih optere}enja q mali, tada je racionalno da se konstrukcija kablovima 'podupre' na mestu dejstva sile Q, usvajanjem poligonalne trase kabla prema slici 2.5c i 2.6c. Nakon navedenih primera, treba uo~iti 'dramati~nu' razliku izmedju ovih mogu}nosti i raz-mi{ljanja u odnosu na filozofoju projektovanja klasi~no armiranih betonskih konstrukcija. U klasi~nim konstrukcijama, projektant je u 'pasivnom poloàju' u odnosu na spoljna optere}enja, moè i mora da obezbedi posledice njihovog dejstva (napone, ugibe, prsline, sigurnost od loma itd.), ali ne moè da im se suprotstavi, da uti~e na njih. Prethodno napre-zanje omogu}ava 'aktivan pristup', intervenciju ve} na nivou rezultuju}ih optere}enja, tako da se neki efekti spoljnih optere}enja mogu u potpunosti i eliminisati. 2.2 STATI^KI NEODREDJENE KONSTRUKCIJE Primer 'unutra{nje stati~ki neodredjene' konstrukcije - cilindri~nog rezervoara naveden je u uvodnim razmatranjima, uz intuitivna razmi{ljanja u pravcu 'ekvivalentnih optere}enja' kao i 'balansiranja' optere}enja, napona i prslina rezervoara. U slu~aju da slobodna defor-macija cilindra usled dejstva vode nije spre~ena - 'membransko stanje sila i deformacija', govorimo o 'spolja{nje stati~ki odredjenoj' konstrukciji, u kojoj prethodno naprezanje ne izazova reakcije oslonaca. Koncept ekvivalentnog optere}enja je primarno sredstvo za analizu stati~ki neodredjenih konstrukcija, bilo ru~nim metodama ili uz primenu ra~unara. Medjutim, projektant nije uvek u mogu}nosti da izabere trasu kablova ~ije }e ekvivalentno optere}enje direktno da balansira spoljna optere}enja kao u prethodnim primerima - povr{inske ljuskaste konstruk-cije, na primer. Najop{tiji princip je da kablove treba voditi pribli`no toku trajektorija napona zatezanja usled spoljnih optere}enja, kao {to se kona~no vodi i armatura klasi~no armiranih konstrukcija. U slu~aju stati~ki neodredjenih linijskih nosa~a - greda i ramova, koji se naj~e{}e i primenjuju, mogu}e je formulisati skup jednostavnih pravila, pogodnih za svakodnevnu praksu. 2.2.1 Efekat spre~enih slobodnih deformacija - 'sekundarni uticaji' Pretpostavimo da se prosta greda bez teìne sa slika 2.1b i 2.2b u toku utezanja kablova, odmah 'zaka~ila' za ne{to u sredini raspona. Da nema tog 'nepredvidjenog otpora' defor-macijama, o ~emu je bilo re~i u delu 2.1.2, greda bi se usled dejstva samo prethodnog na-prezanja izdigla, sa maksimalnim ugibom δ u sredini raspona, slika 2.7.a. Ako neki objekat spre~ava odizanje grede u sredini raspona, onda taj isti objekat mora da bude sposoban da izdrì silu '~upanja' X, koja se suprotstavlja potisku kablova i spre~ava pojavu ugiba u sredi-ni raspona. Sila '~upanja' se obi~no naziva 'stati~ki nepoznata sila', koja se, po 'metodi sila',

2- 7

upravo i odredjuje iz uslova da, pod istovremenim dejstvom ekvivalentnog optere}enja qk i sile X, ugib na mestu dejstva sile X bude jednak nuli. Ako 'objekat' koji ometa deformacije nije beskona~no krut, govorimo o 'popustljivom osloncu', koji moè da bude i 'elasti~an'.

U ovoj 'incidentnoj' situaciji, a de{ava se i to, umesto sistema proste grede, ustvari se prethodno napreè sistem kontinualne grede preko dva polja, ali to nismo èleli, jer ne bi trasu kablova tako postavili! Jedan od ciljeva prethodnog naprezanja proste grede bila je vrednost momenta u sredini raspona Mk0 = -Nk f , koji zateè gornju stranu grede, slika 2.7.c. Reakcija srednjeg oslonca 'neèljenog kontinu-alnog nosa~a' preko dva jednaka polja, ukupnog raspona L , usled podeljenog ekvivalentnog optere}enja qk = 8Nk f / L

2 iznosi X=5qk L/ 8. Momenta savijanja u preseku nad srednjim osloncem usled sile X isnosi MX = 5qk L

2 / 32 = 5Nk f / 4 i za-teè donju stranu grede, tako da je rezul-tuju}i moment u preseku nad srednjim osloncem jednak Mk = Nk f / 4 , i zateè donju stranu grede, slika 2.7.c. Proma{ili

smo vrednost, ali i znak uticaja. Uticaji usled 'stati~ki nepoznatih' reakcija oslonaca nazi-vaju se i sekundarni uticaji usled prethodnog naprezanja, {to ima smisla, ali se moè ~uti i za izraz 'parazitni uticaji', {to sugeri{e da tu ne{to nije u redu!? Navedeni primer je 'incident', ali je princip analize isti i u slu~aju kada je konstrukcija stvar-no stati~ki neodredjeni kontinualni nosa~ preko dva polja. Uticaj kablova 'modelira' se ekvivalentnim optere}enjem, i nakon toga se radi uobi~ajeni stati~ki prora~un nekim od raspoloìvih postupaka - tablice, programima za ra~unare itd.. U ovom slu~aju, analiza se zasnivala na tzv. 'metodi sila'. 2.2.2 Izbor oblika trase kablova Komentar uz prethodni primer bio je da 'trasu kablova ne bi tako izabrali, da smo znali da je u pitanju kontinualni nosa~'. [ta ne valja ovoj trasi u slu~aju da je nosa~ kontinualan, slika 2.7.b? Efekat kablova je normalna sila u preseku N=Nk , kao i u slu~aju proste grede. Ekvivalentno optere}enje u polju qk potiskuje nosa~ na gore, ~ime se koriguju momenti i ugibi usled spoljnih optere}enja. Sa te strane, trasa je mogu}a, ali moè i bolje. Veliki nedostatak ovakve trase je {to iznad srednjeg oslonca prolazi donjom stranom preseka. Ve} je re~eno da se nakon prethodnog naprezanja, za uticaje naknadnih optere}enja, ~elik kab-lova pona{a kao klasi~na armatura, pa ga onda treba i postaviti tamo gde mu je mesto, u zonu preseka koja je zategnuta usled dejstva dodatnih optere}enja - u gornju zonu pre-seka nad srednjim osloncem, slika 2.8b! Ako u nosa~u sa slike 2.7b ne bi bilo klasi~ne arma-ture iznad srednjeg oslonca, porastom spoljnih optere}enja iznad nivoa optere}enja u eks-ploataciji, prvo bi nastupio gubitak prethodno unetih pritisaka na gornjoj ivici preseka nad

Nk Nk

L

TL

f

qk

a)δ

Nk Nk

L

fqk

b)

Nkcosα

Nksinα

qk

Nkcosα

Nksinα

c)

X

X

TL

Mk0

Mx

Mk

α

Slika 2.7 Prethodno naprezanje proste grede sa spre~enim odizanjem na srednjem osloncu

2- 8

osloncem - tzv. 'dekompresija preseka', potom bi do{lo do pojave prslina i ubrzo do loma preseka nad osloncem, koji je 'nearmiran u zategnutoj zoni'. To ne mora da zna~i da je na-stupio i lom konstrukcije u smislu da su i ìvoti ugroèni, polazni kontinualni nosa~ pre-{ao bi u stanje dve proste grede raspona L/2, sa ne ba{ optimalnom trasom kablova. Konkretan primer 'korigovane trase' kablova, kod koje je strela kablova f jednaka ekscen-tricitetu kablova e iznad srednjeg oslonca, prikazan je na slici 2.8a,b. Poznati oblik dijagra-ma momenata savijanja M usled dejstva podeljenih spoljnih optere}enja g i p prikazan je na slici 2.9a. Za usvojenu trasu kabla prema slici 2.8a, ekvivalentno optere}enje i dijagram mo-menta savijanja usled prethodnog naprezanja Mk prikazani su na slici 2.9b. Intenzitet podeljenog skretnog optere}enja iznosi qk = 8Nk f / L

2 = 8Nk e / L2 , jer je f=e. Reakcija srednjeg oslonca usled ekvivalentnog optere}enja qk iznosi Rk =10qkL/8 = 10Nk/L. Ugao tangente parabole nad osloncem iznosi tgα2 = 5e/L , odnosno vrednost skretnog ugla trase kablova iznad oslonca iznosi θ2 = 2α2 , slika 2.8.b. Skretna sila Qk na mestu preloma trase iznad oslonca jednaka je Qk =2 Nk sin θ/2 . Moè da se pokaè da je, za plitke trase kablova i male skretne uglove Qk = Rk , odnosno da paraboli~na trasa kabla sa strelom jednakom ekscentricitetu iznad srednjeg oslonca ne izaziva reakcije oslonaca, iako je sistem stati~ki neodredjen. Uticaji usled prethodnog naprezanja ovakvom trasom jednaki su uticajima u stati~ki odredjenoj gredi raspona 2L, kao da je uklonjen srednji oslonac. Moment usled prethodnog naprezanja nad srednjim soloncem iznosi Mk = Nk e, a u preseku u sredini polja Mk = Nk e/2 . Trase kablova kod kojih su uticaji jednaki uticajima u stati~ki odredjenim nosa~ima nazi-vaju se i 'konkordantnim' trasama. Treba uo~iti da je trasa kabla na slici 2.8.b afina sa dijagramom momenata na slici 2.9a. Ordinate trase kablova mogu da se dobiju deljenjem dijagrama momenata nekom konstantom, koja ima zna~enje vrednosi sile u kablu Nk . Mo-è da se dokaè da je svaka trasa kabla, dobijena preslikavanjem dijagrama momenata proizvoljnog ravnote`nog sistema spoljnih sila, ujedno i konkordantna. Prednost ovih trasa je {to ne mora da se vr{i analiza u stati~ki neodredjenom sistemu, i to je sve, ove trase ne moraju da budu i optimalno re{enje. Ako trase sa dubljim strelama i ve}im ekscentricite-tom iznad srednjih oslonaca generi{u i ve}a ekvivalentna optere}enja, onda njima treba dati

Slika 2.8 Kontinualni nosa~ i korigovana trasa kablova

Slika 2.9 Momenti savijanja kontinualnog nosa~a

Mk

Mk/

2

Nk Nk

e

b)

TL

qkb)

La)

TL

a)L

g,p

L L

L LL/2

e/2

e/2

M

M/2

L/2

L/2L L

Qk

α1

θ2α2

2- 9

prednost, potrebne su manje sile prethodnog naprezanjam, slika 2.10. Naravno da oblik trase treba izabrati prema karakteru spoljnih optere}enja, prema principima 'balansiranja', o ~emu je bilo re~i. Anali-za stati~ki neodredjenih sistema danas stvarno vi{e nije problem. Indirektan dokaz da je navedena trasa konkordantna, moè da se dobije odgo-vorom na pitanje: 'dat je ekscentricitet e iznad srednjeg oslonca - kolika treba da je strela f pa da trasa bude konkordan-tna?'. Ako se koristi 'metoda sila', tada treba odgovoriti na pitanje kolika treba da je strela, pa da vrednost 'stiti~ki nepo-znate' X na srednjem osloncu bude jed-

naka nuli. Kako je X= - δ10 / δ11 =0, treba re{iti jedna~inu δ10 = 0, u kojoj je strela kabla f jedina nepoznata. Re{enje je, naravno, f=e. 2.2.3 'Linearne transformacije' trase kablova Na slici 2.11a odnosno 2.11b, prkazana su dva slu~aja trase kabla sa jednakom strelom f i jednakom silom u kablu Nk , ali sa razli~itim ekscentricitetima e iznad oslonaca. Zbog razli~itih uglova trase kabla na krajevima nosa~a, razlikuju se i normalna odnosno transver-zalna komponenta sile prethodnog naprezanja na '~elu nosa~a', {to u ovom slu~aju nije bitno.

S obzirom da su u oba slu~aja strele para-bole f , i sila u kablu Nk jednake, identi~no je i skretno optere}enje qk u poljima nosa-~a, slika 2.11c. Od komponenti ekviva-lentnog optere}enja, razlikuju se jedino koncentrisane sile na osloncima kontinu-alnog nosa~a, ali ove sile ionako ne uti~u na momente savijanja i deformacije kon-strukcije. Zaklju~ak: Zadràvaju}i silu Nk i strelu f konstantnim, trasa kabla moè iz-nad oslonaca da ima prozvoljan ekscen-tricitet e - momenti i ugibi usled prethod-nog naprezanja se ne menjaju. 'Mrdanje' trasa iznad oslonaca se iz nekih razloga naziva 'linearne transformacije'.

Ova osobina je vrlo korisna pri izboru trasa kablova, ali i kada dodje vreme da se konstrui{u stvarne trase - da se uradi

'plan kablova'. Ne treba zaboraviti na razloge iznete u delu 2.2.2, koji govore u prilog tra-sa sa maksimalnim ekscentricitetom kablova iznad oslonaca, slu~aj 2.11.a.

Nk Nk

max

e

a)

TL

L LL/2

max

f

mina

qk

b) L L

Qk

Slika 2.10 Trasa kabla sa maksimalnim ekscentricitetom i strelom

L

qk

c) L L

Nk Nk

e

a)

TL

LL/2

f

Nk Nk

e=0

b)

TL

L/2

f

LL

Qk

Slika 2.11 Ekscentricitet kabla iznad oslonaca ne uti~e na momente i deformacije

2- 10

2.2.4 Oblikovanje realnih trasa kablova U dosada{njim razmatranjima, trase kablova su prikazivane kao kombinacije paraboli~nih i pravih delova trase, sa ili bez o{trih preloma trase pod skretnim uglom θ. Ve} i samo bara-tanje parabolama zasluùje malo pa`nje, dok pitanje 'o{trih ' preloma trase kabla uop{te nije akademsko - kablovi ne smeju, a i ne mogu da se o{tro prelamaju!

a)

L L

A AR

L1 L2

f2

f1

TL

L1 L2 L1

qk1 qk1

qk2

b)

x

y

e 0e 0

l0 θ

d)

B

C 2(e1+e2-h2)

(λ−β)L=

2h2

βL

h2=β

λ(e1+e2)

tgα =2(e1+e2)

λLy= e0 (x/l0)2

tgθ =2e0

l0

R=2(e1+e2)

λβL2

Uslov kompatibilnostitangenti u ta~ki C

c)

L(1-λ)L

L

(λ−β)L βL

A

B

CD

λL

Parabola 1 Parabola 3Parabola 2

e1

e2

h 2

α

R

L1/2

Slika 2.12 Trasa kabla kao kombinacija tri parabole, sa zahtevanim polupre~nikom kriivine R iznad oslonca

2- 11

O minimalnim dozvoljenim polupre~nicima krivina kablova R ve} je bilo govora u delu 1. Do sada kori{}ene oblike trasa nazovimo 'idealizovanim', zgodnim za analizu, ali u jednom trenutku posla, trase kablova moraju da dobiju svoj realni oblik, slika 2.12. Na slici 2.12a prikazana je realna trasa kablova, kombinacija parabole u polju sa strelom f1 , i parabole ili kru`nice iznad srednjeg oslonca na duìni L2 sa strelom f2 , odnosno polupre~-nikom krivine R. Minimalni polupre~nici krivine kabla na 'mestu o{trih preloma' zavise od krutosti kabla, i definisani su od strane svakog proizvodja~a. Realno ekvivalentno optere-}enje usled prethodnog naprezanja tada ima oblik prema slici 2.12b. Rezultati prora~una obi~no nemaju zna~ajnija odstupanja u odnosu na trase sa o{trim prelomima. Matemati~ko definisanje trase kablova nije stvar propisa, ali je na slici 2.12c i 2.12d prikazano jedno od re{enja, kombinacija tri kvadratne parabole nastavljene tako da na mestima kontinuiteta imaju zajedni~ke tangente - 'glatka trasa kablova'. Parabole 1 i 2 u prvom polju postav-ljene su tako da imaju imaju horizontalnu tangentu u ta~ki B, i opisane su izrazima na slici 2.12d. Parabola 3 definisana je zahtevanim polupre~nikom krivine R , i uslovom da ima zajedni~ku tangentu sa parabolom 2 u ta~ki C. Rezultat je da ta~ka C leì na pravoj B-D. Vrednosti potrebnih parametara za konstruisanje parabola date su na slici 2.12.d. Ako se ra~unske analize urade sa ekscentricitetom e trase o{tro prelomljenog kabla iznad srednjeg oslonca, naknadno zaobljenje trase kabla neminovno smanjuje realni ekscentri-citet. Da bi ra~unski i realni ekscentricitet iznad oslonca bili nekako usagla{eni, na slici 2.13 prikazano je korigovana ra~unska trasa kabla. Ako èlimo da iznad oslonca imamo ekscentricitet e , a znamo i da se trasa mora zaobliti, ra~unski prihvatljivo re{enje je da se zaobljena trasa postavi na èljeni ekscentricitet e , da se potom u zavisnosti od R defini{e parabola 3 sa strelom f3 , i da se o{tar prelom ra~unske trase usvoji u ta~ki C ' na odstojanju f3 od temena parabole 3, slika 2.13. S obzirom da je skretni ugao trase izmedju ta~aka C i A iznad oslonca isti u oba slu~aja, rezultanta skretne sile Qk iznad oslonca je ista. Ra~unsko ekvivalentno optere}enje u prvom polju definisano je rasponom L i strelom f1e , slika 2.13.

a)

L L

C AR

L1 L2

f1

TL

L L

qk qk

Qk

b)

f 2f 2

C'

L/2

f1e

Slika 2.13 Korigovana ra~unska trasa kabla sa o{trim prelomom iznad srednjeg oslonca

2- 12

Pri definisanju realnih trasa kablova i pripremi 'planova kablova' za izvodjenje, na kraju treba u nekom koordinatnom sistemu definisati koordinate svakog kabla u dovoljnom broju popre~nih preseka, recimo bar u desetinama raspona polja nosa~a. Kao {to je ve} re~eno u delu 1, kablovi, odnosno cevi kablova se du` nosa~a postavljaju na drà~e, 'stolice' rasporedjene u odredjenom broju ta~aka zavisno od krutosti kabla, recimo na razmaku od 1,0m. Realni kabl je lako zamisliti kao poligonalnu trasu, sa prelomima u diskretnom broju ta~aka. Nezavisno od opisanog realnog oblika trase, numeri~ko definisa-nje kabla kao poligonalne trase, sa koordinatama i skretnim uglovima definisanim u di-skretnom broju ta~aka je zgodno za numeri~ku analizu putem programa za rad sa tabelama tipa 'Excel'. 2.2.5 Spolja{nje prethodno naprezanje

Vodjenje kablova kroz masu betona, tzv, unutra{nje prethodno naprezanje je tra-dicionalan na~in gradjenja, sa osnovnom èljom da beton {titi kablove od korozije. Vodjenje kablova van mase betona kon-strukcije, sa vezom sa konstrukcijom ostva-renom u diskretnom broju ta~aka, tzv. spo-lja{nje prethodno naprezanje ima odre-djenih prednosti, ali i mane. O prednostima je ve} bilo re~i u delu 1, a kao mane se mo-gu navesti sloènija za{tita kablova od poà-ra kao i od diverzija, namernog o{te}enja ili presecanja kablova. Ra~unska analiza ovog tipa konstrukcija ima svojih specifi~nosti. Na slici 2.15 pri-kazan je koncept jednog nosa~a, koji je spolja{nje stati~ki odredjen, ali je u isto vreme unutra{nje stati~ki neodredjen.

Nk1Nk1

f k

Qk1

TL

f TL

Nk2Nk2

f k

KablFk1Qk2

f TL

NkNk

f k

KablQk

TL

f TL

a)

b)

c)

Slika 2.14 Numeri~ki definisana trasa kabla u diskretnom broju preseka konstrukcije

Slika 2.15 Spolja{nje prethodno naprezanje u fazama

L L

TL

e1 e3ei

α1

α2 α3 αi

∆x1 ∆x2 ∆x3 ∆xi ∆xn

θi=αi-αi-1

αi-1

e2

θn

X

Y

2- 13

U fazi utezanja prvog kabla, slika 2.15b, sistem je stati~ki odredjen, prosta greda optere}e-na ekvivalentnim optere}enjem Nk1 i Qk1 . Za ove sisteme je karakteristi~na pove}ana defor-mabilnost u fazi prethodnog naprezanja, zbog velikog kraka kablova - strele fk . Kada se pri-stupi utezanju drugog kabla, prvi kabl povr{ine Fk1 sa svojom aksijalnom kruto{}u deo je sloènog, unutra{nje stati~ki neodredjenog 'dvopojasnog sistema', slika 2.15c. Utezanje drugog kabla deformi{e konstrukciju na gore, i time obara prethodno unete sile u kablu 1 - pojavljuju se 'elasti~ni gubici sile prethodnog naprezanja', o ~emu }e biti re~i u nared-nom poglavlju. Sa stanovi{ta analize, nevolja je {to se utezanjem svakog narednog kabla menja i krutost sistema, pa bi trebalo u svakom koraku ponovo ra~unati matricu krutosti sistema. Postoje algoritmi koji zadràvaju matricu konstantnom, ali u svakom koraku ute-zanja kablova barataju sa 'fiktivnim silama' prethodnog naprezanja, ali to nije predmet ovoga kursa. Nakon zavr{enog prethodnog naprezanja, gornji betonski pojas i donji, ~eli~ni pojas od kablova kao konstrukcijska celina prihvataju dodatna optere}enja. Izborom strele trase i veli~ine sile u kablu, mogu vrlo efikasno da se kontroli{u naprezanja i deformacije gornjeg betonskog pojasa. Principijelno, pitanje je da li ovakve sisteme treba smatrati 'prethodno napregnutim' u kla-si~nom smislu, ili je u pitanju klasi~no armirana greda poduprta kablovima, poznati 'sistemi podupirala'? Za ilustraciju, u ovom slu~aju kablovi ne u~estvuju u grani~noj nosivosti prese-ka betona. Izloèni koncept moè da se primeni i u ~eli~nim ili drvenim konstrukcijama, tamo gde se ukaè potreba. 2.2.6 Razli~ita konstrukcijska re{enja trasa kod linijskih sistema Na slici 2.16 prikazan je deo slu~ajeva realizacije prethodnog naprezanja koji se primenjuju u praksi. Prva tri primera podse}aju na koncept armiranja klasi~nih armiranobetonskih kontinualnih nosa~a, sa pove}anjem armature iznad oslonaca, na mestu najve}ih momenata. Prikazana re{enja ne moraju uvek da budu i najracionalnija: kratki kablovi povla~e za sobom odredje-ne probleme, pove}ava se broj kotvi pa i ukupni tro{kovi, a sa pove}anjem kotvi pove}ava se i broj potencijalno osetljivih mesta na koroziju. Danas je trend da se prethodno napreza-nje izvodi sa {to manje kotvi na licu konstrukcije. Varijanta sa jednom trasom kablova, i pove}anjem nosivosti preseka nad srednjim oslon-cem pomo}u vute, prikazana je na slici 2.16d. Ovo re{enje tipi~no je za kontinualne kon-strukcije mostova, na primer. Kablovi za prethodno naprezanje ~esto se koriste za spajanje - 'kontinuiranje' delova kon-strukcije izvedenih monta`no. U slu~aju mostova, klasi~an primer je konzolni sistem gra-djenja kontinualnih sistema mostova, sa spajanjem novih segmenata i ve} izvedene konzole uz pomo} kablova za prethodno naprezanje. Na slici 2.16e prikazan je slu~aj konstrukcije izvedene od dveju monta`nih prethodno napregnutih greda, koje su nakon montaè konti-nuirane uvodjenjem dodatnog kabla iznad srednjeg oslonca. Pre utezanja dodatnog kabla, potrebno je 'plombirati' betonom monta`ni nastavak iznad oslonca. Na slici 2.16f prikazan je ~est koncept segmentnog - faznog gradjenja kontinualnih kon-strukcija. U prvoj fazi izvodi se i prethodno napreè deo grede sa prepustom. Nakon izvodjenja narednog segmenta, vr{i se nastavljanje kabla izvedenog u prvoj fazi i utezanje sa

2- 14

desnog kraja konstrukcije (videti i sliku 1.14). Pre utezanja dodatnog kabla, potrebno je 'plombirati' betonom monta`ni nastavak konstrukcije. Mesto nastavka kablova na prepustu nije izabrano samo zbog toga {to su u toj zoni najma-nji momenti usled spoljnih optere}enja, ve} i zbog toga {to je trasa kabla u toj zoni neznat-no zakrivljena, {to je povoljno za funkcionisanje sloènih 'nastavnih kotvi'. Upotreba na-stavnih kotvi, pogotovo 'aktivnih', preko kojih se doteè i prethodno utegnitu kabl ima i svojih protivnika, nisu ba{ op{te prihva}ene. Pod linijskim sistemima ne podrazumevaju se samo gredne konstrukcije, ve} i ramovske - okvirne konstrukcije, slika 2.17.

TL

b)

Nk1

Nk2 Nk2 Nk1

TL

c)

Nk1

Nk2 Nk1 Nk2

TL

d)

Nk1Nk1

TL

a)

Nk1

Nk2 Nk2

Nk1

TL

e)

Nk1

Nk2 Nk2

Nk1

Nk1 Nk1

Nastavak

TL

f)

Nk1Nk2

Nastavak betonaNastavak kabla

Prva faza gradjenja Druga faza gradjenja

Nk1Nk2

Slika 2.16 Razli~iti slu~ajevi vodjenja kablova

2- 15

Trasa kablova na slici 2.17 prati liniju momenata savijanja usled spoljnih optere}enja. Iako je stub 'prirodno prethodno napregnut' normalnom silom od spoljnih optere}enja, pone-kada veliki momenti savijanja, kao i transverzalne sile u stubu zahtevaju da se i oni pre-thodno napregnu - tipi~no za 'plitke ramove', sa stubovima relativno male visine u odnosu na raspon.

Za kraj pri~e o linijskim konstrukci-jama, jo{ dva detalja. U ve}ini dosada{-njih primera govorilo se o 'kablu', i prikazivana je jedna linija koja pred-stavlja trasu kabla. U praksi, konstruk-cije se prethodno napreù sa snopom kablova koji se vode kroz konstrukciju, videti i sliku 2.16. Najta~nije je, narav-no, modelirati svaki kabl ponaosob, ali se to primenjuje u samo kada se pro-

ceni da modeliranje i prora~un efekata prethodnog naprezanja pomo}u rezultante sila u kablovima nije dovoljno ta~no. U slu~aju klasi~no armiranih preseka, rezultanta zatezanja u armaturi obi~no se usvaja u teì{tu preseka armature. S obzirom da nam je potrebna rezultanta sila, a ne moraju svi kablovi da budu utegnuti do iste sile, teì{te povr{ine kabla ne mora biti i poloàj rezultante sila Nk , slika 2.18.

Za mesto delovanja sila na krajevima nosa~a, do sada je redovno usvajan po-loàj same kotve kabla. U slu~aju velikih i sloènih preseka, kao {to je sandu~asti presek konstrukcije mosta na slici 2.19, potrebna je izvesna duìna da se trajek-torije napona sa kotve 'popnu' uz rebro, i potom 'razliju' po preseku. O ovakvim detaljima se vodi ra~una pri usvajanju mesta uvodjenja sila prethodnog naprezanja.

2.2.7 Osnovni pojmovi u vezi prethodnog naprezanja plo~a Osim èlje da se smanji potrebna koli~ina betona i ~elika, a i time i teìna konstrukcije {to ima uticaja i na racionalnost fundiranja objekta, danas je sve prisutnija potreba da se {to je mogu}e vi{e skrate rokovi gradjenja, makar i uz ve}u potr{nju materijala. U slu~aju armira-

Nk1 Nk1

L

Nk4Nk4

NkNk

Slika 2.18 Sistem kablova i njihova rezultanta

Slika 2.19 Rasprostiranje napona usled

prethodnog naprezanja

Nk1

Nk2

Nk1

TL Nk2

Slika 2.17 Prethodno napregnuta ramovska konstrukcija

2- 16

no betonskih konstrukcija zgrada, izvodjenje tavanica i pripadaju}ih greda je po svim nave-denim kriterijumima na 'kriti~nom putu'.

Uz primenu prethodnog napre-zanja, debljina tavanica moè toliko da se smanji, da vibracije tavanica usled kretanja ljudi mogu da posta-nu limitiraju}i faktor pri odredji-vanju minimalnih debljina. Ima slu~ajeva da su oscilacije tavanica morale da budu umirivane odgova-raju}om 'sanacijom', uz promenu krutosti, mase ili prigu{enja. Kako je to napomenuto u delu 1, prethodno naprezanje plo~a moè da se vr{i klasi~nim kablovima sa spojem (uz injektiranje), ili sa po-sebnim uàdima - kablovima bez spoja, slika 1.11. Pri izboru trase kablova, principijelno su mogu}a razli~ita re{enja. [to se ti~e mome-nata savijanja i deformacija, slo-bodno oslonjena samostalna plo~a moè da se prethodno napregne kablovima u jednom ili u dva prav-ca, slika 2.20. Razlika je u aksijal-nom optere}enju u ravni plo~e, u prvom slu~aju nedostaje sila pritis-ka u popre~nom - X pravcu. Iz primera na slici 2.20a jasno je da momenti savijanja u plo~i nisu jednaki proizvodu sile prethodnog naprezanja i ekscentriciteta, u popre~nom pravcu uop{te nema

sile prethodno naprezanja, ali postoje momenti zbog deformacije plo~e. Primenjuju}i koncept balansiranja spoljnih optere}enja, mogu}e je odrediti trasu kab-lova, strele fx odnosno fy , razmak kablova lx (ly) kao i silu prethodnog naprezanja Nkx odno-sno Nky u dva pravca, tako da vertikalno ekvivalentno optere}enje usled prethodnog na-prezanja kablovima u dva pravca - 'potisak kablova' bude jednak zbiru sopstvene teìne g konstrukcije i dela dodatnog ili korisnog optere}enja p

qkx + qky = 8Nkx fx/Lx

2 ly + 8Nky fy/Ly2 lx = g + αp

gde su: qkx ( qky) - ekvivalentna povr{inska optere}enja u x (y) pravcu; Nkx (Nky) - sile u kablovima u x (y) pravcu; fx (fy) - strele paraboli~ne trase kablova u x (y) pravcu; lx (ly) - razmak kablova u y (x) pravcu;

f f f f

LxL y

lx

Nk

Nk

f y

Lx

L yNky

Nky

f x

Nkx

Nkx

a)

b)

Slika 2.20 Dva koncepta prethodnog naprezanja plo~a

2- 17

Lx (Ly) - duìna parabole kablova u x (y) pravcu; α - deo korisnog optere}enja koji se 'balansira'. Kriterijum za izbor ukupnog optere}enja koje }e se balansirati kablovima, moè da bude ili deformacijski ili po parametru napona, nosivosti itd.

U slu~aju kontinualnih plo~a preko vi{e polja, prethodno naprezanje se obi~no primenjuje u okviru sistema plo~a direktno oslonjenih na stubove - potisak kablova nadoknadjuje ne-dostatak greda. Na slici 2.21 prikazane su razli~ite varijante vodjenja kablova, sa karakte-risti~nim progu{}enjem kablova u trakama iznad stubova, videti i sliku 1.31. Osim {to ba-lansiraju stanje napona usled savijanja i deformacije, kablovi za prethodno naprezanje imaju povoljan efekat i na nosivost veze plo~e i stuba na proboj. Posebna tehnologija izvodjenja, tzv. 'liftovanje plo~a' prikazano je na slici 1.40 (Sistem 'Trudbenik').

Slika 2.21 Razli~iti koncepti rasporeda kablova kontinualnih plo~a direktno oslonjenih na stubove

2- 18

Kod prethodnog naprezanja plo~a koje se izvodi na licu mesta, neophodno je pa`ljivo raz-motriti eventualne otpore usled prisustva krutih zidova i jezgara, koji mogu da ometaju slobodnu deformaciju plo~e u svojoj ravni, i da poremete aksijalno naprezanje plo~a usled prethodnog naprezanja.

Kako efekti prethodnog naprezanja rama sa slike 2.17 (ili plo~e tavanice) mogu da se neè-ljeno umanje usled prisustva krutih zidova, na primer, prikazano je na slici 2.22. Zbog toga {to kruti zidovi (ili jezgra) spre~avaju pomeranja i rotacije krajeva grede, greda rama je pra-kti~no potpuno uklje{tena u zidove u presecima A odnosno B - 'obostrano uklje{tena greda', slika 2.22b. Posledica spre~enog aksijalnog skra}enja grede je da u gredi nema normalne sile usled prethodnog naprezanja - normalna sila grede je kao horizontalna sila konzolnih zidova 'pobegla' u zidove i temelje, slika 2.22 b-c. Ukoliko je trasa kabla na ~istoj duìni grede poligonalna kao na slici 2.22b-c, skretne sile kablova izazva}e momente savijanja obostrano uklje{tene grede, slika 2.22c. Ukoliko nema skretnih sila kao u slu~aju pravolinijske trase kabla na delu A-B, slika 2.22d-e, u gredi ne}e biti ni momenata savijanja ni normalne sile usled prethodnog naprezanja, slika 2.22e. Primer je naravno karikiran, u praksi te{ko ostvarljiv, ali i dobar za razumevanje efekata prethodnog naprezanja.

Nk1Nk1TL

Nk1

Nk2

Nk1

TL Nk2

Nk1 Nk1TL

Mkz Mkz

A B

T=Nk1 T=Nk1

A BN~0 !

A BM~0; N~0 !

T=Nk1T=Nk1

Mkz Mkz

a)

b)

c)

d)

e)

Slika 2.22 Gubitak efekata prethodnog naprezanja usled spre~enih slobodnih deformacija grede rama

2- 19

2.3 PRIMERI 2.3.1 Primer 1 Sra~unati i nacrtati ekvivalentno optere}enje usled prethodnog naprezanja za nosa~ siste-ma proste grede i datu trasu rezultante kablova, slika 2.22a. U preseku 2 tangenta para-bole je horizontalna. Pretpostavlja se da je u pitanju 'plitka trasa' kabla, odnosno da je sila prethodnog naprezanja konstanta du` nosa~a i jednaka sili prethodnog naprezanja Nk. Podaci: L=3000cm; Nk = 2860 kN.

- Paraboli~ni deo 1-2 - ekvivalentno podeljeno optere}enje

tgα1 = 2(70+20)/1500 = 0,120 α1 = 6,8430 f = (70+20)/4 = 22,5 cm qk = 8Nkf/L

2 = 8 x 2860 x 0,225/152 = 22,88 kN/m - Presek 1- ekvivalentne koncentrisane sile N1 ≅ Nk = 2860 kN V1 = Nk sinα1 = 340,8 kN M1 = Nk e = 2860 x 0,20 = 572 kN - Presek 3 - ekvivalentna koncentrisana sila tgα3 = 90/750 = 0,120 sinα3/2 = 0,05968

V3 ≅ 2 Nk sinα3/2 = 2 x 2860 x 0,05968 = 341.4 kN

- Presek 4 - ekvivalentne koncentrisane sile α4 = α3 N4 ≅ Nk = 2860 kN T4 = Nk sinα4 = 341,4kN

a)

L=3000

TL

L/4=750

f=22

,5

20 2070

α1 α4

1 2 3 4

α3

Nk Nk

V1 q

N1

M1

1 2 3 4

V3 V4

N4

M4

L/2=1500 L/4=750 L/4=750

L/2=1500 L/4=750 L/4=750b)

Slika 2.22 Nosa~, trasa 'rezultuje}eg kabla' i ekvivalentno optere}enje

2- 20

M4 = Nk e = 2860 x 0,20 = 572,0 kN

Ekvivalentno optere}enje prikazano je na slici 2.22b. Kontrola ravnoteè vertikalnih optere}enja Σy = 22,88 x 15,0 + 341,4 - 340,8 - 341,4 = 2,4kN ≅ 0

2- 21

2.3.2 Primer 2 Sra~unati i nacrtati ekvivalentno optere}enje usled prethodnog naprezanja za nosa~ siste-ma proste grede, i datu trasu rezultante kablova odnosno teì{ne linije, slika 2.23a. Ekvi-valentno optere}enje prikazati na 'ispravljenoj' teì{noj liniji nosa~a. Sra~unati vrednost momenta savijanja u sredini nosa~a i uporediti sa 'direktnim' re{njem Mk = Nk e. Pret-postavlja se da je u pitanju 'plitka trasa' kabla, odnosno da je sila prethodnog naprezanja konstanta du` nosa~a i jednaka sili prethodnog naprezanja Nk. Podaci: Nk = 1000 kN. Sve mere date su u cm.

- Paraboli~na trasa kabla fk = 170 - 30 = 140 cm tgα1 = 70/1000 = 0,070 α1 = 4,0040 tgα2 = 2 x 140/1000 = 0,280 α2 = 15,6420 θ2 = α1 + α2 = 4,004+15,642 = 19,6460 - Paraboli~na teì{na linija fTL = 150 - 100 = 50 cm tgβ1 = 50/1000 = 0,050 β1 = 2,8620 tgβ2 = 2 x 50/1000 = 0,100 β2 = 5,7110 γ2 = β1 + β2 = 2,862+5,711= 8,5730

V1

qkN1

1 2 3 4

V5

N5

5

c)

a)

L=4000

TL

100

1 2 3 5

Nk

4

L/4=1000 L/4=1000L/4=1000 L/4=1000

30 150

170

100

100

Nk

b)

TL

1 2 3 54

β1

α1

θ2α2

β2 γ2

5

qTL

V2k

V2TL

V4k

V4TL

f kf TL

Slika 2.23 Nosa~, trasa 'rezultuje}eg kabla' i ekvivalentno optere}enje

2- 22

- Presek 1 - ekvivalentne koncentrisane sile N1 = Nk cos(α1 + β1) ≅ Nk = 1000 kN V1 = Nk sin(α1 + β1) = 1000 sin(4,004+2,862) = 119,5 kN - Presek 2 - ekvivalentna koncentrisana sila Komponenta usled preloma trase kabla V2k = 2 x 1000 sinθ2/2 = 2 x 1000 x sin(19,646/2) = 341,2 kN Komponenta usled preloma teì{ne linije V2TK = 2 x 1000 sinγ2/2 = 2 x 1000 x sin(8,573/2) = 149,5 kN Ukupno V2 = V2k + V2TL = 341,2 + 149,5 = 490,7 kN - Polje 2-4 - ekvivalentno podeljeno optere}enje Komponenta usled krivine kabla qk = 8Nkfk/(L/2)2 = 8 x 1000 x 1,40 /202 = 28 kN/m Komponenta usled krivine teì{ne linije qTL = 8NkfTL/(L/2)2 = 8 x 1000 x 0,50 /202 = 10 kN/m Ukupno q = qk + qTL = 28 + 10 = 38 kN/m

Ekvivalentno optere}enje prikazano je na slici 2.23c. - Moment savijanja u sredini raspona - ekvivalentno optere}enja M3 = -119,5 x 10,0 + 38,0x202 / 8 = 705kNm - Moment savijanja u sredini raspona - direktan prora~un M3 = Nk e = 1000 x (1,7 - 1,0) = 700 kNm

2- 23

2.3.3 Primer 3 Za prostu gredu optere}enu koncentrisanom silom P u sredini raspona, slika 2.24, odrediti trasu rezultante, kao i potrebnu veli~inu sile prethodnog naprezanja uz uslov da ugib svih preseka nosa~a usled istovremenog dejstva svih optere}enja bude jednak nuli. Sve dimen-zije date su u cm.

- Trasa rezultante

Komentar: Da bi ugib u svim presecima bio jednak nuli, ekvivalentno optere}enje usled prethodnog naprezanja mora da bude istog tipa i intenziteta kao i spoljno optere}enje, kako bi se poni{tili - 'izbalansirali' momenti savijanja, odnosno krivine i ugibi nosa~a u svim presecima. Trasa rezultante dobija se 'preslikavanjem' dijagra-ma momenata savijanja usled spoljnog optere}enja koje treba 'izbalansirati' - u ovom slu~aju trougaonog dijagrama momenata usled dejstva sile P. Rezultuju}e stanje naprezanja nosa~a je centri~ni pritisak. Usvojena trasa rezultante prethodnog naprezanja prikazana je na slici 21.24b.

- Potrebna sila prethodnog naprezanja - 1. varijanta re{enja Uslov balansiranja optere}enja Vk = P = 150 kN

Skretna koncentrisana sila Vk Pretpostavljeno: a=15cm e = 100 - 15 = 85 cm

a) L=2000

TL

1

100

30

b)

TL

1

100

30

L=2000

L/2=1000

P=150kN

NkNk

P=150kN

Vkea

α1

θ

Slika 2.24 Balansiranje ugiba konstrukcije

2- 24

tgα1 = e/(L/2) = 85/1000 = 0,085 α1 = 4,8580 θ = 2α1 = 2 x 4,858 = 9,7160 Vk = 2Nksinθ/2 = 150 kN Nk = 150/2sinθ/2 = 150/2 x sin4,858 = 885,6 kN - Potrebna sila prethodnog naprezanja - 2. varijanta re{enja Uslov jednakosti momenta savijanja u sredini raspona - tada su svi momenti du`

nosa~a izjedna~eni PL/4 = Nk e Nk = PL/4e = 150 x 20/4 x 0,85 = 882,3 kN

2- 25

2.3.4 Primer 4 Za konzolni nosa~ pravougaonog popre~nog preseka optere}enog sa dve koncentrisane sile, slika 2.25a, odrediti oblik trase rezultante sila prethodnog naprezanja tako da rezultu-ju}e stanje napona u nosa~u usled svih optere}enja bude centri~ni pritisak. Podaci: P = 100 kN; Nk = 1000 kN.

- Oblik trase rezultante prethodnog naprezanja Komentar: Da bi rezultuju}e stanje napona bilo centri~ni pritisak, ekvivalentno optere}enje usled prethodnog naprezanja mora da bude istog tipa i intenziteta kao i spoljno optere}enje, kako bi se poni{tili - 'izbalansirali' momenti savijanja u svim presecima. Trasa rezultante moè da se dobija 'preslikavanjem' dijagrama momena-ta savijanja usled spoljnog optere}enja, slika 2.25c. Usvojena trasa rezultante pret-hodnog naprezanja prikazana je na slici 21.25b.

- Momenti savijanja usled spolja{njeg optere}enja Presek 1 MP1 = 0 Presek 2 MP2 = 100 x 5 = 500 kNm

a)

L/2=500

TL

d/2

P=100kN

N

Vk2

P=100kN

d/2

L/2=500

P=100kN P=100kN

L/2=500 L/2=500

α1

12

Vk1

Nkα2

e 2

θ2

e 3

3

a

b)

MP2

MP3

123c)

Slika 2.25 Balansiranje napona konstrukcije

2- 26

Presek 3 MP3 = 100 x 10 + 100 x 5 = 1500 kNm - Potreban ekscentricitet trase rezultante Presek 1 e = 0 Presek 2 e = MP2 / Nk = 500/1000 = 0,5 m Presek 3 e = MP3 / N3 = 1500/1000 = 1,5 m Oblik poligonalne trase kablova prikazan je na slici 2.25b. Sa sra~unatim ekscentri-

citetima i zadatom silom prethodnog naprezanja, momenti usled prethodnog napre-zanja jednaki su spolja{njim momentima, ali sa obrnutim znakom.

Druga varijanta re{enja je da se, polaze}i sa desnog kraja - preseka 1, odredi potreb-na veli~ina skretnih uglova α , tako da koncentrisane skretne sile usled prethodnog naprezanja Vk budu jednake spolja{njim silama P u odgovaraju}im presecima.

2- 27

2.3.5 Primer 5 Za tri varijante trase rezultante sila prethodnog naprezanja kontinualnog nosa~a preko dva polja, slike 2.26a-c: - sra~unati vrednost podeljenog skretnog optere}enja qk kao i koncentrisane skretne sile Vk iznad srednjeg oslonca; - sra~unati reakciju R2 srednjeg oslonca usled dejstva prethodnog naprezanja; - ukoliko prethodno naprezanje izaziva '~upanje' srednjeg oslonca (nosa~ teì da se odigne), odrediti minimalnu potrebnu sopstvenu teìnu konstrukcije g (kN/m), tako da ne dodje do odizanja u fazi prethodnog naprezanja; Podaci: L = 1500 cm; d = 160 cm; Nk = 1000 kN.

Treba uo~iti da su u sva tri slu~aja, strele paraboli~nih trasa rezultante identi~ne, f = d/4. Razlikuje se samo ekscentricitet iznad srednjeg oslonca e , tako da ovaj primer ilustruje 'linearne transormacije' trasa kablova.

NkNk

L

f=d/

4

a)

TL

LL/2

e=d/

4

1 2

α1

α2θ2

qk

Vk

d

Nk Nk

L

f=d/

4

b)

TL

LL/2

e=0

1 2

α1

α2θ2

d

Nk Nk

L

f=d/

4

c)

TL

LL/2

1 2

α1

α2θ2

d

e=d/

2

Vk

qk

qk

Vk

Slika 2.26 Linearne transforrmacije trase rezultante kontinualnog nosa~a

2- 28

- Skretno podeljeno optere}enje u polju qk Nosa~ 2.26a f = d/4 = 160/4 = 40 cm e = d/4 = 160/4 = 40 cm qk = 8Nkf/L

2 = 8 x 1000 x 0.40/152 = 14,22 kN/m S obzirom da su strele trase f , kao i sile prethodnog naprezanja Nk u sva tri slu~aja

iste, tada su i skretna podeljena optere}enja qk jednaka u sva tri primera. Nosa~ 2.26b qk = 8Nkf/L

2 = 14,22 kN/m Nosa~ 2.26c qk = 8Nkf/L

2 = 14,22 kN/m - Koncentrisana skretna sila Vk iznad oslonca Nosa~ 2.26a f = 40 cm

e = 40 cm tgα2 = (2f + e/2)/ (L/2) = (2 x 0,40 + 0,40/2)/ (15/2) = 0,13333 α2 = 7,5940 θ2 = 2 α2 = 15,1880 Vk = 2Nksinθ2/2 = 2 x 1000 x sin 7,594 = 264,3 kN

Nosa~ 2.26b f = 40 cm

e = 0 tgα2 = (2f + e/2)/ (L/2) = (2 x 0,40)/ (15/2) = 0,1066 α2 = 6,0880 θ2 = 2 α2 = 12,1760 Vk = 2Nksinθ2/2 = 2 x 1000 x sin 6,088 = 212,1 kN

Nosa~ 2.26c f = 40 cm

e = d/2 = 160/2 = 80 cm tgα2 = (2f + e/2)/ (L/2) = (2 x 0,40 + 0,80/2)/ (15/2) = 0,1600 α2 = 9,0900 θ2 = 2 α2 = 18,1800 Vk = 2Nksinθ2/2 = 2 x 1000 x sin 9,090 = 315,9 kN

- Reakcija srednjeg oslonca R2 usled prethodnog naprezanja (+ pritisak na oslonac)

Komentar: Zbog potpune simetrije, presek nad osloncem nema rotacija, sistem moè da se analizira kao dve grede raspona L, uklje{tene u zajedni~kom preseku iznad srednjeg oslonca. Reakcija u uklje{tenju sa jedne strane iznosi Q = (5/8)qL

Nosa~ 2.26a R2 = -2 x (5/8)qkL+Vk = - 2 x (5/8) x 14,22 x 15+264,3 = -266,6+264,3 = 2.3 kN ≅ 0

2- 29

Trasa kablova je 'konkordanta', nema reakcija oslonaca usled prethodnog naprezanja.

Nosa~ 2.26b R2 = -2 x (5/8)qkL + Vk = - 266,6+ 212,1 = -54,5 kN ('~upanje' oslonca)

Nosa~ 2.26c R2 = -2 x (5/8)qkL + Vk = - 266,6+ 315,9 = 49,3 kN (pritisak na oslonac)

- Osiguranje od odizanja nosa~a nad srednjim osloncem u fazi prethodnog naprezanja

Komentar: S obzirom da je podeljeno skretno optere}enje qk jednako u sva tri primera, razlike u veli~ini reakcije nad srednjim osloncem nastaju samo usled razlike u skretnim silama nad srednjim osloncemVk . U slu~aju trase na slici 2.26b, sa najmanjim ekscentricitetom e iznad srednjeg oslonca, skretni ugao θ2 je najmanji, pa je i sila Vk najmanja, {to kao rezultat daje '~upanje' oslonca - 'potisak' u polju je nadvladao skretnu silu nad osloncem. Da se realni nosa~ ne bi stvarno odigao, reakcija nad srednjim osloncem usled sopstvene teìne g treba da je najmanje jednaka reakciji '~upanja' usled prethodnog naprezanja. Rg = R2 = 54,5 kN Rg = 2 x (5/8)gL = 2 x (5/8) x g x 15 = 54,5 kN min g = 2,9 kN/m

2- 30

2.3.6 Primer 6 Za ro{tilj betonskih greda identi~nog pravougaonog popre~nog preseka b/d = 40/150 cm, koje se ukr{taju u ta~ki A , slika 2.27a, odrediti odgovaraju}u trasu rezultanti sila prethod-nog naprezanja kao i veli~inu sila prethodnog naprezanja, tako da u fazi prethodnog napre-zanja ugib ta~ke A bude jednak nuli.

Komentar: Postavljeni uslov po deformacijama moè da se zadovolji razli~itim dispozicijama trasa kablova: utezanjem samo nosa~a POS1; utezanjem samo nosa~a POS2; istovremenim utezanjem oba nosa~a. Zbog dvoosne simetrije, konstrukcija ro{tilja greda je jednom stati~ki neodredjena, vertikal-na sila X koja povezuje grede i usagla{ava ver-tikalna pomeranja je nepoznata, slike 2.27b-c. Zbog iste krutosti na savijanje (EI) popre~nog preseka, kao i istog optere}enja sopstvenom teìnom, kra}a i na vertikalne ugibe kru}a greda POS2 (ima manji raspon) 'pridràva' duù gredu POS1 za uticaje sopstvene teìne - nepoznata sila X u ovom slu~aju ima smer kao na slici 2.27b-c. U slu~aju prethodnog naprezanja samo jedne grede, problem je stati~ki neodredjen za uti-caje samo prethodnog naprezanja, ali to je svakako mogu}e re{enje. Ako se traì brzo re{enje, jednostavnije je usvojiti koncept isto-vremenog prethodnog naprezanja obeju greda. Traì se brzo re{enje! Da bi ugib zajedni~ke ta~ke greda A pod dej-stvom sopstvene teìne i prethodnog napreza-nja bio jednak nuli, dovoljno je da se za obe

grede usvoji odgovaraju}a paraboli~na trasa kablova, tako da vertikalno skretno podeljeno optere}enje qk svake od greda, bude jednako teìni grede po du`nom metru, qk =g .

Greda POS1

b = 40 cm d = 150 cm γ = 25 kN/m3 g1 = 0,40 x 1,50 x 25 = 15 kN/m L1 = 20 m Usvojeno: f1 = d/2 - a = 150/2 - 10 = 65 cm, slika 2.27d

POS2A

X

L/2=700 700

1000 1000

POS170

070

0

POS2

A

L/2=1000 1000POS1

A

X

g

g

TL

f

L

qk

Nk Nk

a)

b)

c)

d)

Slika 2.27 Balansiranje ugiba sredine ro{tilja

2- 31

Uslov balansiranja optere}enja qk1 = 8 Nk1 f1 /L1

2 = g1 Nk1 = g1 L1

2 / 8 f1 = 15 x 202 / (8 x 0,65) = 1153,8 kN Re{enje za gredu POS1: f1 = 65 cm Nk1 = 1153,8 kN

Greda POS2 b = 40 cm d = 150 cm g2 = 15 kN/m L2 = 14 m Zbog ukr{tanja kablova u preseku A , usvoja se pli}a trasa kablova: f2 = f1 - b = 65/2 - 10 = 55 cm Uslov balansiranja optere}enja qk2 = 8 Nk2 f2 /L2

2 = g2 Nk2 = g2 L2

2 / 8 f2 = 15 x 142 / (8 x 0,55) = 668,2 kN Re{enje za gredu POS2: f2 = 55 cm Nk2 = 668,2 kN


3- 1

3. STVARNI EFEKTI PRETHODNOG NAPREZANJA U prethodnom poglavlju, dejstvo kabla na proizvoljno telo - konstrukciju modelirano je ekvivalentnim unutra{njim uravnoteènim sistemom sila - ekvivalentnim optere}enjem usled prethodnog naprezanja, uz pretpostavku da je sila u kablu Nk konstantna. U stvar-nosti nije mogu}e realizovati pretpostavljene, èljene 'idealne' efekte, jer je prakti~no ne-mogu}e ostvariti konstantnu, i u toku vremena nepromenljivu silu prethodnog naprezanja Nk du` kabla. S jedne strane razlog tome su tehnolo{ka ograni~enja samog postupka uteza-nja kablova - pojavljuju se 'gubici sile u toku prethodnog naprezanja', a sa druge stra-ne, zbog specifi~ne reakcije betonskih konstrukcija na prinudne sile/deformacije izazvane prethodnim naprezanjem - pojavljuju se 'promene sile usled vremenskih defomacija betona'. Rezultat je promenljiva sila prethodnog naprezanja du` trase kabla, manja od sile utezanja na presi, tako da su i 'stvarni efekti' prethodnog naprezanja manji od 'ide-alnih'. Na àlost, i 'elegancija' postupka analize umanjenih, a i u toku vremena promenljivih efekata prethodnog naprezanja se naru{ava, {to je sve zajedno predmet razmatranja koja slede. 3.1 GUBICI SILE U TOKU PRETHODNOG NAPREZANJA Utezanje kabla presom pra}eno je izduènjem - kretanjem kabla ka presi uz pojavu trenja, dok je postupak ukotvljenja, 'zaklinjavanja' kraja kabla obi~no propra}en malim vra}anjem kraja kabla - povratnim 'klizanjem ili uvla~enjem klina'. Oba efekta za posledicu imaju sniènje stvarne sile prethodnog naprezanja, ~iji iznos zavisi od specifi~nih tehnolo{kih re{enja primenjenog sistema za prethodno naprezanje. 3.1.1 Gubici sile usled trenja Pri unutra{njem naknadnom prethodnom naprezanju kabl se vodi kroz za{titnu cev, pa je kretanje kabla pri utezanju pra}eno pojavom kontinualnog trenja kabla o zidove cevi, ~ime se gubi deo sile u kablu. U slu~aju prethodnog naprezanja sa spojem, za{titna cev je obi~no od orebrenog ~eli~nog lima, tako da i efekti trenja mogu da budu zna~ajni. Ukoliko je u pitanju prethodno naprezanje bez spoja, za{titna mast zna~ajno smanjuje efekte tre-nja, koji se u tom slu~aju ~esto zanemaruju. Pri spolja{njem prethodnom naprezanju, obi~no se koriste uàd bez spoja, a trenja se javljaju samo na skretanjima kablova preko devijatora, slika 2.15, na primer. U slu~aju adhezionog prethodnog naprezanja - 'na stazi', uàd se zateù pre betoniranja elementa, tako da nema efekata trenja. Za analizu pojave trenja, karakteristi~an je slu~aj naknadnog unutra{njeg prethodnog na-prezanja sa spojem, uz primenu za{titnih cevi. Efekti trenja zavise od geometrije trase kabla, koja se menja zajedno sa deformacijama tela u toku utezanja kablova. Uticaj pro-mene geometrije kablova na trenje je zanemarljiv, osim mo`da kod sistema sa velikim po-meranjima, kao {to su prethodno napregnute mreè. Dva karakteristi~na slu~aja geome-trije trase kabla prozvoljnog betonskog tela, nedefinisanog 'stati~kog sistema' prikazana su na slikama 3.1 i 3.2. S obzirom da se razmatra stanje sila kabla, na slikama su prikazane sile koje deluju na kabl. Isti sistem sila, sa promenjenim znakom deluje na betonsko telo - tzv.


3- 2

ekvivalentno optere}enje. S obzirom da se razlikuju, sila u kablu u trenutku prethodnog naprezanja Nk0 ima indeks '0' - 'po~etna sila prethodnog naprezanja', u vremenu t=0, dok vrednost 'trajne sile prethodnog naprezanja' Nkt ima indeks 't' - kona~na vrednost u vremenu 't' , nakon promena usled vremenskih deformacija betona (o tome kasnije).

Utezanje poligonalnog kabla vr{i se sa levog kra-ja, silom na presi Nk0 . Dok se kabl pomera kroz cev, trenje se javlja i na 'pravom delu' kabla, iz-medju ta~aka A i B - sila 'trenja na pravcu' tL , slika 3.1a. Naime, fleksibilna cev, oslonjena s me-sta na mesto na drà~e, sigurno nije idealno pra-va, pogotovo ne nakon sipanja betona. U prese-ku B , na mestu skretanja kabla za iznos 'skret-nog ugla' θB , zbog pritiska kabla na cev javi}e se 'koncentrisana' sila trenja TB , jednaka pro-

izvodu skretne sile pritiska QB , i koeficijenta trenja µ ~elika kabla o ~elik cevi. Stvarna sila u kablu Nk0 (x) , u preseku na koordinati x u odnosu na poloàj prese, preostala nakon gubitaka usled trenja, slika 3.1b, moè da se prikaè u obliku

(3.1) gde su: e - osnova prirodnog logaritma (2,718) µ - koeficijent trenja kabla i cevi (1/Rad)

θ - suma skretnih uglova od prese do ta~ke kabla na koordinati x (Rad). k - slu~ajno ugaono odstupanje kabla u odnosu na teorijsku trasu (Rad/m)

s - duìna kabla, mereno po stvarnoj trasi (m). Za plitke trase kablova, sa malim skretnim uglovima, s ≅ x.

Promena - pad sile u kablu na delu trase od prese do koordinate x , iznosi

(3.2)

L

qk (s,α)

α

x

AB

s

C

tL+tR

R

Nk0C

Nk0

Nk0C

x

Lx

Nk0x

Nk0

Nk0

a)

b)

Slika 3.2 Trenje krivolinijske trase kabla

x

Lx

Nk0Bl

Nk0Bd

TB

L

A B CNk0

θΒ

tLQB

TBa)

b)

Nk0

Nk0C

Nk0C

Nk0

Nk0x

tL

Slika 3.1 Trenje poligonalne trase labla

θB

QB

Nk0Bl

Nk0BdTB

Slika 3.3 Poligon sila u ta~ki B

)(00 )( ks

kk eNxN +−= µθ

[ ])(00 1)( kx

kk eNxN +−−=∆ µθ


3- 3

Ako znamo vrednost sile u nekom preseku, sila u narednim presecima moè da se odredi i polaze}i od tog preseka na dalje. Pad sile u kablu na mestu naglog preloma trase kabla za skretni ugao θ - koncentrisana sila trenja na mestu preloma, moè da se odredi iz poz-nate vrednosti sile pre skretanja, i vrednosti skretnog ugla:

(3.3) gde su: Nk0l - sila pre skretanja, sa 'leve strane' ~vora; Nk0d - smanjena sila posle skretanja za ugao θ , 'sa desne strane' ~vora. U primeru sa slike 3.1: - sila sa leve strane ~vora B : - sila sa desne strane ~vora B , polaze}i od poloàja prese: - sila sa desne strane ~vora B , polaze}i od vrednosti sile pre skretanja:

- 'koncentrisana' sila trenja TB , na mestu preloma trase u ta~ki B za ugao θB : - sila na kraju nosa~a, ~vor C, polaze}i od poloàja prese: Treba uo~iti da, uvode}i i trenje, sistem sila koji ~ini kompletno, unutra{nje uravnoteèno ekvivalentno optere}enje betonske konstrukcije usled prethodnog naprezanja, u principu obuhvata i sile trenja. Grafi~ki prikaz ravnoteè sila na mestu preloma poligonalne trase sa slike 3.1 u ~voru B prikazano je na slici 3.3. Na osnovu ovoga poligona sila, vrednost skretne sile QB pribli`no iznosi

(3.4) i moè da se usvoji da i dalje deluje u pravcu simetrale ugla θΒ , kao kada nema trenja. U slu~aju krivolinijske trase kablova, osim trenja na pravcu tL , pojavljuje se i raspodelje-na komponenta trenja na krivini tR ,usled kontinualnog pritiska qk (α,s) kabla o cev, slika 3.2. Promena sile u kablu definisana je izrazom 3.1, pri ~emu je ukupni skretni ugao θ izmedju dve ta~ke kabla jednak uglu izmedju tangenti na trasu kabla u tim ta~kama. S obzi-rom da gubitak sile usled skretanja trase kabla ne zavisi od toka promene skretanja, ve} sa-mo od ukupnog iznosa skretanja, sile u kablu Nk0C na kraju kabla trasa prema slikama 3.1 odnosno 3.2 bi}e jednake, ukoliko su jednaki ukupni skretni uglovi. Vrednosti koeficijenta trenja kabla i cevi µ (1/Rad), odnosno slu~ajnog ugaonog odstupanja kabla u odnosu na teorijsku trasu k (Rad/m) definisane su od strane proizvodja~a. Prema katalogu doma}eg proizvodja~a 'IMS' , na primer, u slu~aju trenja kabla i orebrene ~eli~ne za{titne cevi, za prora~un se preporu~uju slede}e vrednosti: µ = 0,22 1/Rad, odnosno k = 3 10-3 Rad/m.

BkxkkoBl eNN −= 0

)(00

BB kxkBdk eNN +−= µθ

[ ]BeNNNT BlkBdkBlkBµθ−−=−= 1000

µθ−= eNN lkdk 00

BeNN BlkBdkµθ−= 00

)(00

kLkCk

BeNN +−= µθ

2/sin)( 00 BBdkBlkB NNQ θ+=


3- 4

Pri prethodnom naprezanju cilindri~nih konstrukcija kru-`nim trasama kablova, slika 3.4, u izraz 3.1 treba uneti stvarnu duìnu kabla s , dok je ukupni skretni ugao θ izmedju dva preseka jednak lu~nom rastojanju, θ = α Prora~un uticaja u konstrukciji sa uvodjenjem i ekvi-valentnih sila trenja je mogu}, ali se u praksi obi~no sile trenja zanemaruju, o tome kasnije. Dijagram prome-ne sile prethodnog naprezanja nakon gubitaka usled trenja Nk0x prikazan je na slici 3.1b i 3.2b - 'idealno' i 'stvarno' stanje se razlikuju.

Pri ve}im duìnama trasa kablova, sa veli-kim ukupnim skretnim uglom, gubici sile usled trenja mogu da budu preveliki, pa treba, ili smanjiti duìnu kabla, ili izvr{iti utezanje kabla i sa njegovog drugog kraja. Ukupni skretni ugao izmedju prese i kraja kabla prema slici 3.5a iznosi θ = α1 + α2 + α3 + α4 . Nakon prethodnog naprezanja sa levog kraja, presek A , ostvarena sila na desnom kraju iznosila bi Nk0E , slika 3.5b. Ako je rezultat neprihvatljiv, tada treba pre-su preneti na kraj E , i izvr{iti dotezanje kabla. Naravno, pretpostavlja se da je ovaj scenario predvidjen projektom, i da na des-nom kraju nije ugradjena fiksna kotva, ko-joj vi{e ne moète pri}i. Na slici 3.5c prikazan je rezultata prethod-nog naprezanja sa dotezanjem sa drugog kraja. Prvo je kabl utegnut silom Nk01 sa levog kraja, pri ~emu je na desnom kraju ostvarena sila na kotvi Nk01E . Presa se pre-bacuje na desni kraj, i vr{i se rasklinjavanje uàdi aktivne kotve. Dok se u presi ne do-

stigne sila jednaka, ili ne{to ve}a od prethodno realizovane sile na kotvi Nk01E - 'sila ras-klinjavanja kabla' , nema izduènja kabla, jer jo{ uvek klinovi nisu 'i{~upani' iz ankerne plo~e, videti i sliku 1.16. Nakon rasklinjavanja kotve, kabl po~inje da se izduùje, da se doteè za èljenu razliku ∆ , do kona~ne vrednosti sile Nk02 , slika 3.5c. Trenje pri dotezanju u principu nije jednako trenju pri prvom utezanju, jer je struktura povr{ina koje sa taru delimi~no izmenjena. Iako koeficijent trenja pri dotezanju µ' moè da bude i do 50% ve}i, µ' = 1,5µ , u praksi se obi~no usvaja da su parametri µ i k jednaki u oba slu~aja. S obzirom da sila trenja pri kretanju kabla zavisi od sile pritiska na kontaktnu povr{inu, promene sile du` kabla pri njegovom dotezanju ne vr{e se na osnovu sile dotezanja ∆ , ve} na osnovu ukupne sile u kablu, Nk01E + ∆ . Dotezanje kabla menja tok ukupnih sila Nk0x u kablu, slika 3.5c. Ako je sila na desnom kraju dotegnuta do iznosa Nk02 , iz geometrijskih razmatranja

Rk

Nk0

Kabl

α

Nk0

Nkα

s

Slika 3.4 Trenje kru`ne trase kablova

L

ED

α1

α2

AB

C

α3

α4

ff

l0

x

Lx

Nk0

∆k

a)

b)

x

Lx

x0

Nk01x=Nk02x

∆

c)

Nk0

Nk0x

Nk0E

Nk01Nk02

Nk01E

Nk02A

Nk0x

Slika 3.5 Prethodno naprezanje sa oba kraja

)(00 )( ks

kk eNN +−= µαα


3- 5

moè da se odredi poloàj preseka x0 , u kome su se vrednosti sila usled dva utezanja izjedna~ile, Nk01x = Nk02x , slika 3.5c. Isti efekat moè da se postigne i sa istovremenim utezanjem kabla sa oba kraja, za {ta nam trebaju dve prese. Ukupni efekat dobija se superpozicijom pojedina~nih efekata, na prethodno prikazan na~in.

[ta je prihvatljiv gubitak sile usled trenja ne treba ocenjivati na osnovu analize jednog kabla. Da bi se postigao optimalan tok stvarne sile prethod-nog naprezanja du` konstrukcije, osim utezanja jednog kabla sa oba kraja, i usvajanje smaknutog rasporeda kablova koji se ne uteù svi u istom preseku, moè da se uti~e na ravnomerniji tok rezultuju}e sile - 'gde ja stanem, ti produì', slika 3.6. Kod uobi~ajenih grednih sistema, gubici usled trenja kre}u se do 5% po~etne sile na presi. U slu~aju utezanja jednom presom, {ta re}i, ako na-kon prelaska na drugi kraj, zateknete 'klinove rasu-te po podu', sila uop{te nije stigla - 'proputovala' do ovog kraja, pa nije ni nastupilo zaklinjavanje na ovom kraju? To zna~i da imate posla sa nepredvi-djeno velikim trenjima du` trase, i da se kabl

negde uz put 'zaglavio'. Ovaj slu~aj bio bi ba{ iznenadjenje, ali je realno o~ekivati da se stvarna sila na ovom kraju, Nk01B na slici 3.5b, razlikuje od ra~unski o~ekivane vrednosti. Ali, to bi ostalo neuo~eno, da je na ovom kraju ugradjena fiksna kotva kojoj se ne moè pristu-piti! Pri utezanju kablova, postizanje traène veli~ine sile na presi Nk0 nije dovoljna garancija da je prethodno naprezanje uspelo. Postignuta je sila na ~elu konstrukcije, ali nedovoljna deformacija kabla sugeri{e da je dijagram stvarnih sila u kablu - a time i ekvivalentnih optere}enja, ustvari 'trougaon', sila Nk0x pala je na nulu negde unutar raspona L. Zbog toga u toku utezanja mora da se meri i hod - izvla~enje klipa prese, koji je jednak izduènju kabla ∆k , slika 3.5a. Mereno izduènje kabla poredi se sa ra~unski o~ekivanim izduè-njem kabla

(3.5) gde su: Nk0x - promenljiva sila zatezanja du` kabla, slika 3.5b; Fk - povr{ina uàdi kabla; Ek - moduo elasti~nosti uàdi; s - krivolinijska koordinata trase kabla. U slu~aju plitkih trasa kablova (s ≅ L ) i pribli`no kontinualne promene sile Nk0x du` nosa~a, slika 3.2b, moè da se usvoji da je

(3.6) gde je Nk0sr - srednja vrednost sile u kablu na duìni L. Pri prose~noj dilataciji ~elika u fazi prethodnog naprezanja od oko Nk0sr /Fk Ek = 5-6 (po~etni napon u kablu od oko 1000-1200MPa), izduènje kabla iznosi ∆k = 0,005x1,0 = 5mm/m. Za nosa~ duìne L = 30m, izduènje kabla je reda veli~ine ∆k =0,005 x 30000 = 150 mm. U slu~aja kabla duìne L =

Nk01

Kabl 1

Nk01

Nk02Nk02

Kabl 2

Nk0α

α

Slika 3.6 Preklapanje kablova zbog kompenzacije gubitaka usled trenja

∫=∆s

kk

xkk ds

EFN

0

0

LEF

N

kk

srkk

0=∆


3- 6

100m, izduènje kabla iznosi oko 500mm. Ukoliko presa nema ovoliki 'hod' - kapacitet izvla~enja klipa, moraju da se primene posebne tehnike utezanja, sa vi{e ciklusa hvatanja i izvla~enja kabla. 3.1.2 Gubici sile usled elasti~nih deformacija konstrukcije u toku prethodnog naprezanja Uno{enje sile prethodnog naprezanja izaziva deformaciju konstrukcije, pa i promenu na-pona u kablovima ∆σke (naponi u kablu i betonu su ve} izmenjeni i zbog efekata skupljanja betona i dela relaksacije ~elika, o tome kasnije) koji su prethodno ugradjeni u konstrukciju

(3.7) gde su: ∆σbk - promena napona u betonu u nivou razmatranog kabla usled prethodnog naprezanja, kao i optere}enja prisutnih na konstrukciji u trenutku prethodnog naprezanja (obi~no je to samo sopstvena teìna konstrukcije - g ); Eb - moduo elasti~nosti betona u trenutku prethodnog naprezanja (u principu zavisi od starosti betona); Ek - moduo elasti~-nosti kablova. Uslov je o~igledno izveden uz pretpostavku da u fazi prethodnog naprezanja postoji spoj kablova i betona, da su promene dilatacija kabla i betona jednake. To je ta~-no samo u slu~aju prethodnog naprezanja na stazi, u kom slu~aju stvarno postoji spoj. U slu~aju naknadnog prethodnog naprezanja, u ovoj fazi spoj obi~no ne postoji, jer se inje-ktiranje kablova vr{i nakon utezanja svih kablova. U slu~aju prethodnog naprezanja bez spoja, promene napona se obi~no iskustveno procenjuju. S obzirom da je u fazi prethodnog naprezanja odgovor konstrukcije prakti~no elasti~an, promene napona u kablovima se nazi-vaju elasti~ni gubici sile prethodnog naprezanja, i posledica su primenjene tehnologije kao i redosleda utezanja kablova. U slu~aju prethodnog naprezanja na stazi, prakti~no se sva uàd presecaju istovremeno, pa se rezultuju}a sila Nk

0 kojom su uàd zategnuta izmedju oporaca unosi 'trenutno', u pu-nom iznosu. Elasti~noj deformaciji usled ove sile - skra}enju elementa, suprotstavljaju se zajedno beton i sav ~elik u preseku (uàd i klasi~na armatura, ako postoji), koji je u spoju sa betonom. Napon u betonu se menja od preseka do preseka, kako zbog promenljivih uti-caja prisutnih spoljnih optere}enja - momenata Mg , tako i zbog eventualnog nejednakog broja uàdi u presecima (ako su neka uàd 'izolovana' na delu trase, videti sliku 1.8c), od-nosno zbog promenljivog ekscentriciteta ek rezultante sile prethodnog naprezanja, slika 1.8d. S obzirom da je obi~no dovoljno ta~no da se analiza vr{i sa rezultantom sile prethod-nog naprezanja, promena napona u betonu u nivou 'rezultuju}eg kabla' ∆σbk iznosi

(3.8) gde su nove oznake: Fi , ii

2 - povr{ina i polupre~nik inercije (i=√ (I/ F)) 'idealizovanog popre~nog preseka', spregnutog od betona i svih ~elika u preseku; eik - ekscentricitet rezultuju}eg kabla u odnosu na teì{te idealizovanog preseka. U praksi se ~esto uticaj ~eli-ka na 'krutost preseka' zanemaruje, pa se analize vr{e sa karakteristikama samo betonskog preseka, {to kod ovih tipova elemenata nije uvek opravdano. Promena ∆NK

0 po~etne sile Nk

0 u uàdima iznosi (3.9)

kb

kbke E

Eσ

σ∆

=∆

−+=∆ )1(1 02

20

ikk

g

i

ik

i

kbk eN

Mie

FNσ

kkbkk FnN σ∆=∆ 0


3- 7

gde je: nk =Ek / Eb ; Fk - povr{ina rezultuju}eg kabla. Vrednost po~etne sile prethodnog naprezanja Nk0 , nakon gubitaka usled elasti~nih deformacija iznosi

(3.10) Pri prethodnom naprezanju na stazi, ovi po~etni gubici su obi~no oko 5% vrednosti sile u uàdima pre presecanja. S obzirom da promene napona ∆σbk nisu konstantne du` nosa~a, to se i vrednost po~etne sile prethodnog naprezanja Nk0 menja du` nosa~a. Najve}a prome-na - pad sile prethodnog naprezanja je bliè osloncima, u oblasti velikih momenata savija-nja usled prethodnog naprezanja, i malih momenata od teìne elementa. U praksi se obi~-no vrednost po~etne sile Nk0 sra~unata u sredini raspona usvaja kao karakteristi~na, {to i nije na strani sigurnosti. Za naponske analize u zoni oslonaca, trebalo bi odrediti 'elasti~ne gubitke' i bliè osloncima, pogotovo {to su ~esto i promene napona usled te~enja betona takodje najve}e u zoni oslonaca.

U slu~aju naknadnog prethodnog naprezanja konstrukcije sa samo jednim kablom, deformacije usled prethodnog naprezanja se prakti~no obave u toku utezanja kabla - nema gubitaka usled elasti~nih deforma-cija. Kako se telo deformi{e, dodaje se sila na presi, dok se ne dostigne traèna veli~ina sile, uz smirenje po-~etnih deformacija. Konstrukcije se obi~no uteù sa vi{e kablova. Utezanje svakog narednog kabla (kabl 2 na slici 3.7) deformi{e konstrukciju, i menja stanje napona

u svim prethodno ugradjenim kablovima (kabl 1 na slici 3.7). Samo kabl utegnut na kraju ima èljenu silu. Dovoljno je ta~no da se izrazi izvedeni za slu~aj prethodnog naprezanja na stazi - 'trenutnog nano{enja rezultuju}eg optere}enja usled prethodnog naprezanja' samo modifikuju. Obi~no se kao dovoljno ta~na ocena usvaja, da je efekat sukcesivnog utezanja kablova pribli`no jednak trenutnom nano{enju polovine rezultuju}e sile kablova. Izraz 3.8 u tom slu~aju glasi

(3.11) gde je Nk0 po~etna sila, nakon gubitaka usled trenja. Za prora~un se obi~no usvajaju karak-teristike betonskog preseka, bez efekata ~elika. S obzirom da za{titne cevi jo{ uvek nisu injektirane, presek je 'pun rupa' za kablove, {to ne mora da bude zanemarljivo. U fazi pret-hodnog naprezanja, nije na odmet da se naponska stanja analiziraju sa tzv. 'neto beton-skim presekom', sa odbijenim rupama za kablove. Pad napona i dilatacija u kablovima se naravno menja du` nosa~a, slika 3.7a, ali je u slu~aju paraboli~nih trasa obi~no najve}i u sredini raspona. Zavisno od toga {ta se traì, za analizu moè da se usvoji ova najve}a vrednost pada sile, ili neka prose~na vrednost, slika 3.7b.

Nk02

L

Kabl 2

Kabl 1Lk1

g

BA

εbkA εbkB

εbksr

a)

b)Kabl 1

(Nk01)σbkA σbkB

Slika 3.7 Gubici sile usled sukcesivnog utezanja kablova

)1(0000 kkbkkkkk FnNNNN σ∆−=∆−=

−+=∆ )1(15,0

02

20

kk

gk

b

kbk eN

Mie

FN

σ


3- 8

U slu~aju spolja{nje prethodno napreg-nutih konstrukcija, dobar polaz je da se kablovi razmatraju kao elementi koji u~e-stvuju i u krutosti sistema. U tom slu~aju, treba izvr{iti stati~ku analizu uticaja suk-cesivnog utezanja kablova (kabl 2 na slici 3.8) na ceo sistem, pa i na prethodno ugra-djene kablove (kabl 1, koji sa sa povr{inom Fk1 u~estvuje u krutosti donjeg pojasa, slika 3.8). Ako se kablovi vode sa velikom stre-lom fk , dvopojasni sistem (videti i slike 1.41-1.46) je osetljiv na veli~inu sile Nk2 u

kablu koji se dodaje, jer su zna~ajne deformacije konstrukcije, slika 3.8. Nevolja je {to svaki naredni kabl menja krutost sistema, pa se analiza komplikuje. Tu vi{e nema smisla govoriti o 'gubicima' u dosada{njem smislu, u pitanju je promena stanja sila i deformacija konstrukcijskog sistema. Ako nema dovoljno presa da se svi kablovi utegnu istovremeno, i elimini{e ovaj problem, a obi~no nema, tada je obi~no potrebno da se kablovi utegnu u vi{e ciklusa, dok se ne ujedna~e sile u svim kablovima. Izjedna~enje sila je potrebno da bi mogao da se defini{e jedinstven koeficijent sigurnosti od loma donjeg pojasa, a ne da zbog potrebne sigurnosti kabla sa najve}om silom, svi ostali kablovi budu neiskori{}eni. Ako se kablovi vode van preseka betona, ali unutar gabarita konstrukcije, sa manjim stre-lama fk , manji je efekat kablova na krutost sistema, pa su mogu}a eventualna upro{}enja analize, slike 1.27, 1.33 i 1.34. Ocena efekata moè da se izvr{i kao da je u pitanju unutra-{nje prethodno naprezanje bez spoja, uz zanemarenje udela krutosti kablova u ukupnoj krutosti sistema - kabl se tretira samo kao ekvivalentno optere}enje konstrukcije. 3.1.3 Gubici sile pri zaklinjavanju-ukotvljenju kablova

Nakon dostizanja èljene veli~ine sile na presi Nk0 , vr{i se ukotvljenje kabla i osloba-djanje prese. Zavisno od opreme koja se pri-menjuje, ukotvljenje je pra}eno izvesnim klizanjem klina, uvla~enjem klina u anker-nu plo~u, slika 1.16. S obzirom da klin 'zubi-ma' drì uè, slika 1.17, uvla~enje klina za isnos ∆lk izaziva skra}enje uèta, odnosno pad sile prethodnog naprezanja ∆Nkl usled klizanja klina, slika 3.9. Prema katalogu do-ma}eg sistema 'IMS', za ra~unsko uvla~enje - klizanje klina za njihove kotve moè da se usvoji vrednost ∆lk = 4,0mm. U slu~aju prethodnog naprezanja na sta-zi, efekat uvla~enja klina rasprostire se na celoj duìnu kabla L izmedju oporaca. Pro-

mena, pad sile u kablu ∆Nkl usled uvla~enja klina u tom slu~aju iznosi (3.12)

Nk2Nk2

f k

Qk2

TL

f TL

Kabl 1: Fk1

Kabl 2: Nk2

Slika 3.8 Promene napona kablova pri spolja{njem

prethodnom naprezanju

Nk0

NkB

x

Lxk

NkA

A B

∆Nkl

K

αk

αk

Nk0

Nk0

Lxk

A

sk

B

∆lk

a)

b)

Slika 3.9 Efekat klizanja klina na veli~inu sile u kablu - naknadno prethodno naprezanje sa spojem

kkk

kl FELlN ∆

=∆


3- 9

U slu~aju naknadnog prethodnog naprezanja bez spoja, efekat klizanja klina rasprostire se na velikoj duìni, ali ga ipak prisutno trenje amortizuje. U slu~aju naknadnog prethodnog naprezanja sa spojem, povratnom kretanju uèta suprotstavlja se trenje uèta o zid za{titne cevi, sa koeficijentom povratnog trenja µ '. Moè da se pokaè da je duìna x0 , slika 3.9, na kojoj se amortizuje povratno kretanje uèta pribli`no jednaka

(3.13) a da je pad sile prethodnog naprezanja ∆Nkl na mestu kotve

(3.14) gde su: ∆lk - iznos klizanja klina; Ek - moduo elasti~nosti kablova; σk0 - napon u kablu pri sili na presi Nk0 ; µ - koeficijent trenja; µ ' - koeficijent povratnog trenja, pri vra}anju uèta (1-1,50µ); θ / l - prose~ni skretni ugao ose kabla na duìni x0 na kojoj se o~ekuje efekat uvla~e-nja klina; k - slu~ajno ugaono odstupanje - koef. trenja na pravom delu trase. U slu~aju glatkih trasa kablova, bez naglih preloma, prakti~no treba odrediti duìnu rasprostiranja x0 , i potom rotirati deo dijagrama sile nakon gubitaka usled trenja i elasti~nih deformacija oko horizontale kroz ta~ku K za ugao αk , slika 3.9b.

Efekat uvla~enja klina posebno je neprija-tan kod kratkih kablova, gde moè da 'poje-de' pristojan deo prethodno realizovanog izduènja kabla. Svi proizvodja~i opreme za prethodno naprezanje dozvoljavaju privre-meno prekora~enje dozvoljene sile na presi do iznosa NK

0 (oko 5%), kako bi se delimi~no kompenzirali efekti klizanja klina. Uslov je da najve}a stvarna sila kabla, ta~ka K na slici 3.10, nakon uvla~enja klina

ne bude ve}a od dozvoljene sile na presi Nk0 . 3.2 POÊTNI EFEKTI PRETHODNOG NAPREZANJA (t=0) Nakon {to su definisani svi otpori - gubici sile prethodnog naprezanja, mogu}e je, a i vreme je da se defini{e tzv. po~etno stanje (vreme t=0) prethodno napregnute konstrukcije, nakon zavr{enog prethodnog naprezanja pra}enog svim navedenim promenama. Kao efika-sno sredstvo za analizu po~etnih efekata prethodnog naprezanja, u delu 2 je istaknut kon-cept ekvivalentnog optere}enja. Iako prethodno analizirani gubici sile prethodnog napre-zanja o~igledno komplikuju primenu ovoga koncepta, jer po~etna sila u kablu Nk0 nije konstantna, koncept ekvivalentnog optere}enja i dalje ostaje najracionalnije sredstvo za svakodnevnu analizu efekata prethodnog naprezanja na konstrukcije, uz primenu ra~unara i softvera na bazi metode deformacija ili metode kona~nih elemenata (MKE). Podrazume-

Nk0

NkB

x

Lxk

NkA

A B

∆N

kl

Nk0

K

Slika 3.10 Delimi~na kompenzacija efekata

klizanja klina

)2

'(0

0

kl

Elxk

kk

++

∆= θµµσ

++=∆ 0

00 2)'( kx

lxNN kkl

θµµ


3- 10

va se da su i efekti svih ostalih optere}enja odredjeni nekom od navedenih metoda sta-tike konstrukcija. Kako je to ve} pomenuto u uvodu analize gubitaka sile, stvarno ekvivalentno optere}e-nje obuhvata sve sile kojima kabl deluje na beton konstrukcije:

- sile na kotvama preostale nakon svih gubitaka; - skretne sile du` nosa~a, definisane promenljivom stvarnom silom u kablu Nk0 ; - sve sile trenja.

Bez obzira da li je konstrukcija stati~ki odredjena ili neodredjena, ovaj sistem sila treba naneti kao spoljno optere}enje, i re{iti po~etno stanje sila, napona i deformacija usled prethodnog naprezanja. To je princip, sve ostalo su detalji tehnologije izvr{enja analize. Ipak, za rutinske analize u praksi, dozvoljavaju se odredjena upro{}enja, koja obezbedjuju inènjersku ta~nost prora~una. Prikaz metodologije utvrdjivanja po~etnih efekata prethodnog naprezanja ipak treba zapo-~eti na primeru stati~ki odredjenih konstrukcija, jednostavniji je problem, slika 3.11. Kompletan sistem sila kojima kabl deluje na beton - ta~no ekvivalentno optere}enje pri-kazan je na slici 3.11a, dok je dijagram toka po~etne sile prethodnog naprezanja Nk0 prika-zan na slici 3.11b. U slu~aju stati~ki odredjenih sistema sa definisanom teì{nom linijom {tapa, ta~na vrednost momenta savijanja Mk0x u nekom preseku usled prethodnog na-prezanja moè da se odredi kao proizvod ta~ne sile u kablu Nk0x , i ekscntriciteta sile ex u odnosu na teì{te posmatranog preseka, Mk0x = Nk0x ex , slika 3.11c. Dijagram po~etnih momenata savijanja Mk0 usled prethodnog naprezanja ne mora da ima 'pitom', gladak oblik, ako konstrukcija ima nagla skretanja trase kabla i/ili teì{ne linije. Za stanje momenata to nije bitno, njih smo ve} odredili, poznata je i normalna sila Nk0 u preseku, ali kako racio-nalno odrediti transverzalne sile Tk0 i ugibe δk0 usled prethodnog naprezanja? Jedno re{enje je da se sistem optereti ta~nim ekvivalentnim optere}enjem, ali to se primenjuje samo kada se oceni da je ba{ neophodno. Ugib neke ta~ke moè da se odredi i poznatim 'mnoènjem dijagrama' - videti prethodni komentar. Preostaje da se vidi moè li se ta~no ekvivalentno optere}enje nekako da pojednostavi. Ako smo pri definisanju 'idealnih efekata' ve} dozvolili pojednostavljenja: da u slu~aju plitkih trasa kablova skretna podelje-na optere}enja na krivim delovima kabla deluju vertikalno; da koncentrisane skretne sile na mestima naglog skretanja kablova deluju takodje vertikalno, nema razloga da ne zadrìmo te pretpostavke. S obzirom da je sila u kablu promenljiva, podeljeno ekvivalentno optere}enje paraboli~ne trase kablova imalo bi oblik trapeza, 'ujedenog' na mestu kotve za efekat klizanja klina, slika 3.11b. Eksponencijalni izraz (3.11) za vrednost sile du` trase defini{e blago zakrivljenu krivu Nk0(x), ali je sasvim prihvatljivo da se usvoji linearna promena. Iako danas nije problem da se modelira i slu~aj trapeznih ili sli~nih optere}enja, slika 3.11e, ~esto se u praksi za analizu uzvaja konstantna vrednost podeljenih optere}enja po pojedinim poljima nosa~a, sra~unata na osnovu srednje vrednosti Nkosr sile u kablu u posmatranom polju - obi~no u sredini raspona, slika 3.11f. Preostaje jo{ pitanje {ta raditi sa silama trenja, podeljeni momenti savijanja mtrx na slici 3.11e? Pa ni{ta, efekti trenja se obi~no zanemaruju! Inènjerski prihvatljiv model za prora~un po~etnih efekata prethodnog naprezanja, uklju~uju}i i ugibe, prikazan je na slici 3.11f.


3- 11

S obzirom da se fazi prethodnog naprezanja aktivira i sopstvena teìna konstrukcije, to se po~etni efekti prethodnog naprezanja kombinuju sa efektima sopstvene teìne g pri analizi stanja sila, napona i deformacija konstrukcije odmah po zavr{etku prethodnog naprezanja - po~etno stanje stati~ki odredjene konstrukcije. U slu~aju stati~ki neodredjenih konstrukcija, ne postoje principijelne razlike u odnosu na prethodno izloèni algoritam. Ipak, na slici 3.12 prikazan je jedan stati~ki neodredjen sistem, greda sa slike 3.11, kojoj je dodat oslonac i na desnom kraju, u ~voru C . Momenti savijanja usled prethodnog naprezanja vi{e ne mogu da se odrede direktno, osim u specijal-nom slu~aju 'konkordantnih trasa' kablova.

c)

Mk0x=Nk0xex Mk0

NkA

qk (x)

A B C

QkB NkC

f

a)

e x

x

αctL+tR

x

Nk0A

Nk0C

Nk0Bl

Nk0Bd

x

Nk0x Nk0sr

b)

Nk0sr

Nk0 Nk

0

Nk0

L a

d)L a

Tk0

αA

Tk0C =Nk0C sinαc

Tk0A =Nk0AsinαA

Tk0x=Nk0xsinα

QkBx

R

e)

qk0x = Nk0x/R

L a

mtr x

δk0 , Μk0 , Tk0

Vk0C =Nk0C sinαc

mtr x

f)

qk0sr = 8Nk0srf/L2

L a

δk0 , Μk0 , Tk0

Vk0C

qk0sr

θB tL

Slika 3.11 Po~etni efekti prethodnog naprezanja stati~ki odredjenih nosa~a


3- 12

NkA

qk(x)A B C

QkB NkC

f

a)

e x

x

tL+tR

e)

qk0sr = 8Nk0srf/L2

L a

δk0 , Μk0 , Tk0

x

Nk0A

Nk0C

Nk0Bl

Nk0Bd

x

Nk0x Nk0sr

b)

Nk0sr

Nk0 Nk

0

Nk0

c)

M0=Nk0xex M0

X=1

M1

Mk0δk0=?

d)

RtL

Slika 3.12 Po~etni efekti prethodnog naprezanja

stati~ki neodredjenih nosa~a

B

Nk0

e

b)

TL

L LL/2

fα1

θ2α2

x

Nk0A

Nk0CNsrAB

b)

Nk0

Nk0

A C

NsrBC

c)

qk0sr = 8NsrABf/L2

L L

δk0 , Mk0 , Tk0

qk0sr = 8NsrBCf/L2

A B C

Slika 3.13 Po~etni efekti prethodnog naprezanja

kontinualnog nosa~a preko dva polja


3- 13

Pa dobro, normalne sile u presecima su i dalje poznate, kao i u slu~aju stati~ki odredjenih nosa~a, i pribli`no su jednake silama u kablu Nx=Nk0x , slika 3.12a. Momenti savijanja, transverzalne sile i ugibi mogu da se odrede metodom sila, na primer, slika 3.12c-d. Medju-tim, nestandardan dijagram po~etnih momenata M0 = Nk0x ex u stati~ki odredjenom nosa~u moè da bude problem. Zato je u ovom slu~aju racionalnije da se sve sile i deformacije odrede na osnovu ekvivalentnog optere}enja prema slici 3.12e, kao i u slu~aju stati~ki odredjenog nosa~a. Kona~no, danas se softveri koriste i za analizu sloènih stati~ki odredjenih konstrukcija, tako da direktno odredjivanje momenata savijanja stati~ki odre-djenih nosa~a ostaje za ru~ne analize, ili uz primenu tabelarnih softvera tipa 'Excel'. Ako su stati~ki sistem konstrukcije kao i trasa kablova jednostavni, tada je i analiza 'trivi-jalna', moè da se zavr{i i uz primenu tabli~nih re{enja, slika 3.13. Sve {to je potrebno za prora~un sila i deformacija usled prethodnog naprezanja je dijagram sila u kablu nakon gubitaka usled trenja, slika 3.13b. Treba uo~iti da je podeljeno ekvivalentno optere}enje u svakom od polja odredjeno na osnovu srednje vrednosti sile (sile u sredini polja) u kablu u odgovaraju}em polju, slika 3.13c. Ako su u pitanju ramovski sistemi, tada je najjednostavnije u model uklju~iti i ekviva-lentne koncentrisane sile na mestu kotvi, i u okviru istoga modela dobiti sve potrebne rezultate, slika 2.22a. U slu~aju klasi~no armiranih konstrukcija, stanje napona i deformacija pod dejstvom samo sopstvene teìne skoro da se nikada ne proverava, osim u fazama transporta, montaè i sli~nih situacija. Sa druge strane, vi{ak ugradjene 'pasivne' armature je na strani sigurno-sti, ve}a je nosivost i krutost konstrukcije. Vi{ak armature moè eventualno da napravi problem u slu~aju zemljotresa. U slu~aju prethodno napregnutih konstrukcija, skoro da je sve suprotno. Stanje minimalnih spoljnih momenata, usled dejstva samo sopstvene teìne konstrukcije, moè da bude kriti~na faza za prethodno napregnute konstrukcije, jer su sile u kablovima najve}e odmah nakon zavr{enog prethodnog naprezanja, u po~etnom stanju konstrukcije (u vremenu t=0). Minimalni momenti usled spoljnih optere}enja super-poniraju se sa maksimalnim momentima usled prethodnog naprezanja, obi~no suprot-nog znaka, jer je cilj prethodnog naprezanja upravo suprotstavljanje dejstvima spoljnih optere}enja. Ako se u tome pretera, konstrukcija se moè dovesti u kriti~nu situaciju bilo po naponima, bilo po prslinama ili deformacijama. U ekstremnim slu~ajevima, moè da na-stupi ~ak i lom u fazi prethodnog naprezanja. Vi{ak kablova, utegnutih do istih napona u ~eliku, u tom slu~aju samo pogor{ava stvar - vi{ak sile prethodnog naprezanja ne mora biti na strani sigurnosti. Deluje nemogu}e, ali ako se monta`ni prethodno napregnuti nosa~ izvrne u fazi transporta ili montaè, tada }e prethodno naprezanje i sopstvena teìna da deluju u istom smeru, lom je skoro neminovan. Simetri~no armiranom klasi~nom elementu to ne bi smetalo. U slu~aju kada je sopstvena teìna konstrukcije relativno mala u odnosu na dodatna i po-vremena optere}enja, veliki maksimalni momenti usled totalnog optere}enja zahtevaju veliku sili i momente usled prethodnog naprezanja, ali kako toliko optere}enje kablovima uneti u laganu konstrukciju, kablovi }e je 'oduvati'. U takvim situacijama ponekad se pribe-gava faznom prethodnom naprezanju. U prvoj fazi ugradjuje se deo kablova, koliko to mala sopstvena teìna dozvoljava. U toku ili nakon postavljanja dodatnog stalnog optere}e-nja, ~ime je pove}ana teìna konstrukcije, dodaju se prestali kablovi. Nevolja je {to u slu~a-


3- 14

ju eventualnog uklanjanja dodatnog stalnog optere}enja (krovnog pokriva~a postavljenog preko fazno prethodno napregnutih glavnih nosa~a, na primer), sopstvena teìna konstruk-cije moè da bude nedovoljna da izbalansira potisak kablova. Kada je ve} re~ o krovnim pokriva~ima, korisno je navesti jo{ jednu razliku u odnosu na klasi~no armirane konstruk-cije. Sisanje vetra obi~no nije merodavno za klasi~no armirane krovne konstrukcije. [ta vi{e, tradicija je u betonu da se na ravne krovove dejstvo vetra usvaja kao pritisak na krov, {to nema potporu ni u jednim propisima. Medjutim, si{u}e dejstvo vetra deluje u istom smeru kao i prethodno naprezanja, i ta situacija moè da bude merodavna za dimenzio-nisanje. Sve u svemu, po~etno stanje naprezanja prethodno napregnute konstrukcije se mora vrlo pa`ljivo razmotriti, ono je jedno od dva ekstremna stanja kroz koje konstrukcija prolazi. 3.3 TRAJNI - KONA^NI EFEKTI PRETHODNOG NAPREZANJA (t→∞) Drugo ekstremno stanje u ìvotu konstrukcije je stanje minimalnih sila u kablovima, u kombinaciji sa maksimalnim dejstvom spoljnih optere}enja. Otkuda 'minimalne sile u kablovima', {ta je to {to ih menja? Na àlost, po~etni efekti prethodnog naprezanja u ve}ini slu~ajeva se vremenom menjaju, i uglavnom smanjuju, zbog uticaja te~enja i skuplja-nja betona, kao i relaksacije ~elika. Rezultat je tzv. trajna (kona~na) sila u kablu Nkt , ostvarena nakon zavr{etka svih vremenskih procesa u betonu i ~eliku (u vremenu t→∞). 3.3.1 Procena veli~ine trajne sile prethodnog naprezanja - Nkt =ω Nk0 U poglavlju 3.1.2 analizirani su gubici sile u kablu usled elasti~nih deformacija betona. Do te vrste gubitaka dolazi zbog toga {to se kabl u po~etnom stanju nalazi u zoni pove}anih napona pritisaka u betonu, koji }e pak da opadnu kada se pojave preostala optere}enja. Osim {to naponi pritiska u zoni kabla izazivaju pad sile u kablu pri utezanju, taj efekat se obi~no produàva i u toku vremena, zbog pojave te~enja betona - pove}anja po~etnih deformacija betona pod konstantnim naponima pritiska u toku vremena. Prirast deforma-cija u toku vremena je 2-3 puta ve}i od po~etnih, izazvanih nano{enjem napona. Pri po~et-nom naponu u betonu, u oblasti rezultuju}eg kabla usled dejstva prethodnog naprezanja i ukupnih stalnih optere}enja, od oko 4-5MPa i vrednosti modula elasti~nosti betona od oko 30000 MPa, po~etna dilatacija betona iznosi oko 0,15. Prirast dilatacija skra}enja u toku vremena usled te~enja betona je reda veli~ine (2-3)0,15 = (0,3-0,5). U odnosu na dilata-ciju izduènja ~elika kabla u po~etnom stanju od oko 5 (pri naponu od oko 1000 MPa), dodatna dilatacija skra}enja betona iznosi oko 6-10% po~etne dilatacije kabla. S obzirom da dalje skra}enje betona izaziva pad po~etne dilatacije - napona - sile u kablu, dodatni gubitak sile u kablu od oko 10% nije zanemarljiv. Isti efekat ima i skupljanje betona, u pitanju je skra}enje betona u toku vremena reda veli~ine 0,4-0,5, {to izaziva dalji pad dilatacije - napona - sile kabla od novih 8-10%. Osim {to beton 'popu{ta' u toku vremena, ne moè da odrì po~etni nivo deformacija, i zategnuti ~elik kabla teì da se oslobodi po~etnih napona - pad napona pri konstantnoj dilataciji naziva se relaksacija. Dilatacija kabla nije ba{ konstantna u toku vremena, te~e-nje i skupljanje betona, kao i varijacije usled spoljnih optere}enja je menjaju, tako da se obi~no govori o ne{to manjoj - redukovanoj relaksaciji (reda veli~ine 80% teorijske


3- 15

relaksacije). Pad napona usled relaksacije zavisi od karakteristika ~elika, kao i od po~etnog napona u ~eliku. Podatke o relaksaciji obezbedjuje proizvodja~ ~elika, ali se za ovu analizu moè usvojiti da je pad napona u ~eliku oko 7,5% od po~etnog napona. Ukupni pad napona u kablu usled istovremenih efekata te~enja, skupljanja i relaksacije - vremenski gubitak sile prethodnog naprezanja, obi~no se pretpostavlja u granicama 15-25% od po~etnog napona. Prema tome, trajna sila prethodnog naprezanja Nkt , nakon vremenskih gubitaka, iznosi oko 75-85% po~etne sile Nk0 , odnosno

ω = Nkt / Nk0 =0,75-0,85 (3.15) Odnos ω ~esto se naziva koeficijent efikasnosti prethodnog naprezanja. U fazi preliminarnih analiza, a ~esto i kasnije, efekti te~enja, skupljanja i relaksacije na veli~inu trajne sile prethodnog naprezanja obi~no se pretpostavljaju u datim granicama. 3.3.2 Trajni efekti prethodnog naprezanja S obzirom da su prethodno sra~unati po~etni efekti prethodnog naprezanja, pri po~etnoj sili u kablu Nk0 , trajni efekti prethodnog naprezanja, pri trajnoj sili prethodnog napre-zanja Nkt = ω Nk0 , mogu da se dobiju mnoènjem po~etnih efekata koeficijentom ω . To je-dino ne vaì za deformacije konstrukcije, jer deformacije usled potiska kablova takodje rastu u toku vremena zbog efekata te~enja betona, ali usled dejstva u toku vremena pro-menljive sile u kablu.

NkA

A B C

NkC

f

a)

e x

x

αc

x

NktA

NktC

x

Nktx Nktsr

b)

Nk0sr

Nk0 Nk

0

Nkt = ωNk0

g

Nk0A

Nk0C

Nktsr

d)

qktsr = 8Nktsrf/L2

VktC =NktC sinαc

L a

δkt , Μkt , Tkt

c)

Mktx=Nktxex= ωMk0 Mkt = ωMk0

Nkt

Nk0

Slika 3.14 Procenjeni trajni efekti prethodnog naprezanja

stati~ki odredjenih konstrukcija


3- 16

Za stati~ki odredjeni nosa~ sa slike 3.11, sa definisanim po~etnim stanjem (t=0), algoritam za analizu trajnog stanja, pod trajnim silama u kablovima prikazan je na slici 3.14. Sila pret-hodnog naprezanja, normalne sile, momenti savijanja i transverzalne sile u presecima dobi-jaju se mnoènjem odgovaraju}ih po~etnih vrednosti koeficijentom ω . Isto vaì i za ekviva-lentno optere}enje usled trajnih sila prethodnog naprezanja, slika 3.14d, koje se dobija mnoènjem odgovaraju}ih komponenti po~etnog stanja koeficijentom ω . Kona~na, trajna vrednost ugiba ∆kt neke ta~ke konstrukcije, usled dejstva samo prethodnog naprezanja sa efektima te~enja betona, moè da se proceni kao

(3.16) gde su: δkt - ugib usled trajne sile prethodnog naprezanja Nkt ; δk0 - ugib usled po~etne sile prethodnog naprezanja Nk0 ; ϕt - koeficijent te~enja betona, definisan propisima za beton-ske konstrukcije (BAB). Ugibi usled po~etne odnosno trajne sile prethodnog naprezanja odredjuju se za nosa~ optere}en odgovaraju}im ekvivalentnim optere}enjem prema slikama 3.11d odnosno 3.15d. Struktura uzraza (3.16) zasniva se na pretpostavci da je ugib usled trajne sile prethodnog naprezanja Nkt , pribli`no jednak zbiru elasti~nog, trenutnog ugiba δkt usled trajne sile, i prirasta ugiba u toku vremena usled te~enja betona pod kon-stantnom srednjom vredno{}u sile prethodnog naprezanja.

Celine radi, na slici 3.15 prikazan je algoritam i za stati~ki neodredjen nosa~ sa slike 3.12. Sve {to je re~eno za stati~ki odredjen nosa~ sa slike 3.14, vaì i ovom slu~aju.

e)

qk0sr = 8Nktsrf/L2

L a

δkt , Μkt , Tkt

NkA

A B C

NkC

f

a)

e x

x

x

NktA

NktC

x

Nktx Nktsr

b)

Nk0sr

Nk0 Nk

0

Nkt = ωNk0

g

Nk0A

Nk0C

Nktsr

Nk0 Nkt

Slika 3.15 Procenjeni trajni efekti prethodnog naprezanja stati~ki neodredjenih konstrukcija

tktkktkt ϕδδδ )(5,0 0 ++=∆


3- 17

3.3.3 Ukupan trajni ugibi konstrukcije Izrazom (3.16) procenjen je samo trajni ugib usled dejstva prethodnog naprezanja ∆kt . S obzirom da nas interesuje kona~na vrednost ugiba usled svih optere}enja, sa efektima te~e-nja betona, pribli`na vrednost ukupnog trajnog ugiba δt neke ta~ke konstrukcije dobija se superpozicijom ugiba usled pojedina~nih dejstava

(3.17) gde su: ∆kt - trajni ugib usled dugotrajnog dejstva sila prethodnog naprezanja, izraz (3.16); δg - trenutni - elasti~ni ugib usled dejstva samo teìne konstrukcije prisutne u toku prethodnog naprezanja (obi~no je to sopstvena teìna); δ∆g - trenutni - elasti~ni ugib usled dejstva doda-tnih stalnih optere}enja postavljenih naknadno; ϕg - koeficijent te~enja betona pri starosti betona u trenutku prethodnog naprezanja; ϕ∆g - koeficijent te~enja betona pri starosti beto-na u trenutku nano{enja dodatnih stalnih optere}enja; δp - trenutni - elasti~ni ugib usled kratkotrajnog dejstva povremenih/korisnih optere}enja. Veli~ine trajnih ugiba porede se sa dozvoljenim ugibima, definisanim propisima za razli~ite tipove konstrukcija. Na promene po~etnih ugiba betonskih konstrukcija u toku vremena uti~e i koli~ina i raspo-red kablova/armature u presecima - 'idealizovani presek', {to je u prethodnom izrazu zane-mareno. Pored toga, prethodni izraz za ugib podrazumeva da je konstrukcija napravljena monolitno, od 'jednorodnog' betona sa uniformnim karakteristikama (moduo elasti~nosti, koeficijent te~enja itd.), kao i da se po~etni stati~ki sistem i krutost ne menjaju u toku vre-mena (nema kontinuiranja, pove}anja dimenzija preseka, dobetoniravanjem itd). Efekti dejstava stalnih optere}enja - sopstvene teìne i dodatnih stalnih optere}enja su razdvojeni, jer se prethodno naprezanje ~esto vr{i dok je beton jo{ 'mlad', pa su i efekti te~enja betona burniji nego u slu~aju dodatnih stalnih optere}enja, koja se obi~no nanose na 'ostareli' beton. 3.3.4 Pribliàn prora~un trajne sile prethodnog naprezanja - Nkt

Procena gubitaka sile prethodnog naprezanja prema izrazu (3.15) ~esto je u praksi i kraj 'analize' fenomena vremenskih - 'reolo{kih' pojava u betonu. Ipak, nakon {to su definisani svi detalji konstrukcije i prethodnog naprezanja, moè da se izvr{i provera pretpostavljene vrednosti koeficijenta efikasnosti prethodnog naprezanja ω . U starijoj doma}oj literaturi, moè da se nadje izraz za prora~un promene napona rezultuju}eg kabla ∆σkt usled uticaja te~enja i skupljanja betona, kao i relaksacije ~elika (pa`nja, videti i komentar u delu 3.4.2, izraz 3.36 koji se preporu~uje!):

(3.18) gde su: σbk0 - po~etni napon u betonu u nivou rezultuju}eg kabla; σk0 - po~etni napon u ~eliku rezultuju}eg kabla; nk = Ek / Eb - odnos modula elasti~nosti ~elika kablova i betona u trenutku prethodnog naprezanja; εskt - kona~na - trajna vrednost skupljanja betona; ∆σkrel - procenjeni pad napona u ~eliku kablova usled relaksacije napona; ϕt - kona~na vrednost koeficijenta te~enja betona; tχ - koeficijent starenja betona.

0)1()1( pggggktt δϕδϕδδ +++++∆= ∆∆

[ ]ttk

bkk

krelsktktbkkkt

n

En

ϕχσσ

σεϕσσ

++

∆++=∆

110

0

0


3- 18

Na slici 3.16 prikazani su rezultati parametarske analize pada napona u ~eliku prema izrazu (3.18). Na apscisi je prikazan po~etni napon u betonu u nivou rezultuje}eg kabla - σbk0 (MPa), dok je na ordinati data vrednost ω = Nkt / Nk0 = (σk0 - ∆σkt )/σk0 . Pri analizi je usvojeno: nk = 6,5; ∆σkrel = 0,025 i tχ =0,80.

Za uobi~ajne vrednosti parametara: σk0 = 1000 MPa, ϕ=2,5 i εskt = 0.00045, procenjena vrednost koe-ficijenta ω = 0,80-0,85 (izraz 3.15) je korektna, ako su po~etni naponi u betonu u nivou kabla σbk0 = 4-5 MPa. Da pove}ano te~enje i skup-ljanje betona uti~u na pad sile, to je jasno, ali treba imati na umu i to, da nizak po~etni napon σk0 u kablo-vima zna~ajno uti~e na relativni pad sile - kablove 'ne treba {tedeti', iako se time pove}ava udeo relak-sacije. U prate}im tekstovima koji prepo-ru~uju primenu izraza (3.18) za

analizu promena napona u toku vremena, obi~no nije dat i odgovor na pitanje - da li je za primenu izraza bitno da li je sistem stati~ki odredjen ili neodredjen, ili se u toku vremena menja i sli~no? U praksi, obi~no se ne pravi razlika izmedju stati~ki odredjenih i neodredjenih konstruk-cija, ako je beton 'jednorodan', ako nema izmene sistema i/ili preseka elemenata itd. U principu, navedeni izraz vaì za stati~ki odredjene konstrukcije, sa zanemarljivom povr{i-nom klasi~ne armature u odnosu na povr{inu kablova (nije prisutna u izrazu 3.18). Da bi se bar malo razjasnili ovi pojmovi, u narednom delu dat je kratak prikaz osnovnih pitanja i pojava vezanih za efekte te~enja, skupljanja i relaksacije, sa ciljem da se bar kvali-tativno shvati 'kako rade betonske konstrukcije'.

0.50

0.55

0.60

0.65

0.70

0.75

0.80

0.85

0.90

0.95

0 5 10 15 20

σbk0 (MPa)

ω=

Nkt

/Nk0

σk0 =1000 MPa, φ=2,5, ε

sk =0,00045

σk0 =1000 MPa, φ=4,0, ε

sk =0,00055

σk0 =1500 MPa, φ=2,5, ε

sk=0,00045

σk0 =750 MPa, φ=4,0, ε

sk =0,00055

Slika 3.16 Promena ω prema izrazu (3.18)


3- 19

3.4 [TA SE DOGADJA U BETONSKIM KONSTRUKCIJAMA USLED TEÊNJA I SKUPLJANJA BETONA, ODNOSNO RELAKSACIJE ÊLIKA? Na~in na koji su efekti te~enja i skupljanja betona uvedeni u analizu, preko koeficijenta efikasnosti prethodnog naprezanja ω, predstavlja poku{aj pojednostavljenja, za potrebe svakodnevne prakse. Ono {to treba uo~iti je, da je to istovremeno i napor da se zadrì je-dinstven algoritam analize - da se po~etni i trajni efekti prethodnog naprezanja analizi-raju kao jedan od slu~ajeva spoljnih optere}enja (ekvivalentno optere}enje), na jedinstve-nom stati~kom modelu konstrukcije. Bilo bi vrlo zametno da se po~etni efekti analiziraju na jednom modelu, nekom od metoda statike konstrukcija, a da se trajni efekti procenjuju na drugom modelu (sa izmenjenim karakteristikama materijala i/ili popre~nih preseka - sa izmenjenom kruto{}u, na primer), i uz pomo} nekog drugog algoritma. Ako se primenjuju ra~unari, rezultat bi bio dve baze podataka, koje nekako treba kombinovati. Koncept analize po~etnih efekata, uz sva pojednostavljenja je sasvim korektan, intrigantan je postupak analize kona~nog stanja konstrukcije. Ve} je re~eno da se, nakon zavr{enog prethodnog naprezanja, ~elik kablova na dalje pona{a kao deo preseka konstrukcije, ali sa unetim po~etnim naponom. Logi~an izbor je onda da se kablovi modeliraju kao deo prese-ka, a ne kao spoljno optere}enje. Tako i rade mo}ni, i skupi softveri za nelinearnu ana-lizu betonskih konstrukcija. Tako je, problem je u su{tini neliearan, jer se pokazuje da, na dugotrajna dejstva optere}enja, beton ne reaguje kao linearno elasti~an materijal, {to je pretpostavka prakti~no svih uobi~ajenih analiza u praksi. 3.4.1 Pona{anje nearmiranog betona bez prslina u toku vremena Pri nano{enju optere}enja u trenutku t0 , nearmirani betonski element/konstrukcija se de-formi{e za iznos po~etnih, 'elasti~nih dilatacija' εb0 (slika 3.17a), odnosno po~etnih defor-macija δb0 (slika 3.17b-c).

Ako se optere}enje (G,g) u toku vremena t ne menja - slu~aj 'stalnih optere}enja', tada se ni naponi u betonu σbo u toku vremena ne}e menjati, jer se ni uslovi ravnoteè nisu prome-nili. Medjutim, pri konstantnom naponu u betonu σbo , dilatacije pa i deformacije u toku vremena rastu za iznos ϕεb0 odnosno ϕδb0 , slike 3.17a-c. Promena dilatacija/deformacija pri konstantnom naponu naziva se te~enje betona, dok se veli~ina ϕ naziva koeficijent te~e-

t

εb

t0 t0 t1

ε b0 ε b10

ϕ(t,t

0)ε b0

ϕ(t,t

1)ε b1

0

σb=const

εsk

σb1

σb0

G

δ b0ϕδ

b0

δ bt

δ b0ϕδ

b0δ bt

a.) b.) c.)

g

Slika 3.17 Promena dilatacija i deformacija betona usled te~enja i skupljanja betona


3- 20

nja betona. Promena dilatacija/deformacija u toku vremena je 2-3 puta ve}a od po~etnih. Dodatno stalno optere}enje, naneto u trenutku t1 , deluje na delimi~no 'ostareli beton', i ima}e ne{to povoljniju istoriju deformacija u toku vrmena, slika 3.17a. Skupljanje betona je proces koji ne zavisi od napona, i prakti~no po~inje prestankom intenzivnog negovanja betona, a pre nano{enja optere}enja, u vremenu t0 , slika 3.17a. Veli~ina i razvoj te~enja i skupljanja betona zavise od mnogih parametara, {to nije predmet ovoga teksta. Usled po~etnih napona σbo izazvanih u vremenu t0 , ukupna dilatacija beto-na εb(t,t0) u vremenu t , prema tzv. 'linearizovanoj teoriji te~enja', iznosi

(3.19) gde su: σb0 (t0 ) - po~etni napon u betonu, nanet u vremenu t0 ; Eb(t0 ) - moduo elasti~nosti betona u trenutku t0 ; σb (t )- napon u betonu u vremenu t ; ϕ (t, t0) - koeficijent te~enja be-tona do trenutka t , za uticaje napona nanetih u vremenu t0 ; ),( 0ttχ - koeficijent starenja betona do trenutka t , za uticaje napona nanetih u vremenu t0 ; εskt - iznos slobodne dilata-cije skupljanja betona koja bi se ostvarila do vremena t . Uz izostavljanje indeksa '0' koji se podrazumeva, izraz (3.19) moè da se prikaè i u obliku

(3.20) gde je ∆σ(t) = σb(t) - σb(t0) promena napona u betonu u intervalu t0 - t ; Ebkor (t) - vrednost tzv. 'korigovanog modula elasti~nosti betona' u vremenu t ; E*bef (t) - vrednost tzv. 'korigo-vanog efektivnog modula elasti~nosti betona' u vremenu t. Prvi ~lan izraza (3.20) obuhvata promenu dilatacija usled te~enja pod konstantnim delom napona u betonu, a drugi ~lan obuhvata promenu dilatacija usled te~enja pod promenljivim delom napona u betonu. Izraz (3.20) asocira na 'elasti~an materijal', ali je ovde u pitanju superpozicija efekata dve vrste napona, koji deluju na 'razli~itim materijalima', sa razli~itim modulima elasti~nosti. S obzi-rom da je po~etni napon σb(t0) poznat, sra~unat analizom po~etnog stanja konstrukcije, deo ukupne dilatacije usled te~enja pod konstantnin po~etnim naponom dobija se mnoènjem po~etnih dilatacija sa (1+ϕ), o ~emu je ve} bilo re~i, ili ponovnim prora~unom sa 'omek{a-lim betonom', ~iji je moduo elasti~nosti u medjuvremenu pao na vrednost Ebkor(t). Nepozna-ta promena napona u toku vremena mora da se sra~una nezavisno, sa 'omek{alim beto-nom', ~iji je moduo elasti~nosti u medjuvremenu pao na vrednost E*

bef (t).Superpozicija re{enja iz dva modela je teorijski atraktivna, ali je u praksi zametna. Na bazi relacije (3.20) moè da se uspostavi algoritam 'metode sila' za re{avanje problema konstrukcija, za {ta nam trebaju komponente deformacija δik usled dejstva spolja{njih optere}enja, kao i stati~ki nepoznatih veli~ina. Dva elementarna primera primene relacije (3,19 ili 3.20) ve} su 'intuitivno' re{ena u uvodu, slika 3.17b i 3.17c. Izraz (3.19) moè da se prikaè i u metodolo{ki druga~ijoj formi

(3.21) gde su: ∆σ(t) = σb(t) - σb(t0) promena napona u betonu u intervalu t0 - t ; E*bef (t) - vrednost tzv. 'korigovanog efektivnog modula elasti~nosti betona' u vremenu t ; ∆εb(t) = εb(t) - εb(t0)

[ ] [ ] )(),(),(1()(

)()(),(1)()(),( 00

0

00

0

00 ttttt

tEtttt

tEttt sk

b

bb

b

bb εϕχσσϕσε ++

−++=

skbef

b

korb

bsk

b

b

b

bb tE

ttE

t

tttE

t

ttEtt εσσε

ϕχ

σ

ϕ

σε +∆

+=+

+

∆+

+

=)()(

)()(

)()(1)()(

)(1)()()( *

0

00

0

)()()()()( 0*0** ttEtEtEt bbefbefbbefb εϕεεσ −∆−∆=∆


3- 21

- promena dilatacija u betonu u intervalu t0 - t; ∆ε 0(t) = εsk(t)+ efekti promene temperature . U obliku (3.21), veza napona i dilatacija definisana je u duhu 'metode deformacija', sa nepoznatim veli~inama komponenti deformacija. Relacija (3.21) daje odnos promena deformacija i promena naprezanja, pa se kona~no re{enje dobija superpozicijom sa ve} re{enim po~etnim stanjem. Fizi~ka interpretacija izraza (3.21) slikovito opisuje pona{anje betona u toku vremena:

a) na sve prinudne dilatacije (deformacije) ∆εb(t) koje se razvijaju u toku vremena, afino sa procesom te~enja, betonski element odgovara redukovanom kruto{}u, sa sniènim modulom elasti~nost E*bef (t), i manjim naponima ∆σb(t) u odnosu na slu~aj naglog, trenutnog razvoja dilatacija (deformacija) - prvi ~lan relacije (3.21). ∆σb(t) = E*bef (t)∆εb(t) (3.22) Ako se predje na nivo {tapa, tada sporo prinudno skra}enje betonskog {tapa, duìne L0 i povr{ine preseka Fb, za iznos ∆L(t)u toku vremena, izazaziva reakciju {tapa, aksijalnu silu ∆Nb(t) jednaku

(3.23)

gde je kb(t) 'korigovana efektivna aksijalna krutost' {tapa, uzimaju}i u obzir i efekte te~enja betona. Na sli~an na~in mogu da se defini{u i ostali ~lanovi korigovane matrice krutosti, i uspostavi metoda deformacije nearmiranih konstrukcija bez prslina. Za ilustaciju, ako je

)()(1 tt ϕχ+ ≅1+0,8x2,5 = 3,0, tada je korigovani efektivni moduo elasti~nosti tri puta manji od po~etnog, E*bef (t)/ Eb (t0)=3,0, pa su i uticaji u konstrukciji pri sporom razvoju prinudnih deformacija, tri puta manji u odnosu na 'elasti~no re{enje'- naglo nanete deformacije uz reakciju sistema sa po~etnim modulom elasti~nosti Eb (t0).

Na primer, spor prirast sleganja srednjeg oslonca δt nearmiranog betonskog kontinualnog nosa~a, izazva}e pribli`no tri puta manje uticaje u konstrukciji u odnosu na slu~aj naglog sleganja za isti iznos. To je ujedno i obja{njenje za{to nema prslina i lomova, u konstruk-cijama koje su pretrpele ve}a sleganja - zato {to se beton prinudnim sporim deformacijama adaptira smanjenjem krutosti.

b) u slu~aju potpuno spre~enog razvoja unutra{njih dilatacija (deformacija) usled skupljanja betona ili sporih, sezonskih varijacija temperature, betonski element takodje odgovara redukovanom kruto{}u, sa korigovanim efektivnim modulom elasti~nost E*bef(t), i manjm naponima ∆σb(t) u odnosu na slu~aj naglog, trenutnog razvoja dilatacija (deformacija) - drugi ~lan relacije (3.21). U tom slu~aju izraz (3.21) ima oblik kao u prethodnom slu~aju

(3.24)

∆σb(t)∆

ε b(t)

Slika 3.18 Reakcija betona

na spore deformacije

δ t

Slika 3.19 Sporo sleganje oslonca u toku vremena

)()(

)(

)()()()(*00

*

tktL

tEFL

tLL

tLtEFtNb

befb

befbb∆

=∆

=∆

=∆

)()( 0* tEt befb εσ ∆−=∆


3- 22

Analogno prethodnim primerima, naponi usled skupljanja betona su oko tri puta manji u odnosu na napone usled naglog hladjenja betona, za ekvivalentni pad temperature ∆T=-εsk/αT , gde je αT koeficijent termi~kih dilatacija betona. c) u slu~aju potpuno spre~enog daljeg razvoja po~etnih dilatacija (deformacija) εb(t0), betonski element odgovara promenom napona ∆σb(t0) , sniènjem indukovanih po~etnih napona σb(t0) . Ovo je klasi~an slu~aj relaksacije napona pri konstantnoj deformaciji. Izraz (3.21) za promenu napona u betonu ∆σb(t) dobija oblik

(3.25) Trajni napon σb(t), nakon zavr{ene relaksacije betona iznosi

(3.26)

Za ilustaciju, za uobi~ajene vrednosti )(tχ =0,8 i )(tϕ =2,5, kona~ni napon u betonu iznosi samo 17%

od po~etnog napona, σb(t)= 0,17 σb(t0 ). Prema tome, ako kontinualni nosa~ sa slike 3.20 nekako preìvi naglo sleganje oslonca za iznos δ0 , tokom vremena konstrukcija }e se skoro u potpunosti osloboditi 'stresa'. Efekat relaksacije napona u betonu usled

ometanog, ili u potpunosti spre~enog razvoja po~etnih deformacija, 'centralna ta~ka' je metode deformacije, tako da se ona ponekada naziva i 'metoda relaksacije'. Kvalitativna rami{ljanja u terminima 'relaksacije', pomaù u traènju odgovora na pitanje 'a kako rade betonske konstrukcije?'. 3.4.2 Pona{anje nearmiranog prethodno napregnutog betona bez prslina u toku vremena Prethodni primeri ilustruju primenu 'linearizovane teorije te~enja betona' na osnovnom slu~aju betonske konstrukcije bez armature i kablova. Ako je element prethodno napreg-nut, tada je uloga ~elika kabla dvostruka: sa jedne strane u~estvuje u kreiranju po~etnog naponsko-deformacijskog stanja kao spolja{nje optere}enje, a sa druge strane, kao deo 'idealizovanog' preseka konstrukcije, zajedno sa klasi~nom armaturom opire se defor-macijama koje se razvijaju u toku vremena, pa i te~enju odnosno skupljanju betona. Re{e-nje stanja napona i deformacija konstrukcije u toku vremena dobija se analizom spregnute konstrukcije/preseka od betona i kablova (u narednim analizama klasi~na armatura je zanemarena). Postupak analize trajnog stanja prethodno napregnutih konstrukcija putem uvodjenja koeficijenta ω = Nkt /Nk0 , samo pribli`no opisuje stvarno pona{anje konstrukcija u toku vremena.

δ 0

Slika 3.20 Relaksacija napona nakon

naglog sleganje oslonca

)()()( 0* ttEt bbefb εϕσ −=∆

)()())()(1

)(1()()()( 000 ttEtt

tttt bbbbb εϕχ

ϕσσσ+

−=∆−=

)())()(1

)(1( 0tttt

bσϕχ

ϕ+

−=


3- 23

a) Slu~aj gubitaka napona u betonu, bez promene sile u kablu - ω = Nkt /Nk0 = 1 Pretpostavimo da smo monta`ni nearmiran betonski {tap, po~etne duìne L , centri~no prethodno napregli po~etnom silom u kablu Nk0 do po~etnog napona u betonu σb0 , slika 3.21a-b. Usled po~etnog napona u betonu, {tap se skratio na duìnu L0 , slika 3.21b. Ako sada taj {tap nekako ugradimo u konstrukciju, izmedju dva kruta zida koji spre~avaju po-meranja krajeva {tapa, na primer, desi}e se '~udo', slika 3.21c. Zbog toga {to je spre~eno dalje slobodno skra}enje {tapa usled 'te~enja' betona - spre~en je razvoj po~etnih defor-macija, u betonskom {tapu po~inje da se odvija proces relaksacije napona. Napon u betonu pa{}e na ve} pomenutih 17% po~etnog napona σb0 , ali napon u kablu se ne menja, trajni

napon jednak je po~etnom, σkt = σk0 , jer nema promene duìne kabla! Ovo je primer, kariki-ran, kako bi se projektant na{ao u zabludi, po-zivaju}i se na to da 'i preporuke, a i formula iz propisa kaù da je Nkt ≅ 0,80Nk0 '. Ako je pao napon u betonu, a u kablu se nije promenio, pa ko onda drì silu u kablu Nkt ? Odgovor je - onaj ko spre~ava deformaciju {tapa, a to su oslonci, zidovi. Ako beton 'popu{ta, nema na-meru da u~estvuje u igri, jer mu ne daju da se slobodno deformi{e', neko mora na sebe da primi optere}enja koja su izazvala po~etnu deformaciju betonskog {tapa, u zidu se pojav-ljuju reakcije R , slika 3.21c.

Isti scenario krije se i iza 'analize promena napona u armiranom preseku usled te~enja betona'. Nakon izazvanih po~etnih napona i dilatacija centri~no pritisnutog stuba, na primer, beton bi da te~e, armatura ne bi. Sila pritiska usled gravitacije ne ~eka da se dogo-vore. Rezultat je da pad napona pritiska u betonu, i porast napona pritiska u armaturi, po-nekad toliki da je blizu granice te~enja ~elika! Treba uo~iti da tu nije u pitanju 'prera-spodela napona u preseku', kako se moè ~uti. Presek je matemati~ki pojam, ne migriraju naponi u dvodimenzionalnom svetu ravni preseka. U pitanju je ometana tendencija skra}e-nja betonskog tela, {tapa. b) Aksijalno stanje napona - prethodno napregnuta zatega stati~ki odredjenog trozglobnog luka Dok je prethodni primer ekstremni slu~aj, ali vaàn za razumevanje pona{anja betonskih konstrukcija, na slici 3.22a prikazan je primer realnije konstrukcije trozglobnog luka sa prethodno napregnutom zategom, koja leì na podlozi koja ne spre~ava njene aksijalne deformacije ('podmazana' podloga). U trenutku prethodnog naprezanja t0 silom u kablu Nk0 , na sistem deluje i stalno optere}enje, sopstvena teìna i recimo koncentrisana sila G0 u vrhu luka. Pretpostavlja se da se u toku vremena ne dodaju dodatna stalna optere}enja ∆g , te~enja betona zatege odvija se pod dejstvom konstantnog stalnog optere}enja Zg , ali i promenljive sile prethodnog naprezanja Nkt , zbog promene duìne kabla u toku vremena usled te~enja i skupljanja betona. Usled dejstva sile zatezanja Zg od spoljnih optere}enja, i po~etne sile prethodnog napre-zanja Nk0 , uobi~ajenim metodama statike konstrukcija odredjeno je po~etno stanje zatege,

L

L0

σb0 ; σk0

0,17σb0 ; σk0

Nk0Nk0

RtRt

a.)

b.)

c.)

Nkt=Nk0Nkt=Nk0

Slika 3.21 Pad napona u betonu bez

promene po~etne sile u kablu


3- 24

definisano je po~etnom silom u zatezi Zg + Nk0 , odnosno po~etnom deformacijom zatege - skra}enjem ∆L0 , slika 3.22b-c.

Pod rezultuju}im naponima pritiska u betonu zatege, uz nezanemarljivu po-mo} skupljanja betona, zatega teì da se u toku vremena dodatno skrati. (Ako bi se, gre{kom u izvodjenju, blokiralo da-lje klizanje desnog, pomerljivog oslonca, nastupio bi slu~aj ~iste relaksacije, opi-san u prethodnom primetu, slika 3.21. U ovom primeru analizira se 'idealan' slu-~aj - potpuno slobodnog klizanja pomer-ljivog oslonca. Treba uo~iti da je u prak-si te{ko izbe}i otpore klizanju - trenje, tako da se realno kona~no stanje na-lazi negde izmedju ova dva re{enja!) Za formulaciju re{enja problema, u ovom primeru je za polaz usvojen izraz 3.21, odnosno metodologija 'metode deformacija', koja sadrì slede}e korake analize: (A) definisano je po~etno stanje na-pona i deformacija (slika 3.22a-c); (B) po~etno stanje deformacija se 'za-mrzava', spre~ava se dalji razvoj pome-ranja i obrtanja ~vorova sistema, formi-ranjem 'deformacijski odredjenog

sistema' konstrukcije. U konkretnom primeru analize zatege, blokira se horizontalno pomeranje desnog, pomerljivog oslonca, tako da je L0 = const u toku vremena, slika 3.22d; (D) zbog spre~enih daljih deformacija krajeva 'zamrznutih' {tapova sistema, u sistemu nastupa relaksacija po~etnih napona u betonu pojedinih {tapova, kao i pojava napona u betonu usled spre~enog skupljanja betona. U ovom primeru, zbog spre~enog daljeg skra}enja zetege, u ~vorovima zatege vremenom bi se pojavile sile (napomena - Nb=∆σbFb): N*bϕ - promena sile u betonskom delu preseka zatege usled relaksacije napona u betonu, izraz (3.25); N*bsk - promena sile u betonskom delu preseka zatege usled spre~enog skup-ljanja betona, izraz (3.24). Na kona~no stanje uti~e i relaksacija napona u ~eliku, ~iji se uti-caj trenutno ne razmatra, o tome na kraju.

(3.27)

(3.28)

Unutra{nje sile {tapa-zatege, vremenom stvaraju u ~vorovima {tapa-krajevima zatege reak-cije R*t , slika 3.22d. Da je dalje skra}enje zatege stvarno blokirano, tada bi oslonci koji to spre~avaju (koji formiraju 'deformcijski odredjen sistem')morali da budu sposobni da izdrè ovoliko optere}enje, bez proklizavanja (generalno - bez pomeranja i obrtanja). U

R*t

R*t

c.)L0=const

N*bϕ

N*bsk N*

bskN*bϕ

L0

σb0 ; σk0Nk0

Nk0

d.)L0

σbt ; σktNkt

Nkt

Lt ∆Lt

∆L0

L

Zg0Zg0

Zg0Zg0

e.)

b.)

Zatega Nk0 Zg0Nk0Zg0

Vg0Vg0

a.)

Zatega

G0

Nk0 Nk0

Zg0+Nk0

Slika 3.22 Promene napona u toku vremena

zatege trozglobnog luka

0**

bbefbb EFN ϕεϕ −=

skbefbbsk EFN ε** −=


3- 25

realnoj konstrukciji, ove su reakcije neuravnoteène, tako da ih se sistem oslobadja tako {to dolazi do pojave dodatnih pomeranja i obrtanja , skra}enja zatege ∆Lt na slici 3.22d, - 'relaksacija neuravnoteènih optere}enja deformacijski odredjenog sistema'. Dodatna po-meranja i obrtanja su 'deformacijski nepoznate veli~ine', koje se mogu odrediti iz uslova ravnoteè neuravnoteènih sila R*t , i sila u ~vorovima koje nastaju pri dodatnim pomera-njima i obrtanjima. Dodatne deformacije ∆Lt krajeva zatege su spore prinudne deforma-cije, odvijaju se afino te~enju betona, tako da betonski deo preseka odgovara sniènim, korigovanim efektivnom modulom elasti~nosti, (izraz 3.22): odnosno

(3.29) Pri dodatnoj deformaciji ∆Lt , u ~eliku kabla ostvari}e se sila pritiska - 'pad sile prethodnog naprezanja'

(3.29a) Uslov ravnoteè svih sila tada glasi

(3.30) odnosno

(3.31) Kada se izrazi (3.27), (3.28) i (3.29) uvrste u uslov ravnoteè (3.31), za vrednost deforma-cijski nepoznate, promene duìne zatege u toku vremena ∆Lt dobija se vrednost

(3.32)

Kona~na vrednost promene aksijalne sile betona ∆Nb(t) jednaka je sumi sila od dodatne deformacije ∆N*b(t), i sila indukovanih u deformacijski odredjenom sistemu (-N*bϕ - N*bsk), pa promena napona u betonu usled uticaja te~enja i skupljanja betona tada iznosi

(3.33)

dok promena napona u kablu poti~e samo od dodatnog skra}enja zatege ∆Lt

(3.34) gde je n = Ek / Eb (t0) - odnos modula elasti~nosti ~elika, i po~etnog modula elasti~nosti betona.

LLEtEt t

befbbefb∆

=∆=∆ ** )()( εσ

LLEFtEFtN t

befbbbefbb∆

=∆=∆ *** )()( ε

0)()( ** =+∆+∆ tkb RtNtN

0)()( *** =−−∆+∆ bskbkb NNtNtN ϕ

)1(1

)( 0

0

χϕ

εσϕ

++

+=∆

b

k

skb

b

t

FFn

tELL

b

kbskbb

bb F

tNNNtNF

t )())((1)( *** ∆−=−−∆=∆ ϕσ

)1(1)( 0

χϕ

εϕσσ++

+=

∆=∆

b

k

skkbtkk

FFn

EnLLEt

LLEFtN t

kkk∆

=∆ )(


3- 26

Ako se pad napona u betonu usled relaksacije ~elika (komplikovana interakcija relaksacije ~elika, sa te~enjem i skupljanjem betona) izrazi kao efekat 'ekvivalentnog skupljanja beto-na' za iznos dilatacije betona ∆εrel = ∆σrel / Ek , ukupna promena napona u kablu usled svih vremenskih pojava iznosi

(3.35) Treba se podsetiti da je ovo pad napona u kablu zatege, slu~aj aksijalnog stanja napona u elementu - centri~nog pritiska. Ranije je bilo re~i da se 'promena napona u kablu odredjuje na osnovu 'po~etnog napona σbk0 u betonu, u nivou rezultuju}eg kabla'. U slu~aju da postoji i savijanje preseka momentima, tada su kablovi na nekom ekscentricitetu ebk u od-nosu na teì{te betonskog preseka, ~iji je moment inercije Ib . U tom slu~aju, izraz (3.35) se u savremenijim propisima, kao {to je Evrokod (Deo 2), pojavljuje u modifikovanom obliku, tako da obuhvati promene dilatacija betona, u nivou rezultuju}eg kabla usled istovremenog dejstva normalne sile i momenta savijanja:

(3.36)

Ako se uporede, ve} navedeni izraz (3.18) i izraz (3.36), deluje kao da je izrazu (3.18) pro-mena napona u kablu izvedena uz pretpostavku da se, u zoni rezultuju}eg kabla, te~enje odvija u uslovima 'lokalnog' centri~nog pritiska, pri naponu u betonu jednakom naponu u nivou rezultuju}eg kabla (u slu~aju centri~nog pritiska vaì odnos Fk / Fb = σbk0 / σk ). Navedeni izraz se, bar u ovim krajevima verovatno dosta primenjivao, jer poti~e iz davnog predloga doma}ih propisa, ali sve je u redu. Parametarska analiza vrednosti koeficijenta ω, izvedena prema tom izrazu (jer je 'zgodan' za analizu), dala je op{te poznate zaklju~ke - ω = 0,80-0,85. (E) Kona~no, trajno stanje napona i deformacija dobija se superpozicijom po~etnog (A) stanja i promena (D) koje se razvijaju u toku vremena. Cilj ovoga primera bio je: da ilustruje specifi~an odgovor betonskih konstrukcija na otpor razvoju po~etnih deformacija, kao i razvoju slobodnih deformacija usled skuplja-nja betona; da se ukaè na poreklo gubitaka sile prethodnog naprezanja kao promene napona spregnutog preseka; da se prikaè jedan od postupaka analize efekata te~enja i skupljanja u betonskim konstrukcijama (metoda deformacija) kao i da se bliè odredi vrednost koeficijenta ω, i ukaè na njegovo poreklo i ograni~enja. c) Procena trajnog ugiba prethodno napregnutih konstrukcija Trajni ugib prethodno napregnutih konstrukcija ve} je analiziran u poglavlju 3.3.2, izraz (3.16) odnosno (3.37). Tom prilikom pretpostavljeno je da se te~enje betona odvija pod srednjim naponom pritiska u betonu

(3.37)

)1(1)( 0

χϕ

σεϕσσ++

∆++=

∆=∆

b

k

relskkbtkk

FFn

EnLLEt

)1)(1(1)(

2

0

χϕ

σεϕσσ+++

∆++=∆

bkb

b

b

k

relskkbkk

eIF

FFn

Ent

tktkktkt ϕδδδ )(5,0 0 ++=∆


3- 27

Treba uo~iti i da je implicite pretpostavljeno da je konstrukcija od 'jednorodnog' betona, da svi delovi konstrukcije imaju iste osobine te~enja. Veza napona i dilatacija je u ovom delu usvojena u obliku (3.20), odnosno (3.38)

(3.38) Ako se zanemari efekat skupljanja betona na promene krivine preseka, tada na osnovu (3.38), izraz za trajni ugiba δt moè da se prikaè u obliku

(3.39) U prethodno napregnutim konstrukcijama, izraz (3.39) ukazuje da je kona~na vrednost trajnog ugiba δt jednaka zbiru trajnog ugiba usled dejstva konstantnog po~etnog ekvivalen-tnog optere}enja qk0 (prvi ~lan izraza 3.39), i monotono promenljivog ugiba usled pada sile prethodnog naprezanja, odnosno pada ekvivalentnog optere}enja ∆qt = qkt - qk0 . S obzirom da je Nkt =ωNk0 , tada je i δt / δ0 =ωδ0 , odnosno

(3.40) Za vrednosti parametara: ϕ = 2,7, χ =0,8 i ω=0,8, trajni ugib usled prethodnog napre-zanja prema izrazu (3.40) iznosi δt = 3,07 δ0 , dok se prema izrazu (3.37) dobija vrednost Razlika iznosi oko 5%, ali je analiza navedena kao ilustracija primene linearizovane teorije te~enja i tzv. 'algebarskih veza napona i dilatacija betona'. 3.4.3 Razli~ita porekla otpora slobodnim deformacijama betona, i zaklju~ak U prethodnom primeru, otpor slobodnim deformacijama zatege pruào je upravo ~elik za prethodno naprezanje, kojim je i realizovano po~etno stanje napona i deformacija. Da se podsetimo, nakon {to je kablovima uneto optere}enje usled prethodnog naprezanja, na dalje kablovi 'rade' kao deo popre~nog preseka ali kao materijal bez osobine te~enja. Ta se pojava dogadja u svim betonskim konstrukcijama, ~elik (klasi~na armatura, kablovi) 'ko~i' te~enje i skupljanje betona i tako dolazi do promena napona u betonu i ~eliku. Tra-dicionalno se u prethodno napregnutim konstrukcijama, ove promene napona nazivaju se 'gubitak sile prethodnog naprezanja'. Ako je konstrukcija stati~ki odredjena, ~elik u preseku jedini pruà otpor slobodnim de-formacijama nekog {tapa. U slu~aju stati~ki neodredjenih konstrukcija, mogu}i su razli~iti slu~ajevi: - ako je konstrukcija nearmirana (i bez kablova) i napravljena od istog, 'jednorod-nog' betona, tada svi elementi konstrukcije imaju iste osobine te~enja i skupljanja. U tom slu~aju, usled dejstva stalnih spoljnih optere}enja-sila (ne i sleganja), u toku vremena nema promena napona u presecima, a prirast deformacija je jednak proizvodu po~etnih deformacija, i koeficijenta te~enja ϕ ;

skbef

b

korb

bsk

b

b

b

bb tE

ttE

t

tttE

t

ttEtt εσσε

ϕχ

σ

ϕ

σε +∆

+=+

+

∆+

+

=)()(

)()(

)()(1)()(

)(1)()()( *

0

00

0

)1()1(0 χϕδϕδδ +∆++= tt

)1)(()1( 00 χϕδδϕδ +−++= t

)1)(1()1( 00 χϕωδϕδδ +−++=t

000 23,3)1(5,0 ktkkkt δϕωδωδ =++=∆


3- 28

- ako se starost betona pojedinih elemenata razlikuje ({to je naj~e{}e slu~aj), tada se razlikuju i kona~ne vrednosti koeficijenata te~enja - pri istom po~etnom naponu 'stariji betonu manje teku, kru}i su'. Nakon nano{enja stalnog optere}enja i formiranja po~etnog stanja, stariji betoni mogu da se opiru deformacijama usled burnijeg te~enja mladjih betona. Ve} je re~eno da 'ko pruà otpor, mora na sebe da primi deo optere}enja', dolazi do preraspodele naprezanja sa mladjih na starije betone; - ako se u toku gradjenja menja stati~ki sistem konstrukcije (primer sa slike 3.21 ili, kontinuiranje dve proste grede u kontinualni nosa~ preko dva polja za dodatna optere}enja, na primer), tada }e dodatne veze (armatura ili kablovi za kontinuitet iznad srednjeg oslonca) indukovati pojavu optere}enja dodatnih veza, i bez dodatnih spoljnih optere}enja. Od trenutaka aktiviranja prvobitnog stati~kog sistema, pa do trenutka izmene proteklo je izvesno vreme, u okviru koga je obavljen deo deformacija te~enja elemenata. Preostali deo deformacija te~enja ometan je novim vezama, u kojima se zbog toga pojavljuju naprezanja, koja uti~u i na kona~no stanje napona i deformacija kontinuiranih elemenata. - u slu~aju spolja{nje prethodno napregnutih konstrukcija, sa trasama kablova izvan gabarita preseka (slike 1.41-1.46), rezultuju}i kabl i pritisnuti beton udaljeni su metrima, tako da pojam 'napona pritiska u betonu u nivou rezultuju}eg kabla' vi{e nema smisla. Kabl je donji pojas sistema, usled te~enja i skupljanja u toku vremena sila u kablu moè da opada, ali moè i da raste - ili da se ne menja. Iz svega nevedenog sledi zaklju~ak da su 'gubici sile prethodnog naprezanja' malo sloènija pojava, i da u slu~ajevima o~iglednih i zna~ajnih otpora dodatnim deformacijama be-tona (sloèni stati~ki neodredjeni sistemi sa zna~ajnim razlikama u osobinama te~enja pojedinih delova konstrukcije; izmene stati~kog sistema itd.) treba bar kvalitativno proce-niti stvarne efekte prethodnog naprezanja (cilj ovih analiza nije stanje napona/sila u kablu, ve} stanje naponi i deformacije betona, a promena sila u kablu nam treba jer kablove u analizu uvodimo kao spoljno optere}enje). Treba znati da se stvarno stanje napona i deformacija jednog betonskog {tapa nalazi negde izmedju dva ekstremna su~aja:

- stanja potpuno slobodnih dodatnih deformacija usled te~enja i skupljanja; - stanja potpuno spre~enih dodatnih deformacija usled te~enja i skupljanja;


3- 29

3.5 PRIMERI 3.5.1 Primer 1 Za nosa~ i trasu kablova iz primera 2.3.1, sra~unati i nacrtati dijagram promene po~etne sile prethodnog naprezanja, nakon gubitaka usled trenja za dva na~ina izvr{enja pret-hodnog naprezanja: - prethodno naprezanje samo sa levog kraja, silom na presi Nk0 = 600kN; - istovremeno prethodno naprezanje sa oba kraja, silom na presi od po Nk0 = 600kN; Podaci: k=3 10-3 Rad/m; µ = 0,22 1/Rad

Sila pret hodnog naprezanja (izraz 3.1) Pad sile prethodnog naprezanja (izraz 3.2) (A) Prethodno naprezanje sa levog kraja - Presek 1 x=0m Nk0 (1) = Nk0 = 600 kN - Presek 2 x=15,0 m tgα1 = 0,120 (videti 2.3.1) α1 = 6,8430 = 6,843π/180 = 0,119 Rad

Σθ1-2 = α1 = 0,119 Rad

- Presek 3, sa leve strane x=22,5m

Σθ1-3 = α1 = 0,119 Rad

a)

L=3000

TL

L/4=750

f=22

,5

20 2070

α1 α4

1 2 3 4

α3

L/2=1500 L/4=750 L/4=750

q1-

2

Slika 3.23 Nosa~ i trasa kablova

)(00 )( kx

kk eNxN +−= µθ

[ ])(00 1)( kx

kk eNxN +−−=∆ µθ

kNxeN xxxk 0,5580,60093,00,600)2( )0,15103119,022,0(

0

3

===−+−

kNxelN xxxk 0,5460,60091,00,600)3( )5,22103119,022,0(

0

3

===−+−


3- 30

- Presek 3, sa desne strane x=22,5m tgα3 = 0,120 (videti 2.3.1) α3 = 6,8430=0,119Rad

Σθ1-3 = α1 +α3= 2x0,119 = 0,238Rad - Presek 4 x=30,0m

Σθ1-4 = 0,238Rad

(B) Prethodno naprezanje sa oba kraja

Komentar: Efekat zatezanja sa leve strane prikazan je na slici 3.24. Treba odrediti tok sila pri prethodnom naprezanju sa desne strane

- Presek 4 x=0m Nk0 (4) = Nk0 = 600kN - Presek 3, sa desne strane x=7,50m

Σθ4-3 = 0 - Presek 3, sa leve strane x=7,50m

Σθ4-3 = α3 = 0,119Rad - Presek 2 x=15,0m

Σθ4-2 = α3 = 0,119Rad

600558 546

534 522

1 2 3 4 Slika 3.24 Po~etna sila prethodnog naprezanja nakon gubitaka od trenja -

prethodno naprezanje samo sa leve strane

kNxedN xxxk 0,5340,60089,00,600)3( )5,22103238,022,0(

0

3

===−+−

kNxeN xxxk 0,5220,60087,00,600)4( )0,30103238,022,0(

0

3

===−+−

kNxedN xxk 0,5880,60098,00,600)3( )5,7103(

0

3

===−−

kNxelN xxxk 0,5700,60095,00,600)3( )5,7103119,022,0(

0

3

===−+−


3- 31

- Presek 1 x=30,0m

Σθ4-1 = 0,238Rad

Komentar: Zbog toga {to su rastojanja i ukupni skretni uglovi jednaki na sredini raspona, bilo sa kog kraja da se krene, u tom preseku su sile izjedna~ene. Pri istovremenom utezanju sa oba kraja, kabl u ta~ki 2 miruje, nema kretanja. Isti rezultat se dobija i ako se prvo uteè sa levog kraja, pa onda sa desnog.

600

558 546534 522

1 2 3 4

600588570558

522

Slika 3.25 Po~etna sila prethodnog naprezanja nakon gubitaka od trenja -

istovremeno prethodno naprezanje sa oba kraja

kNxeN xxxk 0,5580,60093,00,600)2( )0,15103119,022,0(

0

3

===−+−

kNxeN xxxk 0,5220,60087,00,600)2( )0,30103238,022,0(

0

3

===−+−


3- 32

3.5.2 Primer 2 Dati su nosa~ i trasa rezultuju}eg kabla prema slici 3.26. Nosa~ se prethodno napreè pojedina~nim utezanjem kablova samo sa levog kraja, sa ukupno pet kablova pojedina~ne sile na presi Nk01=600kN. Sra~unati vrednost sile prethodnog naprezanja nakon gubitaka usled trenja i elasti~nih deformacija nosa~a. Podaci: k=3 10-3 Rad/m; µ = 0,22 1/Rad; Teìna nosa~a - g =12kN/m; Povr{ina preseka nosa~a - Fb=4800cm2; Moment inercije preseka nosa~a - Ib=4,5 106 cm4. Povr{ina jednog kabla - Fk1=4,2cm2; Odnos modula elasti~nosti kablova i betona - n=6,5; Presek nosa~a se ne menja du` raspona.

Stvarna sila prethodnog naprezanja nakon gubitaka usled trenja Komentar: Ovaj problem je re{en u zadatku 3.5.1, za jedan kabl sa silom na presi od

600kN. Dijagram ostvarenih sila prethodnog naprezanja nakon gubitaka usled trenja ponovljen je na slici 3.27, pri ~emu se sve vrednosti sa sijagrama 3.24 pomnoène sa pet, jer je utegnuto pet kablova.

Pad napona u betonu u nivou rezultuju}eg kabla (izraz 3.11)

L=3000

TL

L/4=750

f=22

,5

20 2070

α1 α4

1 2 3 4

α3

L/2=1500 L/4=750 L/4=750

θ1-2

g

Slika 3.26 Nosa~ i trasa rezultuju}eg kaba

3000 2790 27302670 2610

1 2 3 4 Slika 3.27 Po~etna sila prethodnog naprezanja nakon gubitaka od trenja -

prethodno naprezanje sa pet kablova samo sa leve strane

−+=∆ )1(15,0

02

20

bkk

gbk

b

kbk eN

Mie

FN

σ


3- 33

Pad sile prethodnog naprezanja rezultuju}eg kabla (izraz 3.9) - Presek 2 - sredina raspona

Uticaji usled prethodnog naprezanja Nk0 = 2790kN ebk = 70cm (ekscentricitet u odnosu na teì{te betonskog preseka) Mk0 = Nk0 ebk = 2790x0,70 = 1953kNm Uticaji usled sopstvene teìne nosa~a g=12kN/m L=30,0m Mg=gL2 / 8 = 12,0 x 30,02 / 8 = 1350kNm Presek betona Fb = 4800cm2 Ib = 4,5 106cm4 i2 = Ib / Fb = 4,5 106 / 4800 = 937,5cm Pad napona u betonu u nivou rezultuju}eg kabla Gubitak sile rezultuju}eg kabla Fk = 5Fk1 = 5x4,2 = 21,0cm2 (povr{ina pet kablova) n=6,5 (odnos modula elasti~nosti) 1−∆Nk0 / Nk0 = 1-103,7/2790 = 0,96

Komentar: Gubitak rezultuju}e sile se razlikuje od preseka do preseka. Usvaja se da je relativni gubitak konstantan du` trase, sve vrednosti sile nakon gubitaka usled trenja (slika 3.27) treba pomnoìti sa 0,96.

2880 2678 26212563 2506

1 2 3 4 Slika 3.28 Po~etna sila prethodnog naprezanja

nakon gubitaka usled trenja i elasti~nih deformacija

MPacmkNxxx

bk 6,7/76,0)702790

1013501(5,937

7014800

27905,0 222

==

−+=∆σ

kkbkk FnN σ∆=∆ 0

kNxxN k 7,1030,215,676,00 ==∆


3- 34

3.5.3 Primer 3 Za trasu kabla prema slici 3.29, odrediti gubitak sile prethodnog naprezanja usled klizanja klina pri ukotvljenju. Kabl se uteè samo sa levog kraja silom na presi od Nk0=600kN. Podaci: k=3 10-3 Rad/m; µ = 0,22 1/Rad; Povratno trenje µ'=µ ; Napon u kablu na mestu prese σk0=1420MPa; Klizanje klina ∆lk=4mm; Moduo elasti~nosti kablova Ek=195GPa.

Duìna rasprostiranja gubitaka (izraz 3.13) Gubitak sile na mestu prese (izraz 3.14) Tok ostvarenih sila u kablu pred zaklinjavanje - nakon gubitaka usled trenja

Komentar: Ovaj problem je re{en u zadatku 3.5.1. Dijagram ostvarenih sila prethod-nog naprezanja nakon gubitaka usled trenja ponovljen je na slici 3.30. Uo~iti da efekte klizanja klina treba ra~unati posle gubitaka usled trenja, a pre gubitaka usled elasti~nih deformacija konstrukcije, koji se ra~unaju za rezultuju}i kabl. Elasti~ne deformacije u toku utezanja jednog odredjenog kabla kompenziraju se pri njegovom utezanju - kao da je to jedini kabl u konstrukciji.

L=3000

TL

L/4=750

f=22

,5

20 2070

α1 α4

1 2 3 4

α3

L/2=1500 L/4=750 L/4=750

θ1-2

g

Slika 3.29 Trasa kabla

600558 546

534 522

1 2 3 4 Slika 3.30 Tok sila u kablu nakon gubitaka usled trenja

)2

'(0

0

kl

Elxk

kk

++

∆= θµµσ

++=∆ 0

00 2)'( kx

lxNN kkl

θµµ


3- 35

- Prose~ni skretni ugao na duìni na kojoj se o~ekuje rasprostiranje gubitaka θ/l = θ1-2/ (L/2)

θ1-2= 0,119Rad (videti 3.5.1) θ/l = 0,119 / 15,0 = 7,93 10-3 Rad/m

- Duìna rasprostiranja gubitaka µ' = µ

- Gubitak sile na mestu prese

- Sila u kablu na koordinati x0 (videti sliku 3.9) Nk0(x0) ≅ Nk0-∆Nkl/2 = 600-60/2=570kN

Komentar: Gubici sile usled klizanja klina mogu da se odrede i na osnovu slike 3.32

α - nagib dijagrama sile nakon trenja, linearizovan (Rad)

540558 546

534 522

1 2 3 4

(600) 570

10,7

Slika 3.31 Tok sila u kablu nakon gubitaka usled trenja i klizanja-uvla~enja klina

x0α

α∆N

k0

Nk0

Slika 3.32 Pad sile usled klizanja klina

αkkk EFlx ∆

=0

kk lN ∆=∆ α20

mxxx

xxx 7,10)1031093,722,0(1420

10195004,033

3

0 =+

= −−

[ ] kNxxxxxxxxN kl 6060010,07,1010327,101093,722,02600 33 ==+=∆ −−


3- 36

3.5.4 Primer 4 Dati su nosa~ i trasa rezultuju}eg kabla prema slici 3.33. Nosa~ se prethodno napreè pojedina~nim utezanjem kablova samo sa levog kraja, sa ukupno pet kablova pojedina~ne sile na presi Nk01=600kN. Sra~unati vrednost sile prethodnog naprezanja nakon svih gubitaka. Podaci: k=3 10-3 Rad/m; µ = 0,22 1/Rad; Teìna nosa~a - g =12kN/m; Povr{ina preseka nosa~a - Fb=4800cm2; Moment inercije preseka nosa~a - Ib=4,5 106 cm4; Povr{ina jednog kabla - Fk1=4,2cm2; Napon u kablu na mestu prese - σk0=1420MPa; Klizanje klina -∆lk=4mm; Moduo elasti~nosti kablova - Ek=195GPa; Odnos modula elasti~nosti kablova i betona - n=6,5; Kona~na vrednost koeficijenta te~enja betona - ϕt=2,7; Kona~na vrednost skupljanja betona - εsk=0,00045; Presek nosa~a se ne menja du` raspona.

Komentar: S obzirom na tehnologiju utezanja kablova, pri utezanju jednog kabla prvo se javljaju gubici usled trenja a zatim gubici usled zaklinjavanja tog kabla, i tako n-puta, koliko ima kablova. Efekat gubitaka usled elasti~nih deformacija procenjuje se na kraju, za rezultuju}i kabl. Time je definisano po~etno stanje, nakon ~ega nastaju te~enje i skupljanje betona, koji odredjuju trajno stanje sila prethodnog naprezanja.

(A) Sila prethodnog naprezanja nakon gubitaka usled trenja Komentar: Ovaj problem je re{en u primeru 3.5.1. , za jedan kabl (slika 3.31). Nakon

utezanja pet kablova, rezultuju}a sila je pet puta ve}a, slika 3.34.

L=3000

TL

L/4=750

f=22

,5

20 2070

α1 α4

1 2 3 4

α3

L/2=1500 L/4=750 L/4=750

θ1-2

g

Slika 3.33 Nosa~ i trasa rezultuju}eg kabla

3000 2790 27302670 2610

1 2 3 4 Slika 3.34 Po~etna rezultuji}a sila prethodnog naprezanja nakon gubitaka usled trenja


3- 37

(B) Sila prethodnog naprezanja nakon gubitaka usled trenja i klizanja klinova Komentar: Problem klizanja klina je re{en u primeru 3.5.3., za jedan kabl (slika

3.31). Svaki od pet kablova ima isti gubitak usled klizanja sopstvenog klina, pa je ukupni gubitak pet puta ve}i, i oduzima se od stanja sila nakon gubitaka usled trenja, slika 3.35.

(C) Sila prethodnog naprezanja nakon gubitaka usled trenja, klizanja klinova i elasti~nih deformacija betona Komentar: Gubitak sile rezultuju}eg kabla usled elasti~nih deformacija re{en je u

primeru 3.5.2, u preseku u sredini raspona. Usvaja se isti relativni pad u svim presecima nosa~a, vrednosti sila sa slike treba pomnoìti sa 0,985, slika 3.36.

(D) Promena sile prethodnog naprezanja nakon gubitaka usled te~enja i skupljanja betona odnosno relaksacije ~elika

Pad napona u rezultuju}em kablu, prema Nacrtu pravilnika iz 1985(?), izraz (3.18) Pad napona u rezultuju}em kablu, prema Evrokodu 2, prevod iz 1994, izraz (3.36)

27002790 2730

2670 2610

1 2 3 4

(3000) 2850

10,7

Slika 3.35 Po~etna rezultuju}a sila prethodnog naprezanja nakon gubitaka usled trenja i klizanja klinova

25222678 2621

2563 2506

1 2 3 4

(3000) 2736

10,7

Slika 3.36 Po~etna rezultuju}a sila prethodnog naprezanja nakon po~etnih gubitaka (t=0)

[ ]ttk

bkk

krelsktktbkkkt

n

En

ϕχσσ

σεϕσσ

++

∆++=∆

110

0

0

)1)(1(1)(

2

0

χϕ

σεϕσσ+++

∆++=∆

bkb

b

b

k

relskkbkk

eIF

FFn

Ent


3- 38

- Presek 2 - sredina raspona Uticaji usled prethodnog naprezanja Nk0 = 2678kN ebk = 70cm (ekscentricitet u odnosu na teì{te betonskog preseka) Mk0 = Nk0 ebk = 2678x0,70 = 1875kNm Uticaji usled sopstvene teìne nosa~a g=12kN/m L=30,0m Mg=gL2 / 8 = 12,0 x 30,02 / 8 = 1350kNm Presek betona Fb = 4800cm2 Ib = 4,5 106cm4 i2 = Ib / Fb = 4,5 106 / 4800 = 937,5cm Po~etni napon pritiska u betonu u nivou rezultuju}eg kabla Pad napona usled relaksacije ~elika Komentar: Prema savremenim standardima, u prvih hiljadu sati nakon zatezanja, uàd za prethodno naprezanje ne smeju da imaju pad napona usled relaksacije ve}i od 2,5% po~etnog napona. Medjutim, kona~ni pad napona moè da bude i tri puta ve}i! Podatke o relaksacije obavezno dostavlja prozvodja~ uàdi. Usvaja se da je kona~ani pad napona usled relaksacije 3x2,5=7,5% od po~etnog napona u ~eliku σk0. Po~etna sila u rezultuju}em kablu u sredini raspona - Nk0=2678kN Povr{ina rezultuju}eg kabla - Fk=5x2,4=21,0cm2 Po~etni napon u rezultuju}em kablu- σk0 =2678/21=128kN/cm2 = 1280MPa Pad napona usled relaksacije - ∆σrel = 0,075x1280=96MPa Promena sile prethodnog naprezanja usled te~enja, skupljanja i relaksacije (D.1) Procena prema dijagramu na slici (3.16)

Za po~etni napon od 5,8MPa, ω≅0,80 (D.2) Procena, prema izrazu (3.18). Usvojeno χ =0,8

Nkt=Fk(σk0-∆σkt)= 21,0x(128,0-26,1)=2140kN (trajna sila preth,naprezanja) ω=Nkt/Nk0=2140/2678=0,80 (koef.efikasnosti)

MPacmkNeI

MMF

Nbk

b

gk

b

kbk 8,5/58,00,70

510,410)13501875(

48002748 2

6

200

0 ==−

+=−

+=σ

[ ]MPa

x

xxxxkt 261

7,28,011280

8,55,61

9600045,0101957,28,55,6 3

=++

++=∆σ


3- 39

(D.2) Procena, prema izrazu (3.36). Usvojeno χ =0,8

Nkt=Fk(σk0-∆σkt)= 21,0x(128,0-18,3)=2304kN ω=Nkt/Nk0=2304/2678=0,86

Komentar: Izraz (3.36) je bolje koncipiran u odnosu na izraz (3.18). Dok ne naidje ne{to novo, treba njega koristiti. (D.3) Trajna sila prethodnog naprezanja - trajno stanje Komentar: Gubici sile naravno da nisu isti u svim presecima, zavise od po~etnog napona u betonu. Ako u oblastima krajeva nosa~a nisu potrebne neke detaljnije analize (zbog glavnih napona zatezanja itd.), obi~no se usvaja procentualno isti pad kao u sredini nosa~a, ω=0,86. Dijagram promene trajne sile prethodnog naprezanja du` nosa~a, dobijen mnoè-njem vrednosti sa dijagrama 3.36 faktorom ω=0,86, prikazan je na slici 3.37.

Komentar: Treba uo~iti da je u odnosu na po~etnu silu na presi, Nk0=3000kN, ukupni gubitak sile prethodnog naprezanja u sredini nosa~a ∆Nk=3000 -2304 = 696kN (23,2%). Od toga, oko 8% je izgubljeno u fazi prethodnog naprezanja, dok je preostalih 15% nastalo u toku vremena.

25922678 2621

2563 2506

1 2 3 4

(3000) 2736

10,7

22292155

2353 2303 2254 2204

Nk0Nkt

Slika 3.37 Trajna rezultuju}a sila prethodnog naprezanja

nakon svih gubitaka (t=∞); Nkt=0,78Nk0

MPax

x

xxxxtk 183)7,28,01)(0,70

105,448001(

48000,215,61

9600045,0101958,57,25,6)(2

6

3

=+++

++=∆σ


3- 40

3.5.5 Primer 5 Dati su nosa~ i trasa rezultuju}eg kabla prema slici 3.38. Nosa~ se prethodno napreè pojedina~nim utezanjem kablova samo sa levog kraja, sa ukupno pet kablova pojedina~ne sile na presi Nk01=600kN. - Sra~unati vrednosti po~etne sile prethodnog naprezanja; - Sra~unati po~etnu vrednost momenta savijanja u sredini nosa~a usled preth.naprezanja; - Sra~unati ekvivalentno optere}enje pri po~etnoj sili prethodnog naprezanja; - Sra~unati vrednost trajne sile prethodnog naprezanja; - Sra~unati trajnu vrednost momenta savijanja u sredini nosa~a usled preth.naprezanja; - Sra~unati ekvivalentno optere}enje pri trajnoj sili prethodnog naprezanja; Podaci: k=3 10-3 Rad/m; µ = 0,22 1/Rad; Teìna nosa~a - g =12kN/m; Povr{ina preseka nosa~a - Fb=4800cm2; Moment inercije preseka nosa~a - Ib=4,5 106 cm4; Povr{ina jednog kabla - Fk1=4,2cm2; Napon u kablu na mestu prese - σk0=1420MPa; Klizanje klina -∆lk=4mm; Moduo elasti~nosti kablova - Ek=195GPa; Odnos modula elasti~nosti kablova i betona - n=6,5; Kona~na vrednost koeficijenta te~enja betona - ϕt=2,7; Kona~na vrednost skupljanja betona - εsk=0,00045; Presek nosa~a se ne menja du` raspona.

(A) Po~etno stanje

Komentar: Promena po~etne sile prethodnog naprezanja nakon po~etnih gubitaka usled trenja, klizanja klina i elasti~nih deformacija betona sra~unata je u primeru 3.5.4, i prikazana na slici 3.36 odnosno 3.39.

L=3000

TL

L/4=750

f=22

,5

20 2070

α1 α4

1 2 3 4

α3

L/2=1500 L/4=750 L/4=750

θ1-2

g

Slika 3.38 Nosa~ i trasa rezultuju}eg kabla

25222678 2621

2563 2506

1 2 3 4

(3000) 2736

10,7

Slika 3.39 Po~etna rezultuju}a sila prethodnog naprezanja nakon po~etnih gubitaka (t=0)


3- 41

- Moment u sredini raspona, presek 2 Komentar: Uticaji u presecima, kao i deformacije konstrukcije usled prethodnog naprezanja mogu da se odrede na osnovu koncepta ekvivalentnog optere}enja, koje se odredjuje na osnovu geometrije trase rezultuju}eg kabla (ili vi{e rezultuju}ih trasa kablova, ako kablovi ne idu skupno, ili se kotve u razli~itim presecima),slika 3.38, i dijagrama promene sile prethodnog naprezanja du` nosa~a, slika 3.39. U slu~aju stati~ki odredjenih nosa~a, vrednosti uticaja usled prethodnog u preseku mogu da se i dobiju direktno, na bazi koncepta 'sile prethodnog naprezanja u preseku', poglavlje 2.1.3. Direktno re{enje Sila u preseku 2, slika 3.39 (ujedno i normalna sila u preseku) Nk0=2678kN

Elscentricitet u odnosu na teì{te preseka (linija TL na slici 3.38) ebk=70cm

Moment u preseku 2 Mk0=Nk0ebk=2678x0,70=1875kNm Transverzalna sila u preseku 2 Tk0=0 (rezultuju}i kabl je upravan na presek , sinβ=0)

- Ekvivalentno optere}enje usled po~etne sile prethodnog naprezanja

Komentar: Na slici 3.40 prikazane su samo komponente ekvivalentnog optere}enja koje uti~u na stanje naprezanja i deformacija konstrukcije. Kompletan prikaz dat je na slici 2.22.

Paraboli~ni deo 1-2 - ekvivalentno podeljeno optere}enje tgα1 = 2(70+20)/1500 = 0,120 f = (70+20)/4 = 22,5cm Za srednju vrednost sile p.n. na delu 1-2 usvojena vrednost u sredini raspona (dominantan uticaj optere}enja u srednjem delu na momente i ugibe) Nk0sr=2678kN qk0 = 8Nk0srf/L

2 = 8 x 2678 x 0,225/152 = 21,4kN/m

Presek 1- ekvivalentni moment N10 ≅ Nk = 2522kN M10 = N10 e = 2522 x 0,20 = 504kNm

qk0M10

1 2 3 4

V30 M40

L/2=1500 L/4=750 L/4=750

Slika 3.40 Ekvivalentno optere}enje usled po~etne sile prethodnog naprezanja


3- 42

Presek 3 - ekvivalentna koncentrisana sila (izraz 3.4) tgα3 = 90/750 = 0,120 sinα3/2 = 0,05968

V30 ≅ (Nk3L+Nk3D) sinα3/2 = (2621+2563) 0,05968 = 309kN Presek 4 - ekvivalentni moment α4 = α3 N40 ≅ Nk = 2506kN M40 = N40 e = 2506 x 0,20 = 501kN

Moment savijanja u preseku 2 usled ekvivalentnog opt. Mk0=1903kNm

Komentar: Ta~na vrednost, sra~unata direktnim postupkom iznosi 1924kNm. Odstupanje je 1%. Sa ekvivalentnim optere}enjem prema slici 3.40 mogu da se sra~unaju uticaji u presecima, kao i ugibi konstrukcije pri po~etnoj sili prethodnog naprezanja.

(B) Trajno stanje

Komentar: Promena po~etne sile prethodnog naprezanja nakon svih gubitaka, usled trenja, klizanja klina, elasti~nih deformacija betona, te~enja i skupljanja betona i relaksacije ~elika sra~unata je u primeru 3.5.4, i prikazana na slici 3.37 odnosno 3.41.

Komentar: S obzirom da je trajna sila prethodnog naprezanja usvojena kao Nkt =0,86Nk0 , trajno stanje se dobija kada se svi rezultati po~etnog stanja, deo (A), pomnoè sa ω=0,86. Komentar: U slu~aju stati~ki neodredjenih konstrukcija, momenti savijanja preseka ne mogu da se dobiju direktnim re{enjem 'sile prethodnog naprezanja u preseku'. Koncept ekvivalentnog optere}enja je racionalno re{enje.

25922678 2621

2563 2506

1 2 3 4

(3000) 2736

10,7

22292155

2353 2303 2254 2204

Nk0Nkt

Slika 3.41 Trajna rezultuju}a sila prethodnog naprezanja

nakon svih gubitaka (t=∞); Nkt=0,86Nk0


3- 43

3.5.6 Primer 6 Za nosa~ i trasu kablova prema slici 3.42, sra~unati izduènje kabla u toku prethodnog naprezanja, za slede}e procedure utezanja: - prethodno naprezanje samo sa levog kraja, silom na presi Nk0 = 600kN; - prethodno naprezanje sa levog kraja, silom na presi Nk0 = 600kN, i nakon toga dotezanje kabla sa desne strane do sile na presi Nk0 = 600kN; - istovremeno prethodno naprezanje sa oba kraja, silom na presi od po Nk0 = 600kN; Podaci: k=3 10-3 Rad/m; µ = 0,22 1/Rad; Povr{ina - Fk=4,2cm2; Moduo elasti~nosti kablova - Ek=195GPa;

Izduènje kabla (izraz 3.6) (A) Utezanje sa levog kraja

Komentar: Za prora~un izduènja kabla, potrebno je sra~unati vrednosti sile pret-hodnog naprezanja du` nosa~a, nakon gubitaka usled trenja. Taj problem re{en je u primeru 3.5.1, rezultati su ponovljeni na slici 3.43.

Srednja vrednost sile du` nosa~a, usvojena vrednost u sredini nosa~a Nk0sr=558kN Duìna kabla s ≅ L = 30,0m

a)

L=3000

TL

L/4=750

f=22

,5

20 2070

α1 α4

1 2 3 4

α3

L/2=1500 L/4=750 L/4=750

q1-

2

Slika 3.42 Nosa~ i trasa kablova

600

558 546534 522

1 2 3 4

600588570558

522

Slika 3.43 Po~etna sila prethodnog naprezanja nakon gubitaka od trenja

LEF

Nkk

srkk

0=∆


3- 44

Izduènje kabla

(B) Utezanje sa levog kraja, i potom dotezanje sa desnog kraja Utezanje sa levog kraja - isto kao pod (A)

Dotezanje sa desnog kraja

Komentar: Kabl se izduùje samo za porast sile na presi, od 'zate~ene' sile u kablu ostvarene pri utezanju sa levog kraja Nk=522kN, do kona~ne sile na presi na desnom kraju Nk=600kN. Ta~ka nosa~a u kojoj su izjedna~ene sile, postignute utezanjem sa levog, odnosno desnog kraja (sredina nosa~a u ovom slu~aju) miruje, tako da se pri dotezanju sa desne strane, kabl izduùje samo na delu od ove ta~ke do prese, na duìni L/2. Srednja vrednost sile du` nosa~a, usvojeno Nk0sr=(588+570)/2 - (534+546)/2=39kN

Duìna kabla s ≅ L/2 = 15,0m

Izduènje kabla

Komentar: Dotezanje kablova za male priraste sile, male pritiske u pumpama (mala ~itanja na manometrima) i mala izduènja je nepouzdano, i treba ga izbegavati.

(B) Istovremeno utezanje sa oba kraja

Komentar: Ta~ka u sredini raspona ponovo 'miruje', kabl se izduùje simetri~no na duìni od L/2, ali pri istezanju silom na presi Nk=600kN. Srednja vrednost sile na levom delu nosa~a (ista je i na desnom delu), usvojeno Nk0sr=(600+558)/2 =579kN Duìna kabla s ≅ L/2 = 15,0m Izduènje kabla na levoj, odnosno desnoj presi

cmxk 4,203000195002,4

558==∆

cmxk 4,203000195002,4

558==∆

cmxk 7,01500195002,439

==∆

cmxk 6,101500195002,4

579==∆


3- 45

3.5.7 Primer 7 Kontinualni nosa~ preko dva polja, sa trasom kablova prema slici 3.44, istovremeno se prethodno napreè sa oba kraja. Odrediti potrebnu vrednost po~etnog ekvivalentnog optere}enja qk0 usled prethodnog naprezanja, tako da ugibi konstrukcije nakon te~enja i skupljanja betona budu jednaki nuli. Konstrukcija se prethodno napreè pri starosti betona od 28 dana (ϕgt=2,6; Eb(t0)=35000MPa). Dodatno stalno optere}enje ∆g se nanosi pri starosti betona od 90 dana (ϕ∆gt=2,0; Eb(t0)≅35000MPa). Podaci: L=20,0m; g=50kN/m; ∆g=25kN/m; ω=0,80; Moment inercije preseka Ib= 0,025m4; - Maksimalni trenutni ugib u polju usled dejstva sopstvene teìne g - Maksimalni trenutni ugib u polju usled dejstva dodatnog stalnog optere}enja ∆g - Ukupni trajni ugib usled stalnog optere}enja nakon te~enja betona (izraz 3.17) - Ukupni trajni ugib usled prethodnog naprezanja (izraz 3.16) Komentar: S obzirom da je Nkt / Nk0 = ω , tada je i δkt / δk0 = ω - Po~etni ugib koji je potrebno ostvariti kablovima

Nk

Nk

e

a)

TL

L LL/2

f

qk

b) L L

g∆g

d

∆gg

Slika 3.44 Balansiranje trajnih ugiba konstrukcije

mxxx

xIE

gLbb

g 05,0025,0105,36,184

20506,184 7

44

0 ===δ

mxxx

xg 025,0

025,0105,36,1842025

7

4

===∆δ

mgtggtggt 255,0)0,21(025,0)6,21(050,0)1()1( 00 =+++=+++=∆ ∆∆ ϕδϕδ

mgtkkktktkktkt 255,0)(5,0)(5,0 0000 =++=++=∆ ϕωδδωδϕδδδ

mxxxgtgt

k 081,06,280,05,06,25,080,0

255,05,05,0

255,00 =

++=

++=

ωϕϕωδ


3- 46

- Potrebno po~etno skretno (ekvivalentno) optere}enje kablova

mkNxxxxL

IEq bbkk /7,81

20025,0105,3081,06,1846,184

4

7

40

0 ===δ

Komentar: Na dalje moè da se odredi potrebna prose~na sila prethodnog naprezanja u polju nosa~a, ako je poznata strela parabole f . Na primer, f=1,5m: Ako se pretpostavi da su po~etni gubici sile (od trenja, klina, elasti~nih deformacija) na duìni od prese do sredine polja (L/4) recimo 5%, tada je potrebna rezultuju}a sila na presi jednaka potNko = Nkosr /0,95 = 2723/0,95=2866kN Ako je dozvoljena sila na presi jednog kabla Nk01=600kN, potreban broj kablova iznosi n= potNko /Nk01 = 2866/600 = 4,78 Usvaja se pet kablova Za razliku od klasi~no armiranih konstrukcija, gde se usvaja povr{ina armature (vi{ak armature je obi~no na strani sigurnosti), u slu~aju prethodno napregnutih konstrukcija, usvaja se sila u kablovima! Da se ne bi prekora~ila dozvoljena sila na presi, mora da se usvoji pet presa, ali }e svaki kabl biti utegnut do po~etne sile od 2866/5 = 573,2 kN < 600kN, da bi se ostvarila potrebna rezultuju}a po~etna sila od 2866kN. Vi{ak kablova, pod maksimalnim naponom u ~eliku, nije na strani sigurnosti!

kNxx

fLqN k

srk 27235,18207,81

8

220

0 ===

4- 1

4. DOKAZ POUZDANOSTI PRETHODNO NAPREGNUTIH KONSTRUKCIJA U prva tri dela ovoga teksta, prethodno naprezanje je razmatrano, pre svega, kao jedan specifi~an tehnolo{ki postupak upotrebe ~elika visokih ~vrsto}a. Za metodologiju ana-lize efekata prethodnog naprezanja na konstrukcije, usvojen je koncept prethodnog napre-zanja kao optere}enja konstrukcije, bilo kao generalni koncept 'ekvivalentnog optere}e-nja' na nivou sistema konstrukcije, bilo kao koncept 'sile u preseku', uè primenljiv u slu-~aju stati~ki odredjenih konstrukcija. Pri tome, izlaganje nije striktno vezano ni za jedne odredjene propise, niti za nekog odredjenog proizvodja~a opreme za prethodno napre-zanje. Prvenstvo je dato razumevanju su{tine, da se ~italac obrazuje tako da moè lak{e da usvoji i primeni bilo koje propise. Sile i deformacije usled prethodnog naprezanja, odredje-ne bilo za po~etno stanje, bilo za trajno stanje nakon svih gubitaka sile prethodnog na-prezanja, sada treba integrisati u jedan {iri koncept obezbedjenja i dokaza pouzdanosti konstrukcije, sa prethodnim naprezanjem kao jednim specifi~nim slu~ajem optere}enja. Medjutim, koncept pouzdanosti je ve} stvar filozofije i detalja propisa pojedinih zemalja. 4.1 ISTORIJA Tradicionalno, osnovna ideja prethodnog naprezanja bila je da se neutrali{u naponi zate-zanja u betonu usled rezultuju}ih 'stvarnih' - eksploatacionih optere}enja, i time spre~i pojava prslina u toku upotrebe objekta. Za analizu konstrukcija bez prslina, u domenu niìh napona pritisaka koji se realno pojavljuju u eksploataciji, model 'homogenog elas-ti~nog materijala' dovoljno pouzdano opisuje pona{anje konstrukcija. Kao matemati~ki aparat, klasi~na teorija elasti~nosti i otpornosti materijala su prirodan izbor, kao za ~eli~ne konstrukcije. Budu}i da je pojava prslina normalno stanje klasi~nih armiranobeton-skih konstrukcija, i ne samo zbog toga, tradicionalno su prethodno napregnute konstruk-cije tretirane odvojeno od armiranobetonskih konstrukcija - bile su obuhva}ene posebnim propisima, kao da je u pitanju 'neki drugi materijal'. Tako je jo{ uvek u doma}oj praksi, koja se formalno-pravno bazira na 'Pravilniku o tehni~kim merama i uslovima za prednapre-gnuti beton' - Slu`beni list SFRJ, br 51/71 (PNB71). Negde oko 1985. godine, pripremljen je i prvi put prikazan jedan savremeniji 'Nacrt Pravilnika o tehni~kim normativima za prethod-no napregnute armiranobetonske elemente i konstrukcije'. Ovaj Nacrt nije postao i oficijelni dokument, ali verovatno da je u praksi bio ponekad' primenjivan, i tolerisan. Prema savremenim shvatanjima, bar kada su u pitanju objekti tipa zgrada, prethodno na-pregnuti beton je samo jedna varijanta armiranobetonskih konstrukcija, i obuhva}en je jedinstvenim propisima. To je metodolo{ki mogu}e, jer je danas trend da se dozvoli pojava prslina i u konstrukcijama u koje je ugradjen i prethodno zategnut ~elik visokih ~vrsto}a - koncept armiranog betona, sa razli~itim vrstama ugradjenog ~elika, sa ili bez 'prednapona zatezanja' - klasi~nog prethodnog naprezanja. Paralelno, 'koncept gra-ni~nih stanja' je potisnuo klasi~ni 'koncept-teoriju dozvoljenih napona', koja je odgo-varala tradicionalnom konceptu prethodnog naprezanja, tako da je prethodno naprezanje moralo metodolo{ki da se prikloni savremenim shvatanjima pouzdanosti konstrukci-ja. U pitanju je mala 'revolucija', i to ne ide tako lako. Predlog propisa koji bi trebalo da se usvoji u Evropskoj Uniji - 'Evrokod', primer je takvog trenda, koji ima problema, ako ni{ta drugo, onda organizacionih. U ime ~istote koncepta, izgubilo se na prakti~nosti. Trenutno,

4- 2

to izgleda kao da se 'kukuruzno i p{eni~no bra{no ~uvaju u istoj posudi, jer hleb je hleb'. Ako je potrebno projektovati prethodno napregnutu konstrukciju, treba pro~itati celu knjigu propisa, vi{e knjiga, i povaditi pasuse koji se odnose na taj slu~aj. Poèljno je i 'zavrnuti u{i stranama', za slede}i put. Medjutim, to je stvar organizacije teksta. Neko }e ve} sesti i napraviti saèti priru~nik za primenu prethodnog naprezanja. Sticajem okolnosti, doma}i propisi u oblasti betonskih konstrukcija nisu osavremenjivani bar poslednjih petnaest godina. Poslednja inovacija je vaè}i propis za armiranobetonske konstrukcije , 'BAB' iz 1987. godine. S obzirom da }e Evropska Unija u skoroj budu}nosti pre}i na nove, i zajedni~ke propise za sve zemlje ~lanice - 'Evrokod', u medjuvremenu se odustalo od izrade doma}ih propisa, i polako se vr{e pripreme za prihvatanje budu}ih Evropskih propisa, uz dozvoljena prilagodjavanja doma}im specifi~nostima. U situaciji kada su vaè}i doma}i propisi za prethodno napregnute konstrukcije van savremenih trendova (navedeni Nacrt Pravilnika, nikada usvojen, danas bi nam olak{ao 'tranziciju', kao {to je to zasluga 'BAB-a' u oblasti armiranobetonskih konstrukcija), a Evrokod je jo{ u pripremi i testiranju u praksi, problem je kako izloìti metodologiju obezbedjenja i dokaza pouzdanosti prethodno napregnutih kosntrukcija, a da to ne bude gubljenje vremena. Na po~etku izrade nekog projekta prethodno napregnute konstrukcije tipa zgrade (mostovi i druge specijalne konstrukcije su obi~no predmet posebnih razmatranja), potrebno je defi-nisati bar dve bitne stvari: postupak prethodnog naprezanja i nivo prethodnog napre-zanja - kriterijum kontrole prslina. Od svih postupaka prethodnog naprezanja (slika 1.10), za prikaz metodologije dokaza pouzdanosti, izabran je naj~e{}e kori{}eni postupak unutra{njeg prethodnog naprezanja sa spojem ~elika i betona. Od tzv. 'nivoa pret-hodnog naprezanja' - potpuno, ograni~eno, parcijalno (poglavlje 1.1), razmatra se slu~aj prethodno napregnutih konstrukcija kod kojih nije dozvoljena pojava prslina. Metodo-logija dokaza pouzdanosti izloèna je 'intuitivno', bez izri~itog vezivanja za odredjeni koncept ('dozvoljeni naponi' - 'grani~na stanja') ili za odredjene propise. Ipak, izlaganje obuhvata ve}inu onoga {to se zahteva vaè}im doma}im propisima, dopunjeno komenta-rima koji treba da ukaù na savremana shvatanja sadràna u Evrokodu. 4.2 POUZDANOST KONSTRUKCIJA Od svih u~esnika u nastanku jednoga objekta, 'Investitor o~ekuje' da ' konstrukcija mora da bude prora~unata i izgradjena tako da : - sa prihvatljivom verovatno}om ostane podobna za upotrebu za koju je namenjena, uzimaju}i u obzir njen predvidjeni vek i njeno ko{tanje, i - sa odgovaraju}im stepenom pouzdanosti izdrì sva dejstva i uticaje koji verovatno mogu da nastanu u toku izvodjenja i eksploatacije, i ima adekvatnu trajnost u odnosu na tro{kove odràvanja. Konstrukcija mora takodje da bude prora~unata tako da u slu~aju eksplozije, udara ili posle-dica ljudskih gre{aka ne bude o{te}ena do stepena koji bi bio u disproporciji sa oznovnim uzrokom o{te}enja. Navedeni zahtevi moraju da budu ispunjeni izborom pogodnih materijala, odgovaraju}im prora~unom, oblikovanjem i konstruisanjem detalja, kao i preciziranjem postupka kontrole proizvodnje, prora~una, izgradnje i upotrebe, relevantnim za odgovaraju}i objekat.'

4- 3

Malo je verovatno da }e neki investitor tako da se obrati preduzima~u, pre }e da interve-ni{e ako su plo~ice u kupatilu nakrivljene. Navedeni citat je iz Evrokoda, i predstavlja cilj koji su postavili, s jedne strane dru{tvena zajednica, a s druge strane gradjevinski esnaf. 4.2.1 Prora~unske situacije - 'merodavna stanja' U toku izvodjenja i eksploatacije, elementi i konstrukcija u celini prolaze kroz razli~ita sta-nja naprezanja i deformacija. Projektom je potrebno predvideti sva relevantna stanja, i obe-zbediti potrebnu pouzdanost konstrukcije u svim 'prora~unskim situacijama' u kojima ona moè da se nadje. Prema Evrokodu, prora~unske situacije se dele na: stalne, prolazne i incidentne. Na konstrukciju mogu da deluju: stalna, promenljiva i incidentna dejstva. Sli~-nu podelu sadrì i doma}i BAB. Za prethodno napregnute konstrukcije karakteristi~na su dva stanja, koja proizilaze iz same tehnologije gradjenja kao i osnovnih osobina betona i ~elika, slika 4.1.

U toku prethodnog naprezanja, uno{enja deformacija i sila u konstrukciju, karakteristi~no je tzv. 'po~etno stanje konstrukcije', definisano maksimalnim silama max Nk koje }e se uop{te javiti u kablovima, odnosno maksimalnim ekvivalentnim opotere}enjem max qk , slika 4.1.a. S obzirom da je u toj fazi prisutno minimalno spoljno optere}enje min q , obi~no je to samo sopstvena teìna q0 , konstrukcija se obi~no izdiè, dobija nadvi{enje δ0 - linija p , od-nosno ta~ka A na slici 4.1.a odnosno 4.1.b. Ovo stanje moè vremenski da potraje, ali je u su{tini prolazna situacija, tako da su obi~no i kriterijumi pouzdanosti donekle relaksirani - dozvoljavaju se pove}ana naprezanja u betonu i ~eliku 'u fazi prethodnog naprezanja', eventualno se moè dozvoliti i pojava prolaznih prslina, koje }e se kasnije zatvoriti. Mada prolazna, ova situacija moè da bude merodavna za odredjivanje dimenzija konstrukcije ili koli~ine kablova. U toku vremena, na konstrukciju su naneta dodatna stalna optere}enja, a sila u kablovima opada (u slu~aju spolja{njeg prethodnog naprezanja moè i da raste) do svoje trajne vrednosti Nkt ,. Kada se pojave i korisna, promenljiva optere}enja u punom iznosu, moè da se govori o tzv. 'trajnom stanje konstrukcije', definisanom minimalnim silama min Nk u kablovima - minimalnim ekvivalentnim optere}enjem min qk . S obzirom da je u toj fazi pri-sutno maksimalno spoljno optere}enje u eksploataciji qe , konstrukcija 'tone' do ugiba δe , - linija e , odnosno ta~ka B na slici 4.1.a odnosno 4.1.b. Ovo stanje sila i deformacija, 'u fazi

Spoljno optere}enje

q

δ

b.)

qk

q

δ e

δ u

a.)

qu

δe

qe

δu

e

u

δ0

q0

p δ 0

A

B

C

Slika 4.1 Karakteristi~na stanja prethodno napregnute konstrukcija

4- 4

eksploatacije', je kombinacija stalnih i prolaznih dejstava, za koje je potrebno dokazati pouzdanost konstrukciji - dokazom obezbedjene nosivosti, dokazom da nema pojave prsli-na ili da su prsline u dopou{tenim granicama, kao i dokazom da su deformacije konstruk-cije u prihvatljivim granicama, da funkcionalnost objekta nije ugroèna. U ovoj fazi bez prslina (u ovom slu~aju), i sa relativno niskim naponima u eksploataciji, prethodno na-pregnuta konstrukcija na spoljna optere}enja jo{ uvek odgovara kao elasti~na konstrukcija. Anvelopa stanja na slici 4.1 je ono {to konstrukciju o~ekuje u vremenu od gradjenja, do punog optere}enja u eksploataciji. Ako, kojim slu~ajem, spolja{nje optere}enje q krene da i dalje raste, konstrukcija moè da se dovede u grani~no stanje nosivosti pri grani~nom optere}enju qu , linija u , odnosno ta~ka C na slici 4.1.a odnosno 4.1.b. Pri izradi projekta, ova situacija se razmatra samo hipoteti~ki, da bi se odredila 'sigurnost od grani~nog sta-nja loma' - da bi se potvrdilo da pri realnim optere}enjima u eksploataciji, ta~ka B na slici 4.1.b, konstrukcija ima dovoljnu rezervu nosivosti i deformabilnosti u odnosu na stanje loma, ta~ka C na slici 4.1.b. Osim nosivosti, stanja prslina i deformacija, konstrukcija moè da postane neupotrebljiva i pri dostizanju drugih grani~nih stanja: gubitka stabilnosti, neprihvatljivih vibracija, iscr-pljenja usled zamora, prevelikim o{te}enjima usled poàra, incidentima usled eksplozija ili diverzija itd. Da bi se obezbedio traèni kvalitet i pouzdanost, sva ova stanja, kao i druga, moraju da budu razmotrena i odgovaraju}im merama kontrolisana. 4.2.2 Dva koncepta dokaza nosivosti Izmedju tri osnovna grani~na stanja konstrukcije koja treba dokazati - nosivosti, stanja prslina i deformacija, stanja prslina i deformacija razmatraju se pri realnim uslovima u eks-ploataciji - pri eksploatacionom nivou optere}enja. U oba slu~aja potrebno je na neki na~in uvesti u analizu stanje napona i dilatacija kvazi-elasti~nih preseka bez ili sa prsli-nama (u ovom slu~aju-bez prslina). a.) Teorija dopu{tenih napona Klasi~ni koncept dokaza nosivosti, tzv. 'teorija dopu{tenih napona', takodje se zasnivao na analizi stanju napona u eksploataciji, pri realnim optere}enjima (bez koeficijenata si-gurnosti, optere}enje snegom je onoliko koliko se stvarno o~ekuje, 1,0kN/m2 , na primer). Prema tome, jedinstvenom analizom stanja napona i deformacija elasti~ne konstrukcije, dobijao se odgovor na sva tri osnovna pitanja grani~nih stanja. [to se ti~e napona, trebalo je dokazati da su naponi u betonu i ~eliku usled optere}enja u eksploataciji, manji od propi-sanih - 'dopu{tenih napona u eksploataciji'. U pomenutom Nacrtu Pravilnika, to se nazi-valo 'dokazom grani~nog stanja napona', u smislu nivoa napona koji ne sme da se pre-kora~i. Kako god da je formulisana teorija, rezultat primene treba da je dovoljna sigurnost materi-jala, preseka ili konstrukcije od iscrpljenja nosivosti, na neki na~in mora da se pojavi 'koe-ficijent sigurnosti'. Teorija dopu{tenih napona je taj problem re{avala ograni~avanjem maksimalnog dopu{tenog nivoa napona u eksploataciji u pojedina~nim materijali-ma spregnutog preseka: betonu ( σbdop - dopu{teni napon pritiska, ta~ka B na slici 4.2.a; σbzdop - dopu{teni napon ztezanja), klasi~nom ~eliku - armaturi (σadop - ta~ka C na slici 4.2.b) i ~eliku za prethodno naprezanje (σk0 - dopu{teni napon na presi, slika 4.2.b). Tragovi tok

4- 5

koncepta nalaze se i u BAB87, poglavlje 3 - 'Prora~un preseka prema dopu{tenim naponi-ma'. Pravilnik PB71 definisao je posebne vrednosti za prethodno napregnute konstrukcije, slika 4.3. Na primer, za beton MB30, maksimalni dozvoljeni ivi~ni napon pritiska u eksploa-taciji ograni~en je na 12MPa, a u prolaznoj fazi prethodnog naprezanja, na 15MPa. U od-nosu na ~vrsto}u cilindra fC , ta~ka Bu na slici 4.2.a, rezerva je oko dva puta - 'koeficijent si-gurnosti' je oko dva. Na slici 4.2, koja prikazuje vezu napona i dilatacija tri osnovna materi-jala, zatamnjene su oblasti u kojima se nalaze naponi i dilatacije pojedinih materijala u fazi eksploatacije, pri eksploatacionim optere}enjima. U odnosu na kapacitet nosivosti pri do-stizanju 'loma materijala', ta~ke Bu , Cu i Ku na slici 4.2, iskori{}enje je oko 50%. Treba uo~iti da je u oblasti dopu{tenih napona, veza napona i dilatacija betona prakti~no linear-na, {to je pretpostavka za analizu konstrukcija prema teoriji linearne elasti~nosti. Na slici 4.2.b, ∆σke kvalitativno prikazuje varijaciju napona u eksploataciji ~elika za prethodno naprezanje, usled varijacije spoljnih optere}enja. Teorija dopu{tenih napona je naravno prethodila toeoriji grani~nih stanja, i decenijama je primenjivana u svetu. Pojam napona u raznim oblicima i danas se primenjuje, ali je 'teo-rija dopu{tenih napona' u medjuvremenu potpuno napu{tena. Jedan od nedostataka bio je taj, {to iz ~injenice da je poznata veli~ina napona u materijalu - betonu, armaturi i kablo-vima pri dejstvu eksploatacionog momenta savijanja Me , ne moè direktno da se zaklju~i pri kojoj veli~ini momenta savijanja Mu }e da nastupi lom preseka, koliki je koeficijent sigurnosti od loma preseka γ = Mu / Me ? Ne{to bi moglo da se zaklju~i ako se zna da je napon u eksploataciji u rebrastom ~eliku 200MPa, na primer, kao i da }e lom preseka nastupiti razvla~enjem ~elika, tada je koeficijent sigurnosti oko dva. Problem je {to iz stanja napona u eksploataciji, ne moè sa sigurno{}u da prognozira karakter loma preseka. Pored toga, u nekim situacijama pona{anje konstrukcija mora da se analizira razmatraju}i kapacitet deformacija materijala, podru~je dilatacija iza ta~aka Bu , Cu i Ku na slici 4.2.b. Primer za to je analiza efekata zemljotresa, u kom slu~aju materijal preseka konstrukcija

σ

2 4Dilatacija x 103

1

ε

σ

fC

Varijacije dilatacijau eksploataciji

βz

σbdop

a.)

5 10Dilatacija x 103

2

ε

εk0

σk0

400σv=

∆σ ke

Varijacije dilatacijau eksploataciji

RA400/500

σadop

b.) ∆εe

C

K

B

∆εb

Cu

Ku

Bu

σbzdop

σkz

σky

Slika 4.2 Dijagrami napon-dilatacija betona, armature i ~elika za prethodno naprezanje

4- 6

pri dejstvu zemljotresa stvarno zalazi u 'postelasti~nu oblast', koju teorija dopu{tenih napo-na ne poznaje, niti joj je potrebna, moè da bude bilo {ta. b.) Teorija grani~nog stanja loma Teorija grani~nih stanja, koja se danas koristi u armiranobetonskim konstrukcijama, po-na{anje osnovnih materijala prati do dostizanja kapaciteta deformacija, a zaklju~ke o pouzdanosti izvodi na osnovu pona{anja preseka, a ne osnovnih materijala. Zakoni pona-{anja materijala, slika 4.2, integri{u se na nivou preseka elementa, tako da se veze tipa sila-deformacija (moment-krivina, na primer) pojavljuju kao osnovne veli~ine koje opisuju po-na{anje preseka, ~ija je jedna od karakteristika - grani~na nosivost preseka (tzv. 'mo-ment loma' preseka). Dopu{tena vrednost uticaja u preseku (a ne napona) u eksploa-taciji, odredjuje se propisivanjem zahtevane vrednosti koeficijenta sigurnosti od loma, a tu su mogu}a bar dva pristupa. Jedna mogu}nost je, kako je to usvojeno u BAB87, da se za pona{anja materijala usvoje 'realni' dijagrami prema slici 4.2, a da se koeficijent sigurnosti uvede samo na nivou spoljnih optere}enja - metoda globalnog koeficijenta sigurnosti. Druga varijanta je, kako je to usvojeno u Evrokodu, da se uvedu posebni koeficijenti sigurnosti za osnovne materijale, a posebni za spoljna optere}enja - metoda parcijalnih koeficijenata sigurnosti.

Slika 4.3 Dopu{teni naponi u prethodno napregnutom betonu prema PNB71

4- 7

Na osnovu poznate, sra~unate vrednosti grani~ne nosivosti preseka, ni{ta ne moè da se zaklju~i o stanju napona u preseku pri realnim optere}enjima u eksploataciji, naravno. Rezultat dokaza nosivosti prema teoriji grani~nih stanja, moè da bude visok napon priti-ska u betonu u eksploataciji (treba naglasiti da ove vrednosti napona nema smisla dodatno porediti sa dopu{tenim naponima prema slici 4.2, ali dobro je znati o kojim se veli~inama radi). Sigurnost od loma preseka je obezbedjena, ali visoki naponi u betonu provocira}e i pove}ana te~enja betona u toj zoni, pa i pojavu podu`nih prslina u betonu, upravno na trajektorije pritisaka. Nakon {to je pro{ao period odu{evljenja novom teorijom, dana{nji propisi za prethodno napregnute konstrukcije obi~no ograni~avaju maksimalnu vrednost napona pritiska u betonu pri eksploatacionim optere}enjima! Sve u svemu, ipak treba znati sra~unati napone u preseku. 4.3 DOKAZ (GRANI^NOG) STANJA NAPONA Usled dejstva spoljnih optere}enja u eksploataciji, u popre~nom preseku elementa moè da se ostvari sloèno naponsko-deformacijsko stanje, koje se, nakon integracije, na nivou preseka {tapastog elementa manifestuje silama u presecima - normalnoj sili, momentu savijanja, smi~u}oj sili i momentu torzije. Na slici 4.4 prikazana su dva karakteristi~na sta-nja napona usled savijanja prethodno napregnutih nosa~a: u po~etnom stanju, odmah na-kon prethodnog naprezanja (indeks '0' ), i u trajnom (krajnjem) stanju, u fazi eksploata-cije, nakon svih gubitaka sile prethodnog naprezanja, i pri punom eksploatacionom opte-re}enju (indeks 't ' ).

Ekvivalentno optere}enje qk od prethodnog naprezanja suprotstavlja se dejstvu spoljnih optere}enja q . S obzirom da je sila prethodnoh naprezanja Nk odredjena uzimaju}i u obzir dejstvo ne samo sopstvene teìne, ve} ukupnih spoljnih optere}enja, u fazi prethodnog na-prezanja obi~no se formira naponsko - deformacisjko stanje suprotnog znaka od onoga koji izazivaju sama spoljna optere}enja, σ10 , σ20 na slici 4.4. Tamo gde spoljno optere}enje 'zateè', prethodno naprezanje unosi pritisak, i obrnuto, tako da je rezultuju}e stanje napona u èljenim granicama, σ1t , σ2t na slici 4.4. Pod dokazom 'grani~nih stanja napona' podrazumeva se kontrola svih naponskih stanja kroz koje konstrukcija prolazi od gradjenja do pune eksploatacije, pri ~emu su prethodna dva stanja obi~no merodavna za ocenu pouzdanosti sa stanovi{ta nosivosti. Kontrola napo-na vr{i se za eksploatacione vrednosti uticaja u presecima. Za prethodno napregnute konstrukcije karakteristi~no je da se sila prethodnog naprezanja menja u toku vremena, kao i da se ~esto menja i presek elementa, {to sve treba obuhvatiti dokazom napona.

σ10σ1t

σ20 σ2t

σ1tσ10

σ20σ2t σ20 σ2t

σ10σ1t

TLq

qk

1

2

Slika 4.4 Katakteristi~na stanja napona preseka prethodno napregnutih nosa~a

4- 8

4.3.1 Pravo savijanje preseka bez prslina Na slici 4.5 prikazan je betonski popre~ni presek sa potrebnim oznakama i konvencijama o znaku pojedinih veli~ina. Obi~no se analize rade sa karakteristikama samo betonskog pre-seka, zanemaruju}i doprinos ~elika u tzv. idealizovanom preseku.

Podrazumeva se da su dimenzije popre~nog preseka poznate, i da su prethodno odredjene potrebne karakteristike betonskog preseka: - povr{ina Fb i poloàj teì{ta Tb betonskog preseka; - moment inercije Ib u odnosu na teì{te preseka Tb ; - otporni momenti preseka oko donje (1) Wb1 = Ib / d1 , odnosno gornje (2) ivice preseka Wb2 = Ib / d2 ; - ekscentricitet ebk rezultuju}e sile prethodnog naprezanja - 'rezultuju}eg kabla Rk ' u odnosu na teì{te preseka (pozitivan na dole. Bilo bi bolje - na gore, ali ovo je tradicija!). a.) Dokaz po~etnih napona - u fazi prethodnog naprezanja Za dokaz - kontrolu napona u fazi prethodnog naprezanja (po~etno stanje, t=0 ), potre-bno je znati vrednosti sila u preseku: rezultuju}eg momenta savijanja M0 , i rezultuju}e normalne sile N0 , slika 4.5.a. Rezultuju}e sile obuhvataju uticaje usled svih prisutnih dej-stava u fazi prethodnog naprezanja, uklju~uju}i i sile u preseku usled prethodnog napre-zanja. Napon na donjoj ivici preseka σb10 , na gornjoj ivici preseka σb20 odnosno napon σbT0 u teì{tu preseka Tb iznose (pozitivan je napon pritiska)

(4.1) êsto se razdvajaju sile u preseku prema svom poreklu: na uticaje usled prethodnog napre-zanja (Mk0 , Nk0 ), i uticaje usled optere}enja prisutnih u trenutku prethodnog naprezanja, obi~no je to samo sopstvena teìna (Mg0 , Ng0 ). Za vrednost normalne sile u preseku usled

Tb

dd 2

d 1

2

+N

+M

+e

e bk

Rk

k2

k1 k b1k b2

1a.) σb10

σb20

σb1t

σb2t

σbT0 σbTt

N0

M0

Nt

Mt

b.) c.)

Slika 4.5 Popre~ni presek elementa i naponi

u fazi prethodnog naprezanja (b), odnosno u eksploataciji (c)

1

0010

bbb W

MFN

−=σ

2

0020

bbb W

MFN

+=σ

bbT F

N00 =σ

4- 9

prethodnog naprezanja, obi~no se usvaja da je jednaka sili usled prethodnog naprezanja u tom preseku, N ≅ Nk0 , pa prethodni izrazi za napone u fazi prethodnog naprezanja glase:

(4.2)

Izrazi za napone (4.1) i (4.2) vaè nezavisno od toga da li je sistem stati~ki odredjen, ili stati~ki neodredjen. Uticaji svih optere}enja, pa i prethodnog naprezanja (Mk i Nk), odre-djuju se u stvarnom stati~kom sistemu, metodom ekvivalentnog optere}enja, na primer. U slu~aju stati~ki odredjenih sistema, momenti usled prethodnog naprezanja mogu da se odrede i direktno, Mk0 = -Nk0 ebk , pa izrazi za 'po~etne napone' glase

(4.3) Ako je u pitanju gredni sistem, obi~no nema uticaja normalnih sila usled spoljnih optere-}enja, Ng0 = 0. Ako se jo{ uvedu i poznati pojmovi jezgra preseka (uvek pozitivna veli-~ina), kb1 = Wb2 / Fb , odnosno kb2 = Wb1 / Fb , tada izrazi za napone dobijaju svoj najpozna-tiji oblik, koji vaì za stati~ki odredjene nosa~e

(4.4) Ako su potrebne preciznije analize napona, tada treba voditi ra~una da do sada usvojene karakteristike samo betonskog preseka, tzv 'bruto betonskog preseka', nisu uvek i dovolj-no ta~ne. U slu~aju naknadnog prethodnog naprezanja, za{titne cevi za kablove formira-ju rupe u betonu, ~iji efekat na karakteristike preseka uop{te ne mora da bude zanemarljiv. Ako se od bruto betonskog preseka, slika 4.6.a, odbiju rupe za za{titne cevi, dobija se tzv. 'neto betonski presek', sa teì{tem Tn , slika 4.6.b, koji ta~nije opisuje karakteristike pre-seka u fazi naknadnog prethodnog naprezanja, pre injektiranja.

1

000010

b

gk

b

gkb W

MMF

NN +−

+=σ

2

000020

b

gk

b

gkb W

MMF

NN ++

+=σ

b

gkbT F

NN 000

+=σ

1

000010

b

bkkg

b

gkb W

eNMF

NN −−

+=σ

2

000020

b

bkkg

b

gkb W

eNMF

NN −+

+=σ

b

gkbT F

NN 000

+=σ

1

0

2

010 )1(

b

g

b

bk

b

kb W

Mke

FN

−+=σ

2

0

1

020 )1(

b

g

b

bk

b

kb W

Mke

FN

+−=σ

b

kbT F

N 00 =σ

4- 10

U slu~aju prethodnog naprezanja na stazi, ne postoje za{titne cevi, pa se za karakteristike preseka usvaja ili bruto betonski presek, ili tzv. 'idealizovani presek', slika 4.6.c. Ideali-zovani presek je spregnuti presek od betona, armature i ~elika za prethodno naprezanje (kablova ili uàdi), koji se deformi{u zajedno (postoji spoj betona i ~elika). U slu~aju nak-nadnog prethodnog naprezanja sa spojem, spregnuti - idealizovani presek se formira na-kon injektiranja za{titnih cevi, i moè da posluì za kontrole napona u eksploataciji. Za prora~un karakteristika idealizovanog popre~nog preseka, treba od bruto betonskog preseka odbiti rupe u betonu usled prisustva kablova i armature - ~ime se dobija neto be-tonski presek, i onda te rupe 'popuniti', svaku svojim ~elikom. Dovoljno je ta~no ako se usvoji da je povr{ina za{titne cevi pribli`no jednaka povr{ini samog kabla Fk . U tom slu-~aju, povr{ina neto preseka betona iznosi Fbn = Fb - Fa - Fk , gde su: Fb - povr{ina bruto be-tonskog preseka; Fa - povr{ina armature u preseku; Fk - povr{ina kablova, uàdi. Umesto baratanja sa tri vrste materijala, obi~no se defini{e ekvivalentni idealizovani presek, sa modulom elasti~nosti betona i povr{inom Fbi = Fb + (na -1)Fa + (nk -1)Fk , gde su: na = Ea / Eb - odnos modula elasti~nost armature i betona; nk = Ek / Eb odnos modula elasti~nost ~elika za prethodno naprezanje i betona. Poznatim transformacijama, mogu da se odrede teì{te Ti , i ostale karakteristike idealizovanog preseka, kombinuju}i doprinos tri dela 'betona', pojedina~nih povr{ina: F1 = Fb , F2 = (na-1)Fa i F3 = (nk-1)Fk

(4.5)

(4.6) U prethodnim izrazima, ukupna povr{ina kablova odnosno armature usvojena je svaka u svom teì{tu. Ako presek ima vi{e slojeva kablova i/ili armature po visini, ta~nija vrednost momenta inercije idealizovanog preseka, sa doprinosom ~elika, dobija se sumiranjem doprinosa povre{ina Fai (Fki ) pojedinih slojeva, na odstojanju zai (zki )od donje ivice

(4.5.a)

(4.6.a)

Tb

d

2

1

Tb

2

~Fk

1

Fa

a.) c.)

Ti

Tb

2

~Fk

1b.)

Tn

z k

z b z n

z k

z a

z b

z iz b

Slika 4.6 Bruto betonski, neto betonski i idealizovani presek elementa

bi

kkkaaabbi F

zFnzFnzFz )1()1( −+−+=

222 ))(1())(1()( ikkkiaaaibbbbi zznFzznFzzFII −−+−−+−+=

222 ))(1())(1()( ikikkiiiaaaiibbbbi zznFzznFzzFII −−Σ+−−Σ+−+=

bi

kikikaiaiabbi F

zFnzFnzFz Σ−+Σ−+=

)1()1(

4- 11

b.) Dokaz napona u fazi eksploatacije - pri trajnoj sili prethodnog naprezanja Stanje napona u eksploataciji, pri trajnoj vrednosti sile prethodnog naprezanja Nkt , i ukupnom momentu savijanja Mq usled spoljnih optere}enja (obi~no od sopstvene teìne, dodatnih stalnih optere}enja i povremenih-korisnih optere}enja), odredjuje se analogno:

(4.7)

Navedeni su samo modifikovani izrazi (4.4), koji vaè za stati~ki odredjene konstrukcije. Analogno treba modifikovati i ostale, op{tije izraze, ako je u pitanju stati~ki neodredjeni sistem, ili postoje i normalne sile u preseku usled spoljnih optere}enja. Ukoliko je potreban precizniji prora~un, u izraze (4.7) mogu da se uvedu karakteristike neto betonskog preseka, ili idealizovanog preseka. Ako se dokaz pouzdanosti konstrukcije vr{i prema metodologiji dopu{tenih napona (prema vaè}em pravilniku PNB71, na primer), tada se sra~unati naponi porede sa propisima defi-nisanim dopu{tenim naponima, koji zavise od tipa naponskog stanja, kao i od toga da li je u pitanju faza prethodnog naprezanja ili eksploatacije, slika 4.4. Komentar: Ve} je re~eno da i Evrokod zahteva dokaz napona pritiska u eksploataciji. Ukoliko je i pita-nju presek bez prslina, vaè ve} navedeni klasi~ni izrazi otpornosti materijala. 4.3.2 Glavni naponi zatezanja U slu~aju razmatranih prethodno napregnutih preseka bez prslina, na~in osiguranja pouz-danosti 'za uticaje transverzalnih sila' zavisi od toga da li se analiza vr{i prema metodologiji 'dopu{tenih napona', ili prema metodologiji 'grani~ne nosivosti'. U slu~aju primene metodologije grani~ne nosivosti, postupak je analogan dokazu klasi~-no armiranih konstrukcija 'po teoriji loma' - primenjuje se model re{etke sa promenljivim nagibom pritrisnutih dijagonala. Povoljan efekat prethodnog naprezanja uvodi se preko sredi{njeg napona pritiska usled prethodnog naprezanja σk =Nk / Fb , kao i putem redukcije transverzalne sile Tq usled spolja{njih optere}enja u preseku, za vertikalnu komponentu sile u kablu koji je u nagibu β , slika 4.7:

(4.8)

121 )1(

b

q

b

bk

b

kttb W

Mke

FN

−+=σ

212 )1(

b

q

b

bk

b

kttb W

Mke

FN

+−=σ

b

ktbT F

N=0σ

βsinkxq NTT −=

4- 12

Ukoliko se dokaz pouzdanosti preseka bez prslina vr{i prema metodologiji dopu{tenih na-pona, pri uticajima usled eksploatacionih optere}enja, tada moè da se primeni klasi~no re{enje otpornosti materijala, i odredi vrednost glavnog napona zatezanja σ2 :

(4.9) gde je σb - napon pritiska usled prethodnog naprezanja i ostalih spoljnih optere}enja, a

(4.10) poznati izraz za prora~un napona smicanja τ preseka bez prslina. Na slici 4.8 prikazan je presek sa sra~unatim normalnim naponima σ , slika 4.8.b, odnosno naponima smicanja τ , slika 4.8.c. Glavni napon zatezanja prema izrazu (4.9) obi~no ima maksimalnu vrednost u teì{tu preseka Tb , i tu vrednost treba uporediti sa dopu{tenim vrednostima, prema PNB71, na primer.

Propisima PNB71 definisane su dve vrednosti glavnih napona zatezanja: nià vrednost (0,7MPa za MB30, na primer, slika 4.3), koja se dozvoljava bez prora~una osiguranja armaturom glavnih napona zatezanja, i vi{a vrednost (1,5MPa za MB30, na primer, slika 4.3), koja ne sme da se prekora~i, ~ak i ako se presek moè osigurati armaturom. Ako je ta vrednost prekora~ena, treba menjati ili marku betona, ili {irinu preseka, ili inter-venisati pove}anim prethodnim naprezanjem. Ako je vrednost glavnog napona zatezanja izmedju ove dve granice, treba izvr{iti osiguranje glavnih napona zatezanja, postavljanjem

q

Rq

β Nkx

Tq

x

Nk

TL

α

Slika 4.7 Redukcija transverzalne sile u preseku

zbog nagiba kablova

Tb

dd 2

d 1

2

+N

+M

e k

Rk

1a.) σ1

σ2

σ0

b.)

τ0

c.) d.) ∆=1ϕ

cosϕϕ

α

ZuDb

σ2 σ1

Prslina

Uzengije

eu

Slika 4.8 Dokaz i obezbedjenje glavnih napona zatezanja - toerija dopu{tenih napona

22

2 42τσσσ +−= bb

bITS

b

=τ

4- 13

vertikalnih uzengija, na primer, slika 4.8.d. Potrebna povr{ina uzengija fau , sa 'se~no{}u' m , odredjuje iz izraza

(4.11) gde su: σ2 - maksimalna vrednost glavnog napona zatezanja po visini preseka, prema izrazu (4.9); b - {irina preseka (obi~no rebra); σudop - dopu{teni napon u uzengijama (240MPa, u slu~aju rebraste armature RA400/500, videti i BAB87, tabela 23). 4.4 DOKAZ GRANI^NOG STANJA LOMA SAVIJANJEM Kao {to teorija grani~nih stanja ipak zahteva da se naponi pritiska u betonu drè pod kon-trolom, tako i teorija dopu{tenih napona podrazumeva da je ipak potrebno dokazati si-gurnost od loma popre~nog preseka, {to je osnovni pojam teorije grani~nih stanja. 4.4.1 Kapacitet nosivosti na savijanje prethodno napregnutih preseka Da bi se odredila sigurnost preseka u pogledu loma savijanjem, potrebno je odrediti kapa-citet nosivosti preseka, tzv. 'moment loma preseka' MRu . Ova veli~ina je karakteristika preseka, i ne zavisi od toga da li 'presek pripada' stati~ki odredjenoj, ili stati~ki neodredje-noj konstrukciji. Za odredjivanje kapaciteta nosivosti, dozvoljava se deformacija preseka do dostizanja kapaciteta deformacija betona, ili do dostizanja velikih izduènja ~elika, pri koji-ma presek postaje 'neupotrebljiv', zbog prevelikih deformacija-rotacija u slu~aju savijanja, kao i pojave prevelikih prslina - pukotina. Zavisnost napona i dilatacija - radni dijagram betona prikazan je na slici 4.9.a. Umesto poznate krive parabola-prava, za prora~un kapaciteta nosivosti preseka moè da se usvoji i pravougaona aproksimacija, sa maksimalnim naponom u betonu αfC , gde je fC ~vrsto}a cilindra. Koeficijent α treba da obuhvati uticaj dugotrajnih dejstava na ~vrsto}u betona, i obi~no se usvaja α ≅ 0,85. Pona{anje standardne rebraste armature RA400/500, odnosno uàdi za prethodno napreza-nje, opisano je bilinearnim krivama na slici 4.9.b. Iako uàd za prethodno naprezanje ne-maju izraènu granicu velikih izduènja, za prora~un kapaciteta nosivosti preseka dozvolja-va se aproksimacija sa konstantnim naponom pri dilatacijama iznad granice 'velikih izduè-nja', σky = 0,9 σkz , gde je σkz napon kidanja uèta, slika 4.9.b. Iako ~elici mogu da izdrè znatne dilatacije do dostizanja kapaciteta deformacija, slika 1.12, toliki se kapacitet ne moè racionalno iskoristiti, jer beton ne moè da ih prati (osim u slu~aju zemljotresa, kada se ~elik 'pu{ta' da se razvla~i). Stvar je procene, ali se obi~no usvaja da se kapacitet nosivosti - 'lom preseka razvla~enjem ~elika' dostiè pri dilatacijama ~elika od ∆ε = 10 , slika 4.9.b. Na slici 4.10 prikazan je presek sa rezultuju}im kablom sa donje strane preseka, srednji presek proste grede, na primer. Za veli~inu sile u kablu za prethodno naprezanje, pri kojoj se odredjuje kapacitet nosivosti preseka na savijanje MRu , obi~no se usvaja trajna vred-nost sile Nkt - najmanja vrednost sile preostala nakon svih gubitaka. U odnosu na poznati postupak odredjivanja kapaciteta nosivosti klasi~no armiranih preseka, jedina razlika je u tome {to jedan deo ~elika u preseku - kablovi, pre pojave spoljnih optere}enja ve} ima

mb

ef

udopu

au

σσ 2=

4- 14

zate~enu, po~etnu dilataciju zatezanja εkt = σkt / Fk , ta~ka (1 ) na slici 4.10.b. Da bi se presek doveo u stanje loma savijanjem, treba savladati i kontra momente usled sile u kablu, na ekscentricitetu ebk . Zamislimo da smo u laboratoriji napravili model segmenta nosa~a duìne od recimo 1,0m, prethodno napregnutog silom Nkt prema slici 4.10. Osim uticaja prethodnog naprezanja, u segmentu prakti~no nema drugih uticaja, efekat sopstvene teìne segmenta je zanemarljiv. Efekat samo kablova, bilo bi stanje napona odnosno dilatacija opisano linijom (2) na slici 4.10.b - pritisak na donjoj strani, i zatezanje na gornjoj ivici preseka. Pri naponu pritiska σkd

(4.12) u betonu u nivou kabla, postignuta je dilatacija betona εkd =σkd / Eb. Pretpostavimo da su nakon toga montirani uredjaji koji }e na krajevima segmenta da unose momente savijanja. Da bi se poni{tila dilatacija εkd - rasteretio, i kona~no po~eo da zateè beton u nivou kabla, potrebno je da se aplicira moment savijanja koji }e da izazove izduènje betona i kabla

d

Fk

a.) b.)

1234

Tb

MRu

c.)

x βx

αfC

Db=Zk

Zk

z

εktεkd∆εku

εku

εbu

a kh

e bk

Slika 4.10 Stanje dilatacija u betonu i ~eliku pri dostizanju kapaciteta nosivosti preseka

σ

0,7 3,5

Dilatacija x 103

ε

σ

αfC

a.)5 10

Dilatacija x 103

σky=0,9σkz

σkz

ε

εkt

σvRA400/500

b.)

Uè

∆ε

Slika 4.9 Radni dijagrami betona, armature i ~elika za prethodno naprezanje

za prora~un kapaciteta nosivosti preseka

)1(2b

kb

b

ktkd k

eFN

+=σ

4- 15

(kablovi i beton su spojeni) za iznos εkd , linija (3) na slici 4.10.b Prema tome, u stanju u ko-me je dilatacija betona u nivou kabla jednaka nuli - stanje dekompresije preseka, ukupna dilatacija ~elika za prethodno naprezanje iznosi εkt + εkd . Time je stanje dilatacija u nivou kabla dovedeno na 'startnu poziciju', od koje se na dalje dozvoljava prirast dilatacija ∆εku , do usvojene maksimalne vrednosti ∆ε = 10 . Na dalje, algoritam je isti kao i u slu~aju klasi~no armiranih preseka, treba odrediti stanje dilatacija betona εbu i ~elika ∆εku pri kojima je zadovoljen uslov ravnoteè normalnih sila u preseku, Db = Zk (pravo savijanje, bez spolja{nje normalne sile), linija (4) na slici 4.10.b. Ukupna dilatacija kabla iznosi εkt + εkd + ∆εku , i njoj odgovara odredjeni napon u ~eliku, prema radnom dijagramu na slici 4.9.b Sa poznatom vredno{}u dilatacija, moè da se odredi poloàj neutralne linije x , krak unutra{nji sila z , sila Zu u kablu, odnosno sila Dbu u betonu pri dostizanju kapaciteta nosi-vosti na savijanje MRu - 'lomu preseka'

(4.13) Problem moè da se defini{e analiti~ki, ali je najjednostavnije da se re{i iterativno, proba-njem.

Ukoliko je u pitanju najop{tiji slu~aj, presek sa vi{e slojeva armarure i kablova, optere}en i spolja{njom grani~nom normalnom silom Nu = γN , zadatak se re{ava na isti na~in, samo {to treba voditi ra~una o dilatacijama vi{e slojeva ~elika, i u uslove ravnoteè normalnih sila u preseku uvrstiti i spolja{nju normalnu silu Nu - pri zadatoj 'sili loma', odrediti kapacitet nosivosti na savijanje MRu , slika 4.11. Ako model obuhvata i armaturu i ~elik za prethodno naprezanje u zoni donje ivice preseka, koji sloj proglasiti referentnim za pra}enje prirasta dilatacija ∆ε ~elika? Da bi algoritam bio jedinstven (zbog programiranja, na primer), neka to i dalje bude nivo kablova. 4.4.2 Kapacitet deformacija-rotacija prethodno napregnutih preseka Prethodno sra~unati kapacitet nosivosti preseka daje uvid u nivo spoljnog optere}enja pri kome }e presek da postane 'neupotrebljiv' - nastaje 'lom preseka' savijanjem. Sa poznatim dilatacijama pri lomu, moè da se odredi i krivina preseka pri dostizanju kapaciteta nosivosti, κu = (εbu + ∆εku )/ h , jedna od ta~aka dijagrama moment-krivina preseka, koji daje potpun uvid u odgovor preseka na spoljna optere}enja. Ukoliko se za poznati presek odredi ova zavisnost, osim podatka o kapacitetu nosivosti preseka, dobi}e se uvid i u kapacitet deformacija preseka - tok i maksimalna vrednost krivine preseka, kada nastaje stvarni lom preseka, usled dostizanja kapaciteta deformacija betona ili ~elika u preseku.

d

Fk1

a.) b.)

Fa

Fk2

1234

Tb

Nu

MRu

a k1h

x βx

αfC

Db

Zk1

Zk2

Za

a k2

εk1tεk1d∆εk1u

εk1u

εbu

∆εau

∼εk2u

c.)

Nu

Slika 4.11 Stanje dilatacija u betonu i vi{e slojeva ~elika pri dostizanju kapaciteta nosivosti preseka

zDzZM buuRu ==

4- 16

Za slu~aj klasi~no armiranih preseka, algoritam za formiranje dijagrama prikazan je u BAB87, deo 2.7.1 - Prora~un vitkih armiranobetonskih elemenata. Modifikovan algoritam za slu~aj prethodno napregnutih preseka prikazan je na slici 4.12. Kao i u slu~aju odredjivanja kapaciteta nosivosti, razlika je u tome {to treba voditi ra~una o po~etnim dilatacijama εk1t ~elika za prethodno naprezanje, slika 4.12.b. Za pretpostavljenu krivinu preseka κ, itera-cijama (linije 1 i 2) se traì stanje dilatacija (linija 3 ), pri kome su zadovoljeni uslovi ravno-teè normalnih sila u preseku. Za to stanje dilatacija i napona, odredjuje se moment savi-janja unutra{njih sila, i dobija jedna od ta~aka dijagrama moment-krivina. Za ilustraciju, na slici 4.15 odnosno 4.16 prikazana je veza moment(kNm)-krivina(rad/km) dva prethodno napregnuta popre~na preseka, koji se razlikuju samo u {irini gornje flan{e. Oba nosa~a prethodno su napregnuta sa 13 uàdi nominalnog pre~nika 13mm, sa dilatacijom pri utezanju od 6,5 (napon na presi od oko 1300MPa). Radni dijagram betona usvojen je sa opadaju}om granom, slika 4.13. Radni dijagram uàdi, nakon dostizanja kapa-citeta nosivosti, usvojen je u nagibu od 2.5% - ~elik ima osobinu oja~anja, slika 4.14. Ukupna dilatacija ~elika ograni~ena je na 43 (dodatna dilatacija ∆ek=43-6,5=35,5), stvar izbora. Analiza je uzvr{ena programom Response 2000, sa Univerziteta u Torontu.

Oba preseka imaju pribli`no isti kapacitet nosivosti MRu ≅ 3300kNm, ali se kapacitet deformacija preseka drasti~no razlikuje. Nakon dostizanja kapaciteta nosivosti (prelazak na poloènu liniju dijagrama), oba preseka nastavljaju da rotiraju pri prakti~no konstant-nom momentu savijanja - pona{aju se kao 'plasti~ni zglobovi'. Posmatrano deformacijski, pri prinudnom krivljenju preseka, otpor krivljenju - moment savijanja raste do dostizanja kapaciteta nosivosti, nakon ~ega presek rotira bez pruànja daljeg otpora (otuda naziv 'zglob'), do kona~nog loma dostizanjem kapaciteta deformacija nekog od materijala. Presek sa uòm gornjom flan{om (400mm) ima kapacitet deformacija od oko 11rad/km, pri dilatacijama u betonu/~eliku od 3,5/14, slika 4.15, dok isti presek, ali sa {irom gornjom

dFk1

a.) b.)

Fa

Fk2

Tb

a k1h

x βx

αfC

Db

Zk1

Zk2

Za

εk1t∆εk1

εk1

εb

∆εa c.)

εk2∆εk2

κ Nu

Mu

3 12

(0,0035)

(0,010)

a k2

Slika 4.12 Algoritam odredjivanja zavisnosti moment-krivina preseka

Concrete

ec' = 2.03 mm/m

fc' = 35.0 MPa

ft = 1.87 MPa

Slika 4.13 Radni dijagram betona

P-Steel

εp = 43.0 mm/m

fpu = 1860 MPa

Low Relax

Slika 4.14 Radni dijagram uàdi za

prethodno naprezanje

4- 17

flan{om, ima duplo ve}i kapacitet deformacija od oko 22rad/km, pri dilatacijama u beto-nu/~eliku od 3,4/28, slika 4.16.

U oba slu~aja do otkaza dolazi usled iscrpljenjem maksimalnih dilatacija betona, ali presek sa uòm flan{om i manjom povr{inom pritisnutog betona otkazuje ranije, zbog ranijeg do-stizanja grani~nih dilatacija - kapaciteta deformacija betona - manje je 'ìlav'-duktilan u odnosu na presek sa ve}om povr{inom gornje flan{e. Iako je beton taj koji diktira kapa-citet deformacija preseka, izraèna horizontalna grana dijagrama ukazuje da je ~elik u{ao u oblast velikih izduènja, pa se lom preseka obi~no karakteri{e kao 'lom po ~eliku'. Ukoliko presek uop{te nema gornju flan{u, do loma dolazi progresivnim popu{tanjem be-tona - nalik 'krtom lomu preseka', sa krivinama preseka od oko 5rad/km, slika 4.17.

Kapacitet nosivosti je isti kao i ranije, ali je kapacitet deformacija snièn. Projektant bi mogao da kaè da je presek optimalan, ima jednostavnu oplatu i potrebnu nosivost. Ovakav slu~aj je dozvoljen, ali ipak, alo je mogu}e, prednost treba dati presecima koji imaju ve}i kapacitet deformacija, kod kojih 'lom nastupa izraènijim razvla~enjem ~elika', posebno kos stati~ki neodredjenih konstrukcija. Kapacitet deformacija osnova je za analizu konstrukcija u post-elasti~nom podru~ju deformacija, o ~emu }e ne{to biti re~eno u nastavku.

Mom

ent (

kNm

)

Curvature (rad/km)

Moment-Curvature

0.0

500.0

1000.0

1500.0

2000.0

2500.0

3000.0

0.0 5.0 10.0 15.0 20.0 25.0

M-kfc' = 35.0 MPafpu = 1860 MPa 400

700

200

1500

15 - S13∆εp = 6.50 mm/m

-0.48 0.34

top

bot

-1.15 5.18

top

bot

-3.37 28.67

top

bot

M-kfc' = 35.0 MPafpu = 1860 MPa 400

700

200

1500

15 - S13∆εp = 6.50 mm/m

-0.48 0.34

top

bot

-1.15 5.18

top

bot

Slika 4.16 Moment-krivina preseka sa {irokom gornjom flan{om

Mom

ent (

kNm

)

Curvature (rad/km)

Moment-Curvature

0.0

500.0

1000.0

1500.0

2000.0

2500.0

3000.0

0.0 2.0 4.0 6.0 8.0 10.0 12.0

M-kfc' = 35.0 MPafpu = 1860 MPa

400

400

200

1500

15 - S13∆εp = 6.50 mm/m

-0.54 0.19

top

bot

-1.69 5.00

top

bot

-3.45 13.91

top

bot


400

400

200

1500

15 - S13∆εp = 6.50 mm/m

-0.54 0.19

top

bot

-1.69 5.00

top

bot

Slika 4.15 Moment-krivina preseka sa uskom gornjom flan{om

Mom

ent (

kNm

)

Curvature (rad/km)

Moment-Curvature

0.0

500.0

1000.0

1500.0

2000.0

2500.0

0.0 2.0 4.0 6.0 8.0 10.0


400

200

200

1500

15 - S13∆εp = 6.50 mm/m

-0.68 0.19

top

bot

-2.78 5.08

top

bot


400

200

200

1500

15 - S13∆εp = 6.50 mm/m

-0.68 0.19

top

bot

Slika 4.17 Moment-krivina preseka bez gornje flan{e

4- 18

Zbog postojanja napona prethod-nog naprezanja u kablu σkt , algo-ritam analize kapaciteta nosivosti, kao i veze moment -krivina znat-no se zakomplikovao, u odnosu na algoritme klasi~no armiranih preseka. Za popre~ni presek i uàd prema slici 4.17, efekat veli-~ine trajnog napona u kablu σkt , analiziran je za dva grani~na slu-~aja: trajni napon jednak 1200 MPa, odnosno trajni napon jednak nuli (slu~aj 'klasi~no ar-miranog preseka', sa ~elikom ~ija je granica kidanja 1860MPa, slika 4.14). Kapacitet nosivosti ne zavisi od prednapona u ~eliku, razlikuju se deformacije - krivine

preseka, slika 4.18. Zbog toga {to spoljni moment prvo treba da poni{ti po~etno stanje na-pona usled prethodnog naprezanja, i dovede napone u betonu u nivou kabla u stanje zate-zanja, dijagram moment-krivina preseka sa prednaponom u ~eliku je pomeren u levo, str-miji je na uzlaznoj grani (presek je kru}i), a presek otkazuje pri niìm krivinama preseka, jer je, zbog postojanja prednapona, potrebna manja krivina koja }e ~elik da dovede na granicu velikih izduènja. Presek bez prednapona u uètu ima manju krutost na savijanje, kasnije dostiè jer spoljni moment brzo izaziva prslinu u zategnutoj zoni, krivina preseka pri otkazu ne{to je ve}a, jer u preseku nema normalne sile pritiska usled prethodnog naprezanja, pa otkaz betona nastaje kasnije. Ono {to je zajedni~ko za oba slu~aja, to je da je prisutno razvla~enje ~elika preko granice velikih izduènja, σky na slici 4.9 - da 'lom preseka' nastaje uz velika izduènja ~elika za prethodno naprezanje, da je karakter loma 'duktilan'. Za analizirani ~elik sa granicom kidanja σkz=1860MPa, i granicom velikih izduènja od oko εky=0,9σkz / Ek ≅ 8,4, grani~a velikih izduènja se dostiè kada ukupna dilatacija ~elika dostigne 8,4. Zbog razlike u po~etnoj dilataciji ~elika, prethodno napregnuti presek pri manjim krivinama dostiè grani-cu velikih izduènja (spoljni moment treba 'da doda' jo{ 8,4-6,5=1,9), u odnosu na presek sa ~elikom bez prednapona (spoljni moment treba da ostvari celih 8,4). Osim {to je dobro razumeti 'kako stvari rade', ova analiza ima i vrlo prakti~an zna~aj. Ako znamo da }e pri 'lomu preseka' ~elik za}i u podru~je velikih izduènja, tada se kapacitet nosivosti preseka - 'moment loma preseka' moè brzo proceniti, izraz (4.13) glasi

(4.14) gde treba pretpostaviti krak unutra{njih sila z , slika 4.10.

-500

0

500

1000

1500

2000

2500

3000

3500

-10 0 10 20 30 40Krivina (rad/km)

Mom

ent (

kNm

)

σkt=0

σkt=1300 MPa

Slika 4.18 Moment-krivina preseka sa slike 4.16,

sa i bez po~etnog napona u uàdima

zFzZM kkyuRu σ==

4- 19

4.4.3 Lom stati~ki odredjenih konstrukcija Pretpostavimo da smo projektovali prethodno napregnuti nosa~ sistema proste grede, ras-pona L=30m (30000mm), sa presekom i uàdima prema slici 4.19, du` celog raspona. Ono {to znamo, to je da je kapacitet nosivosti preseka oko MRu=3300kNm, a znamo i kapa-citet deformacija preseka - vezu moment-krivina, slika 4.16. Postavlja se pitanje kakav }e biti odgovor konstrukcije pri postupnom pove}anju spoljnog podeljenog optere}enja q . Analiza odgovora grede na postupno pove}anje spoljnog optere}enja uradjena je progra-mom Response 2000, a dijagram spoljno optere}enje (kN/m) - ugib u sredini nosa~a (mm) prikazan je na slici 4.20. Dijagram promene krivina preseka du` polovine raspona u stadi-jumu loma pri maksimalnom ugibu od oko 300mm, prikazan je na slici 4.21.

Do otkaza, loma konstrukcije sistema proste grede, dolazi pri intenzitetu spoljnog optere-}enja qu = 29,3kN/m - grani~no optere}enje, i ugibu u sredini raspona od δu = 292mm, slika 4.16. Pri grani~nom optere}enju, moment savijanja u preseku u sredini iznosi Mu = quL

2 / 8 = 29,3x302 / 8 = 3296kNm, {to se i o~ekivalo, jer upravo je toliki kapacitet nosi-vosti preseka u sredini raspona - moment loma preseka slika 4.16. Na slici 4.21 vidi se da su najve}e krivine preseka lokalizovane u srednjoj zoni nosa~a, sa vrednostima od oko 5,5-6rad/km. Sa druge strane, sa slike 4.16 moè da se zaklju~i da je pri krivini preseka od oko 5-6rad/km, presek upravo dostigao kapacitet nosivosti, i da kapacitet deformacija

q

L=30000mm

Lp

Slika 4.19 Nosa~ sa konstantnim presekom prema slici 4.14

Curva

ture

(rad

/km

)

Length along Member (mm)

Curvature Distribution

0.00.91.82.73.64.55.4

0 3000 6000 9000 12000 15000

Slika 4.21 Raspodela krivina preseka du` polovine

raspona pri lomu konstrukcije

Unifo

rm L

oadin

g (k

N/m

)

Maximum Deflection (mm)

Load-Max Deflection

0.05.0

10.015.020.025.0

-50.0 0.0 50.0 100.0 150.0 200.0 250.0 300.0

Slika 4.20 Veza optere}enje-ugib grede sa slike 4.16

2.462.053.133.091.15

0.830.82

0.120.070.06

0.830.460.15

Slika 4.22 Stanje prslina pri dostizanju loma konstrukcije (mm)

4- 20

preseka od ~ak 22 rad/km nije iskori{}en. To je ono {to je karakteristika stati~ki odredjenih konstrukcija, lom preseka je ujedno i lom konstrukcije. Dostizanjem kapaciteta nosi-vosti preseka u sredini raspona, naglo su po~ele da rastu rotacije preseka, bez zna~ajnijeg prirasta optere}enja - presek je pre{ao u stanje plasti~nog zgloba, a konstrukcija u stanje plasti~nog mehanizma, po~ela je da tone u srednjem delu , slika 4.23. Ako je krutost preseka na savijanje odnos momenta i krivine preseka, EI=M / κ , dostizanje horizon-talnog platoa na dijagramu moment-krivina, slika 4.16, zna~i da je srednja zona nosa~a izgubila krutost na savijanje, 'pretvorila se u zglob.' Prosta greda sa zglobom u sredini vi{e nije prosta greda, nije vi{e ni konstrukcija, to je lanac {tapova koji je izgubio stabilnost, koji se pri dostignutom grani~nom optere}enju kre}e - plasti~ni mehanizam. Plasti~ni zglob se kod konstrukcija ne formira u jednom preseku, to ne bi ni valjalo. Plasti~ni zglob je deo konstrukcije na 'duìni plasti~nog zgloba' Lp , slika 4.23.a. Na pitanje, koliki je globalni koeficijent sigurnosti od loma stati~ki odredjene konstrukcije, odgovor je da je jednak koeficijentu sigurnosti od loma kriti~nog preseka, koji je opet jednak odnosu kapaciteta nosivosti na savijanje MRu , i najve}eg momenta savijanja u eksploataciji Mq

(4.14) Kako se dolazi do vrednosti MRu - 'momenta loma preseka' (i konstrukcije!), pokazano je u delu 4.4.1. To je definicija loma koja je usvojena u BAB87, kao i u PNB71 - koncept glo-balnog koeficijenta sigurnosti. Prema Evrokodu, potrebno je obezbediti da je SR ≥ Sd , gde su: SR - kapacitet nosivosti preseka, sra~unat na osnovu radnih dijagrama betona i ~eli-ka, redukovanih koeficijentima sigurnosti za materijal, Sd - grani~na vrednost spolja{-njeg momenta savijanja, usled pojedina~nih dejstava pomnoènih sa koeficijentima sigur-nosti za optere}enja - koncept parcijalnih koeficijenata sigurnosti. 4.4.4 Lom stati~ki neodredjenih konstrukcija Na pitanje 'kog je stati~kog sistema nosa~ na slici 4.24, i gde }e da se pojavi lom usled pode-ljenog spolja{njeg optere}enja?', ubedljivo naj~e{}i odgovor bio bi, 'da je u pitanju prethod-no napregnuti kontinualni nosa~ (vide mu se kotve), i da }e lom da nastane iznad srednjeg oslonca - gde su najve}i momenti savijanja'.

L=30000mmLp

a.)

b.)Plasti~ni zglob

Slika 4.23 Plasti~ni mehanizam konstrukcije

Kotva Kotva

Slika 4.24 O ~emu se radi?

qRu MM /=γ

4- 21

Iz ~injenice da se vide kotve, logi~no je pretpostaviti da postoje i kablovi za prethodno naprezanje, ali ko zna, mo`da je ponestalo para, a sve~ano otvaranje nije moglo da se odloì? Pogledajmo {ta ima unutra, slika 4.25.

Iako spoljni izgled sugeri{e da je u pitanju kontinualni nosa~, dispozicija kablova ukazuje da je koncept projektanta bio da da napravi dve proste grede. Nakon zavr{ene montaè i obavljanja deformacija usled sopstvene teìne, izvodja~i su plombirali nastavak - 'da nosa~ bude lep{i'. Pri daljem nano{enju optere}enja q , nearmirani presek nad osloncem }e da pretrpi lom, kada se prekora~i ~vrsto}a betona nastavka na zatezanje, slika 4.26. Pri porastu optere}enja, konstrukcija se adaptirala tako {to se nad srednjim osloncem 'otvorio zglob', ali ne plasti~ni, ve} 'krti zglob'. To jeste lom preseka, ali nije i lom konstrukcije, mada deluje ru`no i stvara paniku kod korisnika.

Do loma stati~ki odredjenih delova konstrukcije, dolazi dostizanjem kapaciteta nosivosti preseka u sredini raspona, kao i u prethodnom primeru, slika 4.27. Pri tome, optere}enja pri kojem nastaje lom, q1u i q2u ne moraju da budu ista za oba polja, dovoljno je da kablovi nisu ugradjeni na istom ekscentricitetu.

Ako se kao projektantski koncept usvoji kontinualni nosa~, onda to treba obezbediti, ne samo stati~kim prora~unom odgovaraju}eg sistema, ve} i detaljima, tako da sistem proradi prema o~ekivanju. Konstrukcija }e pri realnom optere}enju da se deformi{e, da otvara prsline pa i 'plasti~ne zglobove', sve dok ne nadje stanje deformacija pri kome }e da se razviju potrebne unutra{nje sile, uravnoteène sa trenutnim spolja{njim optere}e-njima. Ako ne nadje, onda }e pre}i u mehanizam i 'odustati' - nastupi}e lom konstrukcije. Razmotrimo jedan drugi slu~aj. Prethodno napregnut kontinualni nosa~ simetri~nog preseka, i dijagram maksimalnih momenata M u eksploataciji usled podeljenog spoljnog optere}enja, prikazani su na slici 4.28. Kablovi duìne 2L ukotvljeni su na krajevima

TLFiksne kotve

Slika 4.25 Stati~ki sistem - dve proste grede

TLq

Pukotina

Slika 4.26 'Lom preseka' nad srednjim osloncem

δ 1u δ 2u

q1u q2u

Slika 4.27 Lom preseka i konstrukcija prostih greda u polju

4- 22

konstrukcije, tako da je povr{ina Fk ~elika za prethodno naprezanje konstantna du` raspona. Uz pretpostavku da je prethodno naprezanje izvr{eno istovremeno sa oba kraja (ili - sa jednog, pa sa drugog kraja, ili - pola kablova sa jedne strane, a druga polovina sa druge strane nosa~a), promena rezultuju}e sile prethodnog naprezanja Nkt nakon svih gubitaka, prikazana je na slici 4.28.c. Pitanje je pri kom spolja{njem optere}enju qu }e da nastane lom preseka odnosno lom konstrukcije?

Pretpostavimo da je presek simetri~an, i da je ekscentricitet e2 kablova u polju, jedan eks-centricitetu e1 kablova iznad srednjeg oslonca. Ako je povr{ina kabla Fk konstantna, tada su kapaciteti nosivosti preseka u polju MRu2 , i preseka iznad oslonca MRu1 , pribli`no jednaki, jer je i krak unutra{nji sila z pri dostizanju kapaciteta nosivosti pribli`no jednak. Kako je pokazano, nejednake trajne sile prethodnog naprezanja Nkt , slika 4.28.c, uti~u na deforma-cije preseka, ali ne i na kapacitet nosivosti preseka. Sve dok konstrukcija na spolja{nja optere}enja odgovara linearno elasti~no, oblik dijagra-ma momenata je kao na slici 4.28.a, moment u sredini raspona jednak je polovini momenta iznad srednjeg oslonca M . Pretpostavimo da }e to tako da ostane bar do otvaranja prvog plasti~nog zgloba konstrukcije. S obzirom da su kapaciteti nosivosti karakteristi~nih pre-seka izjedna~eni, pri porastu spolja{njih optere}enja qu , prvi plasti~ni zglob otvori}e se iznad oslonca, na mestu ve}ih momenata savijanja, pri dostizanju kapaciteta nosivosti preseka iznad oslonca MRu1 , pri spolja{njem optere}enju qu1 , slika 4.29.a. Pri daljem po-rastu optere}enja, moment savijanja iznad oslonca MRu1 ostaje prakti~no konstantan, rastu momenti u polju, sve dok se ne dostigne kapacitet nosivosti preseka u polju MRu2 , pri spo-lja{njem optere}enju qu2 , slika 4.29.b. Za razliku od stati~ki odredjenih konstrukcija, dosti-zanje kapaciteta nosivosti nekog od preseka stati~ki neodredjene konstrukcije ne mora da izazove i lom konstrukcije. Nakon pojave prvog plasti~nog zgloba, konstrukcija je pre{la u stati~ki odredjen sistem, a da bi nastao lom konstrukcije, treba da predje u pla-sti~ni mehanizam - stati~ki neodredjene konstrukcije se 'paraju', sukcesivnim otvaranjem plasti~nih zglobova.

Nkt(L)Nkt(L/2)c.)

a.) TL

e 1

f

LL/2 L/2b.) e 2

L/2 L/2 L

M

M/2

max

M

M

Slika 4.28 Kontinualni nosa~ sa konstantnom povr{inom kablova

4- 23

Izloèni scenario je teorijski mogu}, ako plasti~ni zglob koji se prvi otvorio ima potreban kapacitet deformacija - ima potrebnu duktilnost rotacija, da moè da nastavi da rotira za ugao θpl sve dok se i preseku u polju ne dostigne kapacitet nosivosti, slika 4.29.b. Ako je presek nad osloncem nedovoljno duktilan - krt, nastupi}e lom tog preseka zbog dostizanja kapaciteta deformacija (slika 4.17, na primer), moment nad srednjim osloncem MRu1 se gubi, zbog ~ega naglo raste moment u polju za iznos MRu1 /2 , tako da pri ne{to ve}em optere}enju od qu1 , nastaje i lom u polju - lom konstrukcije. Uz pretpostavku da smo u stanju da obezbedimo potreban kapacitet deformacija prese-ka nad osloncem (pa`nja - ne samo nosivost!), scenario je zanimljiv - istim brojem kablova je prethodno napregnut kontinualani nosa~, iako su ra~unski momenti nad osloncem oko dva puta ve}i od momenata u polju! Analogija sa klasi~no armiranim konstrukcijama bila bi usvajanje iste koli~ine armature nad osloncem i u polju. Pre nego {to se krene u primenu ovoga 'trika', treba re{iti jo{ dva problema: kako }e da izgleda ovakva konstrukcija u eks-ploataciji, {ta je sa prslinama, a nismo jo{ odredili ni nivo optere}enja qu1 odnosno qu2 ! Odgovor na prvo pitanje je sli~an kao i u slu~aju klasi~no armiranih konstrukcija: ako je obezbedjena potrebna duktilnost preseka, dozvoljava se preraspodela uticaja stati~ki neodredjenih nosa~a, ali ne ba{ ovolika, kao u ovom primeru (koliko je dozvoljeno, i pod kojim uslovima, treba videti u propisima koji se primenjuju, obi~no ne vi{e od 30%). Ipak treba vi{e armature (kablova) nad osloncem negu polju, ina~e }e prsline u eksploataciji biti prevelike, jer }e konstrukcija ve} pri eksploatacionom nivou optere}enja 'krenuti u preraspodelu' uticaja. Odgovor na drugo pitanje deluje jednostavno. Ako je 'moment loma' preseka nad oslon-cem MRu1 , a dijagram momenata usled spolja{njih optere}enja je kao za linearno elasti~an kontinualni nosa~, tada je moment nad srednjim osloncem usled optere}ena qu1 jednak Mqu1 = qu1 L

2 / 8 . Da bi se dostigao kapacitet nosivosti, treba da je Mqu1 = MRu1 , odnosno (4.15)

I {ta je tu nejasno? Uporedili smo spolja{nje momente sa nosivo{}u preseka, izraz (4.14)?

qu1

Prvi plasti~ni zglob

qu2

Drugi plasti~ni zglob

MRu1

MRu1

MRu2 MRu2

a.)

b.)θpl

θpl

Slika 4.29 Sukcesivno otvaranje plasti~nih zglobova duktilne konstrukcije

211 /8 LMq Ruu =

zFzZM kkyuRu σ==

4- 24

To je sigurno ta~no u slu~aju klasi~no armiranih, kao i stati~ki odredjenih prethodno na-pregnutih konstrukcija - moment savijanja u nekom preseku usled prethodnog naprezanja jeste sila pomnoèna ekscentricitetom, Mk = Nk ebk , ako je presek bez prslina, odnosno sila prethodnog naprezanja pomnoèna krakom unutra{njih sila, Mk = Zk z , ako je presek do-stigao kapacitet nosivosti. Ali, u slu~aju stati~ki neodredjenih konstrukcija efekat pret-hodnog naprezanja nije samo to - zbog spre~ene slobodne deformacije, utezanjem kablova u konstrukciju su uneti i tzv. 'sekundarni uticaji', reakcija oslonaca na deformaciju usled prethodnog naprezanja, gde su oni sada? Mogu}i odgovor je - 'pa nema ih, jer je nakon otvaranja plasti~nih zglobova, sistem postao stati~ki odredjen, i svi uticaji prethodno nastali zbog spre~enih slobodnih deformacija relaksiraju, nestaju'. Ako je to ta~no, onda je sve do sada re~eno u redu, izraz (4.15) defini{e nivo spolja{njeg optere}enja qu1 , i lako je potom odrediti i nivo optere}enja qu2 . Koliko god argument deluje logi~no, i dan danas je predmet diskusija, nije tako prosto. Utisak je da ve}ina propisa danas zahteva da se 'sekundarni uticaji' uzmu u obzir i u stadijumu otvaranja plasti~nih zglobova, ne gube se, i to kao doda-tni spolja{nji moment savijanja preseka - ∆Mks . Ako su momenti usled prethodnog naprezanja odredjeni metodom ekvivalentnog optere}enja, uz primenu tabli~nih re{enja ili ra~unara, kako odrediti, izdvojiti vrednost sekundarnog momenta ∆Mks u nekom preseku? Sekundarni moment savijanja ∆Mks u nekom preseku, jednak je razlici ukupnog momenta Mk usled prethodnog naprezanja, i momenta usled prethodnog naprezanja koji bi u tom preseku postojao da je sistem stati~ki odredjen, Mk0 = Nk e , gde je e - ekscentricitet kabla u odnosu na teì{te preseka (voditi ra~una o znaku momenata!)

(4.16) U konkretnom slu~aju, ukupni momenti usled prethodnog naprezanja prikazani su na slici 4.30.b, sra~unati uz pomo} ekvivalentnog optere}enja (pozitivan, kada zateè donju ivicu preseka) Moment nad osloncem Mk usled prethodnog naprezanja iznosi

a.)

TL

e 1

f

LL/2 L/2

e 2

b.)Mk

Mk/

2

qk

Slika 4.30 Izdvajanje vrednosti sekundarnog momenta iz ukupnog momenta usled prethodnog naprezanja

eNMM kkks −=∆

2

8L

fNq kk =

fNLL

fNLqM kk

kk ===8

88/2

22

4- 25

Prema izrazu (4.16), vrednost sekundarnog momenta ∆Mks1 u preseku nad srednjim oslon-cem je S obzirom da je f>e1 , ovaj moment zateè donju stranu nosa~a. U slu~aju f=e1 , sekundarni moment i{~ezava, trasa kablova je 'konkordantna', {to je ve} pokazano ranije. Kao {to je ve} re~eno, sekundarni momenti se tretiraju kao efekat spoljnog optere}enja, ulaze u kombinaciju uticaja u preseku sa ostalim spolja{njim optere}enjima. U konkretnom slu-~aju, pri dostizanju kapaciteta nosivosti nad srednjim osloncem, slika 4.29.a, uticaju spolja{njih optere}enja u tom preseku iznosi Kona~ni odgovor na pitanje - pri kom optere}enju qu1 se dostiè kapacitet nosivosti, i otvara plasti~ni zglob nad srednjim osloncem, glasi Generalno, sekundarni momenti smanjuju momente usled spoljnih optere}enja iznad oslonaca, ali pove}avaju momente u polju. S obzirom da se kombinuju sa ostalim spoljnim optere}enjima, na sekundarne momente se primenjuju i odgovaraju}i koeficijenti sigurnosti. Sa sekundarnim momentima kao delom uticaja usled spolja{njih optere}enja, globalni koeficijent sigurnosti od loma preseka iznad oslonca iznosi

(4.17) Ako se primenjuje metodologija parcijalnih koeficijenata sigurnosti, obi~no se za uticaje sekundarnih momenata usvaja γ = 1,0 . Komentar: Naj~e{}e se preseci stati~ki neodredjenih konstrukcija dimenzioni{u bez preraspodele momenata. Ukoliko bi se usvojila takva trasa i povr{ina kablova da svaki presek ima upra-vo zahtevani koeficijent sigurnosti od 'loma' - da konstrukcija u svim presecima ima ujedna-~enu pouzdanost, tada se stvaraju uslovi da se plasti~ni mehanizam formira 'trenutno', skoro istovremenim otvaranjem minimalnog potrebnog broja plasti~nih zglobova. U real-nim konstrukcijama tome niti se teì, a te{ko i da je ostvarljivo. 4.5 DOKAZ GRANI^NOG STANJA DEFORMACIJA Sve {to je potrebno za prora~un deformacija prethodno napregnutih nosa~a bez prslina, prikazano je u delu 3. Sra~unate vrednosti porede se sa dopu{tenim ugibima, koji su defi-nisani propisima. U slu~aju konstrukcija sa prslinama, za prora~un ugiba primenjuju se isti algoritmi kao i u slu~aju klasi~no armiranih konstrukcija.

)( 111 efNeNfNM kkkks −=−=∆

)(8 1

2

111 efNLqMMM tkuksquu −+−=∆+=

)/( ksqRu MMM ∆+=γ

[ ] 21118)(L

efNMq ktRuu −+=

4- 26

4.6 DOKAZ GRANI^NOG STANJA PRSLINA 4.6.1 Teorija dopu{tenih napona Predmet ovoga teksta je analiza prethodno napregnutih konstrukcija bez prslina. Ako se projekat radi prema teoriji dopu{tenih napona, prema vaè}em pravilniku PNB71 na pri-mer, tada se pojava prslina spre~ava ograni~avanjem maksimalne vrednosti napona zateza-nja u eksploataciji, slika 4.3. Medjutim, ni u tom slu~aju posao projektanta nije gotov. Ako

u preseku postoje zatezanja σb1 , slika 4.31, pot-rebno je rezultantu sila zatezanja Za , obezbediti armaturom Fa u zategnutoj zoni preseka

(4.18) gde su: Za - rezultuju}a sila zatezanja u betonu, =0,5σb1b0(d-x) prema slici 4.31; Sadop - dopu{teni napon zatezanja armature (definisano propisima, BAB87 na primer). Potrebna armatura, manjih pre~nika rasporedjuje se u okviru zategnute zone betonskog preseka.

Strah od pojave prslina uslovio je i zahtev da je potrebno dokazati da je koeficijent sigur-nosti od pojave prslina ve}i od γp = 1,15, gde je

(4.19) odnos momenta pri kome se otvara prslina Mp , i najve}eg momenta savijanja preseka u eksploataciji. Moment savijanja preseka pri kome se otvara prslina, sra~unava se iz uslova da je na zategnutoj ivici preseka dostignuta ~vrsto}a betona na zatezanje savijanjem βzs

(4.20) gde su: Wb1 - otporni moment oko zategnute ivice (bruto ili idealizovan presek), σbk1 - ivi~ni napon u betonu usled dejstva samo prethodnog naprezanja. Praksa pokazuje da je zadovoljenje zahtevane vrednosti koeficijenta sigurnosti mogu}e ako u preseku nema nspona zatezanja. Ako se dozvole zatezanja, te{ko da je mogu}e zadovoljiti i sigurnost od pojave prslina. 4.6.2 Teorija grani~nih stanja Danas je trend da se prsline dozvoljavaju i u prethodno napregnutom betonu, uz obavezan dokaz {irine prslina. 4.7 ZONE UVODJENJA SILE PRETHODNOG NAPREZANJA U oblastima nosa~a u kojima se vr{i uvodjenje sile prethodnog naprezanja u konstrukciju, vladaju specifi~ni naponski uslovi, o kojima se mora voditi ra~una.

σb2

d

Fk

Fa

σb1

xd-

xZa

b0

Slika 4.31 Obezbedjenje zatezanja armaturom

adopaapot ZF σ/=

)( 11 zsbkbp WM βσ +=

MM p

p =γ

4- 27

4.7.1 Prethodno naprezanje na stazi U slu~aju prethodnog naprezanja na stazi - adhezionog prethodnog naprezanja, nakon presecanja uàdi sila se iz uèta prenosi na beton jedino preko adhezije ~elika i betona. Da bi se sila uvela u beton, potrebna je izvesna duìna - duìna preno{enja lt0 , slika 4.32. Ova vrednost obi~no je definisana propisima. Prema Evrokodu, duìna uvodjena zavisi od kvaliteta betona, i iznosi (30-50) pre~nika uèta, za ~vrsto}e betonskog cilindra od 50-30MPa. Na ovoj duìni napon u uètu raste od nule na kraju uèta, do ra~unskog napona σk0 , slika 4.32.

Kako se element pribliàva grani~noj nosivosti, rastu i naponi u uètu. Duìna sudrenja ltu je duìna potrebna da se sa ~elika na beton pre-nese 'grani~na' sila/napon u uètu, pri ~emu se za 'grani~nu' vrednost napona moè usvojiti granica velikih izduènja. Kao i u klasi~nom betonu, uè treba za duìnu sidrenja produìti iza preseka u kome je potrebna puna sila uèta Nku , slika 4.32.b. U zoni sidrenja mogu da se pojave popre~ni naponi zatezanja, pa je poèljno da se na kraje-vima elementa predvide vertikalne uzengije.

4.7.2 Naknadno prethodno naprezanje Na mestu uvodjenja sile prethodnog naprezanja pomo}u kotvi, dozvoljavaju se vrlo veliki naponi pritiska na beton ispod samih podlo`nih plo~a kotve. Da bi se ova lokalna zona be-tona utegla, i spre~ilo lokalno bo~no cepanje betona, odmah uz podlo`nu plo~u postavlja se spiralna armatura - 'spirala', koja je obavezni deo kotve.

Iza kotve, trajektorije napona pritisaka se polako {ire i 'ulivaju' u presek elementa, {to za posledicu ima pojavu bo~nih napona zatezanja u betonu, na duìni nosa~a pribli`no jedna-koj visini elementa ('St.Venantov-a hipoteza'). Ove sile zatezanja mogu da izazovu pojavu horizontalnih prslina, zbog ~ega je potrebno izvr{iti kontrolu, i armirati zonu uvodjenja vertikalnim uzengijama. Na slici 4.33 prikazani su dijagrami popre~nih napona i rezultuju}a sila zatezanja Z u horizontalnom preseku nosa~a kroz osu kotve, za dva poloàja kotvi. Analiza je uradjena

lt0ltu

σ k0 σ ku

a.)

b.) Nk0

Nku

Slika 4.32 Duìna preno{enja i sidrenja

a.) b.)Z

Z

Slika 4.33 Sile 'cepanja' betona u zoni uvodjenja sile prethodnog naprezanja

4- 28

metodom kona~nih elemenata i programom 'Panel Pro', firme Radimpex iz Beograda. Dosta dugo u praksi su kori{}ena pribli`na re{enja ovog problema teorije elasti~nosti, koja se danas mogu lako modelirati kona~-nim elementima, kao {to je prikazano. Armaturu sra~unatu iz sile Z , treba rasporediti prema dijagramu pore~nih napona zatezanja. Na slici 4.34 prikazane su trajektorije na-pona za slu~aj kotve na donjem kraju, prema slici 4.33.a. Preko trajektorija su iscrtani '{ta-

povi stati~ki odredjene re{etke', koji prate glavne tokove sila u oblasti uvodjenja. Puna linija prikazuje zategnute {tapove, a crtkasta pritisnute. Ovo je samo ilustracija metode 'pritisnutih {tapova i zatega', koja se danas preporu~uje za primenu, i bazira se na konceptu grani~nih stanja. Projektant treba da ima ideju kako izgledaju trajektorije napona elasti~nog re{enja, pa da na osnovu toga formira jednu 'mogu}u stati~ki odredjenu re{etku', sra~una sile u {tapovima i izvr{i obezbedjenje uzengijama pravaca glavnih zatezanja. Stvar je u razvoju. U Ameri~koj literaturi dosta je zastupljen model analize uvodjenja prikazan na slici 4.35. Model se bazira na elasti~nom re{enju, i metodologiji dopu{tenih napona. Spiralna ar-matura kojom se obezbedjuju loklani naponi ispod kotve (A), kao i vertikalne uzengije za prihvatanje sila zatezanja zbog uvodjenja trajektorija u ceo presek (B), prikazani su na slici 4.35.a.

Jedina optere}enja dela nosa~a na duìni uvodjenja lu (pribli`no jednaka visini nosa~a d ), su sila na kotvi Nk0 sa leve strane, odnosno formirano stanje napona σb usled dejstva samo prethodnog naprezanja sa desne strane, slika 4.35.c. Pretpostavka modela je da }e se ho-rizontalna prslina (detalj B, slika 4.35.a) pojaviti na odstojanju y od donje ivice preseka, u horizontalnom preseku u kome se javlja najve}a sila zatezanja Z popre~no na osu nosa~a, slika 4.35.b. Sila zatezanja Z posledica je momenata savijanja horizontalnih preseka, sa maksimalnom vredno{}u Mmax , koja }e i izazvati pojavu prsline, slika 4.35.d. Momenti

Nk

Slika 4.34 Metoda '{tapova i zatega'

Nk0

lu

Z

D

T

TL

h

y

Mmax

b.) c.) d.)

Nk0

Prsline usled uvodjenjanapona u ceo presek

Uzengije

Lokalno utezanjebetona - 'spirala'

A

B

a.)

Prsline usled 'cepanja'betona ispod kotve

x Nk0

σb

d

e bk

Slika 4.35 Model prora~una uzengija za osiguranje horizontalnih prslina u zoni uvodjenja

4- 29

savijanja po visini preseka posledica su skretanja trajektorija pritisaka, ~ija je rezultan-ta sa leve strane na mestu kotve, dok na desnoj strani rezultanta prolazi kroz teì{te prese-ka TL, slika 4.35.c. Maksimalni moment savijanja uravnoteèn je spregom unutra{njih sila Z i D, na kraku sila (h-x), a sila smicanja T obezbedjuje ravnoteù horizontalnih sila u preseku sa prslinom. Potrebna vertikalna armatura Fau za prihvatanje zile Z , sra~unava se sa ne{to niìm dopu{tenim naponom u ~eliku uzengija, zbog kontrole {irine prslina (ne vi{e od 140MPa), i rasporedjuje se na duìnii od oko h / 2 od ~ela nosa~a. Algoritam prora~una je slede}i: - sra~unava se stanje normalnih napona σb preseka visine d usled dejstva samo sile prethodnog naprezanja Nk0 , slika 4.35.c. Za vrednost sile Nk0 poèljno je uzeti maksimalnu vrednost sile na presi, sa eventualnim prekora~enjem zbog kompenzacije gubitaka usled klizanja klina; - za '{tap' optere}en sa jedne strane silom Nk0 , a sa druge'podeljenim optere}enjem' - naponima σb , slika 4.35.c, sra~unavaju se momenti savijanja po visini, slika 4.35.d, i odredjuje vrednost maksimalnog momenta Mmax ; - za sra~unatu vrednost Mmax , sra~unava se sila zatezanja Z = Mmax / (h-x ) , gde moè da se usvoji h ≅ d, i x ≅ (0,3-0,4)d ; - na osnovu sile Z , potrebna ukupna povr{ina uzengija iznosi Fau = Z / σadop . 4.7.3 Duìna uvodjenja Trajektorije napona pritisaka unetih kotvom postupno propagiraju u presek. Da bi se ostvarilo ra~unsko stanje napona u celom preseku, potrebna je odredjena duìna - duìna uvodjenja, koja zavisi od geometrije popre~nog preseka nosa~a.

U slu~aju T - preseka, trajektorije prvo 'putuju' kroz rebro, i potom zalaze i {ire se kroz gornju flan{u, slika 4.36 (videti i sliku 2.19). Za ugao ulivanja trajektorija β , obi~no se usvaja vrednost arctg(2/3), odnosno β ≅ 34,50. Kod sloènih preseka, kao {to su preseci mos-tovskih nosa~a na primer, potrebno je kablove uvesti 'na vreme', tako da se omogu}i formi-ranje o~ekivanih napona u èljenim presecima.

β

β

β

β

Nk

a.)

b.) Slika 4.36 Uvodjenje napona u presek

4- 30

4.8 PRIMERI 4.8.1 Primer 1 Glavni nosa~ krovne konstrukcije konstantnog popre~nog preseka, osovinskog raspona Lo=20m , izvodi se sa pravolinijskom trasom uàdi φ15,2 sistema IMS, prethodnim napreza-njem na stazi, slika 4.37 i 4.38. Za pretpostavljeni raspored uàdi, izvr{iti kontrolu normal-nih napona u preseku u sredini raspona i preseka nad osloncem, kao i kontrolu glavnih na-pona zatezanja preseka nad osloncem. Usvojiti slu~aj ograni~enog prethodnog napreza-nja (dozvoljava se pojava napona zatezanja), prema propisima PNB71. Podaci: Faza prethodnog naprezanja : MB35 (uàd se obi~no presecaju pre dostizanja pune ~vrsto}e betona, ali pri dostignutoj ~vrsto}i od najmanje 70% ra~unske - MB45 u ovom slu~aju. Videti ~lan 12 PNB71) ; gubitak sile usled elasti~nih deformacija - 5%. Faza eksploatacije : MB45 ; gubitak sile usled te~enja i skupljanja - 20%; dodatno stalno optere}enje ∆g=16kN/m ; korisno optere}enje p=8,5kN/m ;

- Dopu{teni normalni naponi u betonu (Tabela 5, PNB71, i slika 4.3): Faza prethodnog naprezanja - MB35 (linearna interpolacija izmedju MB30-MB40): pritisak 17,3MPa zatezanje -2,8MPa Faza eksploatcije - MB45 (linearna interpolacija izmedju MB40-MB50): pritisak 17,3MPa zatezanje -1,9MPa - Dopu{tena po~etna sila prethodnog naprezanja N0

k1 jednog uèta (katalog IMS, Tabela 1.7.2, klasa ~elika B, usvojeno 70% sile kidanja uèta; σkz=1860MPa, povr{ina uèta 140mm2)

N0k1=182kN

- Geometrijske karakteristike bruto betonskog preseka Povr{ina preseka Fb = 3750cm2 Teì{te preseka u odnosu na donju ivicu yT = 60cm Moment inercije preseka Ib = 6,141x106 cm4 Otporni moment preseka Wb = 1,023x105 cm3 Odstojanje jezgra preseka od teì{ta kb = 27,29cm

Slika 4.37 Dispozicija glavnog nosa~a konstrukcije krova

120

205

705

20

50

15 20 15

56

65

Slika 4.38 Popre~ni presek

4- 31

- Poloàj rezultante prethodnog naprezanja u odnosu na donju ivicu preseka yk = (5x5,0 + 5x11,0 + 5x17,0 + 4x115,0)/19 = 32,89cm - Ekscentricitet rezultante prethodnog naprezanja u odnosu na teì{te preseka ebk = yT - yk = 60,0 - 32,89 = 27,11cm (A) Kontrola napona u sredini raspona u fazi prethodnog naprezanja - Stati~ki uticaji u preseku usled sopstvene teìne g = Fbγb = 0,375x25 = 9,38kN/m

Za {irinu oslonaca pretpostavlja se b0=30cm, pa je ra~unski raspon grede L=L0 - b0 = 20,0-0,3= 19,7m Mg = gL2 / 8 = 9,38x19,72 / 8 = 455,0kNm

Po~etna rezultuju}a sila prethodnog naprezanja, nakon gubitaka usled elasti~nih deformacija od 5% (ukupno - n=19 uàdi)

Nk0 = n0,95N0k1 = 19x0,95x182 = 3285,1kN

Napon u betonu na donjoj ivici preseka (izrazi 4.14)

Komentar: Napon u betonu manji je od dopu{tenog napona pritiska u fazi prethodnog naprezanja od 17,3MPa

Napon u betonu na gornjoj ivici preseka

Komentar: U fazi prethodnog naprezanja ne javlja se napon zatezanja na gornjoj ivici preseka.

(B) Kontrola napona u preseku kod oslonca u fazi prethodnog naprezanja Mg=0

Komentar: Napon u betonu pribli`no je jednak dopu{tenom naponu pritiska u fazi prethodnog naprezanja od 17,3MPa.

Komentar: U fazi prethodnog naprezanja ne javlja se napon zatezanja na gornjoj ivici preseka. Konstantan raspored uàdi prema slici 4.38, sa delom uàdi u oblasti gornje flan{e, usvojen je tako da i u preseku iznad oslonca naponi u betonu budu u granicama dopu{tenih.

MPax

xWM

ke

FN

b

g

b

bk

b

kb 0,13

10023,110455)

29,2711,271(

37501,3285)1( 5

2

12

010 =−+=−+=σ

MPax

xWM

ke

FN

b

g

b

bk

b

kb 5,4

10023,110455)

29,2711,271(

37501,3285)1( 5

2

21

020 =+−=+−=σ

MPake

FN

b

bk

b

kb 4,17)

29,2711,271(

37501,3285)1(

2

010 =+=+=σ

MPake

FN

b

bk

b

kb 1,0)

29,2711,271(

37501,3285)1(

1

020 =−=−=σ

4- 32

(C) Kontrola napona u sredini raspona u fazi eksploatacije - Stati~ki uticaji u preseku usled sopstvene teìne Mg = gL2 / 8 = 9,38x19,72 / 8 = 455,0kNm - Stati~ki uticaji u preseku usled dodatnog stalnog optere}enja M∆g = ∆gL2 / 8 = 16,0x19,72 / 8 = 776,2kNm - Stati~ki uticaji u preseku usled korisnog optere}enja Mp = pL2 / 8 = 8,5x19,72 / 8 = 412,3kNm

- Ukupni moment savijanja u preseku usled spolja{njih optere}enja Mq = 455,0 + 776,2 + 412,3 = 1643,5kNm

- Trajna rezultuju}a sila prethodnog naprezanja, nakon gubitaka usled te~enja i skupljanja betona od 20% (ω=0,80)

Nkt = 0,80Nk0 = 0,80x3285,1 = 2628,1kN - Napon u betonu na donjoj ivici preseka

Komentar: Napon zatezanja u betonu ne{to je ve}i od dopu{tenog napona zatezanja u fazi eksploatacije od -1,95MPa. Prekora~enje do 3% moglo bi da se toleri{e. S obzirom da su gubici sile prethodnog naprezanja pretpostav-ljeni, i da je usvojen bruto betonski presek, treba probati da se ta~nijim prora~unom eventualno dokaè da su naponi ipak u granicama dopu{tenih.

- Napon u betonu na gornjoj ivici preseka

Komentar: Napon pritiska na gornjoj ivici preseka u eksploataciji manji je dopu{tenog napona od 17,3MPa.

(D) Kontrola napona u preseku kod oslonca u fazi eksploatacije Mq=0

Komentar: Napon u betonu manji je od dopu{tenog naponu pritiska u fazi eksploatacije od 17,3MPa.

Komentar: U fazi eksploatacije ne javlja se napon zatezanja na gornjoj ivici preseka.

MPaxx

WM

ke

FN

b

q

b

bk

b

kttb 1,2

10023,1105,1643)

29,2711,271(

37501,2628)1( 5

2

121 −=−+=−+=σ

MPaxx

WM

ke

FN

b

q

b

bk

b

kttb 1,16

10023,1105,1643)

29,2711,271(

37501,2628)1( 5

2

212 =+−=+−=σ

MPaxke

FN

bb

bk

b

kttb 9,134,1780,0)1( 10

21 ===+= ωσσ

MPaxbtb 08,01,080,0202 === ωσσ

4- 33

(E) Kontrola glavnih napona zatezanja u eksploataciji u preseku nad osloncem

- Maksimalna vrednost transverzalne sile usled spolja{njih optere}enja (nagib rezul-tante prethodnog naprezanja β=0), izraz (4.8) Tq = (g + ∆g + p)L/2 = (9,38 + 16,0 + 8,5)x19,7/2 = 333,6kN - Sredi{nji napon pritiska u betonu

MPaFN

b

ktbot 0,7

37501,2628

===σ

- Napon smicanja (izraz 4.10) - Stati~ki moment u odnosu na teì{te preseka S=6,88x104 cm3 - [irina rebra preseka b = 20cm - Glavni napon zatezanja (izraz 4.9)

Komentar: Napon zatezanja manji je od -1,0MPa (za MB45), pa nije potreban prora~un osiguranja uzengijama.

MPabotbot 5,09,140,7

20,7

422

22

2

2 −=+−=+−= τσσσ

bIST

b

q=τ

MPaxxxx 9,12010141,61088,66,333

6

4

==τ

4- 34

4.8.2 Primer 2 Za presek nosa~a krovne konstrukcije sistema proste grede, prethodno napregnutog na stazi pravolinijskom trasom uàdi φ15,2 sistema IMS, slika 4.39, izvr{iti kontrolu glavnih napona zatezanja u eksploataciji prema PNB71, u preseku nad osloncem. Podaci: Maksimalna transverzalna sile usled spolja{njih optere}enja Tq = 590kN. Trajna sila prethodnog naprezanja Nkt = 2628,1kN. Marka betona MB45.

- Geometrijske karakteristike bruto betonskog preseka Povr{ina preseka Fb = 3750cm2 Moment inercije preseka Ib = 6,141x106 cm4

- Stati~ki moment u odnosu na teì{te preseka S=6,88x104 cm3

- Sredi{nji napon pritiska u betonu

MPaFN

b

ktbot 0,7

37501,2628

===σ

- Napon smicanja (izraz 4.10)

- Glavni napon zatezanja (izraz 4.9)

Komentar: Glavni napon zatezanja ve}i je od -1,0MPa, ali i manji od -2,25MPa (za MB45). Gornja granica nije prekora~ena, ali je potrebno obezbedjenje glavnih napona zatezanja uzengijama.

- Prora~un potrebnih vertikalnih uzengija (izraz 4.11)

Pretpostavljaju se dvose~ne (m=2) uzengije φ8 (fu=0,5cm2), od rebraste armature RA400/500. Za dopu{teni napon usvaja se vrednost od σudop=200MPa (prema BAB87, dopu{teni napon iznosi 240MPa, tabela 23, ali je usvojen ne{to niì dopu-{teni napon, da bi eventualne kose prsline bile manjih {irina).

- Potreban razmak uzengija

Usvojeno: URφ8/7,5

120

205

705

20

50

15 20 15

56

65


na osloncu

MPabotbot 3,13,340,7

20,7

422

22

2

2 −=+−=+−= τσσσ

==bIST

b

qτ MPaxxxx 3,32010141,61088,60,590

6

4

=

mb

ef

udopu

au

σσ 2=

cmx

xxeu 7,70,203,15,02140

==

4- 35

4.8.3 Primer 3 Za popre~ni presek u sredini nosa~a sistema proste grede, odrediti globalni koeficijent sigurnosti od loma preseka savijanjem, prema metodologiji PNB71 - BAB87, slika 4.40. Podaci: MB45 ; Moduo elasti~nosti betona Eb = 35000MPa; Uàd φ15,2 sistem IMS ; ^vrsto}a kidanja uèta σkz = 1860MPa (slika 4.41); Moduo elasti~nosti uàdi Ek =195000MPa; Trajna rezultuju}a sila prethodnog naprezanja Nkt = 2074,8kN; Maksimalna vrednost momenta savijanja usled spolj{njih optere}enja Mq=1643,5kNM.

- Odstojanje rezultante sile prethodnog naprezanja od donje ivice preseka yk = 11,0cm - Ekscentricitet rezultante sile prethodnog naprezanja u odnosu na teì{te preseka betona ebk = 60,0 - 11,0 = 49,0cm - Trajni napon uàdi Povr{ina jednog uèta f=140mm2

Ukupna povr{ina uàdi (n=15 komada) Fk = 15x1,4 = 21,0cm2 σkt = Nkt / Fk =2074,8/21,0 = 988MPa - Dilatacija uàdi za prethodno naprezanje pri trajnom naponu εkt = σkt / Ek = 988/195000 = 5,1 - Dodatna dilatacija zbog dekompresije preseka

Napon u betonu u nivou rezultante sile prethodnog naprezanja, usled dejstva samo prethodnog naprezanja

Povr{ina preseka Fb = 3750cm2 Moment inercije preseka Ib = 6,141x106 cm4

σk

10

Dilatacija x 103

σky=0,9σkz=1670MPa

σkz=1860MPa

εεk

∆εmax

εky=8,5

∆ε

δεky

Slika 4.41 Radni dijagram uàdi

120

205

705

20

50

15 20 15

56

6


4- 36

Polupre~nik inercije preseka i2 = Ib / Fb = 6,141x106 / 3750 = 1637,6cm

Dilatacija do dekompresije 4106,135000/7,5/ −=== xEbbktkd σε =0,16 - Ukupna po~etna dilatacija uàdi εk = εkt + εkd = 5,1 + 0,16 = 5,3 Razlika do granice velikih izduènja δεk = εky - εk = 8,5 - 5,3 = 3,2 - Ra~unski podaci za pritisnutu povr{inu betona U odnosu na ~vrsto}u kocke fk , ~vrsto}a cilindra iznosi fC ≅ 0,7 fk Za MB45, fC = 0,7fB = 0,7x45=31,5MPa Za α =0,85, αfC = 0,85 x 31,5 = 26,8MPa

Komentar: Prema BAB87, za radni dijagram betona usvaja se (αfC = ) fB = 27,75MPa (za MB45), {to je ne{to vi{e od prethodno sra~unate vrednosti. Usvaja se αfC =26,8MPa.

Stvarni presek sa vutama aproksimira se zamenjuju}im presekom bez vuta, slika 4.42.

- Odredjivanje poloàja neutralne linije x pri 'lomu'

Uslov ravnoteè normalnih sila u preseku Zk = Db

120

22,5

7522

,5

50

15 20 15

56

6

x βx

αfC

Db=Zk

Zk

z

Slika 4.42 Ra~unski popre~ni presek

MPaie

FN bk

b

ktbkt 7,5)

6,16370,491(

37508,2074)1( 2

2

=+=+=σ

4- 37

U slu~aju da je neutralna linija u rebru nosa~a 21,0xσk = 2x15,0x22,5x2,68 + 20,0x0,8(X)x2,68 , odnosno 21,0xσk = 1809+42,88X (kN,cm)

U slu~aju da je neutralna linija u gornjoj flan{i 21,0xσk = 50,0x0,8(X)x2,68, odnosno

21,0xσk = 107,2X (kN,cm) Iteracije: 1. Iteracija εb = 3,5, ∆εk = 10 Poloàj neutralne linije h = d - a = 120,0 - 11,0 = 109,9cm

hxkb

b

εεε

∆+= = (3,5/13,5)109,9 = 28,5cm > 22,5cm (visina flan{e)

Ukupna dilatacija ~elika εku = εk + ∆εk = 5,3 + 10,0 = 15,3 > εky = 8,5

Napon u ~eliku

σk= σky = 1670MPa Sila zatezanja kablova Zk = 21x167,0 = 3597kN Sila pritiska u betonu Db = 1809 + 42,88x28,5 = 3031,1kN < Zk = 3597kN Treba pove}ati Db , odnosno X 2. Iteracija εb = 3,5, ∆εk = 6,0 Poloàj neutralne linije

hxkb

b

εεε

∆+= = (3,5/9,5)109,9 = 40,5cm > 22,5cm (visina flan{e)

Ukupna dilatacija ~elika εku = εk + ∆εk = 5,3 + 6,0 = 11,3 > εky = 8,5

Napon u ~eliku

σk= σky = 1670MPa Sila zatezanja kablova Zk = 21x167,0 = 3597kN Sila pritiska u betonu Db = 1809 + 42,88x40,5 = 3545,6kN ≅ Zk = 3597kN

4- 38

- Kapacitet nosivosti preseka - 'moment loma preseka' MRu = Dbz Udeo sile pritiska u bo~nim stranama flan{e

Db1 = 1809kN z1 = h - 22,5/2 = 109,9 - 22,5/2 = 98,65cm Udeo sile pritiska u rebru

Db2 = 42,88x40,5= 1736,6kN z2 = h - βX/2 = 109,9 - 0,8x40,5/2 = 93,7cm Moment loma preseka MRu = 1809x0,98 + 1736,6x0,937 = 3400,0kNm - Globalni koeficijent sigurnosti od loma savijanjem γ = MRu / Mq = 3400,0/1643,5 = 2,07 > 1,8 (obi~no se toliko zahteva)

Komentar: U slu~aju preseka sa izraènim pritisnutim flan{ama, poloàj sile pritiska u betonu moè da se pretpostavi u polovini visine flan{e df (analogija sa 'T-presecima sa neiskori{}enim naponima'). Tada je krak sila z=h - df / 2, odnosno moment loma iznosi MRu = Fkσkyz . U slu~aju stati~ki neodredjenih nosa~a, u momenat usled spoljnih optere}enja Mq ulazi i vrednost 'sekudarnog momenta' usled prethodnog naprezanja, izraz (4.17).

4- 39

4.8.4 Primer 4 Za stanje napona u preseku u sredini raspona u fazi eksploatacije, primer 4.8.1, izvr{iti obezbedjenje armaturom normalnih napona zatezanja, kao i prora~un koeficijenta sigur-nosti od pojave prslina, slika 4.43.

- Prihvatanje armaturom rezultante zatezanja Poloàj neutralne linije x

cmdxtbb

tb 8,130,1201,161,2

1,2217

1 =+

=+

=σσ

σ

Rezultanta napona zatezanja Za = 0,5x50,0x13,8x0,21=72,5kN Potrebna povr{ina armature RA500/500 (izraz 4.18) Dopu{teni napon u armaturi - zbog kontrole prslina, usvojeno σadop=140MPa fa = Za / σadop= 72,5 / 14,0 = 5,2cm2 Usvojeno: 6Rφ10 - Koeficijent sigurnosti od pojave prslina (izrazi 4.19 i 4.20) Srednja ~vrsto}a betona pri aksijalnom zatezanju (prema BAB87)

^vrsto}a betona pri zatezanju savijanjem fbzs (d - visina preseka u metrima)

0,1)2,14,06,0()4,06,0(

44=+=+=

dff

bz

bzs

120

205

705

20

50

15 20 15

56

6

σb2t=16,1MPa

σb1t=-2,1MPa

x

Slika 4.43 Stanje napona u eksploataciji

MPaxfxff bkbzmbz 2,24525,07,025,07,07,0 3 23 2 ====

4- 40

Ivi~ni napon na donjoj ivici betona usled dejstva samo prethodnog naprezanja

Moment savijanja pri kome se otvara prslina

Koeficijent sigurnosti od pojave prslina

Komentar: Napon zatezanja u preseku je blizu ~vrsto}e betona na zatezanje, pa se i ne moè o~ekivati da je, pri dopu{tanju pojave zatezanja, zadovoljen i koeficijent sigurnosti od pojave prslina.

kNmxfWM bzsbkbp 0,1647)22,039,1(10023,1)( 511 =+=+= σ

15,100,15,16430,1647

<===MM p

pγ

MPake

FN

b

bk

b

ktbk 9,13)

29,2711,271(

37501,2628)1(

21 =+=+=σ

4- 41

4.8.5 Primer 5 Za dispoziciju kraja nosa~a i raspored kotvi na ~elu nosa~a izvr{iti obezbedjenje uvodjenja sile prethodnog naprezanja u presek, slika 4.43. Podaci: Kablovi 4φ16 sistema IMS (~etri uèta φ16 formiraju kabl), po~etna sila na presi Nk01=893kN (pri 80% sile kidanja)

- Geometrijske karakteristike bruto betonskog I-preseka Povr{ina preseka Fb = 3750cm2 Teì{te preseka u odnosu na donju ivicu yT = 60cm Moment inercije preseka Ib = 6,141x106 cm4 Otporni moment preseka Wb = 1,023x105 cm3 Odstojanje jezgra preseka od teì{ta kb = 27,29cm - Stanje napona usled dejstva samo prethodnog naprezanja na ~elu nosa~a - presek A-A Rezultanta prethodnog naprezanja (zanemaren nagib kablova) Nk0 = 4xNk01 = 4x893,0 = 3572kN Poloàj rezultante na ~elu nosa~a u odnosu na donju ivicu nosa~a yk = (2x893x22,5 + 893,0x85,0 + 893,0x110,0)/3572 = 60,0cm Ekscentricitet rezultante u odnosu na teì{te betonskog preseka ebk = 60,0 - 60,0 =0,0cm Centri~ni napon pritiska

120

205

705

20

50

15 20 15

22.5

110

85A

A~120

Slika 4.44 Dispozicija kraja nosa~a sa rasporedom kotvi

MPaF

N

b

kbT 5,9

375035720

0 ===σ

4- 42

Dijagram napona u preseku dat je na slici 4.45.a. Linijsko optere}enje po visini preseka, sra~unato kao proizvod napona i {irine nosa~a, dato je na slici 4.45.b. Stvarni presek zamenjen je 'ra~unskim presekom', sa pravougaonim flan{ama visine 22,5cm, bez vuta. Momenti savijanja usled istovremenog dejstva koncentrisanih sila na ~elu nosa~a, i napona pritiska sa desne strane dati su na slici 4.4.5.c.

Najve}i moment savijanja u horizontalnoj ravni javlja se u teì{tu preseka

Mmax= 14873kNcm = 148,7kNm Sila zatezanja horizontalnog preseka (za oznake, videti sliku 4.35)

h ≅ d =1,20m Usvojeno x ≅ 0,35 d = 0,35x1,20 = 0,42m

Z = Mmax / (h-x ) = 148,7/(1,20 - 0,42) = 190,6kN

Potrebna povr{ina vertikalnih uzengija Rebrasta armatura RA400/500, usvojeno σadop =160MPa Potrebna povr{ina uzengija

Fau = Z / σadop = 190,6/16,0 = 11,9cm2 Usvojeno: 6 ~etvorose~nih uzengija URφ8/10 (Fu = 12,0cm2), koje se rasporedjuju na polovini duìne uvodjenja prema ~elu nosa~a (prvih 60cm).

22.5

22.5

75

893kN

893kN

1786kN

893kN

893kN

1786kN

T

47,5kN/cm

47,5kN/cm

22.5

22.5

75

893kN

893kN

1786kN 60

T19,0kN/cm9,5MPaT

19,0kN/cm

19,0kN/cm

12023kNcm

14873kNcm

a.) b.) c.)

Slika 4.45 Naponi, linijsko optere}enje i 'momenti' u zoni uvodjenja sila prethodnog naprezanja


5- 1

5. PROJEKTOVANJE PRETHODNO NAPREGNUTIH KONSTRUKCIJA U prva ~etiri poglavlja izloèni su i ilustrovani prakti~no svi, ili bar ve}ina pojmova potreb-nih za projektovanje prethodno napregnutih konstrukcija bez prslina, prema jo{ uvek vaè}im propisima PNB71. Poznavaju}i samu tehnologiju - deo 1, i njene stvarne efekte - deo 2-3, kriterijume koje mora da zadovolji prethodno napregnuta konstrukcija - deo 4, mogu}e je ispuniti razli~itim postupcima projektovanja. [ta je najracionalnije, zavisi od li~nog 'stila' - prakse, zavisi i od vrste problema kao i od toga da li se koriste mogu}nosti razli~itih softvera, ili se radi tradicionalno - 'ru~no'. U nastavku su data uputstva kako da se postupak projektovanja racionalno organizuje. 5.1 DEFINICIJA PROBLEMA Na po~etku posla, projektantu su poznati osnovni podaci-uslovi kao {to su:

- tip konstrukcije (monta`na-monolitna, stati~ki odredjena-neodredjena); - rasponi; - optere}enja (osim sopstvene teìne konstrukcije); - uslovi sredine u pogledu agresivnosti, uslovi eksploatacije; - eventualno dozvoljeni gabariti (ograni~enja u pogledu dimenzija elemenata) itd.

Na osnovu polaznih parametara, ali i analiziraju}i stanje na trì{tu kao i uslove gradjenja, potrebno je definisati koncept prethodnog naprezanja i gradjenja:

- postupak prethodnog naprezanja (unutra{nje-spolja{nje, naknadno-adheziono, sa ili bez spoja); - nivo prethodnog naprezanja, na bazi uslova eksploatacije-agresivnosti sredine (potpuno, ograni~eno, parcijalno); - sistem prethodnog naprezanja (karakteristike kablova, kotvi, presa itd. Obi~no se u projektu navode bar tri poznata proizvodja~a izabranog sistema, kao primer, tako da na tenderu moè da u~estvuje vi{e ponudja~a); - postupak i sekvence gradjenja itd.

Imaju}i u vidu sve navedene uslove, potrebno je organizovati postupak projektovanja i projektom obuhvatiti dokaz pouzdanosti konstrukcije: - izbor popre~nih preseka konstrukcije;

- izbor koli~ine, rasporeda u okviru preseka kao i oblik trase du` nosa~a kablova (uàdi) za prethodno naprezanje; - izbor redosleda utezanja kablova (sa jedne strane, sa obe strane, dotezanja itd.)

- dokaz stanja napona u svim relevantnim fazama gradjenja i eksploatacije; - dokaz stanja prslina u svim relevantnim fazama gradjenja i eksploatacije;

- dokaz stanja deformacija u svim relevantnim fazama gradjenja i eksploatacije; - dokaz grani~nog stanja nosivosti-sigurnosti od loma karakteristi~nih preseka;

- kontrola zona uvodjenja sila prethodnog naprezanja; - postupak kontrole postupka utezanja (sile-pritisci na presi, izduènja kablova);

Danas se na trì{tu mogu na}i gotovi proizvodi - monta`ni elementi (tavanice, krovni nosa~i itd.), ili kompletni sistemi (prefabrikovane hale itd.) pojedinih proizvodja~a, tako da


5- 2

se projektovanje vr{i izborom elemenata iz kataloga, i njihovim uklapanjem u odredjenu dispoziciju. Pretpostavimo da je ipak potrebno uraditi kompletan projekat, i da su prva dva koraka - definisanje uslova i izbor koncepta prethodnog naprezanja zavr{eni: potrebno je uraditi projekat ograni~eno prethodno napregnute monolitne konstrukcije. Kako ra-cionalno dokazati pouzdanost konstrukcije? Jednozna~an algoritam, koji bi u jednom prolazu garantovao zadovoljenje svih parametar pouzdanosti ne postoji, postupak projektovanja je obi~no iterativan. Uvek je mogu}e pretpostaviti sve (presek, trasu, kablove itd.) i potom izvr{iti kontrolu. Ako su elementi tipski, ve} projektovani, na bazi iskustva se moè brzo do}i do zadovoljavaju}ih re{enja. Ako se polazi od 'belog papira', postavlja se pitanje koji od tri osnovna kriterijuma pouz-danosti je merodavan za odredjivanje dimenzija preseka i sile prethodnog naprezanja: - kriterijum napona (ujedno i prslina, ograni~avanjem napona zatezanja); - kriterijum deformacija; - kriterijum grani~ne nosivosti preseka? U literaturi postoje postupci za dimenzionisanje preseka, potrebne sile prethodnog naprezanja kao i njenog ekscentriciteta u slu~aju popre~nih preseka stati~ki odredjenih nosa~a, zasnovani na teoriji dopu{tenih napona. Medjutim, iskustva sa primenom tog postupka nisu sjajna, tako da se u praksi, pa i u ovom tekstu, prednost daje postupku u kome se prvo pretpostavlja popre~ni presek elementa, i potom se vr{i izbor veli~ine sile i trase prethodnog naprezanja, odnosno sve druge potrebne kontrole. 5.2 PRETPOSTAVLJANJE OBLIKA I DIMENZIJA POPRE^NIH PRESEKA Oblik popre~nog preseka bira se u skladu sa namenom elementa-konstrukcije, dok se dimenzije popre~nog preseka odredjuju prema naponsko-deformacijskim kriterijumima koje treba zadovoljiti, ali i vode}i ra~una o sme{taju kablova, za{titnim slojevima itd. Na slici 5.1 prikazani su neki tipi~ni oblici popre~nih preseka prethodno napregnutih nosa~a. U tabeli su date orijentacione vrednosti odnosa raspon/visina elementa - L/ d . Pored toga, tabela sadrì jo{ dva podatka koji mogu da budu od koristi pri dimenzionisanju prethodno napregnutih preseka: ostvarljiv ekscentricitet kabla u odnosu na gornju ta~ku jezgra prese-ka ebk + kb2 , kao i ukupnu visinu jezgra preseka kb1 + kb2 , o ~emu }e vi{e re~i biti u nastav-ku. Ako je u pitanju konstrukcija prethodno napregnute tavanice livene na licu mesta, tada je pun 'pravougaoni presek' prirodan izbor. U nastavku, data su dva tipa monta`nih tavanica, 'o{upljenog' i 'TT' preseka. Visoki nosa~ sa {irokom gornjom flan{om, tipi~an je izbor za konstrukcije krovova i tavanica ve}eg raspona, pri ~emu se monta`ni elementi slaù jedan uz drugi. Poslednja dva preseka su tipi~ni za 'glavne nosa~e' preko kojih se postavlja sekundarna konstrukcija, ro`nja~a sa krovnim pokriva~em, na primer. Da bi se stekla pred-stava o dimenzijama elemenata, na slikama 5.2-5.4 prikazani su tipi~ni primeri elemenata prethodno napregnutih na stazi. O{upljene tavanice i korube Π- (ili duplo T) preseka se danas {iroko primenjuju, na rasponima i do 16m. Prethodno naprezanje se uglavnom vr{i pravolinijskom trasom uàdi, jer je najjednostavnije. Preko koruba se obi~no dodaje 4-5cm betona, armiranog mreàma, zbog monolitizacije tavanice u svojoj ravni. Glavni nosa~ konstrukcije krova na slici 5.4 raspona 20m, takodje je prethodno napregnut pravolinijskom trasom uàdi, jer se pokazalo da je na ovim 'srednjim' rasponima to racionalnije, zbog visoke cene kotvi.


5- 3

dd

d

d

d

d

Tip elementa Korisno opt.kN/m2

Raspon/visinaL/d

< sopstvenateìna 40

2,505,00

40-5032-42

2,505,00

25-3518-28

2,505,00

23-3219-24

20

18-30

< sopstvenateìna

ebk+kb2 kb1+kb2

0,47d 0,33d

0,58d 0,49d

0,70d 0,43d

0,76d 0,48d

0,33d

0,51d

0,50d

0,64d

Slika 5.1 Tipi~ni prethodno napregnuti preseci

120

6 18.4 4 18.4 4 18.4 4 18.4 4 18.4 6

28

420

4

5

55

Slika 5.2 O{upljena monta`na tavanica

Slika 5.3 Monta`na tavanica - 'korube Π preseka'


5- 4

5.3 PRETHODNO NAPREZANJE KAO 'SILA U JEZGRU PRESEKA' Da bi se ubrzao postupak i dobio racionalan rezultat projekta prethodno napregnutih nosa-~a, korisno je da se izrazi za napone u preseku, poglavlje 4.3.1, interpretiraju na inènjerski - 'slikovit' na~in. S obzirom da se razmatraju konstrukcije u kojima je obezbedjeno da nema napona zatezanja u preseku, ili su naponi zatezanja u dopu{tenim granicama, tada se kao jedan od ciljeva prethodnog naprezanja moè postaviti da rezultuju}a normalna sila u preseku u svakom trenutku deluje unutar jezgra preseka. Pretpostavka analize koja sledi je, da su uticaji prethodnog naprezanja sra~unati u odnosu na sistemnu liniju koja prolazi kroz teì{ta popre~nih preseka konstrukcije, kao i da spolja{nja optere}enja ne izazivaju normalne sile u presecima. Dejstvo prethodnog naprezanja, kao jedinog spoljnog optere}enja, izaziva u teì{tu nekog preseka konstrukcije normalnu silu (pribli`no jednaku sili prethodnog naprezanja Nk ), i moment savijanja preseka Mk . Efekat istovremenog dejstva momenta i normalne sile u teì{tu preseka, moè da se zameni dejstvom rezultuju}e normalne sile Db sa napadnom ta~kom na ekscentricitetu c = Mk / Nk u odnosu na teì{te preseka. Ta~ka u kojoj deluje re-zultuju}a sila pritiska u betonu naziva se i centar pritiska.

U slu~aju stati~ki odredjenih nosa~a, poloàj rezultuju}e sile pritiska Db = Nk u betonu poklapa se sa poloàjem rezultante prethodnog naprezanja Nk , c = ebk , slika 5.5.a. To omogu}ava da se moment savijanja u preseku usled prethodnog naprezanja sra~una di-rektnim postupkom, Mk = -Nk ebk (pozitivan moment zateè donju ivicu preseka), videti i poglavlje 2.1.3.

Slika 5.4 Glavni nosa~ prethodno napregnut na stazi pravolinijskom trasom uàdi

- veliki odnos dodatnih optere}enja u odnosu na sopstvenu teìnu

d

Tb

e bka k

k1

k2

k b1k b2

Db = Nk Nk

d

Tb

e bka k

k1

k2

k b1k b2

Db = Nk

Nk

Mks

/Nk

a.) b.)

c=e bk

c

Slika 5.5 Poloàj 'centra pritiska' u preseku stati~ki odredjenih (a), i

stati~ki neodredjenih (b) konstrukcija


5- 5

U slu~aju stati~ki neodredjenih nosa~a, vrednosti momenata savijanja Mk preseka usled prethodnog naprezanja, razlikuju se od momenata stati~ki odredjenih nosa~a za iznos se-kundarnih momenata savijanja Mks = Mk - Nk ebk . Ako se prora~un uticaja u stati~ki neodredjenoj konstrukciji radi primenom ekvivalentnih optere}enja i nekog softvera za analizu konstrujkcija (a obi~no se tako i radi), direktan rezultat prora~una u nekom prese-ku upravo je ukupni moment usled prethodnog naprezanja Mk = Nk ebk + Mks . Istovreme-no dejstvo normalne sile Nk , i momenta Mk usled prethodnog naprezanja, i u ovom slu~aju moè da se zameni dejstvom rezultuju}e sile pritiska u betonu Db = Nk na ekscentricitetu c = ebk + Mks / Nk u odnosu teì{te preseka Tb , slika 5.5.b. Od preseka do preseka, poloàj sile pritiska Db se u principu menja, nalazi se na liniji cen-tara pritiska. U slu~aju stati~ki odredjenih nosa~a, linija centara pritiska poklapa se sa trasom rezultuju}eg kabla, c = ebk , naravno. U svakom slu~aju, efekat prethodnog napreza-nja u nekom preseku opisan je jednom veli~inom, silom pritiska Db = Nk , koja deluje u centru pritiska na ekscentricitetu c u odnosu na teì{te preseka. Iz kursa otpornosti materijala je poznato da, 'u preseku nema napona zatezanja, ako rezul-tuju}a sila pritiska deluje unutar jezgra preseka'. Na slici 5.5, definisana je donja kb1 , od-nosno gornja ta~ka kb2 jezgra preseka i, kako se vidi, sila pritiska u betonu Db deluje van jez-gra preseka. Rezultat bi bio pojava napona zatezanja na gornjoj ivici preseka, ali usled dej-stva samo prethodnog naprezanja, koje je prikazano na ovoj slici kao jedino spoljno op-tere}enje. To je u skladu sa osnovnom idejom prethodnog naprezanja, stvoriti 'obrnuto po~etno stanje napona'. [ta se dogadja kada se u analizu uklju~e i efekti spolja{njih optere-}enja? 5.3.1 Stati~ki odredjeni nosa~i S obzirom da se u toku utezanja kablova nosa~ izdiè, aktivira se i sopstvena teìna kon-strukcije g , u preseku se pojavljuje i moment savijanja Mg usled sopstvene teìne nosa~a. Pre pojave dodatnih stalnih i povremenih optere}enja, ovo je stanje minimalnih ukupnih momenata u preseku Mmin = Mk + Mg . Rezultuju}a sila pritiska u betonu Db0 u fazi prethodnog naprezanja deluje na ekscentricitetu c = Mmin / Nk0 = ebk - Mg / Nk0 (voditi ra~una o znaku momenata) u odnosu na teì{te Tb preseka, odnosno na ekscentricitetu z = Mg / Nk0 u odnosu na rezultantu prethodnog naprezanja Nk0 - rezultuj}a sila pritiska se pomera ka gornjoj ivici preseka, slika 5.6.a. Bilo bi idealno da se u datom preseku, pri sta-nju minimalnih momenata, rezultuju}a sila pritiska u betonu Db0 'popne' na donju ivicu jezgra preseka k1 , jer bi tada na gornjoj ivici preseka napon u betonu bio jednak nuli, dok bi na donjoj ivici bio ostvaren pritisak σb10 u fazi prethodnog naprezanja, slika 5.6.a. To je ve} projektantski podatak:

- da se ne bi pojavili naponi zatezanja na gornjoj ivici preseka u fazi prethodnog na-prezanja, rezultantnu prethodnog naprezanja Nk treba postaviti na ekscentricitetu ebk

(5.1) u odnosu na teì{te Tb betonskog preseka, slika 5.6.a. Ovo re{enje garantuje da u preseku nema zatezanja, ali ne garantuje i da je istovremeni napon pritiska σb10 u dozvoljenim granicama - to treba proveriti.

01

k

gbbk N

Mke +≤


5- 6

Ako se pri stanju minimalnih momenata savijanja obavi te~enje, skupljanje i relaksacija ~e-lika, sila pritiska }e da padne na minimalnu, trajnu vrednost sile Dbt=Nkt=ωNk0 , pa }e i centar pritiska vremenom da dodatno zadje unutar jezgra preseka. Pojavom ostalih spolja{-njih optere}enja, presek je istovremeno savijan maksimalnim momentom Mmax = Mk+Mq , (q - ukupno spolja{nje optere}enje) tako da se rezultuju}a sila pritiska Dbt dalje pomera ka pritisnutoj ivici betona. Bilo bi optimalno da se pri ovom stanju sila, centar pritiska 'popne' u gornju ta~ku jezgra preseka kb2 , slika 5.6.b. U tom slu~aju, na donjoj ivici preseka nema zatezanja - napon u betonu jednak je nuli. Pa i to je koristan podatak:

- usled gubitaka sile prethodnog naprezanja, kao i dejstva dodatnih spolja{njih opte-re}enja u preseku, rezultanta pritisaka Dbt '{eta' unutar jezgra preseka. Da se pri stanju maksimalnih momenata i minimalne normalne sile u preseku ne bi pojavili naponi zatezanja na donjoj ivici preseka, potrebno je da je

(5.2)

Da bi se rezultuju}a sila pritiska 'popela' sa donje, na gornju ta~ku jezgra pretpostavljenog preseka, promena ekscentriciteta i ukupne visine jezgra preseka vezani su relacijom

(5.2.a)

Za poznati presek i ukupne minimalne i maksimalne uticaje u preseku usled prethodnog naprezanja i spolja{njih optere}enja, jednakost (5.2.a) defini{e minimalnu potrebnu po~etnu silu prethodnog naprezanja minNk0 , potrebnu da odgovaraju}i ivi~ni naponi budu jednaki nuli. S obzirom da se bavimo ograni~eno prethodno napregnutim konstrukcijama, kod kojih je dozvoljena i pojava napona zatezanja u betonu (ali ne i prslina), potrebno je prethodnu analizu pro{iriti i na ovaj op{tiji slu~aj, slika 5.7. Ako se u preseku dozvoljava pojava napona zatezanja σbz0 u fazi prethodnog naprezanja, odnosno napona zatezanja σbzt u fazi eksploatacije, tada rezultuju}a sila pritiska u preseku moè donekle da 'izadje' iz klasi~nog jezgra preseka, da se '{eta' unutar pro{irenog jezgra preseka, koje zavisi i od normalne sile u preseku, i definisano je rastojanjima:

d

Tb

a k

k1

k2

k b1

Db0

Mg

d

Tb

a k

k1

k2Dbt

Mq k b2σb10

σb2t

a.) b.)

Nk0

z=M

g/Nk0 Nkt

e bk

z=M

q/N

ktc

c

e bk

Slika 5.6 '[etanje' rezultante pritiska Db unutar preseka pri potpunom prethodnom naprezanju

02

k

qbbk N

Mke

ω≥+

0021

k

gq

k

g

kt

qbb N

MMNM

NM

kkω

ω−=−≥+


5- 7

(5.3)

Sila pritiska u betonu jednaka po~etnoj sili prethodnog naprezanja, Db0 = Nk0 , koja deluje na donjoj ivici k1z pro{irenog jezgra preseka, izazva}e na gornjoj ivici preseka napon zate-zanja σbz0 , dok }e se napon zatezanja σbzt na donjoj ivici preseka, pojaviti pri dejstvu sile pritiska u betonu Dbt = Nkt na gornjoj ivici k2z pro{irenog jezgra preseka, slika 5.7. Istovre-meni naponi pritiska ne moraju da budu u granicama dopu{tenih, treba ih proveriti. Ana-logno prethodnoj analizi:

- da ne bi bio prekora~en napon zatezanja na gornjoj ivici u fazi prethodnog napre-zanja, rezultantnu prethodnog naprezanja Nk treba postaviti na ekscentricitetu ebk

(5.4) u odnosu na teì{te Tb betonskog preseka, slika 5.7.a (naponi zatezanja σbz0 , σbzt unose se kao pozitivne veli~ine).

- da se pri stanju maksimalnih momenata i minimalne normalne sile u preseku ne bi pojavili naponi zatezanja na donjoj ivici preseka, potrebno je da je

(5.5) - da bi se rezultuju}a sila pritiska 'popela' sa donje, na gornju ta~ku jezgra pretpo-stavljenog preseka, promena ekscentriciteta i ukupne visine jezgra preseka vezani su relacijom

(5.5.a) Ove relacije izvedene su iz uslova ograni~enja napona zatezanja, i uglavnom su u praksi merodavne, jer su naponi pritiska obi~no manji problem. Ako se ispostavi da je ipak neki

dTb

a k

k1

k2k b1

+σ bz

0Wb2

/Nk0

Db0

Mg

d

Tb

a k

k1

k2

Dbt

Mq k b2 +

σ bztW

b1/N

kt

σb10

σb2t

a.) b.)

Nk0

z=M

g/Nk0 Nkt

e bkz=M

q/N

kt

σbz0

σbzt

e bk

c

k1z

k2z

k1z

k2z

c

Slika 5.7 '[etanje' rezultante pritiska Db unutar preseka pri ograni~enom prethodnom naprezanju

0

2011

k

bbzbz N

Wkk σ+=

kt

bbztbz N

Wkk 122 σ+=

00

201

k

g

k

bbzbbk N

MNWke ++≤ σ

0

1

0

20

021

k

bbzt

k

bbz

k

gqbb N

WN

WN

MMkk

ωσσ

ωω

−−−

≥+

0

1

02

k

bbzt

k

qbbk N

WN

Mke

ωσ

ω−≥+


5- 8

od napona pritisaka prekora~en, pove}anje kriti~ne pritisnute povr{ine betona - flan{e, obi~no re{ava problem. Za tipi~ne popre~ne preseke, na slici 5.1 su date i uobi~ajene vrednosti ebk + kb2 , odnosno kb1 + kb2 . 5.3.2 Stati~ki neodredjeni nosa~i Prikazana interpretacija prethodnog naprezanja kao 'sile u jezgru preseka' naravno da vaì i u slu~aju stati~ki neodredjenih konstrukcija. Razlika je {to algoritam za stati~ki odredjene konstrukcije polazi stanja na slici 5.5.a, dok je polaz za stati~ki neodredjene konstrukcije stanje na slici 5.5.b. Efekat sekundarnih momenata savijanja je da sila prethodnog napre-zanja Nk deluje ne ekscentricitetu c = ebk + Mks / Nk u odnosu na teì{te betonskog preseka Tb , kao da se teì{te kablova fizi~ki pomerilo u drugi poloàj. Sve {to je do sada re~eno u vezi analize napona, vaì i dalje, jedino treba stvarni ekscentricitet ebk zameniti sa ra~un-skim ekscentricitetom c . Druga varijanta je da se rezultanta kablova zadrì tamo gde jeste, na ekscentricitetu ebk , a da se sekundarni momenti proglase 'dodatnim spolja{njim optere}enjem' koje deluje ve} u fazi prethodnog naprezanja. Na àlost to nije sve, i tzv. 'pro{ireno jezgro preseka' zavisi od sekundarnih momenata. Dalje, svaka promena ekscentriciteta ebk rezultante sile prethodnog naprezanja u polju nosa~a menja i efekte prethodnog naprezanja pa i sekundarne momente, tako da je zame-tno formulisati jednostavna uputstva za 'manipulaciju' naponima, silama i njihovim ekscen-tricitetima. O~igledno je da naponsko stanje nekog preseka nije samo 'stvar tog preseka' kao u slu~aju stati~ki odredjenih konstrukcija, ve} mora da se analizira integralno, razma-tranjem ~itavog sistema konstrukcije, kroz vi{e iteracija. Za kontinualne grede problem moè da se formuli{e u programima tipa 'Excel', dok je u op{tem slu~aju, primena koncep-ta ekvivalentnog optere}enja racionalno i prirodno re{enje - analiza uticaja i napona stati~ki neodredjenih sistema sa prethodnim naprezanjem kao spolja{njim optere}enjem. 5.4 ALGORITAM ZA STATI^KI ODREDJENE KONSTRUKCIJE NA BAZI KONTROLE IVI^NIH NAPONA ZATEZANJA Kako na bazi dva navedena uslova organizovati algoritam dimenzionisanja? Na vi{e na~ina:

a.) za poznati presek i vrednosti momenata savijanja i dopu{tenih napona zatezanja, kao i pretpostavljenu vrednost koeficijenta ω , minimalna potrebna po~etna sila Nk0 moè da se dobije iz izraza (5.5.a), a njen potreban ekscentricitet u odnosu na teì{te ebk iz izraza (5.4) ili (5.5). Ponovimo, sila Nk0 odredjena iz uslova (5.5.a) pred-stavlja minimalnu mogu}u vrednost, potrebnu da rezultanta pritiska Db 'pro{eta' iz-medju grani~nih ta~aka jezgra preseka.

a.1) Ako je potreban ekscentricitet mogu}e realizovati, treba jo{ proveriti i napone pritiska u fazi prethodnog naprezanja, odnosno u fazi eksploatacije. Ako je prekora~en neki od napona pritisaka, tada treba pove}ati visinu i ot-porne momente preseka, ako je cilj minimalna sila - najmanja koli~ina kablova;


5- 9

a.2) êsto se ispostavi da potrebnu vrednost ekscentriciteta pri minimalnoj potrebnoj sili prethodnog naprezanja nije mogu}e realizovati u preseku date visine, ekscentricitet ebk moè da 'ispadne' van preseka, ili je suvi{e nisko u preseku, pa potreban broj kablova nije mogu}e rasporediti na zadatom ekscentricitetu. U ovom slu~aju preseka ograni~ene visine, treba pre}i na naredni algoritam.

b.) za poznati presek, vrednosti momenata savijanja i dopu{tenih napona zatezanja, kao i pretpostavljenu vrednost koeficijenta ω , moè da se pretpostavi ekscentri-citet ebk , da se iz nejedna~ine (5.4) odredi gornja granica potrebne po~etne sile Nk0 , a iz nejedna~ine (5.5) donja granica potrebne po~etne sile prethodnog naprezanja. Ve}a od dve vrednosti izazva}e pojavu dopu{tenog napona zatezanja na gornjoj ivici u fazi prethodnog naprezanja, dok }e manja vrednost prouzrokovati pojavu dopu{tenih napona zatezanja na donjoj ivici prseka u fazi eksploatacije. Ako u ovom slu~aju nema re{enja, treba probati sa pove}anjem otpornih momenata preseka pove}anjem flan{i.

Sve do sada bilo je govora o potrebnoj veli~ini sile prethodnog naprezanja u nekom - mero-davnom preseku, sredina raspona proste grede, na primer. Da bi se odredila potrebna po-~etna sila na presi, potrebno je proceniti gubitke usled trenja (ako je u pitanju naknad-no prethodno naprezanje), za toliko uve}ati potrebnu silu na mestu kotvi, i potom odrediti potreban broj kablova. 5.3.1 Uticaj razli~itih odnosa dodatnih optere}enja prema sopstvenoj teìni nosa~a Na veli~inu potrebne sile prethodnog naprezanja i njen ekscentricitet bitno uti~e odnos maksimalnih Mq i minimalnih Mg momenata savijanja u preseku, slika 5.8. Zatamnjena oblast preko sva tri preseka, izmedju koordinata pro{irenog jezgra preseka k1z odnosno k2z , predstavlja oblast unutar koje se rezultuju}a sila pritiska u betonu Db0 odnosno Dbt '{eta' , zavisno od uticaja u preseku.

a.)

Tb

a k

Db0

Nk

Mg/N

k0

e bkk1z

k2z

Dbt

Tb

a k

Db0

Nk

Mg/N

k0

e bk

k1z

k2z

Dbt

b.)

Tb

Dbtmin

Nk

Mm

in/N

kt

e bk

k1z

k2z Dbtmax

Dbgt

Mq/

Nkt

Mg/N

kt

c.)

Mg

Mq

Mq/

Nkt

Mq

MgMg

maxMq

minMq

Mq/

Nkt

a k

Slika 5.8 Potreban ekscentricitet ebk u zavisnosti od odnosa Mmax / Mmin


5- 10

U slu~ajevima kada je sopstvena teìna konstrukcije dominantna, slika 5.8.a, obi~no je me-rodavan kriterijum dopu{tenog napona zatezanja u eksploataciji, izraz (5.5). Iskori{}enje napona zatezanja u fazi prethodnog naprezanja nema smisla, treba pustiti da po~etna rezul-tuju}a sila pritisaka Db0 zadje u jezgro preseka, tako da do gornje ta~ke jezgra ostane taman koliko treba da se pri minimalnoj sili prethodnog naprezanja, i maksimalnom spolja{njem momentu Mq , rezultuju}a sila pritiska Dbt popne na gornju ta~ku jezgra. O~igledno je da u ovom slu~aju ukupna visina jezgra preseka moè da bude manja, mogu da se upotrebe nosa~i sa manjim flan{ama, ili bez njih. U slu~ajevima kada je sopstvena teìna konstrukcije relativno mala, kao u slu~aju kranskih staza na primer, slika 5.8.b, potrebni su preseci sa {to ve}om ukupnom visinom jezgra, jer velika razlika momenata ∆M = Mq - Mg izaziva i veliku promenu ekscentriciteta rezultuju}e sile pritiska Db . Preseci sa nagla{enim flan{ama su tipi~ni u ovim slu~ajevima, ali je ~esto potrebna i pove}ana sila prethodnog naprezanja Nko , na manjem ekscentricitetu ebk . Prethodna dva slu~aja su tipi~na za sisteme prostih greda, kod kojih dodatna optere}enja obi~no pove}avaju momente savijanja (osim ako nije u pitanju sisanje vetra). Ako su mo-menti savijanja usled dodatnih optere}enja alternativnog karaktera, tada ukupni momenti u eksploataciji mogu da budu ve}i, ali i manji od momenata usled sopstvene teìne pri pret-hodnom naprezanju, slika 5.8.c (greda sa prepustom, ili kontinualni nosa~i, na primer). U tom slu~aju, rezultanta prethodnog naprezanja mora da se 'smesti' unutar pro{irenog jezgra preseka ve} u fazi prethodnog naprezanja, na malom ekscentricitetu (zato }e morati sila da bude ve}a), tako da se obezbedi prostor za '{etanje' sile pritiska Db u oba smera, zavisno od trenutne vrednosti momenata. Re{enje treba traìti u presecima sa razvu~enim, visokim jezgrom kao i u ve}oj sila prethodnog naprezanja - 'prethodno naprezanje kroz jezgro pre-seka'. Ova situacija je tipi~na za konstrukcije kontinualnih mostova. 5.3.2 Preseci sa neiskori{}enim naponima pritiska u eksploataciji U slu~aju popre~nih preseka sa izraènim gornjim flan{ama, obi~no nije iskori{}en napon pritiska pri maksimalnim momentima u eksploataciji, slika 5.9. Sa usvojenim dimenzijama popre~nog preseka, potrebna trajna sila prethodnog naprezanja Nkt moè da se odredi iz uslova, da napon zatezanja σb1t na donjoj ivici pri maksimalnim momentima usled spoljnih optere}enja, bude u dopu{tenim granicama σbzdt (napon se unosi sa pozitivnim znakom)

(5.6)

d

σbzdt

NktTb

k b2e bk

Slika 5.9 Preseci sa 'neiskori{}enim naponima' pritiska u eksploataciji

bkb

bbzdtkt ek

WMN+

−=

2

1max σ


5- 11

Ovaj, mo`da najpoznatiji izraz (izveden iz izraza 5.5) 'garantuje samo jedan pogodak', zadovoljenje napona zatezanja u eksploataciji. Sve druge napone tek treba proveriti, posebno napon zatezanja na gornjoj ivici u fazi prethodnog naprezanja. 5.5 ALGORITMI ZA STATI^KI ODREDJENE KONSTRUKCIJE NA BAZI KONTROLE SVIH IVI^NIH NAPONA U vremenu dominacije numeri~kih metoda, bilo primene programa tipa 'Excel', bilo soft-vera za analizu preseka i konstrukcija, tradicionalne grafi~ke metode re{avanja problema naprezanja preseka polako se povla~e. Kada je u pitanju analiza jednog preseka, tada se osnovni izrazi za ivi~ne napone preseka (4.4) i (4.7) mogu interpretirati grafi~ki u obliku 'Manjel-ovog dijagrama' zavisnosti sile prethodnog naprezanja Nk0 i ekscentriciteta ebk , slika 5.10. Ako se navedeni izrazi postave kao nejedna~ine, kao uslovi da su ivi~ni naponi manji od odgovaraju}ih dopu{tenih napona, tada u koordunatnom sistemu Nk0 - ebk ~etri nejedna~ine defini{u oblast mogu}ih vrednosti sila i ekscentriciteta.

(5.7.a)

(5.7.b)

(5.7.c)

(5.7.d)

ebk

1/Nk0

kb2 kb1

5.7.a

5.7.b

5.7.c5.7.d

min1/Nk0

max1/Nk0

ebk

Slika 5.10 Manjel-ov dijagram

10

2

0

1

bbdg

bbk

k WMke

N σ++

≥

20

1

0

1

bbzdg

bbk

k WMke

N σ+−

≥

1

2

0

)(1

bbzdt

bbk

k WMqke

N σω

−+

≤

2

1

0

)(1

bbdt

bbk

k WMqke

N σω

−−

≤


5- 12

5.6 VODJENJE TRASE REZULTANTE PRETHODNOG NAPREZANJA 5.6.1 Vodjenje krivolinijske trase Potrebne dimenzije popre~nog preseka, sila prethodnog naprezanja kao i njen ekscentrici-tet obi~no se odredjuju u preseku sa ekstremnim vrednostima momenata savijanja, u sredini raspona proste grede, ili nad srednjim osloncem kontinualnog nosa~a - kao i u slu~aju klasi~no armiranih konstrukcija. Za razliku od klasi~no armiranih konstrukcija, kod kojih se zadràva 'ekscentricitet' armature, a menja povr{ina armature njenim ukidanjem - 'pokrivanje momenata ili linije zateù}ih sila', u naknadno prethodno napregnutim konstrukcijama se teì da se zadrì povr{ina kablova - sila prethodnog naprezanja, ali da se du` nosa~a menja njen ekscentricitet ebk , slika 5.10. Danas se teì {to duìm trasama kablova, sa {to manje kotvi, jer su mesta ukotvljenja ~esto podlo`na koroziji.

Ako je poznat ekscentricitet potrebne sile u merodavnom preseku, tada u poljima nosa~a trasu rezultante treba voditi prema konceptu balansiranja spoljnih optere}enja, pog-lavlje 2.1.4. Oblik trase rezultante treba da odgovara karakteru spoljnih optere}enja, da je afin toku momenata savijanja usled spoljnih optere}enja, tako da skretno optere}enje qk balansira spolja{nja dejstva. U slu~aju podeljenih spolja{njih optere}enja, paraboli~ne trase su prirodno re{enje. Svojevremeno je bio popularan grafi~ki prikaz grani~ne oblasti dozvoljenih ekscentri-citeta ebk du` stati~ki odredjenih nosa~a - tzv. 'fizo zone', slika 5.11. Za pretpostavljeni presek i veli~inu sile prethodnog naprezanja, potreban ekscentricitet je jedina nepoznata. Grani~na oblast odredjuje se iz osnovnih izraza za ivi~ne napone preseka u fazi prethodnog naprezanja, izrazi (4.4), odnosno u fazi eksploatacije, izrazi (4.7.)

(5.8.a)

(5.8.b)

(5.8.c)

(5.8.d)

k 2zk 1z

TL Rezultuju}i kablm

axe bk

min

e bk

Slika 5.11 Grani~na oblast dozvoljenih ekscentriciteta - 'fizo zona'

20

10b

k

bbdgbk k

NWM

e −+

≤σ

10

20b

k

bbzdgbk k

NWM

e ++

≤σ

20

1b

k

bbzdtqbk k

NWM

e −−

≥ω

σ

10

2b

k

bbdtqbk k

NWM

e +−

≥ω

σ


5- 13

gde su σbdo , σbdt - dopu{teni naponi pritiska u fazi prethodnog naprezanja odnosno u eks-ploataciji, σbzdo , σbzdt - dopu{teni naponi zatezanja u fazi prethodnog naprezanja odnosno u eksploataciji (u izraze 5.8 ulaze sa apsolutnom vredno{}u). Izrazi (5.8), defini{u ~etiri neje-dna~ine - ~etiri krive, od kojih su dve merodavne za odredjivanje maksimalnog - max ebk , odnosno minimalnog - min ebk dozvoljenog ekscentriciteta rezultante prethodnog naprezanja, pa da sva ~etiri naponska uslova budu zadovoljena, slika 5.11. 5.6.2 Vodjenje pravolinijske trase rezultante prethodnog naprezanja I kablovi i uàd za prethodno naprezanje mogu da se vode pravolinijski, ali je taj tip trase ipak tipi~an za adheziono prethodno naprezanje uàdima - prethodno naprezanje na stazi, slika 5.12. Da bi se nosa~ sistema proste grede ({to je tipi~no za prethodno naprezanje na stazi) pret-hodno napregao celom duìnom pravolinijskom trasom rezultante sila u uàdima, trasa rezultante mora da bude unutar pro{irenog jezgra preseka, linije k1z - k2z na slici 5.12, da se ne bi pojavili preveliki naponi zatezanja u zoni oslonaca, gde su momenti savijanja jedna-ki nuli. Tako se ~esto radi, relativno mali ekscentricitet rezultante zahteva ve}u silu i vi{e uàdi, ali je bar izvodjenje jednostavno. Ako je potrebno u{tedeti na uàdima, a i na dimenzijama preseka, moè da se u usvoji manja sila Nk1 na ve}em ekscentricitetu ebk1 , van pro{irenog jezgra preseka, slika 5.12. Da bi se bliè krajevima rezultanta ipak vratila u jezgro preseka, deo uàdi moè da se izoluje od betona, navla~enjem plasti~ne cevi duìne l0 , na primer, slika 5.12 i 5.13 (videti i sliku 1.8).

Nk2

k 2z

TL

min

e bk

max

e bk

k 1z

maxl0 maxl0

Nk1

Nk2Nk2

e bk1

e bk2

Rezultuju}i kabl

k 2z

TL

min

e bk

max

e bk

k 1z

minl0 minl0

Nk1

Nk2

e bk1

e bk2

Rezultuju}i kabl

a.)

b.)

Slika 5.12 Vodjenje pravolinijske trase rezultante prethodnog naprezanja,

sa izolovanjem dela uàdi u slu~aju adhezionog prethodnog naprezanja


5- 14

Redukovana rezultanta prethodnog naprezanja Nk2 deluje na menjem ekscentricitu ebk2 , unutar jezgra preseka. Ako je potrebno podi}i rezultantu, onda je logi~an izbor da se izoluju najnià uàd, slika 5.13. Ostaju jo{ pitanja, koliko uàdi izolovati, i na kom delu duìne nosa~a l0 izvr{iti redukciju rezultante prethodnog naprezanja? Obi~no se broj izolovanih uàdi pretpostavlja na osnovu usvojenog rasporeda u sredini raspona, slika 5.13. Teì se da se zadrì simetrija, ali i da se ekscentricitet u polju ebk1 smanji na potrebnu veli~inu ebk2 , unutar jezgra preseka. Ako se uàd izoluju prerano, na odstojanju max l0 od oslonca, tada }e, zbog smanjenog eks-centriciteta ebk2 , u ovoj zoni biti prekora~eni naponi zatezanja na donjoj ivici u fazi eksplo-atacije, i/ili naponi pritiska na gornjoj ivici takodje u eksploataciji, slika 5.12.a. Ako se pak to uradi prekasno, bliè osloncu, na rastojanju min l0 , tada }e u ovoj zoni biti prekora~eni naponi zatezanja na gornjoj ivici, i/ili naponi pritiska na donjoj ivici preseka u fazi prethod-nog naprezanja, slika 5.12.b. Na slici 5.12 prikazana je i 'fizo zona' za slu~aj konstantne sile prethodnog naprezanja du` nosa~a Nk = Nk1 . Problem odredjivanja duìne izolovanja l0 = min l0 moè da se re{i i analiti~ki, postavljanjem uslova da ivi~ni naponi u fazi prethodnog

naprezanja punom silom Nk1 na ekscentri-citetu ebk1 budu u granicama dopu{tenih, slika 5.12.b. Naravno da treba proveriti i napone u istom preseku na strani prema osloncu, i dokazati da, pri sili prethodnog naprezanja Nk2 na ekscentricitetu ebk2 , nisu prekora~eni ivi~ni naponi u eksploataciji. Problem se naravno moè re{iti i probanjem, u par iteracija.

5.7 KONTROLA GRANI^NOG STANJA NOSIVOSTI Prethodni algoritam kao rezultat treba da da prihvatljivo stanje napona u svim fazama ìvota konstrukcije. Medjutim, ostaje da se provere bar jo{ stanja grani~ne nosivosti - koeficijent sigurnosti od loma, kao i stanje deformacija konstrukcije. Grani~na nosivost se proverava na ve} izloèni na~in, poglavlje 4.4. Za usvojeni presek i prethodno naprezanje koji garantuju stanje napona, obi~no je i koeficijent sigurnosti od loma u traènim granicama. Ako se pokaè da je nedovoljan, bilo bi vrlo mu~no menjati presek i/ili kablove(uàd), nakon {to je stanje napona s mukom izbalansirano. Obi~no je dovoljno da se u zategnutoj zoni angaùje i zategnuta klasi~na armatura koja obi~no postoji, ili da se doda koliko je potrebno i da se koeficijent sigurnosti podigne ne èljenu vrednost. 5.8 KONTROLA GRANI^NOG STANJA DEFORMACIJA Ako ugibi konstrukcije nisu u redu, to je ve}i problem. Koliki su dozvoljeni ugibi, obi~no je definisano propisima, zavisno od namene objekta. Preveliki ugibi konstrukcije mogu da se koriguju dodatnim utezanjem kablova, pove}anjem skretnog optere}enja - ali onda smo verovatno upropastili upravo dokazano stanje napona u konstrukciji. Sve u svemu, problem deformacija je obi~no sistemski problem - dispozicija je problemati~na, a to se re{ava na

Tb

Tk1

Tk2

e bk2

e bk1

Slika 5.13 Izolovanje donjeg reda uàdi


5- 15

po~etku posla. Zna~i, nazad na po~etak! Treba promeniti krutost sitema, mo`da i nivo prethodnog naprezanja - 'potisak kablova', metodom ekvivalentnih optere}enja anali-zirati problem deformacija ali i napona, i do}i do preseka i nivoa prethodnog naprezanja koji }e da izbalansiraju i deformacije i napone. Posao definitivno pada u krizu ako se i naponi i deformacije lepo izbalansirani, ali se ispo-stavi da su recimo vibracije u eksploataciji nepodno{ljive! To je takodje sistemski problem, u kome u~estvuju krutost, masa, prigu{enje i pobudjuju}e optere}enje. Ako je objekat izve-den, problem obi~no moè da se sanira. Ako je u pitanju faza projekta, a neko postavi i za-htev kontrole vibracija, to se takodje re{ava na po~etku posla. 5.9 OD GRANI^NOG STANJA NOSIVOSTI, KA DOPU[TENIM NAPONIMA Za kraj, ne{to {to obi~no ne ide uz metodologiju dopu{tenih napona, ali jako li~i na uobi-~ajeni postupak projektovanja klasi~no armiranih konstrukcija. Ve} je re~eno da se danas prethodno napregnute konstrukcije smatraju samo varijantom armiranobetonskih kon-strukcija. Su{tina postupka koji sledi je, da se potrebna povr{ina ~elika za prethodno naprezanje (kablova, uàdi) odredi iz uslova grani~ne nosivosti merodavnih preseka, a da se po~etni napon u kablu odredi iz uslova dopu{tenih napona u betonu. Naime, ve} je pokazano da grani~na nosivost preseka ne zavisi od po~etnog napona u kablu, koji pak uti~e na krivinu preseka pri dostizanju grani~ne nosivosti. Kao i u slu~aju klasi~no armiranih konstrukcija, dimenzionisanje prethodno napregnutih preseka moè da se izvr{i prema grani~nom stanju nosivosti:

- 'slobodno' dimenzionisanje, pri ~emu se odredjuje visina preseka i povr{ina ~eli-ka za prethodno naprezanje (pa`nja, ne sila prethodnog naprezanja) u merodavnim presecima;

- 'vezano' dimenzionisanje, za prethodno pretpostavljen presek, odredjuje se potrebna povr{ina ~elika za prethodno naprezanje.

Algoritam je analogan poznatom postupku dimenzionisanja klasi~no armiranih konstruk-cija, samo {to treba voditi ra~una da ~elik za prethodno naprezanje ve} ima po~etni napon-dilataciju, na na~in prikazan u poglavlju 4.4. Pretpostavka je da je presek 'duktilan', i da 'lom preseka' nastaje razvla~enjem ~elika - da je napon u ~eliku jednak usvojenoj granici razvla~enja. Sa poznatom povr{inom kablova, po~etna sila prethodnog naprezanja definisana je kao proizvod povr{ine kabla (uèta) i dopu{tenog napona u kablu (uètu) pri prethodnom naprezanju, dok se trajna sila prethodnog naprezanja procenjuje na bazi pretpostav-ljene vrednosti ω . Trasa rezultuju}eg kabla se usvaja na poznati na~in, nakon ~ega treba izvr{iti kontrolu napona u presecima. Ako se ispostavi da je sila prethodnog naprezanja prevelika, tada se moè smanjiti po~etni napon prethodnog naprezanja, {to ne uti~e na grani~nu nosivost. Druga varijanta je da se smanji broj kablova (uàdi), ali da se oni nado-knade odgovaraju}om povr{inom klasi~ne armature, kako bi se sa~uvao potreban koefici-jent sigurnosti od loma preseka. Deluje atraktivno, treba probati.


5- 16

5.10 IMA LI SVE OVO POKRI]E U EVROKODU? Kao rezultat primene ovoga teksta, treba da se dobije prethodno napregnuta konstrukcija od koje se o~ekuje da ne}e imati prslina. Zaboravimo na tren kako smo do toga do{li, pri-menom kojih propisa i algoritama, mogli smo u krajnjoj liniji sve da usvojimo, 'javilo nam se'. Na eventualno pitanje da li je takva konstrukcija u redu po savremenim propisima, Evrokodu na primer, 'drzak' odgovor je - pa proverite! Evrokod se naravno razlikuje u konceptu i detaljima, ali }e rezultat vrlo verovatno biti da ova konstrukcija stvarno nema prslina, i da je obezbedjena potrebna grani~na nosivost preseka. Naime, da li ima ili nema prslina, Evrokod }e da utvrdi tako {to }e sra~unatu vrednost ivi~nog napona zatezanja da uporedi sa ~vrsto}om betona na zatezanje. Pre }e da se desi da mo`da treba poja~ati uzen-gije u zoni pove}anih transverzalnih sila, ili da su za{titni slojevi premali itd. Rezime za kraj. Evrokod priznaje i, u slu~ajevima agresivnih sredina preporu~uje prethod-no napregnute konstrukcije bez prslina. Sli~na je situacija i kod konstrukcija mostova. De-talji se razlikuju, ali sve ovo do sada nije bilo 'gubljenje vremena' - razre{enje dileme iznete negde na po~etku teksta.


5- 17

5.11 PRIMERI 5.11.1 Primer 1 Za tehnolo{ki uslovljen oblik popre~nog preseka adheziono prethodno napregnute monta`-ne o{upljene tavanice, uraditi idejno re{enje i odrediti potreban broj uàdi sistema IMS, za pravolinijsku trasu, bez izolovanja uàdi. Podaci: raspon L0 =12,0m; marka betona - 40MPa u fazi prethodnog naprezanja, 50MPa u eksploataciji; dodatno stalno opt. ∆g=1,70kN/m2; korisno optere}enje p=3,50kN/m2; ogra-ni~eno prethodno naprezanje.

Komentar: Dimenzije monta`nih elemenata ovoga tipa obi~no su definisane od stra-ne proizvodja~a, zavisno od tehnolo{kih mogu}nosti opreme kojom raspolaè. Proiz-vodja~i obi~no putem kataloga nude izbor razli~itih preseka, dimenzija, raspona, optere}enja i razli~itih detalja. U svetu se uloga projektanta u ovom slu~aju svodi na izbor iz kataloga, jer svi proizvodi imaju atest.

- Dopu{teni normalni naponi u betonu (Tabela 5, PNB71, i slika 4.3):

Faza prethodnog naprezanja - MB40 pritisak σbd0 = 19,5MPa zatezanje σbzd0 = -3,0MPa

Faza eksploatacije - MB50 pritisak σbdt = 18,5MPa zatezanje σbzdt = -2,1MPa - Dopu{tena po~etna sila prethodnog naprezanja jednog uèta N0

k1 Komentar: êsto se primenjuju uàd manjeg pre~nika, zbog bolje adhezije sa beto-nom, φ12,5 ( 93mm2) na primer. Sistem IMS nudi dva pre~nika uàdi, φ15,2 i φ16 - usvojeno φ15,2. Katalog IMS , Tabela 1.7.1: klasa ~elika B; usvojeno 80% sile kida-nja uèta; σkz=1860MPa; povr{ina uèta 140mm2 N0

k1=208kN - Geometrijske karakteristike bruto betonskog preseka

Za analizu u okviru idejnog re{enja, usvaja se karakteristi~ni simetri~ni I - segment popre~nog preseka elementa, {irine flan{e b = 22,4cm, slika 5.15. Povr{ina preseka Fb = 309,2cm2

Teì{te preseka u odnosu na donju ivicu yT = 14,0cm Moment inercije preseka Ib = 32252cm4

120

6 18.4 4 18.4 4 18.4 4 18.4 4 18.4 6

28

420

4

5

55

Slika 5.14 Popre~ni presek monta`ne tavanice


5- 18

Otporni moment preseka Wb = 2304cm3 Odstojanje jezgra preseka od teì{ta kb = 7,45cm

- Stati~ki uticaji u fazi prethodnog naprezanja Sopstvena teìna g = Fbγ = 309,2x10-4 x 25,0 = 0,773kN/m Ra~unski raspon pri {irini oslanjanja od oko 15cm L = L0 - 0,15 = 12,00 - 0,15 = 11,85m Mg = gL2 / 8 = 0,773 x 11,852 / 8 = 13,57kNm Rg = gL/2 = 0,773x11,85 / 2 = 4,58kN - Stati~ki uticaji u fazi eksploatacije Sopstvena teìna Mg = gL2 / 8 = 0,773 x 11,852 / 8 = 13,57kNm Rg = gL/2 = 0,773x11,85 / 2 = 4,58kN Dodatno stalno optere}enje ∆gI = ∆g b = 1,70 x 0,224 = 0,38kN/m M∆g = 0,380 x 11,852 / 8 = 6,67kNm R∆g = 0,380x11,85 / 2 = 2,25kN Korisno optere}enje pI= pb = 3,50 x 0,224 = 0,784N/m Mp = 0,784 x 11,852 / 8 = 13,76kNm Rp = 0,784x11,85 / 2 = 4,65kN Ukupno, sopstvena teìna+dodatno stalno+korisno Mq = 13,57 + 6,67 + 13,76 = 34,00kNm Rq = 4,58 + 2,25 + 4,65 = 11,48kN (A) Prora~un potrebne sile prethodnog naprezanja i njenog ekscentriciteta

Komentar: Rezultanta prethodnog naprezanja mora na osloncu, gde su momenti savijanja jednaki nuli, da prolazi kroz donju ta~ku 'pro{irenog jezgra preseka', ili sa jo{ manjim ekscentricitetom, da se ne bi pojavili preveliki naponi zatezanja na gor-njoj ivici u fazi prethodnog naprezanja. Veli~ina maksimalne dozvoljene po~etne

120

6 18.4 4 18.4 4 18.4 4 18.4 4 18.4 6

28

420

4

5

55

22,4

Slika 5.15 Tipi~ni segment I - preseka


5- 19

sile prethodnog naprezanja, kao i njen poloàj odredi}e se iz naponskih uslova na osloncu. Sa definisanim poloàjem sile, vrednost minimalne potrebne po~etne sile odredi}e se iz naponskih uslova u sredini raspona.

- Presek na osloncu Uslov iskori{}enja napona zatezanja u fazi prethodnog naprezanja

(kN, cm)

odnosno

Zbog uslova betoniranja, i usvojenog za{titnog sloja >2,5cm, pretpostavlja se poloàj rezultante prethodnog naprezanja na rastojanju ak = 4,0cm od donje ivice elementa.

Ekscentricitet sile prethodnog naprezanja ebk = d/2 - ak = 28,0/2 - 4,0 = 10,0cm Maksimalna dozvoljena po~etna sila prethodnog naprezanja na osloncu Kontrola napona pritiska u preseku na osloncu u fazi prethodnog naprezanja Pretpostavlja se Nk0 = 271kN, ebk = 10,0cm

Napon pritiska na donjoj ivici preseka

Komentar: Prekora~enje u odnosu na dopu{teni napon pritiska u fazi prethodnog naprezanja σbd0 = 19,5MPa iznosi 5%. Pre-kora~enje se prihvata, jer }e naponi u betonu biti ne{to niì, ako se uzme u obzir i prisustvo ~elika u preseku - 'idealizovani' presek. Pored toga, jo{ nije izvr{ena kontrola napona u preseku u sredini raspona, mo`da }e biti potrebna nià vrednost sile.

- Potrebna minimalna po~etna sila u preseku u sredini raspona

Komentar: Maksimalna veli~ina po~etne sile prethodnog naprezanja i njen ekscentricitet, uslovljeni su naprezanjima preseka na osloncu. Sa usvojenim ekscentricitetom na osloncu, potrebna minimalna po~etna sila prethodnog naprezanja odredi}e se iz naponskih uslova u sredini raspona, izrazi (5.4 i 5.5).

000

201

230430,045,7kk

g

k

bbzdbbk NN

MNWke +=++≤ σ

45,7230430,0

1

200 −

=−

+≤

bkbbk

bbzdgk e

xke

WMN

σ

kNxke

WMN

bbk

bbzdgk 271

45,70,10230430,0

1

200 =

−=

−

+≤

σ

MPake

FN

b

bk

b

kb 5,2005,2)

45,70,101(

2,3090,271)1(

2

010 ==+=+=σ


5- 20

Uslov iskori{}enja napona zatezanja u fazi prethodnog naprezanja (izraz 5.4)

odnosno

Uslov iskori{}enja napona zatezanja u fazi eksploatacije (izraz 5.5) Pretpostavljaju se gubici usled te~enja, skupljanja i relaksacije od 15%

ω=0,85

odnosno

Pretpostavlja se Nk0 = 196,6kN

Kontrola napona pritisaka u sredini raspona u fazi prethodnog naprezanja

Kontrola napona pritisaka u sredini raspona u fazi eksploatacije Nkt = 0,85 x 196,6 = 167,1kN

Komentar: Naponi pritiska su u granicama dopu{tenih.

(B) Usvajanje uàdi za prethodno naprezanje

Nk0 = 196,6kN Pretpostavljaju se 5% gubici usled elasti~nih deformacija betona.

Potrebna po~etna sila na presi N0

k1 = Nk0 / 0,95 = 196,6 / 0,95 = 206,9kN

00

201

k

g

k

bbzdbbk N

MNWke ++≤ σ

kNxxke

WMN

bbk

bbzdgk 2,803

45,70,10230430,01057,13 2

1

200 =

−+

=−

+≤

σ

0

12

0 k

bbzdtb

k

qbk N

WkN

Me

ωσ

ω−−≥

kNxxkeWM

Nbbk

bbzdtqk 6,196

)45,70,10(85,0230421,0100,34

)(

2

2

10 =

+−

=+

−≥

ωσ

MPaxWM

ke

FN

b

g

b

bk

b

kb 0,9

23041057,13)

45,70,101(

2,3096,196)1(

2

12

010 =−+=−+=σ

MPaxWM

ke

FN

b

q

b

bk

b

kttb 9,12

2304100,34)

45,70,101(

2,3091,167)1(

2

212 =+−=+−=σ


5- 21

Usvaja se u svakom 'rebru' po jedno uè φ15,2 sa dozvoljenom silom na presi od N0

k1 = 208kN > 206,9kN pri naponu od 80% ~vrsto}e na kidanje. Uàd se u fazi prethodnog naprezanja zateù do sile od 206,9kN, a moè i do svih 80% sile kidanja.

(C) Pregled stanja napona Faza prethodnog naprezanja Sila na presi

N0k1 = 208kN

Po~etna sila nakon gubitaka usled elasti~nih deformacija betona Nk0 = 0,95x N0

k1 = 0,95x208 = 197,6kN

Presek u sredini raspona

Presek na osloncu

Faza eksploatacije ω = 0,85 Nkt = ω Nk0 = 0,85x197,6 = 167,9kN

120

6 18.4 4 18.4 4 18.4 4 18.4 4 18.4 6

28

420

4

5

55

4

Slika 5.16 Presek sa uàdima 6φ15,2

MPaxWM

ke

FN

b

g

b

bk

b

kb 1,9

23041057,13)

45,70,101(

2,3096,197)1(

2

12

010 =−+=−+=σ

MPaxWM

ke

FN

b

g

b

bk

b

kb 7,3

23041057,13)

45,70,101(

2,3096,197)1(

2

22

020 =+−=+−=σ

MPake

FN

b

bk

b

kb 0,15)

45,70,101(

2,3096,197)1(

2

010 =+=+=σ

MPake

FN

b

bk

b

kb 2,2)

45,70,101(

2,3096,197)1(

2

020 −=−=−=σ


5- 22

Presek u sredini raspona

Presek na osloncu

Komentar: Svi naponi su u granicama dopu{tenih.

MPaxWM

ke

FN

b

q

b

bk

b

kttb 0,2

2304100,34)

45,70,101(

2,3099,167)1(

2

121 −=−+=−+=σ

MPaxWM

ke

FN

b

q

b

bk

b

kttb 9,12

2304100,34)

45,70,101(

2,3099,167)1(

2

222 =+−=+−=σ

MPake

FN

b

bk

b

kttb 8,1)

45,70,101(

2,3099,167)1(

22 −=−=−=σ

MPake

FN

b

bk

b

kttb 7,12)

45,70,101(

2,3099,167)1(

21 =+=+=σ


5- 23

5.11.2 Primer 2 Glavni nosa~ krovne konstrukcije konstantnog popre~nog preseka, osovinskog raspona Lo=20m , izvodi se naknadnim prethodnim naprezanjem kablovima sistema IMS, slika 5.17 i 5.18. Za pretpostavljene dimenzije preseka, uraditi idejno re{enje i odrediti potreban broj i trasu kablova za prethodno naprezanje. Usvojiti slu~aj ograni~enog prethodnog napre-zanja (dozvoljava se pojava napona zatezanja), prema propisima PNB71. Napomena: Ovo je isti nosa~ iz primera 4.8.1, samo sa krivolinijskim kablovima, umesto pravolinijskih uàdi za prethodno naprezanje. Podaci: Faza prethodnog naprezanja : MB35 (prethodno naprezanje se ~esto vr{i pre dostizanja pune ~vrsto}e betona, ali pri dostignutoj ~vrsto}i od najmanje 70% ra~unske - MB45 u ovom slu~aju. Videti ~lan 12 PNB71) ; gubitak sile usled elasti~nih deformacija - 5%. Faza eksploatacije : MB45 ; gubitak sile usled te~enja i skupljanja - 20%; dodatno stalno optere}enje ∆g=16kN/m ; korisno optere}enje p=8,5kN/m ;

- Dopu{teni normalni naponi u betonu (Tabela 5, PNB71, i slika 4.3): Faza prethodnog naprezanja - MB35 (linearna interpolacija izmedju MB30-MB40): pritisak σbd0 = 17,3MPa zatezanje σbzd0 = -2,8MPa Faza eksploatcije - MB45 (linearna interpolacija izmedju MB40-MB50): pritisak σbdt = 17,3MPa zatezanje σbzdt = -1,9MPa



120

205

705

20

50

15 20 15



5- 24

- Stati~ki uticaji u fazi prethodnog naprezanja Sopstvena teìna g = Fbγ = 3750x10-4 x 25,0 = 9,37kN/m

Za {irinu oslonaca pretpostavlja se b0=30cm, pa je ra~unski raspon grede

L=L0 - b0 = 20,0-0,3= 19,7m Mg = gL2 / 8 = 9,38x19,72 / 8 = 455,0kNm Rg = gL/2 = 9,38x19,7 / 2 = 92,4kN - Stati~ki uticaji u fazi eksploatacije Sopstvena teìna Mg = 455,0kNm Rg = 92,4kN Dodatno stalno optere}enje ∆g = 16,0kN/m M∆g = 16,0 x 19,72 / 8 = 776,2kNm R∆g = 16,0x19,7 / 2 = 157,6kN Korisno optere}enje p = 8,5 kN/m Mp = 8,5 x 19,72 / 8 = 412,3kNm Rp = 8,5x19,7 / 2 = 83,7kN Ukupno, sopstvena teìna+dodatno stalno+korisno Mq = 455,0 + 776,2 + 412,3 = 1643,5kNm Rq = 92,4 + 157,6 + 83,7 = 333,7kN (A) Potrebna po~etna sila prethodnog naprezanja u preseku u sredini raspona

Komentar: S obzirom da se trasa kablova vodi krivolinijski - paraboli~no, u preseku u sredini raspona treba usvojiti {to ve}i ekscentricitet rezultante. Trasa rezultante }e se na osloncima popeti u jezgro preseka.

Ekscentricitet rezultante prethodnog naprezanja u sredini raspona Pretpostavlja se odstojanje rezultante od donje ivice preseka

ak = 10cm Ekscentricitet rezultante ebk = 60,0 - 10,0 = 50,0cm

Uslov iskori{}enja napona zatezanja u fazi prethodnog naprezanja (izraz 5.4)

odnosno

00

201

k

g

k

bbzdbbk N

MNWke ++≤ σ

kNxxxke

WMN

bbk

bbzdgk 3355

29,270,5010023,130,0100,455 52

1

200 =

−+

=−

+≤

σ


5- 25

Uslov iskori{}enja napona zatezanja u fazi eksploatacije (izraz 5.5) Gubici usled te~enja, skupljanja i relaksacije od 20% ω=0,80

odnosno

Pretpostavlja se Nk0 = 2311kN

Kontrola napona pritisaka u sredini raspona u fazi prethodnog naprezanja

Kontrola napona pritisaka u sredini raspona u fazi eksploatacije Nkt = 0,80 x 2311 = 1849kN

Komentar: Naponi pritiska su u granicama dopu{tenih.

(B) Usvajanje kablova za prethodno naprezanje

Potrebna ukupna po~etna sila u sredini raspona (usvojena donja granica) Nk0 = 2311kN Pretpostavljaju se gubici usled elasti~nih deformacija betona od 5%. Pretpostavljaju se gubici usled trenja od 5% (utezanje sa oba kraja) Gubici usled te~enja, skupljanja i relaksacije 20% Ukupni gubici u preseku u sredini raspona 30%

Potrebna ukupna po~etna sila na presi N0

k = Nk0 / 0,70 = 2311 / 0,70 = 3301kN Varijanta sa ~etri kabla: potN0

k1 = 3301/4 = 825kN 4x4φ16 Varijanta sa pet kablova: potN0

k1 = 3301/5 = 660kN 5x3φ16

Usvajaju se ~etri kabla IMS sa po ~etri uèta φ16 u svakom kablu - 4x4φ16, sa dozvoljenom silom na presi jednog kabla od N0

k1 = 837kN > 825 kN pri

0

12

0 k

bbzdtb

k

qbk N

WkN

Me

ωσ

ω−−≥

kNxxxkeWM

Nbbk

bbzdtqk 2311

)29,270,50(80,010023,121,0105,1643

)(

52

2

10 =

+−

=+

−≥

ωσ

MPaxx

WM

ke

FN

b

g

b

bk

b

kb 0,13

10023,1100,455)

29,270,501(

37502311)1( 5

2

12

010 =−+=−+=σ

MPaxx

WM

ke

FN

b

q

b

bk

b

kttb 0,12

10023,1105,1643)

29,270,501(

37501849)1( 5

2

212 =+−=+−=σ


5- 26

naponu od 75% ~vrsto}e na kidanje. Kablovi se u fazi prethodnog naprezanja zateù do sile od 3301/4 = 825kN.

(C) Usvajanje rasporeda kablova i kotvi

Prema katalogu proizvodja~a - IMS, usvojeni kablovi imaju spoljni pre~nik za{titne cevi 50mm, dok je dimenzija ankerne plo~e 170x170mm. îst razmak izmedju za{titnih cevi treba da je jednak pre~niku cevi - usvojeno 50mm. Za{titni sloj do ivice za{titne cevi treba da je 30-50mm - usvojeno 50mm. Osovinski razmak ankernih plo~a treba da je >190mm. Rastojanje teì{ta ankerne plo~e od ivice betona treba da je >115mm. Na pribli`no prvih 60cm od kotve, kablovi se vode pravo - upravno na kotvu.

Zbog sme{taja kotvi, ~elo nosa~a mora da se pro{iri, slika 5.19.b. Prelazak sa I-pre-seka u polju, na pravougaoni presek na osloncu, usvojen je na duìni od 5(50-20)/2 =75cm, tako da je nagib horizontalne vute 1:5. Pravougaoni blok na ~elu usvojen je duìne 45cm, tako da je rastojanje od kraja nosa~a, do po~etka I - preseka 120cm - duìna uvodjenja sila, pribli`no jednaka visini nosa~a. Zbog sme{taja ankernih plo~a koje su upravne na kabl, na ~elu nosa~a formiraju se 'ni{e' u betonu, slika 5.19.c. Kotve se {tite dobetoniravanjem nakon prethodnog naprezanja i se~enja vi{ka duì-ne uàdi, zbog ~ega treba iz nosa~a ispustiti tanju armaturu za vezu sa novim beto-nom za{tite. Ekscentricitet kablova u sredini raspona, slika 5.19.a Odstojanje rezultante od donje ivice nosa~a

ak = (3x7,5 + 1x17,5)/4 = 10,0cm koliko je i pretpostavljeno. Ekscentricitet kablova u sredini raspona ebk = 60 - 10,0 = 50,0cm

20

50

201717

1515

1312

19

5010

55

55

10 45 75

5

Ni{a

Ni{a

a.) b.) c.)

17

17

Ankerna plo~a

Slika 5.19 Raspored kablova u sredini raspona (a); raspored kotvi (b) i (c)


5- 27

Ekscentricitet kablova na ~elu nosa~a, slika 5.19.b Odstojanje rezultante od donje ivice nosa~a

ak = (2x13,0 + 1x89 + 1x108)/4 = 55,75cm Ekscentricitet kablova na ~elu nosa~a ebk = 60 - 55,75 = 4,25cm (na dole)

Trase pojedina~nih kablova prikazane su na slici 5.20. Dva bo~na kabla koji prolaze donjom flan{om, ve}im delom su pravolinijski, jer bi u slu~aju paraboli~ne trase u vertikalnoj ravni, iza{li iz donje flan{e. Na rastojanju od oko 120cm, kablovi se krive ka kotvama, na radijusu krivine R, koji prema katalogu IMS za ovaj konkretni kabl treba da je ve}u od 400cm. Prelazna krivina kabla procenjena je na oko 40cm. Dva centralna kabla vode se paraboli~no u vertikalnoj ravni kroz rebro. Na prvih 60cm od kotve, kablovi treba da su pravi. U principu, paraboli~ni deo trase po~inje na kraju pravca, ali je u ovom slu~aju plitke trase kablova, parabola na svojim kra-jevima prakti~no pravolinijska.

Sa definisanom trasom pojedina~nih kablova, definisana je i trasa rezultuju}eg kabla, slika 5.20. Dosada{njim kontrolama dokazano je stanje napona samo u tri preseka, u sredini raspona i na krajevima nosa~a. Stanje napona treba dokazati u vi{e preseka, bar u desetinama raspona. U slu~aju nosa~a sa gornjim pojasom u nagibu - 'dvovodni krov', obi~no nije merodavan presek u sredini raspona, ve} pomereni presek u odnosu na sredinu. Kompletan dokaz normalnih napona u presecima podrazumeva prora~un svih gubitaka sile, koji su u ovom idejnom re{enju procenjeni. Prora~un moè u ovom slu~aju da se uradi sa rezultuju}im kablom, u odabranom broju preseka. Alternativno, mogu}e je sra~unati 'fizo-zonu', i proveriti da li rezultuju}i kabl u svim presecima leì unutar fizo-zone. Komentar: U primeru 4.8.1 isti ovaj nosa~ projektovan je sa pravolinijskom trasom uàdi, i konstantnog I - preseka. Primer je iz prakse, gde su sli~ne analize pokazale da je pravolinijska trasa ekonomi~nije re{enje, u ovom slu~aju.

1389

108

TL

7,5

17,560

60

60 60

120 12040

R>400

40

Prav kablPrav kablRezultuju}i kabl

R>400

Slika 5.20 Trase pojedina~nih kablova


5- 28

5.11.3 Primer 3 Glavni kontinualni nosa~ krovne konstrukcije konstantnog popre~nog preseka, osovinskog raspona Lo=20m , izvodi se naknadnim prethodnim naprezanjem sa oba kraja, kablovima sistema IMS, slika 5.21 i 5.22. Za pretpostavljene dimenzije preseka, uraditi idejno re{enje i odrediti potreban broj i trasu kablova za prethodno naprezanje. Razmotriti samo slu~aj istovremenih podeljenih optere}enja u oba polja, bez 'nagomilavanja' korisnih optere}enja u jednom od polja. Usvojiti slu~aj potpunog prethodnog naprezanja (ne dozvoljava se pojava napona zatezanja), prema propisima PNB71. Napomena: Ovo je isti presek nosa~a kao u primeru 5.11.2. Podaci: Faza prethodnog naprezanja : MB35 (prehodno naprezanje se ~esto vr{i pre dostizanja pune ~vrsto}e betona, ali pri dostignutoj ~vrsto}i od najmanje 70% ra~unske - MB45 u ovom slu~aju. Videti ~lan 12 PNB71) ; gubitak sile usled elasti~nih deformacija - 5%. Faza eksploatacije : MB45 ; gubitak sile usled te~enja i skupljanja - 20%; dodatno stalno optere}enje ∆g=16kN/m ; korisno optere}enje p=8,5kN/m ;

- Dopu{teni normalni naponi u betonu (Tabela 5, PNB71, i slika 4.3): Faza prethodnog naprezanja - MB35 (linearna interpolacija izmedju MB30-MB40): pritisak σbd0 = 17,3MPa zatezanje σbzd0 = 0. Faza eksploatcije - MB45 (linearna interpolacija izmedju MB40-MB50): pritisak σbdt = 17,3MPa zatezanje σbzdt = 0.



120

205

705

20

50

15 20 15



5- 29

- Koncept 'rezultuju}e sile pritiska u jezgru popre~nog preseka' Zadatak se mo`da najlak{e re{ava tako {to se u iteracijama varira veli~ina sile pret-hodnog naprezanja i/ili strele paraboli~ne trase kablova, i u svakom koraku vr{i kon-trola napona u vi{e preseka usled dejstva svih trenutno prisutnih optere}enja. U ovom primeru, numeri~kim podacima pridodata je i vizuelna interpretacija rezul-tata, u obliku jezgra preseka i linije centara pritisaka. To nije neophodno, ali se na projektima kontinualnih sistema mostova pokazalo korisnim. Sistem je simetri~an, na dalje se razmatra samo leva polovina konstrukcije, slika 5.23.a. Ako u nekom preseku ne smeju da se pojave naponi zatezanja usled dejstva svih optere}enja - spolja{njih i prethodnog naprezanja, rezultuju}a sila pritiska u betonu Db = M / N mora da deluje u jegru preseka, gde je M - ukupni moment usled svih optere}enja u preseku, N - promenljiva (usled trenja) normalna sila u preseku jednaka sili prethodnog naprezanja Nk u preseku. Napadna ta~ka rezul-tuju}e sile pritiska se menja od preseka, do preseka, i leì na liniji pritisaka, slika 5.23.a.

- Stati~ki uticaji usled spolja{njih optere}enja, slika 5.24

Stati~ki uticaji dati su u op{tem obliku, i potom sra~unati u tabeli programom 'Excel' Stati~ki uticaji u fazi prethodnog naprezanja Sopstvena teìna

g = Fbγ = 3750x10-4 x 25,0 = 9,37kN/m Mg = (3/8)gLx - gx2 /2

kb2

kb1

d

c 1 =

M1/

N1

Db1

Db2

c 2 =

M2/

N2

L=2000

+M1

-M2

+c

a.)

b.)

Linija pritisaka TL

kb2

kb1

1

2

Slika 5.23 Nosa~, jezgro preseka, linija pritisaka (a); momenti savijanja usled ukupnih optere}enja - spolja{njih i prethodnog naprezanja(b)


5- 30

Stati~ki uticaji u fazi eksploatacije Sopstvena teìna

Mg = (3/8)gLx - gx2 /2 Dodatno stalno optere}enje

∆g = 16,0kN/m M∆g = (3/8)∆gLx - ∆gx

2 /2

Korisno optere}enje p = 8,5 kN/m

Mp = (3/8)pLx - px2 /2

- Stati~ki uticaji usled prethodnog naprezanja, slika 5.25

Trasa rezultuju}eg kabla Strela parabole - f Ekscentricitet nad srednjim osloncem - e Duìna parabole - L=20,0m Gubici sile usled trenja Usvojeno prethodno naprezanje sa oba kraja nosa~a silom na presi Nk0

Podaci o trenju: k=3 10-3 Rad/m; µ = 0,22 1/Rad Skretni ugao do sredine polja, x = L/2 tgα = 4f/L

Normalna sila u polju nakon gubitaka usled trenja Promena skretnog ugla do koordinate x θx = (2α/L)X Srednja sila u polju nakon gubitaka usled trenja

Gubici sile usled elasti~nih deformacija Pretpostavljeno ωe = 5% Gubici sile usled te~enja, skupljanja i relaksacije Pretpostavljeno ω = 20%

M1=M2 /2

M2

L/2=1000

X

g ∆g p

Slika 5.24 Momenti savijanja usled spolja{njih optere}enja

)2

10322,0(

0

3 Lx

kksr eNN−+−

=α

)10322,0(0

3 xxkkx

xeNN−+−= θ


5- 31

Srednja vrednost podeljenog ekvivalentnog optere}enja u polju

2

8LfN

q ksrksr =

Momenti savijanja usled prethodnog naprezanja

Mqk = -(3/8)qkLx + qkx2 /2

- Ukupni uticaji u nekom preseku konstrukcije

Moment savijanja dobija se superpozicijom momenata usled svih optere}enja koja u datom trenutku deluju na konstrkciju. Normalna sila u preseku N pribli`no je jed-naka (zbog zanemarenja nagiba tangente na trasu kabla) sili prethodnog naprezanja Nk u preseku, uzimaju}i u obzir promene sile usled trenja. Transverzalna sila dobija se superpozicijom transverzalnih sila usled svih optere}enja koja u datom trenutku deluju na konstrkciju.

- Kontrola normalnih napona u presecima

Sa silama u presecima usled ukupnih optere}enja, dokaz normalnih napona vr{i se op{tim izrazima (4.1), koji su ovde ponovljeni, sa izostavljenim indeksom '0'. Zavi-sno od toga da li se proverava stanje napona u fazi prethodnog naprezanja ili u eksploataciji, ~lanovi izraza dobijaju odgovaraju}e indekse '0', odnosno 't'.

L=2000

-Mk1

+Mk2

a.)

b.)

TL

1

2

L/2=1000

f

de

qk

NksrNkA NkB

c.)

Slika 5.25 Trasa rezultuju}eg kabla i momenti savijanja Mk usled prethodnog naprezanja


5- 32

- Linija pritisaka

Dejstvo ukupnog momenta M i normalne sile N u preseku moè da se zameni dejstvom rezultuju}e normalne sile u betonu (sile N) na ekscentricitetu c

c = M / N Linija pritisaka povezuje ekscentricitete pojedinih preseka, i treba da je unutar jezgra preseka da u preseku ne bi bilo napona zatezanja, slika 5.23.

- Rezultati prora~una Algoritam prema navedenim izrazima napisan je u programu 'Excel' - Microsoft, i priloèn na CD-u. 'Maska' programa, sa ulaznim podacima i iterativno dobijenim re{enjem, prika-zana je na slici 5.26. Zadatak ima vi{e re{enja, sa razli~itim veli~inama po~etne sile prethod-nog naprezanja Nk0 i strele paraboli~ne trase kablova f . Ekscentricitet trase e iznad sred-njeg oslonca ne uti~e na stanje napona, jer ekvivalentno optere}enje qk ne zavisi od ove veli~ine, videti poglavlje 2.2.3 - 'linearne transformacije'. Na slici 5.26 i u tabelama koje slede, prikazano je re{enje sa po~etnom silom Nk0 = 3540kN, i strelom parabole f=0,40m.

Grupa kablova - A (utezanje sa obe strane)

Sila na ~elu - Nk0 = 3540 kN

Koef.trenja na pravcu - k = 0.003 1/m <-(0.003)Koef.trenja na krivini - µ = 0.220 1/rad <-(0.220)

Elasti~ni gubici - ωe= 0.950Vremenski gubici - ω= 0.800

POLJE L f e(m) (m) (m)

1 20.00 0.400 0.450 qksr= 27.00

Spolja{nja optere}enjaSopstvena teìna g= 9.38 kN/mDodatno stalno ∆g= 16.00 kN/mPovremeno p= 8.50 kN/m

PresekFaza utezanja MB 35

Dop. napon zatezanja = 0.00 MPaDop. napon pritiska = 17.30 MPa

Faza eksploatacije MB 45Dop. napon zatezanja = 0.00 MPa

Dop. napon pritiska = 17.30 MPaIvi~ni naponi

Visina preseka d (m)= 1.200 Faza prethodnog naprezanja MPamaxσ0 = 16.11 < 17.30

F (m2)= 0.375 W2 (m3)= 0.102 K2 (m)= 0.273 minσ0 = 0.20 < 0.00

Yt (m)= 0.600 W1 (m3)= 0.102 K1 (m)= 0.273 Faza eksploatacijed-Yt (m)= 0.600 K1+K2= 0.546 maxσt = 13.05 < 17.30

minσt = 0.00 < 0.00

V.Alendar, novembar 2003.

Analiza efekata simetri~nog prethodnog naprezanjaKontinualni nosa~ sa dva jednaka polja

V.Alendar - Prethodno napregnuti beton - Ve`be 2003 - Primer 5.11.3

Trasa kablova

-1.00

-0.50

0.00

0.50

1.00

0 5 10 15 20

C-linije

-0.80

-0.60

-0.40

-0.20

0.00

0.20

0.40

0.60

0.80

0 5 10 15 20

x (m)

t=0

t=t

Slika 5.26 Prethodno napregnuti kontinualni nosa~ - program 'Excel'

11

bbb W

MFN

−=σ

22

bbb W

MFN

+=σ


5- 33

x Mg M∆g Mp Mqm kNm kNm kNm kNm

0.00 0 0 0 01.00 65.63 112.00 59.50 237.132.00 121.88 208.00 110.50 440.383.00 168.75 288.00 153.00 609.754.00 206.25 352.00 187.00 745.255.00 234.38 400.00 212.50 846.886.00 253.13 432.00 229.50 914.637.00 262.50 448.00 238.00 948.508.00 262.50 448.00 238.00 948.509.00 253.13 432.00 229.50 914.63

10.00 234.38 400.00 212.50 846.8811.00 206.25 352.00 187.00 745.2512.00 168.75 288.00 153.00 609.7513.00 121.88 208.00 110.50 440.3814.00 65.63 112.00 59.50 237.1315.00 0.00 0.00 0.00 0.0016.00 -75.00 -128.00 -68.00 -271.0017.00 -159.38 -272.00 -144.50 -575.8818.00 -253.13 -432.00 -229.50 -914.6319.00 -356.25 -608.00 -323.00 -1287.2520.00 -468.75 -800.00 -425.00 -1693.75

Slika 5.27 Momenti savijanja usled spoljnih optere}enja.

q - ukupno optere}enje

x θ(x) Nk(x) Nkx/Nk0m rad kN

0.00 0.0000 3540.00 1.0001.00 0.0080 3523.20 0.9952.00 0.0160 3506.49 0.9913.00 0.0239 3489.85 0.9864.00 0.0319 3473.29 0.9815.00 0.0399 3456.81 0.9766.00 0.0479 3440.40 0.9727.00 0.0559 3424.08 0.9678.00 0.0639 3407.83 0.9639.00 0.0718 3391.66 0.958

10.00 0.0798 3375.57 0.95411.00 0.0878 3359.55 0.94912.00 0.0958 3343.61 0.94513.00 0.1038 3327.75 0.94014.00 0.1118 3311.96 0.93615.00 0.1197 3296.24 0.93116.00 0.1277 3280.60 0.92717.00 0.1357 3265.03 0.92218.00 0.1437 3249.54 0.91819.00 0.1517 3234.12 0.91420.00 0.1597 3218.78 0.909

Slika 5.28 Promena sile usled trenja

x Mk0 Nk0 Mkt Nktm kNm kN kNm kN0.00 0.00 3363.00 0.00 2690.401.00 -179.58 3347.04 -143.66 2677.632.00 -333.51 3331.16 -266.81 2664.933.00 -461.78 3315.35 -369.42 2652.284.00 -564.40 3299.62 -451.52 2639.705.00 -641.36 3283.97 -513.09 2627.176.00 -692.67 3268.38 -554.13 2614.717.00 -718.32 3252.88 -574.66 2602.308.00 -718.32 3237.44 -574.66 2589.959.00 -692.67 3222.08 -554.13 2577.66

10.00 -641.36 3206.79 -513.09 2565.4311.00 -564.40 3191.58 -451.52 2553.2612.00 -461.78 3176.43 -369.42 2541.1413.00 -333.51 3161.36 -266.81 2529.0914.00 -179.58 3146.36 -143.66 2517.0915.00 0.00 3131.43 0.00 2505.1416.00 205.23 3116.57 164.19 2493.2617.00 436.12 3101.78 348.90 2481.4318.00 692.67 3087.06 554.13 2469.6519.00 974.86 3072.42 779.89 2457.9320.00 1282.72 3057.84 1026.17 2446.27

Faza peth.napr. Faza ekspl.

Slika 5.29 Uticaji prethodnog naprezanja

x M0 N0 Mt Ntm kNm kN kNm kN0.00 0.00 3363.00 0.00 2690.401.00 -113.96 3347.04 93.46 2677.632.00 -211.63 3331.16 173.57 2664.933.00 -293.03 3315.35 240.33 2652.284.00 -358.15 3299.62 293.73 2639.705.00 -406.98 3283.97 333.79 2627.176.00 -439.54 3268.38 360.49 2614.717.00 -455.82 3252.88 373.84 2602.308.00 -455.82 3237.44 373.84 2589.959.00 -439.54 3222.08 360.49 2577.66

10.00 -406.98 3206.79 333.79 2565.4311.00 -358.15 3191.58 293.73 2553.2612.00 -293.03 3176.43 240.33 2541.1413.00 -211.63 3161.36 173.57 2529.0914.00 -113.96 3146.36 93.46 2517.0915.00 0.00 3131.43 0.00 2505.1416.00 130.23 3116.57 -106.81 2493.2617.00 276.75 3101.78 -226.98 2481.4318.00 439.54 3087.06 -360.49 2469.6519.00 618.61 3072.42 -507.36 2457.9320.00 813.97 3057.84 -667.58 2446.27

Faza peth.napr. Faza ekspl.

Slika 5.30 Ukupni uticaji


5- 34

t=0 tx C0 Ctm m m

0.00 0.000 0.0001.00 -0.034 0.0352.00 -0.064 0.0653.00 -0.088 0.0914.00 -0.109 0.1115.00 -0.124 0.1276.00 -0.134 0.1387.00 -0.140 0.1448.00 -0.141 0.1449.00 -0.136 0.140

10.00 -0.127 0.13011.00 -0.112 0.11512.00 -0.092 0.09513.00 -0.067 0.06914.00 -0.036 0.03715.00 0.000 0.00016.00 0.042 -0.04317.00 0.089 -0.09118.00 0.142 -0.14619.00 0.201 -0.20620.00 0.266 -0.273

Slika 5.31 C - linije

x σb10 σb20 σb1t σb2tm MPa MPa MPa MPa

0.00 9.0 9.0 7.2 7.21.00 10.0 7.8 6.2 8.12.00 11.0 6.8 5.4 8.83.00 11.7 6.0 4.7 9.44.00 12.3 5.3 4.2 9.95.00 12.7 4.8 3.7 10.36.00 13.0 4.4 3.5 10.57.00 13.1 4.2 3.3 10.68.00 13.1 4.2 3.3 10.69.00 12.9 4.3 3.4 10.4

10.00 12.5 4.6 3.6 10.111.00 12.0 5.0 3.9 9.712.00 11.3 5.6 4.4 9.113.00 10.5 6.4 5.0 8.414.00 9.5 7.3 5.8 7.615.00 8.4 8.4 6.7 6.716.00 7.0 9.6 7.7 5.617.00 5.6 11.0 8.8 4.418.00 3.9 12.5 10.1 3.119.00 2.1 14.2 11.5 1.620.00 0.2 16.1 13.0 0.0

t=0 t=t

Slika 5.32 Ivi~ni naponi

Momenti

-1500

-1000

-500

0

500

1000

1500

2000

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

x (m)

Mom

ent (

kNm

)

Ukupno - faza preth.naprezanja

Ukupno - faza eksploatacije

g

q

Slika 5.33 Momenti savijanja


5- 35

Naponi u fazi prethodnog naprezanja kre}u se u granicama 0,2 do 16,1MPa - pritisci (dopu-{teni napon pritiska je 17,3MPa). U fazi eksploatacije, naponi se nalaze u granicama 0,0 do 13,1MPa - pritisci (dopu{teni napon pritiska je takodje 17,3MPa). Iskori{}en je ivi~ni napon 'zatezanja' iznad oslonca u eksploataciji. Srednje ekvivalentno optere}enje kablova iznosi oko 27kN/m. Linije rezultuju}ih pritisaka u fazi prethodnog naprezanja, odnosno u eks-ploataciji su prakti~no simetri~ne, slika 5.34, a i dijagrami ukupnih momenata savijanja teè simetriji, slika 5.33. Poku{aji da se zadatak re{i dubljom strelom trase f , i eventualno manjom potrebnom si-lom, nisu uspeli. Treba uo~iti da je strela f=0,40m vrlo blizu, ali je pli}a od strele 'konkor-dantne' trase kablova f = e = 0,45m. Slika momenata i C - linija sugeri{e da je, u ovom simetri~nom preseku, skretnim optere-}enjem kablova - njihovim vertikalnim 'potiskom', ustvari izvr{eno balansiranje momena-ta - optere}enja, odnosno poloàja napadnih ta~aka rezultanti pritisaka u popre~nom pre-seku. Na pitanje kako prethodno napregnuti simetri~an nosa~, dobar polaz je obi~no: da ukupno podeljeno optere}enje (qk0+ g) u fazi prethodnog naprezanja, bude pribli`no jed-nako ukupnom podeljenom optere}enju (qkt+ g + ∆g + p) u eksploataciji, sa obrnitim znakom, naravno: odnosno U ovom slu~aju

C - linije

-0.80

-0.60

-0.40

-0.20

0.00

0.20

0.40

0.60

0.80

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

x (m)

C - t=0

C - t=t

Gornja ivica

Donja ivica

Gornja ta~ka jezgra

Donja ta~ka jezgra

Slika 5.34 Napadne ta~ke rezultante pritisaka - C - linije

)(0 pggqgq ktk −∆−−−=−

212

0pggpggqk

+∆+≈

++∆+

=ω

mkNxqk /248,01

5,80,1638,920 =

+++

=


5- 36

{to je blisko postignutoj vrenosti od 27kN/m. Treba uo~iti da i stati~ki odredjeni nosa~i mogu da se analiziraju na pokazani na~in, da se problem svede na optimalno balansira-nje optere}enja, kao generalni princip. U primeru 5.11.2, analiziran je nosa~ sistema proste grede, sa ne{to manjim ra~unskim ras-ponom, zbog {irine oslanjanja, ali i ograni~eno prethodno napregnut. Pri prakti~no istoj vrednosti maksimalnog momenta savijanja, i istom popre~nom preseku ove dve konstruk-cije, potrebna po~etna sila Nk0 = 3540kN kontinualnog nosa~a je oko 12% ve}a od potreb-ne po~etne sile Nk0 = 0,95x3301 = 3134kN proste grede. Treba uo~iti da je prethodno naprezanje izvr{eno konstantnom povr{inom kablova u svim presecima, iako su spolja{nji momenti nad osloncem duplo ve}i od momenata u sredini raspona. Da je u pitanju klasi~no armirana greda, na osloncu bi bilo skoro dva puta vi{e armature nego u polju, kako god da su preseci dimenzionisani, po teoriji dopu{tenih napo-na, ili po teoriji grani~nih stanja. Iako imaju istu povr{inu kablova, preseci u polju i nad osloncem u ovom slu~aju nemaju i isti kapacitet nosivosti, razlikuje se ekscentricitet kab-lova. Ne treba zaboraviti da i prora~un prema teoriji dopu{tenih napona, prema Pravilniku PNB71 na primer, zahteva da se osigura zahtevani koeficijent sigurnosti od loma preseka - da se preseci ujedna~e po grani~noj nosivosti. Ako je povr{ina kablova nedovoljna po ovom kriterijumu, treba dodati klasi~nu armaturu i podi}i kapacitet nosivosti. I tako dolazi-mo na ono ~emu teè savremeni propisi - sve je to armirani beton, a kablovi su tu da izba-lansiraju neko stanje konstrukcije, napone u eksploataciji, i ugibe, u ovom slu~aju (videti i naredni primer).


5- 37

5.11.4 Primer 4 U svemu kao primer 5.11.3, samo {to se dozvoljava pojava napona zatezanja - ograni~eno prethodno naprezanje.

U ovom slu~aju, usvojena je strela paraboli~ne trase kablova f = 0,60m, tako da na najni-èm delu kabla, odstojanje teì{ta kablova od donje ivice bude oko 15cm. Potrebna po~etna sila iznosi Nk0 = 2430kN (oko 30% manja nego u slu~aju nosa~a sistema proste grede, raz-lika je posledica 'sekundanih' uticaja), uz prakti~no iskori{}enje oba napona zatezanja. U odnosu na slu~aj potpunog prethodnog naprezanja, dopu{tanje pojave napona zatezanja je, u ovom slu~aju, smanjilo potrebnu silu za oko 30%, pa time i koli~inu kablova. Drè}i se strogo teorije dopu{tenih napona, isprojektovan je nosa~ sa konstantnom povr-{inom kablova, sa prakti~no istim kapacitetom nosivosti u polju i nad osloncem. U pog-lavlju 4.4.4 bilo je re~i o 'plasti~nim mehanizmima', ilustrovano upravo kontinualnim nosa-~em 'na dva polja'. Neko mladji, ko nije ~uo za 'dopu{tene napone', rekao bi da je u uvom slu~aju izvr{ena 'prevelika, nedozvoljena preraspodela uticaja sa oslonca u polje'. E pa nije, jer da bi se postigao isti koeficijent sigurnosti od loma, koji tek treba proveriti, mora}e u ovom slu~aju iznad oslonca da se doda klasi~na armatura, i 'popravi plasti~ni mehanizam' (videti i sliku 2.16.a-e). Kablovi balansiraju napone i ugibe, a zajedno sa klasi~nom armaturom obezbedjuju nosivost.

Grupa kablova - A (utezanje sa obe strane)





1 20.00 0.600 0.450 qksr= 27.56

Spolja{nja optere}enjaSopstvena teìna g= 9.38 kN/mDodatno stalno ∆g= 16.00 kN/mPovremeno p= 8.50 kN/m

PresekFaza utezanja MB 35

Dop. napon zatezanja = -2.80 MPaDop. napon pritiska = 17.30 MPa

Faza eksploatacije MB 45Dop. napon zatezanja = -1.90 MPa

Dop. napon pritiska = 17.30 MPaIvi~ni naponi

Visina preseka d (m)= 1.200 Faza prethodnog naprezanja MPamaxσ0 = 13.71 < 17.30

F (m2)= 0.375 W2 (m3)= 0.102 K2 (m)= 0.273 minσ0 = -2.71 < -2.80

Yt (m)= 0.600 W1 (m3)= 0.102 K1 (m)= 0.273 Faza eksploatacijed-Yt (m)= 0.600 K1+K2= 0.546 maxσt = 10.72 < 17.30

minσt = -1.91 > -1.90




Trasa kablova

-1.00

-0.50

0.00

0.50

1.00

0 5 10 15 20

C-linije

-0.80

-0.60

-0.40

-0.20

0.00

0.20

0.40

0.60

0.80

0 5 10 15 20

x (m)

t=0

t=t

Slika 5.35 Nosa~ kao u primeru 5.11.3, samo ograni~eno prethodno napregnut


5- 38

5.11.5 Primer 5 Glavni kontinualni nosa~ krovne konstrukcije konstantnog popre~nog preseka, osovinskog raspona Lo=20m , izvodi se naknadnim prethodnim naprezanjem sa dve grupe kablova sis-tema IMS : prvi kabl ide kontinualno kroz oba polja, sa praboli~nom trasom (kao u primeru 5.11.3), i uteè se sa oba kraja; drugi kabl je horizontalan, postavlja se simetri~no iznad srednjeg oslonca, na duìni 2l2 i ekscentricitetu e2 , i uteè se samo sa jedne strane, slika 5.36 i 5.37. Za pretpostavljene dimenzije preseka, uraditi idejno re{enje i odrediti potreban broj i trasu kablova za prethodno naprezanje. Razmotriti samo slu~aj istovremenih podelje-nih optere}enja u oba polja, bez 'nagomilavanja' korisnih optere}enja u jednom od polja. Usvojiti slu~aj ograni~enog prethodnog naprezanja (dozvoljava se pojava napona zate-zanja), prema propisima PNB71. Podaci: Faza prethodnog naprezanja : MB35 (prehodno naprezanje se ~esto vr{i pre dostizanja pune ~vrsto}e betona, ali pri dostignutoj ~vrsto}i od najmanje 70% ra~unske - MB45 u ovom slu~aju. Videti ~lan 12 PNB71) ; gubitak sile usled elasti~nih deformacija - 5%. Napomena: Ovo je je u svemu isti primer kao 5.11.4 (ili 5.11.3, ali ograni~eno prethodno naprezanje), samo {to je dodat jo{ jedan kabl iznad srednjeg oslonca.

Slika 5.36 Dispozicija glavnog nosa~a konstrukcije krova sa dve grupe kablova

L=2000

TL

1

2

d

Nk20

c.)

e 2

l2

Nk2

ωωeNk20

a.)

b.) a=L-l2 l2

Mk2

=N

k2e 2

0,5M

k2(1

-3(a

/L)2 )

Slika 5.37 Momenti i normalna sila usled prethodnog naprezanja

horizontalnog kabla iznad oslonca


5- 39

U odnosu na prethodna dva primera, razlika je u dodatnom horizontalnom kablu iznad srednjeg oslonca, slika 5.37. Ekvivalentno optere}enje usled prethodnog naprezanja kabla iznad oslonca silom Nk2 prikazano je na slici 5.37. Ovi efekti superponirani su sa efektima paraboli~ne trase kablova, u 'Excel' tabeli prethodnih primera. Da bi se izbeglo ra~unanje sa dve vrednosti momenata savijanja u istoj ta~ki, usvojen je ra~unski dijagram momenata prema slici 5.38, sa kontinualnom promenom na duìni 2xL/20, gde je L/20 duìna segmen-ta nosa~a podeljenog na dvadeset delova, kao u prethodnim primerima. Kona~no, da bi se razvili ra~unski efekti prethodnog naprezanja, potrebna je odredjena duìna uvodjenja, mada ova aproksimacija momenata savijanja (bez analize duìne uvodjenja normalne sile) nije imala to za cilj.

Zbog relativno male duìne pravog kabla, efekti trenja su zanemareni u slu~aju dodatnog kabla. Sila prethodnog naprezanja je konstantna, ali zavisi od gubitaka usled elasti~nih deformacija i posebno - od efekata uvla~enja klina koji su zna~ajni kod kratkih kablova, za koje je pretpostavljeno da se prostiru na celoj duìni kabla, ravnomerno, slika 5.37.c. Ako je uvla~enje klina reda veli~ine 4mm, tada na duìni pravog kabla od oko 6000mm, promena po~etnih dilatacija kabla iznosi 4/6000=0,7 . Pri po~etnom naponu od oko 1200MPa, odnosno po~etnoj dilataciji kabla od oko 6 , pad sile prethodnog naprezanja zbog uvla~enja klina iznosi oko 12%. Ako se tome dodaju i efekti pada sile zbog elasti~nih deformacija betona, i ipak prisutnog trenja, usvojeno je da su ukupni po~etni gubici sile, pre po~etka te~enja betona, reda veli~ine 20%, odnosno ωe = 0,80. Pri prora~unu, kao projektantski koncept je usvojeno da povr{ine obe grupe kablova bu-du pribli`no jednake, tako da ukupna povr{ina kablova iznad oslonca bude pribli`no dva puta ve}a od povr{ine kablova u polju. Pri duplo ve}im momentima nad osloncem nego u polju usled spolja{njih optere}enja, duplo ve}a povr{ina kablova treba da obezbedi ujedna-~eni koeficijent sigurnosti od loma, bez zna~ajnijeg dodavanja klasi~ne armature, kako je to moralo da bude uradjeno u prethodnim primerima. Rezultati prora~una, 'maska' modifikovane 'Excel' tabelom, prikazani su na slici 5.39. Po~etna sila prethodnog naprezanja u obe grupe kablova je ista, Nk0 = 1520kN. Horizon-talni kabl usvojen je na ukupnoj duìni od 6,0m, odnosno po 3,0m bo~no od oslonca, na ekscentricitetu e2 = 0,45m. Prekora~enje napona zatezanja u eksploataciji iznosi oko 2%, {to je ocenjeno kao prihvatljivo, slika 5.42.

a=L-l2 l2

Mk2

=N

k2e 2

0,5M

k2(1

-3(a

/L)2 )

L/20 L/20 Slika 5.38 Ra~unski dijagram momenata usled prethodnog naprezanja

horizontalnog kabla iznad oslonca


5- 40

Momenti

-1500

-1000

-500

0

500

1000

1500

2000

0 5 10 15 20Mom

ent (

kNm

)

Ukupno - faza preth.naprezanjaUkupno - faza eksploatacije

gq

Slika 5.40 Momenti savijanja

Paraboli~ni kabl u polju - (utezanje sa obe strane)





1 20.00 0.600 0.450 qksr= 17.24

Horizontalni kabl iznad oslonca - (utezanje sa jedne strane)Sila na ~elu - Nk0 = 1520 kN

Elasti~ni gubici, klin - ωe= 0.800Vremenski gubici - ω= 0.800

L e(m) (m)3.00 0.450

Spolja{nja optere}enja Ivi~ni naponiSopstvena teìna g= 9.38 kN/m Faza prethodnog naprezanja MPaDodatno stalno ∆g= 16.00 kN/m maxσ0 = 14.01 < 17.30Povremeno p= 8.50 kN/m minσ0 = -0.64 < -2.90

Faza eksploatacijePresek maxσt = 12.37 < 17.30

Faza utezanja MB 35 minσt = -1.94 > -1.90Dop. napon zatezanja = -2.90 MPa

Dop. napon pritiska = 17.30 MPa

Faza eksploatacije MB 45Dop. napon zatezanja = -1.90 MPa

Dop. napon pritiska = 17.30 MPa

Visina preseka d (m)= 1.200

F (m2)= 0.375 W2 (m3)= 0.102 K2 (m)= 0.273

Yt (m)= 0.600 W1 (m3)= 0.102 K1 (m)= 0.273d-Yt (m)= 0.600 K1+K2= 0.546




Trasa kablova

-1.00

-0.50

0.00

0.50

1.00

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

C-linije

-0.80

-0.60

-0.40

-0.20

0.00

0.20

0.40

0.60

0.80

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

t=0

t=t

Ivi~ni naponi

-5.0

0.0

5.0

10.0

15.0

20.0

0 5 10 15 20

Donja ivica t=0

Gornja ivica t=0

Donja ivica t=t

Gornja ivica t=t

Slika 5.39 Kontinualni nosa~ sa dve grupe kablova - ulaz i rezultati 'Excel' tabele


5- 41

Ukupna povr{ina (ali ne i duìna, teìna) kablova je za oko 25% ve}a negu u slu~aju trase sa konstantnom povr{inom kabla, primer 3.11.4, i prakti~no jednaka povr{ini kabla proste grede sa pribli`no istim maksimalnim momentom, primer 3.11.2.

C - linije

-0.80

-0.60

-0.40

-0.20

0.00

0.20

0.40

0.60

0.80

0 5 10 15 20

K1 - t=0K2 - t=0K1 - t=tK2 - t=tC - t=0C - t=t

Slika 5.41 Centri rezultuju}e sile pritiska - C - linije

Ivi~ni naponi

-5.0

0.0

5.0

10.0

15.0

20.0

0 5 10 15 20

Nap

on (

MP

a)

Donja ivica t=0

Gornja ivica t=0

Donja ivica t=t

Gornja ivica t=t

Slika 5.42 Ivi~ni naponi u betonu

Documents

Vanja Alendar-prethodno Napregnuti Beton Gradjevina