Embed Size (px)
Citation preview
PRIPREMNI ZADACI
ZA PRIJEMNI ISPIT
GRAĐEVINSKI FAKULTET UNIVERZITETA U SARAJEVU Ovo je Izbor zadataka koji su namjenjeni budućim studentima za lakše pripremanje prijemnog ispita na Građevinskom fakultetu Univerziteta u Sarajevu. Izbor je napravljen prema: 1. Zbirka zadataka iz algebre I, II i III (prema programu za srednje škole), Stjepan Mintaković, Zavod za izdavanje udžbenika Sarajevo; 2. Metodička zbirka zadataka iz algebre i geometrije (za sve srednje škole),Dr Marcel Šnajder, Dr Stjepan Tomić, Zavod za izdavanje udžbenika Sarajevo, 3. M. Merkle (i dr. devet autora): ZBIRKA ZADATAKA I TESTOVA za polaganje prijemnog ispita IZ MATEMATIKE za upis na tehničke i ., 2. dopunjeno izdanje, Beograd 2000, Zavod za udžbenike i nastavna sredstva,
te na osnovu zadataka koji su postvljeni na klasifikacionom ispitu iz matematike za upis na Elektrotehnički fakultet, Fizički fakultet i Fakultet za fizičku hemiju na Univerzitetu u Beogradu, te na osnovu primjera zadataka za test iz matematike na Sveučilištu u Zagrebu. Izbor je napravljen u kratkom vremenu koje je proteklo od prvog prijemnog ispita u julu ove 2007. godine, u ljetnoj pauzi u avgustu, tako da su mogući propusti. Molim buduće studente, koji uoče billo kakve propuste ili imaju korisne sugestije kako da se poboljša ovaj tekst, da me na to upozore. Prof. Dr. Behdžet Mesihović Sarajevo 15.06.2009. Katedra za matematiku, programiranje,... Građevinski fakultet, Univerziteta u Sarajevu, e‐mail: [email protected]
2 SADRŽAJ RAZLOMCI... 3 ALGEBARSKI IZRAZI... 9 KVADRATNE JEDNAČINE... 14 JEDNAČINE SA APSOLUTNIM VRIJEDNOSTIMA... 16 GRAFICI KVADRATNE FUNKCIJE SA APSOLUTNIM VRIJEDNOSTIMA... 18 LOGARITAMSKE JEDNAČINE I NEJEDNAČINE... 19 PRIMJENA SLIČNOSTI... 21 POVRŠINA RAVNIH FIGURA... 22 TRIGONOMETRIJA... 24
I Svođenje na prvi kvadrant... 24 II Trigonometrijske funkcije složenih uglova...25 III Trigonometrijske jednačine... 27
ANALITIČKA GEOMETRIJA U RAVNI... 30 PRIMJERI PRIJEMNOG ISPITA NA RAZNIM FAKULTETIMA... 40 Elektrotehnički fakultet Uiverziteta u Beogradu ... 40 Fakultet za saobraćaj i komunikacije u Sarajevu ...42 Elektrotehnički fakultet Uiverziteta u Sarajevu ...43 Građevinski fakultet u Sarajevo.... 46 Malo statistike sa prijemnog ispita na GF u Sarajevu 02.07.2007... 48 TESTIRAJTE SE ZA PRIJEMNI ISPIT IZ MATEMATIKE... 52 PROGRAMI ZA PRIJEMNI ISPIT IZ MATEMATIKE....58
3 Razlomci:
Izračunati vrijednosti numeričkih izraza:
1.
2. 3. 4. 5. 6. 7. 8.
PRIMJEDBA:Ovdje je mješoviti broj 2 15 2 17 23 35 5 5 5 5= + = ≠ ⋅
4 9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
5
21.
22.
23.
24.
25.
26.
27.
28.
29.
30.
31.
6
32.
34.
36.
7 Rješenja
1. 5. 9.
12.
13.
14.
17.
20.
23.
26.
29.
31.
32.
8
33.
34.
9
Algebarski izrazi
1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8.
10 9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
11
19.
20.
Riješenja
1. 2. 3.
4. 5.
12 6. 7. 9.
11.
12.
13 13.
14.
15.
16.
17.
18.
14 Kvadratne jednačine
1.
2. 3. 4. 5. 6.
7.
15 Rješenja kvadratnih jednačina
1. 2. 3.
4. 5. 6. 7.
16
Jednačine sa apsolutnim vrijednostima
1. 2.
3. 4.
Rješenja jednačina 1. 2. 3.
4.
17
18
Grafici kvadratne funkcije sa apsolutnim vrijednostima
1.
3.
Rješenja 1. 2. 3.
19 Logaritamske jednačine i nejednačine
1. 2. 3. 4. 6.
20 Rješenja logaritamske jednačine i nejednačine
1.
2. 3. 4.
5.
6.
21 Primjena sličnosti
1.
2. 3. 4. 5. 6.
Rješenja
1.
3. 4.
6.
22 Površina ravnih figura
1. 2.
3. 4. 5. 6. 7. 8. 9.
10.
11.
12.
13.
14.
23 Riješenja
1. 4. 5. 7. 8. 9.
10.
11.
12.
14.
24 Trigonometrija
Rješenja
25
26 Rješenja
27
III Trigonometrijske jednačine
28 Rješenja
29
‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐
30
ANALITIČKA GAEOMETRIJA U RAVNI
Tačka
Rastojanje d tačaka M1(x1,y1) i M2(x2.y2): 2 2
2 1 2 1d = (x - x ) + (y - y )
Koordinate sredine S duži M1M2 : ( ) ( )s 1 2 s 1 21 1x x x , y y y2 2
= + = + .
Površina trougla Površina P trougla sa vrhovima M1(x1,y1) i M2(x2.y2) i M3(x3,y3):
[ ]1 2 3 2 3 1 3 1 21P = x (y y ) x (y y ) x (y y )2
± − + − + −
Tačke M1(x1,y1) i M2(x2.y2) i M3(x3,y3) su kolinearne (tj. leže na istoj pravoj) akko je P=0. Jednačina prave • Opšti oblik: Ax + By + C = 0, A ili B je različito od nule (tj. 2 2A B+ ≠ 0 ). C=0 implicira prava prolazi kroz koordinatni početak.
• Segmentni oblik: yx 1,
a b+ =
tačka P(a, 0) presjek sa osom Ox, tačka Q(0, b) presjek sa osom Oy; x = a prava paralelna osi Oy, y= b prava paralelna osi Ox; jednač ina ose Ox y= 0, jednač ina ose Oy: x= 0. • Eksplicitni oblik
y = kx + n
(0, n) presjek sa osom Oy, n , 0 , k 0,k
⎛ ⎞⎟⎜− ≠⎟⎜ ⎟⎟⎜⎝ ⎠ presjek sa osom Ox, α ugao sa pozitivnim smerom ose Ox, k=
tga koeficijent pravca. • Pramena pravih sa centrum M0 (x0, y0): y ‐ y0 = k(x ‐ x0). • Prave kroz dvije tačke M1(x1,y1) i M2(x2.y2):
( ) ( )( ) ( )( )2 11 1 1 2 1 2 1 1
2 1
y yy y x x ili y y x x y y x x
x x−
− = − − − = − −−
• Normalni oblik (p > 0 je rastojanje prave od koordinatnog početka, a β ugao koji normala na tu pravu zatvara sa (pozitivnom) smjerom ose Ox)
x cos ysin p 0β+ β− = .
Veza između raznih oblika jednačine prave
2 2
C C A Ca , b , k tg , , p ,A B B 2 A B
π=− =− = α =− α+β= =± +
Predznak pred korjenom bira se tako da je p > 0. Uslov paralelnosti pravih
• Prave y = k1x + n1, y = k2x + n2 su paralelne ako i samo ako je k1 = k2. • Prave A1x + B1y + C1 = 0, A2x + B2y + C2 = 0, su paralelene akko: 1 1 2 2A : B A : B= .
Uslov normalnosti pravih • Prave y = k1x + n1, k1 ≠ 0 i y= k2x + n2, k2≠ 0, su normalne akko je k1k2 = —1. • Prave A1x + B1y + C1 = 0 i A2x + B2y + C2 = 0 su normalne akko je A1A2 + B1B2 = 0.
• Prava kroz Mo (xo,yo) normalna na pravu y = kx + n, k ≠ 0 je ( )0 01y y x x .k
− =− −
31 Ugao izmedu pravih
• y= k1x + m1, y= k2x + n2: 2 1
1 21 2
k ktg , 1 k k
1 k k−
ϕ= ++
, tj. 1 1 2k k+ = 0 ⇒ ϕ = ±900.
Rastojanje tačke od prave
• rastojanje ⎢d⎢ tačke M0 (x0, y0) od prave Ax + By + C = 0, 2 2A B+ ≠ 0, je
0 0
2 2
Ax By Cd
A +B
+ +=
d∙C > 0 ako su tačke O i M0 sa iste strane prave , d∙C < 0 ako su tačke O i M0 sa raznih strane prave, d = 0 ako je M0 na pravoj, C = 0 koordinatni početak O je na pravoj.
Kružnica
je geometrijsko mjesto tačaka u ravni jednako udaljenih od jednc utvrđene tačke (centra kružnice). • Poluprečnik je duž čije su krajnje tacke centar i bilo koja tačka na kružnici. • Jednačina kružnice sa centrom u tacki C(p, q) i poluprečnikom r je
(x‐p)2 + (y‐q)2 =r2.
• Ax2 + Bx + Ay2 + Cy + D = 0 je jednačina kružnice ako je B2 + C2 ‐ 4AD > 0. Tada je: 2 2
22
B C B C - 4ADp , q , r .2A 2A 4A
+=− =− =
Tangenta kružnice • Ako tačka Mo(xo,yo) pripada kružnici (x ‐ p)
2 + (y ‐ q)2 = r2 onda je (xo ‐ p)∙ (x ‐ p) + (yo – q) ∙ (y ‐q) = r
2
jednačina tangente kružnice u toj tački. • Prava y = kx + n je tangenta kružnice (x — p)2 + (y — q)2 = r2 akko je (1 + k2)r2 = (q‐kp‐n)2.
Elipsa
je geometrijsko mjesto tačaka u ravni sa osobinom da je zbir rastojanja od dvije utvrđene tačke (fokusa F1 i F2) stalan. Zbir rastojanja ma koje tačke elipse do fokusa obilježava se sa 2a.
32
• Kanonska jednačina: 22
2 2
yx 1a b+ =
• Ekscentritet: 2
2
c be 1 1a a
= = − < ; Fokusi (žiže): (c ,0) , (‐ c,0)
• Jednačine direktrisa: a ax , xe e
= =− ; fokalni parametar: 2bp
a=
• Fokalni radijusi: r1 = a + ex, r2 = a ‐ ex ;
• Tangenta u tački M (x0, yo): 0 02 2
x x y y1
a b+ =
• Uslovi da prava y = kx + n bude tangenta hipcrbole: a2k2 + b2 = n2
Hiperbola
je geometrijsko mjesto tačaka u ravni za koje vrijedi da je razlika rastojanja od dvije utvrđene tačke (fokusa F1 i F2) stalna. Stalna razlika udaljenosti od fokusa obelezava se sa 2a.
• Kanonska jednačina: 22
2 2
yx 1a b
− =
• Ekscentricitet: 2
2
c be 1 1a a
= = + > ; Fokusi (žiže): (c ,0) , (‐ c,0)
• Jednačine direktrisa: a ax , xe e
= =− ; fokalni parametar: 2bp
a=
• Fokalni radijusi: r1 = a + ex, r2 = ‐ a + ex ;
• Tangenta u tački M (x0, yo): 0 02 2
x x y y1
a b− =
• Uslovi da prava y = kx + n bude tangenta hipcrbole: a2k2 – b2 = n2
Parabola
je geometrijsko mjesto tačaka u ravni sa osobinom da je rastojanje od jedne fiksne tačke (fokusa F) jednako rastojanju od jedne fiksne prave (direktrise d). • Kanonska jednačina: y2 = 2px • Ekscentricitet: e =
• Fokus: p , 02
⎛ ⎞⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎟⎜⎝ ⎠
• Jednačina direktrise: px2
=− , Fokalni parametar: p
33
• Fokalni radijus: p r = x + 2
• Tangenta u tački M(xo ,yo): ( )0 0y y p x x= +
• Uslovi da prava y = kx + n bude tangenta parabole: 2kn = p
34
34
ZADACI
Tačka i trougao
1. Odrediti tačku M(x,y) koja je jednako udaljena od tacaka: M1(l,0), M2(2,2) i M3(0, 2). Rjesenje. Iz uslova zadatka je MM1 = MM2 i MM1 = MM3, dobije se slijedeći sistem jednačina:
odnosno 2x +4y = 7, 2x ‐ 4y = ‐3, čije je rješenje x = 1 i y = 5 / 4, pa je tražena tačka M( 1, 5 / 4). 2. Pokazati da je trougao ABC jednakokrako pravougli ako su njegova temena: A(2,l), 5(5,3) i C(0,4). 3. Data su tri uzastopna tjemena A(l,0), B(3,1) i C(5,4) paralelograma ABCD. Nać'i koordinate temena D. Rezultat. D(3,3). 4.. Data su dva susjedna tjemena A(‐4,4), B(2,8) i presjek dijagonala S(2,2) paralelograma ABCD. Odrediti tjemena C i D. Rezultat. C(8,0), D(2,‐4). 5. Dva tjemena trougla ABC su A(‐3,1) i B(2,2), a treće tjeme C pripada pozitivnom dijelu y‐ose. Naći koordinate tačke C tako da površina tog trougla bude 10. Uputstvo. Iz uslova zadatka dobija se slijedeća jednačina:
5y 8 20 (y 0).− = > Rezultat. ( )C 0, 28 5 . ' 6. Tri tjemena cetvorougla ABCD su: A(4,0), B(3,5) i C(‐7,5), a četvrto tjeme D pripada negativnom dijelu x‐ose. Odrediti koordinate tacke D tako da površina cetvorougla ABCD bude 50. Rezultat. D(‐6,0).
Prava
7. Data je tačka A(l,2) i prava jednacinom 2x + y ‐ 3 = 0. a) Naci jednacinu prave koja prolazi kroz tacku A i normalna je na datoj pravoj. b) Naci jednačinu prave koja prolazi kroz tacku A i paralelna je sa datom pravom.
Rjesenje. a) Koeficijent pravca date prave je k = ‐2, a koeficijent trazene prave je 11 1k ,k 2
=− = pa je jednačina
tražene prave ( )1y 2 x 12
− = − , odnosno x ‐ 2y + 3 = 0. Rezultat. b) 2x + y ‐ 4 = 0.
8. Tacke A1(‐l, 0), B1(2,1) i C1(0, 3) su sredine stranica trougla ABC. Naci koordinate tjemena tog trougla. Uputstvo.
Prava BC je paralelna sa pravom B1C1 i lahko je viditi da je BC: yx 1 ;
2 2+ =
−prava AB je paralelna sa pravom A1B1 pa je
AB: y 3x ;
3 1−=
− −prava AC je paralelna sa pravom A1C1 pa je: AC:
y 1x 2 .1 3
−− = Rezultat. A(3,4), B(‐3,2), C(l ‐2).
9. U jednačini prave mx‐2y + 5 =0 odrediti parametar m tako da: a) prava bude paralelna pravoj x + y ‐1 = 0, b) prava bude normalna na pravu x ‐ y +1 = 0; c) prava zaklapa sa pozitivnim smijerom x‐ose ugao od 60°.
Rezultat. a) m = ‐2; b) m = ‐2; c) m 2 3.= 10. Tjemena trougla su ta£ke: M1(3,0), M2(5,2) i M3(4, 5). Naći jednačinu visine trougla MiM2M3 koja odgovara temenu M1. Rezultat. x ‐ 3y ‐ 3 = 0. 11. Naći jednačinu prave koja prolazi kroz tačku A(2,3) i sa koordinatnim osama gradi trougao povrsine 12. Uputstvo.
Jednačina tražene prave je yx 1
p q+ = , a površna trougla je
1P p q 12.2
= = Iz uslova da tačka A leži na toj
pravoj dobija se jednačina 2 3 1p q+ = . Za nalaženje veličina p i q koristi se sistem jednačina: ⎢pq⎢= 24, 3p + 2q = 24.
Rezultat. 3x + 2y ‐12 = 0.
35
35
12. Odrediti parametar p tako da prava 2x + py ‐ 5 = 0 zaklapa sa koordinatnim osama trougao čija je površina 5.
Rezultat. 5p .4
=
13. Odrediti koordinate tacke A' koja je simetrična tački A(1,‐1) u odnosun na pravu x+2y ‐ 1 = 0. Rješenje. Prava kroz tacku A normalna na datu pravu ima jednač inu 2x ‐ y ‐ 3 = 0. Presjek tih pravih je
tacka 7 1B , ,5 5
⎛ ⎞⎟⎜ − ⎟⎜ ⎟⎟⎜⎝ ⎠ a tražena tačka A'(x',y') određuje se iz uslova AB = B A', tj.
y 17 x 1 1i5 2 5 2
′′ −+= − = . Prema tome, trazena tacka je 9 3A , .5 5⎛ ⎞⎟⎜′ ⎟⎜ ⎟⎟⎜⎝ ⎠
14. Na pravoj 3x ‐ y + 3 = 0 naci tacku M2 najbližu tački M1(2, ‐1). Rezultat. M2(‐l,0).
15. Naći jednačinu prave koja prolazi kroz tačku M3(3, 3), a sa pravom 4x ‐ y ‐2 = 0 zaklapa ugao 4π. Uputstvo. Iz
uslova zadatka dobija se jednačina k 4 1,
1 4k− =+
gde je k koeficijent pravca tražene prave. Rezultat. Dva rješenja: 5x
+ 3y ‐ 24, 3x ‐ 5y = ‐6. 16. Odrediti jednačinu geometrijskog mjesta tačaka u ravni Oxy koje su podjednako udaljene od tačaka A(‐1,3) i B(3,l). Rezultat. 2x ‐ y = 0.
17. Naći rastojanje između paralelnih pravih x ‐y + 2 = 0 i 2x‐2y + 9 = 0. Rezu l t a t .5 2
4.
18. Odrediti jednačine simetrala uglova koje obrazuju prave 8x + 16y ‐21 = 0 i 16x ‐ 8y + 23 = 0. Rezultat. 2x – 6y + 11 = 0, 12X + 4y +1 = 0. 19. Na pravoj 2x ‐ y ‐ 10 = 0 naći tačku M(x,y) tako da je zbir kvadrata rastojanja od tačaka M1(‐5,0) i M2(‐3, 4) najmanji. Uputstvo. Iz uslova zadatka je: MM1
2 +MM22 =2x2 + 2y2 + 16x ‐ 8y + 50 i y = 2x ‐ 10, odakle je MM1
2 +MM2
2 =10x2 ‐ 80x + 300. Rezultat. M(4,‐2).
Kružnica
20. Nać i jednač inu kružnice koja prolazi kroz tačke A(l ,6) i 5(3, ‐2), a centar C te kružnice leži na pravoj x ‐ y + 3 = 0. Rješenje. Centar C(p,q) tražene kružnice lež i na pravoj x – 4y + 6 = 0 koja je simetrala duži AB i lež i na datoj pravoj . Znač i , za nalaženje vel ič ina p i q postoji sljedeći sistem jednač ina: p ‐ 4q + 6 = 0, p – q + 3 = 0, pa je centar kružnice
C( ‐2, l) , a poluprečnik je r = AC = 34. Prema tome, tražena jednač ina kružnice je ( ) ( )2 2x 2 y 1 34.+ + − =
21. Na ć i j e d na č i n u k r u ž n i c e k o j a p ro l a z i k r o z t a č k e M1 ( l , ‐ 3 ) , M2 ( l , 1 ) i M3(‐1, 3). Rezultat. ( x + 3) 2+ (y +1) 2 = 20 . 22. Nać i jednač inu kružnice koja prolaz i kroz koordinatni početak i č i j i centar l e ž i na pravo j y = x na ra s to jan ju
p 2 od koord ina tnog početka . Re z u l t a t . x 2 + y 2 ‐ 2 p x ‐ 2 p y = 0 , x 2 + y 2 + 2 p x + 2 p y = 0 .
23. Nap i sa t i j ednač i nu k ružn i ce po luprečn i ka r=2 , ko ja dod i ru je x ‐osu , a centa r j o j j e na pravo j y=2x . Rezu l tat . ( x ‐ 1) 2 + (y – 2 ) 2 = 4 , ( x + 1) 2 +(y + 2) 2 = 4 . 24. Iz tačke A(15, ‐5) povuć i seč icu na kružnicu x2 +y2 = 50 tako da odseca tetivu dužine 10. Nać i jednač inu te seč ice. Rezultat. 3x + 4y ‐ 25 = 0, y + 5 = 0. 25. Naći jednačinu tetive kružnice x2 +y2 ‐ 4x + 2y + 1 = 0 koja je tačkom A(3,0) prepolovljena. Rezultat. x + y ‐ 3 = 0. 26. Odsječak prave 3x + 2y ‐ 6 = 0 koji odsjecaju koordinatne ose je hipotenuza jednakokrakog pravouglog trougla. Naći treće tjeme tog trougla. Uputstvo. Tačke presjeka koordinatnih osa i date prave su A(2,0) i B(0,3). Prava 4x – 6y + 5 =
0 je simetrala duži AB; kružnica čiji je prečnik AB = 13 ima jednačlnu (x ‐1)2 + (y ‐ 32) 2 =
134. Znači, tražena tačka
C(x,y) je rješenje sljedećeg sistema jednačina: 2 23 134x - 6y 5 0, (x 1) (y ) .2 4
+ = − + − = Rezultat.
1 25 5 1 1C , , C , .2 2 2 2
⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎟ ⎟⎜ ⎜−⎟ ⎟⎜ ⎜⎟ ⎟⎟ ⎟⎜ ⎜⎝ ⎠ ⎝ ⎠
27. Naći jednačinu kružnice koja dodiruje pravu x + y ‐ 2 = 0 u tački A(1,1) i prolazi kroz tačku B(4,0). Rezultat. 2 27 7 25x y .
2 2 2⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎟ ⎟⎜ ⎜− + − =⎟ ⎟⎜ ⎜⎟ ⎟⎟ ⎟⎜ ⎜⎝ ⎠ ⎝ ⎠
36
36
28. Odrediti jednačinu kružnice čiji je centar u tački presjeka pravih 3x ‐ 4y + 11 = 0 i 5x + 7 y ‐ 50 = 0 i
koja dodiruje pravu 5x + 12 y ‐ 10 = 0. Rezultat. 2 2(x 3) (y 5) 25.− + − =
29. Odrediti n tako da prava y = x + n bude tangenta kružnice x2 +y2 ‐ 2x ‐ 2y + 1 = 0.
Rezultat. n1 = 2 , n2 = ‐ 2 . 30. Odrediti jednačinu kružnice čiji je centar tadka C(2,5), a dodiruje kružnicu (x + 2)2 + (y ‐ l)2 = 2. a) spolja; b) iznutra. Rezultat .a) (x ‐2) 2+(y ‐5) 2 = 18; b) ( x ‐ 2) 2 + (y ‐ 5) 2 =50. 31. Naci geometrijsko mjesto sredina tetiva kruznice x2 + y2 = r2 koje prolaze kroz tacku M0(‐r, 0).
Rezultat. 2 2
2r rx + y =2 4
⎛ ⎞⎟⎜ + ⎟⎜ ⎟⎟⎜⎝ ⎠, osim tačke M0(‐r, 0).
32. Naći geometrijsko mjesto svih tačaka u ravni Oxy iz kojih se kruznica x2 +y2 = r2 vidi pod pravim uglom. Rješenje. Neka tačka M(x,y) pripada trazenom skupu i neka je Y = kX + y ‐ kx tangenta date kruznice u tačiki M(X,Y)
(X i Y) su tekuće koordinate prave). Uslov dodira tangente i kruznice je ( ) ( )22 21 k r y kx ,+ = − odnosno (r2‐
x2)k2+2xyk + r2 ‐y2 = 0. Dobijena kvadratna jednačina po k ima dva rjesenja k1 i k2, koja zadovoljavaju relaciju k1k2
= ‐ 1, pa je: 2 2
2 2
r y 1.r x
− =−−
Prema tome, tražena jednačiina je x2 + y2 = 2r2.
Elipsa
33. Naći kanonski oblik jednadine elipse ako je a + b = 10 i c = 20 (a‐velika poluosa; b ‐ mala poluosa; 2c ‐rastojanjeizmeđu žiža). Rješenje. Iz uslova zadatka dobija se sljedeći sistem jednačina: a2 ‐ b2 =20, a + b = 10, čije je rješenje a = 6 i b = 4, pa je tražena jednačina elipse 16x2 + 36y2 = 36 ∙16.
34. Pod kojim se uglom vidi žižno rastojanje elipse 9x2 + 36y2 = 9∙36 i iz tačke 3 3A 3, ?
2
⎛ ⎞⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎟⎜⎜⎝ ⎠ Rezultat. ϕ =
arctg12 .5
35. U elipsu x2 +4y2 = 4 upisan je jednakostranični trougao čije se jedno tjeme poklapa sa desnim krajem velike poluose te elipse. Naći koordinate ostala dva tjemena tog trougla.
Uputstvo. Tjemena B i C tog trougla nalaze se na pravama 3y = (x 2)
3− i
3y = (x 2)3
− − .
Rezultat. 2 4 3 2 4 3B , , C , .7 7 7 7
⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎟ ⎟⎜ ⎜⎟ ⎟⎜ ⎜ −⎟ ⎟⎜ ⎜⎟ ⎟⎟ ⎟⎜ ⎜⎜ ⎜⎝ ⎠ ⎝ ⎠
36. Tjemena četvorougla nalaze se u žižama elipsi: b2x2+a2y2 = a2b2 i a2x2 + b2y2 = a2b2. Naći površnu tog četvorougla. Rezultat. P = 2⎢a2 ‐ b2 ⎢. 37. Naći jednačine tangenata elipse x2 +4y2 =1 koje su paralelne pravoj x +y = 2.
Rezultat . 5y x .
2= − ±
38. Napisati jednačinu elipse u kanonskom obliku ako ona dodiruje prave: x y 8 0, x 3y 16 0.+ − = + + =
Rezultat. a2 = 40, b2 = 24. 39. Prava koja odsjeca jednake odsječke na koordinatnim osama je tangenta elipse iz zad. 38. Naći jednačinu te tangente. Rezultat. x +y ‐8 = 0. 40. Naći jednačnu tangente elipse 9x2 +25y2 = 225 čiji je odsječak između koordinatnih osa tačkom dodira
prepolovljen (prvi kvadrant). Rezultat. 3x + 5y ‐ 15 2 = 0. 41. Naći jednačinu tangente elipse sa osama a2 = 72, b2 = 32 koja sa koordinatnim osama zaklapa trougao površine 48. Rezultat. 2x ± 3 v ± 24 = 0.
42. Naći ugao pod kojim se sjeku kružnica x2 + y 2 = 4 i elipsa 3x2 + 4y2 = 13. Rezultat.3 = arctg .
13ϕ
43. Odrediti jednačine zajedničkih tangenata elipsi x2+4y2=4 i 9x2 +y2 = 9. 2 35 2 35Rezultat. y 2 x , y 2 x .3 3 3 3
= ± =− ±
44. Naći geometrijsko mjesto centara krugova koji dodiruju kružnice x2 + y2 = 16 i (x ‐2)2 +y2 = 4.
37
37
Uputstvo. Neka je M(x, y) jedna tačka traženog geometrijskog mjesta tačaka, a r poluprečnik kružnice koja dodiruje date kružnice. Tada je očito (obavezno nacrtajte sliku):
( )2 2 2 2r 2 x 2 y , 4 r x y .+ = − + − = +
Rezultat. Elipsa ( )2 28 x 2 9y 72− + = i prava y = 0 bez tačke (4,0).
II način. Neka su: O1 centar veče kružnice čiji je poluprečnik r1 = 4, O2 centar kružnice čiji je poluprečnik r1 = 2, tada je (vidi sliku) (O1M = r1 – r, O2M = r2 + r) ⇒ O1M + O2M = r1 + r2 = 6, tj. traženo geometrijsko mjesto je elipsa čiji su fokusi
O1 i O2, tako da je 2a = 6, 2c = O1O2= r1 = 2. Zato je (a, c) = (3, 1) i 2 2b = a c 8− = .
45. Naći geometrijsko mjesto tačaka koje dijele ordinate tačaka kružnice x2 + y2 =25 u razmjeri 3:2. Rezultat. 9x2+25y2 = 225.
45. Odrediti geometrijsko mjesto tačaka iz kojih se elipsa 22
2 2
yx 1a b+ = vidi pod pravim uglom. Uputstvo. Vidi zadatak
32, odjeljak Kružnica. Rezultat. x2 + y2 = a2 + b2..
Hiperbola
47. Odrediti jednačinu hiperbole u kanonskom obliku ako ta hiperbola prolazi kroz tačke M1(2,0) i M2(6,4). Rješenje. Iz uslova da tačke M1 i M2 pripadaju hiperboli čija je jednačina:
2 2 2 2b x a y 1− = dobija se sljedeći sistem jednačina: 4b2 =
a2 b2 , 36b2 ‐ 16a2 = a2 b2. I z l az i a2 = 4 i b2 = 2 , pa je j ednač i na te h iperbo le 22 yx 1
4 2− = .
48. Naći jednačinu hiperbole u kanonskom obliku ako ta hiperbola prolazi kroz tačku A( 4 2, 3) i ako ona ima
i s te ž i že kao i e l ipsa 2 x2 + 7y2 =70. Rezu l tat . 22 yx 1
16 9− = .
49. Data j e j ednač i na e l ipse 9x2 + 25y2 = 225 . Napisat i j ednač i nu h iperbo le č i j a su temena u ž i žama te e l ipse , a ž i že te h iperbo le u temenima date e l ipse .
Rezu l tat . 22 yx 1
16 9− = .
50. I z računat i ras to jan je ž i ža h iperbo le 22 yx 1
64 36− = od njen ih as imptota . Rezu l tat . 6 .
51. Nać i duž inu tet ive h iperbo le 5 x2 ‐ 4y2 = 20 ko ja pro laz i kroz desnu ž i žu te hiperbo le i para le lna j e sa pravom x + y = 1 . Rezu l tat . 40 . 52. Napisat i j ednač i nu tet ive h iperob le 4x2 ‐ 9y2 = 36 ko ju polov i tačka A(5 ,1 ) . Rezu l tat . 20x ‐ 9y = 91. 53. Jednakost ran ičn i t rougao , ko j i j e s imetr ičan u odnosu na x ‐osu , ima j edno t jeme u koord inatnom početku , a druga dva t jemena su na h iperbo l i 4x2 ‐ 9y2 = 36 ( x > 3) . Nać i koord inate t jemena tog t roug la .
Rezu l tat . O(0 , 0) , A(6 , 2 3 ) , B(6 , ‐2 3 ) . 54. I z tačke A(1 ,0 ) povučene su tangente na hiperbo lu x2 ‐ y2 =4 . Nać i j ednač i ne t ih
tangenata . Rezu l tat . ( )2 3y x 1 .3
=± −
55. Odred i t i j ednač i ne tangenata h iperbo le 9x2 ‐ 4y2 =36 ko je su para le lne pravo j
2x ‐ y ‐ 4 = 0 . Rezu l tat . y = 2x ± 7 . 56. Odred i t i j ednač i ne tangenata h iperbo le x 2 ‐ 2y2 = 4 ko je su normalne na pravo j x +2y = 1 .
Rezu l tat . y = 2x± 14 . 57. Odred i t i j ednač i nu h iperbo le u kanonskom ob l iku ako ta h iperbo la dod i ru je pravu x – y ‐
2 = 0 u tačk i A(4 ,2) . Rezu l tat . 22 yx 1
8 4− = .
58. Ako su prave 5x ‐7y ‐ l = 0 i x ‐y ‐ l = 0 tangente h iperbo le b2x2 ‐ a2y 2 = a 2b 2 , odred i t i j ednač i nu te h iperbo le . Rezu l tat . x2 ‐ 2y2 = 2 . 59. Pod kojim se ugtom seku krive x2 + y2 = 25 i 2x2 ‐ y2 = 2? Rezultat. ϕ = arctgl8. 60. Naći jednačine zajedničkih tangenata hiperbole 3x2 ‐ 4y2 = 12 i kružnice 2x2+2y2 =1. Rezultat. y = x + 1 , y = x ‐ 1, y = ‐ x + 1, y = ‐ x ‐ 1 .
38
38
61. Nać i jednač inu kružnice č i j i je centar na y ‐osi i dodiruje hiperbolu 3x2 ‐ y2 = 3 u tački M(2,3) . Rezultat. x2 + (y ‐ 4)2 = 5. 62. Naći jednačinu one krive čije su tačke dva puta dalje od tačke F(8,0) nego od prave x = 2. Rješenje. Neka je M(x,y) proizvoljna tačka tražene krive. Iz datog uslova dobija se jednačina
( )2 2x 8 y 2 x 2− + = − ,
a posle kvadriranja i sređivanja dobija se tražena kriva 22 yx 1
16 48− = .
63. Naći geometrjsko mjesto tačaka iz kojih se hiperbola b2x2 ‐ a2y2 = a2b2 vidi pod pravim uglom. Uputstvo. Vidi zadatak 32, odjeljak Kružnica. Rezultat. x2 + y2 = a2 ‐ b2 (a > b). 64. Naći geometrijsko mjesto centara kružnica koje dodiruju spolja kružnice x2 + y2 = 4 i x2 + y2 ‐ 6x = 0.
Rezultat. 2
238 x y 2.2
⎛ ⎞⎟⎜ − − =⎟⎜ ⎟⎟⎜⎝ ⎠
Parabola
65. U jednačini parabole y2 = 2px odrediti parametar p tako da tačka M(2,4) leži na toj paraboli, a zatim nać'i direktrisu i žižu te parabole. Rezultat. p = 4, x = ‐ 2, F(2,0).
66. Na paraboli y2 = 4x naći tačku A čije rastojanje od koordinatnog početka iznosi 21. Rješenje. Neka je tačka A = (a,b). Tada je b2 = 4a, a iz uslova OA = 21 dobija se jednačina a2 +b2 = 21. Dakle, a i b se dobiju iz sistem jednačina: b2
=4a , a2 + b2 = 21. Tražene tačke su: ( )1,2A 3, 2 3 .= ±
67. U parabolu y2 = 2x upisan je istostranični trougao čije se jedno tjeme nalazi u tjemenu te parabole, a druga dva na datoj paraboli. Naći koordinate druga dva tjemena tog trougla.
Rezultat. ( ) ( )A 6, 2 3 , B 6, 2 3 .= = −
68. Naći jednačinu tetive parabole y2 = 4x koja je tačkom A(3,1) prepolovljena. Rješenje. 2x ‐ y = 5. 69. Kroz žižu parabole y2 = 4x, okomito na pravu y = 2x, povučena je tetiva parabole. Odrediti koordinate sredine S ove tetive. Rezultat. S(9,‐4). 70. Naći tangentu parabole y2 = 3x koja je paralelna pravoj 3x – y ‐ l = 0. Rezultat. 12x ‐ 4y + l = 0. 71. Pod kojim se uglom vidi parabola y2 = 8x iz tačke A(‐2,3)? Rezultat. ϕ = π ⁄ 2. 72. Naći ugao između tangenata parabole y2 = 2x koje su povučene u tačkama preseka te parabole i prave x ‐ y = 2.
Rezultat. ϕ = 2 5arctg
3.
73. Na paraboli y2 = 4x naći tačku najbližu pravoj 4x + 3y + 46 = 0 i izračunati njeno rastojanje d od te prave.
Rezultat. 9 3 35A , , d .
16 2 4⎛ ⎞⎟⎜ − =⎟⎜ ⎟⎟⎜⎝ ⎠
74. Naći jednačinu kružnice čiji je centar na x‐osi i koja sa parabolom y2 = 12x u tački A(3,6) ima zajedničku tangentu. Uputstvo. Jednačina tangente parabole y2 = 12x u tački A(3,6) je y = x + 3. To je i jednačina tangente tražene kružnice. Jednačina normale te prave u tački A je y = ‐ x + 9. Tačka C(9,0) je centar kružnice, a
poluprečnik je r = AC = 6 2. Rezultat. (x ‐ 9)2 +y2 = 72. 75. Koja od parabolu y2 = 2px koja siječe kružnicu (x +3)2 +y2 = 72 pod pravim uglom. Rezultat. y2 = 12x. 76. Pod kojim se uglom sjeku krive y2 = 3x i x2 + y2 ‐ 4x ‐ 6 = 0? Rezultat. ϕ = π ⁄ 4. 77. Naći zajedničke tangenate kružnice x2 + y2 = 2 i parabole y2 = 8x. Rezultat. y = x + 2, y = ‐ x ‐ 2. 78. Na pravoj x + y + 3 = 0 naći tačku iz koje se parabola y2 = 4x vidi pod pravim uglom. Rezultat. A(‐l,‐2). 79. Naći geometrijsko mjesto sredina tetiva krive y2 = 12x koje su paralelne pravoj 3x – 4y + 24 = 0. Re zu l t a t . y ‐
8 = 0 ∧ x ≥ 16 .9
80. Koju krivu opisuje centar kružnice koja dodiruje y‐osu i kružnicu x2 + y2 ‐ 2x = 0? Rezultat. y2=4x. Grafički predstavi i riješiti sistem jednačina: 81. x2 + y2 ‐ 6x ‐ 4y ‐ 12 = 0 , x ‐ y ‐ 6 = 0. Rezultat. Presječne tačke kružnice (poluprečnika 5 sa centrom u
39
39
tački (3,2)) i prave K ∩ P = ( ) ( ){ }3, 3 , 8, 2 .−
82. x2 + y2 = 16, y2 = 6x. Rezultat. Presjek kružnice i parabole ( ){ }2, 2 3 .±
83. x2 + 4y2 = 4 , 4y2 = 3x. Rezultat. Presjek kružnice i parabole 31, .2
⎧ ⎫⎛ ⎞⎪ ⎪⎟⎪ ⎪⎜⎪ ⎪⎟⎜ ±⎨ ⎬⎟⎜ ⎟⎪ ⎪⎟⎜⎜⎝ ⎠⎪ ⎪⎪ ⎪⎩ ⎭
84. y=x2 + 3x ‐1, xy = 3. Rezultat. Presjek parabole i hiperbole ( ) ( ){ }1, 3 , 3, 1 .± ± − −
85. x2 + y2 + 2x ‐ 6y + 5 = 0 , x2 + y2 – 2y ‐ 9 = 0. Rezultat. Presjek dvije kružnice ( ) ( ){ }1, 4 , 3, 2 .−
86. 9x2 + y2 = 45, xy = 6. Rezultat. Presjek elipse i hiperbole ( ) ( ){ }2, 3 , 1, 6 .± ± ± ±
87. x2 + y2 = 25, x2 + y = 13. Rezultat. Presjek kružnice i parabole ( ) ( ){ }4, 3 , 3, 4 .± − ±
88. x2 + y2 = 34, xy = ‐ 15. Rezultat. Presjek kružnice i hiperabole ( ) ( ){ }3, 5 , 5, 3 .± ±∓ ∓
LITERATURA 1. M. Merkle (i dr. devet autora): ZBIRKA ZADATAKA I TESTOVA za polaganje prijemnog ispita IZ MATEMATIKE za upis na tehničke i ., 2. dopunjeno izdanje, Beograd 2000, Zavod za udžbenike i nastavna sredstva,
40
40
PRIMJER PRIJEMNOG ISPITA
Elektrotehnički fakultet Uiverziteta u Beogradu, 2003
41
41
42
42
Fakultet za saobraćaj i komunikacije, Univerziteta u Sarajevu
Zadaci za Prijemni ispit (09. 07. 2007) Grupa A
Broj zad. Tekst zadatka
1.
Odredite skup svih vrijednosti realnog parametra k za koje kvadratna jednačina
2( 1) 2 ( 1) 1 0k x k x k+ + + + − =
ima dva rješenja oba negativna.
2.
Riješite u skupu realnih brojeva nejednačine:
a) 2 3 5
2x
x+
<− ; b) 3 5 1.x x− > −
3.
Ako je ( ) 2 (1 )f x f x x− − = , riješite trigonometrijsku jednačinu
2 4
(sin cos ) .6
f x x−
+ =
4.
U trouglu ABC čije stranice BC, CA, AB imaju redom dužine 24 cm, 12 cm, 18 cm upisana je kružnica K. Kroz centar te kružnice povučena je prava koja je paralelna sa stranicom BC zadanog trougla i siječe stranicu AB u tački 1B , a stranicu CA u tački 1C . Izračunajte: a) poluobim s zadanog trougla ABC i dužinu poluprečnika ρ kružnice K upisane tom trouglu; b) površinu 1P novonastalog trougla 1 1.AB C
Napomena: ‐ Svaki od zadataka 1. ‐ 4. se vrednuje na isti način ‐ po maksimalno 10 bodova.
Šifra kandidata Broj bodova po zadacima Ukupan broj
bodova 1 2 3 4
43
43
Fakultet za saobraćaj i komunikacije Univerziteta u Sarajevu
Zadaci za Prijemni ispit (09. 07. 2007)
Grupa B Broj zad. Tekst zadatka
1.
Odredite skup svih vrijednosti realnog parametra k za koje kvadratna jednačina
2( 1) 2 ( 1) 1 0k x k x k+ + + + − =
ima dva rješenja različitog znaka.
2.
Riješite u skupu realnih brojeva nejednačine:
a) 2 3 5
2x
x+
>− ; b) 3 5 1.x x− < −
3.
Ako je (1 ) 2 ( ) 1 ,f x f x x− − = − riješite trigonometrijsku jednačinu
2 4
(sin cos ) .6
f x x−
− =
4.
U trouglu ABC čije stranice BC, CA, AB imaju redom dužine 24 cm, 12 cm, 18 cm upisana je kružnica K. Kroz centar te kružnice povučena je prava koja je paralelna sa stranicom BC zadanog trougla i siječe stranicu AB u tački 1B , a stranicu CA u tački 1C . Izračunajte : a) površinu P zadanog trougla ABC i dužinu njegove visine h na stranicu BC ; b) obim 1O novonastalog trougla 1 1.AB C
Napomena:
‐ Svaki od zadataka 1. ‐ 4. se vrednuje na isti način ‐ po maksimalno 10 bodova.
Komisija za pripremu, pregled i ocjenu radova Prijemnog ispita na Fakultetu za saobraćaj
i komunikacije Univerziteta u Sarajevu, akademske 2007/2008. godine
Šifra kandidata Broj bodova po zadacima Ukupan broj
bodova 1 2 3 4
44
44
Elektrotehnički fakultet Univerziteta u Sarajevu
PRIJEMNI ISPIT (02. 07. 2007) Grupa A Broj zad.
Tekst zadatka
1.
a) Nacrtati grafik funkcije f zadane formulom f (x)2 5 4.x x= − + Nakon toga riješiti svaku od
nejednadžbi:
2 5 4 0x x− + < ,
2 5 4 0x x− + ≤ , 2 5 4 0x x− + > ,
2 5 4 0x x− + ≥ .
b) Odrediti sve vrijednosti realnog parametra k tako da
jednadžba2 2 ( 2) 2 1 0kx k x k− + + + = ima dva realna i različita rješenja koja pripadaju
intervalu (0,5).
2. Riješiti sistem jednadžbi:
2 22 2
10 10 10
log ( ) 1 log 130log ( ) log ( ) log 2.
x yx y x y
+ + =
− − + =
⎧⎨⎩
3.
Odrediti sve kompleksne brojeve z koji zadovoljavaju uslove:
12 5
8 3
z
i z
−=
− , 4
18
z
z
−=
− , gdje je i imaginarna jedinica.
4. Izračunati sve vrijednosti izraza sin cos
tgα β
α+
ako je 3i sin5
α β π α+ = = .
5. U trokut čije stranice imaju dužine 24 cm, 12 cm i 18 cm upisana je kružnica. Kroz centar te kružnice povučena je prava paralelna s najdužom stranicom. Izračunati obim novonastalog trokuta.
Napomene:
- Svi zadaci se vrednuju na isti način ‐ po maksimalno 8 bodova. - Rezultati prijemnog ispita bit će objavljeni 03. 07. 2007. u 1400, u zgradi
Elektrotehničkog fakulteta, ul. Zmaja od Bosne, bb., KAMPUS.
Ime i prezime kandidata
Broj bodova po zadacima Ukupan broj bodova
1 2 3 4 5
45
45
Elektrotehnički fakultet Univerziteta u Sarajevu
PRIJEMNI ISPIT (02. 07. 2007) Grupa B
roj zad. Tekst zadatka
1.
a) Nacrtati grafik funkcije f zadane formulom f (x)2 4 3.x x= − + Nakon toga riješiti
svaku od nejednadžbi:
2 4 3 0x x− + < ,
2 4 3 0x x− + ≤ , 2 4 3 0x x− + > ,
2 4 3 0x x− + ≥ .
b) Odrediti sve vrijednosti realnog parametra k tako da jednadžba 2 ( 1) 1 0kx k x k+ − + + = ima dva realna i različita rješenja od kojih tačno jedno pripada
intervalu (0, 1).
2.
Riješiti sistem jednadžbi:
2 210 10
2 2 2
log ( ) 1 log 130log ( ) log ( ) 4log 2.
x yx y x y
+ + =
− − + =
⎧⎨⎩
3.
Odrediti sve kompleksne brojeve z koji zadovoljavaju uslove:
8 3
12 5
z i
z
−=
− , 8
14
z
z
−=
− , gdje je i imaginarna jedinica.
4. Izračunati sve vrijednosti izraza tgsin +cos
αα β
ako je 3i cos5
α β π α+ = = .
5. U trokut čije stranice imaju dužine 24 cm, 12 cm i 18 cm upisana je kružnica. Kroz centar te kružnice povučena je prava paralelna s najdužom stranicom. Izračunati površinu novonastalog trokuta
Napomene:
- Svi zadaci se vrednuju na isti način ‐ po maksimalno 8 bodova. - Rezultati prijemnog ispita bit će objavljeni 03. 07. 2007. u 1400, u zgradi
Elektrotehničkog fakulteta, ul. Zmaja od Bosne, bb., KAMPUS. Sarajevu, školske 2007/2008. godine
Ime i prezime kandidata
Broj bodova po zadacima Ukupan broj bodova
1 2 3 4 5
46
46
GRAĐEVINSKI FAKULTET, Sarajevo 02‐07‐2007.
ZADACI ZA KVALIFIKACIONI ISPIT IZ MATEMATIKE.
Svaki zadatak ima četeri ponuđena odgovora: a, b, c, d. OBAVEZNO :
1. riješite postavljeni zadatak, a zatim 2. zaokružiti SAMO tačan rezultat. SMATRA SE DA NISTE RIJEŠILI TAJ ZADATAK, ako:
(i) zaokružite netačan rezultat ili više od jednog ponuđenog rezultata (a, b, c, d), (ii) ne zaokružite nijedan od odgovora (a, b, c, d), (iii) samo zaokružite tačan rezultat a da niste zapisali rješenje. (iv)
1. ZADATAK
Nejednačina: ( ) 2m 1 x 2mx m 0− + + ≤ važi za sve realne x, ako je:
a) 0 m 1≤ ≤ b) m 0≤ c) m 1≤ d) m 1≥
2. ZADATAK
Neka se na horizontalnom terenu iz tačke A toranj visok 30m vidi pod uglom od 6π . Da bi se iz iste tačke toranj vidio
pod uglom od 3π trebao bi biti visok:
a) 60m b) 75m c) 90m d) 60 2
3.ZADATAK Ako je je hipotenuza c = 4, a za mjerne brojeve oštrih uglova vrijedi α : β = 1 : 3, tada je površina pravouglog trougla:
a) ( )2 2 2 1− ; b) 2 3 ; c) 5 1+ ; d) 2 2 .
4.ZADATAK Osnovica ravnokrakog trougla je a = 5, a krak b = 10. Tada je poluprečnik opisanog kruga oko trougla:
a) 3 5 ; b) 4 15
3 ; c) ( )2 3 1+ ; d) 3 14
2
5. ZADATAK Izraz:
( ) ( )13 3
2 2 22 2
x y 2y xy: x y 2 4 8 16 1 2x y x y x y
−⎛ ⎞+− + − + + + + −⎜ ⎟+ + − ⎝ ⎠
ima vrijednost:
a) 4; b) xy + 3; c) 2; d) xy+4.
5. ZADATAK
Ako je: 63 7cos 2 , 0, i cos , 0, ,65 2 2130
π π⎛ ⎞ ⎛ ⎞α = − α ∈ β = β ∈⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
tada je α + β jednako:
1 2 3 4 5 6 ∑
47
47
a) 450; b) 900 ; c) 600 ; d) 1350.
Korisne formule:
( )
1 cos2 1 cos2cos , sin ,2 2
cos x y cos x cos y sin x sin y
+ θ − θθ = ± θ = ±
+ = −.
U pravouglom trouglu čije su katete a i b, a hipotenuza c: sinα = ac , cosα =
bc
RJEŠENJA
1.Zadatak
Kvadratni trinom f(x) = ax2 +2bx + c ne mijenja znak ako je diskriminanta D = b2 – ac ≤ 0, tj.
( ) ( ) ( )
( ) ( )x R ( f x 0 D 0 a > 0 )
(f x 0 D 0 a < 0 )
∀ ∈ ≥ ⇔ ≤ ∧
≤ ⇔ ≤ ∧
Dakle,
( ) ( ) ( )( ) ( )2 2( x R m 1 x 2mx m 0) D m m 1 m m 0 m 1 0
m 0.
∀ ∈ − + + ≤ ⇔ = − − = ≤ ∧ − <
⇔ ≤
Drugi način (S. Dolarević): ( )( )( )
22
2xx R m 1 x 2mx m 0 m m 0.
x 1∀ ∈ − + + ≤ ⇔ ≤ ⇔ ≤
+
2.Zadatak
Neka je x = CA i tražena visina tornja H = CB, tada je: x = hctg300 =30 3 , H = xtg600= 30 3 3 = 30.3= 90 m.
3.Zadatak
Iz α : β = 1 : 3, izlazi β = 3α , tako da iz osobine zbira oštrih uglova u pravouglom trouglu α + β = 900, izlazi 4α=900, tj. 2α=450.
Katete pravougli trougao ABC su (nacrtati sliku) : a = csinα, b = c cosα , te je površina tog trougla
1P2
= ab =12 csinα c cosα =
21 c sin 24
α =21 24 2 2
4 2= .
C ∠CAB1=30
0, ∠CAB=600
C
∠CAB1=300, ∠CAB=600
A C
∠CAB1=300, ∠CAB=600
A
h
48
48
4.Zadatak
Iz pravouglog trougla BDS ( čiji su vrhovi (nacrtati sliku): B vrh na osnovici a =BC ravnokrakog trougla ABC, D je podnožje visine h = AD, povučene iz vrha A na osnovicu BC, dok je S centar opisanog kruga oko ravnokrakog trougla
ABC), čije su katete 12 a i h – r , a hipotenuza r, izlazi
h = AD =
22 a 5 15b
2 2⎛ ⎞− =⎜ ⎟⎝ ⎠
( r je poluprečnik kruga opisanog oko trougla ABC )
r2 = (h ‐ r)2 +
2a2
⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
, tj. 2hr = h2 + ( )2
2a b2
⎛ ⎞ =⎜ ⎟⎝ ⎠
. Dakle r = 2b 4 15
2h 3= .
5.Zadatak
Kako je:
( ) ( ) ( )( )( )
( )( )( )
( )( ) ( )( ) ( )( )
2 23 32 2
2 2
2 2 2 2 2
x y x xy z 2y x y xyx y 2y xy 1A : x y .x y x y x yx y x y x y x y x y
x xy z xy 2y x y 1,x y x y x y x y x y x y
+ − + − −+= − + − = +
+ + +− − + − +
− + − −= + = =
− + − + − +
( ) ( ) ( )12 2 1 2 1B 2 4 8 16 1 2 2 2 2 2 4 3 2 2 1 3,
2 2tako da je I = A+B=4.
−⎛ ⎞ − −= + + + − = + + + = + =⎜ ⎟
⎝ ⎠
6.Zadatak
Za oštre uglove α i β izlazi(ispred korjena uzet znak plus zato što je α oštar ugao):
1 cos2 1 63 1cos 1 ,2 2 65 65
1 cos2 1 63 8sin , 12 2 65 65
⎛ ⎞+ α ⎟⎜α = = − =⎟⎜ ⎟⎟⎜⎝ ⎠
⎛ ⎞− α ⎟⎜α = = + =⎟⎜ ⎟⎟⎜⎝ ⎠
,
2
2 7 9sin 1 cos 1 .130 130
β = − β = − =
Zato je: ( ) 1 7 8 9 7 72 2cos cos cos sin sin265 130 65 130 65 2
−α + β = α β− α β = − = =−
tj. ( )0135 iz 0, i 0, slijedi 0, .2 2
⎛ π π ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞α + β = α ∈ β ∈ α + β ∈ π⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠
Gradevinski fakultet, Sarajevo 10.9.2007.Prijemni ispitSvaki zadatak ima cetiri ponudena odgovora: a), b), c), d)Rijesite zadatak, a zatim obavezno zaokruzite tacan rezultat.Smatrace se da niste rijesili zadatak ako:i) zaokruzite netacan rezultat ili vise od jednog ponudenog rezultata;ii) ne zaokruzite nista;iii) samo zaokruzite tacan rezultat a niste prilozili rjesenje.1. 2. 3. 4. 5. 6.
∑
1. Ako su
x = 17
20: 2, 7 + (0, 4 : 2
1
2) · (4, 2− 1
3
40)
i
y = (1
b−√
a+
1
b +√
a) :
a−2b−1(19)−
12
a−2 − a−1b−2,
onda je xy jednako:a) 2
3; b) 3; c) 2; d) 2ab.
2. Rjesenja kvadratne jednacine
a
bx + x+
a + 1
b2x2 + 2bx2 + x2= 1
su:a) x1 = 1, x2 = 2; b) x1 = a+1
b+1, x2 = − 1
b+1;
c) x1 = ab+1
, x2 = 1b+1
; d) x1 = 1b+1
, x2 = − 1b+1
.
3. Rjesenje nejednacine 1x
+ 1 < 1x+1
je:
a) (1, 2]; b) (−∞,−1) ∪ (0,∞); c) (−1, 0); d) [−1, 0).
4. Dijagonale jednakokrakog trapeza sijeku se pod pravim uglom, a njihovidijelovi su 4 i 3. Povrsina trapeza je:
a) 1; b)√
2; c) 492; d) 49
√2
2.
5. Rjesenja trigonometrijske jednacine tg2x− (√
3− 1)tg x−√
3 = 0 su:
a) π6
+ mπ, −π4
+ nπ, m, n ∈ Z; b) 2mπ, π4
+ nπ, m, n ∈ Z;
c) −π3
+ mπ, −π4
+ nπ, m, n ∈ Z; d) π3
+ mπ, −π4
+ nπ, m, n ∈ Z.
6. Ako je sin α = 513
, sin β = 1213
, a α i β su ostri uglovi, onda je sin(α− β) jednako:
a) −119169
; b) 1; c) −1; d) 119169
.
Gradevinski fakultetUniverzitet u Sarajevu07.07.2010.Prijemni ispit
Svaki zadatak ima pet ponudenih odgovora: a), b), c), d), e)Rijesite zadatak, a zatim obavezno zaokruzite tacan rezultat.Smatrace se da niste rijesili zadatak ako:i) zaokruzite netacan rezultat ili vise od jednog ponudenog rezultata;ii) ne zaokruzite nista;iii) samo zaokruzite tacan rezultat a niste prilozili rjesenje.
1. 2. 3. 4. 5. 6.∑
1. Izraz A = ( 3(x+2)2(x3+x2+x+1)
+ 2x2−x−102(x3−x2+x−1)
) : ( 5x2+1
+ 32(x+1)
− 32(x−1)
)− x+22
jednak je:
a) 0 b) x c) 2 d) −x e) N
2. Rjesenje nejednacine | x+22x−3| < 3 je skup:
a) (−∞, 32)∪( 11
5,∞) b) (−∞,1)∪( 11
5,∞) c) (1, 11
5) d) (−∞,1]∪[ 11
5,∞) e) N
3. Rjesenja jednacine cos2 2x− 2 sinx cosx = −1 koja se nalaze u intervalu (0, 2π) su:
a) {π4, 5π
4} b) {π
4, 3π
4} c) {3π
4, 7π
4} d) {−π
4,−5π
4} e) N
4. Rjesenje jednacine x+ log2(10− 2x) = 4 koje se nalazi u intervalu (1, 3] je:
a) 1 b) log2 6 c) 3 d) 2 e) N
5. Ako je u trouglu ABC dato b = 12, a− c = 10 i β = π3, onda je a+ c jednako:
a) 2√
69 b)√
69 c) 2√
69− 10 d)√
69− 5 e) N
6. Ako je prava (1− a)x+ (1 + a)y − 7 = 0 (a 6= −1) normalna na pravu 2x+ y = 3,onda a ima vrijednost:
a) −1 b) 13
c) 1 d) 3 e) N
N-Nijedan od ponudenih odgovora nije tacan.
Gradevinski fakultetUniverzitet u Sarajevu07.09.2010.Prijemni ispit
Svaki zadatak ima pet ponudenih odgovora: a), b), c), d), e)Rijesite zadatak, a zatim obavezno zaokruzite tacan rezultat.Smatrace se da niste rijesili zadatak ako:i) zaokruzite netacan rezultat ili vise od jednog ponudenog rezultata;ii) ne zaokruzite nista;iii) samo zaokruzite tacan rezultat a niste prilozili rjesenje.
1. 2. 3. 4. 5. 6.∑
1. Izraz A = (ab+ b
aab− b
a
+ 11+ b
a
− 11− b
a
) :1−a−3b
a+b3a+ba−b
−3jednak je:
a) 1a−b
b) 1 c) 3a2+b2
(a−b)2d) ab e) N
2. Rjesenje nejednacine |x−1|x+2
< −2 je skup:
a) (−5,−2)∪(−2,−1) b) (−5,−2) c) {−2} d) (−5,−1) e) N
3. Rjesenja jednacine 24−2 cos2 x−4 sin x − 2 · 2sin2 x−2 sin x+1 + 1 = 0 iz intervala (0, 4π) su:
a) {π2, 5π
2} b) {3π
2, 5π
2} c) {5π
2, 7π
2} d) {3π
2, 7π
2} e) N
4. Rjesenje jednacine log2 x + log2(x + 2) = 3 je:
a) −4 b) log2 3 c) 2 d) 4 e) N
5. Ako je u trouglu ABC dato a =√
3, b =√
2 i α = π3, onda je ugao γ jednak:
a) 3π4
b) 7π12
c) π4
d) 5π12
e) N
6. Jednacina normale na pravu 2x + 3y = 2 koja prolazi tackom A(23, 1) je:
a) 2x− 3y = 0 b) 2x + 3y = 0 c) 3x− 2y = 0 d) 3x + 2y = 0 e) N
N-Nijedan od ponudenih odgovora nije tacan.
49
49
MALO STATISTIKE
- Uspješnost rješavanja pojedinih zadataka (tj. broj kandidata koji su riješili pojedine zadatke): Zadatak br. 1. 2. 3. 4. 5. 6. Nijedan zad.
Rijšilo kand. 18 25 6 13 35 6 80
‐‐%(0d 141) 12.75 17.73 4.25 9.21 24.82 4.25 56.74
- Uspješnost kandidata po ukupnom broju rješenih zadataka: Rješili ukupno
zadataka 0 1 2 3 4 5 6
kandiddata 80 33 16 10 2 0 0
% (od 141 kand.) 56.74 23.40 11.35 7.09 1.42 .00 .00
Gornje tabele sve kažu o nevjerovatno lošem predznanju kandidata:
• najlakši zadatak br. 5 (operacije sa razlomcima : elementarna algebra i aritmetika) riješilo je 35 (slovima „tridesetpet“, tj. samo 25% od 141 kandidata ),
• nepoznavanje trigonometrije je još gore (zadaci 2, 3, 6 ).
Navodim nekoliko “ rariteta” iz radova kandidata koji se ne vide iz priloženih tabela:
1. formule za površinu trougla koje se koriste u 3. zadatku. :
( )c c b b a bP , P a 2b, P , P
2 2 3+ α + β − ⋅ +
= = + = = ,
2. „Pitagorina formula za pravougli trougao c2 = b2 – a2, gdje je c hipotenuza i a, b su katete pravouglog trougla;
3. u 2. zadatku jedan kandidat koristi proporciju H: h = α : β, te je tražena visina tornja 0
060H h 30 60;30
α= = =
β
4. „biseri“ iz aritmetike vezani za 5. zadatak: 2 4 8 16 2 4 8 16 30+ + + = + + + = , tj. treba da je
tačno x y x y+ = + , ili „analogan rezultat“: 1 2 3 4 102 2 2 2 22 2 2 2 2+ + + = ...
50
50
Građevinski fakultet, Sarajevo 03.07.2008. Prijemni ispit
Svaki zadatak ima četiri ponuđena odgovora: a), b), c), d). Riješite zadatak, a zatim obavezno zaokružite tačan rezultat. Smatraće se da niste riješili zadatak ako: i) zaokružite netačan rezultat ili više od jednog ponuđenog rezultata; ii) ne zaokružite ništa; iii) samo zaokružite tačan rezultat a niste priložili rješenje.
1. 2. 3. 4. ∑
1. Riješiti jednačinu: ( )( ) ( )2
2 2log sinx log 1 cos2xsinx 1.+ − =
Skup rješenja je:
5 5a) 2k , 2k , 2k k ; b) 2k , 2k , 2k k ;2 6 6 2 6 6
5 5c) 2k , 2k , 2k k ; d) 2k , 2k , 2k k .2 6 6 2 3 6
π π π π π π⎧ ⎫ ⎧ ⎫+ π − + π + π ∈ Ζ + π + π + π ∈ Ζ⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎩ ⎭ ⎩ ⎭
π π π π π π⎧ ⎫ ⎧ ⎫− + π + π + π ∈ Ζ + π + π + π ∈ Ζ⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎩ ⎭ ⎩ ⎭
2. Ako je u ΔABC : b + c = 10, 6π
α = i površina P = 6, izračunati poluprečnik R opisane kružnice.
a) R= 100 24 3; b) R= 52 44 3; c) R= 52 24 3; d) R= 52 26 3. − − − −
3 . Dat je jednakokraki trapez čija se veća osnovica iz presjeka dijagonala vidi pod uglom 23π
ϕ = , a odsječci na
dijagonalama su 2 i 1. Izračunati obim O i površinu P trapeza. (Nacrtati skicu).
;
11 3 11 3a) O 7 3, P , b) O 5 3, P4 4
9 3 9 3c) O 7 3, P ; d) O 5 3, P .4 4
= = = =
= = = =
4. Odrediti skup rješenja nejednačine 2 3 x
1.x 1−
≥−
3 3 1 1 1 1 1 1a) 1, ,1 b) 1, ,1 c) 1, ,1 d) 1, ,1 .4 4 2 2 4 4 2 4
⎛ ⎤ ⎡ ⎞ ⎛ ⎤ ⎡ ⎞ ⎛ ⎤ ⎡ ⎞ ⎛ ⎤ ⎡ ⎞⎟ ⎟ ⎟ ⎟⎜ ⎜ ⎜ ⎜⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢− − − − − − − −⎟ ⎟ ⎟ ⎟⎜ ⎜ ⎜ ⎜⎟ ⎟ ⎟ ⎟⎟ ⎟ ⎟ ⎟⎜ ⎜ ⎜ ⎜⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣∪ ∪ ∪ ∪
P o t r e b n e f o rmu l e .
1 ) S i n u s n i s t a v : a b c 2R.
sin sin sin= = =
α β γ
2 ) K o s i n u s n i s t a v ( k a d s u u ΔABC d a t e d v i j e s t r a n e i z a h v a ć e n i u g a o , n p r . s t r a n e a , b i u g a o γ ) :
2 2 1c a b 2ab cos ; ab sin .2
= + − γ Ρ = γ
3 ) O s o b i n a k v a d r a t n e j e d n a č i n e :
b r o j e v i u i v s u k o r i j e n i k v a d r a t n e j e d n a č i n e x 2 ‐ p x + q = 0 a k k o j e u + v = p i u v = q .
51
51
Gradevinski fakultet, Sarajevo 03.07.2008. ‐B‐ Prijemni ispit
Svaki zadatak ima četiri ponuđena odgovora: a), b), c), d). Riješite zadatak, a zatim obavezno zaokružite tačan rezultat. Smatraće se da niste riješili zadatak ako: i) zaokružite netačan rezultat ili više od jednog ponuđenog rezultata; ii) ne zaokružite ništa; iii) samo zaokružite tačan rezultat a niste priložili rješenje.
1. U istokračnom trapezu dijagonale se sijeku pod uglom 23π
ϕ = , a odsjećci na dijagonalama su 2 i 1. Izračunati
obim O i površinu P trapeza. (Nacrtati skicu).
;
9 3 11 3a) O 7 3, P , b) O 5 3, P 4 4
9 3 11 3c) O 5 3, P ; d) O 7 3, P .4 4
= = = =
= = = =
2. Odrediti skup rješenja nejednačine 3 x 2
1.x 1
−≤−
−
1 1 1 1 1 3 3 3a) 1, ,1 b) 1, ,1 c) 1, ,1 d) 1, ,1 .4 4 2 2 4 4 4 4
⎛ ⎤ ⎡ ⎞ ⎛ ⎤ ⎡ ⎞ ⎛ ⎤ ⎡ ⎞ ⎛ ⎤ ⎡ ⎞⎟ ⎟ ⎟ ⎟⎜ ⎜ ⎜ ⎜⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢− − − − − − − −⎟ ⎟ ⎟ ⎟⎜ ⎜ ⎜ ⎜⎟ ⎟ ⎟ ⎟⎟ ⎟ ⎟ ⎟⎜ ⎜ ⎜ ⎜⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣∪ ∪ ∪ ∪
3. Riješiti jednačinu: ( )( ) ( )2
2 2log sin x log 1 cos 2xsin x 1.+ − =
Skup rješenje je:
5 5a) 2k , 2k , 2k k ; b) 2k , 2k , 2k k ;2 6 6 2 6 6
5 5c) 2k , 2k , 2k k ; d) 2k , 2k , 2k k .2 6 6 2 3 6
π π π π π π⎧ ⎫ ⎧ ⎫+ π + π + π ∈Ζ + π − + π + π ∈Ζ⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎩ ⎭ ⎩ ⎭
π π π π π π⎧ ⎫ ⎧ ⎫− + π + π + π ∈Ζ + π + π + π ∈Ζ⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎩ ⎭ ⎩ ⎭
4. U ΔABC je a + c = 10, 6π
β = i površina P = 6. Izračunati poluprečnik R opisane kružnice.
a) R= 64 24 3; b) R= 52 24 3; c) R= 62 24 3; d) R= 102 24 3 .− − + −
P o t r e b n e f o rmu l e .
1 ) S i n u s n i s t a v : a b c 2R.
sin sin sin= = =
α β γ
2 ) K o s i n u s n i s t a v ( k a d s u u ΔABC d a t e d v i j e s t r a n e i z a h v a č e n i u g a o , n a p r . s t r a n e a , b i u g a o γ ) :
2 2 1c a b 2ab cos ; ab sin .2
= + − γ Ρ = γ
3 ) O s o b i n a k v a d r a t n e j e d n a č i n e :
b r o j e v i u i v s u k o r j e n i k v a d r a t n e j e d n a č i n e x 2 ‐ p x + q = 0 a k k o j e u + v = p i u v = q .
1. 2. 3. 4. ∑
52
52
Testirajte se za prijemni ispit iz matematike!
Za rešavanje testa koristite papir i olovku, a zatim unesite rešenja zadataka!
Ime: Prezime:
1. Vrednost izraza
2. Za a=30 i b=6 vrednost izraza je:
3. U jednakokrakom trouglu ABC (AC=BC) duľina osnovice AB=10, a duľina krakova AC i BC iznosi 13. Zbir duľina sve tri visine trougla ABC je:
53
53
4. Ako je , onda vrednost izraza pripada intervalu:
5. Za svako realno x razlomak je jednak:
6. Sfera S1 poluprečnika upisana je u kocku ivice 1, a sfera S2 poluprečnika je opisana oko
te kocke. Zbir je:
7. Vrednost izraza je:
54
54
-1
nijedan od ponuđenih
1
i
-i
8. Ako je i , onda je :
9
19
7
8
4
9. Zbir svih rešenja jednačine je:
10. Proizvod svih rešenja jednačine je:
12
24
2
6
0
11. Srednja linija trapeza deli trapez na dva dela čije se površine odnose kao 7:5. Odnos manje i veće osnovice trapeza je:
1:3
1:5
55
55
1:4
1:6
1:2
12. Skup svih vrednosti realnog parametra za koje su rešenja kvadratne jednačine
negativna je podskup skupa:
13. Jednačina na segmentu :
ima tačno 1 rešenje
ima više od 4 rešenja
ima tačno 2 rešenja
nema rešenja
ima 4 rešenja
14. Broj rešenja jednačine je:
3
1
0
2
bar 4
15. Zapremina paralelepipeda čije su sve strane rombovi stranice i oštrog ugla jednaka je:
56
56
16. Rastojanje između tangenti na hiperbolu koje su normalne na pravu
je:
17. Zbir svih vrednosti realnog parametra za koje sistem , ima jedinstveno rešenje je:
2
-3
-2
1
3
18. Ako je i , tada je jednak:
57
57
19. Osoba A trči stalnom brzinom po kruľnoj putanji i obiđe je za 40 sekundi. Osoba B trči u suprotnom smeru stalnom brzinom i mimoiđe se sa A svakih 15 sekundi. Za koliko sekundi B obiđe putanju?
55
25
12
24
27.5
20. Broj presečnih tačaka svih dijagonala unutar konveksnog sedmougla ABCDEF kod kojeg se nikoje tri i više dijagonala ne seku u jednoj unutrašnjoj tački tog sedmougla je:
21
28
42
45
35
58
58
Programi za prijemni ispit iz Matematike
1. Osnovne logičke operacije. Pojam funkcije. 2. Racionalni algebarski izrazi. Polinomi. 3. Linearna funkcija. Linearne jednačine i nejednačine. Sistemi linearnih jednačina i
nejednačina. 4. Kvadratna funkcija. Kvadratne jednačine i nejednačine. Sistemi kvadratnih jednačina. 5. Algebarske i iracionalne jednačine i nejednačine. 6. Pojam logaritma. Logaritamska i eksponencijalna funkcija. Logaritamske i eksponencijalne
jednačine i nejednačine. 7. Trigonometrijske funkcije. Identiteti, jednačine i nejednačine. Primena trigonometrije na
trougao i mnogougao. 8. Kompleksni brojevi. 9. Analitička geometrija u ravni (prava, krug, elipsa, hiperbola i parabola). 10. Planimetrija (prvenstveno geometrija trougla, četvorougla i kruga). 11. Stereometrija (prizma, piramida, zarubljena piramida, valjak, kupa, zarubljena kupa, sfera i
delovi sfere). 12. Binomna formula. Aritmetička i geometrijska progresija. 13. Pojam granične vrednosti. Izvod i primjena izvoda.
