Poglavlje 1

Valovi

Zadatak 1.1 Uz koje uvjete za konstantu a, funkcija u(x, t) = x2 + 4axt− 4a2t2 zadovoljava valnu jednadzbu:∂2u

∂x2=

1v2

∂2u

∂t2? (vidi sliku 1.1)

-1

-0.5

0

0.5

1

xHmL

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

tHsL

-6

-4

-2

0

2

uHx,tL

-0.5

0

0.5

1

xHmL

Slika 1.1: Funkcija u(x, t) = x2 + 4axt− 4a2t2 za a = 1.

Zadatak 1.2 Jedna tocka B elasticne sredine udaljena je od izvora valnog gibanja za x = 1m. Ta tocka jepogodena valom nakon t1 = 10−3 s od trenutka polaska vala iz izvora i pri tome se udalji od ravnoteznog polozajaza 4mm. Odredite amplitudu tog vala, ako je poznata valna duljina λ = 30 cm i frekvencija ν = 104Hz.

DZ 1.1 Pokazite da je ψ(x, t) = f(x∓ vt) rjesenje jednodimenzionalne diferencijalne valne jednadzbe.

DZ 1.2 Ako su ψ1(x, t) i ψ2(x, t) obje rjesenja valne jednadzbe, pokazite da je ψ1(x, t) + ψ2(x, t), takoder,rjesenje valne jednadzbe.

1

2 POGLAVLJE 1. VALOVI

DZ 1.3 Od izvora valova, kroz elasticnu sredinu, sire se transverzalni valovi amplitude A = 0.5 cm. Njihovavalna duljina je λ = 15 cm. Izracunajte elongaciju tocke, koja je udaljena od izvora za x = 30 cm, a u trenutkukada je on upravo izvrsio jednu oscilaciju, racunajuci od trenutka kada je prostiranje valova zapocelo.

Zadatak 1.3 Formulirajte opci uvjet uz koji ce fazna brzina v harmonijskog vala, koji se rasprostire zategnutomzicom, biti jednaka najvecoj transverzalnoj brzini umax cestice zice.

DZ 1.4 Tijelo titra na opruzi. Amplituda titranja iznosi 15 cm, a period titranja 2 s. Kolika je brzina tijela,kada je elongacija jednaka polovici amplitude?

Zadatak 1.4 Transverzalni val se siri duz duge zategnute elasticne zice s brzinom v = 15m/s, pri cemu jeperiod titranjaneke tocke na zici T = 1.2 s, a amplituda A = 2 cm. Izracunajte elongaciju, brzinu, te ubrzanjetocke, koja se nalazi na udaljenosti x = 45m od izvora, i to nakon t = 4 s od trenutka kada je pocelo kretanjevala.

Zadatak 1.5 Transverzalni sinusni val amplitude A = 10 cm i valne duljine λ = 200 cm giba se u pozitivnomsmjeru x-osi s brzinom v = 100 cm/s. U trenutku t = 0 lijevi se kraj zice nalazi u koordinatnom pocetku i kreceprema dolje.

a) Kolika je frekvencija titranja koje pripada valu?b) Nadite jednadzbu vala.c) Napisite jednadzbu titranja tocke u koordinatnom pocetku.d) Kolika je maksimalna brzina proizvoljne tocke na zici?e) Nadite pomak i brzinu tocke, koja se nalazi na udaljenosti x1 = 3m udesno od koordinatnog pocetka u trenutkut1 = 2.5 s.

Zadatak 1.6 Harmonicko nepriguseno titranje tocke u izvoru vala opisano je jednadzbom: y(x = 0, t) =0.2 sin(πt).

a) Napisite jednadzbu vala, koji se od izvora siri brzinom v = 200m/s.b) Napisite jednadzbu, te nacrtajte sliku titranja tocke udaljene x = 100m od izvora. Na istom grafu nacrtajtebrzinu i akceleraciju te tocke. (vidi sliku 1.2)

0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5t (s)

-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

y (x=100, t)v (x=100, t)a (x=100, t)

Slika 1.2: Graf polozaja, brzine i akceleracije tocke.

3

Zadatak 1.7 Val je predstavljen funkcijom

ψ1 = 10 cos(5x+ 25t) .

Pokazite da ovo predstavlja putujuci val, te izracunajte njegovu valnu duljinu, frekvenciju, brzinu, te smjerputovanja.Drugi val

ψ2 = 20 cos(5x+ 25t+ π/3) ,

interferira s prvim valom. Izracunajte amplitudu i fazu rezultantnog vala. (vidi sliku 1.3)

0 0.5 1 1.5 2

x (m)

-30

-20

-10

0

10

20

30

psi1

psi2

psi

t = 0

Slika 1.3: Grafovi funkcija ψ1, ψ2 i ψ = ψ1 + ψ2

DZ 1.5 Prikazite graficki val, zadan s y(x, t) = 0.1 sin(πx− 50πt) u trenutku t = 0.05 s. Kolike su: amplituda,valna duljina, frekvencija, te brzina vala? (vidi sliku 1.4)

0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5x (m)

-0.1

0

0.1

y (x, t=0.05)

Slika 1.4: Graf funkcije y(x, t) = 0.1 sin(πx− 50πt)

DZ 1.6 Uniformna, nerastezljiva nit duljine l i ukupne mase M , napeta je vertikalno, te je na vrhu pobudenana titranje, tako da transverzalni impuls krene niz nju. U istom trenutku je iz mirovanja pusteno tijelo, kojezatim slobodno pada od vrha niti. Koliko daleko od dna niti ce tijelo dostici impuls?

4 POGLAVLJE 1. VALOVI

DZ 1.7 Napisite izraz za harmonijski val (t = 0), koji se giba u pozitivnom smjeru x-osi, tako da je u x =0, ψ = 10; u x = λ/6, ψ = 20; a u x = 5λ/12, ψ = 0.

Zadatak 1.8 Pokazite da funkcija f(z, t) = Ae−(2z+3t)2 moze predstavljati val. (vidi slike 1.5, 1.6 i 1.7)

-2

0

2

zHmL

00.2

0.40.60.81

tHsL

0

0.25

0.5

0.75

1

fHz,tL

-2

0

2

zHmL

00.2

0.40.6

H L

Slika 1.5: Funkcija f(z, t) = Ae−(2z+3t)2 za A = 1.

0 0.25 0.5 0.75 1t (s)0

0.25

0.5

0.75

1

1.25

f (z=zi, t)

z3

= 0.5 mz

2 = 0.25 m

z1

= 0 m

Titranje tocaka vala raznih elongacija, (A = 1)

Slika 1.6: Graf titranja triju tocaka vala s razlicim prostornim koordinatama.

DZ 1.8 Pokazite da je f(z, t) = A sin2 4π(t+ z) rjesenje valne jednadzbe. (vidi sliku 1.8)

DZ 1.9 Kolike su fazne brzine sljedecih valova:

a) f1(y, t) = A(y − t)2 ,b) f2(x, t) = A(Bx+ Ct+D)2 ,c) f3(z, t) = AeBz2+BC2t2−2BCzt ?

5

-2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5z (m)0

0.25

0.5

0.75

1

1.25

f (z, t=ti )

t3

= 2/3 st2

= 1/3 st1

= 0 s

Titranje tocaka vala u raznim trenucima (A = 1)

<-- v -->?

Slika 1.7: Graf titranja izvora vala u tri razlicita trenutka.

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

zHmL

00.1

0.20.30.4tHsL

0

0.25

0.5

0.75

1

fHz,tL

-0.2

0

0.2

0.4

zHmL

00.1

0.2

H L

Slika 1.8: Funkcija f(z, t) = A sin2 4π(t+ z) za A = 1.

DZ 1.10 Ako valnu funkciju zapisemo kao ψ = Aeiϕ, pokazite da se ψ ne mijenja kada se faza poveca ili smanjiza 2π.

DZ 1.11 Pokazite da je mnozenje kompleksne valne funkcije s ±i ekvivalentno pomaku u fazi za ±π/2.

DZ 1.12 Promotrite dva vala iste amplitude, brzine i frekvencije, koji se preklapaju u nekom podrucju prostora,tako da je rezultantni poremecaj

ψ(y, t) = A cos(ky + ωt) +A cos(ky − ωt+ π) .

Koristeci kompleksne eksponencijale, pokazite da je

ψ(y, t) = −2A sin(ky) sin(ωt) .

Ovo je poznato kao stojni val.

6 POGLAVLJE 1. VALOVI

Zadatak 1.9 Gustoca tekucine povecava se linearno s dubinom, tako da je povrsinska gustoca jednaka ρ0, a nadubini d je 2ρ0. Koliki su period i amplituda titranja kuglice gustoce 2ρ0, ispustene na dubini d/2 s pocetnombrzinom nula? Trenje zanemarite.

Zadatak 1.10 Fazna brzina povrsinskog vala na tekucini povrsinske napetosti T i gustoce ρ je

vp =

√gλ

2π+

2πTλρ

.

Izracunajte grupnu brzinu vg povrsinskog vala.Koliko iznosi vg, kada vp poprima minimalnu vrijednost kao funkcija valne duljine? (vidi sliku 1.9)

0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 0.03λmin

λ (m)

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

vp (

m/s

)

Slika 1.9: Graf fazne brzine (kao funkcije valne duljine, vp = vp(λ)) za valove koji se prostiru u vodi (ρ(H2O) =998 kg/m3, T (H2O) = 0.0727N/m).

Zadatak 1.11 Fazna brzina v gravitacijskih valova u tekucini dubine h je dana s

v2 =g

ktanh(kh) .

Skicirajte disperzijsku relaciju za takve valove (vidi sliku 1.10), te pokazite da je grupna brzina uvijek izmeduv/2 i v (vidi sliku 1.11).Nadite faznu i grupnu brzinu za gravitacijske valove frekvencije 1Hz u tekucini dubine 0.1m.

7

k (m-1

)

ω (s

-1)

ω2 ~ k

ω ∼ k

ω2 ~ gk ta

nh(kh)

Slika 1.10: Disperzijska krivulja ω(k) za h = 0.1m.

0 0.5 1 1.5 2x

0

0.5

x/sin

h(2x

)

Slika 1.11: Graf funkcijex

sinh(2x).

Zadatak 1.12 Dokazite da je grupna brzina vg elektromagnetskih valova u disperzivnom mediju indeksa loman dana s

vg =c

n+ ω dndω

,

gdje je c brzina svjetlosti u slobodnom prostoru.Pulsar je zvijezda koja emitira vrlo ostre pulseve kroz sirok opseg radio frekvencija. Pulsevi putuju kroz meduzvjezdanimedij po pravcu dok ne stignu na Zemlju. Radio detektori pokazuju da je vrijeme dolaska pulsa, mjeren na frek-venciji od 400MHz, za 700ms vece od vremena dolaska istog pulsa, mjerenog na frekvenciji od 1400MHz.Indeks loma meduzvjezdanog medija je dan s

n2 = 1− Ne2

ε0mω2,

gdje su e i m naboj i masa elektrona, a N je gustoca elektrona, za koju se zna da ima pribliznu vrijednost od3× 104m−3 u prostoru izmedu Zemlje i pulsara. Izracunajte udaljenost pulsara od Zemlje.

8 POGLAVLJE 1. VALOVI

Zadatak 1.13 Zica je produljena djelovanjem naprezanja σ unutar granica elasticnosti. Kolika je gustocaenergije pohranjena u zici zbog elasticne deformacije, ako je Young-ov modul elasticnosti E?

Zadatak 1.14 Celicni stap oblika prizme, dimenzija 1m×0.2m×0.1m, opterecen je sa svih strana naprezanjem(tlakom) od 10GPa. Koliko iznosi smanjenje volumena stapa zbog tog opterecenja? Koliki je volumni modulelasticnosti B, ako je Young-ov modul elasticnosti, E = 200GPa, a Poisson-ov broj, tj. omjer relativne poprecnekontrakcije i relativnog uzduznog produljenja, µ = 0.3?

DZ 1.13 Kolika je brzina sirenja transverzalne deformacije po metalnoj zici zategnutoj silom F = 44N? Du-ljina zice je l = 30 cm, a masa zice je m = 30 g.

DZ 1.14 Kroz neku leguru gustoce ρ = 6500 kg/m3, siri se val frekvencije ν = 6000Hz, te brzine v = 4000m/s.Kolika je valna duljina vala, te Young-ov modul elasticnosti legure?

DZ 1.15 Na jednom kraju mosta duljine s = 400m udari se cekicem. Na drugom kraju mosta, zvuk kroz celik,cuje se za t1 = 1.1 s prije nego kroz zrak. Odredite Young-ov modul elasticnosti celika.

Zadatak 1.15 Zica duljine l = 25 cm i linearne gustoce µ = 0.001 g/cm, zategnuta je silom F = 20N . Kolikesu frekvencije osnovnog tona, te prva dva harmonijska tona, koje proizvodi ova zica pri svom titranju?

DZ 1.16 Kolikom je najmanjom silom potrebno zategnuti zicu duljine l = 20 cm, promjera 2r = 0.2mm, da bise s njom mogao proizvesti zvuk najnize frekvencije ν0 = 435Hz.

Zadatak 1.16 Stap duljine l = 1m napravljen je od aluminija (ρAl = 2700 kg/m3), Young-ova modulaelasticnosti E = 70GPa. Kolike su frekvencije titranja ovog stapa u intervalu od 2.5 − 25 kHz, ako je stapuklijesten u sredini?

DZ 1.17 Metalni stap, duljine l = 6m, pricvrscen je u dvije tocke, koje se nalaze na udaljenosti l/2, ali takoda im je polozaj simetrican obzirom na sredinu stapa. Brzina sirenja zvuka kroz stap iznosi vz = 4100m/s.Kolike su frekvencije 2. i 2006. harmonika oscilacija stapa?

DZ 1.18 U Hundovoj cijevi stvaraju se figure na medusobnoj udaljenosti od d = 4.3 cm. Ako je u cijevi zrak,izracunajte frekvenciju zvuka. (vz = 332m/s)

Zadatak 1.17 Zica duljine l = 50 cm daje osnovni ton frekvencije ν1 = 240Hz. Kolika je minimalna frekven-cija tona, kada se ova zica, pri nepromjenjenoj sili zatezanja, skrati za ∆d = 20 cm?

9

DZ 1.19 Koliki je omjer izmedu frekvencija ν1 i ν2 osnovnih tonova zeljezne i srebrne zice istih duljina idebljina, pri istoj sili zatezanja, ako je ρFe = 7800 kg/m3, a ρAg = 10800 kg/m3?

DZ 1.20 Dvije jednake zice duljina l = 1m, zategnute su istom silom, te daju iste tonove. Kada se, nemijenjajuci silu, jedna zica skrati za ∆l = 2 cm, cuje se, pri titranju zica, 6 zvucnih udara u sekundi. Kolike sufrekvencije titranja zica?

Zadatak 1.18 Otvorena staklena cijev je djelomicno potopljena u tekucinu, okomito na njezinu slobodnu povrsinu.Najmanja frekvencija na kojoj dolazi do rezonancije stupca zraka u cijevi je ν1 = 3400Hz. Za koliko treba skratitistupac zraka u cijevi, da bi rezonancija bila na najmanjoj frekvenciji ν2 = 5000Hz? (vz = 360m/s)

DZ 1.21 Zvucna viljuska s frekvencijom ν = 480Hz postavi se na vertikalnu staklenu posudu u koju se mozeuliti tekucina. Dubina posude je h = 55 cm. Do koje visine h1 treba uliti tekucinu u posudu, da bi doslo dorezonancije viljuske i stupca zraka iznad tekucine?

DZ 1.22 Dokazati relacije za klasicni Dopplerov efekt (v - brzina zvuka ili svejtlosti):

1. izvor miruje, a promatrac se giba brzinom u

• priblizavanje =⇒ ν′ = ν(1 +

u

v

)

• udaljavanje =⇒ ν′ = ν(1− u

v

)

2. promatrac miruje, a izvor se giba brzinom u

• priblizavanje =⇒ ν′′ = νv

v + u

• udaljavanje =⇒ ν′′ = νv

v − u

DZ 1.23 Avion, priblizavajuci se, nadlijece promatraca, koji cuje zvuk frekvencije ν1 = 1.5 · 104Hz, a priudaljavanju aviona zvuk frekvencije ν1 = 1000Hz. Izracunajte brzinu aviona, ako je brzina zvuka vz = 330m/s.

Zadatak 1.19 Poznato je da valna duljina jedne linije helija iznosi λ = 587.6nm. Kolika je promjena valneduljine, na osnovi Dopplerovog efekta, ako svjetlost potjece od spiralne maglice, koja se udaljava od Zemljebrzinom u = 15400 km/h?

Zadatak 1.20 U spektru zvijezde je odredena valna duljina D1 linije natrija: λ = 592nm. Na osnovu Dopple-rovog efekta, izracunajte brzinu udaljavanja ove zvijezde, ako je valna duljine iste linije natrija, izmjerene naZemlji, λ = 599.6nm.

DZ 1.24 Metak se giba prema promatracu brzinom u = 100m/s i pri tome proizvodi zvuk. Kolika je relativnapromjena frekvencije zvuka, kojeg cuje promatrac, kada metak dolazi prema njemu i kada je pored njega. (vz =330m/s)

10 POGLAVLJE 1. VALOVI

DZ 1.25 Dva vlaka se gibaju jedan prema drugome stalnim brzinama: u1 = 72 km/h i u2 = 54 km/h. Loko-motiva prvog vlaka proizvodi zvuk frekvencije ν1 = 600Hz. Kolika je frekvencija zvuka, kojeg cuje strojovodadrugog vlaka, prije i nakon susreta? (vz = 340m/s)

DZ 1.26 Slijepi mis leti okomito prema stijeni brzinom u = 6m/s i pri tome proizvodi ultrazvuk frekvencijeν = 45 kHz. Kolika je frekvencija ultrazvuka kojeg slijepi mis odasilje i prima, te kolika je njihova razlika?(vz = 340m/s)

Zadatak 1.21 Priblizavajuci se Zemlji brzinom od 0.2c, svemirski brod emitira signal zelene svjetlosti, cijavalna duljina iznosi 0.5µm. Koliku ce valnu duljinu signala izmjeriti motritelj na Zemlji?

DZ Rijesite zadatak uz pretpostavku da svemirski brod putuje istom brzinom, ali u suprotnom smjeru, dakle,udaljavajuci se od Zemlje.

Zadatak 1.22 Koliku frekvenciju zvuka registrira motritelj (vidi sliku 1.12, koji se giba na vrtuljku, polumjera10m s ophodnim vremenom 4 s, ako izvor zvuka frekvencije ν miruje i nalazi se vrlo daleko od motritelja u istojhorizontalnoj ravnini? (vz = 340m/s)

0 T/4 T/2 3T/4 T

t (s)

950

975

1000

1025

1050

ν’ (

Hz)

Slika 1.12: Ovisnost frekvencije, koju mjeri motritelj na vrtuljku, ν′ = ν′(t), o vremenu (iskazanom preko periodavrtnje vrtuljka). Primjetite njezinu periodicnost, te simetriju s obzirom na polovicu perioda. Uz pretpostavkuda su u trenutku t = 0 vektori brzina motritelja i zvuka paralelni, takoder, primjetite da je u tim trenucimaDopplerov pomak maksimalan, dok kada su vektori okomiti (u trenucima t = T/4 i t = 3T/4), tada razlike ufrekvencijama nema, tj. ν = ν′. Te dvije cinjenice vrijede i opcenito.

Poglavlje 2

Geometrijska optika

Zadatak 2.1 Zraka svjetlosti, s donjeg ruba Sunca, prolazi vrhom tornja visine h = 35m, te pada pod kutemδ = 36◦15′ na horizontalnu ravninu. Izracunajte duljine sjene i polusjene tornja, ako je prividni promjer Suncaα = 32′.

DZ 2.1 Kroz okruglu pukotinu promjera d = 2 · 1023m zrake Sunca prolaze u sobu. Na udaljenosti a = 3m odpukotine postavljen je zastor, tako da sredisnja zraka pada na njega okomito. Koliki je promjer slike Sunca nazastoru, ako je prividni promjer Sunca α = 32′?

Zadatak 2.2 Zrcalo na zidu mora davati sliku covjeka visine h = 1.72m. Kolika mora biti visina zrcala z, teza koliko mora donji rub zrcala biti iznad poda v, ako su oci tog covjeka na visini h1 = 1.6m iznad poda?

DZ 2.2 Lastavica poleti s vrha stabla visine h = 10m, koje se nalazi na rubu jezera; preleti jezero, te se zaustavina tornju visine H = 100m. Tijekom svog leta, lastavica dodirne povrsinu jezera u nekoj tocki.

a) Ako je udaljenost stabla i tornja L = 500m, nadite kojim putem treba letjeti lastavica na opisani nacin,a da pri tome utrosi najmanje vremena.b) Ako je vlastavice = 36 km/h, za koje je najkrace vrijeme ona preletjela taj put?c) Zadatak rijesite pomocu zakona geometrijske optike, te pokazite geometrijskom konstrukcijom da je to zaistanjakraci put te vrste.

Zadatak 2.3 Pjesak se nalazi u tocki A ceste, koja nakon 42m zavija pod kutem od 90◦. On stici u tocku B,udaljenu 30m od zavoja, kao na slici 2.1. Brzina pjesaka na cesti je v1 = 1.5m/s, a izvan ceste v2 = 0.9m/s.

a) Nadite na koji se nacin mora gibati pjesak da bi u najkracem vremenu stigao iz A u B.b) Koliko vremena mu je za to potrebno, a koliko kad bi isao dijagonalno iz A prema B?c) Zadatak rijesite primjenom zakona geometrijske optike.

DZ 2.3 Zraka svjetlosti pada iz zraka ravnu povrsinu vode indeksa loma n = 1.34 od koje se djelomicno reflek-tira. Koliki treba biti upadni kut zrake svjetlosti, pa da reflektirana zraka bude okomita na lomljenu?

11

12 POGLAVLJE 2. GEOMETRIJSKA OPTIKA

������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������

������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������

A D C

B

Slika 2.1: Skica puta pjesaka.

Zadatak 2.4 Na slobodnu povrsinu vode, pada zraka svjetlosti pod kutem ϕ = 30◦.

a) Koliki je kut loma?b) Odakle i pod kojim kutem treba doci zraka svjetlosti, da se na granicnoj povrsini totalno reflektira?c) Koliko puta je manja (efektivno) brzina svjetlosti u vodi, nego u zraku?

Zadatak 2.5 Na dnu jezera, potpuno pod vodom, okomito je postavljen stap visine h = 2m. Odredite duljinunjegove sjene, ako zraci padaju na povrsinu vode pod kutem α = 53◦. (nv = 1.33)

Zadatak 2.6 Jednokokracna trostrana prizma s kutem ϑ = 42◦, napravljena je od prozirnog materijala indeksaloma n = 1.55. Odredite pod kojim kutem α mora pasti zraka svjetlosti na jednu bocnu povrsinu prizme, da binakon totalne refleksije na drugoj bocnoj strani prizme, pala okomito na osnovicu prizme.

DZ 2.4 Pravokutna staklena prizma indeksa loma n = 1.5 postavljena je kao na slici. Strana AB prizme jeravno zrcalo. Svjetlosna zraka pada na gornju stranu prizme i nakon refleksije od zrcala izlazi iz prizme podkutem α = 60◦. Kut prizme je ϑ = 30◦. Odredite upadni kut zrake svjetlosti. (vidi sliku 2.2)

���������������������������������������

���������������������������������������������

������������

������������������

A

B

n

Slika 2.2: Put zrake svjetlosti kroz staklenu prizmu.

13

DZ 2.5 Dva ravna zrcala nagnuta su jedno prema drugome za kut α. Zraka svjetlosti pada najprije na jednozrcalo, odbija se, padne na drugo zrcalo, te se opet odbija. Dokazite da ta, dva puta odbijena, zraka zatvara sprvotnom (upadnom) zrakom kut, koji ne ovisi o kutu upada prvotne (upadne) zrake na zrcalo. Koliki je taj kutotklona?

DZ 2.6 Zraka svjetlosti prolazi kroz sustav prozirnih planparalelnih ploca naslaganih jedna na drugu. Ploceopcenito imaju razlicite indekse loma. Ako zraka svjetlosti upada na najgornju (prvu) plocu pod kutem α, anajdonja (zadnja) ploca ima isti indeks loma kao i prva, izracunajte kut pod kojim zraka izlazi iz zadnje ploce.

DZ 2.7 Paralelni snop zraka bijele svjetlosti pada na prizmu vrsnog kuta θ = 30◦ okomito na jednu od strana.Koliki kut zatvaraju ljubicasta i crvena svjetlost pri izlasku iz prizme, ako je indeks loma za crvenu svjetlostnc = 1.37, a indeks loma za ljubicastu svjetlost nlj = 1.42?

Zadatak 2.7 Prema Descartesovoj teoriji o formiranju duge, zraka Sunceve svjetlosti se prvo lomi pri ulaskuu kapljicu kise oblika sfere, zatim se totalno reflektira na unutranjoj povrsini, te na kraju, ponovno lomi priizlasku iz kapljice (vidi sliku 2.3).Duga se formira iz zraka, cija je devijacija od pocetnog smjera ili minimalna ili maksimalna. Pokazite da bi dugatrebala, oko tocke nasuprot Suncu, ciniti luk od 42◦, te da bi trebala imati sirinu od oko 1.6◦, i to s crvenombojom s vanjske strane. Indeks loma za crvenu svjetlost je nc = 1.33, a indeks loma za ljubicastu svjetlostnlj = 1.341.

Slika 2.3: Put zrake svjetlosti kroz kapljicu kise pri formiranju duge.

Zadatak 2.8 Izdubljeno sferno zrcalo, radijusa zakrivljenosti R1 = 20 cm, i ispupceno sferno zrcalo, radijusazakrivljenosti R2 = 30 cm, nalaze se na medusobnoj udaljenosti d = 40 cm, okrenuti jedno prema drugome sazajednickom optickom osi. Osvjetljeni predmet visine y1 = 5 cm postavljen je okomito na opticku os, te udaljenod tjemena izdubljenog zrcala za x1 = 15 cm. Izracunajte polozaj i velicinu slike, koja se dobije tako da se zrakeodbijaju prvo od izdubljenog, a zatim od ispupcenog zrcala.

DZ Izracunajte polozaj i velicinu slike, koja se dobije tako da se zrake odbijaju prvo od ispupcenog, a zatimod izdubljenog zrcala.

14 POGLAVLJE 2. GEOMETRIJSKA OPTIKA

DZ 2.8 Odredite radijus zakrivljenosti R tanke bikonveksne simetricne lece, napravljene od flint stakla indeksaloma n = 1.75, ako ta leca daje tri puta vecu sliku kada se osvjetljeni predmet nalazi na udaljenosti x = 10 cmod optickog centra lece.

DZ 2.9 Tanka sabirna leca zarisne duljine f = 1.2m daje virtualnu sliku realnog predmeta. Oni su medusobnoudaljeni 20 cm. Kolike su udaljenosti predmeta i slike od same lece?

DZ 2.10 Predmet je udaljen od prednjeg fokusa sabirne lece za x1 = 16 cm, a realna slika od zadnjeg fokusa zax2 = 4 cm. Kolika je udaljenost predmeta i slike?

DZ 2.11 Tanka leca u zraku ima zarisnu duljinu f1 = 62 cm, a u vodi f2 = 140 cm. Izracunajte indeks lomaizmedu stakla i zraka n1, ako je indeks loma izmedu stakla i vode n2 = 1.32.

Zadatak 2.9 Osvjetljeni predmet se nalazi na udaljenosti x1 = 80 cm od tanke sabirne lece, zarisen duljinef1 = 5 cm. Izmedu predmeta i lece se postavi druga sabirna leca, zarisne duljine f2 = 15 cm, i to na udaljenostix2 = 50 cm od predmeta, tako da se osi leca poklapaju. Izracunajte udaljenost konacne slike od prve lece, tepovecAnje opisanog sustava leca.

DZ 2.12 Na udaljenosti x1 = 30 cm ispred tanke sabirne lece, zarisne duljine f1 = 20 cm, nalazi se osvjetljenipredmet. Iza ove lece, na istoj osi, nalazi se druga tanka leca, zarisne duljine f2 = 4 cm. Izracunajte udaljenostleca u slucaju kada je konacna slika realna i iste visine kao i predmet.

Zadatak 2.10 Tipicno ljudsko oko se moze fokusirati na predmete udaljene izmedu 10 cm i ∞.

a) Ako je minimalna udaljenost jasnog vida nekog dalekovidnog oka b = 1.5m, kakvu lecu treba staviti is-pred takvog oka, da bi ono jasno vidjelo i predmet udaljen a = 25 cm?b) Ako je maksimalna daljina jasnog vida nekog kratkovidnog oka b = 2m, kakvu je lecu potrebno staviti ispredtakvog oka, da bi ono jasno vidjelo i beskonacno udaljene predmete?

Zadatak 2.11 Slika predmeta, koji je udaljen 10m od objektiva fotoaparata, je, na filmu, visoka 3 cm. Kadaje isti predmet udaljen 6 cm, slika je visoka 5.02 cm. Izracunajte:

a) Kutno povecanje objektiva;b) Zarisnu duljinu objektiva;c) Visinu predmeta koji je snimljen.

Zadatak 2.12 Udaljenost izmedu predmeta i njegove realne slike, stvorene kroz konvergentnu lecu, se drzikonstantnom. Pokazite da postoje dva moguca polozaja lece, te da je visina predmeta jednaka

√h1h2, gdje su

h1 i h2 visine dviju slika.

Poglavlje 3

Fotometrija

DZ 3.1 Tockasti izvor svjetlosti ima intenzitet I = 200 cd. Izracunajte:

a) Koliki je cjelokupni tok svjetlosti φ koji izlazi iz izvora?b) Koliko iznosi rasvjeta E plohe, koja je d = 1.5m udaljena od izvora, ako zrake padaju okomito na plohu?c) Koliko iznosi rasvjeta E plohe, koja je d = 1.5m udaljena od izvora, ako zrake padaju na plohu pod kutemα = 60◦?

DZ 3.2 Svjetiljka visi iznad stola na udaljenosti r1 = 1m. Rasvjeta stola ispod svjetiljke je 60 lx. Kolika cebiti rasvjeta, ako svjetiljku spustimo za 40 cm?

Zadatak 3.1 Izmedu dva zastora treba postaviti svjetiljku, tako da rasvjeta na prvom zastoru bude tri puta vecanego na drugom zastoru. Gdje treba postaviti svjetiljku, ako je medusobna udaljenost zastora D = 4m?

DZ 3.3 Dvije svjetiljke, jakosti 2000 cd, vise na visini od 5m iznad tla, na medusobnoj udaljenosti od 6m.Kolika je rasvjeta tla u tockama ispod svake od svjetiljki?

Zadatak 3.2 Tocke P1 i P2 leze u horizontalnoj ravnini udaljene d = 20m. Iznad njih su smjestene dvijeelektricne zarulje, i to zarulja jakosti I1 = 25 cd na visini h1 = 2m iznad P1, te zarulja jakosti I2 = 40 cd navisini h2 = 3m iznad P2. Odredite tocku P iz iste ravnine, koja je od oba izvora jednako osvjetljena.

Zadatak 3.3 Na optickoj osi konveksnog sfernog zrcala, polumjera zakrivljenosti r, nalazi se tockasti izvorsvjetlosti na udaljenosti r/2. Odredite osvjetljenje povrsine okomite na opticku os na udaljenosti r od zrcala,ako je osvjetljenje povrsine na udaljenosti 2r jednako 100 lx. Koeficijent reflektivnosti zrcala je 1.

Zadatak 3.4 Izvor svjetlosti oblika kugle, promjera d = 10mm, udaljen je l = 1m od zastora. U najblizoj tockizastora, osvjetljenje iznosi E. Lecom, zarisne duljine f = 21 cm, otvora polumjera zakrivljenosti r = 1.5 cm, sena zastoru dobije uvecana slika izvora. Odredite osvjetljenje slike.

Zadatak 3.5 Tockasti izvor svjetlosti se nalazi iznad sredista okruglog stola na visini od 1m. Svjetlosna jakostovisi o kutu, tako da je osvjetljenje na stolu jednako u svakoj tocki i iznosi 100 lx. Odredite funkcionalni oblikovisnosti svjetlosne jakosti o kutu, te vrijednost jakosti za kut od 20◦.

Zadatak 3.6 Na koju visinu treba postaviti neonsku cijev, svjetlosne jakosti E = 100 cd, duzine 2m, koja semoze postaviti uzduz sredine hodnika, sirine 4m, da bi rasvjeta (osvjetljenje) na podu tik do zida bila maksi-malna? Kolika je ta maksimalna rasvjeta? (vidi sliku 3.1)

15

16 POGLAVLJE 3. FOTOMETRIJA

0 2 4 6z(m)

0

5

10

15

20

E(z

) (l

x)

Slika 3.1: Funkcija ovisnosti osvjetljenja E o visini neonske cijevi z, za I = 100 cd, Y = 2m i l = 2m.

Poglavlje 4

Fizikalna optika

Zadatak 4.1 Za pracenje radio zvijezda mogu se koristiti mikrovalni detektori. Jedna takva radio zvijezda,koja emitira monokromatske mikrovalove frekvencije ν = 7.5 · 108Hz, promatra se mikrovalnim detektoromsmjestenim na rubu jezera na visini d = 1m iznad povrsine vode. Kako se zvijezda podize iznad horizonta,detektor registrira uzastopne minimume i maksimume intenziteta signala.

a) Nadite pod kojim kutem ϑ nad horizontom se nalazila radio zvijezda, kada je primjecen prvi maksimumsignala.

b) Koliki je ukupan broj primljenih maksimuma tijekom podizanja zvijezde?

c) Kako se raspodjeljeni kutevi za koje se pojavljuju maksimumi signala?

Zadatak 4.2 Razlivena mala kolicina nekog ulja na povrsini vode moze formirati vrlo tanak intenzivno obojensloj. Boja tog sloja obicno ovisi o kutu pod kojim se promatra.

a) Nadite za koju valnu duljinu nastaje konstruktivna interferencija, kada bijela svjetlost upada pod kutemα na tanak sloj ulja debljine d i indeksa loma n.

b) Ako je d = 0.26µm, a n = 1.32, nadite pod kojim kutem bi taj sloj bio crven (λc = 0.68µm), zut(λz = 0.59µm) ili zelen (λz = 0.54µm).

c) Odredite maksimalnu debljinu sloja za koji se jos opaza interferencija vidljive svjetlosti, pod uvjetom daljudsko oko razlikuje nijanse boja, cije se valne duljine razlikuju za minimalno ∆λ = 0.01µm.

DZ 4.1 Na lece i druga opticka tijela cesto se stavlja tanki sloj prozirne tvari indeksa loma n1, manjeg odindeksa loma stakla n2, da bi smanjili refleksiju svjetlosti s njihove povrsine. Odredite minimalnu debljinutankog sloja, koji bi sprijecio refleksiju sredisnjeg dijela spektra bijele svjetlosti (λ = 0.55µm). Svjetlost upadagotovo okomito na taj sloj, a indeks loma upotrebljene tvari je n1 = 1.3.

Zadatak 4.3 Kod Youngova uredaja za promatranje interferencije, dva koherentna izvora svjetlosti (pukotine)udaljena su za d = 1mm. Pruge interferencije promatramo na zastoru udaljenom za L = 1m od uredaja.

a) Ako izvori zrace bijelu boju svjetlosti, tj. 0.42µm ≤ λ ≤ 0.68µm, izracunajte moguce redove interferen-cije k, za koje se dobiju tamne pruge na udaljenosti h = 2 cm iznad srediste zastora.

b) Sto bi se vidjelo pomocu spektroskopa, cija bi se ulazna pukotina nalazila na udaljenosti h iznad sredinezastora?

17

18 POGLAVLJE 4. FIZIKALNA OPTIKA

c) Neka izvori zrace monokromatsku svjetlost valne duljine λ = 0.55µm. Nadite udaljenost izmedu susjed-nih pruga u blizini sredine zastora.

DZ 4.2 Udaljenost d izmedu dva koherentna izvora u zraku iznosi d = 0.15mm. Udaljenost tih izvora dozastora je l = 4.8m. Odredite opticku razliku puteva zraka svjetlosti, koje dolaze od izvora, u nekoj tocki zastoraC, ako je udaljenost te toce os sredine astora x = 16mm.

Zadatak 4.4 Fotografska ploca ima prozirne koncentricne prstenove, koji su medusobno odvojeni tamnim pru-gama. Na plocu okomito upada paralelni snop monokromatske svjetlosti (λ = 0.605µm).

a) Nadite koliki trebaju biti polumjeri prozirnih prstenova da bi svjetlost iz svih tih prstenova davala maksi-mum interferencije u tocki F udaljenoj za 10 cm od ploce.

b) Koliki bi bio promjer 10-tog prstena i kako se mijenjaju razmaci izmedu susjednih prozirnih prstenova odsredine prema rubu ploce?

Zadatak 4.5 Promotrimo uredaj za promatranje Newtonovih kolobara. Ako je leca osvjetljena crvenom svje-tloscu (λ = 0.68µm), polumjer 20-tog tamnog prstena je r = 1 cm.

a) Nadite polumjer zakrivljenosti lece R.

b) Za koliko bi se promjenio polumjer 20-tog tamnog prstena, ako bi se izmedu lece i ploce nalazio tanki slojprasine debljine d = 1µm?

c) Ako bi prostor izmedu lece i ploce bio ispunjen vodom (n = 4/3), koliki bi tada bio polumjer 20-tog tamnogprstena?

Zadatak 4.6 Opticka resetka, koja ima 20 zareza po milimetru, osvjetljena je snopom bijele svjetlosti, koji padaokomito na nju. Udaljenost resetke i zastora je D = 1.5m. Kolika je sirina tamne pruge izmedu spektra prvog(k = 1) i drugog (k = 2) reda, ako je valna duljina crvene svjetlosti λ1 = 760nm, a valna duljina ljubicastesvjetlosti λ2 = 400nm?