Schr odingerova valna mehanika - UNIOSfizika.unios.hr/~ilukacevic/dokumenti/materijali_za_studente/qm1/... · 2 rad Heisenberga - matri cna mehanika, relacije neodredenosti 3 radovi

Schrodingerova valna mehanika

Schrodingerova valna mehanikaQuantum mechanics 1 - Lecture 3

Igor Lukacevic

UJJS, Dept. of Physics, Osijek

14. ozujka 2013.

Igor Lukacevic Schrodingerova valna mehanika


Contents

1 Schrodingerova valna jednadzba

2 Princip korespondencije

3 Interpretacija valne funkcije

4 Ehrenfestov teorem

5 Kritika kopenhagenske interpretacije

6 Literature



Schrodingerova valna jednadzba

Contents






6 Literature







Valna funkcija ψ(r, t)

Svojstva:

1 interferira sama sa sobom

2 velika je gdje se najvjerojatnije nalazicestica, a mala drugdje

3 opisuje ponasanje jedne cestice

Kako bi izgledala ψ?

Znamo p i E i smjer x =⇒

cos(kx − ωt) , sin(kx − ωt) ,

e i(kx−ωt) , e−i(kx−ωt)

ili lin. komb. ovih.




Trazimo jednadzbu pod uvjetima:

1 linearna

2 koeficijenti mogu sadrzavati~,m, e, . . .ali ne ip,E , k, ν, . . .

3 diferencijalna

Pitanje

Mozete li se dosjetiti jednadzbe kojazadovoljava ove uvjete?





1 linearna


3 diferencijalna

Pitanje


∂2ψ

∂t2= γ

∂2ψ

∂x2

Pitanje

Pod kojim uvjetom harmonijskefunkcije



zadovoljavaju ovu valnu jednadzbu?





1 linearna


3 diferencijalna

Pitanje


∂2ψ

∂t2= γ

∂2ψ

∂x2

Pitanje

Pod kojim uvjetom harmonijskefunkcije



zadovoljavaju ovu valnu jednadzbu?

γ =ω2

k2=

E 2

p2=

p2

4m2





1 linearna


3 diferencijalna

Rjesenje

E =p2

2m⇒ ω =

~k2

2m

⇒ ∂ψ

∂t= γ

∂2ψ

∂x2

Pitanje

Pod kojim uvjetom funkcija e i(kx−ωt)

zadovoljava ovu jednadzbu?





1 linearna


3 diferencijalna

Rjesenje

E =p2

2m⇒ ω =

~k2

2m

⇒ ∂ψ

∂t= γ

∂2ψ

∂x2

Pitanje

Pod kojim uvjetom funkcija e i(kx−ωt)

zadovoljava ovu jednadzbu?

γ =iω

k2=

i~Ep2

=i~2m





1 linearna


3 diferencijalna

Schrodingerova jednadzba

i~∂ψ∂t

= − ~2

2m

∂2ψ

∂x2




Schrodingerova jednadzba za slobodnu cesticu u 3 dimenzije

p = ~k

e i(k·r−ωt)

=⇒ i~∂ψ∂t

= − ~2

2m∆ψ




Ukupna sila F(r, t) =⇒ E =p2

2m+ V (r, t)

Schrodingerova jednadzba za cesticu mase m u polju sila F(r, t)

i~∂ψ∂t

= − ~2

2m∆ψ + V (r, t)ψ





1 linearna


3 diferencijalna





1 linearna


3 diferencijalna

Princip superpozicije

Ako su ψ1, . . . , ψn rjesenjaSchrodingerove jednadzbe, tada je ilinearna kombinacija tih rjesenja

ψ = c1ψ1 + · · · cnψn =n∑

i=1

ciψi

opet rjesenje Schrodingerovejednadzbe.



Princip korespondencije

Contents






6 Literature




Klasicna mehanika

E =p2

2m+ V (r, t)

Kvantna mehanika

i~∂ψ∂t

= − ~2

2m∆ψ + V (r, t)ψ

Pitanje

Sto mozete, iz usporedbe ovih dvaju izraza, zakljuciti o E i p?




Klasicna mehanika

E =p2

2m+ V (r, t)

Kvantna mehanika

i~∂ψ∂t

= − ~2

2m∆ψ + V (r, t)ψ

Pitanje

Sto mozete, iz usporedbe ovih dvaju izraza, zakljuciti o E i p?

E 7→ i~∂ψ∂t

,

p 7→ i~∇





Fizikalnim velicinama q iz klasicne mehanike odgovaraju pripadajuci (linearni)operatori q u kvantnoj mehanici.

E 7→ E = i~∂ψ∂t

,

p 7→ p = i~∇ ,r 7→ r = r ,

L 7→ L = r × p



Interpretacija valne funkcije

Contents






6 Literature




Pitanje

Sto predstavlja ψ?

Gar Manches rechnet Erwin schonMit senier WellenfunktionNur wissen mocht’ man gerne wohlWas man sich dabei vorstell’n soll.

Erich Huckel, Zurich, ljeto 1926




Pitanje

Sto predstavlja ψ?

Bohr, Kramers, Slater(1924); Einstein - svjetlost= “val vjerojatnosti”Paps/emis = I ∼ A2

Schrodinger (1926)

kopenhagensko tumacenje(proljece 1927)

Solveyeva konferencija(jesen 1927)

“many-world” interpretacija...




Pitanje

Sto predstavlja ψ?


Schrodinger (1926)




Elektron

Wilsonova maglena komora.




Pitanje

Sto predstavlja ψ?


Schrodinger (1926)







Max Born (1927)

Gottingen - Hilbert & Minkowski

7 njegivih asistenata - 7 Nobelovih nagrada (Delbruck, Fermi, Heisenberg,Goeppert-Mayer, Herzberg, Pauli, Wigner)

statisticka interpretacija (’Kopenhagener Geist der Quantentheorie’)

Einstein: ”The Old One does not play dice.”

Utjecaji

1 rad Schrodingera

2 rad Heisenberga - matricna mehanika, relacije neodredenosti

3 radovi de Brogliea, Einsteina,...




Interpretacija valne funkcije ψ

ψ(r, t) = Re(ψ) + Im(ψ)i

ρ = ψ∗(r, t)ψ(r, t) = |ψ(r, t)|2 ≥ 0 gustoca vjerojatnosti nalazenja

elektrona na mjestu ru trenutku t

ψ amplituda vjerojatnostiP =

∫Vρ(r, t)dV vjerojatnost nalazenja







Pitanje

Koliko iznosi vjerojatnost nalazenja cestice bilo gdje u prostoru?




Pitanje

Koliko iznosi vjerojatnost nalazenja cestice bilo gdje u prostoru?∫V

ρ(r, t)dV = 1

Normiranje valne funkcije

Ako je ψ rjesenje S.J., onda je i Nψ, N ∈ C.

|N|2∫

V

ρ(r, t)dV = 1

N 99K konstanta normiranja




Normiranje valne funkcije

Ako je ψ rjesenje S.J., onda je i Nψ, N ∈ C.

|N|2∫

V

ρ(r, t)dV = 1

N 99K konstanta normiranja

“non-normalizable” “square-integrable”




Ocuvanje normiranosti (Dokaz naucite iz ref. [6])

ψ∗ · S .J.− c.c.S .J. · ψ =⇒ ∂ρ

∂t+∇ · j = 0

/∫dV

↓jednadzba kontinuiteta

=⇒ d

dt

∫V

ρdV = 0




Primjer 1.

U trenutku t = 0 cestica je predstavljena valnom funkcijom

ψ(x , 0) =

Ax

a, 0 ≤ x ≤ a ,

Ab − x

b − a, a ≤ x ≤ b ,

0 , inace ,

gdje su A, a i b konstante.

a) Normirajte valnu funkciju ψ.

b) Skicirajte valnu funkciju ψ.

c) Gdje je najvjerojatnije da ce se naci cestica u t = 0?

d) Kolika je vjerojatnost nalazenja cestice lijevo od a? Izracunajte i zaslucajeve b = a i b = 2a.




Primjer 1. (nast.)

a) U.N. =⇒∫ ∞−∞|ψ|2dx = 1

=⇒∫ 0

−∞︸︷︷︸+

∫ a

0

+

∫ b

a

+

∫ ∞b︸︷︷︸

↓ ↓ψ = 0 ψ = 0

∫ a

0

|A|2 x2

a2dx =

1

3a|A|2

∫ b

a

|A|2 (b − x)2

(b − a)2dx =

1

3(b − a)|A|2

⇒1

3a|A|2 +

1

3(b − a)|A|2 = 1

=⇒ A = ±√

3

b




Primjer 1. (nast.)

b) a = 2 , b = 5




Primjer 1. (nast.)

c) P ∼ ρ




Primjer 1. (nast.)

d) P =

∫ a

−∞|ψ|2dx

=⇒∫ 0

−∞︸︷︷︸+

∫ a

0

=3

b

∫ a

0

x2

a2dx =

a

b

↓ψ = 0

b = a =⇒ P = 1

b = 2a =⇒ P =1

2




Jednadzba kontinuiteta

∂ρ

∂t+∇ · j = 0

Hidrodinamika, elektrodinamika,...

ρ gustoca vjerojatnosti

- direktno opazljiva velicina

j =1

2m[ψ∗ (−i~∇ψ) + (−i~∇ψ)∗ ψ] gustoca struje vjerojatnosti




ψ 99K ρ 99K P

Q(r, t) - kvantno-mehanicki operator (r, p, E , V ,...)

Ocekivanje operatora Q ⟨Q⟩

=

∫ψ∗(r, t)Qψ(r, t)dV⟨

Q⟩∈ R - srednja vrijednost rezultata mjerenja na nezavisnim sustavima

Npr.

〈E〉 =

∫ψ∗i~ ∂

∂tψdV

〈p〉 =

∫ψ∗(−i~)∇ψdV




ψ 99K ρ 99K P

Q(r, t) - kvantno-mehanicki operator (r, p, E , V ,...)

Ocekivanje operatora Q ⟨Q⟩

=

∫ψ∗(r, t)Qψ(r, t)dV

Q - srednja vrijednost rezultata mjerenja na nezavisnim sustavima

Pitanje

Protumacite sto znaci ocekivanje kvantno-mehanickog operatora.










Primjer 2

Izracunajte ocekivanje od x za cesticu iz Primjera 1.

〈x〉 =

∫ ∞−∞

ψ∗xψdx =

∫ ∞−∞

x |ψ|2dx =

∫ a

0

x3

b

x2

a2dx +

∫ b

a

x3

b

(b − x)2

(b − a)2dx

〈x〉 DZ=

2a + b

4




Primjer 3.

Izracunajte ocekivanje i neodredenost polozaja za cesticu u stanju:

ψ(x) = Ae− (x−x0)

2

4a2




Primjer 3. (nast.)

1 Normiranje valne funkcije∫ ∞−∞|ψ|2dx = 1 =⇒ A2 =

1

a√

2π




Primjer 3. (nast.)


1

a√

2π

2 Ocekivanje

〈x〉 =

∫ ∞−∞

ψ∗xψdx = x0




Primjer 3. (nast.)


1

a√

2π

2 Ocekivanje 〈x〉

〈x〉 =

∫ ∞−∞

ψ∗xψdx = x0

3 Neodredenost ∆x

(∆x)2 = 〈x2〉 − 〈x〉2

〈x2〉 = a2 + x20

⇒ (∆x)2 = a2 = Var(x)



Ehrenfestov teorem

Contents






6 Literature



Ehrenfestov teorem

Pitanje

Sto se dogada s ocekivanjem (npr. 〈x〉) kako tece vrijeme, te da li to uopce imasmisla pitati?



Ehrenfestov teorem

Detalje izvoda mozete nauciti iz ref. [6] i [8].

d

dt〈x〉 =

d

dt

∫ψ∗xψdx =

∫∂ψ∗

∂txψdx +

∫ψ∗x

∂ψ

∂tdx

i~∂ψ∂t

= − ~2

2m∆ψ + Vψ S.J.

−i~∂ψ∗

∂t= − ~2

2m∆ψ∗ + Vψ∗ c.c.S.J.

⇒ d

dt〈x〉 =

i~2m

∫(ψ∗x∆ψ −∆ψ∗xψ) dx =

i~2m

∫x (ψ∗∆ψ −∆ψ∗ψ)︸︷︷︸∂∂x

(ψ∗∂ψ

∂x− ∂ψ∗

∂xψ

)︸︷︷︸

φ

dx

⇒ d

dt〈x〉 =

i~2m

∫x∂φ

∂x︸︷︷︸∂∂x

(xφ)−φ

dx



Ehrenfestov teorem

⇒ d

dt〈x〉 =

i~2m

[ ∫ ∞−∞

∂

∂x(xφ) dx︸︷︷︸∫

SV(xφ)·ndS

−∫φdx

]=

∣∣∣∣ Sv →∞⇒ ψ → 0⇒ φ→ 0

∣∣∣∣

⇒ d

dt〈x〉 = − i~

2m

∫ (ψ∗∂ψ

∂x− ∂ψ∗

∂xψ︸︷︷︸

∂∂x

(ψ∗ψ)−ψ∗ ∂ψ∂x

)dx

⇒ d

dt〈x〉 = − i~

m

∫ψ∗∂ψ

∂xdx +

i~2m

∫ ∞−∞

∂

∂x(ψ∗ψ)dx︸︷︷︸∫

SV(ψ∗ψ)·ndS

=

∣∣∣∣ Sv →∞⇒ ψ → 0

∣∣∣∣

⇒ d

dt〈x〉 = − i~

m

∫ψ∗∂ψ

∂xdx =

1

m

∫ψ∗(−i~ ∂

∂x

)ψdx =

1

m

∫ψ∗pxψdx



Ehrenfestov teorem

Ehrenfestov teorem

U kvantnoj mehanici srednje vrijednosti (ocekivanja) operatora odgovarajuvelicinama u klasicnoj mehanici.Klasicna mehanika se dobiva kao granicni slucaj kvantne mehanike: ako srednjevrijednosti dobro opisuju fizikalni sustav, tada je primjenjiva klasicna mehanika,i srednje vrijednosti operatora fizikalnih velicina su jednake klasicnima; ako ne,tada je potrebno slijediti zakone kvantne mehanike.

Klasicna mehanika

dr

dt=

p

m,

dp

dt= −∇V

Kvantna mehanika

d

dt〈r〉 =

1

m〈p〉 ,

d

dt〈p〉 = 〈−∇V 〉



Kritika kopenhagenske interpretacije

Contents






6 Literature




5. Solvayeva konferencija “Electrons et photons” (listopad 1927)




Einstein (realisti) Bohr (instrumentalisti)

Misaoni eksperimenti

pokus s dvije pukotine

Schrodingerova macka

Wignerov prijatelj

EPR paradoks




Pokus s dvije pukotine




Pokus s dvije pukotine

Bohrov odgovor

In particular, it must be very clear that...the unambiguous use of spatiotemporal concepts in the description of atomic phenomena must be

limited to the registration of observations which refer to images on a photographic lens or to analogous practically irreversible effects of

amplification such as the formation of a drop of water around an ion in a dark room.




Schrodingerova macka [9,10]




Schrodingerova macka [9,10]

Odgovor kopenhagenske skole

Problema ustvari nema. Valnafunkcija opisuje samo nase znanje ostanju sustava, a ne stvarno stanje.Cak i “objektivni” promatrac (npr.Geigerov brojac) moze ostvaritiiskapljivanje valne funkcije. To vodik tzv. problemu mjerenja.

Odgovor “many worlds”interpretacije

Superponirano stanje se cinompromatranja razdvaja na dvadekoherentna stanja.




Wignerov prijatelj




Wignerov prijatelj

Odgovor

Iskapljivanje valne funkcije je relativno s obzirom na promatraca. Trebarazlikovati objektivnu prirodu realnosti i subjektivnu prirodu vjerojatnosti. Vodik pitanju svjesti.




Einstein-Podolsky-Rosen (EPR) eksperiment (1935) [11,12]




Einstein-Podolsky-Rosen (EPR) eksperiment (1935) [11,12]

Objasnjenje paradoksa

Iskapljivanje valne funkcije je subjektivno. Prijenos informacije drugommotritelju podlijeze zakonima relativnosti.

teorija skrivenih varijabli

Bellove nejednakosti



Literature

Contents






6 Literature



Literature

Literature

1 R. L. Liboff, Introductory Quantum Mechanics, Addison Wesley, SanFrancisco, 2003.

2 L. I. Ponomarev, Kvantna kocka, Skolska knjiga, Zagreb, 1995.

3 Rad de Brogliea

4 Rad Schrodingera 1


6 D. J. Griffiths, Introduction to Quantum Mechanics, 2nd ed., PearsonEducation, Inc., Upper Saddle River, NJ, 2005.

7 Bornovo predavanje prilikom urucenja Nobelove nagrade

8 L. I. Schiff, Quantum Mechanics, McGraw-Hill Book Comapny, New York,1949.


10 http://www.youtube.com/watch?v=LFBrRKnJMq4

11 Quantum Leap (minute 17:00 - 37:40)

12 T. Petkovic, Moderna eksperimentalna fizika i spoznajna teorija, Skolskaknjiga, Zagreb, 1990.


http://web.archive.org/web/20090509012910/http://www.ensmp.fr/aflb/LDB-oeuvres/De_Broglie_Kracklauer.pdf

http://web.archive.org/web/20081217040121/http://home.tiscali.nl/physis/HistoricPaper/Schroedinger/Schroedinger1926c.pdf

http://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k153811/f374.image.langFR

http://www.nobelprize.org/nobel_prizes/physics/laureates/1954/born-lecture.pdf

http://www.tuhh.de/rzt/rzt/it/QM/cat.html

http://www.youtube.com/watch?v=LFBrRKnJMq4

http://www.youtube.com/watch?v=Nv1_YB1IedE

Documents

Schr odingerova valna mehanika - UNIOSfizika.unios.hr/~ilukacevic/dokumenti/materijali_za_studente/qm1/... · 2 rad Heisenberga - matri cna mehanika, relacije neodredenosti 3 radovi