Osnovna svojstva valne mehanikefizika.unios.hr/~ilukacevic/dokumenti/materijali_za...Osnovna svojstva valne mehanike Postulati kvantne mehanike Postulat 4. Svojstvene funkcije ˚ i

Osnovna svojstva valne mehanike

Osnovna svojstva valne mehanikeQuantum mechanics 1 - Lecture 4

Igor Lukacevic

UJJS, Dept. of Physics, Osijek

28. ozujka 2013.

Igor Lukacevic Osnovna svojstva valne mehanike


Contents

1 Postulati kvantne mehanike

2 Svojstvene funkcije i vrijednosti operatora energijeRazdvajanje valne jednadzbeZnacenje konstante ERubni uvjeti na velikim udaljenostimaUvjeti neprekidnostiRubni uvjeti za beskonacan potencijal

3 Cestica u jednodimenzionalnoj kutiji s beskonacno visokim zidovimaSvojstvene funkcije i vrijednostiBohrov princip komplementarnosti

4 Literature



Postulati kvantne mehanike

Contents




4 Literature




Postulat 1.

Stanje kvantno mehanickog sustava je u potpunosti odredeno valnomfunkcijom ψ(r, t).




Postulat 2.

Svakoj (opazivoj) dinamickoj varijabli - opservabli - pripada odgovarajucilinearni operator.

r→ r , p→ −i~∇ , E → i~∂t , . . .

Primjer 1.

Operator O je linearan, ako vrijedi O(aφ1 + bφ2) = aOφ1 + bOφ2. Za svakioperator iz tablice provjerite da li je linearan.

Operator Djelovanje Operator Djelovanje

I = identiteta Iφ = φ F = mnozenje s F (x) Fφ = F (x)φD = 1. derivacija po x Dφ = ∂φ/∂x B = dijeljenje s 3 Bφ = φ/3

∆ = 2. derivacija po x ∆φ = ∂2φ/∂x2 Θ = anihilacija Θφ = 0

M = mijesana derivacija Mφ = ∂2φ/∂x∂y P = promjena u polinom Pφ = φ3 − 3φ2 − 4

Q = integriranje Qφ(x) =∫ 1

0 φ(x′)dx′ G = promjena u 8 Gφ = 8




Postulat 3.

Ako operator A ima skup svojstvenih funkcija φi i svojstvenih vrijednosti λi , tj.ako vrijedi Aφi = λiφi , tada se pri tocnom mjerenju opservable A mogu dobitisamo svojstvene vrijednosti λi .Svojstvene funkcije operatora su normirane∫ ∞

−∞φ∗i φidV = 1

i medusobno ortogonalne ∫ ∞−∞

φ∗i φjdV = 0 .

Ako λi ∈ R, onda A† = A, tj. A je Hermitski operator.

Primjer 2.

Ako je operator pomaka Df (x) = f (x + ζ), pokazite da su svoj. funk. od Doblika φβ = eβxg(x), gdje je g(x) = g(x + ζ), a β ∈ C. Koje su svojstvenevrijednosti od D?




Postulat 4.

Svojstvene funkcije φi opservable A cine potpun skup funkcija; dakle, svakuneprekidnu, kvadraticnu i integrabilnu funkciju mozemo razviti po tom skupu.Svojstvene funkcije razapinju beskonacno dimenzionalan Hilbertov prostor stanja.Ako je ψ(x) valna funkcija koja opisuje stanje cestice u nekom trenutku, tada vrijedi

ψ(x) =∑i

aiφi (x) .

Pri mjerenju opservable A, |ai |2 daju vjerojatnost da se mjeri A s vrijednoscu λi , kada

se cestica nalazi u stanju ψ(x).




Primjer 3.

Dokazite posljednju recenicu 4. postulata.

Primjer 4.

Promotrite cesticu opisanu, u t = 0, funkcijom

ψ(x , 0) =3ϕ2 + 4ϕ9√

25,

gdje su ϕn ortonormirane svojstvene funkcije operatora ukupne energije.Sto ce davati mjerenje energije u t = 0, te kolika je vjerojatnost nalazenja tevrijednosti?Moze li se dogoditi da u npr. 1017 nezavisnih sustava s istom cesticom mjerenjeenergije da vrijednost E2?




Primjer 4. (nast.)

1 Prvo provjerimo da li je ψ normirana ispravno:

∫ψ∗ψdV = 1.

2 Razvijemo funkciju stanja po svojstvenim funkcijama operatora energije:

ψ =∑n

bnϕn ,

te ocitamo koeficijente razvoja: b2 =3√25, b9 =

4√25

.

3 Izracunamo vjerojatnosti P(En) da ce mjerenje E dati vrijednost En:

P(E2) = 9/25, P(E9) = 16/25.

N = 2500 =⇒ N2 = 900 , N9 = 1600




Primjer 4. (nast.)


∫ψ∗ψdV = 1.


ψ =∑n

bnϕn ,


4√25

.


P(E2) = 9/25, P(E9) = 16/25.

N = 2500 =⇒ N2 = 900 , N9 = 1600




Primjer 4. (nast.)


∫ψ∗ψdV = 1.


ψ =∑n

bnϕn ,


4√25

.


P(E2) = 9/25, P(E9) = 16/25.

N = 2500 =⇒ N2 = 900 , N9 = 1600




Primjer 4. (nast.)

4 Moze. Nemoze,akomjerenjanisunezav-isna.




Postulat 5.

Vremenski razvoj kvantnog stanja dan je energijskom Schrodingerovomjednadzbom

i~∂ψ(r, t)

∂t= − ~2

2m∆ψ(r, t) + V (r, t)ψ(r, t) .



Svojstvene funkcije i vrijednosti operatora energije

Contents




4 Literature




V = V (r)S.J.−−→ i~ ∂

∂tψ(r, t) = − ~2

2m∆ψ(r, t) + V (r)ψ(r, t)




Razdvajanje valne jednadzbe

V = V (r)S.J.−−→ i~ ∂

∂t︸︷︷︸o t

ψ(r, t) = − ~2

2m∆︸︷︷︸

o r

ψ(r, t) + V (r)︸︷︷︸o r

ψ(r, t)

=⇒ ψ(r, t) = u(r)f (t)





V = V (r)S.J.−−→ i~ ∂

∂t︸︷︷︸o t

ψ(r, t) = − ~2

2m∆︸︷︷︸

o r

ψ(r, t) + V (r)︸︷︷︸o r

ψ(r, t)

=⇒ ψ(r, t) = u(r)f (t)

=⇒ i~f

df

dt=

1

u

[− ~2

2m∆u + V (r)u

](Izvod u ref. [4])





V = V (r)S.J.−−→ i~ ∂

∂t︸︷︷︸o t

ψ(r, t) = − ~2

2m∆︸︷︷︸

o r

ψ(r, t) + V (r)︸︷︷︸o r

ψ(r, t)

=⇒ ψ(r, t) = u(r)f (t)

=⇒ i~f

df

dt︸︷︷︸o t

=1

u

[− ~2

2m∆u + V (r)u

]︸︷︷︸

o r

= E = konst.





Jednadzba po t

i~f

df

dt= E

⇒ f (t) = Ce−i~ Et

Jednadzba po r[− ~2

2m∆ + V (r)

]u(r) = Eu(r)

Ukupno rjesenje:

ψ(r, t) = u(r)e−i~ Et




Znacenje konstante E

E i~ ∂∂t

=⇒ i~ ∂∂tψ = i~ ∂

∂tu(r)e−

i~ Et

=⇒ i~ ∂∂tψ = Eψ

jednadzba svojstvenih vrijednosti

ψ svojstvene funkcije operatora energijeE svojstvene vrijednosti operatora energije

Pitanje

Cemu je jednako |ψ|2?





E i~ ∂∂t

=⇒ i~ ∂∂tψ = i~ ∂

∂tu(r)e−

i~ Et

=⇒ i~ ∂∂tψ = Eψ


ψ svojstvene funkcije operatora energijeE svojstvene vrijednosti operatora energije

Pitanje

Cemu je jednako |ψ|2? |ψ|2 = |u(r)|2 ne ovisi o t

⇒ ψ stacionarno stanje cestice





[− ~2

2m∆ + V (r)

]u(r) = Hu = Eu(r)


u svojstvene funkcije operatora HE svojstvene vrijednosti operatora H

Pitanje

Sto mislite, da li je i ψ svojstvena funkcija operatora H?





[− ~2

2m∆ + V (r)

]u(r) = Hu = Eu(r)


u svojstvene funkcije operatora HE svojstvene vrijednosti operatora H

Pitanje

Sto mislite, da li je i ψ svojstvena funkcija operatora H? Je.

H = E - Hamiltonijan




Rubni uvjeti na velikim udaljenostima

99K slobodna lokalizirana ili vezanacestica∫|ψ|2dV → 1

99K slobodna nelokalizirana ilinevezana cestica∫|ψ|2dV →∞




Rubni uvjeti na velikim udaljenostima

99K slobodna lokalizirana ili vezanacestica∫|ψ|2dV → 1




Uvjeti neprekidnosti

V (r) konacan =⇒ ψ , ψ′ moraju biti:

1 neprekidne (ψ je klase C 1)

2 konacne

3 injekcije

u svakoj tocki prostora.







2 konacne

3 injekcije


ψ → ρ → P







2 konacne

3 injekcije


Pitanje

Sto mislite, da li ista svojstva vrijede i za ρ(r) i J(r)?




Rubni uvjeti za beskonacan potencijal

V (x) beskonacan =⇒ V (x)

{0 , x < 0V0 , x > 0 , V0 →∞





S.J. (1D): [− ~2

2m

∂2

∂x2+ V (x)

]u(x) = Eu(x)

Pretpostavimo 0 ≤ E < V0 =⇒

uI (x) = A sin(αx) + B cos(αx) , x < 0 , α =√

2mE~2

uII (x) = Ce−βx + Deβx , x > 0 , β =√

2m(V0−E)

~2

Pitanje

Sto dobivamo iz slijedecih uvjeta:

1 rubni uvjet na velikim udaljenostima?

2 neprekidnost od u u x = 0?

3 neprekidnost od du/dx u x = 0?





S.J. (1D): [− ~2

2m

∂2

∂x2+ V (x)

]u(x) = Eu(x)



2mE~2

uII (x) = Ce−βx + Deβx , x > 0 , β =√

2m(V0−E)

~2

Pitanje

Sto dobivamo iz slijedecih uvjeta:

1 rubni uvjet na velikim udaljenostima? D = 0.

2 neprekidnost od u u x = 0? B = C .

3 neprekidnost od du/dx u x = 0? αA = −βC .





S.J. (1D): [− ~2

2m

∂2

∂x2+ V (x)

]u(x) = Eu(x)



2mE~2

uII (x) = Ce−βx + Deβx , x > 0 , β =√

2m(V0−E)

~2

Pitanje

1 Ako pustimo sada limes V0 →∞, koliko onda iznosi β?

2 Kakav mora biti C (pa onda i B), ako znamo da je uI konacna?

3 Sto je s A?





S.J. (1D): [− ~2

2m

∂2

∂x2+ V (x)

]u(x) = Eu(x)



2mE~2

uII (x) = Ce−βx + Deβx , x > 0 , β =√

2m(V0−E)

~2

Pitanje

1 Ako pustimo sada limes V0 →∞, koliko onda iznosi β? β →∞.

2 Kakav mora biti C (pa onda i B), ako znamo da je uI konacna?

C = B = 0 =⇒ uIIV0→∞−→ 0.

3 Sto je s A? Neodreden.





S.J. (1D): [− ~2

2m

∂2

∂x2+ V (x)

]u(x) = Eu(x)



2mE~2

uII (x) = Ce−βx + Deβx , x > 0 , β =√

2m(V0−E)

~2

Pitanje

1 Sto ako E < 0?

2 Mozete li se dosjetiti klasicnog analoga situacije 0 < E < V0?







Cestica u jednodimenzionalnoj kutiji s beskonacno visokim zidovima

Contents




4 Literature




Svojstvene funkcije i vrijednosti

V (x) =

{0 , 0 ≤ x ≤ L ,∞ , inace

=⇒ − ~2

2m

d2

dx2u(x) = Eu(x)





Podrucje I i III

Pitanje

Sto nam kazu rubniuvjeti za beskonacanpotencijal?





Podrucje I i III

⇒ uI = uIII = 0





Podrucje II

− ~2

2m

d2

dx2uII (x) = EuII (x)

uII 99K u





Podrucje II

− ~2

2m

d2


uII 99K u

⇒ u = − 2mE

~2︸︷︷︸k2

u ⇒ u + k2u = 0





Podrucje II

− ~2

2m

d2


uII 99K u

⇒ u = − 2mE

~2︸︷︷︸k2

u ⇒ u + k2u = 0

=⇒ u(x) = A sin(kx) + B cos(kx)





Podrucje II

− ~2

2m

d2


uII 99K u

⇒ u = − 2mE

~2︸︷︷︸k2

u ⇒ u + k2u = 0

=⇒ u(x) = A sin(kx) + B cos(kx)

↓ ↓A =? B =?





Podrucje II

Rubni uvjeti na u(x) u x = 0 i x = L:

u(x = 0) = 0

u(x = L) = 0





Podrucje II


u(x = 0) = 0 ⇒ B = 0

u(x = L) = 0 ⇒ sin(kL) = 0





Podrucje II


u(x = 0) = 0 ⇒ B = 0

u(x = L) = 0 ⇒ sin(kL) = 0

⇒ k =nπ

L, n ∈ Z

Pitanje

Da li su valjana rjesenja za svaki n ∈ Z?





Podrucje II


u(x = 0) = 0 ⇒ B = 0

u(x = L) = 0 ⇒ sin(kL) = 0

⇒ k =nπ

L, n ∈ Z+/ {0}

Pitanje

Da li su valjana rjesenja za svaki n ∈ Z?

Ne.

1 n = 0 ⇒ fizikalno nezanimljivorjesenje E = 0

2 n ∈ Z− ⇒ linearno zavisna rjesenjaod n ∈ Z+





Podrucje II


u(x = 0) = 0 ⇒ B = 0

u(x = L) = 0 ⇒ sin(kL) = 0

⇒ k =nπ

L, n ∈ Z+/ {0}

Pitanje

1 Kakav utjecaj ima ogranicenje valnefunkcije u kutiji na k?

2 Kakva zbog toga postaje energijacestice?





Podrucje II


u(x = 0) = 0 ⇒ B = 0

u(x = L) = 0 ⇒ sin(kL) = 0

⇒ k =nπ

L, n ∈ Z+/{0}

Pitanje

Ostao nam je jos A. Imate li ideju kako docido A?





Podrucje II


u(x = 0) = 0 ⇒ B = 0

u(x = L) = 0 ⇒ sin(kL) = 0

⇒ k =nπ

L, n ∈ Z+/{0}

Uvjet normiranja:∫ L

0

|u(x)|2dx = 1D.Z .−−−→ |A|2 =

2

L

PS. ne zaboravite, A ∈ C.





Podrucje II


u(x = 0) = 0 ⇒ B = 0

u(x = L) = 0 ⇒ sin(kL) = 0

⇒ k =nπ

L, n ∈ Z+/{0}

Uvjet normiranja:∫ L

0

|u(x)|2dx = 1D.Z .−−−→ |A|2 =

2

L

=⇒ A = ±√

2

Le±iα





Stacionarna stanja cestice

u(x) =

√2

Lsin

nπx

L,

n = 1, 2, 3, . . .






u(x) =

√2

Lsin

nπx

L,

n = 1, 2, 3, . . .

Svojstvene energijecestice

k2 =2mE

~2=

n2π2

L2⇒

En =~2π2

2mL2n2 ,

n = 1, 2, 3, . . .

E1 =~2π2

2mL2⇒ En = n2E1






u(x) =

√2

Lsin

nπx

L,

n = 1, 2, 3, . . .

Svojstvene energijecestice

k2 =2mE

~2=

n2π2

L2⇒

En =~2π2

2mL2n2 ,

n = 1, 2, 3, . . .

E1 =~2π2

2mL2⇒ En = n2E1





Gustoca vjerojatnosticestice

ρ(x) = |u(x)|2 =2

Lsin2 nπx

L,

n = 1, 2, 3, . . .





Primjer 1.

Koliko iznosi energija elektrona u osnovnom i prvih nekoliko pobudenih stanjakutije sirine 2 Bohra?

L = 2 Bohr = 1 A = 10−10 m,

m = 9.11 · 10−31kg

~ = 1.054 · 10−34 Js

E1 =~2π2

2mL2· 12 = 6.0177 · 10−18 J = 37.6 eV

E2 = 22 · E1 = 150.4 eV

E3 = 32 · E1 = 338.4 eV





Primjer 2.

Izracunajte 〈x〉 i 〈p〉 za cesticu u kutiji s beskonacno visokim zidovima.

〈x〉 =

∫ L

0

u∗(x)xu(x)dx =

∫ L

0

2

Lx sin2 nπx

Ldx

D.Z .=

L

2

〈p〉 =

∫ L

0

u∗(x)∂

∂xu(x)dx =

∫ L

0

2

L

nπ

Lsin

nπx

Lcos

nπx

Ldx

D.Z .= 0

= md〈x〉dt




Bohrov princip komplementarnosti

Klasicna cestica Kvantna cestica





Klasicna cestica

P(x , x + dx) =1

vT=

v

vL=

1

L

Kvantna cestica

Pmax ↔ x = L/6 , L/2 , 5L/6

P 6= 0 , x 6= L/6 , L/2 , 5L/6





Klasicna cestica

P =1

L= konst.

Kvantna cestica

n→∞⇒ Pmax ↔ xj =2j + 1

2nL ,

j = 0, 1, 2, . . .





Bohrov princip korespondencije (1918 - 1928) [5]

Zakoni kvantne mehanike reproduciraju klasicne rezultate u slucaju visokihkvantnih brojeva.



Literature

Contents




4 Literature



Literature

Literature

1 R. L. Liboff, Introductory Quantum Mechanics, Addison Wesley, SanFrancisco, 2003.

2 D. J. Griffiths, Introduction to Quantum Mechanics, 2nd ed., PearsonEducation, Inc., Upper Saddle River, NJ, 2005.

3 L. I. Schiff, Quantum Mechanics, McGraw-Hill Book Company, New York,1949.

4 Java aplet s cesticom u 1D kutiji

5 Rasprava o Bohrovom principu korespondencije


http://www.falstad.com/qm1d/

http://plato.stanford.edu/entries/bohr-correspondence/#BohWriCorPri191

Documents

Osnovna svojstva valne mehanikefizika.unios.hr/~ilukacevic/dokumenti/materijali_za...Osnovna svojstva valne mehanike Postulati kvantne mehanike Postulat 4. Svojstvene funkcije ˚ i