Vajda István - Óbudai Egyetemusers.nik.uni-obuda.hu/vajda/analizis1/komplex.pdfVajda István (Óbudai Egyetem) Analízis eloadások˝ 2012. szeptember 10. 8 / 36 Komplex számok

Analízis eloadások

Vajda István

Neumann János Informatika KarÓbudai Egyetem

2012. szeptember 10.

Vajda István (Óbudai Egyetem) Analízis eloadások 2012. szeptember 10. 1 / 36

Komplex számok Bevezetés

A komplex számok értelmezése

Definíció: Tekintsük a valós számpárok R2 halmazát és értelmezzük ezena halmazon a következo két muveletet:A bevezeto fejezetben a komplex számok közötti muveleteket más színnel jelöljük, mint az

azonos nevu valós számok közötti muveleteket.

Összeadás:(a, b)+(c, d) := (a + c, b + d)

Szorzás:(a, b)·(c, d) := (ac − bd, ad + bc)

Az így kapott struktúra elemeit (a valós számpárokat) komplex számoknaknevezük, és az általuk alkotott halmazra bevezetjük a C jelölést.

A számpár elso elemét a komplex szám valós részének, a másodikelemét a komplex szám képzetes (imaginárius) részének nevezzük.

Két komplex szám pontosan akkor egyezik meg egymással, ha a valósés a képzetes részük is megegyezik.

































Muveleti tulajdonságok

A komplex számok halmaza mindkét muveletre zárt, hiszen ha a, b , c, dvalós számok, akkor a + c és b + d, illetve ac − bd és ad + bc is valósszámok.

A komplex számokon értelmezett összeadás

kommutatív

(a, b)+(c, d) = (a + c, b + d) = (c + a, d + b) = (c, d)+(a, b)

asszociatív((a, b)+(c, d)

)+(e, f) = (a + c, b + d)+(e, f) =

=((a + c) + e, (b + d) + f

)=

(a + (c + e), b + (d + f)

)=

= (a, b)+(c + e, d + f) = (a, b)+((c, d)+(e, f)

)Vajda István (Óbudai Egyetem) Analízis eloadások 2012. szeptember 10. 3 / 36



A komplex számok halmaza mindkét muveletre zárt, hiszen ha a, b , c, dvalós számok, akkor a + c és b + d, illetve ac − bd és ad + bc is valósszámok.

A komplex számokon értelmezett összeadás

kommutatív

(a, b)+(c, d) = (a + c, b + d) = (c + a, d + b) = (c, d)+(a, b)

asszociatív((a, b)+(c, d)

)+(e, f) = (a + c, b + d)+(e, f) =

=((a + c) + e, (b + d) + f

)=

(a + (c + e), b + (d + f)

)=

= (a, b)+(c + e, d + f) = (a, b)+((c, d)+(e, f)




A komplex számok összeadásának létezik neutrális eleme (zéruselem),mégpedig a (0, 0) komplex szám, hiszen ∀a, b ∈ R esetén:

(a, b)+(0, 0) = (a + 0, b + 0) = (a, b)

Minden komplex számnak létezik additív inverze, mert ∀a, b ∈ R esetén:

(a, b)+(−a,−b) =(a + (−a), b + (−b)

)= (0, 0)




A komplex számok összeadásának létezik neutrális eleme (zéruselem),mégpedig a (0, 0) komplex szám, hiszen ∀a, b ∈ R esetén:

(a, b)+(0, 0) = (a + 0, b + 0) = (a, b)

Minden komplex számnak létezik additív inverze, mert ∀a, b ∈ R esetén:

(a, b)+(−a,−b) =(a + (−a), b + (−b)

)= (0, 0)




A komplex számokon értelmezett szorzás

kommutatív

(a, b)·(c, d) = (ac − bd, ad + bc) = (ca − db , cb + da) = (c, d)·(a, b)

asszociatív((a, b)·(c, d)

)·(e, f) = (ac − bd, ad + bc)·(e, f) =

=((ac − bd)e − (ad + bc)f , (ac − bd)f + (ad + bc)e

)=

= (ace − bde − adf − bcf , acf − bdf + ade + bce) =

= (ace − adf − bcf − bde, acf + ade + bce − bdf) =

=(a(ce − df) − b(cf + de), a(cf + de) + b(ce − df)

)=

= (a, b)·(ce − df , cf + de

)= (a, b)·

((c, d)·(e, f)




A komplex számok szorzásának létezik neutrális eleme (egységelem),mégpedig az (1, 0) komplex szám, hiszen ∀a, b ∈ R esetén:

(a, b)·(1, 0) = (a · 1 − b · 0, a · 0 + b · 1) = (a, b)

Minden a (0, 0) számtól különbözo komplex számnak létezik multiplikatívinverze, mert ∀a, b ∈ R esetén:

(a, b)·

(a

a2 + b2,−

ba2 + b2

)= (1, 0)

Bizonyítás:

(a, b)·(

aa2 + b2

,−b

a2 + b2

)=

(a ·

aa2 + b2

− b ·(−

ba2 + b2

), a ·

(−

ba2 + b2

)+ b ·

aa2 + b2

)=

=

(a2

a2 + b2+

b2

a2 + b2,−

aba2 + b2

+ab

a2 + b2

)=

(a2 + b2

a2 + b2,−ab + aba2 + b2

)= (1, 0)





(a, b)·(1, 0) = (a · 1 − b · 0, a · 0 + b · 1) = (a, b)


(a, b)·

(a

a2 + b2,−

ba2 + b2

)= (1, 0)

Bizonyítás:

(a, b)·(

aa2 + b2

,−b

a2 + b2

)=

(a ·

aa2 + b2

− b ·(−

ba2 + b2

), a ·

(−

ba2 + b2

)+ b ·

aa2 + b2

)=

=

(a2

a2 + b2+

b2

a2 + b2,−

aba2 + b2

+ab

a2 + b2

)=

(a2 + b2

a2 + b2,−ab + aba2 + b2

)= (1, 0)





(a, b)·(1, 0) = (a · 1 − b · 0, a · 0 + b · 1) = (a, b)


(a, b)·

(a

a2 + b2,−

ba2 + b2

)= (1, 0)

Bizonyítás:

(a, b)·(

aa2 + b2

,−b

a2 + b2

)=

(a ·

aa2 + b2

− b ·(−

ba2 + b2

), a ·

(−

ba2 + b2

)+ b ·

aa2 + b2

)=

=

(a2

a2 + b2+

b2

a2 + b2,−

aba2 + b2

+ab

a2 + b2

)=

(a2 + b2

a2 + b2,−ab + aba2 + b2

)= (1, 0)




A komplex számok szorzására és összeadására érvényes a következodisztributív szabály:

(a, b)·((c, d)+(e, f)

)= (a, b)·(c, d)+(a, b)·(e, f)

Bizonyítás: A bal és jobboldal egyenlo, mert:

(a, b)·((c, d)+(e, f)

)= (a, b)·(c + e, d + f) =

=(a(c+e)−b(d+f), a(d+f)+b(c+e)

)= (ac+ae−bd−bf , ad+af+bc+be)

és

(a, b)·(c, d)+(a, b)·(e, f) = (ac − bd, ad + bc)+(ae − bf , af + be) =

= (ac − bd + ae − bf , ad + bc + af + be) =

= (ac + ae − bd − bf , ad + af + bc + be)



Ábrázolás

A valós számpároknak megfeleltet-hetjük a koordinátasík egy-egy pont-ját, illetve az ahhoz tartozó helyvek-tort.

A komplex számot gyakran jelölik z-vel.A komplex szám valós része egyenloaz ábrázoló vektor, illetve pont elsokoordinátájával, képzetes része pe-dig azok második koordinátájával.

valós tengely

képzetes tengely

z = (a, b)

a

b

valós rész

képzetes rész



Ábrázolás

A valós számpároknak megfeleltet-hetjük a koordinátasík egy-egy pont-ját, illetve az ahhoz tartozó helyvek-tort.

A komplex számot gyakran jelölik z-vel.A komplex szám valós része egyenloaz ábrázoló vektor, illetve pont elsokoordinátájával, képzetes része pe-dig azok második koordinátájával.

valós tengely

képzetes tengely

z = (a, b)

a

b

valós rész

képzetes rész



A komplex szám abszolút értéke és irányszöge

A komplex számot ábrázoló vektorhosszát a komplex szám abszolút ér-tékének nevezzük.A z = (a, b) komplex szám abszolútértéke Pithagorasz tétele alapján:

|z| =√

a2 + b2 valós tengely

képzetes tengely

z = (a, b)

a

b

ϕ

A valós tengely pozitív fele és a komplex számot ábrázoló vektor általmeghatározott irányított szöget a komplex szám irányszögének,(argumentumának) nevezzük.A komplex szám irányszöge nem egyértelmu, a lehetséges irányszögeka teljesszög egész számú többszörösével térnek el egymástól.



A komplex szám abszolút értéke és irányszöge

A komplex számot ábrázoló vektorhosszát a komplex szám abszolút ér-tékének nevezzük.A z = (a, b) komplex szám abszolútértéke Pithagorasz tétele alapján:

|z| =√

a2 + b2 valós tengely

képzetes tengely

z = (a, b)

a

b

ϕ

A valós tengely pozitív fele és a komplex számot ábrázoló vektor általmeghatározott irányított szöget a komplex szám irányszögének,(argumentumának) nevezzük.A komplex szám irányszöge nem egyértelmu, a lehetséges irányszögeka teljesszög egész számú többszörösével térnek el egymástól.


Komplex számok A komplex számok algebrai alakja

Az algebrai alak bevezetése

Tekintsük a komplex számok halmazának S = {z|z ∈ C, Im(z) = 0}részhalmazát! Ennek elemei (a, 0) alakúak, ahol a ∈ R. Mivel

(a, 0)+(b , 0) = (a + b , 0 + 0) = (a + b , 0)

és(a, 0)·(b , 0) = (ab − 0 · 0, a · 0 + 0 · b) = (ab , 0),

ezért a ϕ : S → R, (a, 0) 7→ a függvény egy muvelettartó, kölcsönösenegyértelmu leképezés S és R között.

A továbbiakban S elemeit (a, 0) helyett egyszeruen a-val jelöljük.




Jelölés: Vezessük be a j = (0, 1) jelölést! (Ezt a számot szokás képzetes(imaginárius) egységnek nevezni.Könnyen ellenorizheto, hogy j2 = −1. Valóban:

(0, 1)·(0, 1) = (0 · 0 − 1 · 1, 0 · 1 + 1 · 0) = (−1, 0)

Tekintsük a komplex számok halmazának T = {z|z ∈ C,Re(z) = 0}részhalmazát! Ennek elemei (0, b) alakúak, ahol b ∈ R. Mivel

(b , 0)·(0, 1) = (b · 0 − 0 · 1, b · 1 + 0 · 0) = (0, b),

ezért (0, b) helyett használhatjuk a bj jelölést.Figyeljük meg, hogy

bj+dj = (0, b)+(0, d) = (0, b + d) = (b + d)j

ésa+bj = (a, 0)+(0, b) = (a, b)





(0, 1)·(0, 1) = (0 · 0 − 1 · 1, 0 · 1 + 1 · 0) = (−1, 0)


(b , 0)·(0, 1) = (b · 0 − 0 · 1, b · 1 + 0 · 0) = (0, b),


bj+dj = (0, b)+(0, d) = (0, b + d) = (b + d)j

ésa+bj = (a, 0)+(0, b) = (a, b)





(0, 1)·(0, 1) = (0 · 0 − 1 · 1, 0 · 1 + 1 · 0) = (−1, 0)


(b , 0)·(0, 1) = (b · 0 − 0 · 1, b · 1 + 0 · 0) = (0, b),


bj+dj = (0, b)+(0, d) = (0, b + d) = (b + d)j

ésa+bj = (a, 0)+(0, b) = (a, b)





(0, 1)·(0, 1) = (0 · 0 − 1 · 1, 0 · 1 + 1 · 0) = (−1, 0)


(b , 0)·(0, 1) = (b · 0 − 0 · 1, b · 1 + 0 · 0) = (0, b),


bj+dj = (0, b)+(0, d) = (0, b + d) = (b + d)j

ésa+bj = (a, 0)+(0, b) = (a, b)



Az algebrai alak

Az (a, b) komplex szám algebrai (kanonikus) alakján az

a + bj

kifejezést értjük. Ebben a a komplex szám valós része, b a komplex számképzetes része és j az imaginárius egység.Az algebrai alak elonye, hogy az algebrai kifejezéseknél megszokottszabályoknak megfeleloen számolhatunk vele.



Összeadás algebrai alakban megadott komplexszámokkal

(a + bj) + (c + dj) = (a + c) + (b + d)j

Azaz az összeadás során a valós és a képzetes részek is összeadódnak.

valós tengely

képzetes tengely

z1

z2

z1 + z2

A komplex számok összeadásátszemléltethetjük az oket ábrázolóvektorok összeadásával.

Példa:

(3 + j) + (−2 + 3j) = 1 + 4j




(a + bj) + (c + dj) = (a + c) + (b + d)j


valós tengely

képzetes tengely

z1

z2

z1 + z2


Példa:

(3 + j) + (−2 + 3j) = 1 + 4j




(a + bj) + (c + dj) = (a + c) + (b + d)j


valós tengely

képzetes tengely

z1

z2

z1 + z2


Példa:

(3 + j) + (−2 + 3j) = 1 + 4j



Kivonás algebrai alakban megadott komplex számokkal

(a + bj) − (c + dj) = (a − c) + (b − d)j

valós tengely

képzetes tengely

z1

z2

z2 − z1

A komplex számok kivonását szem-léltethetjük az oket ábrázoló vektorokkivonásával.

Példa:

(−2 + 3j) − (3 + j) = −5 + 2j




(a + bj) − (c + dj) = (a − c) + (b − d)j

valós tengely

képzetes tengely

z1

z2

z2 − z1


Példa:

(−2 + 3j) − (3 + j) = −5 + 2j




(a + bj) − (c + dj) = (a − c) + (b − d)j

valós tengely

képzetes tengely

z1

z2

z2 − z1


Példa:

(−2 + 3j) − (3 + j) = −5 + 2j



Szorzás algebrai alakban megadott komplex számokkal

(a + bj)(c + dj) = (ac − bd) + (ad + bc)j

ac −bd

bcj

adj

Példa:(6 − 5j)(−1 + 3j) = −6 + 15 + 18j + 5j = 9 + 23j

Figyeljük meg, hogy:

|6 − 5j| · | − 1 + 3j| =√

36 + 25 ·√

1 + 9 =√

61 ·√

10 =√

610 =

=√

81 + 529 =√

92 + 232 = |9 + 23j|





ac −bd

bcj

adj

Példa:(6 − 5j)(−1 + 3j) = −6 + 15 + 18j + 5j = 9 + 23j


|6 − 5j| · | − 1 + 3j| =√

36 + 25 ·√

1 + 9 =√

61 ·√

10 =√

610 =

=√

81 + 529 =√

92 + 232 = |9 + 23j|





ac −bd

bcj

adj

Példa:(6 − 5j)(−1 + 3j) = −6 + 15 + 18j + 5j = 9 + 23j


|6 − 5j| · | − 1 + 3j| =√

36 + 25 ·√

1 + 9 =√

61 ·√

10 =√

610 =

=√

81 + 529 =√

92 + 232 = |9 + 23j|




A szorzás szemléltetése speciális esetekben: Ha az egyik tényezo valós(képzetes része 0):

a · (c + dj) = ac + adj

A szorzatot ábrázoló vektort a z = c + dj-t ábrázoló vektorból a arányúközéppontos hasonlósági transzformációval nyerjük.

vt

kt

c

d

2c

2d

−c

−d

2z

z

−z




A szorzás szemléltetése speciális esetekben: Ha az egyik tényezo valós(képzetes része 0):

a · (c + dj) = ac + adj

A szorzatot ábrázoló vektort a z = c + dj-t ábrázoló vektorból a arányúközéppontos hasonlósági transzformációval nyerjük.

vt

kt

c

d

2c

2d

−c

−d

2z

z

−z




A szorzás szemléltetése speciális esetekben: Ha az egyik tényezo j:

j · (c + dj) = cj + dj2 = −d + cj

A szorzatot ábrázoló vektort a z = c + dj-t ábrázoló vektorból 90◦-osforgatással nyerjük.

vt

kt

−d

cjz

c

dz

Megjegyzés: Ha az egyik tényezo bj alakú(b ∈ R), akkor a szorzás asszociatív tulaj-donsága miatt (bj)z = b(jz), tehát a szor-zathoz tartozó vektort a z-t ábrázoló vek-torból egy 90◦-os elforgatás és egy b ará-nyú középpontos hasonlóság egymásutánalkalmazásával nyerjük.





j · (c + dj) = cj + dj2 = −d + cj


vt

kt

−d

cjz

c

dz






j · (c + dj) = cj + dj2 = −d + cj


vt

kt

−d

cjz

c

dz





A szorzás szemléltetése:

(a + bj) · z = az + bjz

a + bj

z

az

bjz

(a + bj)z

vt

kt

αα β

Az ábrán árnyalással jelzett két háromszöghasonló, mert

mindegyiknek van egy derékszöge,

a derékszögeket közrefogó oldalakaránya a két háromszögbenmegegyezik.

A két háromszög hasonlósági aránya |z|.




A szorzás szemléltetése:

(a + bj) · z = az + bjz

a + bj

z

az

bjz

(a + bj)z

vt

kt

αα β

Ezzel azt mutattuk meg, hogy

két komplex szám szorzatának abszolútértéke megegyezik az eredeti komplexszámok abszolút értékeinek szorzatával,

két komplex szám szorzatának irányszögemegegyezik az eredeti komplex számokirányszögeinek összegével.

Megjegyzés: Ha a szorzó irányszöge nemhegyesszög, akkor a bizonyítás menete kismértékben módosul.




Az elobbi eredmények a következo algebrai formában is leírhatók:

∀z1, z2 ∈ C : |z1z2| = |z1| · |z2|,

illetve∀z1, z2 ∈ C : arg(z1z2) = arg(z1) + arg(z2)

(a teljesszög egész számú többszöröseitol eltekintve).



Osztás algebrai alakban megadott komplex számokkal

Osztás:Ha az osztó 0-tól külöbözo valós szám, akkor az osztás tagonkéntelvégezheto:

a + bjc

=ac

+bc

j

Ha az osztó képzetes része nem 0, akkor a törtet eloször alkalmaskifejezéssel bovítjük, így visszavezetjük az elozo esetre:

a + bjc + dj

=a + bjc + dj

·c − djc − dj

=ac − adj + bcj + bd

c2 − (dj)2=

=(ac + bd) + (bc − ad)j

c2 + d2=

ac + bdc2 + d2

+bc − adc2 + d2

j

Példa:4 + 3j2 + 5j

=4 + 3j2 + 5j

·2 − 5j2 − 5j

=8 − 20j + 6j + 15

4 − (5j)2=

23 − 14j29



Osztás algebrai alakban megadott komplex számokkal

Osztás:Ha az osztó 0-tól külöbözo valós szám, akkor az osztás tagonkéntelvégezheto:

a + bjc

=ac

+bc

j

Ha az osztó képzetes része nem 0, akkor a törtet eloször alkalmaskifejezéssel bovítjük, így visszavezetjük az elozo esetre:

a + bjc + dj

=a + bjc + dj

·c − djc − dj

=ac − adj + bcj + bd

c2 − (dj)2=

=(ac + bd) + (bc − ad)j

c2 + d2=

ac + bdc2 + d2

+bc − adc2 + d2

j

Példa:4 + 3j2 + 5j

=4 + 3j2 + 5j

·2 − 5j2 − 5j

=8 − 20j + 6j + 15

4 − (5j)2=

23 − 14j29



A komplex konjugált

Definíció: Az a − bj komplex számot a z = a + bj komplex számkonjugáltjának nevezzük és z-vel jelöljük.

vt

ktz

z

b

a

−b

ϕ

−ϕ

Megjegyzések:

Az algebrai alakban megadott komplexszám konjugáltját tehát úgy kapjuk, hogy aképzetes részét az ellentettjére változtatjuk.

A komplex szám konjugáltjának abszolútértéke megegyezik az eredeti szám abszolútértékével: |z| = |z|.

A komplex szám konjugáltjának irányszögeaz eredeti komplex szám irányszögénekellentettje (a teljesszög egész számútöbbszöröseitol eltekintve).



A komplex konjugált

Definíció: Az a − bj komplex számot a z = a + bj komplex számkonjugáltjának nevezzük és z-vel jelöljük.

vt

ktz

z

b

a

−b

ϕ

−ϕ

Megjegyzések:

Az algebrai alakban megadott komplexszám konjugáltját tehát úgy kapjuk, hogy aképzetes részét az ellentettjére változtatjuk.

A komplex szám konjugáltjának abszolútértéke megegyezik az eredeti szám abszolútértékével: |z| = |z|.

A komplex szám konjugáltjának irányszögeaz eredeti komplex szám irányszögénekellentettje (a teljesszög egész számútöbbszöröseitol eltekintve).



Hatványozás

Definíció: Ha n ∈ Z és n ≥ 1, akkor a z ∈ C szám n-edik hatványán az · z · . . . · z szorzatot értjük, amely pontosan n tényezot tartalmaz ésminden tényezoje z-vel egyenlo.

Jelölés: Az így értelmezett hatványt zn-nel jelöljük.

Definíció: z0 := 1

A j szám hatványai: j0 = 1, j1 = j, j2 = −1

j3 = j2 · j = (−1) · j = −j, j4 = j2 · j2 = (−1) · (−1) = 1

j5 = j4 · j = 1 · j = j, j6 = j4 · j2 = 1 · (−1) = −1, . . .

Látható, hogy a j hatványai periodikusan ismétlodnek:

jn =

1 ha n osztható 4-gyel,j ha n 4-gyel osztva 1 maradékot ad,−1 ha n 4-gyel osztva 2 maradékot ad,−j ha n 4-gyel osztva 3 maradékot ad.



Hatványozás





j3 = j2 · j = (−1) · j = −j, j4 = j2 · j2 = (−1) · (−1) = 1

j5 = j4 · j = 1 · j = j, j6 = j4 · j2 = 1 · (−1) = −1, . . .


jn =




Hatványozás





j3 = j2 · j = (−1) · j = −j, j4 = j2 · j2 = (−1) · (−1) = 1

j5 = j4 · j = 1 · j = j, j6 = j4 · j2 = 1 · (−1) = −1, . . .


jn =




Hatványozás

Tétel: Binomiális tétel

(a + b)n =

(n0

)an +

(n1

)an−1b +

(n2

)an−2b2 + . . . +

(nn

)bn

ahol(nk

)-t binomiális együtthatónak nevezzük.

Jelentése: hány k -elemu részhalmaza van egy n-elemu halmaznak?

Kiszámítása pl. az (nk

)=

n!

k !(n − k)!

összefüggés segítségével történhet, ahol

n! := 1 · 2 · 3 · . . . · n



Hatványozás

Példák:

(2 + 3j)2 = 22 + 2 · 2 · 3j + (3j)2 = 4 + 12j − 9 = −5 + 12j

(3 − 2j)3 = 33 − 3 · 32 · 2j + 3 · 3 · (2j)2 − (2j)3 == 27 − 54j − 36 + 8j = −9 − 46j

(1 + j)10 =

(100

)+

(101

)j +

(102

)j2 +

(103

)j3 + . . . +

(1010

)j10 =

=

(100

)−

(102

)+

(104

)−

(106

)+

(108

)−

(1010

)+((

101

)−

(103

)+

(105

)−

(107

)+

(109

))j = 32j



Hatványozás

Példák:

(2 + 3j)2 = 22 + 2 · 2 · 3j + (3j)2 = 4 + 12j − 9 = −5 + 12j

(3 − 2j)3 = 33 − 3 · 32 · 2j + 3 · 3 · (2j)2 − (2j)3 == 27 − 54j − 36 + 8j = −9 − 46j

(1 + j)10 =

(100

)+

(101

)j +

(102

)j2 +

(103

)j3 + . . . +

(1010

)j10 =

=

(100

)−

(102

)+

(104

)−

(106

)+

(108

)−

(1010

)+((

101

)−

(103

)+

(105

)−

(107

)+

(109

))j = 32j



Hatványozás

Példák:

(2 + 3j)2 = 22 + 2 · 2 · 3j + (3j)2 = 4 + 12j − 9 = −5 + 12j

(3 − 2j)3 = 33 − 3 · 32 · 2j + 3 · 3 · (2j)2 − (2j)3 == 27 − 54j − 36 + 8j = −9 − 46j

(1 + j)10 =

(100

)+

(101

)j +

(102

)j2 +

(103

)j3 + . . . +

(1010

)j10 =

=

(100

)−

(102

)+

(104

)−

(106

)+

(108

)−

(1010

)+((

101

)−

(103

)+

(105

)−

(107

)+

(109

))j = 32j


Komplex számok A komplex számok trigonometrikus alakja

A trigonometrikus alak

vt

kt

z = a + bj

a

b

ϕ

r

A szögfüggvények definíciója alapján az = a + bj komplex szám valós ré-sze a = r cos(ϕ), képzetes része pe-dig b = r sin(ϕ), ahol r = |z| a komplexszám abszolút értéke, ϕ pedig az irány-szöge.

Tehát z = r cos(ϕ) + r sin(ϕ)j, azaz

z = r(cos(ϕ) + j sin(ϕ)

)Az utóbbit a z komplex szám trigonometrikus alakjának nevezzük.

Megjegyzés: Figyeljük meg, hogy a trigonometrikus alak felírásához akomplex számot ábrázoló vektor polárkoordinátáira van szükség!




vt

kt

z = a + bj

a

b

ϕ

r









vt

kt

z = a + bj

a

b

ϕ

r








Átváltás a trigonometrikus és az algebrai alak között

trigonometrikus→ algebrai

A trigonometrikus alakból az algebrai alakot megkapjuk, ha aszögfüggvények értékeit behelyettesítjük, majd a kifejezést egyszerubbalakra hozzuk.

Példák:

2(cos(30◦) + j sin(30◦)

)= 2

( √3

2 + 12 j)

=√

3 + j ≈ 1.73 + j

13(cos(213◦) + j sin(213◦)

)≈ 13(−0.839 − 0.545j) = −10.9 − 7.09j

7.5(cos

(π5

)+ j sin

(π5

))≈ 7.5(0.809 + 0.588) = 6.07 + 4.41j

2(cos(30) + j sin(30)

)≈ 2(0.154 − 0.988j) ≈ 0.308 − 1.98






Példák:

2(cos(30◦) + j sin(30◦)

)= 2

( √3

2 + 12 j)

=√

3 + j ≈ 1.73 + j

13(cos(213◦) + j sin(213◦)

)≈ 13(−0.839 − 0.545j) = −10.9 − 7.09j

7.5(cos

(π5

)+ j sin

(π5

))≈ 7.5(0.809 + 0.588) = 6.07 + 4.41j

2(cos(30) + j sin(30)

)≈ 2(0.154 − 0.988j) ≈ 0.308 − 1.98






Példák:

2(cos(30◦) + j sin(30◦)

)= 2

( √3

2 + 12 j)

=√

3 + j ≈ 1.73 + j

13(cos(213◦) + j sin(213◦)

)≈ 13(−0.839 − 0.545j) = −10.9 − 7.09j

7.5(cos

(π5

)+ j sin

(π5

))≈ 7.5(0.809 + 0.588) = 6.07 + 4.41j

2(cos(30) + j sin(30)

)≈ 2(0.154 − 0.988j) ≈ 0.308 − 1.98






Példák:

2(cos(30◦) + j sin(30◦)

)= 2

( √3

2 + 12 j)

=√

3 + j ≈ 1.73 + j

13(cos(213◦) + j sin(213◦)

)≈ 13(−0.839 − 0.545j) = −10.9 − 7.09j

7.5(cos

(π5

)+ j sin

(π5

))≈ 7.5(0.809 + 0.588) = 6.07 + 4.41j

2(cos(30) + j sin(30)

)≈ 2(0.154 − 0.988j) ≈ 0.308 − 1.98






Példák:

2(cos(30◦) + j sin(30◦)

)= 2

( √3

2 + 12 j)

=√

3 + j ≈ 1.73 + j

13(cos(213◦) + j sin(213◦)

)≈ 13(−0.839 − 0.545j) = −10.9 − 7.09j

7.5(cos

(π5

)+ j sin

(π5

))≈ 7.5(0.809 + 0.588) = 6.07 + 4.41j

2(cos(30) + j sin(30)

)≈ 2(0.154 − 0.988j) ≈ 0.308 − 1.98




algebrai→ trigonometrikus

Az algebrai alakból kiszámíthatjuk a komplex szám abszolút értékét ésirányszögét, majd ezek segítségével felírhatjuk a trigonometrikus alakot.

Példa:

vt

ktz

−1

4

ϕ






Példa:

vt

ktz

−1

4

ϕ

Legyen z = −1 + 4j

Ekkor z abszolút értéke:

|z| =√

a2 + b2 =√

(−1)2 + 42 =√

17 ≈ 4.12






Példa:

vt

ktz

−1

4

ϕ

Az irányszög:

tg(ϕ) =4−1

= −4

Innen:

ϕ ≈ −76◦ + k · 180◦ ahol k ∈ Z






Példa:

vt

ktz

−1

4

ϕ

Megjegyzés: A számológép a ≈ −76◦

alapmegoldást adja meg, de tudjuk, hogy végtelensok megoldás van, hiszen a tangensfüggvényperiodikus.

A ≈ −76◦ nem lehet a komplex számnak irányszöge,hiszen a komplex számot ábrázoló vektor a II.síknegyedbe esik. A k helyébe 1-et írva azonban akapott ≈ 104◦ már helyes.






Példa:

vt

ktz

−1

4

ϕ

A trigonometrikus alak tehát:

z ≈ 4.12(cos(104◦) + j sin(104◦)

)



Összeadás és kivonás

Trigonometrikus alakban nem végezhetok el. Két ilyen számösszeadásához (kivonásához) eloször át kell írni oket algebrai alakba:

Példa:

z1 = 3(cos(40◦) + j sin(40◦)

), z2 = 5

(cos(154◦) + j sin(154◦)

)z1 = 3

(cos(40◦) + j sin(40◦)

)≈ 3 (0.766 + 0.643j) = 2.3 + 1.93j

z2 = 5(cos(154◦) + j sin(154◦)

)≈ 5 (−0.899 + 0.483j) = −4.5 + 2.19j

z1 + z2 = (2.3 + 1.93) + (−4.5 + 2.19)j = −2.2 + 4.12j

z1 − z2 = (2.3 + 1.93) − (−4.5 + 2.19)j = 6.8 − 0.26j





Példa:

z1 = 3(cos(40◦) + j sin(40◦)

), z2 = 5

(cos(154◦) + j sin(154◦)

)z1 = 3

(cos(40◦) + j sin(40◦)

)≈ 3 (0.766 + 0.643j) = 2.3 + 1.93j

z2 = 5(cos(154◦) + j sin(154◦)

)≈ 5 (−0.899 + 0.483j) = −4.5 + 2.19j

z1 + z2 = (2.3 + 1.93) + (−4.5 + 2.19)j = −2.2 + 4.12j

z1 − z2 = (2.3 + 1.93) − (−4.5 + 2.19)j = 6.8 − 0.26j





Példa:

z1 = 3(cos(40◦) + j sin(40◦)

), z2 = 5

(cos(154◦) + j sin(154◦)

)z1 = 3

(cos(40◦) + j sin(40◦)

)≈ 3 (0.766 + 0.643j) = 2.3 + 1.93j

z2 = 5(cos(154◦) + j sin(154◦)

)≈ 5 (−0.899 + 0.483j) = −4.5 + 2.19j

z1 + z2 = (2.3 + 1.93) + (−4.5 + 2.19)j = −2.2 + 4.12j

z1 − z2 = (2.3 + 1.93) − (−4.5 + 2.19)j = 6.8 − 0.26j





Példa:

z1 = 3(cos(40◦) + j sin(40◦)

), z2 = 5

(cos(154◦) + j sin(154◦)

)z1 = 3

(cos(40◦) + j sin(40◦)

)≈ 3 (0.766 + 0.643j) = 2.3 + 1.93j

z2 = 5(cos(154◦) + j sin(154◦)

)≈ 5 (−0.899 + 0.483j) = −4.5 + 2.19j

z1 + z2 = (2.3 + 1.93) + (−4.5 + 2.19)j = −2.2 + 4.12j

z1 − z2 = (2.3 + 1.93) − (−4.5 + 2.19)j = 6.8 − 0.26j





Példa:

z1 = 3(cos(40◦) + j sin(40◦)

), z2 = 5

(cos(154◦) + j sin(154◦)

)z1 = 3

(cos(40◦) + j sin(40◦)

)≈ 3 (0.766 + 0.643j) = 2.3 + 1.93j

z2 = 5(cos(154◦) + j sin(154◦)

)≈ 5 (−0.899 + 0.483j) = −4.5 + 2.19j

z1 + z2 = (2.3 + 1.93) + (−4.5 + 2.19)j = −2.2 + 4.12j

z1 − z2 = (2.3 + 1.93) − (−4.5 + 2.19)j = 6.8 − 0.26j





Példa:

z1 = 3(cos(40◦) + j sin(40◦)

), z2 = 5

(cos(154◦) + j sin(154◦)

)z1 = 3

(cos(40◦) + j sin(40◦)

)≈ 3 (0.766 + 0.643j) = 2.3 + 1.93j

z2 = 5(cos(154◦) + j sin(154◦)

)≈ 5 (−0.899 + 0.483j) = −4.5 + 2.19j

z1 + z2 = (2.3 + 1.93) + (−4.5 + 2.19)j = −2.2 + 4.12j

z1 − z2 = (2.3 + 1.93) − (−4.5 + 2.19)j = 6.8 − 0.26j



Szorzás

Ha z1 = r1

(cos(ϕ1) + j sin(ϕ1)

)és z2 = r2


), akkor

z1z2 = r1r2

(cos(ϕ1 + ϕ2) + j sin(ϕ1 + ϕ2)

)Bizonyítás: Korábban megmutattuk, hogy a szorzat abszolút értéke atényezok abszolút értékeinek szorzata és a szorzat irányszöge a tényezokirányszögeinek összege.

Példa:

4(cos(176◦) + j sin(176◦)

)· 6

(cos(251◦) + j sin(251◦

)=

= 24(cos(427◦) + j sin(427◦)

)= 24

(cos(67◦) + j sin(67◦)

)



Szorzás

Ha z1 = r1


)és z2 = r2


), akkor

z1z2 = r1r2

(cos(ϕ1 + ϕ2) + j sin(ϕ1 + ϕ2)


Példa:

4(cos(176◦) + j sin(176◦)

)· 6

(cos(251◦) + j sin(251◦

)=

= 24(cos(427◦) + j sin(427◦)

)= 24

(cos(67◦) + j sin(67◦)

)



Szorzás

Ha z1 = r1


)és z2 = r2


), akkor

z1z2 = r1r2

(cos(ϕ1 + ϕ2) + j sin(ϕ1 + ϕ2)


Példa:

4(cos(176◦) + j sin(176◦)

)· 6

(cos(251◦) + j sin(251◦

)=

= 24(cos(427◦) + j sin(427◦)

)= 24

(cos(67◦) + j sin(67◦)

)



Osztás

Ha z1 = r1


)és z2 = r2


), akkor

z1

z2=

r1

r2

(cos(ϕ1 − ϕ2) + j sin(ϕ1 + ϕ2)

)Bizonyítás: Legyen

z1

z2= z = r

(cos(ϕ) + j sin(ϕ)

).

Átrendezve: z1 = z2z. A szorzásra vonatkozó szabály miatt

r1 = r2r ⇒ r =r1

r2és ϕ1 = ϕ2 + ϕ⇒ ϕ = ϕ1 − ϕ2.

Példa:

4(cos(176◦) + j sin(176◦)

)6(cos(251◦) + j sin(251◦

) =

=23·(cos(−75◦) + j sin(−75◦)

)=

23

(cos(285◦) + j sin(285◦)



Osztás

Ha z1 = r1


)és z2 = r2


), akkor

z1

z2=

r1

r2

(cos(ϕ1 − ϕ2) + j sin(ϕ1 + ϕ2)


z1

z2= z = r


).


r1 = r2r ⇒ r =r1

r2és ϕ1 = ϕ2 + ϕ⇒ ϕ = ϕ1 − ϕ2.

Példa:

4(cos(176◦) + j sin(176◦)

)6(cos(251◦) + j sin(251◦

) =

=23·(cos(−75◦) + j sin(−75◦)

)=

23

(cos(285◦) + j sin(285◦)



Osztás

Ha z1 = r1


)és z2 = r2


), akkor

z1

z2=

r1

r2

(cos(ϕ1 − ϕ2) + j sin(ϕ1 + ϕ2)


z1

z2= z = r


).


r1 = r2r ⇒ r =r1

r2és ϕ1 = ϕ2 + ϕ⇒ ϕ = ϕ1 − ϕ2.

Példa:

4(cos(176◦) + j sin(176◦)

)6(cos(251◦) + j sin(251◦

) =

=23·(cos(−75◦) + j sin(−75◦)

)=

23

(cos(285◦) + j sin(285◦)



Hatványozás

Ha z = r(cos(ϕ) + j sin(ϕ)

)és n pozitív egész szám, akkor

zn = rn(cos(nϕ) + j sin(nϕ)

)Bizonyítás: (Teljes indukcióval)

Ha n = 1, akkor az állítás nyilvánvalóan igaz.

Ha az állítás igaz n = k -ra, azaz zk = rk(cos(kϕ) + j sin(kϕ)

), akkor

a szorzásra vonatkozó szabály alapján bizonyíthatjuk, hogyn = k + 1-re is igaz:

zk+1 = zk · z = rk(cos(kϕ) + j sin(kϕ)

)· r


)=

= rk · r(cos(kϕ + ϕ) + j sin(kϕ + ϕ)

)=

= rk+1(cos((k + 1)ϕ) + j sin((k + 1)ϕ)



Hatványozás

Ha z = r(cos(ϕ) + j sin(ϕ)

)és n pozitív egész szám, akkor

zn = rn(cos(nϕ) + j sin(nϕ)

)Bizonyítás: (Teljes indukcióval)

Ha n = 1, akkor az állítás nyilvánvalóan igaz.

Ha az állítás igaz n = k -ra, azaz zk = rk(cos(kϕ) + j sin(kϕ)

), akkor

a szorzásra vonatkozó szabály alapján bizonyíthatjuk, hogyn = k + 1-re is igaz:

zk+1 = zk · z = rk(cos(kϕ) + j sin(kϕ)

)· r


)=

= rk · r(cos(kϕ + ϕ) + j sin(kϕ + ϕ)

)=

= rk+1(cos((k + 1)ϕ) + j sin((k + 1)ϕ)



Addíciós tételek

Legyen u = cos(α) + j sin(α) és v = cos(β) + j sin(β).Számítsuk ki az uv szorzatot kétféleképpen:

uv = cos(α + β) + j sin(α + β)

és

uv =(cos(α) + j sin(α)

)(cos(β) + j sin(β)

)=

=(cos(α) cos(β) − sin(α) sin(β)

)+

(sin(α) cos(β) + cos(α) sin(β)

)j

Összehasonlítva a két eredményt kapjuk, hogy

cos(α + β) = cos(α) cos(β) − sin(α) sin(β)

éssin(α + β) = sin(α) cos(β) + cos(α) sin(β)



Addíciós tételek



és



)=


)+


)j






Addíciós tételek



és



)=


)+


)j






Gyökvonás

Legyen z = r(cos(ϕ) + j sin(ϕ)

)és n pozitív egész.

Definíció: n√z (a z komplex szám n-edik gyöke) jelentsen olyan komplexszámot, amelynek n-edik hatványa z.

Legyen n√z = u = %(cos(α) + j sin(α)

)r(cos(ϕ) + j sin(ϕ)

)= z = un = %n

(cos(nα) + j sin(nα)

)Innen r = %n ⇒ % = n√r és

nα = ϕ + k · 360◦ ⇒ α =ϕ + k · 360◦

n, ahol k ∈ Z.

Megjegyzés: Bár k helyébe végtelen sok (egész) számot írhatunk, a kapott megoldásoknem mind különböznek. Ha k két lehetséges értéke között a különbség n töbszöröse,akkor a megfelelo α értékek 360◦ többszörösével térnek el egymástól, azaz ugyan-annak a komplex számnak az irányszögei. Ezért elég k helyébe a 0, 1, 2, . . . , n − 1értékeket helyettesíteni, így megkapjuk a z szám összes (n darab) n-edik gyökét.



Gyökvonás






)= z = un = %n



nα = ϕ + k · 360◦ ⇒ α =ϕ + k · 360◦

n, ahol k ∈ Z.




Gyökvonás






)= z = un = %n



nα = ϕ + k · 360◦ ⇒ α =ϕ + k · 360◦

n, ahol k ∈ Z.




Gyökvonás

Példa: A z = 32(cos(200◦) + j sin(200◦)

)komplex szám ötödik gyökei:

uk =5√z = 2

(cos(40◦ + k · 72◦) + j sin(40◦ + k · 72◦)

)k ∈ {0, 1, 2, 3, 4}

vt

kt

−2 −1 1 2

−2

−1

1

2

40◦



Gyökvonás

Példa: A z = 32(cos(200◦) + j sin(200◦)

)komplex szám ötödik gyökei:

uk =5√z = 2

(cos(40◦ + k · 72◦) + j sin(40◦ + k · 72◦)

)k ∈ {0, 1, 2, 3, 4}

vt

kt

−2 −1 1 2

−2

−1

1

2

40◦


Komplex számok A komplex számok exponenciális alakja

Az exponenciális alak

A z = r(cos(ϕ) + j sin(ϕ)

)komplex számot

z = re jϕ

exponenciális alakban is felírhatjuk.

Megjegyzés: Az exponenciális alakban az irányszöget mindig ívmértékben(radiánban) fejezzük ki.

Példa: 4(cos(70◦) + j sin(70◦)

)= 4e

7π18 j





)komplex számot

z = re jϕ




)= 4e

7π18 j





)komplex számot

z = re jϕ




)= 4e

7π18 j



Muveletek exponenciális alakban

Exponenciális alakban ugyanazok a muveletek végezhetok el, minttrigonometrikus alakban. A szokásos algebrai és hatványozásiazonosságok használhatók.

Példák:

2eπ3 j · 3e

π4 j = 6e( π

3+π4 )j = 6e

7π12 j

8eπ

12 j

6e4π3 j

=43

e( π12−

4π3 )j =

43

e−5π4 j =

43

e3π4 j

(3e

13π11 j

)7= 37e

91π11 j = 2187e

311 j

4√81e

6π5 j =

4√81e6π5 +2kπ

4 j = 3e( 3π10+k · π2 )j k ∈ {0, 1, 2, 3}





Példák:

2eπ3 j · 3e

π4 j = 6e( π

3+π4 )j = 6e

7π12 j

8eπ

12 j

6e4π3 j

=43

e( π12−

4π3 )j =

43

e−5π4 j =

43

e3π4 j

(3e

13π11 j

)7= 37e

91π11 j = 2187e

311 j

4√81e

6π5 j =

4√81e6π5 +2kπ

4 j = 3e( 3π10+k · π2 )j k ∈ {0, 1, 2, 3}





Példák:

2eπ3 j · 3e

π4 j = 6e( π

3+π4 )j = 6e

7π12 j

8eπ

12 j

6e4π3 j

=43

e( π12−

4π3 )j =

43

e−5π4 j =

43

e3π4 j

(3e

13π11 j

)7= 37e

91π11 j = 2187e

311 j

4√81e

6π5 j =

4√81e6π5 +2kπ

4 j = 3e( 3π10+k · π2 )j k ∈ {0, 1, 2, 3}





Példák:

2eπ3 j · 3e

π4 j = 6e( π

3+π4 )j = 6e

7π12 j

8eπ

12 j

6e4π3 j

=43

e( π12−

4π3 )j =

43

e−5π4 j =

43

e3π4 j

(3e

13π11 j

)7= 37e

91π11 j = 2187e

311 j

4√81e

6π5 j =

4√81e6π5 +2kπ

4 j = 3e( 3π10+k · π2 )j k ∈ {0, 1, 2, 3}





Példák:

2eπ3 j · 3e

π4 j = 6e( π

3+π4 )j = 6e

7π12 j

8eπ

12 j

6e4π3 j

=43

e( π12−

4π3 )j =

43

e−5π4 j =

43

e3π4 j

(3e

13π11 j

)7= 37e

91π11 j = 2187e

311 j

4√81e

6π5 j =

4√81e6π5 +2kπ

4 j = 3e( 3π10+k · π2 )j k ∈ {0, 1, 2, 3}


Documents

Vajda István - Óbudai Egyetemusers.nik.uni-obuda.hu/vajda/analizis1/komplex.pdfVajda István (Óbudai Egyetem) Analízis eloadások˝ 2012. szeptember 10. 8 / 36 Komplex számok