György Anna – Kárász Péter – Sergyán Szabolcs – Vajda István – Záborszky Ágnes, Diszkrét Matematikai Példatár, BMF-NIK-5003, Budapest, 2003

Budapesti Muszaki Foiskola

Neumann Janos Informatikai Foiskolai Kar

Gyorgy Anna Karasz Peter Sergyan Szabolcs

Vajda Istvan Zaborszky Agnes

Diszkretmatematika

peldatar

2003

A peldatar a Budapesti Muszaki Foiskola muszaki informatika szakos hallgatoireszere keszult.

Szerkesztette: Gyorgy Anna foiskolai docens

Szerzok:

Gyorgy Anna Fogalomgyujtemeny, 3. fejezet

Karasz Peter 1.2.1.5. fejezet

Sergyan Szabolcs 4., 5. fejezet

Vajda Istvan 1.1., 2. fejezet

Zaborszky Agnes 6. fejezet

Szedes: Gyorgy Anna, Horvath Arpad, Karasz Peter, Sergyan Szabolcs, VajdaIstvan

Abrak: Karasz Peter, Sergyan Szabolcs, Vajda Istvan

Muszaki szerkeszto: Karasz Peter

A szedes a LATEX programcsomaggal tortent.

Tartalomjegyzek

I. Fogalmak es szimbolumok 1

1. Halmazelmeleti es algebrai fogalmak 3

1.1. Halmazalgebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.2. Relaciok, fuggvenyek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.3. Halmazok szamossaga . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.4. Rekurziok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.5. Teljes indukcio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

2. Kombinatorika 11

2.1. Permutaciok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112.2. Variciok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112.3. Kombinaciok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

3. Matematikai logika 13

3.1. Kijelenteslogika . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133.2. Predikatumlogika . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

4. Algebrai strukturak 19

5. Grafelmelet 23

5.1. Alapfogalmak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235.2. Euler- es Hameilton-bejarasok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 265.3. Skgrafok, sznezesek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 265.4. Fak, erdok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

6. Linearis algebra 29

6.1. Vektorok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

III

IV TARTALOMJEGYZEK

6.2. Matrixok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

6.3. Linearis transzfomaciok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

II. Feladatok 37


1.1. Halmazalgebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

1.2. Relaciok, fuggvenyek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

Fuggvenyek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

Fuggvenyek specialis tulajdonsagai . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

Homogen binaris relaciok specialis tulajdonsagai . . . . . . . . . 49

Ekvivalencia-relaciok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

Parcialis rendezesi relaciok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

1.3. Halmazok szamossaga . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

1.4. Rekurziok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

1.5. Teljes indukcio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

2. Kombinatorika 63

2.1. Permutaciok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

2.2. Variaciok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

2.3. Kombinaciok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

2.4. Vegyes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

2.5. Binomialis egyutthatok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

2.6. Binomialis tetel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69


3.1. Kijelenteslogika . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

Kijelentesek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

Logikai formulak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

Kovetkeztetesek a kijelenteslogikaban . . . . . . . . . . . . . . . 74

3.2. Predikatumlogika . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

Predikatumok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

Kvantifikacio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

Predikatumlogikai formulak interpretacioi . . . . . . . . . . . . . 81

Levezetesek elsorendu nyelvben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82

TARTALOMJEGYZEK V


4.1. Algebrai strukturak, muveletek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 854.2. Felcsoport, csoport . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 864.3. Gyuru, test . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 884.4. Halo, Boole-algebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90

5. Grafelmeleti fogalmak es osszefuggesek 93

5.1. Alapfogalmak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 935.2. Euler- es Hamilton-bejarasok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 985.3. Skgrafok es sznezesek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1005.4. Fak es erdok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102


6.1. Matrixok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1056.2. Linearis terek (vektorterek) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108

Linearis fuggetlenseg, bazis, dimenzio . . . . . . . . . . . . . . . . 108Elemi bazistranszformaciok, bazisvektor-csere . . . . . . . . . . . 110

6.3. Linearis transzformaciok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112

III. Megoldasok 115


1.1. Halmazalgebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1171.2. Relaciok, fuggvenyek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124

Fuggvenyek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124Homogen binaris relaciok specialis tulajdonsagai . . . . . . . . . 132Ekvivalencia-relaciok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136Parcialis rendezesi relaciok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138

1.3. Halmazok szamossaga . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1431.4. Rekurziok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1491.5. Teljes indukcio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156

2. Kombinatorika 165

2.1. Permutaciok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1652.2. Variaciok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1662.3. Kombinaciok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1662.4. Vegyes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1672.5. Binomialis egyutthatok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170

VI TARTALOMJEGYZEK

2.6. Binomialis tetel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171


3.1. Kijelenteslogika . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173Kijelentesek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173Logikai formulak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174Kovetkeztetesek a kijelenteslogikaban . . . . . . . . . . . . . . . 177

3.2. Predikatumlogika . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180Predikatumok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180Kvantifikacio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181Predikatumlogikai formulak interpretacioi . . . . . . . . . . . . . 183Levezetesek elsorendu nyelvben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185


4.1. Algebrai strukturak, muveletek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1874.2. Felcsoport, csoport . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1894.3. Gyuru, test . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1934.4. Halo, Boole-algebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196

5. Grafelmeleti fogalmak es osszefuggesek 199

5.1. Alapfogalmak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1995.2. Euler- es Hamilton-bejarasok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2075.3. Skgrafok es sznezesek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2115.4. Fak es erdok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217


6.1. Matrixok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2236.2. Linearis terek (vektorterek) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227

Linearis fuggetlenseg, bazis, dimenzio . . . . . . . . . . . . . . . . 227Elemi bazistranszformaciok, bazisvektor-csere . . . . . . . . . . . 229

6.3. Linearis transzformaciok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232

I. resz

Fogalmak es szimbolumok

VII

II. resz

Feladatok

37

1. fejezet

Halmazelmeleti es algebraifogalmak

1.1. Halmazalgebra

1.1.1. Igazolja, hogy ha A = {1, 2, 3} es B = {x | x3 + 11x = 6x2 + 6, x R},akkor A = B.

1.1.2. Allaptsa meg, hogy az alabbi halmazok kozul melyek egyenloek.

a) A = {x | 1 < x < 2, x R}b) B = {x | x2 + 1 < 3x2, x Z}c) C = {n | n paros prmszam}d) D = {x | x = 1 vagy x = 2}e) E = {x | x3 < 8, x R} {x | x5 > 1, x R}f) F =

({a | a = 3k + 1, k N} {b | b = 4l+ 2, l N}) {c | 1 c2 < 16, c N}

1.1.3. Sorolja fel az alabbi halmazok elemeit:

a)({1, 3, 7} \ {2, 3, 5}) {0, 1} b) {1, 3, 7} \ ({2, 3, 5} {0, 1})

c) P({1, 2, 3}) \ P({1, 2}), ahol P(X) az X hatvanyhalmaza.1.1.4. Legyen A =

{a, {b}} es B = {a, b, {a, b}}. Sorolja fel az A B, A \B es

AA halmazok elemeit.

39

40 1. HALMAZELMELETI ES ALGEBRAI FOGALMAK

1.1.5. Igazak-e az alabbi egyenlosegek?

a){a, b, c, {a, b}} \ {a, b} = {a, b, c}

b){a, b, c, {a, b}} \ {a, b} = {c, {a, b}}

c){a, b, c, {a, b}} \ {{a, b}} = {a, b, c}

1.1.6. Sorolja fel az A, B, A B, A B es A B halmazok elemeit, haE = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8} az alaphalmaz, A = {x | 2 < x 5, x E} esB = {y | y < 4, y E}.

1.1.7. Oldja meg az X {0, 2} = {0} egyenletet a {0, 1, 2, 3} halmaz reszhalma-zainak halmazan.

1.1.8. Oldja meg az alabbi halmazegyenletet I6 hatvanyhalmazan.

I4 \X = I2

1.1.9. Abrazolja a kovetkezo halmazokat szamegyenesen.

a) {x | 2 < x 3, x R} b) {x | 2 < x 3, x Z}c) {x | 2 < x 3, x N} d) {x | 2 < x 3, x R \ N}e) [2, 7[ ]6, 8] f) [1, 5[ ]8, 8]g) ]3, 5[ \ [1, 2] h)

(], 9] ]11, 13]

) [4, 16]

1.1.10. Igazak-e az alabbi kijelentesek?

a) b) c) {} d) {}1.1.11. Legyen Z = {(x, y) | x X, y Y } es B = {3, 5}. Igazak-e az alabbi ki-

jelentesek, ha a X es b Y ?a)

((a, b), 3

) Z B b) ((a, b), 3) Z Bc)

{(a, b), 5

} Z B d) {((a, b), 5)} Z B1.1.12. Abrazolja a kovetkezo halmazokat Descartes-fele koordinatarendszerben.

a) {1, 2} {2, 3, 4, 5} b) {1, 1, 5} {0, 4, 5, 6}c) [2, 5] ]3, 1] d) R [4, 2[e) [3,+[ ], 6[ f) [1,+[ {1, 3, 4}

In = {1, 2, . . . , n}

1.1. HALMAZALGEBRA 41

1.1.13. Legyen X = {x, y, {x, y}} es P(X) az X hatvanyhalmaza. Melyek helye-sek az alabbi kijelentesek kozul?

a) {x, y} X b) {x, y} P(X)c) {x, y} X d) {x, y} P(X)

1.1.14. Sorolja fel az alabbi halmazok elemeit, ahol A = {a, b} es P(A) az Ahalmaz hatvanyhalmaza.

a) P (AA) b) P(P(A))c) A P(A) d) P(A) P(A)

1.1.15. Igazak-e az alabbi egyenlosegek tetszoleges A, B es C halmazokra?

a) A \ (B \C) = (A \B) \ C b) (A \B) C = (A C) \Bc) AA = A d) A (AA) = A

e) (A \B)C = (AC) \ (BC) f) A (BC) = (A B)(A C)g) A(B C) = (AB) (AC) h) A(B C) = (AB) (AC)i) P(A) P(B) = P(A B) j) P(A) P(B) = P(A B)

1.1.16. Egyszerustse a kovetkezo kifejezeseket:

a) A (B \A) (A \B) b) (A B) ((A B) B)1.1.17. Legyenek A es B tetszoleges halmazok. Mivel egyenlo A (AB)?

1.1.18. Tegyuk fel, hogy az A, B, D halmazokra igaz, hogy D\A = B. Hatarozzameg az A es B halmaz metszetet.

1.1.19. Bizonytsa be, hogy az alabbi alltasok ekvivalensek:

a) X A B b) (X \A) (X \B) = c) X \B A1.1.20. Igaz-e az alabbi alltas?

Ha A B, akkor A C B C.1.1.21. Igaz-e, hogy A es B halmaz megegyezik, ha valamely C halmaz eseten

A \ C = B \ C? Igaz-e az alltas ugy, ha ez barmely C 6= halmazrateljesul?

1.1.22. Hatarozza meg az alabbi halmazok osszes partciojat:

a) X = {1, 2} b) Y = {a, b, c} c) Z = {x, y, z, u}


Hany 1, 2, 3, illetve 4-elemu partcioja van az X , Y , Z halmazoknak?

1.1.23. Egy n elemu halmaz k elemu partcioinak szamat szokas az

{n

k

}szimbo-

lummal jelolni. Hatarozza meg az

a)

{5

2

}b)

{n

1

}c)

{n

n

}d)

{n

2

}szamokat.

1.1.24. Igazolja az

{n

k

}= k

{n 1k

}+

{n 1k 1

}osszefugest es szamtsa ki ennek

alapjan a

{6

3

}es

{8

4

}Stirling-szamokat.

1.1.25. Hatarozza meg egy 10-elemu halmaz azon 4-elemu reszhalmazainak ma-ximalis szamat, amelyek

a) paronkent diszjunktak;

b) paronkent legfeljebb egy kozos elemuk van;

c) paronkent pontosan egy kozos elemuk van.

1.1.26. Legyen A = {(x, y) | x 1, 2 < y < 2, x R, y R}. Abrazolja az Ahalmazt Descartes-fele koordinatarendszerben.

1.1.27. Abrazolja a kovetkezo ket halmaz egyesteset, metszetet, differenciait esszimmetrikus differenciajat az xy koordinataskon:

A = {(x, y) | 0 < x 6, 3 y < 3}B = {(x, y) | 2 < x 4, 1 < y < 3}

1.1.28. A = {(x, y) | x+ y 2, x R, y R},B =

{(x, y) | x2 + y2 4, x R, y R},

C = {(x, y) | x 0, y 0, x R, y R}Abrazolja derekszogu koordinatarendszerben a kovetkezo halmazokat.

a) A B b) A C c) A B C d) B \Ae) A B f) A \B g) AB h) C \B

1.1.29. Abrazolja Gauss-fele szamskon az alabbi halmazoknak megfelelo ponto-kat, ahol j az imaginarius egyseg:

masodfaju Stirling-szamok

1.2. RELACIOK, FUGGVENYEK 43

a) {z | z = x+ jy, x R, y R, x+ y < 1}b)

{z | z = x+ jy, x R, y R, ((x+ y < 1) (x+ y > 1))

(x = 2)}c) {z | z = x+ jy, x R, y R, (x+ y < 1)

((x+ y > 1) (x = 2))}1.1.30. Adottak a kovetkezo halmazok:

A = {z | z C, Re(z) > 1},B = {z | z C, Im(z) < 2},C = {z | z C, |z 2| = 3} esD =

{z | z C, z2 (3 + 2j) z + 5 + 5j = 0}.

Abrazolja a kovetkezo halmazokat a Gauss-fele szamskon:

a) A B b) A B c) A C d) B Ce) A \B f) AB g) A D h) C \B

1.2. Relaciok, fuggvenyek

Fuggvenyek

1.2.1. Abrazolja az alabbi R {1, 2, 3} {a, b, c, d} relaciokat nyldiagram se-gtsegevel, es valassza ki a fuggvenyeket.

a) R = {(1, a) , (1, c) , (2, b) , (2, d) , (3, a)}b) R = {(1, d) , (2, a) , (3, c)}c) R = {(1, a) , (2, a) , (3, d)}

1.2.2. Legyenek S es T halmazok az alabbiak szerint adottak:

a) S = {1, 2}, T = {a, b, c}b) S = {1}, T = {a, b, c, d}c) S = {a, b, c}, T = {}d) S = {Janos,Daniel}, T = {Eszter,Maria,Zsuzsa}e) S = R, T = N

f) S = Z, T = N


1. Adjon meg ha lehetseges olyan S halmazon ertelmezett R re-laciokat, amelyekre R S T .

2. Adjon meg ha lehetseges olyan f : S T fuggvenyt, amely azS halmazt T -re kepezi le.

1.2.3. Adjon meg olyan fuggvenyt, amely

a) minden valos szamhoz hozzaad 1-et;

b) ket valos szamhoz hozzarendeli az osszeguket;

c) megadja Janos, Bela, Maria, Zsuzsa nemet;

d) megadja Beethoven, Haydn, Sztravinszkij keresztnevet;

e) n darab valos szambol kivalasztja a legnagyobbat.

1.2.4. Egy kepernyon a lehetseges kurzor-pozciokat az alabbi modon definialjuk:(oszlopindex, sorindex) X Y , ahol X = {x Z | 1 x 80} es Y ={y Z | 1 y 25}. Felteve, hogy a kepernyo bal felso sarka az (1, 1)pozcio, hatarozza meg azt a fuggvenyt, amely a kepernyo pontjait egytetszoleges lehetseges pozciobol

a) a jobb also sarokba helyezi at;

b) 1-gyel felfele eltolja;

c) 2-vel jobbra es 5-tel lefele eltolja;

d) a fuggoleges szimmetriatengelyre tukrozi;

e) az y = x egyenesre tukrozi;

f) a (20, 10) pontbol ketszeresere nagytja.

Minden esetben tuntesse fel azokat az (x, y) parokat, amelyeken az adottfunkcio nem hajthato vegre. Felteve, hogy a vizsgalt lekepezeseket azX Y halmazon ertelmeztuk, valassza ki a parcialis lekepezeseket.

1.2.5. Definialjon olyan logikai fuggvenyeket, amelyek az elozo feladatban sze-replo parcialis lekepezesek eseten eldontik, hogy a kurzor a megengedetttartomanyban van-e. (Megengedett tartomanyon ertjuk itt azt a kurzor-pozciot, amelyen a kert funkcio vegrehajthato.)

1.2.6. Vizsgalja a kovetkezo programot, amelynel n tetszoleges pozitv egeszszam lehet:


Beolvas(n)Ciklus amg n>1

Ha n paros akkor n:=n/2kulonben n:=2n+1

Ciklus vegeKir(n)

Hatarozza meg a bemeno ertekeknek azon halmazat, amelyre a fenti prog-ram erteket rendel. Irja le a hozzarendelesnek megfelelo fuggvenyt.

1.2.7. Az A X halmaz karakterisztikus fuggvenye az X halmaz felett:

A(x) =

{1, ha x A;0, ha x X \A.

Bizonytsa be az alabbi azonossagokat, ha A,B X .a) AB(x) = max (A(x), B(x))

b) AB(x) = min (A(x), B(x))

c) X\A(x) = 1 A(x)1.2.8. Legyen R = {(a, b) , (a, c) , (c, d) , (a, a) , (b, a)} az S = {a, b, c, d} halmazon

ertelmezett homogen relacio. Irja fel R R es R1 elemeit.1.2.9. Legyen A = {1975. ev napjai} es B = {1975-ben szuletett emberek}. Le-

gyen tovabba (a, b) R, ha a A nap a b B ember szuletesnapja, esjelolje R1 az R inverzrelaciojat.

a) Fuggvenyek-e az R es R1 relaciok?

b) Hatarozza meg az RR1, illetve az R1R relaciokat. Van-e koztukfuggveny?

1.2.10. Hatarozza meg az alabbi F es S relaciokbol osszetett relaciokat, ahol xFy,ha x apja y-nak, es xSy, ha y lanya x-nek.

a) F1 b) S1 c) F S d) S Fe) F1 F f) S S g) F1 S

1.2.11. Tekintsuk a kovetkezo R R fuggvenyeket: f(x) = x2, g(x) = sinx,h(x) = x+ 1.


a) Mely fuggvenyek kepezik le a valos szamok halmazat a valos szamokhalmazara?

b) Melyik fuggvenynek van inverzfuggvenye, ha az ertelmezesi tarto-many a [3, 0[ intervallum? Irja fel az inverzfuggvenyt.

c) Hatarozza meg az f g, g f es h g fuggvenyeket. Adja meg azertelmezesi tartomanyukat es ertekkeszletuket.

1.2.12. Hatarozza meg az alabbi parcialis lekepezesek ertekkeszletet:

a) f g, b) g f , c) g h, d) h g,ha f , g es h az alabbiak:

f : [0,+[ R, f(x) = x;g : N N, g(n) = n2;h : Z Z, h(n) = n2.

1.2.13. Bizonytsa be, hogy (R S)1 = S1 R1 tetszoleges R, S relaciokra.

Fuggvenyek specialis tulajdonsagai

1.2.14. Az alabbi fuggvenyek kozul melyek injektvek, szurjektvek, illetve bi-jektvek?

a) f : N N, f(n) = nb) f : N N, f(n) = n+ 1c) f : Z Z, f(n) = n+ 1d) f : N N N, f(m,n) = 2m4ne) f : N N N, f(m,n) = 2m6nf) f : [0, pi[ \ {pi2} R, f(x) = tg xg) f : [0, pi] \ {pi2} R, f(x) = tg xh) f :

]pi2 , pi2 [ R, f(x) = tg xi) f : Z Z, f(n) = |n+ 1|

j) f : Z Z, f(x) ={

0, ha |x| 1;|x+ 1| , egyebkent.


k) f : Z Z, f(x) ={

0, ha |x| 1;x prmosztoinak szama, egyebkent.

l) f : Z N, f(x) ={

0, ha |x| 1;x prmosztoinak szama, egyebkent.

1.2.15. Hany f : A B alaku

a) injektv; b) szurjektv; c) bijektv

fuggveny letezik, ha |A| = m es |B| = n?1.2.16. Legyen f : R+ R f (x) = x 1x

a) Szurjektv-e a lekepezes?

b) Van-e inverze es az inverze szurjektv-e?

1.2.17. Legyenek A es B az egesz szamok halmazanak reszhalmazai, es tekintsuka kovetkezo megfeleltetest:

f : A B x 7 |x|

Adja meg A es B halmazt ugy, hogy

a) f parcialis lekepezes legyen, de ne legyen fuggveny;

b) f fuggveny legyen, de ne legyen sem injektv, sem szurjektv;

c) f injektv fuggveny legyen, de ne legyen szurjektv;

d) f szurjektv fuggveny legyen, de ne legyen injektv;

e) f bijektv fuggveny legyen.

1.2.18. Felteve, hogy az alabbi fuggvenyeknek mind az ertelmezesi tartomanyuk(Df ), mind pedig az ertekkeszletuk (Rf ) veges elemszamu halmaz, dontseel, hogy mely alltasok igazak es melyek hamisak. (Ha az alltas igaz,bizonytsa be; ha hamis, mondjon ellenpeldat.)

a) Ha f fuggveny injektv, akkor |Df | = |Rf |.b) Ha f : X Y fuggveny injektv, akkor |X | = |Y |.c) Ha f fuggveny szurjektv, akkor |Df | |Rf |.d) Ha f fuggveny szurjektv, akkor van inverze.

e) Ha f : X Y fuggvenyre igaz, hogy |X | |Y |, akkor szurjetv.


f) Ha f : X Y fuggveny szurjektv, akkor |X | |Y |.g) Ha f bijektv, akkor |Df | = |Rf |.h) Ha |Df | = |Rf |, akkor f bijektv.i) Ha f : X Y fuggvenyre igaz, hogy |X | = |Y | = |Rf |, akkor f

bijektv.

1.2.19. Nevezzuk az A (A X) halmaz f : X Y fuggveny altali kep enek aztaz f(A)-val jelolt halmazt, amelyre f(A) = {y Y | y = f(x), x A}.

-

X Y

A f (A)

f

Hatarozza meg az f(A) halmazt, ha

a) f : R R, f(x) = x2, A = ]1, 2];b) f : [1, 1] R, f(x) = 1 +1 x2, A =

[32 ,

32

];

c) f : R \ {1, 1} R, f(x) = 11x2 , A = [0, 2] \ {1}.1.2.20. Bizonytsa be, hogy ha f : X Y injektv, akkor

a) diszjunkt halmazok kepei is diszjunktak, azaz barmely C,D Xhalmaz eseten C D = = f(C) f(D) = ;

b) barmely C X halmaz eseten f(X \ C) Y \ f(C).c) Bizonytsa be az (a) alltas megfordtasat is.

1.2.21. Legyen f : R R, f(x) = 2 sin (x+ 3).a) Hatarozza meg az X =

{x | 15 < x < 2pi 3, x R

}intervallum f

altal definialt kepet.

b) Bijektv-e a g :]15 , 2pi 3

[ f(X), g(x) = f(x) fuggveny?1.2.22. Bizonytsa be, hogy az

f : N N N, f(m,n) = m+ 12(m+ n) (m+ n+ 1)

fuggveny bijektv.


Homogen binaris relaciok specialis tulajdonsagai

1.2.23. Legyen T = {ter egyenesei}. Milyen tulajdonsagaik vannak az alabbi re-lacioknak?

a) RT = {(x, y) | x es y egyeneseken at pontosan egy sk fektetheto}b) RT = {(x, y) | x es y kitero}c) RT = {(x, y) | x es y egyeneseken at fektetheto sk}

1.2.24. Vizsgalja meg, milyen specialis tulajdonsagokkal rendelkeznek az alabbihomogen binaris relaciok, valamint adja meg ertelmezesi tartomanyukates ertekkeszletuket:

a) R = {(a, b) | a b paratlan, a N, b N};b) S = {(a, b) | a vezetekneve rovidebb, mint b-e, a B, b B}, ahol

B = {budapesti lakosok};c) T = {(A,B) | A B 6= , A P(X), B P(X)}, ahol X tetszoleges

halmaz;

d) U = {(a, b) | lnko (a, b) > 1, a Z+, b Z+};e) V = {(x, y) | x belulrol erinti y-t, x K, y K}, ahol

K = {egy adott sk korvonalai}.1.2.25. Definialjon egy R relaciot az I4 = {1, 2, 3, 4} halmazon (peldaul elemei

felsorolasaval), amely az alabbi tulajdonsagokkal rendelkezik:

a) nem reflexv es nem irreflexv;

b) nem reflexv es irreflexv;

c) reflexv es nem irreflexv;

d) reflexv es irreflexv;

e) nem szimmetrikus es nem antiszimmetrikus;

f) nem szimmetrikus es antiszimmetrikus;

g) szimmetrikus es nem antiszimmetrikus;

h) szimmetrikus es antiszimmetrikus.

Adja meg R grafabrazolasat is.

lnko= legnagyobb kozos osztoG graf x es y csucspontja x-bol y-ba mutato ellel akkor van osszekotve, ha xRy.


Ekvivalencia-relaciok

1.2.26. Legyen S = {sk egyenesei}. Az alabbi relaciokrol allaptsuk meg, hogyekvivalencia-relaciot alkotnak-e:

a) RS = {(x, y) | x egy pontban metszi y-t};b) RS = {(x, y) | x-nek es y-nak van kozos pontja};c) RS = {(x, y) | x parhuzamos y-nal}.

1.2.27. Hatarozza meg azt az ekvivalencia-relaciot (elemei felsorolasaval), amely-hez (a megfelelo alaphalmazon) az alabbi partcio tartozik: {a, d, g}, {b},{e}, {c, f}.

1.2.28. Adott az I6 = {1, 2, 3, 4, 5, 6} halmazon ertelmezett R = {(1, 2), (2, 3),(3, 2), (4, 4), (5, 5), (6, 5)} relacio.a) Rajzolja fel a relacio grafjat.

b) Egesztse ki a relaciot (a leheto legkevesebb elemmel) ugy, hogyekvivalencia-relacio legyen.

1.2.29. Bizonytsa be, hogy az alabbi relaciok ekvivalencia-relaciot alkotnak. Adjameg az ekvivalencia-osztalyokat.

a) R = {(m,n) | m+ n paros szam, m Z, n Z}b) R =

{(x, y) | x2 + y2 oszthato 2-vel, x Z, y Z}

c) R = {(a, b) | a b racionalis, a R, b R}d) R = {(x, y) | x y oszthato 3-mal, x I12, y I12}e) R =

{(m,n) | m2 n2 oszthato 3-mal, m N, n N}

f) R ={(x, y) | x2 y2 oszthato 4-gyel, x N, y N}

g) R R2 R2; (x1, y1)R (x2, y2) , ha x1 + y1 = x2 + y2h) R R2 R2; (x1, y1)R (x2, y2) , ha x1y1 = x2y2

1.2.30. Legyen ertelmezve az X halmazon egy R ekvivalencia-relacio, a es b pediglegyen X ket tetszoleges eleme. Jelolje Xa az osszes a-val, Xb pedig azosszes b-vel relacioban allo elemet tartalmazo halmazt. Bizonytsa be azalabbi alltasokat:

In ={x Z+ | x n

}(n N)


a) Xa Xb = (a, b) / R;b) Ha letezik olyan c X elem, amely mindket halmaznak eleme, akkor

(a, b) R;c) (a, b) R pontosan akkor, ha a ket halmaz egyenlo.

Parcialis rendezesi relaciok

1.2.31. Mutassa meg, hogy az alabbi, 4-vel jelolt relaciok parcialis rendezesirelaciok:

a) az I4 halmaz legalabb ketelemu reszhalmazainak halmazan A 4 B,ha A B;

b) az I4 halmaz legfeljebb ketelemu reszhalmazainak halmazan A 4 B,ha B A;

c) a {3, 6, 9, 10, 20, 30} halmaz elemein a 4 b, ha b oszthato a-val;d) az {1, 2, 3, 4, 6, 12} halmaz elemein a 4 b, ha b oszthato a-val.

Kesztse el a parcialis rendezesek Hasse-fele diagramjait. Mindegyik ren-dezesben allaptsa meg a maximalis es minimalis elemeket, illetve a leg-nagyobb es legkisebb elemeket, ha ilyen van. Van-e a fentiek kozott olyan,amelyben a halmaz barmely ket a, b elemehez tartozik inf (a, b), illetvesup (a, b)?

1.2.32. Az alabbi parcialisan rendezett halmazokban hatarozza meg a felsoroltszupremumokat es infimumokat, ha leteznek:

a) a legfeljebb 10 hosszusagu binaris szamok kozott v 4 w, ha v-nek wkezdo resze (pl.: 1010 kezdo reszei az 1010, 101, 10 es az 1);sup (100, 10) sup (101, 111)inf (100, 11) inf (100, 10)

b) a legalabb 2 hosszusagu binaris karaktersorozatok kozott v 4 w, hav-nek w kezdo resze (pl.: 1010 kezdo reszei az 1010, 101, 10 es az 1).sup (00001, 001) sup (1111, 110)inf (0010, 0011) inf (011, 01)

Szam nem kezdodhet 0-val.


c) a legfeljebb 10 hosszusagu binaris karaktersorozatok kozott v 4 w,ha v-nek w valamely resze (pl.: 1010 reszei az 1010, 101, 010, 10, 01,1 es a 0);sup (100, 11) sup (000, 11)inf (100, 00) inf (100, 001)

A fent megadott halmazok kozul mely esetekben van barmely ket elemnekszupremuma? Ha lehetseges, egesztse ki a halmazt olyan elemekkel, hogya bovtett halmazban barmely ket elemnek legyen szupremuma (az adottrendezesre vonatkozoan).

1.2.33. Bizonytsa be, hogy ha R egy parcialis rendezesH-n, akkorR1 is az. Mu-tassa meg, hogy ha (H ;R)-en valamely elem maximalis, akkor

(H ;R1

)-

en minimalis, es fordtva.

1.2.34. Legyenek az F halmaz elemei az f : N N tpusu fuggvenyek, es defini-aljuk ezen a halmazon a kovetkezo R relaciot: f, g F eseten fRg, ha az{n N | f (n) > g (n)} halmaz veges elemszamu. Igazolja, hogy a relacionem parcialis rendezes F -en.

1.2.35. Definialjuk a 4 relaciot a {z | z C, Re(z) 3, Im(z) 2, Re(z) N,Im(z) N} halmazon: z1 4 z2, ha Re(z1) Re(z2) es Im(z1) Im(z2).(Azaz: egy komplex szam akkor all relacioban egy masik komplex szam-mal, ha sem a valos, sem a kepzetes resze nem nagyobb a masik szammegfelelo reszenel.)

a) Bizonytsa be, hogy 4 rendezesi relacio.

b) Dichotom a relacio (azaz teljes a rendezes)?

c) Rajzolja fel a rendezes Hasse-diagramjat.

d) Van barmely ket elemnek szupremuma es infimuma? Hogyan kapjukmeg?

e) Disztributv a halo?

f) Van a rendezesnek legkisebb es legnagyobb eleme?

g) Mely elemeknek van komplementumuk?

1.2.36. Legyen a temeszetes szamokbol allo rendezett parok halmazan (N N)definialva a kovetkezo rendezes: (a, b) 4 (c, d), ha b < d, vagy a c esb = d. Bizonytsa be, hogy tenyleg rendezesrol van szo, es dontse el, hogylinearis (teljes)-e a rendezes?

1.3. HALMAZOK SZAMOSSAGA 53

1.2.37. Dontse el, hogy igazak-e az alabbi alltasok, amelyek egy reszben-rendezetthalmaz A reszhalmazarol szolnak. Ha igaz, indokolja, ha hamis, ellenpel-daval cafolja az alltast.

a) Ha A-nak van legkisebb eleme, akkor legnagyobb is van.

b) Ha A-nak van legkisebb eleme, akkor ez egyben az egyetlen minimaliselem is.

c) Ha A-nak nincs maximalis eleme, akkor legnagyobb sincsen.

d) Ha A-nak nincs legnagyobb eleme, akkor felso hatara sincsen.

e) Ha A-nak van also korlatja, akkor van legkisebb eleme is.

f) Ha A-nak egynel tobb minimalis eleme van, akkor nincs also hatara.

1.3. Halmazok szamossaga

1.3.1. Adjon meg bijektv lekepezest

a) az egesz szamok es a pozitv egesz szamok kozott;

b) ket kulonbozo hosszusagu szakasz kozott;

c) a racionalis szamok es a termeszetes szamok kozott;

d) a ]0, 1[ intervallum es a valos szamok kozott;

e) a ]0, 1[ es a ]0, 1] intervallumok kozott.

1.3.2. Igazolja, hogy az alabbi halmazok megszamlalhatoan vegtelen (0) sza-mossaguak:

a) paros szamok (2Z);

b) Z Z;c) prmszamok.

1.3.3. Igazolja, hogy a, b R eseten a H = {h R | a < h < b} halmaz elem-szama 0, vagy a halmaz szamossaga kontinuum.

1.3.4. Igazolja az alabbi alltasokat:

a) Ha egy halmaz elemei sorozatba rendezhetok, akkor a halmaz sza-mossaga 0.

b) Egy sorozat elemeinek halmaza legfeljebb 0 szamossagu.


c) Ket megszamlalhatoan vegtelen szamossagu halmaz unioja is meg-szamlalhatoan vegtelen szamossagu, azaz 0 + 0 = 0.

d) Barmely vegtelen sok elemu halmaznak van 0 szamossagu reszhal-maza.

e) Ket 0 szamossagu halmaz kulonbsege veges vagy 0 szamossagu.f) Megszamlalhatoan vegtelen sok veges vagy 0 szamossagu (kulonbo-

zo) halmaz unioja 0 szamossagu.

1.3.5. Bizonytsa be, hogy az alabbi halmazok szamossaga megegyezik:

a) R, ]0, 1[, [0, 1], [a, b], [a,[;b) a [0, 1] intervallum es az egysegnyi oldalu negyzet pontjainak hal-

maza.

1.3.6. Hatarozza meg az AB halmaz szamossagat, ha

a) A es B veges elemszamu halmazok;

b) A es B szamossaga 0;c) A es B kontinuum szamossaguak.

1.3.7. Bizonytsa be, hogy az An halmaz szamossaga 0, ha |A| = 0 es n pozitvegesz szam.

1.3.8. Bizonytsa be, hogy barmely halmazra igaz, hogy hatvanyhalmazanakszamossaga nagyobb, mint a halmaz szamossaga.

1.3.9. a) Hatarozza meg az egesz egyutthatos, legfeljebb n-edfoku polinomok(Pn (x) =

nk=0

akxk, ahol ak Z

)halmazanak szamossagat.

b) Bizonytsa be, hogy az egesz egyutthatos (x0 = 0 koruli) hatvanyso-

rok

(Pn (x) =

k=0

akxk, ahol ak Z

)halmaza nem megszamlalha-

to.

Cantor tetele

1.4. REKURZIOK 55

1.4. Rekurziok

1.4.1. Adjon rekurzv definciot n!-ra.

1.4.2. Egy vallalat uj dolgozojanak 100 000 Ft kezdofizetest ajanl. Minden ko-vetkezo evben megemeli az elozo evi fizetest 4%-kal es meg 1 000 Ft-tal.Adjunk rekurzv kepletet a dolgozo keresetere az n-edik evben.

1.4.3. Irjunk fel rekurzv osszefuggest egy n-elemu halmaz reszhalmazainak snszamara.

1.4.4. Egy lepcsosoron ugy megyunk vegig, hogy egyszerre mindig csak egy vagyket lepcsofokot lepunk. Adjunk rekurzv kepletet arra, hogy hanyfelekep-pen mehetunk fel egy n lepcsobol allo soron.

1.4.5. Adott a skon n darab egyenes. Adjon rekurzv kepletet a keletkezoskreszek maximalis szamara.

1.4.6. Adott a skon n darab kor. Adjon rekurzv kepletet a keletkezo skreszekmaximalis szamara.

1.4.7. Egy 2 n-es meretu negyzetracsot szeretnenk lefedni 2 1-es meretudominokkal. Adjunk rekurzv kepletet a lehetseges lefedesek szamara.

1.4.8. Adjon rekurzv kepletet(nk

)-ra.

1.4.9. Jelolje f(n, k) azt a szamot, ahanyfelekeppen kivalaszthatunk n darab,egy sorban levo elem kozul k darabot ugy, hogy ne legyen koztuk ketegymas mellett elhelyezkedo. Adjunk rekurzv kepletet f(n, k)-ra.

1.4.10. Jeloljon A es B ket halmazt, es legyen |A| = m, |B| = n. Adjon rekurzvkepletet az A-bol B-be kepezo szurjektv fuggvenyek szamara.

1.4.11. Jelolje D (n, k) az xn fuggveny k-adik derivaltfuggenyet. Adjon rekurzvkepletet D (n, k)-ra. (n Z, k N)

1.4.12. Adjon rekurzv kepletet egy nn-es determinans kiszamtasara. (n Z+)

1.4.13. Adjon rekurzv kepletet sinnx fuggveny hatarozatlan integraljanak meg-hatarozasara.


1.4.14. Jeloljon a es b pozitv egesz szamot. Tegyuk fel, hogy rekurzv modon a kovetkezokeppen definialjuk a Q fuggvenyt:

Q(a, b) =

{0, ha a < b;Q(a b, b) + 1, ha a b.

a) Adjuk meg a Q(2, 3) es a Q(14, 3) ertekeket.

b) Hogyan mukodik ez a fuggveny? Adjuk meg a Q(7134, 11) erteket.

1.4.15. Legyen n pozitv egesz szam. Tegyuk fel, hogy rekurzv modon akovetkezokeppen definialjuk az L fuggvenyt:

L(n) =

{0, ha n = 1;L(

n2

)+ 1, ha n > 1.

a) Adjuk meg L(25)-ot.

b) Hogyan mukodik ez a fuggveny?

1.4.16. Tekintsuk az L rekurzv modon megadott fuggvenyt, ahol DL = R+R+:

L(a, b) =

{0, ha a < b;L(ab , b

)+ 1, ha a b.

a) Milyen ertekekre jol-definialt a rekurzio?

b) Szamtsa ki az L(682, 10), L(1024, 8) ertekeket.

c) Hogyan mukodik a fuggveny? Adja meg ez alapjan az L(654238, 24)erteket.

1.4.17. Legyenek adottak az F0 = 0 es az F1 = 1 Fibonacci-szamok.

a) Mit erdemes hasznalni F18 meghatarozasahoz: a rekurziot vagy aziteraciot? Adjuk meg F18 erteket.

b) Kesztsunk iteracios eljarast az n-edik Fibonacci-szam meghataroza-sahoz, ha n 2.

bxc az x valos szam (also) egeszreszet jelenti: az a legnagyobb egesz szam, amely nemnagyobb x-nel.

Minden kovetkezo szamot ugy kapunk, hogy a sorozatban a ket kozvetlenul elotte alloelemet osszeadjuk (Fn = Fn1 + Fn2).

1.4. REKURZIOK 57

1.4.18. Tekintsuk a kovetkezo, rekurzv modon megadott fuggvenyt:

P (a, b) =

{0, ha b = 0;P (a, b 1) + a, ha b > 0.

a) Mi a fuggveny ertelmezesi tartomanya? Milyen ertekekre jol-definialta fuggveny?

b) Szamtsuk ki a P (6, 4), P(56 , 3

)ertekeket.

c) Hogyan mukodik a fuggveny? Adja meg ez alapjan a P (4, 39) erteket.


N(a, b) =

(a, b) , ha 1 |a| < 10;N(10a, b 1) , ha |a| < 1;N(a10 , b+ 1

), ha |a| 10.

a) Mi a fuggveny ertelmezesi tartomanya?

b) Szamtsa ki az f(294, 9), f(1459,4) ertekeket.c) Hogyan mukodik a fuggveny? Adja meg ez alapjan az f(5948102, 43)

erteket.

1.4.20. Legyen a es b nemnegatv egesz szam. Tegyuk fel, hogy az f fuggvenyt azalabbi rekurzv defincio adja meg:

f(a, b) =

a, ha b = 0;f(b, a), ha a < b;f(b, a mod b), egyebkent.

a) Szamtsuk ki az f(10, 15), f(18, 63) es az f(728, 420) fuggvenyerte-keket.

b) Hogyan mukodik ez a fuggveny?


f(a1, a2, . . . , an) =

{a1, ha n = 1;n 1n

f(a1, a2, . . . , an1) +ann, ha n > 1.

Az a mod b azt a maradekot jelenti, amely az a szam b-vel valo maradekos osztasa sorankeletkezik. (Ejtsd: a modulo b.)


a) Mi a fuggveny ertelmezesi tartomanya?

b) Szamtsuk ki az f(2, 4, 9), f(1, 4, 5, 9) ertekeket.

c) Hogyan mukodik ez a fuggveny? Adjuk meg ennek segtsegevel azf(4, 39, 23, 15, 96) erteket.

1.4.22. Adjon formalis rekurzios eljarast a Hanoi tornyai jatek megoldasara.

A B C

A jatek lenyege: Van harom rud (A, B, C) es az A rudon n db kulonbozonagysagu karika, nagysag szerint sorba rendezve; legalul van a legnagyobb.Feladat, hogy helyezzuk at az osszes karikat a B rudra ugy, hogy ugyano-lyan sorrendben helyezkedjenek el, ahogy az A rudon voltak. Egy lepesbenegyszerre egy karikat helyezhetunk at egyik rudrol barmelyik masikra, az-zal a feltetellel, hogy nagyobb atmeroju karika nem lehet a kisebb karikafelett.

1.5. Teljes indukcio

1.5.1. Bizonytsa be teljes indukcioval az alabbi, osszegekre vonatkozo egyenlo-segeket (n minden esetben termeszetes szam):

a)ni=0

6i =1

5

(6n+1 1)

b)

ni=1

i =n (n+ 1)

2

c)ni=1

i (i+ 1) =n (n+ 1) (n+ 2)

3

d)

ni=1

i (i+ 1) (i+ 2) =n (n+ 1) (n+ 2) (n+ 3)

4

e)ni=1

2i1 = 2n 1

1.5. TELJES INDUKCIO 59

f)ni=1

i2 =n (n+ 1) (2n+ 1)

6

g)

ni=1

i3 =

[n (n+ 1)

2

]2

1.5.2. Bizonytsa be az alabbi egyenlotlensegeket teljes indukcioval (n mindenesetben termeszetes szam):

a) n! > 3n, minden n 7 esetenb)

1

12+

1

22+

1

32+ . . .+

1

n2< 2 1

n, minden n 2 eseten

c) n2 < 2n, minden n > 4 eseten

d) (2n)! < (n!)2 4n1, minden n 5 esetene) 3n > n 2n

f)11+

12+

13+ + 1

n>n, minden n 2 eseten

g) (1 + h)n 1 + hn, barmely h R, h > 1 eseten

h) (n+ 1)n< nn+1, minden n > 2 eseten

i) |sinn| n |sin|1.5.3. Bizonytsa be az alabbi oszthatosagokat teljes indukcioval (n minden e-

setben termeszetes szam):

a) (2n)! oszthato 2n-nel

b) n3 + 5n oszthato 6-tal

c) 32n + 4n+1 oszthato 5-tel

d) n5 5n3 + 4n oszthato 120-szale) 22n + 24n 10 oszthato 18-cal, ha n 1

1.5.4. Igazolja a kovetkezo, rekurzv defincioval adott sorozatokra vonatkozoalltasokat (n minden esetben termeszetes szam):

Bernoulli-egyenlotlensegA (b) es (c) feladatban szereplo sorozat neve: Fibonacci-sorozat. Az (a)-ban szereplo

sorozat un. Fibonacci-tpusu sorozat : minden elemet a kozvetlenul elotte allo ket elem lineariskombinaciojakent kapjuk meg.


a) a0 = 2, a1 = 1, an+2 = an+1 + 2an = an = 2n + (1)n

b) a0 = 0, a1 = 1, an+2 = an+1 + an = an+2 >(32

)n, ha n 1

c) a0 = 0, a1 = 1, an+2 = an+1 + an =an =

15

[(1+

5

2

)n(15

2

)n]1.5.5. Bizonytsa be teljes indukcioval, hogy ha a paratlan szamokat 1-tol kezdve

osszeadjuk, mindig negyzetszamot kapunk.

1.5.6. Bizonytsa be, hogy n darab egyenes a skot legfeljebb 12(n2 + n+ 2

)reszre osztja. (Segtsegul lasd az 1.4.5. feladatot.)

1.5.7. Bizonytsa be, hogy n darab kor a skot legfeljebb n2n+2 reszre osztja,ha n 1. (Segtsegul lasd az 1.4.6. feladatot.)

1.5.8. Bizonytsa be, hogy barmely n-szog belso szogeinek osszege: (n 2) 180.

1.5.9. Bizonytsa be teljes indukcioval, hogy n darab nem-negatv valos szammertani kozepe nem lehet nagyobb szamtani kozepuknel, azaz

na1a2 . . . an a1 + a2 + . . .+ an

n.

Utmutatas: Az egyik lehetseges megoldasi modszer szerint eloszor mutassameg, hogy igaz az alltas n = 2 eseten, majd azt, hogy tetszoleges 2-hatvany (n = 2m) eseten. Ezutan bizonytsa be, hogy ha igaz valamelyk + 1 eseten, akkor k eseten is.

1.5.10. Dontse el, hogy mi a hiba az alabbi indukcios bizonytasokban.

a) Bebizonytjuk, hogy minden szamtogep ugyanolyan.

P (1) nyilvan igaz, hiszen minden gep egyforma onmagaval.

Tegyuk fel, hogy barmely k darab gep egyforma. Vegyunk k + 1darab gepet. Tavoltsuk el mondjuk az A jelu gepet. A maradekk darab gep az indukcios felteves ertelmeben egyforma. Vegyunkki ezek kozul egy masik gepet, jeloljuk ezt B-vel. Ez termeszetesenugyanolyan, mint azok, amelyeket egyutt hagytunk. Tegyuk visszamost A-t, gy ismet k darab gepet kapunk, amelyek mind egyformak.Tehat mind az A, mind a B gep ugyanolyan, mint amelyeket nemmozgattunk el. Ezzel belattuk, hogy minden szamtogep egyforma.

1.5. TELJES INDUKCIO 61

b) Legyen a 6= 0 valos szam. Bebizonytjuk, hogy barmely nemnegatvegesz n eseten an = 1.

Mivel a0 = 1, ezert az alltas igaz n = 0 eseten.

Tegyuk fel, hogy valamely k egesz szamra igaz, hogy minden olyanm egesz eseten, amelyre 0 m k teljesul, am = 1. Ekkor

ak+1 =akak

ak1=

1 11

= 1.

c) Bebizonytjuk, hogy barmely pozitv egesz n szam eseten: ha ketpozitv egesz szam maximuma n, akkor a ket szam egyenlo.

Ha ket pozitv egesz szam maximuma 1, akkor a ket egesz szam csak1 lehet, gy egyenlok.

Tegyuk fel, hogy ha ket egesz szam maximuma k, akkor a ket szamegyenlo. Legyen x es y ket olyan pozitv egesz szam, amelyek ma-ximuma k + 1. Ebben az esetben x 1 es y 1 maximuma k. Azindukcios felteves szerint ekkor x 1 = y 1, azaz x = y.

2. fejezet

Kombinatorika

2.1. Permutaciok

2.1.1. Hanyfele sorrendben ultethetunk le 6 embert egymas melle egy padra?

2.1.2. 12 hallgato talalkozot beszelt meg egymassal. Hanyfele sorrendben erhet-tek oda, ha nem volt koztuk ketto olyan, akik egyszerre erkeztek?

2.1.3. Hanyfelekeppen helyezheto el 8 bastya egy sakktablan ugy, hogy ,,ne ussekegymast azaz ne keruljon ket bastya sem egy sorba, sem egy oszlopba?

2.1.4. Egy dobozban 16 golyo van: 10 feher, 4 piros es 2 kek. Egymas utankihuzzuk a golyokat. Hanyfele sorrend lehetseges, ha az azonos sznueketnem lehet megkulonboztetni?

2.1.5. Hany kulonbozo otjegyu szamot tud felrni az

a) 1, 2, 3, 4, 5

b) 1, 1, 2, 3, 4

c) 1, 1, 2, 2, 2

szamjegyek felhasznalasaval? (Minden szamjegyet pontosan annyiszor kellfelhasznalni, ahanyszor a felsorolasban szerepel.)

63

64 2. KOMBINATORIKA

2.1.6. Hanyfelekeppen olvashato ki a kovetkezo elrendezesben a kombinatorikaszo?

K O M B I N A TO M B I N A T OM B I N A T O RB I N A T O R II N A T O R I KN A T O R I K A

2.1.7. Hanyfelekeppen lehet kiosztani 5 tanulo kozott 5 jutalomkonyvet, ha min-den tanulo pontosan egy konyvet kaphat? (A konyvek kulonbozoek.)

2.1.8. Hanyfelekeppen ultetheto le 8 ember egy kerekasztal kore, ha ket elren-dezes csak akkor szamt kulonbozonek, ha ha van olyan szemely, akineknem ugyanaz a bal- vagy jobb szomszedja a ket esetben.

2.2. Variaciok

2.2.1. Hanyfelekeppen lehet 20 tanulo kozott 6 kulonbozo jutalomkonyvet kiosz-tani, ha mindegyikuk legfeljebb egy konyvet kaphat?

2.2.2. A vizsgaidoszak egy napjan 30 hallgato szeretne szobeli vizsgat tenniaz egyik oktatonal, aki azonban csak 18 embert tud egy nap alatt le-vizsgaztatni. Az elso 18 jelentkezo vizsgazhat, megpedig a jelentkezessorrendjeben. Hanyfelekeppen alakulhat a vizsga rendje?

2.2.3. Az 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 szamjegyek felhasznalasaval hany otjegyu szamkesztheto? Mi a valasz a kerdesre abban az esetben, ha mindegyik felso-rolt szamjegy csak egyszer haszmalhato fel?

2.2.4. Hany olyan hatjegyu szam van (tizes szamrendszerben), amelyben nincsket egyforma szamjegy? Mi a valasz a kerdesre 8-as, illetve tizenkettesszamrendszerben?

2.2.5. Hanyfelekeppen lehet kitolteni a totoszelveny egy oszlopat?

2.2.6. 10-szer feldobunk egy

a) penzermet;

b) dobokockat.

2.3. KOMBINACIOK 65

Hanyfele dobassorozat alakulhat ki?

2.2.7. Egy tesztben 30 kerdes mindegyikehez otfele valaszt adtak meg, ame-lyek kozul a valaszadonak pontosan egyet kell megjelolni. Hanyfelekeppentoltheti ki a tesztet az a hallgato, aki csak vaktaban probalkozik?

2.3. Kombinaciok

2.3.1. Hanyfelekeppen lehet 20 tanulo kozott 6 egyforma jutalomkonyvet szet-osztani?

2.3.2. Hanyfelekeppen oszthatunk ki a 32 lapos magyar kartyabol egy jatekos-nak 4 lapot. (Nem lenyeges, hogy a jatekos a lapokat milyen sorrendbenkapja.)

2.3.3. Hanyfelekeppen lehet kitolteni egy lottoszelvenyt?

2.3.4. A = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 }

a) Hany 3-elemu reszhalmaza van A-nak?

b) Hany olyan 5-elemu reszhalmaza van A-nak, amelynek 7 eleme?

c) Hany olyan 4-elemu reszhalmaza van A-nak, amelynek elemei parat-lanok?

2.3.5. A BKV jegyeken 9 szamjegy talalhato, amelyek kozul ervenyesteskor 3-atvagy 4-et lyukasztunk ki. Hanyfele lyukkombinacio lehetseges?

2.3.6. Egy 32-lapos kartyacsomagbol 6 lapot huzunk. Hanyfelekeppen alakulhata huzas eredmenye, ha

a) a kihuzott lapok sorrendje is szamt;

b) a kihuzott lapok sorrendje nem szamt.

2.3.7. Egy uzletben 12 fele kepeslapot arulnak. Hanyfelekeppen vehetunk 5kepeslapot, ha mindegyik fajtabol legalabb 5 db all rendelkezesre?

66 2. KOMBINATORIKA

2.4. Vegyes

2.4.1. Az 1, 2, 3, 4, 5, 6 szamjegyekbol hany negyjegyu szam allthato ossze, ha

a) mindegyik szamjegyet legfeljebb egyszer hasznalhatjuk fel;

b) mindegyik szamjegy felhasznalhato tobbszor is;

c) mindegyik szamjegyet csak egyszer lehet felhasznalni es a szamjegyeka szamban novekvo sorrendben kovetik egymast;

d) mindegyik szamjegy tobbszor is felhasznalhato es a jegyek a szambannem csokkeno sorrendben kovetik egymast?

2.4.2. Hany olyan otjegyu szam van, amelyek jegyei

a) paratlanok;

b) parosak;

c) paratlanok es mind kulonbozoek;

d) parosak es mind kulonbozoek?

2.4.3. A 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 szamjegyekbol hany olyan 6-jegyu szam allthatoossze, amelynek jegyei kozott legalabb egy ismetlodes van?

2.4.4. Hany olyan hatjegyu szam van, amelyekben a szomszedos szamjegyekkulonbozoek?

2.4.5. Hanyfelekeppen lehet a Jupiter szo betuit osszekeverni ugy, hogy a ma-ganhangzok az abc-nek megfelelo sorrendben kovessek egymast?

2.4.6. Az oxigennek harom, a hidrogennek ket stabil izotopja van. Hanyfelevzmolekula kepzodhet ezekbol?

2.4.7. Egy kollegiumi szobaban harom diak lakik. Negy cseszejuk, ot cseszealjuk,es hat kiskanaluk van. (Az egyes cseszek, alatetek es kiskanalak mindkulonbozok.) Hanyfelekeppen terthetnek teazashoz, ha mindharmanegy-egy cseszet, cseszealjat es kiskanalat kapnak?

2.4.8. Ha egy halmaz elemeinek szamat kettovel noveljuk, akkor az elemek per-mutacioinak szama az eredeti permutaciok szamanak 930-szorosa lesz.Hany elemu a halmaz?

2.4. VEGYES 67

2.4.9. Egy dobozban harom sarga golyo van. Hany piros golyot kell betenni ah-hoz, hogy a dobozban talalhato golyokat 4495 sorrendben lehessen egymasutan kihuzni, ha az azonos sznu golyokat nem lehet megkulonboztetni?

2.4.10. Harom kocsibol allo villamosra 9 ember szall fel ugy, hogy minden kocsiraharom ember jut. Hanyfelekeppen tortenhet ez?

2.4.11. Egy penzermet 12-szer egymas utan feldobunk.

a) Hany kulonbozo dobassorozatunk lehet?

b) Hanyszor lehet 8 fej es 4 ras a dobassorozatban?

2.4.12. Egy penzermet n-szer feldobunk egymas utan. Ha a dobasok szamat 2-vel noveljuk, akkor az eredmenysorozatok szama 3072-vel no. Hanyszordobtunk?

2.4.13. Egy 12 tagu tarsasag csonakokat berel. Hanyfelekeppen foglalhatnak he-lyet a csonakokban, ha

a) egy 3-, egy 4- es egy 5-uleses csonak van;

b) harom kulonbozo 4-uleses csonak van;

c) harom egyforma 4-uleses csonak van?

2.4.14. Egy 32 lapos magyarkartya-csomagbol egyszerre kiveszunk 5 lapot. Hanyolyan huzas lehetseges, ahol a kihuzott lapok kozott

a) csak piros fordul elo;

b) pontosan egy piros van;

c) van piros;

d) 2 piros es 3 zold van;

e) minden szn elofordul;

f) pontosan 1 asz es 4 piros talalhato;

g) mind asz vagy piros;

h) az osszes asz es piros?

2.4.15. Hany kulonbozo utvonalon juthatunk el a sakktablan a bal felso sarokbanlevo mezorol a jobb also sarokban levore, ha barmely erintett mezorol csakaz alatta levo vagy pedig a jobb oldalan allo mezore lephetunk?

68 2. KOMBINATORIKA

2.4.16. Egy terem mennyezeten 5 sorban, 6 oszlopban osszesen 30 lampa vanfelszerelve. Kozuluk 4 nem vilagt. Nincs olyan sor es nincs olyan oszlop,amelyben egynel tobb lampa nem egne. Hanyfelekeppen lehetseges ez?

2.4.17. Hanyfelekeppen ultethetunk le egy kerek asztal kore 5 not es 5 ferfit ugy,hogy se 2 no, se 2 ferfi nem keruljon egymas melle, ha az egymasba elfor-gathato eseteket

a) kulonbozonek;

b) azonosnak tekintjuk?

2.4.18. Egy pont egysegnyi lepeseket tesz meg a szamegyenesen pozitv vagynegatv iranyban. Hanyfelekeppen juthat el az origobol n lepessel a kpontba?

2.4.19. Hany metszespontja van maximalisan egy konvex 9-szog atloinak a 9-szogbelsejeben?

2.4.20. Egy osszejovetelen 9 ferfi es 12 no vesz reszt. Hanyfelekeppen tancolhat 7par?

2.4.21. Hanyfelekeppen lehet 24 egyforma golyot 8 kulonbozo dobozba szetosztaniugy, hogy

a) a dobozokba akar 0 golyo is kerulhet;

b) minden dobozban legyen legalabb 1 golyo;

c) minden dobozban legalabb 2 golyo legyen?

2.5. Binomialis egyutthatok

2.5.1. Igazolja az alabbi osszefuggeseket:

a)

(n

k

)=

(n

n k)

b)

(n

k

)+

(n

k + 1

)=

(n+ 1

k + 1

)

c)

nk=0

(n

k

)= 2n d)

nk=0

(1)k (n

k

)= 0

e)

(n

k

)=n

k(n 1k 1

)f)

nk=1

k (n

k

)= n 2n1

2.6. BINOMIALIS TETEL 69

2.5.2. Oldja meg a [0; 23] Z halmazon a 0, 7 (25

x

)=

(23

x

)egyenletet!

2.6. Binomialis tetel

2.6.1. Vegezze el a kovetkezo hatvanyozasokat:

a) (a+ b)5

b) (3x 1)4 c) (2x 3y)6

2.6.2. Igazolja a kovetkezo osszefuggeseket:

a)

nk=0

(2)k (n

k

)= (1)n b)

nk=0

2k (n

k

)= 3n

70 2. KOMBINATORIKA

3. fejezet

Matematikai logika

3.1. Kijelenteslogika

Kijelentesek

3.1.1. Valassza ki az alabbi mondatok kozul a kijelenteseket.

a) A printerem elromlott.

b) Hany hallgatoja van ennek az evfolyamnak?

c) Minden x es y valos szamra igaz, hogy x2 y2 = (x y)(x + y).d) Jo reggelt, Vietnam!

e) Barmely paros szam eloallthato legfeljebb ket prmszam osszege-kent.

f) Torold le a kepernyot!

g) Ha 7 paros szam, akkor az osszeadas a valos szamok halmazan nemkommutatv.

h) Van piros sznu rozsa.

3.1.2. Adjon meg olyan kijelenteseket, melyekben a mondat alanya eleme azalabbi halmaznak. Hatarozza meg a kijelentesek igazsagerteket!

a) {x | x virag}Paros Goldbach-sejtes

71

72 3. MATEMATIKAI LOGIKA

b) {(x, y) | x y = 6, x R, y R}c) {g | g skbeli gorbe, amely az x tengelyt az origoban es a (2, 0) pont-

ban metszi.}d) {I | I intervallum, amelynek barmely ket pontja legfeljebb 1 tavol-

sagra van.}e) {x | x fekete, x {italok}}

3.1.3. Tagadja az alabbi kijelenteseket, es a tagadast fogalmazza meg tobbfele-keppen.

a) Kati iskolaba megy.

b) Minden foiskolai hallgato szorgalmas.

c) Van paros prmszam.

d) A 9 nem paros es nem oszthato 3-mal.

e) A 21 paros vagy oszthato 2-vel.

f) Minden asszony eleteben van egy olyan pillanat, amikor olyat tesz,amit nem szabad. (Fogalmazza meg a tagadast ugy, hogy ne szere-peljenek a mondatban a nem es a nincs szavak.)

3.1.4. Formalizalja az alabbi kijelenteseket a kijelenteslogikaban.

a) Hideg van es esik az eso.

b) Sut a nap, de nem fuj a szel.

c) Ha melegem van es ehes vagyok, nem tudok dolgozni.

d) Ha Marci idoben felebred es eleri a vonatot, akkor boldog lesz, de hanem ebred fel idoben, akkor nem lesz boldog.

e) Busszal vagy gyalog megyek vagy se nem busszal, se nem gyalog.

f) Ha holnap jo ido lesz, akkor ha lesz kedvetek hozza elmegyunksetalni.

g) Egy egeszekbol allo kettagu osszeg pontosan akkor paratlan, ha atagok kozul pontosan az egyik paratlan.

h) Tavasszal, cseresznyefaviragzaskor a japanok a fak alatt piknikeznek.

i) A fuge akkor terem meg Magyarorszagon, ha a homerseklet megha-ladja a 30-ot es szarazsag van.

j) Juli mindig tud aludni, kiveve akkor, ha a margitszigeti sznpadonoperat jatszanak.

k) Valahanyszor piros a lampa, megallok, egyebkent nem.

3.1. KIJELENTESLOGIKA 73

Logikai formulak

3.1.5. Igazolja azonos atalaktasokkal, hogy az alabbi formulaparok egyenerte-kuek.

a) p (p q) p qb) p (p q) p qc) (p (p q)) p q (p q) (p q)

3.1.6. Egyenertekuek-e az alabbi formulak?

a) (p q) (p q) p qb) (p (q r)) (p q) (p r)

3.1.7. Adjon meg az alabbi logikai formulakkal egyenerteku diszjunktv normal-formakat.

a) ((p q) r) p qb) ((p q) r) (p q)c) ((p q) (r p)) (p q)d) ((p q) r) (p q)e) ((p q) r) (p q)

3.1.8. Valassza ki az alabbiak kozul a tautologiakat.

a) ((p q) (q r)) (p r)b) (p q) qc) ((p q) (q r)) (p r)

3.1.9. Allaptsa meg Quine-algoritmus segtsegevel, hogy az alabbi formulak ko-zul melyik tautologia, kielegtheto, illetve kontradikcio.

a) ((p q r) q r) pb) ((p r) q) (p q)c) p (q (q p))d) (p q) ((p r) (q p))e) (p ((q r) p)) (p (q r))


3.1.10. Adja meg a 4. peldaban szereplo c), f) es h) kijelentesek

a) megfordtasat;

b) tagadasat;

c) kontrapozciojat.

Kovetkeztetesek a kijelenteslogikaban

3.1.11. Lakasbetores targyaban folyik a nyomozas. A nyomozas az alabbiakatallaptja meg:

A1 : Ha a tettes ferfi, akkor kistermetu.

A2 : Ha kistermetu, akkor az ablakon maszott be.

A3 : Ferfi a tettes, de legalabbis ferfiruhat hordott.

A4 : Ha ferfiruhat hordott, akkor felteve, hogy hiteles a szemtanu val-lomasa, az ablakon maszott be.

A5 : Nem az ablakon maszott be.

a) Irja le a fenti osszetett kijelenteseket az alabbi jeloleseket hasznalva:p : Ferfi a tettes.q : Kistermetu a tettes.r : Ablakon maszott be a tettes.s : Ferfiruhat hordott a tettes.t : Hiteles a szemtanu vallomasa.

b) Felteve, hogy a nyomozas osszes megallaptasa helyes, dontse el, hogya szemtanu vallomasa hiteles vagy sem.

3.1.12. Egesztse ki az alabbi tablazatot ugy, hogy az A,B,C D helyes kovet-keztetesi sema legyen. Ahol barmelyik logikai ertek szerepelhet, a 0/1 jeletrja.

A B C D1 1 1

1 1 11 1 00 0 1

3.1. KIJELENTESLOGIKA 75

3.1.13. Helyesek-e az alabbi kijelenteslogikai kovetkeztetesek?

a) p (q r), p q, q r (p r) qb) p (q r), q r, q p rc) p (q r), (q r) s, s pd) (p q) r, r s, (p s) q se) r q, q p, (p q) pf) p r, p s, s q, q r

3.1.14. Milyen konkluziot vonhatunk le az alabbi premisszakbol?

a) A1 : Ha az oram jol jar, akkor ha idejeben jon az autobusz megerkezem a gyakorlat megkezdese elott.

A2 : Idejeben jon az autobusz, megsem erkezem meg a gyakorlatmegkezdese elott.

b) A1 : Ha elmegyunk Tihanyba, akkor Furedre is elmegyunk, de csakakkor.

A2 : Ha nem megyunk Almadiba, akkor Furedre sem megyunk.

A3 : Az biztos, hogy nem megyunk Almadiba is meg Tihanyba is,de vagy Almadiba vagy Tihanyba elmegyunk.

3.1.15. Formalizalja az alabbi kijelenteseket, es valaszoljon a feltett kerdesre.

a) Egy gyilkossaggal kapcsolatban az alabbiakat sikerult megallaptani:

A1 : Ha Joe nem talalkozott akkor ejjel Freddel, akkor Fred a gyilkosvagy Joe hazudik.

A2 : Ha nem Fred a gyilkos, akkor Joe nem talalkozott akkor ejjelFreddel, es a gyilkossag ejfel utan tortent.

A3 : Ha a gyilkossag ejfel utan tortent, akkor Fred a gyilkos vagyJoe hazudik.

A gyilkos utan nyomozo felugyelo ezek alapjan arra kovetkeztetett,hogy Fred a gyilkos. Helyesen tette-e?

b) Az alabbi informaciokat tudjuk a hetvegi programmal kapcsolatban:

A1 : Ha esik az eso, etteremben ebedelunk.

A2 : Ha nem etteremben ebedelunk, akkor elmegyunk kirandulni.

A3 : Ha kirandulunk, akkor nem esik az eso, es etteremben ebede-lunk.


Kovetkezik-e ezekbol, hogy (akkor es) csak akkor kirandulunk, hanem esik az eso.

c) A Ewing csaladrol az alabbi informaciok allnak rendelkezesunkre:

A1 : Samantha (akkor es)csak akkor kezd el inni, ha Jockey eladja areszvenyeket Cliff Barnes-nak es Pamela osszevesz Bobby-val.

A2 : Ha Samantha elkezd inni, Ellie boldogtalan lesz.

A3 : Nem igaz az, hogy ha Jockey eladja a reszvenyeket Cliff Barnes-nak, akkor Ellie boldogtalan lesz.

Kovetkezik-e ezekbol, hogy Ellie boldogtalan lesz, ha Pamela ossze-vesz Bobby-val?Mi a helyzet akkor, ha az A1-et a kovetkezokeppen modostjuk:A1 : Samantha inni kezd, ha...

d) Vasarlas kozben a kovetkezokeppen morfondrozunk:

A1 : Ha veszek almat es olcso a tojas, kesztek maglyarakast.

A2 : Ha draga a tojas, akkor nem veszek almat es ehes maradok.

A3 : Csak akkor nem maradok ehes, ha kesztek maglyarakast.

Formalizalja a kijelenteseket, es dontse el, hogy kovetkezik-e ezekbol,hogy ha olcso a tojas, akkor nem maradok ehes.

3.1.16. Erdei setankon Noszminosz mesevarosaba erkezunk, ahol az alabbi in-formaciokat kapjuk:

A1 : Felteve, hogy Noszminosz igazmondo, o a varos tantoja es Grettlinem fahazban el.

A2 : Ha Grettli az erdo melletti fahazban el, akkor nem a varos reme.

A3 : Ha Grettli az erdo mellett el es Noszminosz igazmondo, akkor Grettlinem a varos reme.

a) Formalizalja a kijelenteseket es dontse el, hogy az A3 kovetkezmenye-e az A1 es A2 kijelenteseknek.

b) Ha tudjuk, hogy az elso ket alltas igaz, de a harmadik hamis, mittudunk mondani Noszminoszrol?

3.2. PREDIKATUMLOGIKA 77

3.2. Predikatumlogika

Predikatumok

3.2.17. Tekintsuk a Pxyz osszetett predikatumot, amelynek valtozoi az egesz sza-mokon vannak ertelmezve:

Pxyz : ((x < y) (y < z)) ( (x+ y < z))

Hatarozza meg az alabbi kijelentesek igazsagerteket.

a) P345

b) P113

c) P 2113.2.18. Legyenek a P , Q es R a valos szamok halmazan ertelmezett predikatumok

a kovetkezok:

Px : x < 7 Qx : x > 15 Rx : x < 0

Fejezze ki az alabbiakban megadott predikatumokat a P , Q es R pre-dikatumokkal, valamint a , a muveleti jelek felhasznalasaval.a) 0 xb) 7 x 15c) 0 x < 7d) 0 x 15e) (0 x < 7) (x > 15)

Kvantifikacio

3.2.19. Formalizalja a kovetkezo kijelenteseket a predikatumlogikaban.

a) Minden hollo fekete.

b) Van feher hattyu.

c) Az anyak szeretik fiaikat.

d) A vas fem.


e) Van olyan torony, amelyik nem fuggoleges.

f) Pal levelet adott Paulanak

g) Nem minden szam racionalis.

h) Nincs olyan szam, amely ha racionalis, akkor irracionalis.

3.2.20. Legyen az alabbiakban a valtozok alaphalmaza az egesz szamok halmaza.Milyen kvantorokat rjunk az alabbi predikatumok vagy a predikatumoknegacioja ele, hogy igaz ill. hamis kijelenteseket kapjunk?

a) Px : 2x+ 3 = 7

b) Px : 3x+ 3 = 7

c) Pxy : x2 + y2 = 4

d) Px : ||x 2| |x 1|| 13.2.21. Irja le szavakkal az alabbi formalizalt kijelenteseket, ha az Fxy ketvaltozos

predikatum jelentese: x fel y-tol.

a) xy Fxyb) xy Fxyc) y xFxyd) y xFxy

3.2.22. Tetelezzuk fel, hogy kepernyonk 80x25-os, azaz egy sorba 80 karakterrhato, a sorok szama pedig 25. A kurzor lehetseges pozcioit rendezettszamparral rjuk le: (oszlopszam, sorszam). A szamozast a bal felso sa-roktol kezdjuk. A kepernyo (1,1), (20,1) es (1,20) pontok altal kijeloltharomszog alaku resze piros sznure van kifestve. Irja le az alabbi forma-lizalt kijelenteseket, ahol Fxy azt jelenti, hogy a kepernyo (x, y) pozciojupontja piros; Qx, hogy 17 x; Rx, hogy x 20; Sxy pedig, hogyy (21 x). Dontse el, hogy a megfelelo alltasok igazak vagy hami-sak.

a) xy Fxyb) xy (Fxy)c) x (y (Fxy))d) y x (Fxy Qx)e) xy (Rx Sxy Fxy)


f) xy ((Rx Sxy) Fxy)3.2.23. Legyenek a termeszetes szamok halmazan ertelmezve az alabbi predikatu-

mok:

Px: x prmszam Sx: x paratlan szam es Qx : x 2.

Irja le az alabbi formulaknak megfelelo kijelenteseket. Melyek kozuluk azigaz alltasok?

a) x (Px Sx)b) x (Px Sx)c) x (Px (Sx Qx))d) x ((Px Sx) Qx)

3.2.24. Definialjuk az egesz szamok halmazan a kovetkezo predikatumokat:

Px: x prmszam es Oxy: x osztoja y-nak.

Tekintsuk a kovetkezo formulakat:

1. x (Px O4x) 2. P3 O363. x (Px y (Oyx Py)) 4. x (Px O4x)

a) Irja le a fenti formulakat koznapi nyelven.

b) Ertekelje ki a formulakat az adott interpretacioban.

c) Van-e ket olyan formula, amelyek egymas tagadasai? Melyek azok,miert?

d) Formalizalja kovetkezo mondatokat:Minden szamnak van osztoja.Van olyan szam, amelynek nincs prmosztoja.

3.2.25. Definialjuk a viragok halmazan a kovetkezo predikatumokat:

Px : x piros es Sxy : x szebb, mint y

Valamint vezessuk be a t : tulipan, es az r : rozsa individuum-konstanso-kat. Tekintsuk a kovetkezo formulakat:

1. x (Px Sxt) 2. P r Srt3. x ((Px Sxr) y Sxy) 4. x (Px Sxt)


a) Irja le a fenti formulakat koznapi nyelven.

b) Van-e ket olyan formula, amelyek egymas tagadasai? Melyek azok,miert?

c) Van-e ket olyan formula, amelyekre A B igaz, de B A nem?d) Formalizalja a kovetkezo mondatokat:

Nincs olyan virag, amely mindegyiknel szebb. (Nincs legszebb vi-

rag.)Minden virag szebb valamelyiknel. (

Nincs legcsunyabb virag.)

3.2.26. Definialjuk a nok halmazan a kovetkezo predikatumokat:Sx : x szoke;Oxy : x okosabb, mint y;

valamint vezessuk be a k : Kati individuum-konstanst. Tekintsuk a kovet-kezo kijelenteseket:

1. Sk x (Sx Okx) 2. x (Sx y (Sy Oyx))3. Sk x (Sx Okx) 4. x (Sx Oxk)

a) Fogalmazza meg a kijelenteseket koznapi nyelven.

b) Melyik az a ket formula, amelyek egymas tagadasai? Miert?

c) Nevezze meg azt a szabalyt, amelyet az elozo kerdesnel hasznalt.

d) Formalizalja a kovetkezo kijelentest:A szoke nok nem lehetnek mindenkinel okosabbak.

3.2.27. Formalizalja az alabbi kozmondasokat.

a) Aki a kicsit nem becsuli, a nagyot nem erdemli.

b) Ki koran kel, aranyat lel.

c) Nincsen rozsa tovis nelkul.

d) Minden szentnek maga fele hajlik a keze.

e) Nem mind arany, ami fenylik.

f) Aki szelet vet, vihart arat.

g) Mindenkinek megvan a maga keresztje.


Predikatumlogikai formulak interpretacioi

3.2.28. Adja meg az alabbi predikatumlogikai formulak logikai ertekeit az I1 esI2 interpretaciokban. Az univerzumok rendre U1 = N es U2 = Q. Apredikatumok jelentese mindket interpretacioban: Pxy : x < y, Qxy :x y.

a) xy Pxyb) xy Qxyc) y xQxyd) y xPxye) xy z ((Pxz Pzy) (Pyz Pzx))

3.2.29. Adja meg az alabbi predikatumlogikai formulak logikai ertekeit I1 es I2interpretaciokban. Az univerzumok mindket interpretacioban azonosak:U1 = U2 = {a ter egyenesei}. A predikatumok jelentese I1 eseten Pxy: xegy pontban metszi y-t, I2-ben pedig Pxy: x es y kiteroek.

a) xy (Pxy Pyx)b) xy z ((Pxy Pyz) Pxz)c) xy z ((Pxy Pyz) Pxz)d) xy z ((Pxy Pyz) Pxz)

3.2.30. Legyenek az L elsorendu nyelvben az individuum-valtozok x es y. A nyelv-ben adott egy f ketvaltozos fuggveny es ket ketvaltozos predikatum Pes Q. A formulak eptesehez a szokasos logikai muveleti es segedjelekhasznalhatok.

Erekelje ki az alabbiakban megadott formulakat a kovetkezo interpretaci-oban:

U = Z+, f(x, y) : x es y legnagyobb kozos osztoja,Pxy : x osztoja y-nak, Qxy : x = y.

a) xy Pxy b) xy Pxyc) xy Pxy d) xy Pxye) xy z Qf(x, y) z f) xy z Qf(x, y) zg) xy z Qf(x, y) z h) z xy Qf(x, y) z


3.2.31. Adjon meg olyan elsorendu nyelvet, mely alkalmas az alabbi alltasoklerasara. Irja le a megfelelo formulakat.

a) Minden 1-nel nagyobb termeszetes szamnak van prmosztoja.

b) Barmely prmszamnal van nagyobb prmszam.

c) Vegtelen sok ikerprm van.(Ikerprm: p es p+ 2, ha mindketto prm.)

3.2.32. Legyenek az L elsorendu nyelvben az individuum-valtozok x, y es z.A nyelvben adott egy f ketvaltozos fuggveny es egy ketvaltozos pre-dikatum P . A formulak eptesehez a szokasos logikai muveleti es segedjelekhasznalhatok. Adjon meg olyan interpretaciot, amellyel egy az U -n ertel-mezheto ketvaltozos muvelet alabbi tulajdonsagai rhatok le. Adja meg amegfelelo formulakat.

a) kommutativitas

b) asszociativitas

c) idempotencia

3.2.33. Definialjon elsorendu nyelvet es annak olyan interpretaciojat, amelybena homogen binaris relaciok alabbi tulajdonsagai rhatok le. Adja meg amegfelelo formulakat.

a) reflexivitas

b) szimmetria

c) antiszimmetria

d) tranzitivitas

Levezetesek elsorendu nyelvben

3.2.34. Legyenek adottak a kovetkezo szabalyok:

1. (x y) x 4. (x (y z)) ((x y) (x z))2. (x (x y)) 5. (x y) (y x)3. (x y) (x y) 6. x, x y y (modus ponens)

Igazolja kizarolag a fenti szabalyok alkalmazasaval az alabbi kovetkez-tetesek helyesseget.


a) (x y) (x y)b) (x (y z)) ((x y) (x z))c) (x (x y)) (x y)

3.2.35. Legyen a halmaznyelv jelkeszlete a kovetkezo:

A, B, C, . . . jeleket nevezzuk halmazoknak, U -val jeloljuk az un. univer-zalis halmazt, pedig jelentse az ures halmazt.A muveleti jelek: , es a . Segedjelek: (, ). Ketvaltozos relacio jel:=.A nyelv formulai az alabbi rekurzioval adottak:

1. A, B, C, . . . U, formulak.2. Ha A es B formulak, akkor (A B), (A B) es (AB) is formulak.3. A nyelvben az elozo ket pontban megadott formulakon kvul mas

formula nincs.

Axiomak.

1. (A ) = A 5. (A (B C)) = ((A B) (A C))2. (A U) = A 6. (A (B C)) = ((A B) (A C))3. (A B) = (B A) 7. (A (U A)) = U4. (A B) = (B A) 8. (A (U A)) =

a) Bizonytsa be, hogy (A ) = .b) Igazolja, hogy ha valamely X es Y halmazra igaz az alabbi ket alltas

T1 : (X Y ) = , T2 : (X Y ) = U,

akkor igaz a T3 : Y = (U X) alltas is.

4. fejezet

Algebrai strukturak

4.1. Algebrai strukturak, muveletek

4.1.1. Algebrai strukturak-e az alabbiak:

a) a valos szamok halmaza az osztasra nezve;

b) a bj (b Z) alaku komplex szamok az osszeadasra, illetve a szorzasranezve;

c) az {1, 2, 3, 4} halmaz a mod5 szorzasra es osszeadasra nezve;d) a valos szamok halmazan ertelmezett szigoruan monoton novekvo

fuggvenyek a kompozciora nezve;

e) a 3 3-as diagonalis matrixok az osszeadasra, illetve a szorzasranezve;

f) a prmszamok halmaza a legnagyobb kozos oszto, illetve legkisebbkozos tobbszoros muveletre nezve.

4.1.2. Vizsgalja meg az alabbi muveleteket kommutativitas, asszociativitas, esidempotencia szempontjabol:

a) legnagyobb kozos oszto a termeszetes szamok halmazan;

b) legkisebb kozos tobbszoros a pozitv termeszetes szamok halmazan;

c) n n tpusu matrixok osszeadasa, illetve szorzasa.n mod m alatt az n szam m-mel valo osztasi maradekat ertjuk.

85

86 4. ALGEBRAI STRUKTURAK

4.2. Felcsoport, csoport

4.2.1. Felcsoportok-e az alabbi strukturak? Amennyiben igen, van-e egyseg-,illetve zeruselemuk?

a) (P(H);), ahol P(H) a H halmaz hatvanyhalmaza es a szimmet-rikus differencia;

b) (V ; ), ahol V a haromdimenzios vektorok halmaza, pedig a skalarisszorzas;

c) (V ;), ahol V a haromdimenzios vektorok halmaza, pedig a vek-torialis szorzas;

d) (Pn; +), ahol Pn a legfeljebb n-edfoku egyvaltozos polinomok hal-maza, + pedig a polinomok osszeadasa;

e) (C(R); +), ahol C(R) a valos szamok halmazan ertelmezett folytonosfuggvenyek halmaza, + pedig a fuggvenyek osszeadasa;

f) (C(R); ), ahol C(R) a valos szamok halmazan ertelmezett folytonosfuggvenyek halmaza, pedig a fuggvenyek szorzasa;

g) (H ;), ahol H a haromszogek halmaza, pedig barmely h1, h2 Heseten h1 h2 = max{T (h1), T (h2)}, ahol T (h) jeloli a h haromszogteruletet;

h) ({Olyan 3 3-as matrixok, amelyek determinansa 1}; ).4.2.2. Az elozo feladatban melyek a kommutatv felcsoportok?

4.2.3. Bizonytsa be, hogy az

[1 n0 1

]alaku matrixok (n N) a szorzasra nezve

felcsoportot alkotnak es ez a felcsoport izomorf az (N; +) felcsoporttal.

4.2.4. Az alabbiak kozul melyek alkotnak csoportot?

a) A valos szamok halmaza, ha a muvelet a szorzas.

b) A pozitv valos szamok halmaza, ha a muvelet a szorzas.

c) A pozitv valos szamok halmaza, ha a muvelet az osztas.

d) Az {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} halmaz, ha a muvelet a mod8 szorzas.e) Az {1, 3, 5, 7} halmaz a mod8 szorzasra nezve.f) Az

[a 00 0

]alaku matrixok, ahol a R \ {0}, a matrixszorzasra

vonatkozoan.

4.2. FELCSOPORT, CSOPORT 87

g) A

[cos sinsin cos

]alaku matrixok, R, a matrixszorzasra vo-

natkozoan.

h) A

[a bb a

]alaku matrixok, a, b R es a2 + b2 6= 0, a matrixszor-

zasra vonatkozoan.

4.2.5. Az S strukturat a racionalis szamok alkotjak az alabb definialt muve-lettel. Ha a, b S, a valos szamokra vonatkozo + es muvelettel:

a b = a+ b (a b) .

Vizsgaljuk meg, hogy S felcsoport, illetve csoport-e?

4.2.6. Legyen a Z halmazon a kovetkezo muvelet:

a b = a+ b+ 1.

Alkot-e Z a muvelettel felcsoportot, monoidot, csoportot, illetve Abel-csoportot?

4.2.7. Igazoljuk, hogy az osszetettfuggveny-kepzessel, mint csoportmuvelettelcsoportot alkotnak azok a [0, 1]-en ertelmezett folytonos es szigoruan mo-noton novekedo valos f(x) fuggvenyek, amelyekre f(0) = 0, f(1) = 1.

4.2.8. Egy G csoportban valamely b G elemre b14 = b10 es b8 = b27. Bizonyt-suk be, hogy b egysegeleme G-nek.

4.2.9. Legyen a G csoportra: |G| = 996. Bizonytsuk be, hogy ha g G eseteng1993 egysegelem G-ben, akkor g is egysegelem.

4.2.10. a) Adja meg az 1, 2, 3 szamok osszes permutaciojat.

b) Csoportot, illetve Abel-csoportot alkotnak-e a permutaciok a permu-taciok egymas utan valo elvegzesere nezve?

4.2.11. a) Hatarozza meg az (1234) permutacio osszes egesz kitevoju hatvanyat.

b) Csoportot alkotnak-e az egesz kitevoju hatvanyok a permutaciok egy-mas utan valo elvegzesere nezve?

4.2.12. Melyik az a legkisebb pozitv egesz szam, ahanyadik hatvanyra emelve az(ABCDE) (FGH) (IJKLMN) permutaciot, az e egysegelemet kapjuk?


4.2.13. a) Adja meg az abran lathato teglalap osszes szimmetrikus transzfor-maciojat a csucsok permutacioinak felrasaval.

1 2

34

b) Csoportot alkotnak-e a felrt permutaciok?

4.2.14. Legyenek a G es H csoportok a kovetkezok: G = (R \ {0} ; ), H = (R; +).A G-beli muvelet a

termeszetes szorzas, a H-beli pedig a

termeszetes

osszeadas. Igazolja, hogy az f : G H, f(x) = lg x2 homomorf lekepe-zes. Izomorf-e?

4.2.15. Igazolja, hogy az f : G H, f(x) = ex lekepezes izomorf, ha G a valosszamok halmazanak additv, H pedig a pozitv valos szamok multiplikatvcsoportja.

4.2.16. Legyen (T ;) es (T ;) ket csoport. Igazolja, hogy ha az f : T T homomorf lekepezes, akkor

a) a T -beli egysegelem kepe T egysegeleme;

b) f inverztarto lekepezes (azaz minden T -beli elem inverzenek kepe aT -beli kepelemenek inverze).

4.3. Gyuru, test

A 4.3.1. 4.3.8. feladatokban definialt strukturak kozul melyek a gyuruk?Valassza ki az egysegelemes es kommutatv gyuruket, valamint a testeket.

4.3.1. (I2; +, ), ahol I2 = {0, 1} es a muveletek:

+ 0 10 0 11 1 0

0 10 0 01 0 1

muvelettartomuvelettarto es bijektv

4.3. GYURU, TEST 89

4.3.2. (Q; +, ), ahol Q = {x | x = ab , a, b Z es b paratlan} a muveletek aszokasosak.

4.3.3. H = {1, 2, 3, 4} halmaz a mod8 osszeadassal es szorzassal.4.3.4. (D; +, ), ahol D = {x | x = a+ bn a, b Q ; n olyan rogztett pozitv

egesz, amelyhez nem letezik q Q, hogy n = q2}, a muveletek a szokaso-sak.

4.3.5. a) (R;,), ahol a b = a b es a b = ab;b) (R;,), ahol a b = a+ b 1 es a b = a+ b ab;c) (R+;,), ahol a b = ab es a b = alg b.

4.3.6. a) (M ; +, ), ahol M az n n-es matrixok halmaza a valos szamtestfelett. Muveletek a matrixosszeadas es -szorzas.

b) (M ; +, ), aholM az nn-es matrixok halmaza az I2 szamtest felett.Muveletek a mod2 matrixosszeadas es -szorzas.

c) (M ; +, ), ahol M ={M |M =

[a b0 0

], a, b R

}, muveletek a

matrixosszeadas es -szorzas.

d) (M ; +, ), ahol M ={M |M =

[a b

b a], a, b R

}, muveletek a

matrixosszeadas es -szorzas.

4.3.7. a) (P(A);,), ahol P(A) egy A 6= halmaz hatvanyhalmaza, aszimmetrikus differencia, a metszetkepzes;

b) (P(A);,), ahol P(A) mint elobb, az unio-, a metszetkepzes.4.3.8. (F;,), ahol F = {f : R R} es

a) a muveletek a szokasos fuggvenyosszeadas es szorzas;

b) az osszeadas a szokasos, a szorzas pedig a fuggvenyek kompozcioja;

c) ha az F halmaz elemeire kikotjuk meg, hogy bijektvek legyenek, vagypedig f(x) 0; a muveletek ugyanazok, mint b)-ben.

4.3.9. a) Bizonytsa be, hogy minden test nullosztomentes.

b) Hatarozza meg a 4.3.1. 4.3.8. peldakban kivalasztott gyuruk kozulazokat, amelyek nullosztomentesek.

Nullosztomentes az a struktura, ahol a b = 0-bol kovetkezik, hogy a = 0 vagy b = 0.


4.3.10. Gyurut alkotnak-e a tervektorok az osszeadas es a vektorialis szorzas mu-veletekkel?

4.3.11. Legyen a Z halmaz elemeibol allo rendezett parok halmazan ertelmezve a es a muvelet az alabbi modon:

(a, b) (c, d) = (a+ c, b+ d) , illetve(a, b) (c, d) = (a c, b d) .

a) Igazoljuk, hogy e struktura gyuru.

b) Testet alkot-e?

c) Testet alkot-e a struktura, ha a ket muveletet az R elemeibol allorendezett parok halmazan ertelmezzuk?

4.3.12. Resztestet alkotjak-e a valos szamok testenek azok a szamok, amelyekracionalis p-vel es q-val felrhatok p+ q

2 alakban?

4.4. Halo, Boole-algebra

4.4.1. Halot alkotnak-e az alabbi strukturak:

a) (N; lnko, lkkt), ahol lnko a legnagyobb kozos oszto, lkkt pedig a leg-kisebb kozos tobbszoros;

b) (P(A);,);c) ({0, 1};,)?

4.4.2. Igazolja, hogy ha egy parcialisan rendezett H halmaz barmely ket eleme-nek van szupremuma (infimuma), akkorH halmaz a szupremum (infimum)muvelettel felhalot alkot.

4.4.3. Bizonytsa be, hogy ha egy parcialisan rendezett H halmaz barmely ketelemenek letezik szupremuma es infimuma, akkor

a) a (H ; sup, inf) strukturaban igaz az abszorpcios (elnyelesi) tulajdon-sag;

b) a (H ; sup, inf) struktura halo.

Felhalo az olyan struktura, amelyben egy idempotens, kommutatv es asszociatv ketval-tozos muvelet van definialva.

4.4. HALO, BOOLE-ALGEBRA 91

4.4.4. Legyen valamely (H ;,) halo elemein a 4 relacio a kovetkezo:

a 4 b, ha a b = a.

Igazolja, hogy

a) a relacio parcialis rendezes H-n;

b) a (H ;4) rendezes barmely ket elemehez van infimum es szupremum:inf (a, b) = a b es sup (a, b) = a b.

4.4.5. Az alabbi grafok egy parcialis rendezes Hasse-fele diagramjai. Melyek al-kotnak halot, disztributv halot, illetve felhalot a sup es inf muveletekkel?

a) b) c) d)

4.4.6. Igazolja, hogy az alabbi strukturak Boole-algebrak:

a) egy A 6= halmaz hatvanyhalmaza az unio, metszet es komplementermuveletekkel;

b) az n-valtozos (n 6= 0) keterteku logikai fuggvenyek halmaza a kon-junkcio, diszjunkcio es a negacio muveletekkel.

4.4.7. Legyenek az A halmaz elemei 715 pozitv oszoi; (A;,) muveletei pediglegyenek a kovetkezok: a b = lkkt (a, b) es a b = lnko (a, b).a) Legyen az A halmazon egy egyvaltozos muvelet () ertelmezve, amely-

re a = 715a . Igazolja, hogy az (A;,, ) struktura Boole-algebra.b) Hatarozza meg a fent definialt Boole-algebraban a (5) (13 143)

kifejezes eredmenyet.

4.4.8. Boole-algebrat alkot-e (A;,, ), ha A = {42 pozitv osztoi}, a legki-sebb kozos tobbszoros, a legnagyobb kozos oszto es a = 42a ?

4.4.9. Az alabbi halmazok kozul melyek alkotnak Boole-algebrat, ha es aket ketvaltozos muvelet? A megfelelo egyvaltozos muvelet megtalalasa azolvaso feladata.


a) {a, b, c, . . . , z} legalabb hatelemu reszhalmazainak halmaza;b) {a, b, c, . . . , z} legfeljebb hatelemu reszhalmazainak halmaza;c) {a, b, c, . . . , z} azon reszhalmazainak halmaza, amelyek az osszes ma-

ganhangzot tartalmazzak;

d) {{2n, 2n+ 1} | n Z} reszhalmazainak halmaza;e) az egesz szamok azonX reszhalmazainak halmaza, amelyeknel n X

eseten n+ 1 X ;f) az egesz szamok azonX reszhalmazainak halmaza, amelyeknel n X

eseten n+ 1 X es n 1 X .

5. fejezet

Grafelmeleti fogalmak esosszefuggesek

5.1. Alapfogalmak

5.1.1. Adja meg az alabbi graf eleinek es pontjainak szamat, tovabba mindenegyes pont fokszamat.

5.1.2. Van-e olyan egyszeru graf, amely

a) 6 pontu es a pontok fokai: 9, 9, 2, 2, 1, 3;

b) 10 pontu es a pontok fokai: 3, 3, 4, 1, 6, 2, 3, 5, 2, 2?

5.1.3. Van-e olyan 9 pontu egyszeru graf, amelyben a pontok foka

a) 7, 7, 7, 6, 6, 6, 5, 5, 5;

b) 6, 6, 5, 4, 4, 3, 2, 2, 1?

5.1.4. Van-e olyan (legalabb ket pontu) egyszeru graf, amelyben minden pontfoka kulonbozo.

93

94 5. GRAFELMELETI FOGALMAK ES OSSZEFUGGESEK

5.1.5. Kormerkozeses bajnoksagban n csapat jatszik. Bizonytsuk be, hogy bar-mikor megszaktva a versenyt, paros szamu olyan csapat van, amely eddigparatlan szamu meccset jatszott.

5.1.6. Legyen a G graf szogpontjainak halmaza V = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}. Dont-se el, hogy az alabbi elsorozatok kozul melyek nyitottak es melyek zartak.Valassza ki a koroket es az utakat.

a) ({1, 2}, {2, 5}, {5, 8}, {8, 4}, {4, 5}, {5, 8}, {8, 7});b) ({1, 2}, {2, 3}, {3, 6}, {6, 5}, {5, 4}, {4, 1});c) ({4, 5}, {5, 8}, {8, 4}, {4, 7});d) ({1, 2}, {2, 5}, {5, 6}).

5.1.7. Adja meg az alabbi graf szomszedsagi es illeszkedesi matrixat.

1

1

2

2

3

3

4

4

5

5

6

7

5.1.8. Rajzoljon 4 pontu grafot es rja le a graf szomszedsagi matrixat, amely

a) kormentes es osszefuggo;

b) legalabb egy elu kormentes es nem osszefuggo;

c) minden pontjanak foka legalabb 2;

d) teljes.

5.1.9. Sorolja fel az alabbi graf osszes koret.

1 2

34

5.1. ALAPFOGALMAK 95

5.1.10. Rajzoljon olyan 10 pontu egyszeru grafot, amely 3-regularis. Hatarozzameg a graf egyik leghosszabb utjat es koret.

5.1.11. Egy iranytott graf pontjai legyenek az a1, a2, . . ., a6 pontok. Az aipontbol annyi elt indtunk aj-be, amennyi i-nek j-vel valo maradekososztasanal fellepo maradek. Hatarozzuk meg a graf szomszedsagi matrixat.

5.1.12. A G egyszeru grafot az alabbi szomszedsagi matrixszal adtuk meg:

C =

0 1 0 1 11 0 1 0 00 1 0 1 11 0 1 0 11 0 1 1 0

Rajzoljuk meg a grafot es a komplementeret, majd rjuk fel a komplemen-ter graf szomszedsagi matrixat.

5.1.13. Egy egyszeru graf szomszedsagi matrixat jelolje C. Mi a jelentese

a) a C2 matrix foatlojaban szereplo elemeknek;

b) a C2 matrix i-edik soraban szereplo j-edik elemnek, ha i 6= j?5.1.14. a) Hany ele van egy n pontu teljes grafnak?

b) Van-e olyan 4, 5, illetve 6 pontu egyszeru graf, amely izomorf a komp-lementerevel?

5.1.15. Rajzolja le az osszes 4-pontu egyszeru grafot, amelyek paronkent nemizomorfak.

5.1.16. Izomorfak-e az alabbi grafparok?

a)


b)

c)

5.1.17. Hany pontu az a teljes graf, amelynek kevesebb ele van, mint a pontokszamanak hatszorosa, de tobb, mint a pontok szamanak otszorose?

5.1.18. Egy 5-pontu egyszeru grafnak 8 ele van. Mekkorak lehetnek a pontokfokszamai?

5.1.19. Rajzoljon olyan 6 pontu egyszeru grafot, amely

a) osszefuggo es kormentes;

b) minden pontjanak foka legalabb 2 es nem osszefuggo;

c) 3-regularis.

5.1.20. Igazolja, hogy ha egy osszefuggo grafnak kevesebb ele van, mint pontja,akkor van 1-foku pontja.

5.1.21. Bizonytsa be az alabbi alltasokat:

a) Ha egy graf minden pontjanak fokszama legalabb 2, akkor van bennekor.

b) Ha egy graf kormentes, akkor van 1 foku pontja.

5.1. ALAPFOGALMAK 97

5.1.22. a) Az alabbiakban igazoljuk, hogy egy n-pontu, kormentes, osszefuggografnak pontosan n 1 ele van.Az alltast a graf pontszamara vonatkozo teljes indukcioval igazoljuk,gondolatmenetunkben logikai hibat vetunk. Mi a hiba?

A k = 1 pontu grafra az alltas nyilvanvalo. Belatjuk, hogy ha ak-nal kevesebb pontu grafokra igaz az alltas, akkor a k pontuakra isigaz.

Tekintsunk ugyanis egy tetszoleges k1-pontu, kormentes, osszefug-go grafot, vegyunk hozza egy uj pontot, es kossuk ossze a meglevopontok valamelyikevel. Egyszeru meggondolni, hogy a kapott k pon-tu graf kormentes, osszefuggo, es eleinek szama 1-gyel nagyobb, minta k 1-pontu grafe, amelynek elszama indukcios feltevesunk ertel-meben k 2. Ezzel belattuk, hogy tetszoleges grafra igaz az alltas.

b) Javtsa ki az a) pontban szereplo bizonytast.

c) Hany ele van egy n pontu k komponensu kormentes grafnak?

5.1.23. Egy hattagu tarsasagban mindenkinek pontosan 3 baratja van. Egy al-kalommal 6 mozijegyet kaptak, harom moziba, mindegyikbe kettot. Min-denki csak valamelyik baratjaval egyutt hajlando moziba menni. Megtudjak-e szervezni a mozilatogatast?

5.1.24. Legyen G egy 2n-pontu egyszeru graf, ahol minden pont foka legalabbn 1.a) Szerkessze meg az osszes lehetseges G grafot, amely ket kompo-

nensbol all, ha n = 3.

b) Legalabb hany pontot tartalmaz G egy komponense?

c) Allhat-e a G graf 2-nel tobb komponensbol?

5.1.25. Mutassa meg, hogy ha egy 2n pontu egyszeru graf minden pontjanak fokalegalabb n, akkor a graf osszefuggo.

5.1.26. Igaz-e, hogy G vagy a komplementere biztosan osszefuggo?

5.1.27. Legyen a G osszefuggo grafnak e egy olyan ele, amelyet elhagyva G ketkomponensre esik szet. Bizonytsuk be, hogy e nem lehet G-beli kor ele.

5.1.28. Az egyik megye 22 telepulese kozul otben van korhaz. Legalabb hany olyanutat kell megepteni, amely ket telepulest kot ossze azert, hogy barmelytelepulesrol legalabb az egyik korhazba el lehessen jutni kieptett uton.


5.1.29. Jelolje Kn (n 3) az n pontu teljes grafot. Hatarozza meg a graf khosszusagu koreinek szamat, ha

a) k = n;

b) 3 k n;c) 3 k n es a korok egy rogztett e elt tartalmaznak.

5.2. Euler- es Hamilton-bejarasok

5.2.1. a) Egy varosban, ahol az uthalozat osszefuggo, egyiranyu utcak is van-nak. Mikor jarhatja be egy locsoloauto az osszes utcat (espedig azegyiranyuakat pontosan egyszer, jo iranyban; a ketiranyuakat pediga ket savban egyszer oda, egyszer vissza) ugy, hogy vegul a kiin-duloponton fejezze be a munkajat.

b) Mutassa meg, hogy ha minden utca ketiranyu, akkor az elozo bejarasmindig megoldhato.

5.2.2. Mely teljes grafok Euler-grafok?

5.2.3. a) Igazolja, hogy egy legalabb ket pontbol allo osszefuggo grafnak pon-tosan akkor van nyitott Euler-setaja, ha a grafban pontosan ketparatlan fokszamu pont van (a tobbi paros).

b) Mely teljes grafoknak van nyitott Euler-setaja?

5.2.4. Az alabbi grafok kozul melyiknek van nyitott, illetve zart Euler-setaja,Hamilton-kore, vagy -utja?

a)

a b

c

d

e

b)

a b c

d e

5.2. EULER- ES HAMILTON-BEJARASOK 99

c)

a b

cd

ef

gh d)

a

b c

de

f

5.2.5. A dominolapokra a 0, 1, . . . , 9 szamokbol alkotott szamparok vannak fel-rva ugy, hogy minden szampar pontosan egyszer szerepel.

a) Osszerakhato-e az osszes dominolap a kirakas szabalyai szerint ugy,hogy a dominok egy

kort kepezzenek?

b) Mit mondhatunk a 0-tol 8-ig szamozott dominokrol?

5.2.6. a) Milyen n eseten van az n-pontu teljes grafnak Hamilton-kore?

b) Mely teljes paros grafoknak van Hamilton-kore?

5.2.7. Mutassa meg, hogy az alabbi grafnak van Hamilton-kore.

5.2.8. Bejarhato-e egy 5 5-os sakktabla lougrassal ugy, hogy nem kell a kiin-dulasi pontba visszaerni, felteve, hogy minden mezore pontosan egyszerugrunk. Es ha vissza kell terni? Adja meg a feladat grafmodelljet.

5.2.9. Mutassa meg, hogy az alabbi grafban nincs Hamilton-kor.


5.2.10. Bejarhato-e lougrassal egy 44-es sakktabla ugy, hogy a kiindulasi pontbavisszaerjunk, felteve, hogy minden mezore pontosan egyszer ugrunk?

5.2.11. Bizonytsa be, hogy

a) ha a G grafban letezik k darab pont, amelyeket illeszkedo eleivelegyutt torolve, G tobb mint k komponensre esik szet, akkor G-neknincs Hamilton-kore;

b) ha a G grafban letezik k darab pont, amelyeket elhagyva G megk + 1-nel is tobb komponensre esik szet, akkor Hamilton-utja sincs.

5.3. Skgrafok es sznezesek

5.3.1. Adott a skon negy pont. Ossze lehet-e kotni az osszes pontpart ugy, hogyaz osszekoto vonalak ne messek egymast?

5.3.2. Mutassa meg, hogy az alabbi grafok skgrafok:

a)

a b

c

d

e

b)

a

b c

d

e

c)

a b c

d e f

d)

a b

c

d

ef

g

h

5.3.3. Az elozo peldaban szereplo skgrafokra ellenorizze az Euler-formulat.

5.3.4. a) Hatarozza meg az 5.3.2. a) es c) graf tartomanyainak fokszamat.

b) Igazolja, hogy egyszeru, osszefuggo skgraf eseten 3t 2e, ha n 3.5.3.5. Igazolja, hogy nem rajzolhatok skba az alabbi grafok:

5.3. SIKGRAFOK ES SZINEZESEK 101

a) K5 (5-pontu teljes graf);

b) K3,3 (paros, 3-regularis graf).

5.3.6. Indokolja meg, hogy az alabbi ket graf nem skgraf.

a) b)

5.3.7. Rajzolja meg az alabbi grafok dual grafjat.

a) b)

c) negy pontu teljes graf;

d) a kocka elhalozata.

5.3.8. Rajzolja le Magyarorszag es szomszedai terkepet, es szerkessze meg aterkep dualjat

5.3.9. Igaz-e, hogy ha egy terkep ket sznnel kisznezheto, akkor a dualja parosgraf.

5.3.10. Lehet-e ot orszag olyan, amelyek kozul barmely ketto paronkent szomsze-dos?

5.3.11. Minimalisan hany sznnel sznezheto ki egy

a) fa graf;

b) paros, illetve paratlan hosszusagu kor?

Hasznaljuk fel az elozo feladat b) alltasat.Ha a K3,3 graf skgraf, akkor teljesulnie kellene a 4t 2e egyenlotlensegnek. Miert?Terkep dualja az a G graf, melynek pontjai az egyes orszagoknak felelnek meg. Ket pont

akkor van osszekotve G-ban ellel, ha a ket megfelelo orszag szomszedos. Belathato, hogy G

mindig skgraf.


5.3.12. a) Legyen egy n-pontu fagraf ket nem-szomszedos pontja pirossal ki-sznezve. Legfeljebb hany szn szukseges meg a fagraf pontjainakkisznezesehez?

b) Tegyuk fel, hogy egy n-pontu fagraf k db nem szomszedos pontjapiros sznnel van kisznezve. Legfeljebb hany szn szukseges meg akisznezeshez?

5.3.13. Hatarozza meg az alabbi grafok kromatikus szamat.

a) b)

c) d)

5.4. Fak es erdok

5.4.1. Rajzolja le a nem-izomorf

a) harompontu;

b) negypontu;

c) otpontu

fakat.

5.4.2. Mutassa meg, hogy 6 darab nem-izomorf 6-pontu fa letezik.

5.4.3. A fa Prufer-kodjabol rajzolja fel a grafokat:

a) (1, 3, 2, 4, 1, 2, 3);

b) (7, 7, 4, 4, 5, 3, 3, 8);

5.4. FAK ES ERDOK 103

c) (9, 8, 7, 6, 5, 4, 3, 2, 1).

5.4.4. Van-e olyan 7-pontu fa, amely

a) minden pontjanak foka 1;

b) a pontok fokai: 2, 2, 2, 2, 2, 1, 1;

c) minden pont foka 2;

d) a pontok fokai: 1, 1, 1, 1, 1, 1, 6?

5.4.5. Bizonytsa be, hogy minden fa paros graf.

5.4.6. Igazolja, hogy barmely, legalabb otpontu grafban vagy a komplementere-ben van kor.

5.4.7. A G fa kozeppontja az a G-beli pont, amelynek a tobbi ponttol valo ma-ximalis tavolsaga minimalis. Bizonytsa be, hogy minden fanak egy, vagyket szomszedos kozeppontja van.

5.4.8. Legyen a G graf 17 pontu es kormentes.

a) Hany ele van, ha komponenseinek szama 5?

b) Hany komponense van, ha eleinek szama 6?

5.4.9. Rajzolja le az alabbi graf nehany fesztofajat.

5.4.10. Legyen G egy osszefuggo graf. Mit tud mondani arrol az elrol, amely

a) G minden fesztofajanak ele;

b) G egyik fesztofajanak sem ele?

Ket pont tavolsaga a ket pontot osszekoto ut eleinek szama.


5.4.11. Hatarozza meg az alabbi graf egy minimalis sulyu fesztofajat.

2

Documents

György Anna – Kárász Péter – Sergyán Szabolcs – Vajda István – Záborszky Ágnes, Diszkrét Matematikai Példatár, BMF-NIK-5003, Budapest, 2003