V. Corrientes eléctricas

® Gabriel Cano Gómez, 2010/11 Dpto. Física Aplicada III (U. Sevilla)

Campos ElectromagnéticosIngeniero de Telecomunicación

V. Corrientes eléctricas

8. Corrientes no estacionarias

Campos Electromagnéticos (I. Telecomunicación) V. Corrientes eléctricas

® G

abri

el C

ano

Góm

ez,

10/1

1

1. Introducción2. Magnitudes para la corriente eléctrica3. Leyes de la corriente eléctrica4. Conductores lineales: medios óhmicos5. Generadores6. Coeficientes de conductancia7. Circuito equivalente8. Corrientes no estacionarias

2

V. Corrientes eléctricas

Corrientes de conducción no estacionariasRelajación de la carga

Sistema de corrientes variables: circuito equivalenteLeyes de Kirchoff

Corrientes de polarización Generalización de la ecuación de continuidad


® G

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Ecuaciones de la corriente y el campocorriente de conducción no estacionaria, J(r;t)intensidad de corriente variable:

campo eléctrico E(r;t) variable en el tiempono es estrictamente irrotacionalderiva de potencial variable:

ecuación para D(r;t) (complementaria)

Corrientes de conducción no estacionarias (I)

Local ( P3) Integral

Principio de conservación

(casi) Irrotacionalidad

lib( ; )tt

J r libdQddt

J S( ; )t E r 0 0d

E r

Ley de Gauss lib( ; ) ( ; )t tD r r lib ( )d Q t

D S

lib(r;t)

J(r;t)

E(r;t) D(r;t)

SI(t)

P

dS

; ) ( ; )t V t E(r r

( ) ; ) dS

I t t J (r S


® G

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4

Corrientes de conducción no estacionarias (II)

lib2 1 P

Pt

n J J

2 1 P n E E 0

2 1 lib( ; )P

P t

n D D

como conductor: J=J(E)como dieléctrico: D=D(E)

E1(P;t)

J1(P;t)

lib(r;t)

J2(P;t)

E2(P;t)

P

D2(P;t)

D1(P;t)

n

Condiciones de salto y continuidadsuperficie con densidad de carga libre, lib(r;t)

del principio de conservación de la carga… discontinuidad compo-nente normal de J(r;t)

del campo eléctrico (casi)irrotacional…continuidad componente tangencial de E(r;t)

de la Ley de Gauss…discontinuidad compo-nente normal de D(r;t)

Relaciones constitutivasdescriben comportamiento de la materia en presencia del campo eléctrico


® G

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1

5

Corrientes de conducción no estacionarias (III)

' '

lib(r;t)

P

J(r;t)

E(r;t)

D(r;t)

lib(r;t)

t

lib(P;t)

0(P) e/t

/1

/10(P)

libσt

J E σJ E

lib ( ; )ε t D E r εD E

liblib ( ; )σ ε t

t

r

lib 0σ( ε)( ; ) ( ) ;tt e r r

lib; ) ; )t t t

n J (r J(r

0 lib( ) ( ;0) r r

n

J'(r;t)

Medio lineal homogéneo es un medio óhmico…

… y dieléctrico lineal:

Relajación de la cargaecuación de la carga en :

la solución decae exponencialmentea partir del valor inicial de carga

la carga se acumula en las superficies de discontinuidad:


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i(t)

i i

ii

Si

dQd

dtdQ I ddt

J S J SI1(t)

Ij(t)

Ii(t) Il(t)

IN(t)

I0(t)

C1Cj

Ci

C0)=0

C0

Sistema de corrientes variables y circuito equivalente (I)

Primera Ley de Kirchoffprincipio de conservación de la carga en torno a cada i del sistema de corrientes…

en cada nodo del circuito equivalente…

C0

IiN

Iij

Ii1

Iii

CN

Cl

+

Vl

J=E;

Gjj

+

Vi

+

Vj

CNClCi

C1 Cj

C0

ri

rj

+

VN

Gij

Gii

GlN

G11

GNN

GjN

Ij

Iii

Iij

Jext=0

Ii

+V1(t)

+Vj(t)

+Vi(t)

+VN(t)

·J(r;t)=0

Cij

Cii

10,1, ...,0;N

i ij ijji NI I i

; i jii ijii ij V VdV di C i Cdt dt

j(t)

Qi(t)

i

Si

dS

dS

dS

dS

dS

iii

iij

+Vl(t)

+( ) ( ) ( )dt t tdt

I V VG C

C(), G();(r),(r)E0


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0d

E rj

ii j

dV ddt

V J r

( ) ( )j jijk ij i i Lk

I rt I R I r V t

Gjj

C1

Cj

Ci

C0)=0

C0

Segunda Ley de Kirchoffcampo eléctrico casi irrotacional:en una cerrada del sistema…

en cada malla del circuito equivalente…

C0

Iij

CN

G(Ci);(r)Jext=0

Cl

Rij

Sistema de corrientes variables y circuito equivalente (II)

+V1(t)

+Vj(t)

+Vi(t)

+VN(t)

I1(t)Ij(t)

Ii(t) Il(t)

IN(t)

I0(t)

+Vl(t)

+

Vl

+

Vj

CNClCi

C1 Cj

C0

ri

jrj

+

VN

Rij

GlN

G11

GNN

GjN

j(t)

i(t)+

Vi

CijL

Iij

( )L ij ijV t L dI dt

J=E;E0

B(r;t)

Ij

Ii


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Corrientes de polarizaciónPolarización variable en dieléctricomedio dieléctrico ideal : sin cargas “libres” ni corrientes de conducción

campo de polarización P(r,t) variable en t:Densidad de corriente de polarización:

Energía de polarización potencia “exterior” aportada para polarizar para medios lineales…

lib pol

lib pol

e

e

0

0

extpol pol

pol

Wd

dtP

J E

21

e td

P

pol

pol

se polariza

se despolariza

0; si

0; si

P

P

pol ,t

PJ

pol pol

pol pol

tal que t

t

n

J

J

lib pol J J J0

P

n P

¿ ?

Pext(r)=0 ; Jext(r)=0

P(r';t)

n

P'

pol (t)

pol(t)

pol(r';t)


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Generalización de la ecuación de continuidadMedio material genéricomedio material con cargas eléctricas “libres”

y de polarización, variables en t

corrientes de conducción y de polarización se define una densidad de corriente total…

Ecuación de continuidad relaciona la corriente total con la variación en

el tiempo de toda la carga eléctrica:

lib pol lib pol( ; ) ( )e et t

r

pol ( ; )tt

PJ r

con t J J P

con ( ; )t n q J r vcon pol( ; ) ( ; ) ( ; )t t t r r rJ J J

lib polt t

con t

n Pn nJ J

lib polt t

e t

e t

Pext (r)=0; Jext(r)=0

n

P'

e (t)

e(t)

e(r';t)

J(r';t)

v+

v

P(r';t)


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Régimen estacionario forzado por diferencia de potencial cte., V0

corriente y campos constantes:

carga libre en el sistema:

Circuito equivalente caracterización del medio óhmico :

leyes de Kirchoff:

( ) zJ rJ u 2

1

d

d

I

V

J S

E r

S

C

C

( ) ( ) zzJ rJ u

Ejercicio 5.14 (I)

10

00; 0

z z aV

( ) ( ) ( ) r r rJ E

0J

latlat ext ) ] 0 (rn J J lat

0n

( ) ( )z r

E DJa

11 libdQ S C

J S

lib 0 ;

1

lib 0J C

0JS Q

;V I a S R 1Q V S a C

0 ;I I 0V RI 0Q C

+ V0

V

C1:z=0

C2:z=a

V

R

C

nlat

dSSIJ(r)

Q1

V0

I0

I

I0

C2C1

Jext=0Z

IC =0Q0 Q0

2Q

Q2

00

VV J a


® G

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1

lib(t)

Q1(t)

Q2(t)

V(t)

t

0

( ; );( ; ) ( ; )

tal que ( ); 0z z a

tt z t

VV V

V V t V

rr

Régimen no estacionario en t0, corriente en (sin generador):

corriente y campos variables en t:

solución (similar a caso estacionario)

relajación de la carga

en el conductor C1:

( ) ( ) ( ); ; ;( ); zt t tz tJ r r rJ u E D

Ejercicio 5.14 (II)

11

( ; ) ( ; )t t r rJ E

; 0t (r )J

11

libext ; )]t

t

(rn J JC

C

lib 0( )( ; ) 0,tt e t

rr

( ; )J z t

( ; )J z t

+ V0

C1:z=0

C2:z=a

n=uz

dSS

Jext=0; Dext=0

Z

t0

lib d d 0dQdt

J S J S SJ(r;t)

1 1lib ext ; )]t (rn D DC C

1

liblib ( ; )σ

ε tt

rC

1

lib 0

te

C

0 e/t

0=V0/a


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Régimen no estacionario campos en (para t0):

magnitudes eléctricas:

Circuito equivalentemodelo del medio : idéntico al estacionario leyes de Kirchoff:primera ley:

segunda ley:

Ejercicio 5.14 (III)

12

+ V0

V

C1:z=0

C2:z=a

n=uz

dSS I(t)

Jext=0; Dext=0

Z

t0

V(t)

Q1(t)

J(r;t)Q2(t)0( ) ( ) ( ); ; ;z

tt t t

V ea

r r rJ u E D

V(t)

R I(t)

C2

iC (t)Q(t) Q(t)

C1

V0

t0

C

( ) ( ) 0;CI t i t ( )CdVdt

i t C

1( ) ( ) ( )V t RI t Q t C

0( ) dt

tI S a V e

J SS

2

10( ) d

tV t V e

E rC

C

1

1 lib 0( ) dt

Q t S S a V e C

( )tV R

( )tCV


® G

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el C

ano

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1

13

En régimen estacionariopotencia disipada en medio efecto Joule en conductor óhmico

energía almacenada en medio :comportamiento dieléctrico

potencia suministrada por el generador

balance energético en : potencia neta nula energía constante

dis · dP

J E

Ejercicio 5.14: balance energético (I)

gen fem ggendt

W P I

V

IJ, E, D

I0

0 0V I

2R I

12

· deU D E

gen dis 0 edUtd

P P

220

0; cte.2 2SVCV Ua

0 0V I

V

R

C

V0

I0

I

C2C1

IC =0Q0 Q0

Wgen

Q

Q

UeQdt

C1:z=0

C2:z=a Z

+ V0

Wgen

Ue


® G

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V(t)

R I(t)

C2

Q1(t) Q1(t)

C1

CiC (t)

t0

V0

V(t)

En régimen no estacionariopotencia disipada en región efecto Joule en medio óhmico

energía almacenada en región :comportamiento dieléctrico

el generador no suministra energía

balance energético en : potencia disipada variación de Ue

energía disipada en el proceso:

dis ( ) · dtP

J E

Ejercicio 5.14: balance energético (II)

gen fem ggend 0W t P I

I(t)

12

( ) · de tU D E

Q

Q

Ue(t)Q

dt

C1:z=0

C2:z=a Z

+ V0 t0

J(t),E(t),D(t)2 20

2( )

tRI t V eS

a

2 20

2

2 2( )

tSC V t V ea

Ue(t)

2gen dis 0

2( ) 00

et dUSP P t V ea dt

disdis 0( ) dP tW t

2

00 2 USV a

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