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V. Chollet - Cour-autom-11 - 15/12/2011 page 1mpeea.free.fr/data/autom/cours-autom-08.pdf · - Des systèmes asservis continus Linéaires : commande de vitesse de moteurs Non linéaires

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    CH 1 : MODELISATION DES ASSERVISSEMENTS

    1 INTRODUCTION

    1.1 LAUTOMATIQUE

    Lautomatique est la science ayant pour objet ltude des systmes automatiss.Ne pas confondre automatique et automatisme. Un automatisme est un systme techniquepermettant le fonctionnement dun systme automatis.

    Lautomatique prsente diverses branches selon la nature des systmes tudis.

    Les systmes automatiss peuvent tre :

    - Des systmes squentiels : exemple machine caf.- Des systmes asservis continus

    Linaires : commande de vitesse de moteurs Non linaires : Rgulation de temprature en tout ou rien

    - Des systmes asservis chantillonns : commande de systmes asservis parordinateur.

    Dans le cadre du programme pdagogique national de lIUT Mesures Physiques, seuls lessystmes asservis linaires continus mono-voies sont abords.

    1.2 DEFINITIONS

    Un systme est un dispositif isol soumis aux lois de la physique dont le fonctionnement est rgitpar un systme dquations reliant les variables de sortie aux variables dentre

    Le systme est mono-voie sil met en jeu

    - une entre ou consigne : variable extrieure agissant sur le systme- une sortie : caractrise ltat du systme

    Le systme est linaire si la relation entres/sorties est un systme dquations diffrentielleslinaires.

    Un systme linaire obit au principe de superposition :

    Pour un systme mono-voie :Si e1 engendre s1, e2 engendre s2, e3 engendre s3 etc Alors e = ae1 + be2 + ce3 + engendre s = as1 + bs2 + cs3 +

    Le systme est continu si tous les signaux qui le caractrisent sont continus aux sensmathmatique. Par opposition, il existe des systmes temps discret : systmes chantillonns

    Remarque : Un systme asservi est encore appel asservissement.

    Systme physiqueVariablesdentre

    Variablesde sortie

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    2 STRUCTURE DES SYSTEMES ASSERVIS

    2.1 SYSTEME BOUCLE

    2.1.1 - Exemple n 1 : Conduite dune voiture.

    On considre le systme constitu de lensemble conducteur, voiture, route. Le sous-ensemble voiture-route est considr comme le processus piloter, le conducteur constitue enlangage dautomaticien le rgulateur.

    Quelles sont les grandeurs dentre (consignes) ?

    Quelles sont les grandeurs de commande sur la voiture ?

    Quel organe permet lenvoi des commandes sur le processus ?

    Quelles sont les grandeurs de sortie ?

    Quel organe assure le rle de capteur ?

    Par quel moyen intelligent le systme est-il command ?En quoi le systme est-il boucl ? Dessiner un schma bloc du systme.

    Quels signaux peuvent venir perturber le systme ?

    3 TRANSFORMEE DE LAPLACE

    3.1 INTRODUCTION

    Les signaux utiliss en automatique sont causaux : ils sont nuls pour t < 0.Cela signifie quils sont nuls avant davoir t appliqus !Pour modifier la grandeur de sortie dun systme, par exemple la vitesse dun moteur, on utilisesouvent les signaux chelon ou rampe.

    Ces signaux dnergie infinie nont pas de transforme de Fourier car |x(t)| dt ne converge pas(tend vers +).

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    3.2 DEFINITION

    Sil existe un rel tel que | x(t) exp(-t) | dt converge, alors la transforme de Fourier dex(t) exp(-t) existe, on lappelle transforme de Laplace.

    Ainsi : X (+j) = x(t) exp(-t) exp(-jt) dt

    On pose p = + j X (p) = x(t) exp(-pt) dt

    Pour des signaux causaux, nuls pour t < 0, lintgrale seffectue de 0 +, on obtient ladfinition de la transforme de Laplace X de x :

    Soit un signal x(t) quelconque, la transforme de Laplace X(p) de x(t) est dfinie par :

    3.3 TABLE DES TRANSFORMEES DE FOURIER

    Voir annexe

    3.4 PROPRIETE DE LA TRANSFORMATION DE LAPLACE

    Voir annexe

    4 FONCTION DE TRANSFERT

    4.1 DEFINITION

    Soit un systme linaire continu mono-voie :

    La fonction de transfert du systme est dfinie par :

    Ainsi s(t) et e(t) sont relis par une quation diffrentielle rsultant de lapplication des lois de laphysique.S(p) et E(p) sont relis par la fonction de transfert.

    X (p) = x(t) exp(-pt) dt

    Transforme de Laplace des variations de s(t)F(p) = Transforme de Laplace des variations de e(t)

    SystmeEqua diff

    F(p)

    e(t)

    E(p)

    s(t)

    S(p)

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    4.2 STRUCTURE DUN ASSERVISSEMENT

    Objectifs : Mettre en vidence partir dun exemple les notions suivantes :

    - Structure du systme asservi :

    Actionneur / capteur / process Chane daction / chane de raction Chane de puissance / chane de mesure Comparateur Signaux : consigne, cart, commande, sortie, retour Rgulateur : comparateur + ampli+correcteur Signaux de perturbation

    - Fonctionnement en rgulation ou en poursuite

    - Notion de performance du systme : Rapidit de rponse Prcision de rponse Stabilit

    On considre le systme constitu dune chaudire permettant de rguler la temprature dunemaison. La rgulation de temprature seffectue par lintermdiaire dune lectrovanne agissantsur le dbit deau chaude dans les radiateurs.

    De quoi est constitu le processus rguler ?

    Quels sont les signaux dentre, de commande et de sortie ?

    Dessiner le schma bloc du systme en faisant apparatre : le comparateur, lactionneur, leprocessus et le capteur.

    Quels peuvent tre les perturbations agissant sur le systme ?

    Quels sont les deux modes de fonctionnement possible permettant dassurer la tempraturesouhaite en toute circonstance ?

    Quelles sont les performances attendues dun systme automatis ?

    T

    Capteur detemprature

    Rgulateur

    Radiateur

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    4.3 LES FT MISES EN JEUX DANS UN ASSERVISSEMENT

    Chane daction ou chane directe : cest une chane de puissanceElle est caractrise par A(p) = C(p) F(p)

    Chane de raction ou de retour : cest une chane de mesure, faible puissance.Elle est caractrise par B(p)

    5 DETERMINATION DES FT

    5.1 - METHODE THEORIQUE, A PARTIR DE LEQUA-DIFF

    Un systme masse ressort frottement visqueux modlisant un amortisseur de voiture donnelquation diffrentielle suivante :

    d2y/dt2 + 2 0 dy/dt + 02 y = 0

    2 y0

    Dterminer la fonction de transfert Y(p) / Y0(p) du systme.

    5.2 - METHODE EXPERIMENTALE

    Rponse impulsionnelle : exemple 1er et 2me ordre Rponse indicielle : exemple 1er et 2eme ordre Rponse harmonique : exemple 1er et 2eme ordre

    Process F(p) consigne e(t)

    Ecart

    (t)Correcteur C(p)

    Rgulateur

    Capteur B(p)

    Commandeu(t) sortie s(t)

    retour r(t)

    +-

    y(t) position de la voiturey0(t) excitation au niveaude la roue

    Voir annexe

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    CH 2 : FONCTIONS DE TRANSFERT DU SYSTEME ASSERVI

    1 SCHEMA FONCTIONNEL

    On a vu au chapitre prcdent que la structure dun systme asservi se rsume au schmafonctionnel suivant :

    Ce schma peut tre simplifi :

    Tout systme asservi prsente donc :

    - Une chane daction ou chane directe : Sa fonction de transfert sera note A(p)- Une Chane de raction ou de retour : Sa fonction de transfert sera note B(p)

    Le systme peut fonctionner :

    - En boucle ouverte lorsque le retour nest pas connect au soustracteur. On naplus dasservissement, plus de rgulation.

    - En boucle ferm lorsque cette connexion est ralise. Lasservissement estainsi ralis

    En boucle ferme, lasservissement peut fonctionner :

    - En poursuite : La sortie doit suivre les variations de la consigne.

    - En rgulation : La consigne est fixe, la sortie doit tre maintenue dans savaleur quelles que soient les perturbations agissant sur le systme.

    Ce dcoupage des 2 modes de fonctionnement est un peu artificiel, un fonctionnement enpoursuite saccompagne simultanment dune rgulation : La sortie doit suivre lentreindpendamment des perturbations extrieures qui peuvent exister.

    Process F(p) consigne e(t)

    Ecart

    (t)Correcteur C(p)

    Rgulateur

    Capteur B(p)

    Commandeu(t) sortie s(t)

    retour r(t)

    +

    consigne e(t) = 0 Ecart (t)A(p)

    sortie s(t)

    retour r(t)

    +-

    B(p)

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    2 FTBO

    Remarque : Dimension de T(p)

    3 - FTBF

    3.1 - Dfinition

    Remarque : Dimension de H(p)

    3.2 Expression de H(p) en fonction de A(p) et B(p)

    Remarque : Dimensions compares de A(p) et B(p).

    Dfinition : Fonction de Transfert en Boucle Ouverte

    Par dfinition, on appelle Fonction de Transfert en Boucle Ouverte (FTBO), la fonction de

    transfert R(p) / (p). On la note T(p).

    Ainsi : T(p) = A(p). B(p) = chane directe * chane de retour

    Dfinition : Fonction de Transfert en Boucle Ferme

    Par dfinition, on appelle Fonction de Transfert en Boucle Ferme (FTBF), la fonction detransfert S(p) / E(p). On la note H(p).

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    3.3 Expression de H(p) en fonction de T(p).

    La connaissance de T(p) partir dune tude thorique ou exprimentale permet de dterminerH(p).Lintrt est que ltude thorique est plus simple en boucle ouverte !

    Enfin lexpression de H(p) montre aussi que ltude de T(p) donc du systme en boucle ouvertepermettra de prdire son fonctionnement en boucle ferme

    3.4 Capteur intgr dans la chane directe, systme retour unitaire

    En ralit quand on veut observer lvolution dune grandeur physique, on est amen observerlvolution de son image lectrique donne par le capteur. Autant considrer ce signal commesortie du systme. Cela nous amne modifier le schma fonctionnel en amenant le capteur dansla chane directe. Le systme devient retour unitaire.

    Dans ce cas la FTBF H(p) devient :

    H(p) = Chane directe / [ 1 + Chane directe* chane retour ]

    = A(p) B(p) / [ 1 + A(p) B(p) ]

    4 FONCTION DE TRANSFERT RELATIVE AUX PERTURBATIONS

    Non trait => volume horaire insuffisant !

    5 INFLUENCE DE LA FLUCTUATION DES PARAMETRES

    Non trait => volume horaire insuffisant !

    Consigne e(t) = 0 Ecart (t)

    A(p) sortie s(t)

    retour r(t)

    +- B(p)

    -

    Retour r(t) :Image lectrique

    de la grandeur de

    sortie

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    6 EXEMPLE

    On donne C(p) = K : Il sagit dun amplificateur

    Le process est un four dont la fonction de transfert est F(p) = 2 / [1 + 600 p]

    Le capteur est une sonde de temprature dont la constante de temps est ngligeable par rapport celle du four. Donc B(p) = B = cste.

    En intgrant le capteur la chane directe,

    a) Exprimer la FTBOb) Exprimer la FTBF.c) Comparer les constantes de temps en boucle ouverte et boucle ferme.

    Process F(p) consigne e(t)

    Ecart

    (t)Correcteur C(p)

    Rgulateur

    Capteur B(p)

    Commandeu(t) sortie s(t)

    (temprature)

    retour r(t)

    +

    B

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    Ch 3 : STABILITE DES SYSTEMES

    1 DEFINITION DE LA STABILITE

    Prciser si les systmes dessins ci-dessous sont stables :

    En dduire une dfinition de la stabilit dun systme :

    2 FONCTION DE TRANSFERT ET REPONSE IMPULSIONNELLE

    On applique une impulsion de Dirac lentre dun systme et on enregistre sa rponseimpulsionnelle.

    Rappeler la dfinition de la Fonction de transfert F(p)

    Quelle est la transforme de Laplace de (t) ?En dduire la relation entre la fonction de transfert et la transforme de Laplace de la rponseimpulsionnelle.

    Dfinition

    Systme F(p)

    Systme F(p) instable

    stabl

    et

    t

    t

    t

    Systme F(p)

    (t) : impulsion de Dirac

    t

    s(t) : rponse impulsionnelle

    t

    Proprit

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    3 STABILITE DUN SYSTEME DU 1er ORDRE

    Soit un systme connu par sa fonction de transfert F(p) = 1/(1+ p)

    3.1 Exprimer F(p) sous la forme F(p) = A/(p + a)

    3.2 En utilisant la table de transforme de Laplace, exprimer la rponse impulsionnelle dusystme.

    3.3 En dduire une condition de stabilit du systme

    3.4 A quelle condition sur le ple de sa Fonction de Transfert un systme du 1er ordre est-ilstable ?

    3.5 Etudier la stabilit en boucle ferme dun systme asservi dont la fonction de transfert du

    processus F(p) est du 1er ordre : F(p) = K/(1 + p)

    a) Exprimer la FTBF H(p)b) Exprimer les ples de la FTBFc) En dduire lexpression de H(p) sous la forme H(p) = K/(p + a)d) En utilisant la table de transforme de Laplace, exprimer la rponse impulsionnelle dusystme.e) Le systme est-il stable en boucle ferme ?

    Soit une fonction de transfert F(p) = N(p) / D(p),On appelle ples de la Fonction de transfert, les racines du dnominateur, cest dire lessolutions de lquation D(p) = 0

    Im

    R

    Process F(p) consigne e(t)

    Ecart

    (t)Ampli : A

    Rgulateur

    Capteur : B cste

    Commandeu(t) sortie s(t)

    retour r(t)

    +-

    Rdiger sur une

    feuille annexe !

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    4 STABILITE DUN SYSTEME DU 2eme ORDRE

    Soit un processus connu par sa fonction de transfert F(p) = 0,75 / ( 1+ 2.2p + 0.4p )

    4.1 Dterminer les ples de F(p) et en dduire lexpression de F(p) sous la formeF(p) = K / [ (p+a)(p+b) ] puis F(p) = K1 /(p + a) + K2 /(p+b)

    4.2 En utilisant la table de transforme de Laplace, exprimer la rponse impulsionnelle dusystme.

    4.3 Le processus est-il stable ?

    4.4 Etudier la stabilit en boucle ferme du systme asservi :

    Exprimer la FTBF H(p) en fonction de A sous forme normalise du second ordre,exprimer lamortissement et la pulsation propre en fonction de A.

    On considre A = 1a) Calculer le coefficient damortissementb) Exprimer les ples de la FTBFc) En dduire lexpression de H(p) sous la forme H(p) = K/(p + a)(p+b)d) En utilisant la table de transforme de Laplace, exprimer la rponse impulsionnelle dusystme.e) Le systme est-il stable en boucle ferme ?

    On considre A = 4a) Calculer le coefficient damortissementb) Exprimer les ples de la FTBFc) En dduire lexpression de H(p) sous la forme H(p) = K/(p + a)(p+b)d) En utilisant la table de transforme de Laplace, exprimer la rponse impulsionnelle dusystme.e) Le systme est-il stable en boucle ferme ?

    5 POLES DE LA FT ET STABILITE DUN SYSTEME

    De ltude prcdente, dduire en gnralisant, la condition ncessaire et suffisante de stabilitdun systme dordre n quelconque.

    F(p) consigne e(t)

    Ecart

    (t)Ampli : A = 1

    Commandeu(t) sortie s(t)

    retour r(t)

    +-

    Im

    R

    Im

    R

    Stabilit

    Rdiger sur une

    feuille annexe !

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    6 STABILITE DUN SYSTEME ASSERVI DU 3me ORDRE

    Soit un processus connu par sa fonction de transfert F(p) = 0,8 / [ p ( 1+ 2.2p + 0.4p ) ]

    Exprimer la FTBF H(p) en fonction de AConstater que les ples de H(p) dpendent de A, et que ltude de linfluence de A sur leur valeurnest pas aise

    7 CRITERE DE ROUTH

    Equation caractristique 1 + T(p) = 0 (dnominateur de la FTBF)

    Table de Routh

    an an-2 an-4 an-6

    an-1 an-3 an-5 an-7

    an-1 an-2 - an an-3 an-1 an-4 - an an-5 an-1 an-6 - an an-7an-1 an-1 an-1

    q1 an-3 - an-1 q2 q1 an-5 - an-1 q3q1 q1 .

    .

    Le systme est stable en boucle ferme si tous les coefficients de la premire colonnesont de mme signe.

    Sil y a N changements de signes sur ces coefficients, alors la FTBF prsente N ples partierelle positive.

    Si tous les coefficients dune mme ligne sont nuls, le systme est juste oscillant en boucle ferme.(ples imaginaires purs)

    Application : A laide du critre de Routh, tudier le domaine des valeurs de A permettant ausystme dcrit au 5 dtre stable en boucle ferme.

    F(p) consigne e(t)

    Ecart

    (t)Ampli : A = 1

    Commandeu(t) sortie s(t)

    retour r(t)

    +-

    Pour des systmes dordre suprieur 3, ltude de la stabilit par la place des ples dans leplan complexe nest pas aise. En particulier, il est difficile de trouver la plage des valeurs de Apermettant au systme de rester stable en boucle ferme.

    On est amen utiliser dautres mthodes : simulation, tude frquentielle, critre de Routh.

    q1 q2

    q3

    1 + T(p) = 0 an pn + an-1 pn-1 + an-2 pn-2 + .... + a1 p + a0 = 0

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    8 REPONSE EN FREQUENCE ET STABILITE

    8.1 CONDITION DENTRETIEN DES OSCILLATIONS

    a) Ecrire la FTBF H(p)

    b) On se place en rgime sinusodal. Comme en lectronique, S(j) est not S et E(j)est not E.

    A quelle condition a-t-on en boucle ferme, S 0 quand E = 0

    c) Ecrire la condition dentretien des oscillations en boucle ferme sous forme argument et module.

    d) Ecrire la condition damorage des oscillations du systme en boucle ferm

    e) Traduire physiquement cette condition damorage

    f) Les graphiques suivants donnent les courbes de rponse en frquence de la FTBO dequelques systmes. Dire si le systme est stable en boucle ferme

    consigne e(t) = 0 Ecart (t)A(p)

    sortie s(t)

    retour r(t)

    +-

    B(p)

    -180

    0 dB

    G dB = 20 log |T(j)|

    = arg T(j)

    log f

    log f

    -180

    0 dB

    G dB = 20 log |T(j)|

    = arg T(j)

    log f

    log f

    -180

    0 dB

    G dB = 20 log |T(j)|

    = arg T(j)

    log f

    log f

    Diag. de Bode de la FTBO Diag. de Bode de la FTBO Diag. de Bode de la FTBO

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    8.2 CRITERE DE STABILITE EN BOUCLE FERMEE

    8.3 STABILITE EN BOUCLE FERMEE ET ORDRE DU SYSTEME

    Reprsenter graphiquement lallure des diagrammes de Bode dune FTBO du 1er ordre, 2me ordreet 3me ordre :

    En dduire linfluence de lordre de la FTBO sur la stabilit en boucle ferme du systme

    8.4 INFLUENCE DE LAMPLIFICATION

    On considre un asservissement disposant dun correcteur proportionnel dans la chane directe,le coefficient damplification A est le paramtre de rglage.

    Critre frquentiel de stabilit

    log f log f log f

    -90

    = arg T(j)

    Diag. de Bode de la FTBO

    -180

    -90

    = arg T(j)

    Diag. de Bode de la FTBO

    -180

    -90

    = arg T(j)

    Diag. de Bode de la FTBO

    -180

    0 dB

    G dB = 20 log |T(j)|

    log f1/1

    0 dB

    G dB = 20 log |T(j)|

    log f1/1 1/2

    0 dB

    G dB = 20 log |T(j)|

    log f1/1 1/2 1/3

    T1(p) = K / (1 + 1p) T2(p) = K / (1 + 1p) (1 + 2p) T3(p) = K / (1 + 1p) (1 + 2p) (1 + 3p)

    Ordre 1 Ordre 2 Ordre 3

    consigne e(t) = 0 Ecart (t)F(p)

    sortie s(t)

    retour r(t)

    +-

    B(p)

    A

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    Exprimer La FTBO : T(p) =

    Montrer que la courbe arg(T(j) ne dpend pas de A

    Quelle transformation gomtrique subit la courbe G = 20 log|T(j)| quand A augmente ?

    Complter les graphiques suivants et en dduire linfluence de A sur la stabilit du systme enboucle ferme

    Conclusion, influence de A sur la stabilit en boucle ferme :

    log f

    0 dB

    -180

    G dB = 20 log |T(j)|

    = arg T(j)

    log f

    log f

    Diag. de Bode de la FTBO

    Diagramme de Bode de la FTBO pour A > 1

    -180

    0 dB

    G dB = 20 log |T(j)|

    = arg T(j)

    log f

    log f

    Diag. de Bode de la FTBO

    Diagramme de Bode de la FTBO pour A >> 1

    -180

    = arg T(j)

    Diag. de Bode de la FTBO

    Diagramme de Bode de la FTBO pour A = 1

    0 dB

    G dB = 20 log |T(j)|

    log f

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    9 DIAGRAMME DE BLACK

    9.1 - DEFINITION

    9.2 STABILITE EN BOUCLE FERMEE

    log f

    0 dB

    -180

    = arg T(j)

    Diag. de Bode de la FTBO

    0 dB

    G dB = 20 log |T(j)|

    log f

    = arg T(j)

    G dB = 20 log |T(j)|

    Diag. de Black de la FTBO

    G dB = 20 log |T(j)|

    Diag. de Black de la FTBO

    G dB = 20 log |T(j)|

    Diag. de Black de la FTBO

    Stable enboucleferme

    Instable enboucleferme

    = arg T(j) = arg T(j)

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    9.3 - MARGES DE STABILITE

    9.4 DEGRE DE STABILITE

    Considrons un systme du 2nd ordre soumis un chelon de consigne.

    Si le systme est trop faiblement amorti, il est proche de linstabilit. Le rgime oscillatoire amortidure longtemps, le systme est lent se stabiliser.

    Si le systme est trop fortement amorti, la rponse est apriodique mais le systme rpondlentement.

    Il y a donc un compromis trouver entre stabilit, amortissement et rapidit de rponse.

    La rapidit de rponse est quantifie laide du temps de rponse 5 %On prend ainsi en compte les ventuelles oscillations amorties et la pente de la tangente lorigine dpendant de la bande passante du systme.

    En effet, plus la bande passante est grande, plus le systme est apte transmettre les variationsbrutales. Le front de lchelon est mieux transmis, mais la stabilisation de la sortie sa nouvellevaleur dpendra de lamortissement. La bande passante ne suffit donc pas, il faut un bonamortissement vitant des phnomnes de rsonance trop marqus dans la bande passante.

    = arg T(j)

    G dB = 20 log |T(j)|

    Diag. de Black de la FTBO

    Stable enboucleferme

    -180

    MG

    M

    Marge de gain (MG) :

    Marge de Phase (M):

    Bon rglage :

  • V. Chollet - Cour-autom-11 - 15/12/2011 page 20

    C(p) = K

    Ch 4 : CORRECTION DES SYSTEMES ASSERVIS

    1 PRINCIPE DE LA CORRECTION

    Schma Bloc dun systme avec correcteur dans la chane directe :

    Dans le cas dun asservissement industriel, on utilise des correcteurs spcifiques regroupant troisactions : proportionnelle, intgrale et drive.

    Un tel correcteur est appel correcteur PID.

    2 RAPPEL ACTION PROPORTIONNELLE

    2.1 FONCTION DE TRANSFERT

    2.2 PROPRIETES

    consigne e(t) Ecart (t)Process : F(p)

    sortie s(t)

    retour r(t)

    +-

    Capteur : B(p)

    C(p)

    Commande u(t)

    Nonmodifiable !

    Pour amliorer les performances du systme, on joue sur lacommande u(t) labore par un correcteur.

    Le but est damliorer pour un fonctionnement en boucle ferme, laprcision et la rapidit de rponse tout en conservant des marges destabilit satisfaisantes

    G dB = 20 log |T(j)|

    Diag. de Black de la FTBO pour K =1 (trait plein)et pour K > 1 (pointills)

    K augmente=> La courbe

    monte

    -180

    20 log K

    Quand K augmente, le diagramme de Blackde la FTBO est translate vers le hautLa marge de phase et de gain diminue.

  • V. Chollet - Cour-autom-11 - 15/12/2011 page 21

    Rponse indicielle (chelon de consigne) dun systme sans intgration et dordre >2 :

    Remarque : Mcanisme daugmentation de la rapidit (exemple dun systme du 1er ordre)

    Le systme en boucle ferme devient plus rapide car la commande a une amplitude plusgrande grce lamplification !

    t

    s(t)

    K faible

    Systme trop amorti : lent

    K moyen

    t

    s(t)

    Systme moyennementamorti : temps de rponse

    correct

    K trs fort

    A partir de lordre 3 :Systme instable

    t

    s(t)De faon gnrale, quand K augmente :

    - le coefficient damortissement diminue.- lcart statique diminue prcision statiqueaugmente

    On cherche gnralement rgler K pour avoir une rponsetemporelle prsentant un seul rebond.

    On doit raliser un compromis entre prcision statique etamortissement.

    Notons galement que K trop fort peut se traduireexprimentalement par une saturation de lampli : le signal decommande est crt. On ne gagne alors plus en rapidit.

    K fort

    Systme pas assez amorti :lent

    t

    s(t)

    consigne e(t) chelon

    Ecart (t)Process : F(p)

    sortie s(t)

    retour r(t)

    +-

    Capteur : B(p)

    C(p)= Kampli

    Commande u(t)

    K faible

    t

    u(t)

    K fort

    t

    u(t)

    K trop fort

    t

    u(t)

    Saturation

  • V. Chollet - Cour-autom-11 - 15/12/2011 page 22

    C(p) = K [ 1 + (1/i p) ]

    3 ACTION PROPORTIONNELLE ET INTEGRALE

    3.1 FONCTION DE TRANSFERT

    Le signal de commande labor par ce correcteur est proportionnel au signal dcart (t)et son intgrale.

    On a donc : u(t) = K [ (t) + (1/i ) (t) dt ]

    En passant aux transformes de Laplace, on obtient la FT du correcteur :

    3.2 REPONSE EN FREQUENCE DU CORRECTEUR PI

    On a C(p) = K (1 + i p )/ (i p)

    On saperoit quen hautes frquences G et tendent vers 0.

    Le correcteur PI nagit pas sur les HF => Pas deffet sur la bande passante, donc pasdeffets sur la rapidit du systme.

    En basses frquences, le correcteur PI augmente le gain et retarde la phase de 90.

    Le correcteur PI va avoir tendance en rgime permanent augmenter la commandeenvoye au processus grce laction de lintgration. En rgulation, ds que la sortie scarte de

    la consigne, intgre => u augmente pour que s ratrappe la consigne e.

    Le correcteur PI permet donc de gagner en prcision en rgime permanent (prcisionstatique).

    numrateur

    dnominateurG

    log

    G

    log

    Courbe de Gain du correcteur PI

    1/i

    1/i

    0 dB

    20 log K

    log 0

    -90

    numrateur

    dnominateur

    1/i

    +90

    -90

    Courbe de Phase du correcteur PI

    0

    1/i

    +90

  • V. Chollet - Cour-autom-11 - 15/12/2011 page 23

    3.3 ACTION DU CORRECTEUR PI SUR LA PRECISION STATIQUE

    Etudions le cas dun systme type asservissement de vitesse (1er ordre sans intgration).On applique un chelon de consigne : on souhaite que la vitesse de rotation du moteur

    augmente. Sans le correcteur, il existera un cart entre la consigne et la vitesse mesure

    indispensable pour que le moteur tourne ! (si (t) = 0 alors u(t) = 0 => arrt du moteur)

    Consigne devitesse e(t)chelon

    Ecart (t)Process :Moteur F(p)

    sortie s(t) = (t)vitesse de rotation

    retour r(t)Tension de

    mesure de

    +-

    Capteur devitesse : B(p)

    PI

    Commande u(t)

    t

    (t)

    (t) et u(t) obtenus sanslaction intgrale.

    t

    u(t)

    Action Intgrale sur (t)

    u(t)

    La commande PI estprogressive => pas devariation brutale, lactionintgrale filtre les hautesfrquences.

    La commande PI est

    persvrante : Tant que (t)est maintenue, u(t) augmente(intgration dune constante=> rampe) Au vu de cette commande, peut-on dire que la vitesse de

    rotation augmente indfiniment ?NON : u(t) augmente => augmente => r(t)augmente => diminue => u(t) diminueAinsi : u(t) se stabilise une valeur fixe correspondant

    la nouvelle vitesse de rotation, alors que tend vers 0.Le correcteur PIannule lcart statique

    ACTION INTEGRALE

    0

    5

    10

    15

    20

    25

    0 2 4 6 8 10 12 14 16

    Temps (s)

    Te

    ns

    ion

    de

    co

    mm

    an

    de

    (V

    )

    Ecart

    Commande PI

    t

    (t)

    t

    r(t)

    EEAction PI sur (t)

  • V. Chollet - Cour-autom-11 - 15/12/2011 page 24

    C(p) = K (1 + d p)

    C(p) = K (1 + d p)

    3.4 EFFET DU CORRECTEUR PI SUR LA FTBO - REGLAGES

    4 ACTION PROPORTIONNELLE ET DERIVEE

    4.1 FONCTION DE TRANSFERT

    Le signal de commande labor par ce correcteur est proportionnel au signal dcart (t)et sa drive.

    On a donc : u(t) = K [ (t) + d d(t)/dt ]

    En passant aux transformes de Laplace, on obtient la FT du correcteur :

    4.2 REPONSE EN FREQUENCE DU CORRECTEUR PD

    On a

    G dB = 20 log |T(j)|

    Diag. de Black de la FTBO non corrige (trait plein)Diag de Black de la FTBOC corrige (pointills)

    -180-90

    Exemple dun systme du 3me ordre sans intgration.La marge de phase est correctement rgle sans lecorrecteur.

    Soit x la pulsation pour laquelle GFTBO = 0 dB,Laction du correcteur PI doit se produire avantcette pulsation, pour ne pas trop dstabiliser le

    systme par la rduction de la marge de phase M.

    On doit donc choisir : 1/i

  • V. Chollet - Cour-autom-11 - 15/12/2011 page 25

    On saperoit quen basses frquences G et tendent vers 0.

    Laction drive nagit pas sur les BF => Pas deffet sur le rgime permanent, donc pasdeffet sur la prcision statique.

    En hautes frquences, le correcteur PD augmente le gain et avance la phase de 90. Il adonc tendence augmenter la bande passante du systme , il favorise donc les HF, les variationsbrutales sont ainsi mieux transmises, on obtient ainsi un gain de rapidit.

    On peut constater le mme phnomne en raisonnant dans le domaine temporel : Lecorrecteur PD va avoir tendance en rgime transitoire augmenter la commande envoye auprocessus grce laction drive permettant ainsi de gagner en rapidit de rponse.

    4.3 ACTION DU CORRECTEUR PD SUR LA RAPIDITE

    Etudions le cas dun systme type asservissement de vitesse (2nd ordre sans intgration).On applique un chelon de consigne : on souhaite que la vitesse de rotation du moteur

    augmente. Sans le correcteur, il existera un cart entre la consigne et la vitesse mesure

    indispensable pour que le moteur tourne ! (si (t) = 0 alors u(t) = 0 => arrt du moteur)

    Consigne devitesse e(t)chelon

    Ecart (t)Process :Moteur F(p)

    sortie s(t) = (t)vitesse de rotation

    retour r(t)Tension de

    mesure de

    +-

    Capteur devitesse : B(p)

    PD

    Commande u(t)

    (t) et r(t) obtenus sanslaction drive.

    Action Drive sur (t)

    La commande drive estbrutale => apparition dun pic t = 0.

    La commande drive estanticipative : elle tient compte

    du sens de variation de (t).

    ACTION DERIVEE SEULE

    -40

    -30

    -20

    -10

    0

    10

    20

    30

    40

    0 1 2 3 4 5 6

    temps (s)

    Ten

    sio

    n (

    V)

    Ecart

    Commande Drive

    t

    (t)

    t

    r(t)

    E

  • V. Chollet - Cour-autom-11 - 15/12/2011 page 26

    C(p) = K ( 1 + i p + i d p2 )/(i p)

    p)

    4.4 EFFET DU CORRECTEUR PD SUR LA FTBO - REGLAGES

    5 ACTION PROPORTIONNELLE INTEGRALE ET DERIVEE

    5.1 FONCTION DE TRANSFERT

    Le signal de commande labor par ce correcteur est proportionnel au signal dcart (t)et son intgrale.

    On a donc : u(t) = K [ (t) + d d(t)/dt + (1/i) (t) dt ]

    En passant aux transformes de Laplace, on obtient la FT du correcteur :

    G dB = 20 log |T(j)|

    Diag. de Black de la FTBO non corrige (trait plein)Diag de Black de la FTBOC corrige (pointills)

    -180-90

    Exemple dun systme du 3me ordre sans intgration.La marge de phase est correctement rgle sans lecorrecteur.

    Soit x la pulsation pour laquelle GFTBO = 0 dB,Laction du correcteur PD doit se produire avantcette pulsation, pour que le gain soit renforc dans labande passante du systme.

    On doit donc choisir : 1/d < x

    Si, comme cest le cas sur le dessin, la marge dephase a augment, il faut augmenter K pourtranslater vers le haut la courbe de Black de laFTBOC.

    M

    x

    Plus rapidePrcision statique inchange pour une mme valeur de KRgler K pour avoir un amortissement correct.

    t

    (t)

    t

    r(t)

    EEAction PD

  • V. Chollet - Cour-autom-11 - 15/12/2011 page 27

    5.2 REPONSE EN FREQUENCE DU CORRECTEUR PID

    5.3 EFFET DU CORRECTEUR PID SUR LA FTBO - REGLAGES

    5.4 ACTION DU PID SUR LES PERFORMANCES EN BOUCLE FERMEE

    Le PID permet de combiner les effets de laction intgrale et drive. On obtient lorsquece correcteur est correctement rgl une amlioration de la rapidit et de la prcision statique,tout en conservant une marge de stabilit satisfaisante.

    G

    log

    Courbe de Gain du correcteur PID

    20 log K

    Courbe de Phase du correcteur PID

    0

    1/id

    +90

    - 90

    1/id

    G dB = 20 log |T(j)|

    Diag. de Black de la FTBO non corrige (trait plein)Diag de Black de la FTBOC corrige (pointills)

    -180 -90

    Exemple dun systme du 3me ordre sans intgration.La marge de phase est correctement rgle sans lecorrecteur.

    Soit x la pulsation pour laquelle GFTBO = 0 dB ouGFTBF = 0 dB.

    On rgle i et d pour avoir :

    x = 1 / (id)

    i = 4 d

    Avec ce rglage, laction intgrale intervient sur lesBF et laction drive sur les HF.

    On ajuste ensuite la marge de phase en agissant surK pour translater vers le haut ou le bas la courbe deBlack de la FTBOC.

    M

    x

  • V. Chollet - Cour-autom-11 - 15/12/2011 page 28

    5.5 - REGLAGES DU PID (mthodes temporelles)

    1re mthode

    Observer la rponse indicielle en boucle ferme pour P = 1 et utiliser les indications ci-dessouspour dterminer les paramtres du correcteur PID.

    2me mthode

    Relever la rponse indicielle en boucle ouverte pour P = 1 et utiliser les indications ci-dessouspour dterminer les paramtres du correcteur PID.

    3me mthode

    Raliser un essai de pompage (augmenter laction proportionnelle jusqu lobtentiondoscillations sinusodales) et en dduire les paramtres de Ziegler et Nichols de rglage du PID.

    Soit Aosc la valeur de lamplification conduisant au pompage en boucle ferme et Tosc la priode desoscillations.

    On a alors le rglage de Ziegler et Nichols du PID :

    K = 0,6 Aosc i = 0,5 Tosc d = 0,125 Tosc

    - Annuler I et D- Mettre le gain Kp au minimum- Augmenter P jusqu lobtention dune rponse oscillatoire amortie, soit K0lamplification correspondante.

    - Rgler alors P K0/2

    - Augmenter I = i = 1/i jusqu lobtention dune rponse oscillatoire amortie.Soit i0 la valeur correspondante.

    - Rgler alors I 0,5*i0- Augmenter D jusqu lobtention dune rponse oscillatoire amortie. Soit d0 lavaleur correspondante.

    - Rgler alors d d0 / 3.

    On a alors le rglage deZiegler et Nichols du PID :

    K = 1,2 . T2 / T1i = 2 T1

    d = 0,5 T1

    T1 T2t

    s(t)