BS 1 EL Système Asservis Analogiques Linéaires 1 ...€¦ · BS 1 EL Système Asservis Analogiques Linéaires Lycée Louis Armand - MULHOUSE Physique Appliquée - HASSENBOEHLER

BS 1 EL Système Asservis Analogiques Linéaires

Lycée Louis Armand - MULHOUSE Physique Appliquée - HASSENBOEHLER page 1 / 18

1. Présentation des systèmes bouclés

Asservir consiste à automatiser une tâche. Le domaine d’étude des asservissement s’appelle l’automatique . On parle aussi de servomécanisme (servo-., du latin servus, «esclave»)

Les systèmes asservis sont très répandus, voici des exemples :

le corps humain : la régulation en température, la régulation de la pression artérielle, de la concentration du sang, du rythme cardiaque, la conduite automobile, …

en domotique : la régulation en température du chauffage, du réfrigérateur, du congélateur, d’un four, …, à l’aide d’un thermostat, la régulation de l’humidité du terreau en jardinage, …

dans le domaine industriel : la tension secteur maintenue à 230V / 50 Hz, la pression, la vitesse de translation ou de rotation, la position, la température, le débit, le niveau d’un liquide, le pH, …

dans les transports : sur un navire, dans un avion, … les automatismes sont nombreux.

1.1. insuffisances d’un système commandé en boucle ouver te

Prenons l’exemple du chauffage d’une salle. Un simple robinet sur un radiateur ne suffit pas pour maintenir la température constante puisqu’il suffit d’ouvrir une porte pour la dérégler. L’ouverture de la porte est appelée perturbation du système physique . Un système physique doit satisfaire à des exigences liées au rendement et à la sécurité.

Qualités demandées en régime transitoire : la rapidité est définie par le temps de réponse à 5% : tr5% la stabilité , il y a-t-il des oscillations ? Quelle est la valeur du coefficient d’amortissement m, … ?

Qualités demandées en régime permanent :

la précision est définie par l’erreur : εεεε = lim

t→→→→+∞∞∞∞ e(t) - s(t) (rappel : ε se lit epsilon)

la fidélité est liée au vieillissement du système et donc difficile à définir la sensibilité augmente si H augmente. Par exemple la sensibilité s d’un voltmètre analogique est défini par la tension minimale produisant la plus petite déviation mesurable ; s se chiffre en V / division. Pour un moteur la sensibilité peut s’exprimer en tr/min par volt, pour un capteur de température, en °C / V.

Le problème est que ces qualités recherchées sont souvent contradictoires.

système physique ou processus

ou action de transmittance

H(p)

perturbations P(p)

S(p) E(p)

tâche à réaliser

transmission

effet de l’action

Observation

Action Réflexion



1.2. le schéma bloc d’un système bouclé

Le diagramme en début de chapitre peut être perfectionné : Y(p) est la grandeur de consigne , de référence, suivant les cas.

F(p) est l’organe d’affichage (c’est un potentiomètre le plus souvent) délivrant

la grandeur d’entrée X(p)

ε(p) est la grandeur d’erreur ε(p) = R(p) - X(p)

où R(p) est la grandeur de retour .

Le comparateur élabore la tension d’erreur ε(p) et est suivi dans les asservissement élaborés

par un correcteur C(p) proportionnel, intégral et dérivé (réalisé à l’aide de filtres).

U(p) est la tension de commande , sous entendu, du processus.

A(p) est appelé actionneur , c’est un système d’amplification,

H(p) est le processus (moteur, vérin, …).

P(p) désigne les perturbations. Pour un moteur il peut s’agir du couple résistant, de la charge.

K(p) est la chaîne de retour . C’est un capteur de position (potentiomètre), de vitesse (dynamo

tachymétrique), de température, … délivrant le plus souvent une tension électrique.

1.3. Classification des systèmes asservis

Un asservissement a une consigne variable , faisant évoluer le point de fonctionnement du processus en dépit des perturbations.

Une régulation a une consigne constante ou évoluant par paliers.

Un régulateur est soit analogique, système asservis linéaires continus soit numérique : système asservis linéaires échantillonnés constitués de convertisseurs CAN et CNA et d’un calculateur numérique programmable.

Les régulateurs TOUT OU RIEN sont les régulateurs les plus simples. La grandeur de commande ne prend que deux valeurs permettant deux fonctionnement du processus : la marche et l’arrêt.

S(p)

P(p) U(p)

ε(p)

retour R(p)

régulateur

X(p) Y(p)

K(p)

A(p) C(p) F(p) H(p)

le comparateur



1.4. les fonctions de transfert des systèmes et leurs re présentations

a) fonctions de transfert en boucle fermée Tbf(p) ou FTBF

Simplifions le synoptique de la boucle fermée en prenant C(p) = 1, A(p) = 1, P(p) = 0. Remarquons que l’organe d’affichage a nécessairement la même fonction de transfert que le capteur :

K(p) = X(p)Y(p) =

R(p)S(p)

On obtient le schéma fonctionnel ci-contre permettant d’écrire : (la démonstration est rendue plus claire en n’écrivant pas la variable opérationnelle p)

ε = X - R (1) S = H . ε (2) R = K . S (3)

⇒ (1) et (3) dans (2) donne S = H . (X - R)

S = H . (X - K.S)) = H.X - H.K.S ⇒ S + H.K.S = H.X ⇒ S ( 1 + H . K ) = H . X

⇒ Tbf(p) = S(p)X(p) =

H(p)1 + H(p) . K(p) (1)

comme X(p) = Y(p) . K(p), on peut aussi écrire

Tbf(p) = S(p)Y(p) =

H(p) . K(p)1 + H(p) . K(p) (2)

La transmittance en boucle fermée Tbf(p) a deux expressions, (1) s’il n’y a pas d’organe d’affichage.

b) fonction de transfert en boucle ouverte Tbo(p) ou FTBO

par définition Tbo(p) = R(p)ε(p) = H(p) . K(p) (3)

c) la formule de Black : fonction de transfert en boucle fermée Tbf(p) ou FTBF

La formule de Black est une expression simplifiée de la FTBF qui ne dépend que de la FTBO,

elle déduite des relations (3) et (2) Tbf(p) = S(p)Y(p) =

H(p) . K(p)1 + H(p) . K(p) =

Tbo(p)1 + Tbo(p) (4)

ce qui justifie qu’il suffit d’étudier la FTBO pour connaître et modifier les propriétés de la FTBF

S(p) ε(p)

R(p)

comparateur

Y(p) X(p)

K(p)

K(p) H(p)

S(p) ε(p)

R(p)

X(p)

K(p)

H(p)

S(p) X(p)

K(p)

H(p)

S(p) Y(p)

K(p)

K(p) H(p)



d) le système réduit

Si K(p) = 1 et H(p) = Tbo(p) la relation (2) devient

Tbf(p) = S(p)Y(p) =

H(p)1 + H(p) =

Tbo(p)1 + Tbo(p)

e) représentations de la FTBO

Pour l’étude des qualités d’un asservissement, on s’intéresse donc à la transmittance en boucle ouverte Tbo(p). Cela permet une étude préliminaire pour éviter un défaut destructif lors du bouclage.

La FTBO peut être définie des différentes façons suivantes.

L’expression mathématique : Tbo(p) = K (p - z1) (p - z2) (p - z3)… (p - zn)

(p - p1) (p - p2) (p - p3)… (p - pm)

s’il y a m pôles et n zéros.

Le diagramme de Bode est la représentation du gain G dB = 20 log |T (jω)| et de

l’argument ϕϕϕϕ = arg T(jω) en fonction de la fréquence f ou ωωωω = 2πf en échelle logarithmique.

Le diagramme de Nyquist est la représentation paramétrée en ω de la fonction de transfert T(jω) où on fait correspondre à T(jω) un point d’abscisse égale à la partie réelle de T(jω) : Ré ( T(jω) )

et d’ordonnée égale à la partie imaginaire de T(jω) : Im ( T(jω) )

Le diagramme de Black est la représentation paramétrée en ω de la fonction de transfert T ( jω ) où on fait correspondre à T ( jω ) un point d’abscisse égale à l’argument de T(jω) : ϕϕϕϕ = arg T(jω), et d’ordonnée égale au gain de T(jω) : GdB = 20 log |T(jω)|.

f) on peut déterminer graphiquement la FTBF à l’aid e de l’abaque de Black -Nichols voir en annexe 1

ε(p) R(p)

Y(p) H(p).K(p)



1.5. les deux types de réaction : réaction positive et c ontre - réaction Reprenons le système bouclé avec une chaîne directe H et une chaîne de retour K.

La FTBF s’écrit T = H

1 + HK et en module |T| =

H

1 + HK .

Si on compare |T| à |H|, trois cas sont possibles :

|T| =

H

1 + HK < |H| donc |1 + HK| > 1,

on dit qu’il y a contre -réaction ou réaction négative.

|T| =

H

1 + HK > |H| donc |1 + HK| < 1, et K doit être négatif (ou le comparateur doit être un

sommateur) on dit qu’il y a réaction positive .

HK = - 1 ⇒ la sortie du système devient infinie, même en l’absence de signal d’entrée X. Si le signal d’entrée comporte une fréquence ωο vérifiant H(jωο).K(jωο) = -1, le signal de

sortie S est purement sinusoïdal, de fréquence ωο. Le système est un oscillateur .

1.6. effets de la contre -réaction sur un amplificateur : Voici l’exemple du montage amplificateur non inverseur où l’on reconnaît la structure d’un système bouclé ;la chaîne directe est l’amplificateur opérationnel; la chaîne de retour est un pont diviseur d’amplification

K = R1

R1+R2 ; le comparateur est la maille

d’entrée dont la loi s’écrit ε = Ve - Vr.

T = H

1 + HK devient, si HK >> 1,

T = H

HK = 1K =

R1+R2 R1

= 1 + R2R1

Rappelons le schéma électrique équivalent d’un amplificateur : Ze est l’impédance d’entrée de l’amplificateur Zs est l’impédance de sortie de l’amplificateur A est l’amplification Supposons que c’est un système passe-bas du premier

ordre donc que A (j2πf) = Ao

1 + j f

fo

;

pour un amplificateur opérationnel, le module de A est supérieur à 100 000 et sa bande passante est limitée à une dizaine de Hz : fo = 10 Hz.

S ε

R

X

K

H

+ ∞ -

R1

K = R1

R1+R2

ε

Vr Vs

Ve H

comparateur a.op.

R2

Zs

Ze Vs A Ve Ve



a) effets de la contre -réaction sur la bande passante

Étudions l’amplificateur dans le domaine de fréquences élevées. Supposons que la coupure soit du premier ordre à fo.

La transmittance de l’amplificateur s’écrit H = Ao

1 + j f

fo

et la FTBF est

Tbf = H

1 + HK =

Ao

1 + j f

fo

1 + Ao

1 + j f

fo

K =

Ao

1 + j f

fo + Ao K

=

Ao1 + AoK

1 + j f

fo (1 + AoK)

Remarquons déjà que, si le système en boucle ouverte est du premier ordre, le système en boucle fermée est du premier ordre aussi.

L’amplification statique diminue de Ao à Ao

1 + AoK

et si AoK >> 1, l’amplification tend vers 1K

et la fréquence de coupure à -3dB augmente de fo à fo(1 + AoK) donc la bande passante augmente de beaucoup !

Comme le montre le diagramme du gain, l’asymptote de -20 dB/décade reste la même.

Dans le domaine des basses fréquences, on montre de la même façon, si le système est un passe-haut que

l’amplification statique diminue de Ao à Ao

1 + AoK et que la fréquence de coupure à -3dB diminue de fo à

fo 1 + AoK donc la bande passante augmente aussi.

b) effets de la contre -réaction sur l’impédance d’entrée , On démontre que la nouvelle impédance d’entrée Z’e

vaut Z’e = V’eIe

= Ze(1 + A.K )

Une réaction négative augmente l’impédance d’entrée d’un montage

Zs

Ze Vs A Ve V’e

Ie

K

Ve

Vr

fo fo(1 + AoK)

GdB

20 log Ao

1 + AoK

20 log Ao sans réaction avec contre-réaction

f(Hz)

S ε

R

X

K

Ao

1 + j f

fo



c) effets de la contre -réaction sur l’impédance de sortie

Pour trouver la nouvelle impédance de sortie Z’s utilisons le théorème de Thévenin.

Il permet de dire que Z’s est l’impédance vue de la sortie lorsque les sources

autonomes sont éteintes. Ici, V’e = 0 donne Ve = - Vr = - K . Vs . La maille de sortie donne Vs = A Ve - Zs Is = A (- K . Vs) - Zs Is

Vs + A (K . Vs) = Zs Is ⇒ Z’s = VsIs

= Zs

1 + A . K

Une réaction négative diminue l’impédance de sorti e.

d) effets de la contre -réaction sur le bruit Le bruit dans un amplificateur provient des parasites industriels, des alimentations rayonnant un champ magnétique variable, du bruit thermique des composants, …. Nous le représenterons par une tension N comme “noise”.

À l’entrée, le signal est appelé E et à la sortie il est appelé S. Comparons le rapport signal sur bruit

SN en boucle ouverte et en boucle

fermée.

En boucle ouverte S = (E.H1+ N).H2 = E.H1.H2 + N.H2 Signal Bruit

d’où

SN =

E.H1.H2

N.H2 = H1

EN

En boucle fermée , le théorème de superposition permet de trouver rapidement S :

si N = 0, S = H1H2

1 + H1H2K E

si E = 0, S = H2

1 + H1H2K N

en effet, comme le montre le schéma ci-contre, c’est comme si on avait une contre-réaction H1K

Finalement S = H1H2

1 + H1H2K E + H2

1 + H1H2K N et le rapport signal sur bruit

SN = H1

EN

Signal Bruit

Conclusion : la contre -réaction n’élimine pas les parasites externes .

S Z Y ε

R

E N

K

H1 H2

S Z

N

H1K

H2

S Z Y E

N

H1 H2

S Z Y ε

R

E N

K

H1 H2



2. Asservissement de position

concerne aussi les systèmes suiveurs et les servomécanismes. 2.1. schéma du dispositif étudié

Lorsque les curseurs sont dans la même position, x = xr et ε = 0 puis u = 0, le moteur est à l’arrêt.

Si θe > θs, ε > 0, u > 0 et le moteur tourne dans le sens positif, jusqu’à ce que θe = θs.

Si θe < θs, ε < 0, u < 0 et le moteur tourne dans l’autre sens, jusqu’à ce que θe = θs.

2.2. les constituants du système

le potentiomètre d’entrée P1 délivre une tension x(t) = k θe(t)

où k vaut par exemple E2π V/rad ou

E360 V/°

le potentiomètre de recopie P2 délivre une tension xr(t) = k θs(t)

l’amplificateur de différence A produit la tension de commande du moteur u(t) u(t) = A[x(t) - xr(t)]

le réducteur de vitesse (chapitre sur les systèmes linéaires) a un rapport de transformation

m = C2C1

= ΩΩΩΩ1ΩΩΩΩ2

= n1n2

= d2d1

= R2R1

où

C1 et C2 sont les moments des couples en N.m, les fréquences n1 et n2 en tr/min

sont proportionnelles aux vitesses angulaires Ω1 et Ω2 en rad/s (n = 60 Ω2π )

d1 et d2 sont les nombres de dents des engrenages, R1 et R2 sont les rayons des poulies,

le passage de la vitesse ΩΩΩΩ (rad/s) à l’angle de déviation θθθθ (position en radians)

est donné par la relation différentielle Ω(t) = dθdt qui se transforme en Ω(p) = p Θ(p).

le moteur M a une transmittance du premier ordre (on néglige donc l’inductance de l’induit) dont on rappelle les expression trouvées au chapitre précédent :

T(p) = Ω(p)U(p) =

Ho1 +τ p où le gain statique vaut Ho =

KK2 + R f

et la constante de temps τ = R J

K2 + R f .

K est la constante du moteur, R, la résistance de l’induit, f, le coefficient de frottement visqueux et J, le moment d’inertie de la partie tournante.

+ A

- ε θe

xr

x P1

E

u

Ω1 Ω2 M

θs

J2 P2



2.3. le schéma fonctionnel et la transmittance de l a boucle fermée En boucle ouverte ,

Tbo(p) = Xr(p)

ε(p) = A . Ho

1 + τp . 1M .

1p . k =

Top (1 + τp) où To =

A.Ho.kM

En boucle fermée ,

Tbf(p) = Θs(p)

Θe(p) = Tbo(p)

1 + Tbo(p) = 1

1Tbo(p) + 1

= 1

p (1 + τp)To

+ 1 =

1

1 + 1

To p +

τTo

p2 .

C’est un système du deuxième ordre, comme l’était déjà la boucle ouverte. Par identification avec la transmittance canonique on peut écrire que

1

ωo2 = τ

To et

2mωo

= 1

To

La pulsation propre est ωo = Toτ et le coefficient d’amortissement m =

12 To.τ

.

Remarquons aussi que le seul paramètre qu’on peut régler est l’amplification A.

Exemple numérique :

• Le moteur a comme paramètres nominaux : 30 V, 7,5 A, 130 W, la résistance de l’induit vaut R = 0,76 Ω et sa constante est K = 0,1 V/ rad/s. Le moment d’inertie du rotor du moteur est Jm = 0,008 kg.m2

et le moment d’inertie du rotor accouplé à sa charge est Jtotal = 0,010 kg.m2 .

• Les frottements visqueux sont négligés, donc f = 0. • Le réducteur a un rapport de réduction de m = 100. La tension E est de 5 V.

On peut vérifier les résultats suivants, si on accepte un dépassement de 20% : k = 0,8 , τ = 0,76 , To = 0,8 A , ωo = 0,324 A

comme d = 100 exp (- π m

1 - m2) , m = 0,455 qui est finalement obtenu pour une

amplification A = 20 et on a alors ωo = 1,45 rad/s, fo = 0,24 Hz, To = 3,5 s et tr5% = 0,85 s .

Remarquer que si on augmente A , To = A.Ho.k

M augmente, ωo = Toτ augmente,

mais le coefficient d’amortissement m = 1

2 To.τ diminue et avec lui la stabilité du montage.

Ω1 u ε

xr

x

k

k

Ho1 + τp A

1M

θe Ω2 1p

θe potentiomètre amplification moteur réducteur d’entrée

potentiomètre de recopie



2.4. La précision εεεε

La précision est définie par la valeur lim

t→→→→+∞∞∞∞ ε ε ε ε (t) = lim

t→→→→+∞∞∞∞ [ θθθθe(t) - θθθθs(t) ]

et est appelée l’erreur statique ε ε ε ε = θθθθe - θθθθs.

• Appliquons à l’entrée un échelon θθθθe(t) = θθθθοοοο Γ Γ Γ Γ(t) appelé aussi échelon de position . L’erreur se calcule à l’aide du théorème de la valeur finale :

limt→+∞ ε (t) =

limp→0 p. ε (p) =

limp→0 p. [ θe(p) - θs(p) ] =

limp→0 p. θe(p) [ 1 - Tbf(p) ]

= lim

p→0 p. θe(p) [ 1 - Tbo(p)

1 + Tbo(p) ]= lim

p→0 p. θe(p) [ 1+Tbo(p)-Tbo(p)

1 + Tbo(p) ]

εεεε (t) = lim

p→→→→0 p. θθθθe(p)

1 + Tbo(p) , résultat général, qu’on réutilisera.

θe(t) étant un échelon de poids θo , θe(p) = θop , il reste donc

limt→+∞ ε (t) =

limp→0

θo1 + Tbo(p) = 0 puisque Tbo +∞ lorsque p 0.

L’asservissement a une erreur statique nulle .

• Appliquons à l’entrée une rampe θθθθe(t) = s . t Γ Γ Γ Γ(t) où s est la pente (slope en anglais), appelé aussi échelon de vitesse ou rampe de position .

θe(p) = s

p2 ,

alors lim

t→+∞ ε (t) = lim

p→0 p.s

p2(1 + To

p(1+τp)) =

sTo

c’est l’erreur de traînage ou erreur de vitesse qui est constante.

• Appliquons à l’entrée une parabole θe(t) = a2 t2 Γ(t) où a est l’accélération,

appelé aussi échelon d’accélération ou rampe de vitesse . D’une manière identique à ce qui précède on montre que l’erreur statique est infinie. L’asservissement doit être corrigé. Au bout d’un certain temps, il ne donne plus du tout en sortie ce qu’on lui demande à l’entrée.

θs

θe

t

ε = 0

θs

θe= s.t

t

ε = s

To

θs θe= a2 t2

t

ε



R R

x ε

R

R xr

3. La régulation de vitesse d’un moteur à courant cont inu

3.1. schéma du dispositif étudié Lorsque x = xr , ε = 0 , l’amplificateur de puissance A délivre une tension U = Uo.

Le moteur tourne à la vitesse angulaire Ω = Ωo.

Si la vitesse du moteur augmente sans que la consigne x soit modifiée, Ω > Ωo, xr > x, ε < 0 et A délivre une tension inférieure à Uo et le moteur ralenti.

Si la vitesse du moteur diminue sans que la consigne x soit modifiée, Ω < Ωo, xr < x, ε > 0 et A délivre une tension supérieure à Uo et le moteur accélère.

3.2. les constituants du système

3.2.1. le potentiomètre de consigne : délivre une tension x = k Ωe.

3.2.2. le comparateur le comparateur est un montage soustracteur de tension à amplificateur opérationnel dont la tension de sortie vaut ε = x - xr.

3.2.3. le capteur de vitesse est soit électromagnétique soit à impulsions. C’est l’occasion de faire l’inventaire des différents systèmes existants utilisés dans l’industrie.

• la dynamo tachymétrique DT : Une dynamo désigne une machine à courant continu fonctionnant en génératrice à flux constant. Tournant à la fréquence Ω (tr/min ou tr/s), il produit une force électromotrice (f.é.m.) xr = E = K Ω, donc proportionnelle à la fréquence de rotation. La commutation des balais ou des charbons sur les lames du collecteur, ainsi que le redressement des f.é.m. de chaque conducteur de l’induit, sont à l’origine des ondulations et des nombreux parasites dont est affecté la tension produite. Il est donc souvent nécessaire de filtrer cette f.é.m. à l’aide d’un montage passe-bas.

A

ε

xr

x

+VCC

U

Ω

DT M

moteur J, f charge

Ωe Ω

hacheur



• le générateur à courant alternatif : un aimant permanent tourne à la fréquence Ω à mesurer. En supposant que la bobine induite embrasse un flux purement sinusoïdal Φ = Φο sin Ωt, le force électromotrice induite vaut, au signe près,

e = dΦdt = ΦοΩ cos Ωt.

La fréquence Ω est donnée par l’amplitude de cette tension.

• le générateur tachymétrique à réluctance variable : Les dents de la roue dentée métallique renforcent le champ magnétique produit par un aimant permanent lorsqu’ils passent devant le noyau ferromagnétique de la bobine induite. La conversion fréquence / tension se fait, à l’aide soit d’un monostable, soit d’un compteur numérique. Ce principe de f.é.m. induite rappelle le fonctionnement du micro de la guitare électrique : la corde métallique se rapproche et s’éloigne du noyau aimanté d’une bobine.

• le tachymètre optique : La partie tournante à la fréquence Ω à mesurer est solidaire d’un disque à trous. Les trous sont placés dans un optocoupleur. À chaque passage, le phototransistor délivre une impulsion v. Un module de conversion fréquence / tension donnera la tension souhaitée, xr = Ko Ω.

• le tachymètre à sonde à effet Hall : La sonde à effet Hall délivre une tension UH = K i B proportionnelle à l’intensité du champ magnétique B appliqué perpendiculairement au courant constant i qui la traverse. La partie tournante dont on veut capturer la fréquence de rotation doit donc comporter une zone aimantée . Cette dernière, en passant devant la sonde à effet Hall, sera à l’origine d’une variation de la tension UH.

Un module de conversion fréquence / tension donnera la tension xr = Ko Ω.

s n Ω

xr

v = A Ω cos Ωt

détecteur de crête v

xr = Ko Ω

v xr = Ko Ω conversion fréq. / tension

Ω

i

UH

mV

F→

B→

i



3.2.4. le moteur M

Le moteur M a une transmittance du premier ordre (on néglige donc l’inductance de l’induit) dont on rappelle encore les expression trouvées au chapitre précédent :

T(p) = Ω(p)U(p) =

Ho1 +τ p où le gain statique vaut Ho =

KK2 + R f

et la constante de temps τ = R J

K2 + R f .

K est la constante du moteur, R, la résistance de l’induit, f, le coefficient de frottement visqueux et J, le moment d’inertie de la partie tournante.

3.2.5. l’amplificateur de puissance est souvent un montage hacheur série , dévolteur on rappelle le principe et les qualités :

Le moteur à courant continu en rotation est simulé par le dipôle r, E.

La bobine L est appelée bobine de lissage .

La diode est une diode de roue libre (DRL).

L’interrupteur électronique désigné par H est un transistor et parfois un thyristor. La tension de commande ec(t) est un signal rectangulaire de rapport cyclique αααα variable .

La condition LR >>T la période de hachage impose un courant i(t) ininterrompu et positif et

pratiquement constant i = <i> = αU - E

R .

3.3. schéma fonctionnel du système réduit et transm ittances

se traduit par le diagramme suivant :

A

ε

xr

x

+VCC

U

Ω DT M

moteur J, f charge

Ωe Ω

U

i ia

id

H L

R uL

v E

circuit de commande

de α

Ω u ε

xr

x k

k

Ho1 + τp A

Ωe

potentiomètre d’affichage

dynamo tachymètrique

soustracteur hacheur moteur



La transmittance en boucle ouverte vaut

Tbo(p) = A. Ho

1 + τp .k = A Ho k

1 + τp = To

1 + ττττp

et la transmittance en boucle fermée devient

Tbf(p) = Ω(p)

Ωe(p) = Xr(p)X(p) =

Tbo(p)1 + Tbo(p) =

1

1 + 1

Tbo(p)

= 1

1 + 1 + τp

To

= To

To + 1 + τp =

To1 + To

1 + To1 + To

+ τ

1 + To p

= To’

1 + ττττ' p où To’ = To

1 + To et ττττ’ =

ττττ1 + To

.

La FTBO est du premier ordre et la FTBF aussi !

3.4. stabilité : comme pour tous les systèmes du premier ordre, la stabilité est assurée.

3.5. précision

La précision est l’erreur statique ε = ε = ε = ε = lim

t→+∞ ε (t) = lim

t→+∞ [ Ωe(t) - Ωs(t) ] .

• Appliquons à l’entrée un échelon ΩΩΩΩe(t) = ΩΩΩΩοοοο Γ Γ Γ Γ(t). L’erreur se calcule à l’aide du théorème de la valeur finale :

ε = lim

t→+∞ ε (t) = lim

p→0 p. [Ωe(p) - Ωs(p) ] = lim

p→→→→0 p. ΩΩΩΩe(p)

1 + Tbo(p) ,

résultat trouvé au paragraphe précédent.

Ωe(t) étant un échelon de poids Ωo , Ωe(p) = Ωop , il reste donc ε =

limp→0

Ωo1 + Tbo(p) .

Puisque Tbo To lorsque p 0. L’asservissement a une erreur statique Ωo

1 + To .

L’erreur statique peut être diminuée en augmentant l’amplification A. Comme elle ne peut pas être annulée, on ajoute souvent un intégrateur. Le système devenant un deuxième ordre, l’inconvénient est que le système peut devenir instable.

• Appliquons à l’entrée une rampe ΩΩΩΩe(t) = s.t. ΓΓΓΓ(t) où s est la pente.

Ωe(p) = s

p2 ,

alors lim

t→+∞ ε (t) = lim

p→0 p. Ωe(p)

1 + Tbo(p)

= lim

p→0 p. s

p2 .1

(1 + To

1 + τp)

= lim

p→0 sp .

11 + To

= + ∞.

Ω u ε

xr

x k

k

Ho1 + τp A

Ωe

Ωs

Ωe

t

ε = Ωo

1 + To

Ωs

Ωe= s.t

t

ε = +∞



Annexe 1

Détermination graphique de la FTBF à l’aide de l’ab aque de Black -Nichols

Appelons A(ω) le module de la FTBO : A(ω) = |Tbo(jω)| et ϕ (ω) l’argument de Tbo(jω),

appelons B(ω) le module de la FTBF : B(ω) = |Tbf(jω)| et Ψ (ω) l’argument de Tbf(jω).

alors Tbf(jω) = Tbo(jω)

1 + Tbo(jω) = A (cosϕ + j sinϕ)

1 + A (cosϕ + j sinϕ)) = A (cosϕ + j sinϕ) ( 1 + A cosϕ - j Asinϕ)

( 1 + A cosϕ + j A sinϕ) ( 1 + A cosϕ - j Asinϕ)

= Acosϕ + jA sinϕ + A2 cos2ϕ + j A2sinϕ cosϕ − j A2cosϕ sinϕ + A2sin2ϕ

( 1 + A cosϕ )2 + A2 sin2ϕ

= Acosϕ + jA sinϕ + A2

1 + A2 + 2A cosϕ = [ B(ω) ; Ψ(ω) ] donc

B(ω) = A

1 + A2 + 2A cosϕ et Ψ(ω) = arc tan

sinϕ A + cosϕ

Les lieux tels que BdB = 20 log B(ω) = constante sont appelés les contours d’amplitude (courbes en traits pleins), les lieux tels que Ψ(ω) = constante sont appelés les contours de phase (courbes en traits pointillés).

Méthode pour déterminer la FTBF connaissant le FTBO :

a) tracer le lieu de TFBO dans le plan de Black,

b) en chaque point, donc pour chaque pulsation, relever les valeurs de B et de ΨΨΨΨ , gain et phase de la FTBF,

c) en déduire le diagramme de Bode du système bouclé. Avec un peu de pratique, l’observation dans le plan de Bode est suffisante pour déterminer les paramètres statiques et dynamique de la boucle fermée.



Exemple : soit la FTBO suivante Tbo(p) = 4

(1 + p)(1 + 0;1p) .

Traçons le diagramme de Bode du gain uniquement de la FTBO pour en déduire, avec l’aide de l’abaque de Black -Nichols, le diagramme du gain de la FTBF.

Les deux pôles p1 = -1 et p2 = - 10 donnent les valeurs particulières ω1 = 1 rad/s et ω2 = 10 rad/s.

Le gain est calculé à l’aide de la formule AdB = 20 log 4 - 10 log (1+ω2) - 10 log (1+ω2

100 ) pour chaque valeur de ω

du tableau ci-dessous.

La phase est calculée à l’aide de la formule ϕ (en °) = - arc tan ω - arc tan ω10 .

L’abaque, sur la page suivante permet de remplir les deux dernières lignes du tableau, à savoir BdB et Ψ(en °) .

méthode 1. tracer AdB = f(f) sur l’abaque de la page suivante, en rouge, chaque point étant repéré par la valeur de ω 2. pour chaque valeur de ω reporter dans le tableau, à l’aide des contours, les valeurs de BdB et Ψ

3. tracer en bleu la courbe du gain en boucle fermée

ω 0 0,4 0,7 1 2 3 5 7 10 14 18 25

AdB = Gbo 12 11,4 10,3 9 5 1,7 -3 -7 -11 -15,6 -19,4 -24

ϕ (en °) 0 -24 -39 -51 -75 -88 -105 -117 -129 -140 -148 -156

BdB = Gbf

Ψ (en °)

constater les effets de la contre réaction sur la gain dans la bande passante et que l’ordre est conservé dans la bande atténuée

GdB

+12

+6

0

-6

-12

-18

-24

ω(rad/s)

0,1 1 10 100

en boucle ouverte AdB = f(ω)

en boucle fermée BdB = f(ω)



Gbo = 20 log T bo

ϕϕϕϕbo

- 2°

- 5°

- 10°

- 20°

- 40°



Annexe 2

les différents modes de contre -réaction Ces modes de réactions peuvent être appelés de trois façons différentes ; soit (a) soit (b) ou soit (c)

(a) grandeur prélevée (sortie) - mode de réinjection (entrée) (b) grandeur réinjectée (entrée) - grandeur prélevée (sortie) (c) mode de réinjection (entrée) - mode de prélèvement (sortie)

montage (a) tension - série ou (b) tension - tension ou (c) série - parallèle

Tbf = vsve

= H

1+HK , Z’e = Ze(1 + H.K) et Z’s = Zs

1 + H.K

exemple : le montage non inverseur à amplificateur opérationnel

montage (a) courant - série ou (b) tension - courant ou (c) série - série

Tbf = isve

= H

1+HK , Z’e = Ze(1 + H.K) et Z’s = Zs(1 + H.K)

exemple : le montage émetteur commun à transistor (K = RE)

montage (a) tension - parallèle ou (b) courant - tension ou (c) parallèle - parallèle

Tbf = vsie

= H

1+HK , Z’e = Ze

1 + H.K et Z’s = Zs

1 + H.K

exemple : le montage inverseur à amplificateur opérationnel

montage (a) courant - parallèle ou (b) courant - courant ou (c) parallèle - série

Tbf = isie

= H

1+HK , Z’e = Ze

1 + H.K et Z’s = Zs(1 + H.K)

montage peu utilisé

vs ve

i = 0 K

H ε

vr

is

ve

v = 0 K

H ε

vr

is

ie

v = 0 K

H ε

ir

ie

K

H ε

ir

vs

i = 0

Documents

BS 1 EL Système Asservis Analogiques Linéaires 1 ...€¦ · BS 1 EL Système Asservis Analogiques Linéaires Lycée Louis Armand - MULHOUSE Physique Appliquée - HASSENBOEHLER