Inteligencia Artificial(W0I9)

MSc. Ing. José C. Benítez P.

Sesión: 13

Sistemas de control basados en lógica difusa

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Sesión 13. Sistemas de control basado en lógica borrosa

� Reglas difusas.

� Estructura de un sistema borroso.

� Fusificación de las entradas.

� Reglas del sistema.

� Aplicación de operadores difusos.

� Método de implicación.

� Método de agregación.

� Defusificación.

� Inferencia.

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Reglas difusas

� Los conjuntos y los operadores difusos son los sujetos y predicados de la lógica difusa.

� Las reglas if - then son usadas para formular las expresiones condicionales que abarca la lógica difusa.

� if x is A then y is B

� Donde A y B son los valores lingüísticos definidos porlos conjuntos definidos en los rangos de los universosde discurso llamados X e Y, respectivamente.

� La parte if de la regla ´́́́x es A´́́́ es llamada el antecedente o premisa, mientras la parte then de la regla ´́́́y es B´́́́ es llamada la consecuencia o conclusión.

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Estructura de un sistema borroso

1. Fusificación:

La fusificación de las variables de entrada.

2. La base del conocimiento.

3. Inferencia:

Aplicación del operador difuso (AND ó OR) en el antecedente(s).

Implicación del antecedente(s) con el consecuente(s).

Agregación de los consecuentes a través de las reglas.

4. La defusificación.

5

Estructura de un sistema borroso

Regla 1

Regla 2

Regla 3∑ Salida

Entrada 1

Entrada 2

Las entradas son

números limitados

a un rango

especifico. Entradas

no difusas.

Las reglas son

evaluadas en

paralelo usando

un razonamiento

difuso.

Los resultados de las reglas son combinadas y defusificadas.

El resultado es un valor numérico no difuso.

Regla 4

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Estructura de un sistema borroso

Los sistemas de control difuso permiten describir un conjunto de reglas que utilizaría una persona para controlar un proceso y a partir de estas reglas generar acciones de control.

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Estructura de un sistema borroso

1. La fusificación tiene como objetivo convertir valores crisp(reales) en valores difusos.

2. La base de conocimiento contiene el conocimiento asociado con el dominio de la aplicación y los objetivos del control.

3. La inferencia relaciona los conjuntos difusos de entrada y salida para representar las reglas que definirán el sistema mediante el uso de condiciones.

4. La defusificación realiza el proceso de adecuar los valores difusos generados en la inferencia en valores crisp, que posteriormente se utilizarán en el proceso de control.

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Fusificación de entradas

• Para cada entrada existen diferentes conjuntos con variables lingüísticas, en nuestro caso hay dossubconjuntos para cada variable de entrada.

X = {BAJO, ALTO}

Y = {BAJO, ALTO}

• Las variables de entrada X e Y, al igual que la variable de salida Z pertenecen al mismo universo de discurso comprendido en el rango entre 0 y 10.

• Las funciones de membresía son:

BAJO(T) = 1 - ( T / 10 )

ALTO(T) = T / 10

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Fusificación de entradas

10

1

Entrada no difusa = 5

Salida difusa = 0,5

10

Reglas del sistema

Regla 1: if X es BAJO and Y es BAJO then Z es ALTO

Regla 2: if X es BAJO and Y es ALTO then Z es BAJO

Regla 3: if X es ALTO and Y es BAJO then Z es BAJO

Regla 4: if X es ALTO and Y es ALTO then Z es ALTO

Otra manera de analizar las reglas es mediante una tabla:

X

BAJO ALTO

YBAJO ALTO BAJO

ALTO BAJO ALTO

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Aplicación de operadores borrosos• Una vez que las entradas han sido fusificadas, conocemos el

grado en el cual cada parte del antecedente ha sido satisfecho para cada regla.

• Sí el antecedente de una regla dada tiene más de una parte, el operador difuso es aplicado para obtener un número que represente el resultado del antecedente para esa regla.

• Para la operación AND existen dos formas conocidas comomin (mínimo) y prod (producto algebraico).

• Para la operación OR existen dos formas conocidas como max(máximo) y sum (suma algebraica).

• Además de estos métodos de construcción, uno puede crearsu propio método para AND y OR escribiendo cualquierfunción.

Aplicación de operadores borrosos

El grado de verdad para la premisa de una regla es referida como elnivel de disparo y es denotada como α (alfa).

X Y BAJO(X) ALTO(X) BAJO(Y) ALTO(Y) α1 α2 α3 α4

0 0.32 1 0 0.68 0.32 0.68 0.32 0 0

00,10,20,30,40,50,60,70,80,9

1

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

X

u(X

)

ALTO

BAJO

S

0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0,9

1

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Y

u(Y

)

ALTO

BAJO

S

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Método de implicación• Un consecuente es un CD representado por una fdp, en

nuestro caso tiene asignada dos VL: Z = { BAJO, ALTO }

• Hay dos métodos conocidos que son las mismas funcionesusadas por el método AND: min (mínimo), que trunca el CD desalida, y el PROD (producto), el cual escala al CD de salida.

• El grado de verdad de la premisa de cada regla es computada yaplicada al consecuente de cada regla. Este resultado es unsubconjunto difuso que será asignado a cada variable de salidacorrespondiente. Nosotros aplicamos en este ejemplo elmétodo de Mamdani ó método de inferencia MIN-MAX. Paracada regla hacemos el MIN entre el nivel de disparo y lafunción de membresía de la variable de salida indicada en elconsecuente.

Método de implicación

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

R1

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

R2

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

R4

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

R3

Método de agregación

• Agregación o composición es el proceso por el cual losconjuntos difusos que representan las salidas de cada reglason combinadas en un único CD.

• La salida del proceso de agregación es un conjunto difusopara cada salida variable.

• Los métodos más conocidos: max (máximo) y sum (suma).

• Lo más común cuando usamos la función 'min' en el métodode implicación es corresponder con la función 'max' en elmétodo de agregación.

• De igual manera si elegimos la función 'prod' para el métodode implicación, es usual hacerlo corresponder con la función'sum' para el método de agregación.

Método de agregación

En el proceso de composición o agregación, todos los subconjuntos difusos son combinados para dar un único conjunto de salida, esto se logra haciendo el MAX de las funciones mostradas en los gráficos anteriores, obteniéndose la siguiente figura:

0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0,9

1

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Composición

Defusificación

• La entrada para el proceso de defusificación es un conjunto difuso (la salida de la etapa de agregación) y la salida es un simple número concreto. Los sistemas del mundo real requieren un resultado numérico.

• El método más popular de defusificación es el cálculo del centro de gravedad ó centroide, el cual retorna el centro del área bajo la curva. Al igual que en los pasos anteriores existen más métodos de cálculo.

Centro de gravedad

DefusificaciónForma continua

• Para calcular el algoritmo del centro de gravedad (COG, en ingles)dividimos al Momento de la función por el Área de la función:

Forma discreta

• Se divide la función en partes iguales y se calcula haciendo lasumatoria de todos los puntos de la siguiente manera:

• Hay que tener en cuenta que al dividir en partes iguales al conjunto desalida se simplifican los ∆z, si las particiones fueran diferentes habríaque tener en cuenta el ∆z porque sino se pierde el sentido deMomento y Área de la función.

Defusificación

Forma continua:

Forma discreta para 10 muestras:

Producto CartesianoEl producto cartesiano es usado para definir una relaciónentre dos o más conjuntos (sean ordinarios o difusos).

El producto cartesiano es denotado como AxB y es definidocomo:

Una relación difusa R de A y B es un subconjunto difuso deAxB, donde µR(a, b) es la función de membresía de R.

R también puede ser representado como una matriz,depositando cada elemento de µR(a, b):

Implicación• La regla 'si el nivel es bajo, entonces abro V1' es llamada una

implicación, porque el valor de 'nivel' implica el valor de 'V1' en elcontrolador.

• Hay muchas maneras de definir la implicación, se puede elegir unafunción matemática distinta en cada caso para representar a laimplicación.

• Cada regla puede ser interpretada como una relación difusa como Ri:( X × Y ) → [ 0, 1 ].

• Cuando usamos una conjunción A ∧ B, la interpretación de las reglas if-then sería "es verdadero que A y B cumplen simultáneamente".

• Esta relación es simétrica y puede ser invertida. La relación R escomputada por el método de Mamdani utilizando el operador Min.

• La representación de la relación difusa R del modelo entero es dadopor la disjunción (unión) de las K relaciones de cada regla individual Ri.

Implicación

Modus ponens generalizadoPremisa 1: x es A’

Premisa 2: Si x es A entonces y es B

Consecuente: entonces y es B’

El principio anterior establece que en la medida que A’ sea similar a A, entonces se puede deducir un B’ que es similar a B. Obsérvese que el MP es un caso especial del MPG cuando A’ es completamente igual A entonces B’ es B. Por otra parte, regla composicional se basa en el siguiente principio intuitivo:

• dados dos conjuntos difusos A y B definidos en los conjuntos universos X e Y respectivamente,

• si existe una relación R entre A y B definida en X x Y,

• entonces a partir del conjunto A se puede deducir B a través de la composición entre A y la relación R de la siguiente forma:

B = A ο R

Inferencia

µA→→→→B

Si x es A entonces y es B

x εεεε A’

µA’

y εεεε B’

µB’

InferenciaEl grado de cumplimiento del i antecedente de cada regla sería:

Para un conjunto difuso singleton la ecuación anterior sesimplifica:

El conjunto difuso de salida del modelo lingüístico es:

Inferencia. Ejemplo

0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0,9

1

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0,9

1

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

3 4 5 6 7

A 0 0,5 1 0,5 0

3 4 5 6 7

B 0 0,5 1 0,5 0

Elementos del dominio X

Elementos del dominio Y

A’

B’

Inferencia. EjemploR 3 4 5 6 7

3 0 0 0 0 0

4 0 0,5 0,5 0,5 0

5 0 0,5 1 0,5 0

6 0 0,5 0,5 0,5 0

7 0 0 0 0 0

R : si x es A entonces y es B

µA→→→→B

3 4 5 6 73

5

7

0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0,9

1

Inferencia. Ejemplo

β = max [ µµµµA’(x) ∧∧∧∧ µµµµA(x) ] = max ( [0; 0.5; 0; 0; 0] ∧∧∧∧ [0; 0.5; 1; 0.5; 0] )

β = max [0; 0.5; 0; 0; 0] = 0.5

B’ = ββββ ∧∧∧∧ B = 0.5 ∧∧∧∧ [0; 0.5; 1; 0.5; 0]

B’ = 0.5 ∧∧∧∧ [0; 0.5; 0.5; 0.5; 0]

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Aplicaciones

� Sistemas de control de acondicionadores de aire

� Sistemas de foco automático en cámaras fotográficas

� Electrodomésticos

� Optimización de sistemas de control industriales

� Sistemas de escritura

� Mejora en la eficiencia del uso de combustible en motores

� Sistemas expertos del conocimiento

� Tecnología informática

� Bases de datos difusas: Almacenar y consultar información imprecisa.

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Aplicaciones

Ejemplo: Para un sistema de control de nivel de un tanque:

� “SI el nivel es muy bajo ENTONCES abra bastante la válvula”

� “SI el nivel es bajo ENTONCES abra poco la válvula”

� “Si el nivel es medio ENTONCES no abra ni cierre la Válvula”

� “SI el nivel es alto ENTONCES cierre un poco la válvula”

� “SI el nivel es muy alto ENTONCES cierre bastante la válvula”.

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Aplicaciones

Ventajas

� Facilidad de implementación.

� Buenos resultados en procesos no lineales y de difícil modelización.

� Modo de funcionamiento similar al comportamiento humano.

� Forma rápida y económica de resolver un problema.

� No se necesita conocer el modelo matemático que rige su funcionamiento.

Desventajas

� En las redes neuronales se precisa de un tiempo de aprendizaje para obtener los mejores resultados en la salida. (Al igual que ocurre con los humanos).

� Ante un problema que tiene solución mediante un modelo matemático, obtenemos peores resultados usando Lógica Difusa.

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Referencias:

� http://www.slideshare.net/renatolachira/logica-difusa

� http://catarina.udlap.mx/u_dl_a/tales/documentos/lmt/ramirez_r_o/capitulo3.pdf

� http://profesores.elo.utfsm.cl/~tarredondo/info/soft-comp/Introduccion%20a%20la%20Logica%20Difusa.pdf

� http://es.wikipedia.org/wiki/L%C3%B3gica_difusa

� http://pisis.unalmed.edu.co/cursos/material/3004604/1/14%20Logica%20difusa%20generalidades.pdf

� https://docs.google.com/viewer?a=v&q=cache:p2AjlJn6DU0J:faculty.petra.ac.id/hanyf/sistemcerdas/Fuzzy%2520Logic.pps+&hl=es&gl=mx&pid=bl&srcid=ADGEEShPNMhaneai4O4bUTY9_M_KZ4EbdI0ETD-vKabtnjsWR44OVVNOjpPsQoNeNFYR9j0c4t7efMIeb-vL5QDwuGgPGUflg0Z8nbF1UUYjvl4JjrbUZzAwfrL4nsWkyfAt1Q66wL5A&sig=AHIEtbT17zAn6zieWQVwCbKb2hRes0ETCQ

Resumen

Las Tareas que no cumplan las indicaciones no serán considerados

por el profesor.33

� Realizar un resumen mediante mapas conceptuales (CMapTools) de esta diapositiva.

� Serán mejor consideradas los resúmenes que tengan información extra a esta diapositiva.

� Las fuentes adicionales utilizadas en el resumen se presentarán en su carpeta personal del Dropbox y deben conservar el nombre original y agregar al final _S13.

� Las fuentes y los archivos *.cmap deben colocarse dentro de su carpeta personal del Dropbox, dentro de una carpeta de nombre:

IA_PaternoM_S13

Preguntas

El resumen con mapas conceptuales solicitado de la Sesión al menos debe responder las siguientes preguntas:

1. ¿Qué es una regla difusa?.2. ¿Cuales son las partes de una regla difusa?.3. ¿Cuál es la estructura de un sistema borroso?.4. ¿En que consiste la fusificación, la inferencia y la

defusificación?.5. Explicar el método de implicación.6. Explicar el método de agregación.7. Explicar la fusificación continua y discreta.8. Listar la aplicaciones de los SdCbLB.9. Indicar las ventajas y desventajas de los ScbLB.

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Sesión 13. SCbLB

Inteligencia Artificial

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