ARITMÉTICA DIFUSA

Profa. Silvia Modesto Nassar

[email protected]

ARITMÉTICA DIFUSAARITMÉTICA DIFUSA

► Números Difusos e Intervalos Difusos► Operações Aritméticas Difusas

método clássico princípio da extensão

► Operações binárias: MÍNIMO e MÁXIMO► Modelos Difusos


[email protected]

NÚMEROS DIFUSOSNÚMEROS DIFUSOS

► Seja A um conjunto difuso definido para o conjunto R dos números reais da seguinte forma:

A : R [0 ; 1]sob determinadas condições A é qualificado como um número difuso.


[email protected]

NÚMEROS DIFUSOSNÚMEROS DIFUSOS: condições: condições

► Seja o conjunto difuso A e R o conjunto dos números reais de tal forma que:

A : R [0 ; 1]

► Se A possuir as seguintes propriedades então A é qualificado como um número difuso: A deve ser um conjunto difuso NORMAL A deve ser um INTERVALO FECHADO para

todo (0 ; 1] O SUPORTE de A, 0+A, deve ser limitado.


[email protected]

Números Difusos: Números Difusos: exemplosexemplos

R

A(x)

0

1

a1 a a2R

A(x)

0

1

a

A = {número real crisp} A = {APROXIMADAMENTE a}


[email protected]

Números Difusos: Números Difusos: exemplosexemplos

R

A(x)

0

1

a R

A(x)

0

1

a


[email protected]

Número Difuso: Número Difuso: Função de Pertinência

A é um número difuso SSE existe um intervalo fechado[a ; b] tal que:

1 para x [a ; b]s(x) para x (- ; a)r(x) para x (b ;)

A(x) =

Onde:• s é uma função de (-; a) para [0; 1] • monotonicamente crescente• contínua à direita• s(x)=0 para x (-; a1)


[email protected]

Números Difusos: Números Difusos: convexidade

► Se A é um número difuso então A é um conjunto difuso convexo.


[email protected]

Intervalos Difusos: Intervalos Difusos: exemplosexemplos

R

A(x)

0

1

a b R

A(x)

0

1

a1 a b b1


[email protected]

Intervalos Difusos: Intervalos Difusos: exemplosexemplos

R

A(x)

0

1

a b R

A(x)

0

1

a b


[email protected]

Intervalos Difusos: Intervalos Difusos: Variáveis Lingüísticas

Variáveis DifusasQuantitativas

classes de uma VDQ

Intervalos Difusos

conceitos lingüísticos

Variáveis Lingüísticas


[email protected]

Intervalos Difusos: Intervalos Difusos: variáveis lingüísticasvariáveis lingüísticas

Baixo Médio Alto

Altura(cm)a1 a2 a3 a4

1

Gra

u de

Per

tinê

ncia


[email protected]

Números Difusos: propriedades

► Cada conjunto difuso, e em conseqüência cada número difuso, pode ser unicamente e totalmente representado por seus -cuts

► -cuts de números difusos são intervalos fechados para todo (0 ; 1]


[email protected]

Operações Aritméticas : Operações Aritméticas : métodosmétodos

► Há dois métodos para operações aritméticas em números difusos:

aritmética de intervalos clássica

princípio da extensão


[email protected]

Operações Aritméticas Difusas: Operações Aritméticas Difusas: definiçãodefinição

► Suposição: os números difusos são representados por funções de pertinência contínuas.

► Sejam A e B números difusos e alguma das quatro operações aritméticas básicas então:

o conjunto difuso resultante da operação A*B é definido por seus -cuts da seguinte forma:

(A*B) = A* B para (0;1]

Quando *=/ supõe-se ainda que 0B (0;1]


[email protected]

Operações Aritméticas: Operações Aritméticas: A*BA*B

O conjunto difuso resultante da operação A*B pode ser expresso da seguinte forma:

Método Clássico: UNIÃO FUZZY PADRÃO

A*B = (A* B) (0;1]

Princípio da Extensão: onde a FUNÇÃO DE PERTINÊNCIA é definida por

(A*B) (z) = sup min [ A(x) , B(y) ] z = x*y


[email protected]

Operações Aritméticas: Operações Aritméticas: exemploexemplo

► Seja A um número difuso definido por A = { 0.2/ 0 + 1/1 + 0.2/2}

calcule (A+A).


[email protected]

Operações Aritméticas Operações Aritméticas Clássicas:Clássicas:intervalosintervalos

► Sejam os intervalos [a,b] e [c,d] então: [a,b]+[c,d] = [a+c , b+d]

[a,b]-[c,d] = [a-d , b-c]

[a,b].[c,d] = [min (ac,ad,bc,bd), max (ac,ad,bc,bd)]

[a,b]/[c,d] = [min (a/c,a/d,b/c,b/d), max (a/c,a/d,b/c,b/d)]

para 0 [c,d]


[email protected]

Operação Aritmética - Operação Aritmética - AdiçãoAdição: : exemploexemplo

Calcule a soma dos números difusos, A e B, definidos por:

(x+2)/2 para -2 x 0

(2-x)/2 para 0 x 2

0 para outros valores

A(x) =

(x-2)/2 para 2 x 4

(6-x)/2 para 4 x 6

0 para outros valores

B(x) = -4 -2 0 2 4 6 8 100

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1A(x)B(x)A+B(x)


[email protected]

Operações Aritméticas Operações Aritméticas Clássicas:Clássicas:intervalosintervalos

► Sejam os intervalos A=[a1,a2] ; B=[b1,b2] ; C=[c1,c2] e 1=[1,1] então:

Comutatividade:►A+B=B+A e A . B=B . A

Associatividade:►(A+B)+C=A+(B+C) e (A.B).C=A.(B.C)

Identidade:►A=0+A=A+0 e A.1=1.A


[email protected]

Operações Aritméticas Clássicas: Operações Aritméticas Clássicas: intervalosintervalos

Subdistributividade:►A.(B+C) A.B+A.C

Distributividade: ►se b.c 0 para b B e c C então

A.(B+C) A.B+A.C

0 A-A e 1 A/A


[email protected]

Operações Aritméticas ClássicasOperações Aritméticas Clássicas

Se AC e BD

►A+B C+D►A-B C-D►A.B C.D►A/B C/D (monotonicamente inclusive)


[email protected]

Operações Aritméticas : Operações Aritméticas : função de função de pertinênciapertinência

► Existem algoritmos para obter a função de pertinência: algoritmo DSW (Dong, Shah e Wong, 1985) algoritmo DSW Modificado (Givens a Tahani,

1987)

Ross, TJ. Fuzzy Logic with Engineering Applications. McGraw-Hill, 1995.


[email protected]

Operações de Operações de MÍNIMO e MÁXIMOMÍNIMO e MÁXIMO

► Números Reais► Números Difusos

► Notação:

Números Reais

Números Difusos

min max

MIN MAX


[email protected]

Operações de Operações de MÍNIMO MÍNIMO ee MÁXIMO: MÁXIMO: clássicaclássica

► Números Reais: para todo par (x,y) R

min (x, y) =x se x y

y se y x

max (x, y) =y se x y

x se y x


[email protected]

Operações de Operações de MÍNIMO e MÁXIMO: Difusa

► Números Difusos: a função de pertinência é definida por

MIN (A , B) (z) = sup min [ A(x) , B(y) ]z = min( x, y)

MAX (A , B) (z) = sup min [ A(x) , B(y) ]z = max( x, y)


[email protected]

Operação MÍNIMO: Operação MÍNIMO: exemploexemplo

► Sejam A e B números difusos definidos por A = { 0.2/ 0 + 1/1 + 0.2/2}

B = { 0.1/ 1 + 1/2 + 0.1/3} calcule MIN(A,B).


[email protected]

MÍNIMO e MÁXIMO DIFUSO: propriedadespropriedades

► Comutatividade MIN (A,B) = MIN(B,A) e MAX (A,B) = MAX(B,A)

► Associatividade MIN[MIN (A,B), C] = MIN[A, MIN(B,C)] MAX[MAX (A,B), C] = MAX[A, MAX(B,C)]

► Distributividade MIN[A, MAX (B, C)]= MAX[MIN(A,B), MIN(B,C)] MAX[A, MIN (B, C)]=MIN[MAX(A,B), MAX(B,C)]


[email protected]

MÍNIMO e MÁXIMO DIFUSO: propriedadespropriedades

► Idempotência MIN (A,A) = A MAX (A,A) = A

► Absorção MIN[A, MAX (A,B)] = A MAX[A, MIN (A,B)] = A


[email protected]

Modelos DifusosModelos Difusos

► os modelos são construídos com operações aritméticas difusas

► os coeficientes são números difusos desconhecidos

Dr.

Documents

ARITMÉTICA DIFUSA