Utp ia_2015-1_s11-12_logica difusa y conjuntos difusos

Inteligencia Artificial(W0I9)

Sesiones: 11 y 12

Ing. José C. Benítez P.

Lógica Difusa y Conjuntos Difusos

2

Lógica Difusa y Conjuntos Difusos

� La lógica y su clasificación

� La lógica difusa

� Conjuntos Crisp y Difusos

� Interpretación de Kosko

� Tipos de Funciones de Pertenencia

� Características de un Conjunto Difuso

� Operaciones unarias sobre un CD

� Relaciones entre CD

� El Teorema de Representación

� El Principio de Extensión

� Operaciones entre CD

� Variables linguisticas

� Bibliografía

3

La lógica y su clasificación

• La lógica es una ciencia formal que estudia los principios de la demostración e inferencia válida.

• La palabra deriva del griego antiguo λογική (logike), que significa dotado de razón, intelectual, dialéctico,

argumentativo, que a su vez viene de λόγος (logos), que significa palabra, pensamiento, idea, argumento, razón o

principio.

• Así como el objeto de estudio tradicional de la química es la materia, y el de la biología la vida, el de la lógica es la inferencia.

4


• La inferencia es el proceso por el cual se derivan conclusiones a partir de premisas.

• La lógica investiga los principios por los cuales algunas inferencias son aceptables, y otras no.

• Cuando una inferencia es aceptable, lo es por su estructura lógica, y no por el contenido específico del argumento o el lenguaje utilizado. Por esta razón la lógica se considera una ciencia formal, como la matemática, en vez de una ciencia empírica.

• La lógica tradicionalmente se consideró una rama de la filosofía. Pero desde finales del siglo XIX, su formalización simbólica ha demostrado una íntima relación con las matemáticas, y dio lugar a la lógica matemática.

5


• Lógicas clásicas.

• Lógicas no clásicas.

• Lógicas modales

6


Lógicas clásicas

• Los SLC son los más estudiados y utilizados de todos, y se caracterizan por incorporar ciertos principios tradicionales que otras lógicas rechazan.

• Algunos de estos principios son: • el principio del tercero excluido, • el principio de no contradicción, • el principio de explosión y • la monoticidad de la implicación.

• Entre los SLC se encuentran:• Lógica proposicional• Lógica de primer orden• Lógica de segundo orden

7


Lógicas no clásicas

Los SLNC son aquellos que rechazan uno o varios de los principios de la lógica clásica.

Algunos de estos SLNC son:

• Lógica difusa: Es una lógica plurivalente que rechaza el principio del tercero excluido y propone un número infinito de valores de verdad.

• Lógica relevante: Es una lógica para consistente que evita el principio de explosión al exigir que para que un argumento sea válido, las premisas y la conclusión deben compartir al menos una variable proposicional.

8


Lógicas no clásicas

• Lógica cuántica: Desarrollada para lidiar con razonamientos en el campo de la mecánica cuántica; su característica más notable es el rechazo de la propiedad distributiva.

• Lógica no monotónica: Una lógica no monotónica es una lógica donde, al agregar una fórmula a una teoría cualquiera, es posible que el conjunto de consecuencias de esa teoría se reduzca.

• Lógica intuicionista: Enfatiza las pruebas, en vez de la verdad, a lo largo de las transformaciones de las proposiciones.

9

La lógica difusa

• La palabra fuzzy viene del ingles fuzz (tamo, pelusa, vello) y

se traduce por difuso o borroso.

• La lógica difusa se inició en 1965 por Lotfi A. Zadeh, profesor de la Universidad de California en Berkeley. El concepto de un subconjunto difuso fue introducido por Zadeh como una generalización de un subconjunto exacto (crisp subset) tradicional.

• La lógica difusa se construye mediante conjuntos difusos, los operadores difusos y las reglas de inferencia difusas, los que aplicados a un sistema de control se denomina Sistema de Control basado en Lógica Difusa o simplemente Sistemas Difusos o borrosos (Fuzzy Systems).

10

La lógica difusa

• La lógica difusa es una lógica alternativa a la lógica clásica que pretende introducir un grado de vaguedad en las cosas que evalúa.

• En el mundo en que vivimos existe mucho conocimiento ambiguo e impreciso por naturaleza. El razonamiento humano con frecuencia actúa con este tipo de información. La lógica difusa fue diseñada precisamente para imitar el comportamiento del ser humano.

• La lógica difusa en comparación con la lógica clásica o convencional permite trabajar con información que no es exacta para poder definir evaluaciones convencionales, contrario con la lógica tradicional que permite trabajar con información definida y precisa.

11

La lógica difusa

• En la actualidad es un campo de investigación muy importante, tanto por sus implicaciones matemáticas o teóricas como por sus aplicaciones prácticas, por lo que es muy importante estudiar y aprender.

• Razón por la que hoy existe abundante información.

9,457 libros!

12

La lógica difusa

Problemas Básicos subyacentes:� Conceptos SIN definición clara: Muchos conceptos que

manejamos los humanos a menudo, no tienen una definición clara: � ¿Qué es una persona alta? � ¿A partir de qué edad una persona deja de ser joven?

� La lógica clásica o bivaluada es demasiado restrictiva: Una afirmación puede no ser ni VERDAD (true) ni FALSA (false).

� “Yo leeré El Quijote”: ¿En qué medida es cierto? Depende de quien lo diga y...

� “Él es bueno en Física”: ¿Es bueno, muy bueno o un poco mejor que regular?

13

La lógica difusa:

¿Cuándo usar la tecnología fuzzy o difusa? (Sur, Omron, 1997)� En procesos complejos, si no existe un modelo de solución

sencillo.� En procesos no lineales.� Cuando haya que introducir la experiencia de un operador

“experto” que se base en conceptos imprecisos obtenidos de su experiencia.

� Cuando ciertas partes del sistema a controlar son desconocidas y no pueden medirse de forma fiable (con errores posibles).

� Cuando el ajuste de una variable puede producir el desajuste de otras.

� En general, cuando se quieran representar y operar con conceptos que tengan imprecisión o incertidumbre (como en las Bases de Datos Difusas).

14

La lógica difusa:

La lógica difusa surgió como una

herramienta importante para el control de

sistemas y procesos industriales complejos,

así como también para la electrónica de

entretenimiento y hogar, sistemas de

diagnóstico y otros sistemas expertos.

15

La lógica difusa:

Aplicaciones (Sur, Omron, 1997; Zimmermann, 1993):

� Control de sistemas: Control de tráfico, control de vehículos (autos, aviones, helicópteros, drones, etc.), control de compuertas en plantas hidroeléctricas, centrales térmicas, control en máquinas lavadoras, control de metros (mejora de su conducción, precisión en las paradas y ahorro de energía), ascensores, etc.

� Predicción y optimización: Predicción de terremotos, optimizar horarios, etc.

� Reconocimiento de patrones y visión por computador: Seguimiento de objetos con cámara, reconocimiento de escritura manuscrita, reconocimiento de objetos, compensación de vibraciones en la cámara, etc.

16

La lógica difusa

• La lógica difusa (también llamada lógica borrosa o lógica heurística) se basa en lo relativo de lo observado como posición diferencial. Este tipo de lógica toma dos valores aleatorios, pero contextualizados y referidos entre sí.

• La lógica difusa es una extensión de la lógica tradicional (Booleana) que utiliza conceptos de pertenencia de conjuntos mas parecidos a la manera de pensar humana.

• Es la lógica que utiliza expresiones que no son ni totalmente ciertas ni completamente falsas, es decir, es la lógica aplicada a conceptos que pueden tomar un valor cualquiera de veracidad dentro de un conjunto de valores que oscilan entre dos extremos, la verdad absoluta y la falsedad total.

17

Conjuntos Crisp y Difusos

Conceptos sobre Conjuntos Difusos:o Surgieron como una nueva forma de representar la

imprecisión y la incertidumbre.o Herramientas que usa: Matemáticas, Probabilidad,

Estadística, Filosofía, Psicología...o Es un puente entre dos tipos de computaciones:

� Computación Numérica: Usada en aplicaciones científicas, por ejemplo.

� Computación Simbólica: Usada en todos los campos de la Inteligencia Artificial.

18

Conjuntos crisp y difusos

Conjuntos Clásicos (crisp):

Surgen de forma natural, por la necesidad del ser humano de clasificar objetos y conceptos.- Conjunto de Frutas: Manzana ∈ Frutas, Lechuga ∉

Frutas…

- Función de pertenencia A(x), x∈X:• X es el Universo de Discurso.

• Restricción de la Función A: X → { 0, 1 }- Conjunto Vacío ⇒ ∅(x)=0, ∀ x∈X

- Conjunto Universo ⇒ U(x)=1, ∀x∈X

19


Conjuntos Difusos (fuzzy):

Relajan la restricción, A: X→ [0,1]– Hay conceptos que no tienen límites claros:

• ¿La temperatura 25oC es “alta”?• Definimos, por ejemplo:

Alta(30)=1, Alta(10)=0, ¿Cual es el valor de Alta(25)?, => Alta(25)=0.75...

20


Definición: Un conjunto difuso A se define como una Función de

Pertenencia que enlaza o empareja los elementos de un dominio o Universo de discurso X con elementos del intervalo

[0,1]:

A: X→ [0,1]• Cuanto más cerca esté A(x) del valor 1, mayor será la

pertenencia del objeto x al conjunto A.

• Los valores de pertenencia varían entre 0 (no pertenece en absoluto) y 1 (pertenencia total).

21


• Un conjunto difuso, es un conjunto que puede contener elementos de forma parcial; es decir que la propiedad x∈A

puede ser cierta con un grado de verdad.

• Se mide esta posibilidad de pertenecer (o pertenencia) con un número μA(x) entre 0 y 1, llamado grado de pertenencia de x a A. Si es 0, x no pertenece a A, si es 1, entonces x∈A, totalmente, y si 0<μA(x)<1, x pertenece a A de una manera parcial.

• Un subconjunto A de B se caracteriza, por tanto, por esta función de pertenencia μA, de B en [0,1]. Es preciso fijar el conjunto B para definir la función μA que a su vez define A. Por eso se habla de subconjunto difuso y no de conjunto difuso.

22


• Nótese que μA es una proposición en el contexto de la lógica difusa, y no de la lógica usual binaria, que sólo admite dos valores: cierto o falso.

• La teoría de los subconjuntos difusos o borrosos fue desarrollada por Lofti A. Zadeh en 1965 con el fin de representar matemáticamente la imprecisión intrínseca de ciertas categorías de objetos.

• Los subconjuntos difusos (o partes borrosas de un conjunto) fueron inventados para modelar la representación humana de los conocimientos (por ejemplo para medir nuestra ignorancia o una imprecisión objetiva) y mejorar así los sistemas de decisión, de ayuda a la decisión, y de inteligencia artificial.

23


Representación: Un conjunto difuso A puede representarse como un conjunto de pares de valores: Cada elemento x∈X con su grado de pertenencia a A. También puede ponerse como una “suma” de

pares:

– A = { A(x)/x, x∈X}–

(Los pares en los que A(xi)=0, no se incluyen)

Ejemplo: • Conjunto de alturas del concepto difuso “Alto” en Personas:A = 0.25/1.75 + 0.2/1.8 + 0.15/1.85 + 0.1/1.9

(su universo es discreto).

24


Representación: • Si el Universo es Continuo:

• La suma y la integral no deben considerarse como operaciones algebraicas.

Contexto: • Es fundamental en la definición de conjuntos difusos.• Ejemplo:

No es lo mismo el concepto “Alto” aplicado a personas que a edificios.

25

Conjuntos crisp y difusosGráfico de dos conjuntos difusos.

26


Función de Pertenencia: Un conjunto difuso puede representarse también gráficamente como una función, especialmente cuando el universo de discurso X (o dominio subyacente) es

continuo (no discreto).� Abscisas (eje X): Universo de discurso X.

� Ordenadas (eje Y): Grados de pertenencia en el intervalo [0,1].

Ejemplo: Concepto de Temperatura “Alta”.

27


Función de Pertenencia: Ejemplo: Concepto de Temperatura “Alta”.

Alta(30)=1, Alta(10)=0, => Alta(25)=0.75

28

Interpretación de Kosko (1992)

• Un Universo X es un conjunto (finito o infinito) de valores.

• Por ejemplo: X = {x1, x2 , ... , xn}, donde X tiene n valores.

• Cada subconjunto de X es miembro del conjunto potencia

de X, denotado como P(X) o 2X.

– P(X) tiene 2n elementos, incluyendo ∅ (conj. vacío).

– Cada valor de X puede pertenecer al subconjunto o no

pertenecer.

• Cada uno de los 2n elementos de P(X), puede

representarse como un vector de n dimensiones (Kosko,

1992). Forma un hipercubo unidad n-dimensional.

29


• Conjuntos Crisp: Cada uno de los componentes de ese vector toma un valor en el conjunto {1,0}, según ese componente de X pertenezca o no a ese elemento de P(X).

Ejemplo: El conjunto vacío tiene n ceros {0, 0, ... 0}.

• Conjuntos Difusos: Cada uno de los componentes de ese vector toma un valor en el intervalo [0,1], según ese componente de X pertenezca a ese elemento o no.

Existen infinitos valores posibles.

• Ejemplo con n=2: P(X)={∅,{x1},{x2},{x1, x2} } →

– Crisp: P(X)={[0,0], [0,1], [1,0], [1,1]}.

Son las 4 esquinas de un cuadrado unidad.

– Difuso: Cubre toda la superficie del cuadrado.

30


31

Tipos de Funciones de Pertenencia

Función de Pertenencia:

A: X→ [0,1]

• Cualquier función A es válida.

• Su definición exacta depende:

� del concepto a definir,

� del contexto al que se refiera,

� de la aplicación...

• En general, es preferible usar funciones simples, debido a que simplifican muchos cálculos y no pierden exactitud, debido a que precisamente se está definiendo un concepto difuso.

32


1. Triangular: Definido por sus límites inferior a y superior b, y el

valor modal m, tal que a < m < b.

También puede representarse así:A(x;a,m,b) = máx { mín{ (x-a)/(m-a), (b-x)/(b-m) }, 0 }

33


2. Función Γ (gamma):

Definida por su límite inferior a y el valor k>0.

Esta función se caracteriza por un rápido crecimiento a partir de a.

Cuanto mayor es el valor de k, el crecimiento es más rápido aún.

La primera definición tiene un crecimiento más rápido.Nunca toman el valor 1, aunque tienen una asíntota horizontal en 1.

34


3. Función G (gamma):

Se aproximan linealmente por:

La función opuesta se llama Función L.

35


4. Función S: � Definida por sus límites inferior a y superior b, y el valor m, o

punto de inflexión tal que a<m<b.

� Un valor típico es: m=(a+b) / 2.

� El crecimiento es más lento cuanto mayor sea la distancia a-b.

36


5. Función Gausiana: � Definida por su valor medio m y el valor k>0.

� Es la típica campana de Gauss.� Cuanto mayor es k, más estrecha es la campana.

37


6. Función Trapezoidal: • Definida por sus límites inferior a y superior d, y los límites

de su soporte, b y c, inferior y superior respectivamente.

• En general, la función Trapezoidal se adapta bastante bien a la definición de cualquier concepto, con la ventaja de su fácil definición, representación y simplicidad de cálculos.

38


7. Función Pseudo-Exponencial: • Definida por su valor medio m y el valor k>1.

• Cuanto mayor es el valor de k, el crecimiento es más rápido aún y la “campana” es más estrecha.

39


8. Función Trapecio Extendido: • Definida por los cuatro valores de un trapecio [a, b, c, d], y

una lista de puntos entre a y b, o entre c y d, con su valor de pertenencia asociado a cada uno de esos puntos.

40


8. Función Trapecio Extendido: • En casos particulares, el Trapecio Extendido puede ser

de gran utilidad. • Éste permite gran expresividad aumentando su

complejidad.• En general, usar una función más compleja no añade

mayor precisión, pues debemos recordar que se está definiendo un concepto difuso.

41


9. Función Singleton:

• Un conjunto difuso que contiene un único elemento x0. Es denominado una singularidad difusa o fuzzy singleton.

• El uso de los singletons simplifica considerablemente el proceso de inferencia y posibilita la implementación electrónica eficiente de los sistemas de inferencia difusos.

42

Características de un Conjunto Difuso

1. Altura de un Conjunto Difuso (height):

El valor más grande de su función de pertenencia: supx∈X A(x).

2. Conjunto Difuso Normalizado (normal):

Si existe algún elemento x∈X, tal que pertenece al conjunto difuso

totalmente, es decir, con grado 1. O también, que: Altura(A) = 1.

3. Soporte de un Conjunto Difuso (support):

Elementos de X que pertenecen a A con grado mayor a 0:

Soporte(A) = {x∈X | A(x) > 0}.

4. Núcleo de un Conjunto Difuso (core):

Elementos de X que pertenecen al conjunto con grado 1: Nucleo(A) = {x∈X | A(x) = 1}.

Lógicamente, Nucleo(A) ⊆ Soporte(A).

43

Características de un Conjunto Difuso

5.5.5.5. αααα-Corte:

Valores de X con grado mínimo α: Aα = {x∈X | A(x) ≥ α}.

6. Conjunto Difuso Convexo o Concavo (convex, concave):

Si su función de pertenencia cumple que ∀x1 ,x2∈ X y ∀λ∈[0,1]:

– Convexo: A(λx1+ (1–λ)x2) ≥ min{A(x1), A(x2)}.

Que cualquier punto entre x1 y x2 tenga un grado de

pertenencia mayor que el mínimo de x1 y x2

– Concavo: A(λx1+ (1–λ)x2) ≤ max{A(x1), A(x2)}.

7. Cardinalidad de un Conjunto Difuso con un Universo finito (cardinality): Card(A) = Σx∈X A(x).

44

Operaciones unarias en un Conjunto Difuso

1. Normalización:

Convierte un conj. difuso NO normalizado en uno normalizado, dividiendo por su altura:

Norm_A(x) = A(x) / Altura(A)

2. Concentración (concentration):

Su función de pertenencia tomará valores más pequeños, concentrándose en los valores mayores:

Con_A(x) = Ap(x), con p>1, (normalmente, p=2)

3. Dilatación (dilation):

Efecto contrario a la concentración. 2 formas:

Dil_A(x) = Ap(x), con p∈(0,1), (normalmente, p=0.5).

Dil_A(x) = 2A(x) – A2(x).

45

Operaciones unarias en un Conjunto Difuso

4. Intensificación del Contraste (contrast intensification):

Se disminuyen los valores menores a 1/2 y se aumentan los mayores:

Con p>1. Normalmente p=2. Cuanto mayor p, mayor intensificación.

5. Difuminación (fuzzification): Efecto contrario al anterior:

46

Relaciones entre Conjuntos Difusos

1. Igualdad (equality): Dos conjuntos difusos, definidos en el

mismo Universo, son iguales si tienen la misma función de pertenencia: A = B ⇔ A(x) = B(x), ∀ x∈X

2. Inclusión (inclusion): Un conjunto difuso está incluido en

otro si su función de pertenencia toma valores más pequeños: A ⊆ B ⇔ A(x) ≤ B(x), ∀ x∈X

3. Inclusión Difusa: Si el Universo es finito, podemos relajarla condición anterior para medir el grado en el que un conjunto difuso está incluido en otro (Kosko, 1992):

47

Relaciones entre Conjuntos Difusos

Ejemplo:� A = 0.2/1+ 0.3/2+ 0.8/3+ 1/4 + 0.8/5 ⇒ Card(A) = 3.1;� B = 0.2/2+ 0.3/3+ 0.8/4+ 1/5 + 0.1/6 ⇒ Card(B) = 2.4;� S(A, B) = 1/3.1 {3.1 – {0.2+0.1+0.5+0.2+0+0} } = 2.1 / 3.1 =

0.68;� S(B, A) = 1/2.4 {2.4 – {0+0+0+0+0.2+0.1} } = 2.1 / 2.4 =

0.88;� B está más incluido en A, que A en B.

48

El Teorema de Representación

� Teorema de Representación o Principio de Identidad: Todo conjunto difuso puede descomponerse en una familia de conjuntos difusos.

o, lo que es lo mismo:

donde Aα (x) ∈ {0,1}, dependiendo de si x pertenece o no al α_corte Aα.

49

El Teorema de Representación

� Reconstrucción: Cualquier conjunto difuso puede reconstruirse a partir de una familia de conjuntos α_cortes anidados.

� Conclusiones:• Cualquier problema formulado en el marco de los

conjuntos difusos puede resolverse transformando esos conjuntos difusos en su familia de α-cortes anidados, determinando la solución para cada uno usando técnicas no difusas.

• Resalta que los conjuntos difusos son una generalización.

50

El Principio de Extensión

� Principio de Extensión (Extension Principle): Usado para

transformar conjuntos difusos, que tengan iguales o distintos universos, según una función de transformación en esos universos.

� Sean X e Y dos conjuntos y f una función de transformación

de uno en otro: f: X → Y

� Sea A un conjunto difuso en X.

� El Principio de Extensión sostiene que la “imagen” de A en

Y, bajo la función f es un conjunto difuso B=f (A), definido como: B(y) = sup {A(x) | x∈∈∈∈X, y=f(x) }

51

El Principio de Extensión

� Ejemplo, representado gráficamente:� La función sup se aplica si existen dos o más valores de x

que tengan igual valor f (x).

� Ese caso no ocurre en el ejemplo.

52

El Principio de Extensión Generalización

• Se puede generalizar el Principio de Extensión para el caso enel que el Universo X sea el producto cartesiano de n Universos:

o X = X1 × X2 × ... × Xn

o La función de transformación: f: X → Y, y = f(x), con x =

(x1, x2, ... , xn)

o El Principio de Extensión transforma n Conjuntos Difusos

A1, A2, ... y An, de los universos X1, X2, ... y Xn

respectivamente, en un conjunto difuso B=f (A1, A2, ... ,

An) en Y, definido como:

B(y) = sup { min[A1 (x1), A2 (x2), ... , An (xn)] | xÎX, y=f(x) }

53

El Principio de Extensión Generalización

Ejemplos: Sean X e Y, ambos, el universo de los números naturales.

� Función sumar 4: y = f (x) = x + 4:A = 0.1/2 + 0.4/3 + 1/4 + 0.6/5;B = f (A) = 0.1/6 + 0.4/7 + 1/8 + 0.6/9;

� Función suma: y = f (x1, x2) = x1 + x2 :A1 = 0.1/2 + 0.4/3 + 1/4 + 0.6/5;A2 = 0.4/5 + 1/6;B = f (A1, A2) = 0.1/7 + 0.1/8 + 0.4/9 + 0.4/10 + 0.6/11;

54

Operaciones entre conjuntos borrosos

� Complemento difuso� Unión difusa� Intersección difusa� Condicional difusa

55

Complemento difuso (NOT)

� Complemento (negación difusa): El complemento de un conjunto difuso es la cantidad que la membresía necesita para alcanzar 1.

� El complemento de A es todo lo que no pertenece a A o está fuera de éste: �̅ = 1 − � x no está cerca de A: x está lejos de A

56

Unión difusa (OR de Zadeth)

� La unión (o disyunción) difusa, representa al conjunto difuso más pequeño que contiene a A y que contiene a B.

� El operador max (∨), toma como valor verdadero el valor máximo de la función de membresía del elemento x en A y B.

� Asumiendo que A y B son dos conjuntos difusos, la unión de A y B es un conjunto difuso � = � ∪ , en el cual �(�) =��[�(�), (�)] x está cerca de A o cerca de B

57

Intersección difusa (AND de Zadeth)

� En conjuntos difusos la intersección es el grado de membresía que dos conjuntos comparten.

� Una intersección difusa es el menor de la membresía de cada elemento en ambos conjuntos.

� A y B son dos conjuntos difusos. La intersección de A y B es un conjunto difuso � = � ∩ = A.B, en el cual �(�) =��[�(�), (�)] x está cerca de A y cerca de B

58

Operadores difusos

59

Operadores difusos

60

Propiedades básicas

� Conmutativa:

A U B = B U A; A ∩ B = B ∩ A;

� Asociativa:

A U (B U C) = (A U B) U C = A U B U C;

A ∩ (B ∩ C) = (A ∩ B) ∩ C = A ∩ B ∩ C;

� Idempotencia:

A U A = A; A ∩ A = A;

� Distributiva:

A U (B ∩ C) = (A U B) ∩ (A U C);

A ∩ (B U C) = (A ∩ B) U (A ∩ C);

61

Propiedades básicas

� Condiciones Frontera o Límite:

A U φ = A; A U X = X;

A ∩ φ = φ; A ∩ X = A;

� Involución (doble negación):

¬(¬A) = A;

� Transitiva:

A ⊂ B y B ⊂ C, implica A ⊂ C;

62

Propiedades añadidas

Se deducen de las anteriores.

� (A ∩ B) ⊂ A ⊂ (A U B);

� Si A ⊂ B, entonces A = A ∩ B y B = A U B;

� Card(A) + Card(B) = Card(A U B) + Card(A ∩ B);

� Card(A) + Card(¬A) = Card(X)

63

Otras propiedades

64

Variables lingüísticas

� Como un conjunto convencional, un conjunto difuso sepuede utilizar para describir el valor de una variable.Por ejemplo, en la oración: “El porcentaje de humedades Bajo”, se utiliza el conjunto difuso “Bajo” paradescribir la cantidad de humedad en un día.

� Formalmente se expresa como: La humedad es Bajo

� La variable humedad en este ejemplo demuestra unconcepto importante en la lógica difusa: la variablelingüística.

65


� Son variables cuyos valores se representan mediante términos lingüísticos. El significado de estos términos lingüísticos se determina mediante conjuntos difusos.

66


� Proporcionan una transición gradual de estados

� Tienen capacidad para expresar y trabajar con observaciones y medidas de incertidumbre

� Por capturar medidas de incertidumbre son más ajustadas a la realidad que las variables nítidas

Albert Einstein (1921): “Tan cerca como se refieran las

leyes matemáticas a la realidad no son ciertas, y tan lejos

como sean ciertas no se refieren a la realidad”

67


� Una variable lingüística se puede interpretar tanto cualitativamente mediante un termino lingüístico (etiqueta: nombre del conjunto difuso), como cuantitativamente mediante su correspondiente función de membresía (la cual expresa el significado del conjunto difuso).

� El termino lingüístico es utilizado para expresar conceptosy conocimiento, mientras la función de membresía seutiliza para procesar el dato numérico de entrada.

68


Permiten la valoración de variables en términos lingüísticos, como por ejemplo, poco, mucho, suficiente, etc. Pueden ser representadas por conjuntos difusos.Se definen por los siguientes elementos:

(�, �(�), �, �,�)

Donde:� es el nombre de la variable.�(�) es el conjunto de términos o valores lingüísticos de x.� es el universo del discurso de la variable x.g es una regla sintáctica para generar términos lingüísticos.� es una regla semántica que asocia a cada x un significado.

69


Ejemplo:� = la velocidad (variable lingüística)�(�) = { Despacio, moderado, Rápido }� ={ 0-100Km/h }

Despacio: trapezoidalg = Moderado: triangular

Rápido: trapezoidalDespacio: Velocidad aprox. por debajo de 40 Km/h

� = Moderado: Velocidad cercana a 55 Km/hRápido: Velocidad por encima de 70 Km/h

70


Ejemplo:� = rendimiento (variable lingüística)�(�) = { Muy bajo, bajo, medio, alto, muy alto }� ={ 0-20 }

Muy bajo: trapezoidalBajo: trapezoidal

� = Medio: trapezoidalAlto: trapezoidalMuy alto: trapezoidalMuy bajo: Nota aprox. por debajo de 05Bajo: Nota alejada de 05 y cercana 12

� = Medio: Nota alejada de 12 y cercana 14Alto: Nota alejada de 14 y cercana 18Muy alto: Nota por encima de 18

71


72

Modificadores lingüísticos: Hedges

� Existen muchos descriptores lingüísticos como son: moderado, normal, alto, algo caliente, muy bajo, medio

normal, mas o menos alto, etc.

� Uno de los conceptos importantes en la Lógica Difusa es que en vez de enumerar todos estos diferentes descriptores, se pueden generar de un conjunto esencial de términos lingüísticos (llamado: Conjunto Término) utilizando modificadores (por ejemplo: muy, mas o menos) y conectivas (por ejemplo: “y”, “o”).

� En Lógica Difusa a dichos modificadores se les denomina:Hedges.

73

Modificadores lingüísticos: HedgesEjemplo:Variables lingüísticas y valores lingüísticos.

Si edad es la variable lingüística, entonces su conjunto término T(edad) puede ser:

( )

=

K

K

K

K

,

,,,,,,

,,,

,,,,,

viejomuynoyjovenmuyno

viejomuynoviejomenosomasviejomuyviejonoviejo

viejomedionoviejomedio

jovenmuynojovenmuyjovennojoven

edadT

Se observa que el conjunto termino consiste de varios términos

primarios (joven, viejo) modificados por la negación ("no") y/o los adverbios (muy, mas o menos, completamente, extremadamente, etc.), y ligados por conectivas tales como y, o, y ni.

74


Donde cada término en T(edad) se caracteriza por un conjunto difuso de un universo de discurso X = [0, 100], como se muestra en la siguiente figura.

75


Son operadores unarios que se aplican a conjuntos difusos.

Un modificador lingüístico es un operación unaria:

h: [0,1] -> [0,1]

� Ejemplos: “Muy”, “más o menos”, “bastante”, “extremadamente”, etc.

� No son aplicables a conjuntos nítidos.

76


Definiciones comunes de algunos modificadores lingüísticos:

77


� Si h(a) < a, el modificador h se denomina modificador fuerte.

� Si h(a) > a, el modificador h se denomina modificador débil.

Propiedades de los modificadores:1. h(0) = 0 y h(1) = 12. h es una función continua3. Si h es fuerte, h-1 es débil4. Dado otro modificador g, cualquier composición de h

con g y viceversa, es un modificador

78


� Con el uso de modificadores lingüísticos se debe evitar la ambigüedad.

� Los modificadores lingüísticos y los conectivos permiten obtener un amplio conjunto de términos compuestos que amplían la potencia descriptiva de la variable lingüística.

� Si el nº de términos de una variable aumenta indefinidamente se llegará a la indistinguibilidadsemántica de alguno de ellos.

� Granularidad (Lofti Zadeh): Nivel de distinción entre los distintos niveles de incertidumbre contenida en las variables lingüísticas de forma que se pueda representar correctamente la distinción que desea el usuario.

79

Variables difusas

� Concepto análogo al de variable lingüística

� Toman como valores conjuntos difusos aunque éstos no tienen asociada una descripción lingüística.

� Útiles en situaciones en las que sea más importante la precisión que la descripción lingüística.

� Se caracteriza mediante (U , X, R(U,x))

1. U es el nombre de la variable

2. X es el universo de discurso

3. x es un nombre genérico para los elementos de X

4. R(U,x) es un conjunto difuso en X que representa una restricción en los valores de X impuesta por x.

80

Bibliografía

• J. Bezdek, “Pattern Recognition with Fuzzy Objective FunctionAlgorithms”. Plenum Press, New York, 1981.

• B. Kosko, “Neural Networks and Fuzzy Systems: A Dynamical Systems Approach to Machine Intelligence”. Englewood Cliffs, NJ: Prentice Hall, 1992.

• R. Kruse, J. Gebhardt, F. Klawonn, “Foundations of Fuzzy Systems”'. John Wiley & Sons, 1994. ISBN 0-471-94243X.

• F.M. McNeill, E. Thro, “Fuzzy Logic: A Practical Approach”. AP professional, 1994. ISBN 0-12-485965-8.

• J. Mohammd, N. Vadiee, T.J. Ross, Eds. “Fuzzy Logic and Control. Software and Hardware Applications”. Eaglewood Cliffs, NJ:PTR. Prentice Hall, 1993.

81

Bibliografía

• W. Pedrycz, F. Gomide, “An introduction to Fuzzy Sets: Analysis and Design”. A Bradford Book. The MIT Press, Massachusetts, 1998. ISBN 0-262-16171-0.

• T.L. Saaty, “The Analytic Hierarchy Processes”. McGraw Hill, New York, 1980.

• Sur A&C, Omron Electronics, S.A., “Lógica Fuzzy para Principiantes”. Ed. I. Hernández, 1997. ISBN 84-920326-3-4.

• R. Sambuc, “Fonctions d’F-flous: Application a l’aide au diagnostic en pathologie thyroidienne”. Ph. D. Thesis, Universite de Marseille, 1975.

• L.A. Zadeh, “Fuzzy Sets”. Information and Control, 8, pp. 338-353, 1965.

• H. Zimmermann, “Fuzzy Set Theory and Its Applications”. 2d ed. Dordrecht, the Netherlands: Kluwer Academic Publishers, 1993.

Resumen

Las Tareas que no cumplan las indicaciones no serán considerados

por el profesor.82

� Realizar un resumen mediante mapas conceptuales (CMapTools) de esta diapositiva.

� Serán mejor consideradas los resúmenes que tengan información extra a esta diapositiva.

� Las fuentes adicionales utilizadas en el resumen se presentarán en su carpeta personal del Dropbox y deben conservar el nombre original y agregar al final _S11.

� Las fuentes y los archivos *.cmap deben colocarse dentro de su carpeta personal del Dropbox, dentro de una carpeta de nombre:

IA_PaternoM_S11

PreguntasEl resumen con mapas conceptuales solicitado de la Sesión al menos debe responder las siguientes preguntas:

1. ¿Qué es la lógica? y ¿Cuál es el objetivo de la lógica?.2. ¿Cómo se clasifica y subclasifica la lógica?.3. Explicar cada uno de los principios de la lógica clásica.4. ¿Cómo se construye la lógica difusa?5. ¿Cuándo usar la tecnología difusa?6. Clasificar y subclasificar las aplicaciones de la lógica difusa.7. ¿Qué es el lógica difusa?8. ¿Qué es un conjunto crisp?. Dar ejemplos.9. ¿Qué es un conjunto difuso?. Dar ejemplos.10. ¿Cómo se representa un conjunto difuso?.11. ¿En qué consiste la interpretación de Kosko?.12. Listar los tipos de funciones de pertenencia e indicar tres

características de cada FdP. 83

Preguntas

13. ¿En que consiste el teorema de representación?.14. ¿En que consiste el principio de extensión?.15. ¿Cuales son las operaciones entre CD?.16. ¿Cuales son las propiedades de las operaciones?. 17. ¿Qué es una variable lingüística?.18. ¿Cómo se representa una VL?. Dar ejemplos.19. ¿Qué es un modificador lingüístico?. Dar ejemplos.20. ¿Qué es un conjunto termino?. Dar ejemplos.21. Listar los tipos de modificadores. Dar ejemplos.22. Listar las propiedades de los modificadores.23. ¿Qué es una variable difusa?24. Como se representa una VD?. Dar ejemplos

84

85

Sesión 11. Lógica Difusa y Conjuntos Difusos

Inteligencia Artificial

http://utpiayse.blogspot.com

Documents

Utp ia_2015-1_s11-12_logica difusa y conjuntos difusos