Uticajne Linije i Sl

Punostijeni statički određeni nosači 111

Mihanović, Trogrlić Građevna statika I

2.4 PROGIBLJIVOST PUNOSTIJENIH NOSAČA

2.4.1 PROGIBLJIVOST NAČELOM VIRTUALNOGA RADA

Pod određivanjem progibljivosti punostijenih nosača ovdje se podrazumijeva određivanje, za poznato djelovanje, diskretnog pomaka na proizvoljnom mjestu i u prozvoljnom smjeru.

Zbog statičke određenosti, reakcije i raspodjela unutrašnjih sila ne ovise o karakteristikama presjeka, dimenzijama niti o materijalu. Vrsta poprečnog presjeka i mehanička svojstava materijala utjecati će na progibljivost svakog sustava.

Neka je predmet promatranja konkretan konstruktivni sustav odabran kao obična greda izložena djelovanju konstantnog opterećenja q. Neka je poprečni presjek konstantan, pravokutan visine h, širine b, iz Hookeovog materijala s modulom elastičnosti E, i modulom posmika G. Površina presjeka izložena uzdužnoj deformabilnosti iznosi A, površina izložena posmičnoj deformabilnosti Ay dok je veličina momenta tromosti I.

Za zadani sustav i pripadno opterećenje neka su određene reakcije i sve potrebne rezne sile, Mx, Tx i Nx, kako je prikazano na crtežu 2.71. Neka je δx oznaka za hipotetsku progibnu liniju, kada bi bila poznata za ovo stanje. Progibna linija se sastoji od utjecaja koji daju momenti savijanja, poprečne sile i uzdužne sile.

Neka se traži progibljivost u sredini grede u uspravnom smjeru. Na mjestu i u smjeru traženog progiba postavlja se fiktivna jedinična sila F=1. Za ovaj slučaj opterećenja mogu se odrediti reakcije i rezne sile. Neka pripadne rezne sile imaju oznake: mx, tx i nx, kako je prikazano na crtežu 2.72.

Crtež 2.71 Odgovor zadanog sustava

112 Punostijeni statički određeni nosači

Građevna statika I Mihanović, Trogrlić

Crtež 2.72 Fiktivno opterećenje silom u smjeru progiba

Stanje ravnoteže pri djelovanju fiktivne sile F=1 indirektno se može provjeriti načelom virtualnoga rada. Za bilo koji mogući slučaj virtualnih pomaka rad vanjskih sila F mora biti jednak radu unutrašnjih sila, jer je promatrani sustav u ravnoteži. Ako se kao virtualni pomaci za testiranje ravnoteže odaberu upravo pomaci stvarno zadanog opterećenja δx, tada iz jednakosti radova vanjskih i unutrašnjih sila slijedi veličina traženog progiba δ, odnosno uv AA = (2.53)

ili jednostavno uA=δ (2.54)

Pri tome je rad unutrašnjih sila jednak

∫ ∫∫Ω ΩΩ

++= dxEANndx

GATtdx

EIMmA x

xy

xx

xxu (2.55)

gdje je: EIM x virtualna zakrivljenost (deformacija) savijanjem,

y

x

GAT

virtualna posmična deformacija,

EANx virtualna uzdužna deformacija.

U konkretnom slučaju rad uzdužnih sila jednak je nuli, a rad momenata savijanja iznosi

EIqllqllllql

EIdx

EIMm x

x

422

76819

421

322432

82112 =⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+=∫

Ω

(2.56)

dok je rad poprečnih sila



yyy

xx GA

qllqlGA

dxGATt

2

41

21

22112 =⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛=∫

Ω

(2.57)

U prethodna dva izraza, integracija je izvršena numeričkim putem, prema pravilu: integral umnoška jednak je površini ispod jedne funkcije pomnoženoj s ordinatom druge funkcije koja se nalazi ispod težišta prve funkcije. Uvjet je neprekinutost funkcija po dijelovima te da barem jedna od njih mora biti linearna.

Za konkretne vrijednosti: l=10 m, q=10 kN/m, E=10000 MPa, G= 6000 MPa, h=70 cm, b=30 cm, te Ay=A, progib u sredini iznosi cm905.2020.0885.2 =+=δ (2.58)

Udio posmičnih deformacija je praktično zanemarljiv (iznosi ispod 1%). Kod nosača koji su niski (nisu visokostijeni) udio posmičnih deformacija je gotov uvijek zanemarljiv. Bez znatnije pogreške izraz za progib u prethodnom slučaje se može zapisati u obliku:

EIql 4

76819

=δ (2.59)

Utjecaj uzdužnih deformacija se ne može zanemariti i ovisi od slučaja do slučaja kao što je prikazano u narednim primjerima. Postupak na prethodnom konkretnom slučaju može se popćiti na bilo koji sustav punostijenih nosača. U nastavku je pokazan primjer određivanja kuta zaokreta grede sa opterećenjem i svojstvima prikazanim na crtežu 2.73.

Crtež 2.73 Fiktivno opterećenje momentom na mjestu zaokreta

Sukladno izrazu (2.54) rad vanjskih sila iznosi upravo veličini traženog kuta zaokreta te je

uA=φ (2.60)

odnosno

EI

qllqlEI

dxEIMm x

x 128321 32

=== ∫Ω

φ (2.61)

Za konkretne vrijednosti ulaznih podataka, veličina traženog kuta zaokreta iznosi 00486.0=φ (2.62)

s dimenzijom prirodne vrijednosti kuta.



2.4.2 PRIMJERI PROGIBLJIVOSTI

Primjer 1. Prosta gred izložena koncentriranoj sili

Prosta greda izložena je koncentriranoj sili F u sredini raspona. Potrebno je odrediti progib u sredini uvažavajući samo savojne deformacije. Presjek nosača je konstantan sa savojnom krutosti iznosa EI. Dijagram momenata savijanja prikazan je na crtežu 2.74. Pošto se progib traži upravo ispod sile F, tada i jedinična sila za primjenu virtualnoga rada mora biti na istom mjestu. Tada je i dijagram mx istog oblika kao Mx, s iznosom u sredini ml/2= l/4.

Crtež 2.74 Opterećenje i momenti savijanja

Sukladno izrazu (2.54) veličina progiba u sredini iznosi

EI

FlllFlEI

dxEIMm x

x 48432

42112

3

=== ∫Ω

δ (2.63)

Primjer 2. Greda oslonjena na vješaljci

Greda je izložena koncentriranoj sili F=100 kN u sredini raspona, ovješena je na

Crtež 2.75 Opterećenje i rezne sile



vješaljci na desnom ležaju. Potrebno je odrediti progib u sredini raspona. U ovom slučaju relevantne su savojne deformacije grede i uzdužne deformacije vješaljke. Svojstva grede su: raspon l=10.0 m, presjek visine 70 cm, širine 30 cm, modul materijala E=10000 MPa. Svojstva vješaljke su: visina h=5.0 m, presjek kružni promjera 20 mm, modul materijala E=210000 MPa.

Dijagram reznih sila prikazan je na crtežu 2.81. Jednična sila za primjenu načela virtualnoga rada mora biti u sredini raspona grede, tada su dijagrami reznih sila mx i nx isti kao na crtežu 2.75, stim da je ml/2=l/4 i iznos uzdužne sile nx=1/2. Sukladno izrazu (2.d2) veličina progiba u sredini raspona iznosi:

11

3

1111 448221

432

42112

AEFh

EIFlF

AEhllFl

EIdx

AENndx

EIMm

l h

xx

xx +=+=+= ∫ ∫δ (2.64)

Kada se uvrste konkretne vrijednosti izlazi cm368.4938.1430.2 =+=δ (2.65)

Primjer 3. Trozglobni okvi izložen horizontalnoj sili

Trozglobni okvir je izložen horizontalnoj sili F=10 kN u visini prečke. Osna geometrija okvira i pripadni dijagrami unutrašnjih sila prikazani su na crtežu 2.76. Potrebno je odrediti horizontalni pomak lijevog čvora. Jedinična sila za primjenu načela virtualnoga rada mora biti na mjestu i u smjeru traženog progiba. Pripadni dijagrami mx i nx, slični su onima sa crteža 2.76 pri čemu je mmax=l/4 te nx=+/- ½.

Crtež 2.76 Opterećenje i rezne sile za proračun horizontalnog pomaka

Sukladno izrazu (2.54) veličina horizontalnog progiba iznosi

EAFh

EIFllF

AEllFl

EIdx

EANndx

EIMm x

xx

x 21221

2214

432

42114

3

11

+=+=+= ∫ ∫Ω Ω

δ (2.66)



Primjer za vježbu 4. Konzolni nosač. Za konzolni nosač s opterećenjem silom F kako je prikazano na crtežu 2.77 potrebno je odrediti progib δ i kut zaokreta θ . U obzir uzeti samo savojno deformiranje.

Crtež 2.77 Progib i zaokret konzolnog nosača

Rješenje glasi: EI

Fl3

3

=δ , EI

Fl2

2

=θ

Primjer za vježbu 5. Gerberov nosač. Za Gerberov nosač s opterećenjem silama F i q kako je prikazano na crtežu 2.78 potrebno je odrediti progib δ i kut zaokretaθ . U obzir uzeti samo savojno deformiranje.

Crtež 2.78 Progib i zaokret Gerberovog nosača

Rješenje glasi: EIFl 3

100017

−=δ , EIFl 2

12011

=θ .

Primjer za vježbu 6. Progib poduprte grede

Za poduprtu gredu prikazanu na crtežu 2.79 potrebno je odrediti progib δ u sredini raspona za zadano opterećenje. Geometrija desne strane simetrična je geometriji lijeve strane. Zadane su veličine savojne krutosti presjeka grede EI= 1.11 MNm2, osne krutosti presjeka kosnika EA1= 58.2 MN, osne krutosti presjeka stupova EA2= 46.8.2 MN, izos sile F=0.1 MN. Rješenje glasi: =δ 3.30 cm.



Crtež 2.79 Progib poduprte grede



2.5 TEMPERATURNO DJELOVANJE

2.5.1 DEFORMACIJE JEDNOLIKE I NEJEDNOLIKE TEMPERATURE

U statici linijskih nosača pa tako i punostijenih nosača pojednostavnjeno se zadaje temperaturno djelovanje u dva slučaja koja se mogu pojaviti i istodobno. Prvi slučaj je jednolika temperatura koja podrazumijeva pojavu jednake promjene, porasta ili sniženja temperature u svim dijelovima presjeka kao i po svim dijelovima istog elementa. Drugi slučaj je nejednolika temperatura koja podrazumijeva na gornjem rubu promjenu temeprature jednog predznaka a na donjem rubu istu promjenu suprotnog predznaka s linearnom promjenom.

Deformiranje diferencijalnog elementa štapa jednolikom temperaturom Usljed jednolikog zagrijavanja za t0, sva vlakanca presjeka jednako se rastežu za iznos 0ttx αε = (2.67)

Gdje je tα toplinski koeficijent, koji pokazuje koliko se rastegne vlakance jedinične duljine pri porastu temperature za 1o C. Izgled deformiranog elementa prikazan je na crtežu 2.80.

Crtež 2.80 Rastezanje pri jednolikoj temperaturi

Deformiranje diferencijalnog elementa štapa nejednolikom temperaturom

Neka se gornje vlakance hladi za iznos ∆t/2 a donje vlakance zagrijava za izos ∆t/2. Deformiranje svakog vlakanca je slobodno pa nastaje oblik prikazan crtežu 2.81.

Crtež 2.81 Zakrivljenost štapa pri nejednolikoj temperaturi



Na promatranoj duljini elementa rubni presjeci su se zakrenuli za kut

h

tt∆=∆αφ (2.68)

Što predstavlja traženu savojnu deformaciju - promjenu kuta zaokreta odnosno zakrivljenost presjeka. Slobodno deformiranje je bitno deformacijsko svojstvo statički određenih sustava, što je potvrđeno u prethodnoj točki. Stoga se temperaturno djelovanje jednoliko i nejednoliko ostvaruje kao slobodno deformiranje sustava bez pojave reakcija i unutrašnjih sila. Posljedica će biti samo deformiranje zadanog sustava ovisno o temepraturnom djelovanju, toplinskom koeficijentu i visini presjeka elemenata.

2.5.2 TEMPERATURNA PROGIBLJIVOST NAČELOM VIRTUALNOGA RADA

Temperaturno djelovanje izaziva deformiranje promatranog sustava. Klasični pristup određivanja deformacijske linije je složen. Za tu svrhu praktičnije je uporabiti računalne metode koje se pak izučavaju u statici neodređenih sustava. Stoga se pod temperaturnom progibljivosti ovdje podrazumijeva određivanje diskretnih pomaka na određenom mjestu i u određenom smjeru kao posljedica temperaturnog djelovanja. Praktično je uporabiti isti pristup kao u prethodnoj točki određivanja progiba pri djelovanju konkretnog opterećenja. Ako se temperaturne deformacije uzdužne i savojne, poistovjete sa savojnim deformacijama savijanja i deformacijama od uzdužnih sila tada vrijedi analogija iz prethodne točke. Primjenjuje se načelo virtualnoga rada u kojem su unutrašnje sile one koje daje jedinična sila F=1 (na mjestu i u smjeru traženog progiba) a virtualni pomaci odnosno vitualne deformacije na kojima se vrši rad su temeperaturne deformacije koje su zadane samim temperaturnim djelovanjem i svojstvima presjeka. U nastavku je pokazan primjer određivanja progiba proste grede u sredini raspona izložene nejednolikoj temperaturi. Neka je l=10 m, ∆t=400C gore hlađenje, visina presjeka 70 cm, toplinski koeficijent tα =1.0 .10-5.

Crtež 2.82 Progibljivost pri nejednolikoj temperaturi



Veličina progiba će iznosit

∫∫ΩΩ

+∆

= dxtndxh

tm txxt

x 0ααδ (2.69)

U konkretnom slučaju je

h

ltllh

t xtxt

8421

22

2∆=

∆=

ααδ (2.70)

odnosno cm714.0=δ (2.71)

2.5.3 PRIMJERI TEMPERATURNE PROGIBLJIVOSTI

Primjer 1. Progib i zaokret Gerberovog nosača sa stupom Sustav Gerberovog nosača poduprt stupom kao što je prikazano na crt. 2.83 izložen je temperaturi djelovanju: jednolikom zagrijavanju stupa t0=20 Co i nejednolikoj temepraturi ∆t=30 Co grednog dijela. Gornji pojas ohlađen je za 15 Co a donji isto toliko zagrijan. Toplinski koeficijent za gredu i stup iznosi αt=1.0-05

.Visina presjeka grede iznosi 60 cm. Potrebno je odrediti na crtežu naznačeni progib i zaokret.

Crtež 2.83 Progibljivost pri složenoj temperaturi

U danom primjeru veličina progiba će iznositi:



mm8.520*10*0.1*0.5*2.06.0

30*10*0.12

0.2*0.22

0.10*0.2 55

=−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ += −

−

δ (2.72)

Dok će veličina kuta zaokreta iznositi:

mm775.220*10*0.1*0.5*025.06.0

30*10*0.12

0.8*0.12

0.2*25.02

0.10*25.0 55

=+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ++= −

−

θ

(2.73) Primjer 2. Progib poligonalne grede Poligonalna greda, izložena je temperaturnom jednolikom i nejednolikom djelovanju kao što je prikazano na crtežu 2.84. Jednolika temperatura iznosi t0=20 Co, nejednolika temepratura ∆t=30 Co s hlađenjem izvana, a zagrijavanjem iznutra. Visina presjeka je 60 cm.

Crtež 2.84 Progibljivost pri složenoj temperaturi

Veličina horizontalnog progiba za l=10 m će iznositi:

cm1120*10*0.1*0.5*10*16.0

30*10*0.110*102

10*102 55

=+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ += −

−

δ (2.74)

Primjer za vježbu 3. Konzolni nosač izložen nejednolikoj temperaturi Konzolni nosač visine presjeka h, izložen je nejednolikoj temperaturi ∆t=40 C0 pri zagrijavanju s gornje I hlađenju s donje strane kako je prikazano na crtežu 2.85. Traži se progib i kut zaokreta na kraju konzole.

Crtež 2.85 Progibljivost konzole pri nejednolikoj temperaturi

Rješenje zadatka glasi: h

ltt 2

2

∆=αδ , hltt∆=αθ .



2.6 POKRETNO OPTEREĆENJE I UTJECAJNE LINIJE

2.6.1 UTJECAJNE LINIJE I JEDINIČNA POKRETNA SILA

Poseban slučaj djelovanja sila na konstruktivne sustave su pokretne sile. Teorijski gledano to je zapravo stanje s beskonačnim brojem različitih položaja, odnosno slučaja zadanog opterećenja. Razumljivo je da sve te slučajeve, a niti veliki broj, ne možemo obraditi. Inženjerski je zadaću postaviti tako da se izluči slučaj ili slučajevi koji daju ekstremni utjecaj za konkretnu veličinu koju želimo odrediti. Put do rješenja na postavljenu zadaću vodi preko pojma utjecajnih linija.

Što su utjecajne linije? Najkraće, to su geometrijski mogući pomaci mehanizama ili progibi sustava, koje pridružujemo promatranom sustavu i proglašavamo ih virtualnim pomacima. Čemu služe utjecajne linije? Služe za određivanje ekstremnih veličina koje daje pokretno opterećenje. Način konstruiranja i upotrebe izloženi su u nastavku. S ciljem određivanja veličine konkretne reakcije ili rezne sile za dano opterećenje, može se uporabiti načelo virtualnoga rada. Odbacimo vezu koja prenosi traženu silu i nadomjestimo je napoznatom silom. Statički određeni sustav postaje mehanizam s jednim stupnjem slobode, za koji je moguće odrediti sve pomake. Postavimo li bilo kakvo opterećenje na promatrani sustav i uporabimo načelo virtualnoga rada, pri čemu su pomaci mehanizma virtualni pomaci, slijedi da je jedina nepoznata veličina tražena sila. Pristup se pojednostavnjuje ako se zahtjeva da su pomaci sustava upravo takvi da je na mjestu tražene sile nastao jedinični pomak.

Crtež 2.86 Utjecajna linija za momonet i poprečnu silu u presjeku t-t



Ako je opterećenje jedinična koncentrirana sila tada izlazi da je naša tražena veličina upravo jednaka pomaku u smjeru i na mjestu djelovanja jedinične sile. Jednostavno, ordinate pomaka našeg sustava predstavljaju veličinu tražene sile ako se na konkretnom mjestu nađe jedinično opterećenje, a po definiciji to je utjecajna linija za traženu veličinu. Na crtežu 2.86 prikazane su utjecajne linije za moment savijanja i poprečnu silu u presjeku t-t. Crtkana linija pokazuje moguća mjesta djelovanja uspravne jedinične pokretne sile. Na crtežu 2.87 prikazana je utjecajna linija za uzdužnu silu u presjeku t-t. Crtkana linija pokazuje moguća mjesta djelovanja horizontalne jedinične pokretne sile.

Tražimo li ekstrem za bilo koju traženu veličinu, on je na mjestu najvećeg pomaka na kojem jedinična sila vrši virtualni rad.

Crtež 2.87 Utjecajna linija za uzdužnu silu u presjeku t-t

Problem konstruiranja utjecajnih linija vodi primjeni kinematičkih metoda određivanja polova. Postupak je relativno jednostavan kod jednostavnih sustava, međutim kod složenijih sustava može biti vrlo složeno i praktičn neizvediv. Postupak ciljane deformacije-temperaturne analogije.

Postupak ciljane deformacije za određivanje utjecajnih linija punostijenih nosača se primjenuje jednako na statički određene i statički neodređene sustave. Cilj postupka je konstruiranje virtualnih pomaka koji čine utjecajnu liniju kao stvarnih progiba nastalih od specijalno odabranog, odnosno ciljanog opterećenja. Ciljano opterećenje se zadaje u okolišu mjesta tražene veličine i to tako da izazove istovrsnu deformaciju, na konačno malom dijelu sustava. Ono može biti zadano kao koncentrirano djelovanje ili temperaturno djelovanje. Kod traženja utjecajne linije za moment ciljano opterećenje treba dati jedinični zaokret dva bliska susjedna presjeka. Pri traženju utjecajne linije za poprečnu silu moment ciljano opterećenje treba dati jedinično smicanje dva bliska susjedna presjeka. Za određivanje utjecajne linije za uzdužnu silu, ciljano opterećenje treba dati jedinično razvlačenje dva bliska susjedna presjeka. Kod utjecajnih sila za reakcije, ciljano opterećenje treba rastegnuti štap koji prenosi reaktivnu silu.

Shema opterećenja s kojom se izaziva utjecajna linija za moment se satoji od para momenata savijanja dovoljno blizu postavljena. Konkretan primjer je pokazan na crtežu 2.88. Alternativa je da se na usvojenom kratkom elementu zadaje nejednolika temperatura.

Shema opterećenja s kojom se izaziva utjecajna linija za poprečnu silu se sastoji od dva para momenata jednakog iznosa i suprotnog predznaka. Parovi su postavljeni jedan do drugoga, tako da se dobiva djelovanje M1, -2M1, M1. Konkretan primjer je pokazan na



crtežu 2.89. Alternativni pristup temperaturnom analogijom je izlaganje pola usvojenog elementa nejednolikoj temperaturi jednog predznaka a druge polovice nejednolikoj temperaturi drugog predznaka.

Crtež 2.88 Shema opterećenja i progibi za utjecajnu linija za moment u presjeku t-t

Crtež 2.89 Shema opterećenja i progibi za utjecajnu linija za poprečnu silu u presjeku t-t

Shema opterećenja s kojom se izaziva utjecajna linija za poprečnu silu se sastoji od dvije jednake sile suprotnog smjera koje izazivaju vlačno djelovanje na konačnom dijelu nosača. Primjer je prikazan na crtežu 2.90. Alternacija temperaturnim djelovanjem je jednoliko zagrijavanje konačnog dijela nosača.



Crtež 2.90 Shema opterećenja i progibi za utjecajnu liniju za uzdužnu silu u presjeku t-t

Progibne linije u svim slučajevima upravo su utjecajne linije. Progibe je praktično odrediti računalnim postupkom, dakle primjenom metode pomaka. Detalji metode pomaka objašnjeni su u analizi statički neodređenih sustava.



2.6.2 UTJECAJNE LINIJE REAKTIVNIH I UNUTRAŠNJIH SILA

Utjecajne linije reakcija proste grede Izgled utjecajnih linija za reakcije proste grede prikazan je na crtežu 2.91. Pomaci koji prestavljaju utjecaj za horizontalnu reakciju zbivaju se horizontalno i projiciraju u os grede. Nacrtani su okomito na os kako bi bili pregledniji.

Crtež 2.91 Utjecajna linija za reakcije proste grede

Utjecajne linije na konzoli Na crtežu 2.92 prikazane su utjecajne linije za moment i poprečnu silu u presjeku t-t na konzolnom nosaču.

Crtež 2.92 Utjecajne linije za rezne sile na konzoli

Utjecajne linije Gerberovog nosača Utjecajne linije za moment i poprečnu silu u presjeku t-t Gerberovog nosača prikazane su na crtežu 2.93.

Crtež 2.93 Utjecajne linije za rezne sile na Gerberovom nosaču



Trozglobni luk Utjecajne linije za moment u presjeku t-t trozglobnog luka prikazane su na crtežu

2.94. Nul točka utjecajne linije zove se još i statička nul toča. Ona pokazuje mjesto djelovanja sile kada je u promatranom presjeku moment savijanja jednak nuli. U kinematici to mjesto odgovara apsolutnom polu srednjeg dijela mehanizma.

Crtež 2.94 Trozglobni luk – utjecajna linija za moment u presjeku t-t

Utjecajne linije za poprečnu silu u presjeku t-t trozglobnog luka prikazane su na crtežu 2.95.

Crtež 2.95 Trozglobni luk-utjecajne linije za poprečnu silu u presjeku t-t

Primjer ovješene grede



Utjecajne linije za uzdužnu silu u zatezi ovješene grede prikazane su na crtežu 2.96.

Crtež 2.96 Ovješena greda-utjecajne linije za moment u gredi

Crtež 2.97 Ovješena greda-utjecajne linije za sile u zatezi



2.6.3 EKSTREMNI UTJECAJI POKRETNOG OPTEREĆENJA

Uporaba utjecajnih linija

Utjecajne linije kod djelovanja pokretnog opterećenja rabimo za određivanje ekstrema tražene statičke veličine. Postupak se zapravo svodi na traženje položaja pokretnog opterećenja čiji virtualni rad nad utjecajnom linijom daje ekstrem. Postupak značajno ovisi o vrsti pokretnog opterećenja.

U slučaju jedne koncentrirane sile ekstrem se dobije postavljanjem pokretne sile iznad najveće ordinate utjecajne linije u slučaju maksimuma ili najmanje ordinate utjecajne linije u slučaju minimuma.

U nastavku se prati nekoliko jednostavnijih slučajeva pokretnog opterećenja u traženju ekstrema nad utjecajnom linijom prikazanom na crtežu 2.98.

U slučaju prvog opterećenja s dvije jednake sile, jedna sila se postavlja iznad najveće ordinate a druga na strani gdje je manji nagib utjecajne linije. U konkretnom primjeru je

kNmMAA ttuv 6.35.1*101.2*10max =+=== − (2.75)

Crtež 2.98 Uporaba utjecajnih linija

U slučaju drugog opterećenja s dvije različite sile, na prvi pogled postoje dva moguća ekstrema. Prvi slučaj je onaj u kojem je omjer veće sile prema manjoj, manji od omjera



nagiba utjecajne linije lijevo i desno, kao što je na crtežu 2.104. Tada ekstrem nastaje za položaj prikazan na crtežu 2.98b i iznosi kNmM tt 481.2*207.0*10max =+=− (2.76)

Drugi slučaj je obrnut, a tada se manja sila postavlja iznad najveće ordinate utjecajne

linije. U slučaju trećeg raspodijeljenog opterećenja ono treba biti postavljeno tako da su

ordinate ispod rezultante lijevog i desnog dijela pokretnog opterećenja jednake. To je zadovoljeno u konkretnom primjeru što daje kNmM tt 71.10785.1*1.2*2785.1*9.0*2max =+=− (2.77)

Načelno se može kazati da su prethodni postupci zapravo metoda pokušaja, koja je prihvatljiva, naročito kod složenog oblika pokretnog opterećenja i/ili utjecajne linije.

Utjecaj kao konvolucija Gledano egzaktno matematički, promatrana zadaća spada u područje određivanja

ekstrema funkcije virtualnoga rada koja nastaje kao konvolucija funkcije pokretnog opterećenja i funkcije utjecajne linije, tj.

( ) ( )xxpAx η⋅= (2.78)

Konvolucija dvije funkcije je integralna funkcija produkta dviju funkcija za stanje u kojoj se jedna pomiče iznad druge.

Konvolucija jedinične sile i utjecajne linije ustvari je utjecajna linija. Konvolucija

dvije jednake koncentrirane sile i utjecajne linije za moment prikazana je na crtežu 2.99. Koordinata x predstavlja vodeći položaj opterećenja. Slobodno se bira i to najbolje

kao položaj rezultante. Preko x se prepoznaje položaj opterećenja za slučaj ekstrema konvolucije Ax. Ekstrem Ax se nužno geometrijski ne nalazi na mjestu ekstrema utjecajne linije.

Crtež 2.99 Konvolucija za dvije sile

Konvolucija raspodjeljenog opterećenja i utjecajne linije za moment savijanja prikazana je na crtežu 2.100.



Crtež 2.100 Konvolucija za raspodjeljeno opterećenje

Konvolucija utjecajne linije za reakciju Av i raspodijeljenog pokretnog opterećenja prikazana je na crtežu 2.101

Crtež 2.101 Konvolucija reakcije Av za raspodjeljeno opterećenje



2.6.4 PRIMJERI UPORABE UTJECAJNIH LINIJA

Primjer1. Ekstrem poprečne sile

Na običnoj gredi zadano je pokretno opterećenje s dvije sile prema crtežu 2.102. Potrebno je odrediti Tt-t max i Tt-t min . Pripadna utjecajna linija i položaj pokretnog opterećenja za određivanje traženih ekstrema prikazani su na istom crtežu. Konkretne vrijednosti su Tt-

tmax=0.4 F, Tt-t min= -1.2 F.

Crtež 2.102 Uporaba utjecajne linije za poprečnu silu

Primjer 2: Gerberov nosač

Za Gerberov nosač prikazan na crtežu 2.103 izložen zadanom pokretnom raspodijeljenom opterećenju, treba odrediti ekstremne rezne sile u presjeku t-t.

Crtež 2.103 Gerberov nosač traženje ekstremne sile u presjeku t-t

Rezultati: Mt-t max= 3.0 kNm , Mt-t min=-24.0 kNm, Tt-t max= 3.75 kN, Tt-t min= -18.75 kN.



2.7 TEHNIKE ANVELOPE

2.7.1 EKSTREMALNI UTJECAJI

Neka je data jedinična sila kao pokretno opterećenje. Može se postaviti pitanje kakav ekstremni utjecaj ona može proizvesti u svakom od presjeka? Tada govorimo o ektremalnom utjecaju odnosno o dijagramu ekstrema u svim presjecima. Traženo rješenje je zapravo anvelopa beskonačnog broja slučajeva opterećenja promatranom silom. Primjer ekstremale momenta savijanja i poprečne sile na običnoj gredi izloženoj jediničnoj pokretnoj sili, prikazan je na crtežu 2.104. Oblik funkcije ekstremnih momenata je kružnica.

Crtež 2.104 Ekstremale momenata i poprečnih sila

U slučaju da se radi o stvarnoj sili koja nije jedinična, tada dijagrami imaju oznaku Mmax i Tmax. Kružnica s prethodnog crteža tada degenerira u elipsu s najvećom ordinatom Fl/4.

Grafička konstrukcija ekstremala za dvije ili više sila postaje složen zadatak. Isti je slučaj s ekstremalama jedinične sile na složenim sustavima. Postojanje računala omogućuje aproksimativnu konstrukciju ekstremala koju se dobija iz anvelope konačnog broja slučajeva opterećenja.



2.7.2 ANVELOPA NIZA OPTEREĆENJA

Pod anvelopom dva ili više rješenja podrazumijevamo ekstreme utjecaja u svim presjecima što ih pojedinačno tvori jedno od opterećenja.

Postavi li se zadatak konkretnog određivanja ekstremnih utjecaja dva ili više slučaja opterećenja, tada jednostavno odredimo utjecaje za svaki slučaj pojedinačno i usporedbom odredimo koji je utjecaj mjerodavan u kojem presjeku. Primjer određivanja anvelope reznih sila obične grede za tri slučaja opterećenja jediničnim silama prikazan je na crtežu 2.105.

Crtež 2.105 Anvelope momenata i poprečnih sila

2.7.3 PRIMJERI ANVELOPA U nastavku su prikazane anvelope momenata savijanja i poprečnih sila za slučaj

koncentrirane sile i raspodijeljenog opterećenja.




2.7.4 APROKSIMACIJA EKSTREMALE ANVELOPOM

Djelovanje pokretnog opterećenja može se aproksimirati dovoljno velikim brojem slučajeva fiksnih opterećenja. Tada će anvelope dovoljno približno aproksimirati ekstremale. Treba imati na umu da su u nekim presjecima rješenja egzaktna a u većem dijelu presjeka nisu. Bitno je uočiti da su aproksimacije s donje strane odnosno sa strane nesigurnosti. Stvarni maksimumi su veći ili jednaki približnima, a stvarni minimumi manji (veći negativan broj ili veći pozitivan broj) u odnosu na stvarni. Dovoljno velik broj fiksnih opterećenja može zadovoljavajuće aproksimirati ekstremale pokretnog djelovanja. Aproksimacija ekstremale jedne koncentrirane sile prethodno je prikazana na crtežu 2.104.

Aproksimacija ekstremala reznih sila pri djelovanju dvije jednake pokretne koncentrirane sile prikazana je na crtežu 2.107. Korak pokretnog opterećenja neka je ∆x=2.0 m.

Crtež 2.107 Anvelope dvije koncentrirane sile

2.7.5 PRIMJERI

Primjer 1. Anvelope pokretnih raspodijeljenih sila na običnoj gredi




Primjer 2. Anvelope koncetrirane sile na Gerberovom nosaču


Primjer 3. Anvelope raspodijeljenog opterećenja na konzoli


Primjer 4. Anvelope složenih sila na složenijem sustavu




2.8 LITERATURA

[2.A1] Andrejev V., Mehanika II - kinematika, Tehnička knjiga, Zagreb 1973. [2.A2] Anđelić M., Statika neodređenih štapnih konstrukcija, Društvo hrvatskih

građevinskih konstruktora, Zagreb 1993. [2.B1] Bazjanac V., Nauka o čvrstoći, Tehnička knjiga, Zagreb 1973. [2.B2] Bleich F., Buckling Strength of Metal Structures, McGraw-Hill, New York 1952. [2.B3] Boresi A. P., Engineering Mechanics Statics, Thomson Learning 2000. [2.C1] Crisfield M. A., Non-linear Finite Element Analysis of Solids and Structures,

John Wiley & Sons, Chichester 1991. [2.D1] Dawe D. J., Horsington ., Katemar A. G. and Little G. H., Aspect of the Analysis

of Plate Structures, Claredon Press, Oxford, 1985. [2.D2] Dym C. L., Structural Modelling and Analysis, Cambridge University Press 1997. [2.Đ1] Đurić M. i Jovanović P., Teorija okvirnih konstrukcija, Građevinska knjiga

Beograd, 1977. [2.F1] Fertis G., Demeter G., Advanced Mechanics of Structures, Marcel Dekker Inc.

1996. [2.F2] Flugge W., Statik und Dynamik der Schalen, Springer-Verlag, Berlin 1934. [2.F3] Flugge W., Stresses in Shells, Springer-Verlag, Berlin 1960. [2.F4] Foppl A. und Foppl L., Drang und Cvang, R. Oldenburg-Verlag, Munich 1928. [2.G1] Goodmann L. E., Warner W. H., Statics, Courier Dover 2001. [2.G2] Girkmann K., Flachentragwerke, Springer-Verlag, Berlin 1946. [2.H1] Hartman F., Katz C., Structural Analysis with Finite Elements, Springer, 2004. [2.H2] Hibbeler R., Russell C., Hibbeler C., Static and Mechanics of Materials, Prentice

Hall, 2004. [2.H3] Hjelmstad, Keith D., Fundamentals of Structural Mechanics, Springer 2005. [2.K1] Krenk S., Mechanics and Analysis of Beams, Columns and Cables: A Modern

Introduction to the Classic Theories, Springer 2001. [2.L1] Leet K. M, Uang C-M., Fundamentals of Structural Analysis, McGraw-Hill 2004. [2.L2] Lorenz H., Techniche Elastizitatslehre, R. Oldenburg-Verlag, Munich 1913. [2.L3] Love A. E. H., The Mathematical Theory of Elasticity, Cambridge University

Press, London, 1927. [2.M2] Mihanović A., Stabilnost konstrukcija, Društvo hrvatskih građevinskih

konstruktora, Zagreb 1993. [2.N1] Nadai A., Plasticity, McGraw-Hill, New York, 1931. [2.N2] Neville A.M., Ghali A., Structural Analysis: A Unified Classical and Matrix

Approach, Spon Press. [2.N3] Noris C. D., Wilbur J. B. and Utku S., Elementary Structural Analysis, McGraw-

Hill, New York 1976. [2.P1] Prezeminiecki J. S., Theory of Matrix Structural Analysis, McGraw-Hill, New

York, 1968. [2.P1] Prokofjev I. P., Teorija konstrukcija I, Građevinska knjiga, Beograd 1966. [2.P2] Prokofjev I.P., Teorija konstrukcija II, Građevinska knjiga, Beograd 1968. [2.P3] Prokofjev I.P. i Smirnov A. F., Teorija konstrukcija III, Građevinska knjiga,

Beograd 1961.



[2.R1] Rosman R., Stropne konstrukcije, Društvo hrvatskih građevinskih konstruktora, Zagreb 1993.

[2.R2] Russell C., Hibbeler C., Engineering Mechanics - Static, Prentice Hall, 2006. [2.R3] Russell C., Hibbeler C., Structural Analysis, Prentice Hall, 2005. [2.S1] Schreyer., Ramm H. und Wagner W., Prakticshe Baustatik Teil 2,

Verlagsgesellschaft, Stuttgart 1960. [2.S2] Simović V., Građevna statika I, Građevinski Institut , Zagreb 1988. [2.S3] Sokolnikoff I. S., Mathematical Theory of Elasticity, McGraw-Hill, New York

1956. [2.S4] Southwell R. V., An Introduction to teh Theory of Elasticity for Engineers and

Physicists, Oxford University Press, London, 1936. [2.Š1] Šimić V., Otpornost materijala I, [kolska knjiga , Zagreb 1994. [2.Š2] Šimić V., Otpornost materijala II, [kolska knjiga , Zagreb 1995. [2.T1] Taylor R. L., Zienkiewicz O. C., The Finite Element Method, Elsevier 2000. [2.T2] Timoshenko S. P., Theory of Elasticity, McGraw-Hill, New York 1934. [2.T3] Timoshenko S. P., Theory of Elastic Stability, McGraw-Hill, New York 1936. [2.T4] Timoshenko S. P. and Young D. H., Theory of Plates and Shells, McGraw-Hill,

New York 1940. [2.T4] Timoshenko S. P. and Young D. H., Theory of Structures, McGraw-Hill, New

York 1988. [2.T5] Toroja E., The Structures of Eduardo Torroja, F.W. Dodge Corporation, New

York, 1958.

Documents

Uticajne Linije i Sl