Upload
luka
View
78
Download
1
Embed Size (px)
DESCRIPTION
TENTO PROJEKT JE SPOLUFINANCOVÁN EVROPSKÝM SOCIÁLNÍM FONDEM A STÁTNÍM ROZPOČTEM ČR. Úplné kvadratické rovnice. Mgr. Martina Fainová. POZNÁMKY ve formátu PDF. KVADRATICKÁ ROVNICE. Kvadratická rovnice o jedné neznámé x - PowerPoint PPT Presentation
Citation preview
Úplné kvadratické rovnice
TENTO PROJEKT JE SPOLUFINANCOVÁN EVROPSKÝM SOCIÁLNÍM FONDEM A STÁTNÍM ROZPOČTEM ČR
Mgr. Martina Fainová
POZNÁMKY ve formátu PDF
KVADRATICKÁ ROVNICE
Kvadratická rovnice o jedné neznámé x se nazývá každá rovnice, kterou lze
ekvivalentními úpravami převést na tvar ax2 + bx + c = 0,
kde a R-{0}; b,c R.
Poznámka:ax2 – kvadratický člen, a - koeficient kvadratického členu bx – lineární člen, b - koeficient lineárního členuc – absolutní člen ax2 + bx + c – kvadratický trojčlen
Řešení kvadratické rovnice
Každou kvadratickou rovnici převedeme na anulovaný tvar a dále použijeme některou z možností řešení:
I. Řešení pomocí diskriminantu
II. Vztah mezi kořeny a koeficienty kvadr. rovnice
III. Řešení doplněním na čtverec
??? Neúplné kvadratické rovnice a tyto metody
Lze je použít, ale postup je zbytečně zdlouhavý.
Řešení pomocí diskriminantu
Diskriminant kvadratické rovnice ax2+bx+c = 0 je výraz b2 – 4ac a značíme jej D.
D rozhoduje o kořenech rovnice:
D 0 rce nemá v R řešení
D = 0 rce má jeden dvojnás. kořen
D 0 rce má dva reálné kořeny a
bx
2
a
Dbx
21
a
Dbx
22
,
Příklad: V R řešte pomocí D dané rovnice:
a) 2x2 - x - 6 = 0
Řešení:
23
2;K
a = 2, b = -1, c = -6
D = b2 – 4ac = (-1)2 - 42(-6) = 1 + 48 = 49> 0
2 řešení
222491
21
a
Dbx
23
22491
22
a
Dbx
Příklad: V R řešte pomocí D dané rovnice:
b) 2x2 - x + 6 = 0
Řešení:
a = 2, b = -1, c = 6
D = (-1)2 - 426 = < 0
K = Ø
c) x2 - 2x + 1 = 0
Řešení:
a = 1, b = -2, c = 1
D = (-2)2 - 411 = 4 - 4 = 0
K = {1}
1122
2
)(
a
bx
= 1 - 48 = -47
Cvičení:
a) 16x2 - 8x + 1 = 0
b) 3x + x2 + 4 = 0
c) 3z2 - 4 - z = 0
d) x2 + 1,5x - 4,5 = 0
e) 4x = 4x2 - 1
f) 19x = 7x2
V oboru reálných čísel řešte pomocí D dané rovnice:
g) (4x - 3)2 = (3x + 2)2
h) 7x(x - 3) = -2(x2 + 5)
i) (2x + 1)(x + 2) = 2(5 + 2x)
j) (x + 3)(x - 2) = (3x + 2)(4x - 3)
k) .
l) .
5021
,uu
212
112
xx
Řešení pomocí VKK
Příklad: Řešte kvadratickou rovnici 3x2 + x – 10 = 0.
,
Řešení: ,35
1 x 22 x
21 xx
21 xx
3
12
3
5 a = 3
b = 1c = -10
Jsou-li x1, x2 kořeny kvadratické rovnice ax2+bx+c = 0, pak pro ně platí:
a
bxx 21 a
cxx 21
3
102
3
5
Řešení pomocí VKK
Je-li kvadr. rovnice normovaná (x2+px+q = 0), platí pro její kořeny Vietovy vzorce:
pxx 21 qxx 21
Příklad: Pomocí Vietových vzorců řešte rci x2-7x+12=0
721 pxx
1221 qxx
Řešení:
26, (-2)(-6), 34, (-3)(-4), 112
3+4 = 7
K = {3; 4} ?? Platí uvedené věty i obráceně
Řešení pomocí VKK
Nechť a, b, c R a 0. Pak čísla x1, x2, pro která platí , ,
jsou kořeny kvadr. rovnice ax2+bx+c = 0.a
bxx
21 a
cxx 21
Příklad: Určete b, c tak, aby čísla 3 a -0,5 byla kořeny kvadratické rovnice 2x2+bx+c = 0
2503
b ),(
2503
c ),(
Řešení: x1 = 3, x2 = -0,5
b = -5
c = -32x2 - 5x - 3 = 0
Řešení doplněním na čtverec
Rovnici ax2 + bx + c = 0 převedeme na tvar a(x2 + b´x + c´) = 0, závorku dále upravujeme:
(x + b´/2)2 - (b´/2)2 + c´= 0 ,
p q2
(x + p)2 – q2 = (x + p - q) (x + p + q) = = (x – x1) (x – x2)
x1 a x2 jsou hledanými kořeny rovnice
Příklad:
x + 2 = 0
2
23
23
22
x
Řešení:
21 ;K
Doplněním na čtverec řešte rovnici x2 + 3x + 2 = 0.
41
23
2
x
22
21
23
x
21
23
21
23
xx 12 xx = 0
x + 1 = 0x = -2 x = -1
Rozklad kvadr. trojčlenu
Nechť je dána kvadr. rovnice ax2 + bx + c = 0 s kořeny x1, x2. Pak lze kvadr. trojčlen zapsat ve tvaru:
ax2 + bx + c = a(x–x1)(x–x2)
Příklad: Rozložte na součin lin. členů: 2x2 – 5x – 3
Řešení: D = b2 – 4ac = (-5)2 - 42(-3)
322
495
21
a
Dbx
2
1
22
495
22
a
Dbx
2x2 – 5x – 3 = 2(x – 3)(x – (–0,5))= 2(x – 3)(x + 0,5)
= 49
Cvičení:
a) x2 – 3x + 2 = 0
b) x + x2 – 6 = 0
c) 2x2 + 22x + 48 = 0
Příklad 2: Řešte pomocí VKK a kvadr. trojčleny zapište jako součin lineárních členů:
d) 5 = 0,5x2 + 1,5x
e) x2 + 16 = -10x
f) x2 + 8 = 9x
a) x2 – 3x + 2 = 0
b) x2 + 11x + 24 = 0
c) 10 = x2 + 3x
Příklad 1: Dané rovnice řešte doplněním na čtverec:d) 7x = x2 + 10
e) x2 - 8x + 15 = 0
f) x2 - 0,5 = 0,5x
Grafické řešení kvadr. rovnic
,
Rovnici převedeme na tvar x2 = -px - q
f1: y = x2 (grafem parabola) f2: y = -px - q (grafem přímka)
přímka je sečnou 2 spol. body rce má 2 řešení
přímka je tečnou 1 spol. bod rce má 1 řešení
žádný spol. bod rce nemá žádné řešení
??? Jaká souřadnice spol. bodu je řešením původní rceprvní souřadnice (x) společného bodu
Příklad: Graficky řešte rovnici x2 + x - 2 = 0
x2 = -x + 2 Řešení:
f1: y = x2
K = {-2; 1}
f2: y = -x + 2
x 0 3
y 2 -1