Název školy Integrovaná střední škola technická, Vysoké Mýto, Mládežnická 380

Číslo a název projektu CZ.1.07/1.5.00/34.0374Inovace vzdělávacích metod EU - OP VK

Číslo a název klíčové aktivity III/2 Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT

Autor Ing. Pavel Novotný

Číslo materiálu VY_32_INOVACE_MAT_4S_NO_07_04

Název Kružnice – tečna ke kružnici

Druh učebního materiálu Prezentace

Předmět Matematika

Ročník 4

Tématický celek Analytická geometrie kvadratických útvarů v rovině

Anotace Určení rovnice tečny k libovolné kružnici v daném bodě, řešené příklady

Metodický pokyn Materiál slouží k výkladu nové látky a následnému procvičení na řešených příkladech (35 min)

Klíčová slova Kružnice, tečna, rovnice, tečný bod

Očekávaný výstup Žáci jsou schopni určit rovnici tečny ke kružnici

Datum vytvoření 26.6.2012

ROVNICE TEČNY KE KRUŽNICI

- rovnice tečny ke kružnici (x – xS)2 + (y – yS)2 = r2 v tečném bodě T = [xT, yT] se určí ze vztahu:

(x – xS)2 + (y – yS)2 = r2

(x – xS) . (x – xS) + (y – yS). (y – yS) = r2

(xT – xS) . (x – xS) + (yT – yS). (y – yS) = r2

- tento vztah se pak upraví na obecnou rovnici přímky

ROVNICE TEČNY KE KRUŽNICI

Příklad 1: Určete rovnici tečny ke kružnici (x – 5)2 + (y + 3)2 = 26 v bodě T = [6, yT > 0]

- musíme určit y-ovou souřadnici tečného bodu

T є k: (6 – 5)2 + (yT + 3)2 = 26

1 + yT2 +6yT + 9 = 26

yT2 +6yT – 16 = 0 D = 62 – 4.(-16) = 100

y1 = 2, y2 = -8 T = [6, 2]

ROVNICE TEČNY KE KRUŽNICI

Příklad 1: Určete rovnici tečny ke kružnici (x – 5)2 + (y + 3)2 = 26 v bodě T = [6, 2]

(x – 5) . (x – 5) + (y + 3). (y + 3) = 26 (xT – 5) . (x – 5) + (yT + 3). (y + 3) = 26

(6 – 5) . (x – 5) + (2 + 3). (y + 3) = 26

x – 5 + 5y + 15 = 26

t: x + 5y – 16 = 0

ROVNICE TEČNY KE KRUŽNICI

Příklad 2: Určete rovnici tečny ke kružnici x2 + y2 + 4x – 8y – 20 = 0 v bodě T = [4, 6]

x2 + 4x + 4 – 4 + y2 – 8y + 16 – 16 – 20 = 0

(x + 2)2 – 4 + (y – 4)2 – 16 – 20 = 0

k: (x + 2)2 + (y – 4)2 = 40

(x + 2). (x + 2) + (y – 4). (y – 4) = 40(xT + 2). (x + 2) + (yT – 4). (y – 4) = 40

(4 + 2). (x + 2) + (6 – 4). (y – 4) = 40

6x + 12 + 2y – 8 = 406x + 2y – 36 = 0

t: 3x + y – 18 = 0

ROVNICE TEČNY KE KRUŽNICI

Příklad 3: Určete rovnici tečny ke kružnici x2 + y2 – 2x + 6y – 22 = 0 v bodě T = [xT < 0, 1]

x2 – 2x + 1 – 1 + y2 + 6y + 9 – 9 – 22 = 0

(x – 1)2 – 1 + (y + 3)2 – 9 – 22 = 0

k: (x – 1)2 + (y + 3)2 = 32

x2 + 1 – 2x + 6 – 22 = 0x2 – 2x – 15 = 0 D = (-2)2 – 4.(-15) = 64

x1 = 5, x2 = -3 T = [-3, 1]

ROVNICE TEČNY KE KRUŽNICI

Příklad 3: Určete rovnici tečny ke kružnici x2 + y2 – 2x + 6y – 22 = 0 v bodě T = [xT < 0, 1]

k: (x – 1)2 + (y + 3)2 = 32 T = [-3, 1]

(x – 1). (x – 1) + (y + 3). (y + 3) = 32(xT – 1). (x – 1) + (yT + 3). (y + 3) = 32

(-3 – 1). (x – 1) + (1 + 3). (y + 3) = 32

-4x + 4 + 4y + 12 = 32

-4x + 4y – 16 = 0

t: x – y + 4 = 0