Lineární rovnice

TENTO PROJEKT JE SPOLUFINANCOVÁN EVROPSKÝM SOCIÁLNÍM FONDEM A STÁTNÍM ROZPOČTEM ČR

Mgr. Martina Fainová

POZNÁMKY ve formátu PDF

ROVNICE (rce)

Rovnicí o jedné neznámé x je každý zápisl(x) = p(x)

kde l(x) a p(x) jsou výrazy s neznámou x.l(x) – levá strana rce, p(x) – pravá strana rce

Poznámka: Je-li l(x) = 0, mluvíme o anulované rovnici. Obor řešení = množina, ve které řešíme rci

Řešení rovnice= určení takového čísla x, pro které je splněno l(x) = p(x)- množinu všech řešení (kořenů) rovnice značíme K

Příklad 1: V R řešte rovnice:

2

43

5

34)

xxb

Řešení:

2(4x 3) = 5(3x 4)

2

43

5

34)

358)

xxb

xa

8x 6 = 15x 20

-7x = -14

x = 2

10

a) -8 = 5x 3 +3

-8 + 3 = 5x

-5 = 5x

5x = -5 :5

x = -1

K = {-1} K = {2}

+6 15x

?? druh rovnic

Lineární rovnice

Lineární rovnice s neznámou x je každá rce, kterou lze ekvivalentními úpravami převést na tvar

ax + b = 0; kde a, b R.

záměna stran rovnice přičtení (odečtení) stejného čísla nebo výrazu k oběma

stranám rovnice vynásobení (vydělení) obou stran rovnice stejným

číslem nebo nenulovým výrazem

- úpravy, které změní rovnici, ale zachovají všechna řešení rovnice

Ekvivalentní úpravy

Příklad 2:Vypočtěte délky stran ∆ s obvodem 21 cm, jehož nejkratší strana má délku 5 cm a délka prostřední strany je arit. průměrem zbývajících dvou stran.

Řešení:

·2

Délky stran ∆ jsou 5, 7 a 9 cm.

27 = 3x

?? Zk.

Zk: L(9):

P(9):

L = P

a = 5 cm

c = x cmb = cm 2

5 x

A B

C5 cm

x

25 x

o = 21 cm

o = a + b + c

xx

2

5521

xx 251042 –15

x = 9:3

= 9 cm= 7 cm

21

92

955

= 21

Lin. rce s neznámou ve jmenovateli

23

34

x

x)3(234 xx ale x 3

Poznámka: Při násobení rovnice výrazem s neznámou se změní obor řešení dané rovnice.

Řešení:

Příklad: V R řešte rovnici2

4

2

2

xx

x

2

4

2

2

xx

x(x–2) x 2

2x = 4

x = 2K = 0

Příklad 3: Řešte rovnici v N:

Řešení:

x

x

x

x

x

x

11

37

1

62

·(x–1)·(x+1)

(x–1)· (6–x) – (7x–3) =

K = {3}

6x – x2 – 6 + x – 7x2 + 3 = –x2 – x

x = 3

x

x

xx

x

x

x

111

37

1

6

–x·(x+1)x 1; -1

x

x

x

x

x

x

11

37

1

62 (x – 1) = –(1 – x)

Řešení lineární rovnice

odstranění zlomků při násobení výrazem s neznámou podmínky

roznásobení závorek všechny členy s neznámou x převést na jednu stranu, ostatní členy na druhou stranu výsledek porovnat s oborem řešení, popř. s podmínkami

ax + b = 0; a, b RLin. rovnice:

Řešení: a

bx ?? a = 0, b = 0

Speciální lineární rovnice

a = 0

b = 0, a 0

b = 0

ax = 0 x = 0 K = {0}

b = 0 0 = 0 nekonečně mnoho řešeníK = obor řešení (nejčastěji R)

b 0 číslo = 0

žádné řešeníK = 0

jedno řešení

K = R – {–2}

V R řešte rovnice:Příklad 4:

Řešení:

4x 5 = 2x 2·(1 – x)

xxx

b

x

xa

12

54)

32

63)

2·(x+2)

3x + 6 = 3(x + 2)

–3x – 6 4x

32

63)

x

xa

x –2

3x + 6 = 3x + 6

0 = 0

xxx

b

12

54)

4x 5 = 4x 2

5 = 2

K = 0

1

7107

1

5)

y

y

yk

Cvičení:Příklad: Řešte dané rce v R. Které z nich mají řešení i v Z?

a) 5 7x = 1

b) 0,5 + 7x = 12 2x

c) x + 3 = 4

d) 5x 4 + 2(32x) = 2x 7

e) 2(x1) – 3(x2) + 4(x3) = 2(x+5)

12

12)

x

xf

22

258

5

23)

xxg

42

7)

xh

xx

xi 2

1

1)

2

uuj

32)

1

3

3

1

2

2)

zzzl

každou stranu rovnice převedeme na funkcinarýsujeme grafy daných funkcíurčíme x-ovou souřadnici průsečíku grafů

Grafické řešení lin. rovnic - 1

f1: y = 3x 3

3x 3 = x + 1

K = {2}

Řešení:

x 0 1

y -3 0f1

Příklad: Graficky řešte rci 3x 3 = x + 1.

f2: y = x + 1

x 0 1

y 1 2

f2

rovnici převedeme na anulovaný tvar0 vyměníme za y funkce fnarýsujeme graf funkce furčíme souřadnici průsečíku s osou x

Grafické řešení lin. rovnic - 2

2x 4 = 0 f: y = 2x 43x 3 = x + 1

K = {2}

Řešení:

x 0 3

y -4 2

f

Příklad: Graficky řešte rci 3x 3 = x + 1.

2

3

3

2)

xxb

Cvičení:Příklad 1: Graficky řešte dané rovnice v R:

Příklad 3: Ze školy vyjela ve 14 hodin malá motorka průměr. rychlostí 40 km/h. O hodinu později vyjelo osobní auto prům. rychlostí 70 km/h. Za jakou dobu ji dostihne?

3322) xxa

Příklad 4: Na úpravě terénu pracují 3 skupiny. První skupina by práci vykonala za 12 dní, druhá za 20 dní, třetí za 15 dní. Za jak dlouho ji vykonají společně?

Příklad 2: Při jízdě taxíkem se platí zákl. sazba 10 Kč a dá- le 12 Kč za každý 1 km. Jak daleko dojedete za 310 Kč?