UNIVERZA V LJUBLJANI

PEDAGOŠKA FAKULTETA

DIPLOMSKO DELO

SARA MATKO

UNIVERZA V LJUBLJANI

PEDAGOŠKA FAKULTETA

Študijski program: Matematika in tehnika

EATONOVA LEČA

DIPLOMSKO DELO

Mentor: Kandidatka:

izr. prof. dr. Marko Razpet Sara Matko

Ljubljana, maj 2016

Univerza v Ljubljani, Pedagoška fakulteta Diplomsko delo

II

PROGRAM DELA

V diplomskem delu obravnavajte Eatonovo lečo. Pri tem uporabite Fermatov princip in

variacijski račun ter upoštevajte enačbe, ki veljajo pri keplerjevskem gibanju točkaste mase

v centralnem polju sil. V ta namen opišite vse potrebno o stožnicah, Keplerjevem zakonu in

lomnem zakonu v optiki.

Ljubljana, april 2015 Mentor:

izr. prof. dr. Marko Razpet

Univerza v Ljubljani, Pedagoška fakulteta Diplomsko delo

III

Univerza v Ljubljani, Pedagoška fakulteta Diplomsko delo

IV

Zahvala

Najprej bi se rada zahvalila svojim staršem. Mami in ati, hvala vama za vso podporo,

razumevanje in vse spodbude, ki sta mi jih dajala, tudi takrat, ko mi ni šlo.

Hvala brat Gorazd in sestra Špela za vse pozitivne misli.

Posebna zahvala gre tebi moj Joc, da si verjel, da mi bo uspelo.

Iskreno se zahvaljujem tudi vam profesor dr. Marko Razpet, ki ste bili več kot najboljši

mentor. Hvala za vso strokovno pomoč, neizmerno dostopnost v tem času nastajanja

diplomskega dela, potrpežljivost in nudenje nasvetov. Ne bom pozabila na vaš stavek:

»Potrebna je le volja.«

Zahvalila bi se tudi ostalim sorodnikom, družini Mrak, prijateljem in sošolcem, ki so

kakorkoli pripomogli, da mi je uspelo.

Univerza v Ljubljani, Pedagoška fakulteta Diplomsko delo

V

Univerza v Ljubljani, Pedagoška fakulteta Diplomsko delo

VI

POVZETEK

Elipso v vsakdanjem življenju spoznavamo kot ortogonalno projekcijo krožnice na ravnino.

Zgodovina matematike pa nam pravi, da je elipso kot stožnico obdelal že Apolonij iz Perge

v tretjem in drugem stoletju pred našim štetjem. Šele čez več kot tisoč let sta Johannes

Kepler in Isaac Newton odkrila njeno uporabnost, in sicer za opis gibanja planetov okoli

Sonca. Prav tako nam neka lastnost elipse pomaga pri konstruiranju Cassinijeve krivulje. Z

uporabo Binetove enačbe obravnavamo tudi gibanje točkastega telesa okoli negibnega

privlačnega središča. Z matematičnimi metodami rešujemo probleme tudi v geometrijski

optiki. S pomočjo Fermatovega principa v optiki in variacijskega računa dobimo potek

svetlobnih žarkov v Eatonovi leči. Prav tako bomo pokazali, kako nam lahko računalnik s

primerno programsko opremo, kot je GeoGebra, pomaga pri odkrivanju lastnosti Eatonove

leče.

Ključne besede:

Optika, matematika, stožnice, elipsa, Cassinijeve krivulje, Fermatov princip, Binetova

enačba, variacijski račun, diferencialna enačba, GeoGebra.

Univerza v Ljubljani, Pedagoška fakulteta Diplomsko delo

VII

ABSTRACT – Eaton lens

In everyday life an ellipse is recognized as an orthogonal projection of a circle to a plane.

The history of mathematics tells us, that the ellipse as a conic section was already studied

by Apollonius of Perge in the third and second century BC. Only after more than a

thousand years, Johannes Kepler and Isaac Newton discovered its applicability, namely to

describe the planetary motion around the Sun. Certain distinctive property of ellipse also

allows us to help in constructing the Cassini curves. By using Binet´s equation we also deal

with the motion of a particle around a fixed attracting center. With the mathematical

methods we solved problems also in geometrical optics. By using Fermat's principle in

optics and calculus of variations we find the path of light rays in Eaton lens. We will also

show, how the computer endowed by a suitable software, such as GeoGebra, help us

discover properties of Eaton lenses.

Key words

Optics, mathematics, conics, ellipse, Cassini´s curves, Fermat´s principle, Binet´s equation,

calculus of variations, differential equations, GeoGebra.

Univerza v Ljubljani, Pedagoška fakulteta Diplomsko delo

VIII

KAZALO

1 Uvod ................................................................................................................................ 1

2 Zgodovina stožnic .......................................................................................................... 2

2.1 Cassinijeve krivulje .................................................................................................. 5

3 Fermatov princip v optiki ........................................................................................... 11

3.1 Lom Svetlobe ......................................................................................................... 14

3.2 Odboj svetlobe ....................................................................................................... 20

4 Binetova enačba ........................................................................................................... 25

4.1 Keplerjevi zakoni ................................................................................................... 25

4.2 Ravninsko gibanje .................................................................................................. 27

4.3 Gibanje okoli privlačnega središča ........................................................................ 30

4.4 Gibanje po stožnici ................................................................................................. 32

4.5 Binetova enačba ..................................................................................................... 33

4.6 Oblika tira glede na hitrost v temenu ..................................................................... 37

4.7 Prelet mimo privlačnega središča ........................................................................... 41

5 Eatonova leča ............................................................................................................... 42

5.1 Oblika poti žarka v Eatonovi leči ........................................................................... 43

5.2 Osnovni izrek variacijskega računa ....................................................................... 44

5.3 Uporaba variacijskega računa ................................................................................ 44

5.4 Potek žarkov v Eatonovi leči .................................................................................. 48

5.5 Eatonova leča v prihodnosti ................................................................................... 50

6 Zaključek ...................................................................................................................... 53

7 Literatura in viri .......................................................................................................... 54

Univerza v Ljubljani, Pedagoška fakulteta Diplomsko delo

IX

KAZALO SLIK

Slika 1: Ravninski presek stožca [14] .................................................................................... 3

Slika 2: Vrtnarska konstrukcija elipse .................................................................................... 4

Slika 3: Elipsa ......................................................................................................................... 5

Slika 4: Odbojni zakon na elipsi ............................................................................................ 6

Slika 5: Giovanni Domenico Cassini [18] .............................................................................. 7

Slika 6: Posnetek osvetljene strani najvažnejših Saturnovih obročev. Med obročema A in B

je lepo vidna Cassinijeva ločnica. [19] ................................................................................... 7

Slika 7: Dvodelna Cassinijeva krivulja .................................................................................. 8

Slika 8: Jakob Bernoulli [21] ................................................................................................. 9

Slika 9: Nastanek Bernoullijeve lemniskate ......................................................................... 10

Slika 10: Stisnjena Cassinijeva krivulja ............................................................................... 10

Slika 11: Pravi Cassinijev oval ............................................................................................. 11

Slika 12: Pierre de Fermat [22] ............................................................................................ 12

Slika 13: Doprsni kip v Salle des Illustres v Capitole v Toulousu [22] ............................... 12

Slika 14: Holografska lastnoročna oporoka [22] .................................................................. 13

Slika 15: Spominska plošča [22] .......................................................................................... 14

Slika 16: Lom svetlobe ......................................................................................................... 15

Slika 17: Določitev točke C ................................................................................................. 16

Slika 18: Konstrukcija osnovnih elementov pri lomnem zakonu. ....................................... 18

Slika 19: Krivulja, ki jo opisuje točka T. ............................................................................. 19

Slika 20: Lom svetlobnega žarka po lomnem zakonu. ......................................................... 20

Slika 21: Odboj svetlobe. ..................................................................................................... 21

Slika 22: Določitev točke C. ................................................................................................ 22

Slika 23: Konstruiranje osnovnih elementov. ...................................................................... 23

Slika 24: Uvedba parametra s in krivulja, ki jo opisuje točka T. ......................................... 24

Slika 25: Odbojni zakon in Fermatovo načelo ..................................................................... 25

Slika 26: Gibanje planetov po elipsah [24] .......................................................................... 26

Slika 27: Johannes Kepler, kopija izgubljenega portreta iz leta 1610 [25]. ......................... 27

Slika 28: Vektorska baza v točki P....................................................................................... 28

Univerza v Ljubljani, Pedagoška fakulteta Diplomsko delo

X

Slika 29: Zasuk baznega vektorja ......................................................................................... 29

Slika 30: Ploščinska hitrost ................................................................................................... 31

Slika 31: Zasuk stožnice. ...................................................................................................... 33

Slika 32: Jacques Philippe Marie Binet [26] ........................................................................ 34

Slika 33: Hitrost v temenu. ................................................................................................... 37

Slika 34: Oblike tirov. ........................................................................................................... 40

Slika 35: Prelet mimo privlačnega središča. ......................................................................... 41

Slika 36: Potek žarka v Eatonovi leči ................................................................................... 48

Slika 37: Potek žarkov. ......................................................................................................... 49

Slika 38: Elipse v Eatonovi leči in njihova ogrinjača. .......................................................... 50

Slika 39: Primerjava med navadnim ogledalom in Eatonovim [28]. .................................... 51

Slika 40: Eatonova leča narisana s Comsol simulatorjem 4.2 [28]. ..................................... 51

Slika 41: Eatonova leča [28]. ................................................................................................ 52

Univerza v Ljubljani, Pedagoška fakulteta Diplomsko delo

1

1 Uvod

Sonce in Zemlja sta med glavnimi dejavniki svetlobe. Ta pa je za življenje glavnega

pomena, katerega se nedvomno vsi zavedamo. Ljudje so od nekdaj imeli spoštljiv odnos do

nje, do ognja, bliskov in drugih svetlobnih pojavov. Opazili so odboj in lom svetlobe,

spoznali so, da vidijo predmete in zaznavajo barve samo, ko je prisotna svetloba. Starogrški

filozofi, kot na primer Aristotel (384-322 pne.), so se začeli med prvimi ukvarjati s

svetlobo. Aristotel je v svojem delu O duši obravnaval vid in v zvezi z njim tudi svetlobo.

Bil je prepričan, da barve nastanejo iz bele sončne svetlobe zaradi oslabitve v prozornem

mediju. Več kot tisoč let pravzaprav ni bilo bistvenega napredka v zvezi s preučevanjem

svetlobe, prav tako ne v optiki, ki se ukvarja tudi z interakcijo med njo in snovjo [1], [2].

Napredek v optiki je naredil arabski znanstvenik Al-Haitam (965-1039), latinizirano

Alhazen, ki ga imajo mnogi za očeta optike kot znanstvene discipline. Pravilno je pojasnil,

zakaj sploh vidimo, in odkril neke vrste lomni zakon svetlobe, s katerim je pojasnil

ukrivljenost svetlobnih žarkov, ki prihajajo od zvezd skozi atmosfero do opazovalca. Pojav

je izrazit za zvezde blizu obzorja. Podoben pojav je pri fatamorgani, kjer se svetlobni žarki

na svoji poti ukrivijo in celo odbijajo zaradi spreminjajoče se gostote ozračja in s tem

povezanega spremenljivega lomnega količnika. Zato pri fatamorgani vidimo stvari, ki jih

po pravilih evklidske geometrije ne bi videli [1], [2]. Po prostoru po določenem pravilu

spremenljiv lomni količnik pa je ravno glavna značilnost Eatonove leče, o kateri bomo več

povedali kasneje.

Proti koncu 16. stoletja in v začetku naslednjega je v optiki prevladovala izkušnja nad

teorijo. Pri tem lahko omenimo Galileja Galileja (1572-1642), po katerem ima ime

Galilejev daljnogled. Lomni zakon svetlobe je dokončno oblikoval okoli leta 1621

Nizozemec Willebrord van Roijen Snell (Snellius) (1561-1626), zato v tuji fizikalni

literaturi pogosto pišejo le o Snellovem ali Snelliusovem zakonu [1].

Velik napredek v preučevanju svetlobe sta opravila C. Huygens (1629-1695) in I. Newton

(1643-1727) [1]. Huygens je zagovarjal valovno teorijo svetlobe, formuliral Huygensov

princip širjenja valovanja in izdelal leče, kar je omogočilo izboljšavo daljnogledov,

2

teleskopov in mikroskopov. Newton pa je zagovarjal korpuskularno teorijo ter odkril, da je

svetloba s Sonca sestavljena iz mavričnih, spektralnih barv, ki jih zazna človeško oko.

Kasneje se je pojavila še kvantna teorija svetlobe, katero pripisujemo M. Plancku (1858-

1947), A. Einsteinu (1879-1955) in E. Schrödingerju (1887-1961) [2].

Hitrost svetlobe v praznem prostoru je ena izmed osnovnih fizikalnih konstant. Na podlagi

opazovanj Jupitrovih lun je O. Rømer (1644-1710) izračunal hitrost svetlobe �� v praznem prostoru in ugotovil, da je končna. H. Fizeau (1819-1896) pa jo je s poskusom tudi izmeril,

in sicer na Zemlji. A. Einstein je v svoji teoriji relativnosti zapisal, da je svetlobna hitrost v

vseh inercialnih opazovalnih sistemih konstantna. Spomnimo se, da velik del

informacijsko-komunikacijske tehnologije temelji ravno na zakonitostih svetlobe in

elektromagnetnega valovanja. Dobri primeri so GPS, optična vlakna, zapisi na zgoščenkah,

digitalne kamere in fotoaparati. Za njihovo delovanje se moramo zahvaliti glavnima

svetlobnima pojavoma: lomu in odboju svetlobe [2].

2 Zgodovina stožnic

Elipso so poznali že v antičnih časih. Starogrški matematiki so se namreč dokopali do

zavidljivega nivoja znanja matematike, tudi geometrije. Niso bili več zadovoljni le s

površnim opisom nekega geometrijskega objekta, ampak so zahtevali njegovo natančno

definicijo in šele nato so raziskovali njegove lastnosti. Višek znanja o stožnicah in s tem

tudi elipse je v antiki dosegel Apolonij iz Perge (265 pr. n. št.-170 pr. n. št.). Pred

Apolonijem sta se s stožnicami resno ukvarjala že Menajhmos in Evklid [3], [12]. Stožnice,

kakor že ime pove, nastanejo s presekom stožčaste ploskve z ravnino [13].

3

Slika 1: Ravninski presek stožca [14]

Od vseh takih presekov je elipsa, vključno s krožnico, zaključena ali sklenjena krivulja.

Preostali pravi stožnici sta parabola in hiperbola, ki pa nista sklenjeni krivulji. Apolonij je

elipsi, paraboli in hiperboli dal tudi današnja imena [12].

Šele od 17. stoletja naprej zapisujemo matematične krivulje z matematičnimi izrazi. René

Descartes (1596-1650), po katerem se imenuje tudi splošno znani koordinatni sistem, je

odkril, da lahko krivulje predstavimo z enačbami, ki jim zadoščajo koordinate točk na teh

krivuljah. Bil je prvi, ki je poskušal razdeliti krivulje po tipih enačb, ki jih tvorijo [15].

Descartes je študiral tudi fizikalne pojave ter bil tudi velik filozof.

Stožnice so v temenski obliki z enačbami zapisane tako:

Elipsa: �� = 2� − (�/�)� Parabola: �� = 2� Hiperbola: �� = 2� + (�/�)�

Pri tem so �, �, � pozitivne konstante. Opazimo, da imajo enačbe za vse tri stožnice podobno zgradbo, samo da pri elipsi od člena 2� odštejemo, pri hiperboli pa prištejemo pozitivni člen (�/�)�. Glede na parabolo ima elipsa primanjkljaj, hiperbola pa presežek. Zaradi te lastnosti, ki jo je poznal Apolonij, le zapisal jih je drugače, so stožnice dobile

4

grška imena, ki jih uporabljamo še danes. Tisti, ki se učijo klasično grščino, pa jih lahko

zapišejo z grškimi črkami z vsemi znaki za pridihe in z akcenti [16], [17].

Elipsa: gr. ἔλλειψις – pomanjkanje, napaka, krivda.

Parabola: gr. παραβολή – prilika, primera, zgled, moder izrek, pregovor iz gr.

παρά - od, ob, mimo, pri + gr. βάλλω – mečem.

Hiperbola: gr. ὑπερβολή – pretiravanje, prekašanje iz gr. ὑπέρ – čez, nad + gr.

βάλλω – mečem.

Elipsa in hiperbola imata dve gorišči, parabola pa eno. Hiperbola in parabola sta neomejeni

krivulji, prva je celo dvodelna in premore dve asimptoti, katerima se v neskončnosti

poljubno približa. V primeru, ko gorišči elipse sovpadata, pa dobimo krožnico, ki ima

središče ravno v teh dveh sovpadajočih točkah. Elipso lahko preprosto načrtamo na

vrtnarski način s pomočjo neraztegljive vrvice in količkoma, kakor kaže slika 2.

Slika 2: Vrtnarska konstrukcija elipse

5

Količka pri vrtnarski konstrukciji elipse predstavljata gorišči elipse, napeta vrvica pa

poskrbi za to, da ima vsaka točka na elipsi stalno vsoto razdalj od gorišč. Elipso lahko

konstruiramo tudi z GeoGebro, kakor kaže slika 3.

Slika 3: Elipsa

Prava elipsa, ki ni krožnica, ima dve simetrali in štiri temena, ki so od središča elipse

ekstremno oddaljena. Medsebojna razdalja najbolj oddaljenih temen je velika os elipse,

najmanj oddaljenih pa mala os elipse. Središče elipse je seveda na sredini med obema

goriščema.

2.1 Cassinijeve krivulje

Na sliki 4 je z GeoGebro konstruirana elipsa skozi točko � z goriščema v točkah � in �. V točki � elipse sta konstruirani tangenta in normala. Izmerimo kota med normalo in daljicama �� in ��. Kota sta enaka, četudi točko � premikamo po elipsi. To je odbojna lastnost elipse.

6

Slika 4: Odbojni zakon na elipsi

Iz njenih gorišč konstruiramo pravokotnici na tangento, ki jo sekata v točkah � in �, izmerimo razdalji �� in �� in ju zmnožimo. Pri premikanju točke � po elipsi se ta zmnožek ne spreminja. Krivulja, pri kateri je produkt razdalj od dveh izbranih točk stalen,

ima tudi svoje ime: Cassinijeva krivulja ali Cassinijev oval [3].

Giovanni Domenico Cassini (1625-1712) je bil doma v Perinaldu, v hribih blizu slovitega

Sanrema, in je veljal za zelo dobrega matematika in astronoma [3].

7

Slika 5: Giovanni Domenico Cassini [18]

Cassini je postavil na noge Pariški astronomski observatorij, v katerem so delovali še

Cassinijev sin, vnuk in pravnuk. Zato ni nič čudnega, če so vesoljsko sondo, ki nam je

poslala čudovite posnetke Saturnovih obročev, poimenovali po Cassiniju [3]. Prav tako je

po njem poimenovana Cassinijeva ločnica, ki je 4833 km široka vrzel med obročema A in

B, kar lahko vidimo na sliki 6. Ta je največja vrzel v sistemu Saturnovih obročev, saj je

vidna že z malo močnejšim daljnogledom [19]. Od strani se Saturnovi obroči seveda vidijo

eliptični, elipsa pa je glavni predmet naše razprave.

Slika 6: Posnetek osvetljene strani najvažnejših Saturnovih obročev. Med obročema A in B je lepo vidna

Cassinijeva ločnica. [19]

8

Z GeoGebro lahko spoznamo lastnosti Cassanijevih krivulj, in sicer nadgradimo sliko 4.

Načrtamo krožnici s središčema v goriščih � in � in polmeroma �� oziroma �� in konstruiramo množico presečišč obeh krožnic. Lahko, da za nekatere lege točke � presešišč ni, pojavijo pa se, ko se � najbolj oddaljuje od središča elipse. To so točke Cassinijeve krivulje. GeoGebra razkrije njeno celotno podobo, če točko � premikamo naokrog po elipsi (slika 7). Oblika Cassinijeve krivulje je odvisna od podatkov elipse, s katero smo začeli:

lahko je dvodelna krivulja, lahko ima obliko osmice (slika 9), lahko ima obliko bolj ali

manj stisnjenega ovala (slika 10), lahko pa obliko bolj spodobnega ovala (slika 11). Ko tak

oval pri istih goriščih povečujemo, postaja vedno bolj podoben krožnici.

Slika 7: Dvodelna Cassinijeva krivulja

Zgodovinsko pomemben je primer, ko je razmerje velike in male osi elipse enako √2. Tedaj ima Cassinijeva krivulja obliko osmice (slika 4). Pravimo ji Bernoullijeva

lemniskata. Prvič jo je opisal Švicar Jakob Bernoulli (1654-1705) leta 1694 kot

modifikacijo elipse. Njena enačba je: (�+��)� = 2��(� − ��)� [20].

9

Slika 8: Jakob Bernoulli [21]

Beseda lemniskata izhaja iz latinščine. Lemniscus je bil lično izdelan volneni trak, s

katerim so v antičnih časih zmagovalcu ob različnih priložnostih privezali lovorov venec na

glavo. Ni se spodobilo, da bi težko prigarani venec junaku privezali na glavo s kakršnokoli

vrvico ali neuglednim trakom. Lemniskato so uporabljali za konstrukcijo blagih prehodov

iz ene vrste ovinka v drugo pri tramvajskih tirih. Sicer se da o lemniskati povedati še

marsikaj zanimivega, tudi to, da ob njej spoznamo nekaj specialnih matematičnih funkcij.

Ena od njih je tista, ki jo srečamo tudi pri izrazu za nihajno dobo nihala pri velikih odklonih

– popolni eliptični integral prve vrste. Pripomnimo, da je izraz za dolžino krožnice zelo

enostaven in ga morajo poznati že osnovnošolci, medtem ko v izrazu za dolžino prave

elipse nastopa popolni eliptični integral druge vrste. Torej je elipsa tudi nekaterim

integralom posodila svoje ime [3].

10

Slika 9: Nastanek Bernoullijeve lemniskate

V matematiki poznamo še Boothovo in Geronovo lemniskato [20].

Slika 10: Stisnjena Cassinijeva krivulja

11

Slika 11: Pravi Cassinijev oval

3 Fermatov princip v optiki

Pierre de Fermat (1601-1665), francoski matematik, pravnik in državni uradnik je najbolj

poznan po svojem delu v teoriji števil, še posebej po zadnjem Fermatovem izreku [22],

[23]. Ta izrek pove, da enačba � + �� = �� nima rešitev v množici naravnih števil, čim je naravni eksponent � večji od 2 [29].

12

Slika 12: Pierre de Fermat [22]

Njegov domači kraj je bil Beaumont-de-Lomagne, Tarn-et-Garonne, Francija, kje je sedaj

muzej. Študiral je na univerzi v Orléansu in prejel diplomo na področju civilnega prava leta

1626. V Bordeauxu je začel svoje prve resne matematične raziskave. Večino svojega dela

je opisal v pismih prijateljem, pogosto z malo ali brez dokazovanja svojih izrekov. To

pomeni, da je Fermat nekakšen "amater" med matematiki [22], [23].

Slika 13: Doprsni kip v Salle des Illustres v Capitole v Toulousu [22]

13

Slika 14: Holografska lastnoročna oporoka [22]

Leta 1650 je Fermat odkril načelo, ki pojasni tako odboj kot tudi lom svetlobe. Načelo se

glasi: Svetloba iz točke na območju z določeno hitrostjo dospe v točko na območju z

drugačno hitrostjo svetlobe po poti, za katero je čas potovanja stacionaren. Pri tem je

privzel, da je hitrost svetlobe tem manjša, čim gostejša je snov. To je bil prvi variacijski

princip, zapisan v fiziki [1], [22], [23].

Pierre de Fermat je umrl v Castresu. Po njem se imenuje najstarejša in najbolj prestižna

srednja šola v Toulousu (Lycée Pierre de Fermat) [22].

14

Slika 15: Spominska plošča [22]

Za odboj in lom svetlobe preverimo Fermatov princip razmeroma enostavno, s Pitagorovim

izrekom in z odvodom. Lepo se da pojasniti tudi s programom GeoGebra, ko neposredno

opazujemo, kako optična po zavzame najmanjšo vrednost ravno takrat, ko velja odbojni

oziroma lomni zakon. Optična pot, to je produkt geometrijske poti in lomnega kvocienta, ki

ima najmanjšo možno vrednost [23].

3.1 Lom Svetlobe

Lom svetlobe je fizikalni pojav, pri katerem se pri prehodu iz enega sredstva v drugo

spremeni hitrost in smer svetlobe. Sprememba smeri je odvisna od vpadnega kota in od

hitrosti svetlobe v obeh sredstvih. Svetloba se lomi po lomnem zakonu, kateri pravi, da je

razmerje sinusov vpadnega in lomnega kota enako razmerju lomnih količnikov obeh

sredstev. Zapisati moramo tudi, da so vzporedni in lomljeni žarek ter vpadna pravokotnica

vedno v isti ravnini. Lomni zakon zapišemo tako: sin �sin = �!��

15

Slika 16: Lom svetlobe

Sedaj pa upoštevajmo Fermatovo načelo, ki pravi, da se svetloba v poljubnem sredstvu širi

od ene točke do druge tako, da je čas širjenja stacionaren. Na podlagi tega izpeljemo lomni

zakon.

Izberemo točki � in � na nasprotnih straneh premice �. Nato določimo točko " na premici � tako, da preide svetloba, ki se na odseku �" giblje s hitrostjo �!, na odseku �" pa s hitrostjo ��, v najkrajšem času od točke � do �.

16

Slika 17: Določitev točke C

Iz slike 17 je očitno, da je � = �! in = !. S pomočjo Pitagorovega izreka zapišemo �" = √�� + �, �" = #�� + ($ − )�.

Tako je čas, ki ga svetloba potrebuje, d preide od točke � do točke �, enak &�� � �"�! �

�"�� �√�� � ��! �

#�� � �$ ���� . Če vpeljemo še lomna količnika

�! � ���! , �� �����,

dobimo

�! � ���! , �� �����.

Potreben pogoj, da dobimo ekstrem funkcije &�� je odvod funkcije &′�� � �!√�� � �

$ ��#�� � �$ �� � 0.

Če sedaj ponovno vpeljemo kota � in , dobimo sin � � √�� � � ,sin �

$ #�� � �$ ��.

17

Iz enačbe &′() = 0 sledi sin ��! = sin �� oziroma sin �sin = �!�� . Tako dobimo relacijo sin �sin = ���! , ki predstavlja lomni zakon [3], [11], [31].

Prav tako lahko lomni zakon ponazorimo s programom za dinamično geometrijo-

GeoGebra.

Najprej konstruiramo osnovne elemente, in sicer premico �, katera predstavlja mejno ravnino, po kateri premikamo točko ", vpadni in lomljeni žarek, pravokotnico na premico �, kota � in ter lomna količnika �! in ��.

Nad premico � je lomni količnik 1, pod njo pa 1,3, kar predstavljata zrak ter vodo. Lomna količnika obeh sredstev sicer lahko poljubno spreminjamo.

18

Slika 18: Konstrukcija osnovnih elementov pri lomnem zakonu.

Sedaj uvedemo parameter ), ki predstavlja čas širjenja svetlobe od točke � do točke �. Definiramo ga tako

) � � ∙ �! � $ ∙ �� .

Nato konstruiramo še točko �, ki je odvisna od točke " glede na premico �, po kateri se premika ter od parametra ). Sedaj lahko vključimo njeno sled, ki nam izriše krivuljo, ki jo opiše točka �.

19

Slika 19: Krivulja, ki jo opisuje točka T.

Če točko " premikamo po premici, se spreminja čas, ki ga potrebuje svetloba, ko potuje od točke � do točke � ter vpadni in lomni kot. Točka � pa se giblje po krivulji, ki jo kaže slika 19.

Sedaj definiramo še parameter + + � sin �sin − ���! .

20

Slika 20: Lom svetlobnega žarka po lomnem zakonu.

Nato opazujemo njegovo vrednost, hkrati pa tudi čas, velikost kotov ter položaj točke �. Ugotovimo, da je + � 0 natanko tedaj, ko točka � zavzame minimum krivulje. Čas je takrat najmanjši, sinusa kotov pa sta v pravem razmerju po lomnem zakonu. Tako pokažemo, da

se svetlobni žarek lomi po lomnem zakonu, kjer pa velja Fermatovo načelo [31].

3.2 Odboj svetlobe

Odboj svetlobe je fizikalni pojav, kjer se del svetlobe na meji med različnima sredstvoma

odbije, del pa gre v drugo sredstvo, kjer spremeni smer širjenja.

Svetloba se odbije po odbojnem zakonu, ki pravi, da je vpadni kot � enak odbojnemu kotu glede na pravokotnico na mejno ravnino med dvema sredstvoma. Vpadni in odbiti žarek ter vpadna pravokotnica vedno ležijo v isti ravnini [11], [31].

21

Slika 21: Odboj svetlobe.

Kot pri lomnem zakonu je tudi tukaj čas širjenja svetlobe stacionaren, čemur pravimo

Fermatovo načelo, iz katerega je izpeljan odbojni zakon.

Veljavnost odbojnega zakona pokažemo kot posledico Fermatovega načela, pri čemer

privzamemo, da sta točki � in � začetni oziroma končni točki svetlobnega žarka. Točka " je na premici �, ki je meja med dvema različnima sredstvoma. Iščemo tako točko ", za katero velja, da je vsota razdalj �" � �" najmanjša.

22

Slika 22: Določitev točke C.

Iz slike je očitno, da velja � � �! in � !. S pomočjo Pitagorovega izreka velja �" � √�� � � , �" � #�� � �$ ��.

Ekstrem funkcije

&�� � #�� � � �#�� � �$ �� je enak

&´�� � √�� � �

$

#�� � �$ �� � 0.

Če vpeljemo še kota � in , dobimo enačbi sin � � √�� � � ,sin �

$ #�� � �$ ��.

Ker velja

&′�� � 0, dobimo, da je

sin � � sin , torej

� � .

Vsota razdalj AC+BC je torej najmanjša takrat, ko izberemo točko " na premici � tako, da oklepata �" in �" s pravokotnico na � enaka kota [4], [11], [31].

23

Prav tako lahkot tudi odbojni zakon prikažemo s pomočjo programa GeoGebra.

Potrebujemo točko ", ki jo lahko premikamo vzdolž premice. izberemo si točko �, ki je začetna točka vpadnega žarka in točko �, ki je končna točka odbitega žarka. Konstruiramo še pravokotnico skozi točko " na mejno ravnino, ki jo oklepata �" in �" z pravokotnico.

Slika 23: Konstruiranje osnovnih elementov.

Za ponazoritev Fermatovega načela je glavna vsota razdalj �" in �", za katero velja, da je pri odboju svetlobe najkrajša. Izberemo obe razdalji in uvedemo parameter vsote razdalj, ki

ga označimo z -.

Nato definiramo točko �, ki je odvisna od točke " glede na premico in od vsote razdalj. Za tem vključimo sled za nastalo točko �. Dobimo krivuljo, ki je prikazana na sliki 24.

24

rednos

Slika 24: Uvedba parametra s in krivulja, ki jo opisuje točka T.

Če točko " premikamo po premici, se spreminja vsota razdalj �" in �", velikost kotov, točka � pa se premika po krivulji.

Sedaj pa definirajmo še parameter

+ � sin � − sin .

Če opazujemo njegovo vrednost, vsoto razdalj, velikost kotov ter položaj točke �, ugotovimo, da je + = 0 natanko tedaj, ko točka � zavzame minimum krivulje, vsota - je najmanjša, kota � in pa sta enaka.

25

Slika 25: Odbojni zakon in Fermatovo načelo

Tako pokažemo, da se svetlobni žarek res odbije po odbojem zakonu in da velja Fermatovo

načelo [31].

4 Binetova enačba

Do Binetove enačbe pridemo s pomočjo Keplerjevih in Newtonovih zakonov.

4.1 Keplerjevi zakoni

Johannes Kepler je bil nemški astronom, astrolog in matematik, ki je po smrti danskega

astronoma Tycheja Braheja prevzel in nadaljeval njegovo delo. Prišel je do novih odkritij

na področju astronomije in optike, kjer je najbolj znan po treh zakonih za gibanje planetov

[1], [4].

26

Trije Keplerjevi zakoni pravijo:

1. Planet se giblje okoli Sonca po elipsi. Sonce je v njenem gorišču.

2. Zveznica planeta in Sonca popiše v enakih časih enake ploščine.

3. Kub velike polosi in kvadrat obhodnega časa sta za vse planete v enakem razmerju.

Slika 26: Gibanje planetov po elipsah [24]

V prvem zakonu je ugotovil, da se planet ne giblje okoli Sonca po krožnici, kot so prvotno

mislili, temveč po elipsi ter da se Sonce nahaja v enem izmed gorišč te elipse. Drugi zakon

govori, da se planeti okoli Sonca po elipsi ne gibljejo enakomerno, saj se takrat, ko so bližje

Soncu gibljejo hitreje kot takrat, ko so od Sonca bolj oddaljeni. V tretjem zakonu pa je

predstavljeno, da je kub velike polosi planetove krožnice sorazmeren kvadratu obhodnega

časa. Lahko pa ga razložimo tudi tako, da je kvocient med kvadratom obhodnega časa

planeta in kubom velike polosi njegove tirnice konstanten za vse planete. Kepler zadnjega

zakona ni nikoli dokazal, zato pa je to kasneje uspelo Isaacu Newtonu. S temi odkritji je

Kepler postavil temelje novi, sodobni astronomiji [1], [4].

27

Slika 27: Johannes Kepler, kopija izgubljenega portreta iz leta 1610 [25].

Običajni Keplerjevi zakoni se nanašajo na eliptično gibanje planetov okoli Sonca. Sedaj pa

vzemimo namesto Sonca neko mirujoče točkasto telo . mase /, namesto planeta pa točkasto telo � mase 0, ki se giblje v okolici telesa .. [5] Zanju veljajo naslednji zakoni:

I. Telo � se giblje okoli točke . po stožnici, pri čemer je . v njenem gorišču. II. Zveznica od telesa . do telesa � popiše v enakih časih enake ploščine. III. Če je gibanje telesa � eliptično, potem je razmerje kvadrata obhodnega časa �

telesa � in kuba velike polosi njenega eliptičnega tira neodvisna od mase telesa �.

4.2 Ravninsko gibanje

Najprej obravnavajmo ravninsko gibanje točkastega telesa, saj so stožnice ravninske

krivulje. Gibanje točke � bomo spremljali v polarnem koordinatnem sistemu v ravnini gibanja. V . postavimo pol tega sistema, za polarno os pa izberemo neki poltrak s krajiščem v .. Položaj točke � opišemo z vektorjem + 112= .�111112. Kot φ, ki ga + 112 oklepa s polarno osjo, je polarni kot točke �, ki ga bomo obravnavali na način, ki je običajen v matematiki. Absolutna vrednost vektorja + 112 pa je polarni radij + točke P, torej + = |+ 112|. Položaj točke � opišemo s φ in +, ki se pri gibanju spreminjata s časom ). Vzeli bomo tako,

28

da se točka P giblje tako, da kot φ narašča s časom ). V ravnini gibanja imamo vektorsko bazo, ki je vezana na točko �, kjer je prvi vektor te baze enotski vektor 451112 � 4611112 (φ) v smeri vektorja + 112, drugi pa enotski vektor 4611112 = 451112 (φ), ki je pravokoten 451112 in kaže v smeri naraščanja polarnega kota φ. Če je 712 konstantni enotski vektor normale na ravnino gibanja in usklajen z naraščanjem polarnega kota φ, kar pomeni, da iz konice vektorja 712 vidimo naraščanje kota φ v pozitivni smeri, potem je 712 × 451112 = 4611112 in 712 × 4611112 = −451112 [5].

Slika 28: Vektorska baza v točki P

Enotska vektorja 451112 in 4611112 s časom in kotom spreminjata svoji smeri. Ker je 451112 ∙ 451112 � 1, dobimo z odvajanjem po kotu φ: 451112 ∙ 451112′ = 0. Zato ima vektor 451112′ isto smer kot vektor 4611112. To se pravi, da pri nekem pozitivnem skalarju λ velja: 451112′ = :4611112. Krajišča vektorjev 451112 z istim začetkom O opišejo lok na enotski krožnici. Ko kot φ raste, recimo od α do β, se

vektor 451112 zasuka za kot ∆φ=β−α in pri tem njegovo krajišče opiše krožni lok < = α− . Za enak kot se zasukata vektorja +2 in 4611112. Po drugi strani pa je ta lok enak

< = = |451112′(>)|$> = : = ?4611112(>)?$> = :@A@

A ( − �) = :<

29

Tako da je iz tega : � 1 in s tem 451112′ = 4611112.

Slika 29: Zasuk baznega vektorja

Vektor 4611112 ′ pa izračunamo tako: 4611112B = C712 × 451112DB = 712 × 451112B = 712 × 4611112 = −451112.

Iz tega sledita enakosti

451112B = 4611112 in 4611112B = −451112. Če pa odvajamo po času ), dobimo enakosti

451112E = >E 4611112 in 4611112E = −>E 451112. Ker gibanje točke � lahko zapišemo z vektorsko funkcijo

+2 = +2(>) = +451112 , lahko hitro zapišemo za hitrost F2 točke � izraz

F2 = +2E = +E451112 + +>E 4611112 . Hitrost ima dve komponenti, in sicer radialno F5 = +E v smeri vektorja 451112 in azimutalno F6 = +>E v smeri vektorja 4611112 . Podobno lahko izračunamo pospešek �2 = F2E = +2G točke �:

�2 = +G451112 + +E>E 4611112 + +E>E 4611112 + +>G 4611112 − +>E �451112 .

30

Če preuredimo člene, dobimo izraz:

�2 = (+G − +>E �)451112 + (+>G + 2+E>E )4611112 . (1) Prav tako ima pospešek točke � dve komponenti, in sicer radialno �5 = +G − +>E � in azimutalno �6 = +>G + 2+E>E [5].

4.3 Gibanje okoli privlačnega središča

Poglejmo sedaj ravninsko gibanje točke � okoli negibnega privlačnega središča v točki .. Ta deluje samo radialno na maso 0 v točki � na razdalji + s silo

H2 � H�+, >)451112 . Če predpostavimo, da velja drugi Keplerjev zakon, ki pravi, da je ploščinska hitrost

konstantna, to pomeni, da vektor +2 = .�111112 v enakih časih opiše enake ploščine, H2 nima azimutalne komponente. Pri tem je H neka pozitivna funkcija radija + in kota > in tudi edina zunanja sila, ki deluje na maso 0. Po Newtonovem zakonu velja enačba [5]:

0+2G = −H(+, >)451112 . Po enačbi (1) torej zapišemo Newtonov zakon z vektorsko diferencialno enačbo

(+G − +>E �)451112 + (+>G + 2+E>E )4611112 = − 10 H(+, >)451112 . Zaradi oblike sile H2 pa mora veljati enačba:

+>G + 2+E>E = 0 . Da si jo lahko geometrijsko razlagamo, jo najprej pomnožimo z + 2⁄ . S tem dobimo enačbo:

12 +�>G + ++E>E = 0 . Tako jo lahko prepišemo v obliko

$$) J12 +�>E K = 0 , kar pomeni, da je izraz ½ +�>E konstanten. Vemo, da je ploščina M(>, �) krivočrtnega izseka, ki je omejen s poltrakoma s polarnima kotoma � in > ter krivuljo + = +(>) , izražena s formulo

M(>, �) = 12 = +�(N)$N6

A .

31

Kako pa se s časom spreminja ploščina krivočrtnega izseka, ki ga popiše vektor +, pa nam pove ploščinska hitrost ME. Dobimo:

ME = $M$) = $M$> ∙ $>$) = 12 +�>E . Konstantnost ploščinske hitrosti oz. drugi Keplerjev zakon je v danih razmerah potreben in

zadosten pogoj za to, da ima sila privlačnega središča samo radialno komponento [5].

Slika 30: Ploščinska hitrost

Ugotovili smo, da se točka � giblje tako, da je ploščinska hitrost konstantna: 12 +�>E = "2 , (2) kar pomeni, da se lahko v izrazu za radialno komponento pospeška znebimo trenutne kotne

hitrosti >E = $> $)⁄ = " +�⁄ . Najprej dobimo +E = $+$) = $+$> ∙ $>$) = $+$> ∙ "+� = −" $(1 +)⁄$> ,

nato pa še

+G = − $�(1 +⁄ )$>� ∙ $>$) = − "�

+� ∙ $�(1 +⁄ )$>� .

Zato lahko izrazimo radialno komponento pospeška v naslednji obliki:

�5 = +G − +>E � = − "�+� ∙ $�(1 +⁄ )$>� − + "

�+O = − "

�+� P$

�(1 +⁄ )$>� + 1+Q.

32

Kvadrat hitrosti izrazimo podobno:

F� � �+E�� � +��>E �� � "� RP$�1 +⁄ �$> Q� � 1+�S.�3�

4.4 Gibanje po stožnici

V polarni obliki ima stožnica z goriščem . v polu polarnega koordinatnega sistema enačbo + � �1 � U cos�> � ��,�4�

pri čemer je U njena numerična ekscentričnost, � parameter in � kot zasuka od izbrane polarne osi, ki ima krajišče v gorišču stožnice. Za U � 0 je stožnica krožnica, za 0 Y U Y 1 elipsa in za U Z 1 hiperbola. Parameter � je polovična dolžina najkrajše tetive stožnice skozi njeno gorišče. V primeru elipse in hiperbole je � � �� �⁄ , v primeru parabole pa je � razdalja gorišča od vodnice. Pri elipsi je � njena daljša polos, pri hiperboli pa realna polos. Pri elipsi je � krajša polos, pri hiperboli pa imaginarna polos [5]. Iz (3) in (4) dobimo izraz za kvadrat hitrosti:

F� � "��� �1 � 2U cos�> � �� � U��.�5� Če pa izrazimo F� z radijem +, dobimo enačbo

F� � "�� P2+ 1 U�

� Q.�6� Na koncu lahko izrazimo kvadrat hitrosti tako:

F� � "�� J2+ ]K. Pri tem je ] � 1 �⁄ pri elipsi, ] � 1 �⁄ pri hiperboli in ] � 0 pri paraboli. V primeru elipse je najmanjši radij +̂ Apri kotu > � �, največji radij +_^` pa pri > � a �, in sicer:

+̂ A � �1 � U ,+_^A � �1 U Vsota obeh ekstremnih radijev je daljša os elipse, ki je izražena tako:

+̂ A�+_^A � �1 � U � �1 U � 2�1 U� � 2�.

33

Slika 31: Zasuk stožnice.

4.5 Binetova enačba

Diferencialna enačba za 1 +⁄ torej sledi iz prej zapisanega Newtonovega zakona: $�(1 +⁄ )$>� + 1+ = +

�0"� H(+, >)

To je Binetova enačba. Jacques Philippe Marie Binet (1786-1856) je bil francoski

matematik, astronom in fizik. Binet je veliko prispeval na področje teorije števil in

matematičnim temeljem algebre matrik, kar je kasneje vodilo do pomembnih prispevkov

Cayleyja in drugih. V svoji razpravi o teoriji konjugiranih osi in vztrajnostnega momenta

teles je podal načelo, danes znano kot Binetov izrek. Prvi je leta 1812 izpeljal pravilo za

množenje matrik. Po njem se imenuje tudi Binetova formula, v kateri so Fibonaccijeva

števila izražena v zaključeni obliki. Isti rezultat je poznal že Euler [26].

34

Slika 32: Jacques Philippe Marie Binet [26]

Če se točka � giblje po stožnici + � � �1 � U cos�> � ���⁄ , kar zapišemo še kot 1 +⁄ ��1 � U cos�> � ��� �⁄ , mora veljati:

1� � +�

0"� H�+, >�

Iz tega dobimo obliko funkcije F�+, >�: H�+, >� � H�+� � 0"��+� .

Pri eliptičnem gibanju vektor +2 � .�111112 opiše v eni obhodni dobi � ravno vso elipso. Zato zaradi konstantne ploščinske hitrosti, kar smo zapisali v obliki ME � " 2⁄ , dobimo:

a�� � "�2 . S tem smo našli konstanto ":

" � 2a���

35

Če sedaj upoštevamo še tretji Keplerjev zakon pri eliptičnem gibanju, in sicer enačbo

�b�� � c, kjer je c konstanta, ki je neodvisna od mase 0, ampak le od privlačnega središča, dobimo enačbo:

"� � 4a������� � 4a��b�� ∙ �

�� � 4a��c.

Sedaj lahko zapišemo:

H�+� � 0"��+� � 4a�0c+� .

V privlačnem središču je masa /, zato je konstanta codvisna od mase /. Sedaj lahko sklepamo naslednje: če masa / privlači maso 0 s silo H, potem po tretjem Newtonovem zakonu tudi 0 privlači / z enako, toda nasprotno usmerjeno silo [5]. Ker morajo biti naravni zakoni enake oblike, mora veljati:

4a�0c�/�+� � 4a�/c�0�+� ,

kar pomeni, da velja:

0c � c�0�c�/� ali f 0c�0� /c�/�f � 0.

To pa gre le, če sta vrstici determinante linearno odvisni: c�0� � 70, c�/� � 7/, kjer je 7 neka konstanta. Tako smo iz Keplerjevih zakonov našli obliko splošnega gravitacijskega zakona:

H2 � 4a�70/+� 451112�7� Če vpeljemo splošno gravitacijsko konstanto h � 4a�7, imamo znano obliko enačbe:

H2 � h0/+� +2. Gravitacijska sila ima enako obliko v vseh smereh v prostoru, zato lahko zapišemo:

H2 � h0/+� ∙ +2+ � h0/+b +2. Za točkasto telo � z maso 0 v polju takih sil velja Newtonov zakon:

0+2G � h0/+b +2

36

Če krajšamo z maso 0 in vektorsko množimo z +2, dobimo: +2 8 +2G � $$) C+2 8 +2ED � 0.

To pomeni, da je +2 8 +2E � "2, kjer je "2 konstanten vektor, � pa se giblje v ravnini, ki je na "2 pravokotna. V tej ravnini vpeljemo koordinatni sistem za nadaljnji opis gibanja.

Binetovo enačbo lahko uporabljamo tudi v primeru negibnega privlačnega središča, ko

velja

H�+� � h0/+� .�8� Binetova enačba je po obliki nehomogena linearna diferencialna enačba s konstantnimi

koeficienti za funkcijo 1 +⁄ : $��1 +⁄ �$>� � 1+ � +

�0"� ∙ h0/+� � h/"� �9�

Njeno splošno rešitev dobimo po znanem postopku:

1+ � �! cos> � �� sin> � h/"� � "! cos�> � �� � h/"� �10� Pri tem sta �!kn�� ali "!in� integracijski konstanti. Če vpeljemo 1 �⁄ � h/ "�⁄ , dobimo

+ � 11� � "! cos�> � ��� �1 � �"! cos�> � ��.

To je enačba stožnice s parametrom � in numerično ekscentričnostjo U � |�"!|. Upoštevati je treba, da je konstanta "! lahko tudi negativna. Takrat lahko U ostane pozitiven, kotu � pa prištejemo a [5].

V privlačni sili pri (8) bi lahko namesto produkta h0/ pisali katerokoli drugo konstanto, pa bi za rešitev Binetove enačbe (9) dobili enačbo neke stožnice, ki vsebuje integracijske

konstante. Gibanje točke � pa je natanko določeno z eno točko na tiru in hitrostjo v njej. Integracijske konstante pa so zvezno odvisne od teh dveh podatkov in tirnice zvezno

prehajajo ena v drugo, ko zvezno spreminjamo začetne podatke. Zato mora splošni

gravitacijski zakon pri (7) veljati v vsakem primeru, ne glede na začetne podatke. Seveda

pa v okviru nerelativistične mehanike, kjer so hitrosti zanemarljivo majhne v primerjavi s

hitrostjo svetlobe [5].

37

4.6 Oblika tira glede na hitrost v temenu

Recimo, da ima točkasto telo � v točki � v razdalji +� od privlačnega središča . hitrost F� v pozitivni matematični smeri, pravokotno na vektor +�1112 � .�111112. Taka točka na stožnici zagotovo obstaja.

Slika 33: Hitrost v temenu.

To je teme stožnice, kjer je njena ukrivljenost največja, in sicer pri > � � ali pri > � a

�. Tedaj skozi � postavimo polarno os s polom v . in merimo polarni kot > tako kot doslej. Trenutna kotna hitrost l� v točki � je z +� in F� povezana z zvezo F� � +�l�, zato je ploščinska hitrost v točki � enaka +��l� 2⁄ � +� F� 2⁄ . Zaradi enačbe (2) mora zato veljati: +�F� � " [5].

V primeru eliptičnega tira lahko izberemo � � 0 ali � = a in imamo: + = �1 ± U cos > , 0 ≤ U ≤ 1

Upoštevati je treba, da ima elipsa dve gorišči in da pri dani hitrosti F� še ne vemo, katero od njiju je bližje točki �. V primeru, ko je tir veja hiperbole ali parabole, vzamemo � = 0. Tedaj je

+ = �1 + U cos > , U ≥ 1

38

In teme je eno samo. V vseh primerih pa je 1 +�⁄ � �1 ± U� �⁄ in po enačbi (6) dobimo naslednji izraz

F�� = "�� P2 ± 2U� − 1 − U�

� Q = "�

�� (1 ± U)�. Tako imamo enačbi

�1 ± U = +� in "(1 ± U)� = F�.

Pri elipsi dopuščamo v teh relacijah oba predznaka, pri paraboli in veji hiperbole pa samo

predznak +. Če ju zmnožimo in izrazimo U, dobimo že znan rezultat " = +�F� in nato še U = f1 − �+�f .

Sedaj bomo vpeljali pospešek prostega pada p� na razdalji +� od točke .: 0p� =h0 / +��⁄ . S tem je h/ = p�+��. Potem lahko izrazimo parameter � v obliki: � = "�h/ = +�

�F��p�+�� =F��p�

Ekscentričnost iskane stožnice je torej

U = q1 − F��+�p�q. Poleg tega je ugodno vpeljati še hitrosti F! = #+�p� in F� = #2+�p�. Ko govorimo o majhnih telesih, izstreljenih tangencialno z Zemljo, sta to prva in druga ubežna ali

kozmična hitrost. Ekscentričnost iskane stožnice je potem

U = q1 − F��F!�q . Pri pogoju 0 < � < +� vzamemo U = 1 − � +�⁄ in enačbo (11) s predznakom −, pri pogoju +� < � pa U = � +� − 1⁄ in enačbo (11) s predznakom +. Za +� = � je seveda U = 0.

39

Obravnavajmo sedaj tire za različne začetne hitrosti F� v točki �, ki je teme stožnice, po kateri se giblje točka � [5].

1. Če je 0 < F� < F!, je tir gibanja točke � elipsa + = �1 − U cos > , � = F�

�p� , U = F�

�F!�

z goriščem v točki .. Drugo gorišče je med točkama . in �. Najmanjša hitrost točke � je Fr pri > = 0, največja pa po enakosti (5) F� (1 + U) (1 − U)⁄ pri > = a. Po naslednjih formulah izračunamo polosi elipse:

� = �1 − U� , � = �√1 − U�. 2. Če je F� = F!, dobimo U = 0 in + = +� = �. Tir gibanja točke � je krožnica

polmera +� s središčem v .. Hitrost točke � je stalno enaka F!. 3. Če je F! < F� < F�, je tir gibanja točke � tudi elipsa

+ = �1 + U cos > , � = F��

p� , U = F��

F!� − 1 Elipsa ima gorišče v točki ., ki je na daljici med drugim goriščem in točko �. V tem primeru ima točka � največjo hitrost F� pri > = 0 in najmanjšo hitrost F� (1 − U) (1 + U)⁄ pri > = a. Polosi elipse � in � izračunamo po istih formulah kot v 1. primeru.

4. Če je F� = F�, je U = 1 in tir gibanja točke � je parabola + = �1 + cos > , � = 2+�

z goriščem v točki .. Največjo hitrost ima točka � v temenu, in sicer F�, z razdaljo + pa se spreminja tako:

F = F�s+�+ . Hitrost točke � gre proti 0, ko + raste prek vseh meja.

1. Če je F� > F�, je U > 1 in tir gibanja točke � je veja hiperbole + = �1 + U cos > , � = F�

�p� , U = F�

�F!� − 1

z goriščem v točki .. Največjo hitrost ima točka � v temenu, in sicer F�, z razdaljo + pa se spreminja po formuli (6) in zato dobimo v limiti, ko + raste prek vseh meja, za kvadrat limitne hitrosti Ft izraz:

40

Ft� � "��� �U� 1�. Za hitrost točke � v temenu � pa velja prav tako po formuli (6):

F�� � 2"��+� �"��� �U� 1�.

Z odštevanjem obeh relacij in po preureditvi dobimo:

Ft� � F�� F��. Pri hiperboli raste + prek vseh meja, ko se kot > bliža kotu >�, za katerega je

cos>� � 1U. Zato se asimptoti hiperbole sekata pod kotom u, za katerega velja

cos u2 � 1U. Polosi hiperbole izračunamo po formulah:

� � �U� 1 , � � �√U� 1. Gorišče hiperbole je oddaljeno od svojih asimptot ravno za dolžino imaginarne polosi �. Zato je �Ft � " [5].

Slika 34: Oblike tirov.

41

4.7 Prelet mimo privlačnega središča

Predpostavimo, da je mirujoče privlačno središče mase / v točki ., iz zelo oddaljene točke na premici -, ki je za � > 0 oddaljena od G, pa poženemo točkasto telo � z maso 0 v smeri te premice s hitrostjo Ft tako, da se točki . bliža. Zanima nas gibanje točke � v bližini točke .. Točka � se bo gibala po hiperboli v ravnini, ki jo določata premica -, ki je asimptota te hiperbole in točka .. Pri tem velja �Ft = " [5].

Za lažje računanje postavimo polarni koordinatni sistem s polom v točki . in polarno osjo pravokotno na premico -. Tokrat vpeljemo pospešek prostega pada pv, ki velja na oddaljenosti � od središča .: pv = h / ��⁄ . Iskana hiperbola ima polarno enačbo:

+ = �1 + U cos(> + �)

Slika 35: Prelet mimo privlačnega središča.

42

Pri tem je tako kot v enačbi (10)

� � "�h/ � Ft�pv ,

Sedaj moramo poiskati še kot � in numerično ekscentričnost U. Dobimo ju iz pogoja lim6→_ �⁄ (+ cos >) = lim6→_ �⁄ � cos >1 + U cos(> + �) = �.

Števec ulomka v limiti je pri > = a 2⁄ enak 0, zato mora biti tudi imenovalec pri > = a 2⁄ enak 0, če želimo imeti končno limito �. Veljati mora torej:

1 + U cos(a 2⁄ + �) = 1 − U sin � = 0. Tedaj je

lim6→_ �⁄ (+ cos >) = lim6→_ �⁄ � cos > sin �sin � + cos(> + �) = lim6→_ �⁄ � sin > sin �sin(> + �) = � tan �. Veljati morata torej relaciji: U sin � = 1 in � tan � = �. Po kratkem računu najdemo:

tan � = �pvFt� in U = z1 + FtO

��pv�. Sedaj lahko izračunamo še najkrajšo razdaljo +� preleta mimo ., hitrost F� v temenu � in spremembo smeri { = 2�:

+� = Ft�pv(1 + U) , F� = Ft �+� , tan {2 = �pvFt� .

5 Eatonova leča

Na elipse pa naletimo tudi pri Eatonovi leči. To je krogla, v kateri se žarki

elektromagnetnega valovanja lomijo zaradi spremenljivega lomnega količnika, ki pa ga

opisuje Newtonov lomni profil ��+� � #2/+ 1. Predpostavljamo, da veljajo zakoni geometrijske optike in da je lomni količnik mišljen za izbrano valovno dolžino svetlobe

oziroma elektromagnetnega valovanja, da se nam ni treba ukvarjati z disperzijo.

Disperzija je v optiki pojav, ki se kaže v tem, da je odvisna od frekvence. Nastane zaradi

tega, ker je lomni količnik odvisen od valovne dolžine svetlobe oziroma elektromagnetnega

valovanja[30]. Radij krogle je enota, + pa razdalja točke od koordinatnega izhodišča. Žarki v taki leči tudi sledijo eliptičnim lokom.

43

O J. E. Eaton ne piše veliko. Predvsem je delal v Washingtonu v Naval Research

Laboratory. Leta 1952 je izdal knjigo z naslovom On spherically symmetric lenses, napisal

veliko člankov o raziskovanju optičnih leč, kot na primer članek z naslovom An extension

of the Luneburg-type lenses [7], [27], [28], [32].

5.1 Oblika poti žarka v Eatonovi leči

Najprej bomo uporabili običajni Fermatov princip v optiki, ki pravi, da v optičnem sistemu

prepotuje svetloba svojo pot od točke A v točko B v najkrajšem času. Če smo natančni, bi

morali zapisati v stacionarnem času, ker se v nekaterih primerih lahko zgodi, da stacionarni

čas ni najmanjši, ampak lokalno največji [3]. Vzemimo, da se svetloba širi v optičnem

sredstvu z lomnim količnikom, ki je zvezno odvisen od točke. V izbranem pravokotnem

kartezičnem koordinatnem sistemu 0�� označimo lomni količnik v točki �, ki jo določa njen krajevni vektor | = (, �, �), z �(|) = �(, �, �). Funkcija | ⟼ �(|) naj ima zvezne vse parcialne odvode in naj bo navzdol omejena z 1 na obravnavanem območju. Naj točki

� in � povezuje gladka krivulja Ҡ, za katero predpostavljamo, da je parametrizirana s parametrom in jo imenujemo ekstremala:

|() = ((), �(), �()).

Točki � naj ustreza parameter , točki � pa , katerikoli točki � na krivulji pa , tako da velja ≤ ≤ . Z ℓ() označimo naravni parameter krivulje Ҡ, in sicer njeno dolžino od točke � do točke �. Veljata zapisa:

ℓ() = = f$|$f $, $ℓ$ () = f$|$ ()f .

Hitrost svetlobe v praznem prostoru naj bo ��, v točki � pa je po fizikalni definiciji lomnega količnika enaka �� �(|)⁄ . Hitrost svetlobe v optičnem sredstvu je torej zvezno odvisna od točke, tudi vzdolž krivulje se zvezno spreminja. Na splošno se svetloba v

optičnem sredstvu s krajevno spremenjenim lomnim količnikom ne širi premočrtno.

Svetlobni žarki se krivijo [3].

44

5.2 Osnovni izrek variacijskega računa

Nosilec funkcije N, supp(N), je zaprtje množice točk, na katerih je N ≠ 0, če je supp(N) = : N() ≠ 0.

Za funkcijo N, definirano na intervalu �, �, pravimo, da ima kompakten nosilec v (�, �), če je

supp(N) ⊂ (�, �) in je supp(N) kompaktna množica. Ker imamo opravka z množico točk na realni osi, supp(N) pa je po definiciji zaprta množica, kompaktnost pomeni, da je supp(N) omejena množica. Drugače rečeno, za tako funkcijo obstajata konstanti � in $, da velja

� < � < $ < � in da je

� ≤ < � ali $ < ≤ � ⇒ N() = 0. Neskončnokrat odvedljivo funkcijo s kompaktnim nosilcem na odprtem intervalu (�, �) imenujemo finitna funkcija, včasih tudi testna funkcija. Množico funkcij, finitnih na

intervalu (�, �), označujemo z H(�, �) [9].

Če je & ∈ "�, � in za vsako funkcijo N ∈ H(�, �) velja = &()N()$ = 0 ,v`

tedaj je

& = 0 .

5.3 Uporaba variacijskega računa

Zelo kratek lok dolžine ∆ℓ na krivulji v oklici točke, ki jo določa vektor |, kjer se lahko vzame, da je lomni količnik približno stalen, prepotuje svetloba v času ∆) �∆ℓ ��� ��|�⁄ � � ��|� ∆ℓ ��⁄ .⁄

45

Ko vse ∆) po krivulji seštejemo, nato pa vse ∆ℓ manjšamo proti nič, dobimo celotni čas ),Ҡ potovanja svetlobe po krivulji Ҡ od točke � do točke �:

), = 1�� = �(|)$ℓ

,Ҡ .

Količino -,Ҡ = ��),Ҡ imenujemo optična pot od točke � do točke � vzdolž krivulje Ҡ. Fermatov princip zahteva, da najdemo tako krivuljo Ҡ, za katero bo optična pot najmanjša oziroma stacionarna. Optično pot zapišemo z enačbo:

-,Ҡ = = �(|)$ℓ = = �C|()D f$|$ ()f $ .

,Ҡ

V stacionarni obliki jo zapišemo lahko tudi tako:

-,Ҡ = = �((), �(), �()) ∙ |(B(), �B(), �B())| $ . Pri tem znak črtica označuje odvod podintegralskih funkcij po parametru , znak | | pa dolžino vektorja. Naloga je tipičen primer iskanja ekstremale

ℱ J|, $|$K = = �C|()D f$|$ ()f $

v variacijskem računu.

Podintegralska funkcija, s katero imamo opravka, je

(|, ) ⟼ ℒ(|, ) = �(|)|| , kjer je = $| $⁄ = (B, �B, �B). Pri tem smo označili B = $ $⁄ , �B = $� $⁄ in �B = $� $⁄ . V daljšem koordinatnem zapisu je

ℒ(, �, �; B, �B, �B) = �(, �, �)sB� + �B� + �� .

46

Ustrezne tri Euler-Lagrangeeve enačbe za ekstremalo so tudi sedaj diferencialne enačbe

drugega reda. Sistem enačb v našem primeru namreč razpade na tri med seboj odvisne

diferencialne enačbe [6], [8].

$$ ′ = , $$ �′ = � , $$ �′ = � .

Po krajšem računu dobimo v vektorski obliki enačbo, ki velja vzdolž ekstremale:

�(|) f$|$f^! $$ P�(|) f$|$f

^! $|$Q = 12 grad��(). (1) Enačba je kar zapletena, zato lahko s primerno uvedbo parametra, s katerim

parametriziramo iskano krivuljo, sistem poenostavimo zahvaljujoč odvisnosti lomnega

količnika samo od razdalje od središča leče [3]. Denimo, da je parametrizirana z naravnim

parametrom ℓ, za katerega velja |$| $ℓ⁄ | = 1. Nato izberemo za parameter rešitev diferencialne enačbe $ $ℓ⁄ = 1 �(|(ℓ))⁄ pri začetnem pogoju (0) = . Potem velja

� f$|$f^! = � f$|$ℓf

^! $$ℓ = � $$ℓ = 1 , f$|$f = f$|$ℓf $ℓ$ = $ℓ$ = � .

Tedaj dobi diferencialna enačba (1) posebno preprosto obliko, in sicer

$�|$� = 12 grad ��(|) , (2) ki velja pri pogoju

f$|$f = �(|). (3) Enačba (2) v primeru, ko je parameter čas, spominja na Newtonov zakon delca z maso 0 = 1 v potencialnem polju [3].

Ko je lomni količnik odvisen le od dolžine + = ||| vektorja |, pri pogoju + ≠ 0, velja $�|$� = 12 grad ��(|) = �(+)�B(+) ++. (4)

47

Omejili se bomo na primer, ko ima funkcija + ⟼ ��+��B�+�/+ limito v točki 0, tako da velja tudi za pogoj + � 0. Tedaj lahko zapišemo relacijo

| 8 | �  | 8 |¡ � 0. To pomeni, da obstaja tak konstanten, od neodvisen vektor ¢, da velja | 8 $|$ � ¢.�5�

Za ¢ � 0 je ekstremala premica, za ¢ 0 pa neka ravninska krivulja. Enačbi (5) ustreza pri gibanju planeta okoli Sonca izrek o stalnosti ploščinske hitrosti. V obeh primerih lahko

potem obravnavamo ravninski primer diferencialne enačbe (2). Vpeljemo ravninski

koordinatni sistem 0� v ravnini, ki je pravokotna na vektor ¢. Diferencialna enačba (2) razpade na sistem

$�$� � ��+��B�+� + ,$��$� � ��+��B�+� �+,

kjer je + � #� � ��, pri tem pa seveda velja pogoj (3) ��+� � #B� � �B� [3].

Predelane enačbe so na las podobne enačbam gibanja točkaste mase v Newtonovem

potencialnem polju. Še več, odvisnost lomnega količnika samo od razdalje +od središča leče zadevo še bolj poenostavi, ker se izkaže, da žarek po leči opiše ravninsko krivuljo.

Problem zato zlahka prevedemo na reševanje dveh med seboj odvisnih diferencialnih enačb

drugega reda

BB � +b , �BB � �+b , + � #� � �� in ga obravnavamo v koordinatnem sistemu £�. Kar je sedaj novega, je samo to, da rešitvi sistema povezuje pogoj, ki nas spominja na izraz za hitrost F pri Keplerjevem gibanju planetov, ki je opisan na strani 46 [3].

F� � ′� � �′� � �5 1 � ���+�.

Pogoj je posledica posebne izbire parametra, ki nam je poenostavil Euler-Lagrangeevi

enačbi v preprosti enačbi Keplerjevega gibanja. Rešitev poznamo: iskana krivulja je elipsa.

48

5.4 Potek žarkov v Eatonovi leči

Elipsa v Eatonovi leči ima eno od svojih gorišč v središču leče, torej v koordinatnem

izhodišču £. Oblika elipse pa je odvisna samo od točke, v kateri žarek vstopa v Eatonovo lečo. Na robu te leče je lomni količnik enak 1, zunaj leče pa predpostavimo, da je tudi enak

1 (prazen prostor). Proti središču leče pa lomni količnik neomejeno narašča. Ne da bi kaj

izgubili na splošnosti, vzamemo, da žarek prihaja z desne strani vzporedno z osjo (slika 36) in zadane lečo v točki �¤CN, √1 − N�D (0 ≤ N < 1), kjer se prične ukrivljati. Prehod v lečo je gladek, zato je tangenta na elipso vzporedna z osjo . Ker sta gorišči elipse na tej osi, mora elipsa imeti središču najbližji temeni na enotski krožnici � + �� = 1. Središče elipse je torej v točki (N, 0), gorišči pa v točkah (0,0) in (2N, 0), središču najbližji temeni v �¤(N, √1 − N�) in �̂ (N, −√1 − N�) , kjer žarek zapusti lečo in se usmeri vzporedno z osjo v prostor. Središču leče najoddaljenejši temeni pa sta v točkah (N − 1,0) in (N +1,0). Osi elipse sta torej 2 in 2√1 − N�. Po leči torej žarek prepotuje točno polovico elipse. Za N = 1 se elipsa izrodi v daljico, kar ustreza odboju v središču leče, kjer je lomni količnik neomejeno velik [3].

Slika 36: Potek žarka v Eatonovi leči

49

Enačba elipse v koordinatnem sistemu £� je torej �1 N��� N�� � �� = 1 − N�.

Potek nekaj žarkov kaže slika 37. Zaradi tega, ker Eatonova leča v sebi obrne potek žarkov,

ji popularno pravijo »mačje oko«. Spomnimo se na mačje oči, ki se v temi »zasvetijo« že

ob najmanjši prisotnosti svetlobe [3].

Slika 37: Potek žarkov.

Po temeljitem razmisleku o lastnostih elips, ki jih srečamo v Eatonovi leči, lahko kar z

GeoGebro lepo simuliramo prehod žarkov skoznjo. Program obvlada risanje elipse, če

poznamo gorišči in eno točko. Opazimo, da ima družina elips (E) ogrinjačo, ki jo

sestavljata paraboli � = 1 − �/4 in � = −1 + �/4 (slika 38), kar pokaže običajni postopek za iskanje ogrinjače enoparametrične družine krivulj [3].

50

Slika 38: Elipse v Eatonovi leči in njihova ogrinjača.

Če bi dovolili tudi negativne parametre N, torej 1 < N ≤ 0, bi dobili z elipsami zapolnjen prostor med parabolama na sliki 38. Tedaj so desne polovice elips poti žarkov, ki padajo na

Eatonovo lečo z leve strani [3], [7].

5.5 Eatonova leča v prihodnosti

Eatonova leča je tipična GRIN leča, ki spreminja valovanje v kateri koli smeri brez faznih

razlik. Ima veliko možnosti za uporabo. Pred kratkim je tehnologija razvila snov z visokim

lomnim količnikom, ki se lahko uporablja za krmiljenje električne in magnetne

prepustnosti. To postopoma pripelje do možnosti za proizvodnjo Eatonove leče za

zamenjavo ogledala in prizme, kot kaže slika 39 [28].

51

Slika 39: Primerjava med navadnim ogledalom in Eatonovim [28].

Slika 40: Eatonova leča narisana s Comsol simulatorjem 4.2 [28].

Na sliki 40 je prikazana Eatonova leča. Črn krog je Eatonova leča, zelena črta pa je optična

pot [28].

52

Slika 41: Eatonova leča [28].

Na sliki 41 je prikazana Eatonova leča (črna krog) kot prizma. Leča ima valjasto obliko in

vsaka plast ima svoj lomni količnik [28].

53

6 Zaključek

Pri pisanju diplomskega dela smo skušali čim bolj raziskati Eatonovo lečo, katero prej

nismo poznali. Spoznali smo, da gre za kroglo, pri kateri je zanimivo, kako se v njej žarki

elektromagnetnega valovanja lomijo zaradi spremenjenega lomnega količnika. Žarki

potekajo v obliki elipse, katera je glavna tema diplomskega dela.

Analiza leče se je začela s preučevanjem zgodovine optike in stožnic. Pri tem smo

ugotovili, da je obravnavana krivulja tesno povezana z astronomijo in gibanjem planetov. S

podrobnim analiziranjem gibanja po stožnicah s pomočjo Keplerjevih zakonov pridemo do

enake enačbe kot pri sami Eatonovi leči.

Sama možnost uporabe Eatonove leče ima velik potencial, katerega treba še preučiti in

razviti. Kar je razvidno iz dosegljivih virov, katerih pa je zelo malo.

Spoznali smo, da ne moremo obravnavano temo vpeljati v osnovno šolo. Lahko pa jim

samo kot zanimivost predstavimo samo elipso s pomočjo vrtnarske konstrukcije. V srednji

šoli pa je po učnem načrtu elipsa obravnavana v 3. letniku. Z določenimi prilagoditvami in

s pomočjo programske opreme GeoGebra lahko predstavimo lastnost krivulje oz. same

Eatonove leče.

54

7 Literatura in viri

[1] Strnad, J., (1996). Razvoj fizike, Ljubljana. DZS.

[2] Razpet, M., (2012). Hookove elipse in Luneburgova leča, Mednarodna konferenca

InfoKomTeh, Nova vizija tehnologij prihodnosti, Ljubljana. CD/DVD.

[3] Razpet, M., (2012). Elipsa skozi zgodovino, Mednarodna konferenca InfoKomTeh,

Sodobni pristopi poučevanja prihajajočih generacij, Ljubljana. CD/DVD.

[4] Strnad, J., (1995). Fiziki 2, Ljubljana. Mihelač in Nešović: Tretji program Radia

Slovenija.

[5] Razpet, M.,(2009). Binetova enačba, Matematika v šoli, letnik 15, št. 3/4, str. 234-249.

[6] Razpet, M., (2013). Luneburgova leča, Obzornik za matematiko in fiziko, letnik 60.,

št. 2, str. 41-50.

[7] Leonhardt, U., Philbin, T., (2010). Geometry of lights: the science of invisibility,

Mineola, New York.

[8] Križanič, F., (1974). Navadne diferencialne enačbe in variacijski račun, Ljubljana.

DZS.

[9] Zakrajšek, E., (2000). Analiza III, Ljubljana. DMFA-založništvo.

[10] Razpet, M., (1998). Ravninske krivulje, Ljubljana. DMFA-založništvo.

[11] Bronštejn, I. N., (2012). Matematični priročnik, Ljublajana. Tehniška založba

Slovenije.

[12] Apolonij, http://sl.wikipedia.org/wiki/Apolonij (24.10.2013)

[13] Stožnice, http://sl.wikipedia.org/wiki/Sto%C5%BEnice (24.10.2013)

[14] Ravninski presek stožca, http://sl.wikipedia.org/wiki/Slika:Coniques_cone-sl.png

(24.10.2013)

[15] Descartes, http://sl.wikipedia.org/wiki/Descartes (24.10.2013)

[16] Klasična grščina, http://www.pef.uni-lj.si/matwww/Greek_text.pdf (24.10.2013)

[17] Grška imena stožnic, http://pefprints.pef.uni-lj.si/1514/1/diploma_Maja_Bojanc.pdf

(24.10.2013)

[18] Giovanni Domenico Cassini, http://sl.wikipedia.org/wiki/Giovanni_Domenico_Cassini

(25.10.20132)

[19] Saturnovi obroči, http://sl.wikipedia.org/wiki/Saturnovi_obro%C4%8Di (25.10.2013)

55

[20] Bernoullijeva lemniskata, http://sl.wikipedia.org/wiki/Bernoullijeva_lemniskata

(25.10.2013)

[21] Jakob Bernoulli, http://sl.wikipedia.org/wiki/Jakob_Bernoulli_I. (25.10.2013)

[22] Pierre de Fermat, http://en.wikipedia.org/wiki/Pierre_de_Fermat (25.10.2013)

[23] Pierre de Fermat, http://sl.wikipedia.org/wiki/Pierre_de_Fermat (25.10.2013)

[24] Gibanje planetov po elipsah,

https://www.google.si/search?q=gibanje+planetov+po+elipsah&source=lnms&tbm=isch&s

a=X&ei=q0xqUvWpO4jItQbS04GYBA&ved=0CAcQ_AUoAQ&biw=1366&bih=659#fac

rc=_&imgdii=_&imgrc=Y9brkd9CN3dhcM%3A%3Bzb2q_fGyLUS6tM%3Bhttp%253A%

252F%252F193.2.157.117%252FInformatika%252F10%252F10d%252F10d1_GnilsekDan

aja%252FZakonizagibanjeplanetov1_datoteke%252Fimage009.jpg%3Bhttp%253A%252F

%252F193.2.157.117%252FInformatika%252F10%252F10d%252F10d1_GnilsekDanaja%

252FZakonizagibanjeplanetov1HTML.htm%3B481%3B322 (25.10.2013)

[25] Johannes Kepler, http://sl.wikipedia.org/wiki/Johannes_Kepler (25.10.2013)

[26] Jacques Philippe Marie Binet,

http://sl.wikipedia.org/wiki/Jacques_Philippe_Marie_Binet (25.10.2013)

[27] J. E. Eaton, http://iopscience.iop.org/1367-2630/14/3/035011/article (13.11.2013)

[28] J. E. Eaton,

http://webcache.googleusercontent.com/search?q=cache:9GGIJ5onGNIJ:www.kps.or.kr/ho

me/kor/journal/library/downloadPdf.asp%3Farticleuid%3D%257B08A28C60-9FF2-4522-

BDFD-06F5A03F2675%257D+&cd=1&hl=sl&ct=clnk&gl=si (13.01.2014)

[29] Fermatov veliki izrek, http://sl.wikipedia.org/wiki/Fermatov_veliki_izrek (07.05.2014)

[30] Disperzija, http://sl.wikipedia.org/wiki/Disperzija_(optika) (07.05.2014)

[31] Fermatov princip v optiki,

http://pefprints.pef.uni-lj.si/2018/1/Diplomsko_delo_Rok_Gorjup.pdf (07.05.2014)

[32] J. E. Eaton,

http://oai.dtic.mil/oai/oai?verb=getRecord&metadataPrefix=html&identifier=AD0002564

(07.05.2014)