Embed Size (px)
Citation preview
UNIVERZA V LJUBLJANI
PEDAGOSKA FAKULTETA
FAKULTETA ZA MATEMATIKO IN FIZIKO
Studijski program: Matematika in fizika
Hiperbolicne funkcijeDIPLOMSKO DELO
Mentor: Kandidatka:
dr. Marko Razpet Teja Bergant
Ljubljana, junij 2012
.
Zahvala
Iskreno se zahvaljujem mentorju dr. Marku Razpetu za strokovno pomoc,
usmerjanje in cas, ki ga je posvetil nastajanju mojega diplomskega dela.
Velika zahvala gre vsem domacim za podporo, pomoc in potrpezljivost v
casu studija.
Hvala tudi vsem ostalim, ki so kakorkoli pripomogli, da je diplomsko delo
koncno koncano.
3
Program dela
V diplomskem delu obravnavajte hiperbolicne funkcije in navedite nekaj
primerov uporabe.
Ljubljana, junij 2012 Mentor: dr. Marko Razpet
5
Povzetek
V diplomskem delu so predstavljene hiperbolicne funkcije. V sklopu zgodo-
vine le-teh sta skozi zivljenje in delo opisana matematika Vincenzo Riccati in
Johann Heinrich Lambert, pod lastnostmi hiperbolicnih funkcij pa so obrav-
navane njihove definicije, grafi, odvodi, integrali in razvoji v potencne vrste.
Predstavljene so tudi zveze med njimi, njihove inverzne funkcije in adicijski
izreki. Povzete so povezave hiperbolicnih funkcij s trigonometricnimi, in sicer
preko geometrijske razlage prvih in drugih ter povezava s pomocjo kompleks-
nega argumenta. Na koncu sta navedena se dva primera uporabe, in sicer
veriznica in Dirichletov problem.
Kljucne besede: Hiperbolicne funkcije, Vincenzo Riccati, Johann
Heinrich Lambert, eksponentna funkcija, inverzne hiperbolicne funkcije, ve-
riznica, Dirichletov problem.
7
Hyperbolic functions – Abstract
This thesis is an introduction to hyperbolic functions. The history part
describes the lives and work of the mathematicians Vincenzo Riccati and
Johann Heinrich Lambert. The characteristics section deals with the hyper-
bolic functions’ definitions, graphs, derivatives, integrals, and power series
expressions. The thesis also presents the relations between the hyperbolic
functions, their inverse functions and addition theorems. Also included are
the comparison of the hyperbolic functions to the trigonometric functions by
means of their geometric interpretation, and the description of the relations
among them by means of a complex argument. The thesis concludes with
two examples of use, the catenary and the Dirichlet problem.
Key words: Hyperbolic functions, Vincenzo Riccati, Johann Hein-
rich Lambert, exponential function, inverse hyperbolic functions, catenary,
Dirichlet problem.
MSC(2010): 01A50, 26A06.
8
Kazalo
Zahvala 3
Program dela 5
Povzetek 7
Kazalo 9
1 Uvod 11
2 Zgodovina hiperbolicnih funkcij 13
2.1 Vincenzo Riccati . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.2 Johann Heinrich Lambert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
3 Lastnosti hiperbolicnih funkcij 19
3.1 Definicije in grafi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
3.2 Zveze med hiperbolicnimi funkcijami . . . . . . . . . . . . . . 27
3.3 Area funkcije . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
3.4 Adicijski izreki . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
3.5 Odvodi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
3.6 Integrali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
3.7 Razvoji v potencne vrste . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
4 Analogija s trigonometricnimi funkcijami 43
4.1 Trigonometricne funkcije . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
9
4.2 Geometrijska razlaga hiperbolicnih funkcij . . . . . . . . . . . 45
4.3 Hiperbolicne in trigonometricne funkcije v kompleksni ravnini 47
5 Zveza z diferencialnimi enacbami 51
5.1 Veriznica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
5.2 Dirichletov problem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
6 Zakljucek 63
Literatura 65
10
Poglavje 1
Uvod
Hiperbolicne funkcije so prek kompleksnih funkcij sorodne trigonometricnim
in so transcendentne, kar pomeni, da niso algebraicne. Osnovni hiperbolicni
funkciji sta hiperbolicni sinus (sh) in hiperbolicni kosinus (ch), iz teh pa so
izpeljane se funkcije hiperbolicni tangens (th), hiperbolicni kotangens (cth),
hiperbolicni sekans (sch) in hiperbolicni kosekans (csh).
Zgodovina hiperbolicnih funkcij sega v 18. stoletje, ko sta jih neodvisno eden
od drugega vpeljala matematika Vincenzo Riccati in Johann Heinrich Lam-
bert. Skozi zivljenje in delo sta opisana v sledecem poglavju.
V poglavju o lastnostih hiperbolicnih funkcij so najprej predstavljene nji-
hove definicije in grafi, nato pa se nekatere pomembne zveze med njimi.
Inverzne hiperbolicne funkcije se imenujejo area funkcije: area hiperbolicni
sinus (Ar sh), area hiperbolicni kosinus (Ar ch), area hiperbolicni tangens
(Ar th), area hiperbolicni kotangens (Ar cth), area hiperbolicni sekans (Ar sch)
in area hiperbolicni kosekans (Ar csh). Adicijski izreki hiperbolicnih funkcij
mocno spominjajo na adicijske izreke trigonometricnih funkcij. V nadalje-
vanju so izpeljani tudi odvodi, integrali in razvoji v potencne vrste hiper-
bolicnih funkcij s pomocjo lastnosti eksponentne funkcije.
11
Tako kot tocke (cosx, sin x) tvorijo enotsko kroznico, tako tocke (chx, sh x)
tvorijo desno polovico enakostranicne hiperbole. V 4. poglavju tako najdemo
malo vec o tem, pa tudi povezavo hiperbolicnih funkcij s trigonometricnimi
s pomocjo kompleksnega argumenta.
Hiperbolicne funkcije se pojavljajo v resitvah nekaterih pomembnejsih line-
arnih diferencialnih enacb, na primer enacba veriznice in Laplaceova enacba
na pravokotniku v kartezijskih koordinatah. Prva je pomembna v arhite-
kturi in gradbenistvu na podrocju gradnje mostov in obokov, druga pa je
pomembna na mnogih podrocjih fizike, med drugim v elektromagnetizmu,
termodinamiki, mehaniki tekocin in posebni teoriji relativnosti.
V diplomskem delu so bolj podrobno obravnavane stiri hiperbolicne funkcije,
in sicer hiperbolicni kosinus, hiperbolicni sinus, hiperbolicni tangens in hiper-
bolicni kotangens, funkciji hiperbolicni sekans in hiperbolicni kosekans pa sta
obravnavani zelo povrsinsko.
12
Poglavje 2
Zgodovina hiperbolicnih funkcij
Hiperbolicne funkcije sta v 60. letih 18. stoletja neodvisno eden od drugega
vpeljala Vincenzo Riccati in Johann Heinrich Lambert. Riccati je uporabil
oznaki Sc. za sinus (sinus circulare) in Cc. za kosinus (cosinus circulare) ter
Sh. za hiperbolicni sinus (sinus hyperbolico) in Ch. za hiperbolicni kosinus
(cosinus hyperbolico). Lambert je privzel imena in spremenil okrajsave v
take, kot se ponekod uporabljajo se danes: sinh in cosh. [18]
2.1 Vincenzo Riccati
Italijanski matematik Vincenzo Riccati se je rodil 11. januarja leta 1707
v kraju Castelfranco blizu mesta Treviso kot drugi sin matematika Jacopa
Francesca Riccatija in Elisabette dei Conti d’Onigo. [35]
Zgodnjega solanja je bil delezen doma pod okriljem jezuitov, katerih redu
se je leta 1726 tudi sam pridruzil. Leta 1728 je na jezuitskem kolegiju v
Piacenzi zacel poucevati literaturo. Kasneje je literaturo pouceval se v Padovi
in Parmi. Za tem je v Rimu studiral teologijo, nato pa je od leta 1739 v
Bologni 30 let pouceval matematiko. Riccati je bil med drugim izucen tudi v
vodogradbenistvu. Delal je na obvladovanju poplavne ogrozenosti na rekah
Reno, Pad, Adiza in Brenta, kar je benesko in bolonjsko regijo resevalo pred
13
Slika 2.1: Vincenzo Riccati (1707–1775). [34]
katastrofalnimi poplavami. Ob ukinitvi njegovega reda leta 1773 se je vrnil
v rodni Treviso in dve leti za tem, 17. januarja leta 1775 tam umrl za koliko,
star 68 let. [28], [29], [35]
Pri objavi svojega odkritja, hiperbolicnih funkcij, je sodeloval z Girolamom
Saladinijem. Riccati ni le vpeljal teh novih funkcij, pac pa je izpeljal tudi
enacbe za integrale le-teh. Nato je izpeljal se integrale trigonometricnih
funkcij. Njegova knjiga Institutiones (1765–1767) se steje za prvo obsezno
razpravo na temo racunanja integralov. Riccati je hiperbolicne funkcije
razvil in njihove lastnosti dokazal geometrijsko s pomocjo enotske hiperbole
x2 − y2 = 1 ali 2xy = 1, podobno, kot je opisan v razdelku (4.2). [30]
Riccati in Saladini sta se ukvarjala tudi z geometrijskimi problemi, kot so
traktrisa1, strofoida2 in stiriperesna deteljica3. Oce Vincenza Riccatija, Ja-
1Traktrisa ali vlecnica — krivulja, ki jo zarise telo-tocka, privezano na en konec ne-
raztegljive vrvice, medtem ko drugega vlecemo vzdolz premice na isti ravnini. [7]2Strofoida — ravninska algebrska krivulja 3. reda, v polarnih koordinatah (r, ϕ) podana
z enacbo r = a sin(α− 2ϕ)/ sin(α− ϕ). [31]3Stiriperesna deteljica — krivulja, podana z enacbo r(ϕ) = 3 cos(2ϕ). [17]
14
copo (1676–1754), po komer se imenuje Riccatijeva diferencialna enacba4, je
bil eden vodilnih italijanskih matematikov 18. stoletja. [29]
2.2 Johann Heinrich Lambert
Johann Heinrich Lambert, nemski matematik, fizik, astronom in filozof, je
bil eden velikih mislecev 18. stoletja. Nemski filozof Immanuel Kant (1724–
1804) ga je opisal kot “najvecjega genija Nemcije”. Posvecal se je optiki, as-
tronomiji, pirometriji, balistiki, psihologiji, fotometriji, algebri, trigonometriji,
projekciji, filozofiji, logiki, verjetnosti. Ceprav so bila njegova matematicna
razmisljanja vredna spostovanja, pa so bila njegova odkritja dostikrat za-
sencena od del njegovih sodobnikov. Izjema je bil njegov prispevek k hiper-
bolicni trigonometriji, ki mu je zagotovil trajno mesto v zgodovini razvoja
matematike. Lambert je bil prav tako prvi, ki je dokazal, da je π iracionalno
stevilo. Domneval je tudi, da sta tako π kot e transcendentni stevili5, vendar
pa je dokaz za to priskrbel sele kasneje Charles Hermite za e in Ferdinand
Lindemann za π. [23], [25], [30]
Kot sin Lukasa Lamberta, krojaca, in Elisabethe Schmerber se je Johann
Heinrich rodil 26. avgusta 1728 v Mulhausnu (danes Mulhouse, Alzacija,
Francija) in umrl za tuberkulozo le 49 let kasneje v Berlinu. Izhajal je
iz revnega okolja, zato je bil glede izobrazevanja prepuscen samemu sebi.
Sluzboval je kot racunovodja, tajnik, zasebni ucitelj in arhitekt po Nemciji,
Nizozemski, Franciji, Italiji in Svici. Delal je tudi kot uradnik v zelezarni,
nato pa je postal ucitelj v hisi druzine grofa Andreasa von Salisa v mestu
Coire v Svici, ki je imela v lasti odlicno knjiznico. Tu je imel Lambert
moznost raziskovati teme, ki so mu bile blizu. Leta 1759 je Coire zapustil in
z dvema svojima studentoma potoval po zahodnoevropskih mestih Gottin-
4Riccatijeva diferencialna enacba — enacba oblike y′ = a(x)y2 + b(x)y + c(x). [27]5Transcendentno stevilo — vsako kompleksno stevilo, ki ni algebrsko oziroma ni resitev
nobene polinomske enacbe oblike anxn + an−1x
n−1 + . . .+ a1x1 + a0x
0 = 0, kjer je n > 0
in so koeficienti ai racionalna stevila, ne vsa enaka 0. [32]
15
Slika 2.2: Johann Heinrich Lambert (1728–1777). [21]
gen, Utrecht, Pariz, Marseilles in Torino, nato pa se sam po mestih Augs-
burg, Munchen, Erlangen, zopet Coire in Leipzig. Zivel je v casu, ko je bila
znanstvena dejavnost skoncentrirana v dezelah, ki so jih vodili razsvetljeni
vladarji, ki so se radi obdajali z ucenjaki. Bil je clan berlinske Akademije
znanosti, kjer je med drugimi sodeloval z Leonhardom Eulerjem in Josephom
Lagrangeem. [21], [22], [23]
Lambert je bil eden prvih, ki je predvidel nekatere lastnosti Rimske ceste.
V svojem delu Kosmologische Briefen (Kozmoloska pisma) (1761) je objavil
svojo verzijo nastanka Soncevega sistema iz meglice. Predpostavil je, da se
zvezde blizu Sonca skupaj gibljejo po Rimski cesti in da je v galaksiji se
mnogo takih sistemov zvezd. To je kasneje potrdil Sir William Herschel.
Preprican je bil tudi, da nobeno telo v vesolju ni brez neke vrste zivljenja.
“Stvarnik”, je zapisal, “je veliko prevec celovit, da ne bi vtisnil zivljenja, sile
in dogajanja na vsak drobec prahu . . . Ce naj bi si nekdo ustvaril pravilno
podobo sveta, naj si za izhodisce postavi resnicno velicino namena Boga, da
bi poselil ves svet . . . ” Izracunal je tudi dolzino orbite Venerinega satelita, ki
16
je obsel planet v 11 dneh in 5 urah na povprecni razdalji 66,5 radijev planeta
po tiru, katerega ekscentricnost je znasala 0,195. Lambert ni bil edini, ki je
opazoval omenjeni satelit. V 17. in 18. stoletju je 15 razlicnih astronomov
opravilo 33 opazovanj telesa, vendar pa o satelitu ni vec nobenega sledu od
leta 1768. [23], [25]
Lambert je prispeval svoj delez tudi k razvoju kartografije. Bil je prvi, ki se
je ukvarjal s projekcijo trodimenzionalne Zemeljine povrsine na dvodimenzio-
nalno povrsino ploskve valja, stozca ali na ravno ploskev. Po njem se imenuje
Lambertova konformna konusna projekcija (slika 2.3), ki jo je razvil leta 1772.
To je projekcija, ki preslika tocke z Zemljine povrsine na plasc stozca. Precej
natancno se ujema povsod, razen na obmocjih obeh polov. Po 1. svetovni
vojni je ta projekcija dobila novo veljavo in je postala standardna projekcija
za vecje zemljevide, se posebaj za regije srednjih zemljepisnih sirin. [20], [23]
Slika 2.3: Lambertova konformna konusna projekcija. [24]
Med drugim je Lambert pomembno prispeval tudi k razvoju optike. Prvi
je meril jakost svetlobe. Po njem se imenuje enota za merjenje svetlosti
lambert, ki je enak π−1 · 104 cd/m2 (kandela na kvadratni meter). Njegovo
delo Photometria (Fotometrija) (1760) je bilo prva pomembnejsa knjiga o
kolicinski opredelitvi svetlobe in posledicah. Znan je tudi Lambert-Beerov
zakon o absorbciji svetlobe v obarvanih raztopinah, po katerem je svetilnost,
ki jo obarvana plast raztopine absorbira, odvisna od debeline tega sloja in
17
od molarne koncentracije raztopljene obarvane snovi. [21], [23]
Po njem se imenujeta tudi kraterja na Luni in na Marsu ter velik asteroid
glavnega pasu 187 Lamberta. [21]
18
Poglavje 3
Lastnosti hiperbolicnih funkcij
3.1 Definicije in grafi
Hiperbolicne funkcije so tesno povezane z eksponentno funkcijo x 7→ ex,
ki je bijektivna preslikava iz R na R+. Za osnovo ima Eulerjevo stevilo1
e ≈ 2, 718281828. Ker velja e > 1, funkcija x 7→ ex strogo raste na R. Ker
je vrednost funkcije vedno pozitivna, je navzdol omejena z 0, navzgor pa ni
omejena.
Inverz eksponentne funkcije x 7→ ex je naravna logaritemska funkcija x 7→lnx.
Funkcija x 7→ ex je posebej zanimiva v povezavi z odvajanjem in integri-
ranjem, saj se pri teh dveh operacijah ne spremeni:
f(x) = ex ⇒ f ′(x) = ex
f(x) = ex ⇒∫f(x) = ex + C, C = konst.
Posledica tega je dejstvo, da lahko eksponentno funkcijo x 7→ ex zelo pre-
1Eulerjevo stevilo — matematicna konstanta, poimenovana po svicarskem matematiku,
fiziku in astronomu Leonhardu Eulerju (1707–1783).
19
....................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................... ...................
........
........
........
........
........
........
........
........
........
........
........
........
........
........
........
........
........
........
........
........
........
........
........
........
........
........
........
........
........
........
........
........
........
........
........
........................
...................
x
y
10........
1 ........
......................................................................................................................................................................................
...............................................................
.......................................................................................................................................................................................
Slika 3.1: Eksponentna funkcija.
prosto zapisemo v obliki potencne vrste:
ex = 1 + x+x2
2+x3
3!+x4
4!+ . . . =
∞∑n=0
xn
n!.
Vrsta absolutno konvergira za vsak realen x.
3.1.1 Hiperbolicni kosinus
Funkcija ch : R→ R (hiperbolicni kosinus) je definirana s predpisom
ch : x 7→ chx =ex + e−x
2.
Oglejmo si definicijsko obmocje in zalogo vrednosti funkcije.
Iz definicije funkcije vidimo, da je res definirana na R.
Izraz (ex + e−x)/2 spominja na enacbo za izracun aritmeticne sredine. Velja,
da je aritmeticna sredina A(a, b) pozitivnih stevil a in b vedno vecja ali enaka
geometricni sredini G(a, b), torej
A(a, b) =a+ b
2≥√a · b = G(a, b).
Enacaj v tej neenacbi velja samo v primeru, ko je a = b. Ce spremenljivko a
20
zamenjamo z ex in spremenljivko b z e−x, dobimo
ex + e−x
2≥√ex · e−x.
Torej je
chx ≥ 1,
s cimer smo dolocili zalogo vrednosti funkcije hiperbolicni kosinus.
Poglejmo si se, kaj je s sodostjo oziroma lihostjo funkcije:
ch(−x) =e−x + ex
2= chx.
Funkcija ch je torej soda, kar pomeni, da je njen graf simetricen glede na
ordinatno os.
Ko gre x → ∞, je vrednost e−x/2 zelo majhna, zato jo smemo v primer-
javi z ex/2 zanemariti. To pomeni, da se pri velikih x graf funkcije ch obnasa
kot graf funkcije x 7→ ex/2.
Kje funkcija ch seka ordinatno os, ugotovimo z izracunom vrednosti funkcije
pri x = 0. Ko je x = 0, je ex = 1 in e−x = 1, torej
ch 0 =1 + 1
2= 1.
Tako smo dobili desno polovico grafa funkcije ch. Levo polovico dobimo
zaradi sodosti funkcije z zrcaljenjem cez ordinatno os.
3.1.2 Hiperbolicni sinus
Funkcija sh : R→ R (hiperbolicni sinus) je definirana s predpisom
sh : x 7→ shx =ex − e−x
2.
21
................................................................................................................................................................................................................................................................................................................ ...................
........
........
........
........
........
........
........
........
........
........
........
........
........
........
........
........
........
........
........
........
........
........
........
........
........
........
........
........
........
........
........
........
........
..........................
...................
x
y
10........
1........
.................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................
Slika 3.2: Hiperbolicni kosinus.
Iz definicije vidimo, da je tudi ta funkcija definirana na mnozici realnih stevil.
Funkcija sh je liha, saj velja
sh(−x) =e−x − ex
2= − shx.
Na vsem definicijskem obmocju strogo narasca, torej
x < y =⇒ shx < sh y.
Dokaz za to je naslednji razmislek: vemo, da funkcija x 7→ e−x strogo pada,
torej funkcija x 7→ −e−x strogo narasca. Torej mora biti funkcija sh kot vsota
strogo narascajocih funkcij x 7→ ex/2 in x 7→ −e−x/2 tudi strogo narascajoca.
Iz istega razloga kot graf funkcija ch se tudi graf funkcije sh obnasa kot
graf funkcije x 7→ ex/2, ko gre x→∞.
Graf funkcije hiperbolicni sinus gre skozi tocko (0, 0), saj je sh 0 = 0. Zaradi
lihosti se opisana desna polovica grafa funkcije sh prezrcali cez to tocko. S
tem dobimo se levo polovico grafa funkcije sh.
22
................................................................................................................................................................................................................................................................................................................ ...................
........
........
........
........
........
........
........
........
........
........
........
........
........
........
........
........
........
........
........
........
........
........
........
........
........
........
........
........
........
........
........
........
........
........
........
........
........
........
........
........
........
........
........
........
........
........
........
........
........
........
........
........
........
........
........
........
........
........
.........................
...................
x
y
10........
1........
................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................................................................................................................
.....................................................
..............................................................................................................................................................................................................................................................................
Slika 3.3: Hiperbolicni sinus.
3.1.3 Hiperbolicni tangens
Funkcija th : R→ R (hiperbolicni tangens) je definirana s predpisom
th : x 7→ thx =shx
chx.
Funkcija je definirana na R. Ker velja
th(−x) =− shx
chx= − thx,
.............................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................. ...................
........
........
........
........
........
........
........
........
........
........
........
........
........
........
........
........
........
........
........
........
........
........
........
........
........
........
........
........
........
........
........
........
........
........
........
........................
...................
x
y
10........
1
−1........
...............................................................................................................................
.........................................................................................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................
..................................................
.................................................................
...............................................................................................................................................................
Slika 3.4: Hiperbolicni tangens.
23
je funkcija th liha.
Za x, y > 0 je
th(x+ y)− thx =sh(x+ y)
ch(x+ y)− shx
chx=
sh y
ch(x+ y) ch x> 0,
torej je th x < th(x + y), kar dokazuje, da funkcija x 7→ thx strogo narasca
na R+. Ker je th liha funkcija, strogo narasca tudi na R.
Ker za funkcijo th velja
limx→∞
thx = limx→∞
ex − e−x
ex + e−x
= limx→∞
ex(1− e−2x)
ex(1 + e−2x)= 1
in
limx→−∞
thx = limx→−∞
ex − e−x
ex + e−x
= limx→−∞
e−x(e2x − 1)
e−x(e2x + 1)= −1,
sta premici y = 1 in y = −1 vodoravni asimptoti njenega grafa. Ker je
th 0 = 0, gre graf funkcije th skozi tocko (0, 0). Torej je zaloga vrednosti
funkcije hiperbolicni tangens interval (−1, 1).
3.1.4 Hiperbolicni kotangens
Funkcija cth : R→ R (hiperbolicni kotangens) je definirana s predpisom
cth : x 7→ cthx =chx
shx=
1
thx.
Iz definicije lahko vidimo, da je funkcija definirana za vsa realna stevila,
24
.............................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................. ...................
........
........
........
........
........
........
........
........
........
........
........
........
........
........
........
........
........
........
........
........
........
........
........
........
........
........
........
........
........
........
........
........
........
........
........
........
........
........
........
........
........
........
........
........
........
........
........
........
........
........
........
........
........
........
........
........
........
........
........
........
........
........
........
........
........
........
........
........
........
........
........
.....................
...................
x
y
10........
1
−1 ........
...............................................................................................................................
.............................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................
Slika 3.5: Hiperbolicni kotangens.
razen za x = 0, torej je definicijsko obmocje funkcije cth mnozica R\ {0}.Graf funkcije cth ima zato navpicno asimptoto pri x = 0.
Funkcija cth je liha, saj je
cth(−x) =1
− thx= − cthx.
Iz
thx < th(x+ y) =⇒ 1
thx>
1
th(x+ y)=⇒ cthx > cth(x+ y)
vidimo, da funkcija cth strogo pada na intervalu (0,+∞). Ker je liha funkcija,
strogo pada tudi na mnozici strogo negativnih realnih stevil.
S podobnim razmislekom kot za funkcijo th tudi tu ugotovimo, da velja
limx→∞
cthx = limx→∞
ex + e−x
ex − e−x
25
.............................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................. ...................
........
........
........
........
........
........
........
........
........
........
........
........
........
........
........
........
........
........
........
........
........
........
........
........
........
........
.........................
...................
x
y
10........
1 ........
.............................................................................................................................................
................................................................................
...............................................................................................................................................................................................................................
Slika 3.6: Hiperbolicni sekans.
= limx→∞
ex(1 + e−2x)
ex(1− e−2x)= 1
in
limx→−∞
cthx = limx→−∞
ex + e−x
ex − e−x
= limx→−∞
e−x(e2x + 1)
e−x(e2x − 1)= −1,
torej ima tudi graf funkcije cth vodoravni asimptoti pri y = 1 in y = −1.
3.1.5 Hiperbolicni sekans
Funkcija sch : R→ R (hiperbolicni sekans) je definirana s predpisom
sch : x 7→ schx =1
chx.
3.1.6 Hiperbolicni kosekans
Funkcija csh : R→ R (hiperbolicni kosekans) je definirana s predpisom
csh : x 7→ cshx =1
shx.
26
.............................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................. ...................
........
........
........
........
........
........
........
........
........
........
........
........
........
........
........
........
........
........
........
........
........
........
........
........
........
........
........
........
........
........
........
........
........
........
........
........
........
........
........
........
........
........
........
........
........
........
........
........
........
........
........
........
........
......................
...................
x
y
10........
1 ........
.....................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................
......................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................
Slika 3.7: Hiperbolicni kosekans.
3.2 Zveze med hiperbolicnimi funkcijami
Med sh x in chx velja pomembna zveza
ch2 x− sh2 x = 1, (3.1)
saj je(ex + e−x
2
)2
−(ex − e−x
2
)2
=1
4
(e2x + 2 + e−2x − e2x + 2− e−2x
)= 1.
Ce enakost (3.1) delimo s ch2 x, dobimo
1− th2 x =1
ch2 x,
ce jo delimo z sh2 x, pa dobimo
cth2 x− 1 =1
sh2 x.
Poglejmo si se nekatere druge zveze. Ker je thx = 1/ cthx, velja zveza
thx · cthx = 1.
27
Veljata pa tudi enakosti
th2 x+ sch2 x = 1 (3.2)
in
cth2 x− csh2 x = 1. (3.3)
Ker je
th2 x+ sch2 x =sh2 x+ 1
ch2 x
in ker iz zveze (3.1) sledi ch2 x = sh2 x + 1, zveza (3.2) res velja. Podobno
razmislimo se o zvezi (3.3); ker velja
cth2 x− csh2 x =ch2 x− 1
sh2 x
in ker iz zveze (3.1) sledi tudi sh2 x = ch2 x− 1, enakost velja.
Navedimo in dokazimo se zvezo med funkcijama sh in th:
shx =thx√
1− th2 x. (3.4)
Dokaz za to izpeljemo iz zveze (3.1), in sicer tako, da levo in desno stran
enakosti delimo z sh2 x in dobimo
1
th2 x− 1 =
1
sh2 x⇐⇒ sh2 x =
th2 x
1− th2 x
S korenjenjem leve in desne strani enakosti sedaj res dobimo zvezo (3.4).
3.3 Area funkcije
Iz dejstva, da sta sh in th lihi funkciji, sledi, da strogo narascata na mnozici
R. Velja:
28
Izrek 1. [6] Naj bo S neprazna podmnozica mnozice realnih stevil R in naj
bo f strogo monotona funkcija, ki deluje na mnozici S.
a) Tedaj za funkcijo f obstaja inverzna funkcija f−1.
b) Ce f strogo narasca na S, potem tudi f−1 strogo narasca na R(f).
c) Ce f strogo pada na S, potem tudi f−1 strogo pada na R(f).
Iz izreka 1 sledi, da za funkciji sh in th obstajata inverzni funkciji sh−1 in
th−1. Funkcija sh−1 je definirana na R, ker je R(sh) = R, funkcija th−1 pa
je definirana na intervalu (−1, 1), saj je R(th) = (−1, 1).
Nasprotno pa funkcija ch zaradi sodosti ni bijektivna (premica y = b seka
krivuljo y = chx v dveh tockah za vsak b > 1). Oznacimo s Ch desno
polovico krivulje y = chx, torej funkcijo ch na intervalu [0,+∞) , in s Cth
funkcijo cth na mnozici R+. Funkciji Ch in Cth sta strogo monotoni funkciji,
zato iz izreka 1 sledi, da obstajata tudi inverzni funkciji Ch−1 in Cth−1. Pri
tem je funkcija Ch−1 definirana na poltraku [1,∞), njena zaloga vrednosti pa
je interval [0,+∞) . Funkcija Cth−1 je definirana na poltraku (1,∞), njena
zaloga vrednosti pa je mnozica R+.
Poiscimo sedaj izraze za sh−1 y, th−1 y, Ch−1 y in Cth−1 y, ki jih po vrsti
imenujemo area hiperbolicni sinus (Ar sh y), area hiperbolicni tangens (Ar th y),
area hiperbolicni kosinus (Ar ch y) in area hiperbolicni kotangens (Ar cth y).
3.2.1 Za realno stevilo y = shx = (ex− e−x)/2 je ex− e−x− 2y = 0. Z
mnozenjem enacbe z ex dobimo
u2 − 2uy − 1 = 0, (3.5)
kjer je u = ex. Z resevanjem kvadratne enacbe (3.5) dobimo
u = y ±√y2 + 1. (3.6)
Ker je y <√y2 + 1 in u = ex > 0, lahko iz enacbe (3.6) zapisemo
ex = y +√y2 + 1 =⇒ x = ln(y +
√y2 + 1).
29
Iz y = shx sledi x = sh−1 y. Funkcija sh−1 : R→ R pa je podana z enacbo
Ar sh y = ln(y +√y2 + 1), y ∈ R.
3.2.2 Za realno stevilo y ∈ (−1, 1) je
y = thx =ex − e−x
ex + e−x=⇒ (1− y)ex = (1 + y)e−x =⇒
=⇒ e2x =1 + y
1− y=⇒ x =
1
2ln
1 + y
1− y.
Funkcija th−1 je torej podana z enacbo
Ar th y = ln
√1 + y
1− y, y ∈ (−1, 1).
3.2.3 Za realno stevilo y ≥ 1 je
y = Chx =ex + e−x
2=⇒ e2x− 2yex + 1 = 0 =⇒ ex = y±
√y2 − 1.
Ker velja
ln(y−√y2 − 1)+ln(y+
√y2 − 1) = ln((y−
√y2 − 1)(y+
√y2 − 1)) = ln 1 = 0,
je tudi
x = ln(y +√y2 − 1) ali x = ln(y −
√y2 − 1) = − ln(y +
√y2 − 1).
Strogo narascajoca funkcija Ch−1 je torej podana z enacbo
Ar ch y = ln(y +√y2 − 1), y ≥ 1.
3.2.4 Ker je funkcija th definirana na intervalu (−1, 1) in velja cthx =
1/ thx, je D(cth) = {1/t : 0 < t < 1} = {t ∈ R : t > 1}. Torej je
Ar cth y = ln
√y + 1
y − 1, |y| > 1.
30
3.4 Adicijski izreki
Adicijski izrek je relacija, ki izraza funkcijsko vrednost vsote s funkcijskimi
vrednostmi posameznih sumandov. Za hiperbolicne funkcije veljajo podobni
adicijski izreki kot za trigonometricne funkcije. Veljajo namrec naslednji trije
adicijski izreki [11]:
Izrek 2. ch(x+ y) = chx ch y + shx sh y
Dokaz.
chx ch y + shx sh y = ex + e−x
2 · ey + e−y
2 + ex − e−x2 · e
y − e−y2
=(ex+y + e−x+y + ex−y + e−x−y) + (ex+y − e−x+y − ex−y + e−x−y)
4
= ex+y + e−x−y
2
= ch(x+ y) �
Izrek 3. sh(x+ y) = shx ch y + chx sh y
Dokaz.
shx ch y + chx sh y = ex − e−x2 · e
y + e−y
2 + ex + e−x
2 · ey − e−y
2
=(ex+y − e−x+y + ex−y − e−x−y) + (ex+y + e−x+y − ex−y − e−x−y)
4
= ex+y − e−x−y2
= sh(x+ y) �
Izrek 4. th(x+ y) =thx+ th y
1 + th x th y
Dokaz.
thx+ th y1 + th x th y
=
shxchx
+sh ych y
1 + shxchx· sh y
ch y
=
shx ch y + chx sh ychx ch y
chx ch y + shx sh ychx ch y
=sh(x+ y)ch(x+ y)
= th(x+ y)
31
�
Iz teh treh izrekov s spremembo predznaka spremenljivke y sledijo naslednje
relacije, ki jih zaradi podobnosti s prejsnjimi dokazi ne bomo dokazovali:
Posledica 5. ch(x− y) = chx ch y − shx sh y
Posledica 6. sh(x− y) = shx ch y − chx sh y
Posledica 7. th(x− y) =thx− th y
1− thx th y
Iz izrekov za x = y sledi se:
Posledica 8. ch 2x = ch2 x+ sh2 x
Posledica 9. sh 2x = 2 sh x chx
Posledica 10. th 2x =2 thx
1 + th2 x
Ce sedaj prvic sestejemo in drugic odstejemo enakosti (2) in (5), dobimo se
Posledica 11. ch(x+ y) + ch(x− y) = 2 chx ch y
Posledica 12. ch(x+ y)− ch(x− y) = 2 shx sh y
Ce sestejemo in odstejemo enakosti (3) in (6), dobimo
Posledica 13. sh(x+ y) + sh(x− y) = 2 shx ch y
Posledica 14. sh(x+ y)− sh(x− y) = 2 chx sh y
Z uvedbo novih spremenljivk u = x+ y in v = x− y preoblikujemo enakosti
(11), (12), (13) in (14) v
Posledica 15. chu+ ch v = 2 chu+ v
2chu− v
2
Posledica 16. chu− ch v = 2 shu+ v
2shu− v
2
Posledica 17. shu+ sh v = 2 shu+ v
2chu− v
2
Posledica 18. shu− sh v = 2 chu+ v
2shu− v
2
32
3.5 Odvodi
Odvod funkcije x 7→ f(x) je definiran z enakostjo
f ′(x) = limh→0
f(x+ h)− f(x)
h
in obstaja za tiste vrednosti spremenljivke x, v katere okolici je funkcija
definirana in obstaja koncna limita
limh→0
f(x+ h)− f(x)
h. [1]
Ker so hiperbolicne funkcije sestavljene iz eksponentne funkcije x 7→ ex, bomo
njihove odvode poiskali s pomocjo odvoda te funkcije in pravil za odvajanje.
Funkcija x 7→ ex ima odvod
(ex)′ = ex
v vsaki tocki x ∈ R, ker je
(ex)′ = limh→0
ex+h − ex
h= lim
h→0
ex(eh − 1)
h.
Pri majhnih vrednostih se h le malo razlikuje od 1, zato zapisemo eh =
1 + 1/m, kjer je pri majhnih vrednostih h stevilo m veliko. Od tod lahko
zapisemo
h = log(1 +1
m).
Potem jeeh − 1
h=
1
m log(1 + 1m
)=
1
log(1 + 1m
)m.
Ce gre torej h→ 0, gre |m| → ∞ in log(1 + 1/m)m → 1. Torej je
limh→0
eh − 1
h= 1
33
in je torej res
(ex)′ = ex. [11]
Po pravilu za odvajanje sestavljenih funkcij (g ◦ f)′(x) = g′(f(x)) · f ′(x)
dobimo se odvod
(e−x)′ = e−x · (−1) = −e−x.
Sedaj poiscimo odvode hiperbolicnih funkcij. Odvoda funkcij ch in sh sta
precej enostavna:
(chx)′ =
(ex + e−x
2
)′=ex − e−x
2= shx
in
(shx)′ =
(ex − e−x
2
)′=ex + e−x
2= chx.
Pri odvodu funkcij th in cth uporabimo pravilo za odvajanje kvocienta (u/v)′ =u′v−uv′
v2in zvezo med chx in sh x ch2 x− sh2 x = 1 in dobimo:
(thx)′ =
(shx
chx
)′=
(shx)′ chx− shx(chx)′
ch2 x=
ch2 x− sh2 x
ch2 x=
1
ch2 x
in
(cthx)′ =
(chx
shx
)′=
(chx)′ shx− chx(shx)′
sh2 x=
sh2 x− ch2 x
sh2 x= − 1
sh2 x,
pri odvajanju funkcij sch in csh pa uporabimo pravilo (1/u)′ = −(u′/u2) in
dobimo:
(schx)′ =
(1
chx
)′= − shx
ch2 x= −thx
chx
in
(cshx)′ =
(1
shx
)′= − chx
sh2 x= −cthx
shx.
34
Ker jih bomo v nadaljevanju potrebovali, poiscimo se odvode inverznih hiper-
bolicnih funkcij, torej area funkcij. Pri tem bomo uporabili pravilo za odva-
janje naravnega logaritma (lnx)′ = 1/x in pravilo za odvajanje sestavljenih
funkcij. Najprej odvajajmo funkcijo Ar sh.
(Ar sh y)′ =(
ln(y +
√y2 + 1
))′=
1
y +√y2 + 1
(1 +
y√y2 + 1
)=
1
y +√y2 + 1
·√y2 + 1 + y√y2 + 1
=1√y2 + 1
za y ∈ R.
Na podoben nacin dobimo odvod funkcije Ar ch.
(Ar ch y)′ =(
ln(y +
√y2 − 1
))′=
1
y +√y2 − 1
(1 +
y√y2 − 1
)=
1
y +√y2 − 1
·√y2 − 1 + y√y2 − 1
=1√y2 − 1
za y ≥ 1.
Poiscimo zdaj odvod funkcije Ar th.
(Ar th y)′ =
(1
2ln
1 + y
1− y
)′=
1
2· 1− y
1 + y· (1− y) + (1 + y)
(1− y)2
=2
2(1 + y)(1− y)
=1
1− y2za y ∈ (−1, 1).
35
Pa se odvod funkcije Ar cth.
(Ar cth y)′ =
(1
2lny + 1
y − 1
)′=
1
2· y − 1
y + 1· (y − 1)− (y + 1)
(y − 1)2
=−2
2(y + 1)(y − 1)
=1
(1 + y)(1− y)
=1
1− y2za |y| > 1.
3.6 Integrali
V prejsnjem razdelku smo imeli dano funkcijo in iskali njen odvod. V in-
tegralskem racunu pa iscemo funkcijo, ki jo moramo odvajati, da dobimo
funkcijo. Integral funkcije je izraz∫f(x)dx = F (x) + C, C = konst.
in velja
F ′(x) = f(x) ⇐⇒∫f(x)dx = F (x) + C. [1]
Kot pri iskanju odvodov hiperbolicnih funkcij si tudi pri integriranju teh po-
magamo z integralom eksponentne funkcije.
Ker velja
(ex)′ = ex,
velja tudi ∫ex dx = ex + C.
36
In ker velja
(e−x)′ = −e−x,
velja tudi
−∫e−x dx = e−x + C
oziroma ∫e−x dx = −e−x + C.
Z upostevanjem tega in pravil integriranja [10] najprej poiscemo integrala
hiperbolicnega sinusa in kosinusa.∫shx dx =
∫ex − e−x
2dx =
1
2
(∫ex dx−
∫e−x dx
)=
1
2
(ex + e−x
)+ C,
in je torej ∫shx dx = chx+ C.
∫chx dx =
∫ex + e−x
2dx =
1
2
(∫ex dx+
∫e−x dx
)=
1
2
(ex − e−x
)+ C,
zato je ∫chx dx = shx+ C.
Pri integriranju hiperbolicnega tangensa in kotangensa si pomagamo s pra-
vilom ∫f ′(x)
f(x)dx = ln |f(x)|+ C
in dobimo ∫thx dx =
∫shx
chxdx = ln |chx|+ C
in ∫cthx dx =
∫chx
shxdx = ln |shx|+ C
37
Poiscimo sedaj integral funkcije hiperbolicni sekans.∫schx dx =
∫dx
chx=
∫2 dx
ex + e−x= 2
∫e−x dx
1 + e−2x
Na tem mestu uporabimo substitucijo
t = e−x, dt = −e−x dx, dx = −(dt/t) (3.7)
in dobimo ∫schx dx = −2
∫dt
1 + t2.
Z upostevanjem pravila ∫dx
1 + x2= arctg x+ C
dobimo ∫schx dx = −2 arctg t+ C
in koncno ∫schx dx = −2 arctg e−x + C.
Podobno se lotimo se integrala hiperbolicnega kosekansa.∫cshx dx =
∫dx
shx=
∫2 dx
ex − e−x= 2
∫e−x dx
1− e−2x
Ponovno uporabimo substitucijo (3.7) in dobimo∫cshxdx = −2
∫dt
1− t2.
Ker velja ∫dt
1− t2=
12
ln∣∣1+t1−t
∣∣+ C za |t| < 1
12
ln∣∣1+tt−1
∣∣+ C za |t| > 1,
dobimo na koncu ∫cshx dx = − ln
∣∣∣∣1 + e−x
1− e−x
∣∣∣∣+ C.
38
3.7 Razvoji v potencne vrste
Zvezno funkcijo ene spremenljivke f(x), ki je v okolici tocke x = a neskon-
cnokrat odvedljiva, lahko zapisemo v obliki potencne vrste kot
f(a+ h) = f(a) +h
1!f ′(a) +
h2
2!f ′′(a) + . . .+
hn
n!f (n)(a) +Rn (3.8)
Ta formula se imenuje Taylorjeva vrsta, clen Rn pa je ostanek vrste, definiran
kot razlika med f(a+ h) in izrazom
f(a) +h
1!f ′(a) +
h2
2!f ′′(a) + . . .+
hn
n!f (n)(a)
in ga izracunamo kot
Rn =hn+1
(n+ 1)!f (n+1)(a+ ϑh), 0 < ϑ < 1.
Formula (3.8) se za a = 0 in h = x glasi
f(x) = f(0) +x
1!f ′(0) +
x2
2!f ′′(0) + . . .+
xn
n!f (n)(0) +Rn, (3.9)
ostanek Rn pa ima zdaj obliko
Rn =xn+1
(n+ 1)!f (n+1)(ϑx), 0 < ϑ < 1.
Tudi potencne vrste hiperbolicnih funkcij bomo razvili s pomocjo razvoja
potencne vrste eksponentne funkcije f(x) = ex.
Zaporedni odvodi funkcije ex so
f ′(x) = f ′′(x) = . . . = f (n)(x) = ex,
torej je
f(0) = f ′(0) = f ′′(0) = . . . = f (n)(0) = 1.
Taylorjeva vrsta (3.9) se v tem primeru glasi
ex = 1 +x
1!+x2
2!+ . . .+
xn
n!+Rn.
39
Ostanek Rn lahko zapisemo kot
Rn =xn+1
(n+ 1)!eϑx = eϑx
x
1· x
2· x
3· . . . · x
n+ 1.
Ce je le n dovolj velik, lahko postane Rn tako majhen, kot zelimo. Naj bo
sedaj m najvecje celo stevilo, ki je manjse od |x|. Produkt
eϑxx
1· x
2· x
3· . . . · x
m
ima neko koncno vrednost, vsi nadaljni faktorji v Rnx
m+1· xm+2· . . . · x
n+1pa
so absolutno manjsi od 1. Zato velja
limn→∞
Rn = 0.
Torej je vrsta
ex = 1 +x
1!+x2
2!+x3
3!+ . . . =
∞∑n=0
xn
n!
absolutno konvergentna za vsak x. [11]
Razvijmo sedaj v vrsti funkciji sh in ch.
shx =ex − e−x
2
=1
2
(∞∑n=0
xn
n!−∞∑n=0
(−x)n
n!
)=
1
2
(1− 1 +
x
1!− −x
1!+x2
2!− x2
2!+x3
3!− (−x)3
3!+ . . .
)=
1
2
(2 · x
1!+ 2 · x
3
3!+ 2 · x
5
5!+ 2 · x
7
7!+ . . .
)= x+
x3
3!+x5
5!+x7
7!+ . . .
=∞∑n=0
x2n+1
(2n+ 1)!
40
chx =ex + e−x
2
=1
2
(∞∑n=0
xn
n!+∞∑n=0
(−x)n
n!
)=
1
2
(1 + 1 +
x
1!+−x1!
+x2
2!+
(−x)2
2!+x3
3!+
(−x)3
3!+ . . .
)=
1
2
(2 + 2 · x
2
2!+ 2 · x
4
4!+ 2 · x
6
6!+ . . .
)= 1 +
x2
2!+x4
4!+x6
6!+ . . .
=∞∑n=0
x2n
(2n)!
Obe vrsti sta absolutno konvergentni za vsak realen x.
Kako se v vrsto razvijeta funkciji th in cth zaradi kompleksnosti ne bomo
izpeljevali, vseeno pa ju zapisimo [10]:
thx = x−x3
3+
2x5
15−17x7
315+. . .+
22n(22n − 1)B2nx2n−1
(2n)!+. . . −π
2< x <
π
2
in
cthx =1
x+x
3− x3
45+
2x5
945− . . .+ 22nB2nx
2n−1
(2n)!+ . . . − π < x < π .
Z Bk so oznacena Bernoullijeva stevila, ki so definirana s pomocjo razvoja
x
ex − 1= B0 +B1
x
1!+B2
x2
2!+B3
x3
3!+ . . . =
∞∑n=0
Bnxn
n!za |x| < 2π .
41
Poglavje 4
Analogija s trigonometricnimi
funkcijami
4.1 Trigonometricne funkcije
Trigonometricne funkcije prav tako kot hiperbolicne pripadajo transcendent-
nim funkcijam in so tesno povezane s stoznicami. Temeljijo na presekih s
kroznimi loki kroznice x2 + y2 = 1.
Za ostre kote so definirane v pravokotnem trikotniku s hipotenuzo c, nasproti
lezeco kateto a in prilezno kateto b (slika 4.1):
sinus: sinα = ac
kosinus: cosα = bc
tangens: tgα = ab
kotangens: ctgα = ba
sekans: scα = cb
kosekans: cscα = ca
Trigonometricne funkcije pa lahko definiramo tudi na enotskem krogu, kjer
merimo kot α od polmera OA do pomicnega polmera OC v nasprotni smeri
43
Slika 4.1: Pravokotni trikotnik.
vrtenja urinega kazalca (slika 4.2). Z enotskim krogom (OA = R = 1) lahko
funkcije opredelimo kot:
sinus: sinα = BC
kosinus: cosα = OB
tangens: tgα = AD
kotangens: ctgα = EF
sekans: scα = OD
kosekans: cscα = OF
Slika 4.2: Enotski krog.
Za tako definirane trigonometricne funkcije lahko argument predstavlja sre-
discni kot ali pa tudi ploscino kroznega izseka p, ki pripada srediscnemu kotu
2α, saj za R = 1 velja
p =1
2R2 · 2α = α.
44
Tako je tudi sin p = BC, cos p = OB, tg p = AD, ctg p = EF , sc p = OD in
csc p = OF . [1], [10]
4.2 Geometrijska razlaga hiperbolicnih funkcij
Hiperbolicne funkcije razlozimo podobno kot trigonometricne s ploscinskim
argumentom, le da namesto kroznega izseka kroga, danega z enacbo x2+y2 =
1, obravnavamo ustrezni izsek hiperbole, dane z enacbo x2 − y2 = 1 (slika
4.3). Na hiperboli si izberemo tocko C(x, y). Ustreza ji natanko en t ∈ R,
tako da velja
sh t = BC = y, ch t = OB = x, th t = AD.
Povezan je s srediscnim kotom α, in sicer velja tgα = th t. Sedaj s crko p
oznacimo ploscino obarvanega lika OCAE (slika 4.3). Ploscina polovice tega
lika, torej lika OCA, je enaka ploscini trikotnika OCB, od katere odstejemo
ploscino hiperbolnega odseka ABC. Imamo torej
1
2p =
1
2xy −
∫ x
1
√x2 − 1dx.
S pomocjo integracije per partes izracunamo desni integral in dobimo
1
2p =
1
2xy − 1
2x√x2 − 1 +
1
2ln(x+√x2 − 1
).
In ker je y =√x2 − 1, sledi
1
2p =
1
2xy − 1
2xy +
1
2ln(x+√x2 − 1
)=
1
2ln(x+√x2 − 1
)=
1
2Ar ch x
45
Slika 4.3: Enotska hiperbola.
Ce izrazimo sedaj x s polovicno tetivo BC, torej x =√y2 + 1, je ploscina p
enaka
p = Ar sh y.
In ker velja
sh t = y ⇐⇒ t = Ar sh y,
je tudi tu zveza med parametrom t in ploscimo p
p = t.
Argument pri prej definiranih hiperbolicnih funkcijah torej predstavlja plosci-
no izseka hiperbole OCAE. Tako lahko zapisemo tudi sh p = BC, ch p = OB
in th p = AD. [1], [11]
46
4.3 Hiperbolicne in trigonometricne funkcije
v kompleksni ravnini
V kompleksni ravnini lahko hiperbolicne in trigonometricne funkcije pred-
stavimo z istimi funkcijami in jih transformiramo ene v druge s pomocjo
kompleksnega argumenta.
Spomnimo se najprej Taylorjevih vrst za trigonometricni funkciji sin in cos
ter za eksponentno funkcijo x 7→ ex:
sinx = x− x3
3!+x5
5!− x7
7!+ . . .
cosx = 1− x2
2!+x4
4!− x6
6!+ . . .
ex = 1 +x
1!+x2
2!+x3
3!+ . . . (4.1)
Vse tri vrste so absolutno konvergentne za vsak realen, pa tudi kompleksen
x [11]. Smiselno je vpeljati za vsak kompleksen z
ez = 1 +z
1!+z2
2!+z3
3!+ . . . (4.2)
Sedaj si poglejmo, kaj se z vrsto (4.2) zgodi, ce za eksponent vzamemo cisto
imaginarno stevilo, torej z = ix, kjer je x realno stevilo, za i pa velja i2 = −1:
eix = 1 + ix− x2
2!− ix3
3!+x4
4!+ . . . (4.3)
Ce v vrsti (4.3) locimo realne in imaginarne clene, dobimo
eix =
(1− x2
2!+x4
4!− x6
6!+ . . .
)+ i
(x− x3
3!+x5
5!− x7
7!+ . . .
)
Opazimo, da smo v oklepaja zapisali ravno vrsti za funkciji sin in cos. Torej
lahko zapisemo
eix = cosx+ i sinx . (4.4)
47
Ce spremenljivki x spremenimo predznak, torej x→ −x, dobimo
e−ix = cosx− i sinx . (4.5)
Sedaj enkrat sestejemo in enkrat odstejemo enakosti (4.4) in (4.5) in dobimo
eix + e−ix = 2 cos x
in
eix − e−ix = 2i sinx
in od tod Eulerjevi formuli1
cosx =eix + e−ix
2
in
sinx =eix − e−ix
2i.
Pri imaginarnem kotu ti dve enacbi postaneta
cos(ix) =e−x + ex
2(4.6)
in
sin(ix) =e−x − ex
2i. (4.7)
Primerjajmo sedaj enacbi (4.6) in (4.7) z definicijama hiperbolicnih funkcij
sh in ch:
cos(ix) = chx (4.8)
in
sin(ix) = i shx . (4.9)
1Eulerjeva formula — matematicna formula v kompleksni analizi, imenovana po
svicarskem matematiku, fiziku in astronomu Leonhardu Eulerju (1707–1783), ki povezuje
trigonometricne funkcje in kompleksno eksponentno funkcjo. [16]
48
Funkciji tg in ctg lahko pri kompleksnem argumentu z pisemo kot
tg z =sin z
cos z=
1
i
eiz − e−iz
eiz + e−iz=
1
i
e2iz − 1
e2iz + 1
in
ctg z =cos z
sin z= i
eiz + e−iz
eiz − e−iz= i
e2iz + 1
e2iz − 1.
Pri imaginarnem argumentu imamo tako
tg(ix) =sin(ix)
cos(ix)=i shx
chx= i thx
in
ctg(ix) =cos(ix)
sin(ix)=
chx
i shx= −i cthx .
Tako smo dobili povezave med hiperbolicnimi in trigonometricnimi funkci-
jami s pomocjo kompleksnega argumenta. [11]
49
Poglavje 5
Zveza z diferencialnimi
enacbami
5.1 Veriznica
Tanka, gibka, neraztegljiva in homogena nit ali veriga, ki jo obesimo v
dveh tockah tako, da prosto visi, zaradi teznosti po umiritvi zavzame ob-
liko krivulje, ki ji pravimo veriznica. [26]
Slika 5.1: Veriga.
51
Slika 5.2: The Gateway Arch. [14]
O krivulji, ki ima obliko v dveh koncih vpete verige, je razmisljal ze Galileo
Galilei (1564–1642), vendar pa je bila po njegovem prepricanju ta krivulja
parabola. Znacilnosti veriznice je kot prvi zacel raziskovati Robert Hooke
(1635–1703) v 70. letih 17. stoletja, enacbo zanjo pa so na pobudo Jakoba
Bernoullija (1654–1705) leta 1691 izpeljali Gottfried Wilhelm Leibniz (1646–
1716), Christiaan Huygens (1629–1695) in Johann Bernoulli (1667–1748).
Ugotovili so, da je veriznica graf funkcije hiperbolicni kosinus. [14]
Slika 5.3: Primer preprostega visecega mostu. [13]
Veriznica je zelo pomembna v arhitekturi in gradbenistvu pri gradnji mostov
in obokov. Oboki, ki so zgrajeni v obliki pokoncne veriznice, so namrec zelo
52
Slika 5.4: Golden Gate Bridge. [14]
trdni in se ne zrusijo pod lastno tezo, saj so kamni, iz katerih so zgrajeni,
le stisnjeni. Oboki drugacnih oblik pa radi pokajo. Primer takega oboka je
The Gateway Arch (slika 5.2), ki stoji v mestu St. Louis v ameriski zvezni
drzavi Missouri.
Prav tako kot prosto viseca veriga, vpeta v dveh tockah, dobi obliko veriznice
tudi preprost viseci most (slika 5.3). Ostali viseci mostovi, kot na primer
Golden Gate Bridge (slika 5.4) v San Franciscu v Californii, pa zaradi teze
konstrukcije, ki jo nosijo, zavzamejo obliko parabole. [8], [14]
5.1.1 Fizikalni dokaz enacbe veriznice
Enacba veriznice se glasi
y = a chx
a.
Pogledali si bomo fizikalni dokaz te trditve.
Na verigi, ki jo obesimo v dveh tockah tako, da prosto visi, si izberemo
tocki A in B, kot kaze slika (5.5). Tocki nista na isti vertikali. Na del verige
med tema dvema tockama delujejo tri sile: sila teze ~Fg, tangentna sila na
53
Slika 5.5: Sile, ki delujejo na del verige med tockama A in B.
verigo −~F v tocki A in tangentna sila na verigo ~F + d~F v tocki B. Ker
veriga miruje, so vse tri sile v ravnovesju, torej mora biti njihova vsota enaka
nic tako v smeri osi x kot v smeri osi y. Torej:
−Fx + Fx + dFx = 0 =⇒ dFx = 0
−Fy + Fy + dFy − Fg = 0 =⇒ dFy = Fg
Silo teze obravnavanega dela verige lahko pisemo kot
Fg = dmg = σ0 g ds,
kjer je σ0 specificna gostota verige, ds dolzina obravnavanega dela verige in
g teznostni pospesek. Torej je
dFy = σ0 g ds
oziromadFyds
= σ0 g. (5.1)
Izrazimo sedaj sili Fx in Fy s kotom ϕ:
Fx = F cosϕ = F0 = konst. =⇒ F =F0
cosϕ
54
Fy = F sinϕ =F0
cosϕ· sinϕ = F0 tgϕ
In ker velja
tgϕ =dy
dx= y′,
je
Fy = F0y′. (5.2)
Iz enacb (5.1) in (5.2) sledi
d(F0y′)
ds= σ0 g
in dalje
F0 ·dy′
dx· dxds
= σ0 g,
torej
F0y′′ = σ0 g ·
ds
dx. (5.3)
Spomnimo se na izrek:
Izrek 19. [4] Graf funkcije f , ki je zvezno odvedljiva na odseku [α, β], ima
dolzino
l =
∫ β
α
√1 + (f ′(x))2 dx . (5.4)
S pomocjo izreka (19) lahko sedaj enacbo (5.3) zapisemo kot
F0 y′′ = σ0 g ·
√1 + y′2
oziroma
y′′ =σ0 g
F0
·√
1 + y′2 .
Konstanto poenostavimo z
a =F0
σ0 g
55
in dobimo diferencialno enacbo veriznice
y′′ =1
a
√1 + y′2 . (5.5)
Na tem mestu uvedemo novo spremenljivko p = y′ in iz enacbe (5.5) dobimo
p′ =1
a
√1 + p2 =
dp
dx.
Z integriranjem enakosti ∫dp√
1 + p2=
∫dx
a
dobimo
Ar sh p =x− x0
a, (5.6)
kjer je x0 integracijska konstanta. V enacbo (5.6) vstavimo p = y′ in dobimo
y′ = shx− x0
a=dy
dx.
Z integriranjem enakosti ∫dy =
∫shx− x0
adx
dobimo splosno enacbo veriznice
y = f(x) = a chx− x0
a+ y0 , (5.7)
kjer je y0 druga integracijska konstanta. [14], [12]
5.1.2 Veriznica skozi dve tocki
Skozi tocki T1(α,A) in T2(β,B) naj poteka veriznica dolzine l, ki jo opisuje
enacba (5.7). Za tocki T1 in T2 naj bo α < β. Pri tem mora biti izpolnjen
pogoj |T1T2| < l, torej
(β − α)2 + (B − A)2 < l2 .
56
Najprej odvajamo funkcijo f(x) = y iz enacbe (5.7) in dobimo
f ′(x) = (a chx− x0
a+ y0)
′ = shx− x0
a.
To vstavimo v enacbo (5.4) in dobimo
l = a shx− x0
a
∣∣∣βα
= a
(shβ − x0
a− sh
α− x0
a
).
Uporabimo posledico adicijskih izrekov (18) in dobimo
l = 2a chβ + α− 2x0
2ashβ − α
2a. (5.8)
Veljata tudi enakosti
A = a chα− x0
a+ y0 (5.9)
in
B = a chβ − x0
a+ y0 . (5.10)
Ce enacbo (5.9) odstejemo od enacbe (5.10), dobimo
B − A = a chβ − x0
a+ y0 − a ch
α− x0
a− y0 = a
(chβ − x0
a− ch
α− x0
a
)
S pomocjo posledice adicijskih izrekov (16) imamo sedaj
B − A = 2a shβ + α− 2x0
2ashβ − α
2a. (5.11)
Sedaj med seboj delimo enacbi (5.8) in (5.11) in dobimo
B − Al
= thβ + α− 2x0
2a. (5.12)
57
Med funkcijama sh in th velja zveza (3.4), zato lahko zapisemo
shβ + α− 2x0
2a=
th β+α−2x0
2a√1− th2 β+α−2x0
2a
=B − A
l√
1−(B−Al
)2 .To vstavimo v enakost (5.11) in dobimo
B − A = 2aB − A
l√
1−(B−Al
)2 shβ − α
2a. (5.13)
V primeru, ko je A = B, iz enakosti (5.12) sledi
thβ + α− 2x0
2a= 0 =⇒ β + α− 2x0
2a= 0 =⇒ α + β
2= x0 ,
saj velja th 0 = 0. V tem primeru iz enakosti (5.8) sledi
l
2a= sh
β − α2a
=β − α
2a· l
β − α,
saj je ch 0 = 1.
Ce A 6= B, iz (5.13) dobimo
shβ − α
2a=
l
2a
√1−
(B − Al
)2
=β − α
2a· l
β − α
√1−
(B − Al
)2
.
Poenostavimo z vpeljavo konstante
ρ =l
β − α
√1−
(B − Al
)2
in nove neznanke
z =β − α
2a. (5.14)
Iscemo torej pozitivni koren z0 enacbe
sh z = ρz , (5.15)
58
torej koordinato x preseka krivulje sh z in premice ρz. Opazimo, da ima
enacba pozitivno resitev le v primeru, ko je ρ > 1. Enacbo (5.15) resimo
numericno. Ko dobimo z0, lahko s pomocjo enakosti (5.14) izrazimo se
a =β − α
2z0
, (5.16)
iz enakosti (5.12) dobimo
x0 =α + β
2− aAr th
B − Al
(5.17)
in iz enakosti (5.9)
y0 = A− a chα− x0
a. (5.18)
Tako smo dobili enacbe za vse tri neznanke, torej za a, x0 in y0.
Dolocimo sedaj minimum obravnavanega dela veriznice. Vemo, da je sta-
cionarna tocka funkcije tista tocka, v kateri je prvi odvod funkcije enak nic,
v tem primeru je torej
shx− x0
a= 0 .
Ker velja sh 0 = 0, je x = x0. Iz splosne enacbe veriznice dobimo se
y = a ch 0 + y0 = a+ y0 .
Tako smo dobili koordinati iskanega minimuma T (x0, a+ y0).
Preverimo sedaj dobljene enakosti na primeru.
Za primer vzemimo verigo, dolgo 9 enot, ki smo jo obesili v tocki T1(1, 5)
in T2(6, 3). Tedaj je α = 1, A = 5, β = 6, B = 3 in l = 9.
Najprej izracunamo vrednost konstante ρ:
ρ =l
β − α
√1−
(B − Al
)2
= 1.7549929
59
Slika 5.6: Veriga, obesena v tocki T1 in T2.
Pri iskanju vrednosti z0 si pomagamo s programom Derive in dobimo z0 =
1.9384. Sedaj poiscimo se vrednosti spremenljivk a, x0 in y0 iz enakosti
(5.16), (5.17) in (5.18):
a =β − α
2z0
= 1.2897
x0 =α + β
2− aAr th
B − Al
= 3.7915
y0 = A− a chα− x0
a= −0.6906
Minimum je torej v tocki T (x0, a+ y0) = T (3.7915, 0.5991).
Nalogo preverimo se prakticno. Na steno obesimo list papirja z mrezo, na
kateri so oznacene tocke T1(1, 5), T2(6, 3) in izracunana tocka T (3.8, 0.6) (slika
5.6). Z bucikama pripnemo verigo, dolgo 9 enot, v dani tocki T1 in T2.
Tocka T se na sliki ne vidi, saj jo pokriva minimum veriznice, kar dokazuje
pravilnost izracunanih koordinat x0 in a+ y0. [12]
60
5.2 Dirichletov problem
Dirichletov problem je postopek iskanja funkcije, ki resi doloceno parcialno
diferencialno enacbo v notranjosti danega obmocja, ki zavzame neke vred-
nosti na robu tega obmocja. Imenuje se po nemskem matematiku Gustavu
Lejeuneu Dirichletu (1805–1859).
Dirichletov problem nastopa pri mnogih parcialnih diferencialnih enacbah,
ceprav je bil prvotno zasnovan le za Laplaceovo enacbo. V tem primeru
lahko problem zastavimo takole: dana je funkcija f z vrednostmi povsod po
robu obmocja v Rn. Ali obstaja enolicna zvezna funkcija u, ki je dvakrat
zvezno odvedljiva v notranjosti in zvezna na robu, tako da je harmonicna v
notranjosti, na robu pa velja u = f? Ta zahteva se imenuje Dirichletov robni
pogoj. [15]
Hiperbolicne funkcije najdemo v resitvah Dirichletovega problema za pra-
vokotnik 0 ≤ x ≤ a, 0 ≤ y ≤ b (slika 5.7). Iscemo resitev u(x, y) Laplaceove
diferencialne enacbe
∆u(x, y) =∂2u
∂x2(x, y) +
∂2u
∂y2(x, y) = 0 , (5.19)
ki zadosca robnim pogojem
u(0, y) = ϕ1(y), u(a, y) = ϕ2(y), u(x, 0) = ψ1(x), u(x, b) = ψ2(x) .
Slika 5.7: Dirichletov problem za pravokotnik.
61
Najprej poiscemo partikularno resitev za robne pogoje ϕ1(y) = ϕ2(y) = 0. Z
multiplikativno substitucijo u = X(x)Y (y) v enacbi (5.19) lahko zapisemo
X ′′Y +XY ′′ = 0 . (5.20)
Ce enacbo (5.20) delimo z XY , dobimo
X ′′
X+Y ′′
Y= 0
in je torejX ′′
X= −k in
Y ′′
Y= k ,
kjer je k > 0. Dalje lahko zapisemo
X ′′ + kX = 0 (5.21)
in
Y ′′ − kY = 0 . (5.22)
Dobljeni enacbi sta homogeni linearni diferencialni enacbi drugega reda.
Njuni resitvi najdemo s pomocjo vpeljave karakteristicnih enacb [2]. Najprej
resimo enacbo (5.21). Njena karakteristicna enacba je P (m) = m2 + k = 0,
ki jo dobimo iz nastavka X = emx. Splosna resitev enacbe (5.21) je
X(x) = C1 cos√k x+ C2 sin
√k x .
Podobno se lotimo enacbe (5.22). S pomocjo karakteristicne enacbe P (m) =
m2 − k = 0, ki jo tudi dobimo iz nastavka Y = emy, dobimo splosno resitev
Y (y) = D1 ch√k y +D2 sh
√k y .
Pri tem smo uporabili obrazca e±iα = cosα± i sinα in e±α = chα± shα.
Resitev Dirichletovega problema ni predstavljena do potankosti, pac pa le to-
liko, da sluzi svojemu namenu, to je prikazati uporabo hiperbolicnih funkcij
na konkretnem primeru. Celotno resitev Dirichletovega problema za pra-
vokotnik najdemo na primer v [1].
62
Poglavje 6
Zakljucek
Pri pisanju svojega diplomskega dela sem spoznala, da so hiperbolicne funkcije
veliko bolj zanimive in uporabne, kot bi si sprva mislila. Povezane so z ek-
sponentno funkcijo, preko kompleksnih funkcij s trigonometricnimi, njihovi
inverzi pa se izrazajo z logaritemsko funkcijo.
Uporabne so na mnogih podrocjih matematike in fizike. V tem diplomskem
delu sta predstavljena dva primera. Prvi primer je veriznica, ki je uporabna
predvsem na podrocju arhitekture in gradbenistva. Oboki, ki so zgrajeni v
obliki narobe obrnjene veriznice, so trdni in ne pokajo, saj vsak kamen na
nek nacin pociva na sosednjih. Lastnosti takih obokov uporabljajo tudi pri
gradnji kupol, saj so prav tako bolj trdne od ostalih. V drugem primeru pa
nakazemo uporabo hiperbolicnih funkcij pri resevanju Dirichletovega prob-
lema za pravokotnik.
Dejstvo je torej, da hiperbolicne funkcije pogosto srecujemo v vsakdanjem
zivljenju, le da jih dostikrat ne opazimo. Veriznica, na primer, se zelo malo
razlikuje od oblike parabole. Ljudje pa pri omembi hiperbolicnih funkcij
dostikrat niti ne vedo, katere funkcije so to.
63
Literatura
[1] Bronstejn, I. N., Semendjajev, K. A., Musiol, G. & Muhlig, H. (2009).
Matematicni prirocnik. Ljubljana: Tehniska zalozba Slovenije.
[2] Cencelj, M. (2003). Navadne diferencialne enacbe. Studijsko gradivo.
[3] Hairer, E. (1995). Analysis by Its History. New York: Springer-Verlag,
Inc.
[4] Klinc, T. (1994). Predavanja iz matematike. Del 1. Ljubljana: Fakulteta
za strojnistvo.
[5] Krizanic, F. (1990). Temelji realne matematicne analize. Ljubljana:
Drzavna zalozba Slovenije.
[6] Kurepa, S. (1970). Matematicka analiza, prvi dio. Zagreb: Tehnicka
knjiga.
[7] Lavric, B. (1990). Traktrisa. Presek, 17 (5), str. 17. Ljubljana: Drustvo
matematikov, fizikov in astronomov Slovenije.
[8] Likar, A. (1990). Veriga in obok. Presek, 18 (3), str. 130–133. Ljubljana:
Drustvo matematikov, fizikov in astronomov Slovenije.
[9] Razpet, M. & Razpet, N. (1998). Kvadratno kolo, veriznica in traktrisa.
Presek, 25 (5), str. 294–299. Ljubljana: Drustvo matematikov, fizikov
in astronomov Slovenije.
65
[10] Stocker, H. (2006). Matematicni prirocnik z osnovami racunalnistva.
Ljubljana: Tehniska zalozba Slovenije.
[11] Vidav, I. (1994). Visja matematika I. Ljubljana: Drustvo matematikov,
fizikov in astronomov Slovenije.
[12] Zakrajsek, E. (1999). Veriznica. Studijsko gradivo.
[13] Albania suspension bridge.
URL=http://en.wikipedia.org/wiki/
File:Albania suspension bridge.jpg (05.06.2012)
[14] Catenary.
URL=http://en.wikipedia.org/wiki/Catenary (04.06.2012)
[15] Dirichlet problem.
URL=http://en.wikipedia.org/wiki/Dirichlet problem
(08.06.2012)
[16] Eulerjeva formula.
URL=http://sl.wikipedia.org/wiki/Eulerjeva formula
(11.06.2012)
[17] Graph of the 4-Petal Rose.
URL=http://www.jtaylor1142001.net/calcjat/Solutions/Polar/
Coordinates-Graphs/Rose-4/4-Petal-Leaf-L.htm (12.03.2011)
[18] Hyperbolic function.
URL=http://en.wikipedia.org/wiki/Hyperbolic function
(02.12.2010)
[19] Hyperbolic functions.
URL=http://www.mathcentre.ac.uk/resources/workbooks/
mathcentre/hyperbolicfunctions.pdf (02.12.2010)
66
[20] Johann Heinrich Lambert.
URL=http://en.wikipedia.org/wiki/Johann Heinrich Lambert
(15.05.2012)
[21] Johann Heinrich Lambert.
URL=http://sl.wikipedia.org/wiki/Johann Heinrich Lambert
(15.05.2012)
[22] Johann Heinrich Lambert.
URL=http://spider.seds.org/spider/Misc/lambert.html
(15.05.2012)
[23] Johann Lambert.
URL=http://www.robertnowlan.com/pdfs/Lambert,%20Johann.pdf
(02.04.2012)
[24] Lambert conformal conic projection.
URL=http://en.wikipedia.org/wiki/
File:Lambert conformal conic projection SW.jpg (15.05.2012)
[25] Lambert, Johann Heinrich.
URL=http://www.daviddarling.info/encyclopedia/L/Lambert.html
(15.05.2012)
[26] Razpet, M. (2010). Veriznica. Izlet v matematicno vesolje.
URL=http://izleti.famnit.upr.si/201011/slides/
FAMNITvesolje2010-Razpet.pdf (17.5.2012)
[27] Riccati equation.
URL=http://en.wikipedia.org/wiki/Riccati equation
(12.03.2011)
[28] Riccati, Vincent.
URL=http://words.fromoldbooks.org/Chalmers-Biography/r/
riccati-vincent.html (15.05.2012)
67
[29] Riccati, Vincenzo.
URL=http://www.encyclopedia.com/doc/1G2-2830903650.html
(12.01.2011)
[30] Special Functions.
URL=http://www.ms.uky.edu/~droyster/courses/fall06/PDFs/
Chapter09.pdf (15.05.2012)
[31] Strofoida.
URL=http://sl.wikipedia.org/wiki/Strofoida (12.03.2011)
[32] Transcendentno stevilo.
URL=http://sl.wikipedia.org/wiki/Transcendentno %C5%A1tevilo
(28.03.2012)
[33] Vincent Riccati.
URL=http://www.faculty.fairfield.edu/jmac/sj/scientists/
riccati.htm (12.01.2011)
[34] Vincenzo Riccati.
URL=http://en.wikipedia.org/wiki/Vincenzo Riccati
(15.05.2012)
[35] Vincenzo Riccati.
URL=http://www-history.mcs.st-and.ac.uk/Biographies/
Riccati Vincenzo.html (15.05.2012)
68
