UNIVERSITATEA „ȘTEFAN CEL MARE” SUCEAVA FACULTATEA DE INGINERIE MECANICĂ

Ing. Dorel PRODAN

CERCETĂRI PRIVIND CONTACTUL CIRCULAR CONCENTRAT AL SUPRAFEŢELOR RUGOASE ÎN DOMENIUL ELASTOPLASTIC

TEZĂ DE DOCTORAT (Rezumat)

Conducător știinţific: Profesor doctor inginer Emanuel DIACONESCU

Membru Corespondent al Academiei Române

Suceava 2005

1

CUPRINS (teză) INTRODUCERE....................................................................................................... 6 Capitolul 1 CONCEPTUL DE CALITATE A STRATULUI SUPERFICIAL.. 9 1.1 Generalităţi...................................................................................................... 9 1.2 Calitatea fizico-mecanică a stratului superficial………………..................... 9 1.3 Microstructura stratului superficial……………………………..................... 9 1.4 Compoziţia chimică a stratului superficial………………….………............. 10 1.5 Tensiuni iniţiale în stratul superficial……………………………….............. 10 1.6 Calitatea geometrică a suprafeţei.…………………………........................... 10 1.6.1 Clasificarea abaterilor geometrice ale suprafeţei...............……............ 10 1.6.2 Sistemul liniei medii de evaluare a calităţii geometrice a suprafeţei.............................................................................................. 11 1.6.3 Analiza statistică a microtopografiei suprafeţei……............................. 11 1.6.3.1 Statistica microtopografiei unidimensionale……………............ 11 1.6.3.2 Statistica microtopografiei bidimensionale……………….......... 11 1.6.4 Analiza spectrală a microtopografiei suprafeţei………………............ 12 1.6.4.1 Analiza spectrală a profilului……………………………............ 12 1.6.4.2 Analiza spectrală a suprafeţei……………………………........... 12 1.6.5. Analiza fractală a microtopografiei suprafeţei…………....….............. 13 1.7 Concluzii……………………………………………………………….......... 13 Capitolul 2 STADIUL ACTUAL AL CERCETĂRILOR PRIVIND EFECTUL MICROTOPOGRAFIEI SUPRAFEŢELOR ASUPRA CONTACTULUI TEHNIC USCAT ȘI CU UNGERE LIMITĂ....... 15 2.1 Scurt istoric al problemelor de contact............................................................ --- 2.2 Modele de corpuri deformabile....................................................................... 15 2.3 Elemente de teoria contactului elastic între suprafeţe netede......................... 16 2.3.1 Generalităţi……………………………………………………………. --- 2.3.2 Ipotezele elasticităţii.............................................................................. 16 2.3.3 Ecuaţiile fundamentale ale elasticităţii liniare....................................... 16 2.3.4 Metodica de rezolvare a problemelor de elasticitate............................. 16 2.3.5 Probleme fundamentale ale semispaţiului elastic.................................. 17 2.3.5.1 Problema lui Boussinesq.............................................................. 17 2.3.5.2 Problema lui Cerruti..................................................................... 17 2.3.5.3 Cazul general al unei forţe concentrate oblice............................. 17 2.3.5.4 Problema lui Flamant................................................................... 17 2.3.5.5 Principiul suprapunerii efectelor la semispaţiul elastic................ 18 2.3.6 Contactul hertzian.................................................................................. 18 2.3.6.1 Elementele contactului hertzian................................................... 19 2.3.6.2 Starea de tensiuni la contactul hertzian circular........................... 20

2

2.4 Elemente de teoria contactului elastoplastic între suprafeţe netede................ 20 2.4.1 Generalităţi……………………………………………………………. --- 2.4.2 Ipotezele plasticităţii.............................................................................. 20 2.4.3 Criterii de plasticitate............................................................................. 20 2.4.3.1 Criteriul de plasticitate Huber-Mises-Hencky.............................. 20 2.4.3.2 Criteriul de plasticitate Tresca...................................................... 20 2.4.3.3 Criteriul tensiunii principale reduse.............................................. 21 2.4.4 Teoriile plasticităţii................................................................................. 21 2.4.4.1 Teoria deformării plastice............................................................. 21 2.4.4.2 Teoria curgerii plastice................................................................. 21 2.4.5 Metodica de rezolvare a problemelor de plasticitate............................. 22 2.4.6 Contactul elastoplastic între suprafeţe netede........................................ --- 2.5 Stadiul actual al cercetărilor privind contactul între suprafeţe rugoase.......... 23 2.5.1 Contactul normal tehnic uscat între suprafeţe rugoase în domeniul elastic..................................................................................... --- 2.5.1.1 Contactul între suprafeţe rugoase plane........................................ --- 2.5.1.2 Contactul între o suprafaţã rugoasã planã și o sferă netedã rigidã.................................................................................. --- 2.5.1.3 Alte abordări ale contactului normal tehnic, uscat între suprafeţe rugoase, în domeniul elastic.......................................................... --- 2.5.2 Contactul normal tehnic uscat, între suprafeţe rugoase, în domeniul elastoplastic............................................................................. 23 2.6 Concluzii și direcţii de cercetare..................................................................... 26 Capitolul 3 FORMULAREA ȘI REZOLVAREA PROBLEMEI CONTACTULUI CIRCULA TEHNIC USCAT, ÎNTRE SUPRAFEŢE ONDULATE, ÎN DOMENIUL ELASTIC................ 28 3.1 Modelarea contactului normal elastic……………………………................. 28 3.2 Formularea generală a problemei contactului normal elastic……................. 30 3.2.1 Metoda variaţională……………………………………………........... 30 3.2.2 Metoda reziduurilor ponderate…………………………………........... 31 3.2.3 Metoda potenţialului complementar………………………….............. 31 3.3 Program de calcul numeric al distribuţiei de presiune la contactul circular tehnic uscat, între suprafeţe ondulate, în domeniul elastic................................ 33 3.3.1 Formularea matematică a problemei..…….…………………............... 33 3.3.2 Determinarea numerică a distribuţiei de presiune…………………...... 34 3.3.3 Rezultate numerice……..…………………………............................... 34 3.4 Program de calcul numeric al stării de tensiuni și de deformaţii dintr-un semispaţiu elastic, încărcat pe suprafaţă cu sarcini normale…………………. 35 3.4.1 Formularea matematică a problemei…….............................................. 35 3.4.2 Determinarea numerică a stării de tensiuni și de deformaţii.................. 35 3.4.3 Rezultate numerice………………………………...................….......... 36 3.5 Concluzii………………………………………………………..................... 40

3

Capitolul 4 FORMULAREA ȘI REZOLVAREA PROBLEMEI CONTACTULUI CIRCULAR TEHNIC USCAT, ÎNTRE SUPRAFEŢE ONDULATE, ÎN DOMENIUL ELASTOPLASTIC…………………….…………. 42 4.1 Aspecte fenomenologice ale plasticităţii la solicitări uniaxiale……............... 42 4.2 Formularea generală a legilor de comportare elastoplastică la solicitări multiaxiale…………………………………………………............. --- 4.2.1 Criterii de plasticitate…………………………………………............. 42 4.2.2 Legi de curgere………………………………………………............... 42 4.2.3 Legi de ecruisare………………………………………………............ 43 4.3 Modele ale comportării elastoplastice…………………................................. 43 4.3.1 Elastoplasticitatea perfectă…………………………….……............... 43 4.3.2 Ecruisarea izotropă (Prandtl–Reuss)…………………………............... 43 4.3.3 Ecruisarea liniară (Prager)…………………………….......................... 43 4.3.4 Ecruisarea neliniară (Lemaître–Chaboche)……………........................ 44 4.4 Program de calcul numeric al distribuţiei de presiune la contactul circular tehnic uscat, între suprafeţe ondulate, în domeniul elastoplastic…...………... 44 4.4.1 Formularea matematică a problemei…………………………………... 44 4.4.2 Determinarea numerică a distribuţiei de presiune……………...…….... 45 4.4.3 Rezultate numerice…...……………..………………............................. 46 4.5 Program de calcul numeric al stărilor de tensiuni și de deformaţii la contactul circular tehnic uscat, între suprafeţe ondulate, în domeniul elastoplastic…….. 47 4.5.1 Formularea matematică a problemei…………………………………… 47 4.5.2 Determinarea numerică a stării de tensiuni și de deformaţii…………… 49 4.5.3 Rezultate numerice………………………………….............................. 49 4.6 Concluzii……………………………………………………………............... 49 Capitolul 5 INFLUENŢA ONDULAŢIILOR ȘI A ECRUISĂRII MATERIALULUI ASUPRA CONTACTULUI CIRCULAR TEHNIC USCAT, ÎN DOMENIUL ELASTOPLASTIC…............... 51 5.1 Introducere………………………………………………………….............. 51 5.2 Influenţa ondulaţiilor………………………………………………………... 51 5.3 Influenţa componentei aleatoare……………………………………………. 55 5.4 Influenţa ecruisării și a tipului de ecruisare………………………………… 60 5.5 Concluzii……………………………………………………………............. 61 Capitolul 6 INFLUENŢA MICROTOPOGRAFIEI SUPRAFEŢELOR REALE ASUPRA CONTACTULUI CIRCULAR TEHNIC USCAT, ÎN DOMENIUL ELASTOPLASTIC……….…….............. 63 6.1 Introducere…………………………………………………………............... 63 6.2 Influenţa microtopografiei suprafeţelor reale……………………………….. 63 6.3 Concluzii…………………………………………………………….............. 68 Capitolul 7 METODE ȘI MIJLOACE EXPERIMENTALE UTILIZATE LA INVESTIGAREA CONACTULUI ÎNTRE SUPRAFEŢE RUGOASE…........................................................................... .............. 70 7.1 Introducere…………………………………………………………............... 70

4

7.2 Profilometrul cu laser UBM-14…………………...……................................ 70 7.3 Standul de încărcare a contactului cu sarcină normală……............................ 71 7.4 Descrierea epruvetelor………………………………………………............. 72 7.5 Concluzii.......................................................................................................... 73 Capitolul 8 REZULTATE EXPERIMENTALE………………………............... 74 8.1 Introducere………………………………………………………….............. 74 8.2 Influenţa microtopografiei suprafeţelor reale asupra contactului circular tehnic uscat……………………………………………………….................. 74 8.3 Influenţa încărcării și a microtopografiei suprafeţelor asupra contactului circular tehnic uscat...................................................................... 76 8.4 Influenţa încărcării și a durităţii asupra contactului circular tehnic uscat...................................................................................................... 77 8.5 Influenţa microtopografiei suprafeţelor și a durităţii asupra contactului circular tehnic uscat.......................................................................................... 77 8.6 Influenţa microtopografiei suprafeţelor, a durităţii și a încărcării asupra contactului circular tehnic uscat............................................................ 78 8.7 Modificarea parametrilor de rugozitate în urma contactului elastoplastic...... 78 8.8 Concluzii…………………………………………………………….............. 81 Capitolul 9 CONCLUZII FINALE, CONTRIBUŢII PERSONALE ȘI DIRECŢII DE CERCETARE ULTERIOARĂ................................. 83 9.1 Concluzii finale............................................................................................... 83 9.1.1 Concluzii cu privire la definirea conceptului de calitate a stratului superficial…………………………………………………….. 83 9.1.2 Concluzii cu privire la stadiul actual al cercetărilor privind efectul microtopografiei suprafeţelor asupra contactului tehnic uscat și cu ungere limită……………………………………………….. 83 9.1.3 Concluzii cu privire la contactul circular, tehnic uscat, între suprafeţe ondulate, în domeniul elastic………………………………… 83 9.1.4 Concluzii cu privire la contactul circular, tehnic uscat, între suprafeţe ondulate, în domeniul elastoplastic…………………..……… 84 9.1.5 Concluzii cu privire la influenţa ondulaţiilor și a ecruisării materialului asupra contactului circular tehnic uscat, în domeniul elastoplastic…………………………………….………… 85 9.1.6 Concluzii cu privire la influenţa microtopografiei suprafeţelor reale asupra contactului circular tehnic uscat, în domeniul elastoplastic…... 86 9.1.7 Concluzii cu privire la metodele și mijloacele experimentale utilizate la investigarea contactului între suprafeţe rugoase reale……… 87 9.1.8 Concluzii cu privire rezultatele experimentle obţinute, precum și comprarea lor cu rezultatele teoretice obţinute numeric……………. 87 9.2 Contribuţii personale………………………………………………………… 88 9.2.1 Contribuţii personale în domeniul teoretic………………..…...……… 88 9.2.2 Contribuţii personale în domeniul experimental………………………. 90 9.2.3 Contribuţii personale în domeniul aplicativ……………………………. 91 9.3 Direcţii de cercetare ulterioară......................................................................... 91

5

9.3.1 Direcţii de cercetare teoretică…………………….……………………. 91 9.3.2 Direcţii de cercetare experimentală…………………….……...………. 91 ANEXA 1……………………………………………………………………............ --- ANEXA 2…………………………………………………………………................ --- ANEXA 3……………………………………………………………………............ --- BIBLIOGRAFIE…………………………………………………………............... 92

6

INTRODUCERE Importante organe de mașini, precum angrenajele, rulmenţii, lagărele, camele, ghidajele sau segmenţii de motor conţin cuple cinematice prin care pun în contact suprafeţe conjugate, separate sau nu printr-o peliculă de lubrifiant și transmit forţe însemnate în condiţii de mișcare relativă. Atunci când aceste suprafeţe nu prezintă un grad de conformitate suficient, sarcina transmisă se repartizează ca tracţiune, pe o arie de contact de mici dimensiuni care rezultă ca urmare a deformaţiilor locale produse de încărcare. Știinţa care se ocupă de problematica specifică a contactelor mecanice este mecanica contactului. Studiul sistematic al contactelor neconforme a început prin lucrarea lui Hertz în 1882. El a considerat cazul corpurilor elastice, mărginite de suprafeţe paraboloidale netede și fără frecare. În practică, aceste condiţii restrictive nu sunt îndeplinite de multe ori, din cauza prezenţei unui film de lubrifiant care separă suprafeţele, existenţei frecării, a unei rugozităţi caracteristice suprafeţelor reale sau datorită deformaţiilor plastice care apar în materiale peste un anumit nivel de solicitare. Restricţiile impuse de Hertz au putut fi înlăturate abia spre sfârșitul secolului XX, ca urmare a apariţiei și utilizării unor tehnici și echipamente de calcul din ce în ce mai performante. Astfel, în ceea ce privește lubrificaţia, există delimitări concrete cu privire la regimurile în care aceasta se desfășoară: hidrodinamic, elasto-hidrodinamic, mixt sau limită. Luarea în calcul a frecării care apare între corpuri a permis teoriei să mai înainteze cu un pas spre cazul real al contactelor cu rostogolire și/sau alunecare. Dezvoltarea teoriei plasticităţii a permis, de asemenea, estimarea, cu rezultate confirmate experimental, a tensiunilor și deformaţiilor pentru diferite modele de corpuri neelastice. În sfârșit, luarea în calcul a efectului asperităţilor suprafeţelor este absolut necesară datorită puternicii influenţe exercitate de aceasta asupra distribuţiei de presiune pe aria de contact și implicit asupra tensiunilor din imediata vecinătate a domeniului contactului, mai ales în cazul unei lubrificaţii imperfecte. Calculul contactelor rugoase cu ajutorul unui model elastic arată că tensiunile depășesc, în mod curent, limita de curgere a materialelor. Se impune așadar studierea efectului rugozităţii asupra solicitărilor din stratul superficial al solidelor aflate în contact și în domeniul elastoplastic. Analiza efectuată în cadrul acestei lucrări privește modul de comportare al unui contact circular concentrat nelubrifiat, mărginit de suprafeţe rugoase, în domeniul elastoplastic. Se are în vedere distribuţia de presiune, starea de tensiuni și de deformaţii a unor contacte circulare de diferite dimensiuni, materialul corpurilor în contact fiind oţel de rulmenţi cu diferite durităţi. Conceptul de calitate a suprafeţelor de contact care include, pe lângă calitatea macro, respectiv microgeometrică (rugozitatea), unele proprietăţi fizico-mecanice și chimice a stratului superficial, cum ar fi: microduritatea, microstructura, compoziţia chimică și tensiunile iniţiale, este prezentat în primul capitol al lucrării, insistându-se asupra definirii și metodelor de analiză a microtopografiei suprafeţelor.

7

Capitolul al doilea prezintă un studiu bibliografic privind problemele contactului tehnic uscat. După un scurt istoric, sunt trecute în revistă câteva elemente de teoria contactului elastic între suprafeţe netede. Apoi, sunt prezentate elementele de bază ale teoriei plasticităţii care au o implicare directă în problemele de contact. Contactul între suprafeţe rugoase este analizat în funcţie de tipul încărcării (normală și/sau tangenţială) pentru două domenii distincte de funcţionare (elastic și elastoplastic). Din această analiză se desprind o serie de concluzii precum și principalele direcţii de cercetare. Capitolul al treilea este consacrat problemei contactului tehnic uscat între suprafeţe ondulate, în domeniul elastic. După modelarea acestui tip de contact, sunt prezentate principalele formulări generale ale problemei, întâlnite în literatura de specialitate. Cele două programe de calcul numeric realizate în acest capitol permit calculul și reprezentări grafice 3-D ale suprafeţei înainte și după deformare, a distribuţiei de presiune și a ariei de contact, a stării de tensiuni pe și sub suprafaţă și a deformaţiei elastice, după direcţia normalei la suprafaţa de contact, pentru sarcini normale și/sau tangenţiale. Capitolul al patrulea este destinat, în principiu, rezolvării acelorași probleme, dar în domeniul elastoplastic. După prezentarea principalelor aspecte fenomenologice ale plasticităţii în cazul solicitărilor uniaxiale, sunt arătate legile generale și particulare ale comportării elastoplastice. Sunt elaborate două programe de calcul numeric pentru calculul și reprezentarea grafică 3-D a următoarelor elemente: distribuţia de presiune, suprafaţa înainte și după deformare, aria de contact, stările de tensiuni pe și sub suprafaţă, deformaţia elastoplastică după direcţia normalei la suprafaţa de contact pentru sarcini normale și/sau tangenţiale, în cazul elastic-perfect plastic, respectiv elastoplastic cu ecruisare liniară și neliniară. În ambele capitole 3 și 4 se prezintă câteva rezultate obţinute cu programele elaborate pentru contactul circular între o suprafaţă sferică ondulată și semispaţiul elastic. Capitolul al cincilea reprezintă un studiu numeric privind influenţa caracteristicilor ondulaţiilor (amplitudine și pas) asupra mărimii deformaţiei elastoplastice dintr-un contact circular tridimensional. S-a considerat și o componentă aleatoare suprapusă peste componenta periodică a ondulaţiei. Sunt analizate cazurile elastic-perfect plastic și elastoplastic cu ecruisare liniară, respectiv neliniară. Capitolul al șaselea reia analiza din capitolul precedent pentru o suprafaţă reală a unei bile de rulment, ridicată cu ajutorul profilometriei cu laser. Sunt analizate trei dimensiuni ale bilei, fiecare având câte trei grade de finisare: rectificare, lepuire de degroșare și lepuire de finisare. Rezultatele obţinute pentru cazul ecruisării neliniare sunt cele mai apropiate de realitate. Reprezentările grafice bidimensionale și tridimensionale prezintă distribuţia de presiune, starea de tensiuni, apropierea corpurilor aflate în contact, deformaţia remanentă. Ele au permis tragerea unor concluzii privind influenţa microtopografiei reale a suprafeţelor în contact asupra solicitărilor si deformaţiilor. Capitolul al șaptelea prezintă metodele și mijloacele care au stat la baza realizării încercărilor experimentale: profilometrul cu laser (UBM-14), standul de încărcare a contactului cu sarcină normală, precum și tipul și caracteristicile epruvetelor utilizate. Capitolul al optulea prezintă rezultatele experimentale propriu-zise. Este analizată forma și mărimea (diametrul și adâncimea) deformaţiei remanente în cazul contactului circular încărcat cu sarcină normală, în domeniul elastoplastic. Rezultatele obţinute sunt comparate cu cele teoretice și arată o bună concordanţă atât în ceea ce privește forma cât și mărimea deformaţiilor remanente. Tot aici sunt redate și o serie de încercări din care rezultă

8

influenţa durităţii asupra deformaţiei plastice. Se reprezintă și influenţa cumulată a doi, respectiv trei parametri asupra deformaţiei remanente. De asemenea, este ilustrată modificarea principalilor parametri de rugozitate în urma contactului elstoplastic. Capitolul al nouălea prezintă sintetic concluziile tezei în domeniul teoretic, experimental și aplicativ, precum și contribuţiile autorului asupra temei tratate. Se prefigurează, de asemenea, și principalele direcţii de cercetare deschise de această teză. Bibliografia cuprinde un număr de 184 referinţe clasice și moderne, care acoperă întreaga problematică a tezei. Anexa 1 conţine programul de calcul numeric al distribuţiei de presiune și al stărilor de tensiuni și de deformaţii pentru contactul circular tehnic uscat, între suprafeţe ondulate, în domeniul elastic. Anexa 2 prezintă subprogramul de calcul numeric al stării de tensiuni folosit pentru reprezentarea prin curbe de nivel a acestora. Anexa 3 conţine programul de calcul numeric al distribuţiei de presiune și al stărilor de tensiuni și de deformaţii pentru contactul circular tehnic uscat, între suprafeţe ondulate, în domeniul elastoplastic. Acest program este folosit și pentru contactul circular tehnic uscat, între suprafeţe rugoase reale.

9

Capitolul 1 CONCEPTUL DE CALITATE A STRATULUI SUPERFICIAL 1.1 Generalităţi Suprafaţa reală a unui corp este locul geometric al punctelor care separă corpul respectiv de mediul înconjurător. Calitatea suprafeţelor metalice este dată de caracteristicile care exprimă starea fizico-mecanică și chimică (microduritate, microstructură, compoziţie chimică, stare de tensiuni) și starea geometrică (abateri de formă și dimensionale macro și microgeometrice). Din punct de vedere știinţific, problema calităţii suprafeţelor rezultate prin îndepărtarea de material, cunoaște trei etape principale. Prima etapă corespunde studiului legilor de formare a asperităţilor și stabilirii metodelor de lucru pentru asigurarea calităţii din acest punct de vedere. În cea de-a doua etapă, studiile s-au ocupat de constituirea unui criteriu al înălţimii asperităţilor și orientării neregularităţilor precum și influenţa acestor factori asupra calităţii funcţionale a pieselor (rezistenţa la oboseală, la uzură, la coroziune). În această etapă s-a considerat modificarea mărimii neregularităţilor ca un remediu de bază pentru creșterea duratei de viaţă a pieselor și implicit a mașinilor. A treia etapă introduce studiul stării fizice a stratului superficial. Cercetarea legilor privind microduritatea stratului superficial în funcţie de modul și regimul de lucru, studiul formării tensiunilor în procesul uzinării și influenţa lor în funcţionare au întărit cercetătorilor ideea că starea fizică a suprafeţelor metalice exercită o mare influenţă asupra proprietăţilor de exploatare a materialelor, Enache, [En94]. Actual se consideră că starea fizică a suprafeţei participă, alături de microtopografie, la creșterea duratei de viaţă și că suprafeţele rezultă ele însele în urma proceselor fizico-mecanice pe care le suportă, Flamand, [Fl89]. 1.2 Calitatea fizico-mecanică a stratului superficial Dintre parametrii fizico-mecanici, un rol important în comportarea corpurilor în contact revine durităţii. În sens clasic, duritatea H este definita ca raportul dintre forţa F care acţionează asupra penetratorului și suprafaţa urmei remanente lăsate de penetrator pe suprafaţa materialului încercat: De regulă se aplică penetratorului o forţă cunoscută și se măsoară, pe cale optică sau electronică, urma plastică de pe suprafaţa probei. Microduritatea reprezintă duritatea unor elemente de structură de mărime microscopică (grăunţii diferitelor faze), Bane ș.a., [Ba91]. 1.3 Microstructura stratului superficial Problema principală a metalografiei o reprezintă determinarea structurii granulare a corpurilor, a fazelor care le compun, a incluziunilor prezente, fisurilor și microfisurilor precum și a naturii acestora, etc. Aceste informaţii se obţin prin metode care dau nemijlocit

10

imaginea optică mărită a structurii suprafeţei considerate, care se numește de obicei imagine de structură, întrucât conţine la scară mărită elementele structurale care compun structura, Bane ș.a., [Ba91]. Informaţiile despre structură se obţin cu ajutorul analizei metalografice și privesc fie structura în volum a corpului examinat, fie structura unor straturi extrem de subţiri situate la suprafaţa corpului, în grosime de 5÷50 diametre atomice. 1.4 Compoziţia chimică a stratului superficial Un loc deosebit de important printre preocupările metalurgiei îl ocupă și determinarea distribuţiei elementelor chimice din compoziţia materialului pe suprafaţa analizată, compoziţia chimică a microvolumelor din care este formată suprafaţa, adică așa numita imagine de compoziţie chimică sau imaginea de compoziţie, Bane ș.a., [Ba91]. Unele elemente apar în mod inevitabil în oţeluri (elemente însoţitoare permanente), iar altele sunt adăugate intenţionat pentru a conferi oţelurilor însușiri deosebite (elemente de aliere). Elementele adăugate, separat sau în diferite combinaţii, acţionează în patru moduri diferite, după cum urmează: durificarea masei de bază, durificarea prin precipitare, finisarea granulaţiei și mărirea călibilităţii. 1.5 Tensiuni iniţiale în stratul superficial Toate corpurile au în stare naturală, chiar în absenţa forţelor exterioare, tensiuni iniţiale care influenţează comportarea lor în funcţionare. În sensul larg al cuvântului, prin tensiuni iniţiale se înţeleg tensiunile care există sau se produc într-un corp în absenţa forţelor exterioare. Starea de tensiuni din interiorul unui corp, rezultată în urma oricărui proces, devine stare iniţială pentru solicitarea la care urmează să fie solicitat corpul. În funcţie de nivelul la care afectează structura corpurilor, tensiunile iniţiale pot fi împărţite în macrotensiuni și microtensiuni. Macrotensiunile apar, acţionează și se echilibrează în volume de același ordin de mărime cu volumul corpului. Ele sunt constante pe domenii macroscopice, dacă materialul se consideră amorf și izotrop, având o orientare legată de conturul geometric al piesei. În literatura de specialitate se întâlnesc sub numele de tensiuni de ordinul întâi (de speţa întâia) și sunt practic cele mai periculoase. Microtensiunile apar în domeniul microscopic, la nivel de structură. Cele care apar în interiorul grăunţilor cristalini se numesc tensiuni de ordinul doi (de speţa doua) iar cele care apar la nivelul reţelei cristaline se numesc tensiuni de ordinul trei (de speţa a treia), [Fr96]. 1.6 Calitatea geometrică a suprafeţi 1.6.1 Clasificarea abaterilor geometrice ale suprafeţei SR ISO 4287/1-2000 clasifică abaterile geometrice ale suprafeţelor astfel: - abateri de formă macrogeometrice (ordinul 1), conform STAS 7384-85, la care raportul dintre pas și amplitudine este: P/T>1000;

11

- ondulaţii (ordinul 2), conform SR ISO 4287/2-1993, cu raport relativ mic între pas și amplitudine este: 50< WS /W<1000; - rugozităţi (ordinul 3 și 4), conform SR ISO 4287/2-1993, cu raport mic între pas și amplitudine este: λ/ maxR <50. Considerând cazul spaţial, suprafaţa z(x,y) se poate scrie ca suma a două componente:

z(x,y)=d(x,y)+p(x,y). (1.3) în care: d(x,y)- componenta periodică; p(x,y)- componenta aleatoare. Componenta periodică poate fi cunoscută din cinematica procesului și geometria sculei așchietoare, iar componenta aleatoare se analizează prin metodele statisticii matematice sau alte metode moderne, care vor fi analizate în capitolele următoare. 1.6.2 Sistemul liniei medii de evaluare a calităţii geometrice a suprafeţei În sistemul liniei medii M, adoptat și de SR ISO 4287/2-1993, evaluarea numerică a rugozităţii suprafeţelor se face în raport cu linia medie a profilului m, Lăzărescu și Șteţiu, [Lă84]. 1.6.3 Analiza statistică a microtopografiei suprafeţei 1.6.3.1 Statistica microtopografiei unidimensionale a) Distribuţia înălţimii rugozităţii unidimensionale După cum s-a văzut în paragraful anterior, microtopografia suprafeţelor este influenţată atât de factori sistematici cât și aleatori. Aceștia conferă parametrilor de rugozitate (înălţime, pantă, curbură, lungime de undă) caracterul de variabile aleatoare, care pot fi analizate cu mijloacele statisticii matematice, Tudor, [Tu90]. Analiza statistică a variabilei aleatoare reprezentată de înălţimea rugozităţii se poate face cu ajutorul momentelor centrate și necentrate. Acestea dau informaţii asupra centrului de grupare, împrăștierii, simetriei și aplatizării (ascuţirii) variabilei aleatoare. b) Distribuţia înclinării și curburii rugozităţii unidimensionale Pentru procesele de frecare și uzură și în special pentru regimurile de frecare uscată, limită și mixt, un rol important îl joacă înclinarea și curbura rugozităţii. S-a văzut că înălţimea microtopografiei este o variabilă aleatoare cu o distribuţie normală în general, la fel fiind și distribuţia înclinării acesteia, adică a derivatei de ordinul întâi a înălţimii: c) Distribuţia lungimii de undă a rugozităţii Distribuţia lungimii de undă poate fi caracterizată, din punct de vedere statistic, prin funcţia de autocorelaţie (transformata Fourier a funcţiei densitate spectrală de putere), Tudor, [Tu90]. 1.6.3.2 Statistica microtopografiei bidimensionale Pentru procesele de frecare și uzare ale cuplelor rugozitatea trebuie analizată bidimensional. Aceasta cu atât mai mult, cu cât rugozitatea este diferită pentru direcţii diferite de prelucrare și măsurare.

12

Considerând rugozitatea ca vector aleator multidimensional, se acceptă că toate componentele sale (înălţimea, curbura, panta) sunt variabile aleatoare, Nayak, [Na71]. În aceste condiţii, rugozitatea poate fi considerată ca un vector aleator cu șase componente ( )621 ,...,, ξξξ , fiind caracterizat de funcţia de repartiţie RR:F 6 → . Vectorul aleator rugozitate satisface condiţiile teoremei limită centrale din teoria statisticii matematice (număr mare de variabile independente, fiecare în parte cauzată de mulţi factori aleatori) fapt pentru care densitatea de probabilitate are forma normală Gauss, Nayak, [Na71]. a) Distribuţia spaţială a maximelor rugozităţii Cu ajutorul densităţii de probabilitate (1.36) se poate determina distribuţia spaţială a înălţimilor maxime. Astfel, se poate determina funcţia de repartiţie a extremelor rugozităţii ( )1eF ξ și

densitatea de repartiţie a extremelor ( )*ef ξ .

b) Curbura medie a maximelor rugozităţii Se poate determina funcţia de repartiţie a curburii medii și a extremelor cu înălţimea *

1ξ

și densitatea de repartiţie a curburii medii ( )12*

1k t,f ξ . Media curburii medii mk se

determină analitic utilizând integralele 510 I,...,I,I deduse de Nayak, [Na71] și date în literatura de specialitate. c) Distribuţia înclinării rugozităţii bidimensionale Considerând profilul z(x,y), cu înălţimea z1 =ξ , înclinarea (panta) în direcţia (x) este

x/z2 ∂∂=ξ , iar înclinarea (panta) în direcţia y este y/z3 ∂∂=ξ . Densitatea de

probabilitate a înălţimii 1ξ și a pantei 2ξ este dată de Nayak, [Na71].

Se obţine, în final că media gradientului 32−ξ este proporţională cu panta medie a rugozităţii. 1.6.4 Analiza spectrală a microtopografiei suprfeţei 1.6.4.1 Analiza spectrală a profilului Determinarea, chiar și cu precizie, a unui singur parametru de rugozitate aR , zR , qR

sau maxR nu este suficientă pentru caracterizarea microtopografiei suprafeţelor, panta, curbura sau lungimea de undă completând această caracterizare. În analiza semnalelor se utilizează uneori, transformarea din domeniul timp în domeniul frecvenţelor, deoarece informaţia în spectrul de frecvenţă este mai ușor de interpretat și prelucrat. 1.6.4.2 Analiza spectrală a suprafeţei Pentru modelarea suprafeţelor reale de contact, caracterizarea completă a microtopografiei acestora și înţelegerea influenţei rugozităţii asupra parametrilor mecanici, analiza spectrală trebuie extinsă la geometria bidimensională a suprafeţelor în contact.

13

Pentru descompunerea și evidenţierea contribuţiilor diferitelor frecvenţe, procesul de filtraj al analizei spectrale conţine următoarele trei etape: calculul spectrului suprafeţei printr-o transformată Fourier directă, modificarea spectrului și întoarcerea în spaţiul real printr-o transformată Fourier inversă. 1.6.5 Analiza fractală a microtopografiei suprafeţei Geometria fractală descrie sisteme în care se întâlnesc structuri date prin diferite scări de observare și ai căror parametri caracteristici nu sunt derivabili în toate punctele. Primele observaţii în acest sens s-au făcut cu mult timp în urmă de către Poincaré, Hudson, ș.a., dar abia în 1975 Mandelbrot a definit conceptul de "haos organizat" numit fractal (din latinescul "fractus"=spart, fragmentat, neregulat). Dimensiunea fractală este unul din parametri cei mai importanţi pentru descrierea unei curbe fractale. De obicei, se consideră, pentru caracterizarea microtopografiei, curba Weierstrass- Mandelbrot:

( ) 1,2D1 ,x2cos

Gxz1nn

n)d2(

n1D >γ<<

γπγ=

∞

=−

− ,

(1.55)

unde: G- constanta de scară și modulul de frecvenţă nn /1 λ=γ , corespunzător lungimii de

undă a rugozităţii nλ , D=2-H. Când spectrul funcţiei Weierstrass Mandelbrot este comparat cu spectrul de putere al unei suprafeţe reale, dimensiunea D este legată de panta spectrului printr-un grafic în coordonate logaritmice. Spectrul de putere este cea mai importantă cantitate pentru orice funcţie multiscară, deoarece cu ajutorul acesteia pot fi determinaţi parametri statistici care indică dispersia înălţimilor, pantelor și curburilor vârfurilor între lω și hω ,Majumdar și Bushman, [Ma90]. Acești parametri utilizaţi convenţional pentru caracterizarea suprafeţelor sunt obţinuţi de obicei prin măsuri de palpare a profilelor suprafeţelor. Pentru aceste măsurări, limita frecvenţei celei mai joase, lω , corespunde lungimii de eșantionare iar frecvenţa cea mai

înaltă, hω , este legată de rezoluţia instrumentului. 1.7 Concluzii Calitatea suprafeţei metalice are o importanţă foarte mare în buna funcţionare a mașinilor, utilajelor și aparatelor. Studiul influenţei acesteia a evoluat mai întâi în direcţia calităţii geometrice și apoi în direcţia calităţii fizico-mecanice și chimice a stratului superficial. Calitatea suprafeţelor poate fi schematizată conform Figurii 1.13.

14

Figura 1.13 Calitatea suprafeţelor

Analiza microtopografiei poate fi făcută conform schemei din Figura 1.14.

Figura 1.14 Analiza microtopografiei

15

Capitolul 2 STADIUL ACTUAL AL CERCETĂRILOR PRIVIND EFECTUL MICROTOPOGRAFIEI SUPRAFEŢELOR ASUPRA CONTACTULUI TEHNIC USCAT

ȘI CU UNGERE LIMITĂ 2.2 Modele de corpuri deformabile Modelul corpului deformabil elastic liniar, Figura 2.1a, stabilește o dependenţã liniară biunivocã între tensiuni și deformaţii. Pentru o stare finalã de încãrcare corespund anumite stări de tensiuni și deformaţii, independente de modul de încărcare, ceea ce permite aplicarea principiului suprapunerii efectelor. Fiecare combinaţie liniară de sarcini determină o combinaţie identică a deplasărilor, deformaţiilor și tensiunilor, Popinceanu ș.a., [Po85]. Liniaritatea se păstrează atât timp cât nu se depășesc anumite limite de încărcare peste care apar deformaţii plastice remanente. Trecerea în domeniul plastic se poate realiza lin, Figura 2.1b.

a)

b)

d)

e)

Figura 2.1 Modele de corpuri deformabile, Popinceanu, Diaconescu, Creţu ș.a., [Po85]

Pentru ușurinţa calculelor se utilizează schematizări prin segmente de dreaptă (OA-domeniul elastic, AB- domeniul plastic). Astfel, Figura 2.1d reprezintă modelul de corp

σ

σ

ε

ε

0 0

A

A

B

B

σ

σ

ε

0

0

A

A

B

B

ε

16

deformabil elastic cu ecruisare liniară, iar Figura 2.1e modelul de corp deformabil elastic- perfect plastic. În rezolvarea problemelor legate de teoria plasticităţii trebuie cunoscută atât starea finală de încărcare (suficientă în tratarea problemelor din domeniul elastic), cât și drumul urmat până la realizarea acestei stări (“istoria încărcării”), Popinceanu ș.a., [Po85]. 2.3 Elemente de teoria contactului elastic între suprafeţe netede 2.3.2 Ipotezele elasticităţii Teoria elasticităţii se bazează pe următoarele ipoteze fundamentale:

• ipoteza mediului continuu, omogen și izotrop; • ipoteza mediului liniar elastic; • ipoteza deformaţiilor mici; • ipoteza Saint-Venant.

2.3.3 Ecuaţiile fundamentale ale elasticităţii liniare

• ecuaţiile de echilibru la rotaţie (principiul dualităţii tensiunilor tangenţiale); • ecuaţiile de echilibru la translaţie (ecuaţiile lui Cauchy); • ecuaţiile diferenţiale între deplasări și deformaţii specifice infinitezimale; • ecuaţia constitutivă a materialului liniar elastic (legea generalizată a lui Hooke):

- cu explicitarea tensiunilor; - cu explicitarea deformaţiilor specifice. 2.3.4 Metodica de rezolvare a problemelor de elasticitate Rezolvarea problemelor de elastostatică se poate face folosind următoarele metode, [Gl99]:

• metoda directă; • metoda inversă; • metoda semi-inversă.

Rezolvarea problemelor de contact, prin metodele prezentate mai sus, se poate realiza: • Analitic: • Numeric:

• metode de integrare directă (inversarea matricei); • metoda diferenţelor finite; • metoda elementului finit; • metoda elementului de frontieră; • metoda împerecherii punctelor;

17

• metode parţiale; • gradient conjugat; • transformata Fourier rapidă.

2.3.5 Probleme fundamentale ale semispaţiului elastic 2.3.5.1 Problema lui Boussinesq Este una din problemele fundamentale ale semispaţiului elastic și constă în determinarea stării de tensiuni și de deformaţii produse de o sarcină concentrată, aplicată normal pe limita semispaţiului elastic. Aceasta a fost rezolvată pentru prima dată de către Boussinesq în 1882, [Bo69]. Se obţine, în final, starea de tensiuni produsă de forţa normală zF în punctul

M. 2.3.5.2 Problema lui Cerruti Este o altă problemă fundamentală a semispaţiului elastic, care se referă la starea de tensiuni și deformaţii generată de o forţă tangenţială concentrată ( xF sau Fy ), aplicată într-

un punct oarecare al planului limitrof, Cerruti, [Ce82]. Se obţine, în final, starea de tensiuni produsă de forţa tangenţială xF , respectiv forţa axialã yF în punctul M.

2.3.5.3 Cazul general al unei forţe concentrate oblice În anul 1985, Diaconescu, [Po85], tratează combinaţia celor două probleme prezentate anterior, generalizând rezultatele pentru cazul simplu al unei forţe concentrate F . Această forţă concentrată devine normală la limita semispaţiului când 0FF yx ==

(problema lui Boussinesq) și este conţinută în planul limitrof când 0Fz = (problema lui

Cerruti). Componentele deplasării într-un punct oarecare al semispaţiului se pot determina fie tratând această problemă ca una total nouă, [La67], [Po85], [Di93], fie aplicând principiul suprapunerii efectelor la soluţiile problemelor Boussinesq și Cerruti, [Gl93]. Prin aplicarea principiului suprapunerii efectelor se obţine starea generală de tensiuni în orice punct al semispaţiului elastic. 2.3.5.4 Problema lui Flamant Permite determinarea deplasărilor și tensiunilor produse în semispaţiul elastic de către o sarcină uniformă q

, liniar distribuită în lungul unei drepte conţinute la limita spaţiului.

Tensiunile se obţin prin aplicarea legii generalizate a lui Hooke.

18

2.3.5.5 Principiul suprapunerii efectelor la semispaţiul elastic Se consideră semispaţiul elastic și se presupune că pe o arie A, conţinută în planul limitrof, se aplică o distribuţie continuă cunoscută de tracţiuni superficiale

kpjpipp zyx

++= , ca în Figura 2.5. Componentele cuprinse în planul limitrof, xp și yp ,

se numesc tracţiuni tangenţiale, iar componenta normală, zp , tracţiune normală sau presiune. În punctul curent )'y,'x(N de pe aria A, acţionează o forţă concentrată elementară,

dApFd

= , dA fiind elementul de arie centrat pe punctul N. Aceasta are pe axele

sistemului de coordonate componentele: dApdF xx = , dApdF yy = și dApdF zz = , care

produc în punctul M din semispaţiu efecte (tensiuni, deplasări sau deformaţii specifice) conform problemei fundamentale adecvate a semispaţiului.

Figura 2.5 Semispaţiu elastic încãrcat cu sarcinã distribuitã, Popinceanu, Diaconescu,

Creţu ș.a., [Po85] Expresia efectului rezultant din M, obţinut prin însumarea efectelor elementare, este:

,'dy'dx)'z,'y,'x(p)z,'yy,'xx(g)z,y,x(,u kA

iji ⋅−−=σ (2.18)

unde g este o funcţie de coordonate care depinde de efectul considerat și de tipul sarcinii elementare concentrate, iar z,y,xk = . Relaţia (2.18) exprimă principiul suprapunerii efectelor la semispaţiul elastic, care se aplică în cazul unei distribuţii de sarcină pe o arie mărginită de o curbă închisă, conţinută în planul limitrof. 2.3.6 Contactul hertzian Contactul hertzian este un contact concentrat care satisface următoarele condiţii:

X,X’

M(x,y,z)

Z,Z’

Y,Y’

O x-x’

y’

y-y’ r’

r

y’

y z

N(x’,y’) dA

x’

p

(A)

19

• Sub sarcină normală tinzând către zero, contactul între cele două corpuri se face într-un singur punct geometric (contact punctual), sau după o curbă (contact liniar), aria iniţială de contact fiind nulă.

• În punctele contactului iniţial și în vecinătatea acestuia, suprafeţele limitrofe ale celor două corpuri nu au singularităţi.

• Suprafeţele sunt netede din punct de vedere geometric, adică identice cu suprafeţele nominale, ele neavând abateri macro și microgeometrice.

• Între suprafeţele limitrofe nu există frecare, așa încât între corpuri nu se poate transmite decât tracţiune normală, iar tracţiunile tangenţiale sunt nule.

• Materialele corpurilor sunt considerate continue, omogene, izotrope și liniar elstice. • Dimensiunile suprafeţei și ariei de contact sunt mici în comparaţie cu razele de

curbură principale ale suprafeţelor limitrofe într-un punct al contactului iniţial și, de aceea, cele două corpuri pot fi asimilate ca semispaţii elastice. 2.3.6.1 Elementele contactului hertzian Se consideră două corpuri în contact, cu axele 1z , 2z dirijate după normala comună în

punctul de contact și orientate spre interiorul corpurilor. Dacă asupra contactului se aplică o sarcină normală Q care tinde să apese corpurile în lungul normalei, acestea se deformează, formând o suprafaţă de contact, ca în Figura 2.6. Cele două corpuri se apropie cu cantitatea δ , punctele depărtate de contact deplasându-se spre centrul contactului.

Figura 2.6 Apropierea corpurilor în contact, Popinceanu, Diaconescu, Creţu ș.a., [Po85]

Prin aplicarea teoriei semispaţiului elastic se obţin parametrii contactului: diametrul cercului de contact a, apropierea dintre corpuri δ și presiunea maximă 0p .

Q

Q

1

0

2M

M

2

1M

Z2

Z1

W1

W2

WM

1

20

2.3.6.2 Starea de tensiuni la contactul hertzian circular

Componentele adimensionalizate ale stării de tensiuni 0ijij pσ=σ sunt prezentate în

coordonate adimensionalizate axx = .

• În adâncime: • Pe planul limitrof, la z=0, în lungul axei x:

• pentru ax ≤ (în lungul razei interioare): • pentru ax ≥ (în lungul razei exterioare):

2.4 Elemente de teoria contactului elastoplstic între suprafeţe netede

2.4.2 Ipotezele plasticităţii Teoria plasticităţii este valabilă pentru corpul plastic ideal, în următoarele ipoteze:

• materialul este omogen și izotrop, înainte și în timpul deformării plastice; • volumul materialului în timpul deformării plastice este constant; • deformaţiile elastice sunt mici în comparaţie cu cele plastice; • solicitările au loc numai la temperaturi la care revenirea, fluajul și fenomenele

termice, în general, pot fi neglijate. 2.4.3 Criterii de plasticitate 2.4.3.1 Criteriul de plasticitate Huber-Mises-Hencky Experimentele au constatat că indiferent de mărimea presiunii hidrostatice de încărcare, aceasta nu poate produce stare plastică. De aceea, s-a considerat că trecerea în domeniul plastic apare atunci când energia specifică modificatoare de formă atinge o valoare critică

fcrw , independentă de natura solicitării și a stării de tensiuni:

( ) ( ) ( )[ ]3

k61

J2Y22

132

322

212σ

==σ−σ+σ−σ+σ−σ= ,

(2.26)

în care:

321 ,, σσσ - tensiunile normale principale; k- limita de curgere în cazul solicitării de forfecare pură;

Yσ - limita de curgere în cazul solicitării uniaxiale de tracţiune. 2.4.3.2 Criteriul de plasticitate Tresca Acest criteriu presupune că materialul trece în domeniul plastic atunci când tensiunea tangenţială maximă maxτ atinge o anumită valoare critică, independentă de starea de tensiuni.

21

Matematic acest criteriu se exprimă astfel:

Y133221 k2,,max σ==σ−σσ−σσ−σ . (2.27)

2.4.3.3 Criteriul tensiunii principale reduse Se exprimă matematic astfel:

32k,,max Y321 σ==σ−σσ−σσ−σ (2.26)

în care ( ) 3321 σ+σ+σ=σ , este tensiunea hidrostatică. Pentru un material stabil plastic, în baza condiţiilor de invarianţă, rezultatele experimentale ale diverșilor cercetători arată că limitele între care se înscrie oricare criteriu de plasticitate sunt date de criteriul Tresca și criteriul tensiunii principale reduse, Popinceanu ș.a., [Po98]. 2.4.4 Teoriile plasticităţii 2.4.4.1 Teoria deformării plastice Această teorie furnizează relaţiile directe dintre tensiuni și deformaţii, cunoscute sub numele de ecuaţiile Nadai-Hencky-Iliușin:

( ) ( ) z,y,xi ,m221

Em2 mliilii =ε

ε−ν−

+εε=σ ,

( ) ji ;z,y,xj,i ;m2 ijlij ≠=εε=σ ,

(2.29)

în care:

ijσ - componentele tensorului tensiune;

ijε - componentele tensorului deformaţie;

( ) 3zzyyxxm ε+ε+ε=ε , deformaţia medie;

( )lm ε - funcţie care trebuie determinată experimental. Teoria deformării plastice se poate aplica numai dacă sunt satisfăcute condiţiile unei încărcări simple sau proporţionale. După Iliușin, aceasta înseamnă că, în timpul variaţiei stării de tensiuni, toate componentele tensorului tensiune cresc proporţional cu timpul sau sunt funcţie monotonă de timp, [Po63]. 2.4.4.2 Teoria curgerii plastice Această teorie formulează relaţii între viteze sau creșteri ale deformaţiilor și viteze sau creșteri ale tensiunilor.

22

Condiţia de plasticitate, în acest caz, reprezintă în spaţiul tensiunilor o suprafaţă de curgere care, într-un caz general, are forma:

( ) y,xj,i ;FF ij =σ= . (2.30)

Dacă F<0, starea este elastică, iar dacă F=0, starea este plastică. Se pleacă de la ipoteza că pentru un material solicitat în domeniul elastoplastic, viteza totală de deformare este suma dintre viteza elastică și viteza plastică de deformare, lucru valabil dacă se ţine seama că deformaţia totală are o componentă elastică și una plastică:

[ ] [ ] [ ]pe DDD εεε += , (2.31)

în care: [ ]εD - tensorul deviator al vitezei de deformaţie;

[ ]eDε - tensorul deviator al vitezei elastice de deformaţie;

[ ]pDε - tensorul deviator al vitezei plastice de deformaţie.

Componentele elastice ale vitezelor de deformare se determină pe baza relaţiilor date de teoria elasticităţii liniare, Solomon, [So69]. Relaţiile Prandtl-Reuss Pentru corpuri elastic-perfect plastice relaţiile Prandtl-Reuss au forma:

[ ] [ ] [ ]2

p

k2DW

G2D

D σσε +=

,

(2.36)

iar pentru corpurile rigid-perfect plastice devin:

[ ] [ ]2

p

k2DW

D σε =

,

(2.37)

în care: [ ]σD este tensorul deviator al tensiunilor, iar [ ]σD este tensorul deviator al vitezelor tensiunii. 2.4.5 Metodica de rezolvare a problemelor de plasticitate

• Precizarea relaţiilor între tensiuni, deformaţii și deplasări, care definesc comportarea materialului în domeniul elastic, înainte de apariţia deformaţiilor plastice.

• Alegerea unui criteriu de plasticitate, adică a unei legi care definește limita de elasticitate ca o combinaţie de tensiuni.

• Stabilirea limitei de elasticitate, adică a valorii tensiunii echivalente până la care deformaţiile rămân în domeniul elastic.

• Relaţii între tensiuni și deformaţii în timpul deformării plastice.

23

2.5 Stadiul actual al cercetărilor privind contactul între suprafeţe rugoase 2.5.2 Contactul normal tehnic uscat, între suprafeţe rugoase, în domeniul elastoplastic Iniţial Bowden și Tabor, [Bo50], au considerat că aria efectivă de contact este foarte mică în raport cu aria aparentă sau teoretică, astfel încât presiunile foarte mari care iau naștere din această cauză pot provoca deformaţii plastice ale corpurilor în contact. Mai târziu Archard, [Ar75], consideră contactul elastoplastic numai la primele încărcări, după care deformaţiile devin predominant elastice. Greenwood și Williamson, [Gr66], definesc indicele de plasticitate ψ. Pentru 0,6<ψ<1, contactul este elastoplastic, deformaţiile elastice și plastice sunt de același ordin de mărime și importanţa lor relativă depinde de sarcină. Chang, Etsion și Bogy, [Ch87], introduc o comportare elastoplastică a asperităţilor în modelul Greenwood-Williamson. Ei adoptă ipoteza, că după limita de elasticitate, volumul asperităţilor nu mai variază, conform principiului incompresibilităţii plastice. Această ipoteză implică o deformaţie preponderent plastică la nivelul asperităţilor. Verificările experimentale ale acestui model, efectuate de Evseev, Medvedev și Grigoriyan, [Ev91], nu dau satisfacţie datorită aplicării ipotezei incompresibilităţii plastice în domenii unde deformaţiile elastice și plastice sunt de același ordin de mărime. Halling și Nuri, [Ha91], definesc un indice de plasticitate anizotrop, considerând asperităţile de formă elipsoidală. Ei introduc și o comportare elastoplastică empirică dar care este mai riguroasă. Contactul la nivelul unei asperităţi este considerat hertzian până se atinge o deformaţie critică, după care, în funcţie de indicele de plasticitate, comportarea devine plastică. Modelele prezentate consideră că deformaţia unei asperităţi este independentă de cea a asperităţii vecine. Pentru a studia influenţa acestor interacţiuni, Goryacheva și Dobychin, [Go91], utilizează un model de contact alcătuit dintr-un ansamblu de pini uniform repartizaţi pe zona de contact, cu înălţimi distribuite aleator, Figura 2.17.

Figura 2.18 Diagrama teoretică a contactului între un corp neted elastic și unul rigid rugos, Goryacheva și Dobychin, [Go91]

Q

i j γ ijl

jδ

24

Rezultatele obţinute reproduc efectul de saturaţie al ariei reale de contact, observat experimental, aceasta tinzând a deveni independentã de sarcinile devenite importante. Relaţia gãsitã este de forma:

nr KWA = , (2.41)

în care natura și valoarea coeficientului n nu este prea bine specificatã. Majumdar și Bushman, [Ma91], ţinând cont de caracterul microtopografiei suprafeţelor utilizează o metodă fractală și obţin o relaţie între sarcină și aria reală de contact, de forma:

( ) 2/D3rAW −α= , (2.42)

în care D este dimensiunea fractală a profilului rugos, cuprinsă între 1 și 2. Acest model a fost validat pentru sarcini reduse. Pentru materialele elastoplastice, metoda elementelor finite a fost aplicată cu succes doar în cazul suprafeţelor netede. Pentru suprafeţe rugoase Ike și Makinouki, [Ik90], modelează comportarea unei asperităţi de formă triunghiulară în domeniul elastoplastic. Condiţiile limită sunt aplicate pentru simularea strivirii unui ansamblu de asperităţi identice. Acest studiu pune în evidenţă importanţa tensiunilor în volum, sensibilitatea lor la condiţiile limită și legătura lor cu deformaţiile plastice ale suprafeţei. Mayeur, [Ma95], studiind mai întâi contactul rugos elastic și folosind apoi o metodă numerică de modelare în 2-D a unui contact normal elastoplastic, oferă în final o modelare a contactului rugos elastoplastic. El introduce în calculele sale o caracteristică suplimentară a materialului, modulul de ecruisare h și consideră încărcări care să nu permită curgeri plastice la adâncimi hertziene și care să modifice nesemnificativ repartiţia de presiune pe suprafaţă. Figura 2.21a arată curbele de deformaţie plastică sub suprafaţă, în adâncime, p

zzε . Zonele de deformaţie plastică apar mai întâi sub fiecare asperitate încărcată peste presiunea de curgere yP , iar dacă încărcarea continuă, aceste zone discrete se grupează formând un

volum continuu sub lăţimea de contact.

a)

Figura 2.21 Deformaţiile plastice în substrat, Mayeur, [Ma95] Lee și Ren, [Le96], utilizând metode numerice de calcul și simulări de suprafeţe rugoase, au analizat comportarea contactelor în regim elastoplastic. Ei au urmărit efectele

-0,5 0 0,5 x(mm)

0,0001

0,001

0,002

z(mm) 0

-0,05

-0,1

25

microtopografiei suprafeţelor, (de la cazul izotrop la puternic anizotrop), ale durităţii și sarcinii asupra comportării la deformaţie a suprafeţelor rugoase. Cercetările lui Bengisu și Akay, [Be97], încearcă să ia în considerare, alături de modul de deformare, elastic sau plastic al asperităţilor, și compoziţia chimică, exprimată prin forţele de adeziune din regiunile locale de contact. Horng, [Ho98], propune un model de micro contact elastoplastic pentru contactul eliptic între suprafeţe rugoase anizotrope. Valorile separaţiei, ariei totale reale de contact, ariei deformaţiei plastice și cele ale indicelui de plasticitate sunt comparate cu valorile obţinute cu ajutorul altor modele întâlnite în literatura de specialitate. Lee-Proudhoe, Sayles și Kaderic, [Pr99], analizează influenţa microtopografiei asupra contactelor greu încărcate, atât în cazul materialelor dure cât și în cazul materialelor moi. Pentru suprafaţa înainte și după încărcare autorii utilizează o simulare numerică și obţin rezultatele din Figura 2.23. Rezultatele obţinute sunt analizate în vederea creării unui model de calcul al deformaţiilor în domeniul elastoplastic. Zhao și Chang, [Zh01], prezintă un model de micro contact care consideră interacţiunea asperităţilor în cazul contactului suprafeţelor rugoase în domeniul elastoplastic. Komvopoulos și Ye, [Ko02], efectuează o analiză a contactului elastoplastic la interfaţa contactului cap-disc, prin metoda elementului finit. Topografia pieselor în contact este reprezenttă printr-un profil echivalent generat prin utilizarea formulei modificate Weierstrass-Mandelbrot cu două variabile.

Figura 2.23 Distribuţia de presiune și deformaţia plastică a suprafeţei, , Lee-Proudhoe, Sayles și Kaderic, [Pr99]

Alte modele fractale, pentru rezolvarea contactelor rugoase în domeniul elastoplastic, sunt propuse, în ultimul timp de Chung și Lin [Ch04], Willner, [Wi04] și Wang, [Wa04]. Cercetări recente utilizează aproximări statistice pentru descrierea suprafeţelor rugoase. Suprafeţele rugoase, cu distribuţie simetrică sau asimetrică a vârfurilor asperităţilor sunt modelate de Yu și Polycarpou, [Yu04], cu ajutorul distribuţiei normate Weibull. 2.6 Concluzii și direcţii de cercetare Faţă de suprafeţele ideale, care sunt considerate netede, suprafeţele reale prezintă perturbaţii macro și microgeometrice. Acestea din urmă micșorează aria reală de contact în

26

raport cu aria aparentă, modificând câmpul de tensiuni pe suprafaţă și în imediata vecinătate a acesteia, influenţând astfel mecanismul de transmitere a căldurii și al ungerii. Sunt vizate următoarele direcţii de cercetare: • modelarea rugozităţii cu ajutorul funcţiilor trigonometrice (componenta periodică) și a

programelor de generare a numerelor aleatoare (componenta neperiodică); • măsurarea rugozităţii reale în vederea introducerii valorilor acesteia în programele de

calcul ce vor fi realizate; • clasificarea și analiza critică a metodelor și mijloacelor de măsurare a rugozităţii; • rezolvarea contactului circular ondulat în domeniul elastic utilizând algoritmul lui

Kalker cu sarcină normală impusă: • determinarea distribuţiei de presiune pe suprafaţa de contact; • determinarea stării de tensiuni pe și sub suprafaţa de contact; • determinarea stării de deformaţii sub suprafaţa de contact; • determinarea influenţei frecării asupra stării de tensiuni pe și sub suprafaţa de

contact; • determinarea influenţei frecării asupra stării de deformaţii de sub suprafaţa de

contact; • rezolvarea contactului circular ondulat în domeniul elastoplastic utilizând teoria

compatibilităţii: • determinarea distribuţiei de presiune pe suprafaţa de contact pentru cazul

elastic-perfect plastic și elastoplastic; • determinarea stării de tensiuni pe și sub suprafaţa de contact pentru cazul

elastoplastic cu ecruisare liniară; • determinarea influenţei frecării asupra stării de tensiuni pe și sub suprafaţa de

contact pentru cazul elastoplastic cu ecruisare liniară; • determinarea stării de deformaţii sub suprafaţa de contact pentru cazul

elastic-perfect plastic și elastoplastic cu ecruisare liniară, respectiv neliniară; • influenţa parametrilor ondulaţiei și ai componentei aleatoare asupra

elementelor contactului pentru cazul elastoplastic cu ecruisare liniară (aria reală de contact, deformaţia plastică);

• influenţa ecruisării materialului asupra elementelor contactului pentru cazul elastic-perfect plastic și elastoplastic cu ecruisare liniară, respectiv neliniară (aria reală de contact, deformaţia plastică);

• rezolvarea contactului circular rugos în domeniul elastoplastic utilizând teoria compatibilităţii

• determinarea distribuţiei de presiune pe suprafaţa de contact pentru cazul elastoplastic;

• determinarea stării de tensiuni pe și sub suprafaţa de contact pentru cazul elastoplastic cu ecruisare neliniară;

• determinarea influenţei frecării asupra stării de tensiuni pe și sub suprafaţa de contact pentru cazul elastoplastic cu ecruisare neliniară;

• determinarea stării de derformaţii de sub suprafaţa de contact pentru cazul elastoplastic cu ecruisare neliniară;

27

• influenţa gradului de finisare a suprafeţelor asupra elementelor contactului (aria reală de contact, deformaţia plastică);

• utilizarea, eventual adaptarea unor standuri existente în Laboratorul de Tribologie și Mecanica Contactului pentru validarea experimentală a rezultatelor teoretice obţinute:

• influenţa gradului de finisare a suprafeţelor asupra elementelor contactului penru trei diametre ale bilelor și trei durităţi ale epruvetelor plane (aria reală de contact, deformaţia plastică);

• influenţa cumulată a doi factori de influenţă (încărcare-microtopografie, încărcare-duritate, microtopografie-duritate), respectiv a celor trei factori consideraţi (microtopografie-duritate-încărcare) asupra diametrului și adâncimii deformaţiei plastice;

• modificarea principalilor parametri ai rugozitatăţii, ondulaţiei și profilului cu încărcarea pentru cele trei dimensiuni ale bilelor și cele trei grade de finisare ale acestora, precum și pentru cele trei durităţi a epruvetelor plane;

• compararea rezultatelor teoretice și experimentale obţinute cu cele similare ale altor autori.

28

Capitolul 3 FORMULAREA ȘI REZOLVAREA PROBLEMEI CONTACTULUI CIRCULAR TEHNIC USCAT, ÎNTRE SUPRAFEŢE ONDULATE, ÎN DOMENIUL

ELASTIC 3.1 Modelarea contactului normal elastic Numeroși autori au abordat problema contactului, cu sau fără frecare, între două solide elastice. Hertz, [He82], a formulat și rezolvat primul această problemă pentru contactul fără frecare al solidelor netede. Totuși, realitatea este mai complexă iar dezvoltarea metodelor numerice a permis apariţia unor formulări și rezolvări ulterioare mai generale, Flamand, [Fl89]. Dupã Duvaut și Lions, [Du72], Seabra, [Se88], problema de contact poate fi schematizatã ca în Figura 3.1.

Figura 3.1 Schematizarea contactului a douã corpuri, Duvaut și Lions, [Du72], Seabra,

[Se88] Douã corpuri elastice A și B sunt puse în contact în cel puţin un punct. Domeniile corpurilor A și B sunt AΩ și BΩ , astfel încât:

BA Ω∪Ω=Ω . (3.1)

Frontiera domeniului este împãrţitã în trei subdomenii:

UΓ - deplasãrile iu

sunt impuse: ii uu =

;

FΓ - tracţiunile exterioare iP sunt cunoscute: jiji nP σ= ;

CΓ - suprafaţa de contact, unde condiţiile limitã sunt de tip mixt, în funcţie de deplasãri și de tracţiuni exterioare (normale și tangenţiale); Între aceste trei subdomenii pot fi scrise urmãtoarele relaţii:

iF

AΩ

Ω

BΩ

CΓ

UΓ

FΓ

FΓ

1x

2x

x

3x

x A

B

29

CFU Γ∪Γ∪Γ=Γ , (3.2)

Φ=Γ∩Γ=Γ∩Γ=Γ∩Γ UCCFFU , (3.3)

Φ fiind mulţimea vidă. O problemă generală de contact poate fi împărţită în două probleme parţiale: contactul normal și contactul tangenţial. Contactul elastic este o problemă de elastostatică la care soluţia este unică. Analiza prezentată în continuare se referă la problema contactului normal. Pentru aceasta se consideră modelul de contact din Figura 3.3.

Figura 3.3 Contactul normal al două corpuri, Duvaut și Lions, [Du72] În stare nedeformată, două puncte Ax și Bx aparţinând suprafeţelor corpurilor A și

B sunt considerate în opoziţie când aparţin aceleiași normale An

la planul tangent iniţial.

Distanţa dintre aceste două puncte ale corpurilor în stare nedeformată este nh fiind

măsurată după normala An

.

Se notează cu nu diferenţa componentelor normale ale deplasărilor punctelor Ax și

Bx :

( ) ( )[ ]iABiAin n xuxuu

−= . (3.4)

În punctul Ax tracţiunea ( )Ai xP este:

( )iAijAi nxF σ= , (3.5)

în care ijσ este tensorul tensiunilor într-un punct al domeniului.

O x

z

hn

Ax

Bx

An

A

B

30

Această tracţiune generală de contact poate fi descompusă în tracţiune normală nσ și

tracţiune tangenţială tσ , astfel încât:

( )iAAin nxP

=σ , (3.6)

( )

inAit xP σ−=σ . (3.7)

În cazul contactului normal, tracţiunile tangenţiale pe suprafaţa de contact sunt nule. 3.2 Formularea generală a problemei contactului normal elastic Formularea clasică a problemei contactului normal este făcută de Duvaut și Lions, [Du72], și constã în găsirea câmpului deplasărilor elastice u, soluţie a ecuaţiei:

0buA ijij =− . (3.8)

Pe domeniul Ω sunt următoarele condiţii limitã:

ijij Pn =σ , pe FΓ , (3.9)

ii uu = , pe UΓ , (3.10)

C

nit

n

nn

pe

P

0

0hu

Γ

σ−=σ≥σ

≥+,

(3.11)

în care:

ib - forţe volumice;

iP - distribuţia cunoscută de tracţiuni exterioare;

iu - câmpul de deplasări impuse;

ijA - matricea coeficienţilor de influenţă.

Expresia (3.8) reprezintă ecuaţia de echilibru elastic prezentată în deplasări, iar relaţiile (3.9) și (3.10) sunt condiţiile la limită pe FΓ , respectiv pe UΓ . Relaţiile (3.8), (3.9) și (3.10) sunt relaţiile caracteristice unei probleme clasice de elasticitate. Pentru problema contactului normal există trei relaţii suplimentare (3.11) pe suprafaţa de contact CΓ . Formularea acestei probleme poate fi efectuată în trei moduri: prin metoda variaţională, prin metoda reziduurilor ponderate și prin metoda potenţialului complementar. 3.2.1 Metoda variaţională Problema contactului normal poate fi formulată printr-un principiu variaţional.

31

Dacă se consideră principiul lucrului mecanic virtual, se poate scrie:

0duPdF

iiijij =Γδ−Ωδεσ ΓΩ

, (3.12)

în care ijδε reprezintă deformaţia elementară, iar iuδ reprezintă deplasarea elementară.

Această expresie este foarte des utilizată pentru rezolvarea prin elemente finite a problemelor de elasticitate. Pentru problema contactului normal vor trebui adăugate la această ecuaţie condiţiile limită definite de expresiile (3.10) și (3.11), Seabra, [Se88]. 3.2.2 Metoda reziduurilor ponderate Formula Green-Rieman permite obţinerea ecuaţiei următoare:

( ) Γδ−=Γδ∂∂σ

ΓΓ

duPpdux iiii

j

ij

F

,

(3.13)

în care:

jiji np σ= . (3.14)

Duvaut și Lions, [Du72], au formulat aceastã problemã în alt mod obţinând relaţia:

Γ=Γ+ Γ

∗∗

Γ

dupdpuuii lili

kl , (3.21)

în care ∗

ilp , *

liu reprezintă tracţiunile, respectiv deplasările după direcţia i datorate forţelor

unitare acţionând după direcţia l. Aplicarea metodei elementelor finite, ecuaţia (3.12), și a metodei elementelor de frontieră, ecuaţia (3.21), la rezolvarea problemelor contactului normal de tip hertzian este complicată pentru că punerea în practică este laborioasă și discretizarea suprafeţelor aflate în contact este complicată. 3.2.3 Metoda potenţialului complementar Problema contactului normal poate fi formulată folosind principiul lucrului mecanic complementar, Duvaut și Lions, [Du72], Seabra, [Se88]. Trebuie găsit tensorul elastic al tensiunilor σ, soluţie a ecuaţiei:

( ) 0d0hdund nnijijijijCU

≥Γδσ+Γσδ−Ωεδσ ΓΩ Γ

, (3.22)

care satisface următoarele condiţii:

32

0j,ij =σ și jiij σ=σ pe Ω ;

ijij Pn =σ pe FΓ ;

0n ≥σ și nit P σ−=σ pe CΓ .

(3.23)

Primul termen al ecuaţiei (3.22) reprezintă lucrul mecanic elementar complementar efectuat cu starea de deformaţie actuală, de către o variaţie elementară de tensiuni, iar ceilalţi doi termeni reprezintă lucrul mecanic elementar complementar efectuat de către o variaţie elementară a forţelor exterioare iF și de către tracţiunile de contact nσ . În urma efectuării calculelor, avem:

( ) 0dhu nnnC

≥Γ+δσΓ

, (3.27)

ceea ce reduce problema contactului normal la o integrală pe suprafaţa de contact. Condiţiile limită (3.23) devin:

Cn pe 0 Γ≥σ . (3.28)

Pot fi întâlnite două situaţii: - dacă 0hu nn >+ , nu există contact între cele două corpuri și este necesar ca 0n =σ ;

- dacă 0hu nn =+ , există contact între cele două corpuri și este necesar ca 0n >σ . Problema se reduce atunci la:

Cn

nn pe 0

0huΓ

≥σ≥+

.

(3.29)

La acest nivel pot fi definite două tipuri de probleme ale contactului normal: - prima, mai simplă, când apropierea între corpuri este impusă; - a două, când sarcina totală aplicată contactului este definită. În primul caz se pot utiliza direct relaţiile (3.29) modificând nh în funcţie de apropierea impusă. Pentru cel de-al doilea caz, problema este mai complexă și trebuie impusă și o condiţie suplimentară corespunzătoare echilibrului global al sarcinilor F aplicate sistemului:

Γ

σσ=C

dF nn . (3.30)

Această formulare asociată câmpului de deplasări normale ale punctelor de pe suprafaţă produs de o distribuţie de sarcină concentrată, va permite obţinerea soluţiei problemei contactului normal în aproximaţia semispaţiului elastic a lui Boussinesq și Cerutti, Seabra, [Se88].

33

3.3 Program de calcul numeric al distribuţiei de presiune la contactul circular tehnic uscat, între suprafeţe ondulate, în domeniul elastic Utilizarea unei formulãri variaţionale reduce problema contactului normal la minimizarea unei funcţii pătratice cu condiţii la limitã liniare și variabile nenegative, Seabra, [Se88]. Mai mulţi autori au propus diverse algoritme pentru soluţionarea acestei probleme: metoda regularizãrii; metoda elementelor de frontierã; metoda “Kalker”; metoda diferenţelor finite; metoda elemntelor finite, etc. 3.3.1 Formularea matematică a problemei Pentru cazul particular al contactului circular normal (sferă elastică-plan rigid), teoria lui Hertz dã relaţia între 0δ , ijh , ijw și ijz , Figura 3.3:

0ijijij whz δ−+= , (3.31)

Figura 3.3 Contactul circular (sferă-plan)

în care:

0δ - deplasarea solidului elastic;

ijw - deformaţia solidului elastic;

ijh - distanţa sferă-plan înainte de deformaţie;

ijz - ordonata dupã axa z.

Teoria lui Hertz dã deasemenea și raza cercului de contact a, precum și presiunea maximă din centrul contactului maxPH , pentru contactul circular, cu ipotezele simplificatoare cunoscute. Câmpul de presiune este de formã semielipsoidalã având semiaxele a, a și maxPH .

y

plan

R

W 0 δ

sferă

z

O

ijh ijw

ijz x

34

Teoria lui Boussinesq permite determinarea deformaţiei w(x) produsã de un câmp de presiune P(x) cu ajutorul noţiunii de semispaţiu elastic și a principiului suprapunerii efectelor. Generalizarea acestei probleme în 3-D presupune aplicarea unui câmp de presiune P(x,y) pe o zonã finitã, discretizatã în NT=mxn subdomenii identice de formã dreptunghiularã de dimensiuni elementare ∆x, ∆y. Asupra fiecãrui din aceste NT dreptunghiuri elementare se aplicã o presiune elementarã

lp , NT,...,2,1l = care va produce o deformaţie elementarã kw , NT,...,2,1k = a fiecãrui subdomeniu elementar. 3.3.2 Determinarea numericã a distribuţiei de presiune Pentru contactul sferă-plan teoria lui Hertz dă relaţia între starea iniţială, deformaţiile elastice, deplasarea globală 0δ și starea finală, (3.31), iar teoria lui Boussinesq dă relaţia între deformaţii și câmpul de presiuni:

[ ] lk pAw = , (3.40)

în care: k,l= 1,2,…,NT și NT = n x m. Relaţia între lp și kz este:

[ ] k0lk hpAz =δ+− . (3.48)

Se poate alege un domeniu de lucru la suprafaţa planului mai mare decât aria bănuită de contact. Se divizează acest domeniu în nxm dreptunghiuri elementare, fiecărui dreptunghi corespunzându-i un punct (centrul dreptunghiului elementar) unde se calculează lp și kz . Programul de calcul este prezentat în Anexa 1, Prodan și Sainsot, [Pr97]. 3.3.3 Rezultate numerice Pentru exemplificarea modului de lucru cu programul de calcul realizat, s-au considerat urmãtoarele date iniţiale: XL=YL=0,78 mm; NPX=39; NPY=51; RX=RY=3,175 mm;

a) b) Figura 3.6 Contactul sferă (ondulată)-plan înainte de deformare:

a) tridimensional; b) profil axial.

0

0.0050.01

0.015

0.020.025

0.03

1 6 11 16 21 26 31 36 41 46 51

Series1

111 21 31 41 51

S1

S290

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

0.04-0.05

0.03-0.04

0.02-0.03

0.01-0.02

0-0.01

mm mm

35

E= 5102 ⋅ MPa; ν=0,3; W=166,2 N. S-au obţinut urmãtoarele valori ale parametrilor lui Hertz: 2a=0,303 mm; PHmax=3,5 GPa. S-a considerat următorul tip de suprafaţă ondulată: Ampx=0,001 mm; Alongx=0,050 mm; Ampy=0,001 mm; Alongy=0,050 mm Rezultatele obţinute sunt reprezentate în Figurile 3.6 și 3.8.

a) b) Figura 3.8 Distribuţia de presiune: a) tridimensional; b) profil axial.

3.4 Program de calcul numeric al stării de tensiuni și de deformaţii dintr-un semispaţiu elastic, încărcat pe suprafaţă cu sarcini normale 3.4.1 Formularea matematică a problemei Obiectivul final al analizei este de a evalua starea de tensiuni și de deformaţii de sub suprafaţã în cazul unui contact circular ondulat încărcat cu sarcini normale și tangenţiale. Aceasta înseamnă a determina cele șase componente distincte ale tensorului tensiune:

.,,,,, xzyzxyzyx τττσσσ

Prin suprapunerea efectelor se obţine o relaţie generală de determinare a fiecăruia din cele șase componente ale tensorului tensiune pentru o încărcare generală (normală, tangenţială și eventual axială), de forma:

( )dxdyy,xpF

f

Ff

FA y

kly

x

klx

z

klkl

σ+σ+σ=σ

(3.69)

în care klσ reprezintă componentele tensorului de tensiune. 3.4.2 Determinarea numerică a stărilor de tensiuni și de deformaţii Ţinând cont de discretizarea suprafeţei de contact, în dreptunghiuri de laturi ∆x și ∆y pe care presiunea ijp este constantă și a fost determinată în, [Pr98], integrala de mai sus se

poate înlocui printr-o sumă dublă:

111 21 31 41 51

S1

S290

5000

10000

15000

20000

15000-20000

10000-15000

5000-10000

0-50000

5000

10000

15000

20000

1 6 11 16 21 26 31 36 41 46 51

Series1

MPa MPa

36

= =

∆∆

σ+σ+σ=σ

NT

1i

NT

1jjiij

y

kly

x

klx

z

klkl yxp

F

f

Ff

F.

(3.70)

Pe baza relaţiei (3.70) s-a realizat un program de calcul în MATHCAD 6 (Anexa 2) pentru evaluarea stării de tensiuni pe și sub suprafaţă în cazul contactului circular între suprafeţe ondulate, precum și a stării de deformaţii elastice. Deformaţia specifică elastică e

zε se calculează cu relaţia:

( )[ ]yxzez E

1 σ+σν−σ=ε ,

(3.74)

iar deplasarea elastică e

zw a unui punct de pe aria de contact după direcţia z se obţine printr-o însumare de forma:

=

∆ε=0z

0z

ez

ez zw .

(3.75)

3.4.3 Rezultate numerice În Figura 3.13 sunt reprezentate prin curbe de nivel tensiunile normale zn ,xn σσ pentru cazul încărcării normale, respectiv z ,x σσ pentru un coeficient de frecare f=0,5, sub suprafaţa de contact. Se observă existenţa concentrărilor de tensiune în imediata vecinătate a suprafeţei de contact, precum și puternica perturbaţie a tensiunilor normale datorate frecării.

Figura 3.13 Tensiunile normale sub suprafaţa de contact,

reprezentate prin curbe de nivel

x [mm]

x [mm]

z [mm]

z [mm]

37

Figura 3.13 Tensiunile normale sub suprafaţa de contact,

reprezentate prin curbe de nivel În Figura 3.14 sunt reprezentate adimensionalizat profilele acelorași tensiuni în imediata vecinătate a suprafeţei. Se observă forma caracteristică a tensiunilor datorată ondulaţiilor suprafeţei sferice.

Figura 3.14 Profilele tensiunilor normale sub suprafaţa de contact

În Figura 3.15 sunt reprezentate adimensionalizat profilele acelorași tensiuni, dar pentru cazul unui coeficient de frecare f=0,5. Se observă perturbaţia produsă în cazul considerării frecării. În Figura 3.16 este reprezentată prin curbe de nivel tensiunea tangenţială xznτ pentru cazul încărcării normale, respectiv xzτ pentru un coeficient de frecare f=0,5 sub suprafaţa de contact. Se observă existenţa concentrărilor de tensiune în imediata vecinătate a suprafeţei de contact, precum și perturbaţia tensiunilor tangenţiale datorită frecării. În Figura 3.17 este reprezentată adimensionalizat aceeași tensiune în imediata vecinătate a suprafeţei. Se observă forma caracteristică a tensiunilor datorată ondulaţiilor suprafeţei sferice. Chiar și în prezenţa ondulaţiilor tensiunile tangenţiale yzxy , ττ sunt cu

cinci ordine de mărime mai mici decât celelalte, și prin urmare sunt neglijabile.

x [mm]

x [mm]

z [mm]

z [mm]

x x

38

Figura 3.15 Influenţa frecării asupra tensiunilor normale sub suprafaţa de contact

Figura 3.16 Tensiunea tangenţială subsuperficiale xzτ și influenţa frecării, reprezentate

prin curbe de nivel În Figura 3.18 este reprezentată adimensionalizat profilul aceleiași tensiuni pentru un coeficient de frecare f=0,5. Se observă și în acest caz perturbaţia produsă de considerarea frecării.

Figura 3.17 Profilul tensiunii tangenţiale

xzτ subsuperficiale cu adâncimea Figura 3.18 Influenţa frecării asupra tensiunilor tangenţiale subsuperficiale

x x

x

x [mm]

x [mm]

z [mm] z [mm]

x x

39

Tensiunea echivalentă Huber-Misses-Hencky Eσ , calculată cu relaţia:

( ) ( ) ( ) ( )2zx

2yz

2xy

2xz

2zy

2yxE 6

2

1 τ+τ+τ⋅+σ−σ+σ−σ+σ−σ⋅=σ ,

(3.76)

este reprezentată adimensionalizat prin curbe de nivel în Figura 3.23, pentru cazul încărcării normale, respectiv pentru cazul unui coeficient de frecare f=0,5. Comparaţia între deformaţiile elastice la sarcină normală și pentru un coeficient de frecare f=0,5 este redată în Figura 3.30. Practic cele două curbe se suprapun, ceea ce arată o influenţă foarte mică a frecării asupra ariei de contact. Efectul încărcării tangenţiale este mai vizibil în Tabelul 3.1 unde sunt prezentate deformaţiile elastice corespunzătoare asperităţii aflate în centrul contactului precum și a celor din imediata sa apropiere. Se observă o asimetrizare a deformaţiei elastice pe direcţia semiaxei în lungul căreia acţionează sarcina tangenţială.

Figura 3.23 Tensiunea echivalentă sub suprafaţa de contact reprezentată prin curbe de

nivel

Figura 3.30 Comparaţie între deformaţiile elastice

a) fără frecare; b) cu frecare f=0,5. Tabelul 3.1 Efectul frecării asupra deformaţiei elastice

f=0 1,609 3,233 3,457 1,856 4,275 1,856 3,457 -3,233 1,609 f=0,5 1,592 -3,29 3,447 1,849 4,275 1,862 3,467 3,247 1,626

-4,5

-4

-3,5

-3

-2,5

-2

-1,5

-1

-0,5

0

1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21

Series1

Series2

x [mm]

x [mm]

z [mm] z [mm]

Nr. pct.

m

40

3.5 Concluzii În acest capitol s-a prezenta, mai întâi, modelarea și formularea generală a problemei contactului normal elastic. S-au realizat două programe numerice de calcul pentru un contact circular tridimensional, ondulat, încărcat cu sarcină normală, respectiv cu considerarea unui coeficient de frecare f=0,5. În prima fază, plecând de la teoria lui Hertz și a lui Boussinesq și utilizând principiul suprapunerii efectelor s-a realizat un program (în limbajul de programare FORTRAN 100) cu ajutorul căruia se pot determina: - apropierea corpurilor în contact; - aria de contact; - distribuţia de presiune. Pentru o sferă de o dimensiune dată s-a suprapus o ondulaţie cu anumite caracteristici (amplitudine și pas) și s-a considerat o încărcare corespunzătoare unei presiuni hertziene maxime PHmax=3,5 GPa, la care deformaţiile sunt preponderent elastice. În ceea ce privește aria de contact, se observă că acesta nu este continuă, existând puncte din interiorul suprafeţei globale de contact care nu se află în contact cu suprafaţa plană (adânciturile unor ondulaţii). Ca valoare, diametrul ariei de contact, în cazul suprafeţelor ondulate, 2a=0,447 mm, este mai mare faţă de cazul suprafeţelor netede, în care 2a=0,303mm. Acest lucru este justificat de valoarea mare a presiunilor în cazul contactului între suprafeţe ondulate. Graficele bidimensionale și tridimensionale realizate în acest caz au furnizat forma distribuţiei de presiuni, precum și valorile presiunii în fiecare punct de discretizare a suprafeţei de contact. Astfel, fiecare ondulaţie produce un vârf de presiune, iar presiunea maximă, Pmax=17,026 GPa, depășește cu mult presiunea hertziană maximă. Este evident că se depășește limita de curgere a oţelului de rulmenţi și că, pe lângă deformaţiile elastice, apar și deformaţii plastice. În a doua fază, utilizând principiul suprapunerii efectelor la semispaţiul elastic s-a realizat un nou program de calcul numeric, sub utilitarul MATHCAD 6 Plus, cu ajutorul căruia se pot determina: - starea de tensiuni pe suprafaţa de contact; - starea de tensiuni sub suprafaţa de contact. În ceea ce privește starea de tensiuni sub suprafaţa de contact, se remarcă, mai întâi, forma caracteristică a curbelor de nivel care prezintă concentrări de tensiuni în zona ondulaţiilor. Apoi, se observă și perturbaţia stării de tensiuni de sub suprafaţa de contact în prezenţa unui coeficient de frecare f=0,5. Tensiunilor normale și tangenţiale se anulează la o anumită adâncime. Valorile maxime ale tensiunilor adimensionalizate sunt date în Tabelul 3.2. Din aceste date rezultă că doar tensiunile xzzyx ,,, τσσσ au o influenţă hotărâtoare asupra rezistenţei

corpurilor aflate în contact, celelalte fiind neglijabile. Frecarea modifică atât distribuţia tensiunilor xzyx ,, τσσ cât și valoarea maximă a acestora xzx ,τσ .

Pe suprafaţa de contact, valori importante prezintă doar tensiunile normale, cele tangenţiale fiind neglijabile sau nule.

41

Tabelul 3.2 Valorile maxime ale tensiunilor ortogonale adimensionalizate

maxx PH/nσ maxy PH/nσ maxz PH/nσ maxxy PH/nτ maxyz PH/nτ maxxz PH/nτ

-0,784 53,0− -1,777 510245,3 −⋅ 510185,9 −⋅ 0,227

maxx PH/σ maxy PH/σ maxz PH/σ maxxy PH/τ maxyz PH/τ maxxz PH/τ

-0,995 -0,53 -1,777 510252,5 −⋅ 510638,9 −⋅ 0,615

Tensiunea echivalentă Huber-Mises-Hencky prezintă două vârfuri pe suprafaţa de contact și în imediata vecinătate a acesteia, iar în cazul unui coeficient de frecare f=0,5 se observă prezenţa unui singur vârf de valoare mai mare. În cea de-a treia fază s-a completat primul program numeric de calcul, realizat în limbajul de programare FORTRAN 100, în scopul determinării deformaţiei elastice. În cazul contactului circular între suprafeţe ondulate, încărcat cu sarcină normală, deformaţia elastică are o formă discontinuă, determinată de forma ondulaţiilor, diferită de forma continuă din cazul suprafeţelor netede. Ca valoare, în cazul suprafeţelor ondulate, adâncimea maximă a deformaţiei elastice, este de maxw =4,275 mm faţă de cazul

suprafeţelor netede în care maxw =3,773 mm. Acest lucru este justificat de valoarea mare a presiunilor în cazul contactului între corpuri mărginite de suprafeţe ondulate.

Un coeficient de frecare f=0,5 generează o ușoară asimetrizare pe direcţia de acţiune a frecării

În ceea ce privește rezultatele obţinute numeric la rezolvarea contactului sferă-plan au putut fi urmãrite urmãtoarele etape succesive: - mai întâi, validarea metodei prin comparare cu rezultatele lui Hertz, considerând suprafeţele din contact netede (ideale); - apoi, introducerea unor ondulaţii pe suprafaţa sferei, cu amplitudini și lungimi de undã variabile în ambele direcţii x și y; În cele ce urmează, această metodă numerică va permite: - realizarea altui program în domeniul elastoplastic; - în final, pentru obţinerea unei imagini mai precise asupra unui contact real, se va utiliza o suprafaţă reală, obţinută prin măsurarea suprafeţelor sferice și plane.

42

Capitolul 4 FORMULAREA ȘI REZOLVAREA PROBLEMEI CONTACTULUI CIRCULAR TEHNIC USCAT, ÎNTRE SUPRAFEŢE ONDULATE, ÎN DOMENIUL

ELASTOPLASTIC 4.1 Aspecte fenomenologice ale plasticităţii la solicitări uniaxiale Comportarea elastoplastică este caracterizată prin apariţia deformaţiilor ireversibile care încep de la un anumit nivel de solicitare. În domeniul elastic independenţa proprietăţilor elastice faţă de comportarea plastică justifică împărţirea deformaţiei totale tε într-o parte elastică eε și într-o parte plastică pε :

pet ε+ε=ε . (4.1) 4.2 1 Criterii de plasticitate Pentru metale izotrope, criteriile cele mai des utilizate sunt criteriul Tresca și criteriul VonMises. Ele au fost prezentate mai pe larg în cadrul Capitolului 2. 4.2.2 Legi de curgere Aspectele fenomenologice ale comportării plastic prezentate la solicitări uniaxiale arată că din momentul apariţiei curgerii plastice, cunoașterea componentelor tensorului tensiune nu mai este suficientă pentru deteminarea componentelor tensorului de deformaţie și reciproc. Starea actuală depinde de toate stările precedente, deci de drumul parcurs. Forma generală a legii de comportare plastică se poate scrie:

( ) ( )( )tftp ′σ=ε ; t′ = 0 la t. (4.3)

Dimpotrivă, cunoscând starea actuală de tensiune, de deformaţie și de ecruisare pentru un increment de tensiune dat σ se poate determina incrementul de deformaţie plastică pε corespunzător. Legile de comportament asociate sunt, în consecinţă, de tip incremental. Pentru metale, legea de curgere este definită prin regula normalităţii, consecinţă a principiului lucrului mecanic plastic maxim, Hill, [Hi67]. Ea stipulează că incrementul pε este normal la frontiera elastică în punctul de încărcare considerat, adică:

( )σ∂σ∂λ=ε fp ,

(4.4)

în care λ se numește multiplicator plastic. Trebuie impusă și o condiţie suplimentară incrementului de tensiune. Dacă se produce curgere la frontiera domeniului elastic, starea de tensiune aplicată are σ îndreptat spre exteriorul domeniului, ceea ce înseamnă că:

43

( )0:

f >σσ∂σ∂

. (4.5)

4.2.3 Legi de ecruisare În cursul curgerii plastice, starea de tensiune aplicată nu poate ieși din domeniul elastic și de aceea, domeniul elastic însuși se transformă pentru a permite continuarea încărcării. În literatura de specialitate au fost propuse mai multe tipuri de ecruisare, reprezentările cele mai simple fiind: ecruisarea izotropă, care corespunde unei dilatări a domeniului elastic în spaţiul tensiunilor și ecruisarea cinematică, în care domeniul elastic suferă o translaţie în spaţiul tensiunilor. 4.3 Modele ale comportării elastoplastice 4.3.1 Elastoplasticitatea perfectă Este modelul cel mai simplu, deoarece nu intervine ecruisarea. Cu toate că el constituie o aproximare grosieră a comportării reale a materialului, este încă deseori utilizat în metodele analitice sau semianalitice de rezolvare. 4.3.2 Ecruisarea izotropă (Prandtl-Reuss) Ecruisarea se traduce printr-o variaţie a limitei elastice în cursul curgerii. Aceasta este reprezentată printr-o variabilă scalară, care poate fi deformaţia plastică cumulată. Ca și în cazul precedent, este necesară utilizarea unei proceduri iterative. Legea de ecruisare ( )p

y eτ poate fi identificată plecând de la o încercare de tracţiune, Mayeur, [Ma95]. 4.3.3 Ecruisarea liniară (Prager) Variabila de ecruisare este de această dată de natură tensorială și reprezintă centrul domeniului elastic. Variabila de ecruisare X este proporţională cu deformaţia plastică și legea de ecruisare se scrie:

pijij CX ε= . (4.9)

Modulul de ecruisare C este o constantă scalară care exprimă liniaritatea ecruisării. Acest model impune o formă biliniară a curbei de tracţiune, Figura 4.3, Mayeur, [Ma95]. Modulul de ecruisare C este legat de modulul de plasticitate h printr-o relaţie de forma:

h32

C = , (4.10)

iar modulul aparent aE în domeniul elastoplastic se exprimă prin relaţia:

44

1

a h1

E1

E−

+= .

(4.11)

a)

b) Figura 4.3 Comportarea modelului de ecruisare liniară la tracţiune: a) definirea modulului aparent aE ; b) definirea modulului plastic h.

Aproximarea unei curbe de tracţiune printr-o reprezentare biliniară necesită o alegere judicioasă a valorii modulului h, în funcţie de ordinul de mărime al deformaţiei plastice. Ea poate fi valabilă pentru metale cu structură cubic centrată sau hexagonal centrată, Mayeur, [Ma95]. 4.3.4 Ecruisarea neliniară (Lemaître-Chaboche) Legea de curgere este aceeași ca și pentru modelul precedent. Legea de ecruisare este modificată prin adăugarea unui factor γ, care ţine cont de starea de ecruisare precedentă:

ijpp

ijij XeCX γ−ε= . (4.13)

În acest caz, modulul de ecruisare variază continuu în cursul curgerii. În spaţiul tensiunilor, domeniul elastic se deplasează în interiorul unei sfere fixe și modulul de ecruisare crește pe măsură ce domeniul elastic se apropie de suprafaţa limită. Acest model permite reproducerea efectelor mai complexe, în special în cazul încărcărilor ciclice, Mayeur, [Ma95]. 4.4 Program de calcul numeric al distribuţiei de presiuni la contactul circular tehnic uscat, între suprafeţe ondulate, în domeniul elastoplastic 4.4.1 Formularea matematică a problemei Distribuţia de presiune pe aria de contact influenţează direct apariţia și dezvoltarea zonelor deformate plastic, din interiorul corpurilor. La rândul lor, deformaţiile plastice

σ

yσ σ

O ε

σ

yσ σ

pε O

45

afectează mărimea presiunii în sensul micșorării valorilor acesteia faţă de cazul în care corpurile sunt considerate perfect elastice. Tabor consideră că apar deformaţii plastice de contact atunci când presiunea maximă de contact depășește limita de curgere la solicitarea uniaxială de tracţiune pură Yσ :

k63 Ymax ≈σ≅σ , (4.14)

în care k reprezintă limita de curgere la solicitarea de forfecare pură. Mayeur, a studiat comportarea unor epruvete din oţel de rulmenţi în domeniul elastoplastic folosind un model cu ecruisare liniară, utilizând criteriul de plasticitate Huber-Mises-Hencky. El estimează presiunea reală de contact printr-o funcţie liniară de presiunea hertzienă 0σ :

( )max0maxreal K σ−σ+σ=σ (4.15)

în care K este un coeficient care depinde de modulul de plasticitate h al materialului, definit în Figura 4.3b. Pentru oţeluri de rulmenţi echivalente lui RUL 1, modulul de plasticitate utilizat de cercetători are valoarea de 188 MPa, ceea ce corespunde unei valori 80,0K ≈ . Teza își propune realizarea unor programe de calcul care să permită evaluarea distribuţiei de presiune pentru două cazuri: - elastic-perfect plastic; - elastoplastic. Rezultatele obţinute vor fi utilizate apoi la determinarea stării de tensiuni și de deformaţii din interiorul corpurilor. 4.4.2 Determinarea numerică a distribuţiei de presiune Metoda numerică dezvoltată în continuare folosește o combinaţie a celor două posibilităţi menţionate. Astfel, se va obţine distribuţia de presiune și aria de contact fără a fi necesare alte ipoteze referitoare la modificarea geometriei corpurilor în contact datorită fenomenelor de plasticitate. Pe baza teoriei lui Hertz și a lui Boussinesq s-a obţinut relaţia matriceal – vectorială valabilă în cazul corpurilor perfect elastice:

[ ] k0kk hpAz =δ+⋅− , (3.48)

în care:

kz - ordonata z a centrului de greutate al dreptunghiului elementar k al ariei de contact;

kp - presiunea în centrul de greutate al dreptunghiului elementar k al ariei de contact;

kh - distanţa bilă–plan înainte de deformare în centrul de greutate al dreptunghiului elementar k al ariei de contact; A– matricea coeficienţilor de influenţă;

46

0δ - deplasarea rigidă a solidului elastic impusă iniţial;

NT,...,2,1k = - numărul de dreptunghiuri elementare în care a fost discretizată aria de contact. Deosebirea faţă de cazul corpurilor elastice este că, de data aceasta, există NT ecuaţii, cu NT necunoscute (punctele k pot fi în contact, kp , sau în afara contactului, kz ), deplasarea

rigidă 0δ fiind impusă iniţial.

Pe baza componentelor vectorului de deplasare kxX = se determină, din nou, distribuţia de presiune pe suprafaţa de contact. Ciclul se repetă, până când toate punctele suprafeţei de contact, aleasă iniţial mai mare decât cea calculată cu relaţiile lui Hertz, îndeplinesc condiţiile de contact (4.16). Presiunile astfel rezultate determină o sarcină mai mică decât cea impusă prin datele problemei și de aceea este necesară aplicarea unei deplasări incrementale δ∆ a corpului superior (sferei) până când se verifică ecuaţia de echilibru:

=

=∆∆NT

1kk Wyxp

(3.54)

Se obţine astfel direct distribuţia de presiune și suprafaţa reală de contact. 4.4.3 Rezultate numerice În Figura 4.19 se prezintă comparaţia distribuţiei de presiune pentru cazurile elastic, elastic-perfect plastic și elastoplastic cu ecruisare pentru profilul axial al corpurilor aflate în contact.

0

2000

4000

6000

8000

10000

12000

14000

16000

18000

1 4 7 10 13 16 19 22 25 28 31 34 37 40 43 46 49

a

b

c

Figura 4.9 Comparaţia distribuţiei de presiune a) elastic; b) elastic-perfect plastic; c) elastoplastic cu ecruisare.

47

4.5 Program de calcul numeric al stărilor de tensiuni și de deformaţii la contactul circular tehnic uscat, între suprafeţe ondulate, în domeniul elastoplastic 4.5.1 Formularea matematică a problemei Materialele metalice supuse unei încărcări care depășește limita de elasticitate nu mai prezintă comportă o relaţie liniară între tensiune și deformaţie. Schematizările pot utiliza, în acest caz, fie două drepte, corespunzător corpurilor elastoplastice cu ecruisare liniară, Figura 4.3, fie o relaţie neliniară de tip Ramberg-Osgood, Figura 4.10:

NE

B

σ+ε

σ=ε ,

(4.19)

în care:

Eσ - limita de elasticitate; σ - tensiunea echivalentă după criteriul Von Mises; B,N– constante de material.

Figura 4.10 Relaţia tensiune–deformaţie pentru corpuri elastoplastice cu ecruisare neliniară

Considerarea rigidităţii variabile a materialelor, în cazul unei solicitări peste limita de elasticitate, se poate face prin două metode: - utilizarea unor soluţii iterative, în care, plecând de la rigiditatea iniţială a materialului, respectiv de la modulul de elasticitate ce caracterizează porţiunea liniară a curbei tensiune–deformaţie, se ajunge în final la valori ale tensiunilor și deformaţiilor date de modul real de comportare al materialului în domeniul plastic; - utilizarea unor relaţii liniarizate între incremenţii de tensiuni și incremenţii de deformaţie; Această metodă se numește teoria incrementală a plasticităţii. Ea permite extinderea teoriei elasticităţii liniare și în domeniul plastic și va fi folosită în continuare datorită ușurinţei relative în efectuarea calculelor.

Eσ

panta )(E eε

panta )(E pε

ε

σ

48

Pe baza modelului Hartnett și Palazotto (1975), utilizat de Creţu și Hatmanu, [Cr85], și dezvoltat de Popescu, [Po96], folosind metoda forţe–deplasări, s-a realizat un algoritm de calcul a deformaţiilor plastice în cazul contactului circular tridimensional între suprafeţe ondulate, solicitate static cu forţe normale. Considerând rigiditatea materialului E′, se obţin relaţiile următoare pentru incremenţii globali de deformare:

Ed

2

3

Ed

E

d1d ijii

ijij

ij ′σ

σ

′σ+σνδ−

σν+=ε .

(4.29)

Exprimând relaţiile (4.29) în funcţie de componentele tensiunilor și folosind reprezentarea matriceală, se obţine:

[ ] [ ] [ ]ijijij dAd σ⋅=ε , (4.30)

în care, matricea A este dată de relaţia:

[ ] ( )

′σ+

−δν+

δ=E4

a1

EE1

A 2ij

ijijij ,

(4.31)

iar coeficienţii ija reprezintă derivatele parţiale de ordinul doi ale tensiunii echivalente în

raport cu componentele tensorului tensiune:

.aj

2

i

2

ij σ∂σ∂

σ∂σ∂

=

(4.32)

Rezolvând ecuaţia matriceală (4.30) se obţine valoarea reală a incrementului de tensiune

Bσ′ , care va determina deformaţia pur elastică eijdε obţinută cu ajutorul relaţiei (4.22).

Pentru acest increment de încărcare, pe baza relaţiei (4.21), rezultă incrementul de deformare plastică:

eij

tij

pij ddd ε−ε=ε . (4.33)

Analog se obţin deformaţiile plastice pentru toţi incremenţii de încărcare. Modificând adâncimea, până la o valoare dorită 0z , apoi considerând toate punctele în care a fost discretizată suprafaţa de contact, deformaţiile plastice totale se obţin prin însumarea deformaţiilor plastice incrementale. În consecinţă, deplasarea plastică p

zw a unui astfel de punct pe direcţia z se obţine printr-o însumare de forma:

49

=

∆ε=0z

0z

pz

pz zw .

(4.34)

4.5.2 Determinarea numerică a stării de tensiuni și de deformaţii Modelul matematic dezvoltat pe baza teoriei compatibilităţii a permis realizarea programului de calcul numeric prezentat în Anexa 3, Prodan și Diaconescu, [Pr00/3]. 4.5.3 Rezultate numerice Pe baza programului de calcul realizat, s-a obţinut deformaţia remanentă pentru cazul corpurilor elastic–perfect plastice și elastoplastice cu ecruisare liniară, respectiv neliniară. Profilele axiale ale deformaţiilor elastice și remanente sunt comparate în Figura 4.17.

-4.5

-4

-3.5

-3

-2.5

-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1 4 7 10 13 16 19 22 25 28 31 34 37 40 43 46 49

a

b

c

d

Figura 4.17 Comparaţie între deformaţiile remanente și deformaţia perfect elastică

a) deformaţie elastică; b) deformaţie remanentă elastic-perfect plastică; c) deformaţie remanentă pentru cazul ecruisării liniare; d) deformaţie remanentă pentru cazul ecruisării

neliniare. 4.6 Concluzii Prezenţa ondulaţiilor pe suprafeţele aflate în contact creează maxime locale de presiune. La rândul lor, acestea creează tensiuni intense sub suprafaţa de contact care produc deformarea plastică, chiar și la presiuni hertziene scăzute. În acest capitol s-a prezentat formularea generală a legilor de comportare elastoplastică la solicitări multiaxiale, în general, și unele legi particulare ale comportării elastoplastice aplicabile în cazul problemelor de contact: - elastoplasticitatea perfectă; - elastoplasticitatea cu ecruisare liniară; - elastoplasticitatea cu ecruisare neliniară. Pentru aceste cazuri și pentru același contact sferă ondulată-plan din capitolul precedent, s-au realizat două programe de calcul numeric. Primul program furnizează distribuţia de presiune, iar al doilea stările de tensiuni și de deformaţii din contactul analizat.

m

50

În primul program se impune deplasarea normală 0δ și proprietăţile materialului și se determină: apropierea corpurilor în contact, aria de contact și distribuţia de presiune. Considerând aceeași dimensiune a sferei, aceleași caracteristici ale ondulaţiei (amplitudine și pas) și aceeași încărcare (corespunzătoare unei presiuni hertziene maxime

GPa 5,3PHmax = ) s-a calculat și reprezentat grafic (ca profil axial și tridimensional) distribuţia de presiune și apropierea corpurilor aflate în contact pentru cazul elastic-perfect plastic, respectiv elastoplastic cu ecruisare. Comparaţia distribuţiilor de presiune arată că, faţă de o presiune hertziană maximă

GPa 5,3PHmax = corespunzătoare unei sfere netede, prezenţa ondulaţiilor produce vârfuri

de presiune care pot atinge valoarea de GPa 026,17P max pe = în caz elastic. În caz elastic-

perfect plastic, valoarea presiunii maxime este limitată la valoarea GPa 0,6P max pp = , iar în

caz elastoplastic cu ecruisare, presiunea maximă atinge valoarea GPa 954,13P max ep = .

Se constată respectarea următoarei relaţii de mărime între aceste presiuni:

max pemax epmax ppmax PPPPH <<< . (4.35)

În al doilea program, s-a adoptat o schematizare prin două drepte, pentru cazul elastoplastic cu ecruisare liniară, respectiv o relaţie neliniară de tip Ramberg-Osgood, pentru cazul elastoplastic cu ecruisare neliniară. Programul realizat în limbajul FORTRAN 100 a fost, mai întâi, verificat prin compararea rezultatelor furnizate cu cele obţinute de Popescu, [Po96], pentru un contact sferă netedă-plan neted, concordanţa rezultatelor fiind foarte bună. Apoi, s-a calculat și s-a reprezentat grafic (ca profil axial și tridimensional) deformaţia plastică pentru cazul elastic-perfect plastic și elastoplastic cu ecruisare liniară, respectiv neliniară. Faţă de cazul elastic, unde adâncimea deformaţiei este m 275,4wz

max pe µ= , în caz

elastic-perfect plastic m 333,4wzmax pp µ= , în caz elastoplastic cu ecruisare liniară

m 342,1wzmax epl µ= , iar în caz elastoplastic cu ecruisare neliniară m 83,1wz

max epn µ= ,

rezultând următoarea ordonare:

zmax pp

zmax pe

zmax epn

zmax epl wwww <<< . (4.36)

Pentru diametrele ariilor de contact s-au obţinut următoarele rezultate: mm 465,0dpe =

(cazul elastic), mm 435,0dpp = (cazul elastic-perfect plastic), mm 315,0dd epnepl ==

(elastoplastic cu ecruisare liniară și neliniară). Rezultatele obţinute diferă foarte mult în caz plastic faţă de cazul elastic, dar diferenţele sunt mult mai mici între cele două cazuri de ecruisare.