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Simulation technischer Systeme, WS 03/04
Vorlesung 6:Wie beschreiben wir Verhalten 1
Universität Stuttgart
Institut für Kernenergetik und Energiesysteme
Diese Fragen sollten Sie nach V1 beantworten können
– Wichtige Eigenschaften von Modellen– Modelle und ihre „Fehler“– Gibt es richtige Modelle– Techniken zur Reduktion der Komplexität– Aufgabe von Modellen im Lebenszyklus eines Systems– Wie können Modelle die Realität ergänzen– Wann kann die Realität an Modellen gemessen werden– Überlegen Sie sich ein Beispiel aus Ihrem Umfeld und zeigen
Sie typische Modellierungsschritte auf– Was bringt mir die Vorlesung– Welchen Aufwand will ich investieren
Simulation technischer Systeme, WS 03/04
Vorlesung 6:Wie beschreiben wir Verhalten 2
Universität Stuttgart
Institut für Kernenergetik und Energiesysteme
Diese Fragen sollten Sie nach V2 beantworten können - 1
1. Wie können wir Komplexität reduzieren
2. Was meint man mit Stukturierung von Daten
Zerlegung von Aufgaben
Wiederverwendung von Komponenten
Standardisierung von Vorgehen und Schnittstellen
3. Welche Elemente des Qualitätsmanagements müssen wir beachten
4. Was sind technische Objekte und wie können wir sie zu Systemen verbinden
5. Was bedeuten die 3 K des Ingenieurwesens
6. Was bedeuten die 3 S hoher Produktivität
Simulation technischer Systeme, WS 03/04
Vorlesung 6:Wie beschreiben wir Verhalten 3
Universität Stuttgart
Institut für Kernenergetik und Energiesysteme
Diese Fragen sollten Sie nach V2 beantworten können - 2
1. Was ist eine virtuelle Anlage und wozu können wir sie einsetzen
2. Was ist ein Modul und welche Typen unterscheiden wir
3. Warum trennen wir Beschreibung und Verhalten und wie hängen beide zusammen, wenn wir Verhalten simulieren
4. Wie unterscheidet sich der modulare Ansatz vom Ansatz der „technischen Objekte“
5. Wie setzt man im klassischen Software Engineering die 3S um
Simulation technischer Systeme, WS 03/04
Vorlesung 6:Wie beschreiben wir Verhalten 4
Universität Stuttgart
Institut für Kernenergetik und Energiesysteme
Diese Fragen sollten Sie nach V3 beantworten können
1. Was leisten Prozessmodelle?
2. Wann lohnt sich der Einsatz eines Prozessmodelles?
3. Was leistet der RUP?
4. Was sind die Grundideen des RUP?
5. Welche Hilfsmittel bietet der RUP an?
6. Wie finde ich weitere Informationen im RUP Handbuch?
7. Was ist Tailoring?
8. Zu was ist Tailoring nützlich?
9. Wie passe ich einen Workflow an ein konkretes Problem an?
10. Was sind die Elemente eines Prozessmodelles?
Simulation technischer Systeme, WS 03/04
Vorlesung 6:Wie beschreiben wir Verhalten 5
Universität Stuttgart
Institut für Kernenergetik und Energiesysteme
Diese Fragen sollten Sie nach V4 beantworten können - 1
1. Was ist ein Objekt und wie beschreiben wir es
2. Was ist eine Klasse und zu was nutzt sie
3. Welche Beziehungen zwischen Klassen/Objekten kann man zur
Modellierung verwenden
4. Was bedeutet Vererbung
5. Was sind Komponenten und Dienste
6. Ziele des Komponentenansatzes
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Vorlesung 6:Wie beschreiben wir Verhalten 6
Universität Stuttgart
Institut für Kernenergetik und Energiesysteme
Diese Fragen sollten Sie nach V4 beantworten können - 2
1. Was ist die UML
2. Wie beschreibt die UML Klassen
3. Wichtige Beziehungen zwischen Klassen
4. Was ist ein Use Case
5. Was ist ein Klassendiagramm
6. Wie beschreibt man eine Komponente
7. Wie liest man ein UML Diagramm
Simulation technischer Systeme, WS 03/04
Vorlesung 6:Wie beschreiben wir Verhalten 7
Universität Stuttgart
Institut für Kernenergetik und Energiesysteme
Diese Fragen sollten Sie nach V5 beantworten können
– Was bedeutet testgetriebene Entwicklung – Was ist ein JUnitTest– Geben Sie mindestens 3 Aggregationsstufen an und
beschreiben Sie ihre Funktion bei der Wiederverwendung– Was sind Entwurfsmuster und welche Bedeutung haben sie– Beschreiben Sie das Strategy Pattern– Was sind Frameworks– Beschreiben Sie die Beziehung zwischen Entwurfsmustern,
Frameworks und Komponenten und veranschaulichen Sie sie durch ein UML Diagramm
– Wie entwickelt man ein Framework– Was ist ein Anti Pattern– Wann setzt man Komponenten ein– Beschreiben Sie die 3 Komponentenarchitekturen
Simulation technischer Systeme, WS 03/04
Vorlesung 6:Wie beschreiben wir Verhalten 8
Universität Stuttgart
Institut für Kernenergetik und Energiesysteme
Simulation komplexer technischer Anlagen
Vorlesung 6: Modellierung des Verhaltens technischer Komponenten
Grundlagen der Numerik
Das sollten Sie heute lernen• Was ist eine Simulation?• Wie beschreiben wir technische Komponenten• Simulation auf Großrechnern• Rechnen auf endlichen Maschinen• Fehler bei Operationen• Diskretisierung von Funktionen• Integration von Funktionen• Differenzieren von Funktionen
Simulation technischer Systeme, WS 03/04
Vorlesung 6:Wie beschreiben wir Verhalten 9
Universität Stuttgart
Institut für Kernenergetik und Energiesysteme
Simulation
Definition nach VDI-Richtlinie 3633Simulation ist die Nachbildung eines dynamischen Prozesses in einem Modell, um zu Erkenntnissen zu gelangen, die auf die Wirklichkeit übertragbar sind.
Erfahrungen– Wir denken nur in Modellen - kein Modell ist auch ein Modell– Modellieren heißt abstrahieren - Fehler durch Weglassen– Modelle sind nicht wahr oder falsch, sondern adäquat
Häufiges Vorgehen– Identifiziere wichtige Komponenten (Analyse)– Beschreibe Verhalten durch Daten und Methoden (Entwurf)– Implementiere in Modul (Numerische Methoden)– Integriere Komponenten in System– Parametrisiere System und seine Komponenten– Untersuche Zeitverhalten– Interpretiere Ergebnisse
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Vorlesung 6:Wie beschreiben wir Verhalten 10
Universität Stuttgart
Institut für Kernenergetik und Energiesysteme
Bildung von Modellen
ProblemProblem
mathematischesModell
mathematischesModell
physikalischesModell
physikalischesModell
Analyse des mathe-matischen ModellsExistenz von Lösungen
Analyse des mathe-matischen ModellsExistenz von Lösungen
Numerisches ModellKonsistenz, Konvergenz
Numerisches ModellKonsistenz, Konvergenz
Analyse und Darstellungder Ergebnisse
Analyse und Darstellungder Ergebnisse
Simulation
Daten-Beschaffung
Daten-Beschaffung
ModulVerknüpfung
ModulVerknüpfung
Entwurf und Implementierung eines Programms
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Vorlesung 6:Wie beschreiben wir Verhalten 11
Universität Stuttgart
Institut für Kernenergetik und Energiesysteme
Modelle technischer Vorgänge
Basismodell Erhaltungsgleichungen für Masse, Energie und Impuls
Grundform zeitliche Änderung einer Systemgröße y
=
Differenz aus Quellen und Senken
- Simulationsmodelle erfordern mathematische Modelle und darauf abgestimmte Daten
- Datenmodelle müssen Semantik des Weltausschnittes und der Modellierung seines Verhaltens enthalten (Ontologie)
- Mathematische Modelle
a) differentielle Betrachtungsweise
Das ist gewöhnliche Differentialgleichung am Ort xi
b) Integrale Betrachtungsweise an Zeitpunkten tn und tn+1
Das ist eine Integralgleichung
c) Systeme von Differentialgleichungen erhält man, wenn
- mehrere Systemgrößen- mehrere Ortspunkte zu berücksichtigen sind.
dttyftytyn
n
t
tnn ,1
1
y,tftyStyQdt
dy ,,
Simulation technischer Systeme, WS 03/04
Vorlesung 6:Wie beschreiben wir Verhalten 12
Universität Stuttgart
Institut für Kernenergetik und Energiesysteme
Beschreibung einer technischen Komponente
Parameter verbinden Modell mit realen Komponenten
Zustand beschreibt Systemgrößen
Schnittstelle verbindet Systemgrößen unterschiedlicher Komponenten nach dem Ursache-Wirkungsprinzip
Methode Simulieren berechnet Werte der Systemgrößen zum Zeitpunkt tn+1
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Vorlesung 6:Wie beschreiben wir Verhalten 13
Universität Stuttgart
Institut für Kernenergetik und Energiesysteme
Komponentenbasiertes Modell eines Kreislaufes
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Vorlesung 6:Wie beschreiben wir Verhalten 14
Universität Stuttgart
Institut für Kernenergetik und Energiesysteme
The Virtual Powerplant as base for training and distributed student projects
Core simulation by ZIRKUS
System simulation by FLOWNET
Safety analyses
with ATHLET
Validation through
PBMM
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Vorlesung 6:Wie beschreiben wir Verhalten 15
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Institut für Kernenergetik und Energiesysteme
MPBR: System Design
P-23--
Generator
Precooler
Recuperator
Reactor
Intercooler
InventoryControlSystem
IntermediateHeat
Exchanger
520.C126.7kg/s
280 C
115 C1.3 kg/s 69.7 C
1.3 kg/s
488.9 C7.99 MPa125.4 kg/s
VesselCooling
HeatExchanger
522.5 C7.89 MPa125.4kg/s
900 C7.73 MPa
509.2 C7.59 MPa
879.4 C7.83 MPa126.7kg/s
799.2 C6.44 MPa
HP Turbine52.8 MW
LP Turbine52.8 MW
PowerTurbine
136.9 MW
719.0 C5.21 MPa
511.0 C2.75 MPa
30 C6.06 MPa
96.1 C2.73 MPa
488.8 C7.99 MPa126.7kg/s
27 C
Effectiveness: 95%Pressure Drop: 0.8%(Hot side)Pressure Drop: 0.13%(Cold side)
Effectiveness: 95%Pressure Drop: 1.77%(hot side)2% (cold side)
PD: 0.8%
PD: 0.8%
30 C2.71 MPa
69.7 C3.57 MPa
30 C3.54 MPa
69.7 C4.67 MPa
30 C4.63 MPa
69.7 C6.11 MPa
69.7 C8.0 MPa
LPC26.1 MW
MPC126.1 MW
MPC226.1 MW
HPC26.1 MW
IntercoolerPD:0.8%
IntercoolerPD:0.8%
Return
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Vorlesung 6:Wie beschreiben wir Verhalten 16
Universität Stuttgart
Institut für Kernenergetik und Energiesysteme
Modular program system ZIRKUS for reactor physics calculations
KUGEL (SPHERE)
NIVERM
NEVA
MICROX
MAGRU
HBLOCK
VORNEK
BUCK
NECKAR/THERMIX
SBURN
Core design
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Vorlesung 6:Wie beschreiben wir Verhalten 17
Universität Stuttgart
Institut für Kernenergetik und Energiesysteme
Model for annular PBMR core design
Return
Simulation technischer Systeme, WS 03/04
Vorlesung 6:Wie beschreiben wir Verhalten 18
Universität Stuttgart
Institut für Kernenergetik und Energiesysteme
PBMM facility of Potchefstoom University South Africa
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Vorlesung 6:Wie beschreiben wir Verhalten 19
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Institut für Kernenergetik und Energiesysteme
Anwendung detaillierter Simulationsmodelle
Detaillierte Modelle erlauben– Interpolation zwischen Messwerten (Verringerung teuerer
Messungen)– Untersuchungen von alternativen Lösungen (Variantenkonstruktion)– Optimierung des Betriebs unter aktuellen – Randbedingungen (Betriebsmanagement)– Untersuchungen in Grenzbereichen Störfallsimulation)– Überwachung der Steuerungstechnik (Fehlererkennung)
Detaillierte Modellierung erfordert– Detaillierung der Beschreibung– Integration neuer Effekte– verlässlichere Materialdaten– zuverlässigere Experimente– exaktere Randbedingungen– Integration von Erfahrungen aus Nachbardisziplinen
Simulation technischer Systeme, WS 03/04
Vorlesung 6:Wie beschreiben wir Verhalten 20
Universität Stuttgart
Institut für Kernenergetik und Energiesysteme
Rechnen auf endlichen Maschinen
endlich viele Stellen - Rundungsfehler
endlich viele Werte - Diskretisierungsfehler
endlich viele Schritte - Abbruchfehler
endlich viele Rechnerkomponenten - Rechenergebnisse von Anlage abhängig
Problem gut konditioniert - Rundungsfehler spielen keine Rolle
Problem konsistent - alle Diskretisierungsfehler gleiche Ordnung
Problem konvergent - alle Abbruchfehler gleiche Ordnung
Ziel: Numerische Fehler klein gegen Fehler aus Simulation, Mathematik, Physik
Simulation technischer Systeme, WS 03/04
Vorlesung 6:Wie beschreiben wir Verhalten 21
Universität Stuttgart
Institut für Kernenergetik und Energiesysteme
RundungsfehlerFehler der Grundoperationen
Sei a der exakte Wert einer gesuchten Größe und ã eine Näherung, dann sind der absolute Fehler a und der relative Fehler a der Näherung ã definiert durch (1)
Umgekehrt gilt (2)
Für die Genauigkeit eines Resultates ist meist der relative Fehler maßgebend, da er direkt mit der Anzahl N der korrekten bedeutsamen Ziffern in a zusammenhängt:
(3)
Aus (2) folgt Additivität des absoluten Fehlers bei Addition,
und näherungsweise Additivität von kleinen relativen Fehlern bei Multiplikation bzw. Division
Anders verhält sich die Subtraktion. Hier kann aufgrund von Stellenauslöschung der relative Fehler über alle Grenzen wachsen
wird genähert durch
aaa aaa ~
)1(~aaa
aN log10
)()(~~ bababa
)1()1)(1(~~
baba bababa
bafürbac
baccbac
bac
bac
)()(~
Fehler der Grundoperationen
Sei a der exakte Wert einer gesuchten Größe und ã eine Näherung, dann sind der absolute Fehler a und der relative Fehler a der Näherung ã definiert durch (1)
Umgekehrt gilt (2)
Für die Genauigkeit eines Resultates ist meist der relative Fehler maßgebend, da er direkt mit der Anzahl N der korrekten bedeutsamen Ziffern in a zusammenhängt:
(3)
Aus (2) folgt Additivität des absoluten Fehlers bei Addition,
und näherungsweise Additivität von kleinen relativen Fehlern bei Multiplikation bzw. Division
Anders verhält sich die Subtraktion. Hier kann aufgrund von Stellenauslöschung der relative Fehler über alle Grenzen wachsen
wird genähert durch
aaa aaa ~
)1(~aaa
aN log10
)()(~~ bababa
Simulation technischer Systeme, WS 03/04
Vorlesung 6:Wie beschreiben wir Verhalten 22
Universität Stuttgart
Institut für Kernenergetik und EnergiesystemeInterpolationsformel von Lagrange
Lagrangesche Formel für beliebige Stützstellen
L x L x y yx x
x xk k
k
n
ki
k ii i
n
k
n
0 0 00 ;
An den Stützstellen xi L x y i ni i , ..0muß wegen der Interpolationsbedingung gelten
Für die gelten die Beziehungen L xk i
1 für k = i
0 für k i
und allgemein
Lk
Die Lk sind Polynome vom Grad n, so daß L ein Polynom vom Höchstgrad n ist.
Beispiel für eine Interpolationsformel mit 2 Stützstellen damit Grad 1.
L x L x yx x
x xy
x x
x xyk k
k
0
11
0 10
0
1 01
L x x x x x x x x x x xx x x x x x x x x xk
k k n
k k n
0 1 1 1
0 1 1 1
1/2
Der Versuch wird durchKlick gestartet
Die mathematische Darstellung der Eulerzahl lautet:
e = f(n) =nn
n
lim
1
1
Die Limesbildung meint, daß bei einem sehr groß gewählten n das numeri-sche Ergebnis und die mathematisch exakte Lösung übereinstimmen. DieseTheorie stimmt jedoch nur solange n so klein bleibt, daß 1/n nicht in den Bereich der Rundungsfehler von 1 gelangt. Auf unseren Rechnern beträgt dieMantissenlänge für double 53 (für float 24) . Daraus ergibt sich ein Rundungs-fehler an der 55 Stelle. Nähert sich n dem Wert ,so erhält man für die Ergebnisfunktion ein Sägezahnprofil mit dem Höchstwert e² bei n= . Steigt n weiter an, dann gilt f(n)=1 Für n < wirkt sich der Rundungsfehler bei dervorgegebenen Zeichengenauigkeit nicht sichtbar aus.
1013
n 1000
253
n 1013
253
Auswirkungen von Rundungsfehler bei der Berechnung von e
n 1000 n 1013
Simulation technischer Systeme, WS 03/04
Vorlesung 6:Wie beschreiben wir Verhalten 23
Universität Stuttgart
Institut für Kernenergetik und Energiesysteme
Bestimmung von e
Ein Beispiel soll die Wirkung von Rundungsfehlern erläutern. Zu berechnen sei
Nach dieser Formel wurden die folgenden Werte mit 10stelliger Dezimalarithmetik berechnet.
Die Abweichungen in der rechten Spalte sind Folge von Rundungsfehlern.
So gilt etwa für n = 2 • 10‘ für 1/n = 5 • 10-10 und gerundet 10-9.
Für n = 2.5 • 10‘ erhält man für 1/2 = 4 • 10-10 und gerundet gerade 0. Die Verwendung der Potenzreihe
für würde hier Abhilfe schaffen.
Im Rahmen der numerischen Experimente wird ein entsprechender Versuch mit einem 32 bit-Rechner angeboten.
enfn
n
nnf
)(lim,
11)(
)1( 1nnl
n f(n) n f(n)
50 000 2.7182 54646 125 000 2.7182 81828 = e
100 000 2.7182 54646 125 001 2.7183 03575
120 000 2.7181 73099 1.0 109 2.7182 81828 = e
124 998 2.7182 38336 2.0 109 7.3890 56098 = e2
124 999 2.7181 58501 2.5 109 1.0000 00000
n f(n) n f(n)
50 000 2.7182 54646 125 000 2.7182 81828 = e
100 000 2.7182 54646 125 001 2.7183 03575
120 000 2.7181 73099 1.0 109 2.7182 81828 = e
124 998 2.7182 38336 2.0 109 7.3890 56098 = e2
124 999 2.7181 58501 2.5 109 1.0000 00000
Simulation technischer Systeme, WS 03/04
Vorlesung 6:Wie beschreiben wir Verhalten 24
Universität Stuttgart
Institut für Kernenergetik und Energiesysteme
Berechnet man aus einer Größe x über einen Algorithmus f(x) eine Größe y, so gibt es zwei Ursachen für Fehler
– Fehler in x
– Fehler in Operation
Daraus folgt
Darin bedeutet den absoluten Fehler durch die Operation
den absoluten Fehler durch das Argument
Nach dem Mittelwertsatz gilt
oder
Damit wird
cond f heißt Kondition der Operation. Für cond f < 1 führt die wiederholte Anwendung einer Operation zum Verschwinden des Fehlers durch das Argument, man sagt, die Operation ist stabil.
xx x )1(~
f)1(f~
f
)()~()~(
)~()1()~(~
)()~(~
)~(~~
xfxfxff
xfxfwirdxfxfmitxfy
y
fy
)~(xff
)()~( xfxf
fcondxfxfx
xf
xfxfxf
bcaab
afbfcf
xfxfy
y
x
)()('
)(
)()()('
)()()('
Fehler bei Operationen
Simulation technischer Systeme, WS 03/04
Vorlesung 6:Wie beschreiben wir Verhalten 25
Universität Stuttgart
Institut für Kernenergetik und EnergiesystemeInterpolationsformel von Lagrange
Lagrangesche Formel für beliebige Stützstellen
L x L x y yx x
x xk k
k
n
ki
k ii i
n
k
n
0 0 00 ;
An den Stützstellen xi L x y i ni i , ..0muß wegen der Interpolationsbedingung gelten
Für die gelten die Beziehungen L xk i
1 für k = i
0 für k i
und allgemein
Lk
Die Lk sind Polynome vom Grad n, so daß L ein Polynom vom Höchstgrad n ist.
Beispiel für eine Interpolationsformel mit 2 Stützstellen damit Grad 1.
L x L x yx x
x xy
x x
x xyk k
k
0
11
0 10
0
1 01
L x x x x x x x x x x xx x x x x x x x x xk
k k n
k k n
0 1 1 1
0 1 1 1
1/2
Die Summe der einzelnen Fehler ist eine normal verteilte Größe. Die Streu-ung der Normalverteilung ist . Wobei n die Zahl der Operationen und die Proportionalitätskonstante vom Rundungsfehler der einzelnen Opera-tionen abhängt.
In der Visualisierung sind dargestellt:a)die Einzelfehlerb)die Summenfehler c)der 2 Sigma Bereich für den Summenfehler
Bei diesem Versuch werden Zufallszahlen (a) generiert und durch die Vor-schrift (a/b+1)-1 gerundet. Die Differenz zwischen der ursprünglichen und der gerundeten Zufallszahl ergibt den Rundungsfehler (Rundfe). Wobeib=10 gilt.
Rundfe = a -a
bb
1 1
Der Versuch wird durchKlick gestartet
n
Fehlerfortpflanzung bei Addition
Simulation technischer Systeme, WS 03/04
Vorlesung 6:Wie beschreiben wir Verhalten 26
Universität Stuttgart
Institut für Kernenergetik und Energiesysteme
Diskretisierung von FunktionenNeben der diskreten Darstellung der Zahlen interessieren in der Numerik vor allem die diskrete Darstellung von Verläufen (Funktionen) und der darauf möglichen Operationen (vor allem Integration und Differentiation).
Drei Möglichkeiten der Diskretisierung von Verläufen sollen im Rahmen dieser Vorlesung behandelt werden. Ausgang ist
y = f(x)
x steht für die unabhängigen Variablen,
y steht für die abhängigen Variablen,
f gibt den Verlauf an und wird im Folgenden als Operation auf x gedeutet, die die Gerade y ergibt.
a) Diskretisierung der unabhängigen Variablen
wird durch Werte yi= f(xi) dargestellt.
Für weitere Operationen kann zwischen den Werten y i interpoliert werden. Als Interpolationsfunktion werden häufig Lagrange-Polynome verwendet.
yyixx
~
y~
Simulation technischer Systeme, WS 03/04
Vorlesung 6:Wie beschreiben wir Verhalten 27
Universität Stuttgart
Institut für Kernenergetik und Energiesysteme
Diskretisierung von Funktionen -2
b) Diskretisierung der abhängigen Variablen
Wählbar sind die Entwicklungsfunktionen Ni(x), die Bedeutung der Entwicklungskoeffizienten ai und die Art der Näherung von
c) Diskretisierung durch statistische Methode
wird über Werte beschrieben, wo xi zufällig bestimmt und nach verteilt sind. y~
xi
Ni iayy ~
yany~
xxfxf *
xf * x
Simulation technischer Systeme, WS 03/04
Vorlesung 6:Wie beschreiben wir Verhalten 28
Universität Stuttgart
Institut für Kernenergetik und Energiesysteme
Lineare Interpolation -1-
y wird durch zwei Punkte xo und x1 beschrieben. ist eine Gerade durch die Punkte (xo, yo) und (x1, y1)
Fasst man die Glieder mit yo und y1 zusammen, so gilt
Die Ausdrücke vor den Werten yo und y1 sind Funktionen von x. Wir bezeichnen sie mit
Offensichtlich gilt
und
100
1
01
1
0
01
11
0
xundxmitxx
xx
y~
1001
01
0
0
~ xxxyyxx
xxyy
1
01
0
0
01
1~ yxx
xxy
xx
xxy
xx 1
1
1
0 und
010
1
11
1
1
01
01
1
xundxmitxx
xx
xyyi
ii
11
0
~
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Vorlesung 6:Wie beschreiben wir Verhalten 29
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Institut für Kernenergetik und Energiesysteme
Lineare Interpolation -2-
Höhere Interpolation
heißen Lagrange-Polynome.
Es gilt
xyy n
ii
n
i
0
~
xn
i
,.
01
jifürjifürj
xni
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Vorlesung 6:Wie beschreiben wir Verhalten 30
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Institut für Kernenergetik und Energiesysteme
Ihre allgemeine Form lautet:
Für n = 3
Lagrange Polynome -1
))...()()...((
))...()()...((
110
110
0 niiiiii
nii
mi
mn
imm
nm xxxxxxxx
xxxxxxxx
xx
xxx
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Vorlesung 6:Wie beschreiben wir Verhalten 31
Universität Stuttgart
Institut für Kernenergetik und Energiesysteme
Lagrange Polynome -2
Mit diesen Interpolationsfunktionen lässt sich eine Funktion y(x) etwa folgendermaßen nähern:
)()3
o ii
(xy(x)y~(x)y xi
x0 x1 x2 x3
xy
xy~
Simulation technischer Systeme, WS 03/04
Vorlesung 6:Wie beschreiben wir Verhalten 32
Universität Stuttgart
Institut für Kernenergetik und EnergiesystemeInterpolationsformel von Lagrange
Lagrangesche Formel für beliebige Stützstellen
L x L x y yx x
x xk k
k
n
ki
k ii i
n
k
n
0 0 00 ;
An den Stützstellen xi L x y i ni i , ..0muß wegen der Interpolationsbedingung gelten
Für die gelten die Beziehungen L xk i
1 für k = i
0 für k i
und allgemein
Lk
Die Lk sind Polynome vom Grad n, so daß L ein Polynom vom Höchstgrad n ist.
Beispiel für eine Interpolationsformel mit 2 Stützstellen damit Grad 1.
L x L x yx x
x xy
x x
x xyk k
k
0
11
0 10
0
1 01
L x x x x x x x x x x xx x x x x x x x x xk
k k n
k k n
0 1 1 1
0 1 1 1
1/2
Versuch:Mit Hilfe von der Lagrangefunktion wird xsin(x) angenähert. Variiert werden der Approximationsbereich und der Grad der Approximation. Das Approximations-gebiet wird dann in n äquidistante Intervalle unterteilt. Als n+1 Stützstellen werden die Intervallgrenzen gewählt.
Der Versuch wird durchKlick gestartet
Lagrange
Interpolationsformel von Lagrange - 2
Simulation technischer Systeme, WS 03/04
Vorlesung 6:Wie beschreiben wir Verhalten 33
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Taylor-Reihenentwicklung
Folgende Festlegungen führen zur Taylor-Entwicklung:
– Entwicklungsfunktionen Polynome von (x - xo)
– Entwicklungkoeffizienten Wert und Ableitung an Stelle x0:
xn
n
n
x
x
xfdx
d
na
xfdx
da
xfdx
da
xfa
/)(!
1
..........
/)(!2
1
/)(
)(
2
2
2
1
00
• Art der Näherung y und stimmen an der Stelle x0 in Wert und allen Ableitungen bis zur Ordnung n überein.
y~
Simulation technischer Systeme, WS 03/04
Vorlesung 6:Wie beschreiben wir Verhalten 34
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Institut für Kernenergetik und Energiesysteme
Taylor-Reihenentwicklung -2
Ergebnis der Näherung
• Abbruch- oder Verstümmelungs-Fehler entspricht erstem vernachlässigtem Glied
• Konvergenz
xoxf
ndx
nd
n
noxx
xoxf
dx
dxxxfxyxy /)(
!
)(.../)(
!10)
0()(~)(
1)(0ˆ/)(1
1
)!1(
1)( noxx
oxxf
ndx
nd
n
noxx
)1(0ˆ)1(0ˆ1)(0
nhnxn
oxx
Simulation technischer Systeme, WS 03/04
Vorlesung 6:Wie beschreiben wir Verhalten 35
Universität Stuttgart
Institut für Kernenergetik und Energiesysteme
Stückweise Näherung -1
Häufig möchte man sich bei der Näherung auf Polynome niederer Ordnung beschränken. Um trotzdem kompliziertere Verläufe darstellen zu können, unterteilt man den Bereich, in dem die Funktion genähert werden soll, in m-Teilbereiche (Basisgebiete, Elemente), für die man je separat eine Näherung bestimmt. Man fordert Stetigkeit der Näherungen an den Anschlussstellen und erreicht das dadurch, dass je eine Stützstelle auf dem Rand liegt. Es gilt dann
sind die im Teilbereich j gültigen Interpolations- oder Ansatz-Funktionen je der Ordnung nj. Die Näherung heißt stückweise stetig.
xnji
m
j
nj
iiyy
1 0
~
xnj
Simulation technischer Systeme, WS 03/04
Vorlesung 6:Wie beschreiben wir Verhalten 36
Universität Stuttgart
Institut für Kernenergetik und Energiesysteme
Stückweise Näherung -2
In den folgenden Bildern vergleichen wir stückweise stetige Näherungen der Funktion
durch Diskretisierungen von x und y jeweils mit verschiedenen Ordnungen und verschiedenen Aufteilungen in Untergebiete. Als Versuchsfunktionen wurden Polynome 1.Ordnung verwendet. Bei der Diskretisierung von y erfolgte die Anpassung so, dass das Integral unter Funktion und Näherung identisch sind:
2xy
Diskretisierung von x
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21Diskretisierung von y
-0,2
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
b
a
b
adxyydx ~
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Vorlesung 6:Wie beschreiben wir Verhalten 37
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NullstellensucheZu jedem Problem
existiert ein Umkehrproblem
Die Bestimmung des Wertes xp zu einem vorgegebenen Wert yp heißt Nullstellensuche.
Zu lösen ist das Problem
Für komplizierte Verläufe von f(x) kann dies nur näherungsweise geschehen. Folgender Algorithmus hat sich bewährt:
Nähere xp durch
Berechne
Für
sonst
Der Algorithmus heißt Iteration.
xfy
xFxyfyfx 11
0p
yxfxg
0
0 xxp
np
n
pxFx 1
Ende,1 n
p
n
pxx
1 nn
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Vorlesung 6:Wie beschreiben wir Verhalten 38
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Nullstellensuche -2-
Die Iteration wird also abgebrochen, wenn kleiner als eine vorgegebene Schranke ist.
Wird diese Schranke unterschritten, so sagt man, die Folge der sei konvergent.
Folgende Fragen sind zu klären:
a) Wie findet man eine passende Iterationsvorschrift?
b) Welche Anfangswerte sind zu wählen?
c) Unter welchen Bedingungen konvergiert die Folge der ?
d) Wie schnell konvergiert die Folge der ?
Antworten finden wir experimentell am Beispiel
n
p
n
pxx 1
n
px
n
px
n
px
ax 2
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Vorlesung 6:Wie beschreiben wir Verhalten 39
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Nullstellensuche -3-
Sie sollen am folgenden Beispiel erläutert werden:
Folgende Iterationsvorschriften bieten sich an:
Dieses Verfahren heißt Newton-Verfahren.
0222 axxxgxxfap
y
xFx
ax
xg
xgxx
xgfürund
xgxxxgxgxga
xFxxaxxaa
xFxaxaxa
ip
ip
ip
ipi
pip
ip
ip
ip
ip
ip
ip
ip
ip
ip
ip
ipi
3
2
1
1
113
2
2122
112
2
0
0
0
/
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Vorlesung 6:Wie beschreiben wir Verhalten 40
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Numerische Integration
1. Unterteile Integrationsgebiet a, b in Teilgebiete ai, bi
2. Nähere Funktion in Teilgebiete durch bekannte Funktionen
2.1 Lagrange
2.2 Gauß
xjixj
fxf ~
ff
xj
Nxf jj
an~
vonAnpassungfürVorschrift
~
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Vorlesung 6:Wie beschreiben wir Verhalten 41
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Verfahren nach Newton Cotes -1
3. Integriere Näherungslösung
Ausgang: Lagrange Interpolation
Integration:
Tabellierung: Die Werte des sind für verschiedene Ordnungen von Lagrange-Funktionen tabelliert.
xjj i
xfxf
~
dxxjiaibj
xf
dxxibia
jj
xfdxibia
xf
j
j
10
~
dxxj
10
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Vorlesung 6:Wie beschreiben wir Verhalten 42
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Verfahren nach Newton Cotes -2
Tabelle der normierten Integrale:
n Ordnung der Näherung, i Stützstelle
nsi
RegelWeddle
1400
9840412162727227216416
-12096
2752881975505075195
RegelMilne945
890732123274
)a"pulcherrim("Regel3/8
80
3813313
RegelSimpson90
161412
lTrapezrege12
12111
99
67
67
45
45
23
fh
fh
fh
fh
fh
fh
NameFehlernsn i
nsi
iaibi
xfI
Integralwert,
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Vorlesung 6:Wie beschreiben wir Verhalten 43
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Verfahren nach GaußAusgang: Entwicklung nach Funktionen
Wo Nj (x) Legendere Polynome
Nj = f (xj) Funktionswerte an Gauß-Punkten xi
und die Anpassung von so erfolgt,
dass bei einer Näherung der Ordnung n die Fläche unter einer Kurve der Ordnung 2n exakt genähert wird. Stützstellen heißen Gauß Punkte
Integration:
Tabellierung: Tabelliert sind die Gauß-Punkte und die Integrale.
xNxfi
ji ~
xfanxf~
dxxNaibi
xf
dxxNxfdxxf
ii
i
bi
aiii
i
bi
ai
1
12
~
i
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Vorlesung 6:Wie beschreiben wir Verhalten 44
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KonvergenzverbesserungIst die Konvergenzordnung mit 0 (hh-1) bekannt, so gilt
Daraus kann man zwei Methoden zur Lösungsverbesserung ableiten:
a) Richardson-Extrapolation
Verändert man h q • h, so gilt
Eliminiert man a, so gilt
Dies ist die Richardson-Extrapolation.
b) Romberg-Tableau
Wiederholt man eine Rechnung mit verschiedenen
Maschenweiten h0,h1, ... hn, so kann man auf je zwei
Ergebnisse eine Richardson-Extrapolation anwenden. Dies führt zum folgenden Rechenschema (Romberg-Tableau).
1~ nhayy
1~
1~
nhqq
aqhyy
nhanyy
20
1
~~~ nhmit
nq
qnyny
nyy
2
21
221
11
0
h
h
h
y
y
yyy
y
y
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Vorlesung 6:Wie beschreiben wir Verhalten 45
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Numerisches Differenzieren -1
...!2 2
22
iiiiiix
dx
ydxx
dx
dyxxyxxy i
...2
2
!2
21
11
...2
2
!2
2
1giltso
111
11und
dSetzen wir
ixdx
ydixixdx
dyixiyiy
ixdx
ydixixdx
dyixiyiy
ixyixixyiyixyixixyiy
ixyiy
Ausgang ist die Taylor-Reihenentwicklung:
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Vorlesung 6:Wie beschreiben wir Verhalten 46
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Numerisches Differenzieren -2
Daraus ergibt sich folgende Strategie zur Bestimmung von Ableitungen diskretisierter Funktionen.
1. Stelle Taylor-Reihen-Entwicklung bis zur n-ten Ableitung auf.
2. Ist n größer 1, so müssen n-1 Ableitungen niederer Ordnung eliminiert werden. Dazu sind n-1 weitere Taylor-Entwicklungen an der selben Stelle x i aufzustellen
(z.B. yi-1, yi+2, yi-2, ...).
3. Eliminiert man die Ableitungen niederer Ordnung, so erhält man
...,1, ixixfyndx
ndix
Das erste vernachlässigte Glied
ixy
ndx
nd
n
nix
1
1
1
1
Allgemein gilt: Zur Approximation eines Differentialquotienten nach Ordnung sind mindestens Funktionswerte an n+1 Maschenpunkten nötig. Der Abbruchfehler ist von der Ordnung xn+1 und der Diskretisierungsfehler hat die Ordnung x
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Vorlesung 6:Wie beschreiben wir Verhalten 47
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Beispiel 1 Berechnung von
A1) Aus yi+1 folgt durch Abbruch nach dem zweiten Glied:
Der Abbruchfehler ist
A2) Aus yi-1 folgt durch Abbruch nach dem zweiten Glied:
Der Abbruchfehler ist
ydx
d
i
ii
i x
yyy
dx
d1
i
i
i
i ydx
dxy
dx
dx3
32
2
2
!3!2
1
1
i
ii
i x
yyy
dx
d
i
i
i
i ydx
dxy
dx
dx3
32
1
2
2
1
!3!2
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Vorlesung 6:Wie beschreiben wir Verhalten 48
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Beispiel 1 - Fortsetzung
A3) Kombiniert man beide Näherungen, so erhält man:
Der Abbruchfehler ist
Nach dem Mittelwert der Differentialrechnung gibt es einen Wert
derart, dass = 0 wird. In der Regel ist
ii
ii
i xx
yyy
dx
d
1
11
i
ii
ii
i
ii
ii ydx
d
xx
xxy
dx
d
xx
xx3
3
1
3
1
3
2
2
1
2
1
2
6
1
1*
1:* ixixixix
*ixix
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Vorlesung 6:Wie beschreiben wir Verhalten 49
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Beispiele 2 Näherung von
Aus der Summe von yi+1 und yi-1 folgt:
Spezialfall
1
1
1
1
1
1
2
2 22
21i
ii
i
ii
ii
i
ii
iy
xx
xyy
xx
x
xxy
dx
d
i
iii
iy
dx
dx
x
yyyy
dx
d i
4
42
2
11
2
2
!4
2mit
2
xxxii
1
ydx
d2
2
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Vorlesung 6:Wie beschreiben wir Verhalten 50
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Ist Ausgang der Näherung eine Diskretisierung der abhängigen Variablen, so gilt
und für die Ableitungen
Die Qualität dieser Näherung hängt jetzt stark von der Art der Anpassung
von an y, also von der Art der Wichtung und der Basisfunktionen, ab.
Es ist auch möglich, den ai die Bedeutung von Ableitungen zu geben (siehe Taylor-Reihen).
Bildung von Differentialen bei Funktionsentwicklungen
y~
xi
Nn
i iay
0
~
xi
Nndx
ndn
i iay
ndx
nd
0
~