UNIVERSIDADE FEDERAL DE PELOTAS

INSTITUTO DE FÍSICA E MATEMÁTICA

DEPARTAMENTO DE FÍSICA

Física - 090095

Fernando Simões Jr.

Sumário

Capítulo 1. Introdução 5

1.1. Revisão de matemática 5

Capítulo 2. Fundamentos da Mecânica 9

2.1. Medindo Grandezas 9

2.2. Notação Cientí�ca 10

2.3. Mudança de unidades 10

2.4. Força 11

2.5. Torque 18

2.6. Energia 20

2.7. Trabalho 21

Capítulo 3. Fluidos 27

3.1. 1-O que é um �uido? 27

3.2. 2-Fluidos em Repouso 28

3.3. 3-O Princípio de Pascal 29

3.4. 4-O Princípio de Arquimedes 30

3.5. 5-Fluidos Ideais em Movimento 32

3.6. 6-A equação da Continuidade 33

3.7. 7-A equação da Bernoulli 33

Capítulo 4. Termodinâmica 35

4.1. 1-Temperatura 35

4.2. 2-Lei Zero da Termodinâmica 35

4.3. 3-Calor 36

4.4. 4-Primeira Lei da Termodinâmica 38

4.5. 5-Lei dos Gases Ideais 39

4.6. 6-Máquinas Térmicas e a Segunda Lei da Termodinâmica 41

4.7. 7-Radiação Térmica 43

4.8. 8-Termodinâmica de Atmosferas: Ideias básicas 44

Índice Remissivo 51

3

CAPíTULO 1

Introdução

1.1. Revisão de matemática

A Matemática representa uma poderosa ferramenta para auxiliar os físicos na solução dos fênomenos da

natureza. De fato é muito surpreendente que as leis que regem a natureza possa ser descritas através de leis

matemática. Podemos dizer que a Física é a ciência que mais se utiliza dos conceitos matemáticos, muito embora

a Física não seja apenas teórica, todavia se faz necessário dominar dominar bem as ferramentas matemáticas

para se aprofundar em ideias físicas mais complexas.

O formalismo matemático é o primeiro passo para quem está começando a estudar as disciplinas de Física.

Nesta seção vamos fazer uma breve revisão de alguns conceitos matemáticos que são indispensáveis para a

compreensão do conteúdo desta apostila. Se alguns dos conceitos apresentados aqui não forem muito bem

conhecidos é recomendável que você aprofunde seus estudos em matemática básica do ensino médio.

1.1.1. Triângulos. Consideremos algumas propriedades básica dos triângulos.

Seja um triângulo de altura h e base a conforme a Fi-

gura 1.1.1.

A área do triângulo será dada por: A = 12ah

Figura 1.1.1. Triângulo qualquer.

Para o triângulo retângulo da Figura 1.1.2, o teorema

de Pitágoras nos diz que:

c2 = a2 + b2

Figura 1.1.2. Triângulo retângulo.

5

6 1. INTRODUÇÃO

Consideremos um triângulo qualquer, onde A, B, C e

D são ângulos, e a, b e c são os lados do triângulo como

representado na Figura 1.1.3.

Soma dos ângulos internos. A+B + C = 1800

Ângulo externo D = A+ C ou D = 180−BLei dos senos. sin A

a = sin Bb = sin C

c

Lei dos cossenos. c2 = a2 + b2 − 2ab cosC

Figura 1.1.3. Triângulo qualquer.

1.1.2. Funções trigonométricas básicas. Seja um triângulo retângulo representado na Figura 1.1.4. A

partir dele, podemos obter as funções trigonométricas básicas:

sin(θ) =C.OP.

Hip.; csc(θ) =

Hip.

C.OP.;

cos(θ) =C.Adj.

Hip.; sec(θ) =

Hip.

C.Adj.;

tan(θ) =C.OP.

C.Adj.; coth(θ) =

C.Adj.

C.OP.;

Figura 1.1.4. Triângulo retângulo.

onde, sin(θ), cos(θ) e tan(θ) são as funções trigonométricas básicas do ângulo θ, C.OP. é o cateto oposto

ao ângulo no triângulo retângulo, C.Adj. é o cateto adjacente ao ângulo θ e Hip. é a hipotenusa no triângulo

retângulo.

1.1.3. Identidades trigonométricas: Muitas vezes podemos obter relações entre as funções trigono-

métricas básicas e outras relações trigonométricas. Este procedimento é realizado utilizando-se identidades

trigonométricas. A seguir será apresentado algumas das identidades trigonométricas mais comuns.

sin2(θ) + cos2(θ) = 1 sin(2θ) = 2 sin(θ) cos(θ)

sin(900 − θ) = cos(θ) cos(900 − θ) = sin(θ)

tan(θ) =sin(θ)cos(θ)

1.1.4. Albegra básica: Sejam n, a, b e c números reais, e x e y duas variáveis independentes, temos:

nx+ ny = n(x+ y)

(x+ y)2 = x2 + 2xy + y2

(x− y)2 = x2 − 2xy + y2.

Se, ax2 + bx+ c = 0, então

1.1. REVISÃO DE MATEMÁTICA 7

x =−b±

√b2 − 4ac

2a.

Sejam, p e q dois números inteiros, as operações de

números com expoentes serão dadas por

xp.xq = xpq

x0 = 1 se x 6= 0n√x = x

1/n

xp

xq= xp−q

x−p =1xp

(xp)q = xp.q

(x.y)p = xp.yp

p√xq = x

q/p

p

√x

y=

p√x

p√y

CAPíTULO 2

Fundamentos da Mecânica

2.1. Medindo Grandezas

Hoje, para que uma área do conhecimento humano seja considerada ciência é necessário que esta utilize o

método ciêntí�co. Este método nos diz que é fundamental realizar, de forma criteriosa, experimentos para que

se possa averiguar ou formular teorias cientí�cas aceitáveis. A ideia por detras de um procedimento experimen-

tal consiste basicamente na comparação entre as quantidades que desejamos determinar com um padrão pré

estabelecido e muito bem aceito pela comunidade cientí�ca.

Na época dos grandes impérios, os padrões de medidas eram fundamentalmente determinados em função

das dimensões humanas do seus reis, por exemplo, um pé era a medida do pé de um rei, uma polega era o

comprimento do dedo polegar de um outro rei. Estes padrões, além de não serem nada precisos, eram trocados

cada vez que o rei era substituído e variavam de uma região para outra.

Em função de uma falta de padrão para as medidas, em 1971 na 14ª Conferência Geral de Pesos e Medidas

foram selecionados sete grandezas, chamadas de grandezas fundamentais os quais foram atribuídos padrões

a essas grandezas. Esses padrões são chamados de padrões fundamentais. Atualmente, os padrões funda-

mentais são constituídos de sete quantidades físicas chamadas de grandezas fundamentais, e constituem a base

do Sistema Internacional de Unidades SI.

As outras grandezas da física são chamadas de grandezas derivadas e suas unidades são determinadas

por estas sete medidas fundamentaisde. As tabelas 1 e 2 apresentam as sete grandezas fundamentais e algumas

das grandezas derivadas, respectivamente, que utilizaremos neste curso de física.

Grandeza Nome da Unidade Símbolo da Unidade

Comprimento metro mMassa quilograma kgTempo segundo s

Corrente elétrica ampère ATemperatura kelvin K

Quantidade de matéria mol molIntensidade luminosa candela cd

Tabela 1. Unidades das grandezas fundamentais do SI.

Grandeza Nome da unidade Símbolo da Unidade

Área metro quadrado m2

Volume metro cúbico m3

Massa especí�ca quilograma por metro cúbico kg/m3

Velocidade metro por segundo m/sAceleração metro por segundo ao quadrado m/s2

Força newton N (kg m/s2)Trabalho, energia, quantidade de calor joule J (N.m)

Tabela 2. Algumas unidades secundárias do SI.

9

10 2. FUNDAMENTOS DA MECÂNICA

2.2. Notação Cientí�ca

Em física, frequentemente encontramos grandezas muito grandes ou muito pequenas comparadas com a

escala usual humana. Uma forma de escrever estes números é utilizar a notação cientí�ca que emprega a

utilização de potências de base 10, por exemplo

3.800.000.000m = 3, 8× 109m

0, 00000026s = 2, 6× 10−7s

No computador ou calculadora, é comum que os números sejam representados pela notação cientí�ca da

seguintes formas:

3.8E9 ou 2.6E − 7

Quando utilizamos números muito grandes ou muito pequenos, é conveniente utilizarmos pre�xos para

representar uma certa potência de 10.

2.3. Mudança de unidades

Em problemas de física, muitas vezes precisamos manipular as quantidades envolvidas para que todas elas

tenham unidades apropriadas. Para isso, necessitamos mudar as unidades nos quais uma grandeza física está

escrita. Isso pode ser feito usando um método conhecido como conversão em cadeia. Neste método multiplicamos

a grandeza original por um fator de conversão (uma razão entre unidades que é igual à unidade).

Por exemplo, 1m = 100cm então 1m e 100cm correspondem a distâncias iguais. Também sabemos que

1mim e 60s correspondem a intervalos de tempos iguais, assim podemos utilizar estas correspondências para

criar fatores de conversão.

1min = 60s → 1min60s

= 1, ou60s

1min= 1.

Assim, as razões acima podem ser utilizadas como fatores de conversão.

Note que isso não é o mesmo que escrever 160 = 1 ou 60

1 = 1, cada número deve ser tratado juntamente

com sua unidade.

Exemplo 1. É comum aprendermos no ensino médio que para converter de km/h para m/s devemos dividir

o valor em km/h por 3, 6. Entretanto, de onde vem esta regra? Vamos considera que um objeto tem velocidade

de 10 km/h e desejamos expressar esta velocidade em m/s.

SOLUÇÃO: Utilizando a regra de conversão em cadeia, e sabendo que 1km = 1000m e que 1h = 3600spodemos construir os fatores de conversão.

1000m1km

= 11h

3600s= 1

Como nosso objetivo é converter de km/h para m/s desejamos remover a unidade km do numerador e a

unidade h do denominador da quantidade 10km/h. Para isso vamos multiplicar a quantidade original pelos

fatores de conversão.

10km

h= 10

km

h

1000mkm

1h3600s

= 101000m3600s

= 101m3, 6s

= 2, 78m

s.

Exemplo 2. Converta a aceleração da gravidade de 9, 8m/s2 para cm/h2.

SOLUÇÃO: Sabemos que a relação entre cm e m é dada por: 1m = 100cm e a relação entre horas e

segundos é 1h = 3600s. Entretanto, podemos observar que na aceleração da gravidade a unidade de tempo está

elevada ao quadrado. Para convertermos as unidade também devemos proceder as mesmas potências nas quais

2.4. FORÇA 11

as unidades são apresentadas, assim, devemos elevar ao quadrado o fator de conversão das unidades de tempo,

para que as duas quantidades tenham o mesmo expoente.

9, 8m

s2= 9, 8

m

s2

100cm1m

(3600s

1h

)2

= 9, 8m

s2

100cm1m

(1, 3× 107s2

1h2

)9, 8

m

s2= 1, 27× 1010 cm

h2

2.4. Força

Conceito de Força

Todo leitor que busca uma primeira leitura em um livro de física básica, depara-se inicialmente com o estudo

do movimento de corpos. As causas de tais movimentos são estudadas posteriormente com a ideia de força.

Através de uma abordagem diferente, porém mais lógica, estudaremos nesse capítulo o conceito de força, as leis

de Newton e suas consequências práticas. Para isso, deixaremos de lado o estudo da cinemática.

2.4.1. Mecânica Newtoniana. Em termos coloquiais força é um empurrão ou um puxão sobre um objeto,

ou de uma forma mais re�nada, �uma pertubação de uma agente externo sobre um objeto�. Essa pertubação

pode se manifestar por um contato entre o agente e o corpo ou simplesmente através de interações de longa

distância. Na realidade todas as forças da natureza são de longa distância. Foi apenas no século XX que os físicos

conseguiram mostrar que todas as forças da natureza são derivadas apenas por 4 FORÇAS FUNDAMENTAIS,

conhecidas por: Força Gravitacional, Força Eletromagnética, Força Fraca e a Força Forte. Por exemplo, a força

que não deixa um copo afundar sobre uma mesa rigída pode ser compreendida como a resultantes de todas as

forças eletrostáticas existentes entre o copo e a mesa. Por outro lado, para se estudar a dinâmica deste copo

rolando sobre a mesa não será necessário computar todas as interações microscópicas existentes entre o copo e

a mesa. Para isso, levaremos em conta, apenas FORÇAS EFETIVAS, que nada mais são do que um tipo de

FORÇA RESULTANTE que atua sobre os corpos (mesa e copo).

Na descrição mecânica do movimento diremos que o efeito de uma força, que age sobre um corpo, é a

mudança da velocidade deste corpo, produzindo assim, uma aceleração sobre o mesmo. A relação que existe

entre a força e a aceleração foi descoberta por Isaac Newton (1642-1727). Newton trabalhou muitos anos para

poder compreender as leis �clássica� que regem o movimento dos corpos. Em nosso estudo vamos nos concentrar

nas três leis básicas do movimento da Mecânica Newtoniana.

A Mecânica Newtoniana não pode ser aplicada à todas situações físicas que se fazem presentes em nosso

cotidiano, por hora, iremos desprezar qualquer incoveniente e enunciar as três leis básicas do movimento.

2.4.2. Primeira lei de Newton. Antes de Newton formular sua teoria da mecânica, acreditava-se erro-

neamente (Física Aristotélica) que:

• Era necessário uma certa in�uência �força� para manter um corpo em movimento com velocidade

constante;

• Um corpo estava em seu �estado natural� apenas quando estava em repouso.

Para romper com estas duas ideias, Newton propôs um experimento mental, que consistia em considerar o

lançamento de um disco sobre uma superfície. Quando lançamos um disco sobre uma superfície áspera, o disco

move-se por uma pequena distância e para logo em seguida. Se polirmos um pouco a superfície o disco poderá

alcançar uma distância maior, se for lançado com a mesma velocidade do caso anterior. Agora, se lançarmos o

mesmo disco sobre uma superfície de gelo, ele alcançará uma distância muito maior que as duas anteriores.

12 2. FUNDAMENTOS DA MECÂNICA

A partir das considerações acima, podemos concluir que um corpo manterá seu estado de movimento com

velocidade constante se nenhuma força (de qualquer origem) agir sobre ele. Isso nos leva à primeira das três

leis de Newton.

Ideia da Primeira lei de Newton (Lei da Inécia): Se nenhuma força atua sobre um corpo, sua

velocidade (vetorial) não pode mudar, ou seja, o corpo não pode sofrer uma aceleração.

Em outras palavras, se o corpo estiver em repouso ele permanecerá em repouso. Se o corpo estiver em

movimento, continuará com a mesma velocidade (mesmo módulo e orientação). Por exemplo: Num movimento

circular, sem aceleração, o módulo da velocidade é contantes, contudo sua direção varia no tempo, o que signi�ca

que existe uma aceleração atuando sobre o corpo (aceleração centrípeda).

2.4.3. Força. A força é uma grandeza vetorial que segue as regras vetoriais, isso signi�ca que quando duas

ou mais forças atuam sobre um corpo podemos calcular a força total ou força resultante somando vetorialmente

as forças.

Podemos substituir todas as forças aplicadas num corpo por uma única força. Essa força nós chamaremos

de força resultante, que nada mais é do que a soma vetorial de todas as forças aplicadas no corpo. Este fato é

chamado de princípio de superposição das forças.

As forças são sempre representadas por uma pequena seta sobre a letra que representa a força1,~F , e as

forças resultantes são representadas por ~Fres ou ~Fr.

Quando as forças atuam somente em uma direção podemos dispensar a seta sobre o símbolo da força e

utilizar apenas sinais para indicar o sentido da força ao longo de um eixo. Convencionalmente consideramos o

sentido positivo (+) na direção positiva do eixo de coordenadas e sentido negativo (-) na direção negativa do

eixo de coordenadas.

Rigorosamente o enunciado da primeira lei de Newton é baseado na ideia de força resultante.

Primeira lei de Newton: Se nenhuma força resultante atua sobre um corpo (~Fres = 0) seu vetor

velocidade não pode mudar, ou seja, o corpo não pode sofrer uma aceleração. Em outras palavras, o corpo não

pode produzir força sobre ele mesmo.

No Sistema Internacional de unidade a força tem unidade de N (newton)

1N = 1kg.1m

s2.

2.4.4. Segunda lei de Newton (forma simpli�cada). A força resultante que age sobre um corpo é

igual ao produto da massa do corpo pela sua aceleração.

Em termos matemáticos temos:

~Fres = m.~a

onde m é a massa do objeto e ~a é o vetor aceleração que o objeto está sujeito. Devemos lembrar que ~Fres é a

força resultante que atua somente sobre o objeto que está sendo analisado. Apenas as forças que atuam neste

objeto é que devem ser consideradas.

A segunda lei de Newton também pode ser escrita na forma de suas componentes,

Fres,x = max; Fres,y = may; Fres,z = maz.

Podemos escrever uma força bidimensional na forma de suas componentes utilizando as seguintes regras de

decomposição de vetores.

1Em alguns livros também podemos encontrar a força representada por letras em negrito F.

2.4. FORÇA 13

Vamos considerar uma força ~F bidimensional na plano

xy como representado na �gura 2.4.1. As componentes

x e y da força são as projeções �sombras� da força nos

eixos x e y. Para obtermos as componentes ~Fx e ~Fy da

força utilizando as relações matemáticas abaixo:

~Fx = ~F cos(θ)

~Fy = ~F sin(θ)

onde θ é o ângulo entre a força e o eixo x.

Figura 2.4.1. Decomposição de forças.

Exemplo 3. A �gura 2.4.2 mostra duas forças horizontais atuando em um bloco apoiado em um piso sem

atrito. Se uma terceira força horizontal ~F3 também age sore o bloco, determine o módulo e a orientação de ~F3 se

o bloco está a) em repouso, b) se movendo para a esquerda com velocidade constante de 5m/s. Res. (a,b)~F = 2Npara a esquerda.

Figura 2.4.2. Exemplo.

Exemplo 4. Nas �guras 2.4.3 a,b e c, uma ou duas forças agem sobre um disco metálico que se move sobre

o gelo sem atrito ao longo do eixo x em um movimento unidimensional. A massa do disco é m = 0, 2kg. As

forças F1e F2 atuam ao longo do eixo x e têm módulos F1 = 4N e F2 = 2N. A força ~F3fás um ângulo θ = 300

com o eixo x e tem módulo F3 = 1N . Qual é a aceleração do disco em cada caso?

14 2. FUNDAMENTOS DA MECÂNICA

Figura 2.4.3. Exemplo.

SOLUÇÃO: Em cada situação podemos relacionar a aceleração ~a à força resultante ~Fres que age sobre o

disco através da segunda lei de Newton. Como o movimento ocorre somente na direção x podemos simpli�car

a situação escrevendo a segunda lei de Newton apenas para as componentes na direção x.

Para o caso a):

F1 = ma

4N = 0, 2kg.a

a =4N

0, 2kg

a = 20m

s2

Para o caso b)

F1 − F2 = ma

a =F1 − F2

m

a =(4− 2)N

0, 2kg

a = 10m

s2

Para o caso c)

F3x − F2 = max

Sabemos que F3x = F3 cos(θ)

F3 cos(θ)− F2 = ma

a =F3 cos(θ)− F2

m

a =(1. cos(30)− 2)N

0, 2kg

a = −5, 7m

s2

Signi�ca que a força imprime uma aceleração de 5, 7m/s2na direção negativa do eixo x.

2.4.5. Força Gravitacional. A força gravitacional ~Fg é um tipo especial de força que está relacionada

com a atração que um corpo exerce em outro. Por enquanto vamos considerar que um destes corpos é a Terra.

2.4. FORÇA 15

Assim, quando falamos da força gravitacional ~Fg que age sobre um corpo estamos nos referindo à força que o

atrai na direção do centro da Terra, ou seja, verticalmente para baixo.

Se considerarmos como referência um eixo vertical com sentido positivo para cima, (eixo y) a segunda lei

de Newton pode ser escrita na forma ~Fres,y = m. ~ay que em nossa situação, se torna

−~Fg = m.(−~g)

onde ~Fg é a força gravitacional, m a massa do corpo e ~g a aceleração da gravidade que no casa da Terra vale

aproximadamente 9, 8m/s2.

A equação acima pode ser reescrita como

Fg = mg.

Em palavras, o módulo da força gravitacional é igual ao produto mg.

? Esta força atua SEMPRE mesmo que o corpo não esteja em queda livre. Para que a força gravitacional

desapareça a Terra deveria desaparecer.

2.4.6. Peso. O peso P de um corpo é o módulo da força necessária para impedir que o corpo caia livremente

em direção ao solo. Assim, por exemplo, para manter uma bola parada em repouso em sua mão você deve aplicar

uma força para cima para equilibrar a força gravitacional que a Terra exerce sobre a bola.

O peso de um corpo é igual ao módulo Fgda força gravitacional que age sobre o corpo

P = mg.

Atenção: O peso de um corpo não é a sua massa. Peso é o módulo de uma força e está relacionado à

massa através da equação P = mg. Se você mover o corpo para um local onde g é diferente a massa do corpo

permanecerá a mesma, mas o seu peso mudará.

2.4.7. Força Normal. Quando um corpo exerce uma força sobre uma superfície a superfície (ainda que

aparentemente rígida) se deforma e empurra o corpo com uma força normal ~FN que é perpendicular à superfície.

fícA origem dessa força é de natureza eletromagnética e está relacionada com a impossibilidade de os elétrons

e prótons se aproximarem inde�nidamente uns com relação aos outros.

O nome força normal vem do termo matemático normal, que signi�ca perpendicular.

Exemplo 5. A �gura 2.4.4 mostra uma caixa sobre uma mesa que pode ser acelerada para cima ou para

baixo. Obtenha a expressão para a força normal que atua sobre a caixa.

Figura 2.4.4. Exemplo.

16 2. FUNDAMENTOS DA MECÂNICA

SOLUÇÃO: A partir da segunda lei de Newton, podemos escrever a força resultante que atua sobre a caixa.

FN − Fg = m.ay

FN −mg = may

FN = m(g + ay)

Se o bloco está em repouso ou movimento retilíneo uniforme v = constante, ay = 0, portanto

FN = mg

A situação acima é um caso particular onde FN = Fg, isso só ocorre para um sistema horizontal e onde

ay = 0. Para todos os outros casos FN 6= Fg.

Se ay > 0 situação em que a mesa é acelerada para cima

FN = m(g + ay).

Se ay > 0 situação em que a mesa é acelerada para baixo

FN = m(g − ay).

2.4.8. Atrito. Quando empurramos ou tentamos empurrar um corpo sobre uma superfície, a interação

dos átomos do corpo com os átomos da superfície faz com que haja resistência ao movimento. A resistência é

considerada uma força única ~f que recebe o nome de força de atrito. Essa força é paralela à superfície e aponta

sempre no sentido oposto ao movimento ou a tendência de movimento.

Exitem duas formas de atrito, o atrito estático (sem movimento) e o atrito cinético (com movimento).

A experiência mostra que a força de atrito possui três propriedades:

(1) Se um corpo recebe uma força ~F e não se move, a força de atrito estático ~fs e a componente de~F paralela à superfície se equilibram. Elas tem o mesmo módulo e ~fs tem sentido oposto ao da

componente de ~F .

(2) O módulo de ~fs possui um valor máximo ~fs,max que é dado por

fs,max = µsFN

onde µsé o coe�ciente de atrito estático e FN é o módulo da força normal que a superfície exerce sobre

o corpo. Se o módulo de F paralela à superfície excede fs,max o corpo entra em movimento.

(3) Se o corpo começa a deslizar ao longo da superfície, o módulo da força de atrito diminui rapidamente

( de forma descontínua) para um valor fkdado por

fk = µkFN

onde µké o coe�ciente de atrito cinético. daí em diante, durante o movimento, uma força de atrito

cinético com módulo dado pela equação acima se opõe ao movimento.

Os coe�ciente µs e µksão obtidos experimentalmente e dependem das propriedades físicas das superfícies envol-

vidas.

2.4.9. Tração. Quando uma corda ou um �o é presa a uma corpo e esticada aplica ao corpo uma força ~T

orientada ao longo da corda. Essa força é chamada de força de tração porque a corda está sendo tracionada. A

tensão na corda é o módulo T da força exercida sobre o corpo.

2.4. FORÇA 17

Figura 2.4.5. Exemplos da força de Tração.

2.4.10. Terceira lei de Newton. A terceira lei de Newton descreve uma importante propriedade das

forças: as forças sempre ocorrem aos pares. Dizemos que dois corpos interagem quando empurram ou puxam

um ou outro, ou seja, quando cada um exerce um força sobre o outro. Suponha, por exemplo, que você apoie

um livro (B) em uma caixa (C) como na �gura 2.4.6. Nesse caso o livro e a caixa interagem. A caixa exerce

uma força horizontal ~FBC sobre o livro e o livro exerce uma força horizontal ~FCB sobre a caixa.

Figura 2.4.6. Exemplo da terceira lei de Newton.

A partir do exemplo podemos enunciar a terceira lei de Newton.

⇒Quando dois corpos interagem, as forças que cada

corpo exerce sobre o outro são sempre iguais em mó-

dulo e têm sentidos opostos.

No casa de livro e da caixa, podemos escrever essa lei

com a relação escalar, com módulos iguais

FCB = FBC

ou com uma relação vetorial com módulos iguais e sen-

tidos opostos~FCB = −~FBC .

Podemos chamar as forças entre dois corpos que inte-

ragem de par de forças da terceira lei.

No exemplo, o livro e a caixa estão em repouso, mas

a terceira lei de Newton seria válida se estivessem em

movimento uniforme ou mesmo acelerado.

Atenção: O par de forças da terceira lei NUNCA ocor-

rem no mesmo corpo.

Vamos considerar os pares de forças de um sistema

constituído de uma abóbora, uma mesa e a Terra, como

mostrado na Figura 2.4.7.

A abóbora interage com a mesa e esta com a Terra

(desta vez, existem três corpos cujas interações deve-

mos estudar).

18 2. FUNDAMENTOS DA MECÂNICA

Figura 2.4.7. Par de forças da ter-ceira lei de Newton.

Vamos nos concentrar nas forças que agem sobre a abóbora (Fig 2.4.7b). A força ~FAM é a força normal

que a mesa exerce sobre a abóbora e a força ~FAT é a força gravitacional que a Terra exerce sobre a abóbora.

Elas forma um par de forças da terceira lei? Não, pois são forças que atuam sobre um mesmo corpo a abóbora,

e não sobre dois corpos que interagem.

Para encontrar um par da terceira lei precisamos nos concentrar não na abóbora, mas na interação entre

a abóbora e outro corpo. Na interação abóbora-Terra (Fig 2.4.7c), a Terra atrai a abóbora com uma força

gravitacional ~FAT e a abóbora atrai a Terra com uma força gravitacional ~FTA. Essas forças formam um par de

forças da terceira lei? Sim, porque as forças atuam sobre dois corpos que interagem e a força a que um está

submetido é causada pelo outro corpo. Assim, de acordo com a terceira lei de Newton, a interação abóbora-Terra

será~FAT = −~FTA.

Na interação abóbora-mesa a força da mesa sobre a bola é ~FAM e a força da abóbora sobre a mesa é~FMA (Fig 2.4.7d). Essa forças também formam um par de forças da terceira lei e portante, para a interação

abóbora-mesa~FAM = −~FMA.

2.5. Torque

Você já se perguntou como fazemos para abrir uma porta, soltar os parafusos apertados da roda de um

carro? Que conceito físico está por trás destas duas tarefas simples?

2.5. TORQUE 19

Uma maçaneta �ca o mais longe possível do eixo das

dobradiças por uma boa razão. Para abrir uma porta

pesada você certamente deve aplicar uma força; apenas

isso, contudo, não é su�ciente. O lugar onde você aplica

e a direção em que empurra a porta também são parâ-

metros importantes. Se você aplica a força mais perto

do eixo das dobradiças que a maçaneta, ou com um

ângulo diferente de 900em relação ao plano da porta,

precisa usar uma força maior para abrir a porta do que

se aplicar a força à maçaneta, perpendicularmente ao

plano da porta.

A Figura 2.5.1a mostra uma seção reta de um corpo

que está livre para girar em torno de um eixo passando

por O e perpendicular à seção reta. Uma força ~F é

aplicada no ponto P , cuja posição em relação a O é

de�nida por um vetor posição ~r. O ângulo entre os

vetores ~F e ~r é φ.

Para determinar o modo com ~F provoca uma rotação

do corpo em torno do eixo de rotação, podemos separar

a força em duas componentes (Fig 2.5.1b).Figura 2.5.1. Corpo rígido livrepara girar em torno do ponto O.

Uma destas componentes, a componente radial Fr, tem a direção de ~r. Esta componente não provoca

rotações, já que agem ao longo de uma reta que passa por O. (Se você puxar um porta paralelamente ao plano

da porta, a porta não vai girar). A outra componente de ~F , a componente tangencial Ft, é perpendicular a ~r e

tem módulo Ft = F sin(φ). Esta componente provoca rotações. (Se você puxar uma porta perpendicularmente

ao plano da porta, a porta vai girar.)

A capacidade de ~F de fazer o corpo girar não depende somente do módulo da componente tangencial Ft,

mas também da distância entre o ponto de aplicação de ~F e o ponto O. Para levar em conta esses dois fatores

de�nimos uma grandeza chamada de torque (τ) como o produto dos dois fatores:

τ = rF sin(φ).

O torque, cujo nome vem de uma palavra em latim que signi�ca �torcer� pode ser descrito coloquialmente

como a ação de girar ou torcer de uma força ~F . Quando aplicamos uma força a um objeto com uma chave de

fenda ou uma chave de boca com o objetivo de fazer o objeto gerar, estamos aplicando um torque. A unidade

de torque no SI é o newton-metro (N ·m).

No momento, porém, como estamos considerando rotações em torno que um único eixo, não precisamos

usar notação vetorial. em vez disso, atribuímos ao torque um valor positivo ou negativo, dependendo do sentido

da rotação que ele imprimiria a um corpo a partir do repouso. Se o corpo gira no sentido anti-horário, o torque

é positivo. Se o torque faria o objeto girar no sentido horário, ele é negativo. Os torque obedecem o princípio da

superposição das forças, quando vários torques atuam sobre um corpo, o torque total ou torque resultante

é a soma dos torques individuais.

20 2. FUNDAMENTOS DA MECÂNICA

2.6. Energia

A física Newtoniana nos ajuda a analisar uma série de movimentos. Entretanto, dependendo do tipo de

movimento, este tipo de tratamento pode ser muito complicado.

Por exemplo, descrever o movimento de uma caixa deslizando uma montanha de gelo é uma tarefa muito

complicada se utilizarmos a mecânica Newtoniana.

Por causa deste tipo de problema os cientistas começaram a desenvolver uma forma mais e�ciente de analisar

determinados problemas de física. Esta forma envolve o conceito de energia do corpo ou de vários corpos.

O que é energia? Responder esta pergunta pode ser um tanto complicado.

Tecnicamente, energia é uma quantidade que determina a capacidade de um corpo realizar trabalho. Em

outras palavras, energia é um número que nos traduz o quanto um corpo pode transmitir ou realizar trabalho

aos demais corpos vizinhos a este. Este diversas formas de energia classi�cadas pelos físicos. Para objetos

em movimento, descobriu-se que há uma certa energia que está relacionada com o movimento, esta energia é

chamada de energia cinética (K). Quando o objeto está em repouso sua energia cinética é nula. Quanto mais

rápida é a velocidade do objeto maior será sua energia cinética.

Para um objeto de massa m e velocidade escalar v � c onde c é a velocidade da luz no vácuo, a energia

cinética será

K =12mv2.

No SI a unidade de energia cinética e qualquer outra forma de energia é joules (J). 1J = 1kg.1m2

s2.

Exemplo 6. Um pato de 3kg voando a uma velocidade de 2m/s terá uma energia cinética de?

SOLUÇÃO:

K =12mv2 =

12

3kg.(

2m

s

)2

K = 6J

Exemplo 7. Duas locomotivas inicialmente em repouso separadas por uma distância de 6, 4km são acele-

radas uma contra a outra em rota de colisão. Cada locomotiva pesa 1, 2 × 106N e é acelerada com aceleração

constante de 0, 26m/s2. Qual a energia cinética das duas locomotivas no instante anterior da colisão?

SOLUÇÃO: Para obtermos a energia cinética no instante da colisão, precisamos saber a velocidade de cada

locomotiva neste instante. Como as locomotivas são aceleradas com aceleração constante, podemos utilizar a

equação v2 = v20 + 2a∆x.

Se as locomotivas partem do repouso, v0 = 0m/s, como as locomotivas são aceleradas à mesma taxa, o ponto

da colisão será na metade da distância que separa as duas, assim, ∆x =1

26, 4km = 3, 2km = 3, 2 × 103m.

Observe que escrevemos a distância em metros, isso é necessário porque utilizaremos a aceleração com unidades

de m/s2. Resolvendo a equação para a velocidade temos,

v2 = 0 + 2.(0, 26m

s2).(3, 2× 103m) = 40, 8

m

s.

Cada locomotiva terá uma velocidade de 40, 8m

sAgora devemos encontrar a massa de cada locomotiva, podemos obter a massa através do peso de cada uma

P = mg.

P = mg

m =P

g

m =1, 2× 106N

9, 8m/s2= 1, 22× 105kg.

2.7. TRABALHO 21

Como já possuímos a massa e a velocidade de cada locomotiva, podemos obter a energia cinética das duas

locomotivas.

Lembrando que a energia cinética de cada locomotiva é dada por K =1

2mv2, a energia das duas locomotivas

será

K = 21

2mv2 = 1, 22× 105kg.40, 8m/s = 2, 0× 108J.

2.7. Trabalho

Se acelerarmos um objeto para aumentar sua velocidade através da aplicação de uma força, aumentaremos

sua energia cinética K. De forma similar, se aplicarmos uma força em um objeto para diminuir sua velocidade,

estaremos diminuindo sua energia cinética.

A transferência da energia para ou a partir de um objeto mediante a aplicação de uma força é chamada de

trabalho feito em um objeto por uma força, o trabalho tem o símbolo (W ).

Formalmente de�nimos: O trabalho W é a energia transferida para ou a partir de um objeto pela

medida de uma força atuando em um objeto. Energia transferida para o objeto é chamado de trabalho positivo

e trabalho negativo é a energia transferida a partir do objeto.

Trabalho tem a mesma unidade de energia e é uma quantidade escalar. No SI, trabalho tem unidades de J

(joule).

2.7.1. Expressão para o trabalho. Consideremos a Figura 2.7.1 abaixo,

Figura 2.7.1. Uma força ~F atua em uma bola e faz com que a bola realize um deslocamento~d. Variando sua energia cinética de Ki para Kf .

A partir da segunda lei de Newton, ~F = m~a temos a relação entre a força e a aceleração que o objeto está

submetido.

Como o deslocamento é na horizontal devemos obter a componente da força e da aceleração na direção do

deslocamento.

Na direção x temos:

Fx = max

ax =Fx

m(2.7.1)

onde m é a massa do objeto.

Como o objeto realiza um determinado deslocamento ~da força muda sua velocidade de ~v0 para ~v. Como a

força é constante, a aceleração será constante.

Assim, podemos utilizar a equação abaixo

(2.7.2) v2 = v20 + 2axd,

22 2. FUNDAMENTOS DA MECÂNICA

para obtermos a velocidade na direção x utilizaremos as equações 2.7.1 e 2.7.2, assim,

v2 = v20 + 2

Fx

md

v2 − v20 = 2

Fx

md

1

2mv2 −

1

2mv2

0︸ ︷︷ ︸ = Fxd(2.7.3)

∆K = Fxd

na equação 2.7.3 o lado esquerdo é a variação da energia cinética e o lado direito é o trabalho da força F . Esta

equação é chamada de teorema Trabalho e Variação da Energia Cinética.

Podemos dizer que o trabalho realizado pela força para deslocar o objeto em uma distância d é igual a

variação da energia cinética do objeto, daí temos que

W = Fxd.

Observação: Para calcular o trabalho de uma força realizado em um objeto durante um deslocamento,

consideramos somente a componente da força na direção do deslocamento. Para a componentes da força

perpendicular ao deslocamento o trabalho é zero.

Retornando par a Figura 2.7.1, temos que a componente da força na direção do deslocamento será Fx, onde

Fx = F cos(φ), então teremos

(2.7.4) W = Fd cos(φ)

ou na notação vetorial W = ~F · ~d.Restrições: Na expressão 2.7.4a força deve ser constante e a partícula dever ser considerada um ponto

material (suas dimensões não devem ser levadas em conta).

Quando duas ou mais forças atuam em um objeto o trabalho total é a soma dos trabalhos realizados por

cada força individualmente.

Quando a força que atua no objeto é a força gravitacional isto é, o peso, o trabalho será:

Wp = mgd cos(φ).

Para um objeto lançado para cima na vertical com velocidade v0 sem a ação de nenhuma outra força exceto

a gravidade teremos Subida, φ = 1800; Wp = mgd cos(1800) = −mgd

Descida, φ = 00; Wp = mgd cos(0) = mgd.

Exemplo 8. Dois ladrões roubam um cofre, o ladrão 1 (Spy001) aplica uma força constantes~F1 e o ladrão

2 (Spy002) aplica uma força ~F2 em um cofre de massa m = 225kg como representado na Figura . A força ~F1 é

direcionada para baixo fazendo um ângulo θ1 = 300 e têm módulo F1 = 12N . A força ~F2 é direcionada para

cima formando um ângulo de θ2 = 400 com a horizontal e têm módulo F2 = 10N . As forças fazem com que

a caixa deslize sobre um piso sem atrito uma distância ~d = 8, 5m. a) Qual é o trabalho realizado por ~F1e ~F2

durante o deslocamento ~d? b) Qual o trabalho total realizado sobre a caixa? c) Qual o trabalho do peso durante

o mesmo deslocamento?

2.7. TRABALHO 23

Figura 2.7.2. Duas forças aplicadas a uma caixa de massa m.

SOLUÇÃO:

a) O trabalho das forças será obtidos utilizando a expressão do trabalho: W = F.d. cos(θ).

W1 = F1d cos(θ1) = 12N.8, 5m. cos(300) = 88, 33J

W2 = F2d cos(θ2) = 10N.8, 5m. cos(400) = 65, 11J

b) O trabalho total será a soma dos trabalhos das forças.

WT = W1 +W2 = 88, 33J + 65, 11J = 153, 4J

c) Como o ângulo entre a força e o deslocamento é 900 temos cos(90) = 0, portanto WP = mg cos(90) = 0J .

2.7.2. Força Elástica. Vamos discutir o trabalho realizado sobre uma partícula por um tipo particular

de força variável, a força elástica exercida por uma mola. Muitas forças na natureza têm a mesma forma

matemática que a força elástica exercida por uma mola. Assim, examinando esta força em particular, podemos

compreender muitas outras.

A �gura 2.7.3a mostra uma mola nos estado relaxado, ou seja, nem comprimida nem alongada. Uma

das extremidades está �xa, e um objeto que se comporta como uma partícula, um bloco, por exemplo, está

preso na outra extremidade. Se alongarmos a mola puxando o bloco para a direita, a mola puxa o bloco para a

esquerda (Como a força elástica tende a restaurar o estado relaxado da mola, ela também é chamada de força

restauradora). Se comprimirmos a mola empurrando o bloco para a esquerda, a mola empurra o bloco para a

direita para tentar restaurar o estado relaxado da mola.

24 2. FUNDAMENTOS DA MECÂNICA

Figura 2.7.3. Sistema massa mola.

Como uma boa aproximação para muitas molas, a força ~Fsde um mola é proporcional ao deslocamento ~d

da extremidade livre a partir da posição que ocupa quando a mola está no estado relaxado. A força elástica é

dada por~Fs = −k~d

que também é conhecida como lei de Hooke, em homenagem a Robert Hooke. o Sinal negativo da força

elástica indica que o sentido da força é sempre contrário ao deslocamento sofrido pela extremidade livre da

mola. A constante k é chamada de constante elástica, e é uma medida da rigidez da mola. Quanto maior o

valor de k, mais rígida é a mola, ou seja, maior é a força exercida pela mola para um dado deslocamento. A

unidade de k no SI é o newton por metro.

Note que o comprimento da mola não é escrito explicitamente na força elástica, esta característica, assim

como as propriedades do material e formato da mola estão embutidos na constante elástica k.

2.7.3. Trabalho realizado por uma mola. Como a força elástica de uma mola não é constante, não

podemos utilizar a equação do trabalho, eq. 2.7.4, para calcular o trabalho da força da mola porque a equação

2.7.4 assume que a força seja constante.

Para uma força variável, o trabalho é dado porˆ x2

x1

F (x)dx

se x1 é o ponto de equilíbrio, temos

Ws = −12kx2

que é a expressão para o trabalho realizado por um mola em uma dimensão.

2.7.4. Potência. Muitas vezes não tem utilidade prática sabermos apenas o trabalho realizado por um

força, mas também queremos saber quanto tempo é gasto por uma força para realizar um determinado trabalho.

Potência é a taxa temporal com que o trabalho é realizado

Pmedia =W

∆t.

A potência é uma quantidade escalar e tem unidades de W →watt =joules

segundo.

A potência instantânea P é dada por

P =dW

dt

2.7. TRABALHO 25

que para uma força constante pode ser escrita por

P = F cos(θ)dx

dt

lembrando quedx

dt= v velocidade, temos

P = F.v. cos(θ).

Exemplo 9. A �gura mostra duas forças constantes F1e F2 atuando em um bloco que deslisa sem atrito.

A força F1 é horizontal com magnitude de 2N . A força F2 é aplicada com um ângulo de 600 em relação ao solo

e tem magnitude de 4N . A velocidade da caixa em um determinado instante é de 3m/s. a) Qual a potência de

cada força atuando na caixa? b) Qual a potência total?

Figura 2.7.4. Figura do exemplo.

SOLUÇÃO:

a)

P1 = F1.v. cos(θ) = 2N.3m/s cos(1800) = −6W

P2 = F2.v. cos(θ) = 4N.3m/s cos(600) = 6W

b)

Ptotal = P1 + P2 = −6W + 6W = 0W

como a potência total é nula, nenhum trabalho é realizado sobre a caixa, portanto ∆k = 0, assim, v = constante.

CAPíTULO 3

Fluidos

3.1. 1-O que é um �uido?

Um �uido, ao contrário de um sólido, é uma substância que pode escoar. Os �uidos assumem a forma do

recipiente em que são colocados. Eles se comportam dessa forma porque um �uido não pode resistir a uma força

paralela à sua superfície. Um �uido pode, porém, exercer uma força na direção perpendicular à superfície.

3.1.1. 1.1-Massa Especí�ca e Pressão. Quando estudamos �uidos estamos mais interessados em subs-

tancias sem um forma de�nida e em propriedades que podem variar de um ponto a outro da substância. Nesse

caso, é mais útil falar em massa especí�ca e pressão do que em massa e força

3.1.2. Massa Especí�ca. Para determinar a massa especí�ca ρ de um �uido em um certo ponto do

espaço, isolamos um pequeno elemento de volume ΔV em torno do ponto e medimos a massa Δm do �uido

contido nesse elemento de volume. A massa especí�ca é dada por

(3.1.1) ρ =∆m∆V

.

A massa especí�ca é uma grandeza; sua unidade no SI (Sistema Internacional) é o quilograna por metro

cúbico.

3.1.3. Pressão. Considere um dispositivo capaz de medir pressão dentro de um �uido (�gura 1). O �uido

exerce uma força ΔF (peso do �uido) sobre a área móvel ΔA do dispositivo. Desta forma iremos de�nir a

pressão p do �uido sobre a superfície ΔA do dispositivo da seguinte maneira

(3.1.2) p =∆F∆A

.

27

28 3. FLUIDOS

Teoricamente, a pressão em qualquer ponto no �uido é o limite dessa razão quando a área ΔA da superfície

móvel desse dispositivo tende a zero. Entretanto, se a força é uniforme em uma superfície plana de área A

podemos escrever a última equação na forma

(3.1.3) p =F

A,

onde F é a força exercida sobre o êmbolo. A unidade de pressão no SI é o newton por metro quadrado, que

recebe o nome especí�co de Pascal (P a). A relação entre o pascal e outras unidades de pressão muito usadas

na prática (mas que não pertence ao SI) é a seguinte:

(3.1.4) 1atm = 1, 01x105Pa = 760torr.

A atmosfera (atm) é, como o nome indica, a pressão média aproximada da atmosfera ao nível do mar. O

torr (torricielli) é conhecido também como milímetro de mercúrio (mmHg).

3.2. 2-Fluidos em Repouso

Como todo mergulhador sabe, a pressão dentro da água vai aumentando com a profundidade, ao passo que

um alpinista nos diz que a pressão vai diminuindo a medida que ele vai escalando uma montanha. É possível

deduzir, porém não faremos isso aqui, que a pressão dentro de um tanque contendo um �uido de densidade ρ

medida à uma profundidade h da superfície que está em contato com o ar (�gura 2) é dada matematicamente

por

3.3. 3-O PRINCÍPIO DE PASCAL 29

(3.2.1) p = p0 + ρgh,

onde g é o valor da gravidade local e p0 é o valor da pressão atmosférica. Um fato importante que devemos

saber é que a pressão em um ponto de um �uido estático depende da profundidade desse ponto, mas não da

dimensão horizontal do �uido ou do recipiente.

Na �gura 2 a pressão p é chamada de pressão total, ou pressão absoluta, pois ela é justamente a soma da

pressão atmosférica e da pressão devido a coluna de líquido de altura h. Esta por sua vez pode ser chamada

também de pressão manométrica, ou seja, a pressão manométrica é a diferença entre a pressão total e a pressão

atmosférica

(3.2.2) p− p0 = ρgh

3.3. 3-O Princípio de Pascal

Quando apertamos uma extremidade de um tubo de pasta de dente para fazer a pasta sair pela outra

extremidade estamos ponto em prática o princípio de Pascal. Este princípio também é usado na manobra de

Heimlich, na qual uma pressão aplicada ao abdômen é transmitida para a garganta, liberando um pedaço de

comida que a pessoa ingeriu. O princípio foi enunciado com clareza pela primeira vez em 1652 por Blaise Pascal

(em cuja homenagem foi batizada a unidade de pressão do SI).

Uma variação da pressão aplicada a um �uido incompressível contido em um recipiente é transmitida

integralmente a todas as paredes do �uido e às paredes do recipiente.

3.3.1. 3.1-O Princípio de Pascal e o Macaco Hidráulico. A �gura 3 mostra a relação entre o princípio

de Pascal e o macaco hidráulico. Suponha que uma força externa de módulo Fe seja aplicada de cima para

baixo ao êmbolo da esquerda (ou de entrada), cuja área é Ae. Um líquido incompressível produz uma força de

baixo para cima, de módulo Fs, no êmbolo da direita (ou da saída), cuja área é As. Para manter o sistema em

equilíbrio deve existir uma força para baixo de módulo Fs no êmbolo de saída, exercida por uma carga externa

(não mostrada na �gura). A força Fe aplicada no lado esquerdo, e a força Fs para baixo exercida pela carga no

lado direito produzem uma variação ∆p da pressão do líquido que é dada por

(3.3.1) ∆p =Fe

Ae=Fs

As,

e portanto

(3.3.2) Fs =Fe

AeAs,

30 3. FLUIDOS

repare aqui que Fs > Fe, pois As > Ae. Sabendo ainda que ao aplicar um força de módulo Fe, uma

quantidade ∆m de �uido contidade em um volume ∆V é transferida do lado esquerdo para o lado direito do

recipiente. O mesmo volume de líquido ∆V do lado esquerdo é igual ao volume transferido ao lado direito, ou

seja

(3.3.3) ∆V = Aede = Asds,

onde de e ds são os delocamentos sofridos pelos êmbolos da esquerda e da direita respectivamente. Ou

ainda, podemos escrever

(3.3.4) ds =de

AsAe,

repare agora que ds < de, pois As > Ae. Desta expressão podemos inferir que a vatagem do macaco

hidráulico é: com um macaco hidráulico uma certa força aplicada ao longo de uma dada distância pode ser

transformada em uma força maior aplicada ao longo de uma distância menor.

3.4. 4-O Princípio de Arquimedes

A �gura 4 mostra um estudante em uma piscina, manuseando um saco de plástico muito �no (de massa

desprezível) cheio de água. Ela observa que o saco e a água nele contida estão em equilíbrio estático, ou seja, não

tendem a subir nem a descer. A força gravitacional para baixo Fg que a água contida no saco está submetida

deve ser equilibrada por uma força resultante para cima exercida pela água que está do lado de fora do saco.

Esta força resultante para cima é uma força FE , que recebe o nome de força de empuxo. Ela existe porque

a pressão da água que envolve o saco aumenta com a profundidade. Assim, a pressão na parte inferior do saco é

3.4. 4-O PRINCÍPIO DE ARQUIMEDES 31

maior que na parte superior, o que equivale a dizer que as forças a que o saco está submetido devido à pressão

são maiores em módulo na parte inferior do saco do que na parte inferior do saco.

Como o saco está em equilíbrio estático, o módulo de FE é igual ao módulo da força gravitacional Fg que

age sobre o saco com água.

Na �gura 5-b. trocamos o saco de água por uma pedra que ocupa um volume exatamente igual ao do

espaço vazio da �gura 5-a. Dizemos que a pedra desloca água, ou seja, ocupa o espaço que de outra forma

seria ocupado pela água. Como a forma da cavidade não foi alterada, as forças na superfície da cavidade são

as mesmas que quando o saco com àgua estava no lugar. Assim, o mesmo empuxo para cima que agia sobre o

saco com água agora age sobre a pedra, ou seja, o módulo FE do empuxo é igual ao peso da àgua deslocado

pela pedra.

Ao contrário do saco com água, a pedra não está em equilíbrio estático. A força gravitacional Fg para baixo

que age sobre a pedra tem um módulo maior que o empuxo para cima como mostra o diagrama do corpo livre

na �gura 5-b. Assim, a pedra acelera para baixo, descendo até o fundo da piscina.

32 3. FLUIDOS

Vamos agora preencher a cavidade da �gura 5-a com um pedaço de madeira como mostrado na �gura 5-c.

Mais uma vez, nada mudou com relação às forças que agem sobre a superfície da cavidade, de modo que o

módulo FE do empuxo é igual ao peso da água deslocada. Como a pedra, o pedaço de madeira não está em

equilíbrio estático. Neste caso, porém, o módulo Fg da força gravitacional é menor que o módulo FE do empuxo,

de modo que a madeira acelera para cima, subindo até a superfície.

Nossos resultados para o saco, a pedra e a madeira se aplicam a qualquer �uido, e podem ser resumido no

princípio de Arquimedes:

Quando um corpo está total ou parcialmente submerso em um �uido uma força de empuxo FE exercida pelo

�uido age sobre o corpo. A força é dirigida para cima e tem um módulo igual ao peso do �uido deslocado pelo

corpo.

Escrevendo em linguagem matematica temos que

(3.4.1) FE = mfg,

ondemf é a massa do �uido deslocado.

3.4.1. 4.1-Flutuação. Quando um corpo �utua em um �uido, o módulo FE da força de empuxo que age

sobre o corpo é igual ao módulo Fg da força gravitacional a que o corpo está submetido, ou seja

(3.4.2) FE = mfg = Fg

em outras palavras, um corpo que �utua desloca um peso de �uido igual ao seu próprio peso.

3.4.2. 4.2-Peso Aparente em um Fluido. Se colocarmos uma pedra sobre uma balança calibrada para

medir pesos, a leitura da balança é o peso da pedra. Se, porém, repetimos a experiência debaixo da àgua a

força de empuxo a que a pedra é submetida diminui a leitura da balança. Esta leitura passa a ser, portanto,

um peso aparente. O peso aparente de um corpo está relacionado ao peso real e à força de empuxo através da

equação

(3.4.3) pesoaparente = pesoreal − FE .

3.5. 5-Fluidos Ideais em Movimento

O movimento de �uidos reais é muito complicado, e ainda não está perfeitamente compreendido. Por essa

razão, vamos discutir apenas o movimento de um �uido ideal, que é muito mais fácil de analisar matematica-

mente. Nosso �uido ideal satisfaz quatro requisitos, que estão relacionados ao seu escoamento.

1-Escoamento laminar: No escoamneto laminar, a velocidade de �uido em um ponto �xo qualquer não varia

com o tempo, nem em módulo nem em orientação.

2-Escoamento incompressível : Esta hipótese nos garante que sua massa especí�ca tem um valor uniforme e

constante.

3-Escoamento não-viscoso: Em termos coloquiais a viscosidade de um �uido é uma medida da resistência

que o �uido oferece ao escoamento. Assim, por exemplo, o mel resiste mais ao escoamento que a àgua e,

portanto, é mais viscoso do que a àgua.

4-Escoamento irrotacional : Para entender o que signi�ca essa propriedade, suponha que um pequeno grão

de poeira se move com o �uido. Se o escoamento é irrotacional, este grão de areia não gira em torno de um eixo

que passa pelo seu centro de massa, embora este possa girar em torno de um outro eixo qualquer.

3.7. 7-A EQUAÇÃO DA BERNOULLI 33

3.6. 6-A equação da Continuidade

Você provavelmente já observou que é possível aumentar a velocidade da àgua que sai de uma mangueira

de jardim fechando parcialmente o bico da mangueira com o polegar. Esta é uma demostração prática do fato

de que a velocidade v da àgua depende da àrea da seção reta A através da qual a àgua escoa.

Devido a conservação de massa (não iremos demostrar aqui) obtemos a equação da continuidade

(3.6.1) A1v1 = A2v2,

onde A1, A2 e v1, v2 são as áreas e velocidades do �uido nas regiões 1 e 2 respectivamente (ver �gura 6).

Denominamos ainda a vazão como o produto da área pela velocidade, ou seja

(3.6.2) R = Av.

3.7. 7-A equação da Bernoulli

A equação de Bernoulli é aplicada quando se estuda �uidos ideais que estão se movimentando devido a

diferenças de pressões e de alturas. Para ilustrar isso, imagine um tubo (�gura 7) onde um �uido ideal de

densidade ρ esteja submetido à uma pressão p1, de modo que sua velocidade nessa região seja v1, se o �uido

locomove-se de uma altura y1 à uma altura y2, de forma que sua velocidade muda de v1 para v2, então , no

momento em que o �uido atingir a região de altura y2, este estará sujeito à uma nova pressão p2, que pode ser

calculado pela seguinte equação, conhecida por equação de Bernoulli, ou seja,

(3.7.1) p1 + ρgy1 + ρv2

1

2= p2 + ρgy2 + ρ

v22

2

34 3. FLUIDOS

CAPíTULO 4

Termodinâmica

4.1. 1-Temperatura

A sensação de quente ou frio é um mecanismo biológico que nos faz entrar em alerta para mantermos

nosso organismo em condições satisfatórias de funcionamento. Tais adjetivos, entretanto, carecem de uma

boa de�nição quando pensamos em processos físicos, químicos ou biológicos que necessitam de uma análise

quantitativa de caráter não subjetivo.

Em Física, de�nimos por Temperatura, a quantidade que determina com quente (ou frio), encontra-se

um corpo encerrado numa região do espaço. Mas em princípio podemos pensar: O que é quente para uma

determinada pessoa, não necessariamente é para uma outra pessoa. Por isso, é necessário estabelecer uma

convenção, de caráter universal, que sirva de medida (como uma régua) para rotularmos, com números, os

possíveis valores de temperatura que um corpo pode assumir.

Desde pequenos, somos acostumados com a palavra graus Celsius ( °C) para se referir a condição do clima.

O que geralmente não sabemos, é que foi estabelecido (por convenção) que o gelo se transforma em água a 0°C

e a água se transforma em vapor a 100°C. E ainda, que em Física, não costumanos utilizar a escala Celsius para

trabalhar com temperatura.

4.1.1. 1.1-As escalas Kelvin e Fahrenheit. Em física se usa a escala Kelvin para se trabalhar com

temperaturas. Para determinar o valor da temperatura em unidades de Kelvin é necessário realizar uma simples

tranformação, dada por

TK = TC + 273, 15(4.1.1)

Entretanto nos E.U.A costuma-se usar outra escala de temperatura, conhecida como Fahrenheit. Nesta

escala a temperatura de fusão do gelo é �xado em 32 graus Fahrenheit. A regra de transformação de graus

Celsius para graus Fahrenheit é dada por

TF =95TC + 32(4.1.2)

EXEMPLO: Tranformação de escala termométrica

1-Num dia de muito frio em Pelotas, os termometros idicavam 3C. Transforme essa temperatura para Kelvin

Resposta: Basta utilizarmos a equação TK = TC + 273, 15. Ou seja TK = 3 + 273, 15 = 276, 15K.

4.2. 2-Lei Zero da Termodinâmica

Entendemos por Lei zero da Termodinâmica a lei que assegura que se um corpo A e um corpo C estão em

contato na mesma temperatura, digamos T (ver �gura 1-a), e o mesmo corpo C também é posto em contato

com um terceiro corpo B na mesma temperatura T (ver �gura 1-b), então o corpo A e B estarão na mesma

temperatura T (ver �gura 1-c), mesmo que ambos (A e B) não estejam em contato. Está lei parece um tanto

óbvia, mas só foi formulada em meados do século XX. Como já se sabia da existência da primeira Lei, os físicos

resolveram chamar de lei zero.

35

36 4. TERMODINÂMICA

Formalmente, a lei zero garante que se medirmos a temperatura de um corpo A e esta for igual a temperatura

de um corpo B, então ambos os corpos estão em equilíbrio térmico.

4.3. 3-Calor

Em mecânica clássica vimos que a ideia de trabalho determina a capacidade de um corpo MULTIPLICAR

força. E que energia mecânica exprime a ideia da capacitade de um corpo em produzir trabalho. Entretanto,

existe uma outra forma de energia, que chamaremos de energia térmica, que corresponde a soma de todas as

energias cinéticas e todas as energias de interação eletrostrática das moléculas e dos átomos que constituem um

corpo.

Assim, por dizer, Calor é a quantidade de energia térmica que �ui de um corpo para um outro corpo.

Todavia, é necessário que ambos os corpos estejam em temperatura diferentes.

4.3.1. 3.1-Transferência de Calor. A transferência de calor entre corpos físicos são caracterizados por

três processos distintos, denotados por: Condução, Convecção e Radiação.

Condução:No processo de condução o calor é transmitido pelo contato entre os corpos. Ou seja, é necessário

que um corpo ¨mais quente¨ seja colocado em contato com um corpo ¨menos quente¨.

Convecção:No processo de convecção o calor, como por exemplo de uma vela, é transferido para o ar (�uido)

que o aquece e consequentemente se expande. Uma vez expandido, este se torna menos denso que o ar em sua

vizinhança que encontra-se mais frio. Devido a força de empuxo, o ar mais quente tende a subir e o ar mais frio

tende a descer. Ou seja, chamamos por convecção este processo de trasnferência de calor.

4.3.2. 3.2-Mudança de Fase. Entenderemos aqui por mudancca de fase, os processos termodinâmicos

responsáveis pela alteração dos estados sólido, líquido e gasoso, dentre os quais a matéria pode assumir.

Antes mesmo de estudarmos os processos físicos envolvidos numa transição, é necessário compreender como

um corpo sofre variação de temperatura a medida que este recebe uma determinada quantidade de calor.

4.3.2.1. 3.2.1-Capacidade Térmica, Calor Especí�co e Latente. Quando transferimos uma quantidade de

calor Q para um determinado corpo, este sofrerá uma variação de temperatura ∆T . Esta variação é regulada

pela sua capacidade de absorve (ou perder) calor, que matematicamente designaremos pela letra C, ou seja,

Q = C∆T,(4.3.1)

Entretanto, é mais usual de�rmos a capacidade térmica de um objeto por unidade de massa, pois é mais comum

estudarmos a tranferência de calor entre objetos de massas diferentes. Deste modo, denotaremos por

C = mc,(4.3.2)

4.3. 3-CALOR 37

onde m e a massa e c e o calor especi�co do corpo. Na tabela 1 apresentamos os valores do calor especi�co de

alguns materiais.

Substância calg.K

Jkg.K

Chumbo 0,0305 128

Tungstênio 0,0321 134

Prata 0,0564 236

Cobre 0,0923 386

Alumínio 0,215 900

Latão 0,092 380

Granito 0,19 790

Gelo(-10°C) 0,530 2220

Mercúrio 0,033 140

Etanol 0,58 2430

Água do Mar 0,93 3900

Água doce 1 4180

Vidro 0,20 840

As unidades de calor podem ser expressas em cal, Joule ou ainda, menos usual, Btu (usados nas especi�-

cações de ar condicionados). Estas estão relacionadas da seguinte forma

1cal = 3, 968.10−3Btu = 4, 1868J.(4.3.3)

EXEMPLO: Aquecimento da água

1-Qual é a quantidade de calor necessária para aquecer 720 g de água que encontra-se á temperatura de 0Cpara 15C?

Resposta: Utilizando a expressão Q = mc∆T e sabendo-se que cágua = 4190J/kg temos que Q =(0, 720kg)(4190J/kg.K)(15C − 0C) = 45, 15kJ .

A situação física onde aplicamos a expressão (4.3.1), é válida apenas quando o corpo não está sofrendo uma

mudança de fase. Quando a mudança de estado ( por exemplo: gelo para água em 0 Celsius), o corpo reage

de uma outra forma, pois o que se veri�ca experimentalmente é que para o gelo se transformar totalmente em

água, é necessário transferirmos uma quantidade de calor adicional ao corpo, sendo que a temperatura deste se

mantén constante durante essa transferência, ou seja, durante o processo que transforma todo o gelo em água.

Essa quantidade adicional de calor depende da massa e do material, que matematicamente é escrita como

Q = mL,(4.3.4)

onde L e chamado de calor latente do corpo. O calor latente no processo de transformação do gelo em agua

vale Lfusão = 333kJ/kg = 79, 5cal/g, enquanto que o calor latente no processo de transformacao da água em

vapor vale Lebulição = 2256kJ/kg = 539cal/g. Na tabela 2 mostramos alguns valores do calor latente de fusão

e de ebulição de alguns materiais. E na �gura abaixo mostramos um grá�co da temperatura como função da

quantidade de calor num processo que envolve a transformação do gelo em vapor

38 4. TERMODINÂMICA

Substância Ponto de

Fusão (K)Calor de

Fusão

LF (kJ/kg)

Ponto de

Ebulição

(K)

Calor de

Ebulição

LV (kJ/kg)

Hidrogênio 14 58 20,3 455

Oxigênio 54,8 13,9 90,2 213

Mercúrio 234 11,4 630 296

Água 273 333 373 2256

Chumbo 601 23,2 2017 858

Prata 1235 105 2323 2336

Cobre 1356 207 2868 4730

EXEMPLO: Fusão do gelo

1-Qual é a quantidade de calor necessária para fundir 720 g de gelo?

Resposta: Usando a expressãoQ = mL e uma vez que Lfusão = 333kJ/kg temos queQ = (0, 720kg)(333kJ/kg) =239, 8kJ.

4.4. 4-Primeira Lei da Termodinâmica

Quando um sistema muda de um estado inicial para um estado �nal, tanto o trabalho W realizado como o

calor Q transferido dependem da natureza do processo. Os experimentos, porém, revelam algo surpreendente.

A grandeza Q −W é a mesma para todos os processos. Ela depende apenas dos estados inicial e �nal, e não

depende de maneira alguma da forma como o sistema passou de um para o outro estado. Esta propriedade

sugere que a grandeza Q−W representa a variacao de uma propriedade intrinseca do sistema. Chamamos esta

propriedade de energia internam (Eint). A primeira lei da Termodinâmica a�rma que

∆Eint = Q−W.(4.4.1)

Importante salientar (POR CONVENÇÃO) que se o sistemas realiza trabalho então W > 0, entretanto, se o

meio realiza trabalho sobre o sistema, então W < 0.

4.4.1. 4.1-Alguns casos particulares da primeira lei da termodinâmica. 1-Processos adiabáticos:

São processos onde não existem trocas de calor do sistema como o meio externo. Desta forma Q = 0, o que

implica

∆Eint = −W(4.4.2)

2-Processos a volume constante: Se o volume de um sistema (como um gás) é mantido constante, o sistema não

pode realizar trabalho. Deste modo W = 0, ou seja

4.5. 5-LEI DOS GASES IDEAIS 39

∆Eint = Q(4.4.3)

3-Processos cíclicos:Existem processos nos quais, após certas trocas de calor e de trabalho, o sistema volta ao

estado inicial. Neste caso, nenhuma propriedade intrínseca do sistema (incluindo a energia interna) pode variar.

Fazendo ∆Eint = 0, temos

Q = W(4.4.4)

4-Expansão livre: Sao processos adiabáticos nos quais nenhum trabalho é realizado. Assim Q = W = 0, ouseja,

∆Eint = 0(4.4.5)

EXEMPLO:Energia livre num processo adiabático

1-Num processo adiabático o sistema sofre variação em seu volume de 10m3 para 30m3 mantendo a pressão

constante em duas atmosferas. Determine a variação de energia interna desse sistema

Resposta: Como o processo é adiabático, então Q = 0 e sendo assim, ∆Eint = −W . Como a pressão foi

mantida constante e o volume variou de 20m3, então ∆Eint = (2.105Pa)(20m3) = 40kJ .

4.5. 5-Lei dos Gases Ideais

Antes de iniciarmos o estudo sobre o conceito de gás ideal em física, iremos primeiro expor o conceito de

número de Avogadro, que constitui uma das sete unidades fundamentais do sistema internacional.

4.5.1. 5.1-Número de Avogadro. O número de Avogadro é a quantidade de átomos numa amostra que

contém um mol em 12 g de Carbono 12. O cientista italiano Amadeo Avogadro mediu esta quantidade conhecida

na literatura por

NA = 6, 02.1023atomos/mol(4.5.1)

O número de mols n contidos em uma amostra de qualquer substância é igual á razão entre o número de

moléculas N da amostra e o número de moléculas NA em 1 mol

n =N

NA(4.5.2)

EXEMPLO: Número de moléculas

1-Numa amostra de gás existem n = 2 mols. Calcule o número de moléculas existentes nessa quantidade

de gás

Resposta: Para realizar este cálculo devemos usar a expressão N = nNA, ou seja, N = (2)(6, 02.1023) ≈12.1023 átomos.

4.5.2. 5.2-Gases ideais. Em física chamamos de gás ideal, todo gás que encontra-se em uma temperatura

elevada, ou quando sua densidade é baixa o su�ciente para que as interações entre suas partes sejam desprezíveis.

Na prática, estas hipótese nos garante descrever o mais simples dos gases da natureza. Todavia, a idealização de

tal sistema, torna-se útil quando pretedemos determinar características gerais que diz respeito à grande maioria

dos gases da natureza.

Para descrever completamente um gás ideal é necessário conhecermos a pressão que este exerce sobre as

paredes do recipiente, o volume total deste recipiente, a temperatura de equilíbrio do gás com o recipiente e o

40 4. TERMODINÂMICA

número de mols desse gás encerrado no volume. Estas variáveis, por sua vez, estão relacionadas pela equação

de estado, conhecida na literatura, como a equação dos gases ideais

pV = nRT(4.5.3)

onde R é a constante dos gases ideais. Esta possui o mesmo valor para todos os gases

R = 8, 31J/mol.K(4.5.4)

EXEMPLO: Pressão de um gás ideal

1-Determine a pressão em atmosferas de n = 2mols de CO2 à 27 graus Celsius encerrados num volume de

2L.Resposta: Para realizar este cálculo, basta utilizarmos a equação dos gases ideais, ou seja, PV = nRT .

Substituindo os valores P = nRTV = (2)(0,0831)(300)

2 = 0, 02493 atm.

4.5.3. 5.3-Trabalho realizado por um gás ideal.

4.5.3.1. 5.3.1-Temperatura Constante. Toda vez que o sistema sofre variação em seu volume, uma quanti-

dade de trabalho è produzido pelo sistema (ou sobre o sistema). Se o volume �nal é maior que o volume inicial,

então o sistema realiza trabalho W > 0, caso o volume �nal seja menor que o volume inicial, então o sistema

recebe energia na forma de trabalho do meio externo W < 0. Em qualquer caso, a expressão para o trabalho

em um gás ideal mantido a temperatura constante é

W = nRTlnVf

Vi(4.5.5)

Exemplo:Trabalho numa expansão Isotérmica

1-Um mol de oxigênio se expande à uma temperatura constante T = 310K. O volume inicial Vi é de 12L,e volume �nal Vf é de 19L. Qual é o trabalho realizado pelo gás durante o processo?

Resposta: Devemos utilizar a expressão W = nRTlnVf

Vi, ou seja

W = (1mol)(8, 31J/mol.K)(310K) ln19L12L

= 1180J(4.5.6)

4.5.3.2. 5.3.2-Volume Constante. Quando não existe variação de volume, o trabalho produzido ou realizado

sobre o sistema é nulo, ou seja

W = 0(4.5.7)

4.5.3.3. 5.3.4-Pressão Constante. Num processo onde a pressão é mantida constante, o trabalho realizado

pelo sistema ou sobre o sistema é dado por

W = p(Vf − Vi) = ∆V(4.5.8)

EXEMPLO: Trabalho a pressão constante

Calcule o trabalho realizado por uma gás a pressão constante de 1 atm que sai do volume inicial de 1L e

chega ao volume �nal de 2LResposta: Para calcular o trabalho basta utilizarmos a expressão W = p∆V , ou seja, W = (1atm)(1L) =

(105Pa)(10−3m3) = 100J

4.6. 6-MÁQUINAS TÉRMICAS E A SEGUNDA LEI DA TERMODINÂMICA 41

4.6. 6-Máquinas Térmicas e a Segunda Lei da Termodinâmica

A maioria das máquinas e aparelhos funcionam através da uitilizacao da energia química dos combustíveis

ou da energia elétrica. A torradeira, o forno elétrico e os demais aparelhos elétricos, que são construídos para

aquecer, usam um resistor que atinge alta temperatura e troca calor com o meio. Dependendo da temperatura

atingida pelo resistor, este passa a emitir luz, como nas lâmpadas incandescentes.

Nos aparelhos que utilizam combustível, tais como forno a lenha, fogão a gás ou fogareiro a alcool, os gases

obtidos com a reação química estão a alta temperatura e trocam calor com o ambiente. Nesse processo aparece

como produto secundarioa luz da chama.

Em todos os aparelhos que fazem uso de energia elétrica e química, aparece o aquecimento, seja como efeito

desejado, seja como subproduto inevitável. Podemos a�rmar, num caso e noutro, que o aumento da energia

térmica é parte dos processos de transformação de energia.

Denominamos por máquina térmica, aquela que transforma a energia interna de um combustível em energia

mecânica. Nesses casos, a energia do combustível é convertida em energia térmica de um gás através do processo

de combustão. Este, ao se expandir, realiza trabalho e consequentemente tem sua temperatura diminuida.

Os motores de automóveis, ônibus, caminhões, turbinas a vapor e geladeiras são exemplos de máquinas

térmicas. Em todas essas máquinas, identi�camos elementos comuns tais como substância de operação, fonte

quente e fonte fria. No motor a combustão e na turbina à vapor, a troca de calor ocorre da fonte quente para a

fonte fria de forma espontânea. Além disso, conforme já discutimos anteriormente, a transformação de energia

térmica em trabalho, que é a base para a opreração das máquinas e motores térmicos, nunca se dá totalmente,

isto é, há uma limitação para o rendimento desses motores.

Por outro lado, é possivel transformar espontaneamente toda energia mecânica em energia térmica, isto é,

um movimento ordenado de um objeto pode ser transformado em movimento térmico desordenado das moléculas

que o compõem, mas o contrário não ocorre. Tanto a transformação da energia mecânica em energia térmica

(interna) como a troca de calor entre sistemas mais quentes para sistemas mais frios são exemplos típicos de

processos denominados irreversíveis, ou seja, há um sentido determinado nos processos naturais, não previsto

na primeira da termodinâmica. O sentido inverso, para tais transformações, não ocorre espontaneamente.

Essa lei da irreversibilidade é tão universal quanto as leis da conservação da energia, momento linear e

momento ângular, e por isso é chamada de segunda lei da termodinâmica.

Nesse sentido, podemos a�rmar que, junto com os princípios de conservação da mecânica, os princípios

da termodinâmica ampliam nossa capacidade de compreensão dos processos físicos. Há vários enunciados

possíveis para a SEGUNDA LEI DA TERMODINÂMICA, que procuram ressaltar aspectos diferentes, todavia

nos limitaremos ao seu enunciado mais didático ao noso texto, ou seja:

"É impossivel realizar espontaneamente a troca de calor de um sistema mais frio para outro mais quente".

4.6.1. 6.1-Máquinas de Carnot. Para compreendermos uma máquina de Carnot é necessário entender-

mos o que é uma máquina térmica ideal.

Máquina térmica ideal : São máquinas onde todos os processos são reversíveis e as tranferências de energia

são realizadas sem as perdas causadas por efeitos como o atrito e a turbulência. Uma máquina de Carnot é um

tipo especial de máquina térmica ideal. De todas as máquinas térmicas, a máquina de Carnot é a que utiliza o

calor com a maior e�ciência para realizar trabalho útil.

A �gura abaixo, mostra de forma esquemática, o funcionamento de uma máquina de Carnot. Durante cada

ciclo da máquina, a substância de trabalho absorve uma quantidade |QH | de calor de uma fonte de calor a

uma temperatura constante TH e fornece uma quantidade |QL| de calor a uma segunda fonte de calor a uma

temperatura constante mais baixa TL. O grá�co abaixo mostra um diagrama p-V do ciclo de Carnot, ou seja,

o ciclo a que é submetida a substância de trabalho na máquina de Carnot. Como indicam as setas o ciclo é

percorrido no sentido horário.

42 4. TERMODINÂMICA

Na máquina térmica representada pela �gura acima supomos que as transferência de calor para a substância

de trabalho ou para a fonte de calor ocorrem apenas durante os processos isotérmicos ab e cd do grá�co abaixo

(pressão contra em função do volume). Assim, os processos bc e da nessa grá�co, que ligam as isotérmas

correspondente às temperaturas TH e TL devem ser processos adiabáticos (reversíveis), ou seja, devem ser

processos nos quais nenhuma energia é transferida em forma de calor.

Durante os processos consecutivos ab e bc do mesmo grá�co, a substância de trabalho está se expandindo,

realizando assim trabalho positivo. Este trabalho é representado pela área sob a curva abc. Durante os processos

consecutivos cd e da a substância de trabalho está sendo comprimida, o que signi�ca que está realizando trabalho

negativo sobre o ambiente ou, que o ambiente está realizando trabalho sobre a substância. Este trabalho é

representado pela área sob a curva cda. O trabalho líquido por ciclo, que é representado porW no grá�co acima

é a diferênca entre as duas áreas, e é uma grandeza positiva, igual á área limitada pelo ciclo abcda.

4.6.1.1. 6.1.1-E�ciência de uma máquina de Carnot. No uso prático de qualquer máquina térmica existe

interesse em transformar em trabalho a maior parte possível da energia disponível QH . O exito nessa transfor-

mação é medido através da chamada e�ciência térmica (ε), de�nida como o trabalho que a máquina realiza por

ciclo (¨energia utilizada¨) dividido pela energia que recebe em forma de calor por ciclo (¨energia adiquirida¨),

que matematicamente podemos escrever

4.7. 7-RADIAÇÃO TÉRMICA 43

ε =energia utilizadaenergia adquirida

=|W ||QH |

,(4.6.1)

que corresponde a e�ciência de qualquer máquina térmica. No caso de uma máquina de Carnot podemos

substituir W pelo seu valor W = |Q0| − |QF |, o que implica

ε =|QH | − |QL||QH |

= 1− |QL||QH |

.(4.6.2)

Essa última expressão ainda pode ser reescrita (não provaremos esse fato) da seguinte forma

ε = 1− TL

TH,(4.6.3)

onde TL e TH são as temperaturas (em Kelvin) do reservatório frio e quente respectivamente. É importante

assinalarmos que, como sempre TL < TH , a e�ciência da máquina de Carnot será sempre menor que 100% .

Exemplo: E�ciência de uma máquina de Carnot

1-Calcule o rendimento de uma máquina de Carnot que opera entre as temperatura 200K e 800KResposta: Para calcular o rendimento devemos utilizar a expressão ε = 1− TL

TH= 1− 200/800 = 3/4 = 75%

4.6.2. 6.2-Refrigeradores. Um refrigerador é um dispositivo que utiliza trabalho para transferir energia

de uma fonte fria para uma fonte quente enquanto o dispositivo repete uma série de processos termodinâmicos.

Em um refrigerador domésticos, por exemplo, o trabalho é realizado por um compressor elétrico para transferir

energia do compartimento onde são guardados os alimentos ( a fonte fria) para o ambiente ( a fonte quente).

Chamaremos de refrigerador ideal o refrigerador de Carnot. Num refrigerador ideal, todos os processos são

reversiveis e as transferências de energia são realizadas sem as perdas por efeitos como o atrito e a turbulência.

A e�ciencia de um refrigerador qualquer pode ser de�nida matematicamente através de

K =energia utilizadaenergia adquirida

=|QL||W |

,(4.6.4)

onde K é o coe�ciente de desempenho. No caso especí�co de um refrigerador de Carnot, a primeira lei da

termodinâmica nos dá W = |QH | − |QL|, ou seja

KC =|QL|

|QH | − |QL|,(4.6.5)

ou ainda (não provaremos)

KC =TF

T0 − TF(4.6.6)

Exemplo: Coe�ciente de desempenho

1-Calcule o coe�ciente de desempenho de um refrigerador de Carnot que opera entre as temperatura de

200K e 800KResposta: Para resolver este problema, basta utilizarmos a expressãoKC = TL

TH−TL, ou sejaKC = 200

800−200 =1/3 =≈ 33, 33%.

4.7. 7-Radiação Térmica

Um sistema e o ambiente também podem trocar energia através de ondas eletromagnéticas (a luz visível é

um tipo de onda eletromagnética). As ondas eletromagnéticas que transmitem calor são muitas vezes chamadas

de radiação térmica para distingui-las dos sinais eletromagnéticos ( como por exemplo, as ondas de radio,TV)

44 4. TERMODINÂMICA

e da radiação nuclear (ondas e partículas emitidas por núcleos atomicos). Quando você se aproxima de uma

fogueira é aquecido pela radiação térmica proveniente do fogo, ou seja, sua energia térmica aumenta ao mesmo

tempo em que a energia térmica do fogo é transferida à você. Não é necessário a existência de um meio material

para que o calor seja transferido por radiação. O calor do Sol, chega até a Terra viajando através do vácuo.

A taxa Prad com à qual um objeto emite energia através da radiação eletromagnética depende da área A

da superfície do objeto e da temperatura T (em Kelvin) dessa área, e é dada por

Prad = σεAT 4(4.7.1)

onde σ = 5, 6704x10−8W/m2K4 é uma constante física conhecida como constante de Stefan-Bolzmann, em

homenagem a Josef Stefan que a descobriu experimentalmente e a Ludwing Boltzmann que a descobriu teorica-

mente. O símbolo ε representa a emissividade da superfície do objeto, que tem um valor entre 0 e 1 dependendo

da composição da superfície.

A taxa Pabs com a qual o objeto absorve energia através da radiação térmica do ambiente, que supomos

estar a uma temperatura uniforme Tamb (em Kelvin) é dada por

Pabs = σεAT 4amb,(4.7.2)

É importante mecionar que a emissividade ε é a mesma (para o mesmo corpo) que no caso da emissividade

quando o corpo radia energia. Deste modo, a taxa líquida de energia radiada e absorvida por um corpo é

Pliq = Pabs − Prad = σεA(T 4amb − T 4).(4.7.3)

Exemplo: Determinação da Potência líquida

Calcule a potência líquida de radiação de uma chapa metálica de emissividade ε = 0, 5 e área A =1/5, 6704m2 que encontra-se numa temperatura T = 100K e o ambiente encontra-se numa temperatura de

Tamb = 300K.

Resposta: Para efetuar esse cálculo devemos usar a expressão Pliq = Pabs − Prad = σεA(T 4amb − T 4).

Substituindo os valores temos

Pliq =(5, 6704.10−8W )

m2.K4(0, 5)

15, 6704

m2((300)4 − (100)4)T 4 = 4W(4.7.4)

4.8. 8-Termodinâmica de Atmosferas: Ideias básicas

4.8.1. 8.1-Processos térmicos nos ciclos do ar e da água. A quantidade de energia irradiada pela

Terra é praticamente igual a energia proveniente do Sol que atinge a Terra. Essa igualdade entre a energia

incidente e a energia irradiada só se aplica para o globo como um todo, e não para qualquer área isoladamente.

Na região equatorial ocorre mais absorção do que irradiação. Entretanto, a faixa equatorial não se torna cada

vez mais quente, nem os polos cada vez mais frios. Essas trocas de calor das regiões mais quentes com as mais

frias são efetuadas principalmente pelo movimento da atmosfera ( os ventos).

Para que possamos compreender melhor os movimentos provocados pela energia solar, devemos começar

por interpretar qualitativamente, através da Física Térmica, alguns ciclos naturais.

4.8.1.1. 8.1.1-O ciclo do ar. Alguns estudos indicam que, de toda a energia solar incidente, cerca de 30é re�etido diretamente pelas camadas superiores da atmosfera e pelas nuvens. Os 70% restante produzem

aquecimento na superfície terrestre, no vapor d'agua e na poeira existente nas camadas inferiores da atmosfera,

e também nas gotículas de água contidas nas nuvens.

4.8. 8-TERMODINÂMICA DE ATMOSFERAS: IDEIAS BÁSICAS 45

A quantidade de calor absorvida pela superfície terrestre corresponde a um aquecimento não uniforme. A

formação do vento se deve justamente a esse aquecimento desigual. A massa de ar que está mais quente do que

as massas vizinhas se expande, produzindo uma região de baixa pressão. As massas de ar vizinhas, mais frias e

de maior pressão, movimentam-se horizontalmente, produzindo os ventos (ver �gura abaixo).

Sendo a Terra esférica, os raios solares so atinjem perpendicularmente as regiões próximas ao equador, onde

a incidência da energia solar se concentra.

A face da Terra voltada para o Sol (ver �gura abaixo) está absorvendo e emitindo radiação, enquanto a

outra só está emitindo. Com a rotação, estas ¨faces¨ se alternam com periocidade diária.

A inclinação do eixo de rotação da Terra em relação ao plano de trajetória por ela descrita é também outro

condicionante do aquecimento desigual e da origem as estações do ano. Enquanto em um hemisferio é verão e

os dias são mais longos, no outro hemisfério e inverno e as noites são mais longas que os dias (ver �gura abaixo).

46 4. TERMODINÂMICA

Pelo fato de haver regularidade no aquecimento desigual, os movimentos de ar se repetem regularmente,

constituindo ciclos de ar diários ou anuais.

São exemplos de ciclos atmosféricos diários, as brisas marítimas, que sopram do mar para a práia durante

o dia e no sentido inverso durante a noite. Isso porque durante o dia a areia e a terra atingem temperaturas

muito mais altas que o mar, ocorrendo o inverso durante a noite.

A areia e a terra, além de possuírem baixo calor especí�co, são também maus condutores, de forma que

apenas uma �na camada super�cial é aquecida. A água, além de possuir calor especí�co alto, é quase totalmente

transparente a radiação luminosa, o que possibilita o aquecimento das camadas mais profundas, fazendo a

temperatura sobre o mar sofrer pequenas alterações entre o dia e a noite.

Os ventos que sopram dos polos Norte e Sul da Terra em direção ao equador são também ciclos diários. Já

as estações estão associadas à ciclos atmosféricos anuais.

4.8.1.2. 8.1.2-O ciclo da água. Cerca de 70% da superfície terrestre é coberta pela água. A maior parte

dessa água está no mar, nos rios, nos lagos e geleiras. Ela também está presente no subsolo e no ar, sob a forma

de vapor d´agua e nuvens. A �gura abaixo ilustra essa distribuição.

A água no subsolo pode a�orar à superfície nas nascentes de lagos e rios e descer em direção ao mar, sob o

efeito da gravidade.

A radiação solar produz a evaporação de grande quantidade da água, que no estado de vapor, é menos

denso que o ar e por isso sobe. Ao se afastar do solo, o vapor d´agua se condensa, constituindo gotas muito

pequenas. Individualmente, essas minúsculas gotículas não visíveis, se agrupam, e quando sua concentração é

su�cientemente grande são percebidas como nuvens, neblinas e nevoas úmidas, deslocadas para outras regiões.

A água volta ao solo quando há condições para precipitação, podendo então ser absorvida pelo terreno e

pelas plantas ou ser incorporada diretamente pelos rios, lagos e mares. Parte da água irá evaporar de novo,

retornando a atmosfera, constituindo assim o ciclo da água.

O ciclo da água sofre interferência do ciclo do ar. Os ventos facilitam a evaporação da água, diminuindo a

pressão de vapor sobre o líquido, transportanto às nuvens de um lugar para outro e in�uenciando na periodicidade

e quantidade das chuvas que caem em cada região.

4.8.2. 8.2-Processos térmicos e outros fenômenos naturais. O orvalho, o nevoeiro, a geada, a neve

e o granizo são processos que fazem parte do ciclo da água, mas que só ocorrem sob determinadas condições na

atmosfera.

O ar, o solo e as folhas são aquecidos durante o dia pela radiação solar, e são resfriados durante a noite.

Por possuírem constituição diversa, esses materiais se aquecem ou se esfriam diferentemente. Isso possibilita

ao solo e as folhas aquecerem-se mais que o ar durante o dia e, da mesma forma, resfriarem-se mais que o ar

durante a noite.

Esses fatores propiciam a formação do orvalho, ou seja, o vapor d´agua contido no ar entra em contato com

superfícies que estejam a temperaturas mais baixas - abaixo do ponto de orvalho - e se condensa. Esse processo

é análogo a condensacão do vapor d´agua em torno de copos ou garrafas geladas.

4.8. 8-TERMODINÂMICA DE ATMOSFERAS: IDEIAS BÁSICAS 47

Geralmente, em noites de vento não há formacão de orvalho, pois o vento favorece a troca de calor com o

meio, impedindo o ponto de orvalho no solo.

O nevoeiro, também chamado de névoa, é constítuido de gotículas microscópicas de água presentes na

atmosfera, próximo á superfície terrestre. Sua formação depende da temperatura, da umidade do ar (pressão

do vapor) e da quantidade de partículas existentes no ar.

Se a temperatura do próprio ar úmido for diminuída, de forma a torná-lo saturado, pode ocorrer a conden-

sacão (ou a sublimação) na atmosfera, que produz nevoeiro (ou a neve). Esse resfriamento pode ocorrer por

irradiação ou pode ocorrer preceptação na forma de garoa ou chuvísco. Quando a temperatura é muito baixa,

pode ocorrer a sublimação e a precipitação de minúsculos cristais de gelo, o que constitui a neve. Não é por

outra razão que os boletins associam a aproximação de ¨frentes frias¨ com a perspectiva de chuva.

Já o granizo (chuva de pedra), se forma em nuvens em grandes altitudes. As gotas d´agua de algumas nuvens

muito altas são tão frias que suas temperaturas chegam a ser bem inferiores à temperatura de congelamento.

Assim, na interação dessas gotas com partículas como poeira ou fumaça, elas congelam e precipitam na forma

de ¨pedras de gelo¨.

Em situação normal, a medida que se sobe na atmosfera, a temperatura e a pressão do ar diminuem; ha

portanto �uxo de ar para cima, que dispersa a fumaçaa industrial e urbana. A inversão térmica impede essa

dispersão, permitindo o acumulo da poluição continuamente produzida.

Este processo atmosférico que agrava os efeitos da poluição urbana acontece quando a temperatura das

camadas de ar mais altas se torna maior do que a de camadas inferiores. Essa inversão ocorre principalmente

em noite secas que a camada logo acima. Esses resfriamentos vai se ampliando para cima e, ao �nal da noite,

constitui uma massa de ar frio de algumas dezenas de metros de altura. A temperatura dessa massa de ar é bem

inferior a das camadas superiores, inibindo a circulação de ar vertical que ocorreria se não houvesse inversão

(ver �gura abaixo).

Um exemplo interessante do fenômeno da inversão, são as famosas Smog de Los Angeles . As Smog de Los

Angeles são um tipo de ar aprisionado que tem origem no ar frio e de baixa altitude vindo do oceano, sobre o

qual uma camada de ar quente se move por cima das montanhas, vinda do deserto de Mojave. As montanhas

ajudam a manter o ar aprisionado (Figura abaixo). As montanhas nas cercanias de Denver desempenham um

papel semelhante ao aprisionar smog abaixo de uma inversao de temperatura.

48 4. TERMODINÂMICA

Quando há umidade no ar, tal processo não ocorre porque o vapor d´agua absorve a radiação emitida pelo

solo e também impede seu resfriamento, uma vez que ao trocar calor, pode haver formção de orvalho.

Os vulcões, geiseres e terremotos também são fenômenos naturais associados a elevação da temperatura

com profundidade so subsolo.

Pessoas que trabalham em minas de carvão sabem que a temperatura da Terra aumenta constantemente

com a profundidade. Medidas efetuadas em poço profundos indicam que a cada quilômetro de profundidade a

variação da temperatura é da ordem de 30 graus.

A água existente a grande profundidade encontra-se a alta temperaturas e pressão. Quando existem con-

dições de escoamento (como falhas no terreno), essa água jorra para a super�cie em forma de jatos de vapor e

água a alta temperaturas. Estes jatos sao denominados geiseres (ver �gura abaixo).

A temperatura da Terra a uma profundidade de 50km é superior a de fusão das rochas. Entretanto,

nessa profundidade elas (as rochas) não se encontram no estado líquido, mas pastoso, devido a pressão de

aproximadamente 15atm a que estão submetidas.

Se houver alguma região da crosta mais frágil, ou se houver alguma fresta, essa massa pastosa a alta

temperatura e pressão, inicia sua subida em direção a superfície. A medida que a pressão diminui, a pasta vai

se tornando mais �uída, ate que ao a�orar a superfície já se encontra totalmente líquida, jorrando em forma de

lava e constituindo assim um vulcao (ver �gura abaixo)

4.8. 8-TERMODINÂMICA DE ATMOSFERAS: IDEIAS BÁSICAS 49

A erupção dos vulcões pode ser sucedida por terremotos. Após a erupção há um vazio devido ao lancamento

de lava. Esse ¨vazio¨ pode vir a ser preenchido por massa rochosas localizadas próxima a ele, o que causa

geralmente deformações da crosta terrestre.

4.8.3. 8.3-A meteorologia e a primeira Lei da termodinâmica. A termodinâmica é útil aos me-

teorologistas para analisar o clima. Eles costumam experssar a primeira lei da termodinâmica da seguinte

maneira:

A Temperatura do ar aumenta quando o calor é adicionado ou quando a pressão aumenta.

A temperatura do ar pode ser alterada adicionando-se ou retirando-se calor, ou mudando a pressão do ar

(o que envolve a realização de trabalho), ou através de ambos. O calor é adicionado por radiação solar, por

radiação terrestre de ondas longas, por condensação de vapor ou contato com o solo aquecido. Tudo isso resulta

em um aumento da temperatura. A atmosfera pode perder calor por radiação para o espaco, pela evaporação da

chuva que cai através do ar seco, ou por contato com superfícies frias. O resultado é uma queda da temperatura

do ar.

Exitem alguns processos atmosféricos em que a quantidade de calor adicionado ou retirado é muito pequena,

mas su�ciente para que o processo seja aproximadamente adiabático. Então obtemos a forma adiabática da

primeira lei:

A temperatura do ar se eleva (ou cai) quando a pressao cresce (ou diminui).

Processos adiabáticos na atmosfera são característicos de grandes porções de ar, com dimensões que vão

desde algumas dezenas de metros até vários quilômetros. Essas porções são su�cientemente grandes para que o

ar fora não se misture apreciavelmente com o ar de dentro, durante os minutos ou horas que elas duram. Elas

se comportam como se estivessem dentro de um gigantesco saco de pano �no. Quando uma dessas porções de

ar sobe pela encosta de uma montanha, sua pressão diminui, o que permite que ela se expanda e se resfrie. A

pressão reduzida resulta em temperatura reduzida. As medidas mostram que a temperatura de uma porção

dessas de ar seco diminui cerca de 10°C para o decréscimo de pressão correspondente a uma elevação de 1

quilômetro em altitude.

O ar que �ui sobre altas montanhas, ou que se eleva em tempestades com trovões ou ciclones pode subir

até vários quilômetros. Assim, se uma grande porção de ar seco a uma temperatura confortável de 25°C, aonível do solo, for elevada para 6 quilometros, a temperatura pode chegar à −35°C. Por outro lado, se o ar

a uma temperatura típica de −20°C e a uma altitude de 6 quilometros descesse para o nível do solo, sua

temperatura seria 40°C. Um exemplo claro desse tipo de aquecimento é o do chinuque - um vento que sopra

das Montanhas Rochosas para as Grandes Planícies norte-americanas. O ar frio descendo nas encostas das

montanhas e comprimido e aquecido apreciavelmente (ver �gura abaixo). O efeito da compressão ou expansão

dos gases é muito impressionante.

50 4. TERMODINÂMICA

Porções adiabáticas de �uidos não estão restritas a atmosfera, e as variações que ocorrem nelas não são

necessariamente rápidas. Certas correntes oceanicas profundas, por exemplo, levam milhares de anos para

circular. As massas de água envolvidas são tão gigantescas e as condutividades tão baixas que nenhuma

quantidade apreciável de calor é transferida para dentro ou para fora delas nesses longos períodos de tempo.

Elas são aquecidas e resfriadas adiabaticamente por variações de pressão. Variações em correntes de convecção

oceanicas adiabáticas, como evidenciado pelo recorrente El Nino, que tem grande in�uência sobre o clima da

Terra. A convecção oceanica é in�uenciada pela temperatura do fundo oceanico, que por sua vez é derretido

abaixo da crosta terrestre (Figura abaixo).

Índice Remissivo

área do triângulo, 5

Atrito, 16

componentes da força, 12

conversão em cadeia, 10

cosseno, 6

Energia, 20

energia cinética (K), 20

Eq. 2º grau, 6

expoentes, 7

Força, 11

Força Elástica, 23

Força Gravitacional, 14

Força Normal, 15

Funções trigonométricas, 6

grandezas derivadas, 9

grandezas fundamentais, 9

Identidades trigonométricas, 6

lei de Hooke, 24

Lei dos cossenos., 6

Lei dos senos., 6

Mecânica Newtoniana, 11

Peso, 15

Potência, 24

Primeira lei de Newton, 11

princípio de superposição, 12

Segunda lei de Newton, 12

seno, 6

tangente, 6

Teorema de Pitágoras, 5

Terceira lei de Newton, 17

Torque, 18

Tração, 16

Trabalho, 21

Trabalho realizado por uma mola, 24

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