Embed Size (px)
DESCRIPTION
Furijeova analiza
Citation preview
Sadrzaj
1 Unitarni prostori 21.1 Motivacija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.2 Definicija skalarnog produkta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.3 Prostori L2 i l2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.3.1 Definicije . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.3.2 Konvergencija u L2 i uniformna konvergencija . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.4 Schwarzova nejednakost. Nejednakost trokuta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.5 Ortogonalnost . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.5.1 Definicije i primjeri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111.5.2 Ortogonalne projekcije . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131.5.3 Gramm-Schmidtov postupak ortogonalizacije . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.6 Linearni operatori. Adjungirani operator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181.6.1 Linearni operatori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181.6.2 Adjungirani operator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1
1 Unitarni prostori
1.1 Motivacija
Standardni (euklidski) skalarni produkt dvaju vektora x = (x1, x2, x3), y = (y1, y2, y3) u R3
definira se kao〈x,y〉 = x1y1 + x2y2 + x3y3.
Ta je definicija djelomicno motivirana zeljom da izmjerimo duljinu vektora, koju racunamo pomocuPitagorinog teorema:
duljina vektora x =√
x12 + x2
2 + x32 =
√〈x,x〉.
Cilj ovog poglavlja je definicija skalarnog produkta u opcenitijim vektorskim prostorima. Nas ceposebno zanimati skalarni produkti na vektorskim prostorima ciji su elementi signali, odnosnofunkcije vremena.
1.2 Definicija skalarnog produkta
Definicija skalarnog produkta u R3 prirodno se poopcava u n−dimenzionalnom prostoru Rn. Zavektore x = (x1, x2, . . . , xn), y = (y1, y2, . . . , yn) ∈ Rn standardni skalarni produkt definiran jeformulom
〈x,y〉 =n∑
j=1
xjyj .
Prilikom izucavanja Fourierovih redova i Fourierove transformacije, cesto cemo koristiti kom-pleksnu eksponencijalnu funkciju, pa cemo stoga promatrati i kompleksne vektorske prostore. Stogacemo morati modificirati definiciju skalarnog produkta u Rn. Naime, vektore u Cn cemo mnozititako da konjugiramo drugi faktor u prethodnoj definiciji. Preciznije, ako su z = (z1, z2, . . . , zn) iw = (w1, w2, . . . , wn) vektori u Cn, onda je
〈z,w〉 =n∑
j=1
zjwj .
Uocimo kako konjugiranje u prethodnoj definiciji osigurava da duljina vektora bude realna i nene-gativna:
duljina vektora z =√〈z, z〉 =
√√√√n∑
j=1
zjzj =
√√√√n∑
j=1
|zj |2.
2
1.2 Definicija skalarnog produkta
Skalarni produkti imaju mnoga zanimljiva svojstva. Na primjer, skalarni produkt je bilinearnopreslikavanje, odnosno vrijedi
〈x + y, z〉 = 〈x, z〉+ 〈y, z〉 i 〈x,y + z〉 = 〈x,y〉+ 〈x, z〉.
Ostala svojstva koja zadovoljavaju prethodno definirani skalarni produkti, popisani su kao aksiomiu sljedecoj definiciji. Provjerite da definirani skalarni produkti u Rn i Cn zadovoljavaju te aksiome.
Definicija 1.1. Skalarni produkt na kompleksnom vektorskom prostoru V je funkcija 〈·, ·〉 : V ×V → C koja zadovoljava sljedeca svojstva
• pozitivnost: 〈v,v〉 > 0 za svaki vektor v ∈ V , razlicit od nulvektora,
• konjugirana simetricnost: 〈v,w〉 = 〈w,v〉, za bilo koje vektore v,w ∈ V ,
• homogenost: 〈cv,w〉 = c〈v,w〉, za bilo koje vektore v,w ∈ V i skalar c ∈ C,
• aditivnost: 〈u + v,w〉 = 〈u,w〉+ 〈v,w〉 za bilo koje vektore u,v,w ∈ V .
Vektorski prostor na kojemu je definiran skalarni produkt naziva se unitarni prostor.
Kako bismo istaknuli pripadajuci vektorski prostor V , ponekad cemo skalarni produkt oznacavatikao
〈 , 〉V .
Pomocu prethodne definicije takoder mozemo definirati realni skalarni produkt na realnomvektorskom prostoru, pri cemu je skalar c u svojstvu homogenosti realan, a svojstvo konjugiranesimetricnosti prelazi u svojstvo simetricnosti tj. 〈v,w〉 = 〈w,v〉.
Uocimo kako drugo i cetvrto svojstvo povlace aditivnost u drugom faktoru: 〈u,v + w〉 =〈u,v〉+〈u,w〉. Drugo i trece svojstvo povlace da skalar izlucen iz drugog faktora dolazi konjugiranispred skalarnog produkta:
〈v, cw〉 = 〈cw,v〉 = c〈w,v〉 = c〈v,w〉.
Svojstvo pozitivnosti povlaci da svakom vektoru mozemo pridruziti nenegativan broj ||v|| =√〈v,v〉 kojeg nazivamo duljina ili norma vektora v. Pomocu duljine mozemo definirati i udaljenost
dvaju vektora u prostoru V :
udaljenost vektora v i w = ||v −w||.
Uocimo kako svojstvo pozitivnosti skalarnog produkta povlaci da je ||v −w|| = 0 ako i samo akoje v = w. Pojam udaljenosti omogucava definiciju konvergencije niza vektora (vk)k∈N. Naime,
vk → v ako ||vk − v|| → 0.
Rijecima, vk tezi ka v ako udaljenost izmedu vk i v tezi k nuli kada k raste prema beskonacnosti.Pogledajmo neke primjere skalarnih produkata.
Primjer 1.2. Neka je Pn vektorski prostor polinoma stupnja ≤ n, s kompleksnim koeficijentima.Ako je p =
∑nj=0 ajx
j i q =∑n
j=0 bjxj, dokazimo da je
〈p, q〉 =n∑
j=0
ajbj
skalarni produkt na prostoru Pn.
3
UNITARNI PROSTORI
Rjesenje: Moramo provjeriti aksiome iz definicije skalarnog produkta. Imamo da je
〈p, p〉 =n∑
j=0
ajaj =n∑
j=0
|aj |2 ≥ 0.
Kako je apsolutna vrijednost uvijek nenegativna, slijedi da je 〈p, p〉 = 0 ako i samo ako je a1 =a2 = . . . = an = 0, odnosno ako je p = 0, pa slijedi pozitivnost.
Nadalje, zbog svojstava operacije konjugiranja vrijedi
〈p, q〉 =n∑
j=0
ajbj =n∑
j=0
bjaj = 〈q, p〉,
pa slijedi konjugirana simetricnost.Dokazimo, sada, svojstvo homogenosti. Naime, kako je cp =
∑nj=0 cajx
j , slijedi da je
〈cp, q〉 =n∑
j=0
cajbj = c
n∑
j=0
ajbj = c〈p, q〉.
Konacno, ako je r =∑n
j=0 cjxj imamo da je
〈p + q, r〉 =n∑
j=0
(aj + bj)cj =n∑
j=0
ajcj +n∑
j=0
bjcj = 〈p, r〉+ 〈q, r〉,
odakle slijedi aditivnost, cime je tvrdnja dokazana. ¤Uocimo da u prethodnom primjeru skalarni produkt mozemo identificirati sa standardnim
skalarnim produktom u Cn+1, pri cemu tocku (a0, a1, . . . , an) identificiramo s polinomom p =∑nj=0 ajx
j .Na istom vektorskom prostoru mozemo definirati razlicite skalarne produkte. Pogledajmo
sljedeci primjer.
Primjer 1.3. Neka su v = (v1, v2) i w = (w1, w2) vektori u C2. Dokazimo da je relacijom
〈v,w〉 = (w1, w2)(
2 −ii 3
) (v1
v2
),
definiran skalarni produkt u C2, uz standardno mnozenje matrica.
Rjesenje: Pomnozimo prvo matrice u gornjoj definiciji. Imamo da je
〈v,w〉 = (w1, w2)(
2 −ii 3
)(v1
v2
)
= (w1, w2)(
2v1 − iv2
iv1 + 3v2
)
= 2v1w1 − iv2w1 + iv1w2 + 3v2w2.
Sada provjeravamo aksiome. Najteze je pokazati svojstvo pozitivnosti. Imamo da je
〈v,v〉 = 2v1v1 − iv2v1 + iv1v2 + 3v2v2 = 2|v1|2 + 3|v2|2 + i(v1v2 − v2v1).
4
1.3 Prostori L2 i l2
Sada je potrebno brojeve v1 i v2 prikazati u algebarskom obliku. Stavimo li v1 = a+bi i v2 = c+diimamo da je
〈v,v〉 = 2(a2 + b2) + 3(c2 + d2) + 2i2(bc− ad)= 2(a2 + b2) + 3(c2 + d2)− 2bc + 2ad
= a2 + b2 + 2(c2 + d2) + (b− c)2 + (a + d)2.
Iz prethodne relacije zakljucujemo da je 〈v,v〉 ≥ 0, pri cemu jednakost vrijedi ako i samo ako jea = b = c = d = 0, tj. v1 = v2 = 0, odnosno v = 0, cime je pozitivnost dokazana.
Preostala svojstva dokazujemo lagano, bez prelaska na algebarski oblik kompleksnog broja.Konjugirana simetricnost slijedi iz relacije
〈v,w〉 = 2v1w1 − iv2w1 + iv1w2 + 3v2w2 = 2w1v1 − iw2v1 + iw1v2 + 3w2v2 = 〈w,v〉.
Nadalje, kako je cv = (cv1, cv2), slijedi jednakost
〈cv,w〉 = c (2v1w1 − iv2w1 + iv1w2 + 3v2w2) = c〈v,w〉,
cime je pokazana homogenost. Konacno, ako je z = (z1, z2), onda vrijedi
〈v + z,w〉 = 2(v1 + z1)w1 − i(v2 + z2)w1 + i(v1 + z1)w2 + 3(v2 + z2)w2 = 〈v,w〉+ 〈z,w〉,
odnosno svojstvo aditivnosti. ¤
1.3 Prostori L2 i l2
1.3.1 Definicije
Svi primjeri vektorskih prostora u prethodnoj tocki bili su konacnodimenzionalni, odnosno sadrzavalisu samo konacan broj linearno nezavisnih vektora. U ovoj tocki cemo promatrati neke vazneprimjere beskonacnodimenzionalnih vektorskih prostora koji su posebno znacajni za proucavanjesignala. Na primjer, zvucni signal mozemo promatrati kao funkciju f(t) koja predstavlja jacinusignala u trenutku t. Parametar t prolazi intervalom a ≤ t ≤ b, pri cemu moze biti a = −∞ ib = +∞.
Prilikom proucavanja signala, morat cemo, na neki nacin, ograniciti rast funkcije na intervalu[a, b]. To nas dovodi do sljedece definicije.
Definicija 1.4. Prostor L2 ([a, b]) je skup svih kvadratno integrabilnih funkcija na intervalu [a, b].Drugim rijecima,
L2 ([a, b]) =
{f : [a, b] → C;
∫ b
a
|f(t)|2dt < ∞}
.
Uocimo kako prekinute funkcije takoder mogu pripadati prostoru L2. Svi primjeri koje cemoproucavati ukljucivat ce neprekinute funkcije ili prekinute funkcije s konacnim brojem tocakaprekida. Definicija prostora L2 takoder moze ukljucivati i funkcije s beskonacnim brojem tocakaprekida, ali tada moramo koristiti Lebesgueov integral, a ne klasicni Riemannov kojeg ovdje ko-ristimo. Fizikalno znacenje uvjeta
∫ b
a|f(t)|2dt < ∞ govori da je ukupna energija signala konacna.
Razumljivo je da cemo proucavati signale koje posjeduju to svojstvo.Prostor L2 ([a, b]) je beskonacnodimenzionalan. Naime, ako je a = 0 i b = 1, tada je skup
funkcija {1, t, t2, t3, . . .} linearno nezavisan i pripada prostoru L2 ([0, 1]). Prisjetimo se, beskonacan
5
UNITARNI PROSTORI
skup vektora je linearno nezavisan ako i samo ako je svaki njegov konacan podskup linearno neza-visan. Uocimo kako, na primjer, funkcija f(t) = 1
t ne pripada prostoru L2 ([0, 1]) zato jer je∫ 1
0
(1t
)2dt = ∞.
Skalarni produkt na L2. Obratimo sada pozornost na konstrukciju skalarnog produkta naprostoru L2. Kako bismo dobili ideju za konstrukciju skalarnog produkta na L2 prvo cemo”diskretizirati” interval [a, b]. Zbog jednostavnosti mozemo staviti a = 0 i b = 1. Neka je N do-voljno velik prirodan broj te neka je tj = j
N , 0 ≤ j ≤ N . Ukoliko je f neprekinuta, mozemo njezinevrijednosti na intervalu [tj−1, tj〉 aproksimirati s f(tj). Stoga, funkciju f mozemo aproksimirativektorom
fN = (f(t1), f(t2), . . . , f(tN )) ∈ RN .
Ocito, sto je broj N veci, dobivamo bolju aproksimaciju funkcije f .Ako su f i g dva signala u L2 ([0, 1]), onda ih mozemo diskretizirati na opisani nacin, kao
vektore fN i gN . Kako bismo definirali skalarni produkt 〈f, g〉L2 promotrimo standardni skalarniprodukt vektora fN i gN na prostoru RN , kada broj N raste:
〈fN , gN 〉RN =N∑
j=1
f(tj)g(tj) =N∑
j=1
f
(j
n
)g
(j
n
).
Problem u opisanom pristupu je u tome da kada N tezi u beskonacnost, tada i suma na desnojstrani prethodne jednakosti u pravilu tezi k beskonacnosti. Stoga je bolji izbor srednja vrijednostprethodnog skalarnog produkta, odnosno
1N〈fN , gN 〉RN =
N∑
j=1
f
(j
n
)g
(j
n
)1N
.
Kako se vektori fN i gN priblizavaju funkcijama f i g kada N raste, razumljivo je da za definicijuskalarnog produkta 〈f, g〉L2 uzmemo granicnu vrijednost prethodne srednje vrijednosti skalarnogprodukta, kada N tezi u beskonacnost.
Prethodnu relaciju mozemo zapisati u obliku
1N〈fN , gN 〉RN =
N∑
j=1
f (tj) g (tj)∆t, gdje je ∆t =1N
.
Ta suma predstavlja integralnu sumu za integral∫ 1
0f(t)g(t)dt s obzirom na razdiobu [0, t1, t2, . . . , tN ]
segmenta [0, 1]. Dakle, razumno je skalarni produkt na L2 ([0, 1]) definirati kao 〈f, g〉 =∫ 1
0f(t)g(t)dt.
Opisana motivacija nam daje sljedecu definiciju:
Definicija 1.5. Skalarni produkt na L2 ([a, b]) definiran je relacijom
〈f, g〉L2 =∫ b
a
f(t)g(t)dt, f, g ∈ L2 ([a, b]) .
Taj skalarni produkt cesto nazivamo i L2 skalarnim produktom. Lagano se provjerava da takodefinirani skalarni produkt doista zadovoljava svojstva konjugirane simetricnosti, homogenosti iaditivnosti, iz definicije skalarnog produkta.
Promotrimo svojstvo pozitivnosti skalarnog produkta. Ako je funkcija f neprekinuta onda selagano pokazuje da relacija 0 = 〈f, f〉 =
∫ b
a|f(t)|2dt povlaci da je f(t) = 0, ∀t ∈ [a, b]. Ako funkcija
6
1.3 Prostori L2 i l2
f ima prekide u konacno mnogo tocaka, onda iz 〈f, f〉 = 0 jedino mozemo zakljuciti da je f(t) = 0,osim u konacno mnogo vrijednosti t. Na primjer, funkcija
f(t) ={
1, t = 00, inace
nije identicki jednaka nuli iako je∫ 1
−1|f(t)|2dt = 0. Dakako, dogovorom smatramo da su dvije
funkcije f, g ∈ L2 ([a, b]) jednake ako je f(t) = g(t) za sve vrijednosti t, osim za njih konacno mnogo.To je razumna definicija, jer za bilo koje dvije funkcije s tim svojstvom vrijedi
∫ b
af(t)dt =
∫ b
ag(t)dt.
Konacno, uz takav dogovor vrijedi i svojstvo pozitivnosti skalarnog produkta u L2.Opisani pojam jednakosti, odnosno ekvivalencije funkcija ima opravdanje i u signalnoj analizi.
Naime, ponasanje signala u odredenom trenutku, recimo t = 0 rijetko je vazno, vazno je ponasanjesignala na vremenskom intervalu pozitivne duljine. Iako u ovom kolegiju necemo koristiti teorijumjere i pojam Lebesgueovog integrala, napravit cemo malu digresiju kako bismo pojam jednakosti,odnosno ekvivalencije funkcija stavili u nesto siri kontekst. Naime, pojam mjere skupa generalizirapojam duljine intervala. Mjera intervala [a, b] jednaka je b− a, a mjera unije disjunktnih intervalajednaka je sumi duljina tih intervala. Prema tome, mjera konacnog ili prebrojivo beskonacnogskupa tocaka jednaka je nuli. Mjere slozenijih skupova odreduju se rastavljanjem tih skupovana disjunktne intervale. Kako intervali duljine nula nemaju utjecaja na integriranje, za ocekivatije da ce za funkciju f , koja je jednaka nuli na intervalu [a, b] osim na skupu mjere 0, vrijediti∫ b
af(t)dt = 0. Obrat je takoder istinit. Naime ako je
0 = ||f ||2L2[a,b] =∫ b
a
|f(t)|2dt,
onda je f(t) = 0 na intervalu [a, b] osim eventualno na skupu mjere 0. Zbog toga kazemo da sudvije funkcije f i g jednake ako je f(t) = g(t) na [a, b] osim eventualno na skupu mjere 0. Naravno,ovakva definicija ekvivalencije generalizira definiciju koju cemo mi koristiti, odnosno da su dvijefunkcije ekvivalentne ako se podudaraju svugdje osim u konacno mnogo tocaka.
Prostor l2. U mnogim je primjenama signal diskretna velicina. Na primjer, signal nosacazvuka se moze prikazati kao diskretan skup brojeva koji predstavljaju jacinu zvucnog signala upravilnim (malim) vremenskim intervalima. U takvim slucajevima signal predstavljamo kao nizX = · · · , x−1, x0, x1, . . ., pri cemu je svaki xj numericka vrijednost signala u j-tom vremenskomintervalu [tj , tj+1]. Teoretski, taj niz moze biti beskonacan (j → ∞, j → −∞ ili oboje). Ustvarnosti, signal obicno prestaje nakon nekog trenutka, odnosno xj = 0 za |j| > N , N ∈ N.
Sljedeca definicija opisuje diskretni analogon prostora L2.
Definicija 1.6. Vektorski prostor l2 je skup svih nizova X = · · · , x−1, x0, x1, . . . ∈ C takvih da je∑∞n=−∞ |xn|2 < ∞. Skalarni produkt na tom prostoru definira se kao
〈X, Y 〉l2 =∞∑
n=−∞xnyn,
gdje je X = · · · , x−1, x0, x1, . . . i Y = · · · , y−1, y0, y1, . . ..
Lagano se provjerava da definirani skalarni produkt u l2 zadovoljava aksiome iz definicijeskalarnog produkta.
7
UNITARNI PROSTORI
Relativna pogreska. Pomocu L2−norme razlike dvaju signala f i g, odnosno ||f−g||L2 , mozemomjeriti koliko se ta dva signala razlikuju. Cesto je znacajnija relativna pogreska:
relativna pogreska =||f − g||L2
||f ||L2,
pri cemu u nazivniku takoder moze biti i ||g||L2 . Relativna pogreska mjeri L2-normu razlike izmeduf i g u odnosu na velicinu ||f ||L2 . Za diskretne signale koristimo l2-normu.
1.3.2 Konvergencija u L2 i uniformna konvergencija
Kao sto smo definirali u tocki 1.2, niz vektora (vn)n∈N u unitarnom prostoru V konvergira vektoruv ∈ V ako ||vn − v|| → 0 kada n → ∞. U ovoj tocki cemo se malo detaljnije upoznati skonvergencijom u prostoru L2[a, b].
Definicija 1.7. Niz funkcija (fn)n∈N konvergira funkciji f u prostoru L2[a, b] ako ||fn − f || → 0kada n →∞. Preciznije, tada za svaki ε > 0 postoji N ∈ N takav da za n ≥ N vrijedi ||fn−f || < ε.
Osim ove, postoje jos dvije vrste konvergencije koje cesto koristimo kod funkcija.
Definicija 1.8. 1. Niz funkcija (fn)n∈N konvergira po tockama funkciji f na intervalu [a, b] akoza svaki t ∈ [a, b] i za svaki ε > 0, postoji N ∈ N takav da za n ≥ N vrijedi |fn(t)− f(t)| < ε.2. Niz funkcija (fn)n∈N konvergira uniformno funkciji f na intervalu [a, b] ako za svaki ε > 0postoji N ∈ N takav da za n ≥ N vrijedi |fn(t)− f(t)| < ε za sve t ∈ [a, b].
Kod uniformne konvergencije broj N ovisi o ε, a ne ovisi o tocki t. S druge strane, kodkonvergencije po tockama, N takoder ovisi i o tocki t.
Usporedimo sada tri vrste konvergencije koje smo definirali. Ako niz (fn)n∈N uniformno kon-vergira funkciji f na intervalu [a, b], onda se vrijednosti funkcija fn priblizavaju funkciji f na cijelomintervalu [a, b]. S druge strane, ako (fn)n∈N konvergira po tockama funkciji f , to znaci da je zasvaki fiksirani t, vrijednost fn(t) blizu f(t) za veliki n. Dakako, brzina kojom se vrijednost fn(t)priblizava vrijednosti f(t) ovisi o tocki t. Dakle, niz koji konvergira uniformno mora konvergiratii po tockama, ali obrat ne vrijedi.
Ako niz (fn)n∈N konvergira funkciji f u L2[a, b] tada je ”u prosjeku” fn blizu f , za veliki n, aliza neke vrijednosti t, fn(t) se moze dosta razlikovati od f(t).
Primjer 1.9. Ispitajmo opisane konvergencije niza funkcija fn(t) = tn, n = 1, 2, 3, . . ., t ∈ [0, 1〉.Rjesenje: Niz funkcija fn(t) = tn, n ∈ N konvergira po tockama funkciji f(t) = 0 za t ∈ [0, 1〉zato jer za svaki t ∈ [0, 1〉 vrijedi tn → 0 kada n → ∞. Dakako, ta konvergencija nije uniformna.Naime, brzina kojom se tn priblizava nuli postaje sporija kada se vrijednost t priblizava jedinici.Na primjer, ako je t = 0.5 i ε = 0.001, onda nejednakost |tn| < ε vrijedi za n ≥ 10. S druge strane,za t = 0.9 onda nejednakost |tn| < ε vrijedi za n ≥ 66.
Medutim, za bilo koji fiksirani broj 0 < r < 1, niz funkcija (fn)n∈N konvergira uniformnofunkciji f = 0 na intervalu [0, r]. Doista, ako je 0 ≤ t ≤ r, onda je |tn| ≤ rn. Dakle, dok god jern manje od ε, |fn(t)| ce biti manje od ε za sve 0 ≤ t ≤ r. Drugim rijecima, brzina kojom se fn
priblizava nuli za sve tocke iz intervala [0, r], ogranicena je brzinom kojom se rn priblizava nuli.Uocimo takoder da fn → 0 u prostoru L2[0, 1] zato jer je
||fn||2L2[0,1] =∫ 1
0
(tn)2 dt =t2n+1
2n + 1
∣∣∣∣1
0
=1
2n + 1,
sto ocito tezi k nuli, kada n tezi u beskonacnost. ¤U sljedecem teoremu vidjet cemo kako je uniformna konvergencija na ogranicenom intervalu
jaca od konvergencije u L2.
8
1.4 Schwarzova nejednakost. Nejednakost trokuta
Teorem 1.10. Ako niz funkcija (fn)n∈N konvergira uniformno funkciji f na ogranicenom intervalu[a, b], onda taj niz takoder konvergira funkciji f u L2[a, b]. Obratna tvrdnja ne vrijedi.
Dokaz: Kako niz (fn)n∈N konvergira uniformno funkciji f , slijedi da za ε > 0 postoji N ∈ N takavda je
|fn(t)− f(t)| < ε za n ≥ N i t ∈ [a, b].
Prethodna nejednakost povlaci nejednakost
||fn − f ||2L2[a,b] =∫ b
a
|fn(t)− f(t)|2dt ≤∫ b
a
ε2dt = ε2(b− a), n ≥ N.
Dakle, ako je n ≥ N , onda vrijedi ||fn − f ||L2[a,b] ≤ ε√
b− a. Konacno, kako ε moze biti po voljimalen, slijedi da niz (fn)n∈N konvergira funkciji f u L2[a, b].
Kako bismo pokazali da obrat dokazane tvrdnje ne vrijedi, promotrimo sljedeci niz funkcija naintervalu [0, 1]:
fn(t) ={
1, 0 < t ≤ 1n
0, inace.
Za taj niz funkcija vrijedi
||fn − f ||2L2[0,1] =∫ 1
0
|fn(t)− f(t)|2dt =∫ 1
n
0
dt =1n
.
Kako 1n tezi k nuli kada n tezi u beskonacnost, slijedi da ||fn − f ||L2[0,1] → 0, pa niz (fn)n∈N
konvergira u L2.S druge strane, za svaki n ∈ N i t0 ∈ 〈0, 1
n 〉 vrijedi
|fn(t0)− f(t0)| = |1− 0| = 1.
Drugim rijecima, za svaki n ∈ N mozemo odabrati argument t0, takav da izraz |fn(t0)− f(t0)| nemoze biti po volji malen. To znaci da promatrani niz funkcija ne konvergira uniformno. ¤
Napomenimo jos da niz koji konvergira po tockama ne mora nuzno konvergirati u L2.
1.4 Schwarzova nejednakost. Nejednakost trokuta
Schwarzova nejednakost i nejednakost trokuta su dva najvaznija svojstva skalarnog produkta.Schwarzova nejednakost tvrdi da je |〈x,y〉| ≤ ||x||||y|| za svaka dva vektora iz unitarnog prostora.U R3, ta nejednakost slijedi iz definicije standardnog skalarnog produkta:
|〈x,y〉| = ||x||||y||| cos θ| ≤ ||x||||y||,pri cemu je θ kut izmedu vektora x i y. Nadalje, nejednakost trokuta glasi
||x + y|| ≤ ||x||+ ||y||.Geometrijsko znacenje te nejednakosti (u R3) jest cinjenica da je u trokutu duljina jedne stranicemanja od zbroja preostalih dviju, odnosno da je najkraca udaljenost izmedu dviju tocaka upravospojnica tih dviju tocaka.
Sljedeci teorem nam govori da navedene vazne nejednakosti vrijede u svim unitarnim pro-storima.
Teorem 1.11. Neka je V realni ili kompleksni unitarni prostor. Tada za svaka dva vektora x,y ∈V vrijedi
9
UNITARNI PROSTORI
• Schwarzova nejednakost, tj. |〈x,y〉| ≤ ||x||||y||. Jednakost vrijedi ako i samo su vektori x iy linearno zavisni. Stovise, jednakost 〈x,y〉 = ||x||||y|| vrijedi ako i samo ako se jedan odvektora moze dobiti mnozenjem drugog vektora nenegativnim skalarom.
• Nejednakost trokuta, tj. ||x + y|| ≤ ||x||+ ||y||. Jednakost vrijedi ako i samo ako se jedan odvektora moze dobiti mnozenjem drugog vektora nenegativnim skalarom.
Dokaz za realni unitarni prostor:Pretpostavimo da je jedan od vektora, recimo y, razlicit od nulvektora, jer u protivnom nemamosto dokazivati. Neka je t ∈ R. Tada ocito vrijedi sljedeca nejednakost:
0 ≤ ||x− ty||2 = 〈x− ty,x− ty〉= ||x||2 − 2t〈x,y〉+ t2||y||2. (1.1)
Desnu stranu prethodne nejednakosti mozemo shvatiti kao kvadratnu funkciju u varijabli t. Kakota kvadratna funkcija (zbog izvedene nejednakosti) poprima nenegativne vrijednosti, slijedi da jenjezina diskriminanta manja ili jednaka nuli. U nasem slucaju vrijedi
diskriminanta = 4|〈x,y〉|2 − 4||x||2||y||2 ≤ 0,
odakle sredivanjem slijedi Schwarzova nejednakost.Ispitajmo sada slucaj jednakosti. Ako je 〈x,y〉 = ||x||||y||, onda je prethodna diskriminanta
jednaka nuli, sto znaci da jednadzba ||x − ty||2 = 0 ima dvostruki korijen, oznacimo ga s t. Toznaci da je x− ty = 0, odnosno x = ty, zbog cega je 〈x,y〉 = t||y||2. S druge strane kako je izraz〈x,y〉 = ||x||||y|| nenegativan, slijedi da je t ≥ 0, sto je i trebalo pokazati. Pokazimo i obrat. Nekaje x = ty, t ≥ 0. Tada je
〈x,y〉 = 〈ty,y〉 = t||y||2 = ||ty||||y|| = ||x||||y||,
sto je i trebalo dokazati.
Dokaz za kompleksni unitarni prostor:U slucaju kompleksnog unitarnog prostora dokaz je slican. Neka je φ argument kompleksnog broja〈x,y〉, odnosno
〈x,y〉 = |〈x,y〉|eiφ.
Tada vrijedi sljedeca nejednakost:
0 ≤ ||e−iφx− ty||2 = 〈e−iφx− ty, e−iφx− ty〉= ||x||2 − t
(〈e−iφx,y〉+ 〈y, e−iφx〉) + t2||y||2
= ||x||2 − t(〈e−iφx,y〉+ 〈e−iφx,y〉
)+ t2||y||2
= ||x||2 − 2 Re{te−iφ〈x,y〉} + t2||y||2,
pri cemu Rez predstavlja realni dio kompleksnog broja z. Sada, kako je 〈x,y〉 = |〈x,y〉|eiφ, slijedida je Re
{te−iφ〈x,y〉} = Re {t|〈x,y〉|} = t|〈x,y〉|, pa je izraz na desnoj strani prethodne neje-
dnakosti isti kao i na desnoj strani nejednakosti (1.1). Prema tome, ostatak dokaza provodimo kaoi u realnom slucaju.
10
1.5 Ortogonalnost
Dokaz nejednakosti trokuta:Nejednakost trokuta sada lagano slijedi iz Schwarzove nejednakosti i cinjenice da za svaki kom-pleksan broj vrijedi Re z ≤ |z|:
||x + y||2 = 〈x + y,x + y〉= ||x||2 + 2 Re {〈x,y〉}+ ||y||2≤ ||x||2 + 2|〈x,y〉|+ ||y||2≤ ||x||2 + 2||x||||y||+ ||y||2 = (||x||+ ||y||)2 .
Nuzan uvjet za jednakost jest da ona vrijedi u Schwarzovoj nejednakosti, a to je kada se jedan odvektora moze dobiti mnozenjem drugog vektora nenegativnim skalarom. Lagano provjeravamo datada vrijedi jednakost u relaciji trokuta. ¤
1.5 Ortogonalnost
1.5.1 Definicije i primjeri
Iz formule 〈x,y〉 = ||x||||y|| cos θ, pri cemu je θ kut izmedu vektora x,y ∈ R3, zakljucujemo dasu vektori x i y okomiti ako i samo ako je 〈x,y〉 = 0. To svojstvo cemo iskoristiti kao definicijuortogonalnosti opcenito.
Definicija 1.12. Neka je V unitarni prostor.
• Za vektore x i y kazemo da su ortogonalni ako je 〈x,y〉 = 0.
• Za familiju vektora ei, i = 1, 2, . . . , N kazemo da je ortonormirana ako svaki vektor ei imajedinicnu duljinu, tj. ||ei|| = 1 te ako su svaka dva razlicita vektora iz te familije ortogonalna.
• Potprostori V1 i V2 prostora V su ortogonalni ako je bilo koji vektor iz prostora V1 ortogonalanna bilo koji vektor iz prostora V2.
Ortonormirana baza unitarnog prostora V je baza koja se sastoji od vektora koji cine ortonormi-ranu familiju.
Primjer 1.13. Pokazimo da su pravci y = x i y = −x medusobno okomiti.
Rjesenje: Naravno, iz koeficijenata smjera pravaca znamo da su pravci okomiti.U terminima vektora, prvi je pravac odreden vektorom (1, 1), a drugi vektorom (1,−1), pa je
(1, 1) · (1,−1) = 1− 1 = 0.
¤
Primjer 1.14. Zadane su funkcije
φ(t) ={
1, 0 ≤ t < 10, inace i ψ(t) =
1, 0 ≤ t < 12
−1, 12 ≤ t < 1
0, inace.
Dokazimo da su funkcije φ i ψ ortogonalne u L2[0, 1].
11
UNITARNI PROSTORI
Rjesenje: Vrijedi
〈φ, ψ〉 =∫ 1
0
φ(t)ψ(t)dt =∫ 1
2
0
1dt−∫ 1
12
1dt =12− 1
2= 0,
pa su φ i ψ ortogonalne. ¤Funkcija φ iz prethodnog primjera naziva se step funkcija, a ψ je valna funkcija Haarovog
sustava. Te funkcije cemo koristiti u poglavljima o valicima.
Primjer 1.15. Dokazimo da su funkcije f(t) = sin t i g(t) = cos t ortogonalne u L2[−π, π].
Rjesenje: Izracunajmo skalarni produkt u prostoru L2[−π, π]. Imamo da je
〈f, g〉 =∫ π
−π
sin t cos tdt =12
∫ π
−π
sin 2tdt = −14
cos 2t∣∣∣π
−π= −1
4+
14
= 0,
pa su f i g ortogonalne.Nadalje, kako je
∫ π
−πsin2 tdt =
∫ π
−πcos2 tdt = π, slijedi da su funkcije sin t√
πi cos t√
πortonormirane
u prostoru L2[−π, π]. U iducem poglavlju cemo pokazati da je familija funkcija
cosnt√π
,sin nt√
π, n = 1, 2, . . .
ortonormirana. Ta cinjenica ce nam biti od velike vaznosti kod proucavanja Fourierovih redova.¤.
Vektore mozemo lagano prikazivati kao linearnu kombinaciju vektora ortonormirane baze. Otome govori sljedeci teorem.
Teorem 1.16. Neka je V0 potprostor unitarnog prostora V te neka je {e1, e2, . . . , eN} ortonormi-rana baza potprostora V0. Ako je v ∈ V0, onda je
v =N∑
j=1
〈v, ej〉ej.
Dokaz: Kako je {e1, e2, . . . , eN} baza potprostora V0, bilo koji vektor v ∈ V0 moze se na jedinstvennacin prikazati kao linearna kombinacija vektora baze:
v =N∑
j=1
αjej.
Kako bismo izracunali konstantu αk, pomnozimo skalarno obje strane prethodne relacije s ek.Imamo da je
〈v, ek〉 =N∑
j=1
〈αjej, ek〉.
Kako je {e1, e2, . . . , eN} ortonormirana baza, na desnoj strani prethodne relacije svi su clanovijednaki nuli, osim za j = k. Zato je
〈v, ek〉 = αk〈ek, ek〉 = αk.
Dakle, αk = 〈v, ek〉, sto smo i trebali dokazati. ¤
12
1.5 Ortogonalnost
1.5.2 Ortogonalne projekcije
Neka je {e1, e2, . . . , eN} ortonormirana familija vektora u unitarnom prostoru V . Ako vektorv lezi u potprostoru razapetom familijom {e1, e2, . . . , eN}, tada prema Teoremu 1.16 znamo dajednakost
v =N∑
j=1
αjej. (1.2)
povlaci da je αj = 〈v, ej〉. Ukoliko vektor v ne lezi u potprostoru razapetom skupom {e1, e2, . . . , eN},onda ne postoje skalari αj koji zadovoljavaju jednakost (1.2). U tom slucaju, najbolje sto mozemonapraviti jest odrediti vektor v0 koji lezi u potprostoru razapetom skupom {e1, e2, . . . , eN}, tekoji je, sto je moguce blizi vektoru v. Opcenitije, neka je V0 potprostor unitarnog prostora V , teneka je v ∈ V vektor koji ne pripada potprostoru V0. Kako cemo odrediti vektor v0 ∈ V0 koji jenajblizi vektoru V ? Taj vektor ima i svoje ime, sadrzano u sljedecoj definiciji.
Definicija 1.17. Neka je V0 konacnodimenzionalni potprostor unitarnog prostora V . Ortogonalnaprojekcija vektora v ∈ V na potprostor V0 je jedinstveni vektor v0 ∈ V0 koji je najblizi vektoru v,odnosno
||v − v0|| = minw∈V0
||v −w||.
Kao sto slika pokazuje, vektor v0, koji je najblizi vektoru v mora biti odabran tako da vektorv−v0 bude okomit na potprostor V0. Naravno, ta slika prikazuje vektore u unitarnim prostorimaR2 i R3, medutim sljedeci teorem pokazuje kako opisano svojstvo vrijedi i u opcenitim unitarnimprostorima.
Teorem 1.18. Neka je V0 konacnodimenzionalni potprostor unitarnog prostora V te neka je v ∈ V .Vektor v0 je ortogonalna projekcija vektora v na potprostor V0 ako i samo ako je vektor v − v0
ortogonalan na bilo koji vektor u potprostoru V0.
Dokaz: Pretpostavimo ponajprije da je vektor v0 najblizi vektoru v. Pokazimo da je tada vektorv − v0 ortogonalan na bilo koji vektor w ∈ V0. Promotrimo u tu svrhu funkciju
f(t) = ||v0 + tw − v||2,
koja predstavlja kvadrat udaljenosti izmedu vektora v0 + tw ∈ V0 i v. Kako je v0 vektor koji jenajblizi vektoru v u potprostoru V0, slijedi da funkcija f poprima minimalnu vrijednost za t = 0.Pretpostavimo, zbog jednostavnosti, da je pripadni unitarni prostor realan. Tada je
f(t) = 〈v0 − v + tw,v0 − v + tw〉 = ||v0 − v||2 + 2t〈v0 − v,w〉+ t2||w||2.
13
UNITARNI PROSTORI
Kako funkcija f poprima minimum u t = 0, stoga i njena derivacija u toj tocki mora biti jednakanuli. Imamo da je
f ′(t) = 2〈v0 − v,w〉+ 2t||w||2.Sada, iz prethodne jednakosti dobivamo da je
0 = f ′(0) = 2〈v0 − v,w〉, (1.3)
pa su vektori v0 − v i w ortogonalni.Dokazimo sada i obrat tvrdnje. Naime, pretpostavimo da su vektori v0 − v i w ortogonalni,
gdje je w bilo koji vektor iz potprostora V0. Tada iz relacije (1.3) slijedi da je f ′(0) = 0. S drugestrane, kako je f(t) kvadratna funkcija koja poprima nenegativne vrijednosti, njezina stacionarnatocka t = 0 mora odgovarati tocki minimuma. Drugim rijecima, funkcija ||v0 + tw− v||2 poprimaminimum za t = 0. Kako je w bilo koji vektor iz potprostora V0, zakljucujemo da je v0 ∈ V0
najblizi vektoru v. ¤Ortogonalnu projekciju vektora na potprostor mozemo lagano prikazati kao linearnu kombi-
naciju vektora ortonormirane baze tog potprostora.
Teorem 1.19. Neka je V unitarni prostor i V0 N−dimenzionalni potprostor s ortonormiranombazom {e1, e2, . . . , eN}. Ortogonalna projekcija vektora v ∈ V na potprostor V0 dana je izrazom
v0 =N∑
j=1
αjej, gdje je αj = 〈v, ej〉.
Dokaz: Neka je v0 =∑N
j=1 αjej, pri cemu je αj = 〈v, ej〉. Prema Teoremu 1.18 moramo pokazatida je vektor v−v0 ortogonalan na bilo koji vektor w ∈ V0. Kako je {e1, e2, . . . , eN} baza prostoraV0, dovoljno je dokazati da je v − v0 ortogonalan na svaki vektor te baze. Imamo da je
〈v − v0, ek〉 = 〈v −N∑
j=1
αjej, ek〉.
Nadalje, kako je {e1, e2, . . . , eN} ortonormirana baza, slijedi da je
〈v − v0, ek〉 = 〈v, ek〉 − αk〈ek, ek〉 = 〈v, ek〉 − αk = 〈v, ek〉 − 〈v, ek〉 = 0,
pa su vektori v − v0 i ek ortogonalni, sto je i trebalo pokazati. ¤Napomena: U slucaju kada vektor v pripada potprostoru V0, onda se on podudara sa svojomortogonalnom projekcijom v0. Dakako, tada za ortogonalnu projekciju vrijedi ista formula kao izTeorema 1.16.
Primjer 1.20. Neka je V0 potprostor od L2[−π, π] razapet funkcijama sinx i cos x. Odredimoortogonalnu projekciju funkcije f(x) = x na potprostor V0.
Rjesenje: U Primjeru 1.15 smo vidjeli da su funkcije sinx i cos x ortogonalne u L2[−π, π]. Kakobismo nasli ortogonalnu projekciju zadane funkcije, moramo naci ortonormiranu bazu potprostoraV0. Takvu bazu cine funkcije
e1 =cos x√
πi e2 =
sin x√π
.
Projekcija funkcije f(x) = x na potprostor V0 dana je formulom
f0 = 〈f, e1〉e1 + 〈f, e2〉e2.
14
1.5 Ortogonalnost
Sada, kako je funkcija f(x) cos x neparna, slijedi da je 〈f, e1〉 = 1√π
∫ π
−πx cos xdx = 0. Za drugi
clan imamo da je
〈f, e2〉 =1√π
∫ π
−π
x sinxdx =−x cosx√
π
∣∣∣∣∣
π
−π
+1√π
∫ π
−π
cos xdx = 2√
π +sin x√
π
∣∣∣∣∣
π
−π
= 2√
π,
pri cemu smo prilikom racunanja integrala koristili parcijalnu integraciju. Zbog toga je projekcijafunkcije f(x) = x na potprostor V0 jednaka
f0 = 〈f, e2〉e2 = 2√
πsin x√
π= 2 sin x.
¤
Primjer 1.21. Neka je V1 potprostor od L2[0, 1] razapet step funkcijom φ(x) = 1, 0 ≤ x < 1 iHaarovom valnom funkcijom
ψ(x) ={
1, 0 ≤ x < 12
−1, 12 ≤ x < 1,
definiranim u Primjeru 1.14. Odredimo ortogonalnu projekciju funkcije f(x) = x na potprostor V1.
Rjesenje: U Primjeru 1.14 smo pokazali da su funkcije φ i ψ ortogonalne. Stovise, kako je ocito||φ||L2[0,1] = ||ψ||L2[0,1] = 1, te dvije funkcije cine ortonormiran sustav. Stoga je
〈f, φ〉 =∫ 1
0
xdx =12
i 〈f, ψ〉 =∫ 1
2
0
xdx−∫ 1
12
xdx = −14,
pa je ortogonalna projekcija funkcije f(x) = x na potprostor V1 jednaka
f0 = 〈f, φ〉φ + 〈f, ψ〉ψ =φ
2− ψ
4=
{14 , 0 ≤ x < 1
234 , 1
2 ≤ x < 1.
¤Skup svih vektora koji su ortogonalni na zadani potprostor ima i posebno ime.
Definicija 1.22. Neka je V0 potprostor unitarnog prostora V . Ortogonalni komplement potprostoraV0, u oznaci V ⊥
0 , je skup svih vektora iz prostora V koji su ortogonalni na potprostor V0, odnosno
V ⊥0 = {v ∈ V ; 〈v,w〉 = 0 za svaki w ∈ V0} .
Sa gornje slike vidimo kako se svaki vektor (iz unitarnih prostora R2 i R3) moze prikazati kaozbroj vektora iz potprostora i vektora iz pripadnog komplementa. To svojstvo vrijedi i u opcenitimunitarnim prostorima.
15
UNITARNI PROSTORI
Teorem 1.23. Neka je V0 konacnodimenzionalni potprostor unitarnog prostora V . Tada se svakivektor v ∈ V moze na jedinstven nacin prikazati u obliku v = v0 + v1, pri cemu je v0 ∈ V0 iv1 ∈ V ⊥
0 . Pisemo V = V0 ⊕ V ⊥0 .
Dokaz: Neka je v ∈ V te neka je v0 ortogonalna projekcija vektora v na V0. Nadalje, neka jev1 = v − v0. Tada je
v = v0 + (v − v0) = v0 + v1.
Prema Teoremu 1.18, vektor v1 je ortogonalan na svaki vektor iz potprostora V0, pa stoga pripadanjegovom komplementu V ⊥
0 . ¤Primijetimo kako su svi potprostori u dobivenim rezultatima konacnodimenzionalni. Navedeni
teoremi takoder vrijede i za neke beskonacnodimenzionalne potprostore, ali dokazi tih svojstavaprelaze okvire ovog kolegija.
Primjer 1.24. Neka je V0 = {(x, y, z) ∈ R3; 2x− y + 3z = 0} ravnina u unitarnom prostoru R3
te neka je {e1 =
1√21
(1,−4,−2), e2 =1√6(2, 1,−1)
}
ortonormirana baza potprostora V0. Odredimo ortogonalnu projekciju vektora v = (x, y, z) ∈ R3
na ravninu V0 i pripadni ortogonalni komplement V ⊥0 .
Rjesenje: Kako je v = (x, y, z), slijedi da je ortogonalna projekcija jednaka
v0 = 〈v, e1〉e1 + 〈v, e2〉e2
=x− 4y − 2z
21(1,−4,−2) +
2x + y − z
6(2, 1,−1).
S druge strane, iz linearne algebre znamo da je vektor normale zadane ravnine jednak N =(2,−1, 3). Zbog toga je vektor e3 = N
||N|| = 1√14
(2,−1, 3) jedinicni vektor koji je okomit naravninu V0, odnosno, on je ortonormirana baza jednodimenzionalnog ortogonalnog komplementaV ⊥
0 . Prema tome, ortogonalna projekcija vektora v = (x, y, z) na V ⊥0 je
v1 = 〈v, e3〉e3 =2x− y + 3z
14(2,−1, 3).
¤
Primjer 1.25. Neka je V0 potprostor od R3 razapet vektorom (1, 1, 1). Odredimo ortogonalnikomplement V ⊥
0 .
Rjesenje: Neka je (x, y, z) ∈ V ⊥0 . Tada mora vrijediti
(x, y, z) · (1, 1, 1) = 0,
odakle je x + y + z = 0. Nadalje, iz prethodne relacije slijedi z = −x− y pa se vektori iz V ⊥0 mogu
prikazati u obliku(x, y,−x− y) = x(1, 0,−1) + y(0, 1,−1).
Drugim rijecima, ortogonalni komplement V ⊥0 je potprostor razapet vektorima e1 = (1, 0,−1) i
e2 = (0, 1,−1). ¤Uocimo da baza ortogonalnog komplementa iz prethodnog primjera nije ortonormirana. U
iducoj tocki cemo nauciti kako iz baze prostora dobiti ortonormiranu bazu.
16
1.5 Ortogonalnost
1.5.3 Gramm-Schmidtov postupak ortogonalizacije
Teoremi 1.16 i 1.19 ukazuju na vaznost nalazenja ortonormirane baze. Naime, bez ortonormi-rane baze, racunanje ortogonalne projekcije vektora na potprostor je vrlo tesko. Pomocu Gramm-Schmidtovog postupka ortogonalizacije, bilo koju bazu potprostora mozemo pretvoriti u ortonormi-ranu.
Teorem 1.26. Neka je V0 N−dimenzionalni potprostor unitarnog prostora V te neka je {v1,v2, . . . ,vN}baza potprostora V0. Tada postoji ortonormirana baza {e1, e2, . . . , eN} potprostora V0, takva da jesvaki vektor ej, 1 ≤ j ≤ N , linearna kombinacija vektora v1,v2, . . . ,vj.
Dokaz: Neka je e1 = v1
||v1|| . Naravno, vektor e1 ima jedinicnu duljinu. Neka je v0 ortogonalnaprojekcija vektora v2 na potprostor razapet vektorom e1. Iz Teorema 1.19 znamo da je
v0 = 〈v2, e1〉e1.
Sa slike vidimo da je u standardnom euklidskom prostoru vektor E2 = v2 − v0 ortogonalan navektor e1. To svojstvo vrijedi i opcenito. Naime, kako je E2 = v2 − v0 = v2 − 〈v2, e1〉e1, slijedida je
〈E2, e1〉 = 〈v2 − 〈v2, e1〉e1, e1〉 = 〈v2, e1〉 − 〈v2, e1〉〈e1, e1〉 = 0.
Uocimo kako E2 ne moze biti nulvektor, jer bi u protivnom vektori v2 i e1, pa prema tome v2 iv1, bili linearno zavisni. Da bismo dobili vektor jedinicne duljine, definiramo e2 = E2
||E2|| . Vektorie1 i e2 su medusobno ortogonalni i buduci je e1 kolinearan s v1, vektor e2 je linearna kombinacijavektora v1 i v2.
Ukoliko je N > 2, nastavljamo s opisanim postupkom. Ortogonalna projekcija vektora v3 napotprostor razapet vektorima e1 i e2 jednaka je
〈v3, e1〉e1 + 〈v3, e2〉e2.
Neka je sadaE3 = v3 − 〈v3, e1〉e1 − 〈v3, e2〉e2
i e3 = E3
||E3|| . Na isti nacin kao i prije, zakljucujemo da je vektor E3 ortogonalan na oba vektorae1 i e2. Prema tome, {e1, e2, e3} je ortonormirani skup koji razapinje isti potprostor kao i skupvektora {v1,v2,v3}. Daljnji postupak algoritma je jasan. ¤
Primjer 1.27. Odredi ortonormiranu bazu potprostora od L2[0, 1] razapetog funkcijama 1, x, x2.
Rjesenje: Koristimo Gram-Schmidtov postupak ortogonalizacije. Oznacimo f1(x) = 1, f2(x) = xi f3(x) = x2. Kako je ||f1||L2[0,1] = 1 to je e1(x) = 1. Nadalje,
E2(x) = f2(x)−[∫ 1
0
f2(x)e1(x)dx
]e1(x) = x−
∫ 1
0
xdx = x− 12
17
UNITARNI PROSTORI
i
||E2||L2[0,1] =
√∫ 1
0
(x− 1
2
)2
dx =
√∫ 1
0
(x2 − x +
14
)dx =
√√√√(
x3
3− x2
2+
x
4
) ∣∣∣∣∣
1
0
=√
36
,
pa je
e2(x) =E2(x)
||E2||L2[0,1]= 2
√3x−
√3.
Nastavimo li postupak, imamo da je
E3(x) = x2 −∫ 1
0
x2dx−[∫ 1
0
(2√
3x3 −√
3x2)dx
](2√
3x−√
3) = x2 − x +16
i
||E3||L2[0,1] =
√∫ 1
0
(x2 − x +
16
)2
dx =
√∫ 1
0
(x4 − 2x3 +
43x2 − x
3+
136
)dx
=
√√√√(
x5
5− x4
2+
4x3
9− x2
6+
x
36
) ∣∣∣∣∣
1
0
=√
530
,
odakle jee3(x) = 6
√5x2 − 6
√5x +
√5.
Prema tome, ortonormirana baza je e1(x) = 1, e2(x) = 2√
3x−√3 i e3(x) = 6√
5x2− 6√
5x +√
5.¤
1.6 Linearni operatori. Adjungirani operator
1.6.1 Linearni operatori
Prisjetimo se prvo definicije linearnog operatora.
Definicija 1.28. Linearni operator izmedu vektorskih prostora V i W je preslikavanje T : V → Wza koje vrijedi
T (αv + βw) = αT (v) + βT (w), za sve v,w ∈ V i α, β ∈ C.
U slucaju kada su V i W konacnodimenzionalni vektorski prostori, linearni operator mozemoprikazati u obliku matrice, s obzirom na odabrane baze prostora V i W . Preciznije, neka je{v1,v2, . . . ,vn} baza prostora V te neka je {w1,w2, . . . ,wm} baza za W . Tada, za svaki j ∈{1, 2, . . . , n}, vektor T (vj) pripada prostoru W , pa se moze prikazati kao linearna kombinacijavektora w1,w2, . . . ,wm:
T (vj) =m∑
i=1
aijwi, (1.4)
pri cemu su aij kompleksni brojevi. Stoga se, na temelju relacije (1.4), vrijednost bilo kojeg vektorav =
∑nj=1 xjvj ∈ V moze izracunati na sljedeci nacin:
T (v) = T
n∑
j=1
xjvj
=
n∑
j=1
xjT (vj) =m∑
i=1
n∑
j=1
(aijxj)wi =m∑
i=1
ciwi.
18
1.6 Linearni operatori. Adjungirani operator
Koeficijent uz vektor wi je ci =∑n
j=1 aijxj , sto mozemo identificirati s i−tim retkom u matricnomproduktu
a11 . . . a1n
.... . .
...am1 . . . amn
x1
...xn
.
Prema tome, matrica (aij) prikazuje kako se vektori baze prostora V preslikavaju u prostorW . Preciznije, j−ti stupac te matrice predstavlja koeficijente prikaza vektora T (vj) u bazi{w1,w2, . . . ,wm} prostora W . Dakle, pomocu te matrice mozemo preslikavati bilo koji vektorv ∈ V u prostor W . Kao sto smo vec rekli, taj prikaz ovisi o odabranim bazama.
Za linearni operator T : V → W kazemo da je ogranicen ako jedinicnu kuglu u prostoru Vpreslikava u ogranicen skup prostora W . To znaci da postoji realan broj 0 ≤ M < ∞ takav da je
{T (v);v ∈ V, ||v|| ≤ 1} ⊂ {w ∈ W ; ||w|| ≤ M}.U tom slucaju, norma operatora T definira se kao najmanji broj M koji zadovoljava prethodnosvojstvo. Napomenimo da su svi linearni operatori izmedu konacnodimenzionalnih vektorskihprostora ograniceni. Nadalje, moze se pokazati da je ortogonalna projekcija unitarnog prostora nabilo koji njegov potprostor takoder ograniceni linearni operator.
1.6.2 Adjungirani operator
Neka su V i W unitarni prostori te neka je T : V → W linearni operator. Ponekad cemoskalarni produkt 〈T (v),w〉W racunati pomicanjem operatora T na drugu stranu skalarnog pro-dukta. Drugim rijecima, trazimo operator T ∗ : W → V takav da je
〈T (v),w〉W = 〈v, T ∗(w)〉V .
Definicija 1.29. Neka su V i W unitarni prostori te neka je T : V → W linearni operator.Adjungirani operator operatora T je operator T ∗ : W → V takav da je
〈T (v),w〉W = 〈v, T ∗(w)〉V za sve v ∈ V,w ∈ W.
Svaki ograniceni linearni operator izmedu dvaju unitarnih prostora ima adjungirani operator.Pogledajmo neke primjere.
Primjer 1.30. Neka su Cn i Cm unitarni prostori sa standardnim skalarnim produktom. Nekaje T : Cn → Cm linearni operator s matricom (aij) u paru standardnih (kanonskih) baza ej =(0, . . . , 1, . . . , 0) (jedinica na j−tom mjestu). Odredimo matricu adjungiranog operatora T ∗.
Rjesenje: Neka je x = (x1, . . . , xn) ∈ Cn i y = (y1, . . . , ym) ∈ Cm. Kako je x =∑n
j=1 xjej vrijedi
〈T (x),y〉 =m∑
i=1
n∑
j=1
aijxjyi
=n∑
j=1
xj
(m∑
i=1
aijyi
)(zamjena poretka sumacije)
=n∑
j=1
xj
(m∑
i=1
a∗jiyi
),
gdje je a∗ji = aij . Desna strana prethodnog izraza je 〈x, T ∗(y)〉, pri cemu je j−ta komponenta vek-tora T ∗(y) jednaka
∑mi=1 a∗jiyi. Dakle, adjungiranom operatoru T ∗ odgovara matrica (a∗ji) = (aij),
19
UNITARNI PROSTORI
koja se dobiva konjugiranjem i transponiranjem matrice operatora T . Takvu matricu nazivamoadjungirana matrica. ¤
Primjer 1.31. Neka je g ogranicena funkcija na zatvorenom intervalu [a, b]. Neka je Tg : L2[a, b] →L2[a, b] operator definiran formulom
Tg(f)(x) = g(x)f(x).
Odredimo adjungirani operator T ∗g .
Rjesenje: Adjungirani operator T ∗g dan je formulom
T ∗g (h)(x) = g(x)h(x),
zato jer je
〈Tg(f), h〉 =∫ b
a
g(x)f(x)h(x)dx =∫ b
a
f(x)g(x)h(x)dx = 〈f, T ∗g (h)〉.
¤U sljedeca dva teorema vidjet cemo kako se racuna adjungirani operator kompozicije dvaju
operatora te adjungirani operator ortogonalne projekcije.
Teorem 1.32. Neka su V , W i U unitarni prostori te neka su T1 : V → W i T2 : W → Uograniceni linearni operatori. Tada je (T2 ◦ T1)
∗ = T ∗1 ◦ T ∗2 .
Dokaz: Neka je v ∈ V i u ∈ U . Tada je
〈T2(T1(v)),u〉 = 〈T1(v), T ∗2 (u)〉 = 〈v, T ∗1 (T ∗2 (u))〉.
S druge strane, iz definicije adjungirang operatora imamo
〈T2(T1(v)),u〉 = 〈v, (T2 ◦ T1)∗ (u)〉.
Izjednacavanjem dobivenih dviju relacija dobivamo da je
〈v, (T2 ◦ T1)∗ (u)〉 = 〈v, T ∗1 (T ∗2 (u))〉,∀ v ∈ V
odnosno,〈v, (T2 ◦ T1)
∗ (u)− T ∗1 (T ∗2 (u))〉 = 0, ∀ v ∈ V.
Uvrstimo li v = (T2 ◦ T1)∗ (u)− T ∗1 (T ∗2 (u)) u posljednju relaciju, dobivamo da je
|| (T2 ◦ T1)∗ (u)− T ∗1 (T ∗2 (u))|| = 0,
pa je (T2 ◦ T1)∗ (u) = T ∗1 (T ∗2 (u)), sto je i trebalo dokazati. ¤
Teorem 1.33. Neka je V0 potprostor unitarnog prostora V . Neka je π : V → V0 preslikavanje kojesvakom vektoru v ∈ V pridruzuje njegovu ortogonalnu projekciju na potprostor V0. Adjungiranioperator od π je preslikavanje i : V0 → V takvo da je i(v0) = v0. Takvo preslikavanje nazivamoinkluzija.
Dokaz: Iz Teorema 1.23 znamo da se svaki vektor v ∈ V moze zapisati u obliku v = v0 + v1, pricemu je v0 ∈ V0 i v1 ∈ V ⊥
0 . Uocimo kako je π(v) = v0. Dakle, ako je u0 ∈ V0 onda vrijedi
〈π(v),u0〉V0 = 〈v0,u0〉V0 .
20
1.6 Linearni operatori. Adjungirani operator
Kako potprostor V0 nasljeduje skalarni produkt iz V , imamo da je
〈π(v),u0〉V0 = 〈v0,u0〉V = 〈v0 + v1,u0〉V = 〈v,u0〉V ,
pri cemu smo iskoristili cinjenicu da je v1 ∈ V ⊥0 .
S druge strane, zbog definicije adjungiranog operatora je 〈π(v),u0〉V0 = 〈v, π∗(u0)〉V , pa iz-jednacavanjem prethodnih dviju relacija dobivamo da jednakost
〈v,u0〉V = 〈v, π∗(u0)〉Vvrijedi za svaki v ∈ V . Sada, slicno kao i u prethodnom teoremu, zakljucujemo da je π∗(u0) = u0.
¤
21
